вiдповiдi та розв’язання ВСІХ завдань ДО ПIДРУЧНИКА Г. ЯНЧЕНКО, В. Кравчука «Алгебра»
1. поняття рівняння Рівень А 4x − 3 = x + 1, 5 4x − x = 3 + 1, 5 3x = 4, 5 x = 4, 5 : 3 x = 1, 5 , що треба було довести. 2 (1 − 2x ) + x = −5x + 5 2 − 4x + x = −5x + 5 5x − 3x = 5 − 2 2x = 3 x = 3:2 x = 1, 5 , що треба було довести.
4.
а) б)
5.
а) 0, 5x + 6 = 2x − 6 2x − 0, 5x = 6 + 6 1, 5x = 12 x = 12 : 1, 5 x = 8 , що треба було довести. б) 4 ( x + 3 ) = 49 − ( x − 3 ) 4x + 12 = 49 − x + 3 5x = 49 − 12 + 3 5x = 40 x = 40 : 5 x = 8 , що треба було довести.
6.
а) 7x − 12 = 3x 4x = 12 x = 12 : 4 x =3 ; б) 2x − 4x + 8 = 1 −2x = −7 x = −7 : ( −2 ) x = 3, 5 ; в) 3 ( 8 − y ) = 5y 24 − 3y = 5y 8y = 24 y = 24 : 8 y=3 . Відповідь: а), в).
7.
а) 6x = −2 + 7x 7x − 6x = 2 x = 2 ;
б)
2 ( y − 5) + 7 = 1 2y − 10 + 7 = 1 2y = 1 + 3 2y = 4 y=2 .
АЛГЕБРА
§ 1. Лінійні рівняння з однією змінною
в) 5 − ( 6 − x ) = x 5 − 6 + x = x — не має рішень. Відповідь: а), б).
АЛГЕБРА
8.
9.
а) 5x + 3 = 18 5x = 15 x = 15 : 5 x = 3 ;
б)
в) 4 − 4y = 6 −4y = 2 2 1 y = − = − = −0, 5 ; 4 2 д) −4 ( x + 8 ) = −108 −4x − 32 = −108 −4x = −108 + 32 −4x = 76 x = −76 : 4 x = 19 ; є) 12, 6 = 6 ( x + 2, 5 ) 12, 6 = 6x + 15 6x = 12, 6 − 15 6x = −2, 4 x = −2, 4 : 6 x = −0, 4 ; з) ( 0, 7x + 1 ) : 0, 5 = 4 0, 7x + 1 = 0, 5 ⋅ 4 0, 7x = 2 − 1 0, 7x = 1 7 x = 1 : 0, 7 = 1 : 10 10 3 x= =1 . 7 7 а) 6 + 3z = 15 3z = 11 11 2 z= = 3 ; 3 3
г) −1, 2y = 0, 03 y = 0, 03 : ( −1, 2 )
в) 7 − 6x = 10 −6x = 3 3 x = − = −0, 5 ; 6
г)
4 ( 2x + 3 ) = −4 8x + 12 = −4 8x = −16 x = −16 : 8 x = −2 ;
д) −2 ( 3 + y ) = 10, 06 −6 − 2y = 10, 06 −2y = 16, 06 y = 16, 06 : ( −2 ) y = −8, 03 ;
е)
( 5z + 4 ) : 3 = −17 5z + 4 = −17 ⋅ 3 5z + 4 = −51 5z = −55 z = −55 : 5 z = −11 .
10. а) 8x = 32 x = 32 : 8 10 x = 4 ;
1, 7x − 2 = 3, 1 1, 7x = 3, 1 + 2 1, 7x = 5, 1 x = 5, 1 : 1, 7 x =3 ;
y = −0, 025 ;
е)
5 ( 2y + 1 ) = −1 10y + 5 = −1 10y = −6 y = −6 : 10 y = −0, 6 ;
ж) z : 1, 5 = −7 z = −7 ⋅ 1, 5 z = −10, 5 ;
б) 2x − 11 = −3 2x = 11 − 3 2x = 8 x=4;
б) x2 = 16 x1 = −4 x2 = 4 .
12. 4 − x = − x 4−x =x 2x = 4 x = 2 , що треба було довести. 13. а)
( 3x + 7 ) ( 3x − 2 ) = 0 3x1 + 7 = 0
3x1 = −7 7 1 x1 = − = −2 3 3 б) x2 + 8 = 4
АЛГЕБРА
11. а) x − 1 = 1 − x б) x + − x = 0 x −1 = 1 − x x = − −x . 2x = 2 x =1; Відповідь: 1,5 не є коренем жодного з рівнянь.
або 3x2 − 2 = 0
3x2 = 2 2 x2 = ; 3
x2 = 4 − 8 x2 = −4 — не має рішень.
14. а) ( 4x − 6 ) ( 2x + 6 ) = 0 або 4x1 − 6 = 0 4x1 = 6 x1 = 6 : 4 x1 = 1, 5 б) 2x2 + 7 = 1 2x2 = 1 − 7 2x2 = 6 — не має рішень.
2x2 + 6 = 0 2x2 = −6 x2 = −6 : 2 x2 = −3 ;
15. x = 1 2x + a = −1 2 + a = −1 a = −1 − 2 a = −3 . Відповідь: при a = −3 . 16. 2x − 7 = 1 2x = 8 x = 8:2 x=4; 5x = a − 3 5⋅4 = a −3 a = 20 + 3 a = 23 . Відповідь: a = 23 . 17. 135x ( 1297x − 468 ) − 114 ( 273x + 575 ) − 2125 = 0 135x ( 1297x − 468 ) − 114 ( 273x + 575 ) = 2125 , якщо x = 2 , то ліва частина рівняння є парним числом, але права частина число 2125 — число непар11 не, отже 2 не є коренем рівняння.
АЛГЕБРА
19. а) б) в) г) д) е)
3 3 3 21 9 ⋅ 2, 1 = 1 ⋅ = ; 7 10 7 10 0, 4 ⋅ 4 = 1, 6 ; 20 %⋅ 15 = 0, 2 ⋅ 15 = 3 ; 28 %⋅ 2, 5 = 0, 28 ⋅ 2, 5 = 0, 7 ; 125 %⋅ 10 = 1, 25 ⋅ 10 = 12, 5 ; 4, 5 %⋅ 80 = 0, 045 ⋅ 80 = 3, 6 .
20. 5 000 ⋅ 7, 5 %= 5 000 ⋅ 0, 075 = 375 (грн.) Відповідь: 375 грн.
}
21. I сам. — 30 % 400 т II сам. — на 12 т > III сам. — ? 1) 400 ⋅ 30 %= 400 ⋅ 0, 3 = 120 (т) — вивіз перший самоскид; 2) 120 + 12 = 132 (т) — вивіз другий самоскид; 3) 400 − (120 + 132 ) = 400 − 252 = 148 (т) — вивіз третій самоскид. Відповідь: 148 тонн. 26. а) 7x − 4 = 3x − 9 7x − 3x = 4 − 9 4x = −5 x = −5 : 4 x = −1, 25 ;
б)
3 ( x + 2 ) = 15 ( x − 2 ) 3x + 6 = 15x − 30 15x − 3x = 30 + 6 12x = 36 x = 36 : 12 x =3 ;
27. а) 8x + 4 = 3x + 4 ; 5x = 0 ; x = 0 ; 1 1 б) ( x − 5) = 15 3 1 5 x −5 = ⋅ 15 3 x −5 = 5 x = 10 ; 200 ( x − 5 ) = 100 ( x + 1 ) + 500 б) 200x − 1000 = 100x + 100 + 500 100x = 1600 x = 16 ; 1 7 17 в) г) ( 2x − 5 ) + = x 30 30 30 2 5 7 17 x + = x 30 30 30 30 17 2 2 x− x= 30 30 30 15 2 x= 30 30 2 30 x= ⋅ 30 15
32. а)
x= 12
2 ; 15
350x + 250 ( 5x − 4 ) − 800 = 0 350x + 1250x − 1000 − 800 = 0 1600x = 1800 x = 1800 : 1600 x = 1, 125 ; 3 1 21 1 1 + + ( x + 1) = 1 − 2 3 6 12 3 + 2 −1 1 1 − ( x + 1 ) = 12 6 1 1 ( x + 1) = 3 12 1 x +1 = 4 ⋅3 12 1 4 1 x = −1 4 3 x = − = −0, 75 . 4 x +1 =
70 ( 3 ( x − 12 ) + 2 ( x + 18 ) ) = 70
( 3 ( x − 12 ) + 2 ( x + 18 ) ) = 1
3x − 36 + 2x + 36 = 1 5x = 1 1 x = = 0, 2 ; 5
37. а) б) в)
2 4 7 (1 − x ) − (1 + x ) = 15 15 15 2 7 ( (1 − x ) − 2 (1 + x ) ) = 15 15 7 15 1 − x − 2 − 2x = ⋅ 15 2 −3x = 1 + 3, 5 −3x = 4, 5
б)
x = 4, 5 : ( −3 ) 45 1 x=− ⋅ 10 3 45 x=− = −1, 5 . 30
АЛГЕБРА
33. а) 210 ( x − 12 ) + 140 ( x + 18 ) = 70
a = −0, 1 , 2 ( a + 1 ) − 4 ( a − 2 ) = 2a + 2 − 4a + 8 = = −2a + 10 = −2 ( −0, 1 ) + 10 = 10, 2 ; x = 2, 25 , 1, 4x − (1 + 0, 7x ) − ( 3, 3x − 2 ) = = 1, 4x − 1 − 0, 7x − 3, 3x + 2 = = −2, 6x + 1 = −2, 6 ⋅ 2, 25 + 1 = −5, 85 + 1 = −4, 85 ; a = 3 ; b = −1 , −2 ( a + b − 2 ) − a + 2b − 4 == −2a − 2b + 4 − a + 2b − 4 == −3a = −3 ⋅ 3 = −9 ;
39. а) 52000 + 0, 04 ⋅ 52000 = 52000 + 2080 == 54080 (ж.) — буде через рік. б) x + 0, 04x = 52000 1, 04x = 52000 x = 52000 : 1, 04 x = 50000 (ж.) — було рік тому. Відповідь: а) 54 080 жителів; б) 50 000 жителів. 43. а) 36x = − 54 x = − 54 : 36 x = −1, 5 ;
б) 0, 04z = 1, 4 z = 1, 4 : 0, 04 z = 35 ;
2 3 2 1 y=− ⋅ 3 2 1 y = − ; 3
г) −1, 2x = −0, 09
в) 2y = −
t = −2, 05 ;
x = 0, 075 ;
д) −3, 86t = 7, 913 t = 7, 913 : ( −3, 86 )
x = −0, 09 : ( −1, 2 )
е)
4 2 x=− 15 5 2 4 x=− : 5 15 1
2
3
x=−
3 x = − = −1, 5 ; 2
1
5
⋅
15
2
4
13
є) 2
1 7 S =1 4 8
S=
9 15 : 4 8
ж) −2, 5x = −
АЛГЕБРА
3
9 28 ⋅ 4 515 6 S = = 1, 2 ; 5 S=
44. а) 5x − 3 = 17 5x = 17 + 3 5x = 20 x = 4 ; в) 4 − 3y = 6y + 22 6y + 3y = 4 − 22 9y = −18 y = −2 ;
1 6
1 5 25 : − 6 2 10 1 2 x= ⋅ 6 5 x=−
1 x= ; 15 б)
з) 3
5 y = 0, 6 9 6 32 : 10 9
y=
y=
27 y= . 160
3
6 ⋅ 10
9 16
32
7x + 32 = 12x + 25 12x − 7x = 32 − 25 5x = 7 x =7 :5 x = 1, 4 ;
г) 4, 5z + 1 = 7z + 2, 5 7z − 4, 5z = 1 − 2, 5 2, 5z = −1, 5 z = −1, 5 : 2, 5 z = −0, 6 ;
д) −1, 2m − 2 = m − 0, 9 е) −1, 74x + 7, 92 = −1, 08x m + 1, 2m = −2 + 0, 9 −1, 08x + 1, 74x = 7, 92 2, 2m = −1, 1 0, 66x = 7, 92 m = −1, 1 : 2, 2 x = 12 ; m = −0, 5 ; є) 4y + 1 = −1 + 4y 4y − 4y = −1 − 1 — не має рішень. ж) 0, 77x = 1, 65 + 1, 1x 0, 77x − 1, 1x = 1, 65 −0, 4x = 1, 65 x = 1, 65 : ( −0, 4 ) x = −4, 125 ; 45. а) 56x = −196 x = −196 : 56 x = −3, 5 ;
14
з) −16, 8x − 3 = 6x + 2, 7 16, 8x + 6x = −3 − 2, 7 22, 8x = −5, 7 x = −5, 7 : 22, 8 x = −0, 25 . б)
8x = −8 + 12x 12x − 8x = 8 4x = 8 x =2 ;
в) 1, 15 − 3z = 2, 5 −3z = 2, 5 − 1, 15 −3z = 1, 35 z = −0, 45 ;
г) 2y − 18 = −3y + 67 2y + 3y = 67 + 18 5y = 85 y = 85 : 5 y = 17 ;
д) 6x + 2 = 20x − 5 20x − 6x = 5 + 2 14x = 7 1 x= ; 2
е)
4, 5x + 1 = 2 + 4, 5x 4, 5x − 4, 5x = 2 − 1 — не має рішень.
ж)
4, 02t − 1 = 1, 52t 4, 02t − 1, 52t = 1 2, 5t = 1 t = 1 : 2, 5 t = 0, 4 ;
АЛГЕБРА
є) 8 − 1, 2z = −6z + 152 6z − 1, 2z = 152 − 8 4, 8z = 144 z = 144 : 4, 8 z = 30 ; з) 1, 7x + 2, 04 = −6, 8x 1, 7x + 6, 8x = −2, 04 8, 5x = −2, 04 x = −2, 04 : 8, 5 x = −0, 24 . 46. а) 6 ( x − 2 ) = 2x 6x − 12 = 2x 6x − 2x = 12 4x = 12 x = 12 : 4 x =3 ;
б) 3 ( 2x + 1 ) = 7x 6x + 3 = 7x x =3 ;
в) 1 − ( 3x + 1 ) = 2x 1 − 3x − 1 = 2x −3x − 2x = 0 −5x = 0 x = 0 ;
г)
−2 ( 2x − 4 ) = −3 −4x + 8 = −3 −4x = −3 − 8 −4x = −11 x = −11 : ( −4 )
x = 2, 75 ;
д) 2 ( x + 5 ) = 2 ( x − 4 ) е) −3 (10 − 2x ) = 6x − 30 x +5 = x −4 −30 + 6x = 6x − 30 — безліч коренів. x − x = −4 − 5 — не має рішень. 47. а) 8x − 7 = 3 ( x − 4 ) 8x − 7 = 3x − 12 8x − 3x = 7 − 12 5x = −5 x = −1 ;
б)
− ( 3x + 1 ) = 3 ( 3 − x ) −3x − 1 = 9 − 3x −3x + 3x = 9 + 1 — не має рішень;
в) 6x − 2 = −2 ( 1 − 3x ) 6x − 2 = −2 + 6x — безліч коренів. 48. а) 2 ( x − 11 ) − 5 ( 5 − 2x ) = −23 2x − 22 − 25 + 10x = −23 12x = −23 + 47 12x = 24 x = 24 : 12 x = 2 ; в) −5 ( 4x + 3 ) + 3x = −12 ( x − 3 ) −20x − 15 + 3x = −12x + 36 −17x + 12x = 36 + 15 −5x = 51 x = 51 : ( −5 ) x = −10, 2 ;
б)
8 ( −3x + 4 ) + 14 ( 3 + 2x ) = 4 + 2x −24x + 32 + 42 + 28x = 4 + 2x 4x − 2x = 4 − 74 2x = −70 x = −70 : 2 x = −35 ;
г)
0, 5x = 0, 1 ( 2x − 5 ) + 1, 7 0, 5x = 0, 2x − 0, 5 + 1, 7 0, 5x − 0, 2x = 1, 2 0, 3x = 1, 2 x = 1, 2 : 0, 3 x=4.
15
АЛГЕБРА
49. а) 3, 5 ( x − 3 ) − 0, 7 ( 7 − x ) = −7 3, 5x − 10, 5 − 4, 9 + 0, 7x = −7 4, 2x = 15, 4 − 7 4, 2x = 8, 4 x = 8, 4 : 4, 2 x = 2 ;
б)
0, 4 ( 2x − 7 ) + 12 ( 3x + 0, 7 ) = 1, 6x 0, 8x − 2, 8 + 3, 6x + 0, 84 = 1, 6x 3, 6x − 1, 6x + 0, 8x = 2, 8 − 0, 84 2, 8x = 1, 96 x = 1, 96 : 2, 8 x = 0, 7 ;
в) 5 ( 4 ( x + 1 ) − 9x ) = 25 ( x + 1 ) 5 ( 4x + 4 − 9x ) = 25x + 25 −25x + 20 = 25x + 25 50x = −5 x = −5 : 50 x = −0, 1 ;
г)
0, 8 ( 2, 2 ( x − 1 ) − 1 ) − 1, 4x = −0, 4 0, 8 ( 2, 2x − 2, 2 − 1 ) − 1, 4x = −0, 4 1, 76x − 1, 76 − 0, 8 − 1, 4x = −0, 4 0, 36x = 2, 56 − 0, 4 0, 36x = 2, 16 x = 2, 16 : 0, 36 x =6 .
б)
9 ( x − 3 ) − 4 ( 7 − 3x ) − 5 = −3x 9x − 27 − 28 + 12x + 3x = 5 24x = 5 + 55 24x = 60 x = 60 : 24 x = 2, 5 ;
50. а) 5 ( 3x − 6 ) + 4 ( 3 − 2x ) = 5x − 8 15x − 30 + 12 − 8x − 5x = −8 2x = 30 − 12 − 8 2x = 10 x = 10 : 2 x = 5 ;
в) −0, 3 ( 8 − 4x ) = 0, 6 ( x − 3 ) + 0, 9 г) −2, 4 + 1, 2x = 0, 6x − 1, 8 + 0, 9 1, 2x − 0, 6x = 2, 4 − 0, 9 0, 6x = 1, 5 x = 1, 5 : 0, 6 x = 2, 5 ;
2 ( −0, 9x + 1, 4 ) + 1, 4 ( 1, 5 + x ) = x −1, 8x + 2, 8 + 2, 1 + 1, 4x = x x + 0, 4x = 4, 9 1, 4x = 4, 9 x = 4, 9 : 1, 4 x = 3, 5 ;
д) 40 ( 5x − 8 ( x − 1 ) ) = 160 ( x + 9 ) е) 40 ( 5x − 8x + 8 ) = 160x + 1440 200x − 320x + 320 = 160x + 1440 160x + 120x = 320 − 1440 280x = −1120 x = −1120 : 280 x = −4 ;
12 + 3 ( 2 ( x − 1 ) − 4 ) = 6 ( x + 1 ) 12 + 3 ( 2x − 2 − 4 ) = 6x + 6 12 + 6x − 6 − 12 = 6x + 6 6x − 6x = 6 + 6 — не має рішень.
51. 2x − 3 = −3 + 7x 7x − 2x = 0 5x = 0 x=0. 52. 25x − 30 + 5 = 15x + 15 25x − 15x = 25 + 15 10x = 40 x = 40 : 10 x=4. 53. 4x + 6 = 6 ( 6x − 15 ) 4x + 6 = 36x − 90 32x = 96 x = 96 : 32 16 x =3 .
2 5 x 3 x 41 + = + 12 6 4 3 3x − 2x 5 − 4 = 12 12 1 1 x= 12 12 x = 1 ;
x − 1 5x − 2 x −2 + =2− 5 3 15 3 ( x − 1) + 5 ( x − 2 ) + ( x − 2 ) =2 15 3
б)
3x − 3 + 5x − 10 + x − 2 = 30
9x = 45 x = 45 : 9 x =5 ;
2x + 1 3 2 − 11 2x 2 x − 3 9 + = − 6 9 3 2 9 ( x − 3 ) 3 ( 2x + 1 ) + 2 ( 2 − 11x ) 2 = 18 3 2 6 9x − 27 − 6x − 3 + 4 − 22x = 1 ⋅ 18 3 19x = −12 − 26 x = −38 : 19 x =2 ; 2x − 1 3x − 2 2 2x − 3 4 7 + − = г) 8 4 2 8 2x − 1 + 2 ( 3x − 2 ) − 4 ( 2x − 3 ) 7 = 8 8 7 2x − 1 + 6x − 4 − 8x + 12 = ⋅8 8 8x + 7 = 7 + 8x — безліч коренів. в) −
АЛГЕБРА
54. а)
5 3 1 1 − x = x+3 6 8 4 3 2 2 1 3 5 1 x + x = 2 −3 4 8 6 3 2+3 17 20 x= − 8 6 6 5 3 x=− 2 8 6 1 8 x=− ⋅ 2 5 x = −0, 8 ;
55. а) 2
2 2 3 б) 2 3 − 2x + 2, 5 = 1 − −x + 9 3 4 3 15 2 2 2 ⋅ 2 − 4x + 2, 5 = 1 + x − 9 3 4 2 6 5x = 10 − 1 + 9 9 5 5x = 10 − 9 4 5x = 9 9 17 85 1 17 8 x= ⋅ 1 ; x= =1 ; 9 9 9 5
17
2 1 1 1 2 y +1 = 3 7 3 6 3
в) 5y − 4 10
5 30 7 30 7 1 ⋅ 1 y+ ⋅ =3 3 7 7 6 3 1 5y − 10y = 3 − 5 3
АЛГЕБРА
5y −
5y = 1 5y =
2 3
5 3
y=
5 1 ⋅ 3 5
y=
1 ; 3
31 51 − 3x + − 3x = 1 8 3 83 1 3 5 3 − 3x 2 8 + 8 = 1
г) 2
1 3 − 3x = 1 3 1 3 ⋅ − 9x = 1 3 9x = 0 x=0. 56. а)
x + 1 4 3 2 − x 1 2x − 3 + = + 6 8 4 12 4 ( x + 1) + 3 ( 2 − x ) − 2 ( x − 3 ) 1 = 24 4 1 6 4x + 4 + 6 − 3x − 2x + 6 = ⋅ 24 4 x = 10 ;
в)
25 3 1 1 − x = x+4 5 6 4 5 3 2 5 2 3 1 1 ⋅ − ⋅ x = x+4 5 3 5 36 5 24 1 1 −0, 3x − 0, 2x = 4 − 3 3 −0, 5x = 4 x = 4 : ( −0, 5 )
18
x = −8 ;
x x + 3 4 x − 3 3 2x − − = 2 3 4 6 6x − 4 ( x + 3 ) − 3 ( x − 3 ) − 2x =0 12 6
б)
6x − 4x − 12 − 3x + 9 − 2x = 0
3x = −3
x = −1 ;
г) 2
25 5 1 4 − 2x − 5 − x = 1 5 6 6 6 5 \2
12 5 12 1 4 5 ⋅ − ⋅ 2x − 5 + x = 1 5 6 5 6 5 6 24 4 5 1 − x + x =1 +5 −2 5 5 6 6 4
20
−
x = 5 : ( −4 ) x = −1, 25 .
1
5
x =5
2x2 − 7 = −11 2x2 = −11 + 7 x2 = −4 : 2 x1 = −2 ;
АЛГЕБРА
57. а) x = 5 x1 = 5 x2 = −5 ; б) x = −6 — не має рішень; в) x = 0 x=0; г) 2x − 7 = 11 або 2x1 − 7 = 11 2x1 = 11 + 7 x1 = 18 : 2 x1 = 9 д) 15 − 4x = 5 або 15 − 4x1 = 5 4x1 = 15 − 5 x1 = 10 : 4 x1 = 2, 5 е) 7x − 2 = 0 7x − 2 = 0 7x = 2 2 x= . 7
15 − 4x2 = −5 4x2 = 15 + 5 x2 = 20 : 4 x2 = 5 ;
58. а) x + 3 = 7 x =4 x1 = 4 x2 = −4 ;
б) 3 x = 6 x =2 x1 = 2 x2 = −2 ;
в) x + 8 = 3 x = −5 — не має рішень. 59. а) 3x = 12 3x1 = 12 x1 = 4 б) x − 3 = 8 x1 − 3 = 8 x1 = 8 + 3 x1 = 11
або
3x2 = −12 x2 = −4 ;
або
x2 − 3 = −8 x2 = −8 + 3 x2 = −5 ;
в) x + 2 = −2 — не має рішень; г) x − 7 = 0 x −7 = 0 x =7 ; д) 2 x − 1 = 5 2 x =6 x =3 x1 = 3 x2 = −3 ;
е)
5 − x = −11 x = 11 + 5 x = 16 x1 = 16 x2 = −16 . 19
(
)
60. а) 200 2 ( 2 ( x − 1 ) − 1 ) − 1 = −600
АЛГЕБРА
200 ( 2 ( 2x − 2 − 1 ) − 1 ) = −600
4x − 6 − 1 = −600 : 200 4x = −300 + 7 4x = −293 x = −293 : 4 x = −73, 25 ; 4321 б) −x−x−x−x =1 5 4 3 2 43 2 5 4 3 4 3 1 ⋅ 5 4 3
⋅
1 2 − x −x−x−x =1 2 3
−
3 2 3 ⋅ x − x −x−x =1 4 3 4
4 1 4 2 4 3 4 ⋅ − ⋅ x− ⋅ x − x −x =1 5 4 5 4 5 4 5 1 2 3 4 − x − x − x −x =1 5 5 5 5 4 1 x =1− 5 5 14 4 − x= 5 5 2 4 5 x= ⋅ − 7 5 14 2 x=− . 7 61. а) 2 ( x − 3 ) − ( x + 4 ) = 2 2 ( x1 − 3 ) − ( x1 + 4 ) = 2 2x1 − 6 − x1 − 4 = 2 x1 = 2 + 10 x1 = 12 −2
б) 5x − 4 ( 2x + 3 ) = 6 5x1 − 4 ( 2x1 + 3 ) = 6 5x1 − 8x1 − 12 = 6 3x1 = −18 x1 = −18 : 3 x1 = −6
20
в) 2 ( x − 3 ) − 4 ( 2 x + 9 ) = −48 2 x − 6 − 8 x − 36 = −48 6 x = 48 − 42 6 x =6 x =1 x1 = 1 x2 = −1 ;
або
2 ( x2 − 3 ) − ( x2 + 4 ) = −2 2x2 − 6 − x2 − 4 = −2 x2 = −2 + 10 x2 = 8 ;
або
5x2 − 4 ( 2x2 + 3 ) = −6 5x2 − 8x2 − 12 = −6 3x2 = −6 x2 = −6 : 3 x2 = −2 ;
2x − 1 − 4 + 4 2x − 1 = 6 2x − 1 + 4 2x − 1 = 6 + 4
або
2x − 1 ( 1 + 4 ) = 10
5 2x − 1 = 10 2x − 1 = 2 2x1 − 1 = 2 2x1 = 3 x1 = 3 : 2 x1 = 1, 5
62. а) 3x + x = 20 3x + x = 20 4x = 20 x = 20 : 4 x =5 ; б) 5 x + x = 12 5 x = 12 − x або 5x1 = 12 − x1 6x1 = 12 x1 = 12 : 6 x1 = 2 в) x + x = 8 x+x =8 2x = 8 x = 8:2 x=4; г) x − x = 12 — не має рішень;
2x2 − 1 = −2 2x2 = −1 1 x2 = − 2 x2 = −0, 5 .
АЛГЕБРА
г) 2x − 1 − 4 ( 1 − 2x − 1 ) = 6
5x2 = − ( 12 − x2 ) 5x2 − x2 = −12 4x2 = −12 x2 = −12 : 4 x2 = −3 ;
д) x + x = 0 x1 = − x1 — буль-яке від’ємне число x2 = 0 ; е) x − x = 0 x1 = x1 — будь-яке додатне число x2 = 0 . 63. а) x + x2 = 0 x=0 б) x2 + x = −7 — не має рішень; в) x + 2x + 4 = 0 3x = −4 — не має рішень. 66. V1 = a км/год, V2 = b км/год t1 = t2 = 1, 5 год S = S1 + S2 = V1t1 + V2t2 S = a ⋅ 1, 5 + b ⋅ 1, 5 = 1, 5 ( a + b ) . Відповідь: 1, 5 ( a + b ) .
21
АЛГЕБРА
67. Vл = a км/год, Vв = b км/год t = 0, 2 год Vл − Vв — швидкість зближування S = t ( Vл − Vв ) S = 0, 2 ( a − b ) . Відповідь: 0, 2 ( a − b ) . 68. Vвл = a км/год Vтеч = b км/год Vза теч = Vвл + Vтеч = a + b Vпр теч = Vвл − Vтеч = a − b tза теч = 2 год, tпр теч = 3 год S = 2 ( a + b ) + 3 ( a − b ) = 2a + 2b + 3a − 3b = 5a − b . Відповідь: 5a − b . 69. Нехай у кошику було x яблук x − 3 — взяли в 1 раз; 1 ( x − 3 ) — взяли в 2 раз; 3 3 — взяли в 3 раз; 1 x — залишилося в кошику. 2 1 1 x − 3 − ( x − 3) − 3 = x 3 2 1 1 1 x − 3 − x + ⋅3 − 3 = x 3 3 2 1 1 x− x− x =5 2 3 3\ 2\ 1 1 x− x− x =5 2 3 3−2 x =5 6 1 x =5 6 x = 5⋅6 x = 30 (яб.) — було у кошику. Відповідь: 30 яблук.
}
70. I мішок — на 12 кг > 68 кг II мішок — x x + x + 12 = 68 2x = 68 − 12 2x = 56 x = 56 : 2 x = 28 (кг) — у II мішку; 28 + 12 = 40 (кг) — у I мішку. Відповідь: 40 кг, 28 кг. 72. Буряк — на 560 га > або в 3,5 р. > Картопля — x га 22 x + 560 = 3, 5x
}
74. I робітник — 0,8x 36 II робітник — x x + 0, 8x = 36 1, 8x = 36 x = 36 : 1, 8 x = 20 (дет.) — виготовив II робітник; 0, 8 ⋅ 20 = 16 (дет.) — виготовив I робітник. Відповідь: 16 деталей; 20 деталей.
АЛГЕБРА
3, 5x − x = 560 2, 5x = 560 x = 560 : 2, 5 x = 224 (га) — займає картопля; 224 + 560 = 784 (га) — займає буряк. Відповідь: 224 га, 784 га.
76. t1 = 1, 5 год, t2 = 1, 2 год V1 = x км/год, V2 = ( x + 15 ) км/год S = V ⋅t S = 1, 5x = 1, 2 ( x + 15 ) 1, 5x − 1, 2x = 18 0, 3x = 18 x = 18 : 0, 3 x = 60 (км/год) — швидкість першого автомобіля; 60 ⋅ 1, 5 = 90 (км) — відстань між автомобілістами. Відповідь: 90 км. 77.
P = 25 см; P = a + b + c а) a = 1, 5b ; b = c − 4 ; c = x b = x − 4 ; a = 1, 5 ( x − 4 ) = 1, 5x − 6 P = ( 1, 5x − 6 ) + ( x − 4 ) + x == 1, 5x − 6 + x − 4 + x = 3, 5x − 10 3, 5x − 10 = 25 3, 5x = 35 x = 35 : 3, 5 x = 10 (см) — сторона c; 10 − 4 = 6 (см) — сторона b; 1, 5 ⋅ 6 = 9 (см) — сторона a. Відповідь: 9 см; 6 см; 10 см. б) a = b + 5 см, b = x , c = a + b −7 см a = x + 5 ; c = x + 5 + x − 7 = 2x − 2 P = x + 5 + x + 2x − 2 = 4x + 3 4x + 3 = 25 4x = 22 x = 22 : 4 x = 5, 5 (см) — сторона b; 5, 5 + 5 = 10, 5 (см) — сторона a; 2 ⋅ 5, 5 − 2 = 11 − 2 = 9 (см) — сторона c. Відповідь: 10,5 см; 5,5 см; 9 см.
79. 1-й день — x 2-й день — x + 20 кг 3-й день — 1, 2 ( x + 20 ) кг
}
460 кг 23
АЛГЕБРА
x + x + 20 + 1, 2 ( x + 20 ) = 460 2x + 20 + 1, 2x + 24 = 460 3, 2x = 460 − 44 3, 2x = 416 x = 416 : 3, 2 x = 130 (кг) — продано за 1 день; 130 + 20 = 150 (кг) — продано за 2 день; 1, 2 ⋅ 150 = 180 (кг) — продано за 3 день. Відповідь: 130 кг; 150 кг; 180 кг.
}
x + 15 кг 1, 2 II мішок — x кг x III мішок кг 1, 2 x x + 15 + 1,2x + = 135 1, 2 1, 2 x + 1, 2x + x = 135 − 15 1, 2
80. I мішок —
135 кг
3, 2x = 120 ⋅ 1, 2 3, 2x = 144 x = 144 : 3, 2 x = 45 (кг) — у II мішку; 45 : 1, 2 = 37, 5 (кг) — у III мішку; 37, 5 + 15 = 52, 5 (кг) — у I мішку. Відповідь: 52,5 кг; 45 кг; 37,5 кг. 81. I корзина — було: x + 12 ; взяли: 18; стало: в 1,2 рази > II корзина — x; 14 1, 2 ( x − 14 ) = x + 12 − 18 1, 2x − 16, 8 = x − 6 1, 2x − x = 16, 8 − 6 0, 2x = 10, 8 x = 10, 8 : 0, 2 x = 54 (ябл.) — було в II корзині; 54 + 12 = 66 (ябл.) — було в I корзині. Відповідь: 66 яблук; 54 яблука. 36 год = 0,6 год, 60 45 t2 = 45 хв = год = 0,75 год, 60 V1 = x + 4 км/год, V2 = x
82. t1 = 36 хв =
S = V1t1 = V2t2
( x + 4 ) ⋅ 0, 6 = x ⋅ 0,75 0, 6x + 2, 4 = 0, 75x 0, 75x − 0, 6x = 2, 4 24
0, 15x = 2, 4 x = 2, 4 : 0, 15
83. V = x — швидкість першого автомобіля V1 = x − 12 км/год, V2 = 1, 1x км/год t = 5 год, t1 = 2 год, t2 = 3 год S = V ⋅ t = V1t1 + V2t2 5x = 2 ( x − 12 ) + 3 ⋅ 1, 1x 5x = 2x − 24 + 3, 3x 5, 3x − 5x = 24 0, 3x = 24 x = 24 : 0, 3 x = 80 км/год — швидкість першого автомобіля; S = 80 ⋅ 5 = 400 (км) — відстань між містами. Відповідь: 400 км.
АЛГЕБРА
x = 16 (км/год) — швидкість другого велосипедиста; 16 + 4 = 20 (км/год) — швидкість першого велосипедиста; 20 ⋅ 0, 6 = 12 (км) — відстань між селами. Відповідь: 12 км.
84. Vавт = 1, 6Vм = 1, 6x Vм = x , t = 2, 5 год S = Vавт ⋅ t = Vм ⋅ t + 75 1, 6x ⋅ 2, 5 = 2, 5x + 75 4x − 2, 5x = 75 1, 5x = 75 x = 75 : 1, 5 x = 50 (км/год) — швидкість мотоцикліста. S = 50 ⋅ 2, 5 + 75 = 125 + 75 = 200 (км) — відстань між містами. Відповідь: 200 км. 85. Vвл = 22, 5 км/год Vтеч = x км/год Vза теч = 22, 5 + x Vпр теч = 22, 5 − x tза теч = 1, 2 год, tпр теч = 1, 5 год S = Vза теч ⋅ tза теч + Vпр теч ⋅ tпр теч
( 22, 5 + x ) ⋅ 1, 2 = ( 22, 5 − x ) ⋅ 1, 5 27 + 1, 2x = 33, 75 − 1, 5x 1, 2x + 1, 5x = 33, 75 − 27 2, 7x = 6, 75 x = 6, 75 : 2, 7 x = 2, 5 (км/год) — швидкість течії; S = ( 22, 5 + 2, 5 ) ⋅ 1, 2 = 25 ⋅ 1, 2 = 30 (км) — відстань між пристанями. Відповідь: 30 км. 86. Vвл = x км/год Vтеч = 3 км/год Vза теч = x + 3 Vпр теч = x − 3 tза теч = 3 год, tпр теч = 4 год S = Vза теч ⋅ tза теч + Vпр теч ⋅ tпр теч
25
АЛГЕБРА
3 ( x + 3) = 4 ( x − 3) 3x + 9 = 4x − 12 x = 12 + 9 x = 21 (км/год) — власна швидкість катера. Відповідь: 21 км/год. 87. S = 140 км, S = v1t1 + v2t2 V1 = 60 км/год, V2 = 75 км/год t = 2 год; t1 = x ; t2 = t − t1 = 2 − x 60 ⋅ x + 75 ( 2 − x ) = 140 60x + 150 − 75 = 140 75x − 60x = 150 − 140 15x = 10 x = 10 : 15 2 x = (год) — 40 (хв) — час проїзду автомобіля зі швидкістю 60 км/год; 3 2 60 ⋅ = 40 (км) — відстань, яку автомобіль проїхав зі швидкістю 60 км/год. 3 Відповідь: 40 км. 88. V1 = x км/год, V2 = x + 4 км/год t1 = 5 год, t2 = 4 год S = 520 км; S = V1t1 + V2t2 5x + 4 ( x + 4 ) = 520 5x + 4x + 16 = 520 9x = 504 x = 504 : 9 x = 56 (км/год) — швидкість першого поїзда; 56 + 4 = 60 (км/год) — швидкість другого поїзда. Відповідь: 56 км/год; 60 км/год. 89. Онук — x Онучка — x − 3 Дідусь — 4x 4x − 1 = 5 ( x − 3 ) 4x − 1 = 5x − 15 x = 14 (років) — онуку; 14 − 3 = 11 (років) — онучці; 4 ⋅ 14 = 56 (років) — дідусеві. Відповідь: 56 років; 14 років; 11 років. 1 x 4 1 II полиця — 95 − x ; 95 − x + x 4 1 1 95 − x + x − x − x = 5 4 4 1 1 95 − x + x − x + x = 5 4 4 1 95 − 5 = 2x − x 2 1, 5x = 90
90. I полиця — було x; стало x −
26
5
}
91. 7-А — 35 %⋅ x = 0, 35x x 7-Б — 0, 35x − 2 7-В — 26 уч. 0, 35x + ( 0, 35x − 2 ) + 26 = x x − 0, 7x = 24 0, 3x = 24 x = 24 : 0, 3 x = 80 (уч.) — всього семикласників в школі. Відповідь: 80 семикласників.
АЛГЕБРА
x = 90 : 1, 5 x = 60 (кн.) — було на першій полиці; 95 − 60 = 35 (кн.) — було на другій полиці. Відповідь: 60 книжок; 35 книжок.
