Evaluare la matematica by stanica nicolae

Prezenta culegere de teste este realizată de autori talentaŃi şi entuziaşti, în conformitate cu standardele naŃionale de evaluare şi programa de gimnaziu pentru disciplina matematică. Culegerea se adresează elevilor şi profesorilor de matematică ce-şi desfăşoară activitatea în gimnaziu, contribuind la buna lor pregătire în vederea succesului lor la orice tip de evaluare la matematică. Testele sunt ingenios concepute şi acoperă toată tematica programei de matematică din gimnaziu. Rezolvând testele din această culegere, elevii din gimnaziu au posibilitatea să-şi actualizeze, să-şi clarifice şi să-şi consolideze toate cunoştinŃele prevăzute de programa şcolară la matematică. Varietatea problemelor întâlnite în teste, procedeele şi metodele de rezolvare utilizate, contribuie la îmbogăŃirea experienŃei elevilor în rezolvarea cu succes a problemelor de matematică cu care se vor confrunta la diferite evaluări. Autorii acestei culegeri de teste şi-au valorificat cu pricepere experienŃa didactică, au consultat numeroase cărŃi şi reviste de specialitate, oferind elevilor de gimnaziu o carte deosebit de utilă în pregătirea lor la matematică. În mod sigur cartea răspunde aşteptărilor tinerilor cititori din gimnaziu şi suntem convinşi că va avea succesul bine meritat.

Lector univ. drd. Gheorghe Neagu Universitatea din Bacău

Introducerea modalităŃilor de evaluare externă a elevilor din ciclul gimnazial reprezintă un element de noutate şi, implicit, o provocare. Lucrarea a fost concepută în spiritul inovaŃiei. Matematica în sine este un joc al ineditului, al descoperirii. În experienŃa didactică, în lucrul explicit cu elevii, prin feedback, s-a probat gradul de eficienŃă al materialelor auxiliare aflate la îndemâna dascălilor şi micilor candidaŃi. S-a observat că evaluările se diferenŃiază de testele pregătitoare printr-un ”ceva” de domeniul noutăŃii şi surprizei. După părerea noastră, acest “ceva” Ńine de forma de prezentare a conŃinutului teoretic. Astfel, în testele propuse de noi, am încercat o corelaŃie, zicem noi ingenioasă, între conŃinut şi formă cu caracter nu numai informativ, ci şi formativ şi aplicativ. Culegerea se adresează atât elevilor, cât şi profesorilor ca o împărtăşire a experienŃei noastre. Autorii

Capitolul

EVALUĂRI INIłIALE

1 • Test 1: Partea I: 1. Suma numerelor 137 şi 2075 este egală cu .... 2. Produsul numerelor 24 şi 79 este egal cu …. 3. Numărul cu 14 mai mare decât 98 este egal cu …. 4. Numărul de 3 ori mai mare decât 15 este egal cu …. 5. Numărul cu 4 mai mic decât 222 este egal cu …. 6. Numărul de 5 ori mai mic decât 525 este egal cu …. 7. Aria dreptunghiului cu lungimea de 8 cm şi lăŃimea de 5 cm este egală cu … cm 2 . 8. Perimetrul pătratului cu latura de 12 cm este egal cu … cm. Partea a II-a: 9. AflaŃi numărul x ştiind că: 3+{4+2⋅[2+(6+ x ):3]-17}=24. 10. Radu şi Alexandra au împreună 10 lei. Ei hotărăsc să cumpere împreună o carte, participând cu sume egale de bani. Radu este nevoit să împrumute de la Alexandra 1 leu, iar după cumpărarea cărŃii Alexandra rămâne cu 5 lei. a) AflaŃi preŃul cărŃii. b) CâŃi lei a avut Alexandra înainte de cumpărarea cărŃii? 11. Ştiind că 7 stilouri şi 6 pixuri costă 235 lei şi că 2 stilouri şi 3 pixuri costă 80 lei, să se afle cât costă un pix şi cât costă un stilou ? 12. Suma a trei numere este 183. Dacă din fiecare număr se scade acelaşi număr, se obŃin numerele 19, 21 şi 23. AflaŃi cele trei numere.

• Test 2: Partea I: 1. Rezultatul calculului 2+8:2 este egal cu …. 2. Rezultatul calculului 308 : 4 este egal cu 3. Suma a două numere consecutive este 11. Cel mai mic număr dintre cele două este egal cu …. 4. DiferenŃa dintre dublul lui 7 şi triplul lui 3 este egală cu …. 5. Ordinea crescătoare a numerelor 212, 122 şi 221 este …. 6. Suma a două numere impare poate fi un număr impar? 7. Sfertul numărului 48 este egal cu .... 8. 17 kg + 200 g = ... g. Partea a II-a: 9. EfectuaŃi 30 + 5⋅ {32:8 + 5 ⋅ [40 - 8 ⋅ (200:5 – 72:2)]}. 10. Din suma numerelor pare mai mici sau egale cu 20, scădeŃi suma numerelor impare mai mici sau egale cu 20. PrecizaŃi rezultatul diferenŃei. 11. O carte este deschisă la întâmplare. StabiliŃi numerele de pe cele două pagini dacă suma numerelor de pe aceste două pagini este 149. 12. Suma a trei numere este 1825. DeterminaŃi cele trei numere ştiind că al doilea număr este de două ori mai mare decât primul număr şi cu 50 mai mare decât al treilea număr.

Capitolul

NUMERE NATURALE

2 • Test 3. Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numeraŃie zecimal; şirul numerelor naturale Partea I: 1. ScrieŃi cu ajutorul cifrelor următoarele numere naturale: a) trei sute douăzeci şi şapte; b) o mie trei; c) un milion trei sute patruzeci şi şapte de mii două sute patru; d) trei miliarde douăzeci de milioane patrusute de mii cinci. 2. ScrieŃi cu ajutorul literelor următoarele numere naturale: a) 1205; b) 1000006; c) 123456789; d) 208309. 3. Cel mai mic număr natural format din 4 cifre distincte care are cifra sutelor egală cu 7 este egal cu … 4. Cel mai mare număr natural format din 5 cifre distincte este egal cu …. 5. De câte ori se foloseşte cifra 3 pentru a scrie toate numerele naturale de trei cifre mai mari decât 800? 6. Câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 2, 4 şi 9? 7. Câte numere de forma ab0 există? 8. Câte numere naturale pare sunt cuprinse între 2345 şi 2762? Partea a II-a: 9. Ce număr urmează în fiecare din următoarele şiruri: a) 2 → 5 → 9 → 14 → …..? b) 1 → 2 → 3 → 5 → …..? c) 132 → 374 → 5116 → …..? 10. AflaŃi câte numere de trei cifre sunt formate din exact două cifre identice.

11. DeterminaŃi numere naturale de forma abc care verifică relaŃia: abc = ab + bc + ca. 12. Se dă următoarea succesiune 11, 16, 21, …, 2011. DeterminaŃi numărul termenilor acestei succesiuni.

• Test 4. Reprezentarea numerelor naturale pe axă. Compararea, aproximarea şi ordonarea numerelor naturale; probleme de estimare. Partea I: 1. DesenaŃi o axă a numerelor şi reprezentaŃi pe ea punctele M , P, Q şi S de coordonate 3; 5; 2 şi 7. 2. De câte ori se foloseşte cifra 3 în scrierea numerelor naturale de la 1 la 50? 3. Aproximarea prin lipsă până la zeci a numărului 6453 este numărul ...., iar rotunjirea până la sute a numărului 24378 este numărul …. 4. Ordinea crescătoare a numerelor 1234; 1342; 2314; 2143; 4321 este …. 5. Numărul numerelor naturale de patru cifre, mai mari decât 9725 este egal cu …. 6. Dintre numerele 1234 şi 1243 mai mare este numărul …. 7. Un număr care nu se modifică atunci cand se permută cifrele este egal cu …. 8. Coordonatele punctelor B şi D sunt egale cu .... O A B C D 0

Partea a II-a: 9. a) Câte pagini are o carte pentru paginarea căreia s-au folosit 4797 cifre? b) Câte cifre s-au folosit pentru a numerota paginile unei cărŃi care are 352 pagini?

10. Pe axa numerelor considerăm punctele A şi B de coordonate 3 şi respectiv 14. a) DeterminaŃi coordonatele punctelor M , N , P situate între A şi B astfel încât AM = 2, NB = 6 şi PB = 1. b) În condiŃiile de la punctul a), determinaŃi OM , AN , PA şi MP. 11. DeterminaŃi cel mai mic şi cel mai mare număr natural de 6 cifre diferite, ştiind că suma acestor cifre este 17. 12. a) Bomboanele “Trosc” se vând în cutii de 100. De câte cutii este nevoie pentru a vinde 735 bomboane. b) Fie numărul 547689. PlasaŃi cifra 2 între două cifre ale numărului pentru a obŃine cel mai mare şi respectiv, cel mai mic număr.

• Test 5. Adunarea numerelor naturale; proprietăŃi. Scăderea numerelor naturale. Partea I: 1. Rezultatul calculului 24+58+176+142 este egal cu …. 2. Rezultatul calculului 5234+5678-234-678 este egal cu …. 3. Rezultatul calculului ( 5437 + 12345 ) − ( 437 + 345 ) este egal cu ….

4. Dintre numerele A = 275 − (120 − 45 ) şi B = (275 − 120) − 45 mai mare este numărul …. 5. Scrierea lui 35 ca o diferenŃă de două numere naturale de trei cifre este …. 6. În scrierea de mai jos puneŃi paranteze pentru a fi corect rezultatul: 236-172-497-454=21. 7. Dacă ab + ba = 99, atunci valoarea expresiei a + b este egală cu .... 8. Suma a două numere este 98, iar diferenŃa lor este 82. Unul dintre cele două numere numere este egal cu ….

Partea a II-a: 9. Se pot pune 121 de bile în 15 cutii astfel încât în fiecare cutie să fie cel puŃin o bilă şi să nu existe două cutii cu acelaşi număr de bile? JustificaŃi răspunsul. 9

10. DeterminaŃi numerele naturale A = 4 * 7 * şi B = *4 * 2 astfel încât A + B = 14051. 11. Suma a două numere naturale este 162. Suma dintre răsturnatele celor două numere este 504. Să se afle cele două numere. 12. Să se calculeze suma 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 . 2009 de 9

• Test 6. ÎnmulŃirea numerelor naturale; proprietăŃi. Partea I: 1. Rezultatul calculului 17 ⋅ 39 este egal cu …. 2. Dacă a ⋅ b = 24 şi c = 5, atunci valoarea expresiei b ⋅ ( a ⋅ c ) este egală cu …. 3. Numărul de 7 ori mai mare decât 13 este egal cu .... 4. PrecizaŃi două moduri de calcul pentru 15 ⋅ (14 + 26 ) . 5. Scrierea sub formă de produs de trei numere naturale distincte a numărului 36 este …. 6. Dacă a ⋅ b = 45 şi a ⋅ c = 18, atunci valoarea expresiei a ⋅ ( b − c ) este egală cu …. 7. Dacă la triplul unui număr adunăm 3 obŃinem 33. Numărul iniŃial este egal cu …. 8. Dacă din dublul unui număr scădem 14 obŃinem 16. Numărul iniŃial este egal cu …. Partea a II-a: 9. DeterminaŃi cu câte zerouri se termină produsul 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 153. 10. Suma a două numere naturale este 114. Dacă primul număr se măreşte cu 5 şi al doilea cu 17, atunci al doilea număr devine de trei ori mai mare decât primul. Să se afle cele două numere.

11. Produsul a două numere naturale este 4n(n + 1) , unde n ∈ ℕ * . Dacă se măreşte un număr cu 2, produsul devine 4n(n + 2) . AflaŃi numerele. 12. DeterminaŃi ab = a ⋅ b + a + b.

numerele

naturale

forma

ştiind

că

• Test 7. Factor comun Partea I: 1. Dacă a = 4 şi b + c = 25 , atunci valoarea expresiei ab + ac este egală cu …. 2. Dacă a = 6 şi b − c = 12, atunci valoarea expresiei ab − ac este egală cu …. 3. Dacă ab + ac = 36 şi b + c = 9, atunci valoarea numărului natural a este egală cu …. 4. Rezultatul calculului 96 ⋅ 94 − 96 ⋅ 92 − 2 ⋅ 93 este egal cu .... 5. Dacă 4ab + 4ac + 8a = 96 şi b + c = 10, Atunci numărul natural a este egal cu …. 6. Efectuând calculele 2008 ⋅ 2009 − 2006 ⋅ 2009 − 2 ⋅ 2008 obŃinem …. 7. Dacă x + 4 y + 2 z = 13 şi 3x + 2 z = 11, atunci valoarea expresiei x + y + z este egală cu …. 8. Efectuând calculele obŃinem ….

(12 + 24 + 36 + ... + 444 ) : ( 6 + 12 + 18 + ... + 222 )

Partea a II-a: 9. DeterminaŃi numerele naturale x, y, z ştiind că 7 x + 7 y + 7 z = 56 şi x < y < z. 10. AflaŃi a + b , ştiind că ab3 + 5ab + b7 a = 906. 11. Dacă x + 3 y = 2 y + z = 11 , atunci calculaŃi: a) x + 5 y + z; b) 3x + 15 y + 3z; c) 5 x + 11y − 2 z; d) 5 x + 19 y + 2 z.

12. AflaŃi numărul natural abc , scris în baza 10, ştiind că: 2 + 4 + 6 + ... + abc = abc00. • Test 8. Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr natural Partea I: 1. EfectuaŃi: a) 62 ; b) 150 ; c) 2341 ; d) 12009 ; e) 023 ; f) 20 + 21 + 22 . 2. Rezultatul calculului 232 ⋅ 256 este egal cu …. 3. Rezultatul calculului 7 48 : 732 este egal cu …. 4. Dacă ( 2 ⋅ 9 ) = 235 ⋅ 3a , atunci a este egal cu .... 35

( )

5. Rezultatul calculului 512

este egal cu ….

6. Rezultatul calculului 1040 :1011 ⋅ 103 este egal cu …. 7. Dacă 22 n + 22 n + 3 + 22 n + 4 = A2 , n ∈ ℕ, A ∈ ℕ, atunci A = .... 8. Ultima cifră a numărului A = 156 ⋅ 248 + 1234 este egală cu ….

Partea a II-a:

( ) ⋅(2 )

9. a) Ştiind că a+b=4 şi c=2, calculaŃi 2a 45

b) ArătaŃi că numărul 3 +3 +3 se împarte exact la 13. 10. a) Dacă 2a + b + 2b + c + 2c + d + 2d + a = 25 , atunci calculaŃi a + b + c + d . b) DeterminaŃi numărul natural x, ştiind că 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 351. 11. Fie numerele a = 3225 şi b = 2532. DeterminaŃi cel mai mic număr natural n ∈ ℕ * , astfel încât a ⋅ b ⋅ n să fie pătrat perfect. 12. DeterminaŃi cifrele x şi y din egalitatea 4 xxx + 8 yyy = 21999.

• Test 9. Compararea puterilor care au aceeaşi bază sau acelaşi exponent Partea I: 1. Dintre numerele 525 şi 527 mai mare este numărul …. 2. Dintre numerele 112009 şi 112010 mai mic este numărul …. 3. Dintre numerele 20100 şi 02010 mai mic este numărul …. 4. Fie A = 533 şi B = 355 . Dintre numerele A şi B mai mare este numărul …. 5. Fie A = 29 ⋅ 37 ⋅ 513 şi B = 225 ⋅ 38 ⋅ 511 . Numărul de zerouri în care se termină produsul A ⋅ B este egal cu …. 6. Dintre numerele 202303 şi 303202 mai mic este numărul …. 7. Dintre numerele 12543 şi 2561 mai mare este numărul …. 8. Dintre numerele 260 şi 340 mai mare este numărul …. Partea a II-a: 9. ComparaŃi numerele a = 32000 − 31999 − 31997 şi b = 22002 − 22001 + 21997. 10. ComparaŃi: a) 231 şi 321 ; b) 240 şi 327 ; c) 419 şi 718 ⋅16 ; d) 534 ⋅ 9 şi 353 .

11. Fie a = ( 23 ) + 253 − 735 : 7 20  : ( 215 − 715 + 56 ) ⋅ 326 şi   5

98 9 b = 2101 : ( 5171 : 5170 − 3) + 2105 : ( 23 ⋅ 24 ) + ( 211 )  ⋅ 238.   ComparaŃi numerele a şi b.

12. ComparaŃi numerele: a) 23n + 2 + 3 ⋅ 23n +1 − 9 ⋅ 23n şi 2n +1 ⋅ 5 n −10n , unde n ∈ ℕ. b) 5 ⋅ 52 ⋅ 53 ⋅ ... ⋅ 550 şi 23825.

• Test 10. ÎmpărŃirea cu rest 0 a numerelor naturale când împărŃitorul are mai mult de o cifră. ÎmpărŃirea cu rest a numerelor naturale. Partea I: 1. EfectuaŃi: a) 324 : 2; b) 525 : 5; c) 1264 : 4; d) 4320 : 6. 2. Numărul natural care împărŃit la 7 dă câtul 5 şi restul 3 este egal cu ... 3. Dintre scrierile 25 = 2 ⋅ 8 + 9, 25 = 2 ⋅ 9 + 7 şi 25 = 5 ⋅ 6 − 5 teorema împărŃirii cu rest poate fi considerată scrierea …. 4. Suma numerelor naturale care împărŃite la 4 dau câtul 3 este egală cu …. 5. Numărul natural care împărŃit la 125 dă câtul 7 şi restul 5 este egal cu …. 6. Câte numere naturale de trei cifre dau restul 5 la împărŃirea cu 33? 7. Restul împărŃirii numărului A = 14 x + 26 y + 13 , x, y numere naturale, la 2 este egal cu …. 8. Cel mai mare număr natural de două cifre care împărŃit la 11 dă restul 5 este egal cu …. Partea a II-a: 9. Suma a două numere naturale este egală cu 53. ÎmpărŃind numărul mai mare la numărul mai mic obŃinem câtul 9 şi restul 3. DeterminaŃi cele două numere. 10. Să se determine numărul xyzt , ştiind că împărŃindu-l la numărul yzt obŃinem câtul x + 1 şi restul x + 2. 11. Suma a trei numere naturale este egală cu 56. Dacă se împarte primul număr la al doilea se obŃine câtul 2 şi restul 7, iar dacă se împarte al doilea la al treilea se obŃine câtul 3 şi restul 3. DeterminaŃi cele trei numere. 12. ArătaŃi că suma resturilor împărŃirii unui număr oarecare abc la a, b şi respectiv c nu poate fi 23.

