Ba duong conic by dat tran

Ba ®êng c«nic

1 Ba ®êng c«nic

Lý thuyÕt I.ElÝp 1)§Þnh nghÜa:Cho hai ®iÓm cè ®Þnh F 1, F2 víi F1F2 = 2c (c > 0) vµ h»ng sè a>c. ElÝp (E) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n MF 1+MF2= 2a. (E) = { M: MF1+MF2= 2a} Ta gäi : F 1, F2 lµ tiªu ®iÓm cña (E). Kho¶ng c¸ch F 1F2 = 2c lµ tiªu cù cña (E). 2)Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip: (E):

x2 y2   1 ( víi b 2 = a2- c2 ) a2 b2

3)H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (E): *Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0) Tiªu ®iÓm ph¶i F2( c; 0) *C¸c ®Ønh : A 1( -a ; 0); A2( a; 0); B 1(0; - b); B2(0; b) *Trôc lín : A 1A2= 2a, n»m trªn trôc Ox Trôc nhá :B 1B2= 2b, n»m trªn trôc Oy *T©m sai : e =

c <1 a

*B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (E) lµ: B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tr¸i: MF 1= a + e.x M= a+

c xM a

B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ph¶i: MF 2= a - e.xM= a-

c xM a

*§êng chuÈn: x = 

a e

*Ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt c¬ së: x =  a; y =  b ( §é dµi hai c¹nh lµ 2a vµ 2b) *Trôc ®èi xøng: Ox; Oy T©m ®èi xøng: O 4)TiÕp tuyÕn cña elip §Þnh nghÜa: Cho elip (E) vµ ®êng th¼ng (d) .§êng th¼ ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn cña (E) nÕu (d) cã mét ®iÓm chung duy nhÊt víi (H) §Þnh lý :Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

2 (E):

x2 y2   1 víi b2 = a2- c2 a2 b2

§êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A2+B2  0) lµ tiÕp tuyÕn cña (E) khi vµ chØ khi : A2a2+B2b2=C2 ( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc) Chøng minh: §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (E) khi vµ chØ khi hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt  x2 y2  2  2 1 b a  Ax  By  C  0 

 x  2  y  2       1 a b      (I)  Aa x   Bb y   C  0     a  b

 X 2  Y 2  1 x y §Æt X= , Y= ta cã hÖ:  a b  Aa  X   BbY   C  0

(II)

HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi hÖ (II) cã nghiÖm duy nhÊt  §êng th¼ng (d’): AaX+BbY+C=0 tiÕp xóc víi ®êng trßn (C ): X2+Y2=1  Kho¶ng c¸ch tõ t©m O(0;0) ®Õn ®êng th¼ng (d’) b»ng b¸n kÝnh R = 1  

C A2 a 2  B 2b 2

1

A2a2+B2b2=C2

HÖ qu¶: Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: (E):

x2 y2  2  1 víi b2 = a2- c2 2 a b

NÕu ®iÓm M(xM; yM) thuéc (E) th× tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i M cã ph¬ng tr×nh lµ (d): x.x M y. y M  2 1 a2 b

Chøng minh Do M thuéc (E) nªn cã :

xM y  M2  1 2 a b

HiÓn nhiªn M thuéc (d) Ta cã (d):

x.x M y. y M x.x M y. y M  2  1  2 1  0 2 a2 b a b

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

Theo ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý cã : 2

y  xM  2  y M  2 xM  2  a   2  b = 2  M2  1 a b a  b  2

VËy (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i M II.Hypebol 1.§Þnh nghÜa:Cho hai ®iÓm cè ®Þnh F 1, F2 víi F1F2 = 2c (c > 0) vµ h»ng sè a<c.Hypebol (H) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n MF1-MF2 = 2a. (H) = { M:  MF1-MF2 = 2a} Ta gäi : F 1, F2 lµ tiªu ®iÓm cña (E). Kho¶ng c¸ch F 1F2 = 2c lµ tiªu cù cña (E). 2.Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol: (H):

x2 y2   1 ( víi b 2 = c2- a2 ) a2 b2

3.H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (H ): *Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0) Tiªu ®iÓm ph¶i F2( c; 0) *C¸c ®Ønh : A 1( -a ; 0); A2( a; 0) *Trôc thùc: A1A2= 2a, n»m trªn trôc Ox Trôc ¶o: B1B2= 2b, n»m trªn trôc Oy *T©m sai : e =

c >1 a

*B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (E) lµ: B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tr¸i: MF 1= a + e.x M = a+

c xM a

B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ph¶i: MF 2= a - e.xM = a-

c x M a

*§êng chuÈn: x = 

a e

*Ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt c¬ së: x=  a; y =  b ( §é dµi c¹nh lµ 2a vµ 2b)

hai

b a

*Ph¬ng tr×nh c¸c ®êng tiÖm cËn: y =  x * Trôc ®èi xøng: Ox; Oy T©m ®èi xøng: O 4.TiÕp tuyÕn cña hypebol §Þnh nghÜa:Cho hypebol (H) vµ ®êng th¼ng (d) .§êng th¼ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

cña (H) nÕu (d) kh«ng song song víi c¸c ®êng tiÖm cËn cña (H) vµ (d) cã mét ®iÓm chung duy nhÊt víi (H) §Þnh lý :Cho hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: (H):

x2 y2  2  1 víi b2 = c2- a2 2 a b

§êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A 2+B2  0) lµ tiÕp tuyÕn cña (H) khi vµ chØ khi : A2a2-B2b2=C20 ( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc) Chøng minh: Hai ®êng tiÖm cËn cña (H) cã ph¬ng tr×nh lµ: b a

y=  x  bx  ay= 0 §iÒu kiÖn ®Ó (d) kh«ng song song víi hai ®ên g tiÖm cËn lµ: A B    A2b2- B2b2 0 a b

§êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (H) khi A2b2- B2b2 0 (*)vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: (I)

 x  2  y  2  x2 y2  1  2  2 1   a   b  b a  Ax  By  C  0  Ax  By  C  0    a  2  ay  2  a  2  ay  2       1       1 x bx  x   bx         C  a   Bb  ay   A  0  A  By  C  0  a  x  a  bx   x x

§Æt X=

a ay , Y= ta cã hÖ: x bx  X 2  Y 2  1  C Bb Y   A  0  X   a a

(II)

HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi hÖ (II) cã nghiÖm duy nhÊt C a

 §êng th¼ng (d’): X+

Bb Y+A=0 tiÕp xóc víi ®êng trßn (C ): X 2+Y2=1 a

 Kho¶ng c¸ch tõ t©m O(0;0) ®Õn ®êng th¼ng (d’) b»ng b¸n kÝnh R = 1

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic 



5 A

C 2 B 2b 2  2 a2 a

1

A2a2-B2b2=C2

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× (d) lµ tiÕp tuyÕn cña(H) khi vµ chØ khi A2a2-B2b2=C20 HÖ qu¶: Cho (H) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: (H):

x2 y2   1 víi b2 = a2- c2 a2 b2

NÕu ®iÓm M(x M; yM) thuéc (H) th× tiÕp tuyÕn cña (H) t¹i M cã ph¬ng tr×nh lµ (d): x.x M y. y M  2 1 a2 b

Chøng minh Do M thuéc (H) nªn cã :

xM y  M2  1 2 a b

HiÓn nhiªn M thuéc (d) Ta cã (d):

x.x M y. y M x.x M y. y M  2  1  2 1  0 2 a b a2 b

Theo ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý cã : 2

y  xM  2  y M  2 xM  2  a   2  b = 2  M2  1 a b a  b  2

VËy (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (H) t¹i M III. Parabol 1. §Þnh nghÜa:Cho ®iÓm cè ®Þnh F vµ ®êng th¼ng cè ®Þnh kh«ng ®i qua F.Parabol (P) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®Òu ®iÓm F vµ ®êng th¼ng . (P) = { M: MF= d(M; )} Ta gäi : F lµ tiªu ®iÓm cña (P). §êng th¼ng  lµ ®êng chuÈn cña  p= d(F; ) lµ tham sè tiªu 2.Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol: (P): y2= 2px 3.H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (E): p 2

*Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm F( ; 0)

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

*Ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn : x = -

p 2

*§Ønh : O(0; 0) *B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (P) lµ: MF = d(M; ) = xM+

p 2

*Trôc ®èi xøng: Ox 4.TiÕp tuyÕn cña parabol §Þnh nghÜa: Cho parabol (p) vµ ®êng th¼ng (d) .§êng th¼ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn cña (P) nÕu (d) kh«ng song song víi trôc ®èi xøng cña (P) vµ (d) cã mét ®iÓm chung duy nhÊt víi (P) §Þnh lý:Cho parabol (P) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: (P): y2= 2px §êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A 2+B2  0) lµ tiÕp tuyÕn cña (P) khi vµ chØ khi : pB 2=2AC ( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xó c) Chøng minh: Ta thÊy trôc 0x c¾t (P) t¹i mét ®iÓm nhng kh«ng lµ tiÕp tuyÕn cña (P) §Ó (d) kh«ng song song víi trôc 0x th× A  0 Khi ®ã (d) tiÕp xóc víi (P) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt  2  By  C   y  2 p A  (1)  y 2  2 px   (I)    Ax  By  C  0  x   By  C  A

( Do A 0)

HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt  y2 +2p 

B C y + 2p = 0 cã nghiÖm duy nhÊt A A

B 2 pC ’=  p   =0 

A

 pB2=2AC ( tháa m·n A0) (®pcm) HÖ qu¶: Cho parabol (P) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: (P): y 2= 2px NÕu ®iÓm M(x M; yM) thuéc (P) th× tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i M cã ph¬ng tr×nh lµ (d): y.yM= p(x+x M) Chøng minh TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

V× M thuéc (P) nªn IV.Ba ®êng c«nic 1.§Þnh nghÜa:Cho ®iÓm F cè ®Þnh , mét ®êng th¼ng  cè ®Þnh kh«ng ®i qua F vµ mét sè d¬ng e. C«nic (C) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho 

(C)= M : 

MF e. d ( M ; )

 MF  e d (M ; ) 

Ta gäi: F lµ tiªu ®iÓm  lµ ®êng chuÈn e lµ t©m sai 2.NhËn xÐt *Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: (E): T©m sai e=

x2 y2  2  1 víi b2 = a2- c2 2 a b

c <1 a

§êng chuÈn: 1: x = 2: x =

a øng víi tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0) e

a øng víi tiªu ®iÓm ph¶i F 2( c; 0) e

Víi mäi ®iÓm M thuéc (E) th×:

MF1 MF2 = =e d ( M ; 1 ) d ( M ;  2 )

VËy ®êng (E) lµ ®êng c«nic víi e< 1. *Cho hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: (H): T©m sai e=

x2 y2  2  1 víi b2 = c2- a2 2 a b

c >1 a

§êng chuÈn: 1: x = 2: x =

a øng víi tiªu ®iÓm tr¸i F 1(- c; 0) e

a øng víi tiªu ®iÓm ph¶i F 2( c; 0) e

Víi mäi ®iÓm M thuéc (H) th×:

MF1 MF2 = =e d ( M ; 1 ) d ( M ;  2 )

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

VËy ®êng (H) lµ ®êng c«nic víi e> 1. *Cho parabol (P): y 2= 2px Tiªu ®iÓm F(

p ; 0) 2

Ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn : x = Víi mäi ®iÓm M thuéc (P) th×:

p 2

MF d (M ;  )

VËy ®êng (P) lµ ®êng c«nic víi e=1.

Mét sè d¹ng bµi tËp D¹ng 1. X¸c ®Þnh çc yÕu tè cña (E),(H),(P) khi biÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña chóng. Ph¬ng ph¸p: Sö dông çc c«ng thøc x¸c ®Þnh çc yÕu tè cña (E) ,(H),(P). VÝ dô 1. Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh

x2 y2  1 4 1

T×m tiªu ®iÓm , t©m sai, ®êng chuÈn cña (E) Gi¶i Tõ ph¬ng tr×nh cña (E)  a2= 4, b2=1c2=a2-b2=3. VËy a = 2, b = 1, c = 3 Khi ®ã : Tiªu ®iÓm cña (E) lµ F 1(- 3 ; 0), F2( 3 ; 0) T©m sai cña (E) lµ e=

c 3  a 2

§êng chuÈn cña (E) lµ x= 

4 3

VÝ dô 2. Cho hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh

x2 y2  1 4 5

T×m tiªu ®iÓm , t©m sai, c¸c ®êng tiÖm cËn cña (H) Gi¶i Tõ ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (H)  a2= 4, b2=5c2=a2+b2=9. VËy a = 2, b = 5 , c = 3 Khi ®ã : Tiªu ®iÓm cña (H) lµ F1(-3; 0), F2(3; 0) T©m sai cña (H) lµ e=

c 3  a 2

§êng tiÖm cËn cña (H) lµ y= 

5 x 2

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

VÝ dô 3. Cho parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y 2= 4x T×m tiªu ®iÓm vµ ®êng chuÈn cña (P). Gi¶i Tõ ph¬ng tr×nh cña (P)2p= 4p = 2 Ta cã : Tiªu ®iÓm cña (P) lµ F( 1; 0) §êng chuÈn cña (P) lµ x = - 1 D¹ng 2. LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E),(H),(P). Ph¬ng ph¸p :§Ó lËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E)(H)(P) ta cÇn x¸c ®Þnh çc hÖ sè a, b,p trong çc ph¬ng tr×nh ®ã. VÝ dô 4.LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip (E) , biÕt (E) ®i qua ®iÓm M( 5 ; - 2) vµ kho¶ng çch gi÷a hai ®êng chuÈn b»ng 10. Gi¶i Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E) lµ: Ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn lµ: x = 

x2 y2  2  1 víi b2=a2- c2 2 a b

a e

 Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng chuÈn lµ

2a 2a 2 = 10  e c

 a2= 5c  a4=25 c2 a4=25(a2-b2)  b2=a2Do (E) ®i qua ®iÓm M( 5 ; - 2) nªn:

a4 (*) 25

5 5 4  2 1  2  2 a a b

5(1-

4 a4 a  25

1

a2 a4 )+4= a225 25

 a4- 30a2+225 = 0 (a2- 15)2= 0  a2= 15 Thay vµo (*) th× b2= 6 VËy ph¬ng tr×nh cña (E) lµ:

x2 y2  1 15 6

VÝ dô 5. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) , biÕt (H) ®i qua M(- 2;1)vµ gãc gi÷a hai ®êng tiÖm cËn b»ng 60 0. Gi¶i TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (H) lµ: V× M (H) nªn

x2 y2   1 víi b2=c2- a2 a2 b2

4 1  2  1 (*) 2 a b

Ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn lµ: 1: y =

b x  bx- ay = 0 a

b a

2: y = - x  bx+ ay = 0 Gãc gi÷a hai ®êng tiÖm cËn lµ: b2  a2

cos(1;2) =

 cos60 = 0

b2  a2



2(b 2  a 2 )  b 2  a 2

b 2  3a 2

2 2 2 2 2(b  a )  (b  a )

Víi b2= 3a2 thay vµo (*) ®îc a2=

 

2 2 a  3b

11 2 ; b = 11 3

x2 y2  1 11 11 3

Víi a2=3b2 thay vµo (*) ®îc a 2= 1; b2=  Pt (H):

b2  a2

b2  a2 1 = 2 2  2 b 2  a 2 = b2+a2 2 b a

 