}
92. I робітник — 30 %⋅ x = 0, 3x x II робітник — 0, 3x + 2x III робітник — ( 0, 3x + 2 ) + 5 0, 3x + 0, 3x + 2 + 0, 3x + 2 + 5 = x x − 0, 9 = 9 0, 1x = 9 x = 9 : 0, 1 x = 90 (дет.) — всього виготовили робітники. Відповідь: 90 деталей. 2 x 7 2 2-й раз — 30 %⋅ x − x 7 Залишок — 175 грн
93. 1-й раз —
}
x
2 2 x + 0, 3 x − x + 175 = x 7 7 2 5 x − x − 0, 3 ⋅ x = 175 7 7 5 5 x − 0, 3 ⋅ x = 175 7 7 5 x ( 1 − 0, 3 ) = 175 7 7 5 ⋅ x = 175 10 7 0, 5x = 175 x = 175 : 0, 5 x = 350 (грн.) — початковий вклад. Відповідь: 350 грн. 94. 1-й варіант. I бочка — 20 л + 2 л/хв II бочка — 15 л + 2,5 л/хв t=x 20 + 2x = 15 + 2, 5x 0, 5x = 5 x = 5 : 0, 5 x = 10 (хв) — найменший час, через який води в бочках буде порівну.
27
АЛГЕБРА
2-й варіант. Знайдемо час, через який обидві бочки стануть повними. 20 + 2x = 100 i 15 + 2, 5x = 100 2x = 80 2, 5x = 85 x = 85 : 2, 5 x = 80 : 2 x = 40 (хв) x = 34 (хв) Тобто через 34 хвилини друга бочка стане повною і вода з неї почне витікати, а через 40 хвилин стане повною перша бочка і тоді в них буде порівну води. Відповідь: 10 хв; 40 хв. 95. Всі учні — x 1 1 1 x+ x+ x+3 = x 2 4 7 x−
1 1 1 x− x− x =3 2 4 7
7
4 1 1 x− x =3 4 7
7−4 x =3 28 3 x =3 28 28 3 x = 28 (учнів) — всього. Відповідь: 28 учнів. x = 3⋅
96. 1 т = 1000 кг В 1 т одержаної маси 75 % води, що дорівнює 0, 75 ⋅ 1000 = 750 кг. Нехай x — вага першої маси; 1000 − x — вага другої маси, тоді 0, 85x + 0, 35 (1000 − x ) = 750 0, 85x + 350 − 0, 35x = 750 0, 5x = 400 x = 400 : 0, 5 x = 800 (кг) — вага першої маси; 1000 − 800 = 200 AB (кг) — вага другої маси. Відповідь: 800 кг; 200 кг.
}
97. I бідон — x − 0, 125x 70 II бідон — 70 : 2 x − 0, 125x = 35 0, 875x = 35 x = 35 : 0, 875 x = 40 (л) — було в I бідоні; 70 − 40 = 30 (л) — було в II бідоні. Відповідь: 40 л; 30 л.
28
98. Мідь — 0, 32x − 40 Цинк — 0, 32x − 40 + 100 Олово — 0, 32x
}
x
( 0, 32x − 40 ) + ( 0, 32x − 40 + 100 ) + 0, 32x = x
АЛГЕБРА
x − 0, 96x = 100 − 80 0, 04x = 20 x = 20 : 0, 04 x = 500 (г) — маса сплаву. Відповідь: 500 г. 100. а) m + ( −n ) = m − n ; б) S − t ; в) − ( a + b ) = −a − b . 102. −5, 4 < x < −2, 7 → x = −5 −15, 4 y − 2 → y = −2
2x2 − 4y2 = 2 ⋅ ( −5 ) − 4 ( −2 ) == 2 ⋅ 25 − 4 ⋅ 4 = 50 − 16 = 34 . 2
2
106. а) 3x − 5 = x 2x = 5 x = 2, 5 , що треба було довести; б) x ( x − 0, 5 ) = 4x − 5 . Підставимо замість x число 2,5 2, 5 ( 2, 5 − 0, 5 ) = 4 ⋅ 2, 5 − 5 5 = 10 − 5 5 = 5 , отже 2,5 є коренем цього рівняння, що треба було довести. 107. 5x − 3 = 10x + 3 10x − 5x = −3 − 3 5x = −6 x = −6 : 5 x = −1, 2 . 108. а)
2⋅3 − 0, 6 x = 1 б) 2⋅5
3 x = 12 7 x = 412 ⋅ x = 28 ;
7 1
3
6 − 0, 6 x = 1 — не має коренів; 10
в) 0 ( x + 3 ) = 0 — безліч коренів. 109. а) 2x − 3 = 5 ( x − 3 ) 2x − 3 = 5x − 15 5x − 2x = 15 − 3 3x = 12 x = 12 : 3 x = 4 ; в) 0, 6 ( 2x − 3 ) − 1, 5 ( x + 4 ) = −4, 2x 1, 2x − 1, 8 − 1, 5x − 6 = −4, 2x 4, 2x + 1, 2x − 1, 5x = 7, 8 3, 9x = 7, 8 x = 7, 8 : 3, 9 x = 2 ;
б) г)
12 ( x − 1 ) = 24 ( x + 1 ) 12x − 12 = 24x + 24 24x − 12x = −12 − 24 12x = −36 x = −36 : 12 x = −3 ; 2 ( 3 − 2 ( x + 1) ) = 6 ( 2 − x ) 2 ( 3 − 2x − 2 ) = 12 − 6x 6 − 4x − 4 = 12 − 6x 6x − 4x = 12 − 2 2x = 10 x = 10 : 2 x =5 ;
29
3 3 ( 2x + 5 ) + 0, 25 ( x + 3 ) = 4 4 3 3 3 − 2 ⋅ 2 x − ⋅ 5 + 0, 25x + 0, 75 = 4 4 4 15 3 −1, 5x + 0, 25x = + − 0, 75 4 4 −1, 25x = 3, 75 x = 3, 75 : ( −1, 25 ) x = −3 ; е) 24 ( x − 3 ) + 18 ( x − 2 ) = 30 ( 3x − 10 ) 24x − 72 + 18x − 36 = 90x − 30 90x − 24x − 18x = 30 − 72 − 36 48x = −78
АЛГЕБРА
д) −
x=−
13
78
8
48 13 5 x=− = −1 ; 8 8 2 5 1 7 110. а) + x= x− 36 18 36 7 2 5 x− x= + 36 36 36
4
5 9 20 36
5 25 x= 36 36 x=
5
25
1
36
⋅
1
36
1
5
x =5 ; 3 − x 25 + x 4x − = б) 12 6 3 4x + 2 ( 5 + x ) − ( 3 − x ) =0 12 4x + 10 + 2x − 3 + x =0 12 7x + 7 = 0 7x = −7 x = −1 . 1 7 10 1 72 2x = − 7 10 10 − 14 2x = 70 4 2 x =− — не має рішень; 70
111*. а) 2 x + 0, 2 =
30
б)
3 − 2 (1 − 2 x ) = 11 − x
3 − 2 + 4 x = 11 − x
4 x + x = 11 + 1 5 x = 12 x = 12 : 5 x = 2, 4 x1 = 2, 4 x2 = −2, 4 ;
б) 3 2x + 1 − 7 = 2 3 2x + 1 = 9 2x + 1 = 9 : 3 2x + 1 = 3 2x1 + 1 = 3 2x1 = 2 x1 = 1 113*. а) 5x − 2 x = 21 5x − 2x = 21 3x = 21 x = 21 : 3 x = 7 ;
або
x2 − 2 = −2 x2 = 0 ;
або
2x2 + 1 = −3 2x2 = −4 x2 = −2 .
АЛГЕБРА
112*. а) x − 2 = 2 x1 − 2 = 2 x1 = 4
б) 2 ( x − 5 ) = 3x − 7 2 x − 10 = 3x − 7 2 x − 3x = −7 + 10 2 x − 3x = 3 2 x = 3 + 3x 2x1 = 3 + 3x1 x1 = −3 — неможливо, бо 2 −3 − 3 ( −3 ) = 3 15 ≠ 3
або 2x2 = − ( 3 + 3x2 ) 2x2 = −3 − 3x2 5x2 = −3 x2 = −0, 6 , отже x = −0, 6 . 116. P = ( a + b ) ⋅ 2 = 48 a = 3b ; b = x a = 3x P = ( 3x + x ) ⋅ 2 = 48 8x = 48 x = 48 : 8 x = 6 (см) — ширина; 3 ⋅ 6 = 18 (см) — довжина. Відповідь: 6 см; 18 см. 117. P = a + b + c = 30 см a = b − 4 , b = 1, 2c , c = x b = 1, 2x , a = 1, 2x − 4 P = 1, 2x − 4 + 1, 2x + x = 30 3, 4x = 30 + 4 3, 4x = 34 x = 34 : 3, 4 x = 10 (см) — сторона c; 1, 2 ⋅ 10 = 12 (см) — сторона b; 12 − 4 = 8 (см) — сторона a. Відповідь: 8 см; 12 см; 10 см.
31
АЛГЕБРА
118. I день — 0, 35x II день — на 4 га < III день — 25 га
}
x га
0, 35x + ( 0, 35x − 4 ) + 25 = x 0, 7x − 4 + 25 = x x − 0, 7x = 21 0, 3x = 21 x = 21 : 0, 3 x = 70 (га) — площа поля. Відповідь: 70 га.
}
119. 30 км/год — x год 90 км 25 км/год — 3, 5 − x год 30x + 25 ( 3, 5x − x ) = 90 30x + 87, 5 − 25x = 90 5x = 90 − 87, 5 5x = 2, 5 x = 0, 5 (год) — зі швидкістю 30 км/год; 30 ⋅ 0, 5 = 15 (км) — пройшов теплохід зі швидкістю 30 км/год. Відповідь: 15 км.
}
120. 3 км/год — x год 4 км/год — 3 год — 12 хв — x 2
3 год – 12 хв = 3 −
10
12 60
=3−
10 км
2 = 2, 8 (год) — витратив на дорогу; 10
3x + 4 ( 2, 8 − x ) = 10 3x + 11, 2 − 4x = 10 x = 11, 2 − 10 x = 1, 2 (год) — рухався турист зі швидкістю 3 км/год. 121. I сплав: 40 % — x кг II сплав: 60 % — 10 − x кг 0, 4x + 0, 6 (10 − x ) = 0, 54 ⋅ 10 0, 4x + 6 − 0, 6x = 5, 4 0, 2x = 6 − 5, 4 0, 2x = 0, 6 x = 0, 6 : 0, 2 x = 3 (кг) — I сплаву; 10 − 3 = 7 (кг) — II сплаву. Відповідь: 3 кг; 7 кг.
}
}
54 %− 10 кг
122. I поїздка — 0, 25x x II поїздка — на 40 % < Залишок — I п. +II п. + 8 л 1) ( 1 − 0, 4 ) ⋅ 0, 25x = 0, 6 ⋅ 0, 25x = 0, 15x — I поїздка; 2) 0, 25x + 0, 15x + 8 = 0, 4x + 8 — залишок; 3) 0, 25x + 0, 15x + 0, 4x + 8 = x 0, 8x + 8 = x x − 0, 8x = 8 0, 2x = 8 x = 8 : 0, 2 x = 40 (л) — було в баку спочатку. 32 Відповідь: 40 літрів.
АЛГЕБРА
Завдання для самоперевірки № 1 1. в); 2. б); 3. а); г); 4. б); 5. в) 6. 3x + 16 = 25 8. а) 2 ( x − 3 ) = 5x − 9 2x − 6 = 5x − 9 3x = 3 x =1; б) 4 − 5 ( 1 − 2x ) = 1 − 6x 4 − 5 + 10x = 1 − 6x 10x + 6x = 1 + 1 16x = 2 2 1 x= = . 6 8 9. Пішохід — x км/год — 6 год Велосипедист — x + 10 км/год — 2 год 6x = 2 ( x + 10 ) 6x = 2x + 20 6x − 2x = 20 4x = 20 x = 20 : 4 x = 5 ( км/год) — швидкість пішохода. Відповідь: 5 км/год. 10. ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 0 x+2 = 0 x − 1 = 0 або x+2 = 0 x = −2 x2 = −2 x1 = 1 Рівняння не рівноцінні, бо мають різну кількість коренів. 11. а)
160x + 560 = −160 ( 3x − 1 ) 160x + 560 = −480x + 160 480x + 160x = 160 − 560 640x = −400 x = −400 : 640 x=−
5
400
8
640 5 x=− ; 8 2x − 1 3 x + 6 121 − x = − 15 40 10 8 ( 2x − 1 ) − 3 ( x + 6 ) + 12 (1 − x ) =0 120 16x − 8 − 3x − 18 + 12 − 12x = 0 x = 8+6 x = 14 . 8
б)
}
12. I сувій — на 70 % > 81 м II сувій — x 1) 0, 7x + x = 1, 7x — у I сувої; 2) 1, 7x + x = 81 2, 7x = 81 x = 81 : 2, 7
33
АЛГЕБРА
x = 30 (м) — у другому сувої; 1, 7 ⋅ 30 = 51 (м) — у першому сувої. Відповідь: 51 м; 30 м. 13. I резервуар — 420 м3 — 28 м3/год ⋅x год II резервуар — 750 м3 — 38 м3/год ⋅x год (750 − 38x ) : ( 420 − 28x ) = 2 2 ( 420 − 28x ) = 750 − 38x 840 − 56x = 750 − 38x 56x − 38x = 840 − 750 18x = 90 x = 90 : 18 x = 5 (год) — у I резервуарі стане в 2 рази < води, ніж у другому. Відповідь: через 5 годин. 14. ( x − 4 ) ( x + 2 ) = 0 і x − 1 = 3 ( x − 4) ( x + 2) = 0 x−4 = 0 або x + 2 = 0 x1 = 4 x2 = −2 ; x −1 = 3 x −1 = 3 або x − 1 = −3 x2 = −2 , x1 = 4 отже рівняння рівносильні. 15. а) x + 3x2 = −4 — не має рішень, бо x > 0 і 3x2 > 0 ; б) 2 ( x − 3 ) = 4 x − 10 2 x − 6 = 4 x − 10 4 x − 2 x = 10 − 6 2 x =4 x =2 x1 = 2 x2 = −2 . 16. I день — 0, 3x x II день — на 10 % > III день — 111 м 1) 0, 3x + 0, 1 ⋅ 0, 3x = 0, 3x + 0, 03x == 0, 33x — за II день; 2) 0, 3x + 0, 33x + 111 = x x − 0, 63x = 111 0, 37x = 111 x = 111 : 0, 37 x = 300 (м) — довжина траншеї. Відповідь: 300 м.
}
}
34
17. I сплав: 45 % міді — 12 кг II сплав: 40 % міді Олово: 100 % — x кг 1) ( 1 − 0, 45 ) ⋅ 12 = 0, 55 ⋅ 12 = 6, 6 (кг) — кількість олова в першому сплаві; 2) 100 − 40 = 60 % — частка олова у другому сплаві; 3) 6, 6 + x = 0, 6 ⋅ ( x + 12 ) 6, 6 + x = 0, 6x + 7, 2 x − 0, 6x = 7, 2 − 6, 6 0, 4x = 0, 6 x = 0, 6 : 0, 4 x = 1, 5 (кг) — олова потрібно додати. Відповідь: 1,5 кг.
§ 2. Цілі вирази 127. а) 12 + a ; б) −c :7 ; в) a3 ; г) ( a − b ) : 2 .
129. а) b − 9 ; б) 3 ⋅ ( −a ) = −3a ; в) x2 ; г) ( m + n ) : 2 ; д) ( 3 − c ) ⋅ 5 ; е) 2a : c . 130. а) b = 9 , 7b − 3 = 7 ⋅ 9 − 3 = 60 ; б) c = 0, 2 , 0, 11 − 4c2 = 0, 11 − 4 ⋅ 0, 22 == 0, 11 − 4 ⋅ 0, 04 = −0, 05 ;
АЛГЕБРА
128. а) 3 ⋅ ( a + c ) ; б) 3 ⋅ b ⋅ c ; в) a − c2 .
в) a = −3 ; b = 8 ; 3a + b = −3 ⋅ 3 + 8 = −9 + 8 = −1 ; г) a = −0, 4 ; b = 7 ; c = 0, 12 a ⋅ b − 4c = −0, 4 ⋅ 7 − 4 ⋅ 0, 12 = −2, 8 − 0, 48 = −3, 28 . 131. а) a = 4 , 4−2 2 a−2 2, 5 + = 2, 5 + = 2, 5 + == 2, 5 + 0, 4 = 2, 9 ; 5 5 5 б) x = −3 , 2x − 1 −2 ⋅ 3 − 1 7 = =− = −70 ; 0, 1 0, 1 0, 1 132. а) a = −3 −2a + 5, 2 = −2 ⋅ ( −3 ) + 5, 2 = 6 + 5, 2 = 11, 2 ; б) S = 2 ;
(1 − 4s )
2
= ( 1 − 4 ⋅ 2 ) = ( −7 ) = 49 ; 2
2
в) y = 1, 5 ; 12 ( 3y − 5 ) = 12 ( 3 ⋅ 1, 5 − 5 ) = 12 ⋅ ( −0, 5 ) = −6 ; г) x = 11 ; y = −5, 5 , x − 2y = 11 − 2 ( −5, 5 ) = 11 + 11 = 22 ; д) a = 3, 2 , b = −7, 7 , c = 2, 5 3 ( a + b ) − 2c = 3 ( 3, 2 + ( −7, 7 ) ) − 2 ⋅ 2, 5 == 3 ⋅ ( −4, 5 ) − 5 = −13, 5 − 5 = −18, 5 . 133.
a
–4
–1
0
0,5
2
3
4 − 3a
16
7
4
2,5
–2
–5
4 − 3 ( −4 ) = 4 + 12 = 16 4 − 3 ( −1 ) = 4 + 3 = 7 4 − 3 ⋅ 0, 5 = 4 − 1, 5 = 2, 5 4 − 3 ⋅ 2 = −2 4 − 3 ⋅ 3 = −5 134.
x
–5
–3
0
1
1,5
2,5
2x − 3
– 13
–9
–3
–1
0
2
2 ⋅ ( −5 ) − 3 = −10 − 3 = −13 2 ⋅ ( −3 ) − 3 = −6 − 3 = −9
35
2 ⋅ 1, 5 − 3 = 0 2 ⋅ 2, 5 − 3 = 2 .
АЛГЕБРА
135.
x y
5 2
7 –1
1 0
–2 3
–4 – 0,5
10 –1
x − 2y
1
9
1
–8
–3
12
5 − 2⋅2 = 1 ; 7 − 2 ⋅ ( −1 ) = 9 ; 1−2⋅0 =1 ; −2 − 2 ⋅ 3 = −8 ; −4 − 2 ⋅ ( −0, 5 ) = −3 ; 10 − 2 ( −1 ) = 12 . 138. n = 48 мішків по 50 кг 50 ⋅ n = 50 ⋅ 48 = 2400 (кг) — всього. Відповідь: 50n ; 2400 кг. 139. 32 деталі за k = 5 днів 32k = 32 ⋅ 5 = 160 (дет.) — за 5 днів. Відповідь: 32k ; 160 деталей.
}
140. a га — 38 ц за га ? b га — 42 ц за га 38a + 42b — зібрали з обох ділянок Відповідь: 38a + 42b .
}
141. 50 м по a грн за м ? 30 м по b грн. за м 50a + 30b — вартість всієї тканини. Відповідь: 50a + 30b . 6 7 3 3 6 8, 5 ( a − 13, 97 ) + 4 b == 8, 5 ( 16, 17 − 13, 97 ) + 4 ⋅ = 8 8 7 5 3 35 6 15 = 8, 5 ⋅ 2, 2 + ⋅ = 18, 7 + == 18, 7 + 3, 75 = 22, 45 ; 4 84 7
142. а) a = 16, 17 ; b =
2 1 ; n =1 , 3 6 2 2 1 2 3 9 − m − n ⋅ 36 = 3 9 − −12 3 − 1 6 ⋅ 36 =
б) m = −12
2\2 2\6 1\3 4 + 12 − 3 = 14 + + − ⋅ 36 = 14 + ⋅ 36 = 9 3 6 18 2 13 13 265 = 14 + ⋅ 36 = ⋅ 36 = 530 . ⋅ 36 = 14 18 18 18
1 18 36 143. а) x = 16 2 ; y = 33
1\9 7\2 = 7 + − 2 9 5 18 = 7 − ⋅ 18 33 =
121 18
11
⋅
18 9 − 14 18 + 0, 5 = 7 + + 0, 5 = ⋅ ⋅ 18 33 33 13 18 + 0, 5 = 6 ⋅ + 0, 5 = 18 33
18 1 11\2 1\3 22 + 3 25 1 + = + = = =4 ; 3 2 6 6 6 33 3 2
1 ; b=2 5 3 1 5 16 7 6 1 1 1 1 0, 5a + 3 b − 1 = 0, 5 ⋅ 3 + 3 2 − 1 == ⋅ + ⋅ = 1, 6 + 3 = 4, 6 . 2 7 5 2 7 10 5 2 7
б) a = 3
АЛГЕБРА
7 1 7 18 + 0, 5 = x − 9 ⋅ y + 0, 5 = 16 − 9 ⋅ 9 2 9 33
144. S = V ⋅ t а) V = 75 км/год, t = 0, 6 год S = 75 ⋅ 0, 6 = 45 (км);
1 б) V = 75 км/год, t = 20 хв = год, 3 1 S = 75 ⋅ = 25 (км); 3 3600 в) V = 20 м / с = 20 ⋅ = 72 км/год; t = 2 год, 1000
S = 75 ⋅ 2 = 144 (км);
г) V = 900 м / хв = 900 ⋅
60 25 = 54 км/год; t = 25 с = год, 1000 3600
25 1350 = = 0, 375 (км). 3600 3600 Відповідь: а) 45 км; б) 25 км; в) 144 км; г) 0,375 км.
S = 54 ⋅
145. S = V ⋅ t а) V = 8 м/с, t = 5 хв = 5 ⋅ 60 = 300 с, S = 8 ⋅ 300 = 2400 (м); 1000 б) V = 15 км/год = 15 ⋅ = 250 м/хв, t = 6 хв, S = 250 ⋅ 6 = 1500 (м). 60 Відповідь: а) 2400 м; б) 1500 м. 146. 2x + 5 = 10 2x = 10 − 5 5 x = = 2, 5 2 148. 3x − 12 = −4 − x 3x + x = 12 − 4 4x = 8 x =2 149. x ⋅ y = 0, 4 а) 10 ⋅ xy = 10 ⋅ 0, 4 = 4 ; xy 0, 4 в) = = 0, 2 ; 2 2
б) 0, 1xy = 0, 1 ⋅ 0, 4 = 0, 04 ; г) −1
1 16 8 1 4 4 == − =− . xy = −1 ⋅ 0, 4 = − ⋅ 3 30 15 3 3 10
37
150. a = 4b + 1 .
АЛГЕБРА
151. a = 5b + 2 . 152. а) x = a ⋅ 10 + b ; б) x = a ⋅ 100 + c ; в) a ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + b = 100a + 70 + b ; г) a ⋅ 1000 + b ⋅ 100 + a = a ( 1000 + 1 ) + 100b == 1001a + 100b . 154. Sпов = 2ab + 2bc + 2ac . 155. Sпов = 6a2 . 156. S = ab − n ⋅ ( b − m ) = ab − nb + nm або S = b ⋅ ( a − n ) + nm = ab − nb + nm . 157. S = cd − 8x2 . 162. а) x2 + 5 , при x = 0 x2 + 5 = 5 — найменше значення x − 3 , при x = 0 x − 3 = −3 — найменше значення; б) 1 − x2 , при x = 0 1 − x2 = 1 — найбільше значення; 3 − x , при x = 0 3 − x = 3 — найбільше значення. 164. a = 9b + 2 . У межах від 100 до 300 таких чисел 23, починаючи з 101 і, закінчуючи 299. 165. a = 6b + 5 . 167. а) 0, 25 ⋅ ( −11 ) ⋅ 4 = −11 ⋅ ( 0, 25 ⋅ 4 ) = −11 ; б) 9 ⋅ 1, 25 ⋅ ( −8 ) = 9 ⋅ ( −10 ) = −90 ; в) −12, 5 ⋅ 2, 5 ⋅ ( −8 ) ⋅ 4 = ( −12, 5 ⋅ 4 ) ⋅ ( 2, 5 ⋅ ( −8 ) ) == −50 ⋅ ( −20 ) = 1000 ; 2 1 2 7 г) − ⋅ ( −25 ) ⋅ 3 = − ⋅ ⋅ ( −25 ) = 25 ; 7 2 7 2 д) 24 ⋅ 8 − 28 ⋅ 24 = 24 ( 8 − 28 ) = 24 ⋅ ( −20 ) = −480 ; е) 7 ⋅ 35 − 26 ⋅ 7 + 11 ⋅ 7 = 7 ( 35 − 26 + 11 ) = 7 ⋅ 20 = 140 ; 2 3 2 3 3 2 2 3 9 2 ⋅ − 2 ⋅ = 5 − 2 = ⋅3 = = 1 ; 9 7 9 7 7 9 9 7 7 7 6 2 1 1 1 1 ж) 12 − = 12 ⋅ − 12 ⋅ = 6−2 = 4 ; 2 6 2 6 10 6 1 1 1 1 з) 1 − + ⋅ ( −30 ) = −30 + 30 ⋅ − 30 ⋅ == −30 + 10 − 6 = −26 . 3 5 3 5 є) 5
168. а) б)
34 ⋅ 23 + 3 ⋅ 23 − 37 ⋅ 33 = 23 ( 34 + 3 ) − 37 ⋅ 33 = = 23 ⋅ 37 − 37 ⋅ 33 = 37 ( 23 − 33 ) = −370 ; 5, 4 ⋅ 16 − 22 ⋅ 5, 4 + 6 ⋅ 6, 4 = = 5, 4 ( 16 − 22 ) + 6 ⋅ 6, 4 = −5, 4 ⋅ 6 + 6 ⋅ 6, 4 = 6 ( 6, 4 − 5, 4 ) = 6 .
169. а) 2x + 6x − 4x + x = 5x ; б) 4a + 9b − 2b − 5a = 7b − a ; 38 в) 3a − 7 + 5a − 10a = −2a − 7 .
171. а) 2x + y − 3 = 2x + ( y − 3 ) ; б) a − 3b + 4 = a + ( −3b + 4 ) ; в) m + n + ( −7 − mn ) . 177. а) в) д) є)
7a − 3a + 6 = 4a + 6 ; 4b − 7 + 9 = 4b + 2 ; −7, 2x + 8y − 5x − 5y = 3y − 12, 2x ; m − 3n + 1, 6n + 2n = m + 0, 6n .
178. а) 5a − 6 + 3a = 8a − 6 ; в) 2c − 1 + 6c − 6 = 8c − 7 ; д) −2x + 3y − 6x − 5y = −8x − 2y ; 179. а) б) в) г)
б) −4 + 3z − 8z = −4 − 5z ; г) 6, 5b − 7a + 5a = 6, 5b − 2a ; е) 2y − 3x − 2, 5y + y = 0, 5y − 3x ;
АЛГЕБРА
170. а) 4 ( a + 2b ) = 4a + 8b ; б) ( a + b − c ) ⋅ 3 = 3a + 3b − 3c ; в) 5 ( a − 1 ) − ( b − c ) = 5a − 5 − b + c .
б) −3b + 4b − 2b = −b ; г) 1, 5a − 2, 5b + 3, 5a = 5a − 2, 5b ; е) 3b − a + 0, 6a + 1, 2a = 0, 8a + 3b .
5 ( 8a + 9 ) + ( 4a − 5 ) = 40a + 45 + 4a − 5 = 44a + 40 ; 2 ( 5b − 3a ) − ( 1, 5b − 2a ) == 10b − 6a − 1, 5b + 2a = 8, 5b − 4a ; −4 ( 1, 2x + 1, 5y ) + 4 (1, 2x + 1 ) == − 4, 8 x − 6y + 4, 8 x + 4 = −6y + 4 ; 2 ( 2x − 4y ) − 3 ( 2x + 5y + 2 ) == 4x − 8y − 6x − 15y − 6 = −2x − 23y − 6 .
180. а) 3 ( 4x − 2z ) − ( 5z + 10x ) = 12x − 6z − 5z − 10x = 2x − 11z ; б) −3 ( 3a + 1 ) − 5 ( a − 3b ) = −9a − 3 − 5a + 15b == −14a + 15b − 3 . 181. а) б) в)
a=3 , 0, 7 ( a − 10 ) + a − 5 = 0, 7a − 7 + a − 5 == 1, 7a − 12 = 1, 7 ⋅ 3 − 12 = 5, 1 − 12 = −6, 9 ; b = 0, 2 , −2, 5b − ( 11 − 1, 5b ) + b = −2, 5b − 11 + 1, 5b + b = −11 ; x = −2 ; y = 5 , 2x − 3 ( 1 − y ) + 4y = 2x − 3 + 3y + 4y = 2x − 3 + 7y = 2 ⋅ ( −2 ) − 3 + 7 ⋅ 5 = −7 + 35 = 28 .
182. а) a = −1 , 6 + 3 ( 2a − 4 ) − 8a = 6 + 6a − 12 − 8a == −2a − 6 = −2 ( −1 ) − 6 = −4 ; б) a = 3 ; b = −3 , 3 ( a + 6 ) − ( a − 3b ) − 4b = 3a + 18 − a + 3b − 4b = = 2a − b + 18 = 2 ⋅ 3 − ( −3 ) + 18 = 27 . 183. а) б) в) г) д) е)
( a + b ) − ( a − b ) = 2b ( a + b ) − ( a − b ) = a + b − a + b = 2b ; 2b ⋅ ( −4 ) + 8b − 4 = −4 2b ( −4 ) + 8b − 4 = −8b + 8b − 4 = −4 ; 2x − 1 − 5 (1 − 2x ) = 12x − 6
2x − 1 − 5 + 10x = 12x − 6 ; 2 ( 3a − 4 ) + 14 − 6a = 6 2 ( 3a − 4 ) + 14 − 6a = 6a − 8 + 14 − 6a = 6 ; a − ( 4a − 3b ) = 3 ( b − a ) a − ( 4a − 3b ) = a − 4a + 3b = 3b − 3a = 3 ( b − a ) ; 2c = 12c − 5 ( 2c + 3 ) + 15 12c − 5 ( 2c + 3 ) + 15 = 12c − 10c − 15 + 15 = 2c .
39
АЛГЕБРА
184. а) 2b + 2 ( 1 − b ) = 2 2b + 2 ( 1 − b ) = 2b + 2 − 2b = 2 ; б) 2a − ( 1 + 2a ) + 1 = 0 2a − ( 1 + 2a ) + 1 = 2a − 1 − 2a + 1 = 0 ; в) 3a − 6 ( 3 − 2a ) = 3 ( 5a − 6 ) 3a − 6 ( 3 − 2a ) = 3a − 18 + 12a = 15a − 18 = 3 ( 5a − 6 ) ; г) 2x − 6 = −x − ( 7 − 3x ) + 1 −x − (7 − 3x ) + 1 = −x − 7 + 3x + 1 = 2x − 6 . 185. a = a см, b = ( a + 3 ) см P = 2 ( a + b ) = 2a + 2b P = 2a + 2 ( a + 3 ) = 2a + 2a + 6 = 4a + 6 .
}
189. I роб.— c дет. за год ? за 8 год II роб. — ( c − 2 ) дет. за год. 8 ⋅ ( c + c − 2 ) = 8 ( 2c − 2 ) = 16c − 16 . Відповідь: 16c − 16 . 190. а) a + ( −a ) = a − a = 0 ; б) a + ( −b ) = a − b ; в) a2 = a . 2
191. а) a ⋅ 0 = 0 ; б) a ⋅ b = −a ⋅ ( −b ) ; в) a2 = ( −a ) . 2
192. а) 2 ( 3c + 5 ) + 4 ( 3 + 5c ) + 4 + 2c == 6c + 10 + 12 + 20c + 4 + 2c = 28c + 26 ; б) 0, 2 ( x − 1 ) − 0, 4 ( 5 − 2x ) − 2, 3 == 0, 2x − 0, 2 − 2 + 0, 8x − 2, 3 = x − 4, 5 ; в) − ( 4x + y + 3z ) + 3y − 2 ( x − 3z ) == −4x − y − 3z + 3y − 2x + 6z = −6x + 2y + 3z ; 1 4 2 4 2 2 ( 2a − 7b ) − ( 3b + a ) + 2a == ⋅ 2a − ⋅ 7b − ⋅ 3b − a + 2a = 3 3 3 3 3 3 8 2 28 1 1 = a − a + 2a − b − 2b = 4a − 9 b − 2b = 4a − 11 b ; 3 3 3 3 3 д) 4 ( 2 ( x + 2 ) − 4x ) + 2 ( x + 1 ) = 4 ( 2x + 4 − 4x ) + 2x + 2 = г) 1
= 16 − 8x + 2x + 2 = 18 − 6x ; е) 5 ( m + 3 ( n − 1 ) − 1 ) − 5m = 5 ( m + 3n − 3 − 1 ) − 5m = = 5m + 15n − 20 − 5m = 15n − 20 .
193. а) − ( 3a − 6 ) + 3 ( 2 − 2a ) + 15a = −3a + 6 + 6 − 6a + 15a = 6a + 12 ;
б) 0, 9 ( a − 3b ) − 0, 2 ( 5b − 3a ) − 1, 7b == 0, 9a − 2, 7b − b + 0, 6a − 1, 7b = 1, 5a − 5, 4b ;
в) 4 ( 5n − 2 ( n − 1 ) ) + 10 = 4 ( 5n − 2n + 2 ) + 10 = 20n − 8n + 8 + 10 = 12n + 18 ; 2 2 2 2 2 2 г) + ( 2 ( x − y ) − 4x ) + x = + ( 2x − 2y − 4x ) + x = 9 9 3 9 9 3 2 2 2 2 2 4 4 2\3 = − ⋅ 2y − ⋅ 2x + x = − y − x + x= 9 9 9 3 9 9 9 3 2 2 2 4 4 6 2 4 2 = − y − x + x = x − y + == x − y + 1 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 194. а) 2 ( a + b + c ) − ( a + b − c ) − ( a − b + c ) = 2 ( b + c ) 2a + 2b + 2c − a − b + c − a + b − c = 2b + 2c = 2 ( b + c ) ;
(
40
)
б) 28 + 2 2 ( 2 ( b − 2 ) − 2 ) − 2 = 8b 28 + 2 ( 2 ( 2b − 4 − 2 ) − 2 ) = 28 + 2 ( 4b − 12 − 2 ) == 28 + 8b − 28 = 8b .
(
)
б) 1 − x − 1 − ( 1 − ( 1 − x ) ) = 0
(
)
1 − x − (1 − (1 − 1 + x ) ) = 1 − x − 1 − 1 + 1 − x = 1 − x − 1 + x = 0 .
}
198. II л — 2 ⋅ a (м) III л — 1200 (м) I л — a (м) a + 1200 − 2a = 1200 − a . Відповідь: 1200 − a . 199. I п. — x — x −10 II п. — 2x — 2x + 3 x − 10 + 2x + 3 = 3x − 7 . Відповідь: 3x − 7 .
}
?
АЛГЕБРА
195. а) 2 ( a − b − 1 ) − ( a + b − 1 ) − ( a − b + 1 ) = −2 ( b + 1 ) 2 ( a − b − 1) − ( a + b − 1) − ( a − b + 1) = = 2a − 2b − 2 − a − b + 1 − a + b − 1 = −2b − 2 = −2 ( b + 1 ) ;
?
200. а) ( 11m + 3n ) − ( 7m + 7n ) = 11m + 3n − 7m − 7n == 4m − 4n = 4 ( m − n ) , тому 4 ( m − n ) : 4 = m − n , що потрібно було довести. б) ( 10m + 3n + 2 ) + ( 2m − 7n + 6 ) = 10m + 3n + 2 + 2m − 7n + 6 = 12m − 4n + 8 = = 4 ( 3m − n + 2 ) , тому 4 ( 3m − n + 2 ) : 4 = 3m − n + 2 , що потрібно було довести. 201. 3a − 1 , 3a , 3a + 1 — три послідовні цілі числа. ( 3a − 1 ) + 3a + ( 3a + 1 ) = 3a − 1 + 3a + 3a + 1 = 9a , 9a : 3 = 3a — ділиться на 3, що потрібно було довести. 202. 4a ; 4a + 1 ; 4a + 2 ; 4a + 3 — чотири послідовні цілі числа. 4a + 4a + 1 + 4a + 2 + 4a + 3 = 16a + 6 16a + 6 — не ділиться на 4, що потрібно було довести. 203. a = 4b + 2 , c = 4d + 2 a + c = 4b + 2 + 4d + 2 = 4b + 4d + 4 = 4 ( b + d + 1 ) — ділиться на 4, a − c = 4b + 2 − 4d − 2 = 4b − 4d = 4 ( b − d ) — ділиться на 4, що потрібно було довести. 204. ab = 10a + b , ba = 10b + a ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11 ( a + b ) — ділиться на 4, що треба було довести. 205. abc = 100a + 10b + c 100a + 10b + c − ( a + b + c ) = 100a + 10b + c − a − b − c == 99a + 9b = 9 (11a + b ) — ділиться на 9, що треба було довести. 206. a = 3b + n , c = 3d + n — два цілих числа з рівними остачами a − c = 3b + n − 3d − n = 3b − 3d = 3 ( b − d ) — ділиться на 3, що треба було довести. 210. I — x − 20 II — x III — x + 15
}
10
x − 20 + x + x + 15 = 10
41
АЛГЕБРА
3x = 20 + 10 − 15 3x = 15 x = 15 : 3 x = 5 — друге число; 5 − 20 = −15 — перше число; 5 + 15 = 20 — третє число. Відповідь: – 15; 5; 20. 211. Швидкість чоловіка Vч = x км/год. Швидкість автомобіля Vав = x + 55 км/год. S = Vч ⋅ tч , де tч — час, який мав витратити чоловік, якщо б ішов пішки 14
tч = 8 год 44 хв − 7 год 20 хв = 1 год 24 хв =
60 + 24 84 14 = = = 1, 4 (год); 60 10 10 60
S — відстань до села, S = 1, 4x , однак цю відстань було поділено на дві S1 та S2 , S = S1 + S2 , де S1 — відстань, яку чоловік пройшов пішки за певний час t1 . 4
S1 = Vч ⋅ t1 , t1 = 7 год 44 хв − 7 год 20 хв = 24 хв = =
24 4 = = 0, 4 (год); 60 10 10
S2 — відстань, яку чоловік проїхав на автомобілі за певний час t2 . S2 = Vавт ⋅ t2 , t2 = tч − t1 − 55 хв = 1 = 1, 4 год − 0, 4 год 55 хв = 1 год 55 хв = 5 хв = год , 12 1 S = 0, 4x + ( x + 55 ) = 1, 4x 12 1, 4x − 0, 4x +
1 55 x= 12 12
11 55 x= 12 12 x=
55 11 : 12 12 5
55 12 ⋅ 12 11 x = 5 (км/год) — швидкість чоловіка; 5 + 55 = 60 (км/год) — швидкість автомобіля. Відповідь: 60 км/год. x=
214. а) 2, 5 − a ; б) c3 ; в) 2 ⋅ ( a + b ) ; г) m2 + n2 ; д) a − b ⋅ c . 216. 2a + 3b . 217. I д — m = 50 м, n = 14 м II д — m + 5 м, n − 2 м S = ( m + 5 ) ( n − 2 ) = mn − 2m + 5n − 10 == 50 ⋅ 14 − 2 ⋅ 50 + 5 ⋅ 14 − 10 = 700 − 100 + +70 − 10 = 660 (м2) — площа другої ділянки. Відповідь: mn − 2m + 5n − 10 ; 660 м2. 42 218. а) 6a + 5 ( 7 − 12a ) = 6a + 35 − 60a = 35 − 54a ;
219. а) a = 0, 05 , 24 ( a − 2 ) − 4a = 24a − 48 − 4a = 20a − 48 = = 20 ⋅ 0, 05 − 48 = 1 − 48 = −47 ; б) b = 0, 5 0, 3 ( 2b − 3 ) + 3 − 4, 6b = 0, 6b − 0, 9 + 3 − 4, 6b = −4b + 2, 1 = −4 ⋅ 0, 5 + 2, 1 = 0, 1 ;
АЛГЕБРА
б) −3x − 5 ( 3 − 2x ) + 5 − 2x = −3x − 15 ++10x + 5 − 2x = 5x − 10 ; в) −4 + ( 5x − y ) − 4x − ( 3y + 5 ) == −4 + 5x − y − 4x − 3y − 5 = x − 4y − 9 ; г) 3b + 7 − 2 ( 3 − 2 ( b + 1 ) ) = 3b + 7 − 2 ( 3 − 2b − 2 ) == 3b + 7 − 6 + 4b + 4 = 7b + 5 ; д) 0, 3 ( x − 4 ) − 0, 4 ( x − y ) + 1, 6y == 0, 3x − 1, 2 − 0, 4x + 0, 4y + 1, 6y = 2y − 0, 1x − 1, 2 ; е) 2, 5 ( a − 2 ( b − 1 ) + 4 ) + 5b == 2, 5a − 5b + 2, 5 + 4 + 5b = 2, 5a + 6, 5 .
