BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn thi: TOÁN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm)
Đáp án
Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát… • Tập xác định: D = \. • Sự biến thiên:
0,25
- Chiều biến thiên: y ' = 8 x3 − 8 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.
Hàm số nghịch biến trên: ( −∞ ; − 1) và (0;1); đồng biến trên: ( −1;0) và (1; + ∞). - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = −2; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0. 0,25
- Giới hạn: lim y = lim y = +∞. x →−∞
x →+∞
- Bảng biến thiên:
x −∞ −1 0 1 y' − 0 + 0 − 0 +∞ 0 y
+
+∞ +∞
0,25
−2
−2
y
• Đồ thị:
16
0,25 −1 O −2
1
x
2
−2
2. (1,0 điểm) Tìm m... x 2 x 2 − 2 = m ⇔ 2 x 4 − 4 x 2 = 2m.
0,25
Phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 tại 6 điểm phân biệt. Đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2
0,25
y 16
và đường thẳng y = 2m.
0,25 2 −2
−1
y = 2m O 1
2
x
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thoả mãn khi và chỉ khi: 0 < 2m < 2 ⇔ 0 < m < 1. Trang 1/4
0,25
Câu II (2,0 điểm)
Đáp án
1. (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình đã cho tương đương: (1 − 2sin 2 x)sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 cos 4 x ⇔ sin x cos 2 x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x
π⎞ ⎛ ⇔ sin 3x + 3 cos3x = 2cos 4 x ⇔ cos ⎜ 3x − ⎟ = cos 4 x. 6⎠ ⎝ ⇔ 4 x = 3x −
Vậy: x = −
π
π 6
+ k 2π hoặc 4 x = −3x +
+ k 2π hoặc x =
π
+k
42 6 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…
π
⎧⎛ ⎪⎜ x + ⎪⎝ ⇔ ⎨ ⎪⎛ ⎪⎜ x + ⎩⎝
2π (k ∈]). 7
0,25
2 ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ − 20 = 0 y⎠ ⎝ y⎠ ⎪ ⇔ ⎨⎝ 2 ⎛ 1⎞ x 1⎞ ⎪x = 7−⎜x+ ⎟ ⎟ − = 13 ⎪ y⎠ y y⎠ ⎝ ⎩y
1⎞ x ⎟+ =7 y⎠ y
0,25
0,25
0,25
0,25
Tính tích phân…
u = 3 + ln x, dv = 3
1 1 dx . ; du = dx, v = − 2 ( x + 1) x x +1 3
3 + ln x dx I =− +∫ x + 1 1 1 x( x + 1) 3
=− = IV
0,25 0,25
1 1 ⎧ ⎧ ⎪ x + = −5 ⎪x + = 4 y y (I) hoặc ⎨ (II). ⇔ ⎨ ⎪ x = 12 y ⎪x = 3y ⎩ ⎩ ⎛ 1⎞ (I) vô nghiệm; (II) có nghiệm: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ và ( x; y ) = (3;1). ⎝ 3⎠ ⎛ 1⎞ Vậy: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ hoặc ( x; y ) = (3;1). ⎝ 3⎠
(1,0 điểm)
0,25
+ k 2π .
6
x 1 ⎧ ⎪x + y + y = 7 ⎪ Hệ đã cho tương đương: ⎨ (do y = 0 không thoả mãn hệ đã cho) ⎪ x 2 + x + 1 = 13 ⎪⎩ y y2
III
Điểm
0,25 0,25
3
3 + ln 3 3 1 dx + + ∫ dx − ∫ +1 x 4 2 1x 1
0,25
3 3 3 − ln 3 1⎛ 27 ⎞ + ln x 1 − ln x + 1 1 = ⎜ 3 + ln ⎟ . 16 ⎠ 4 4⎝
0,25
Tính thể tích khối chóp…
(1,0 điểm)
B'
A'
Gọi D là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ABC n ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 60D
C'
a 3a a 3 n và BG = ⇒ BD = . ⇒ B ' G = B ' B.sin B ' BG = 2 4 2 A B AB AB 3 AB G D . Tam giác ABC có: BC = , AC = ⇒ CD = 4 2 2 C 3 AB 2 AB 2 9a 2 3a 13 3a 13 9a 2 3 BC 2 + CD 2 = BD 2 ⇒ + = ⇒ AB = , AC = ; S ΔABC = . 13 26 104 4 16 16 Trang 2/4
0,50
0,25
Câu
V (1,0 điểm)
Đáp án
Điểm
1 9a 3 Thể tích khối tứ diện A ' ABC : VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.SΔABC = . 3 208 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức…
0,25
Kết hợp ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 với ( x + y )2 ≥ 4 xy suy ra: ( x + y )3 + ( x + y )2 ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1.
0,25
2 3 2 3 x + y 2 ) + ( x 4 + y 4 ) − 2( x 2 + y 2 ) +1 ( 2 2 2 2 2 3 3 9 ≥ ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 ⇒ A ≥ ( x 2 + y 2 ) − 2 ( x 2 + y 2 ) + 1. 2 4 4
0,25
1 9 ( x + y)2 1 ≥ ⇒ t ≥ ; do đó A ≥ t 2 − 2t + 1 . 2 4 2 2 9 9 1 ⎛1⎞ 9 Xét f (t ) = t 2 − 2t + 1; f '(t ) = t − 2 > 0 với mọi t ≥ ⇒ min f (t ) = f ⎜ ⎟ = . ⎡1 ⎞ 4 2 2 ⎝ 2 ⎠ 16 ⎢ ; +∞ ⎟
0,25
A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 =
Đặt t = x 2 + y 2 , ta có x 2 + y 2 ≥
⎣2
A≥ VI.a
⎠
9 1 9 ; đẳng thức xảy ra khi x = y = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A bằng . 16 2 16
0,25
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm K ...