 Pt (H):

b2  a2

1 3

x2 y2  1 1 1 3

VÝ dô 6. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) biÕt t©m sai e = 2 , c¸c tiªu ®iÓm cña (H) trïng víi c¸c tiªu ®iÓm cña elip. Gi¶i Ta cã elip (E):

x2 y2   1 cã a2 = 25, b 2= 9  c2= a2-b2=16  c = 4. 25 9

 Tiªu ®iÓm cña (E) lµ F 1(-4; 0), F2(4; 0) Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) lµ:

x2 y2  2  1 víi b2= c2- a2. 2 a b

V× c¸c tiªu ®iÓm cña(H) trïng víi c¸c tiªu ®iÓm cña (E) nªn cã c = 4 Do (H) cã t©m sai e =

c = 2  c = 2a  a = 2 a

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

11  b2= c2- a2= 12

VËy ph¬ng tr×nh cña (H) lµ :

x2 y2  1 4 12

VÝ dô 7.ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol (P) biÕt tiªu ®iÓm F(5; 0) Gi¶i Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol (P) lµ: y 2= 2px Do täa ®é tiªu ®iÓm F(5; 0) nªn

p = 5  p = 10 2

VËy ph¬ng tr×nh cña (P) : y 2= 20x VÝ dô 8.ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip biÕt elip tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng

d 1: x+ y - 5 = 0 d2: x- 4y - 10 = 0

Gi¶i Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip cã d¹ng (E):

x2 y2   1 víi b 2= a2 - c2 a2 b2

Do (E) tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng d 1 vµ d2 nªn theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cã a 2  b 2  25 a 2  20  2  2 a  16b 2  100 b  5

VËy ph¬ng tr×nh cña (E):

x2 y2  1 20 5

VÝ dô 9. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol (P) biÕt kho¶ng c¸ch tõ ttiªu ®iÓm F ®Õn ®êng th¼ng x + y- 12 = 0 lµ 2 2 Gi¶i Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (P) : y 2= 2px Täa ®é tiªu ®iÓm F(

p ;0) 2

Theo ®Çu bµi , kho¶ng c¸ch tõ F ®Õn ®êng th¼ng : x +y – 12 = 0 b»ng 2 2 nªn: p  12 2 d(F; )= =2 2  p= 16 hoÆc p = 32. 2

VËy ph¬ng tr×nh cña (P): y 2= 32x hoÆc y 2= 64x D¹ng 3. LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña c¸c ®êng c«nic VÝ dô 10.ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1; 4) vµ tiÕp xóc víi hypebol (H) :

x2 y2   1 . T×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 1 4

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

Gi¶i Gäi M(x o;yo) lµ tiÕp ®iÓm cña (d). Khi ®ã ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh d¹ng: (d): x0.x-

y0 . y =1 4

V× (d) ®i qua A(1; 4) nªn: x o - yo = 1 MÆt kh¸c M thuéc (H) nªn:

(1)

x0 y2  0  1 (2) 1 4

5  x0    x  1  3 Tõ (1) vµ (2) suy ra  0 hoÆc   y0  0 y   8  0 3

M ( 1;0) hoÆc M( TiÕp tuyÕn cña (H) lµ:

5 8 ;) 3 3

x = 1 x - 1 = 0

hoÆc -

5 2 x + y = 1  5x -2y + 3 = 0 3 3

VÝ dô 11.ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng elip: x2 y2  1 5 4

vµ

x2 y2  1 4 5

Gi¶i Gäi tiÕp tuyÕn chung cña hai elip lµ (d): Ax+ By +C = 0 ( víi A2+B20) 5 A 2  4 B 2  C 2  A 2  B 2 Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cã :  2   2 2 2 2 4 A  5 B  C

C  9B

 B  1 C  3

Chän A= 1  

VËy ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai elip lµ: (d): x  y  3 = 0 ( ®©y lµ 4 tiÕp tuyÕn chung) D¹ng 4. LËp ph¬ng tr×nh çc ®êng c«nic kh«ng ë d¹ng chÝnh t¾c X¸c ®Þnh çc yÕu tè cña çc ®êng c«nic kh«ng ë d¹ng chÝnh t¾c Ph¬ng ph¸p: * Sö dông phÐp tÞnh tiÕn trôc täa ®é ®a vÒ d¹ng chÝnh t¾c - Trong hÖ täa ®é 0xy cã I(x 0; y0) - TÞnh tiÕn hÖ täa ®é 0xy theo vect¬ OI ®îc hÖ täa ®é IXY  x  X  x0  y  Y  y0

- C«ng thøc ®æi täa ®é lµ 

( ThËt vËy, nÕu lÊy ®iÓm M bÊt kú . Gi¶ sö täa ®é M= (x; y) trong hÖ TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

13 täa ®é 0xy vµ täa ®é M= (X; Y ) trong hÖ täa ®é IXY . Khi ®ã : OI = (x0; y0)= x0 i +y0 j OM = (x; y)= x i +y j IM = (X; Y)= X i +Y j

 x  X  x0  y  Y  y0

Do OM  OI  IM nªn 

)

* Sö dông ®Þnh nghÜa ®Ó lËp ph¬ng tr×nh çc ®êng c«nic VÝ dô 12.Cho ®êng cong (H) cã ph¬ng tr×nh x 2-4y2- 2x- 16y -19= 0. Chøng minh r»ng (H) lµ mét hypebol. T×m täa ®é çc tiªu ®i Óm , çc ®Ønh , ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn cña hypebol (H). Gi¶i Ta cã (H) : x 2-4y2- 2x- 16y -19= 0  (x-1)2- 4(y+2)2= 4 

x  12   y  22 4

1

TÞnh tiÕn hÖ trôc 0xy theo vect¬ OI víi I(1; - 2) thµnh hÖ täa ®é IXY. x  X  1 y  Y  2