220. x = −6 , y = 0, 6 2 ( x + 8 ) − 3 ( 5 + x − y ) + 7 y = 2x + 16 − 15 − 3x + 3y + 7y = = 10y − x + 1 = 10 ⋅ 0, 6 + 6 + 1 = 13 . 223. а) б) в)
7 ( 4 − a ) − 3 ( −3a + 1 ) − 25 = 2a 7 ( 4 − a ) − 3 ( −3a + 1 ) − 25 == 28 − 7a + 9a − 3 − 25 = 2a , що треба було довести. 9, 8b − 5 = 9b − 1, 2b − 2 ( 2, 5 − b ) 9b − 1, 2b − 2 ( 2, 5 − b ) = 9b − 1, 2b − 5 + 2b == 9, 8b − 5 , що треба було довести. 4 ( n − 2 ) − 5 ( n − 1 ) = 3 ( n − 3 ) − 4 ( n − 1, 5 ) 3 ( n − 3 ) − 4 ( n − 1, 5 ) = 3n − 9 − 4n + 6 == −n − 3 4 ( n − 2 ) − 5 ( n − 1 ) = 4n − 8 − 5n + 5 = −n − 3 , праві частини тотожно рівні, отже й ліві частини теж рівні, що треба було довести.
224. а) 5
13 1 a + 1, 25b − − b − 0, 125a − 6, 75b == 2, 125a 3 8 12 13 1 a + 1, 25b − − b − 0, 125a − 6, 75b = 3 8 12
5
=
= 2a +
2
5
16 3 16 125 1 ⋅ a+ ⋅ b+ b + 0, 125a − 3 4 100 12 3 8
27 4
80 1 27 b+ b + 0, 125a − b == 2, 125a + 12 12 4
675 100 27
81
4
b= b−
27 b = 2, 125a , 4
12 що треба було довести. 7 3 2 8 б) x− y ⋅ 22 + 0, 75 ( x + 1 ) + 4 y + 3, 25x == 20 x + 33 80 3 11
7 2 8 11 x − 33 y ⋅ 22 + 0, 75 ( x + 1 ) + 4 3 y + 3, 25x =
= 22 ⋅
2
2 7 8 2 x − 22 ⋅ 3 y + 0, 75x + 0, 75 + 4 y + 3, 25x = 3 11 33
14 2 3 3 ⋅ 20 3 = 20 x + y + 0, 75 + 4 y == 20x + = 20x + , 3 3 4 4 ⋅ 20 80 що треба було довести. 2 2 8 в) − ( 2, 25m − 4, 5n ) + 1, 125 −2 m − n = 2n − 4, 5m 3 3 9
= 20x −
−
2 2 8 ( 2, 25m − 4, 5n ) + 1,125 −2 m − n = 3 3 9
43
2 25 2 5 125 2 ⋅2 ⋅2 m − m + ⋅4 n −1 3 100 3 10 1000 3
=−
−1
−
= 2n − 4
9
АЛГЕБРА
15
125 8 2 225 2 45 ⋅ n=− ⋅ 4 m+ ⋅ n− 1000 9 3 100 3 10
9
9
1125 8 1125 8 3 3 ⋅ m− 8 ⋅ n = − m + 3n − −3m − n = 2n − 3 m = 8 2 2 1000 3 1000 9 1 m = 2n − 4, 5m , що треба було довести. 2
}
226. I д. — в кг II д. — на 58 кг >
III д. — на 12 кг <
?
b + ( b + 58 ) + ( b + 58 − 12 ) = 2b + 58 + b + 46 == 3b + 104 (кг) — за 3 дні. Відповідь: 3b + 104 . 227. 7-Б — n − 5 7-А — n, на 5 >,
на 3 <
}
?
7-В — n + 3 n + ( n − 5 ) + ( n + 3 ) = n + n − 5 + n + 3 == 3n − 2 — разом у трьох класах. Відповідь: 3n − 2 . 228. Vм = 54 км/год, tм = tавт + 0, 5 = t + 0, 5 год Vавт = 72 км/год, tавт = t год S = Sм + Sавт = Vм ⋅ tм + Vавт ⋅ tавт S = 54 ⋅ ( t + 0, 5 ) + 72 ⋅ t = 54t + 27 + 72t = 126t + 27 (км). Відповідь: 126t + 27 . 229. I екс. — x II екс. — на 20 м > III екс. — ?
x=
}
2 y 9
7 y 9
}
y
x + 20 — вирив II екскаватор; 2 Нехай y — довжина всієї траншеї, тоді x = y , 9 2 y = x = 4, 5x . 9 З цього слідує, що третій екскаватор вирив: 4, 5x − x − x − 20 = 2, 5x − 20 . Відповідь: 2, 5x − 20 . 230. а) m = 4n + 1 ; б) m = 4n + 3 , де m, n — цілі числа. 231. Нехай a, b, c — цілі числа, a = 3m , b = 3n + 1 , c = 3k + 2 a + b + c = 3m + 3n + 1 + 3k + 2 == 3m + 3n + 3k + 3 = 3 ( m + n + k + 1 ) — ділиться 44 на 3, що треба було довести.
232. a = 0; 2; 5; 7 . b = 0; 5 . 7ab = 700; 725; 750; 775 .
АЛГЕБРА
Завдання для самоперевірки № 2 2. б); 3. б); 4. в); 5. в).
}
6. Цукерки — a грн.
?
Печиво — ( a − b ) грн.
a + a − b = 2a − b — разом 1 кг печива й 1 кг цукерок. Відповідь: 2a − b .
7. 15a − 0, 4 ( 5a − 3 ) + 7 = 15a − 2a + 1, 2 + 7 = 13a + 8, 2 . 8. x = 0, 8 1 1 5 ( −4x + 0, 6 ) + 17, 5x − = −20x + 3 + 17, 5x − = 4 4 25 3 = −2, 5x + 2 = −2, 5 ⋅ 0, 8 + 2, 75 == −2 + 2, 75 = 0, 75 . 4 9. 3c − ( 5 − 11c ) − 6c + 5 = 8c 3c − ( 5 − 11c ) − 6c + 5 = 3c − 5 + 11c − 6c + 5 == 8c , що треба було довести. 10. 1, 5 ( 2a − 4b ) − ( 2 − 3 ( 2b + a ) ) = 3a − 6b −− ( 2 − 6b − 3a ) = 3a − 6b − 2 + 6b + 3a = 6a − 2 . 11. y = 0, 76 , x = −7, 6 25x − 4 ( 5x − 3y ) − 2 ( 5 + 3x − y ) == 25x − 20x + 12y − 10 − 6x + 2y = = 14y − x − 10 = 14 ⋅ 0, 76 − ( −7, 6 ) − 10 == 10, 64 + 7, 6 − 10 = 8, 24 .
12. I кн. — a стор. II кн. — на b стор. <
}
?
III кн. — в 2 рази > a + ( a − b ) + 2 ( a − b ) = a + a − b + 2a − 2b = 4a − 3b — разом в трьох книжках. Відповідь: 4a − 3b .
13. 0, 3 ( a − 3 ) − 0, 5 ( a − 1 ) = 0, 3a − 0, 9 − 0, 5a + 0, 5 == −0, 2a − 0, 4
0, 2a ( a − 6 ) − 0, 4 ( a − 2 ) = 0, 2a − 1, 2 − 0, 4a + 0, 8 = −0, 2a − 0, 4 — праві частини тотожностей рівні, отже й ліві частини теж рівні, що треба було довести.
5 75 5 + + 7 49 343 14. 49 6 76 6 + + 6+ 7 49 343 5+
=5
49
245 + 35 + 5 5+ 8 343 : −3 = 9 6 + 294 + 42 + 6 343
5 1 2 000 343 285 342 9 ⋅ − ⋅ 6 :6 = 1 343 343 35 343 2 400
15. I п. — a кн. II п. — в 3 рази >
III п. — на 17 кн. <
}
9 ⋅ − = 35
3 5 9 3 9 =− ⋅ − . = − 2 ⋅ 7 14 35 6 35
?
a + 3a + ( 4a − 17 ) = 8a − 17 — на трьох полицях разом.
45
АЛГЕБРА
16. a = 5c + 4 , b = 4d + 2 , де a, b, c, d — цілі числа 4a + 5b = 4 ( 5c + 4 ) + 5 ( 4d + 2 ) == 20c + 16 + 20d + 10 = 20c + 20d + 26 = = 20 ( c + d ) + 26 — на 10 не ділиться, що треба було довести. 17. abc = 100a + 10b + c 2 ( a + b + c ) + abc = 2a + 2b + 2c + 100a + 10b + c == 102a + 12b + 3c = = 3 ( 34a + 4b + c ) — ділиться на 3, що треба було довести. § 3. Одночлени
236. а) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 46 ; б) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 310 ; 5
1 1 1 1 1 1 в) − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = − ; 2 2 2 2 2 2
}
г) x ⋅ x ⋅ x = xn ; n разів; кг меньше д) ( −b ) ⋅ ( −b ) ⋅ ( −b ) ⋅ ( −b ) = ( −b ) ; 4
е) ( x − y ) ⋅ ( x − y ) ⋅ ( x − y ) = ( x − y ) ; 3
237. а) ( −5 ) ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −5 ) = ( −5 ) ; 4
7
1 1 1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ; 3 3 3 3 3 3 3 3 в) ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅× б)
× ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) ⋅ ( −1, 5 ) = ( −1, 5 )
12
;
г) ( xy ) ⋅ ( xy ) ⋅ ( xy ) ⋅ ( xy ) ⋅ ( xy ) = ( xy ) . 5
238. а) 64 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ; ( −7 ) = ( −7 ) ⋅ ( −7 ) ⋅ ( −7 ) ⋅ ( −7 ) ⋅ ( −7 ) ⋅ ( −7 ) ; б) a5 = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a . 6
239. а) 122 = 144 ; б) 44 = 256 ; в) ( −0, 7 ) = −0, 343 ; 3
г) ( −1, 5 ) = 5, 0625 ; 4
3
1 1 д) − = − ; 64 4 2
4 2 е) = ; 9 3 4
4
2401 52 1 7 є) 2 = = ; = 29 81 81 3 3 3 ж) ( −0, 02 ) = −0, 000008 . 240. а) 25 = 32 ; б) ( −3 ) = 81 ; 4
46
в) ( −1 ) = −1 ; 5
г) 0, 43 = 0, 064 ; д) 1, 13 = 1, 331 ; е) 0, 043 = 0, 000064 ; 3
АЛГЕБРА
1 1 є) − = − ; 27 3 4 4 625 58 2 5 ж) 1 = = . =7 81 81 3 3 241. а) 6 ⋅ ( −2 ) = 6 ⋅ 16 = 96 ; б) 6 ⋅ −24 = 6 ⋅ ( −16 ) = −96 ; 4
(
)
в) 5 ⋅ ( −3 ) = 5 ( −27 ) = −135 ; г) 5 ⋅ −33 = 5 ( −27 ) = −135 ; д) 53 − 52 = 52 ( 5 − 1 ) = 25 ⋅ 4 = 100 ; 3
(
)
е) ( −6 ⋅ 0, 5 ) = ( −3 ) = −243 ; є) 0, 13 − 0, 12 = 0, 001 − 0, 01 = −0, 009 ; 5
5
ж) ( 15 − 16 ) = ( −1 ) = 1 . 10
10
242. а) ( 3 − 7 ) = ( −4 ) = 256 ; б) 2 ⋅ −73 = 2 ⋅ ( −343 ) = −686 ; 4
(
4
)
в) 26 + ( −3 ) = 64 − 27 = 37 ; 3
г) ( −4 + 3 ) = ( −1 ) = −1 . 9
9
243. а) a = 3 a2 = 32 = 9 ;
( −a )
б) a = 10 a3 = 103 = 1000 ;
= ( −3 ) = 9 ; −a2 = −32 = −9 . 2
2
( −a )
= ( −10 ) = −1000 ; −a3 = −103 = −1000 . 3
3
244. а) 2a3 + 1 a = −2 ; 2 ⋅ ( −2 ) + 1 = 2 ⋅ ( −8 ) + 1 = −16 + 1 = −15 ; a = 0 ; 2 ⋅ 03 + 1 = 1 ; a = 2 ; 2 ⋅ 23 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 = 16 + 1 = 17 . 3
б) ( x + 1 )
4
x = −2 , ( −2 + 1 ) = ( −1 ) = 1 ; 4
4
x = 2 , ( 2 + 1 ) = 3 = 81 . 4
245.
n
1
2
3
4
5
4
1
16
81
256
625
n
4
16
64
256
1024
n
4 246.
4
n
1
2
3
4
5
n3
1
8
27
64
125
3n
3
9
27
81
243
47
247. а) ( 5 ⋅ 2 ) = 100 = 52 ⋅ 22 = 25 ⋅ 4 = 100 ; 2
б) ( 2 + 3 ) = 53 = 125 > 23 + 33 = 8 + 27 = 35 ; в) 74 − 64 = 2 401 − 1296 = 1105 > 54 = 625 ; г) 853 + 213 = 614125 + 9261 = 623386 < 1063 = 1191016 .
АЛГЕБРА
3
248. а) ( 7 − 5 ) = 4 < 72 − 52 = 49 − 25 = 24 ; 2
б) ( 10 : 2 ) = 53 = 125 = 103 : 23 = 1000 : 8 = 125 ; в) 1472 + 1962 = 21609 + 38416 = 60025 = 2452 = 60025 ; г) 124 − 35 = 20736 − 243 = 20493 > 123 + 36 = 1728 + 729 = 2456 . 3
249. b4 + b3 + b2 + b + 1 b = −2 ; ( −2 ) + ( −2 ) + ( −2 ) + ( −2 ) + 1 = = 16 − 8 + 4 − 2 + 1 = 11 ; 4
3
2
b = −1 ; ( −1 ) + ( −1 ) + ( −1 ) + ( −1 ) + 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 ; b = 0 ; 04 + 03 + 02 + 0 + 1 = 1 ; b = 1 ; 14 + 13 + 12 + 1 + 1 = 5 ; b = 2 ; 24 + 23 + 22 + 2 + 1 == 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 . 4
3
2
250. x5 − x 4 + x3 − x2 + x x = −1 ; ( −1 ) − ( −1 ) + ( −1 ) − ( −1 ) + ( −1 ) == −1 − 1 − 1 − 1 − 1 = −5 ; x = 0 ; 05 − 04 + 03 − 02 + 0 = 0 x = 2 ; 25 − 24 + 23 − 22 + 2 = 32 − 16 + 8 − 4 + 2 = 22 . 5
4
3
2
251. 27 = 33 ; 144 = 122 ; −125 = ( −5 ) ; 216 = 63 ; 0, 125 = 0, 53 ; 0, 001 = 0, 13 ; 3
2
25 5 = ; 81 9 2 2 1 25 5 1 6 = = = 2 ; 4 4 2 2 3 3 3 27 3 1 −3 = − = − = −1 . 8 8 2 2 252. 64 = 82 ; 1000 = 103 ; −8 = ( −2 ) ; 6, 25 = 2, 52 ; 0, 008 = 0, 23 ; 3
3
27 3 = − ; 125 5 2 2 11 36 6 1 1 = = = 1 . 25 25 5 5 −
2 2 2 48 253. а) a + 1 > 0 , тому що a = a ⋅ a > 0 , або a = ( −a ) ( −a ) = a ⋅ a > 0 ;
0 або б) a10 + 5 > 0 , тому що a10 = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ≥I 0, a10 = ( −a ) ⋅ ( −a ) ⋅ ( −a ) ⋅ ( −a ) ⋅ ( −a ) ⋅ ( −a ) ⋅ ⋅ ( −a ) ⋅ ( −a ) ⋅ ( −a ) ⋅ I≥ 0; 0 г)
0 або ( a − 2 ) + 2 > 0 , тому що ( a − 2 ) = ( a − 2 ) ⋅ ( a − 2 ) I≥ 0, 2 I0 ( a − 2 ) = − ( a − 2 ) ⋅ ( − ( a − 2 ) ) ≥ 0; 4 4 0 чи ( a + 4 ) + 0, 5 > 0 , тому що ( a + 4 ) = ( a + 4 ) ( a + 4 ) ( a + 4 ) ( a + 4 ) I≥ 0, 4 I0 ( a + 4 ) = ( − ( a + 4 ) ) ( − ( a + 4 ) ) ( − ( a + 4 ) ) ( − ( a + 4 ) ) ≥ 0. 2
2
254. а) a + a 2 +a3 + + a99 + a100 a = 0 ; 0 + 02 + + 0100 = 0 ; a = 1 ; 1 + 12 + + 1100 = 100 ; a = −1 ; −1 + ( −1 ) + + ( −1 ) б) a + a 2 +a3 + + a98 + a99 a = 0 ; 0 + 02 + + 099 = 0 ; a = 1 ; 1 + 12 + + 199 = 99 ; 2
100
АЛГЕБРА
в)
=0 ;
a = −1 ; −1 + ( −1 ) + + ( 1 ) = −1 ; в) a ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ a99 ⋅ a100 a = 0 ; 0 ⋅ 02 ⋅ ⋅ 0100 = 0 ; a = 1 ; 1 ⋅ 12 ⋅ ⋅ 1100 = 1 ; 2
99
a = −1 ; ( −1 ) ⋅ ( −1 ) ⋅ ⋅ ( −1 ) г) a ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ a98 ⋅ a99 a = 0 ; 0 ⋅ 02 ⋅ ⋅ 099 = 0 ; a = 1 ; 1 ⋅ 12 ⋅ ⋅ 199 = 1 ; 2
100
= −1 ;
a = −1 ; ( −1 ) ⋅ ( −1 ) ⋅ ⋅ ( −1 ) = −1 . 2
99
255. а) a2 + 1 = 02 + 1 = 1 , a = 0 ; б) a4 − 2 = 04 − 2 = −2 , a = 0 ; в) ( a − 1 ) + 12 = ( 1 − 1 ) + 12 = 12 , a = 1 ; 2
2
г) ( 2a + 2 ) − 5 = ( 2 ( −1 ) + 2 ) − 5 = 0 − 5 = −5 , a = −1 . 4
4
256. 1) а) x2 + ( x + 1 ) > 0 , тому що x2 + ( x + 1 ) = x ⋅ x + ( x + 1 ) ( x + 1 ) > 0 , або −x ⋅ ( −x ) + ( − ( x + 1 ) ) ( − ( x + 1 ) ) > 0 ; 2
б) ( x − 2 ) + ( x − 1 ) > 0 , тому що 2
8
( x − 2 ) + ( x − 1 ) = − ( x − 2 ) ⋅ ( − ( x − 2 ) ) + ( − ( x − 1 ) ) ⋅ ( − ( x − 1 ) ) ( − ( x − 1 ) ) ⋅× ×⋅ ( − ( x − 1 ) ) ⋅ ( − ( x − 1 ) ) ⋅ ( − ( x − 1 ) ) ⋅ ( − ( x − 1 ) ) ⋅⋅ ( − ( x − 1 ) ) > 0 ; в) x4 + x + 1 > 0 , тому що x4 = ( −x ) ⋅ ( −x ) ⋅ ( −x ) ⋅ ( −x ) >0, I 0 і x + 1 >0; I0 2
2
8
2) а) x2 + ( x + 1 ) = 0 — не має рішень; 2
б) ( x − 2 ) + ( x − 1 ) = 0 — не має рішень; 2
8
в) x4 + x + 1 = −1 — не має рішень. 258. а) 5x − 3 = 3x + 17 5x − 3x = 17 + 3 2x = 20 x = 20 : 2 x = 10 ;
б)
7x + 32 = 12x + 25 12x − 7x = 32 − 25 5x = 7 x = 1, 4 ;
49
АЛГЕБРА
в) 2 ( x − 11 ) − 5 ( 5 − 2x ) = −23 г) 2x − 22 − 25 + 10x = −23 12x = −23 + 47 12x = 24 x = 24 : 12 x = 2 ;
8 ( −3x + 4 ) + 14 ( 3 + 2x ) = 4 + 2x −24x + 32 + 42 + 28x = 4 + 2x 4x − 2x = 4 − 74 2x = −70 x = −70 : 2 x = −35 .
259. Перемога — 3 очки ⋅x ігор 23 очки Нічия — 1 очко ⋅15 − 6 − x ігор 3x + ( 9 − x ) = 23 3x + 9 − x = 23 2x = 23 − 9 2x = 14 x = 14 : 2 x = 7 (ігор) — команда виграла; 9 − 7 = 2 (ігри) — зіграла внічию. Відповідь: 7 ігор; 2 гри. 260. ( a + b + c ) : 3 = −8 a = b +5 ; b = c −1 ; c=x ; b = x −1 ; a = x −1 + 5 = x + 4 ; ( x + 4 + x − 1 + x ) : 3 = −8 ( 3x + 3 ) : 3 = −8 3 ( x + 1 ) : 3 = −8 x + 1 = −8 x = −9 — число c; −9 − 1 = −10 — число b; −10 + 5 = −5 — число a. Відповідь: –5; –10; –9. 264. а) a5a2 = a5+2 = a7 ;
е) 0, 315 ⋅ 0, 3 = 0, 316 ;
б) b b = b ;
є) 53 ⋅ 5 ⋅ 54 = 53+1+4 = 58 ;
4 6
10
в) yy = y ; 7
г) x x = x 25
ж) 3 4 ⋅3 ⋅ 36 ⋅ 3 = 312 ;
8
73
25+73
= x ; 98
з) b5 ⋅ b ⋅ b2 ⋅ b4 = b5+3+4 = b12 .
д) 28 ⋅ 212 = 220 ; 265. а) б) в) г)
m3m6 = m9 ; y7 y5 = y12 ; c5c = c6 ; b15b25 = b40 ;
266. а) x10 : x3 = x10−3 = x7 ; б) a15 : a5 = a10 ; в) 528 : 521 = 57 ; 50
г) 0, 18 : 0, 12 = 0, 16 .
д) 105 ⋅ 1010 = 1015 ; е) 2, 5 ⋅ 2, 53 = 2, 54 ; є) 2 ⋅ 22 ⋅ 27 = 210 ; ж) a2a4 aa2 = a9 .
267. а) c12 : c9 = c3 ; б) b26 : b8 = b18 ; в) 417 : 415 = 42 ; г) 0, 710 : 0, 74 = 0, 76 .
АЛГЕБРА
268. b15 = b7b8 b15 = bb14 b15 = b3b12 b15 = b9b6 . 269. x12 = x ⋅ x11 x12 = x2 ⋅ x10 x12 = x4 ⋅ x8 x12 = x7 ⋅ x5 x12 = x9 ⋅ x3 .
( (b (b (b
270. а) b3
4
5
) = b ; ) = b ; ) =b ; ) =b . 3
5
5
a5b5 = ( ab ) . 5
100
( ) (m ) (m ) 2
35
4
271. а) m5
3
20
7
25
б) a3b3 = ( ab ) ;
9
3
= m15 ;
б) m2n2 = ( mn ) ;
7
= m14 ;
4
= m20 .
2
m7n7 = ( mn ) . 7
272. а) ( ab ) = a5b5 ; 5
б) ( 4c ) = 42 c2 = 16c2 ; 2
в) ( −2x ) = ( −2 ) x3 = −8x3 ; 3
3
г) ( −0, 1a ) = ( −0, 1 ) a2 = 0, 01a2 ; 2
2
д) ( 3xy ) = 3 x y = 27x3 y3 ; 3
3
3
3
е) ( −2mn ) = ( −2 ) m5n5 = −32m5n5 ; 5
5
є) ( mnk ) = m8n8k8 ; 8
ж) ( 4abcd ) = 44 a4b4 c4d 4 = 256a4b4 c4d 4 . 4
273. а) ( St ) = S7t7 ; 7
б) ( −3b ) = ( −3 ) b3 = −27b3 ; 3
3
в) ( −2mn ) = 16m4n4 ; 4
г) ( 5klm ) = 53 k3l3m3 = 125k3l3m3 . 3
274. а) 58 : 55 = 53 = 125 ; б) 0, 29 : 0, 27 = 0, 22 = 0, 04 ;
51
в) ( −2 ) : ( −2 ) = ( −2 ) = −8 ; 7
4
( )
3
3
г) 3 : 3 = 3 : 3 = 32 = 9 ; д) 87 : 85 − 32 ⋅ 3 = 82 − 33 = 64 − 27 = 37 ; е) 1, 59 : 1, 58 − 0, 52 = 1, 5 − 0, 25 = 1, 25 .
АЛГЕБРА
2
4
6
4
275. а) 418 : 415 = 43 = 64 ; б) 0, 58 : 0, 56 = 0, 52 = 0, 25 ; в) 35 : 32 + 46 : 44 = 33 + 42 = 27 + 16 = 43 ;
(
г) 102 276. а) б) в) г)
)
2
− 56 : 53 = 104 − 53 = 10 000 − 125 = 9875 .
24 ⋅ 16 = 24 ⋅ 24 = 28 ; 37 : 27 = 37 : 33 = 34 ; 0, 54 ⋅ 0, 25 = 0, 54 ⋅ 0, 52 = 0, 56 ; 0, 001 ⋅ 0, 15 = 0, 13 ⋅ 0, 15 = 0, 18 .
277. а) 93 ⋅ 81 = 93 ⋅ 92 = 95 ; б) 64 ⋅ 23 = 26 ⋅ 23 = 29 ; в) 310 : 81 = 310 : 34 = 36 ; г) 1, 21 ⋅ 1, 14 = 1, 12 ⋅ 1, 14 = 1, 16 . 278. а) 24 ⋅ 54 = ( 2 ⋅ 5 ) = 104 = 10 000 ; 4
б) 43 ⋅ 253 = ( 4 ⋅ 25 ) = 1003 = 1 000 000 ; 3
в) 0, 56 ⋅ 26 = ( 0, 5 ⋅ 2 ) = 1 ; 6
г) 1, 255 ⋅ 25 ⋅ 45 = ( 1, 25 ⋅ 2 ⋅ 4 ) = 105 = 100 000 ; 5
10
7
3
3
125 17 2 2 2 5 д) 1 : 1 = 1 = = ; =4 27 27 3 3 3 3
) ( ) : ((2 ) : (2 )
(
3
е) 163 : 412 : 84 = 24
(
)(
2
12
3
4
) == 2
12
(
)
: 224 : 212 = 212 : 212 = 1 ;
)
є) 0, 518 : 0, 56 ⋅ 216 : 24 = 0, 512 ⋅ 212 = ( 0, 5 ⋅ 2 ) = 1 ; 5
3 ж) 2 7
3
12
2
2
2
2
2
35 5 3 3 3 3 17 3 289 9 280 − = =5 =5 . : 2 − = 2 − == − = 49 49 49 49 7 7 7 7 7 7 7
279. а) 53 ⋅ 23 = ( 5 ⋅ 2 ) = 103 = 1000 ; 3
б) 8 ⋅ 125 = ( 8 ⋅ 125 ) = 10002 = 1 000 000 ; 2
2
2
в) 0, 259 ⋅ 29 ⋅ 29 = ( 0, 25 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = 1 ; 9
11
8
3
27 3 3 3 г) : = = ; 64 4 4 4
(
)(
) (( ) ( ) ) : ((3 ) 8
д) 278 : 95 : 94 ⋅ 32 = 33 : 32 2
52
8
6
5
2
2
4
)
(
)(
)
: 32 = 324 : 310 : 38 ⋅ 32 = 314 : 310 = 34 = 81 ; 2
3 1 1 1 1 4 10 16 − 100 84 е) 1 − 3 : 3 = − = =9 =9 . == 9 9 9 9 3 3 3 3 3
z20 20 20
4
12
c
;
б) 312 = 96 ;
;
312 = 274 ;
;
312 = 813 ;
4
( = (c = (c = (c
4
3
3
4
2
6
( )
в) a
m
=a
220 = 165 ;
220 = 324 .
; б) aak = a(
282. а) am a2 = a2+m ; 2
2
6
281. а) c12 = c2 c12
) ) ) )
5
10
z
c12
б) 220 = 410 ;
10
5
z
) ; ) ; ) ; );
2m
( )
г) a
;
3
( ) = (a ) = a ; б) ( a : a ) = ( a ) = a ; в) ( a ) ⋅ ( a ) = a ⋅ a = a ; г) ( a ) : ( aa ) = a : a = a
283. а) a3a4
5
7
3
7
4
5
5
5
4
k+1 )
;
=a ; 3k
18
6
16
2
4
k
35
3
6
3
2
АЛГЕБРА
( = (z = (z = (z
280. а) z20 = z2
22
25
10
15
.
( ) = (a ) = a ; б) ( a : a ) = ( a ) = a ; в) ( a ) ⋅ ( a ) = a ⋅ a = a ; г) ( a ) : ( a ) = a : a = a .
284. а) a5a6 8
2
5
2
4
3
2
3
6
2
11
5
3
4
22
5
15
8
2
8
18
16
6
12
( ) = (a ) = a ; б) ( a ⋅ a ) = ( a ) = a ; в) ( a : a ) = ( a ) = a ; г) ( a ) ⋅ ( a ) = a ⋅ a = a n
285. а) am ⋅ a3 k
n
k
m
3
n−1
k
n
3n+mn
n
2k
k
n+2
2
3+ m
2m
2 kn
k
kn−k
3k
2m+3k
;
286. a = 3n , де a, n — натуральні числа. a3 = ( 3n ) = 33 n3 = 27n3 , отже a3 ділиться на 27, що треба було довести. 3
( ) = (3 )
287. 2300 = 23
100
= 8100
100
2 3200 = 9100 9100 > 8100 , отже 3200 > 2300 .
8
3
1 7 1 288. 1 : 1 − 1 3 9 3
9
3
8
3
27 4 16 4 ⋅ − − = : 64 3 9 3
9
3
3 3 ⋅ − = 4
3
8 2 9 9 8 6 9 4 4 4 3 4 4 4 3 = : − ⋅ = : + ⋅ = 3 3 3 4 3 3 3 4 2 16 7 7 4 = +1 = +1 =1 +1 = 2 . 9 9 9 3
53
АЛГЕБРА
290. а) б) в) г)
2x − 3 − ( 3x + 1 ) = 2x − 3 − 3x − 1 = −x − 4 ; 6a + 3 − 2 ( a − 2 ) == 6a + 3 − 2a − 4 = 4a − 1 ; −2 ( b − 1 ) + 3 ( 5 − 2b ) − 17 == −2b + 2 + 15 − 6b − 17 = −8b ; 5 ( −3c + 5 ) + 4 ( 3 − c ) − 4 + 19c == −15c + 25 + 12 − 4c − 4 + 19c = 33 .
292. V1 = x км/год; t1 = 1, 5 год; V2 = x + 12 км/год; t2 = 1, 3 год; S = V1t1 = V2t2 1, 5x = 1, 3 ( x + 12 ) 1, 5x = 1, 3x + 15, 6 1, 5x − 1, 3x = 15, 6 0, 2x = 15, 6 x = 15, 5 : 0, 2 x = 78 (км/год) — швидкість автомобіля; 78 ⋅ 1, 5 = 117 (км) — шлях, який проїхав автомобіль. Відповідь: 117 км.
}
293. I труба — 1,25 м3/хв ⋅50 хв 450 м3 II труба — x м3/хв ⋅50 хв (1, 25x + x ) ⋅ 50 = 450 62, 5x + 50x = 450 112, 5x = 450 x = 450 : 112, 5 x = 4 (м3) — виливалося води за 1 хвилину через II трубу; 4 ⋅ 1, 25 ⋅ 50 = 250 (м3) — витекло через I трубу. Відповідь: 250 м3. 298. а) 4x2 yx = 4x3 y — одночлен 4-го степеня, 4 — коефіцієнт; б) 5abc ⋅ ( −2 ) = −10abc — одночлен 3-го степеня, –10 — коефіцієнт; в) 0, 4a2 ⋅ 4a3b = 1, 6a5b — одночлен 6-го степеня, 1,6 — коефіцієнт; 1 г) x3 y2 ⋅ 3x = x3 y2 — одночлен 5-го степеня, 1 — коефіцієнт; 3 д) −5c3d ⋅ 0, 8c2d = −4c5d2 — одночлен 7-го степеня, –4 — коефіцієнт; е) 0, 7c ⋅ 4c ⋅ c2 = 2, 8c4 — одночлен 4-го степеня, 2,8 — коефіцієнт; 1 є) −6abc ⋅ b3 = −2ab4 c — одночлен 6-го степеня, –2 — коефіцієнт. 3 299. а) 14y5 y = 14y6 — одночлен 6-го степеня, 14 — коефіцієнт; б) −0, 3cc3c = −0, 3c5 — одночлен 5-го степеня, –0,3 — коефіцієнт; 2 в) − ab ⋅ 3a2 = −2a3b — одночлен 4-го степеня, –2 — коефіцієнт; 3 г) 0, 5aa3 ⋅ 2aa2 = a7 — одночлен 7-го степеня, 1 — коефіцієнт. 5a ⋅ 4b = 20ab ; −3a2 ⋅ 5a3 = −15a5 ; 0, 3a2b ⋅ 2b = 0, 6a2b2 ; −4ax2 ⋅ 3bx3 = −12abx5 ; 2 д) m3n ⋅ −6mn2 = −4m4n3 ; 3 1 е) 8a2bc2 ⋅ − bc = −4a2b2c3 ; 2
300. а) б) в) г)
(
54
)
(
)
є) −4, 3ax −2a2 ⋅ 5x = 43a3x 2 ; ж) xy ⋅ −5xy2 ⋅ ( −4 ) = 20x2 y3 ; з) −3cd −2dc2 cd = 6c4d3 .
( (
) )
АЛГЕБРА
301. а) 2m ⋅ 12mn5 = 24m2n5 ; б) −cd ⋅ 8c4d = −8c5d2 ; в) 7a3b2c ⋅ 0, 8abc3 = 5, 6a4b3c4 ; 4 1 2 г) −6n3k − k = n3k2 = 1 n3k2 ; 3 3 9
(
)
д) −ab ⋅ −5ab2 ⋅ 2b = 10a2b4 ;
(
)
е) 1, 5xy ⋅ −2x2 y3 ⋅ x2 y = −3x5 y5 .
( ) = 27a b ; б) ( −2mn ) = 16m n 3
302. а) 3a3b
9 3
2
4
4
8
;
3
1 1 в) x2 y3 = x6 y9 ; 8 2
(
г) −0, 5mn3k4
)
2
= 0, 25m2n6k8 .
( ) = 25m n ; б) ( 3a b ) = 27a b ; в) ( −xy z ) = −x y z г) ( 2ab c ) = 16a b c 2
303. а) −5mn2
2
3
3 6
2 3
4 3
4
9 18
5
4
5 10 15
;
4 16 12
.
304. а) 8x2 y3 = 2xy2 ⋅ 4xy ; б) 8x2 y3 = 4x2 y2 ⋅ 2y 8x2 y3 = 8xy ⋅ xy2 8x2 y3 = −2xy3 ⋅ ( −4x ) . 305. а) 6b3c3 = 2b2c ⋅ 3bc2 ; б) 6b3c3 = 2b2c2 ⋅ 3bc ; 6b3c3 = 6bc ⋅ b2c2 6b3c3 = −3bc3 ⋅ −2b2 .
(
)
5 15 5 7 5 306. а) 1, 5a3b3 − a4b2 = ⋅ − a b == −1, 25a7b5 ; 6 10 6
(
)
3
б) 3a2b ⋅ 0, 01b2 = 27a6b3 ⋅ 0, 01b2 == 0, 27a6b5 ; 1 в) 0, 8xy3 ⋅ 2 x 3 y5 ( −0, 5x ) == −0, 4 ⋅ 2, 5x5 y8 = −x5 y8 ; 2
(
) ⋅ ( −ab ) = 16a b ⋅ a b = 16a b ; 1 1 д) mn ⋅ ( 3m ) ⋅ ( −4, 5 ) == m n ⋅ 9m 81 3 г) −4a2b3
2
3
4
2
3
2
4 6
2
2 6
6 12
4
2
8
6
45 \5 ⋅ − 10
= −0, 5m 10n8 ;
3 1 1 е) 4, 4 a2bc ⋅ − b2c ac2 == 4, 4a6b 3c3 ⋅ b 4 c2 = 1, 1a6b 7 c5 . 4 2
(
)
55
АЛГЕБРА
2 5 307. а) 15m3n −1 mn2 = − ⋅ 515 m4n3 == −25m4n3 ; 3 3 1 3 2 1 б) − p q ⋅ 2, 1 pq ⋅ p = −0, 1 p5q 3 ; 7 3
(
) ( 3
в) −a2b ⋅ −3a3b 2 г) xy2z 3 1 4 = 1 ⋅ 9
2
)
2
= −a6b3 ⋅ 9a6b2 == −9a12b5 ; 3
3
4 1 3 ⋅ −1 x 2z xyz == x2 y4 z2 ⋅ − x6 z3 ⋅ xyz = 9 2 2 3 27 9 5 6 1 9 5 6 ⋅ x y z = −1 x y z == −1, 5x 9 y5z6 . 2 2 8
308. S1 = a12 ;
S2 = ( 3a1 ) = 9a12 S2 : S1 = 9a12 : a12 = 9 . Відповідь: збільшиться в 9 разів. 2
309. V1 = a13 ;
V2 = ( 2a1 ) = 8a13 V2 : V1 = 8a13 : a13 = 8 . Відповідь: збільшиться в 8 разів. 3
(
)
2
310. а) 64a6b18 = 8a3b2 ⋅ 8a3b16 == 8a2b ⋅ a2b2 ; б) 64a6b18 = 16ab10 ⋅ 4a2b4 ⋅ a3b4 ; в) 64a6b18 = −4a4b6 ⋅ 8a2b ⋅ ( −2 ) b11 ;
( ) = ( 4a b )
2
г) 64a6b18 = 8a3b9 д) 64a6b18
2 6
;
3
.