• Test 11. ÎmpărŃirea cu rest 0 a numerelor naturale când împărŃitorul are mai mult de o cifră. ÎmpărŃirea cu rest a numerelor naturale. Partea I: 1. Rezultatul calculului 111: 3 + 222 : 6 este egal cu …. 2. Resturile ce pot fi obŃinute la împărŃirea unui număr natural la 5 sunt …. 3. Numerele naturale mai mici decât 25 care împărŃite la 9 dau restul 2 sunt …. 4. Cel mai mic număr natural scris cu cifre nenule, pentru care suma cifrelor este 2010 este egal cu …. 5. AflaŃi câtul şi restul pentru fiecare dintre împărŃirile de mai jos: a) 1234:5; b) 327:12; c) 4576:11; d) 121212:9; e) 44444:5. 6. Numerele care împărŃite la 4 dau câtul 3 sunt …. 7. Numerele naturale care împărŃite la 6 dau restul egal cu dublul câtului sunt …. 8. Restul împărŃirii numărului 1⋅2⋅3⋅4⋅...⋅2011 + 39 la 35 este egal cu .... Partea a II-a: 9. DiferenŃa a două numere naturale este egală cu 220. ÎmpărŃind numărul mai mare la numărul mai mic obŃinem câtul 74 şi restul 1. DeterminaŃi cele două numere. 10. ÎmpărŃind un număr natural n la 24 obŃinem restul 14. Ce rest se obŃine atunci când împărŃim numărul natural n la 4? 11. DeterminaŃi cel mai mare şi cel mai mic număr natural de trei cifre care împărŃit la 12 să dea restul 10. 12. AflaŃi numerele de forma abc , mai mici decât 500, dacă: a) abc dă restul 5 la împărŃirea cu 9; b) ( a + b + c ) şi ( acb +2) dau restul 0 la împărŃirea cu 7.

• Test 12. Ordinea efectuării operaŃiilor Partea I: 1. Rezultatul calculului 8+8:8 este egal cu .... 2. Rezultatul calculului [6⋅2+(50–23):3]⋅2 este egal cu .... 3. Rezultatul calculului 93–17+[220–(702:18+1):8]:5 este egal cu …. 4. Rezultatul calculului 126:9+ 11 ⋅ 5 este egal cu …. 5. Suma numerelor A = 223 : 221 : 21 şi B = 332 : 331 ⋅ 31 este egală cu …. 6. Dintre numerele A = 36 : ( 4 ⋅ 3) şi B = 36 : 4 ⋅ 3 mai mare este ….

7. Rezultatul calculului (146 + 499 ) :15 + ( 675 − 25 ) : 25 este egal cu …. 100 100 8. Rezultatul calculului ( 9 − 23 ) + ( 26 − 52 )  este egal cu ….   3

Partea a II-a: 9. CalculaŃi: a) 46 : 23 + 78 − 3 ⋅ (15 + 7 ⋅ 5 ) : 5 − 3 ⋅ 7 ;

{

}

b) 520 :10 − 7 ⋅ ( 3 + 18 : 9 )  ⋅ 5 + 6 ⋅ (15 ⋅ 12 − 15 ⋅ 10 ) :15.

10. EfectuaŃi: a) 9 ⋅ {8 + 7 ⋅ [6 + 5 ⋅ (4 + 3 ⋅ (2 + 1))]}: (1 + 2 + 3 + … + 9 ) ; b) 1 + 2 ⋅ {3 + 4 : [5 − 6 : (7 − 8 : (9 − 1))]}. 11. CalculaŃi: ( 35 + 35 ⋅ 35 ) : ( 35 ⋅ 36 ) + (124 + 124 ⋅ 124 ) : (124 ⋅ 125 ) .

{

(

) (

)

}

12. EfectuaŃi: 3 ⋅ 20 ⋅ 5 ⋅ 4 + 13 − 23 ⋅ 33 : 62  + 71 .  

• Test 13. NoŃiunea de divizor; Divizibilitatea cu 2, 5 şi 10.

noŃiunea

multiplu.

Partea I: 1. Divizorii numărului 12 sunt …. 2. Multiplii lui 5, mai mici decât 50, sunt …. 3. Cel mai mic număr natural de forma 123x divizibil cu 2 este egal cu …. 16

4. Dintre numerele 543; 453 şi 345, divizibil cu 5 este numărul .... 5. Un multiplu comun al numerelor 12 şi 18 este egal cu .... 6. Numerele de forma aaa divizibile cu 2 sunt …. 7. Numerele pare cuprinse între 2n şi 2n + 7, n ∈ ℕ sunt …. 8. Suma a trei numere impare consecutive este 45. Cel mai mic număr dintre cele trei este egal cu …. Partea a II-a: 9. ArătaŃi că: a) 20052005 + 20062006 − 1 este divizibil cu 10; b) 7 n + 7 n +1 + 7 n + 2 + 7 n + 3 este divizibil cu 10. 10. DemonstraŃi că numărul 9 + 92 + ... + 92012 este divizibil cu 10. 11. DeterminaŃi numerele naturale de forma abcd divizibile cu 5 şi care verifică relaŃia a + d = 7 ⋅ ( b + c ) . 12. ArătaŃi că oricum am alege 6 numere naturale, există printre ele două care au diferenŃa divizibilă cu 5.

• Test 14. Media aritmetică a două numere naturale. Partea I: 1. Media aritmetică a numerelor 7 şi 5 este egală cu …. 2. Media aritmetică a numerelor 17, 35 şi 41 este egală cu …. 3. Dacă media aritmetică a numerelor a, b, c, d este 35, atunci media aritmetică a numerelor a, b, c, d , 25 este egală cu …. 4. Dacă media aritmetică a 5 numere este 23, atunci suma numerelor este egală cu …. 5. Media aritmetică a trei numere naturale consecutive este 19. Cel mai mare dintre cele trei numere este egal cu …. 6. Dacă media aritmetică a trei numere naturale este 18, iar unul dintre numere este 26, atunci suma celorlalte două numere este egală cu ….

Partea a II-a: 7. Media aritmetică a numerelor naturale a, b, c este 24, iar media aritmetică a numerelor a şi b este egală cu 16. DeterminaŃi valoarea numărului natural c. 8. Fiind date trei numere naturale se ştie că media aritmetică a primelor două numere este 14, media aritmetică a ultimelor două este 20, iar ultimul număr este de 4 ori mai mare decât al doilea. Să se afle numerele şi media lor aritmetică.

• Test 15. EcuaŃii şi inecuaŃii în mulŃimea numerelor naturale. Partea I: 1. DeterminaŃi numerele naturale x ştiind că: a) x + 3 = 5; b) x − 7 = 9; c) 4 + x = 17; d) 23 − x = 5; e) 2 ⋅ x = 42; f) x ⋅ 7 = 35; g) x : 3 = 5; h) 45 : x = 5; i) 2 x + 4 = 12; j) 3x − 12 = 15; k) 5 x = 25; l) 42 x = 24 ; m) 4 x − 3 = 2 x + 17; n) 5 x + 3 = 2 x + 27. 2. DeterminaŃi numerele naturale x ştiind că: a) x + 9 < 12; b) x − 3 ≤ 5; c) 2 + x ≥ 5; d) 7 − x < 1; e) 2 ⋅ x ≤ 10; f) x ⋅ 7 < 35; g) x : 3 < 2; h) x : 4 ≥ 3; i) 5 x + 4 < 16; j) 4 x − 12 ≤ 15; k) 3x ≤ 27; l) 52 x+1 < 125; m) 7 x − 3 < 5 x + 13; n) 2 x + 4 < x + 16.

Partea a II-a: 3. DeterminaŃi numărul natural x ştiind că: a) 3 ⋅ ( 3 x + 9 )  :13 = 9; b) 100 ⋅  25 − 5 ⋅ ( x − 3) + 2  : 4 = 300;

{

}

c) 10 − 10 − 10 − (10 − 2 x )  :10 = 10; d) ( x + 3) : 200 + 90  :10 − 10 = 0;

{

}

e) 1 + 2 ⋅ 3 + ( x − 4 ) ⋅ 5 : 6 ⋅ 7 = 8; f)  2 ⋅ ( x + 8 ) ⋅ 3 + 4 ⋅ ( x + 8 )  : 4 = 25. 18

4. AflaŃi numerele naturale x, y, z ştiind că: a) ( x + 1) ⋅ ( x + 2 ) = 42;

b) ( x + 3) ⋅ ( y + 5 ) = 72; c) 2 x +3 y = 8; d) 5x + 5 x +1 + 5 x + 2 = 31; e) 5 xyz = 2 ⋅ xyz 5 + 1190; f) 7 ⋅ xy + yx = xyyx :11 + 1.

• Test 16. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor şi al inecuaŃiilor şi probleme de organizare a datelor. Partea I: 1. Pătratul unui număr este 64. Numărul este egal cu .... 2. Dublul unui număr este 120. Numărul este egal cu …. 3. Suma dintre predecesorul şi succesorul unui număr este 130. Numărul este egal cu …. 4. Triplul unui număr este 27. Numărul este egal cu …. 5. Dublul unui număr este cu 10 mai mic decât suma dintre acesta şi 60. Numărul este egal cu …. 6. Suma a două numere naturale consecutive este 71. Cel mai mare număr dintre cele două numere este egal cu …. 7. Cinci creioane şi trei pixuri costă 19 lei. Trei creioane şi şase pixuri costă 24 lei. PreŃul unui creion este egal cu …. 8. Ştiind că împărŃind pe 60 la un număr natural dintre 10 şi 20 obŃinem câtul egal cu restul, atunci câtul este egal cu … şi împărŃitorul este egal cu …. Partea a II-a: 9. Un grup de copii a primit mere. Unul dintre copii a primit 3 mere, iar ceilalŃi copii au primit fiecare câte 5 mere. Dacă fiecare copil din grup ar fi primit câte 4 mere, ar fi rămas 11 mere. a) CâŃi copii sunt în grup? b) Câte mere au primit în total copiii?

10. Andrei şi Vlad sunt fraŃi. Suma vârstelor celor doi fraŃi este 21 de ani. În urmă cu trei ani, vârsta lui Andrei era jumătate din vârsta lui Vlad. Ce vârstă are Vlad acum? 11. Trei muncitori au primit pentru o lucrare 1800 lei. Ştiind că primul a lucrat 12 zile, al doilea cu 3 zile mai mult, aflaŃi câte zile a lucrat al treilea muncitor, dacă pe zi sunt plătiŃi fiecare cu suma de 40 de lei. 12. Răspunzând la toate cele 100 de întrebări ale unui test, un elev a obŃinut 340 de puncte. Pentru un răspuns corect s-au acordat 5 puncte, iar pentru un răspuns greşit s-au scăzut 3 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat elevul? • Test 17. Evaluare finală, numere naturale Partea I: 1. Cel mai mare număr natural de 5 cifre diferite, având produsul cifrelor 0 este egal cu …. 2. Suma numerelor 327 şi 1864 este mai mare decât diferenŃa numerelor 2345 şi 2200 cu …. 3. Rezultatul calculului 470 ⋅ 36 : 90 − ( 200 − 32 ) :14 este egal cu …. 4. Rezultatul calculului 5+6+7+…+2010 este egal cu …. 5. Numărul adunat la 75 pentru a obŃine triplul lui 57 este egal cu .... 6. Ordinea crescătoare a numerelor 32002 ; 23003 şi 71001 este …. 7. Rezultatul calculului 1995+1995 ⋅1996 − 1997 ⋅ 1994 este egal cu …. 8. SoluŃia ecuaŃiei 2 x − 11 = 37 este egală cu …. Partea a II-a: 9. Scriem şirul numerelor impare fără să le separăm. DeterminaŃi a 2010-a cifră. 10. Suma a trei numere naturale este 141. Dacă împărŃim pe primul la al doilea se obŃine câtul 3 şi restul 1, iar dacă împărŃim pe al doilea la al treilea obŃinem câtul 4 şi restul 1. AflaŃi numerele.

11. ArătaŃi că oricare ar fi numerele naturale pentru care 2 x − 3 y = 4, numărul ( x − 2 )( y + 2 ) este divizibil cu 6. 12. Dacă numerele naturale ab 2, bc7 şi ca8 se împart exact la 3, arătaŃi că numărul a 2 + b 2 + c 2 nu este pătrat perfect.

• Test 18. Evaluare finală, numere naturale Partea I: 1. Scrierea în ordine descrescătoare a numerelor 5678;5876;5768 şi 5687 este …. 2. Rezultatul calculului 23 + 10 : 50 − 32 este egal cu …. 3. SoluŃia ecuaŃiei 11 − x = 5 este egală cu …. 4. Dacă a + b = 20 şi b + c = 30, atunci valoarea expresiei 2a + 3b + c este egală cu …. 5. Dacă 5a + 7b este divizibil cu 2, atunci numărul numerelor de forma ab este egal cu …. 6. Rezultatul calculului ( 317 − 29 ⋅ 6 ) :11 este egal cu …. 7. Numerele naturale care împărŃite la 5 şi dau câtul 8 sunt …. 8. Numerele naturale nenule care verifică 2 x − 3 < 7 sunt …. Partea a II-a: 9. ComparaŃi A şi B ştiind că A = 322 + 232 , iar B = 812 − 7 ⋅ 811 . 10. La o fermă sunt găini, gâşte şi raŃe, în total 518 păsări. Ştiind că numărul gâştelor este cu 74 mai mare decât al găinilor, iar raŃe sunt cu 120 mai multe decât găini, să se afle câte păsări sunt din fiecare categorie. 11. AflaŃi restul împărŃirii numărului A=279 + 3 ⋅236 + 15 ⋅324 + 626 la numărul 325. 12. Fie A = ( n + 1) 2006 − n 2006 . ArătaŃi că A2 + 4 ⋅ A + 2 nu este pătrat perfect. 21

• Test 19. Evaluare finală, numere naturale Partea I: 1. Numerele naturale de forma abc , care verifică relaŃia abc = cba sunt …. 2. La numerotarea paginilor unei cărŃi cifra 0 a fost folosită de 39 de ori. Cartea are … pagini. 3. Numerele naturale n care verifică relaŃia 100 < 2n < 200 sunt …. 4. Rezultatul calculului (216 + 134) : 25 + 365 : 5 ⋅ 2 + 27 ⋅ 3 : 9 este egal cu .... 5. SoluŃia ecuaŃiei 3x − 7 = x + 11 este egală cu …. 6. Dintre numerele 23005 şi 32005 mai mare este numărul .... 7. Ultima cifră a numărului 123123 este egală cu …. 8. Media aritmetică a numerelor 2; 4; 6 şi 8 este egală cu …. Partea a II-a: 9. AflaŃi restul împărŃirii numărului 24k + 24k + 2 la 100, k ∈ ℕ. 10. Dacă numărul natural A = x 2006 ⋅ 348 + y 2006 ⋅ 225 este divizibil cu 5, atunci numerele naturale x şi y sunt divizibile cu 5.

11. În biblioteca unui elev, pe unul dintre rafturi se află 60 de cărŃi. Pe fiecare dintre celelalte rafturi se află câte 50 de cărŃi. Dacă elevul ar aşeza câte 60 de cărŃi pe un raft, atunci ar rămâne 4 rafturi fără nicio carte. a) Câte rafturi are biblioteca? b) Câte cărŃi sunt în biblioteca elevului ? 12. Să se determine toate numerele naturale mai mici decât 1000, care împărŃite la 41, dau un rest de 4 ori mai mic decât câtul.

Capitolul

MULłIMI

• Test 20. MulŃimi: descriere şi notaŃii; element, relaŃia dintre element şi mulŃime(relaŃia de apartenenŃă) Partea I: 1. MulŃimea literelor din cuvântul matematică este egală cu …. 2. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “ 5 ∈ { x ∈ ℕ x ≤ 11} ” este ….

3. Numărul elementelor mulŃimii A = { x ∈ ℕ 4 < x ≤ 23} este egal cu ....

4. Valoarea numărului natural a pentru care mulŃimea {a;3a; a + 1} are două elemente este egală cu …. 5. PrecizaŃi elementele celor două mulŃimi din figura de mai jos. A

4 5 7

1 8

6. Fie mulŃimile C = {1; 2;3;4;5;6;7;8} şi D = {4;5;6;9} . PrecizaŃi valoarea de adevăr a fiecărei propoziŃii: a) 2 ∈ C ; b) 6 ∉ D; c) 1∈ C sau 1∈ D; d) 4 ∈ D şi 4 ∈ C ; e) 10 ∉ C ; f) 9 ∈ C sau 2 ∈ D; g) D conŃine un pătrat perfect; h) CardC < CardD. 7. Fie mulŃimile A = {61;62;...;73} şi

B = { x x este răsturnatul lui y, y ∈ A}. Elementele comune celor două

mulŃimi sunt …. 8. Scrierea mulŃimii A = {1; 2;4;8;16} cu ajutorul unei proprietăŃi caracteristice este ….

Partea a II-a: 9. Se dă mulŃimea A cu proprietăŃile: a) dacă x ∈ A ⇒ 5 x + 1∈ A; b) dacă 7 x + 4 ∈ A ⇒ x ∈ A; 23

c) 9 ∈ A. ArătaŃi că numărul 6 aparŃine mulŃimii A. 10. Fie mulŃimile A = { x + 7;2 x + 3;5 x − 1} şi B = {2 x + 1; x + 9; 4 x + 5}. DeterminaŃi numărul natural x ştiind că A = B.

11. Din cei 30 de elevi ai unei clase, 20 participă la olimpiada de matematică, iar 18 la olimpiada de limba română. Ştiind că fiecare elev participă la cel puŃin o olimpiadă, aflaŃi: a) câŃi elevi participă la ambele olimpiade? b) câŃi elevi participă numai la olimpiada de matematică? 12. Considerăm o mulŃime A formată din numere naturale pare consecutive şi resturile la împărŃirea cu 11 a tuturor elementelor mulŃimii A. Ştiind că suma acestor resturi este 1980, aflaŃi câte elemente are mulŃimea A.

• Test 21. RelaŃia între două mulŃimi(relaŃia de incluziune); submulŃime; mulŃimile ℕ şi ℕ * Partea I: 1. SubmulŃimile mulŃimii A = {1;4;9} sunt .... 2. Valorile lui x pentru care mulŃimea

{ x;3}

este o submulŃime a

mulŃimii {0;1; 2;3; 4;5;6} sunt egale cu …. 3. PrecizaŃi valoarea de adevăr a fiecărei propoziŃii: a) ℕ* ⊂ ℕ; b) {0;1; 2;3; 4;5} ⊂ ℕ*; c) ℕ ∩ ℕ* ≠ ∅; d) {2010} ⊂ ℕ. 4.

Fie mulŃimile

A = { x x este ultima cifră a unui pătrat perfect}

şi

B = { y y este divizibil cu 2}. Valoarea de adevăr a propoziŃiei A ⊂ B este .... 5. Numărul submulŃimilor mulŃimii A = {0;1;2;3;4;5} care conŃin elementele 1; 2 şi 3 este egal cu …. 6. Numărul maxim de mulŃimi diferite ce se pot forma cu elementele a, b, c este egal cu …. 24

7. Dacă {3;5;6} ⊆ A şi A ⊂ {1;2;3;5;6} , atunci mulŃimea A = .... 8. Cel mai mic element al mulŃimii ℕ * este egal cu …. Partea a II-a: 9. Se dă mulŃimea A = {1;2;3;4;5;6;7}. Câte submulŃimi de patru elemente are mulŃimea A, astfel încât suma elementelor fiecăreia să fie număr par?

{

}

10. Fie mulŃimea A = xy ∈ ℕ xy ⋮ 2 şi x⋮5 . a) EnumeraŃi elementele mulŃimii A. b) ScrieŃi cel mai mic element al mulŃimii A. c) ScrieŃi cel mai mare element al mulŃimii A. d) ScrieŃi submulŃimile lui A formate din câte două elemente. e) ScrieŃi submulŃimile lui A formate din câte trei elemente. 11. Se dă mulŃimea A = {1; 2;3;...;2010}. a) DeterminaŃi numărul submulŃimilor mulŃimii A formate din două elemente cu suma egală cu 2011. b) DeterminaŃi numărul submulŃimilor mulŃimii A formate din patru elemente, astfel încât suma a două elemente să fie egală cu suma celorlalte două elemente şi să fie egală cu 2011. 12. Fie mulŃimea M = {1;2;3;4;...;100}. Să se arate că mulŃimea M conŃine cel puŃin o submulŃime nevidă cu proprietatea că suma elementelor sale este divizibilă cu 100.