C«ng thøc ®æi täa ®é : 

Trong hÖ täa ®é IXY th× (H) cã ph¬ng tr×nh: X2 Y2  1 4 1

a2=4, b2=1 nªn c 2=a2+b2=5 a= 2, b = 1, c= 5 Trong hÖ täa ®é IXY th× (H) cã: + Täa ®é tiªu ®iÓm: F 1( - 5 ; 0), F2( 5 ;0) + C¸c ®Ønh A 1(- 2; 0), A2( 2; 0) 1 2

+ Ph¬ng tr×nh hai ®êng t iÖm cËn: Y =  X ChuyÓn kÕt qua trªn vÒ hÖ täa ®é 0xy th× (H) cã: + Täa ®é tiªu ®iÓm : : F1( 1- 5 ; - 2), F2(1+ 5 ;- 2) + C¸c ®Ønh A 1(- 1; - 2), A2( 3; -2 ) 1 2

+ Ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn: y =  (x-1)-2 VÝ dô 13. ViÕt ph¬ng tr×nh cña parabol (P) cã trôc ®èi xøng lµ trôc 0x, cã ®êng chuÈn lµ trôc 0y vµ ®i qua ®iÓm A(5; 4) TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

Gi¶i Theo ®Çu bµi th× ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn cña (P) lµ: : x = 0 ( trôc 0y) V× trôc ®èi xøng 0x ®i qua tiªu ®iÓm nªn täa ®é tiªu ®iÓm cña (P)lµ F( c; 0) Do ®iÓm A thuéc (P) nªn: AF = d(A; )  (c-5)2+(-4)2= 52  c= 8 hoÆc c = 2  Víi c = 8 th× F(8;0). LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P)  MF= d(M, )  (8  x) 2  y 2 = x (8-x)2 + y2 = x2  y2= 16x – 64 VËy ph¬ng tr×nh (P): y 2= 16x – 64  Víi c = 2 th× F(2;0). LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P)  MF= d(M, )  (2  x) 2  y 2 = x (2-x)2 + y2 = x2  y2= 4x – 4 VËy ph¬ng tr×nh (P): y 2= 4x – 4 VÝ dô 14. Trong mÆt ph¼ng täa ®é 0xy cho ®êng cong (P) cã ph¬ng tr×nh 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0 Chøng minh r»ng (P) lµ mét parabol. T×m täa ®é tiªu ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn cña parabol ®ã. Gi¶i Ta cã M(x; y)(P) 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0 25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x 2+16y2-24xy+6x-8y+1 3x  4 y  1  ( x-1) + (y+2) =   (*) 5   2

§Æt F(1; -2) vµ ®êng th¼ng : 3x- 4y + 1= 0. Khi ®ã (*)  MF2= d2(M; )  MF = d(M; ) VËy (P) lµ ph¬ng tr×nh parabol víi tiªu ®iÓm F(1; -2) vµ ®êng chuÈn TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

: 3x- 4y + 1= 0. D¹ng 5. X¸c ®Þnh ®iÓm M n»m trªn (E),(H),(P) tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tríc. VÝ dô 15. Cho elip (E) :

x2 y2   1 . T×m trªn (E) mét ®iÓm M sao cho MF 1=2MF2 25 9

Gi¶i Ta cã a2= 25  a= 5 b2= 9 b= 3 c2= a2- b2 = 16  c =4 Gi¶ sö M(x 0; y0) (E) 

x0 y  0  1 (*) 25 9

MÆt kh¸c theo c«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ta cã : c a

4 5

MF 1= a + x0 =5 + x0 c a

4 5

MF2= a - x0 =5 - x0 §Ó MF1= 2MF2 th× : 5 +  Thay vµo (*) ta cã :

4 4 x0 = 2( 5- x0) 5 5

12 25 x0= 5  x0 = 5 12

y 2 119 25 y 02 3  y0=    1 0  119 144 9 9 144 12

25 3  VËy täa ®é cña M=  ;  119   12



VÝ dô 16. Cho hypebol (H):

x2 y2  1 9 3

a)T×m trªn (H) ®iÓm M cã tung ®é lµ 1 b)T×m trªn (H) ®iÓm M sao cho gãc F 1MF2 b»ng 90 0. c) T×m trªn (H) ®iÓm M sao cho F 1M= 2F2M. Gi¶i Ta cã : a 2 = 9  a =3 b2= 3  b = 3 c2=a2+ b2= 12c= 12 a)Thay y = 1 vµo ph¬ng tr×nh cña (H) ®îc:

TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

x2 1 4   1  x 2  9  x  2 3 9 3 3

VËy täa ®é cña M lµ  2 3; 1 b)Gäi täa ®é M= ( x 0; y0)