311. а) 16x12 y8 = 2x3 y2 ⋅ 4xy ⋅ 2x8 y5 ; б) 16x12 y8 = −2x3 y7 ⋅ ( −8 ) x9 y ;
( ); = ( 2x y ) . 2
в) 16x12 y8 = −4x6 y4 г) 16x12 y8
3
2
4
312. m2n3 = 2 а) 6m2n3 = 6 ⋅ 2 = 12 ;
(
б) m4n6 = m2n3
(
)
2
= 22 = 4 ;
в) 4m n = 4 m n3 8
12
2
(
)
4
г) −3m6n9 = −3 m2n3
= 4 ⋅ 24 = 4 ⋅ 16 = 64 ;
)
3
= −3 ⋅ 23 = −3 ⋅ 8 = −24 .
313. а) a = 2 ; b =5 ;
( 2a b ) 2
2
⋅ ab3 = 4a4b2ab3 = 4a5b5 == 4 ⋅ 25 ⋅ 55 = 4 ⋅ 32 ⋅ 3125 = 400000 ;
1 б) x = ; 7 y = −1 ; z =7 ;
( xy z ) 2
56
3
4
14 1 ⋅ xzy8 = x3 y6 z3 ⋅ xzy8 == x 4 y14 z4 = ⋅ ( −1 ) ⋅ 74 = 1 ; 7
1 ; 3 b = −0, 5 ; c=3 ;
в) a = 1
2
2
2
314. а) m = 4 ; n = 0, 25 ;
( −mn )
⋅ 10m4n = ( −m ) n6 ⋅ 10m4n == −10m7n7 = −10 ( mn ) =
( 2abc )
⋅ 0, 25 ( ab ) = 4a2b2c8 ⋅ 0, 25a6b6 =
3
2
3
АЛГЕБРА
5
5 1 ⋅ abc ⋅ b2 = a4b2c4 ⋅ abc ⋅ b2 == a5b5c5 = ( abc ) = 1 ⋅ ( −0, 5 ) ⋅ 3 = 3 5 5 4 5 =− ⋅ ⋅ 3 = ( −2 ) = −32 . 10 3
( a bc )
7
= −10 ( 4 ⋅ 0, 25 ) = −10 ; 3 б) a = 1 ; 7 b = 14 ; c = −0, 1 ; 7
4
2
6
8
8 110 1 8 8 3 = a8b8c8 = ( abc ) = 1 ⋅ 14 ⋅ ( −0, 1 ) == − 1 ⋅ 214 ⋅ 1 = ( −2 ) = 256 . 7 7 10
( ( x ) ) ⋅ ( −2 ( x ) ) = 4x ⋅ 4x = 16x ; б) ( ( x ) ) ⋅ 2 ( ( x ) ) == x ⋅ 2x = 2x ; 2
315. а) 4
4
(
3 4
n 3
в) an+1b2n г)
4
2
)
2
3 2
n 5
24
12n
24
10 n
22n
⋅ 2a2n ( 2b ) = a2n+2b4n ⋅ 2a2n 4b2 = 8a4n+2b4n+2 = 8 ( ab ) 2
( ( −x ) ) ⋅ ( ( −x ) ) n 3
n+1 5
(
1 ; y = 2 ; n = 80 ; 4 2n 2n 2 −4xy 4x3 y2 == −16x4 y4
) (
)
(
б) a = 0, 1 ; b = 2 ; k = 51 ;
(5 a k
k+1 k+2
b
) ⋅ ( 5ab ) 2
4 n+2
;
== −x3n ⋅ x5n+5 = −x8n+5 .
316. а) x = −
48
k
)
2n
4 1 = −16 ⋅ − ⋅ 24 4
2⋅80
= ( −1 )
160
=1 .
= 52k a2k+2b2k+4 ⋅⋅5k akbk = 53k a3k+2b3k+4 =
= 53k a3kb3k ⋅ a2b4 = ( 5ab ) ⋅ a2b4 = ( 5 ⋅ 0, 1 ⋅ 2 ) 3k
3⋅51
⋅ ⋅0, 12 ⋅ 24 = 0, 16 .
317. V2 = a ⋅ b ⋅ c ; V1 = 2a ⋅ 2b ⋅ 2c = 8abc V1 : V2 = 8abc : abc = 8 . Відповідь: зменшився у 8 разів. 319. а) б) в) г)
7c − 5 + ( 3c + 1 − 8c ) == 7c − 5 + 3c + 1 − 8c = 2c − 4 ; 2a + 8 − ( 3a + 12 − 6a ) == 2a + 8 − 3a − 12 + 6a = 5a − 4 ; ( −2b + 4 ) − ( 4b − 1 ) + 6b == −2b + 4 − 4b + 1 + 6b = 5 ; ( −3x + 5 ) − ( 3 − x ) − ( 2 + 2x ) = −3x + 5 − 3 + x − 2 − 2x = −4x .
320. x грн — 10 місяців x + 25 грн — 10 − 2 місяців 10x = 8 ( x + 25 ) 10x − 8x = 200
57
АЛГЕБРА
2x = 200 x = 200 : 2 x = 100 (грн) — відкладали щомісяця; 100 ⋅ 10 = 1000 (грн) — коштує телевізор. Відповідь: 1000 грн. 321. V1 = 60 км/год; V2 = 75 км/год; t1 = 3 + x год; t2 = x год 60 ( 3 + x ) − 75x = 105 180 + 60x − 75x = 105 15x = 180 − 105 15x = 75 x = 75 : 15 x = 5 (год) — час руху другого поїзда; 60 ⋅ ( 3 + 5 ) + 75 ⋅ 5 = 60 ⋅ 8 + 375 = 480 + 375 = 855 (км) — відстань між містами. Відповідь: 855 км. 322. a > 0 ; a + b < 0 ; а) b < 0 ; б) a < b . 323. а) 104 = 10000 ; б) ( −3 ) = 729 ; 6
в) ( −0, 5 ) = −0, 125 ; 3
г) ( −2, 4 ) = −13, 824 ; д) 1, 024 = 1, 08243216 ; 3
3
8 2 е) = ; 27 3 4 16 2 є) − = ; 625 5 3
3
1000 1 1 10 ж) 3 = . = 37 = 27 27 3 3 324. а) ( −4 ) ⋅ 24 = −4 ⋅ 16 = −64 ;
(
)
б) ( −4 ) ⋅ −24 = ( −4 ) ⋅ ( −16 ) = 64 ; в) 5 ⋅ ( −2 ) = −25 ⋅ 8 = −200 ; 2
(
3
) ) = ( 49 − 9 )
г) 52 ⋅ −63 = 125 ⋅ ( −216 ) = −27000 ;
(
д) 72 − 32
2
2
= 402 = 1600 ;
е) ( −4 ⋅ 1, 5 + 8 ) = ( −6 + 8 ) == 25 = 32 ; 5
5
є) 2 + ( −2 ) = 256 − 32 = 224 ; 5
8
(
ж) −0, 125 ⋅ 23
)
15
= ( −0, 125 ⋅ 8 ) == ( −1 ) = −1 .
325. а) a2 − 81
( −3 )
2
− 81 = 9 − 81 = −72 ; 0 − 81 = −81 ; 32 − 81 = 9 − 81 = −72 ; 2
58
15
15
б) ( 2x − 3 )
3
( 2 ( −1 ) − 3 ) = ( −5 ) 3
3
= −125 ;
( 2 ⋅ 3 − 3 ) = 33 = 27 . 3
АЛГЕБРА
326. а) 64 = 82 ; 169 = 132 ; 1, 44 = 1, 22 ; 0, 0001 = 0, 012 ; 2
49 7 = ; 121 11 2 1 64 8 7 = = ; 9 9 3 б) 64 = ( 4 ) ; 1000 = 103 ; 3
−27 = ( −3 ) ; 0, 008 = 0, 23 ; 3
3
−
125 5 = − ; 216 6
3
3 27 3 = = ; 8 8 2
3
327. а) a3a5 = a8 ;
д) 64 ⋅ 621 = 625 ;
(p ) = p ; є) ( 7 ) = 7 ; ж) ( 5 : 5 ) = 5
б) b9 : b8 = b ;
е)
в) yy = y ; 8
9
5
10
4
5
г) a5aa4 = a10 ; 328. 324 324 324 324
2
3
20
7
14
.
= 32 ⋅ 322 ; = 34 ⋅ 320 ; = 39 ⋅ 315 ; = 315 ⋅ 39 .
329. а) a36 = a2 ⋅ a34 == a3 ⋅ a33 == a9 ⋅ a37 == a12 ⋅ a24 ; б) 418 = 236 = 169 = 812 . 330. а) ( xy ) = x 4 y4 ; 4
б) ( 6a ) = 216a3 ; 3
( ) = 81x ; г) ( −0, 5a c ) = 0, 25a c в) −3x2
4
4 2
8
2
8 4
.
331. а) −2a4ba = −2a5b — 6-й степінь; б) 0, 5b2 ⋅ 2a3b = a3b3 — 6-й степінь; 1 в) −3x3 ⋅ xy2 = −x4 y2 — 6-й степінь; 3 г) −4a27a5b ⋅ 4b3 = −112a7b4 — 11-й степінь;
59
(
)
д) 2, 5xz ⋅ −4x3z3 ⋅ x2z = −10x6z5 — 11-й степінь;
АЛГЕБРА
(
)
4
е) 3a b c d = 81a12b16 c20d 4 — 52-й степінь; 1 є) 1, 2a2b3 ⋅ − a3b2 = −0, 2a5b5 — 10-й степінь; 6 5 2 1 1 15 4 3 5 x y = −10x3 y5 — 8-й степінь; − ж) 7 x2 y4 ⋅ −1 xy = 1 1 2 3 3 2 3 4 5
( −4m n ) ⋅ ( −2mn ) 2
з)
3
5
2
3
== −64m6n15 ⋅ 4m2n6 == −256m8n21 — 29-й степінь.
332. а) 49a4b12 = 7a3b9 ⋅ 7ab3 ; б) 49a4b12 = −7a3b7 ⋅ −7ab5 ;
( (
в) 49a4b12 = 7a2b6
)
)(
2
)
.
333. а) x = 2 ; y = 0, 5
( 3x y )
3
2
⋅ y3 = 27x6 y3 ⋅ y3 = 27x6 y6 = 27 ( xy ) = 27 ( 2 ⋅ 0, 5 ) = 27 ; 6
6
1 6 ; b = −4 ; c = ; 6 7 5 2 1 6 5 3 a2bc ⋅ 5abc3 = 5a5b3c5 == 5b3 ⋅ ( ac ) = 5 ⋅ ( −4 ) ⋅ 1 ⋅ = 6 7 5 7 6 5 ⋅ ( −64 ) ⋅ ⋅ = −320 . 6 7
б) a = 1
(
)
( ) ⋅ ( a a ) == a a a б) ( −2y ) ⋅ ( −y ) == −256y
334. а) a4
2n k
4
8
2
n+2 3
8n
8
5
2 n+4
8k
n
= a10n+12 ;
⋅ y = −256y8k+15 ;
n
15
n
1 2n 3 n 1 в) 22n ⋅ 3n = 2 ⋅ == 4 ⋅ = 1 ; 12 12 4
(
г) 2 ⋅ ( −1 )
) ⋅ ( 2 ⋅ ( −1) )
n 3
n+2 5
== 23 ⋅ 25 = 28 = 256 .
335. 1-й ст. — закінчується на 3; 2-й ст. — на 9; 3-й — на 7; 4-й — на 1, далі через кожний 4-й степінь кінцеві цифри повторюються. Отже 81 : 4 = 80 : 4 + 1 , тобто 381 закінчується на 3.
( )
20
336. 940 = 92 = 8120 20 20 80 < 81 , отже 8020 < 940 . 337. а) ( 2x ) + ( 256x ) = 0 , x = 0 ; 2
8
б) ( x − 2 ) + ( x + 2 ) = 0 — не має рішень; в) x6 + 3x = 0 x=0. 2
2
Завдання для самоперевірки № 3 1. в); 2. б); 3. г); 4. в); 5. г). 6. а) x5 ⋅ x3 = x8 ; б) x4 ⋅ x = x5 ; 60
( )
в) x5
3
= x15 .
7. а) 4 ⋅ 33 − 43 = 4 ( 27 − 16 ) = 44 ; б) 25 − 42 ⋅ 5 = ( 32 − 16 ) ⋅ 5 = 80 ;
( (
)
)
в) 32 + 1 = ( 9 + 1 ) = 1000 ; 8. а) 2a4 ⋅ 3a = 6a5 ; 3
3
б) −0, 3ab3 ⋅ 5a4b2 == −1, 5a5b5 = −1, 5 ( ab ) ;
(
)
4
АЛГЕБРА
5
в) 2ac = 16a c . 9. а) x = 2 ; y = 0, 25 ; 3
4 12
( 2xy ) = 8x3 y3 = 8 ( xy ) == 8 ( 2 ⋅ 0, 25 ) = 8 ⋅ 0, 53 == 8 ⋅ 0, 125 = 1 ; б) a = 2 ; b =5 ; 3
3
( a b ) ⋅ ab = a b ⋅ ab == a b = 2 10. а) ( 6 ⋅ 6 ) ⋅ 6 = ( 6 ) ⋅ 6 = 6 ; б) ( 3 ⋅ 3 ) ⋅ ( 3 ) = 3 ⋅ 3 = 3 ; 2
2
3
2
12
3
5
4 2
5
4
7
4
2
5 4
5
⋅ 54 = 32 ⋅ 625 = 20 000 .
5
61
18
28
46
в) 2 ⋅ 4 ⋅ 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 . 8
6
2
8
12
( (
8
)( )
28
)
11. а) 3, 6x2 y2 ⋅ −5x4 y5 ⋅ −2x2 y = 36x8 y8 = 36 ( xy ) ; 3 1 7 2 3 9 б) 2 a2c3 ⋅ 3a2b4 c3 == a c ⋅ 27 a6b12c9 == 63a8b12c12 ; 3 7 8 5 43 в) −m n ⋅ −0, 2m3n5 == −m12n13 ⋅ 0, 0016m12n20 == −0, 0016m24n33 ;
(
) (
)
8
2
3
2 2 2 г) − a3x4 ⋅ −1 ax2 ⋅ −1 a2x = 3 3 3 2 3 2 25 27 11 11 2 3 4 5 2 4 3 6 3 ⋅ − = − a x ⋅ − a x ⋅ − a x == − ⋅ a x = 8 3 3 2 3 9 50 11 11 11 = a x = 6, 25 ( ax ) . 8 12. а) 64a12b18 = 8a10b6 ⋅ 8b3 ⋅ a2b9 ; б) 64a12b18 = −4a5b8 ⋅ −16a7b10 ;
( (
в) 64a12b18 = 4a4b6 13. а) a = 4 ; c = −0, 5 ;
(a c ) 4 2
б) x = 2
(
)(
)
3
)
.
⋅ c4 = a8 c4 ⋅ c4 == a8 c8 = ( ac ) = ( 4 ( −0, 5 ) ) = ( −2 ) = 256 ;
2
8
8
8
2 3 ; y = −2 ; z = ; 3 8
2 x2 yz3
)
2
⋅ x2 y2 = 2x4 y2z6 x2 y2 == 2x6 y4 z6 = 2y4 ( xz ) = 6
6
6
2 3 8 3 = 2 ( −2 ) ⋅ 2 ⋅ == 32 ⋅ = 32 . 3 8 3 8 4
14. а) 22n ⋅ 4n+1 ⋅ ( −16 ) = 22n ⋅ 22n+1 ⋅ 28 = 24n+9 ; 2
(
б) 8 ⋅ 2n+3
) ⋅(4 3
n
⋅ 2n+2
)
2
= 29 ⋅ 23n+3 ⋅ 24n ⋅ 2n+2 = 28n+14 .
15. а) m = 20 ; n = −0, 025 ;
( 8m n ) ⋅ n = 64m n ⋅ n = ( 2 ⋅ 20 ( −0, 025 ) ) = ( −1) 3
2
2
2
6
6
4
2 6
= 26 m6n6 = ( 2mn ) = 6
=1;
61
АЛГЕБРА
2 ; 3 1 b= ; 2 k = 18 ;
б) a =
(3
32k+2 a3kb3k = 32 ⋅ 3k ⋅ a3k ⋅ b3k == 9 ( 3ab )
k+1
ak
) ⋅ ( 3ab ) ⋅ ( b ) 2
k
k
2
== 32k+2 a2k ⋅ 3k akbk ⋅ b2k = 3k
2 1 = 93⋅ ⋅ 3 2
⋅ 318
=9.
16. 42n — закінчується на 6, а 42n+1 — закінчується на 4, отже 445 = 42⋅22+1 — закінчується на 4. 17. а) ( 4x ) + ( −8x ) = 0 x=0; б) x2 + 2x − 1 = 0 — не має рішень. 4
8
§ 4. Многочлени 342. а) 3x − 2 + 2x − 5 = 5x − 7 — 1-й степінь; б) 1, 2a + a + 3, 5 − 2a − 4 = 0, 2a − 0, 5 — 1-й степінь; в) 4m + 3 + n − 3 − n + 2m = 6m — 1-й степінь; г) x2 + x + 2x2 − 3x + 3 = 3x2 − 2x + 3 — 2-й степінь; д) −3a3 + 5a2 − 5a3 − 3a2 + 7a = −8a3 + 2a2 + 7a — 3-й степінь; е) −b2 ⋅ 5b − 3b3 + 2b ⋅ 3b − 2b2 == −5b3 − 3b3 + 6b3 − 2b2 == −2b3 − 2b2 — 3-й степінь. 343. а) б) в) г)
5a + 6 − 3a − 4 = 2a + 2 — 1-й степінь; 10k + 5, 5 − 2, 5k − 4, 5k = 3k + 5, 5 — 1-й степінь; 2x2 + 3x + x2 − 3x − 3 + 2x == 3x2 + 2x − 3 — 2-й степінь; −2b3 + 3b + 2b2 − 3b3 + b == −5b3 + 2b2 + 4b — 3-й степінь.
344. а) 5x − 4x3 + 5 + x2 − 3x4 = −3x4 − 4x3 + x2 + 5x + 5 ; б) 3a6 + 5a − 7a2 − 2a4 − 2a7 − 4 = − 2a7 + 3a6 − 2a4 − 7a2 + 5a − 4 . 345. а) 6b3 + 2b − 1 + 3b4 + b2 == −1 + 2b + b2 + 6b3 + 3b4 ; б) x5 + 2x6 − 3x − 3x 4 + 2 + 8x 8 = 2 − 3x − 3x4 + x5 + 2x6 + 8x 8 . 346. а) a = 2 ; 2a2 + 3a − 2 = 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 2 − 2 == 8 + 6 − 2 = 12 ; б) x = −1, 1 ; 3x − x2 + 1 + 2x2 − 3x = x2 + 1 = ( −1, 1 ) + 1 == 1, 21 + 1 = 2, 21 ; в) a = −0, 5 ; b=4; 5ab − a2 + 4ab + a2 = 9ab = 9 ⋅ ( −0, 5 ) ⋅ 4 = −18 . 2
347. а) x = 2 ; 4x2 + 9x − 4x + 2 == 4x2 + 5x + 2 == 4 ⋅ 22 + 5 ⋅ 2 + 2 == 16 + 12 = 28 ; б) b = 1, 5 ; c = −4 ; 62 2bc + 2, 5bc − 3 − 5bc == −0, 5bc − 3 == −0, 5 ⋅ 1, 5 ⋅ ( −4 ) − 3 = 0 .
348. а) 4x2 y − 6x2 y − 3 + 0, 3x2 y == −1, 7x2 y − 3 — 3-й степінь; 1 5 5 8 1 abc + a2b − 0, 8abc − 1 a2b = 0, 4abc + a2b − a2b = 2 6 6 6 3 3 1 = − a2b + 0, 4abc == 0, 4abc − a2b == 0, 4abc − 0, 5a2b — 3-й степінь; 6 2 в) 3x2 ⋅ 0, 4x − 0, 9x3 + x ⋅ 4y − 2xy == 1, 2x3 − 0, 9x3 + 4xy − 2xy == 0, 3x3 + 2xy —
3-й степінь;
г) 7a5b − 4b5a + 8a5b − 3a5 − 5ab5 == 15a5b − 9ab5 − 3a5 — 6-й степінь.
АЛГЕБРА
б)
349. а) −3, 5ab − a2b + 3 + ab + 3a2b == 2a2b − 2, 5ab + 3 — 3-й степінь; 3 4 4 б) −5c3d − 2c2dc + 4 c3d − 1 == − c3d − 2c3d − 1 == −2 c3d − 1 — 4-й степінь. 7 7 7 350. а) x = −1, 2 ;
6x4 − 4x2 − 8x4 + 3x2 + 2x4 + 1 = 1 − x2 = 1 − ( −1, 2 ) = 1 − 1, 44 = −0, 44 ; 2
б) a = −0, 5 ; b = 2 ; −4a2b3 + 7ab3 − ab3a + b2ab − 8ab3 == −5a2b3 = −5 ⋅ ( −0, 5 ) ⋅ 23 = 2
= −5 ⋅ 0, 25 ⋅ 8 = 10 . 351. а) a = −3 ; 3a7 − 3a4 + 6 − 4a7 + 5a4 + a7 == 2a4 + 6 = 2 ( −3 ) + 6 == 2 ⋅ 81 + 6 = 162 + 6 = 168 ; 4
б) m = −0, 5 ; n = 4 ; 2m4n2 + 4m2n2m2 − 8nm4n + 4m2n == −2m4n2 + 4m2n == 2m2n ⋅ −m2n + 4 = =
(
)
= 2 ( −0, 5 ) ⋅ 4 − ( −0, 5 ) ⋅ 4 + 4 == 2 ⋅ 0, 25 ⋅ 4 ⋅ ( −0, 25 ⋅ 4 + 4 ) = = 2
2
= 2 ⋅ ( −1 + 4 ) = 2 ⋅ 3 = 6 .
(
)
352. а) x = 100a + 10b + c ; б) x = 1000m + 100n + k . 353. а) x = 10a + b ; б) x = 1000a + 10b + c . 354. x = a + 10a + 102 a + 103 a + + 10n 1 a . 355. Перевіримо припущення, що 4x2 + 2x + 11 = 2y при x = 2n і x = 2n + 1 , де n — ціле число.
(
)
4 ( 2n ) + 2 ( 2n ) + 11 == 4 ( 2n ) + 2 ( 2n ) + 10 + 1 = 2 2 ( 2n ) + ( 2n ) + 5 + 1 — число непарне; 2
2
2
4 ( 2n + 1 ) + 2 ( 2n + 1 ) + 11 == 4 ( 2n + 1 ) + 2 ( 2n + 1 ) + 10 + 1 = 2
(
2
)
= 2 2 ( 2n + 1 ) + ( 2n + 1 ) + 5 + 1 — число непарне, отже не існує жодних цілих значень x, при яких 4x2 + 2x + 11 = 2y . 2
356. Нехай x5 − 7x2 + 1 = 0 , при x = n , де n — ціле число, n5 − 7n2 + 1 = 0 7n2 > n5 = 1 n2 7 − n3 = 1
(
)
63
1 1 , при умові, що n — ціле число, 7 − n3 і 2 теж цілі числа, n2 n звідки n = 1 , або n = −1 . Однак, якщо n = 1 або n = −1 , то данна рівність 7 − n3 =
АЛГЕБРА
неправильна, отже x5 − 7x2 + 1 ≠ 0 , що треба було довести. 358. а) б) в) г)
4a − 3 + ( 3a + 5 − 2a ) == 4a − 3 + 3a + 5 − 2a == 5a + 2 ; 2x + 12 − ( 4x + 12 − 3x ) == 2x + 12 − 4x − 12 + 3x = x ; ( −3a + 4b ) − ( 2a − 1 ) + 6b == −3a + 4b − 2a + 1 + 6b == −5a + 10b + 1 ; ( −4x + 4 ) − ( 3x − y ) − ( 2 + 2y ) == −4x + 4 − 3x + y − 2 − 2y == −7x − y + 2 .
359. а) 4 − 3y = 2 ( 3y + 11 ) 4 − 3y = 6y + 22 9y = −18 y = −18 : 9 y = −2 ;
б)
0, 5 ( 9z + 2 ) = 7z + 2, 5 4, 5z + 1 − 7z = 2, 5 −2, 5x = 1, 5 x = 1, 5 : ( −2, 5 ) x = −0, 6 ;
г) 2 ( −4x + 4 ) − 3 ( 3x − 2 ) − 3x = −1 −8x + 8 − 9x + 6 − 3x = −1 20x = 14 7 x= . 10
в) −1, 2 ( m − 1 ) + 0, 7 = m + 0, 8 −1, 2m + 1, 2 + 0, 7 − 0, 8 = m 2, 2m = 1, 1 m = 1, 1 : 2, 2 m = 0, 5 ;
360. Vтеч = 2, 4 км/год, Vвл = x км/год, Vза теч = x + 2, 4 км/год, Vпр. теч = x − 2, 4 км/год, tза теч = 2, 5 год, tпр. теч = 2 год, S = 84 км. 2, 5 ( x + 2, 4 ) + 2 ( x − 2, 4 ) = 84 2, 5x + 6 + 2x − 4, 8 = 84 4, 5x = 84 − 1, 2 4, 5x = 82, 8 x = 82, 8 : 4, 5 x = 18, 4 (км/год) — власна швидкість. Відповідь: 18,4 км/год.
( ( (
) ( ) ( ) (
) ) )
( (
) ( ) (
) )
363. а) 3x2 + 2x − 5 + 2x2 − 2x + 3 == 3x2 + 2x − 5 + 2x2 − 2x + 3 == 5x2 − 2 ; б) 3x2 + 2x − 5 − 2x2 − 2x + 3 == 3x2 + 2x − 5 − 2x2 + 2x − 3 == x2 + 4x − 8 ; в) 2x2 − 2x + 3 − 3x2 + 2x − 5 == 2x2 − 2x + 3 − 3x2 − 2x + 5 == −x2 − 4x + 8 . 364. а) 6y2 − 4y + 3 + 5y2 + 6y − 3 == 6y2 − 4y + 3 + 5y2 + 6y − 3 == 11y2 − 2y ; 6y2 − 4y + 3 − 5y2 + 6y − 3 == 6y2 − 4y + 3 − 5y2 − 6y + 3 == y2 − 10y + 6 . 365. а) б) в) г) 64
( 2a
) (
)
− 4a2 + a + a3 + 3a2 − 2a + 2 == 2a3 − 4a2 + a + a3 + 3a2 − 2a + 2 = = 3a − a2 − a + 2 ; ( 5x + 2 ) + −x2 + 4x − 3 + 3x2 − 4 == 5x + 2 − x2 + 4x − 3 + 3x2 − 4 = = 2x2 + 9x − 5 ; a2 − 2ab + b2 + a2 + 2ab + b2 == a2 − 2ab + b2 + a2 + 2ab + b2 == 2a2 + 2b2 ; ( 4xy − 6x ) + ( 2x − 6xy ) + ( −xy − x ) == 4xy − 6x + 2x − 6xy − xy − x = = −3xy − 5x . 3
3
(
(
) (
) (
)
)
( (
) (
)
366. а) −3x4 + 5x2 − 5 + x4 − 3x2 + 4 == −3x4 + 5x2 − 5 + x4 − 3x2 + 4 == −2x4 + 2x2 − 1 ; б) −2b2 − 3 + 3b2 + 2 + −2b2 + 1 == 2b2 − 3 + 3b2 + 2 + 2b2 + 1 == −b2 .
(
) (
)
) (
)
367. а) 3c3 + 3c2 − 4c + 1 − 2c3 − 3c2 + c − 5 == 3c3 + 3c2 − 4c + 1 −−2c3 + 3c2 − c + 5 = = c3 + 6c2 − 5c + 6 ; б) 5x3 − 4x2 + 3x − 4 − 7x3 − 4x2 + 3x + 11 == 5x3 − 4x2 + 3x − 4 − −7x3 + 4x2 − 3x − 11 == −2x3 − 15 ; в) 2a2 − 8a + 5 − 2a2 − 2a − 5 == 2a2 − 8a + 5 − 2a2 + 2a + 5 == −6a + 10 ; г) −a4 + 3a2 + 3 − 2a4 − 5 + 3a3 == −a4 + 3a2 + 3 − 2a4 + 5 − 3a3 = = −3a4 − 3a3 + 3a2 + 8 .
(
) (
( (
368. а) б) в)
)
) ( ) (
( 4x
)
)
) (
АЛГЕБРА
) (
)
+ 3x2 + x − 4 − 2x3 − x2 + 2x + 7 == 4x3 + 3x2 + x − 4 − −2x3 + x2 − 2x − 7 = = 2x + 4x2 − x − 11 ; −4m3 + 4m2 + m − 1 − −4m3 + 4m2 + m + 1 == −4m3 + 4m2 + m − 1 + +4m3 − 4m2 − m − 1 == −2 ; 5a2 + 3a + 6 − 8a3 + 2a2 + 6 == 5a2 + 3a + 6 − 8a3 − 2a2 − 6 = = −8a3 + 3a2 + 3a . 3
3
(
) (
(
)
) (
)
369. а) ( a + b ) + ( a − b ) == a + b + a − b = 2a ; ( a + b ) − ( a − b ) == a + b − a + b = 2b ; б) ( a − b ) + ( b − a ) = a − b + b − a = 0 ; ( a − b ) − ( b − a ) = a − b − b + a = 2a − 2b .
(
)
370. а) 4a − 5a2 + 3a − 2 = 4a − 5a2 − 3a + 2 = −5a2 + a + 2 ; б) 4, 5ab + 3a + ( −2, 6ab − 2, 9 ) == 4, 5ab + 3a − 2, 6ab − 2, 9 = 1, 9ab + 3a − 2, 9 ; в) 4m2 − 3m + n − −5m + m2 − 3n = 4m2 − 3m + n + 5m − m2 + 3n = = 3m2 + 2m + 4n ; г) x2 + y − 2x2 − y − −3x2 + y = x2 + y − 2x2 + y + 3x2 − y = 2x2 + y .
(
) (
(
( (
)
) (
)
) ( ) (
) ) (
(
)
371. а) −a + a2 − 3a2 − 2 + 2a = −a + a2 − 3a2 + 2 − 2a = −2a2 − 3a + 2 ; б) 7x3 − 4x − 8x − 3x3 − x3 + x == 7x3 − 4x − 8x + 3x3 − x3 − x == 9x3 − 13x . 372. а) 2x2 − 3x − 2x − 4 + 2x2 = 0 2x2 − 3x − 2x + 4 − 2x2 = 0 −5x = −4 4 x= 5 x = 0, 8 ;
(
)
(
)
б) −x3 − 4 − 4x − x3 + 4 = 0 −x3 − 4 − 4x + x3 − 4 = 0 −4x − 8 = 0 −4x = 8 x = 8 : ( −4 )
x = −2 .
)
373. а) −5x + x2 + 3 − x + x2 = 0 −5x + x2 + 3 − x − x2 = 0 −6x = −3 3 x= 6 x = 0, 5 ;
65
(
)
) (
) (
АЛГЕБРА
б) 3x2 + 4x + 6 − −6x + 3x2 − 2 = 0 3x2 + 4x + 6 + 6x − 3x2 + 2 = 0 10x = −8 x = −0, 8 . 374. а) б)
( −2a b
)
+ ab3 − a2b3 − 3ab3 −− 4ab3 − 4a2b3 = −2a2b3 + ab3 − a2b3 + +3ab − 4ab3 + 4a2b3 = a2b3 ; 3x5 + x4 − 2x − 3x4 + 12 −− 3x5 + 2x 4 − 3 − 3x4 + 2 = = 3x5 + x4 − 2x + 3x4 − 12 −−3x5 − 2x4 + 3 − 3x 4 − 2 = −x 4 − 2x − 11 ; 2 3 3
(
) (
(
) (
))
(
)
(
)
в) 5xy − x2 + 4xy − −x2 + xy == 5xy − x2 + 4xy + x2 − xy = = 5xy − x2 − 4xy − x2 + xy == −2x2 + 2xy ;
(
(
))
г) −4a2 + b + −7b − 2 + a2 − 2a2 − ( b − 1 ) = = −4a2 + b − 7b − 2 + a2 − 2a2 − b + 1 = −3a2 − 6b − 2 − 2a2 + b − 1 = −5a2 − 5b − 3 . 375. а) б)
(
(
)
) (
)
7x4 − 4x2 − x4 + 3x − −3x2 + 8x4 + 2x == 7x4 − 4x2 + x4 − 3x + +3x2 − 8x4 − 2x = −x2 − 5x ; 6ab + 3b2 − 1 + 2b2 − −2ab − 3b2 + 1 = 6ab + 3b2 − 1 − 2b2 + +2ab + 3b2 + 1 == 4b2 + 8ab ;
(
) (
)
(
(
в) 2n2 + 3n − −3n + 1 + 2n2 − n − 1 − n2 −2n2 + n − 1 − n2 == −n2 + 7n − 2 .
(
)
376. а) P + 2x2 + x − 2 = −x2 + 1 P + 2x2 + x − 2 = −x2 + 1 P = −x2 + 1 − 2x2 − x + 2 P = −3x2 − x + 3 ;
(
)
в) 4x2 − 2x + 1 − P = x2 − 2x + 1 P = 4x2 − 2x + 1 − x2 + 2x − 1 P = 3x2 .
(
)
377. P + 2x2 + x − 4 = 3x + 2 P + 2x2 + x − 4 = 3x + 2 P = 3x + 2 − 2x2 − x + 4 P = −2x2 + 2x + 6 .
(
)
378. а) 4x2 − 5x − 10 + x2 = 3x2 4x2 − 5x + 10 − x2 − 3x2 = 0 5x = 10 x = 10 : 5 x =2 ; б) − x4 − 1 − 3 − 5x4 + 4x = 4x 4 + 5 −x 4 + 1 − 3 + 5x 4 − 4x − 4x 4 = 5 −4x = 7 7 x=− 4 66 x = −1, 75 .
(
) (
)
) ) == 2n
2
б)
+ 3n + 3n − 1 −
(
)
P − x2 − 3x + 3 = 3x − 1 P − x2 + 3x − 3 = 3x − 1 P = x2 − 3x + 3 + 3x − 1 P = x2 + 2 ;
)
(
)
АЛГЕБРА
(
379. а) − 1 + 2x − x2 − ( 3x + 5 ) = x2 −1 − 2x + x2 − 3x − 5 − x2 = 0 −5x = 6 6 x=− 5 x = −1, 2 ; б) 2 − −6 + x − 4x3 = 4x3 + x + 4 2 + 6 − x + 4x3 − 4x3 − x − 4 = 0 2x = 4 x =2 . 380. a = 2n , b = 2n + 2 , c = 2n + 4 , де a, b, c, n — цілі числа. a + b + c = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 == 6n + 6 = 6 ( n + 1 ) — ділиться на 6, що й треба було довести. 381. a = 2n + 1 ; b = 2n + 3 ; c = 2n + 5 ; d = 2n + 7 , де a, b, c, d, n — цілі числа. a + b + c + d = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = = 8n + 16 = 8 ( n + 2 ) — ділиться на 8, що й треба було довести. 382. Однаково, при умові, що жодна дівчина не розв’язала задачу. 1 1 1 1 384. а) 18 + = 618 ⋅ + 318 == 6 + 3 = 9 ; 3 6 3 6 1 1 1 1 1 1 б) 24 − + == 12 24 ⋅ − 6 24 ⋅ + 4 24 ⋅ == 12 − 6 + 4 = 10 ; 2 4 6 2 4 6 1 1 в) 0, 5 − ⋅ 30 = 0, 5 ⋅ 30 − 10 30 ⋅ = 15 − 10 = 5 . 3 3 385. а) a2b3 ⋅ 2ab2 = 2a3b5 ;
( ) в) ( −3xy ) ⋅ 2 ( xy ) 2
б) 4a2b ⋅ 2ab2 = 16a4b2 ⋅ 2ab2 == 32a5b4 ; 2
3
2
= −27x3 y6 ⋅ 2x2 y2 == −54x5 y8 .
}
387. Мала — x г 0,35 Велика — x + 120 г x = 0, 35 ( x + x + 120 ) x = 0, 35 + 0, 35x + 42 x − 0, 7x = 42 0, 3x = 42 x = 42 : 0, 3 x = 140 (грн) — маса малої деталі; 140 + ( 140 + 120 ) = 400 (грн) — маса обох деталей разом. Відповідь: 400 грн. 389. а) x ( 2x − 5 ) = 2x2 − 5x ; б) 2a2 ( 5a + 3 ) = 10a3 + 6a2 ;
67
АЛГЕБРА
(
)
в) b 4b2 + 3b = 4b3 + 3b2 ; г) −a2 a2 − 2a + 1 = −a4 + 2a3 − a2 ; д) 4c2 2c3 − c2 + 5 = 8c5 − 4c4 + 20c2 ; е) −ab ( 2a − 3b − 2 ) = −2a2b + 3ab2 + 2ab ; є) x2 − 5x x2 = x4 − 5x3 ; ж) −y3 + 5y3 ( −4y ) = 4y3 ( −4y ) = −16y4 ; з) y2 − x − 3 2xy = 2xy3 − 2x2 y − 6xy .
(
(
390. а) б) в) г) д) е) 391. а) б) в) г)
( (
)
(
) )
)
)
a ( 2a + 3 ) = 2a2 + 3a ; 3x x2 − 4x + 3 = 3x3 − 12x2 + 9x ; −2b b2 + 2b − 3 = −2b3 − 4b2 + 6b ; 3c2 −2c4 + c2 + 3 = −6c6 + 3c4 + 9c2 ; −3n2 + 2n 2n = −6n3 + 4n2 ; 2a2 − 2a + 5 ( −3a ) = −6a3 + 6a2 − 15a .
(
) )
( (
( (
)
)
)
−x ( 4x − 3 ) + 3 == −4x2 + 3x + 3 ; ( 5a + 2 ) ( −4a ) + 10a2 == −20a2 − 8a + 10a2 == −10a2 − 8a ;
( (
)
a2 2a3 + a − 2a3 == 2a5 + a3 − 2a3 == 2a5 − a3 ; 4x 2x − 3x2 − 8x2 − 2x == 8x2 − 12x3 − 8x2 − 2x == −12x3 − 2x .
)
392. а) −3a2 ( a − 1 ) − 3a2 == −3a3 + 3a2 − 3a2 == −3a3 ; б) 2b 3b2 − 2 − 2b3 + 1 == 6b3 − 4b − 2b3 + 1 == 4b3 − 4b + 1 .
(
393. а) б) в) г)
)
a ( 2a + b ) − ab == 2a2 + ab − ab = 2a2 ; 4y ( 2x − y ) − 8xy + 2y2 = 8xy − 4y2 − 8xy ++2y2 = −2y2 ; 2 4m2 − 3 + m ( −8m − 3 ) == 8m2 − 6 − 8m2 − 3m == −3m − 6 ; −x ( 2x − y ) − −2x2 + xy == −2x2 + xy + 2x2 − xy = 0 .
(
(
)
)
(
)
394. а) c c2 + 3c − 3c2 == c3 + 3c2 − 3c2 = c3 ; б) −5x x2 + 3x − 4 − 20x == −5x3 − 15x2 + 20x − 20x == −5x3 − 15x2 ; в) 2a ( 3a − 4b ) + 8ab − 2a2 = 6a2 − 8ab + 8ab − 2a2 == 4a2 ;
(
)
г) −4ab + 2a ( 2b + 3 ) − 6a = −4ab + 4ab + 6a − 6a = 0 .
