FISICA 2

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Resultados de Aprendizaje Conoce, maneja y aplica los principios matemáticos que rigen los fundamentos teóricos de la Física.

Unidad

MEDIDA Laboratorio Unidades Si - Conversiones Notación Científica Análisis Dimensional ERRORES Cifras Significativas y Redondeo Medidas de Tendencia Central. Teoría de Errores. Propagación de Errores.

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GRAFOS Informe de Laboratorio Graficación y Linealización Procesamiento de Grafos. VECTORES Expresión y transformación Suma y Resta de Vectores Producto de Vectores Aplicaciones.

La Física La Física es la rama del conocimiento humano que estudia todos los fenómenos de la naturaleza y del universo, sus propiedades y las leyes que lo rigen, en función de cuatro pilares fundamentales como son: la materia, la energía, el tiempo y el espacio. Etimológicamente se deriva de la raíz griega “ φυσικός = physos” (naturaleza). Campo de estudio de la Física El insumo básico de su estudio de la física, es la misma naturaleza y el universo, por lo tanto su estudio es muy amplio, por lo que es necesario dividir el campo específico de estudio, el mismo que se divide y alimenta en función de los nuevos descubrimientos científicos y tecnológicos de la humanidad, así:

El Método de estudio de la Física Al ser los fenómenos de la naturaleza y del universo eventos repetitivos, es importante determinar cuáles son los parámetros o elementos que constituyen cada uno de ellos, por lo que la investigación es uno de los métodos que se usan habitualmente para determinarlos. Es importante, por lo tanto, en primer plano afinar la observación clara de un fenómeno, para determinar los parámetros que intervienen en el mismo, el uso del análisis dimensional verificará la participación de cada uno de ellos, el estudio de cómo se relacionan dichos parámetros se definen por medio del estudio estadístico, lo que nos permitirá inferir un modelo 2

matemático que nos ayude a reproducir el fenómeno estudiado, aplicado a ciertos instrumentos que facilitan nuestras tareas cotidianas Importancia del estudio de la Física Claramente se puede apreciar que la física es una rama de la ciencia que evidentemente necesita de la colaboración interdisciplinaria de la investigación, matemática, química, etc. Lo cual se debe a que los límites de la física no se están claramente definidos y delimitados. Por lo que su importancia radica en el amplio espectro de temas que estudia, lo que le permiten contribuir con los más grandes avances, para resolver múltiples problemas de la sociedad. El laboratorio Para el análisis de los fenómenos de la naturaleza, será necesario aislarlos de parámetros inicuos que desvíen nuestro estudio, además de reproducirlos en condiciones controladas, estas condiciones se logran llevando la naturaleza a un ambiente controlado como lo es el laboratorio, el mismo que está dotado de los instrumentos y herramientas necesarias para reproducir las condiciones de un fenómeno físico, el análisis de relación entre las diferentes magnitudes físicas que intervienen y su cuantificación numérica. El trabajo de laboratorio se fundamenta en el método experimental, que permite verificar una hipótesis teórica o suposición de ley planteada, la misma que, para ser considerada verdadera, deberá pasar la verificación experimentalde de las leyes ya conocidas, y además intuir resultados nuevos, a través de un método experimental inductivo que nos permite analizar casos particulares y definir un modelo matemático o ley de tipo general, base fundamental de los avances científicos, mientras que los grandes avances tecnológicos se han obtenido gracias al método experimental deductivo que parte de las leyes generales conocidas y como actividad netamente práctica, permite el desarrollo de nuevas invenciones como aplicaciones de dichas leyes universales. Prácticas de laboratorio de Física Las prácticas de laboratorio en el ámbito escolarizado, deberá entenderse como una estrategia didáctica en la construcción del conocimiento, que permite al estudiante adquirir habilidades básicas que se manejan en el método de investigación científica, además de ampliar, profundizar, consolidar y comprobar los fundamentos teóricos de la física a través de la experimentación, mediante el trabajo grupal e individual. Tipos de prácticas de laboratorio Dependiendo del nivel de profundidad, el nivel de escolaridad, el docente podrá aplicar los siguientes tipos de prácticas. 3

Indiferentemente de cual sea el tipo de práctica de laboratorio con la que se trabaje, se debe entender que la Física es una ciencia que necesita parametrizar todos las magnitudes que intervienen en un fenómeno, por lo que es de vital importancia poder medirlos, para lo cual será necesario definir algunos conceptos básicos. Magnitud En física una magnitud es todo aquello que es susceptible de medirse y cuantificarse numéricamente.

La belleza es una magnitud no física

Medir Comparar una magnitud con otra magnitud de la misma especie, que ha sido tomada como patrón de medida, y se cuantifica numéricamente, tantas veces se repita dicho patrón. Sistema Internacional Es un sistema de medidas normalizado de uso mundial, en el cual se ha especificado cuales son los patrones de medida de cada magnitud física, se deriva del sistema métrico decimal MKS (metro, kilogramo, segundo), por lo que también se lo conoce como sistema métrico. Tipos de Magnitudes Las Magnitudes Físicas se pueden clasificar en fundamentales, derivadas y suplementarias. Magnitudes Fundamentales Son aquellas magnitudes físicas que se definen por si solas y no necesitan de otras. 4

Magnitudes Fundamentales

Unidad

SĂ­mbolo

DimensiĂłn

metro

m

L

kilogramo

Kg

M

segundo

S

T

kelvin

K

�

Cantidad de sustancia

mol

mol

N

Intensidad de corriente elĂŠctrica

amperio

A

I

Intensidad luminosa

candela

cd

J

Longitud Masa Tiempo Temperatura termodinĂĄmica

* Tomado: https://es.wikipedia.org/

Magnitudes Derivadas Son aquellas magnitudes fĂ­sicas que se definen en funciĂłn de las fundamentales y son el resultado de alguna operaciĂłn matemĂĄtica previa. Unidad

SĂ­mbolo

Velocidad

Magnitud

metro/segundo

m/s

AceleraciĂłn

metro/segundo 2

m/s 2

Newton

N

Julio

J

Densidad

kilogramo/metro 3

kg/m 3

Potencia

Vatio o watt

W

Culombio

C

Voltio

V

Capacidad elĂŠctrica

Faradio

F

Resistencia elĂŠctrica

Ohmio

â„Ś

Flujo magnĂŠtico

Weber

Wb

Densidad de flujo

Tesla

T

Henrio

H

Newton-metro

N.m

Fuerza EnergĂ­a, Trabajo

Carga elĂŠctrica Voltaje

Inductancia Torque

* Tomado: https://es.wikipedia.org/

Magnitudes Suplementarias Son aquellas magnitudes fundamentales ni derivadas. Magnitudes Suplementarias Angulo Plano Angulo SĂłlido 5

fĂ­sicas

que

no

se

clasifican

como

Unidad

SĂ­mbolo

DimensiĂłn

radiĂĄn estereoradiĂĄn

rad Sr

đ?›ź đ?œ”

Prefijos y Subfijos SI Los prefijos y subfijos del Sistema Internacional permiten nombrar los múltiplos y submúltiplos decimales de cualquier unidad SI fundamentales y/o derivadas, los símbolos de cada uno de los prefijos o subfijos se anteponen a los símbolos de cada unidad. Los prefijos y subfijos del Sistema Internacional los determina oficialmente la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de acuerdo con el siguiente cuadro:

El uso de prefijos se puede apreciar en la evolución del espacio de almacenamiento de los diferentes periféricos en informática, empezando por los diskettes en kilobytes, cd en megabytes, dvd, memorias, etc en gigabytes, discos duros en terabytes.

Tomado: https://es.wikipedia.org/

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En algunos países se usan otros sistemas de medidas, a pesar de la existencia del SI y de su uso mundial, razón por la cual es necesario conocer cuáles son estas unidades y sus equivalencias con respecto al SI, así:

OTROS SISTEMAS DE MEDIDA MKS metro, kilogramo, segundo CGS centímetro, gramo, segundo FPS Pie, libra, segundo Foot, pound, second

El jugador más alto de la NBA mide 7ft con 7in, es decir 7 pi es con 7 pulgadas, como su estatura esta en el sistema inglés, no tenemos idea de que tan grande es, sin embargo si realizamos la conversión al SI, conocemos que su estatura es de 2,31m.

Tomado: https://www.conae.gob.mx

Conversión de Unidades de Medida.

A qué velocidad (88mph) debe correr en su auto, Marty McFly, para poder viajar en el tiempo.