Do gãc F 1MF2 b»ng 90 0  OM= OF 1=OF2  Do M thuéc (H) nªn

x02  y 02  c  x02+ y02= 12 2

x0 y  0  1  3x02- 9y02= 27 9 3

 2 45  x0  5   y2  3  0 4

 x 2  y 2  12 Ta cã hÖ  0 2 0 2 3 x0  9 y 0  27

 3 5  x0   2   y   3  0 2

VËy täa ®é ®iÓm M lµ: 3 5 3 3 5 3  3 5 3  3 5 3          2 ; 2  ;  2 ; 2  ;   2 ; 2  ;   2 ;  2         

c)V× MF1= 2MF2 nªn F1M > F2M M thuéc nh¸nh ph¶i vµ F 1M- F2M = 2a = 6 MF1  2 MF2 MF  12  1 MF1  MF2  6 MF2  6

Ta cã 

Theo c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm: c a

MF 1= a  x0  a+  x0=

c 2 3 x0= 3+ x0 = 12 a 3

9 3 2

Do M thuéc (H) nªn thay x 0=

9 3 vµo (H) ta ®îc: 2

69 27 y 0 69 y0=    1  y02= 4 4 3 2 9 3 69   VËy täa ®é cña M lµ :  ;   2

2 

VÝ dô 17. Cho parabol (P): y 2 = 4x. TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

a)T×m trªn (P) ®iÓm M çch F mét kho¶ng lµ 4. b)T×m trªn (P) ®iÓm M O sao cho kho¶ng çch tõ M ®Õn 0y gÊp hai lÇn kho¶ng çch tõ M ®Õn 0x. Gi¶i a)Tõ ph¬ng tr×nh (P): y 2 = 4x  p = 2 p 2

Ta cã : MF = x M+ = 4  xM +1 = 4  xM = 3 Thay vµo (P)  yM2= 12  yM = VËy täa ®é ®iÓm M lµ: (3;  2 3 ). b)Gäi täa ®é M= (x ;y). Do M thuéc (P) nªn : y2 = 4x x  0 Tõ gi¶ thiÕt M O vµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 0y gÊp hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 0x ta cã: x 2y 0 x= 2y 0  y 2  4 x  x  16 Ta cã hÖ:    x  2 y  0  y  8

VËy täa ®é M lµ (16; 8) vµ ( 16; - 8). D¹ng 6.Chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña ®êng c«nic VÝ dô 18. Cho hypebol (H):

x2 y2  2  1 víi b2 = c2- a2 cã c¸c tiªu ®iÓm F 1, F2. LÊy 2 a b

M lµ ®iÓm bÊt k× trªn (H). Chøng minh r»ng : TÝch kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai ®êng tiÖm cËn cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi. Gi¶i Ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn cña (H) lµ: 1: bx+ay = 0 2: bx - ay = 0 §Æt to¹ ®é M= (x 0; y0) Khi ®ã :

d 1= d(M; 1)= d 2= d(M;2) =

 d1.d2 =

bx0  ay 0 a2  b2

bx0  ay 0 a2  b2 bx0  ay 0

bx0  ay 0 a2  b2

a2  b2

b 2 x0  a 2 y 0 2

a2  b2

Ba ®êng c«nic

V× M thuäc (H) nªn : VËy d1.d2 =

x0 y  02  1  b2x02 - a2y02 = a2.b2 2 a b

a 2 .b 2 (§pcm) a2  b2

VÝ dô 19. Cho parabol (P): y 2 = 4x.§êng th¼ng (d) bÊt kú ®i qua tiªu ®iÓm F cã hÖ sè gãc k ≠ 0 c¾t (P) t¹i M vµ N. a.Chøng minh r»ng : TÝch kho¶ng c¸ch tõ M vµ N ®Õn trôc 0x cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi. b.T×m k sao cho FM = 4.FN. Gi¶i V× (d) ®i qua tiªu ®iÓm F cã hÖ sè gãc k ≠ 0 nªn cã ph¬ng tr×nh: d: y = k( x - 1) Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ: [k(x - 1)]2 = 4x  k2x2 - 2(k2+ 2) x + k 2 = 0 (*) '= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > 0 k  Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt VËy ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N a.Hoµnh ®é hai ®iÓm M vµ N lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) Theo ®Þnh lý Viet cã: x M + xN =

2( k 2  2) (1) k2

x M.xN = 1

(2)

Ta cã : d 1 = d(M; 0x) = y M = 4 xM d2 = d(M; 0x) = y N = 4 x N  d1.d2 = 16 x M x N = 4 kh«ng ®æi. b) Tõ ph¬ng tr×nh (P)  Tham sè tiªu p =p Theo c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm: MF = 1 + x M NF = 1 + x N §Ó MF = 4NF th× 1+ x M = 4( 1 + x N)  xM - 4xN = 3

( 3)

Tõ (2) vµ (3)  xM = 4; x N = 1/4 Thay vµo (1)  k = 

3 4

Ba ®êng c«nic

Bµi tËp ®Ò nghÞ Bµi 1. Cho hypebol (H) : 4x 2 - y2 - 4 = 0 a) X¸c ®Þnh to¹ ®é tiªu ®iÓm cña (H) b) T×m ®iÓm M n»m trªn (H) sao cho M nh×n hai tiªu ®iÓm F 1; F2 cña (H) díi mét gãc vu«ng HD: b) - LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) ®êng kÝnh F 1F2 - Ta cã M  (C) (H) §S: a) F 1( - 5 ; 0); F2( 

b) M   

5 ; 0)