395. а) 2 ( 2x − 1 ) + 3 = x − 2 4x − 2 + 3 = x − 2 3x = −3 x = −1 ;
68
в) −1, 5 ( 6x + 1 ) + 3x = 3 −9x − 1, 5 + 3x = 3 −6x = 4, 5 x = 4, 5 : ( −6 ) x = −0, 75 ;
б)
9 − 4 (1 − 2x ) = 10x 9 − 4 + 8x = 10x 2x = 5 x = 5:2 x = 2, 5 ;
г)
4x ( 1 − 2x ) + 8x2 = 24 4x − 8x2 + 8x2 = 24 4x = 24 x = 24 : 4 x =6 .
(
б)
) ( ) (
)
24 − 2 ( 2x + 6 ) = x 24 − 4x − 12 = x 5x = 12 x = 12 : 5 x = 2, 4 .
397. а) 2a −a + 2a2 − 4 a3 + 2a − 2 == −2a2 + 4a3 − 4a3 − 8a + 8 == −2a2 − 8a + 8 ; б) 5x3 3x3 − 2x + 1 − x2 8x2 + 5x == 15x6 − 10x4 + 5x3 − 8x4 − 5x3 == 15x6 − 18x4 ;
(
(
)
)
в) −8m3n mn2 − mn − n2 − ( 2mn ) == −8m4n3 + 8m4n2 + 8m3n3 − 8m3n3 = = −8m4n3 + 8m4n2 ; 1 1 2 1 1 2 г) 2xy2 − x 6x + 6y2 − 1 + x = 2xy2 − ⋅ 2 6 x2 − ⋅ 2 6 xy2 + x + x = 3 3 3 3 3 3 = −2x2 + x ; д) 2ab ( 5c + 2a ) − a ( 4ab − bc ) = 10abc + 4a2b − 4a2b + abc = 11abc ; е) −5x3 y 2x2 y + 4y3x − 4x4 2xy2 − 5y4 = = −10x5 y2 − 20x4 y4 − 8x5 y2 + 20x 4 y 4 == −18x5 y2 .
(
)
(
)
(
3
АЛГЕБРА
396. а) 2 + 3 ( 5x − 3 ) = 8x 2 + 15x − 9 = 8x 7x = −7 x = −1 ;
(
) (
)
)
398. а) a2 1 + 2a + b2 − a2b2 + a2 == a2 + 2a3 + a2b2 − a2b2 − a2 = 2a3 ; б) 4xy ( 2x − y ) − 2x ( 4xy − 1 ) == 8x2 y − 4xy2 − 8x2 y + 2x = −4xy2 + 2x;
(
) (
)
2
в) −2m2n3 4mn2 − 8m2n − 4m2n2 == −8m3n5 + 16m4n4 − 16m4n4 == −8m3n5 ; 2 2 2 3 2 2 г) ab 6a2 − ab − 4a3 ( a + b ) = ⋅ 6 a b − a2b2 − 4a4 − 4a3b = − a2b2 − 4a4 . 3 3 3 3
(
)
(
)
399. x2 ( x − 2 ) − x x2 + 2 + 2x ( 1 + x ) + 3 = x3 − 2x2 − x3 − 2x ++2x + 2x2 + 3 = 3 , отже при всіх значеннях x вираз дорівнює 3.
(
)
400. x x2 + 2y − y ( y + x ) + y ( y − x ) == x3 + 2xy − y2 − xy + y2 − 2xy = x3 , отже значення виразу не залежить від y.
(
)
(
)
401. Нехай a = −x , тоді a2 a3 − a2 + a − 1 −−a a4 − a3 + a2 − a + 1 == a5 − a4 + a3 − a2 − −a5 + a4 − a3 + a2 − a == −a = − ( −x ) = x > 0 , отже a > 0 , що й треба було довести. 402. x ( x − y + xz ) + y ( y − z + x ) + z ( z − x + y ) = x2 − xy + xz + y2 − yz + xy + z2 − xz + yz = = x2 + y2 + z2 ≥ 0 , що й треба було довести. 403. а) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) = 0 a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) == ab − ac + bc − ab + ac − bc = 0 , що й треба було довести; б) a b2 − bc + c2 + ab ( c − b ) + ac ( b − c ) = abc a b2 − bc + c2 + ab ( c − b ) + ac ( b − c ) == ab2 − abc + ac2 + abc − ab2 + +abc − ac2 = abc , що й треба було довести; в) x4 x3 − x2 − x3 x4 − x3 ++x2 x5 − x4 − x x6 − x5 = 0 x4 x3 − x2 − x3 x4 − x3 ++x2 x5 − x4 − x x6 − x5 = = x7 − x6 − x7 + x6 + x7 − x6 −−x7 + x6 = 0 , що й треба було довести; г) ab ( c − ab ) + bc ( a − bc ) + ca ( b − ca ) + a2b2 + b2c2 + c2a2 = 3abc ab ( c − ab ) + bc ( a − bc ) + ca ( b − ca ) + a2b2 + b2c2 + c2a2 = abc − a2b2 + abc − −b2c2 + abc − c2a2 ++a2b2 + b2c2 + c2a2 = 3abc .
( (
) )
( (
) )
( (
) )
( (
) )
( (
) )
69
АЛГЕБРА
404. а) x ( x − yz ) + y ( y − zx ) + z ( z − xy ) + 3xyz = x2 + y2 + z2 x ( x − yz ) + y ( y − zx ) ++z ( z − xy ) + 3xyz = = x2 − xyz + y2 − xyz + z2 − xyz + 3xyz = x2 + y2 + z2 , що й треба було довести; б) a a4 − 2a3 + 3a2 − a2 a3 − a2 + 2a ++a3 ( a − 1 ) = 0 a a4 − 2a3 + 3a2 − a2 a3 − a2 + 2a ++a3 ( a − 1 ) == a5 − 2a4 + 3a3 − a5 + + a4 − 2a3 + a4 − a3 = 0 , що й треба було довести.
( (
) )
( (
) )
405. а) 5 ( 3x − 6 ) + 4 ( 3 − 2x ) = 5x − 8 15x − 30 + 12 − 8x = 5x − 8 7x − 5x = 18 − 8 2x = 10 x = 10 : 2 x =5 ; б) 0, 4 ( 2x − 7 ) + 1, 2 ( 3x + 0, 7 ) = 1, 6x 0, 8x − 2, 8 + 3, 6x + 0, 84 = 1, 6x 4, 4x − 1, 6x = 1, 96 2, 8x = 1, 96 x = 1, 96 : 2, 8 x = 0, 7 ; в) x 3 + 2x + 4x2 − 2x2 ( 2x + 1 ) = 9 3x + 2x2 + 4x3 − 4x3 − 2x2 = 9 3x = 9 x = 9:3 x =3 ; г) 2, 5x − 2x ( 1, 5x + 1 ) = 1 − 3x2 2, 5x − 3x2 − 2x + 3x2 = 1 0, 5x = 1 x = 1 : 0, 5 x =2 .
(
)
406. а ) −5 ( 4x + 3 ) + 3x = −12 ( x − 5 ) −20x − 15 + 3x = −12x + 60 −17x + 12x = 60 + 15 −5x = 75 x = 75 : ( −5 ) x = −15 ;
(
)
в) 3x2 ( x + 1 ) − 3x3 + 3x2 + x − 1 = 0 3x3 + 3x2 − 3x3 − 3x2 − x + 1 = 0 x = 1 ; 1 − x 2 2x + 4 21 − = 6 9 9 3 (1 − x ) − 2 ( 2x + 4 ) − 2 =0 18 3 − 3x − 4x − 8 − 2 = 0 −7x = 7 x = −1 ; 3
407. а)
70
б) 9 ( x − 3 ) − 4 ( 7 − 3x ) − 3 = −8x 9x − 27 − 28 + 12x − 3 = −8x 29x = 58 x = 58 : 29 x =2 ;
(
)
г) 1, 2x ( x + 2 ) − 3 0, 4x2 + 1 = 0, 6 1, 2x2 + 2, 4x − 1, 2x2 − 3 = 0, 6 2, 4x = 3, 6 x = 3, 6 : 2, 4 x = 1, 5 .
4x + 1 3x − 3 2x + 3 = + =0 36 12 18 4x + 1 − 3 ( x − 3 ) − 2 ( x + 3 ) =0 36 4x + 1 − 3x + 9 − 2x − 6 = 0 x=4.
2 + 3x 31 7 − 2x + = 3 2 6 7 − 2x − 2 ( 2 + 3x ) 3 =0 6 7 − 2x − 4 − 6x − 3 = 0 −8x = 0 x=0; 3 x 2 2x − 5 3x + 2 б) − = − 4 6 12 2 ( 2x − 5 ) − 3x + 2 + 3x =0 12 4x − 10 − 3x + 2 + 3x = 0 4x = 8 x = 8:4 x =2 . 2
408. а)
АЛГЕБРА
б)
409. a + b = 10 , ab + a2 = 15 , b = 10 − a , a ( 10 − a ) + a2 = 15 10a − a2 + a2 = 15 10a = 15 a = 15 : 10 a = 1, 5 b = 10 − 1, 5 = 8, 5 . Відповідь: 1,5; 8,5. 410. a1 = x ; b1 = 2, 4a = 2, 4x ; S1 = a1 ⋅ b1 = 2, 4x ⋅ x = 2, 4x2 ; a1 = x + 2 ; b2 = 2, 4x ; S2 = a2 ⋅ b2 = 2, 4x ( x + 2 ) = 2, 4x2 + 4, 8x S2 − S1 = 24 см2 2, 4x2 − 2, 4x2 + 4, 8x = 24 4, 8x = 24 x = 24 : 4, 8 x = 5 (см) — ширина; 2, 4 ⋅ 5 = 12 (см) — довжина; S = 5 ⋅ 12 = 60 (см2). Відповідь: 60 см2. 411. I д: a1 = x ; b1 = 2x ; II д: a2 = x ; b2 = 2x + 4 ; III д: a3 = x + 4 ; b3 = 2x ;
71
АЛГЕБРА
S = ab ; S3 − S2 = a3b3 − a2a2 = 40 (м2) S3 − S2 = 2x ( x + 4 ) − x ( 2x + 4 ) = 40 2x2 + 8x − 2x2 − 4x = 40 4x = 40 x = 40 : 4 x = 10 (м) — ширина першої ділянки; S1 = 10 ⋅ 2 ⋅ 10 = 200 (м2) — площа першої ділянки. Відповідь: 200 м2.
( (
) )
( (
)
412. а) xn+2 xn+3 − 1 − xn xn+5 − x2 == x2n+5 − xn+2 − x2n+5 + xn+2 = 0 ; б) an+1 an+1 − 4 − an an+2 − 4a + 1 == a2n+2 − 4an+1 − a2n+2 + 4an+1 − an = −an ;
( (
) ))) == x ( x ( x + x − x + x ) ) = ) == x + x = x ( x + x ) . + 10 ) −− ( 1 + a + a + + a + a ) == a − 1 + a ) − ( 1 + a + a + …+ a + a ) =
(
в) xn x n+1 xn+2 + xn+1 x2 − x + 1
(
= xn x2n+4 + x2n+2
( (
3 n+4
n
3n+2
3n
n+1
n+2
4
2
n+3
n+2
n+1
10 2 9 10 11 413. a 1 + a + a2 + …+ a9 2 9 10 2 9 10 a 1 + a + a + …+ a = a + a2 + a3 + a9 + a10 + a11 − 1 − a − a2 − a3 − a9 − a10 == a11 − 1 , що й треба було довести.
( (
) )
( (
) )
414. 3xn+2 yn+1 2x2 y3 − 4xy + 6 −−2xn+1yn 3x3 y4 − 6x2 y2 + 9xy = 0 3xn+2 yn+1 2x2 y3 − 4xy + 6 −−2xn+1yn 3x3 y4 − 6x2 y2 + 9xy = = 6xn+4 yn+4 − 12xn+3 yn+2 + 18xn+2 yn+1 −−6xn+4 yn+4 + 12x n+3 yn+2 −18xn+2 yn+1 = 0 , що й треба було довести. 415. Булочка — x коп; Пиріжок — x + 10 коп; Дівчата — a; Хлопці — b; ax + b ( x + 10 ) — витратили фактично разом хлопці і дівчата; a ( x + 10 ) + bx — мали б витратити хлопці та дівчата разом за умови обміну продуктами. ax + bx + 10b − ( ax + 10a + bx ) = 50 ax + bx + 10b − ax − 10a − bx = 50 10 ( b − a ) = 50 b − a = 50 : 10 b − a = 5 (осіб) — більше хлопців. Відповідь: хлопців більше на 5 осіб. 416.
72
3−x — частка спирту в суміші; 3 3−x в 3 л суміші — 3 л спирту; 3 3−x x л спирту; в x л суміші — 3 3 − x суміші:
3 (3 − x ) − x (3 − x ) 3−x 9 − 3x − 3x + x2 9 − 6x + x2 3−x == == = 3− x == 3 3 3 3 3 1 2 = x − 2x + 3 — залишок спирту в банці. 3 1 Відповідь: x2 − 2x + 3 . 3
АЛГЕБРА
417. V1 = x км/год; t1 = 1, 5 год V2 = x + 15 км/год; t2 = 1, 2 год 1, 5x = 1, 2 ( x + 15 ) 1, 5x = 1, 2x + 18 1, 5x − 1, 2x = 18 0, 3x = 18 x = 18 : 0, 3 x = 60 (км/год) — швидкість першого автомобіля; S = Vt = 60 ⋅ 1, 5 = 90 км. Відповідь: 90 км. 418. Vф = x км/год; tф = 2, 5 год Vавт = 1, 2x км/год; tавт = 2, 5 год S = Vфtф + 30 = Vавтtавт 2, 5x + 30 = 1, 2x ⋅ 2, 5 3x − 2, 5x = 30 0, 5x = 30 x = 30 : 0, 5 x = 60 (км/год) — швидкість фургона; 60 ⋅ 2, 5 + 30 = 180 (км) — відстань між містами. Відповідь: 180 км. 419. x — кількість піратів; x = 1, 2 x − 10 1, 2 ( x − 10 ) = x 1, 2x − 12 − x = 0 0, 2x = 12 x = 12 : 0, 2 x = 60 (ос.) — було піратів. Відповідь: 60 піратів. 423. а) ( x + 2 ) ( y + z ) = xy + xz + 2y + 2z ; б) ( b + a ) ( c − 3 ) = bc − 3b + ac − 3a ; в) ( m − 4 ) ( n + k ) = mn + mk − 4n − 4k ; г) ( a − b ) ( x − y ) = ax − ay − bx + by ; д) ( 2a − 3b ) ( 2c + 5 ) = 4ac + 10a − 6bc − 15b ; е) ( 4a + 6b ) ( 3a − 2c ) = 12a2 − 8ac + 18ab − 12bc ; є) ( x + y ) ( a − 5b + 2 ) = ax − 5bx + 2x + ay − 5by + 2y ; ж) ( 2 − c ) ( a − b − 2 ) = 2a − 2b − 4 − ac + bc + 2c ; з) ( m − n + 1 ) ( k + l ) == km − kn + k + lm − ln + l. ln + l 424. а) б) в) г) д) е)
( a + b ) ( c + 3 ) = ac + 3a + bc + 3b ; ( 2x + y ) ( 3 − 3z ) = 6x − 6xz + 3y − 3yz ; ( a − 2b ) ( 3x − 4y ) = 3ax − 4ay − 6bx + 8by ; ( m + n ) ( a − b + 1 ) = am − bm + m + an − bn + n ; ( a + b − 2 ) ( c + 5 ) = ac + 5a + bc + 5b − 2c − 10 ; ( 2x − y − 1 ) ( a − 3b ) = 2ax − ay − a −−6bx + 3by + 3b .
73
АЛГЕБРА
425. а) б) в) г) д) е)
( a + 3 ) ( 4a − 3 ) = 4a2 − 3a + 12a − 9 == 4a2 − 9a − 9 ; ( 5b − 4 ) ( 3b − 2 ) = 15b2 − 10b − 12b + 8 == 15b2 − 22b + 8 ; ( a2 + 3a − 4 ) ( 3a − 2 ) = 3a3 + 9a2 − 12a − 2a2 − 6a + 8 = 3a3 + 7a2 − 18a + 8 ; ( n − m ) ( n + 4m ) == n2 + 4mn − mn − 4m2 == n2 − 4m2 + 3mn ; ( a − 6b ) ( 2a − b ) = 2a2 − ab − 12ab + 6b2 == 2a2 − 13ab + 6b2 ; ( 4c − 3d ) ( 3c + d ) = 12c2 + 4cd − 9cd − 3d2 == 12c2 − 5cd − 3d2 .
426. а) б) в) г)
( a − 2 ) ( a + 3 ) = a2 + 3a − 2a − 6 = a2 + a − 6 ; ( 3x + 2 ) ( 2x − 1 ) = 6x2 − 3x + 4x − 2 == 6x2 + x − 2 ; ( a + 5b ) ( a − b ) == a2 − ab + 5ab − 5b2 == a2 + 4ab − 5b2 ; ( 4x − 3y ) ( x − 2y ) = 4x2 − 8xy − 3xy + 6y2 == 4x2 − 11xy + 6y2 .
427. а) б) в) г) д) е)
( 3a − 4 ) ( 2a + 1 ) + 5a == 6a2 + 3a − 8a − 4 + 5a == 6a2 − 4 ; ( y + 3 ) ( y − 4 ) − y ( y − 1 ) == y2 − 4y + 3y − 12 − y2 + y == −12 ; ( 2x − 5 ) ( 2x + 3 ) − 4 ( x2 − x ) == 4x2 + 6x − 10x − 15 − 4x2 + 4x == −15 ; ( a2 + a − 2 ) ( a + 3 ) + 6 − 4a2 == a3 + a2 − 2a + 3a2 + 3a − 6 + 6 − 4a2 = a3 + a ; ( a + b ) ( a − 3b ) + 2ab == a2 − 3ab + ab − 3b2 + 2ab == a2 − 3b2 ; ( −x + 4y ) ( 2x − y ) + 2x2 − 9xy == −2x2 + xy + 8xy − 4y2 + 2x2 − 9xy == −4y2 .
428. а) б) в) г)
( x + 2 ) ( 2x + 3 ) − 2x2 = 2x2 + 3x + 4x + 6 − 2x2 == 7x + 6 ; ( a − 4 ) ( 3a − 4 ) + 16a − 16 == 3a2 − 4a − 12a + 16 + 16a − 16 == 3a2 ; ( a + 2b ) ( 3a − 4b ) + 3ab − 3a2 == 3a2 − 4ab + 6ab − 8b2 + 3ab − a2 == 5ab − 8b2 ; −7mn + ( m + 5n ) ( 2m − 3n ) == −7mn + 2m2 − 3mn + 10mn − 15n2 == 2m2 − 15n2 .
429. а) ( x − 1 ) ( x + 2 ) − x2 = 3 , x2 + 2x − x − 2 − x2 = 3 , x = 5 ; б) ( 2y − 1 ) ( 2 − y ) + 2y2 = 1 4y − 2y2 − 2 + y + 2y2 = 1 5y = 3 3 y= . 5 430. а) ( x + 3 ) ( x − 1 ) − x2 = 5 x2 − x + 3x + 3 − x2 = 5 2x = 2 x =1; б) 5x2 + ( 1 − x ) ( 5x + 2 ) = 5 5x2 + 5x + 2 − 5x2 − 2x = 5 3x = 3 x =1. 431. а) б) в) г) 74
( −3a + 2 ) ( 2a2 + 2a − 3 ) ==
6a3 − 6a2 + 9a + 4a2 + 4a − 6 == −6a3 − 2a2 + 13a − 6 ; 3x2 − 2x + 1 2x2 + 5x == 6x4 − 4x3 + 2x2 + 15x3 − 10x2 + 5x = = 6x4 − 11x3 − 8x2 + 5x ; n2 − n + 3 n2 + 2n + 2 == n4 + 2n3 + 2n2 − n3 − 2n2 − 2n + 3n2 + 6n + 6 = = n4 + n3 + 3n2 + 4n + 6 ; 2b2 − 3b − 2 4b2 + b − 4 = = 8b4 + 2b3 − 8b2 − 12b3 − 3b2 + 12b − 8b2 − 2b + 8 == 8b4 − 10b3 − 19b2 + 10b + 8 ;
( ( (
)(
)(
)
)
)(
)
( c + 2 ) ( c + 3 ) ( c − 5 ) == ( c + 2 ) ( c2 − 5c + 3c − 15 ) == ( c + 2 ) ( c2 − 2c − 15 ) =
= c3 − 2c2 − 15c + 2c2 − 4c − 30 == c3 − 19c − 30 ; ( 2x + 1 ) ( 2x − 5 ) x2 + 3x + 2 == ( 2x + 1 ) 2x3 + 6x2 + 4x − 5x2 − 15x − 10 = = ( 2x + 1 ) 2x3 + x2 − 11x − 10 == 4x4 + 2x3 − 22x2 − 20x + 2x3 + x2 − −11x − 10 = 4x4 ++4x3 − 21x2 − 31x − 10 ; 5 1 1 2 1 2 1 5 1 5 1 2 є) x − x + == ⋅ x2 + ⋅ x −− ⋅ x − ⋅ = 6 3 6 9 3 9 6 6 3 6 6 9 3 2 2 2 5 5 2 2 2 − 15 5 2 2 13 5 = x + x− x− = x + x− == x − x− ; 27 54 18 36 27 54 36 27 54 36
(
(
)
(
)
)
3
АЛГЕБРА
д) е)
3
19 3 19 9 1 3 9 20 1 3 2 20 9 2 ж) 2 a + 3 ⋅ a+ 2 ⋅ a− ⋅ = a− == 3 ⋅ 19 a − 9 6 19 19 9 19 6 2 19 9 6 19 20 2 40 + 19 3 20 2 21 1 = a − a − == a −1 a −1 . 57 38 2 57 38 2 432. а) б) в) г)
( 4a + 3 ) ( a2 − 4a + 2 ) == 4a3 − 16a2 + 8a + 3a2 − 12a + 6 == 4a3 − 13a2 − 4a + 6 ;
(b
)(
)
− 2b + 3 3b2 − 2b + 1 == 3b4 − 2b3 + b2 − 6b3 + 4b2 − 2b + 9b2 − 6b + 3 = = 3b4 − 8b3 + 14b2 − 8b + 3 ; ( x − 2 ) ( x + 5 ) ( x − 4 ) == ( x − 2 ) x2 − 4x + 5x − 20 == ( x − 2 ) x2 + x − 20 = = x3 + x2 − 20x − 2x2 − 2x + 40 == x3 − x2 − 22x + 40 ; 2b2 − 3b − 2 4b2 + b − 4 == 8b4 + 2b3 − 8b2 − 12b3 − 3b2 + 12b − 8b2 − 2b + 8 = = 8b4 − 10b3 − 19b2 + 10b + 8 ; 1 2 4 1 2 1 8 2 2 1 4 4 2 д) b − b + 1 == ⋅ b2 + b − ⋅ b − == b + b− ; 3 3 9 3 3 3 27 9 3 9 9 3 2
(
(
)(
)
(
)
)
3 9 2 9 1 7 2 7 1 1 2 1 2 ⋅ x − ⋅ x2 + 2 ⋅ − ⋅ x = е) 1 x + 2 − x == 7 3 7 9 7 4 3 9 4 3 4 9 7 1 2 216 − 49 7 1 2 36 6 7 7 1 167 7 =− x + x− x + == − x + x + == − x2 + x+ . 7 252 6 7 7 36 6 7 252 6
433. а) б) в)
( a + b ) ( a2 + 5ab − b2 ) == a3 − 5a2b − ab2 + a2b + 5ab2 − b3 == a3 − 4a2b + 4ab2 − b3 ; ( 4x2 − 3xy + y2 ) ( 2x − 7y ) == 8x3 − 6x2y + 2xy2 − 28x2y + 21xy2 − 7y3 = = 8x3 − 34x2 y + 23xy2 − 7y3 ; 3n2 − 2mn − m2 ( 3n − 2m ) == 9n3 − 6n2m − 3m2n − 6n2m + 4m2n − 2m3 = = 9n3 − 12n2m + m2n − 2m3 ;
(
)
(
(
)
)
г) ( 3a − 2b ) ( a − 2b ) a2 + 2ab == ( 3a − 2b ) a3 + 2a2b − 2a2b − 4ab2 = = 3a4 − 12a2b2 − 2a3b + 8ab3 .
(
)
434. а) ( 2x + y ) x2 + 2xy − 2y2 = 2x3 + 4x2 y − 4xy2 + x2 y + 2xy2 − 2y3 = = 2x3 + 5x2 y − 2xy2 − 2y3 ; б) ( a − b ) ( a + 2b ) ( 3a − 2b ) = ( a − b ) 3a2 − 2ab + 6ab − 4b2 = ( a − b ) ⋅ 3a2 + 4ab − 4b2 = = 3a3 + 4a2b − 4ab2 − 3a2b − 4ab2 + 4b3 == 3a3 + a2b − 8ab2 + 4b3 .
(
)
(
)
435. а) ( 3a − 1 ) ( 2a + 5 ) + ( 2a − 5 ) ( 3a + 1 ) == 6a2 + 15a − 2a − 5 + 6a2 + 2a − 15a − 5 = = 12a2 − 10 ; б) ( x + 7 ) ( 8x − 1 ) − ( 2x + 3 ) ( 4x − 1 ) == 8x2 − x + 56x − 7 − 8x2 + 2x − 12x + 3 == 45x − 4 ; в) ( a − 2 ) 1 − 2a + 2a2 − 2 a3 − 3a2 − 1 = 75 = a − 2a2 + 2a3 − 2 + 4a − 4a2 − 2a3 + 6a2 + 2 == 5a ;
(
) (
)
(
)
г) a2 − 2ab + 4b2 ( a + 2b ) − a3 − b3 = = a3 − 2a2b + 4ab2 + 2a2b − 4ab2 + 8b2 − a3 − b3 == 7b3 ;
(
)(
)
(
)
АЛГЕБРА
д) 3xy2 − 7x2 y 3xy2 − 2x2 y + ( 3xy ) − 3xy2 = = 9x2 y4 − 6x3 y3 − 21x3 y3 + 14x 4 y2 + 27x3 y3 −−9x2 y4 = 14x 4 y2 . 3
2
436. а) ( 4x − 3 ) ( 3x + 4 ) + ( 2x − 3 ) ( 3x + 1 ) == 12x2 + 16x − 9x − 12 + 6x2 + 2x − 9x − 3 = = 12x2 − 15 ; б) ( 2b − 7 ) ( 4b − 1 ) − ( 8b − 3 ) ( b + 1 ) == 8b2 − 2b − 28b + 7 − 8b2 − 8b + 3b + 3 = = −35b − 10 ; в) ( x + 3y ) x2 − 3xy + 9y2 − 18y3 = = x3 − 3x2 y + 9xy2 + 3x2 y − 9xy2 + 27 y3 − 18y3 == 10y3 ; г) ( a + b ) ( a + b − 1 ) − a ( a − 1 ) − b ( b − 1 ) = = a2 + ab − a + ab + b2 − b − a2 + a − b2 + b == 2ab .
(
)
437. а) ( x − 1 ) ( x − 3 ) = ( x − 2 ) ( x + 3 ) x2 − 3x − x + 3 = x2 + 3x − 2x − 6 4x + x = 9 5x = 9 x = 9:5 x = 1, 8 ; б) ( 2y − 1 ) ( 1 − y ) + ( y + 1 ) ( 2y − 3 ) = 0 2y − 2y2 − 1 + y + 2y2 − 3y + 2y − 3 = 0 2y = 4 y = 4:2 y=2 ; в) ( 0, 5x − 3, 5 ) ( 6x + 2 ) + 30x = 3x ( x − 3 ) − 26 3x2 + x − 21x − 7 + 30x = 3x2 − 9x − 26 19x = −26 + 7 19x = −19 x = −1; 1 1 1 1 1 1 г) x + ( x − 1 ) = x − x + 3 3 3 3 2 6 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 x − x+ x− = x + x− x− 6 6 3 3 6 6 9 9 1 1 1 1 1 1 − x− x+ x+ x=− + 6 6 3 9 9 3 1 2 x= 9 9 2 x = ⋅9 9 x =2 . 438. а) ( x + 6 ) ( x − 4 ) = ( x − 5 ) ( x + 4 ) x2 − 4x + 6x − 24 = x2 + 4x − 5x − 20 3x = 4 4 x= 3 1 x = 1 ; 76 3
АЛГЕБРА
б) ( 0, 5x + 7 ) ( 4x − 1 ) − ( x + 14 ) ( 2x − 1 ) = 9 2x2 − 0, 5x + 28x − 7 − 2x2 + x − 28x + 14 = 9 0, 5x = 9 + 7 0, 5x = 16 x = 16 : 0, 5 x = 32 ; 1 3 1 3 в) x − ( 2x + 3 ) = ( 3x − 1 ) x + 4 4 2 4 3 1 3 3 3 3 1 3 1 1 ⋅ 2x2 + ⋅ 3x − ⋅ 2x − ⋅ 3 == 3 ⋅ x2 + ⋅ 3x − x − − =− — 4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 безліч рішень. 439. а) ( x + 1 ) ( x + 4 ) − ( x + 2 ) ( x + 3 ) == x2 + 4x + x + 4 − x2 − 3x − 2x − 6 == −2 — не залежить від x, що й треба було довести; б) ( 1 − x ) ( 2 − x ) ( 3 − x ) + ( x − 4 ) x2 − 2x + 3 = = ( 1 − x ) 6 − 2x − 3x + x2 + x3 − 2x2 + 3x − 4x2 + 8x − 12 = = 6 − 5x + x2 − 6x + 5x2 − x3 + +x3 − 2x2 + 3x − 4x2 + 8x − 12 = −6 — не залежить від x, що й треба було довести.
(
(
)
(
)
)
(
)
440. ( x − 3 ) x2 + 7x − 3 − ( x + 2 ) x2 + 2x − 28 = x3 + 7x2 − 3x − 3x2 − −21x + 9 − x3 − 2x2 + 28x −−2x2 − 4x + 56 = 65 — не залежить від x, що й треба було довести. 441. ( 2k + 1 ) ( 3k + 2 ) − ( 2k − 1 ) ( 3k − 2 ) = 6k2 + 4k + 3k + 2 − 6k2 + + 4k + 3k − 3 = 14k — ділиться на 14, що й треба було довести. 442. ( 3k + 2 ) ( 4k − 3 ) − ( 2k + 3 ) ( k − 2 ) = 12k2 − 9k + 8k − 6 − 2k2 ++4k − 3k + 6 = 10k2 — ділиться на 10, що й треба було довести.
(
)(
) (
)(
)
443. a2 + 3 a2 − 1 − a2 + 4 a2 − 2 = a4 − a2 + 3a2 − 3 − a4 + 2a2 − 4a2 + 8 = = 5 > 0 , що й треба було довести.
(
) (
)
444. а) ( x + 3 ) x2 − 1 = x2 + 2x − 3 ( x + 1 ) x3 − x + 3x2 − 3 == x3 + 2x2 − 3x + x2 + 2x − 3 x3 + 3x2 − x − 3 == x3 + 3x2 − x − 3 , що й треба було довести; б) ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) == ab ( b − a ) + bc ( c − b ) + ca ( a − c ) ab − ac − b2 + bc ( c − a ) == ab2 − a2b + bc2 − b2c + a2c − ac2 abc − ac2 − b2c + bc2 − a2b + a2c + a2b − abc == ab2 − a2b + bc2 − b2c + a2c − ac2 ab2 − a2b + bc2 − b2c + a2c − ac2 == ab2 − a2b + bc2 − b2c + a2c − ac2 , що й треба було довести.
(
)
(
)
(
)
445. а) ( a + 2 ) a2 − 2a − 3 == ( a − 3 ) a2 + 3a + 2 a3 − 2a2 − 3a + 2a2 − 4a − 6 == a3 + 3a2 + 2a − 3a2 − 9a − 6 a3 − 7a − 6 == a3 − 7a − 6 , що й треба було довести; б) ( a + b ) ( b − c ) − ( a − b ) ( b + c ) == 2 b2 − ac ab + b2 − ac − bc − ab − ac + b2 + bc == 2b2 − 2ac 2b2 − 2ac = 2b2 − 2ac , що й треба було довести.
(
446. Нехай a, b, c — цілі числа b = a +1 ,
)
77
c = a+2
АЛГЕБРА
( a + 1 ) ( a + 2 ) − a2 = 11
a2 + 2a + a + 2 − a2 = 11 3a = 9 a = 9:3 a=3 3 + 1 = 4 — число b; 3 + 2 = 5 — число c. Відповідь: 3; 4; 5. 447. a = x см, b = 1, 8x см a − 2 = x − 2 , b + 3 = 1, 8x + 3 S = ab x ⋅ 1, 8x − ( x − 2 ) ( 1, 8x + 3 ) = 9 1, 8x2 − 1, 8x2 − 3x + 3, 6x + 6 = 9 0, 6x = 3 x = 3 : 0, 6 x = 5 (см) — ширина прямокутника; 1, 8 ⋅ 5 = 9 (см) — довжина прямокутника. Відповідь: 5 см; 9 см. 448. a = x см, b = x + 4 см a + 2 = x + 2 , b −1 = x + 4 −1 = x + 3 S = ab ( x + 2 ) ( x + 3 ) − x ( x + 4 ) = 10 x2 + 3x + 2x + 6 − x2 − 4x = 10 x = 4 (см) — ширина прямокутника; 4 + 4 = 8 (см) — довжина прямокутника. Відповідь: 4 см; 8 см. 449. ( x − a ) ( x − b ) ( x − c ) ( x − z ) = 0 .
(
)(
(
)(
)
450. а) an + bn an − bn + 1 − a2n + b2n == a2n − anbn + an + anbn − b2n + bn − a2n + b2n = = an + b n ; б) 1 + 2n+1 5 − 2n+1 + 4n+1 = 5 − 2n+1 + 5 ⋅ 2n+1 − 4n+1 + 4n+1 == 5 + ( 5 − 1 ) 2n+1 = = 5 + 4 ⋅ 2n+1 = 5 + 2n+3 .
)
( (
) )
451. а) ( a + b + c ) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca == a3 + b3 + c3 − 3abc ; ( a + b + c ) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca == a3 + ab2 + ac2 − a2b − abc − −a2c + a2b + b3 + bc2 −−ab2 − b2c − abc + a2c + b2c + c3 − abc − bc2 − ac2 = = a3 + b3 + c3 − 3abc , що й треба було довести; б) a + b + c = 0 , a = −b − c , a3 + b3 + c3 = 3abc
( −b − c ) + b3 + c3 = 3 ( −b − c ) bc ( −b − c ) ( −b − c ) ( −b − c ) + b3 + c3 == −3b2c − 3bc2 ( b2 + bc + bc + c2 ) ( −b − c ) + b3 + c3 == −3b2c − 3bc2 3
78
−b3 − 2b2c − bc2 − b2c − 2bc2 − c3 + b3 + c3 == −3b2c − 3bc2 −3b2c − 3bc2 = −3b2c − 3bc2 , що й треба було довести.
452. а) a = 6n + 2 , b = 6n + 3 , де a, b, n — цілі числа. ab = ( 6n + 2 ) ( 6n + 3 ) == 36n2 + 18n + 12n + 6 == 36n2 + 30n + 6 = = 6 6n2 + 5n + 1 ц — ділиться на 6, що й треба було довести. = б) a = 4n + 1 , b = 4n + 2 , c = 4n + 3 , abc + 2 = ( 4n + 1 ) ( 4n + 2 ) ( 4n + 3 ) + 2 == ( 4n + 1 ) 16n2 + 12n + 8n + 6 + 2 = = 64n3 + 80n2 + 24n + 16n2 + 20n + 6 + 2 == 64n3 + 96n2 + 44n + 8 = = 4 16n3 + 24n2 + 11n + 2 — ділиться на 4, що й треба було довести.
)
(
(
)
)
АЛГЕБРА
(
453. a = x , b = x +1 , c = x+2 , d = x+3 . Порівняємо ad і bc. ad = x ( x + 3 ) = x2 + 3x bc = ( x + 1 ) ( x + 2 ) = x2 + 2x + x + 2 == x2 + 3x + 2 bc − ad = x2 + 3x + 2 − x2 − 3x = 2 , отже bc > ab на 2. 454. a2 = a1 + 1 ; b2 = b1 − 2 S = a1b1 = a2b2 a1b1 = ( a1 + 1 ) ( b1 − 2 ) a1b1 = a1b1 + b1 − 2a1 − 2 a1b1 − a1b1 + b1 = 2a1 + 2 b1 = 2 ( a + 1 ) b1 = 2a2 b1 = 2 , що й треба було довести. a2 456. Ручка — x коп. — 2 шт. 4 грн. 20 коп. Зошит — x −10 коп. — 8 шт. 2x + 8 ( x − 0, 1 ) = 4, 2 2x + 8x − 0, 8 = 4, 2 10x = 5 x = 5 : 10 x = 0, 5 грн. = 50 коп. — коштує ручка. Відповідь: 50 коп.
}
457. Vвл = 15 км/год, Vтеч = x Vза теч = 15 + x , Vпр. теч = 15 − x tза теч = 2 год, tпр. теч = 3 год S = Vt + Vt = 72 км.
(15 + x ) ⋅ 2 + (15 − x ) ⋅ 3 = 72
30 + 2x + 45 − 3x = 72 x = 75 − 72 x = 3 (км/год) — швидкість течії. Відповідь: 3 км/год.
79
АЛГЕБРА
458. Vвл = 19, 2 км/год, Vтеч = 2, 4 км/год 1 tза теч = x год, tпр. теч = x + 20 хв = x + год 3 1 (19, 2 + 2, 4 ) x = (19, 2 − 2, 4 ) x + 3 / 56 168 1 21, 6x = 16, 8x + ⋅ 10 3 21, 6x − 16, 8x = 5, 6 4, 8x = 5, 6 5, 6 7 1 x= = = 1 (год) — час руху катера за течією; 4, 8 6 6 S = Vза теч ⋅ tза теч / 36
1 216 7 252 = ⋅ = = 25, 2 (км) — відстань між пристанями. 6 10 10 6 Відповідь: 25,2 км. 21, 6 ⋅ 1
459. а) 3x − 6 = 9 3x1 − 6 = 9 або 3x1 = 15 x1 = 15 : 3 x1 = 5 б) 2 x − 3 = x 2 x − x =3 x =3 x1 = 3 x2 = −3 ; в) x − 4 = 3 ( 4 − x − 4 ) x − 4 = 12 − 3 x − 4 x − 4 + 3 x − 4 = 12 4 x − 4 = 12 x−4 =3 або x1 − 4 = 3 x1 = 7
г) x ( x − 1 ) = 2 + x 2
x − x =1+ x
3x2 − 6 = −9 3x2 = −3 x2 = −3 : 3 x2 = −1 ;
x2 − 4 = −3 x2 = −3 + 4 x2 = 1 ;
2
2
x = −2 — не має рішень. 460. а) 37 ⋅ 48 + 37 ⋅ 52 = 37 ( 48 + 52 ) == 37 ⋅ 100 = 3700 ; б) 9, 3 ⋅ 5, 6 − 9, 3 ⋅ 5, 5 = 9, 3 ( 5, 6 − 5, 5 ) == 9, 3 ⋅ 0, 1 = 0, 93 ; в) 1, 6 ⋅ 8, 8 − 3, 8 ⋅ 1, 6 = 1, 6 ( 8, 8 − 3, 8 ) == 1, 6 ⋅ 5 = 8 . 461. а) 24a3b4 = 3a2b2 ⋅ 8ab2 ; б) 24a3b4 = 8b3 ⋅ 3a3b ; в) 24a3b4 = −4ab4 ⋅ −6a2 ; 80
( (
) )
г) 24a3b4 = −12a3 ⋅ −2b4 .