Para realizar la conversión entre una y otra unidad de medida, será necesario verificar que son de la misma magnitud, seguidamente se aplica el concepto aritmético de la regla de tres simple directa que permite resolver problemas de proporcionalidad directa y que consiste en hallar el valor de un cuarto término conocido los otr os 3 términos que son directamente proporcionales entre sí, mediante el uso de la siguiente relación: 7

Ejemplo: Convertir 200 pies a metros. 1 đ?‘?đ?‘–đ?‘’ 200 đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘

→ 0,3048� → �

⇒ �=

200 đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘ ∗0,3048 đ?‘š 1 đ?‘?đ?‘–đ?‘’

⇒ x = 60,96 m

ConversiĂłn de Unidades Combinadas ALGUNAS UNIDADES DE MEDIDA DE LA ANTIGUEDAD Las primeras unidades de medida empleadas en la antigĂźedad, fueron en funciĂłn de las partes del cuerpo humano en especial de los reyes. Codo: La distancia entre el codo y el final de la mano abierta. Palmo: La distancia entre el extremo del dedo pulgar y el extremo del meĂąique con la mano extendida Braza: Resulta de extender ambos brazos. Cable: equivale a 120 brazas. Paso: es la medida resultante entre un pie y otro al dar un paso. Milla: equivale a unos 1000 pasos y deriva de la expresiĂłn mille passuum.

Cuando se trata de unidades combinadas o de algunas unidades de magnitudes derivadas, se deberĂĄ poner cada una de las equivalencias como numerador y denominador de tal forma que permitan la anulaciĂłn entre ellas. Ejemplo: Convertir 250 pulg/h a m/s. |250

đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘” â„Ž

0,0254 đ?‘š

||

1 đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘”

||

1â„Ž

60 đ?‘šđ?‘–đ?‘›

1 đ?‘šđ?‘–đ?‘›

||

60 đ?‘

|=

250∗0,0254∗1∗1 1∗60∗60

đ?‘šâ „ ⇒ 0,001764 đ?‘šâ „ đ?‘ đ?‘

Reglas para el uso del sistema internacional de unidades de medida. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Luego de los sĂ­mbolos, prefijos, subfijos no se debe escribir el punto. El sĂ­mbolo de todas las Unidades son las mismas para el singular y plural. La multiplicaciĂłn entre dos unidades se notarĂĄ con un punto. El cociente entre dos unidades se notarĂĄ como una fracciĂłn con lĂ­nea inclinada u horizontal, o como potencias negativas. Si en el denominador de una fracciĂłn aparecen 2 o mĂĄs unidades, ĂŠstas deberĂĄn ser agrupadas con un parĂŠntesis. En los nombres de las unidades que se utilice la palabra por, se deberĂĄ entender la existencia de un cociente. Si existen unidades que se multiplican entre sĂ­, se deben escribir sus nombres separados por un punto. Para formar mĂşltiplos y submĂşltiplos de las unidades solo se escribirĂĄn a la izquierda de cada unidad los prefijos y subfijos sin ningĂşn sĂ­mbolo adicional. Solo se puede agregar un prefijo o un subfijo a la vez junto a una unidad.

NotaciĂłn CientĂ­fica Es una forma de escribir los nĂşmeros cuyas magnitudes son exageradamente grandes o pequeĂąas y se denomina notaciĂłn exponencial o patrĂłn, y consiste en expresar una cantidad como el resultado de la multiplicaciĂłn de un nĂşmero que se llama mantisa (mayor o igual a 1 pero menor que 10), por una potencia 8

de base diez con exponentes enteros positivos o negativos. Los exponentes positivos denotarĂĄn cantidades muy grandes, y los exponentes negativos denotarĂĄn cantidades muy pequeĂąas. Para poner el exponente positivo correspondiente a un nĂşmero de magnitud exageradamente grande, se deben contar los espacios que se recorren hacia la izquierda, desde la unidad hasta un espacio antes de la Ăşltima cifra Ejemplo: 3 500 = 3,5 x 103 = 3,5E3 Para poner el exponente negativo correspondiente a un nĂşmero de magnitud exageradamente pequeĂąa, se deben contar los espacios que se recorren hacia la derecha, desde la unidad hasta la Ăşltima cifra incluida que permita cumplir con la regla de la mantisa. Ejemplo: 0,00035 = 3,5 x 10-4 = 3,5E-4 Operaciones con NotaciĂłn CientĂ­fica Suma y Resta de nĂşmeros expresados en notaciĂłn cientĂ­fica 1. Para poder sumar o restar dos o mĂĄs expresiones, deberĂĄn tener el mismo exponente, de no ser asĂ­ se procederĂĄ a transformar a todos a un exponente comĂşn. 2. Se sumarĂĄn o restarĂĄn las mantisas. 3. Se verificarĂĄ que el resultado de la suma o resta cumpla con las caracterĂ­sticas de la mantisa. Si es un nĂşmero mayor que 10 se recorrerĂĄ la coma y se agregarĂĄ el nĂşmero de espacios correspondientes al exponente comĂşn. Si es un nĂşmero menor que 1, se recorrerĂĄ la coma y se restarĂĄ el nĂşmero espacios correspondientes al exponente comĂşn. MultiplicaciĂłn de nĂşmeros expresados en notaciĂłn cientĂ­fica. 1. Multiplicar sus mantisas. 2. Sumar los exponentes de cada uno de los nĂşmeros. 3. Verificar que la mantisa cumpla con sus propiedades, caso contrario corregir. DivisiĂłn de nĂşmeros expresados en notaciĂłn cientĂ­fica. 1. Dividir sus mantisas. 2. Restar los exponentes de cada uno de los nĂşmeros. (Denominador negativo). 3. Verificar que la mantisa cumpla con sus propiedades, caso contrario corregir. Ejemplo: (7đ?‘Ľ1027 ) ∗ (7đ?‘Ľ109 ) = (7đ?‘Ľ7) ∗ 1027+9 = 49đ?‘Ľ1036 = 4,9đ?‘Ľ1037 (4đ?‘Ľ1010 ) 4 1010 ( ) = đ?‘Ľ ( ) (5đ?‘Ľ1012 ) 5 1012 9

(4đ?‘Ľ1010 ) = 0,8đ?‘Ľ1010−12 (5đ?‘Ľ1012 )

(4đ?‘Ľ1010 ) = 0,8đ?‘Ľ10−2 (5đ?‘Ľ1012 )

(4đ?‘Ľ1010 ) = 8đ?‘Ľ10−3 (5đ?‘Ľ1012 )

Cifras Significativas Es aquella cifra que aporta informaciĂłn no ambigua de un proceso de mediciĂłn experimental y nos permiten representar las escalas de incertidumbre de una medida, la misma que dependerĂĄ de:

Leyes de los Exponentes

a. b. c. d.

Las caracterĂ­sticas del instrumento de medida usado. La magnitud a ser medida. Errores del observador. Condiciones ambientales externas.

Siendo la incertidumbre el intervalo existente entre el valor medido y el valor real, cuyo parĂĄmetro se define como una dispersiĂłn y dependerĂĄn de la apreciaciĂłn del instrumento, por lo tanto, las cifras significativas aparecen como resultado de la medida y las cifras no significativas aparecen fruto de cĂĄlculos matemĂĄticos. Reglas de las Cifras Significativas 1. 2. 3. 4.

Todo dĂ­gito diferente de cero cuanta como cifra significativa. Los ceros situados entre nĂşmeros diferentes de cero son significativos. Los ceros a la izquierda no son significativos. Para todo nĂşmero mayor o igual a 1, los ceros ubicados a la derecha de la coma si son significativos. 5. Para nĂşmeros sin punto decimal todos los ceros a la derecha pueden ser tomados o no en cuenta como significativos y se puede corregir mediante el uso de notaciĂłn cientĂ­fica. Ejemplo: Valores 32,75 0,765 0,00000231 3,0876 200 = 2x10 2 = 2,0x10 2 =2,00x10 2 27,90

Reglas para Suma y Resta de Cifras Significativas El resultado se expresa con el menor nĂşmero de cifras decimales y luego se redondea.

Cifras Significativas 4 C.S. 3 C.S. 3 C.S. 5 C.S. 1,2,3 C.S. (ambiguo) 4 C.S.