• Test 22. OperaŃii cu mulŃimi: intersecŃie, reuniune, diferenŃă; exemple de mulŃimi finite; exemple de mulŃimi infinite Partea I: 1. Fie

mulŃimile

A = {1; 2;3; 4;5;6;7} ,

C = {1; 2;3;7;12} . DeterminaŃi:

B = {5;6;7;8;9}

şi

a) A ∪ B; b) A ∪ C ; c) B ∪ C ; d) A ∩ B; e) A ∩ C ; f) B ∩ C ; g) A ∪ B ∪ C ; h) A ∩ B ∩ C ; i) A \ B; j) B \ C ; k) A \ C ; l) A ∪ ( B ∩ C ) .

2. Fie A = {1; 2; a} şi B = {1; b;3}. Dacă A ∪ B = A ∩ B, atunci valoarea expresiei a + b este egală cu …. 3. Dacă {3; x;5;9} ∩ {2;3;6;7} = {3;7} , atunci x este egal cu …. 4. Dacă mulŃimea A are 4 elemente, mulŃimea B are 6 elemente şi mulŃimea A ∩ B are două elemente, atunci mulŃimea A ∪ B are … elemente. 5. MulŃimea divizorilor naturali ai numărului 15 este egală cu …. 6. MulŃimea multiplilor lui 5 mai mici decât 400 are … elemente. 7. MulŃimea multiplilor comuni, mai mici decât 50 ai numerelor 4 şi 6 este egală cu …. 8. Dacă A ∩ B are 3 elemente, A \ B are 5 elemente şi B \ A are un element, atunci mulŃimea A ∪ B are … elemente.

Partea a II-a: 9. Să se determine mulŃimile X şi Y ştiind că: a) X ∪ Y = {1;2;3;4;5} ;

b) {3;5} ⊂ Y ;

c) {1} ∩ Y = ∅;

d) {2;4} ∩ X ≠ ∅; e) X ∩ Y = ∅. 10. Se dau mulŃimile:

{

}

A = {n ∈ ℕ x = 5n + 7, n ∈ ℕ} şi B = y y = n 2 , n ∈ ℕ .

a) Să se determine elementele mulŃimilor F = { y ∈ B 30 < y < 100}.

E = { x ∈ A x < 30} şi

b) ArătaŃi că A ∩ B = ∅. 11. Să se determine mulŃimile A şi B ştiind că îndeplinesc simultan condiŃiile: a) A ∪ B = {1;2;3;4;5;6;7} ; 26

b) A ∩ B = {2;6;7} ;

c) A \ B = {1;4}.

12. Dacă A={x∈ ℕ x=3n+2, n∈ ℕ } şi B={y∈ ℕ y=2p+3, p∈ ℕ }, atunci: a) arătaŃi că A∩B≠∅; b) dacă x∈A şi y∈B, aflaŃi restul împărŃirii numărului 2x+3y la 6; c) arătaŃi că 2003∈A∩B.

• Test 23. Evaluare finală, mulŃimi Partea I: 1. Dacă A = {a; b;1;3;6;9} şi B = {b;3;4;5} , atunci A ∩ B = ... , A ∪ B = ... şi A \ B = .... 2. Dacă A = {13;14;15;...;78} , atunci cardinalul mulŃimii A este egal cu …. 3. Dacă A ∩ {2;3;4;} = {3} şi A ⊂ {1;3; 4} , atunci mulŃimea A = .... 4. Fie A = { x ∈ ℕ 1 < x ≤ 12}. Elementele mulŃimii A sunt ….

5. Rezultatul operaŃiei D12 ∩ D8 este egal cu ….

6. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “ ∅ ⊂ {1;2;3;4} ” este …. 7. Rezultatul operaŃiei M 15 ∩ M 14 este egal cu ….

{

}

8. Suma elementelor mulŃimii A = x ∈ ℕ 1 < x ≤ 2100 este egală cu ….

Partea a II-a: 9. Să se determine mulŃimile A şi B ştiind că sunt îndeplinite simultan condiŃiile: a) A ∪ B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} ;

b) A \ B = {2;3;6;8} ; c) suma elementelor mulŃimii A este un pătrat perfect.

10. Fie mulŃimile A = { x ∈ ℕ 7 < x ≤ a, unde a este număr natural} şi B = { y ∈ ℕ y este divizibil cu 5}. DeterminaŃi toate numerele naturale a

ştiind că mulŃimea A ∩ B are 20 elemente.

11. Fiecare element al mulŃimii A = {1; 2;3;...;98;99;100} se colorează cu una din culorile roşu, galben şi albastru, respectând următoarele reguli: i) suma dintre orice număr galben şi orice număr albastru este divizibilă cu 3; ii) suma oricăror două numere roşii este divizibilă cu 3. a) Să se arate că numărul 3 este roşu; b) Să se calculeze suma tuturor numerelor care nu sunt roşii. 12. Fie mulŃimile: M1 = {1} ; M 2 = {1;3} ; M 3 = {1;3;6} ; M 4 = {1;3;6;10} ; M 5 = {1;3;6;10;15} ;... a) ArătaŃi că există k , p ∈ ℕ* astfel încât 55 ∈ M k − M p . b) Există t ∈ ℕ* astfel încât 2006 ∈ M t ?

c) AflaŃi numărul elementelor divizibile cu 5 din M 2006 .

• Test 24. Evaluare finală, mulŃimi Partea I: 1. DeterminaŃi mulŃimile A şi B ştiind că verifică simultan condiŃiile: a) A ∪ B = {1;2;3;4;5;6;7;8} ; b) A \ ( A ∩ B ) = {1; 2} ; c) B \ ( A ∩ B ) = {7;8}.

2. DeterminaŃi mulŃimile A şi B ştiind că verifică simultan condiŃiile: a) A ∩ B = {3;4} ; b) A ∪ B = {3; 4;5;6;7} ; c) suma elementelor mulŃimii B este un număr par.

3. DeterminaŃi mulŃimile A şi B ştiind că verifică simultan condiŃiile: a) A ∪ B = {1;2;3;4} ; b) cardA = cardB = 2; c) dacă x ∈ A ⇒ x + 1∈ B. 4. DeterminaŃi mulŃimile A şi B ştiind că verifică simultan condiŃiile: a) A ∩ B = {1;2;3;9} ; b) A \ B = {6;7} ; c) elementele mulŃimilor A şi B sunt cifre; d) suma elementelor mulŃimii A este egală cu suma elementelor mulŃimii B.

Partea a II-a: 5. Fie A şi B două mulŃimi astfel încât A ∩ B = A ∪ B. ArătaŃi că A = B. 6. DeterminaŃi mulŃimile A şi B ştiind că A ∪ B = {1;2;3;...;100} , mulŃimea A are 70 de elemente şi suma elementelor mulŃimii A este egală cu suma elementelor mulŃimii B. 7. Fie mulŃimile A = {20 ; 20 + 21 ; 20 + 21 + 22 ; 20 + 21 + 22 + 23 ; ...}

şi

B = {30 ; 30 + 31 ; 30 + 31 + 32 ; 30 + 31 + 32 + 33 ; ...}.

DeterminaŃi mulŃimea A ∩ B.

{

8. Fie mulŃimile A = x ∈ ℕ 238 < x ≤ 326

} şi B = { y ∈ ℕ 3

}

≤ y < 242 .

Dacă a este numărul elementelor multimii A şi b este numărul elementelor mulŃimii B , comparaŃi numerele naturale a şi b.

Capitolul

NUMERE RAłIONALE MAI MARI SAU EGALE CU 0

• Test 25. FracŃii echiunitare, subunitare, supraunitare; aflarea unei fracŃii dintr-un număr natural; procent Partea I: 7 este o fracŃie echiunitară este n+2

1. Numărul natural n pentru care

egal cu …. n 2. este o fracŃie subunitară, unde n ∈ ℕ∗ . Numărul valorilor lui n 5 este egal cu …. n+3 3. Dacă este o fracŃie supraunitară şi n ∈ ℕ , atunci n ∈ {....} . 2n + 1 3 4. din 500 este egal cu egal cu .... 4 5. O bicicletă costă 350 lei. Dacă preŃul se micşorează cu 12% , atunci bicicleta va costa ... lei. ab5 + 12 6. Dacă fracŃia este echiunitară, atunci a + b = .... 2ab + 123 7. După o scumpire cu 10% urmată de o ieftinire cu 10% un obiect costă 99 lei. IniŃial, preŃul obiectului era .... lei. 1 2 3 2009 8. din din din ...din din 4020 este egal cu .... 2 3 4 2010

Partea a II-a: 9. Să se determine toate perechile de numere naturale ( x, y ) pentru care fracŃia

31 este echiunitară. xy + x + 2 y

10. Să se arate că fracŃia

2 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ ... ⋅ 22010

( 32 )

1608 251

este supraunitară.

11. Să se determine numerele x şi y ştiind că x este

este

2 din y şi x + 1 7

7 din y − 2. 8

12. Să se determine toate tripletele de numere naturale nenule ( x, y , z )

ştiind că fracŃia

x 2 + 2 y 2 + 3z 2 este subunitară. 6

• Test 26. FracŃii echivalente; amplificarea şi simplificarea fracŃiilor; reprezentarea pe axa numerelor a unei fracŃii ordinare Partea I: 14 este echivalentă cu fracŃia: 49 2 3 2 7 a) b) c) d) 3 2 7 2 12 2. După amplificarea cu 4 a fracŃiei se obŃine: 20 3 12 48 12 a) b) c) d) 20 5 20 80 1. FracŃia

3. După simplificarea cu 3 a fracŃiei

5 21

5 7

1 4

48 80

15 7

15 se obŃine: 21

45 21

15 63

ab 5 sunt echivalente cu ? 3 cd ab30 + 35 ⋅ ab 5. Dacă se simplifică fracŃia se obŃine: 15 ab6 + 7 ⋅ ab a )9 ⋅ ab + 2 b) c)ab d )13 ⋅ ab 3

4. Câte fracŃii de forma

6. Care este numărul natural x pentru care fracŃiile

13 ⋅ ab 3

x+2 7 şi sunt 3 x+6

echivalente? 7. Dacă se amplifică fracŃia

aaabbb cccddd

a 0ba0b c0dc0d

8. Simplificând fracŃia

1 2

ab cu 10101 se obŃine: cd c)

aabb ccdd

ababab cdcdcd

a1b1a1b c1d1c1d

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 100 se obŃine: 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 200

1 2100

c)2100

d )2

e)1

Partea a II-a: 9. Să se determine cea mai mică fracŃie de forma

3a 4b care se 7c 2d

simplifică cu 18. 10. Să se arate că fracŃia

64 nu se simplifică oricare ar fi x y + xy 2 + 5 2

x, y ∈ ℕ . 11. Ştiind că a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) , ∀a, b ∈ ℕ , să se arate că 32

3n + 5n + 6n + 10n 1 se poate scrie sub forma , unde k ∈ ℕ . n n n n 3 + 5 + 24 + 40 k

12. Să se arate că fracŃia

3n + 7 este ireductibilă oricare ar fi numărul 2n + 5

natural n .

• Test 27. Scrierea fracŃiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de fracŃii zecimale. Transformarea unei fracŃii zecimale, cu un număr finit de zecimale nenule, într-o fracŃie ordinară; aproximări la ordinul zecimilor/sutimilor. Compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axa numerelor a fracŃiilor zecimale. Partea I: 3 scrisă sub formă de fracŃie zecimală este egală cu …. 10 32456 2. FracŃia scrisă sub formă de fracŃie zecimală este egală cu …. 100 23 3. FracŃia 3 scrisă sub formă de fracŃie zecimală este egală cu …. 10 4. Scrisă sub formă de fracŃie ordinară, fracŃia 2,03 este egală cu …. 5. Scrisă sub formă de fracŃie ordinară, fracŃia 0, 037 este egală cu …. 6. Dintre fracŃiile 4, 23 şi 4,198 mai mare este …. 134 1314 7. Fie a = 13, 25 , b = şi c = . Ordinea crescătoare a celor trei 10 100 fracŃii este .....<….<…. 8. Suma dintre aproximarea prin lipsă şi cea prin adaos până la ordinul zecimilor a fracŃiei zecimale 5, 48 este egală cu …. 1. FracŃia

Partea a II-a: 9. Să se determine ultima zecimală nenulă a numărului

3 5

2009

13 . 22010 4037 11. Să se determine ultimele trei zecimale nenule ale numărului 2011 . 2 152 12. Să se determine ultimele patru zecimale nenule ale numărului 2012 . 2

10. Să se determine ultimele două zecimale nenule ale numărului

• Test 28. Evaluare finală, numere raŃionale Partea I: 1. Numerele naturale x pentru care

12 ∈ ℕ sunt: 2x + 1

12 x + 1 este subunitară, unde x ∈ ℕ , atunci x ∈ {....} . 4 x + 18 a 2b 3. Câte fracŃii de forma sunt numere naturale? 5 5a1 4. Câte fracŃii de forma se simplifică cu 3? b2 abc 4 5. Câte fracŃii de forma sunt echivalente cu ? 7 xyz 2. Dacă

3n ⋅ 17 n este supraunitară, n ∈ ℕ, atunci n > .... 1 + 3 + ... + 101 5 7. Cu ce numere naturale trebuie amplificată fracŃia pentru a obŃine 12 o fracŃie cu numitorul un număr natural de 3 cifre pătrat perfect? 1 + 20 + 21 + ... + 2m 8. Dacă fracŃia este echiunitară atunci 1 + 3 ⋅ 40 + 3 ⋅ 41 + ... + 3 ⋅ 4n m − 2n = .... 6. Dacă fracŃia

Partea a II-a:  6n + 2  9. Fie mulŃimile A =  n ∈ ℕ este subunitară  şi 5n + 7   34

 8n + 17  B = n ∈ ℕ este supraunitară  . 10n + 2   Să se determine B − A . n3 + 36030 5n + 26030 10. ComparaŃi fracŃiile 3 ş i ,n∈ℕ . n + 54020 5n + 34020

11. Să se arate că fracŃia n, a , b ∈ ℕ ∗ . 12. Să se arate că fracŃia

n 2 − n + 2a este reductibilă oricare ar fi 3n 2 + 9n + 2b

2 ⋅ 3n + 5 este ireductibilă oricare ar fi numărul 3n+1 + 6

natural n .

prof. Narcis Gabriel Turcu, Brăila

• Test 29. Evaluare finală, numere raŃionale Partea I: 4 19 , şi 0,82 cea mai mică este..... 5 25 2. Fie x, y ∈ ℕ. Cea mai mare valoare a produsului x ⋅ y pentru 16 care ∈ ℕ este .... x⋅ y − y a⋅n +b + a +b⋅n 3. După simplificare fracŃia este echivalentă cu: a ⋅ n + 3⋅b + 3⋅ a + b ⋅ n a+n 1 n +1 1 a + b +1 a) b) c) d) e) b+n 3 n+3 6 a+b+3 4⋅a −5 4. Dacă a ∈ ℕ şi este o fracŃie pozitivă subunitară, atunci 2⋅a + 3 a ∈ {....}.

1. Dintre fracŃiile

5. Dacă x ∈ ℕ şi

5⋅ x + 7 ∈ ℕ , atunci x ∈ {....} . 3⋅ x −1 35

ab 5 şi sunt echivalente, atunci ab + cd = ..... 51 cd n 2 + 3n + 2 este echivalentă cu: 7. FracŃia 2 n + 5n + 4 n+2 5 3⋅ n + 2 4 1 a) b) c) d) e) n+4 9 5⋅n + 4 7 2 18 8. Cu ce numere naturale trebuie amplificată fracŃia pentru a obŃine 5 o fracŃie cu numărătorul un număr natural de 3 cifre cub perfect?

6. Dacă fracŃiile

Partea a II-a: 9. Să se determine numărul fracŃiilor de forma sunt subunitare, unde n ∈ ℕ ∗ . 10. Să se arate că fracŃia n∈ℕ .

1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n care 1 + 3 + ... + 2n − 1

2n + 3 + 2n +1 + 2n este reductibilă oricare ar fi 3n + 5 + 2 ⋅ 3n + 3

11. Să se determine numărul fracŃiilor de forma

3x4 care se simplifică a 24

cu 12. 12. Să se arate că fracŃia

20 ⋅ n + 5 este ireductibilă oricare ar fi numărul 15 ⋅ n + 4

natural n .

prof. ŞtefănuŃ Ciochină, Brăila

Capitolul

MODELE PENTRU TEZĂ

• Test 30. Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. Rezultatul calculului 43 − 12 : 4 ⋅ 3 este egal cu ….

{

}

2. Rezultatul calculului 70 ⋅ 40 + 120 :  70 − 800 : ( 90 − 130 :13) 

este

egal cu …. 3. SoluŃia ecuaŃiei 2 x + 7 = 23 este egală cu ….

4. Rezultatul calclului ( 73 ⋅ 75 ⋅ 7 4 ) : 4911 este egal cu …. 2

5. SoluŃia ecuaŃiei x : 3 = 25 + 16 : 23 este egală cu …. 6. Se dau mulŃimile A = {1;5;8} şi B = {2;5;7;10}. Să se determine A ∪ B; A ∩ B; A − B; B − A. 7. Dintre numerele 530 şi 7 20 mai mare este numărul …. 8. Rezultatul calculului 5+10+15+…+2010 este egal cu ….

Partea a II-a: 9. Să se determine elementele mulŃimilor A şi B, ştiind că îndeplinesc simultan condiŃiile: i) A ∪ B = {1;2;3;4;5;6} ; ii) A − B = {1;5} ;

iii) B − A = {2;6}.

10. Suma a două numere naturale este 405. Să se afle numerele, ştiind că, împărŃind pe unul din ele la celălalt, obŃinem câtul 3 şi restul 5. 11. Să se afle suma cifrelor numărului N = 22001 ⋅ 52000 − 1.

12.

CalculaŃi

cea

mai

mică

valoare

numărului

unde

n = abc + acb + bac + cab + cba şi a, b, c sunt cifre nenule diferite între ele. • Test 31. Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. Rezultatul calculului 33 − 23 este egal cu …. 2. Numărul care împărŃit la 7 dă câtul 3 şi restul 5 este egal cu …. 3. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “Dacă 7 < 5, atunci Brăila este capitala FranŃei“ este .... 4. Dintre numerele 350 şi 275 mai mic este numărul …. 5. Rezultatul calculului 73⋅42 + 73⋅8 - 50⋅72 este egal cu .... 6. Dacă A = {m; p; q} şi B = {r ; p; n; t} , atunci A ∪ B = .... 7. Dacă 3a + 5b = 8, atunci 9a + 15b = .... 8. SoluŃia ecuaŃiei 5 x − 11 = 2 x + 16 este egală cu ….