464. а) 3a + 3b = 3 ( a + b ) ; б) 3a + 6 = 3 ( a + 2 ) ; в) 9a − 18b = 9 ( a − 2b ) ; г) −6a + 6b = 6 ( −a + b ) ; д) 3y2 + 3y − 6 = 3 y2 + y − 2 ; е) −15c − 10 = 5 ( −3c − 2 ) .
)
АЛГЕБРА
(
465. а) 5a + 5 = 5 ( a + 1 ) ; б) 5a + 15b = 5 ( a + 3b ) ; в) 15x − 25y = 5 ( 3x − 5y ) ; г) 2x − 4y + 8z = 2 ( x − 2y + 4z ) ; д) −7k + 7m = 7 ( − k + m ) ; е) −4m − 2n = −2 ( 2n + n ) . 466. а) 4a + 12 = 4 ( a + 3 ) = 4a + 12 ; б) 5ab + 10a = 5a ( b + 2 ) = 5ab + 10a ; в) 4ab − 2b = 2b ( 2a − 1 ) = 4ab − 2b . 467. а) 2b − 8a = 2 ( b − 4a ) = 2b − 8a ; б) 6xy + 24x = 6x ( y + 4 ) = 6xy + 24x ; в) 9mn − 6m = 3m ( 3n − 2 ) = 9mn − 6n . 468. а) б) в) г)
ax + bx = x ( a + b ) ; ym − yn = y ( m − n ) ; −ca + ca = c ( −a + b ) . − xz − yz = − z ( x + y ) .
469. а) km + kn = k ( m + n ) ; б) −xa + ya = a ( −x + y ) ; в) −bx − ax = −x ( b + a ) ; г) ta − tb = t ( a − b ) . 470. а) 9ax − 9bx = 9x ( a − b ) ; б) 3ay − 6y = 3y ( a − 2 ) ; в) −7ab + 14b = 7b ( −a + 2 ) ; г) 10x2 − 15x3 = 5x2 ( 2 − 3x ) ; д) 32b2 − 24b4 = 8b2 4 − 3b2 ; е) −8c3 − 10c5 = −2c3 4 + 5c2 .
(
)
(
)
471. а) 5xy − 5y = 5y ( x − 1 ) ; б) 8ac − 6ab = 2a ( 4c − 3b ) ; в) c2 + c5 = c2 1 + c3 ; г) 10x2 − 15x3 = 5x2 ( 2 − 3x ) ; д) 15y2 − 12y4 = 3y2 5 − 4y2 ; е) −24n − 18n2 = −6n 4 + 3n2 .
(
)
(
(
)
(
)
)
472. а) a3 + 3a2 − 10a = a a2 + 3a − 10 ; б) 4x5 − 8x3 + 4x2 = 4x2 x3 − 2x + 1 ; в) −9a5 − 27a3 + 18a4 = −9a3 a2 + 3 − 2a .
(
(
)
)
81
(
)
АЛГЕБРА
473. а) 2x4 − x3 − x2 = x2 2x2 − x − 1 ; б) 2c − 4c2 + 8c3 = 2c 1 − 2c + 4c2 ; в) −5b4 + 10b2 + 5b5 = 5b2 −b2 + 2 + b3 .
(
(
)
)
474. а) x = 2, 5 , x3 − 1, 5x2 = x2 ( x − 1, 5 ) == 2, 52 ( 2, 5 − 1, 5 ) = 6, 25 ; б) x = −0, 3 ; y = 10, 3 , xy + y2 = y ( x + y ) = 10, 3 ( −0, 3 + 10, 3 ) = 10, 3 ⋅ 10 = 103 . 475. а) a = 1, 4 2, 4a2 − a3 = a2 ( 2, 4 − a ) = 1, 42 ( 2, 4 − 1, 4 ) = 1, 96 ; б) m = 2, 8 , n = 7, 2 , m2 + mn = m ( m + n ) = 2, 8 ( 2, 8 + 7, 2 ) == 2, 8 ⋅ 10 = 28 . 476. а) x2 − 5x = 0 x ( x − 5) = 0 x1 = 0 або б) 5x2 + 15x = 0 5x ( x + 3 ) = 0 5x = 0 або x1 = 0 477. а) x2 + 2x = 0 x ( x + 2) = 0 x1 = 0 або б) 4x − 2x2 = 0 2x ( 2 − x ) = 0 2x = 0 або x1 = 0
x −5 = 0 x2 = 5 ;
x+3 = 0 x2 = −3 .
x+2 = 0 x2 = −2 ;
2−x =0 x2 = 2 .
a2b3 + ab4 − a2b4 = ab3 ( a + b − ab ) ; 36x4 y3 − 48x6 y4 = 12x 4 y3 3 − 4x2 y ; 24a2b3 − 16a3b3 − 40a3b2 == 8a2b2 ( 3b − 2ab − 5a ) ; −3m4n6 + 1, 2m5n5 − 4, 2m5n6 == 1, 2m4n5 ( −2, 5n + m − 3, 5mn ) ; 2 3 4 2 4 2 3 3 14 2 3 4 2 2 3 2 д) xyz − xyz + x y z == x y z xy − 2z + 7xz2 ; 15 15 15 15 4 8 4 7 е) abc2 + ab2c − 1 a2bc == abc ( c + 2b − 4a ) . 9 9 9 9
478. а) б) в) г)
(
)
(
(
)
)
479. а) 2x4 z3 + 4x 4 z4 − 4x 4 z5 == 2x4 z3 1 + 2z − 2z2 ; б) 45a4b2 − 60a3b3 + 75a2b4 = 15a2b2 3a2 − 4ab + 5b2 ; в) −3, 6m2n5 + 5, 4m3n4 − 9m2n4 == −3, 6m2n4 ( n − 1, 5m + 2, 5 ) ; 6 3 3 5 г) x5 y3z4 − x3 y5z4 + 1 x3 y3z5 = x3 y3z4 2x2 − y2 + 4z . 7 7 7 7
(
)
(
480. а) a ( m + k ) − b ( m + k ) = ( m + k ) ( a − b ) ; б) 2a ( x − y ) + 3 ( x − y ) = ( x − y ) ( 2a + 3 ) ; в) x ( a − 2b + 1 ) + y ( a − 2b + 1 ) == ( a − 2b + 1 ) ( x + y ) ; 82
)
г) m ( a − b ) + 3 ( b − a ) = ( a − b ) ( m − 3 ) ; д) a2 ( n − 3 ) − 5 ( 3 − n ) = ( n − 3 ) a2 + 5 ;
(
)
е) ( x − 2 ) + 4 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x − 2 + 4 ) == ( x − 2 ) ( x + 2 ) ; 2
є) 2x ( a − b ) − ( a − b ) = ( a − b ) ( 2x − a − b ) ; 2
ж) 4x ( a + b ) + 2x ( a + b ) == 2x ( a + b ) ( 2 + a + b ) . 481. а) б) в) г)
m (x − k) − n (x − k) = (x − k) (m − n) ; c ( a + b + 2) + 3 ( a + b + 2) = ( a + b + 2) ( c + 3) ; a (s − t) + b (t − s) = (s − t) (a − b) ; 2 ( a − b ) − x (b − a ) = ( a − b ) (2 + x ) ;
АЛГЕБРА
2
д) ( m − 4 ) − 5 ( m − 4 ) = ( m − 4 ) ( m − 4 − 5 ) == ( m − 4 ) ( m − 9 ) ; 2
е) x ( m − n ) + 2 ( m − n ) = ( m − n ) ( x + 2m − 2n ) . 2
482. а) x = 3 , y = 0, 5 , 3 2 2 2 2 2 2 2 xy − y = y ( 2x − 1) == ⋅ 0, 52 ( 2 ⋅ 3 − 1 ) = ⋅ 5 ⋅ 0, 25 = 0, 5 ; 4 3 5 5 5 3 2 б) a = 2 , b = 1 7 7 1 2 2 1 1 a + ab − 1 a = a ( a + 2b − 4 ) = 3 3 3 3 1 3 3 2 1 17 17 18 17 35 17 = ⋅ 2 2 + 2 ⋅1 − 4 = ⋅ + − 4 == −4 = . 3 7 7 21 7 7 7 3 7 7 21 483. а) m = −0, 5 ; n = 88 2 50 5 2 2 4 2 2 2 m n + m2 = m2 ( n + 2 ) == ( −0, 5 ) ⋅ ( 88 + 2 ) = ⋅ 0, 25 ⋅ 90 = =5 ; 9 9 9 9 9 9 9 2 1 б) x = ; y = 6 3 3 1 2 2 1 1 1 12 1 xy − y +1 y= y ( x − 2y + 12 ) == ⋅ 6 − 2 ⋅ 6 + 12 = 11 11 11 3 3 11 11 3 1 19 2 38 19 36 = ⋅ + 12 == + 12 = ( −12 + 12 ) = 0 . − − 11 3 3 3 33 3 484. а) 4y + 0, 2y2 = 0 0, 2y ( 20 + y ) = 0 0, 2y = 0 або y1 = 0 б) 0, 6x2 − 0, 24x = 0 0, 6x ( x − 0, 4 ) = 0 0, 6x = 0 або x1 = 0 5 2 1 в) x − x=0 6 3 5 2 2 x − x=0 6 6 1 x ( 5x − 2 ) = 0 6 1 або x=0 6 x1 = 0
20 + y = 0 y2 = −20 ;
x − 0, 4 = 0 x2 = 0, 4 ;
5x − 2 = 0 5x = 2 , x2 =
2 . 5
83
АЛГЕБРА
485. а) 0, 4x − 2x2 = 0 0, 4x ( 1 − 5x ) = 0 0, 4x = 0 або x1 = 0
1 − 5x = 0 5x = 1 1 x2 = ; 5
б) 1, 5x + 0, 3x = 0 0, 3x ( 5x + 1 ) = 0 0, 3x = 0 або x1 = 0 2
в)
5x + 1 = 0 5x = −1 1 x2 = − ; 5
3 3 x − x2 = 0 4 7 1 1 3x − x = 0 4 7 3x = 0
або
x1 = 0
1 1 − x=0 4 7 1 1 x= 7 4 7 3 x2 = = 1 . 4 4
486. а) 198 − 197 = 197 (19 − 1 ) = 18 ⋅ 197 — ділиться на 18, що й треба було довести. б) 499 + 4910 = 499 ( 1 + 49 ) = 50 ⋅ 499 — ділиться на 50; в) 3 ⋅ 76 − 75 = 75 ( 3 ⋅ 7 − 1 ) = 20 ⋅ 75 — ділиться на 20; г) 310 + 2 ⋅ 312 + 311 = 310 1 + 2 ⋅ 32 + 3 = 310 ( 1 + 18 + 3 ) = 22 ⋅ 310 — ділиться на 22, що й треба було довести.
(
)
487. а) 119 + 118 = 118 ( 11 + 1 ) = 12 ⋅ 118 — ділиться на 12; б) 512 − 2 ⋅ 510 = 510 52 − 2 == 510 ( 25 − 2 ) = 23 ⋅ 510 — ділиться на 23, що й тре- ба було довести.
(
( (
)
) )
488. а) an + an+2 = an 1 + a2 ; б) 2n+m + 2n = 2n 2m + 1 ;
(
)
в) 4a2n − 4an = 4an an − 1 ;
(
)
г) a2nbn + anb2n = anbn an + bn ;
(
)
д) xn + 2xn+2 + 3x n+3 = x n 1 + 2x2 + 3x3 ;
(
)
е) x2m + 2x m + xm+2 = xm xm + 2 + x2 .
( )
489. а) 15 ⋅ 167 − 414 = 15 ⋅ 167 − 42 == 15 ⋅ 167 − 167 = 167 ( 15 − 1 ) = 14 ⋅ 167 — ділить- ся на 14, що й треба було довести. б) 3 ⋅ 215 + 212 − 214 = 212 3 ⋅ 23 + 1 − 22 == 212 ( 24 + 1 − 4 ) = 21 ⋅ 212 — ділиться на 21, що й треба було довести. 7
(
)
490. а) a + b = 4 , a + b − 4 = 0 a3b2 + a2b3 − 4a2b2 = 0 84 a3b2 + a2b3 − 4a2b2 = a2b2 ( a + b − 4 ) = a2 ⋅ b2 ⋅ 0 = 0 , що й треба було довести.
б) a2 + b2 = 3ab a4b2 + a3b3 + a2b4 = 4a3b3 a4b2 + a3b3 + a2b4 = a2b2 a2 + ab + b2 == a2b2 ( 3ab + ab ) = a2b2 ⋅ 4ab = 4a3b3 , що й треба було довести. в) x + y + 2 = xy x4 y4 − x3 y4 − x4 y3 = 2x3 y3 x4 y4 − x3 y4 − x4 y3 = x3 y3 ( xy − y − x ) == x3 y3 ( ( x + y + 2 ) − y − x ) = 2x3 y3 , що й треба було довести.
)
492. P = a + b + c = 27 см a = 1, 2b ; b = c + 5 ; c = x b = x + 5 ; a = 1, 2 ( x + 5 ) = 1, 2x + 6 1, 2x + 6 + x + 5 + x = 27 3, 2x = 27 − 11 3, 2x = 16 x = 16 : 3, 2 , x = 5 (см) — сторона c; 5 + 5 = 10 (см) — сторона b; 1, 2 ⋅ 10 = 12 (см) — сторона c. Відповідь: 12 см; 10 см; 5 см.
АЛГЕБРА
(
493. 70 км/год — x год 1 75 км/год — x − 20 хв = x − год 3 1 70x = 75 x − 3 75 70x = 75x − 3 5x = 25
x = 25 : 5 , x = 5 (год) — час руху автомобіля; 70 ⋅ 5 = 350 (км) — шлях автомобіля. Відповідь: 350 км.
495. а) б) в) г)
2 + c + d = 2 + (c + d) ; a + b − 4 = a + (b − 4) ; x − y − 3 = x + ( −y − 3) ; 2m − 3n + k = 2m − ( 3n − k ) .
496. а) 2, 3 ⋅ 2, 8 + 0, 33 ⋅ 10, 78 + 2, 3 ⋅ 7, 2 − 0, 33 ⋅ 0, 78 = = 2, 3 ( 2, 8 + 7, 2 ) + 0, 33 (10, 78 − 0, 78 ) == 23 + 3, 3 = 26, 3 ; б) 7, 7 ⋅ 1, 6 − 0, 03 ⋅ 500 + 1, 8 ⋅ 1, 6 + 1, 6 ⋅ 0, 5 == 1, 6 (7, 7 + 1, 8 + 0, 5 ) − 15 = 16 − 15 = 1 1 3 5 2 3 3 1 3 3 2 1 5 3 2 в) 2 ⋅ − 10 ⋅ + 2 ⋅ + 1 ⋅ == 2 + + 10 − 1 = 3 8 8 9 7 7 3 8 7 9 3 8 7 9 1 2 1 1 = 2 − ⋅9 = 2 −2 = . 3 9 3 3 498. а) ax + ay + 4x + 4y == a ( x + y ) + 4 ( x + y ) = ( a + 4 ) ( x + y ) ; б) 7x + by + 7 y + bx == 7 ( x + y ) + b ( x + y ) = (7 + b ) ( x + y ) ; в) 6m − 6n + am − an == 6 ( m − n ) + a ( m − n ) = ( 6 + a ) ( m − n ) ; г) 6m − 6n − am + an == 6 ( m − n ) − a ( m − n ) = ( 6 − a ) ( m − n ) ; д) ma − na + mb − nb == a ( m − n ) + b ( m − n ) = ( a + b ) ( m − n ) ; е) 5a − bx − 5b + ax = 5 ( a − b ) + x ( a − b ) == ( 5 − x ) ( a − b ) ; є) a + 2nb − b − 2na == ( a − b ) − 2n ( a − b ) = ( a − b ) ( 1 − 2n ) ; ж) 4ay + 3 − 3y − 4a == 4a ( y − 1 ) − 3 ( y − 1 ) = ( y − 1 ) ( 4a − 3 ) .
85
АЛГЕБРА
499. а) б) в) г) д) е)
2a + 2b + xa + xb = 2 ( a + b ) + x ( a + b ) = ( 2 + x ) ( a + b ) ; ma − mb + 3a − 3b = m ( a − b ) + 3 ( a − b ) == ( m + 3 ) ( a − b ) ; ka − kb − 5a + 5b = k ( a − b ) − 5 ( a − b ) == ( a − b ) ( k − 5 ) ; 6c − ac − ab + 6b = 6 ( c + b ) − a ( c + b ) == ( c + b ) ( 6 − a ) ; x + y − bx − by = ( x + y ) − b ( x + y ) == ( x + y ) ( 1 − b ) ; 7am − 7m + 5ax − 5x == 7m ( a − 1 ) + 5x ( a − 1 ) = ( a − 1 ) ( 7m + 5x ) .
( ) (
)
500. а) a3 + a2 + a + 1 = a2 ( a + 1 ) + ( a + 1 ) == ( a + 1 ) a2 + 1 ; б) x3 + 4x2 + 2x2 + 8 == x3 x2 + 4 + 2 x2 + 4 = x2 + 4 x3 + 2 ; в) b2 − ab − 2b + 2a == b ( b − 2 ) − a ( b − 2 ) = ( b − 2 ) ( b − a ) ; г) 10x + xy + 10y + x2 == 10 ( x + y ) + x ( x + y ) = ( x + y ) ( 10 + x ) ; д) 3a − ax + 3x − x2 = 3 ( a + x ) − x ( a + x ) == ( 3 − x ) ( a + x ) ; е) xya − xy + 5a − 5 = 5 ( a − 1 ) + xy ( a − 1 ) == ( 5 + xy ) ( a − 1 ) .
(
501. а) б) в) г)
(
) (
)
( )
(
)
(
) (
)(
)
)
x3 + 2x2 + x + 2 = 2 x2 + 1 + x x2 + 1 == x2 + 1 ( 2 + x ) ; a6 + 5a4 + 5a2 + 25 == 5 a2 + 5 + a4 a2 + 5 = a2 + 5 5 + a4 ; a2 + 2ab + 3a + 6b == a ( a + 2b ) + 3 ( a + 2b ) = ( a + 2b ) ( a + 3 ) ; x2 + 3xa − 2x − 6a == 3a ( x − 2 ) + x ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( 3a + x ) .
(
(
) (
)(
)
) (
)
(
)
502. а) a2 + b2 − a3 y − b2ay == a2 + b2 − ay a2 + b2 = a2 + b2 ( 1 − ay ) ; б) b2n + y2 − bny − by == b ( bn − y ) − y ( bn − y ) = ( bn − y ) ( b − y ) ; в) 3a2c + 6a2 − 10bc − 5bc2 == 3a2 ( c + 2 ) − 5bc ( c + 2 ) = ( c + 2 ) 3a2 − 5bc ; г) 12x2 + 18y + 10x3 + 15xy == 6 2x2 + 3y + 5x 2x2 + 3y = = 2x2 + 3y ( 6 + 5x ) ; д) 0, 9ay + 1, 2y2 − 1, 2ax − 1, 6xy == 0, 3a ( 0, 3y − 0, 4x ) + 0, 4y ( 0, 3y − 0, 4x ) = = ( 0, 3y − 0, 4x ) ( 0, 3a + 0, 4y ) ; 3 2 1 12 2 2 4 1 4 е) x yz − x+ xy z − yz == x ( 3xyz − 1 ) + yz ( 3xyz − 1 ) = 17 17 17 17 17 17 4 1 = x+ yz ( 3xyz − 1 ) . 17 17
(
(
)
)
(
)
(
(
)
) (
)(
(
)
)
503. а) x2 y2 + 2y3 − ax2 − 2ay == x2 y2 − a + 2y y2 − a == x2 + 2y y2 − a . б) 2a2b + 2c − 4abc − a == a ( 2ab − 1 ) − 2c ( 2ab − 1 ) == ( a − 2c ) ( 2ab − 1 ) . в) 6x3 y + 12y2z2 + 9y3 + 8x3z2 == 2x3 3y + 4z2 + 3y2 3y + 4z2 = = 2x3 + 3y2 3y + 4z2 ; г) 0, 2mn3 − 1, 5m2 + 0, 6m3n − 0, 5n2 == 0, 2mn n2 + 3m2 − 0, 5 n2 + 3m2 = = ( 0, 2mn − 0, 5 ) n2 + 3m2 .
(
)(
(
504. а) б) в) г) 86
(
)
)
(
)
)
(
)
xa − xb + xc + 3a − 3b + 3c == x ( a − b + c ) + 3 ( a − b + c ) = ( x + 3 ) ( a − b + c ) ; ax2 − ay2 + 4az − 4bx2 + 4by2 − 16bz == a x2 − y2 + 4z − 4b x2 − y2 + 4z = = ( a − 4b ) x2 − y2 + 4z ; −5a − 5b + 3na + 3nb − ma − mb == −5 ( a + b ) + 3n ( a + b ) − m ( a + b ) = = ( a + b ) ( 3n − m − 5 ) ; bn2 + cn2 − bp + bp2 − cp + cp2 == b n2 − p + p2 + c n2 − p + p2 = = ( b + c ) n2 − p + p2 .
(
(
(
)
)
(
)
) (
(
)
)
505. а) a2b + a + ab2 + b + 2ab + 2 == ab ( a + b + 2 ) + ( a + b + 2 ) == ( ab + 1 ) ( a + b + 2 ) ; б) ca − cb + c + ad − bd + d == c ( a − b + 1 ) + d ( a − b + 1 ) = ( c + d ) ( a − b + 1 ) ;
в) 2a3 + 2a2b + 2ab + 2b2 − a − b == 2a2 ( a + b ) + 2b ( a + b ) − ( a + b ) = = ( a + b ) 2a2 + 2b − 1 .
)
506. а) p = 1, 5 ; q = 0, 5 p3 + pq 2 − p2q − q 3 = p2 ( p − q ) + q 2 ( p − q ) = = p2 + q 2 ( p − q ) = ( 1, 5 − 0, 5 ) ( 1, 5 + 0, 5 ) == 2, 25 + 0, 25 = 2, 5 ;
(
)
б) a = 8 ; b = 21 ; 2a3 − 6ab + a2b − 3b2 == −3b ( 2a + b ) + a2 ( 2a + b ) = a2 − 3b ( 2a + b ) = = 82 − 3 ⋅ 21 ( 2 ⋅ 8 + 21 ) = ( 64 − 63 ) ( 16 + 21 ) = 37 ; 2 5 в) x = ; y = ; 7 7 4x3 + 4x2 y − 4x2 + 3y3 + 3x2 − 3y2 = 4x2 ( x + y − 1 ) + 3y2 ( x + y − 1 ) = 2 2 2 5 2 5 = 4x2 + 3y2 ( x + y − 1 ) == 4 ⋅ + 3 ⋅ + − 1 = 0 . 7 7 7 7 507. а) a = 17 ; c = 4 2a2 + ac − 2ac2 − c3 = a ( 2a + c ) − c2 ( 2a + c ) = = a − c2 ( 2a + c ) = 17 − 42 ( 2 ⋅ 17 + 4 ) = 38 . 1 2 б) m = ; n = 3 3 m3 + m2n − 10m + n3 + n2m − 10n == m2 ( m + n ) − 10 ( m + n ) + n2 ( m + n ) = 2 2 1 2 1 2 = ( m + n ) m2 + n2 − 10 == + + − 10 = 3 3 3 3 1 4 5 4 = + − 10 = − 10 = −9 . 9 9 9 9
(
)
(
)
(
(
)
(
(
)
АЛГЕБРА
(
)
)
(
508. a3 − a2 + b3 − b2 + a2b + b2a == a2 ( a + b − 1 ) + b2 ( a + b − 1 ) == a2 + b2
(
) ( a + b − 1) .
)
509. x3 − x2 + 3x − 3 = x2 ( x − 1 ) + 3 ( x − 1 ) == x2 + 3 ( x − 1 ) > 0 x2 + 3 > 0 та x − 1 > 0 x > 1 , що й треба було довести. x2 > −3 — не має рішень.
(
510. 3x3 − 9x2 + 4x − 12 == 3x2 ( x − 3 ) + 4 ( x − 3 ) = 3x2 + 4 3x2 + 4 ( x − 3 ) > 0 3x2 + 4 > 0 та x − 3 > 0 x >3 3x2 > −4 — не має рішень 3x2 + 4 ( x − 3 ) < 0 3x2 + 4 > 0 та x − 3 < 0 x<3 .
(
)
(
)
(
)(
) ( x − 3)
)
511. x2 − x 6 + 5x + x2 = x3 ( x + 4 ) − 5 6x2 + 5x3 + x4 − 6x − 5x2 − x3 = x4 + 4x3 − 5 x2 − 6x = −5 x2 − 6x + 5 = 0 ( x − 1) ( x − 5 ) = 0 x −1 = 0 або x −5 = 0 x1 = 1 x2 = 5 .
87
АЛГЕБРА
512. а) б) в) г)
a2 − 7a + 10 = ( a − 2 ) ( a − 5 ) ; x2 + 5x + 4 = ( x + 1 ) ( x + 4 ) . x2 + 3xy + 2y2 = ( x + y ) ( x + 2y ) ; a2 − 7ab + 12b2 = ( a − 3b ) ( a − 4b ) .
513. а) x2 − 3x + 2 = 0 ( x − 2 ) ( x − 1) = 0 x − 2 = 0 або x1 = 2 б) x2 + 8x + 15 = 0 ( x + 5) ( x + 3) = 0 x + 5 = 0 або x1 = −5
x −1 = 0 x2 = 1 ;
x+3 = 0 x2 = −3 .
514. а) ( x − 2 ) + 6 ( x − 2 ) + 8 = 0 x2 − 4x + 4 + 6x − 12 + 8 = 0 x2 − 2x = 0 x ( x − 2) = 0 x1 = 0 або x −2 = 0 x2 = 2 ; 2
(
)
(
2
)
б) x2 − 5x + 10 x2 − 5x + 24 = 0 x4 − 10x3 + 25x2 + 10x2 − 50x + 24 = 0 x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 = 0 x4 − 7x3 − 3x3 + 12x2 + 21x2 + 2x2 − 36x − 14x + 24 = 0 x2 − 3x + 2 x2 − 7x + 12 = 0 ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) = 0 x − 1 = 0 або x − 2 = 0 або x − 3 = 0 або x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3
(
)(
)
}
516. Товстий зошит — x + 80 к.— 5 шт. 5 грн 60 к. Тонкий зошит — x к. — 3 шт. ( x + 0, 8 ) ⋅ 5 + 3x = 5, 6 5x + 4 + 3x = 5, 6 8x = 5, 6 − 4 8x = 1, 6 x = 1, 6 : 8 x = 0, 2 (грн) — коштує тонкий зошит; 0, 2 + 0, 8 = 1 (грн) — коштує товстий зошит. Відповідь: 1 гривню. 1 517. I полиця — x − x 95 кн. 4
}
88
II полиця — на 5 кн. > 3 3 95 − x − x = 5 4 4 1, 5x = 90 x = 90 : 1, 5 x = 60 (кн.) — було на першій полиці; 95 − 60 = 35 (кн.) — було на другій полиці. Відповідь: 60 книжок; 35 книжок.
x−4 = 0 x4 = 4 .
519. а) б) в) г)
a + b — сума чисел a і b; a − b — різниця чисел a і b; a2 − b2 — різниця квадратів чисел a і b; a2 + b2 — сума квадратів чисел a і b.
520. а) б) в) г)
4a2 − 3a + 1 + a2 − 5a + 7 == 5a2 − 2a + 8 — 2-й степінь; 2x3 + 2 − 2x3 + 5x − 3 + 3x2 == 3x2 + 5x − 1 — 2-й степінь; 3aba − 2a2b + b2a2 + ab ⋅ 4a == b2a2 + 5a2b — 4-й степінь; x2 y − xy2 + 2x − 6xy ( −x ) − 3x == −18x3 y + x2 y − xy2 + 2x — 4-й степінь.
АЛГЕБРА
1 518. 63 га — x −1, 5 т з 1 га; в 1 >раз > 8 53 га — x т з 1 га 1 ( 63 ( x − 1, 5 ) ) : 53x = 1 8 ( 63x − 94, 5 ) : 53x = 1,125 63x − 94, 5 = 1, 125 ⋅ 53x 63x − 59, 625x = 94, 5 3, 375x = 94, 5 x = 94, 5 : 3, 375 x = 28 (т) — врожайність на ділянці площею 53 га; 28 − 1, 5 = 26, 5 (т) — врожайність на ділянці площею 63 га. Відповідь: 28 т; 26,5 т.
521. а) ( 2a + 3 ) + ( 5a − 2 ) = 2a + 3 + 5a − 2 == 7a + 1 ; б) 5x3 − 3x2 + 2x + x3 + 3x2 − 2 == 5x3 − 3x2 + 2x + x3 + 3x2 − 2 = 6x3 + 2x − 2 ; в) 2x2 − 3xy + y2 + x2 + 2xy − y2 == 2x2 − 3xy + y2 + x2 + 2xy − y2 = 3x2 − xy ; г) −x2 − 2x + 3 + 2x2 − 5 + ( −2x + 2 ) = −x2 − 2x + 3 + 2x2 − 5 − 2x + 2 == x2 − 4x .
( ( ( 522. а) ( 3c б) ( 3x
) ( ) ( ) ( − 4c + 1 ) − ( 3c
)
)
)
)
+ c − 5 == 3c2 − 4c + 1 − 3c2 − c + 5 == −5c + 6 ; − 4x + 3x − 4 − −3x3 − 4x2 + 11 = = 3x3 − 4x2 + 3x − 4 + 3x3 + 4x2 − 11 == 6x3 + 3x − 15 ; в) 2a5 − 8a4 + a2 + 5 − −8a4 + a3 − 2a − 5 = = 2a5 − 8a4 + a2 + 5 + 8a4 − a3 + 2a + 5 == −2a5 − a3 + a2 + 2a + 10 ; г) −ab + 3a2b + 3 − 2ab − 5 + 3a2b == −ab + 3a2b + 3 − 2ab + 5 − 3a2b == −3ab + 8 . 2
3
2
) (
2
(
)
) (
(
)
) (
)
523. а) a ( 4a − 3 ) = 4a2 − 3a ; б) 2b b2 + 5b − 2 = 2b3 + 10b2 − 4b ; в) x2 + 3x + 2 2x = 4x3 + 6x2 + 4x ; г) 3c2 + 3c − 2 −2c2 = −6c4 − 6c3 + 4c2 ; д) ( a − 2 ) ( 3a − 4 ) = 3a2 − 4a − 6a + 8 == 3a2 − 10a + 8 ; е) ( n − 2m ) ( n + 2m ) = n2 − 4m2 ; є) ( a − 6 ) 2a2 − a + 3 = 2a3 − a2 + 3a − 12a2 ++6a − 18 = 2a3 − 13a2 + 9a − 18 ; ж) ( 2c − d + 3 ) ( 3c + 2d ) = 6c2 − 3cd + 9c ++4cd − 2d2 + 6d = 6c2 − 2d2 + cd + 9c + 6d .
( (
(
) ) )(
(
524. а) б)
(x
)
)
)(
)
2 − 2x + 1 x2 + x − 4 = x 4 + x3 − 4x2 − −2x3 − 2x2 + 8x + x2 + x − 4 = x4 − x3 − 5x2 ++9x − 4 ; ( x + 2 ) ( 3x − 1 ) ( 2x + 7 ) = ( x + 2 )⋅⋅ 6x2 + 21x − 2x − 7 = 6x3 + 19x2 − 7x + +12x2 + 38x − 14 = 6x3 + 31x2 + 31x − 14 ;
(
)
89
(
)
в) ( m − 4n ) 4m2 + mn − n2 = 4m3 + m2n −−mn2 − 16m2n − 4mn2 + 4n3 = = 4m3 + 4n3 − 15m2n − 5mn2 ; г) −ab2 + 4a3 4a2b + b3 == −4a3b3 − ab5 + 16a5b + 4a3b3 == 16a5b − ab5 .
АЛГЕБРА
(
525. а) б) в) г)
)(
)
( 4 − 3b ) ( b − 3 ) + ( 5b − 4 ) ( 3b − 3 ) =
= 4b − 12 − 3b2 + 9b + 15b2 − 15b − 12b + 12 == 12b2 − 14b ; ( 8 − 2x ) ( 2 + x ) + ( x − 2 ) ( 4 + 2x ) ==16 + 8x − 4x − 2x2 + 4x + 2x2 − 8 − 4x = 4x + 8 ; ab ( 2a − b − 1 ) − ( 2a − 1 ) ( ab − 1 ) = 2a2b − ab2 − ab − 2a2b − 2a − ab + 1 = = 2a2b − ab2 − ab − 2a2b + 2a + ab − 1 == −ab2 + 2a − 1 ; ( n + 2 ) n2 − 2n − 3 − ( n − 3 ) n2 + 3n + 2 == n3 − 2n2 − 3n + 2n2 − 4n − 6 − − n3 + 3n2 + 2n − 3n2 − 9n − 6 == n3 − 7n − 6 − n3 + 7n + 6 = 0 ; д) ( a + b − c ) ( a − b + c ) − ( a − b − c ) ( a + b + c ) = = a2 − ab + ac + ab − b2 + bc − ac + bc − c2 − − a2 + ab + ac − ab − b2 − bc − ac − bc − c2 = = a2 − b2 − c2 + 2bc − a2 + b2 + 2bc + c2 == 4bc ;
(
(
(
)
(
)
)
)
(
)
(
(
(
е) x6 x7 − x8 + x7 x2 − x + 1 = x13 − x15 − x13 + x15 = 0 .
(
) (
))) + x
15
(
(
= x6 x7 − x8 + x9 − x8 + x7
)) + x
15
=
)
526. а) ( a + 1 ) a2 − 4 = a2 − a − 2 ( a + 2 ) a3 − 4a + a2 − 4 = a3 − a2 − 2a + 2a2 − 2a − 4 a3 + a2 + a2 − 4a − 4 = a3 + 2a2 − 4a − 4 a3 + 2a2 − 4a − 4 = a3 + 2a2 − 4a − 4 , що й треба було довести; б) x2 + ( a + b ) x + ab = ( x + a ) ( x + b ) x2 + ax + bx + ab = x2 + ax + bx + ab , що й треба було довести; в) b8 + b4 + 1 = b4 − b2 + 1 b4 + b2 + 1 b4 − b2 + 1 b4 + b2 + 1 = b8 + b6 + b4 − b6 −b4 − b2 + b4 + b2 + 1 = b8 + b4 + 1 , що й треба було довести; г) a4 + a2b2 + b4 = a2 − ab + b2 a2 + ab + b2 a2 − ab + b2 a2 + ab + b2 = a4 + a3b + +a2b2 − a3b − a2b2 − ab3 + a2b2 + ab3 + b4 == a4 + a2b2 + b4 .
( (
( )(
)(
)( )
(
527. а) 4x ( 2x + 1 ) − 8x2 = −4 8x2 + 4x − 8x2 = −4 4x = −4 x = −1 ; в)
2x + 1/ 2 x − 2/ 3 − =2 6 4 4x + 2 − 3x + 6 −2 = 0 12 x + 8 − 24 = 0 x = 16 ;
90
)
)
)(
)
б) ( x + 3 ) ( x − 1 ) + 6 = x2 x2 − x + 3x − 3 + 6 = x2 2x = −3 3 x = − = −1, 5 ; 2 г)
1 − 3x3 5 + 4x2 5/ 4 + =1 8 12 6 3 − 9x + 10 + 8x − 44 =0 24 −x − 31 = 0 x = −31 .
(
)
528. ( 3n + 1 ) ( 2n − 1 ) + n + 7 = 6n2 − 3n + 2n −−1 + n + 7 = 6n2 + 6 = 6 n2 + 1 — ділить ся на 6, що й треба було довести.
530. P1 = 24 см, P1 = 2a1 + 2b1 1 1 a1 = P − b1 = ⋅ 24 − b1 = 12 − b1 , 2 2 S1 = a1b1 = b1 ( 12 − b1 ) = 12b1 − b12 ,
S2 = a2b2 = ( a1 − 2 ) ( b1 + 3 ) == ( 12 − b1 − 2 ) ( b1 + 3 ) = (10 − b1 ) ( b1 + 3 ) =
= 10b1 + 30 − b12 − 3b1 = −b12 + 7b1 + 30 S2 = S1 − 5 −b12 + 7b1 + 30 = 12b1 − b12 − 5 12b1 − 7b1 = 30 + 5 5b1 = 35 b1 = 35 : 5 b1 = 7 (см) — довжина прямокутника; 12 − 7 = 5 (см) — ширина прямокутника. Відповідь: 5 см, 7 см.
(
)
АЛГЕБРА
529. ( 5x + 1 ) ( 5x + 3 ) − 5x ( 5x + 4 ) = 25x2 + 15x ++5x + 3 − 25x2 − 20x = 3 — не залежить від x, що й треба було довести.
531. а) − ( x − 1 ) ( x − 3 ) + x ( x + 1 ) x 4 + 1 = x6 + x5 − x2 − 3x − x + 3 + x x5 + x + x 4 + 1 == x6 + x5 −x2 + 3x + x − 3 + x6 + x2 + x5 + x −−x6 − x5 = 0 5x = 3 x = 3:5 x = 0, 6 ; б) ( 2 x − 3 ) ( 3 x + 2 ) = ( 2 x + 1 ) ( 3 x − 2 ) 6x2 + 4 x − 6 x − 6 = 6x2 − 4 x + 3 x − 2 −2 x + x = 4 − x = 4 — не має рішень; в) xn + x x n + 1 − x n x n + x + 1 = 2x + 1 x2n + xn + x n+1 + x − x2n − x n+1 − x n = 2x + 1 2x + 1 = x 2x − x = −1 x = −1 .
(
(
)
)(
(
)
(
)
)
532. а) 2ax − 2ay = 2a ( x − y ) ; б) 8c4 − 12c2 = 4c2 2c2 − 3 ; в) x4 + 2x3 − 3x2 = x2 x2 + 2x − 3 ; г) −8a3 − 12a2 + 8a = 4a −2a2 − 3a + 2 ; д) −0, 6a3b4 + 0, 4a2b3 = 0, 2a2b3 ( −3ab + 2 ) ; 1 1 1 1 е) xy − xz + 2x2 = x y − z + 4x . 4 2 2 2 533. а) 2a + 2b + xa + xb = 2 ( a + b ) + x ( a + b ) == ( 2 + x ) ( a + b ) ; б) 3x − 3y − ax + ay = 3 ( x − y ) − a ( x − y ) == ( 3 − a ) ( x − y ) ; в) x3 + 2x2 + x + 2 = x2 ( x + 2 ) + 2 ( x + 1) == ( x + 2 ) x2 + 1 ; г) 0, 1x − 0, 2xy + 0, 2y − 0, 4y2 == 0, 1x (1 − 2y ) + 0, 2y ( 1 − 2y ) = = ( 0, 1x + 0, 2y ) (1 − 2y ) ;
(
(
)
(
)
)
(
)
91
(
)
д) 5a2b + 10a2 − 20bc − 10b2c == 5a2 ( b + 2 ) − 10bc ( b + 2 ) == 5a2 − 10bc ( b + 2 ) ; е) 4x2z + 25y3 − 5x2 y − 20y2z == x2 ( 4z − 5y ) − 5y2 ( 4z − 5y ) = = x2 − 5y2 ( 4z − 5y ) .