Reglas Para Operar Cifras Significativas Suma y Resta Para la suma o resta de nĂşmeros expresados en cifras significat ivas, su resultado no debe exceder el nĂşmero de decimales de la cifra con menor espacios decimales o menos exacta. Ejemplo: a. 4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,64 ≈ 11,6 b. 34,6 + 17,8 + 15,7 = 68,1 c. 34,6 + 17,8 + 15,7 = 67 10

MultiplicaciĂłn y DivisiĂłn

Reglas para MultiplicaciĂłn y DivisiĂłn de Cifras Significativas El resultado se expresa con el menor nĂşmero de cifras significativas y luego se redondea.

Para la multiplicaciĂłn y divisiĂłn de nĂşmeros expresados en cifras significativas, su resultado debe tener el mismo nĂşmero de cifras significativas que el nĂşmero con menos cifras significativas o menos exacto. Ejemplo: 45 đ?‘ đ?‘Ľ = (3,22 đ?‘š)(2,005 đ?‘š) = 6,97015 đ?‘ â „đ?‘š2 ⇒ 7,0 đ?‘ â „đ?‘š2 đ?‘Ś=

24∗4,52 100,0

= 1,0848

⇒ 1,1

Anålisis Dimensional El anålisis dimensional es un mÊtodo que nos permite verificar la idoneidad de un modelo matemåtico o ecuación, que representa la relación entre varias magnitudes que intervienen en determinado fenómeno físico, y que para su estudio es necesario cuantificarlo. El anålisis dimensional tiene entre otras aplicaciones: a. Creación y estudio de modelos matemåticos o normalización de ecuaciones. b. Demostrar la homogeneidad dimensional de una ecuación. c. Detección de errores de cålculo al proceder con el despeje de incógnitas en una ecuación. Para expresar la dimensión de cualquier magnitud colocaremos la magnitud entre corchetes, así: • La dimensión del desplazamiento (s) se escribe así: • La dimensión de la velocidad (v) se escribre así: Ecuaciones dimensionales båsicas

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[s]=L [v]=LT-1

Reglas para realizar operaciones de análisis dimensional 1. Expresión de una magnitud derivada La dimensión de toda magnitud derivada, puede ser expresada en función de las dimensiones de las magnitudes fundamentales que la componen. Ejemplo: 1. Determinar la ecuación dimensional de la Fuerza, conociendo que su ecuación de cálculo es F=m*a. Datos: [F]=[m]*[a] Desarrollo: F=m*a v=s/t [F]=MLT-2 [v]=[s]/[t] a=v/t [v]=L/T v=s/t [v]=LT-1 [m]=M [s]=L a=v/t [t]=T [a]=[v]/[t] [a]= LT-1/T Incógnita: [a]= LT-1T-1 [F]=? -2 [a]= LT

2. Homogeneidad dimensional. Si una ecuación física es dimensionalmente homogénea, entonces todos los términos (izquierdo y derecho) de la ecuación son dimensionalmente iguales. [A+B]=[P*a2] En esta ecuación el lado izquierdo es igual al derecho dimensionalmente hablando. Por lo tanto la dimensión de la suma de las dimensiones de las magnitudes A+B que se encuentra a la izquierda de la ecuación, es igual a la dimensión de las Magnitudes P*a2 que se encuentra a la derecha. 3. Axioma clausurativo de la suma y resta. Solo se pueden sumar o restar magnitudes de la misma especie y su resultado es otra magnitud de la misma especie. 12

Si sumamos o restamos longitudes su resultado siempre serĂĄ otra longitud, asĂ­: L+L =L dimensionalmente hablando y no L+L=2L L-L=L dimensionalmente hablando y no L-L=0 4. Propiedades de los nĂşmeros. Todo nĂşmero es adimensional o su dimensiĂłn es igual a 1. [1]=1

[125]=1

[-1]=1

[0]=1

5. Propiedad de las constantes matemĂĄticas. Toda constante matemĂĄtica (Ď€,e), se considera un nĂşmero, por lo tanto es adimensional o su dimensiĂłn es 1. [Ď€]=1

1

[e]=1

[ ]=1 2đ?œ‹

6. Propiedades de los ĂĄngulos. Los ĂĄngulos se consideran nĂşmeros, al igual que las funciones trigonomĂŠtricas de dichos ĂĄngulos, por lo tanto son adimensionales o su dimensiĂłn es igual a 1 [âˆ? Ě‚] = 1

[đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› âˆ?] = 1

7. Propiedad de los exponentes. Los exponentes son nĂşmeros, por lo tanto son adimensionales o su dimensiĂłn es igual a 1 đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ

[đ?‘Ľ ] = 1

Ejemplos: 1. Un gas ideal cumple con la siguiente ecuaciĂłn PV = RTn, si se conoce que P: PresiĂłn, T: Temperatura, V=Volumen, n = Cantidad de substancia, Hallar la dimensiĂłn de R. Datos: P: PresiĂłn T: Temperatura V: Volumen N: Cantidad de sustancia IncĂłgnita: [R]=?

Desarrollo: [P]= L-1MT-2 [V]=L3 [T]= ∅ [N]=N

PV = RTn [đ?‘ƒ][đ?‘‰ ] ≅ [đ?‘…][đ?‘‡][đ?‘›] (L-1MT-2)(L3) ≅ [R](∅)(N) đ??żâˆ’1 đ?‘€đ?‘‡ −2 đ??ż3 ≅ [đ?‘… ] ∅đ?‘ [đ?‘…] ≅ đ??ż2 đ?‘€đ?‘‡ −2 ∅−1 đ?‘ −1

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2. Se tiene que f=frecuencia [f]=T-1, a=aceleración [a]=LT-2, encontrar la dimensión de [z], da la siguiente ecuación � = �=

[�] = [ [�] = [�] =

đ?‘“đ?‘?đ?‘œđ?‘ âˆ? 2

đ?‘Ľ 2 (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž) đ?‘“đ?‘?đ?‘œđ?‘ âˆ? đ?‘Ľ 2 (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)

đ?‘Ľ 2 (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)

[� ] = ]

đ?‘‡ −1 (1) −2 )

đ?‘‡ −1

[đ?‘§] = (đ??żđ?‘‡ −2 )2 (đ??żđ?‘‡ −2 )đ?‘‡

đ?‘“đ?‘?đ?‘œđ?‘ âˆ? [đ?‘Ľ 2 ][đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž]

[đ?‘“][đ?‘?đ?‘œđ?‘ âˆ?] [đ?‘Ľ]2 ([đ?‘Ľ]−đ??żđ?‘‡ −2 )

(đ??żđ?‘‡ −2 ) (đ??żđ?‘‡ −2 −đ??żđ?‘‡ −2 )

[đ?‘§] = (đ??ż2 đ?‘‡ −4 )(đ??żđ?‘‡ −2 )đ?‘‡ [đ?‘§] = đ??ż2+1 đ?‘‡ −4−2+1

[cosÎą]=1

([đ?‘Ľ ] − đ??żđ?‘‡ es dimensionalmente homogĂŠnea por lo tanto: [đ?‘Ľ ] = [đ?‘Ž] = đ??żđ?‘‡ −2

[đ?‘§] = đ??ż3 đ?‘‡ −5

3. Si la ecuaciĂłn es dimensionalmente correcta: đ?‘ƒ = đ?‘‘ đ?‘Ľ ∗ đ?‘‰ đ?‘Ś ∗ đ?‘Ą đ?‘§ , hallar x+ y+ z , sabiendo que: d: densidad, P: potencia, V: velocidad, t: tiempo. Se tiene que: [d]=ML-3

[P]=ML2T-3

đ?‘ƒ = đ?‘‘đ?‘Ľ ∗ đ?‘‰đ?‘Ś ∗ đ?‘Ąđ?‘§ [đ?‘ƒ] = [đ?‘‘ đ?‘Ľ ∗ đ?‘‰ đ?‘Ś ∗ đ?‘Ą đ?‘§ ] [đ?‘ƒ] = [đ?‘‘ đ?‘Ľ ] ∗ [đ?‘‰ đ?‘Ś ] ∗ [đ?‘Ą đ?‘§ ] ML2T-3=(ML-3)x *(LT-1)y *Tz ML2T-3=Mx L-3x * LyT-y * Tz ML2T-3=Mx L-3x+yT-y+z M: x=1; L: -3x+y=2; T: -y+z=-3