Partea a II-a:

(

9. Dacă a = (1 + 2 + 3 + ... + 1994 ) :1995 şi b = 217 : 48 calculaŃi 2 ( a + b ) − 1 .

)

1995

: 8665 ,

10. Fie şirul de numere 2; 9; 16; 23; …. a) CompletaŃi şirul cu încă trei termeni. b) AflaŃi termenul de pe locul 23. a) CalculaŃi suma primilor 20 de termeni ai şirului. 11. ArătaŃi că numărul A = 1 + 21 + 22 + ... + 22003 se împarte exact la 5. 12. AflaŃi toate numerele naturale, scrise în baza 10, de forma abc , astfel încât abc împărŃit la bc dă câtul 5 şi restul 4.

• Test 32. Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. Rezultatul calculului ( 319 + 171) : 7 ⋅ 2 + 5 ⋅ ( 77 − 65 )  : ( 7 + 93) este egal cu .... 2. Suma a două numere este 15, iar unul dintre ele este dublul celuilalt. Produsul celor două numere este egal cu ….

( )

3. Rezultatul calculului 2 8 : 2 5 + 33 cu ....

: 310 + 2002 0 − 2 3 : 2 este egal

4. Ultima cifră a numărului 19921993 + 19931992 este egală cu …. 5. Dacă A = {1;2;3;4;5;6} şi B = {12;34;5;6;7}, atunci A ∩ B = .... 6. Rezultatul calculului 3 + 6 + 9 + ... + 111 este egal cu …. 7. SoluŃia ecuaŃiei [(3 + 25 : 5) x − 2] : 39 = 2 este egală cu .... 8. La împărŃirea prin numărul 23 a numărului ... se obŃine câtul 16 şi restul 16.

Partea a II-a: 9. Fie A o mulŃime formată din numere naturale ce satisface condiŃiile: a) 1∈A; b) dacă x∈A, atunci 3x∈A; c) dacă 5x-4∈A, atunci x∈A. ArătaŃi că 11∈A. 10. Fie n ∈ ℕ astfel încât 13n + 8 dă restul 13 la împărŃirea cu 80, iar 8n + 5 dă restul 5 la împărŃirea cu 50. DeterminaŃi ultimele două cifre ale lui n. 11. Se consideră numerele

a = 8222 − 3 ⋅ 4332 − 2663 şi b = 3500 − 2 ⋅ 3499 − 2 ⋅ 3498 − ... − 2 ⋅ 3443 − 2 ⋅ 3442. a) Să se compare cele două numere. b) Să se arate că numărul a + b + n 2 nu este divizibil cu 5, oricare ar fi n ∈ ℕ. 12.

Fie

a1 , a2 ,..., a9 ∈ {1;2;3;...;9}.

( a1 − 1) ⋅ ( a2 − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( a9 − 9 )

Să

este divizibil cu 2. 39

arate

că

numărul

Capitolul

OLIMPIADE ŞI CONCURSURI

6 • Test 33. Concursul interjudeŃean “CongruenŃe”, Brăila, 2008 1. Câte numere naturale cuprinse între 100 şi 801 se împart exact la 8? Gazeta Matematică 2. Se consideră şirul de numere naturale: 2, 7, 5, 11, 8, 15, ... a) ScrieŃi următorii doi termeni ai şirului. b) CalculaŃi suma primilor 2008 termeni ai şirului. Narcis Turcu, Brăila 3. Să se arate că există o infinitate de perechi de numere naturale cu proprietatea că, împărŃindu-l pe primul la al doilea, obŃinem un cât şi un rest, iar împărŃindu-l pe al doilea la primul, obŃinem câtul egal cu primul rest şi restul egal cu primul cât. Constantin Apostol, Râmnicu Sărat

• Test 34. Olimpiada de matematică, etapa locală, Botoşani, 2009 1. Se consideră mulŃimea de numere naturale A pentru care sunt îndeplinite simultan condiŃiile: i) 2 ∈ A ; ii) Dacă x ∈ A, atunci 3x + 2 ∈ A; iii) Dacă x 2 + 1∈ A, atunci x ∈ A. Să se arate că {1;4;5; 26} ⊂ A.

2. a) ArătaŃi că nu există numere naturale a şi b care să verifice egalitatea 3a 2 + 5b 2 = 7 2010. b) AflaŃi ultima cifră a numărului a = 22009 + 32009 + 42009 + ... + 112009. 40

{

}

c) DeterminaŃi cardinalul mulŃimii M = x ∈ ℕ 41 ⋅ 7 x ≤ 343 ⋅ 2009 . 3. Se dă numărul natural T = abc , scris în baza 10, unde a, b, c sunt cifre nenule. a) Să se demonstreze că suma resturilor împărŃirii numărului T la a, b respectiv c este mai mică decât 24. b) Să se demonstreze că suma resturilor împărŃirii numărului T la a, b respectiv c nu poate fi egală cu 23.

• Test 35. Olimpiada de matematică, etapa locală, Olt, 2009 1. a) CalculaŃi 20090 + 20091 + 02009 + 12009 + 2009 ⋅ 0. b) Care este cel mai mare număr natural de forma xyz divizibil cu 5?

c) Câte numere de forma ab 4 sunt divizibile cu 2. 2. a) ArătaŃi că numărul 2n + 2n +1 + 2n + 2 + 2n + 3 este multiplu de 15. b) AflaŃi x din relaŃia 42 ⋅ 7 x − 32 ⋅ 7 x + 23 ⋅ 7 x = 2009. 3. a) Dacă a + b = 33 şi a + c = 11 , atunci arătaŃi că 5a + 3b + 2c este pătrat perfect. b) ComparaŃi 4 ⋅ 33013 şi 3 ⋅ 42009. 4. La o împărŃire a două numere naturale suma dintre cât, împărŃitor şi rest este 114. Ştiind că diferenŃa dintre cât şi împărŃitor este 55, iar împărŃitorul este cu 2 mai mic decât triplul restului, aflaŃi cele două numere. • Test 36. Olimpiada de matematică, etapa locală, Sibiu, 2009 1. Într-un aprozar, 3 kg de mere împreună cu 4 kg şi jumătate de gutui costă 39 lei, iar 5 kg de mere împreună cu 8 kg de gutui costă 68 lei. AflaŃi cât costă un kilogram de mere şi cât costă un kilogram de gutui?

2. a) VerificaŃi egalitatea 32006 ⋅ 3 + 32007 = 2 ⋅ 32007.

(

)

b) ArătaŃi că soluŃia ecuaŃiei x + 3 ⋅ 3 2006 ⋅ 3 + 3 2007 + 3 2008 = 3 ⋅ 3 2009 este un pătrat perfect. 3. a) Dacă a + b = 25 şi b + c = 17 , calculaŃi 5a + 17 b + 12c . b) AflaŃi restul împărŃirii numărului 12800000221 la 421. 4. Într-o cutie cu chibrituri sunt mai puŃin de 50 de beŃe. Scoatem afară din cutie un număr de beŃe egal cu suma cifrelor din care este alcătuit numărul. Câte beŃe rămân în cutie?

• Test 37. Olimpiada de matematică, etapa locală, Mureş, 2009 1. a) CalculaŃi: 12 + 12 · [3 · 22 + 122 · (2 + 3 · 351 – 3 · 52 · 730 )] b) ComparaŃi: 2715 şi 8111. 2. ArătaŃi că 2327 + 2723 este divizibil cu 10. 3. Dacă

p = ( 2009

a , b, c ∈ ℕ

)

a c

şi

⋅ 2009 ⋅ ( 2009

a + c = 252,

iar

b = 4 , aflaŃi produsul

b c

4. Fie şirul de numere an = 2n – n, n ∈ ℕ ∗ . a) PrecizaŃi dacă numerele 1, 2, 5, 12, 27, 58 sunt termeni ai şirului. b) CalculaŃi suma primilor 20 de termeni ai şirului. • Test 38. Olimpiada de matematică, etapa judeŃeană, Brăila, 2007 1. DeterminaŃi numerele naturale a şi b ştiind că are loc relaŃia: ( a + b ) ⋅ ( 2a + b ) = 35. prof. Daniela Cerchez 42

2. AflaŃi numărul natural abc , scris în baza 10, ştiind că: 3+6+9+...+ abc = abc00. prof. Nicolae Stănică 2006 2006 3. Fie A= (n + 1) − n , n număr natural. ArătaŃi că cel puŃin unul dintre numerele A 2 + 4 ⋅ A + 2 şi A 2 + 4 ⋅ A nu este pătrat perfect. prof. Nicolae Stănică 4. Se dă mulŃimea M= {1;4;7;10;13;...;97;100} şi o submulŃime S a lui M formată din 19 elemente. Să se arate că există în mulŃimea S două elemente a căror sumă este egală cu 104.

• Test 39. Concursul naŃional „Grigore Moisil”, Satu Mare, 2009 1. MulŃimea numerelor naturale se împarte în submulŃimi astfel: {0} , {1; 2} , {3; 4;5} , {6, 7,8,9}... unde prima submulŃime conŃine primul număr natural, a doua submulŃime conŃine următoarele două numere naturale şi aşa mai departe. DeterminaŃi: a) Cu ce număr natural începe cea de-a 50-a submulŃime; b) Suma elementelor celei de-a 50-a submulŃimi; c) Suma elementelor primelor 50 de submulŃimi. 2. AflaŃi numerele naturale m şi n pentru care numărul 5m + 6n + 2 este pătrat perfect. 3. Să se arate că nu există n ∈ ℕ astfel încât 1 + 2 + 3 + ... + n = aaaa. 4. Se consideră mulŃimea A = {1; 2;3;...; 2010; 2011} . Înlocuim fiecare două elemente din mulŃime cu diferenŃa dintre cel mai mare şi cel mai mic dintre ele, până când mulŃimea conŃine un singur element. Ce paritate are acest ultim element?

• Test 40. Olimpiada de matematică, etapa locală, Cluj, 2009 1. Se consideră sumele S1 = 1 + 2 + 22 + ... + 22011

şi

S2 = 1 + 2 + 3 + ... + 2009 . ArătaŃi că S1 − S 2 se împarte exact la 10. 2. Suma cifrelor numărului abc este 25. CalculaŃi suma cifrelor numărului abc + 2. 3. Să se arate că suma numerelor naturale care dau câtul 2009 la împărŃirea cu 2009 nu este pătrat perfect. • Test 41. Olimpiada de matematică, etapa locală, Bihor, 2009 1. La un concurs se dau 30 de probleme. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, iar pentru fiecare răspuns greşit se scad 3 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat un elev care a obŃinut 118 puncte? 2. Dacǎ a + b = 72 şi b+c = 98, calculaŃi 3a + 8b + 5c. 3. Suma de 2009 lei este împărŃită în mai multe plicuri. Fiecare plic conŃine o sumă de bani care se exprimă printr-o putere a lui 2. AflaŃi cel mai mic număr de plicuri ce poate fi folosit şi ce sumă de bani este în fiecare plic.

(

)(

)

4. Fie a = ( 298 + 2102 )( 599 + 5101 ) şi b = 2 99 + 2101 598 + 5102 .

a) ComparaŃi numerele. b) AflaŃi este suma cifrelor numǎrului a + b.

• Test 42. Olimpiada de matematică, etapa locală, Dolj, 2009 1. Suma cifrelor numărului abc este 26. CalculaŃi suma cifrelor numărului abc + 1. 2. PrecizaŃi câte numere n = abcd >5000 verifică simultan condiŃiile următoare: i) a, b, c, d sunt cifre distincte; ii) n este divizibil cu 5; iii) n are o singură cifră pară. 3. a) ScrieŃi cel mai mare număr de şapte cifre nenule cu suma cifrelor 53. b) ScrieŃi cel mai mic număr natural cu suma cifrelor 2009. 4. a) Suma a 30 de numere naturale nenule este 464. Să se arate că cel puŃin două numere sunt egale. b) ArătaŃi că nu există niciun număr natural care împărŃit la 35 dă restul 7 şi împărŃit la 21 dă restul 6. • Test 43. Olimpiada de matematică, etapa judeŃeană, Sibiu, 2009,

1. a) Suma a 63 de numere naturale nenule este 2009. ArătaŃi că cel puŃin două dintre aceste numere sunt egale. b) Care este cel mai mare număr de numere egale cu proprietatea cerută? 2. Fie numerele naturale a, b, c, astfel încât prin împărŃirea lui a la sfertul lui b să se obŃină câtul 3 şi restul 2, iar c să fie media aritmetică dintre a şi sfertul lui b. a) ArătaŃi că suma numerelor a, b şi c este divizibilă cu 3. b) AflaŃi cele trei numere, ştiind că diferenŃa dintre b şi a este 2009. 3. Fie ab un număr în baza 10. a) DeterminaŃi mulŃimea: 45

 ab − ( a + b )  A = x ∈ N x =  9  

b) ArătaŃi că suma numerelor naturale de forma

12 , unde x ∈ A, este un x

cub perfect.

{

}

4. AflaŃi cardinalul mulŃimii M = x x = a 2 + b 2 , a, b cifre .

• Test 44. Olimpiada de matematică, etapa judeŃeană, Vaslui, 2009 1. Se dau numerele A=x1·x2·...·x2009 şi B=x1005·(x1005)2009 unde x ∈ ℕ. Să se compare A şi B. 2. Se dau mulŃimile A={x|x=2k+5, k ∈ ℕ } şi B={y|y=n2+n, n ∈ ℕ } în care elementele sunt ordonate crescător. a) ScrieŃi primele 3 elemente ale mulŃimii A. b) ArătaŃi că 547 ∈ A\B. c) ArătaŃi că cele două mulŃimi sunt disjuncte. 3. SimplificaŃi fracŃia

(ab + ba )(aa + bb) unde a şi b sunt cifre nenule. aba + bab + a 0 + b0

4. DeterminaŃi a şi n ∈ ℕ * ştiind că

12n + 9 = a, a . 5

• Test 45. Olimpiada de matematică, etapa locală, ConstanŃa, 2008 1. ÎmpărŃind numărul natural a la numărul natural b obŃinem câtul 5 şi restul 33. 46

a) AflaŃi numerele a şi b ştiind că 2a+b=440. b) ArătaŃi că 4a-20b-68 este pătrat perfect. 2. Se dă numărul A = 5n + 6n + 7 n + n , unde n ∈ ℕ. a) ArătaŃi că n 2 + n este număr par. b) AflaŃi ultima cifră a numărului A. 2

3. a) ScrieŃi numărul 38 ca sumă de trei pătrate perfecte. b) ScrieŃi numărul 382 k +1 ca o sumă de trei pătrate perfecte.

4. a) Câte numere naturale cuprinse între 1909 şi 2105 sunt divizibile cu 10? b) DeterminaŃi suma numerelor naturale cuprinse între 1909 şi 2105 care împărŃite la 28 dau restul 5 şi împărŃite la 35 dau restul 12.

• Test 46. Olimpiada de matematică, etapa locală, Bihor, 2003 1. AflaŃi x număr natural, ştiind că: a) 103 + 102 ⋅ 10 + 52 − x : 5 : 20 2 = 6 .

[ ( ) ]} { b) (11 + 11 + 11 ) : 133 + x < 2 . 2

2. Cinci cărŃi şi trei caiete costă 580.000 lei, iar trei cărŃi şi cinci caiete costă 460.000 lei. Câte cărŃi şi câte caiete se pot cumpăra cu 815.000 lei, dacă s–au cumpărat 13 bucăŃi. 3. Se consideră numărul natural:

A = 32002 ⋅ 4 2003 ⋅ 52004 + 32003 ⋅ 4 2004 ⋅ 52002 + 32004 ⋅ 4 2002 ⋅ 52003 . a) Să se arate că numărul A împărŃit la 193 dă restul 0 (zero). b) Cu câte cifre de zero se termină numărul A ? 4. DovediŃi că numărul natural a = 2001 + 2 (1 + 2 + 3 + .... + 2000 ) este pătrat perfect.

• Test 47. Olimpiada de matematică, etapa locală, NeamŃ, 2004 1. Fie n un număr natural nenul care la împărŃirea cu 7 dă câtul q şi restul r, iar la împărŃirea cu 11 dă câtul r şi restul q. ArătaŃi că n este divizibil cu 38. 2. Să se afle numărul natural x din egalitatea:

(

21995 − 21994 − 1 + 280 : 278 : 22 ⋅ x − 1 − 22

)( x + 3 ) = 2 2

1993

+ 21992 + ... + 22 + 21 + 1 .

3. GăsiŃi numerele naturale cuprinse între 400 şi 500 care împărŃite la 18 dau restul 12 şi împărŃite la 24 dau restul 18. 4. ArătaŃi că numărul a = 111 ...2 este pătrat perfect. ... 1 − 222 2 n − ori

n − ori

• Test 48. Olimpiada de matematică, etapa locală, Vaslui, 2009 1. La un depozit de materiale de construcŃii s-au primit 200 de grinzi, unele de brad, altele de fag şi altele de stejar. O grindă de brad cântăreşte 24 kg, una de fag cântăreşte 26 kg şi una de stejar cântăreşte 30 kg. Se ştie că numărul grinzilor de fag este de două ori mai mare decât al celor de brad. Dacă toate cele 200 de grinzi cântăresc 5132 kg, să se calculeze câte grinzi sunt de fiecare fel. 2. a) ArătaŃi că rezultatul calculului 11 ⋅ 9 + 11 ⋅ 21 + 11 ⋅ 25 + 11 ⋅ 66 este cubul unui număr natural. b) Un număr de trei cifre împărŃit la răsturnatul său dă câtul 3 şi restul 175, iar diferenŃa dintre cifra sutelor şi cea a unităŃilor este 7. Să se afle numărul. 3. a) ArătaŃi că numărul A = 912 − 712 este divizibil cu 10. b) Să se determine ultimele două cifre ale numărului a =10 2 +101 2 +1002 2 +10003 2 +100004 2 .

• Test 49. Olimpiada de matematică, etapa locală, Ilfov, 2008 1. Se dau mulŃimile:

{ } B = { y ∈ ℕ y este ultima cifră a numerelor 3 A = x ∈ ℕ x = 3c , c ≤ 2, c ∈ ℕ ,

2008

C = { z ∈ ℕ z = x + y , x ∈ A, y ∈ B}.

}

,52008 ,62008 ,

CalculaŃi A, B, C , A ∩ B, A ∪ B, A \ B, AXB. 2. a) DeterminaŃi ultimele 6 cifre ale produsului 1·2·3·…·27. b) ArătaŃi că numărul 162008:28002 este atât un cub cât şi un pătrat perfect. 3. Să se afle trei numere naturale ştiind că împărŃind pe al doilea la al treilea obŃinem câtul 3 şi restul 4, împărŃind pe primul la diferenŃa celorlalte două obŃinem câtul 2 şi restul 3 şi că diferenŃa dintre primul şi al treilea este 44. 4. a) CalculaŃi suma cifrelor numărului 102008+101004–1234. b) AflaŃi ultima cifră a sumei S= 1+22+33+44+…+1010. • Test 50. Probleme pregătitoare pentru olimpiade şi concursuri 1. Fie numerele a = 5 2 n +1 − 10 şi b = 24n + 2 ⋅ 6n + 4n + 2 , n ∈ ℕ. a) Să se scrie a ca sumă de 5 numere consecutive. b) Să se scrie b ca un produs de doi factori diferiŃi de 1.

2. Se consideră suma S = 1 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 ⋅ 6 + 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 + … + 67 ⋅ ⋅ 68 ⋅ … ⋅ 78. a) CâŃi termeni are această sumă? b) StabiliŃi termenul al nouălea. c) CercetaŃi dacă S este pătratul unui număr natural.