(
)
534. а) x2 − 9x + 14 = x2 − 9x + 14 + 6, 25 −−6, 25 = x2 − 9x + 20, 25 − 6, 25 =
АЛГЕБРА
= ( x − 4, 5 ) − 6, 25 == ( x − 4, 5 − 2, 5 ) ( x − 4, 5 + 2, 5 ) == ( x − 7 ) ( x − 2 ) ; 2
б) x2 + 8x + 12 = x2 + 8x + 12 + 4 − 4 == x2 + 8x + 16 − 4 = ( x + 4 ) − 4 = = ( x + 4 − 2) ( x + 4 + 2) = ( x + 2) ( x + 6) . 2
535. а) y2 − 3y = 0 y ( y − 3) = 0 y1 = 0 або б) x2 + 2x = 0 x ( x + 2) = 0 x1 = 0 або в) 0, 8x2 + 2x = 0 2x ( 0, 4x + 1 ) = 0 2x = 0 або x1 = 0 3 2 2 г) 1 x = 3 x 8 3 3 2 1 x2 − 3 x = 0 8 3 11 11 x x− =0 8 9 x1 = 0
або
y −3 = 0 y2 = 3 ;
x+2 = 0 x = −2 ;
0, 4x + 1 = 0 0, 4x = −1 x = −2, 5 ;
11 11 x− =0 8 9 11 11 x= 8 9 11 8 x2 = ⋅ 9 11 8 x2 = . 9
536. а) x2 − 5x + 6 = 0 x2 − 5x + 6 + 0, 25 − 0, 25 = 0 x2 − 5x + 6, 25 − 0, 25 = 0 2 ( x − 2, 5 ) − 0, 25 = 0 ( x − 2, 5 − 0, 5 ) ( x − 0, 25 + 0, 5 ) = 0 ( x − 3) ( x − 2) = 0 x − 3 = 0 або x −2 = 0
92
x1 = 3 б) y2 + 4y + 3 = 0 y2 + 4 y + 3 + 1 − 1 = 0 y2 + 4 y + 4 − 1 = 0
x2 = 2 ;
( y + 2) −1 = 0 ( y + 2 − 1) ( y + 2 + 1) = 0 ( y + 1) ( y + 3 ) = 0 2
y+3 = 0 y2 = −3 .
або
537. а) b = 3, 6 , c = 1, 4 bc + c2 − 5b − 5c = c ( b + c ) − 5 ( b + c ) = = ( c − 5 ) ( b + c ) = ( 1, 4 − 5 ) ( 3, 6 + 1, 4 ) == −3, 6 ⋅ 5 = −18 ; б) m = 12, 5 , n = 2, 5 m2 − mn − 4m + 4n = m ( m − n ) − 4 ( m − n ) = = ( m − 4 ) ( m − n ) = ( 12, 5 − 4 ) ( 12, 5 − 2, 5 ) == 85 ; в) a = −2 , x = 0, 01 , y = −6, 99 4ay − 4ax − 2x + 2y == 4a ( y − x ) + 2 ( y − x ) == ( 4a + 2 ) ( y − x ) = ( 4 ( −2 ) + 2 ) × × ( −6, 99 − 0, 01) = −6 ⋅ ( −7 ) = 42 .
(
АЛГЕБРА
y +1 = 0 y1 = −1
)
538. а) 314 − 312 = 312 32 − 1 = 8 ⋅ 312 — ділиться на 8, що й треба було довести; б) 498 + 3 ⋅ 715 = 716 + 3 ⋅ 715 == 715 ( 7 + 3 ) = 10 ⋅ 715 — ділиться на 10, що й треба було довести.
(
)
539. 242 + 420 + 815 − 1612 = 242 + 240 + 245 −−248 = 240 22 + 1 + 25 − 28 = −219 ⋅ 240 — ділиться на 219, що й треба було довести. 540. x + y = 1 x2 + xy − 2x − y + 1 = 0
( x − 1) + y ( x − 1) = 0 ( x − 1) ( x + y − 1) = 0 ( x − 1 ) (1 − 1 ) = 0 ( x − 1 ) ⋅ 0 = 0 , що й треба було довести. 2
541. 2x3 − x2 + 8x − 4 = 0 x2 ( 2x − 1 ) + 4 ( 2x − 1 ) = 0 x2 + 4 ( 2x − 1 ) = 0 x2 + 4 = 0 або x2 = −4 — не має рішень
(
)
2x − 1 = 0 2x = 1 1 x = = 0, 5 . 2
Завдання для самоперевірки №4 1. в); 2. в); 3. б); 4. г); 5. г); 6. б); 7. а) 3 ( 4a − 1 ) − ( 12a + 3 ) + 2a = 12a − 3 −−12a − 3 + 2a = 2a − 6 ; б) x2 − 2x − 8 − 2x2 + x − 7 = x2 − 2x − 8 −−2x2 − 3x + 7 = −x2 − 3x − 1 . 8. а) 2x2 3x2 − x + 1 = 6x 4 − 2x3 + 2x2 ; б) ( 3a − 2b ) ( 2a − 5b ) = 6a2 − 15ab − 4ab + 10b2 == 6a2 − 19ab + 10b2 . 9. а) 4x − 12x2 = 4x ( 1 − 3x ) ; б) −20 − 10a = −10 ( 2 + a ) ; в) 2a2b + 4a3b − 2a4b = 2a2b 1 + 2a − a2 . 10. a = 7, 5 ; 2, 5a + a2 = a ( 2, 5 + a ) == 7, 5 ( 2, 5 + 7, 5 ) = 75 .
(
(
)
)
(
)
93
АЛГЕБРА
11. а) x − 2x2 = 0 x ( 1 − 2x ) = 0 x1 = 0 або
1 − 2x = 0 2x = 1 1 x2 = = 0, 5 ; 2
б) 2x2 + 8x = 0 2x ( x + 4 ) = 0 2x = 0 або x=0
(
) (
x+4=0 x2 = −4 .
)
12. 5x4 − 4x3 + 3x − 4 − −4x3 + 4x2 − 4 = = 5x4 − 4x3 + 3x − 4 + 4x3 − 4x2 + 4 == 5x4 − 4x2 + 3x .
(
)
13. а) 2x3 y2 −1, 6x 4 y3 + 3, 4x2 y == −3, 2x7 y5 + 6, 8x5 y3 ; б) ( a − 4b ) 2a2 + ab − 2b2 = 2a3 + a2b − −2ab2 − 8a2b − 4ab2 + 8b3 = 2a3 − 7a2b −−6ab2 + 8b3 .
б)
)
3x − 5/ 3 3 + 5x/ 2 − = −1 8 12 3 ( 3x − 5 ) − ( 3 + 5x ) + 24 =0 24 9x − 15 − 6 − 10x + 24 = 0
14. а)
(
x =3 ;
( 2x − 3 ) ( 3x + 2 ) = ( 2x + 3 ) ( x − 2 )
6x2 + 4x − 9x − 6 = 2x2 − 4x + 3x − 6 4x2 − 4x = 0 x ( 4x − 4 ) = 0 x1 = 0 або 4x2 − 4 = 0 4x2 = 4 x2 = 1 .
15. а) ( m − n ) + 3m − 3n = ( m − n ) + 3 ( m − n ) == ( m − n ) ( m − n + 3 ) ; б) a2m + x2 − amx − ax = am ( a − x ) −−x ( a − x ) = ( a − x ) ( am − x ) . 2
(
2
)
16. ( k + 5 ) k2 − k + 1 − k ( k + 2 ) + 3 == k3 − k2 + k + 5k2 − 5k + 5 − k × × k2 + 4k + 4 + 3 = k3 + 4k2 − 4k + 8 −k3 − 4k2 − 4k = 8 − 8k = 8 ( 1 − k ) — ділиться на 8, що й треба було довести.
(
)
2
4 5 1 3 17. а) 2 a2 − 2 ab ab − b2 = 5 7 3 7 2 7 3 3 7 5 14 3 2 2 = ⋅ a b − ⋅ a2b2 − ⋅ ab + 3 7 5 3 7 7 14 5 5/ 5 2 2 6/ 3 2 2 ⋅ ab3 = a3b − ab − ab + 3 5 5 7 43 2 2 25 2 2 18 2 2 +2ab3 = a3b − ab − a b ++2ab3 = a3b − a b − 2ab3 = 15 15 15 13 2 2 = a 3b − 2 a b − 2ab3 . 15 7 7 18. 215 + 3 214 + 47 − 3 − 230 = 229 ++215 22 − 3 ⋅ 215 + 3 ⋅ 214 + 3 22 − 9 − −230 = 229 + 229 − 3 ⋅ 215 + 3 ⋅ 214 + 3 ⋅ 214 − −9 − 230 = 2 ⋅ 229 − 3 ⋅ 215 + 3 ⋅ 2 ⋅ 214 − 9 − 230 = 230 − 3 ⋅ 215 + 3 ⋅ 215 − 9 − 230 = −9 .
+
(
94
2
)(
)
( )
( )
(
)
x+6 = 0 x = −6 ;
21. P = 18 см a1 = x 1 1 b1 = P − a1 = ⋅ 18 − x = 9 − x , 2 2 a2 = x − 2 1 b2 = P − a2 = 9 − x + 2 = 11 − x 2 S1 − S2 = 6 см2 x ( 9 − x ) − ( x − 2 ) (11 − x ) = 6 9x − x2 − 11x − x2 − 22 + 2x = 6 9x − x2 − 11x + x2 + 22 − 2x = 6 4x = 16 x = 16 : 4 x = 4 (см) — ширина першого прямокутника; 9 − 4 = 5 (см) — довжина першого прямокутника; S1 = 4 ⋅ 5 = 20 (см2) — площа першого прямокутника; S2 = 20 − 6 = 14 (см2) — площа другого прямокутника. Відповідь: 20 см2; 14 см2.
(
АЛГЕБРА
19. а) x3 + 6x2 + 2x + 12 = 0 x2 ( x + 6 ) + 2 ( x + 6 ) = 0 x2 + 2 ( x + 6 ) = 0 x2 + 2 = 0 або x2 = −2 — не має рішень
)
§ 5. Формули скороченого множення 543. а) б) в) г)
( k − n ) ( k + n ) = k2 + kn − kn − n2 == k2 − n2 ; ( m − 4 ) ( m + 4 ) = m2 − 16 ; ( 1 − b ) ( 1 + b ) = 1 − b2 ; ( 4a + 5b ) ( 4a − 5b ) = 16a2 − 25b2 .
544. а) ( b + c ) ( b − c ) = b2 − c2 ; б) ( 4 + n ) ( 4 − n ) = 16 − n2 ; в) ( 3y − 2z ) ( 3y + 2z ) = 9y2 − 4z2 ;
( )( ) ( ) ( 2 − b ) = 4 − b = −b + 4 ; в) ( m − 3m ) ( m + 3m ) = m − 9m = −9m
546. а) y2 − 1 y2 + 1 = y4 − 1 ; б) 2 + b3
3
6
2
6
2
2
4
г) ( 2ab + 5 ) ( 2ab − 5 ) = 4a b − 25 ;
4
+ m2 ;
2 2
( е) ( −a
) ( −4n + k ) = 16n − k ; + 3b ) ( a + 3b ) = ( 3b − a ) ( 3b + a ) == 9b
д) −4n2 − k 2
547. а) б) в) г)
2
4
2
2
2
2
2
− a4 = −a4 + 9b2 .
( a + 3) ( a − 3) = a − 9 ; ( 2x − 7 ) ( 2x + 7 ) = 4x − 49 ; 2
2
3
4
3
6
( 6 − 5zt ) ( 6 + 5zt ) = 36 − 25z2t2 = −25z2t2 + 36 ; ( −2 + c ) ( −2 − c ) = 4 − c2 = −c2 + 4 ;
95
АЛГЕБРА
д) ( −4x − 3y ) ( −4x + 3y ) = 16x2 − 9y2 ; е) ( 2a + 5b ) ( −2a + 5b ) = 25b2 − 4a2 . 548. ( x − y ) ( x + y ) = x2 − y2 ; а) x = 100 , y = 2 , x2 − y2 = 10 000 − 4 = 9996 ; б) x = 10 , y = 0, 2 , x2 − y2 = 100 − 0, 04 = 99, 96 ; в) x = 1 , y = 0, 02 , x2 − y2 = 1 − 0, 0004 = 0, 9996 . 549. а) 99 ⋅ 101 = (100 − 1) (100 + 1) = 1002 − 12 == 10 000 − 1 = 9 999; б) 198 ⋅ 202 = ( 200 − 2 ) ( 200 + 2 ) = 40 000 − 4 = 39 996 ; в) 53 ⋅ 47 = ( 50 + 3 ) ( 50 − 3 ) = 2500 − 9 = 2491 ; г) 85 ⋅ 95 = ( 90 − 5 ) ( 90 + 5 ) = 8100 − 25 = 8075 ; д) 10, 2 ⋅ 9, 8 = (10 + 0, 2 ) (10 − 0, 2 ) ==100 − 0, 04 = 99, 96 ; е) 7, 7 ⋅ 8, 3 = ( 8 − 0, 3 ) ( 8 + 0, 3 ) = 64 − 0, 09 == 63, 91 ; є) 1, 02 ⋅ 0, 98 = ( 1 + 0, 2 ) ( 1 − 0, 2 ) = 1 − 0, 04 == 0, 96 ; ж) 4, 95 ⋅ 5, 05 = ( 5 − 0, 05 ) ( 5 + 0, 05 ) = 25 − 0, 0025 = 24, 9975 . 550. а) б) в) г) д) е)
49 ⋅ 51 = ( 50 − 1) (50 + 1) = 2500 − 1 = 2499 ; 73 ⋅ 67 = (70 + 3 ) (70 − 3 ) = 4900 − 9 = 4891 ; 20, 5 ⋅ 19, 5 = ( 20 + 0, 5 ) ( 20 − 0, 5 ) = 400 − 0, 25 = 399, 75 ; 9, 6 ⋅ 10, 4 = (10 − 0, 4 ) (10 + 0, 4 ) = 100 − 0, 16 = 99, 84 ; 5, 03 ⋅ 4, 97 = ( 5 + 0, 03 ) ( 5 − 0, 03 ) = 25 − 0, 0009 = 24, 9991 ; 1, 96 ⋅ 2, 04 = ( 2 − 0, 04 ) ( 2 + 0, 04 ) = 4 − 0, 0016 = 3, 9984 .
551. а) б) в) г)
( a + 1 ) ( a − 1 ) + ( 2 − a ) ( 2 + a ) == a2 − 1 + 4 − a2 = 3 ; ( b + 3 ) ( b − 3 ) − ( b − 2 ) ( b + 2 ) == b2 − 9 − b2 + 4 = −5 ;
( 5x − 2x ) ( 5x + 2x ) − 25x == 25x − 4x − 25x = −4x ; c − ( c + 8c ) ( c − 8c ) = c − c + 64c == 64c ; д) ( 3ab − 4c ) ( 3ab + 4c ) + ( 2c ) = 9a b − 16c + 16c = 9a b ; е) ( −a + 2b ) ( a + 2b ) − ( 2b + 3a ) ( 2b − 3a ) == ( 4b − a ) ( 4b − 9a ) = 4b 2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
4
2
4
4
2
8
2 2
4
2
4
8
4
2
2 2
2
2
2
− a2 −
−4b + 9a = 8a ; є) 4 − 3b2 4 + 3b2 − ( 2 − 3b ) 8 + 3b2 == 16 − 9b4 − 16 + 6b3 − 24b − 9b4 = = 16 − 9b4 − 16 − 6b3 + 24b + 9b4 == −6b3 + 24b . 2
(
2
)(
2
)
(
)
(
)
552. а) ( x + 3 ) ( x − 3 ) − ( x − 4 ) ( x + 4 ) == x2 − 9 − x2 + 16 = 7 ; б) ( 5 − 2c ) ( 5 + 2c ) − 2c ( 1 − 2c ) = 25 − 4c2 − 2c + 4c2 = −2c + 25 ; в) a2 a2 + 7 a2 − 7 + 49a2 == a2 a4 − 49 + 49a2 = a6 − a2 + 49a2 = a6 ;
(
(
)( )(
)
)
(
)
г) −xy − 2z2 −xy + 2z2 − ( xy ) = x2 y2 − 4z4 − x2 y2 = −4z4 ; д) ( a + b ) ( a − b ) + ( b + c ) ( b − c ) + ( c + a ) ( c − a ) == a2 − b2 + b2 − c2 + c2 − a2 = 0 . 2
2 2 4 4 4 553. а) z − z + + 1 = z2 − + 1 = z2 + 1 ; 3 3 9 9 9 96
2 3 2 9 2 4 2 9 2 21 2 3 б) a + b a − b + b2 = a −− b + b2 = a + b ; 5 7 5 49 25 49 25 7
3 1 3 9 1 9 9 1 1 554. а) a − a + + = a2 − ++ = a2 ; 7 2 7 49 4 49 49 4 2 49 2 25 5 2 54 2 7 2 1 7 2 5 1 б) 2 b + 1 2 b − 1 + b2 = b − + b = b − 2 = 6b2 − 2 . 9 9 9 9 9 3 3 9 3 9 3
(
)( ) ) ( )( ) в) ( 2 − y ) ( 2 + y ) ( 4 + y ) = ( 4 − y ) ( 4 + y ) = 16 − y ; г) ( 4 + 3n ) ( −4 + 3n ) ( 16 + 9n ) == ( 9n − 16 ) ( 16 + 9n ) = 81n − 256 ; д) ( y − 2z ) ( y + 2z ) ( y + 4z ) == ( y − 4z ) ( y + 4z ) = y − 16z ; е) ( a − 1 ) ( a + 1 ) ( a + 1 ) ( a + 1 ) = ( a − 1 ) ( a + 1 ) ( a + 1 ) = ( a − 1 ) ( a + 1 ) = a
АЛГЕБРА
6 2 4 16 22 1 1 в) 1 − x 1 + x − 2 = − x2 − == −x2 − = −x2 − ; 9 3 9 9 9 3 3 1 1 100 100 1 1 1 1 19 г) a2 − 1 a2 + 1 + a4 + 1 == a4 − + a4 + = 1 a4 . 9 81 81 9 3 9 9 81 3
) (
555. а) ( b + 1) ( b − 1) b2 − 1 = b2 − 1 b2 + 1 == b4 − 1 ;
(
б) ( 2x − 1 ) ( 2x + 1 ) 4x2 + 1 = 4x2 − 1 4x2 + 1 = 16x4 − 1 ; 2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
( б) ( z + 5 ) ( z − 5 ) ( z
4
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
) ( ) ( 9 + c ) == 81 − c ; + 25 ) = ( z − 25 ) ( z + 25 ) = z − 625 ; в) ( 4x − y ) ( 4x + y ) ( 16x + y ) = ( 16x − y ) ( 16x + y ) = 256x − y г) ( 2 + 3k ) ( −2 + 3k ) ( 9k + 4 ) = ( 9k − 4 ) ( 9k + 4 ) = 81k − 16 .
556. а) ( 3 − c ) ( 3 + c ) 9 + c2 = 9 − c2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
8
−1 .
4
4
2
2
4
2
4
4
;
8
557. ( 8n + 5 ) ( 8n − 5 ) − ( 7n + 5 ) ( 7n − 5 ) == 64n2 − 25 − 49n2 + 25 = 15n2 — ділиться на 15, що й треба було довести. 558. ( 4x + 3 ) ( 4x − 3 ) − ( 4x − 5 ) ( 4x + 5 ) == 16x2 − 9 − 16x2 + 25 = 16 — не залежить від значень x, що й треба було довести. 559. а) ( y − 3 ) ( y + 3 ) + y ( 2 − y ) = 1 y2 − 9 + 2y − y2 = 1 2y = 10 y = 10 : 2 y =5; б) ( 2x − 0, 5 ) ( 2x + 0, 5 ) = x ( 4x − 0, 5 ) 4x2 − 0, 25 = 4x2 − 0, 5x 0, 5x = 0, 25 x = 0, 25 : 0, 5 x = 0, 5 ; в) x2 + ( −4 − x ) ( −4 + x ) = 8 ( x + 1 ) x2 + 16 − x2 = 8x + 8 8x = 16 − 8 8x = 8 x =1; г) −z2 + 1 z2 + 1 = 1 − z 1 + z3 1 − z4 = 1 − z − z4 z=0.
(
)(
)
(
)
97
АЛГЕБРА
560. а) 2x (1 − 8x ) + ( 4x − 1 ) ( 4x + 1 ) = 0 2x − 16x2 + 16x2 − 1 = 0 2x = 1 1 x = = 0, 5 ; 2 б) ( 2 − 3y ) ( 2 + 3y ) = ( 9y − 2 ) ( 2 − y ) 4 − 9y2 = 18y − 9y2 − 4 + 2y 20y = 8 y = 8 : 20 y = 0, 4 . 561. а) ( a + b − c ) ( a − b ) + ( b + c − a ) ( b − c ) + ( c + a − b ) ( c − a ) = a2 + ab − ac − ab − b2 + +bc + b2 + bc − ab − bc − c2 + ac + c2 + ac −−bc − ac − a2 + ab = 0 ;
(
)( ) (
)( )(
)( )(
) (
)( ) (
)( )(
)
б) ( a − b ) ( a + b ) a2 + b2 a4 + b4 a8 + b8 ⋅ ⋅ a16 + b16 = a2 − b2 a2 + b2 a4 + b4 × ⋅ ×⋅ a8 + b8 a16 + b16 = a4 − b4 a4 + b4 ⋅ ⋅ a8 + b8 a16 + b16 = a8 − b8 a8 + b8 ×⋅ ×⋅ a16 + b16 = a16 − b16 a16 + b16 == a32 − b32 .
( (
)(
) (
)(
)
)(
)
562. ( a − b ) = 1 ( a + b ) a2 + b2 a4 + b4 a8 + b8 == a16 − b16 ( a − b ) ( a + b ) a2 + b2 a4 + b4 a8 + b8 = a2 − b2 a2 + b2 a4 + b4 a8 + b8 = = a4 − b4 a4 + b4 a8 + b8 == a8 − b8 a8 + b8 = a16 − b16 , що й треба було довести.
(
(
)( (
)(
(
)(
)(
)( )(
) )( ) (
)(
) ( )( )( )
)(
)(
)(
)
)
563. ( 2 + 1 ) 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 == 232 − 1 ( 2 − 1 ) = 1 , тому ( 2 − 1 ) ( 2 + 1 ) 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 = = 22 − 1 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 == 24 − 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 = = 28 − 1 28 + 1 216 + 1 == 216 − 1 216 + 1 = 232 − 1 , що й треба було довести.
( (
(
)( )(
)( )(
(
)(
)(
)(
)(
) (
)(
)(
)(
) ) (
)
)(
)
564. ( x − 1 ) ( x + 1 ) x2 + 1 x4 + 1 = x8 + x
(x (x
)( )(
)( )
)
2
−1 x +1 x +1 = x + x
4
− 1 x4 + 1 − x8 = x
2
4
8
x8 − 1 − x8 = x x = −1 . 566. Vп = x км/год, tп = 2 год, Vв = 2, 5x км/год, tв = 1 год, S = Vt Sв − Sп = 2, 5 км 2, 5x − 2x = 2, 5 0, 5x = 2, 5 x = 2, 5 : 0, 5 x = 5 (км/год) — швидкість пішохода. Відповідь: 5 км/год. 568. Мідь: 45 %⋅ 3, 6 кг 100 %⋅ x кг 98 0, 45 ⋅ 3, 6 + x = 0, 6 ( 3, 6 + x )
}
60 %⋅ ( 3, 6 + x )
)(
)(
)
569. а) ( a + 1 ) = ( a + 1 ) ( a + 1 ) = a2 + a + a + 1 = a2 + 2a + 1 ; 2
б) ( 2b − 1 ) = ( 2b − 1 ) ( 2b − 1 ) = 4b2 − 2b − 2b + 1 == 4b2 − 4b + 1 ; 2
в) ( 5 − 2x ) = ( 5 − 2x ) ( 5 − 2x ) = 25 − 10x − 10x +4x2 = 4x2 − 20x + 25 . 2
АЛГЕБРА
1, 62 + x = 2, 16 + 0, 6x x − 0, 6x = 2, 16 − 1, 62 0, 4x = 0, 54 x = 0, 54 : 0, 4 x = 1, 35 (кг) — потрібно додати до сплаву міді. Відповідь: 1,35 кг.
572. а) ( k + n ) = k2 + 2kn + n2 ; 2
б) ( b + 2 ) = b2 + 4b + 4 ; 2
в) ( c − 4 ) = c2 − 2c + 16 ; 2
г) ( 3 + a ) = 9 + 6a + a2 ; 2
д) ( 5 − b ) = 25 − 10b − b2 ; 2
е) ( a + 15 ) = a2 + 30a + 225 ; 2
є) ( x − 0, 5 ) = x2 − x + 0, 25 ; 2
ж) ( 1, 2 − c ) = 1, 44 − 2, 4c + c2 ; 2
з) ( n + 2, 5 ) = n2 + 5n + 6, 25 . 2
573. а) ( b − c ) = b2 − 2bc + c2 ; 2
б) ( x + 4 ) = x2 + 8x + 16 ; в) ( a − 2 ) 2 = a2 − 4a + 4 ; 2
г) ( 3 − n ) = 9 − 6n + n2 ; 2
д) ( 0, 3 + z ) = 0, 09 + 0, 6z + z2 ; 2
е) ( 1, 5 − b ) = 2, 25 − 3b + b2 . 2
574. а) ( 2a + 1 ) = 4a2 + 4a + 1 ; 2
б) ( 2c − 5 ) = 4c2 − 20c + 25 ; 2
в) ( 3 − 4a ) = 9 − 24a + 16a2 ; 2
г) ( 4c − 0, 5 ) = 16c2 − 4c + 0, 25 ; 2
д) ( 2b − 0, 5c ) = 4b2 − 2bc + 0, 25c2 ; 2
е) ( 5x − 0, 2 ) = 25x2 − 2x + 0, 04 . 2
575. а) ( 3b − 1 ) = 9b2 − 6b + 1 ; 2
б) ( 5z + 2 ) = 25z2 + 20z + 4 ; 2
в) ( 6a + b ) = 36a2 + 12ab + b2 ; 2
г) ( 4x − 5y ) = 16x2 − 40xy + 25y2 ; 2
д) ( 0, 3a + 10b ) = 0, 09a2 + 6ab + 100b2 ; 2
е) ( 8b − 0, 5 ) = 64b2 − 8b + 0, 25 . 2
576. а) ( a + 1 ) + ( a − 1 ) = a2 + 2a + 1 + a2 − 2a + 1 = 2a2 + 2 ; 2
2
б) ( b + 2 ) − 4 ( b + 1) = b2 + 4b − 4b − 4 == b2 − 4 ; 2
99
в) ( 5 − 2x ) − 25 − 4x2 = 25 − 20x + 4x2 −−25 − 4x2 = −20x ; 2
г) x − 1 − ( x − 1 ) = x2 − 1 − x2 + 2x − 1 = 2x − 2 . 2
2
577. а) ( 4 − b ) + 8b − b2 = 16 − 8b + b2 + 8b −−b2 = 16 ; 2
б) ( x + 2 ) + ( x − 2 ) = x2 + 4x + 4 + x2 − 4x + 4 = 2x2 + 8 .
АЛГЕБРА
2
578. а)
2
( x + 2)
2
− x2 = 8 2 x + 4x + 4 − x2 = 8 4x = 4 x = 1 ;
б)
579. а) ( x − 1 ) − x2 = 11 x2 − 2x + 1 − x2 = 11 2x = −10 x = −10 : 2 x = −5 ;
( x − 3)
2
− x2 = 21 x − 6x + 9 − x2 = 21 6x = −12 x = −12 : 6 x = −2 . 2
б) ( x + 4 ) − x2 = 24 x2 + 8x + 16 − x2 = 24 8x = 8 x =1.
2
2
580. а) ( −b + c ) = c2 − 2bc + b2 ; 2
б) ( −x − y ) = x2 + 2xy + y2 ; 2
в) ( −2a + 3 ) = 9 − 12a + 4a2 ; 2
г) ( −4x + 5y ) = 25y2 − 40xy + 16x2 ; 2
д) ( −2m − 10n ) = 4m2 + 40mn + 100n2 ; 2
е) ( −2, 5a + 4 ) = 16 − 20a + 6, 25a2 . 2
581. а) ( −m − n ) = m2 + 2mn + n2 ; 2
б) ( −b + 5 ) = 25 − 10b + b2 ; 2
в) ( −3x + y ) = y2 − 6xy + 9x2 ; 2
г) ( −4c − 3d ) = 16c2 + 24cd + 9d2 ; 2
д) ( −k − 1, 5 ) = k2 + 3k + 2, 25 ; 2
е) ( −0, 5z + 2 ) = 4 − 2z + 0, 25z2 . 2
( ) = y + 2y + 1 ; б) ( 2 − x ) = 4 − 4x + x ; в) ( 2m − m ) = 4m − 4m + m ; г) ( −4a + a ) = a − 8a + 16a ; д) ( 4a − ac ) = 16a − 8a c + a c ; е) ( −4a − 3b ) = 16a + 24a b + 9b ; є) ( −m − 0, 5nk ) = m + m nk + 0, 25n k
582. а) y2 + 1 3
2
4
2
2
3
2
2
2
2
4
3
4
2
2
4
3
4
2
2
3
2
2
2
6
2
2 2
2
4
2
2
2
2 2
;
2 4 ж) 3x2 − x = 9x 4 − 4x3 + x2 ; 3 9 2 2 25 2 2 4 2 2 9 2 2 4 2 2 1 a b + a2bc + a c =1 з) 1 ab + ac = a b + a2bc + ac . 4 3 16 25 16 25
( ) = a + 4a + 4 ; б) ( 2b − 4 ) = 4b − 16b + 16 ;
583. а) a2 + 2 100
3
2
4
2
2
6
3
( г) ( −2a
в) −2x − x2 2
)
2
+ 5ab
= 4x2 + 4x3 + x 4 ;
)
2
= 25a2b2 − 20a3b + 4a4 ;
2
2
4 1 4 2 4 3 49 4 1 4 2 2 е) x − 2 x2 = x − x + x == 5 x4 − 1 x3 + x . 9 3 49 3 9 3 49 7 584. а) ( a − b + 1 ) = ( a − b + 1 ) ( a − b + 1 ) == a2 − ab + a − ab + b2 − b + a − b + 1 = = a2 + b2 − 2ab + 2a − 2b + 1 ; 2
АЛГЕБРА
1 9 2 2 1 1 3 д) xy − = x y − xy + ; 3 16 2 9 4
б) ( 3c − 2a + 3 ) = ( 3c − 2a + 3 ) ( 3c − 2a + 3 ) = 9c2 − 6ac + 9c − 6ac + 4a2 − 6a + 9c − −6a + 9 = 9c2 + 4a2 − 12ac + 18c − 12a + 9 ; 2
(
) (
)(
2
)
в) 3 − x − 2x2 = 3 − x − 2x2 3 − x − 2x2 == 9 − 3x − 6x2 − 3x + x2 + 2x3 − 6x2 + +2x3 + 4x 4 = 4x4 + 4x3 − 11x2 − 6x + 9 . 585. а) ( 2 − x + y ) = ( 2 − x + y ) ( 2 − x + y ) == 4 − 2x + 2y − 2x + x2 − xy + 2y − xy + + y2 = x2 + y2 − 4x + 4y − 2xy + 4 ; 2
б) ( −2m + 1 − 3n ) = ( −2m + 1 − 3n ) ( −2m + 1 − 3n ) = = 4m2 − 2m + 6mn − 2m + 1 − 3n + 6mn −−3n + 9n2 = 4m2 + 9n2 + 12mn − 4m −−6n + 1 ; 2
(
) (
)(
2
)
в) a2 + 5a + 4 = a2 + 5a + 4 a2 + 5a + 4 = = a4 + 5a3 + 4a2 + 5a3 + 25a2 + 20a + 4a2 +20a + 16 = a4 + 10a3 + 33a2 + 40a + 16 . 586. а) ( a + b ) − ( a − b ) = 4ab 2
2
( a + b ) − ( a − b ) = a2 + 2ab + b2 − a2 ++2ab − b2 = 4ab , що й треба було довести. 2 2 2 ( 2xy ) + ( x2 − y2 ) = ( x2 + y2 ) 2
б)
2
4x2 y2 + x 4 − 2x2 y2 + y4 = x 4 + 2x2 y2 + y4 x4 + 2x2 y2 + y4 = x4 + 2x2 y2 + y4 , що й треба було довести.
в) ( a + b + c ) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 2
(a + b + c)
= ( a + b + c ) ( a + b + c ) == a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2 = = a + b + c2 + 2ab + 2ac + 2bc , що й треба було довести. 2
2
2
(
587. а) ( a + b ) + ( a − b ) = 2 a2 + b2 2
2
(a + b) + (a − b) 2
2
)
(
)
= a2 + 2ab + b2 + a2 −2ab + b2 = 2a2 + 2b2 = 2 a2 + b2 , що й треба було довести; б) ( a − b + c ) = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc 2
(a − b + c)
= ( a − b + c ) ( a − b + c ) == a2 − ab + ac − ab + b2 − bc + ac − bc + c2 = = a + b + c2 − 2ab + 2ac − 2bc , що й треба було довести. 2
2
2
588. а) ( 2a − 1 ) − ( 2a + 1 ) = 4a2 − 4a + 1 −4a2 − 4a − 1 = −8a ; 2
(
)
2
(
2
)
б) x2 + 1 − x2 x2 + 2 = x 4 + 2x2 + 1 −−x 4 − 2x2 = 1 ; в) ( 2n − 1 ) + ( 2n ) + ( 2n + 1 ) = 4n2 − 4n ++1 + 4n2 + 4n2 + 4n + 1 = 12n2 + 2 ; г)
2
(a + b − 4)
2
2
+ 8 ( a + b − 2 ) == ( a + b − 4 ) ( a + b − 4 ) + 8a + 8b − 16 = = a + ab − 4a + ab + b2 − 4b − 4a − 4b ++16 + 8a + 8b − 16 = a2 + b2 + 2ab . 2
2
101
589. а) ( −a + 2b ) + ( a + 2b ) = a2 − 4ab + 4b2 ++a2 + 4ab + 4b2 = 2a2 + 8b2 ; 2
(
б) x2 − 3
2
) + ( 3x − 1 ) ( 2x + 9 ) == x 2
4
− 6x2 + 9 + 6x2 + 27x − 2x − 9 == x4 + 25x ;
в) ( a − b + 1 ) − 2 ( 1 − b ) ( 1 + a ) == ( a − b + 1 ) ( a − b + 1 ) − 2 (1 + a − b − ab ) =
АЛГЕБРА
2
= a2 − ab + a − ab + b2 − b + a − b + 1 − 2 − −2a + 2b + 2ab = a2 + b2 − 1 . 590. а) ( 5x + 4 ) = ( 1 − 5x ) 25x2 + 40x + 16 = 1 − 10x + 25x2 50x = −15 x = −15 : 50 x = −0, 3 ; 2 б) ( 3x − 5 ) ( 3x + 5 ) = 7 + ( 3x − 4 ) 2 2 9x − 25 = 7 + 9x − 24x + 16 24x = 48 x = 48 : 24 x =2 ; 2 в) ( 2y + 3 ) − ( 4y − 2 ) ( y − 6 ) = 16 2 4y + 12y + 9 − 4y2 + 24y + 2y − 12 = 16 38y = 19 y = 19 : 38 y = 0, 5 ; 2 2 2 г) ( 3x − 1 ) + ( 4x − 1 ) = ( 5x − 1 ) 9x2 − 6x + 1 + 16x2 − 8x + 1 = 25x2 − 10x + 1 4x = 1 1 x= . 4 2
2
591. а) ( 2x − 3 ) − 3 = ( 2x + 1 ) − 11 4x2 − 12x + 9 − 3 = 4x2 + 4x + 1 − 11 16x = 16 x =1; 2 б) 16y2 − ( 4y − 3 ) = 15y − 90 2
2
16y2 − 16y2 + 24y − 9 = 15y − 90 9y = −81 y = −81 : 9 y = −9 ; 2 2 в) 3 ( x − 1 ) − ( 2 − x ) ( 2 + x ) = ( 2x − 1 ) 2 2 2 3 x − 2x + 1 − 4 − x = 4x − 4x + 1 3x2 − 6x + 3 − 4 + x2 − 4x2 + 4x = 1 −2x = 2 x = −1 .
(
) (
)
592. а) ( a + 1 ) = a3 + 3a2 + 3a + 1 ; 3
б) ( 2x − y ) = 8x3 − 12x2 y + 6xy2 − y3 ; 3
в) ( 3m + 4n ) = 9m3 + 3 ( 3m ) ⋅ 4n + 9n ( 4n ) + 64n3 = = 9m3 + 108m2n + 144mn2 + 64n3 . 3
102
2
2
) ( a + b ) − ( a + b ) == ( a − b ) ( a − b ) ( a + b ) ⋅× ×⋅ ( a + b ) − ( a + b ) == ( a − b ) ( a − b ) − ( a + b ) = = ( a − b ) − ( a + b ) = a − 2a b + b − a − 2a b − b == −4a 2
10
10
20
20
(
)
2
10
10
20
2
20
20
20
(
2
2
20
20
2
20
2
20
40
)(
10
10
20
20
20 20
) (
10
10
20
40
20
40
)
2
10
10
2
20 20
40
(
)
20 20
b .
594. 5n + 2 − 2 5n + 2 5n − 2 + 5n − 2 == 52n + 4 ⋅ 5n + 4 − 2 52n − 4 + 52n − 4 ⋅ 5n + 4 = = 2 ⋅ 52n + 8 − 2 ⋅ 52n + 8 = 16 — ділиться на 16, що й треба було довести.