[V]=LT-1

x=1 -3x+y =2 y=2+3x y=2+3(1) y=5 -y+z=-3 z=-3+y z=-3+5 z=2 x+y+z=1+5+2 x+y+z= 8

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Estadística Al ser el hecho de medir un proceso repetitivo que no necesariamente es exacto y que por lo tanto permite la recolección de abundantes datos, es necesario entonces una disciplina que nos permita ordenar, agrupar, entender, interpretar y sacar algunas conclusiones de cómo se presentan dichos datos, este es justamente el aporte que brinda la estadística como herramienta matemática que nos ayuda a interpretar la relación entre los datos medidos y las diferentes magnitudes de las cuales provienen. Al tratar de cuantificar numéricamente las características de un objeto o fenómeno nos topamos con la necesidad de medir, pero al saberse que este proceso no es exacto y contiene errores, los mismo que dependen de: las características del instrumento de medida, el método de medida usado, los errores humanos, condiciones ambientales, etc. Por lo tanto será necesario tomar varias medidas o lecturas, el número de medidas que se puedan tomar se conoce con el nombre de frecuencia, es obvio además que cada una de estas lecturas no será la correcta ni tampoco la incorrecta, entonces enfrentaremos este grupo de datos a los procesos estadísticos elementales a través de las medidas de tendencia central, que nos ayudará a establecer una medida que se aproxime a la realidad y determine el comportamiento del cometimiento de errores al tratar de cuantificar las características de un objeto o fenómeno. Medidas de Tendencia Central Son medidas estadísticas que resumen el valor más aproximado al real o más probable o representativo de un grupo de datos. Entre otros tenemos: promedio o media aritmética, mediana y moda, las cuales aparecen y se presentan en una gráfica de distribución normal de frecuencias que toma la forma de una campana llamada campana de Gauss, dependiendo si la distribución es simétrica o no.

Moda(Mo) Es el valor que se repite con mayor frecuencia en un grupo de datos. Su símbolo es MO. Si sólo se tiene una moda se dice que es una muestra modal, así: 4,3,2,7,7,7,9,5,9,9,1,9, podemos afirmar que la moda es Mo = 9. Si en la muestra existen 2 elementos que tienen la misma frecuencia y además es el mayor, entonces es una muestra bimodal, así: 9,3,4,6,7,8,6,9,0,7,6,9,1,6,9, podemos afirmar que la moda es Mo = 6 Mo = 9. Si en la muestra existen varios elementos que tienen la misma frecuencia y además es el mayor, entonces es una muestra multimodal. Si en la muestra todos los elementos tienen la misma frecuencia, entonces es una muestra amodal, así: 2,3,7,9,8,5,0, podemos afirmar que la muestra es amodal. 15

Mediana (Me) Es el valor que se encuentra ubicado en el centro de datos ordenados de forma creciente o decreciente, siendo su frecuencia un número impar, su símbolo es Me, así: 2,3,7,9,8,5,8 Datos Obtenidos 2,3,5,7,8,8,9 Datos Ordenados Me = 7 Si la frecuencia es un número par, se toma los dos números del centro, se los suma y se divide para 2, así: 1,2,2,3,3,3,4,6 Se aprecia que los números que se encuentran en el centro son 3,3 3+3 �� = 2 �� = 3 ̅ Media aritmÊtica � TambiÊn conocida como Media AritmÊtica, o Promedio, aunque existen otras (Media GeomÊtrica, Ponderada, Armónica, Cuadråtica, Generalizada, etc.) Su símbolo es �̅ y se calcula al sumar todas las lecturas y dividirlas para la frecuencia. �̅ =

đ?‘Ľ1 +đ?‘Ľ2 +â‹Ż+đ?‘Ľđ?‘› đ?‘›

đ?‘ĽĚ… =

∑đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘›

Calcular la Media AritmĂŠtica o Promedio de 1,2,2,3,3,3,4,6, n = 8 đ?‘Ľ +đ?‘Ľ2 +â‹Ż+đ?‘Ľđ?‘›

đ?‘ĽĚ… = 1 đ?‘ĽĚ… = 3

đ?‘›

đ?‘ĽĚ… =

1+2+2+3+3+3+4+6 8

Media GeomĂŠtrica đ?‘Žđ?’Ž

Es la raĂ­z enĂŠsima del producto de todas las lecturas, medidas o nĂşmeros cuya progresiĂłn es geomĂŠtrica. Se cuantifica mediante el multiplicatorio de cada uno de los nĂşmeros de la muestra, asĂ­: đ?‘›

đ?‘›

đ??şđ?‘š = √âˆ? đ?‘Ľđ?‘–

= đ?‘›âˆšđ?‘Ľ1 ∗ đ?‘Ľ2 ∗ ‌ ∗ đ?‘Ľđ?‘›

đ?‘–=1

Media ArmĂłnica H Es el recĂ­proco o inverso de la media aritmĂŠtica de los recĂ­procos de cada unas de las lecturas, medidas o nĂşmeros de la muestra, se simboliza con H y se calcula asĂ­: đ?‘› đ?‘› đ??ť= = 1 1 1 ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľ1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› 16

Teoría de Errores Damos por hecho que el proceso de medición es un evento que está expuesto al cometimiento de errores, que dependen entre otras cosas: Las características del instrumento de medida usado, la magnitud a ser medida, errores del observador, condiciones ambientales externas. En conjunto todos estos parámetros eleverían aun más la incertidumbre de una lectura, por lo tanto es importante disminuir el efecto de cada una de ellas, comprendiendo de que se trata y como influye, así: Características del instrumento Precisión: Es la característica de un instrumento de repetir el mismo resultado en las lecturas obtenidas al medir un objeto o fenómeno en las mismas condiciones. Exactitud: Es la característica de un instrumento para obtener una lectura al medir un objeto o fenómeno en las mismas condiciones, cuyo valor es cercano al valor de la magnitud real. Apreciación: Es la lectura más pequeña perceptible que se puede medir en un instrumento de medida. Sensibilidad: Es la relación de desplazamiento mínima entre el indicador de la medida y la medida real. Errores del observador Presión de contacto Se

dá

cuando

el

Paralelismo observador Cuando el observador obtiene una

presiona por más de los límites lectura y lee el instrumento desde admitidos

un

instrumento, un punto de vista que no sea

provocando deformación en el perpendicular. objeto o en el mismo instrumento.

Características de las magnitudes Ciertos instrumentos de medida favorecen las toma de lecturas de algunas características de un objeto, sin embargo no necesariamente son los mas adecuados a la hora de medir, por lo que es necesario saber escogerlos, en función de sus reales capacidades. 17

Condiciones ambientales Es sabido que la variación de la temperatura provoca varios fenómenos en los objetos o fenómenos, estos deberían ser controlados tratando de mantener condiciones que no permitan dichos cambios como por ejemplo la dilatación de los cuerpos, que puede modificar sustancialmente las dimensiones de longitud de un cuerpo. Limitaciones del Instrumento Hay varios elementos del mismo instrumento que deben cuidarse y darles el mantenimiento pertinente para que puedan cumplir a cabalidad con su cometido, como lo son un adecuada lubricación, enceramiento correcto, calibración real, etc. Algunos instrumentos de medida del laboratorio Calibrador También llamado pie de rey o vernier, es un instrumento que sirve para medir longitudes, es muy usado en el laboratorio por su apreciación de décimas y hasta centésimas de mm, lo cual a simple vista y con un instrumento sencillo como una regla no podemos medir. Partes del calibrador

Partes del Calibrador

1. Mordazas para medidas 5. Escala secundaria graduada en externas. pulgadas. 2. Orejas para medidas internas 6. Vernier para lectura de fracciones de mm. 3. Aguja para medidas de 7. Vernier para lectura de profundidad. fracciones de pulg. 4. Escala principal graduada en 8. Botón de deslizamiento y freno cm y mm. Usos del calibrador Básicamente se pueden obtener cuatro tipos de lecturas:

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Cálculo de la apreciación. Aunque la apreciación de un calibrador viene marcada en el instrumento, es muy importante que se calcule y se verifique la apreciación, la misma que se define como la relación entre la escala fija y la escala móvil o vernier y es la mínima medida que se puede leer en un instrumento, así: 𝑈𝐸𝐹 𝐴𝑝 = 𝑁𝐷𝑉 Donde: Ap: Apreciación, UEF=Unidad mínima de la escala fija, NDV=Número de divisiones del Vernier

Toma de una lectura con calibrador Normalmente los calibradores poseen dos escalas graduadas la principal en mm y que será la que usaremos y la secundaria en pulgadas, para obtener una lectura correcta procederemos de la siguiente forma: 1. Verificar que el equipo este correctamente encerado, observando que las líneas iniciales del cero tanto en la escala fija como la móvil coincidan exactamente, cuando el instrumento está completamente cerrado. 2. Ubicar correctamente el objeto a medir y ajustarlo sin provocar deformación ni en el objeto ni en el instrumento. 3. La lectura en la escala fija se toma antes del cero del vernier y valor corresponde a su medida en milímetros. 4. Se debe ubicar en la escala móvil la línea que coincida exactamente con la fija y se deben contarlas y multiplicarlas por la apreciación. 5. Se suman los dos valores y esa es la lectura buscada.