3. Numerele naturale x, y , z împărŃite la 11 dau resturile 3, 2, respectiv 1. DeterminaŃi cel mai mic număr natural n pentru care 11 (2 x + 5 y + nz ) . 4. Pe un cerc se aşează la întâmplare 5 numere naturale nenule a căror sumă este egală cu 18. ArătaŃi că există cel puŃin două numere alăturate a şi b astfel încât a + b ≥ 8 . 5. Fie A ⊂ ℕ , cu proprietăŃile: 1) 19 ∈ A; 2) Dacă 3x + 1 ∈ A , atunci x ∈ A; 3) Dacă x ∈ A , atunci 3x + 2 ∈ A. Să se arate că 1700 ∈ A. 6. Fie numerele naturale nenule a şi b, a < 20 şi x = 70a + 46b + 3 . AflaŃi a şi b ştiind că la împărŃirea lui x prin 23 se obŃine câtul 111 şi restul 20. 7. Se dau numerele a = 586 şi b = 2129 ⋅ 3 43 . a) Care dintre cele două numere este mai mare? b) Care este ultima cifră nenulă a numărului x = 3ab?

8. Numărul de trei cifre aa5 se împarte la un număr de o cifră şi se obŃine restul 7. AflaŃi numărul aa5 . 9. Fie A ⊂ ℕ cu proprietăŃile: a) 22 ∈ A; b) dacă 9 x + 4 ∈ A , atunci x ∈ A; c) dacă x ∈ A, atunci {9 x + 5, 9 x + 6} ⊂ A . Să se arate că 2003 şi 2004 aparŃin mulŃimii A. 10. Să se demonstreze că nu există numere naturale care, împărŃite la 15 să dea restul 5 şi împărŃite la 10 să dea restul 4.

Capitolul

SOLUłII ŞI SUGESTII DE REZOLVARE

7 • Test 1: Partea I: 1. 2212 2. 1896 3. 112 4. 45 5. 218 6. 105 7. 40 8. 48 Partea a II-a: 9. 3+{4+2⋅[2+(6+ x ):3]-17}=24 sau 4+2⋅[2+(6+ x ):3]-17=21 2⋅[2+(6+ x ):3]=34 sau (6+ x ):3=15 sau x =39.

10. După cumpărarea cărŃii, cei doi au împreună 5 lei. Deci cartea a costat 5 lei. Alexandra a avut 5+1+2,5=8,5 lei. Radu a avut 2,5-1=1,5 lei. 11. 7 stilouri şi 6 pixuri costă 235 lei 2 stilouri şi 3 pixuri costă 80 lei ⇒ 4 stilouri şi 6 pixuri costă 160 lei. În concluzie, 3 stilouri costă 235-160=75 lei, adică un stilou costă 25 lei. Evident un pix costă 10 lei. 51

12. Triplul numărului care se scade este egal cu 183-(19+21+23), adică numărul care se scade este 40. Primul număr este 19+40=59, al doilea număr este 21+40=61, iar al treilea număr este egal cu 23+40=63. • Test 2: Partea I: 1. 6 2. 77 3. 5 4. 5 5. 122, 212, 221 6. Nu. 2k+2p=2(k+p) număr par. 7. 12 8. 17200 Partea a II-a: 9. 30 + 5⋅ {32:8 + 5⋅ [40 - 8 ⋅ (200:5 – 72:2)]}= 30 + 5 ⋅ [4 + 5⋅ (40 – 32)]=30+5 ⋅44 =250. 10. Avem: (2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)= 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10. 11. Fie x numărul de pe prima pagină. Avem x + x + 1 = 149 ⇒ x = 74. Numerele de pe cele două pagini sunt 74 şi 75. 12. Dacă a este primul număr, atunci al doilea număr este egal cu 2 a , iar al treilea număr este egal cu 2a − 50. Avem a + 2a + 2a − 50 = 1825, de unde obŃinem că primul număr este egal 375, al doilea număr este egal cu 750, iar al treilea număr este egal cu 700.

• Test 3. Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numeraŃie zecimal; şirul numerelor naturale Partea I: 1. a) 327; b) 1003; c) 1347204; d) 3020400005. 2. a) o mie două sute cinci; b) un milion şase; c) o sută douăzeci şi trei de milioane cinci sute şaizeci şi şapte de mii şapte sute opt zeci şi nouă; d) două sute opt mii trei sute nouă. 3. 1702 4. 98765 5. De la 0 la 100, cifra 3 se foloseşte de 20 de ori. Pentru a scrie toate numerele naturale mai mari decât 800 cifra 3 se foloseşte de 40 de ori. 6. 6 7. Cifra a poate lua 9 valori, iar cifra b poate lua 10 valori. Există 90 de astfel de numere. 8. Primul număr este 2346=2 ⋅1173 , iar ultimul număr este 2760 = 2 ⋅ 1380. Există 1380-1173+1= 208 numere. Partea a II-a: 9. a) 2 → 5=2+3 → 9=5+4 → 14=9+5 → 14+6=20 b) 1 → 2 → 3=1+2 → 5=2+3 → 3+5=8 c) 132 (3=1+2) → 374 (7=3+4) → 5116 (11=5+6) → (7+8=15) 7158 10. Sunt 90 ⋅3 de numere de forma aab, aba, baa. Sunt 9 numere de forma aaa. În final avem 270-9=261 numere de forma cerută.

11. Din abc = ab + bc + ca obŃinem 89a = b + 10c. De aici avem că a = 1 , b = 9 şi c = 8. 12. Avem 11=11+5 ⋅ 0, 16=11+5 ⋅1, 21=11+5 ⋅2 , …, 2011=11+5 ⋅400 . Succesiunea are 401 termeni. 53

• Test 4. Reprezentarea numerelor naturale pe axă. Compararea, aproximarea şi ordonarea numerelor naturale; probleme de estimare. Partea I: 1. Desen 2. 15 3. 6450; 24400 4. 1234; 1342; 2143; 2314; 4321 5. 9999-9725+1=275 6. 1243 7. 373 8. B ( 2 ) şi D ( 4 ) Partea a II-a: 9. a) De la 1 la 9 s-au folosit 9 cifre, de la 10 la 99 s-au folosit 180 cifre şi de la 100 la 999 s-au folosit 2700 cifre. De la 1 la 999 s-au folosit 2889 cifre. Restul cifrelor, 4797-2889=1908 au fost utilizate pentru a numerota pagini cu numere de patru cifre, adică 1908:4=477 pagini. Cartea are 1476 pagini. b) De la 1 la 9 s-au folosit 9 cifre. De la 10 la 99 s-au folosit ( 99 − 10 + 1) ⋅ 2 = 180 cifre. De la 100 la 352 s-au folosit ( 352 − 100 + 1) ⋅ 3 = 759 cifre. În total, pentru paginarea cărŃii s-au folosit 9+180+759=948 cifre.

10. a) M ( 5 ) , N ( 8 ) , P (13) . b) OM = 5, AN = 5, PA = 10, MP = 8 . 11. Cea mai mică valoare a sumei a cinci cifre distincte este 0+1+2+3+4=10. Cel mai mare număr este 743210, iar cel mai mic număr este 102347. 12. a) 8 cutii; b) Cel mai mare număr este 5476829, iar cel mai mic număr este 5247689. 54

• Test 5. Adunarea numerelor naturale; proprietăŃi. Scăderea numerelor naturale. Partea I: 1. 400 2. 10000 3. 17000 4. A 5. 135-100=35 6. (236-172)-(497-454)=21 7. a + b = 9 8. 90 sau 8 Partea a II-a: 9. 1+2+3+…+15=120, deci nu se pot pune 121 bile în 15 cutii în condiŃiile date. 10. A = 4579 şi B = 9472 . 11. Numerele sunt de forma A = abc şi B = de. Din relaŃiile date obŃinem A = 124 şi B = 38.

12. Suma are 2009 termeni. S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 − 1. = 10 − 1 + 100 − 1 + 1000 − 1 + ... + 100...0 2009 de 0

2009 de 9

ObŃinem S = 111...10 − 2009 = 111...109191. 2009 de 1

2005 de 1

• Test 6. ÎnmulŃirea numerelor naturale; proprietăŃi.

Partea I: 1. 663 2. 120 3. 91 55

4. 15 ⋅ (14 + 26 ) = 15 ⋅ 40 = 600 sau 15 ⋅ (14 + 26 ) = 15 ⋅ 14 + 15 ⋅ 26 = 600 5. De exemplu 36= 2 ⋅ 3 ⋅ 6 6. 27 7. 10 8. 15 Partea a II-a: 9. În succesiunea 5 ⋅ 1,5 ⋅ 2,5 ⋅ 3,...,5 ⋅ 30 cifra 5 apare de 30 de ori. În succesiunea 5 ⋅ 1,5 ⋅ 2,5 ⋅ 3,...,5 ⋅ 6 cifra 5 apare de 6 ori. Printre numerele de la 1 la 6, cifra cinci apare o dată. Produsul se termină în 37 de zerouri. 10. După cele două măriri suma numerelor este egală cu 136. După cele două măriri, primul număr este egal cu 136:4=34, iar al doilea număr este egal cu 102. Numerele cerute sunt 34-5=29 şi 102-17=85. 11. a = 2n şi b = 2n + 2. 12. b = 9 ⇒ ab poate lua valorile 19,29,39,…,99.

• Test 7. Factor comun Partea I: 1. 100 2. 72 3. 4 4. 6 5. 2 6. 2 7. 6 8. 2 Partea a II-a: 9. 7 x + 7 y + 7 z = 56 ⇔ 7 ⋅ ( x + y + z ) = 56 ⇔ x + y + z = 8. 56

SoluŃiile sunt ( 0,1,7 ) ; ( 0, 2,6 ) ; ( 0,3, 4 ) ; (1, 2,5 ) ; (1,3, 4 ) . 10. ab3 + 5ab + b7 a = 906 ⇔ 111a + 111b = 333 ⇔ a + b = 3. 11. Dacă x + 3 y = 2 y + z = 11 , atunci calculaŃi: a) x + 5 y + z = ( x + 3 y ) + ( 2 y + z ) = 22.

b) 3x + 15 y + 3 z = ( 3 x + 9 y ) + ( 6 y + 3 z ) = 3 ( x + 3 y ) + 3 ( 2 y + z ) = 66. c) 5 x + 11 y − 2 z = 5 ( x + 3 y ) − 2 ( 2 y + z ) = 33.

d) 5 x + 19 y + 2 z = 5 ( x + 3 y ) + 2 ( 2 y + z ) = 77.

12. abc = 2k ⇒ 2 + 4 + 6 + ... + 2k = 200k . Avem k ⋅ ( k + 1) = 200k ⇒ k = 199 ⇒ abc = 398.

• Test 8. Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr natural Partea I: 1. a) 36; b) 1; c) 234; d) 1; e) 0; f) 7. 2. 2 88 3. 716 4. 70 5. 5120 6. 10 32 7. A = 5 ⋅ 2n 8. 4 Partea a II-a:

( ) ⋅ (2 )

9. a) 2a

c a+b = 2ac + bc = 2 ( ) = 28. .

b) 345+344+343 = 343 ⋅ ( 32 + 31 + 1) = 343 ⋅ 13.

10. a) 2a + b + 2b + c + 2c + d + 2d + a = 25 ⇔ ( 2a + 2c )( 2b + 2d ) = 25. ObŃinem a + b + c + d = 4. b) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 351 ⇔ 3x ⋅ (1 + 3 + 9 ) = 351 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = 3. 11. a = 3225 = ( 25 ) = 2125 şi b = 2532 = ( 52 ) = 564. 25

a ⋅ b ⋅ n = 2125 ⋅ 564 ⋅ n = 2124 ⋅ 564 ⋅ 2 ⋅ n = pătrat perfect ⇒ n = 2. 12. 4 xxx + 8 yyy = 21999 ⇔ ( 2111 ) + ( 3111 ) = 2 ⋅ ( 2111 ) . 2x

3 y −2 x  = 2 ⋅ ( 2111 )18 ⇒ 3 y − 2 x = 0 , ⋅ 1 + ( 2111 )   fals. Analog 2 x > 3 y. ObŃinem 2 x = 3 y ⇒ x = 9 şi y = 6.

Dacă

2x < 3y ⇒

(2 )

111 2 x

• Test 9. Compararea puterilor care au aceeaşi bază sau acelaşi exponent Partea I: 1. 527 2. 112009 3. 02010 4. B = 355 5. 24 6. 303202 7. 12543 8. 340 Partea a II-a: 9. a = 32000 − 31999 − 31997 = 31997 ⋅ 17 şi b = 22002 − 22001 + 21997 = 21997 ⋅ 17, deci a > b. 10. a) 231 = 230 ⋅ 2 = 810 ⋅ 2 < 910 ⋅ 3 = 321. b) 240 = 239 ⋅ 2 = 813 ⋅ 2 < 913 ⋅ 3 = 327. 58

c) 419 = 418 ⋅ 4 < 718 ⋅ 16 . d) 534 ⋅ 9 = 2517 ⋅ 32 < 2717 ⋅ 32 = 353. 11. a = ( 23 ) + 253 − 735 : 7 20  : ( 215 − 715 + 56 ) ⋅ 326 = 326 şi   5

98 9 b = 2101 : ( 5171 : 5170 − 3) + 2105 : ( 23 ⋅ 24 ) + ( 211 )  ⋅ 238 = 239.  

326 = ( 32 ) = 913 > 813 = 239 , adică a > b. 13

12. a) 23n + 2 + 3 ⋅ 23n +1 − 9 ⋅ 23n = 23n = 8n şi 2n +1 ⋅ 5 n −10n = 10n . Dacă n = 0 , cele două numere sunt egale, iar dacă n ≠ 0, 10n > 8n. b) 5 ⋅ 52 ⋅ 53 ⋅ ... ⋅ 550 = 51275 şi 23825 = 81275 ⇒ 81275 > 51275.

• Test 10. ÎmpărŃirea cu rest 0 a numerelor naturale când împărŃitorul are mai mult de o cifră. ÎmpărŃirea cu rest a numerelor naturale. Partea I: 1. a) 162; b) 105; c) 316; d) 720. 2. 38 3. 25 = 2 ⋅ 9 + 7 4. 54 5. 880 6. Cel mai mic este 33 ⋅ 3 + 5, iar cel mai mare este 33 ⋅ 30 + 5. Sunt 28 de numere. 7. 1 8. 93 Partea a II-a: 9. a + b = 53 şi a = 9b + 3 ⇒ a = 48 şi b = 5.

(

)

10. Din xyzt = yzt ⋅ ( x + 1) + x + 2 ⇒ x ⋅ 999 − yzt = 2 ⇒ x poate fi 1

sau 2. Dacă x = 1 ⇒ xyzt = 1997 , iar dacă x = 2 ⇒ xyzt = 2998. 59

11. a + b + c = 56, a = 6c + 13, b = 3c + 3 ⇒ a = 37, b = 15, c = 4. 12. Pp. RA că suma resturilor este 23. Deoarece a, b şi c sunt cifre singurul triplet care verfică datele problemei este (8;8;7) sau permutări ale acestuia. Dacă resturile sunt 8, 8 şi respectiv 7, numărul abc poate I. fi 998 sau 999. La împărŃirea cu a, b, c obŃinem resturile 8, 8, 7 (contradicŃie) şi respectiv 0, 0, 0 (contradicŃie). II. Dacă resturile sunt 8, 7 şi respectiv 8, numărul abc poate fi 989 sau 999. La împărŃirea cu b obŃinem restul 5 (contradicŃie). III. Dacă resturile sunt 7, 8 şi respectiv 8, numărul abc poate fi 899 sau 999. La împărŃirea cu a obŃinem restul 3 (contradicŃie).

• Test 11. ÎmpărŃirea cu rest 0 a numerelor naturale când împărŃitorul are mai mult de o cifră. ÎmpărŃirea cu rest a numerelor naturale. Partea I: 1. 74 2. 0, 1, 2, 3 sau 4 3. 2, 11, 20 4. 3999...9 223

5. a) 246; 4 b) 27; 3; c) 416; 0; d) 134578; 0; e) 8888; 5. 6. 12; 13; 14;15 7. 0; 8; 16 8. 4

Partea a II-a: 9. a − b = 220 şi a = 74b + 1 ⇒ a = 223, b = 3. 10. n = 24c + 14 = 24c + 12 + 2 = 4k + 2 ⇒ restul căutat este 2. 60

11. Cel mai mic este 106, iar cel mai mare este 994. 12. abc =9k+5, k număr natural şi a+b+c=7p, p număr natural. Deoarece a, b, c sunt cifre, a+b+c ∈ {7;14;21}. Dar

abc =99a+9b+(a+b+c)=9k+5, deci a+b+c este de forma 9t+5. Dintre numerele 7, 14 şi 21 singurul care satisface condiŃia anterioară este 14, deci a+b+c=14. Dacă abc dă restul 5 la împărŃirea cu 9, atunci şi acb dă restul 5 la împărŃirea cu 9, deci acb =9s+5. Atunci acb +2=9s+7 ⋮ 7, deci s ⋮ 7. În concluzie acb +2 este de forma 63n+7. Avem acb =63n+5 ∈ {131;194;257;320;383;446}. Dintre acestea doar 194; 257; 383; 446 verifică a+b+c=14.

• Test 12. Ordinea efectuării operaŃiilor Partea I: 1. 9 2. 42 3. 119 4. 69 5. 11 6. B 7. 69 8. 8 Partea a II-a: 9. a) 46 : 23 + 78 − 3 ⋅ (15 + 7 ⋅ 5 ) : 5 − 3 ⋅ 7 = 29.

{

}

b) 520 :10 − 7 ⋅ ( 3 + 18 : 9 )  ⋅ 5 + 6 ⋅ (15 ⋅ 12 − 15 ⋅ 10 ) :15 = 97.

{ } b) 1 + 2 ⋅ {3 + 4 : 5 − 6 : ( 7 − 8 : ( 9 − 1) ) } = 9.

10. a) 9 ⋅ 8 + 7 ⋅  6 + 5 ⋅ ( 4 + 3 ⋅ ( 2 + 1) )  : (1 + 2 + 3 + … + 9 ) = 101.

11. ( 35 + 35 ⋅ 35 ) : ( 35 ⋅ 36 ) + (124 + 124 ⋅ 124 ) : (124 ⋅ 125 ) = 1 + 1 = 2.

{

(

) (

}

)

12. 3 ⋅ 20 ⋅ 5 ⋅ 4 + 13 − 23 ⋅ 33 : 62  + 71 = 78.  

• Test 13. NoŃiunea de divizor; Divizibilitatea cu 2, 5 şi 10.

noŃiunea

multiplu.

Partea I: 1. 1, 2, 3, 4, 6, 12 2. 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 3. 1230 4. 345 5. 72 6. 222, 444, 666, 888 7. 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 8. 13 Partea a II-a: 9. a) U ( 20052005 + 20062006 − 1) = 0 ⇒ 20052005 + 20062006 − 1⋮10. b) 7 n + 7 n +1 + 7 n + 2 + 7 n + 3 = 7 n ⋅ (1 + 7 + 49 + 343) = 7 n ⋅ 400⋮10.

10. 9 + 92 + ... + 92012 = ( 9 + 92 ) + ( 93 + 94 ) + ... + ( 92011 + 92012 ) = = 90 + 90 ⋅ 92 + ... + 90 ⋅ 92010 = 9 ⋅ 10 ⋅ (1 + 92 + ... + 92010 ) .