3 4  ;  5 5

Bµi 2.Cho hypebol (H):

x2 y2   1 vµ : x - y + m = 0 4 5

a) Chøng minh r»ng : §êng th¼ng  lu«n c¾t (H) t¹i hai ®iÓm M, N thuéc hai nh¸nh kh¸c cña (H) . ( x M < xN) b)X¸c ®Þnh m ®Ó F 2N = 2F1N biÕt F 1, F2 lµ hai tiªu ®iÓm cña (H) HD: a) - LËp ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña  vµ (H) - Chõng minh ph¬ng tr×nh ®ã lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu b) - T×m to¹ ®é x M , xN - Dïng c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm Bµi 3. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip (E) trong mçi trêng hîp díi ®©y: a) (E) cã mét tiªu ®iÓm F 1( - 7; 0) vµ ®i qua M(-2; 12) b)(E) ®i qua ®iÓm M( 1;

15 ) vµ cã tiªu cù 4 3 2

c)(E) ®i qua hai ®iÓm M( 3; d)(E) ®i qua M( 1; §S: a)

x2 y2  1 196 147

4 3 ), N (- 4; ) 5 5

x2 y2  1 16 4

x2  y2 1 25

x2  y2 1 4

Bµi 4.ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) trong mçi thêng hîp sau: a)(H) cã tiªu ®iÓm F 1( - 7; 0) vµ ®i qua M(-2; 12) b)(H) ®i qua ®iÓm A( 4 2 ; 5) vµ cã ®êng tiÖm cËn y =

5x 4

c)(H) cã tiªu cù b»ng 2 5 vµ cã tiÖm cËn xiªn y = 2x

Ba ®êng c«nic

d)(H) ®i qua A( 1; 0) vµ B( §S: a) x 2 

y2 1 48

3 ; 1)

x2 y2  1 16 25

c) x 2 

y2 1 4

x2 y2  1 1 1 2

Bµi 5. ViÕt ph¬ng tr×nh cña parabol (P) trong mçi tr¬ng hîp díi ®©y a)(P) cã ®êng chuÈn lµ : x+ y = 0 vµ tiªu ®iÓm F(2; 2) b)(P) trôc ®èi xøng lµ trôc 0x; cã ®êng chuÈn lµ trôc 0y vµ ®i qua ®iÓm A(3; 1) c)(P) cã trôc ®èi xøng lµ trôc 0x vµ ®i qua ®iÓm A(4; 1) ; B(1; 2) HD:a) M(x; y)  (P)  d(M; ) = MF  Ph¬ng tr×nh cña (P) b)- Do trôc ®èi xøng lµ trôc 0x nªn to¹ ®é F(a; 0) - Ta cã d(A; 0x) = AF suy ra a - LËp ph¬ng tr×nh theo phÇn a) c) -Tiªu ®iÓm F thuéc trôc 0x nªn to¹ ®é F(a; 0) - §êng chuÈn   0x nªn : x = b d ( A,  )  AF d ( B,  )  BF

- Tõ 

suy ra a vµ b

- LËp ph¬ng tr×nh (P) nh phÇn a) §S: a) x 2 + y2 -2xy -8x -8y +16 = 0 b) y2 - 2(3  2 2 )x + (3  2 2 )2 = 0 c) y 2= - x + 5 Bµi 6. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua (12; -3) vµ tiÕp xóc víi elip

x2 y2  1 32 18

§S: 3x + 4y - 24 = 0 vµ 3x - 28y -120 = 0 Bµi 7. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña hypebol (H) : x 2 

y2  1 vÏ tõ ®iÓm (1; 4) 4

§S: x - 1 = 0 vµ 5x - 2y + 3 = 0 Bµi 8. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña parabol (P) : y 2 = 4x ®i qua ®iÓm (- 1;

8 ) 3

§S: x - 3y + 9 = 0 vµ 9x + 3y + 1 = 0 Bµi 9. Cho hypebol (H)

x2 y2  1 a2 b2

a)TÝnh ®é dµi phÇn ®êng tiÖm cËn n»m gi÷a hai ®êng chuÈn b)TÝnh kho¶ng c¸ch tõ tiªu ®iÓm tíi ®êng tiÖm cËn c)Chøng minh r»ng : Ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ mét tiªu ®iÓm tíi c¸c ®ê ng tiÖm cËn n»m trªn ®êng chuÈn t¬ng øng víi tiªu ®iÓm ®ã. TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

HD: a) - LËp ph¬ng tr×nh hai ®êng chuÈn vµ hai ®êng tiÖm cËn - X¸c ®Þnh to¹ ®é c¸c giao ®iÓm - TÝnh ®é dµi ®o¹n tiÖm cËn n»m gi÷a hai ®êng chuÈn (do t×nh ®èi xøng nªn hai ®o¹n lµ b»ng nhau) b) Do tÝnh ®èi xøng cña (H) nªn chØ cÇn t×m kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm bÊt kú ®Õn mét ®êng chuÈn bÊt kú c) - Gäi I lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ F2 ®Õn ®êng tiÖm cËn d: bx + ay = 0 - Do I thuéc d nªn to¹ ®é I( x 0; -

b x0) a

- Tõ IF2  u d suy ra to¹ ®é I - KiÓm tra I thuéc ®êng chuÈn øng víi tiªu ®iÓm F 2 §S: a) 2a

b) b

Bµi 10( §H-C§ khèi D- 2005) Cho elip (E) :

x2 y2   1 vµ C( 2; 0). T×m A, B 4 1

thuéc (E) biÕt A, B ®èi xøng nhau qua trôc hoµnh vµ tam gi¸c ABC ®Òu. HD: - §Æt to¹ ®é A(x 0; y0) suy ra to¹ ®é B(x 0; - y0)  A, B  ( E ) suy ra to¹ ®é a, b.  AB  AC