Ejemplos:

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Algunos errores que se cometen con el calibrador Si se quiere tener una lectura con una incertidumbre muy baja, es decir una que se acerque a la mĂĄs real, se deben evitar los siguientes errores que son muy comunes a la hora de usar el calibrador.

Tornillo MicromĂŠtrico Es otro de los instrumentos de precisiĂłn mĂĄs usado en el laboratorio, tambiĂŠn se lo conoce con el nombre de Tornillo de Palmer, y su funcionamiento de basa en un tornillo graduado micromĂŠtricamente y que tiene un avance axial mediante giro con respecto a la escala principal, es un instrumento muy exacto ya que su apreciaciĂłn es del orden de las cĂŠntesimas y hasta milĂŠsimas de mm. Partes del Palmer

CĂĄlculo de la apreciaciĂłn Su cĂĄlculo es idĂŠntico al del Vernier, aunque la apreciaciĂłn de un palmer viene marcada en el instrumento, que se define como la relaciĂłn entre la escala fija y la escala mĂłvil o escala nonios del tambor y es la mĂ­nima medida que se puede leer en un instrumento, asĂ­: đ??´đ?‘? = 20

đ?‘ˆđ??¸đ??š đ?‘ đ??ˇđ?‘‰

Donde: Ap: Apreciación, UEF=Unidad mínima de la escala fija, NDV=Número de divisiones del Nonios

Toma de una lectura con el Palmer Su proceso es similar al calibrador, así: 1. Verificar que el palmer este correctamente encerado. 2. Ubicar correctamente el cuerpo de prueba a medir. 3. Ajustar correctamente el objeto por medio de la perilla de trinquete. 4. La medida de la escala fija se toma antes del filo del tambor, se debe tomar en cuenta las divisiones superiores en inferi ores. 5. Se debe contar el número de divisiones del tambor tomando como referencia la línea de ubicación de las medidas enteras e intermedias de la escala fija, ese valor se debe multiplicar por la apreciación del instrumento. 6. Se suman los tres valores y esa es la lectura de la medida tomada al cuerpo de prueba. Ejemplos:

Algunos errores que se cometen con el Palmer Si se quiere reducir drásticamente la tasa de errores cometidos con el palmer tome en cuenta las siguientes recomendaciones gráficas:

21

Otros instrumentos de medida La balanza Es un instrumento que permite medir la masa de un cuerpo de prueba, existen de diferente tipo: Balanza de dos platos o brazos, balanza de Roberval, balanza digital, etc. Su principio de funcionamiento se fundamenta en una palanca de 1er género cuyos brazos son de igual medida, en donde se procede a comparar la masa del cuerpo de prueba con masas prototipos tomadas como patrón.

Cronómetro Permiten medir la duración de los fenómenos físicos, su exactitud está dentro del rango de las centésimas e inclusive milésimas de segundo. Existen de varios tipos: Digitales, analógicos, activados con sensores infrarojo, etc. Su funcionamiento se basa en la activación y desactivación del tiempo presionando botones para el efecto.

Varios instrumentos

22

Errores A pesar de haber seguido todas las recomendaciones a la hora de medir es muy probable que se hayan cometido errores, en vista de que es imposible obtener la medida real de un objeto o un fenĂłmeno, por lo tanto serĂĄ necesario cuantificar dichos errores para poder determinar que tan aceptables son los resultados obtenidos, para lo cual nos ayudaremos de algunos parĂĄmetros como: Valor medio probable Es el valor de una medida que mĂĄs se aproxima al valor real y se lo obtiene al calcular la media aritmĂŠtica de todas las lecturas obtenidas directamente. ∑đ?‘› đ?‘Ľ1 +đ?‘Ľ2+â‹Ż+đ?‘Ľđ?‘› đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘ĽĚ… = đ?‘ĽĚ… = đ?‘› đ?‘› Error absoluto TambiĂŠn se lo conoce como error aparente y se define como el valor absoluto de la diferencia que existe entre cada una de las lecturas y el valor medio aparente. Ě…| đ?’† đ?’Š = |đ?’™ đ?’Š − đ?’™ Error medio probable O tambiĂŠn error medio absoluto o desviaciĂłn media, y se obtiene mediante la media aritmĂŠtica de todos los errores absolutos de cada una de las lecturas obtenidas en la medida. đ?’†Ě…đ?’Š =

đ?’† đ?&#x;? + đ?’†đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’†đ?’? đ?’?

�̅� =

∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’†đ?’Š đ?’?

Error Relativo Es la relaciĂłn que existe entre el error absoluto y el valor medio probable. đ?’† đ?œşđ?’“ = Ě… đ?’™ Error Relativo Porcentual Al multiplicar el error relativo por 100 se obtiene una relaciĂłn porcentual que es mĂĄs entendible. đ?œşđ?’“ % = đ?œşđ?’“ ∗ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž% 23

Si el error porcentual no excede al 1% serĂĄ considerada como una lectura cientĂ­fica aceptable. Resultado de una mediciĂłn Para expresar el resultado de una lectura serĂĄ necesario tomar en cuenta la incertidumbre o error, que es una medida estimada en funciĂłn del error, tomando en cuenta el error porcentual y/o el error medio probable. đ?’™ = (Ě… đ?’™ Âą đ?’†Ě…đ?’Š ) đ?’™ = (Ě… đ?’™ Âą đ?œşđ?’“ %) Otra manera de expresar una lectura es tomando en cuenta su apreciaciĂłn. Ě… Âą đ?‘¨đ?’‘) đ?’™ = (đ?’™ MediciĂłn de Magnitudes Derivadas Para expresar medidas de magnitudes derivadas se deben tomar en cuenta las recomendaciones de cifras significativas y de redondeo, procesando cada una de las magnitudes fundamentales por separado, se calcula el valor medio probable de la magnitud derivada en funciĂłn del valor medio probable de cada una de las magnitudes fundamentales, se calcula el valor mĂĄximo de la magnitud derivada sumando la incertidumbre o valor medio probable de cada una de las magnitudes simples, se calcula el error mdeio probable restando el valor mĂĄx imo menos el valor medio probable de la magnitud derivada, se expresa el resultado en funciĂłn del valor medio probable y el error medio probable de la magnitud derivada, finalmente se calcula el error relativo y procentual de la magnitud derivada. Ejemplo: Calcular la velocidad recorrida si se conoce que el desplazamiento esta definido por s=(26Âą2)m, y el tiempo t=(13Âą1)s

đ?‘ŁĚ… =

đ?‘ Ě… đ?‘ĄĚ…

đ?‘Łđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

đ?‘ŁĚ… =

26 13

đ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘Ąđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ

đ?‘ŁĚ… = 2đ?‘š/đ?‘

đ?‘Łđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

(26 + 2) (13 + 1)

đ?‘’đ?‘Ł = đ?‘Łđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘ŁĚ…

đ?‘’đ?‘Ł = 2 − 2

đ?‘Ł = (đ?‘ŁĚ… Âą đ?‘’đ?‘Ł )

đ?‘Ł = (2 Âą 0)đ?‘š/đ?‘

đ?‘’

đ?œ€đ?‘&#x; = đ?‘ĽĚ…

đ?œ€đ?‘&#x;% = đ?œ€đ?‘&#x; ∗ 100%

0

đ?œ€đ?‘&#x; = 2Ě…

đ?‘Łđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 2đ?‘š/đ?‘

đ?‘’đ?‘Ł = 0

đ?œ€đ?‘&#x; = 0

đ?œ€đ?‘&#x;% = 0 ∗ 100% 24

đ?œ€đ?‘&#x;% = 0 %

GRAFOS Informe de laboratorio Es el trabajo escrito que presenta el alumno donde informa los resultados obtenidos luego de realizar una práctica de laboratorio o experimento, cuyo formato tiene 3 partes: Datos informativos, cálculos y conclusiones, anexos. Datos informativos En este acápite se debe consignar la información relativa al estudiante, además de los elementos que ayudaron a la realización de la práctica de laboratorio, el docente se enfocará en dejar muy claro los objetivos de la práctica así como el fundamento conceptual, el estudiante deberá tener cuidado en determinar correctamente el equipo de experimentación y el procedimiento que se siguió para la realización de la práctica.