11. Din abcd divizibil cu 5 ⇒ d poate fi 0 sau 5. I. Dacă d = 0 ⇒ a = 7 şi b + c = 1. ObŃinem numerele 7100 şi 7010. II. Dacă d = 5 ⇒ a = 9 şi b + c = 2 . ObŃinem numerele 9025, 9115 şi 9205.

12. Restul împărŃirii unui număr natural la 5 poate fi 0, 1, 2, 3 sau 4.

Oricum am alege 6 numere naturale, două dintre ele vor da acelaşi rest la împărŃirea cu 5, adică a = 5k + r şi b = 5t + br DiferenŃa lor este a − b = 5 ( k − t )⋮5. • Test 14. Media aritmetică a două numere naturale. Partea I: 1. 6 2. 31 3. 33 4. 115 5. 20 6. 28 Partea a II-a: 7. a + b + c = 72 şi a + b = 32 ⇒ c = 40. 8. Numerele sunt 20, 8 şi 32, iar media lor aritmetică este egală cu 20.

• Test 15. EcuaŃii şi inecuaŃii în mulŃimea numerelor naturale. Partea I: 1. a) x = 2; b) x = 16; c) x = 13; d) x = 18; e) x = 21; f) x = 5; g) x = 15; h) x = 9; i) x = 4; j) x = 9; k) x = 2; l) x = 1; m) x = 10; n) x = 8. 2. a) 0,1, 2; b) 0,1, 2,3,...,8; c) 3, 4,5,...; d) 7,8,9,...; e) 0,1, 2,3, 4,5; f) 0,1, 2,3, 4; g) 0,1, 2,3, 4,5; h) 12,13,14,...; i) 0,1, 2; j) 0,1, 2,3, 4,5,6; k) 0,1, 2,3; l) 0; m) 0,1, 2,..., 7; n) 0,1, 2,...,11.

Partea a II-a: 3. a) 3 ⋅ ( 3 x + 9 )  :13 = 9 ⇒ x = 10. b) 100 ⋅  25 − 5 ⋅ ( x − 3) + 2  : 4 = 300 ⇒ x = 6. 63

{

}

c) 10 − 10 − 10 − (10 − 2 x )  :10 = 10 ⇒ x = 5. d) ( x + 3) : 200 + 90  :10 − 10 = 0 ⇒ x = 1997.

{

}

e) 1 + 2 ⋅ 3 + ( x − 4 ) ⋅ 5 : 6 ⋅ 7 = 8 ⇒ x = 4. f)  2 ⋅ ( x + 8 ) ⋅ 3 + 4 ⋅ ( x + 8 )  : 4 = 25 ⇒ x = 2. 4. a) ( x + 1) ⋅ ( x + 2 ) = 42 ⇒ x = 5.

b) ( x + 3) ⋅ ( y + 5 ) = 72 ⇒ ( x, y ) poate fi ( 3,7 ) ; ( 9,1) ; ( 0,19 ) ; (1;13) . c) 2 x +3 y = 8 ⇒ 2 x = 8 − 3 y ⇒ 2 x impar, adică x = 0. Dacă x = 0 , ecuaŃia devine 3 y = 7 (fals). În concluzie, ecuaŃia nu are soluŃii. d) 5 x + 5 x +1 + 5 x + 2 = 31 ⇒ x = 0. e) 5 xyz = 2 ⋅ xyz 5 + 1190 ⇔ 5000 + xyz = 20 ⋅ xyz + 1200 ⇔ xyz = 200. f) 7 ⋅ xy + yx = xyyx :11 + 1 ⇔ 7 y = 20 x + 1 şi cum ultima cifră a expresiei 20 x + 1 este 1, avem că y = 3 şi x = 1.

• Test 16. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor şi al inecuaŃiilor şi probleme de organizare a datelor. Partea I: 1. 8 2. 60 3. 65 4. 9 5. 50 6. 36 7. 2 lei 8. Câtul este egal cu 5, iar împărŃitorul este egal cu 11 Partea a II-a: 9. Dacă x este numărul copiilor, atunci 5 ( x − 1) + 3 = 4 x + 11 ⇒ x = 13. a) În grup sunt 13 copii. b) Copiii au primit în total 63 de mere. 64

10. În urmă cu trei ani cei doi fraŃi aveau împreună 15 ani. Vlad avea 10 ani, iar Andrei avea 5 ani. Vlad are acum 13 ani. 11. Primii doi muncitori au primit 27 ⋅ 40 = 1080 lei. Al treilea muncitor a primit 720 lei, pentru 720 : 40 = 18 zile de lucru. 12. Elevul a dat 80 de răspunsuri corecte. • Test 17. Evaluare finală, numere naturale Partea I: 1. 98760 2. 2046 3. 176 4. 2021045 5. 96 6. 71001 ;23003 ;32002 7. 1997 8. 24 Partea a II-a: 9. Numerele impare cu o cifră sunt 9, în total 9 cifre. Numerele impare cu două cifre sunt 45, în total 90 de cifre. Numerele impare cu trei cifre sunt 450, în total 1350 cifre. Avem 2010-1350-90-9=561. Din 561:4=140 şi restul egal cu 1, obŃinem că a 2010-a cifră este 1. 10. b = 4c + 1, a = 12c + 4 ⇒ 17c + 5 = 141 ⇒ c = 8, a = 100 şi b = 33. 11. Din 2 x − 3 y = 4 ⇒ 2 x − 4 = 3 y ⇔ 2 ( x − 2 ) = 3 y ⇒ x − 2⋮3 şi y⋮ 2.

12. Avem: 100a+10b+2 ⋮ 3 ⇒ a+b = 3t + 1 (1) 100b+10c+7 ⋮ 3 ⇒ b+c = 3k + 2 (2) 100c+10a+8 ⋮ 3 ⇒ a+c = 3n + 1 (3) Din relaŃiile (1) , (2) si (3) obŃinem forma numerelor a, b, c: 65

a = M 3 ; b = M 3 + 1; c = M 3 + 1 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = M 3 + 2 şi cum M 3 + 2 nu este pătrat perfect obŃinem concluzia problemei.

• Test 18. Evaluare finală, numere naturale Partea I: 1. 5876; 5768; 5687;5678 2. 9 3. 6 4. 70 5. 20 6. 13 7. 40; 41; 42; 43; 44 8. 1; 2; 3; 4 Partea a II-a: 9. Avem A = 322 + 232 > 233 + 232 = 232 ⋅ ( 2 + 1) = 232 ⋅ 3 . (1)

(

)

Dar B = 2 36 - 7 ⋅233 = 232 ⋅ 24 − 7 ⋅ 21 = 232 ⋅ 2 . (2) Din scrierile (1) şi (2) se obŃine A > B. 10. Găini sunt 108, gâşte sunt 182, iar raŃe sunt 228. 11. A = 327+226⋅ 326+5⋅ 325+3⋅ 236 = 325(32+3⋅ 226+5) + 3⋅ 236 (*) Dar 3⋅ 236 = 3 ⋅ ( 23 )12 = 3 ⋅ 812 < 3 ⋅ 912 = 325. În concluzie scrierea (*) reprezintă teorema împărŃirii cu rest a numărului A la numărul 325, deci restul este 3⋅ 236. 12. ( A + 1) < A2 + 4 ⋅ A + 2 < ( A + 2 ) . 2

• Test 19. Evaluare finală, numere naturale

Partea I: 1. 101; 111; 121;…; 191;…; 909; 919;…; 999 2. 208 66

3. 7 4. 169 5. 9 6. 32005 7. 7 8. 5 Partea a II-a: 9. Avem 24k + 24k+2 = 16k + 16k⋅4=16k⋅5=16k-1⋅80 şi cum ultima cifră a numărului este 1 sau 6 ⇒ restul împărŃirii numărului A la 100 este 80. 10. x 2006 este pătrat perfect ⇒ U ( x 2006 ) = {0;1;4;5;6;9} . U ( 348 ) = 1 şi U ( 225 ) = 2 .

Avem U ( x 2006 ⋅ 348 ) = {0;1; 4;5;6;9} şi U ( y 2006 ⋅ 225 ) = {0;2;8} . 11. 60 + 50 ( x − 1) = 60 ( x − 4 ) ⇒ x = 25. a) Biblioteca are 25 de rafturi. b) Elevul are în bibliotecă 1260 cărŃi. 12. Numerele căutate sunt de forma 165 ⋅ x , unde x < 41. Numerele sunt 165 ⋅ 1;165 ⋅ 2;...;165 ⋅ 6. • Test 20. MulŃimi: descriere şi notaŃii; element, relaŃia dintre element şi mulŃime (relaŃia de apartenenŃă)

Partea I:1. {m; a; t ; e; i; c; ă} 2. A 3. 19 4. 0 5. A = {2;3;4;5;7} şi B = {1;2;3;8} 6. a) 2 ∈ C ( A )

b) 6 ∉ D ( F )

c) 1∈ C sau 1∈ D ( A )

d) 4 ∈ D şi 4 ∈ C ( A ) e) 10 ∉ C ( A )

f) 9 ∈ C sau 2 ∈ D ( F )

g) D conŃine un pătrat perfect ( A )

h) CardC < CardD ( F ) 7. 66

{

}

8. A = x x = n 2 ,1 ≤ n ≤ 4, n ∈ ℕ

Partea a II-a: a)

9. 9 ∈ A ⇒ 5 ⋅ 9 + 1 = 46 ∈ A. b)

46 = 7 ⋅ 6 + 4 ∈ A ⇒ 6 ∈ A. 10. x + 7 = 2 x + 1 ⇒ x = 6 ⇒ A = {13;15;29} şi B = {13;15; 29}. 11. a) La ambele olimpiade participă 20+18-30= 8 elevi. b) Numai la olimpiada de matematică participă 20-8=12 elevi. 12. ÎmpărŃind numere pare la 11 se pot obŃine resturile 0, 2, 4, 6, 8, 10, 1, 3, 5, 7 sau 9. Suma acestor resturi este 55 şi cum 1980=55 ⋅36 ⇒ fiecare rest se repetă de 36 de ori ⇒ mulŃimea A are 36 ⋅11 = 396 elemente.

• Test 21. RelaŃia între două mulŃimi (relaŃia de incluziune); submulŃime; mulŃimile ℕ şi ℕ *. Partea I: 1. ∅;{1} ;{4} ;{9} ;{1; 4} ;{1;9} ;{4;9} ;{1;4;9} 2. x ∈ {0;1; 2;4;5;6}

3. a) ℕ* ⊂ ℕ ( A )

b) {0;1; 2;3; 4;5} ⊂ ℕ * ( F ) c) ℕ ∩ ℕ* ≠ ∅ ( A )

d) {2010} ⊂ ℕ ( A ) 4. F 5. 8 6. 8 7. A = {1;3;5;6} sau A = {2;3;5;6} sau A = {3;5;6} sau A = {1;2;3;5;6} 8. 1

Partea a II-a: 9. SubmulŃimile pot fi formate din patru numere impare sau din două numere pare şi două numere impare. Există o singură submulŃime formată din 4 numere impare, {1;3;5;7} . SubmulŃimile care conŃin numerele 2 şi 4 sunt 6. SubmulŃimile care conŃin numerele 2 şi 6 sunt 6. SubmulŃimile care conŃin numerele 4 şi 6 sunt 6. Numărul submulŃimilor este 19. 10. a) A = {50;52;54;56;58}. b) 50 c) 58 d) Sunt 10 submulŃimi ale lui A formate din câte două elemente. e) Sunt 10 submulŃimi ale lui A formate din câte trei elemente. 11. a) Deoarece 1+2010 = 2+2009 = … = 1005+1006 ⇒ avem 1005 submulŃimi care verifică datele problemei. b) Numărul submulŃimilor este egal cu 1+2+3+…+1004=504510. 12. Considerăm următoarele submulŃimi ale lui M : M 1 = {1} , M 2 = {1;2} , M 3 = {1;2;3} ,..., M 100 = {1;2;3;...;100} . Aceste submulŃimi au suma elementelor: S1 = 1, S 2 = 1 + 2, S3 = 1 + 2 + 3,..., S100 = 1 + 2 + 3 + ... + 100. Dacă unul din cele 100 de numere, S1 , S 2 ,..., S100 este divizibil cu 100, atunci problema este rezolvată. 69

Dacă niciun număr din cele 100 nu este divizibil cu 100, atunci cele 100 de numere dau la împărŃirea cu 100, 99 de resturi, numerele de la 1 la 99. Există deci două numere, Sa şi Sb , care dau acelaşi rest la împărŃirea cu 100 ⇒ Sa − Sb ⋮100 ( am presupus că a > b). În concluzie, submulŃimea M a −b = {b + 1, b + 2,... + a} verifică datele problemei.

• Test 22. OperaŃii cu mulŃimi: intersecŃie, reuniune, diferenŃă; exemple de mulŃimi finite; exemple de mulŃimi infinite Partea I: 1.a) A ∪ B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} b) A ∪ C = {1;2;3; 4;5;6;7;12}

c) B ∪ C = {1;2;3;5;6;7;8;9;12} d) A ∩ B = {5;6;7}

e) A ∩ C = {1;2;3;7}

f) B ∩ C = {7}

g) A ∪ B ∪ C = {1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;12} h) A ∩ B ∩ C = {7}

i) A \ B = {1;2;3;4}

j) B \ C = {5;6;8;9} k) A \ C = {4;5;6}

l) A ∪ ( B ∩ C ) = {1; 2;3;4;5;6;7} 2. 5 3. 7 4. 8 5. D15 = {1;3;5;15} 6. 80 7. {0;12; 24;36;48} 8. 9 70

Partea a II-a: 9. b) {3;5} ⊂ Y ⇒ 3,5 ∈ Y .

c) {1} ∩ Y = ∅ ⇒ 1∈ X .

d) {2;4} ∩ X ≠ ∅ ⇒ 1∈ X sau 2 ∈ X sau 2, 4 ∈ X . OŃinem 3 soluŃii: X = {1; 2;4} , Y = {3;5} ; X = {1; 2} , Y = {3;4;5} ; X = {1; 4} , Y = {2;3;5} .

10. a) E = { x ∈ A x < 30} = {7;12;17; 22;27}

F = { y ∈ B 30 < y < 100} = {36;49;64;81}.

b) Ultima cifră a unui element din mulŃimea B poate fi 0; 1; 4; 9; 6; 5. Ultima cifră a unui element din mulŃimea A poate fi 2 sau 7 ⇒ A ∩ B = ∅. 11. b) A ∩ B = {2;6;7} ⇒ 2;6;7 ∈ A şi 2;6;7 ∈ B.

c) A \ B = {1;4} ⇒ 1; 4 ∈ A şi 1; 4 ∉ B. A = {1;2;4;6;7} , B = {2;3;5;6;7}.

12. a) Se observă că 11∈A∩B. b) x = 3n + 2 şi y = 2 p + 3 ⇒ 2 x + 3 y = 6 ( n + p + 2 ) + 1 ⇒ restul împărŃirii la 6 este egal cu 1. c) pentru n = 667 ⇒ x = 2003, iar pentru p = 1000 ⇒ y = 2003.

• Test 23. Evaluare finală, mulŃimi Partea I: 1. A ∩ B = {b;3}

A ∪ B = {a; b;1;3;4;5;6;9}

A \ B = {a;1;6;9} 2. 66

3. A = {3} sau A = {1;3}

4. A = {2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}

5. {1;2; 4} 6. A 7. {210 ⋅ k k ∈ ℕ}

8. 2199 + 299 − 1

Partea a II-a: 9. A = {2;3;6;8;1;5} şi B = {1;5; 4;7;9} sau A = {2;3;6;8;1;5; 4;7} şi B = {1;5; 4;7;9}.

10. Deoarece mulŃimea A ∩ B are 20 de elemente ⇒ A ∩ B = {5 ⋅ 2;5 ⋅ 3;...;5 ⋅ 21} . Valorile lui a sunt 105, 106, 107, 108 şi 109. 11. a) Dacă prin absurd numărul 3 nu ar fi roşu, atunci el ar fi galben sau albastru. Dacă 3 ar fi galben, atunci, din condiŃia i) deducem că numerele 6. 9, 12, ..., 99 sunt galbene sau albastre, iar celelalte numere 1, 2, 4, 5, 7, 8, ..., 97, 98 sunt roşii. Cum 1+4=5 care nu este multiplu de 3, se contrazice condiŃia ii). Dacă 3 ar fi albastru, analog se ajunge la o contradicŃie. În final, numărul 3 este roşu. b) Din a) avem că toate numerele 3, 6, 9, ..., 93, 96, 99 sunt roşii. În plus, acestea sunt singurele numere roşii, deoarece în caz contrar, dacă un număr nedivizibil cu 3 ar fi roşu, atunci s-ar contrazice condiŃia ii). Suma numerelor care nu sunt roşii este: S = (1 + 2 + ... + 100 ) − ( 3 + 6 + ... + 99 ) = 3367. 12. Elementele multimilor sunt de forma: 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ⋅ (n + 1) 1; 1+2; 1+2+3, 1+2+3+…+n sau ; ;… ; . 2 2 2 10 ⋅ 11 a) 55 = de aici avem ca 55 ∈ M10\M9 2 72

63 ⋅ 64 62 ⋅ 63 = 2016 , = 1953 de aici rezultă că nu există t ∈ ℕ* 2 2 astfel încât 2006 ∈ Mt. c) Numerele care se împart exact la 5 din M2006 sunt de forma (5k − 1)5k 5k (5k + 1) 4⋅5 5⋅6 sau şi primele două numere sunt , iar 2 2 2 2 2004 ⋅ 2005 2005 ⋅ 2006 ultimele două numere sunt , . 2 2 În concluzie sunt 2 ⋅ 401=802 numere care se împart exact la 5.

• Test 24. Evaluare finală, mulŃimi Partea I: 1. A = {1;2;3;4;5;6} B = {7;8;3;4;5;6}

2. A = {3;4;6;7} şi B = {3;4;5} sau A = {3;4;7} şi B = {3;4;5;6} sau A = {3;4;5} şi B = {3;4;7;6} sau A = {3;4;5;6} şi B = {3;4;7} 3. A = {1;3} şi B = {2;4} 4. A = {1;2;3;9;6;7} şi B = {1; 2;3;9;5;8}

Partea a II-a: 5. x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ B ⇒ A ⊂ B. x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ⇒ B ⊂ A. 6. A = {1; 2;3;...; 49;51;52;...;70} ;

B = {50;71;72;...;89;91;92;...;100} . 73

7. Elementele mulŃimii A sunt de forma 20 + 21 + 22 + 23 + ... + 2k −1 = 2k − 1, k ∈ ℕ* şi elementele mulŃimii B sunt de forma 3n − 1 30 + 31 + 32 + 33 + ... + 3n −1 = , n ∈ ℕ* 2 Observăm că 1∈ A ∩ B. Arătăm că A ∩ B = {1}. Dacă mulŃimile A şi B ar mai avea un element comun diferit de 1, atunci ar exista 3n − 1 k , n ∈ ℕ, k , n ≥ 2 astfel încât 2k − 1 = ⇔ 2k +1 = 3n + 1. 2 Pentru orice k ≥ 2, avem 2k +1 = M 8 şi  M + 2, dacă n este par 3n + 1 =  8 , deci egalitatea 2k +1 = 3n + 1 este 4, dacă este impar M + n  8 imposibilă, oricare ar fi k , n ∈ ℕ, k , n ≥ 2 . În concluzie, A ∩ B = {1}. 8. Card A = a = 326 − 2 38 şi Card B = b = 242 − 325. Avem succesiv 326 − 2 38 < 242 − 325 sau 326 + 325 < 242 + 238 325 ⋅ 4 < 238 ⋅ 17 sau 325 < 236 ⋅ 17 . Dar

( )

236 ⋅ 17 > 236 ⋅ 16 = 240 = 28

= 2565 > 2435 = 325.