(2,0 điểm)
Gọi K (a; b); K ∈ (C ) ⇔ (a − 2) 2 + b 2 =
4 (1); (C1 ) tiếp xúc Δ1 , Δ 2 ⇔ 5
a−b
=
a − 7b
(2).
0,25
⎧⎪5(a − 2) 2 + 5b 2 = 4 ⎧5(a − 2)2 + 5b 2 = 4 ⎧5(a − 2) 2 + 5b 2 = 4 (1) và (2), cho ta: ⎨ (I) hoặc ⎨ (II). ⇔ ⎨ ⎪⎩5 a − b = a − 7b ⎩5(a − b) = a − 7b ⎩5(a − b) = 7b − a
0,25
⎧25a 2 − 20a + 16 = 0 ⎧a = 2b ⎛8 4⎞ ⇔ (a; b) = ⎜ ; ⎟ . (I) ⇔ ⎨ vô nghiệm; (II) ⇔ ⎨ 2 ⎝5 5⎠ ⎩b = −2a ⎩25b − 40b + 16 = 0
0,25
Bán kính (C1 ) : R =
a −b 2
=
2
5 2
2 2 2 2 ⎛8 4⎞ . . Vậy: K ⎜ ; ⎟ và R = 5 5 ⎝5 5⎠
0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( P)... Mặt phẳng ( P ) thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: ( P ) qua A, B và song song với CD. G JJJG JJJG Vectơ pháp tuyến của ( P) : n = ⎡⎣ AB, CD ⎤⎦ . JJJG JJJG G AB = ( −3; −1; 2), CD = ( −2; 4;0) ⇒ n = (−8; −4; −14). Phương trình ( P ) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0.
Trường hợp 2: ( P ) qua A, B và cắt CD. Suy ra ( P ) cắt CD tại trung điểm I của CD. G JJJG JJG JJG I (1;1;1) ⇒ AI = (0; −1;0); vectơ pháp tuyến của ( P) : n = ⎡⎣ AB, AI ⎤⎦ = (2;0;3). Phương trình ( P ) : 2 x + 3z − 5 = 0. Vậy ( P) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0 hoặc ( P ) : 2 x + 3z − 5 = 0. VII.a
0,25
0,25 0,25
0,25
Tìm số phức z...
(1,0 điểm)
Gọi z = x + yi; z − (2 + i) = ( x − 2) + ( y − 1)i; z − (2 + i ) = 10 ⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 10 (1).
0,25
z.z = 25 ⇔ x 2 + y 2 = 25 (2).
0,25
Giải hệ (1) và (2) ta được: ( x; y ) = (3;4) hoặc ( x; y ) = (5;0). Vậy: z = 3 + 4i hoặc z = 5.
0,50
Trang 3/4
Câu VI.b
Đáp án
Điểm
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ các điểm B, C...
(2,0 điểm)
Gọi H là hình chiếu của A trên Δ, suy ra H là trung điểm BC. 2S 9 AH = d ( A, BC ) = ; BC = ΔABC = 4 2. AH 2
A Δ
B
H
C
AB = AC = AH 2 +
0,25
97 BC 2 . = 4 2
97 2 2 ⎧ ⎪( x + 1) + ( y − 4 ) = Toạ độ B và C là nghiệm của hệ: ⎨ 2 ⎪⎩ x − y − 4 = 0. ⎛ 11 3 ⎞ ⎛3 5⎞ Giải hệ ta được: ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ hoặc ( x; y ) = ⎜ ; − ⎟ . ⎝ 2 2⎠ ⎝2 2⎠
⎛ 11 3 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 11 3 ⎞ Vậy B ⎜ ; ⎟ , C ⎜ ; − ⎟ hoặc B ⎜ ; − ⎟ , C ⎜ ; ⎟ . ⎝ 2 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎝ 2 2⎠
0,25
0,25 0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… B
Q
VII.b
A
H
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm; Δ nằm trong mặt phẳng (Q ) qua A và song song với ( P). Phương trình (Q) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0.
0,25
K
K , H là hình chiếu của B trên Δ, (Q). Ta có BK ≥ BH nên AH là đường thẳng cần tìm.
0,25
⎧ x −1 y +1 z − 3 = = ⎪ ⎛ 1 11 7 ⎞ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ 1 −2 2 ⇒ H = ⎜ − ; ; ⎟. ⎝ 9 9 9⎠ ⎪⎩ x − 2 y + 2 z + 1 = 0
0,25
JJJG ⎛ 26 11 2 ⎞ x + 3 y z −1 = = . AH = ⎜ ; ; − ⎟ . Vậy, phương trình Δ : 26 11 −2 ⎝ 9 9 9⎠
0,25
Tìm các giá trị của tham số m...
(1,0 điểm)
⎧ x2 − 1 ⎧2 x 2 − mx − 1 = 0, ( x ≠ 0) (1) = −x + m ⎪ Toạ độ A, B thoả mãn: ⎨ x ⇔ ⎨ ⎩ y = − x + m. ⎪ y = −x + m ⎩ Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m. Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ta có: AB 2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 )2 = 2( x1 − x2 ) 2 . m2 Áp dụng định lí Viet đối với (1), ta được: AB 2 = 2 ⎡⎣ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 ⎤⎦ = + 4. 2
AB = 4 ⇔
m2 + 4 = 16 ⇔ m = ± 2 6. 2
-------------Hết-------------
Trang 4/4
0,25
0,25
0,25
0,25