Esta sección contiene los datos de identificación del estudiante y la información inicial de la práctica como tema y objetivos.

Aquí se enumeran todos los elementos estructurales y de equipamiento para el desarrollo de la práctica, el gráfico debe reflejar un esquema del equipo.

El desarrollo de la práctica exige un conocimiento teórico básico que el estudiante debe dominar, el cuál el docente deberá proporcionar

Aquí se definirán un resumen de los pasos básicos de como poner a punto el equipo, además del proceso para realizar el experimento.

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Cálculos y conclusiones Esta sección es la más importante del informe de la práctica de laboratorio, pues en el deben constar la tabulación de los datos recogidos en el trabajo de experimentación, los cálculos que definen la relación que existen entre las diferentes magnitudes que intervienen en el fenómeno estudiado, y la interpretación de dichos datos y relaciones. Al final de esta sección se debe consignar conclusiones de los hallazgos que responden al cuestionario planteado con anticipación al inicio de la práctica, finalmente escribiremos la bibliografía que da soporte a nuestras conclusiones.

Tabulación de datos por medio de una tabla de valores, cálculos que definen las relaciones, interpretación de los datos y resultados encontrados.

Las conclusiones dan fé de los hallazgos encontrados y responden a las preguntas del cuestioanrio.

En la bibliografía se encuentra las referencias que dan soporte teórico a nuestras conclusiones.

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Anexos Dependiendo de la práctica de laboratorio y de los resultados exigidos en el informe se deberá agregar información adicional, los más comunes son los gráficos de tendencia, que por lo general responden a una ecuación de tendencia lineal, sin embargo habrán relaciones que no respondan a esta tendencia, en cuyo caso se deberá linealizar dicha gráfica, para lo cual será necesario realizar otro gráfico con datos corregidos.

Graficación Luego de realizar la práctica de laboratorio, es decir enfrentar experimentalmente las magnitudes que intervienen, es necesario tabular dicha información ordenada por medio de una tabla de valores, que nos ayudarán a graficar dichos datos por medio de una gráfica de tendencia o de dispersión, que es la representación gráfica que describe el comportamiento de dos variables, para lo cual se usa el sistema de coordenadas cartesianas. Las gráficas pueden tener una tendencial lineal representada por una recta y de tendencia no lineal representado por todo tipo de curva, par lo cual se usará papel escalado que pueden ser de tres tipos: 1. Papel milimetrado 2. Papel logarítmico 3. Papel semilogarítmico Papel milimietrado Papel cuadriculado a una escala de 1mm x 1mm, se usa para graficar ecuaciones o funciones de tendencia lineal que como resultado nos da una línea recta inclinada, también es posible graficar funciones de tendencia no lineal como funciones cuadráticas, exponenciales y/o racionales, aunque para estas se deberá proceder con la Linealización para poder inducir la ley. 27

Papel logarítmico Papel cuadriculado con escala logarítmica, sirve para graficar funciones potenciales o exponenciales, que en el papel milimitrado da como resultado una curva, sin embargo al graficar en el papel logarítmico, su resultado es una línea recta. Papel semilogaritmico Papel cuadriculado donde uno de sus ejes tiene escala logarítmica y la otra escala es lineal, el propósito de graficar sobre este tipo de papel es que su resultado sea una recta que es mucho más fácil de interpretar. Sistema de coordenadas Generalmente se usará el papel milimetrado por lo que el sistema a usarse será el sistema de coordenadas cartesianas el cual tiene dos ejes, el eje de las “x” o de las abscisas, donde se graficará los valores de la variable independiente, y el eje de las “y” o de las ordenadas, donde se graficará los valores de la variable dependiente, como una función y=f(x) y se hará referencia a la gráfica o diagrama como Y en función de X, Y contra X, Y versus X o como Y vs. X. Graficación en papel milimetrado El anverso de la hoja de papel milimetrado, estará constituida por dos secciones (superior e inferior), en la parte superior tendremos la gráfica de dispersión lineal, y en la parte inferior constarán la tabla de valores y los cálculos necesarios de escala para poder ubicar los puntos en los ejes cartesianos del gráfico. La gráfica de dispersión lineal o de tendencia deberá contener datos que le permitan identificar con claridad todos sus elementos, así:

Los datos que debe contener el gráfico son: • Título del diagrama. • Semiejes coordenados membretados y escalados. • Representación de los pares ordenados de la tabla por medio de puntos y las líneas de proyección a los ejes. 28

• • • • •

Gráfico de la línea de tendencia y su ley. Gráfico de la sección para el cálculo de la pendiente. Ley de proporcionalidad bajo el eje x. Zona de definición de escalas. Zona para el cálculo de la constante de proporcionalidad.

En la zona inferior del papel milimetrado se hará constar todos los cálculos necesarios para determinar la escala de graficación para los dos ejes, distribuidos simétricamente.

Inducción de Leyes Para poder inducir una ley o modelo matemático que interprete el comportamiento de 2 o más variables de un fenómeno en función del gráfico y los datos de la tabla de valores, es necesario hacer un análisis estadístico de dicha relación por medio del análisis de datos por mínimos cuadrados, así: En el reverso de la hoja de papel milimetrado se harán constar, la tabla de valores modificada, para el cálculo de insumos usados en la determinación de parámetros lineales como la constante de proporcionalidad o pendiente (k) y el punto de corte con las ordenadas (b), por medio de mínimos cuadrados que es una técnica estadística de análisis numérico de optimización matemática, en la que en función, de los pares ordenados de variables independiente y dependiente, se intenta encontrar los parámetros de la función continua que identifica la tendencia lineal de relación de las magnitudes enfrentadas. Este proceso se lo debe realizar siempre y cuando la tendencia de la gráfico sea de tipo lineal, pero en el caso de que no se a lineal, se deberá realizar previamente el proceso de linealización, donde a dicho gráfico se deberá aplicar el proceso de mínimos cuadrados.

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En la siguiente sección se harán los cálculos para encontrar la constante proporcionalidad o pendiente (k) y el punto de corte con el eje de las ordenadas.

A continuación, se realizará el cálculo del coeficiente de correlación de Pearson, que determina la congruencia de los puntos que relacionan las magnitudes físicas estudiadas, en función de la ecuación lineal de la forma y=kx+b.

Proseguimos a calcular la ecuación matemática que definen la relación entre las 2 magnitudes que se relacionan en el fenómeno estudiado.

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Finalmente debemos realizar la interpretaciĂłn de los datos encontrados en el diagrama.

LinealizaciĂłn de una curva Hay casos en los cuĂĄles la grĂĄfica que relaciona 2 magnitudes no representa una funciĂłn lineal, por lo tanto, no podemos calcular los datos de pendiente, pues esta es variable como en el caso de una funciĂłn exponencial de grado n, o el caso de una funciĂłn inversa; para cualquiera de los casos el proceso de linealizaciĂłn de una curva consiste en modificar los valores del eje de las abscisas segĂşn el factor de linealizaciĂłn de acuerdo al siguiente esquema. No GrĂĄfico 1

2

3

Tipo de curva Exponencial đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘› n=2,3,4 Racional đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘š đ?‘š = −1, −2, −3 1 1 1 đ?‘š = − ,− ,− 2 3 4 Radical đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘š´ 1 1 1 đ?‘š´ = , , 2 3 4

Factor de LinealizaciĂłn X=x n đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘‹ →es lineal X=x m đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘‹ →es lineal X=x m´ đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘‹ →es lineal

La linealizaciĂłn consiste en modificar los valores de las abscisas. Si la funciĂłn es cuadrĂĄtica elevaremos el eje al cuadrado, si la funciĂłn es inversa dividiremos 1 entre el eje y con esos datos gra ficaremos; el resultado serĂĄ una grĂĄfica de tendencia lineal donde podemos calcular todos sus parĂĄmetros.

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Introducción a los vectores Para el estudio de los fenómenos físicos que suceden en la naturaleza, la física lo hace mediante el análisis de las magnitudes física. Magnitud física Es toda aquella magnitud que puede medirse, es decir se puede cuantificar y asignar un valor numérico fruto de una medición, y pueden ser de dos tipos: 1. Magnitudes escalares. 2. Magnitudes vectoriales. Magnitudes escalares Son aquellas magnitudes que quedan completamente definidas al ser expresadas por medio de un número real y una unidad de medida. Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5.

La masa. El tiempo. La temperatura. La rapidez. La densidad.