- Tõ  §S: A(

2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 ) , B( ; ) hoÆc A( ; ), B( ; ) ; 7 7 7 7 7 7 7 7

Bµi 11.(C§ C¬ khÝ luyÖn kim -2007)ViÕt ph¬ng tr×nh cña hypebol (H):

x2 y2  1 9 4

biÕt tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua A( 3; 1) §S: x - 3 = 0 vµ 5x - 6y - 9 = 0 Bµi 12. (C§ S ph¹m VÜnh phóc - 2007)Cho elip (E) : 9x 2 + 16y2 = 144. LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (E) ®i qua M( 4;

3 ). 2

§S: x - 4 = 0 vµ 9x +16 y - 60 = 0 Bµi 13. a) ViÕt ph¬ng tr×nh elip (E) biÕt hai tiªu ®iÓm lµ F 1(- 10 ; 0) , F2( 10 ; 0) vµ ®é dµi trôc lín lµ 2 18 . b)§êng th¼ng d tiÕp xóc víi (E) t¹i M c¾t hai trôc to¹ ®é t¹i A vµ B . T×m to¹ ®é M sao cho diÖn tÝch tam gi¸c OAB nhá nhÊt HD: b) - §Æt to¹ ®é M(x 0; y0) - LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy

Ba ®êng c«nic

- X¸c ®Þnh to¹ ®é A, B theo x 0, y0. - TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB theo x 0, y0. - Dïng ®iÒu kiÖn M thuéc (E) ®Ó t×m GTNN cña SOAB x2 y2  1 18 8

§S: a)

b)Min S= 12 khi M(  3;2 ) Bµi 14.(Cao ®¼ng tµi chÝnh kÕ to¸n 2006).Cho elip (E): ®iÓm F1; F2. T×m M thuéc (E) sao cho MF 1 - MF2 = 2

x2 y2   1 víi c¸c tiªu 8 4

HD: Sö dông c«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm §S: M( 2 ; 3 ) Bµi 15. a) LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) víi tæng hai b¸n trôc b»ng 7 vµ 3 4

ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn lµ y =  x b)LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (H) song song víi ®êng th¼ng d:5x -4y +10 =0. §S:a)

x2 y2  1 16 9

b)5x - 4y  16 = 0

Bµi 16. (C§ Giao th«ng vËn t¶i 1997)Cho hypebol (H) : x 2- y2 = 8. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip ®i qua A( 4; 6) vµ cã tiªu ®iÓm trïn g víi tiªu ®iÓm cña hypebol ®· cho . §S:

x2 y 2  1 64 48

Bµi 17.Cho elip (E) : 4x 2 + 16y2 = 64 a) X¸c ®Þnh c¸c tiªu ®iÓm F 1, F2 , t©m sai vµ vÏ elip b) Gäi M lµ ®iÓm bÊt k× trªn (E) . Chøng minh r»ng tû sè kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M tíi tiªu ®iÓm ph¶i F2 vµ tíi ®êng th¼ng x =

8 cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi. 3

HD: b)- LÊy bÊt k× M(x 0; y0) thuéc (E) - Sö dông c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tÝnh MF 2 - TÝnh d(M; ) víi : x = - LËp tû sè

8 3

MF2 d (M , )

§S: a) F 1( - 12 ; 0), F2( 12 ; 0)

Ba ®êng c«nic

MF2 3  d (M , ) 2

5 vµ tiÕp xóc 2

21 . 5

HD: - LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (H) :

x2 y2  1 a2 b2

- LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) - LËp ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (H) vµ (C). 5 vµ ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cã nghiÖm kÐp suy 2

-Tõ ®iÒu kiÖn e = ra a , b. §S:

x2  y2  1 4

5 vµ h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (E) cã chu vi b»ng 2 0. 3

 5 e HD : Tõ  suy ra a, b. 3 2(a  b)  20 

§S:

x2 y2  1 36 16

Bµi 20.Cho elip (E) :

x2 y2   1 (a>b>0) a2 b2

a) Chøng minh r»ng víi ®iÓm M bÊt kú thuéc (E) th× ta cã b  x  a b) Gi¶ sö ®êng th¼ng (d): y = kx c¾t elip (E) t¹i A. TÝnh OA theo a, b, k. c) Gäi A, b thuéc (E) sao cho OA OB. Chøng minh r»ng : kh«ng ®æi.

1 1 cã gi¸ trÞ  2 OA OB 2

HD: a) - §Æt to¹ ®é M( x 0; y0) 2

- Tõ ®iÒu kiÖn

x0 y  02  1 vµ a>b> 0 suy GTLN, GTNN cña OM 2 = x02+y02 2 a b

Ba ®êng c«nic

- Tõ A = (d) (E) suy ra to¹ ®é A - TÝnh OA c) ¸p dông phÇn b) §S: b) OA =

ab 1  k 2 b2  k 2a2

*** HÕt ***