În

concluzie,

card A < card B .

• Test 25. FracŃii echiunitare, subunitare, supraunitare; aflarea unei fracŃii dintr-un număr natural; procent Partea I: 1. 5 2. 4 3. n ∈ {0;1} 4. 375 5. 308 6. 7 7. 100 8. 2 74

Partea a II-a: 9. xy + x + 2 y = 31 ⇔ ( x + 2 ) ⋅ ( y + 1) = 33 ⇔ ( x; y ) ∈ {(13;0 ) ; (1;10 ) ; ( 9; 2 )}. 10. 21 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ ... ⋅ 22010 = 22021055 şi

(32 )

1608 251

= 22018040.

2 7 ⋅ y şi x + 1 = ⋅ ( y − 2 ) 7 8 4 14 x = şi y = . 3 3

11. x =

12. x 2 + 2 y 2 + 3z 2 < 6 ,

( x, y, z ) ∈{( 0;0;0 ) , ( 0;1;0 ) , ( 0;0;1) , ( 0;1;1) , (1;0;1) , (1;1;0 )}. • Test 26. FracŃii echivalente; amplificarea şi simplificarea fracŃiilor; reprezentarea pe axa numerelor a unei fracŃii ordinare

Partea I: 14 2 1. = 49 7 12 48 2. = 20 80 15 5 3. = 21 7 4. 16 5. 9 ⋅ ab + 2 6. 1 ababab 7. cdcdcd 75

1 2100

Partea a II-a: 3042 9. 7920 10. x ⋅ y ⋅ ( x + y ) + 5 este impar, oricare ar fi x, y ∈ ℕ 64 = 26 ⇒

şi cum

64 nu se poate simplifica. x y + xy 2 + 5 2

11. 3n + 5n + 6n + 10n = ( 2n + 1)( 3n + 5n ) .

3n + 5n + 24 n + 40n = ( 8n + 1)( 3n + 5n ) = ( 2n + 1)( 4n + 2n + 1)( 3n + 5n ) .

În concluzie, 12.

3n + 5n + 6n + 10n 1 = n . n n n n 3 + 5 + 24 + 40 4 + 2n + 1

d 3n + 7

şi

d 2n + 5 ⇒

d 3 ( 2n + 5 ) = 6n + 15 ⇒ d 1 ⇒ fracŃia

d 2 ( 3n + 7 ) = 6n + 14

şi

3n + 7 este ireductibilă oricare ar 2n + 5

fi numărul natural n .

203 100 37 5. 1000 6. 4,23 1314 134 7. < 13, 25 < 100 10 8. 10,9

Partea a II-a: 3 ⋅ 22009 ⇒ ultima zecimală nenulă este de fapt 52009 102009 ultima cifră a produsului 3 ⋅ 22009 , adică 9.

9. Deoarece

13 13 ⋅ 52010 = ⇒ ultimele două zecimale nenule sunt 22010 102010 ultimele două cifre ale produsului 13 ⋅ 52010 , adică 25.

10. Deoarece

4037 4037 ⋅ 52011 = ⇒ ultimele trei zecimale nenule sunt 22011 102011 ultimele trei cifre ale produsului 4037 ⋅ 52011 , adică 625. 11. Din

152 152 ⋅ 52012 = ⇒ ultimele patru zecimale nenule sunt 22012 102012 ultimele patru cifre ale produsului 125 ⋅ 52012 = 52015 , adică 8125.

12. Deoarece

• Test 28. Evaluare finală, numere raŃionale Partea I: 1. x ∈ {0;1}

2. x ∈ {0;1;2} . 3. 18 4. a ∈ {0;3;6;9} şi b ∈ {1;4;7} ⇒ 12 fracŃii 77

5. Prima fracŃie este

25 ⋅ 4 142 ⋅ 4 , iar ultima fracŃie este . În concluzie 25 ⋅ 7 142 ⋅ 7

avem 118 fracŃii echivalente cu 6. Dacă

4 . 7

3n ⋅ 17 n 51n = 2 este supraunitară, n ∈ ℕ, atunci n > 2. 1 + 3 + ... + 101 51

7. 12; 27; 48; 75 8. Dacă fracŃia atunci m − 2n = 1.

1 + 20 + 21 + ... + 2m 2m +1 = 1 + 3 ⋅ 40 + 3 ⋅ 41 + ... + 3 ⋅ 4n 22 n + 2

este echiunitară,

Partea a II-a:  6n + 2  9. A =  n ∈ ℕ este subunitară  = {0;1; 2;3; 4} şi 5n + 7    8n + 17  este supraunitară  = {0;1; 2;3; 4;5;6;7} . B = n ∈ ℕ 10n + 2  

B − A = {5; 6; 7} . n3 + 36030 n3 + 27 2010 5n + 26030 5 n +82010 = > 1 şi = <1⇒ n3 + 54020 n3 + 252010 5n + 34020 5n + 92010 n3 + 36030 5n + 26030 > . n3 + 54020 5n + 34020

10.

11. n 2 − n + 2a = n ( n − 1) + 2a⋮ 2 . 3n 2 + 9n + 2b = 3n ( n + 3) + 2b⋮ 2. FracŃia se simplifică prin 2.

12. d 2 ⋅ 3n + 5 ⇒ d 6 ⋅ 3n + 15 .

d 3n +1 + 6 ⇒ d 6 ⋅ 3n + 12 . 78

ObŃinem d 3 şi cum 2 ⋅ 3n + 5 nu este divizibil cu 3 ⇒ d = 1.

• Test 29. Evaluare finală, numere raŃionale Partea I: 19 1. 25 2. 32 n +1 3. n+3 4. a ∈ {2;3} 5. x ∈ {1;9}

6. ab + cd = 32 n+2 7. n+4 8. 25

Partea a II-a: 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ ( n − 1) 9. = = , n ≥ 1. 1 + 3 + ... + 2n − 1 n2 n 1 Pentru n = 2 ⇒ subunitară. 2 2 Pentru n = 3 ⇒ subunitară. 3 2n + 3 + 2n +1 + 2n 2n ⋅ 11 = ⇒ fracŃia este reductibilă 3n + 5 + 2 ⋅ 3n + 3 3n + 3 ⋅ 11 oricare ar fi n ∈ ℕ . 10. Deoarece

11. a 24 ∈ {324;624;924} şi 3x 4 ∈ {324;384} ⇒ numărul fracŃiilor de forma

3x4 care se simplifică cu 12 este egal cu 6. a 24 79

12. d 20n + 5 ⇒ d 60n + 15 . d 15n + 4 ⇒ d 60n + 16. Din cele două relaŃii obŃinem d 1, adică fracŃia

20 ⋅ n + 5 este 15 ⋅ n + 4

ireductibilă oricare ar fi numărul natural n .

• Test 30. Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. 34 2. 2940 3. 8 4. 49 5. 81 6. A ∪ B = {1;2;5;7;8;10} A ∩ B = {5}

A \ B = {1;8}

B \ A = {2;7;10}

7. 530 8. 405015

Partea a II-a: 9. A = {1;5;3;4} B = {2;6;3;4}

10. a + b = 405 şi a = 3b + 5 a = 305 şi b = 100. 11. N = 22001 ⋅ 52000 − 1 = 2000...0 − 1 = 1999...9. 2000

2000

Suma cifrelor numărului N este egală cu 2000 ⋅9 + 1 = 18001. 80

12. n = abc + acb + bac + cab + cba = 221a + 122b + 212c. Cea mai mică valoare a lui n se obŃine pentru a=1, b=3 şi c = 2, adică 1011.

• Test 31. Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. 19 2. 26 3. A 4. 275 5. 50 6. A ∪ B = {m; p; q; r ; n; t} 7. 24 8. 9 Partea a II-a: 9. a = (1 + 2 + 3 + ... + 1994 ) :1995 =

(

b = 217 : 48

)

1995

1994 ⋅ 1995 :1995 = 997 2

: 8665 = 21995 : 21995 = 1

Avem 2 ( a + b ) − 1 = 1995. 10. a) 2=7 ⋅0 + 2, 9= 7 ⋅ 1 + 2, 16=7 ⋅2 + 2, 23= 7 ⋅ 3 + 2. Următorii trei termeni sunt 7 ⋅ 4 + 2 = 30,7 ⋅ 5 + 2 = 37, 7 ⋅ 6 + 2 = 44. b) Termenul de pe locul 23 este 7 ⋅ 22 + 2 = 156. a) S20 = 7 ⋅ (1 + 2 + ... + 19 ) + 2 ⋅ 20 = 1370.

11.

A = 1 + 21 + 22 + ... + 22003 =

(

)

(

= 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22000 + 22001 + 22002 + 22003

A = 15 + ... + 15 ⋅ 22000 = 5 ⋅ ( 3 + ... + 5 ⋅ 22000 )⋮5. 12. abc = 5 ⋅ bc + 4 ⇔ 25 ⋅ a = bc + 1. 81

)

Dacă Dacă Dacă Dacă

a = 1 ⇒ bc = 24 ⇒ abc = 124. a = 2 ⇒ bc = 49 ⇒ abc = 249. a = 3 ⇒ bc = 74 ⇒ abc = 374. a = 4 ⇒ bc = 99 ⇒ abc = 499.

• Test 32. Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. 2 2. 50 3. 14 4. 3 5. A ∩ B = {5;6} 6. 2109 7. 10 8. 384 Partea a II-a: b)

9. 1∈ A ⇒ 3 ∈ A ⇒ 9 ∈ A ⇒ 27 ∈ A ⇒ 81∈ A c)

81 = 5 ⋅ 17 − 4 ∈ A ⇒17 ∈ A b)

17 ∈ A ⇒ 51∈ A c)

51 = 5 ⋅ 11 − 4 ∈ A ⇒11∈ A. 10. 13n + 8 = 80k + 13 ⇒ 65n + 40 = 400k + 65 8n + 5 = 50 p + 5 ⇒ 64n + 40 = 400 p + 40 Scăzând cele două relaŃii obŃinem n = 400 ( k − p ) + 25 ⇒ ultimele două cifre ale lui n sunt 25. 11. a = 8222 − 3 ⋅ 4332 − 2663 = 2663

b = 3500 − 2 ⋅ 3499 − 2 ⋅ 3498 − ... − 2 ⋅ 3443 − 2 ⋅ 3442 = 3442 a) 2663 = 8221 < 9221 = 4442. 82

b) Ultima cifră a lui a este 8, iar ultima cifră a lui b este 9. Ultima cifră a sumei a + b este 7. Ultima cifră a lui n 2 poate fi 0, 1, 4, 9, 6 sau 5. Ultima cifră a numărului a + b + n 2 poate fi 7, 8, 1, 6, 3 sau 2 ⇒ a + b + n 2 nu este divizibil cu 5. 12. Printre cifrele de la 1 la 9 avem 5 cifre impare şi 4 cifre pare. Dacă printre numerele a2 , a4 , a6 , a8 se află o cifră pară, atunci produsul este divizibil cu 2. Dacă cifrele a2 , a4 , a6 , a8 sunt toate impare, atunci a cincea cifră impară va fi printre numerele a1 , a3 , a5 , a7 , a9 . Atunci ai − i va fi divizibil cu 2, deci şi produsul va fi divizibil cu 2. • Test 33. Concursul interjudeŃean “CongruenŃe”, Brăila, 2008 1. 104 este primul număr care se împarte exact la 8. Numerele care se împart exact la 8 sunt 104, 112, ..., 800. Au loc descompunerile 104 = 8 ⋅ 13, 112 = 8 ⋅ 14, ..., 800 = 8 ⋅ 100 . Există 100 − 13 + 1 = 88 numere divizibile cu 8 în şirul dat. 2. a) Primul termen care continuă şirul dat este 11. Al doilea termen care continuă şirul este 19. b) Şirul dat conŃine 1004 termeni de forma 3k − 1, k ∈ {1, 2,3,...1004} anume 2, 5, 8, ..., 3011 şi 1004 termeni de forma 4 p + 3, p ∈ {1, 2,3,...1004} , 7, 11, 15, ..., 4019 . Suma primilor 2008

termeni ai şirului este S = ( 2 + 5 + 8 + ... + 3011) + ( 7 + 11 + 15 + ... + 4019 ) S = 1512526 + 2021052 = 3533578 .

3. Fie perechea ( a, b ) , a, b ∈ ℕ. Există şi sunt unice c, r ∈ ℕ astfel încât a = bc + r , r < b . Dacă a > b rezultă b = a ⋅ 0 + c ⇒ b = c . Deci a = b ⋅ b + 0 ⇒ a = b2 . Perechile sunt de forma ( a; b )

(b ; b ) , b ∈ ℕ − {1}. 2

∗

• Test 34. Olimpiada de matematică, etapa locală, Botoşani, 2009 iii )

1. 2 ∈ A ⇔ 1 + 1∈ A ⇒1∈ A ii )

1∈ A ⇒ 3 ⋅ 1 + 2 = 5 ∈ A ii )

5 ∈ A ⇒ 3 ⋅ 5 + 2 = 17 ∈ A iii )

17 = 16 + 1∈ A ⇒ 4 ∈ A ii )

ii )

Din 2 ∈ A ⇒ 3 ⋅ 2 + 2 = 8 ∈ A ⇒ 3 ⋅ 8 + 2 = 26 ∈ A 2. a) U ( 3a 2 + 5b 2 ) ∈ {0;5; 2;3;7;8} şi U ( 7 2010 ) = 9.

b) 2009 = 4k + 1 ⇒ U ( 22009 ) = 2,U ( 32009 ) = 3,...,U (112009 ) = 1. c) 41 ⋅ 7 x ≤ 343 ⋅ 2009 ⇔ 41 ⋅ 7 x ≤ 73 ⋅ 41 ⋅ 7 2 ⇔ 7 x ≤ 75. MulŃimea are şase elemente. 3. a) r1 < a, r2 < b, r3 < c ⇒ r1 + r2 + r3 ≤ 24. Dacă ⇒ a = b = c = 9 ⇒ r1 + r2 + r3 = 0 . b) rezolvarea se găseşte la testul 10, problema 12.

r1 + r2 + r3 = 24

• Test 35. Olimpiada de matematică, etapa locală, Olt, 2009 1. a) 2011 b) 995 c) 90 2. a) 2n + 2n +1 + 2n + 2 + 2n + 3 = 2n ⋅ (1 + 2 + 4 + 8 ) = 2n ⋅ 15⋮15. b) 42 ⋅ 7 x − 32 ⋅ 7 x + 23 ⋅ 7 x = 2009 ⇔ 7 x ( 42 − 9 + 8 ) = 2009 ⇔ 7 x = 49

⇔ x = 2.

3. a) 5a + 3b + 2c = 3 ( a + b ) + 2 ( a + c ) = 99 + 22 = 121 = 112. b) 4 ⋅ 33013 = 12 ⋅ 33012 = 12 ⋅ 271004 > 12 ⋅ 161004 = 3 ⋅ 42009. 4. Avem relaŃiile c + î + r = 114, c − î = 55 şi î = 3r − 2. ObŃinem r = 9, î = 25, c = 80 şi d = 2009.

• Test 36. Olimpiada de matematică, etapa locală, Sibiu, 2009 1. 15 kg mere + 22 kg şi jumătate gutui = 195 lei 15 kg mere + 24 kg gutui = 204 lei ObŃinem 1 kg şi jumătate gutui=204 lei–195 lei=9 lei şi apoi 1 kg gutui = 6 lei. 8 kg gutui = 48 lei şi 5 kg mere = 68 lei – 48 lei = 20 lei, deci 1 kg mere = 4 lei. 2. a) 3 2006 ⋅ 3 = 3 2007 şi 3 2007 + 3 2007 = 2 ⋅ 3 2007 b)

x + 3 ⋅ ( 2 ⋅ 32007 + 32008 ) = 3 ⋅ 32009 ⇔

x + 3 ⋅ 32007 ( 2 + 3) = 3 ⋅ 32009

(

x + 3 2008 ⋅ 5 = 9 ⋅ 3 2008 ⇒ x = 3 2008 ⋅ 4 sau x = 31004

)

⇔

⋅ 22 .

3. a) 5a + 17b + 12c = 5a + 5b + 12b + 12c = 5 ( a + b ) + 12 ( a + b ) =

= 5 ⋅ 25 + 12 ⋅ 17 = 329 . b) Prin împărŃire directă obŃinem câtul 30403801 şi restul 0. 4. Fie ab numărul de beŃe din cutie. După ce scoatem beŃe, în cutie

rămân ab − ( a + b ) = 10a + b − ( a + b ) = 9a + (a + b ) − (a + b ) = 9a beŃe.

Numărul beŃelor poate fi: 9, 18, 27, 36, 45.

• Test 37. Olimpiada de matematică, etapa locală, Mureş, 2009 1. a) 12 + 12 · [3 · 22 +122 · (2 + 3 · 351 – 3 · 52 · 730 )]=55452. b) 2715 = ( 33 ) = 345 > 344 = 8111. 15

2. U ( 2327 ) = 7 şi U ( 27 23 ) = 3 ⇒ U ( 2327 + 27 23 ) = 0. 3. p = ( 2009a ) ⋅ 2009 ⋅ ( 2009b ) = 2009ab + bc +1 = 2009b( a + c )+1 = 20091009. b

4. a) pentru n = 1 ⇒ a1 = 1; pentru n = 2 ⇒ a2 = 2; pentru n = 3 ⇒ a3 = 5; pentru n = 4 ⇒ a4 = 12; pentru n = 5 ⇒ a5 = 27; pentru n = 6 ⇒ a6 = 58.

b) S20 = ( 21 + 22 + ... + 220 ) − (1 + 2 + ... + 20 ) = 221 − 212. • Test 38. Olimpiada de matematică, etapa judeŃeană, Brăila, 2007

1. a ≠ 0, b ≠ 0 ⇒ a + b < 2a + b dacă a + b = 1 şi 2a + b = 35 ⇒ a, b ∈∅. Dacă a + b = 5 şi 2a + b = 7 ⇒ a = 2 , b = 3. de forma 3k ⇒ egalitatea 3 p ( p + 1) 3 (1 + 2 + ... + p ) = 3 p ⋅ 100 sau = 3 p ⋅ 100 . 2 Deci p = 199 ⇒ abc = 597.

Numărul

abc

este

1003

devine

( )

2 3. A=(n + 1)2006 − n 2006 = ( n + 1)  − n 2 şi U ( A ) = {1;3;5;7;9} .   Dacă U ( A ) = {1;3;5;7} ⇒ A 2 + 4 ⋅ A + 2 nu este pătrat perfect. 1003

Dacă U ( A ) = {9} ⇒ A 2 + 4 ⋅ A nu este pătrat perfect.