Magnitudes vectoriales Son aquellas magnitudes físicas que se definen por medio de una cantidad numérica o módulo, además se debe definir su dirección y especificar su sentido, en algunos casos será necesario definir además su punto de aplicación como las fuerzas que generan torque. Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5.

La fuerza El trabajo. El desplazamiento. El campo magnético. La torsión.

Vector En un espacio euclidiano tanto en 2 como en 3 dimensiones, definido por medio de un eje de coordenadas cartesianas, un vector es un segmento de recta orientado, es decir una flecha, para su notación usaremos las letras mayúsculas iniciales del alfabeto y en su parte superior se dibujará una pequeña flecha.

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Elementos de un vector Todo vector tiene 3 elementos fundamentales que lo constituyen y son: mĂłdulo, direcciĂłn y sentido. Elemento MĂłdulo |đ??´âƒ—| o´ A o´ ‖đ??´âƒ—‖ DirecciĂłn âˆĄđ?›ź Sentido

Significado grĂĄfico Significado fĂ­sica TamaĂąo o longitud de un Intensidad de la vector magnitud que representa Ă ngulo de inclinaciĂłn con Linea de acciĂłn del respecto al eje cartesiano x vector con respecto a (+) un eje cartesiano. Saeta de la flecha. Lado de la lĂ­nea de acciĂłn donde actĂşa el vector.

ExpresiĂłn de un vector Todo vector puede ser expresado grĂĄficamente en el eje de coordenadas XY, si se tienen un punto cualquiera A=(x,y), el mĂłdulo del vector queda definido mediante el segmento de recta desde el origen O=(0,0) y el punto A=(x,y) donde su longitud define el mĂłdulo del vĂŠctor, el ĂĄngulo de inclinaciĂłn alfa âˆĄđ?›ź define la direcciĂłn del vector, y el sentido del vector se define por medio de la saeta que se coloca al final del segmento de recta del Punto O(0,0) hacia el punto A(x,y).

RepresentaciĂłn de un vector por sus componentes rectangulares Todo vector queda representado mediante sus componentes rectangulares Ax y Ay como un par ordenado đ??´âƒ— = (đ??´đ?‘Ľ ; đ??´đ?‘Ś ), que son las proyecciones perpendiculares del vector đ??´âƒ— en los ejes de coordenadasX, 33

Y, que se calculan mediante operaciones trigonomĂŠtricas bĂĄsicas y la aplicaciĂłn del Teorema de PitĂĄgoras, asĂ­:

RepresentaciĂłn de un vector por sus vectores base Cada vector expresado en el plano o en el espacio es el resultado de la combinaciĂłn lineal de los vectores que forman la base canĂłnica {đ?‘–⃗ , đ?‘—⃗} en ⃗⃗ } en 3D, que son vectores ortonormales que son 2D. {đ?‘–⃗ . đ?‘—⃗ , đ?‘˜ perpendiculares entre sĂ­, cuyo mĂłdulo es 1 y que se encuentran orientados en direcciĂłn de los ejes cartesianos x,y,z. Por lo tanto para poder expresar un vector en funciĂłn de sus vectores base a cada una de las coordenadas rectangulares se le deberĂĄ agregar ⃗⃗ }, conforme a sus componentes el prefijo de la base canĂłnica {đ?‘–⃗ . đ?‘—⃗ , đ?‘˜ rectangulares.

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RepresentaciĂłn de un vector por su vector unitario El vector unitario de un vector se define como el resultado de la divisiĂłn de un vector para el mĂłdulo del mismo y su magnitud es igual a 1. đ??´âƒ—

⃗⃗⃗⃗⃗ đ?œ‡đ??´ = |đ??´âƒ—|

đ?œ‡đ??´ = ⃗⃗⃗⃗⃗

đ??´đ?‘Ľ đ?‘–⃗+đ??´đ?‘Ś đ?‘—⃗ |đ??´âƒ—|

đ??´

đ??´đ?‘Ś

đ?œ‡đ??´ = |đ??´âƒ—đ?‘Ľ| đ?‘–⃗ + |đ??´âƒ—| đ?‘—⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Por lo tanto un vector se define en funciĂłn de su vector unitario con la siguiente ecuaciĂłn:

Si se toma en cuenta la definiciĂłn bĂĄsica de un vector en funciĂłn de su mĂłdulo y direcciĂłn, entonces el vector unitario define la direcciĂłn de un vector. RepresentaciĂłn de un vector por sus cosenos directores Los ĂĄngulos directores son aquellos que forman el vector con el eje horizontal positivo x âˆ˘đ?›ź, y el eje vertical positivo y âˆ˘đ?›˝, mientras los Cosenos Directores son los cosenos de dichos ĂĄngulos.

đ??´âƒ—

⃗⃗⃗⃗⃗ đ?œ‡đ??´ = |đ??´âƒ—| đ??´

đ?œ‡đ??´ = ⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘Ś

đ??´đ?‘Ľ đ?‘–⃗+đ??´đ?‘Ś đ?‘—⃗ |đ??´âƒ—|

⃗⃗⃗⃗⃗ đ?œ‡đ??´ = |đ??´âƒ—đ?‘Ľ| đ?‘–⃗ + |đ??´âƒ—| đ?‘—⃗

đ?œ‡đ??´ = cos đ?›źđ?‘–⃗ + cos đ?›˝ đ?‘—⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

đ??´âƒ— = |đ??´âƒ—|đ?œ‡ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´

đ??´âƒ— = |đ??´âƒ—|(cos đ?›ź đ?‘–⃗ + cos đ?›˝ đ?‘—⃗)

Operaciones con vectores

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Suma de Vectores. Para poder sumar vectores existen 2 mĂŠtodos: grĂĄfico y analĂ­tico. MĂŠtodo GrĂĄfico Varios vectores se pueden sumar por 2 mĂŠtodos grĂĄficos: mĂŠtodo del paralelogramo y mĂŠtodo del polĂ­gono. MĂŠtodo del paralelogramo Éste mĂŠtodo sirve para sumar 2 vectores siguiendo el siguiente proceso: 1. Graficamos ambos vectores en el inicio del eje de coordenadas con una escala adecuada. 2. Trazamos paralelas a dichos vectores (Se forma un paralelogramo). 3. El vector resultante đ?‘…⃗⃗ es la diagonal trazada desde el origen de coordenadas. 4. Medimos la magnitud de la diagonal y transformamos con la misma escala inicial, dicho valor corresponde al mĂłdulo de la Resultante đ?‘…⃗⃗. 5. Medimos el ĂĄngulo de inclinaciĂłn de la diagonal, dicho valor corresponde a la direcciĂłn de la Resultante đ?‘…⃗⃗.

MĂŠtodo del polĂ­gono Éste mĂŠtodo sirve para sumar 2 o mĂĄs vectores siguiendo el siguiente proceso: 1. Graficamos ambos vectores en el inicio del eje de coordenadas con una escala adecuada. 2. A continuaciĂłn del 1er vector graficamos el 2do vector. 3. Luego de 2do vector graficamos el 3er vector y asĂ­ sucesivamente. 4. El vector resultante đ?‘…⃗⃗ es el vector trazado desde el inicio del 1er vector hasta el final del Ăşltimo vector. 5. El cĂĄlculo del mĂłdulo y la direcciĂłn del vector resultante đ?‘…⃗⃗, se lo realiza de manera idĂŠntica que en el mĂŠtodo del paralelogramo.

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Resta de vectores Para restar dos vectores basta con cambiar de direcciĂłn el 2do vector, es decir su vector opuesto.

Suma de vectores mĂŠtodo analĂ­tico o algebraico Para sumar 2 o mĂĄs vectores analĂ­ticamente basta con sumarlos algebraicamente componente a componente, para lo cual serĂĄ necesario que los 2 vectores se encuentra expresados por componentes rectangulares y de preferencia en vectores base, asĂ­: ⃗⃗ = 3đ?‘–⃗ − 5đ?‘—⃗, đ??śâƒ— = −đ?‘–⃗ + 4đ?‘—⃗, encontrar el vector Dado đ??´âƒ— = 2đ?‘–⃗ + 3đ?‘—⃗, đ??ľ resultante đ?‘…⃗⃗.

MultiplicaciĂłn de vectores Producto por escalar Consiste en multiplicar una magnitud escalar o una constante numĂŠrica k por un vector, como resultado se obtiene otro vector con la misma direcciĂłn y sentido si k>0 y con la misma direcciĂłn pero 37

sentido contrario si k<0, mientras que su mĂłdulo se multiplica tantas veces sea el valor de k con respecto al vector original. Si el vector esta expresado en funciĂłn de sus componentes rectangulares, bastarĂĄ con multiplicar por k cada una de sus componentes.

