Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC a4 + b4 + c4 3abc 2 + ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) 1 ) Cho a , b , c > 0 . Chứng minh : ab + bc + ca a + b + c 3 a 3 + b3 + c3 54abc 2 ) Cho a , b , c > 0 . Chứng minh : + ≥5 abc (a + b + c ) 3 3 ) Cho a , b , c ≥ 0 . Chứng minh :
a 2 + bc b 2 + ca c 2 + ab 3 + + ≥ (b + c ) 2 (c + a) 2 (a + b) 2 2
4 ) Cho x , y , z ≥ 0 ; x + y + z = 1 . Chứng minh :
x2 +1 y2 +1 z2 +1 7 + + ≤ y2 +1 z2 +1 x2 +1 2
5 ) Cho a , b , c > 0 ; ab + bc + ca = 1. Chứng minh :
3
1 1 1 1 + 6b + 3 + 6c + 3 + 6a ≤ a b c abc
6 ) 0 ≤ x ≤ 1 ; Chứng minh : x(9 1 + x 2 + 13 1 − x 2 ) ≤ 16 7 ) Cho a , b , c > 0 ; a + b + c + abc = 4 . Chứng minh : a + b + c ≥ ab + bc + ca a+b b+c c+a 1 + + ≤3 8 ) Cho a , b , c ∈ ; 1] . Chứng minh : 2 ≤ 1+ c 1+ a 1+ b 2 9 9 ) Cho a , b , c ≥ 0 ; a 2 + b 2 + c 2 = 1 ; Chứng minh : a + b + c ≤ 2 + abc 4 10 ) Chứng minh : a + b + c + a + b + c ≥ a + b + b + c + c + a (b − c ) 2 (c − a ) 2 ( a − b) 2 11 ) Cho a , b , c ≥ 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh : a + + b+ + c+ <2 4 4 4 3 12 ) Cho x , y , z ∈ [0 ;1] . Chứng minh : x 2 y + y 2 z + z 2 x ≥ 4 13 ) Cho a , b , c > 0 . Chứng minh :
2a (a + b) 3 + b 2(a 2 + b 2 ) ≤ 3(a 2 + b 2 )
14 ) Cho a , b , c ≥ 0 . Chứng minh : (a + b) 2 (b + c) 2 (c + a) 2 ≥ abc (a + b + 2c)(b + c + 2a)(c + a + 2b) a b c 3 + + ≥ 15 ) Cho a , b , c ≥ 0 ; a + b + c = 3 . Chứng minh : ab + 3c bc + 3a ca + 3b 4 16 ) Cho a , b , c > 0 , abc = 1 . Chứng minh : (a + b)(b + c)(c + a) + 7 ≥ 5(a + b + c ) 2 17 ) a , b , c ≥ ; a + b + c = 3 . Chứng minh : (ab) 2 + (bc ) 2 + (ca ) 2 ≥ ab + bc + ca 3 3 ≥ 18 18 ) Cho a , b , c ≥ 0 ; a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh : 5(a + b + c) + abc a b c 9 19 ) Cho a , b , c ≥ 0 ; a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh : + + ≥ b c a a+b+c 2 2 2 2 20 ) Cho a , b , c , d > 0 ; a + b + c + d = 4 . Chứng minh : a 3 + b 3 + c 3 + d 3 ≤ 8 21 ) Cho a , b , c ≥ 0 ; a 3 + b 3 + c 3 = 3 .Chứng minh : (ab) 4 + (bc ) 4 + (ca) 4 ≤ 3 a2 b2 c2 + + ≥2 (b − c ) 2 (c − a) 2 (a − b) 2 1 1 1 23 ) Cho a , b , c > 0 ; a + b + c = + + ; a ≤ b ≤ c . Chứng minh : ab 2 c 3 ≤ 1 a b c 24 ) Cho a , b , c ≥ 0 , Chứng minh : 2(a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1) ≥ (a + 1)(b + 1)(c + 1)(abc + 1) 25 ) a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e , Chứng minh : (a + b + c + d + e) 2 ≥ 8(ac + bd + ce) 26 ) Cho a , b , c > 0 ; ab + bc + ca = 3 . Chứng minh a 3 + b 3 + c 3 + 7abc ≥ 10 22 ) Cho a , b , c > 0 . Chứng minh :
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2 1 3 + ≥ a + b + c 3 ab + bc + ca a b c 13 2 (ab + bc + ca ) 28 ) Cho a , b , c ≥ 0 . Chứng minh : + + ≥ − b + c c + a a + b 6 3 (a 2 + b 2 + c 2 )
27 ) Cho a , b , c > 0 , abc = 1 . Chứng minh :
a + b2 + b + c2 + c + a2 ≥ 2 1 1 1 30 ) Cho a , b , c > 0 ; a + b + c = 3 . Chứng minh : 2 + 2 + 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 a b c 3 3 3 2 2 31 ) Cho a , b , c > 0 . Chứng minh : 3(a + b + c ) ≥ (a + b 2 + c 2 ) 3
29 ) Cho a , b , c ≥ 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh :
32 ) r , s > 0 ; r 2 + s 2 = 5 . Chứng minh : r 3 + s 6 ≥ 9 33 ) a , b , c , d , e > 0 ; a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ 1 . Chứng minh :
a2 b2 c2 d2 e2 5 + + + + ≥ b+c+d c+d +e d +e+a e+a+b a+b+c 3 3 3 3 a b c a+b+c + 2 + 2 ≥ 34 ) a , b , c > 0 . Chứng minh : 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b
a2 b2 c2 4(a − b) 2 + + ≥ a+b+c+ b c a a+b+c 36 ) Giả sử a , b , c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác . Chứng minh :
35 ) Cho a , b , c > 0 , Chứng minh :
a b c 5 2−4 + + ≥ b+c c+a a+b 2
1 1 1 3 + + ≤ 1 + a + c 1 + b + c 1 + c + a 1 + 23 abc a2 b2 c2 2 38 ) Cho a , b , c > 0 . Chứng minh : + + ≥ ( a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ) a +b b+c c+a 4 3 39 ) Cho a , b , c , x , y , z > 0 . Chứng minh : (a + x )(b + y )(c + z ) ≥ 3 abc + 3 xyz a b c + + ≥1 40 ) a , b , c > 0 . Chứng minh : b + 2c c + 2a a + 2b 37 ) Cho 0 ≤ a , b , c ≤ 1 . Chứng minh :
Nguyễn Hữu Minh Tuấn (vip.nguyenhuuminhtuan@yahoo.com.vn) Sưu Tầm Và Biên Soạn
Generated by Foxit PDF Creator Š Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.