4. M are 34 elemente. Fie 18 submulŃimi disjuncte ale mulŃimii M: 86

{1} ;{52} ;{4;100} ;{7;97} ;...;{46;58} ;{49;55} . Dacă în S nu este inclusă nicio submulŃime cu două elemente, atunci S conŃine câte un element al celor 18 mulŃimi considerate. Al 19-lea element va fi dintr-o mulŃime cu două elemente. • Test 39. Concursul naŃional „Grigore Moisil”, Satu Mare, 2009 1. a) SubmulŃimea a 2-a începe cu 1, care este egal cu numărul de elemente din prima submulŃime. SubmulŃimea a 3-a începe cu 3, care este egal cu numărul de elemente din submulŃimile anterioare (3=1+2). SubmulŃimea a 50-a începe cu numărul 49 ⋅ 50 1 + 2 + 3 + ... + 49 = = 1225 . 2 1274 ⋅ 1275 1224 − 1225 b) S = 1225 + 1226 + ...... + 1274 = − . 2 2 1274 ⋅ 1275 c) S = 0 + (1 + 2) + (3 + 4 + 5) + ....(1225 + 1226 + .... + 1274) = . 2 2. Dacă m, n ≠ 0 atunci U (5m + 6n + 2) = 3 , atunci numărul considerat nu este pătrat perfect. Deci cel puŃin unul dintre m şi n este 0. Cazul 1. Dacă m ≠ 0 , atunci n = 0 şi U (5m + 6n + 2) = 8 şi numărul nu este pătrat perfect. Cazul 2. Dacă m = 0 , atunci N = 5 m + 6 n + 2 = 6 n + 3 , care este pătrat perfect pentru n = 0 şi n = 1 , însă pentru n ≥ 2 nu este pătrat perfect ( 6 n + 3 este multiplu de 3 şi nu este multiplu de 9). n ⋅ (n + 1) şi aaaa = 11a ⋅ 101 . 2 n(n + 1) = 11 ⋅ a ⋅ 101 ⋅ 2 sau n(n + 1) = 2 ⋅ a ⋅ 101 ⋅ 11 Membrul drept nu poate fi scris ca produsul a două numere consecutive.

3. S = 1 + 2 + ...... + n =

4. La fiecare pas, numărul elementelor mulŃimii se micşorează cu 1. La început A are 1006 elemente impare (1006 este par). 87

(1) Dacă înlocuim două numere impare cu diferenŃa lor, obŃinem un număr par. Deci numărul numerelor impare scade cu 2, dar rămâne par. (2) Dacă înlocuim două numere pare cu diferenŃa lor, paritatea numărului numerelor impare nu se modifică, rămâne tot pară. (3) Dacă înlocuim un număr par şi altul impar cu diferenŃa lor, paritatea numărului numerelor impare nu se modifica, rămâne tot pară. La sfârşit rămâne un element par. • Test 40. Olimpiada de matematică, etapa locală, Cluj, 2009 1. S1 = 1 + 2 + 22 + ... + 22011 = 22012 − 1 ⇒ U ( S1 ) = 5. 2009 ⋅ 2010 = 2019045 ⇒ U ( S2 ) = 5. . 2 Deci ArătaŃi că U ( S1 − S2 ) = 0 ⇒ S1 − S 2 ⋮10. S2 = 1 + 2 + 3 + ... + 2009 =

2. a, b, c ∈ {8;9} . Numerele căutate sunt 889, 898 şi 988. Dacă adunăm 2 la fiecare obŃinem numerele 891, 900 şi 990. Suma cifrelor acestor numere este 18, 9 şi respectiv 18. 3. S = 2009 ⋅ 20092 + 1 + 2 + 3 + ... + 2008 = 20093 + 2017036. Deoarece S este divizibil cu 41, dar nu este divizibil cu 412 ⇒ S nu este pătrat perfect. • Test 41. Olimpiada de matematică, etapa locală, Cluj, 2009 1. 14 răspunsuri corecte. 2. 3a + 8b + 5c = 3 ( a + b ) + 5 ( b + c ) = 216 + 490 = 706. 3. Suma de 2009= 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 23 + 20. 4. a) a = ( 298 + 2102 )( 599 + 5101 ) = 442 ⋅ 298 ⋅ 599. 88

b = ( 299 + 2101 )( 598 + 5102 ) = 626 ⋅ 299 ⋅ 599. Deci a < b. b) a + b = 1098 ⋅ 8470 ⇒ suma cifrelor este egală cu 19.

• Test 42. Olimpiada de matematică, etapa locală, Dolj, 2009 1. abc ∈ {998;989;899} ⇒ suma cifrelor poate fi 27, 18 sau 9.

2. Dacă d = 0 ⇒ numerele sunt de forma 5bc0,7bc0 şi 9bc0, adică 12+12+12=36 de numere. Dacă d = 5 ⇒ numerele sunt de forma 6bc5,7bc5,8bc5 şi 9bc5, adică 12+40+12+40=104 de numere. În total, 140 de numere verifică datele problemei.

3. a) 9999971. b) 2 999...9. 223 de cifre

30 ⋅ 31 = 465. Pentru ca suma celor 30 de numere să 2 fie 464 trebuie să eliminăm o unitate şi astfel două numere devin egale. b) n = 35k + 7 = 21 p + 6 ⇒ 6⋮ 7 (fals).

4. a) 1+2+3+...+30=

• Test 43. Olimpiada de matematică, etapa judeŃeană, Sibiu, 2009 1. a) Dacă toate numerele sunt distincte şi sunt cele mai mici posibile obŃinem 1 + 2 + 3 + ... + 63 = 2016 > 2009 . Conform principiului lui Dirichlet, cel puŃin două numere sunt egale (de exemplu: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 62 + 56 = 2009 ). b) Dacă toate numerele ar fi egale, atunci x + x + x + ... + x = 2009 de 63 ori

63 ⋅ x = 2009 ⇒ x ∉ ℕ . Deci, pot fi cel mult 62 de numere egale cu proprietatea cerută (de exemplu: 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1947 = 2009 ). de 62 ori

2. a) Dacă x este sfertul lui b , atunci a = 3 ⋅ x + 2 , iar b = 4 ⋅ x . ObŃinem c = ( 3 ⋅ x + 2 + x ) : 2 = ( 4 ⋅ x + 2 ) : 2 = 2 ⋅ x + 1 .

a + b + c = 3 ⋅ x + 2 + 4 ⋅ x + 2 ⋅ x + 1 = 9 ⋅ x + 3 = 3 ⋅ ( 3 ⋅ x + 1) ⇒

⇒ ( a + b + c )⋮ 3 . b) Dacă b = 4 ⋅ x şi a = 3 ⋅ x + 2 , iar diferenŃa lor este 2009, atunci x = 2009 + 2 = 2011 . ObŃinem a = 6035 , b = 8044 şi c = 4023 . 3. a) x =

10a + b − ( a + b )

sau x =

9a + ( a + b ) − ( a + b )

9 ⇒ A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} .

sau x =

9a =a 9

12 ∈ ℕ , x ∈ A ⇒ S=12+6+4+3+2=27 ⇒ S=33 x

4. Deoarece a 2 + b 2 = b 2 + a 2 , iar elementele unei mulŃimi sunt distincte, este suficient să analizăm cazul a ≤ b . Pătratele celor 10 cifre constituie mulŃimea: {0,1, 4,9,16,25,36, 49,64,81} . Adunând pe rând fiecare element al acestei mulŃimi cu el însuşi şi cu cele mai mari decât el vom obŃine elemente din M. În total sunt necesare 10 + 9 + 8 + ... + 3 + 2 + 1 = 55 adunări. Trebuie să evităm însă situaŃiile în care două sume sunt egale întrucât elementele lui M sunt diferite între ele. Egalitatea a două sume se obŃine în patru cazuri 0 + 25 = 9 + 16 ; 1 + 49 = 25 + 25 ; 1 + 64 = 16 + 49 ; 4 + 81 = 36 + 49 . În total vor exista 55 − 4 = 51 sume distincte, deci M va avea 51 de elemente. Test 44. Olimpiada de matematică, etapa judeŃeană, Vaslui, 2009 1. A = x1+ 2 + 3+...+ 2009 = x1005⋅2009 . B = x1005 ⋅ x1005⋅2009 = x1005⋅2010 . Dacă x ∈ {0;1} ⇒ A = B. Dacă x ∈ ℕ \ {0;1} ⇒ A < B.

2. a) A = {5;7;9;...} .

b) Deoarece n 2 + n = n ( n + 1) număr par ⇒ 547 ∉ B. Pentru n = 271 ⇒ x = 2 ⋅ 271 + 5 = 547 ∈ A. c) Avem 5 = n ( n + 1) − 2k ⋮ 2( F ) ⇒ A ∩ B = ∅. 3.

(ab + ba )(aa + bb) 11 ⋅ 11 ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = = a + b. 121 ⋅ ( a + b ) aba + bab + a 0 + b0

12n + 9 12n + 9 aa = a, a ⇔ = ⇔ 6 ( 4n + 3) = 11a ⇔ a = 6, n = 2. 5 5 10

• Test 45. Olimpiada de matematică, etapa locală, ConstanŃa, 2008 1.a) a = 5b + 33 şi 2a + b = 440 ⇒ a = 203, b = 34. b) 4a − 20b − 68 = 64 = 82. 2. a) n 2 + n = n ( n + 1) număr par, deaoarece numerele n şi n + 1 sunt consecutive.

(

) = U (5 + 6 + 7 ). Dacă n ∈ {4k ;4k + 3} ⇒ U ( 7 ) = 1. Dacă n ∈ {4k + 1;4k + 2} ⇒ U ( 7 ) = 9. b) U ( A ) = U 5n + 6n + 7 n 2

n2 + n

În concluzie, U ( A) ∈ {0;2}.

3. a) De exemplu 38=4+9+25.

b) 382 k +1 = 4 ⋅ 382 k + 9 ⋅ 382 k + 25 ⋅ 382 k = ( 2 ⋅ 38k ) + ( 3 ⋅ 38k ) + ( 5 ⋅ 38k ) . 2

4. a) 20 de numere. 91

b) n = 28k + 5 , n = 35 p + 12 ⇒ n + 23 = 28 ( k + 1) şi n + 23 = 35 ( p + 1) . Cel mai mic n este 140 ⋅ 1 − 23 = 117. Numerele căutate sunt 140 ⋅ 14 − 23 = 1937, 140 ⋅ 15 − 23 = 2077. Suma lor este egală cu 4014. • Test 46. Olimpiada de matematică, etapa locală, Bihor, 2003

{

}

1. a) 103 + 102 ⋅ 10 + ( 52 − x ) : 5 : 202 = 6 ⇔ x = 5. .

b) (11 + 112 + 113 ) :133 + x < 24 ⇔ x < 5 ⇔ x ∈ {0;1; 2;3;4}.

2. 5 x + 3 y = 580, 3 x + 5 y = 460 ⇒ x = 95, y = 35. Se pot cumpăra 6 cărŃi şi 7 caiete. 3. a) A = 32002 ⋅ 42002 ⋅ 52002 ⋅ 193⋮193. b) Cu 2002 zerouri. 4. a = 2001 + 2 (1 + 2 + 3 + .... + 2000 ) = 2001 + 2000 ⋅ 2001 = 20012.

• Test 47. Olimpiada de matematică, etapa locală, NeamŃ, 2004 1. n = 7 q + r = 11r + q ⇒ 3q = 5r. Dacă r = 3t ⇒ q = 5t ⇒ n = 38t ⋮38.

2. ( x − 5)( x + 9 ) = 0 ⇔ x = 5. 3. n + 6 = 18 ( a + 1) = 24 ( b + 1) . Cel mai mic n este egal cu 72 ⋅ 1 − 6 = 66. Numerele cerute sunt 72 ⋅ 6 − 6, 72 ⋅ 7 − 6 adică 426 şi 498. 4. Dacă notăm 111...1 ...2 = t ⋅ (10n − 1) . Pe de ... 1 − 222 = t , atunci a = 111 2 n − ori

n − ori

  altă parte t ⋅ (10 − 1) = 111...1 ⋅ 111...1 ⋅ 9 =  111...1 ⋅ 3  . n − ori n − ori  n − ori  n

• Test 48. Olimpiada de matematică, etapa locală, Vaslui, 2009 1. b + f + s = 200, f = 2b, 24b + 26 f + 30 s = 5132. Grinzi de brad sunt 62. Grinzi de fag sunt 124. Grinzi de stejar sunt 14. 2. a) 11 ⋅ 9 + 11 ⋅ 21 + 11 ⋅ 25 + 11 ⋅ 66=11 ⋅121 = 113. b) abc = 3 ⋅ cba + 175 şi a = c + 7. După prelucrarea primei relaŃii se ajunge la 20b = 97 a − 299c − 175. Dacă c = 1 ⇒ a = 8 ⇒ 20b = 302 ⇒ b ∈∅. Dacă c = 2 ⇒ a = 9 ⇒ 20b = 100 ⇒ b = 5. Numărul căutat este egal cu 952. 3. a) U ( 912 ) = 1 şi U ( 712 ) = 1 ⇒ U ( A ) = 0 ⇒ A⋮10. b) 30. • Test 49. Olimpiada de matematică, etapa locală, Ilfov, 2008

{

}

1. A = x ∈ ℕ x = 3c , c ≤ 2, c ∈ ℕ = {1;3;9} ,

{

}

B = y ∈ ℕ y este ultima cifră a numerelor 32008 ,52008 ,62008 = {1;5;6} ,

C = { z ∈ ℕ z = x + y , x ∈ A, y ∈ B} = {2;6;7; 4;8;9;10;14;15}.

CalculaŃi A ∩ B = {1} , A ∪ B = {1;3;5;6;9} , A \ B = {3;9} şi

AXB = {(1;1) ; (1;5 ) ; (1;6 ) ; ( 3;1) ; ( 3;5 ) ; ( 3;6 ) ; ( 9;1) ; ( 9;5 ) ; ( 9;6 )}.

2. a) Ultimele 6 cifre ale produsului sunt zerouri. b) 162008 : 28002 = 830 = ( 815 ) = ( 810 ) . 2

3. a = 55, b = 37, c = 11.

Suma cifrelor este 9028. 4. a) 102008+101004–1234= 1000...0999...98766. b) U (10

1004

1000

) = 0,U ( 9 ) = 9,...,U ( 2 ) = 4,U (1) = 1. 9

• Test 50. Probleme pregătitoare pentru olimpiade şi concursuri 1. a) a = 52 n +1 − 10 = 52 n ⋅ 5 − 10 = 25n + (25n − 1) + (25n − 2) + (25n − 3) +

+(25n − 4) ; b) b = 24n + 2 ⋅ 6n + 4n + 2 = 6n (4n + 2) + (4n + 2) = (4n + 2)(6n + 1) .

2. a) 12 termeni; b) Numărul termenilor sumei S coincide cu soluŃia ecuaŃiei n(n + 1) = 78 , adică n = 12. 2 Termenul al 9-lea începe cu p + 1, unde 1 + 2 + 3 + … + 8 = p, adică p = 36. Deci termenul al nouălea este 37 ⋅ 38 ⋅ … ⋅ 45; c) Ultima cifră a lui S este 1 + 2 ⋅ 3 + 0 + … + 0 = 7. Deducem că S nu este pătrat perfect. 3. Avem x = 11a + 3, y = 11b + 2, z = 11c + 1 , unde a, b, c ∈ ℕ ; 11 (2 x + 5 y + nz ) ⇒ 11 (22a + 6 + 22b + 10 + 11nc + n) ⇒ 11 (n + 5) cel mai mic număr natural n cu proprietatea că 11 (n + 5) este n = 6. 4. Presupunem că nu există două numere alăturate care să aibă suma mai mare sau egală cu 8. Fie a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 cele 5 numere. Avem a1 + + a 2 ≤ 7, a 2 + a3 ≤ 7, a3 + a 4 ≤ 7, a 4 + a5 ≤ 7, a5 + a1 ≤ 7 . Adunând cele 5 inegalităŃi obŃinem: 2(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ) ≤ 35 ⇔ 2 ⋅18 ≤ 35 ⇔ 36 ≤ 35 , contradicŃie. 2)

5. 19 = 3 ⋅ 6 + 1 ∈ A ⇒ 6 ∈ A ⇒ 3 ⋅ 6 + 2 = 20 ∈ A ⇒ 3 ⋅ 20 + 2 = 62 ∈ A 3)

⇒ 3 ⋅ 62 + 2 = 188 ∈ A ⇒ 3 ⋅ 188 + 2 = 566 ∈ A ⇒ 3 ⋅ 566 + 2 = 1700 ∈ A . 94

6. a = 17, b = 30 . 7. a) a = 25 43 ; b = 24 43 ; a > b ; b) x = 3 ⋅ 600 43 = 3 ⋅ 6 43 ⋅ 10 43 . Ultima cifră nenulă este 8. 8. aa5 ∈ {115, 335, 665, 775} (aa5 se poate împărŃi la 8 sau la 9 pentru a obŃine restul 7). b)

9. 22 = 9 ⋅ 2 + 4 ∈ A ⇒ 2 ∈ A ⇒ 2 ⋅ 9 + 6 = 24 ∈ A ⇒ 9 ⋅ 24 + 6 = 222 ∈ A c ) 9 ⋅ 222 + 5 = 2003 ∈ A . ⇒ 9 ⋅ 222 + 6 = 2004 ∈ A

10. Din teorema împărŃirii cu rest avem n = 15a + 5 = 5(3a + 1) şi n = 10b + 4 = 2(5b + 2) . Rezultă că n este multiplu de 5 ⋅ 2 = 10, în contradicŃie cu ipoteza (n împărŃit la 10 dă restul 4).

BIBLIOGRAFIE 1. Bălăucă, Artur şi colaboratorii, Aritmetică, clasa a V-a, Editura Taida, Iaşi, 2007 2. Bălăucă, Artur, Aritmetică. Olimpiade, concursuri şi centre de excelenŃă, Edituta Taida, 2005 3. Centrul pentru educaŃie şi dezv. CreativităŃii, Teste pentru AbilităŃi Intelectuale Generale, C.E.D.C., Bucureşti, 1991 4. Crăciun, Gheorghe şi alŃii, Duelul matematic, Editura Tiparg, Piteşti, 2007 5. Crăciun, Gheorghe şi alŃii, Maratonul Matematic, Editura Tiparg, Piteşti, 2009 6. Damian, Marius, Stănică, Nicolae Cătălin, Szilard, Laszlo, Olimpiadele de matematică 2006, clasa a V-a, Editura Gil, Zalău, 2006 7. Eckstein, Ghe. Giurgiu, D.B. şi alŃii, Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2008, Ed. Bîrchi, Timişoara, 2008 8. Manea, Ioana Monalisa, Culegere de probleme de matematică pentru clasa a V-a, Editura Logos Junior, Bucureşti, 2005 9. Stănică, Nicolae Cătălin, Gauzin, Ana, Fătu, Nicolae, Testarea naŃională 2004, Editura Olimpiada, Brăila, 2004 10. Turcitu, George şi alŃii, Matematică, manual pentru clasa a Va, Editura Radical, D. T. Severin, 1997 11. www.sorinborodi.ro

CUPRINS EnunŃuri

SoluŃii

Capitolul 1 EVALUĂRI INIłIALE

Capitolul 2 NUMERE NATURALE

Capitolul 3 MULłIMI

Capitolul 4 NUMERE RAłIONALE

Capitolul 5 MODELE PENTRU TEZĂ

Capitolul 6 OLIMPIADE ŞI CONCURSURI

Capitolul 7 SOLUłII ŞI SUGESTII DE REZOLVARE

BIBLIOGRAFIE

CUPRINS

Sugestii şi observaŃii se pot transmite pe adresa: evaluarelamatematica@yahoo.com