⃗⃗ Producto Escalar o producto punto ⃗đ?‘¨âƒ— ⊙ ⃗đ?‘Š TambiĂŠn conocido como producto punto, es una operaciĂłn matemĂĄtica que relaciona dos cantidades vectoriales mediante el producto y su resultado es una magnitud escalar. Su resultado se obtiene al multiplicar los mĂłdulos de los dos vectores por el coseno del ĂĄngulo comprendido entre dichos vectores.

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Propiedades del producto escalar o producto punto. 1. El producto escalar verifica la propiedad conmutativa. ⃗⃗ = đ??ľ ⃗⃗ ⊙ đ??´âƒ— đ??´âƒ— ⊙ đ??ľ 2. El productor escalar de dos vectores perpendiculares entre sĂ­ es nulo, en vista de que el ĂĄngulo entre los dos es de 90 o y el cos 90đ?‘œ = 0, por lo tanto, el producto punto entre vector base ⃗⃗ = đ?‘—⃗ ⊙ đ?‘˜ ⃗⃗ = 0 perpendiculares tambiĂŠn es nulo. đ?‘–⃗ ⊙ đ?‘—⃗ = đ?‘–⃗ ⊙ đ?‘˜ 3. El productor escalar de dos vectores paralelos entre sĂ­ es igual Ăşnicamente al producto de los mĂłdulos, en vista de que el ĂĄngulo entre los dos es de 0 o y el cos 0đ?‘œ = 1, por lo tanto, el producto punto entre vector base paralelos es igual 1 ya que los mĂłdulos ⃗⃗ ⊙ đ?‘˜ ⃗⃗ = 1 de los vectores base es 1 asĂ­, đ?‘–⃗ ⊙ đ?‘–⃗ = đ?‘—⃗ ⊙ đ?‘—⃗ = đ?‘˜ 4. Como consecuencia de las 2 propiedades anteriores se puede concluir que el producto escalar por componentes es igual a:

⃗⃗ = đ??´đ?‘Ľ ∙ đ??ľđ?‘Ľ + đ??´đ?‘Ś ∙ đ??ľđ?‘Ś đ??´âƒ— ⊙ đ??ľ Aplicaciones del producto escalar Ă ngulo entre dos vectores ⃗⃗ = đ??´âƒ— ⊙ đ??ľ ⃗⃗ đ??´âƒ— ⊙ đ??ľ ⃗⃗| cos đ?œƒ = đ??´đ?‘Ľ ∙ đ??ľđ?‘Ľ + đ??´đ?‘Ś ∙ đ??ľđ?‘Ś |đ??´âƒ—| ∙ |đ??ľ cos đ?œƒ =

đ??´đ?‘Ľ ∙đ??ľđ?‘Ľ +đ??´đ?‘Ś ∙đ??ľđ?‘Ś ⃗⃗| |đ??´âƒ—|∙|đ??ľ

đ?œƒ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (

đ??´đ?‘Ľ ∙đ??ľđ?‘Ľ +đ??´đ?‘Ś ∙đ??ľđ?‘Ś ) ⃗⃗| |đ??´âƒ—|∙|đ??ľ

ProyecciĂłn de un vector sobre otro vector

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⃗⃗ Producto vectorial o producto cruz ⃗đ?‘¨âƒ— ⊗ ⃗đ?‘Š Este tipo de producto enfrenta dos magnitudes vectoriales y su resultado es otra magnitud vectorial, al ser un vector se tiene que definir su mĂłdulo direcciĂłn y sentido. Elemento del ⃗⃗⃗ vector đ?‘š MĂłdulo DirecciĂłn

Sentido

Forma de encontrarlo ⃗⃗ ⊗ đ?‘Š ⃗⃗⃗ = |đ?‘¨ ⃗⃗| ∙ |đ?‘Š ⃗⃗⃗| đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ đ?‘¨ El vector resultante đ?‘…⃗⃗ siempre es perpendicular al plano formado por los dos ⃗⃗ vectores đ??´âƒ— y đ??ľ Se definen por la regla de la mano derecha o (+) si el sentido de giro es contra de las manecillas del reloj o (-) si el giro es a favor de las manecillas del reloj.

Propiedades del producto vectorial 1. El producto vectorial NO VERIFICA la propiedad conmutativa. ⃗⃗ ≠đ??ľ ⃗⃗⨂đ??´âƒ— đ??´âƒ—⨂đ??ľ 2. El productor vectorial de dos vectores paralelos entre sĂ­ es nulo, en vista de que el ĂĄngulo entre los dos es de 0 o y el sen 0đ?‘œ = 0, por lo tanto, el producto cruz entre vector base paralelos tambiĂŠn es ⃗⃗ ⊙ đ?‘˜ ⃗⃗ = 0 nulo. đ?‘–⃗ ⊙ đ?‘–⃗ = đ?‘—⃗ ⊙ đ?‘—⃗ = đ?‘˜ 3. El productor vectorial de dos vectores perpendiculares entre sĂ­ es igual Ăşnicamente al producto de los mĂłdulos, en vista de que el ĂĄngulo entre los dos es de 90 o y el sen 90đ?‘œ = 1, por lo tanto, el producto cruz entre vectores base perpendiculares es igual al 3er ⃗⃗ , en cuyo vector base que falta siempre que se respete el orden đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜ caso serĂĄ (+) caso contrario serĂĄ (-)asĂ­: ⃗⃗ ⃗⃗ = đ?‘–⃗ ⃗⃗ ⊙ đ?‘–⃗ = đ?‘—⃗ đ?‘–⃗ ⊙ đ?‘—⃗ = đ?‘˜ đ?‘—⃗ ⊙ đ?‘˜ đ?‘˜ ⃗⃗ ⃗⃗ ⊙ đ?‘—⃗ = −đ?‘–⃗ đ?‘–⃗ ⊙ đ?‘˜ ⃗⃗ = −đ?‘—⃗ đ?‘—⃗ ⊙ đ?‘–⃗ = −đ?‘˜ đ?‘˜ 4. Como consecuencia de las 2 propiedades anteriores se puede concluir que el producto vectorial por componentes es igual a: 40

⃗⃗ ⃗⃗ = (đ??´đ?‘Ś đ??ľđ?‘§ − đ??ľđ?‘Ś đ??´đ?‘§ )đ?‘–⃗ + (đ??´đ?‘§ đ??ľđ?‘Ľ − đ??ľđ?‘§ đ??´đ?‘Ľ )đ?‘—⃗ + (đ??´đ?‘Ľ đ??ľđ?‘Ś − đ??ľđ?‘Ľ đ??´đ?‘Ś )đ?‘˜ đ??´âƒ—⨂đ??ľ 5. Como otra consecuencia de las propiedades 2 y 3 se puede concluir que el producto vectorial de 2 vectores en el plano xy se encuentra alineado con el eje z.

El producto vectorial tambiĂŠn se puede calcular usando la teorĂ­a de ⃗⃗ y usando determinantes determinantes, siguiendo el orden đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜ parciales de 2x2. (Nota se puede usar cualquier mĂŠtodo de resoluciĂłn de determinantes). đ??´ ⃗⃗ = | đ?‘Ś đ??´âƒ—⨂đ??ľ đ??ľđ?‘Ś

đ??´đ?‘§ đ??´ | đ?‘–⃗ + | đ?‘§ đ??ľđ?‘§ đ??ľđ?‘§

đ??´đ?‘Ľ đ??´đ?‘Ľ | đ?‘—⃗ + | đ??ľđ?‘Ľ đ??ľđ?‘Ľ

đ??´đ?‘Ś ⃗⃗ |đ?‘˜ đ??ľđ?‘Ś

Aplicaciones del producto vectorial o producto cruz CĂĄlculo del ĂĄrea de un paralelogramo

CĂĄlculo de la velocidad tangencial en el movimiento circular

Nota: La velocidad angular es una magnitud vectorial que aparece siempre en el eje axial es decir en el eje de giro del movimiento circular del que ĂŠste animada la partĂ­cula. 41

Cálculo de la aceleración tangencial en el movimiento circular

Nota: La aceleración angular es una magnitud vectorial que aparece siempre en el eje axial también llamado eje azimutal. Cálculo de la aceleración tangencial en el movimiento circular

Nota: La aceleración centrípeta es una magnitud vectorial que aparece siempre en dirección del radio y en sentido dirigido al centro de giro que esta sobre el eje azimutal.

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