(
)
595. x2 + xy + y2 − ( x + y ) + 2xy ( x + y ) = = x4 + x3 y + x2 y2 + x3 y + x2 y2 + xy3 + x2 y2 + +xy3 + y4 − x2 + 2xy + y2 x2 + 2xy + y2 + +2xy x2 + 2xy + y2 = x 4 + y4 + 2x3 y + +3x2 y2 + 2xy3 − x4 + 2x3 y + x2 y2 + 2x3 y + 4x2 y2 + 2xy3 + x2 y2 + 2xy3 + y4 + +2x3 y + 4x2 y2 + 2xy3 = x4 + y4 + 4x3 y + +7x2 y2 + 4xy3 − x4 + y4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 = = x4 + y4 + 4x3 y + 7x2 y2 + 4xy3 −−x 4 − y4 − 4x3 y − 6x2 y2 − 4xy3 = x2 y2 , що й тре ба було довести. 2
4
(
(
(
)
2
)(
)
АЛГЕБРА
(
593. a10 − b10
)
(
)
596. a = 7n + 3 , де n — цілі числа
(
)
a2 = ( 7n + 3 ) = 49n2 + 42n + 9 == 49n2 + 42n + 7 + 2 = 7 7n2 + 6n + 1 + 2 , отже a2 при діленні на 7 дає остачу 2. 2
597. 1) m = 5k + 1 , де k — ціле число
(
)
m4 − 1 = ( 5k + 1 ) − 1 = 25k2 + 10k + 1 − 1 = = 625k4 + 250k3 + 25k2 + 250k3 + 100k2 + +10k + 25k2 + 10k + 1 − 1 = 625k4 + 500k3 + 150k2 + 20k = = 5 125k4 + 100k3 + 30k2 + 4k — ділиться на 5; 2) m = 5k + 2 , де k — ціле число 4
(
2
)
(
)
m4 − 1 = ( 5k + 2 ) − 1 = 25k2 + 20k + 4 − 1 = = 625k4 + 500k3 + 100k2 + 500k3 + 400k2 + +80k + 100k2 + 80k + 16 − 1 = 625k4 ++1000k3 + 600k2 + 160k + 15 = = 5 125k4 + 200k3 + 120k2 + 52k + 3 — ділиться на 5; 3) m = 5k + 3 , де k — ціле число 4
(
2
)
(
)
m4 − 1 = ( 5k + 3 ) − 1 = 25k2 + 30k + 9 − 1 = = 625k4 + 750k3 + 225k2 + 750k3 + 900k2 + +270k + 225k2 + 270k + 81 − 1 = 625k4 ++1500k3 + 1350k2 + 540k + 80 = = 5 125k4 + 300k3 + 270k2 + 108k + 16 — ділиться на 5; 4) m = 5k + 4 , де k — ціле число 4
2
(
)
(
)
m4 − 1 = ( 5k + 4 ) − 1 = 25k2 + 40k + 16 − 1 = = 625k4 + 1000k3 + 400k2 + 1000k3 + 1600k2 + +640k + 400k2 + 640k + 256 − 1 = 625k4 + +2000k3 + 2400k2 + 1280k + 255 = 5 125k4 + 400k3 + 480k2 + 256k + 45 — ділиться на 5, що й треба було довести. 4
2
(
599. a = 0, 8b ; b = x b − a = 12 x − 0, 8x = 12
)
103
АЛГЕБРА
0, 2x = 12 x = 12 : 0, 2 x = 60 — число b; 60 ⋅ 0, 8 = 48 — число a. Відповідь: 48, 60. 600. a = x ; b = a + 80 % = x + 0, 8x = 1, 8x b − 3, 4 = a + 2, 2 1, 8x − 3, 4 = x + 2, 2 1, 8x − x = 3, 4 + 2, 2 0, 8x = 5, 6 x = 5, 6 : 0, 8 x = 7 — число a; 7 ⋅ 1, 8 = 12, 6 — число b. Відповідь: 7; 12,6.
}
601. Робітник — x + 70 % дет. 81 дет. Учень — x дет. x + x + 0, 7x = 81 2, 7x = 81 x = 81 : 2, 7 x = 30 (дет.) — виготовив учень; 81 − 30 = 51 (дет.) — виготовив робітник. Відповідь: 30 деталей; 51 деталь. 602. 81 = 92 ; 441 = 212 ; 625 = 252 ; 3, 24 = 1, 82 ; 0, 09 = 0, 32 ; 0, 36 = 0, 62 ; 2
2
2
16 4 1 100 10 1 = ; 11 = = = 3 . 49 7 9 9 3 3
(
603. а) 16x2 = ( 4x ) ; б) 196c4 = 14c2 2
в) 0, 25b c = ( 0, 5bc ) 2 2
2
)
2
;
606. а) a2 − 9 = ( a − 3 ) ( a + 3 ) ; б) b2 − 1 = ( b − 1 ) ( b + 1 ) ;
в) 4x2 − 25 = ( 2x − 5 ) ( 2x + 5 ) ; г) 16 − y2 = ( 4 − y ) ( 4 + y ) ;
д) 36 − 4z2 = ( 6 − 2z ) ( 6 + 2z ) ;
е) 49a2 − 9b2 = (7a − 3b ) (7a + 3b ) ;
є) 100x2 − 121y2 = (10x − 11y ) (10x + 11y ) ; ж) 9 − a2b2 = ( 3 − ab ) ( 3 + ab ) . 607. а) b2 − 25 = ( b − 5 ) ( b + 5 ) ;
б) 9c2 − 1 = ( 3c − 1 ) ( 3c + 1 ) ;
в) 25 − 64y2 = ( 5 − 8y ) ( 5 + 8y ) ;
г) 36m2 − 49n2 = ( 6m − 7n ) ( 6m + 7n ) ; д) 400 − z2 = ( 20 − z ) ( 20 + z ) ; 104
2
9 3 6 2 3 2 3 ; г) x y z = x y z . 8 64
е) 81 p2 − 121q 2 = ( 9 p − 11q ) ( 9 p + 11q ) .
452 − 442 = ( 45 − 44 ) ( 45 + 44 ) = 89 ; 812 − 712 = ( 81 − 71 ) ( 81 + 71 ) = 1520 ; 1382 − 382 = ( 138 − 38 ) ( 138 + 38 ) = 17 600 ; 6, 72 − 3, 32 = ( 6, 7 − 3, 3 ) ( 6, 7 + 3, 3 ) = 34 .
609. а) б) в) г)
292 − 282 = ( 29 − 28 ) ( 29 + 28 ) = 57 ; 2052 − 1052 = ( 205 − 105 ) ( 205 + 105 ) = 31000 ; 782 − 222 = (78 − 22 ) (78 + 22 ) = 5600 ; 9, 52 − 8, 52 = ( 9, 5 − 8, 5 ) ( 9, 5 + 8, 5 ) = 18 .
АЛГЕБРА
608. а) б) в) г)
610. x2 − y2 1) x = 42 ; y = 32 x2 − y2 = 422 − 322 = ( 42 − 32 ) ( 42 + 32 ) = 740 ; 2) x = 2, 8 ; y = 7, 2 x2 − y2 = 2, 82 − 7, 22 == ( 2, 8 − 7, 2 ) ( 2, 8 + 7, 2 ) = −44 ; 3) x = 54 ; y = −46
x2 − y2 = 542 − ( −46 ) == ( 54 − ( −46 ) ) ( 54 + ( −46 ) ) = ( 54 + 46 ) ( 54 − 46 ) = 800 . 2
611. m2 − n2 1) m = 116 ; n = 16 m2 − n2 = 1162 − 162 == ( 116 − 16 ) ( 116 + 16 ) = 13 200 ; 2) m = 5, 7 ; n = −4, 7
m2 − n2 = 5, 72 − ( −4, 7 ) == ( 5, 7 − ( −4, 7 ) ) ( 5, 7 + ( −4, 7 ) ) = = ( 5, 7 + 4, 7 ) ( 5, 7 − 4, 7 ) = 10, 4 . 2
612. а) x2 − 4 = 0 ( x − 2) ( x + 2) = 0 x − 2 = 0 або x + 2 = 0 x1 = 2 x2 = −2 ; б) 25x2 − 16 = 0 ( 5x − 4 ) ( 5x + 4 ) = 0 5x − 4 = 0 або 5x + 4 = 0 5x = 4 5x = −4 x1 = 4 : 5 x2 = −4 : 5 x1 = 0, 8 x2 = −0, 8 . 613 а) y2 − 36 = 0 ( y − 6) ( y + 6) = 0 y −6 = 0 або y1 = 6
y+6 = 0 y2 = −6 ;
б) 100x2 − 49 = 0 (10x − 7 ) (10x + 7 ) = 0 10x − 7 = 0 або 10x + 7 = 0 10x = 7 10x = −7 x1 = 0, 7 x2 = −0, 7 .
(
)( (
)
614. а) a4 − b2 = a2 − b a2 + b ; б) 25m2 − 64n8 = 5m − 8n4 5m + 8n4 ;
)(
)
105
(
)(
)
в) 36 − 4a6 c2 = 6 − 2a3c 6 + 2a3c ;
(
г) 0, 01 − 6, 25x2 y10 = 0, 1 − 2, 5x 4 y5
) (0,1 + 2, 5x y ) ; 4
5
9 2 3 3 a − 16x4 y8 = a − 4x2 y4 a + 4x2 y4 ; 49 7 7 7 5 5 е) 2 − 0, 81a4b8 c12 == − 0, 9a2b4 c6 + 0, 9a2b4 c6 = 9 3 3 2 2 2 4 6 2 4 6 = 1 − 0, 9a b c 1 + 0, 9a b c . 3 3
АЛГЕБРА
д)
(
)(
) )(
615. а) 4a8 − 25b2c2 = 2a4 − 5bc 2a4 + 5bc ; б) 1, 96m20 − 0, 09n2 = 1, 4m10 − 0, 3n 1, 4m10 + 0, 3n ;
(
)
4 3 2 3 1 2 в) a8b4 c2 − 2 x6 == a4b2c − x3 a4b2c + x3 = 9 2 3 2 4 3 1 3 2 4 2 1 3 2 4 2 = a b c −1 x a b c +1 x . 2 2 3 3 616. а) ( a + 2 ) − 1 = ( a + 2 − 1 ) ( a + 2 + 1 ) == ( a + 1 ) ( a + 3 ) ; 2
б) ( 3b − 1 ) − 4 = ( 3b − 1 − 2 ) ( 3b − 1 + 2 ) == ( 3b − 3 ) ( 3b + 1 ) ; 2
в) 16 − ( 3b + 2 ) = ( 4 − ( 3b + 2 ) ) ( 4 + 3b + 2 ) == ( 2 − 3b ) ( 3b + 6 ) ; 2
г) ( 2a − 5 ) − 25b2 = ( 2a − 5 − 5b ) ( 2a − 5 + 5b ) ; 2
д) ( 4x + 3 ) − ( 3x + 2 ) == ( 4x + 3 − ( 3x + 2 ) ) ( 4x + 3 + 3x + 2 ) == ( x + 5 ) (7x + 5 ) ; 2
2
е) ( a − 3b ) − ( 3a + 5b ) = ( a − 3b − ( 3a + 5b ) ) ( a − 3b + 3a + 5b ) = = ( a − 3b − 3a + 5b ) ( 4a − 2b ) = ( 2b − 4a ) ( 4a − 2b ) . 2
2
617. а) ( 2x − 1 ) − 9 = ( 2x − 1 − 3 ) ( 2x − 1 + 3 ) == ( 2x − 4 ) ( 2x + 2 ) ; 2
б) 4a − ( 4a + 3 ) = ( 2a − ( 4a + 3 ) ) ( 2a + 4a + 3 ) == ( −2a − 3 ) ( 6a + 3 ) ; 2
2
в) ( 4x − y ) − ( 5x − 2y ) = ( 4x − y − ( 5x − 2y ) ) ( 4x − y + 5x − 2y ) = = ( y − x ) ( 9x − 3y ) . 2
2
618. a2 − 4b2 = ( a − 2b ) ( a + 2b ) 1) a = 3, 28 ; b = 3, 36 ; ( 3, 28 − 2 ⋅ 3, 36 ) ( 3, 28 + 2 ⋅ 3, 36 ) == −3, 44 ⋅ 10 = −34, 4 . 4 2 2) a = 1 ; b = ; 7 7 2 4 1 2 4 4 15 4 1 7 − 2 ⋅ 7 1 7 + 2 ⋅ 7 == 1 1 7 + 7 = 7 = 2 7 . 619. 9 p2 − q 2 = ( 3 p − q ) ( 3 p + q ) 1) p = 2, 3 ; q = −1, 9 ;
( 3 ⋅ 2, 3 − ( −1, 9 ) ) ( 3 ⋅ 2, 3 + ( −1, 9 ) ) == ( 6, 9 + 1, 9 ) ( 6, 9 − 1, 9 ) = 8, 8 ⋅ 5 = 44 ; 3 5 ; q= 14 14 3 5 3 5 4 2 3 ⋅ 14 − 14 3 ⋅ 14 + 14 = 14 ⋅ 1 = 7 .
2) p =
620. а) ( x + 3 ) − 1 = 0 106 ( x + 3 − 1) ( x + 3 + 1) = 0 2
( x + 2) ( x + 4) = 0 x + 2 = 0 або x1 = −2
x+4=0 x2 = −4 ;
б) ( 5y − 2 ) − 9 = 0 ( 5y − 2 − 3 ) ( 5y − 2 + 3 ) = 0 ( 5y − 5 ) ( 5y + 1 ) = 0 5y − 5 = 0 або 5y + 1 = 0 5y = 5 5y = −1 1 y1 = 1 y2 = − ; 5
АЛГЕБРА
2
в) ( 3z + 5 ) − 4z2 = 0 ( 3z + 5 − 2z ) ( 3z + 5 + 2z ) = 0 ( z + 5 ) ( 5z + 5 ) = 0 z+5 = 0 або 5z + 5 = 0 z1 = −5 5z = −5 z2 = −1 ; 2
г) ( 2x − 3 ) − ( 3x + 3 ) = 0 ( 2x − 3 − 3x − 3 ) ( 2x − 3 + 3x + 3 ) = 0 ( −x − 6 ) 5x = 0 −x − 6 = 0 або 5x = 0 x1 = −6 x2 = 0 . 2
2
621. а) ( 2x − 5 ) − 1 = 0 ( 2x − 5 − 1 ) ( 2x − 5 + 1 ) = 0 ( 2x − 6 ) ( 2x − 4 ) = 0 2x − 6 = 0 або 2x − 4 = 0 2x = 6 2x = 4 x = 6:2 x = 4:2 x1 = 3 x2 = 2 ; 2
б) ( 4y − 7 ) − ( y + 2 ) = 0 ( 4y − 7 − y − 2 ) ( 4y − 7 + y + 2 ) = 0 ( 3y − 9 ) ( 5y − 5 ) = 0 3y − 9 = 0 або 5y − 5 = 0 3y = 9 5y = 5 y = 9:3 y2 = 1 . y1 = 3 2
2
622. а) 45752 − 14252 = ( 4575 − 1425 ) ( 4575 + 1425 ) == 3150 ⋅ 6000 = 3150 ⋅ 6 ⋅ 1000 — ділиться на 1000, що й треба було довести; б) 8432 − 2572 = ( 843 − 257 ) ( 843 + 257 ) = = 586 ⋅ 1100 = 586 ⋅ 11 ⋅ 100 = 293 ⋅ 11 ⋅ 200 — ділиться на 200, що й треба було довести. 623. a2 − b2 = ab − b2 ( a − b ) ( a + b ) = b ( a − b ) = 0 , оскільки a = b , то a − b = 0 . 624. ( 4k + 2 ) − ( 4k − 2 ) == ( 4k + 2 − 4k + 2 ) ( 4k + 2 + 4k − 2 ) == 4 ⋅ 8k = 32k — ділить107 ся на 32, що й треба було довести; 2
2
(
)( ( )( )(
) ( )( )( )( ) ) ( )( )( ) )( ) (
)
625. а) a8 − b8 = a4 − b4 a4 + b4 == a2 − b2 a2 + b2 a4 + b4 = = ( a − b ) ( a + b ) a2 + b2 a4 + b4 ; б) 1 − x16 = 1 − x 8 1 + x 8 == 1 − x4 1 + x 4 1 + x 8 = = 1 − x2 1 + x2 1 + x4 1 + x 8 == ( 1 − x ) ( 1 + x ) 1 + x2 1 + x 4
(
АЛГЕБРА
(
)(
626. а) x4 − 16 = 0 x2 − 4 x2 + 4 = 0 x2 − 4 = 0 або x2 = 4 x1 = 2 x2 = −2 ; б) x8 − 1 = 0 x8 = 1 x1 = 1 x2 = −1 ;
(
( (
)(
)
) (
)(
) (1 + x ) .
x2 + 4 = 0 x2 = −4 — не має рішень
2
)
2
в) x2 + 4x − 7 − x2 + 4x + 7 = 0 x2 + 4x − 7 − x2 − 4x − 7 x2 + 4x − 7 + x2 + 4x + 7 = 0 −14 2x2 + 8x = 0 −28x2 − 112x = 0 −28x ( x + 4 ) = 0 x1 = 0 або x+4=0 x2 = −4 .
(
)
)(
)
627. a = 5n + 3 ; b = 5n + 2 , де n — цілі числа a2 − b2 = ( 5n + 3 ) − ( 5n + 2 ) == ( 5n + 3 − 5n − 2 ) ( 5n + 3 + 5n + 2 ) = = 10n + 5 = 5 ( 2n + 1 ) — ділиться на 5, що й треба було довести. 2
2
629. Батько — 36 років Син — 12 років а) 36 + x = 2 ( 12 + x ) 36 + x = 24 + 2x x = 36 − 24 x = 12 (років). Відповідь: через 12 років. б) 36 − x = 5 (12 − x ) 36 − x = 60 − 5x 4x = 60 − 36 4x = 24 x = 24 : 4 x = 6 (років). Відповідь: 6 років тому. 630. Vавтоб. = x км/год; Vавтом. = x + 20 км/год 1 tавтоб. = 1, 5 год + 40 хв = 2 год 20 хв = 2 год ; 6 tавтом. = 1, 5 год . S = 250 км S = Vавтоб. ⋅ tавтоб. + Vавтом. ⋅ tавтом. 108
8
1 x + 1, 5 ( x + 20 ) = 250 6 1 2 x + 1, 5x + 30 = 250 6 13\5 15\3 x+ x = 250 − 30 6 10 65 45 x+ x = 220 30 30 110 x = 220 30 \2 30 x = 220 ⋅ \1 110 x = 60 (км/год) — швидкість автобуса; 60 + 20 = 80 (км/год) — швидкість автомобіля. Відповідь: 80 км/год.
АЛГЕБРА
2
631. а) ( m − 5 ) = m2 − 10m + 25 ; 2
б) ( 3a + 1 ) = 9a2 + 6a + 1 ; 2
в) ( 4b − 3 ) = 16b2 − 24b + 9 ; 2
г) ( −2a − 5b ) = 4a2 + 20ab + 25b2 . 2
633. а) p2 + 2 pq + q 2 = ( p + q ) ; 2
б) c − 2c + 1 = ( c − 1 ) ; 2
2
в) b2 + 4b + 4 = ( b + 2 ) ; 2
г) x2 − 6x + 9 = ( x − 3 ) ; 2
д) 36 + 12b + b2 = ( 6 + b ) ; 2
е) 25 + z2 − 10z = ( z − 5 ) . 2
634. а) 4a2 − 4a + 1 = ( 2a − 1 ) ; 2
б) 16x + 8x + 1 = ( 4x + 1 ) ; 2
2
в) 1 − 14b + 49b = ( 7b − 1 ) ; 2
2
г) 4x2 + 12x + 9 = ( 2x + 3 ) ; 2
д) 25b2 − 20b + 4 = ( 5b − 2 ) ; 2
е) −40b + 16 + 25b2 = ( 5b − 4 ) . 635. а) 4x2 + 4xz + z2 = ( 2x + z ) ;
2
2
б) m − 6mn + 9n = ( m − 3n ) ; 2
2
2
в) 16a − 8ab + b = ( 4a − b ) ; 2
2
2
г) 4c2 + 12ca + 9a2 = ( 2c + 3a ) ; 2
д) 49x2 − 28xy + 4y2 = ( 7x − 2y ) ; 2
е) 25 p2 + 9q 2 − 30 pq = ( 5 p − 3q ) . 2
636. а) x2 + 4x + 4 = ( x + 2 ) ; 2
б) a − 10a + 25 = ( a − 5 ) ; 2
2
в) 16 − 8b + b = ( 4 − b ) ; 2
2
109
г) 9k2 − 6k + 1 = ( 3k − 1 ) ; 2
д) 4b + 16b + 16 = ( 2b + 4 ) ; 2
2
е) 64 − 80s + 25s = ( 8 − 5s ) ; 2
2
є) 16a2 + 8ab + b2 = ( 4a + b ) ;
АЛГЕБРА
2
ж) 25m2 − 20mn + 4n2 = ( 5m − 2n ) ; 2
з) 9b2 + 16c2 − 24bc = ( 3b − 4c ) . 2
637. а) x2 − 4x + 4 = ( x − 2 ) 1) x = 12 ,
2
(12 − 2 )
2
= 100 ;
2) x = 2, 1 ,
( 2,1 − 2 )
2
3) x = −18 ,
= 0, 01 ;
( −18 − 2 )
= 400 ;
( 3 ⋅7 − 1)
= 400 ;
2
б) 9a2 − 6a + 1 = ( 3a − 1 ) 1) a = 7 2
2) a = −33
2
( 3 ⋅ ( −33 ) − 1 )
2
= 10 000 .
638. 4a2 + 4a + 1 = ( 2a + 1 ) 1) a = 4, 5
2
( 2 ⋅ 4, 5 + 1 ) = 100 ; 2) a = −5, 5 2
( 2 ⋅ ( −5, 5 ) + 1 )
2
= 100 .
639. а) 0, 25m2 + 2mn + 4n2 = ( 0, 5m + 2n ) ; 2
б) 0, 36c − 0, 6cx + 0, 25x = ( 0, 6c − 0, 5x ) ; 2
2
2
в) 6, 25x + 1, 5xyz + 0, 09y z = ( 2, 5x + 0, 3yz ) ; 2
2 2
2
(
г) 196a4 x 4 − 2, 8a2b2x2 y4 + 0, 01b4 y8 == 14a2x2 − 0, 1b2 y4 2
)
2
;
1 1 д) x + x + = x + ; 4 2 2 2 2 7 4 1 2 е) a − 2 a + 1 = a − = a − 1 . 3 9 3 3 2
640. а) 0, 01a2 + 4ab + 400b2 = ( 0, 1a + 20b ) ; 2
б) 0, 64x + 0, 32xy + 0, 04y = ( 0, 8x + 0, 2y ) ; 2
2
(
2
в) 1, 44m4n2 − 1, 2m2nk3 − 0, 25k6 == 1, 2m2n − 0, 5k3 2
)
2
;
1 1 1 г) p − p + = p− . 3 36 6 2
1 5 ; y= 7 7 2 2 2 1 5 2 5 4x2 + 4xy + y2 = ( 2x + y ) == 2 ⋅ + = + = 1 ; 7 7 7 7
641. а) x = 110
б) a = 11, 5 ; a2 − 3a + 2, 25 = ( a − 1, 5 ) = ( 11, 5 − 1, 5 ) = 100 a = −7, 5 2
( a − 1, 5 )
2
2
= ( −7, 5 − 1, 5 ) = 81 .
2 1 ; n= 3 3 2 2 1 1 1 2 2 m2 − 6mn + 9n2 = ( m − 3n ) == − 3 ⋅ = − = . 3 3 9 3 643. а) x2 − 8x + 16 = 0
АЛГЕБРА
642. m =
(x − 4)
2
=0 x−4 = 0 x=4; б) y2 + 12y + 36 = 0
( y + 6)
2
=0 y+6 = 0 y = −6 .
644. a) z2 − 6z + 9 = 0
( z − 3)
2
=0 z−3 = 0 z=3 . б) x2 + 10x + 25 = 0
( x + 5)
2
=0 x +5 = 0 x = −5 .
645. а) 64x2 + 80x + b Нехай b = y2 , тоді 64x2 + 80x + y2 = ( 8x ) + 2 ⋅ 8x ⋅ y + y2 80x = 2 ⋅ 8x ⋅ y 80x = 16xy y = 80x : 16x y =5 y2 = 25 — число b. Відповідь: 25. 2 2 б) b + y + 0, 04y4 . 45 2 2 Нехай b = x2 , тоді x2 + y + 0, 04y4 == x2 + 2 ⋅ 0, 2 ⋅ xy2 + 0, 2y2 45 2 2 ⋅ 0, 2xy2 = y2 45 2 2 0, 4xy2 = y 45 2 2 x= y : 0, 4y2 45 2
(
x=
2
\1 \9
⋅
10
\2
\2
=
)
2
1 9
45 4 1 — число b. 81 1 Відповідь: . 81 x2 =
111
646. а) 2y2 + 2y + 1 = y2 + y2 + 2y + 1 == y2 + ( y + 1 ) ; 2
(
)
2
б) a + 3a + 1 = a + 2a + a + 1 == a + 1 + a2 . 4
2
4
2
2
2
в) a2 + b2 + 2a + 2b + 2 == a2 + b2 + 2a + 2b + 1 + 1 = ( a + 1 ) + ( b + 1 ) ; 2
2
г) m2 + 2mn + 2n2 + 2n + 1 == m2 + 2mn + n2 + n2 + 2n + 1 == ( m + n ) + ( n + 1 ) .
АЛГЕБРА
2
2
647. 9x2 + 6xy + 2y2 + 4y + 4 == 9x2 + 6xy + y2 + y2 + 4y + 4 == ( 3x + y ) + ( y + 2 ) 3x + y = 0 та y + 2 = 0 y = −2 3x − 2 = 0 3x = 2 2 x= . 3 2
(
648. x2 + 4x + 4
) − ( x + 2) 2
4
2
=0
( x + 2) − ( x + 2) = 0 Рівняння має безліч рішень. 4
4
649. а) a = 4 ; b = −0, 3 ; c = 0, 25
( a bc ) 2
2
2
⋅ b2 = a4b2c4 ⋅ b2 = a4b4 c4 == ( abc ) = ( 4 ⋅ ( −0, 3 ) ⋅ 0, 25 ) = 4
4
= ( −0, 3 ) = 0, 0081 . б) a = 0, 2 ; b = 5 ;
( 5a b )
2
3
4
⋅ ab5 = 25a6b2 ⋅ ab5 == 25a7b7 = 25 ( ab ) = 25 ⋅ ( 0, 2 ⋅ 5 ) = 25 . 7
(
7
)
650. ( 2x + 1 ) − 4 x2 + 3x == 4x2 + 4x + 1 − 4x2 − 12x = −8x + 1 1) −8x + 1 = 1 2) −8x + 1 = −1 −8x = 0 −8x = −2 2 1 x=0 x= = . 8 4 2
652. а) ( m + n ) ; б) m3 + n3 ; 3
в) ( a − c ) ; г) a3 − c3 . 3
653. а) 8x3 = ( 2x ) ; 3
б) −8x3 = ( −2x ) ;
(
в) 64a9 = 4a3
3
)
3
;
(
г) −0, 027a6b12 = −0, 3a2b4
( (
)
)
3
.
654. а) ( x + 4 ) x2 + 2x − 3 == x3 + 2x2 − 3x + 4x2 + 8x − 12 == x3 + 6x2 + 5x − 12 ; б) ( a − b ) a2 − 2ab + 2b2 == a3 − 2a2b + 2ab2 − 2a2b + 4ab2 − 4b3 = = a3 − 3a2b + 4ab2 − 2b3 . 658. а) б) в) г) 112 д)
(
)
)
p3 − q 3 = ( p − q ) p2 + pq + q 2 ; b3 − 1 = ( b − 1 ) b2 + b + 1 ; x3 − 27 = ( x − 3 ) x2 + 3x + 9 ; 64 − y3 = ( 4 − y ) 16 + 4y + y2 ; b3 + c3 = ( b + c ) b2 − bc + c2 ;
(
( ( (
)
)
) )
( (
)
е) a3 + 8 = ( a + 2 ) a2 − 2a + 4 ; є) 1 + y3 = ( 1 + y ) 1 − y + y2 ; ж) 125 + b3 = ( 5 + b ) 25 − 5b + b2 .
)
(
(
)
)
(
(
(
)
(
)
)
( (
) )
)
(
АЛГЕБРА
659. а) m3 − n3 = ( m − n ) m2 + mn + n2 ; б) b3 − 8 = ( b − 2 ) b2 + 2b + 4 ; в) 27 − a3 = ( 3 − a ) 9 + 3a + a2 ; г) 1 − z3 = ( 1 − z ) 1 + z + z2 ; д) x3 + y3 = ( x + y ) x2 + xy + y2 ; е) k3 + 64 = ( k + 4 ) k2 − 4k + 16 ; є) p3 + 1 = ( p + 1 ) p2 − p + 1 ; ж) 27 + c3 = ( 3 + c ) 9 − 3c + c2 .
)
( ) )(a − a b + b ) ; в) 8a − 27 = ( 2a − 3 ) ( 4a + 6a + 9 ) ; г) 125 − 27y = ( 5 − 3y ) ( 25 + 15y + 9y ) ; д) 64m − 27 = ( 4m − 3 ) ( 16m + 12m + 9 ) ;
660. а) 27x3 − 1 = ( 3x − 1 ) 9x2 + 3x + 1 ;
(
б) a9 + b6 = a3 + b2
6
3
3 2
4
2
3
2
3
2
1 1 1 1 = b + b2 − b + ; 8 2 2 4 1 3 1 1 2 1 є) y −1 = y −1 y + y +1 ; 27 3 3 9 е) b3 +
ж) 661. а) б) в) г)
1 3 1 1 x + 8 = x + 2 x2 − x + 4 . 8 2 4
(
)( )( )( )(
)
m6 − n3 = m2 − n m4 + m2n + n2 ; a 9 + b 6 = a3 + b 2 a 6 − a 3 b 2 + b 4 ; a6 + c6 = a2 + c2 a4 − a2c2 + c4 ; x12 − y9 = x 4 − y3 x 8 + x 4 y3 + y6 .
( (
(
(
) )
)
)
8z3 + 1 = ( 2z + 1 ) 4z2 − 2z + 1 ; 1 − 125 p3 = ( 1 − 5 p ) 1 + 5 p + 25 p2 ; 27x3 + 64 = ( 3x + 4 ) 9x2 − 12x + 16 ; 125c3 − 8 = ( 5c − 2 ) 25c2 + 10c + 4 ; 1 1 1 1 д) a3 − 1 = a − 1 a2 + a + 1 ; 2 4 8 2
662. а) б) в) г)
( ( (
)
)
)
1 1 1 = 3m + 9m2 − m + ; 27 3 9 є) y3 − x9 = y − x3 y2 + yx3 + x6 ; е) 27m3 −
(
(
)(
)( p
ж) p6 + q12 = p2 + q 4
( (
)
4
)
− p2q 4 + q 8 .
) )
663. а) −a3 + 8 = ( −a + 2 ) a2 + 2a + 4 ;
б) −b3 − c3 = ( −b − c ) b2 − bc + c2 ;
( (
) )
в) −27 + y3 = ( −3 + y ) 9 + 3y + y2 ;
г) −64 − z3 = ( −4 − z ) 16 − 4z + z2 .
113
(
)
664. а) 64a3 − 27b3 = ( 4a − 3b ) 16a2 + 12ab + 9b2 ;
АЛГЕБРА
1 3 1 1 2 1 б) p − 8q 3 = p − 2q p + pq + 4q 2 ; 64 2 4 16 в) г) д) е)
(
)(
)
27a6 − 125 = 3a2 − 5 9a4 + 15a2 + 25 ; 0, 001a6 − b3c3 = (0, 1a2 )3 − (bc)3 = (0, 1a2 − bc)(0, 01a4 + 0, 1a2bc + b2c2 ) ; 8x9 + 125y6 = 2x3 + 5y2 4x6 − 10x3 y2 + 25y4 ; −8z + z3 = ( z − 4 ) z2 + 4z + 16 = 10 − ab3c4 100 + 10ab3c4 + a2b6 c8 .
(
)(
(
) (
)(
(
)
)
)
665. а) 216b3 − 27c3 = ( 6b − 3c ) 36b2 + 18bc + 9c2 ; 64 6 4 16 4 б) 125m3 + n == 5m + n2 25m2 − 4mn2 + n ; 125 5 25
(
)(
)
в) 0, 064x9 y6 z3 − 27 == 0, 4x3 y2z − 3 0, 16x6 y4 z2 + 1, 2x3 y2z + 9 .
(
)
666. а) 9213 − 8213 == ( 921 − 821 ) 9212 + 921 ⋅ 821 + 8212 =
(
)
= 100 ⋅ 9212 + 921 ⋅ 821 + 8212 — ділиться на 100, що й треба було довести.
(
)
(
)
б) 573 + 283 == ( 57 + 28 ) 572 − 57 ⋅ 28 + 282 = 85 ⋅ 572 − 57 ⋅ 28 + 282 — ділить- ся на 85, що й треба було довести.
(
)
(
)
(
)
(
)
667. а) 273 + 373 == ( 27 + 37 ) 272 − 27 ⋅ 37 + 372 == 64 ⋅ 272 − 27 ⋅ 37 + 372 — ділить- ся на 64, що й треба було довести. б) 753 − 463 == ( 75 − 46 ) 752 + 75 ⋅ 46 + 462 == 29 ⋅ 752 + 75 ⋅ 46 + 462 — ділить ся на 29, що й треба було довести. 668. а) б) в) г)
( a − b ) ( a2 + ab + b2 ) + b3 == a3 − b3 + b3 = a3 ;
(x (a
)( )( (
)
− 1 x 4 + x2 + 1 + 1 = x6 − 1 + 1 = x6 ; + b2 a4 − a2b2 + b4 − a6 − b6 == a6 + b6 − a6 − b6 = 0 ; ( a + 2 ) a2 − 2a + 4 − ( a − 2 ) a2 + 2a + 4 == a3 + 8 − a3 + 8 = 16 . 2
2
( (
)
)
)
(
)
669. а) ( x + 3 ) x2 − 3x + 9 − 27 = x3 + 27 − 27 = x3 ; б) ( b − 1 ) b2 + b + 1 + ( b + 1 ) b2 − b + 1 == b3 − 1 + b3 + 1 = 2b3 .
)
(
(
)
)
670. а) ( x − 2 ) x2 + 2x + 4 = x3 + 4x x3 − 8 − x3 = 4x x = −8 : 4 x = −2 .
(
б)
)
671. а) ( 1 − x ) 1 + x + x2 = x − x3 1 − x3 + x3 = x x = 1 ;
(
б)
)
(y
)
− 3y + 9 ( y + 3 ) = 6y + y3 y + 27 − y3 = 6y y = 27 : 6 y = 4, 5 . 2
3
(
−8z + z3 = ( z − 4 ) z2 + 4z + 16 −8z + z3 = z3 − 64 −8z = −64 z = 64 : 8 z=8.
)
672. а) ( a + b ) a2 − ab + b2 + 3a − 3b + 3 == ( a + 1 ) + ( b − 1 ) ( a + b ) a2 − ab + b2 + ( a + b ) ( 3a − 3b + 3 ) = ( a + 1 ) a2 + 2a + 1 + ( b − 1 ) b2 − 2b + 1 a3 + b3 + 3a2 − 3ab + 3a + 3ab − 3b2 + 3b = 2 2 2 2 = a3 + 2a + a + a + 2a + 1 + b3 − 2b + b − b + 2b − 1 114
(
)
3
3
(
)
(
)
a3 + b3 + 3a2 − 3b2 + 3a + 3b == a3 + b3 + 3a2 − 3b2 + 3a + 3b , що й треба було довести. б) a4 − b4 = ( a − b ) a3 + a2b + ab2 + b3 a4 − b4 = a2 − b2 a2 + b2 == ( a − b ) ( a + b ) a2 + b2 = = ( a − b ) a4 + ab2 + a2b + b3 , що й треба було довести. в) a5 − b5 = ( a − b ) a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 ( a − b ) a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 == a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 − a4b − −a3b2 − a2b3 − ab4 − b5 = a5 − b5 , що й треба було довести. г) a5 + b5 = ( a + b ) a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 ( a + b ) a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 = a5 − a4b + a3b2 − a2b3 + ab4 + a4b − −a3b2 + a2b3 − ab4 + b5 = a5 + b5 , що й треба було довести.
)
)
(
(
)
)
)
(
(
(
)
)
)
(
АЛГЕБРА
( )(
( (
)
673. а) 1245 − 745 = (124 − 74 )×× 1244 + 1243 ⋅ 74 + 1242 ⋅ 742 + 124 ⋅ 743 + 744 = = 50 1244 + 1243 ⋅ 74 + 1242 ⋅ 742 + 124 ⋅ 743 + 744 — ділиться на 50, що й треба було довести. б) 875 + 885 = ( 87 + 88×) ×874 − 873 ⋅ 88 + 872 ⋅ 882 − 87 ⋅ 883 + 884 = = 175 874 − 873 ⋅ 88 + 872 ⋅ 882 − 87 ⋅ 883 + 884 — ділиться на 175, що й треба було довести.
(
)
(
(
( ) ( ) ( 5
)
)
5
674. а) 610 + 810 = 62 + 82 = 365 + 645 = = ( 36 + 64 ) 364 − 363 ⋅ 64 + 362 ⋅ 642 − 36 ⋅ 643 + 644 = = 100 364 − 363 ⋅ 64 + 362 ⋅ 642 − 36 ⋅ 643 + 644 — ділиться на 100, що й треба було довести.
(
( ) ( ) ( 5
)
)
5
б) 315 − 220 = 33 − 24 = 275 − 165 = = ( 27 − 16 ) 274 + 273 ⋅ 16 + 272 ⋅ 162 + 27 ⋅ 163 + 164 = = 11 274 + 273 ⋅ 16 + 272 ⋅ 162 + 27 ⋅ 163 + 164 — ділиться на 11, що й треба було довести.
(
)
)
676. а) ( 2x − y ) ( x − 2y ) + 5xy == 2x2 − 4xy − xy + 2y2 + 5xy = 2x2 + 2y2 ; б) ( 3a − b ) ( −a + 3b ) + 3 a2 + b2 == −3a2 + 9ab + ab − 3b2 + 3a2 + 3b2 = 10ab ;
(
)(
( ) (
)
)
2
в) a2 − a + 1 a2 + a + 1 − a2 + 1 == a4 + a3 + a2 − a3 − a2 − a + a2 + a + 1 − − a4 + 2a2 + 1 = a4 + a2 + 1 − a4 − 2a2 − 1 = −a2 .
(
(
)( (
)
) )(
( )
)
677. а) 410 − 45 + 3 45 − 3 = 410 − 410 − 9 == 410 − 410 + 9 = 9 ; б) 212 ⋅ 312 − 4 − 66 + 4 66 − 4 == 612 − 4 − 612 − 16 = 612 − 4 − 612 + 16 = 12 .
(
)
678. Нехай до станції A поїзд рухається a годин, а від A до B — b годин. Тоді шлях поїзду: S = Vt = V ( a + b ) = 90 ( a + b ) З урахуванням затримки: 1 S = 90a + 105 b − , тоді 6 1 90a + 90b = 90a + 105b − 105 ⋅ 6 105b − 90b = 17, 5 15b = 17, 5 175 1 7 1 b= ⋅ = = 1 (год) 10 15 6 6
115
АЛГЕБРА
1 1 SAB = 105 1 − = 105 (км) — відстань між станціями A і B. 6 6 Відповідь: 105 км. 679. а) 2x + 5 = 3x − 2 2x + 5 = 3x − 2 x1 = 7 б) x ( x + 1 ) = 2x x ( x + 1 ) = 2x x2 + x − 2x = 0 x ( x − 1) = 0 x1 = 0 x2 = 1
(
2x + 5 = −3x + 2 5x = −3 3 x2 = − = −0, 6 ; 5
або
x ( x + 1 ) = −2x x2 + x + 2x = 0 x ( x + 3) = 0 x −1 = 0 x+3 = 0 x3 = −3 .
або або
)
680. а) 7a2 − 7b2 = 7 a2 − b2 = 7 ( a − b ) ( a + b ) ; б) km2 − kn2 = k m2 − n2 = k ( m − n ) ( m + n ) ; в) 9x2 − 36 = 9 x2 − 4 = 9 ( x − 2 ) ( x + 2 ) ; г) 4a3 − 4a = 4a a2 − 1 = 4a ( a − 1 ) ( a + 1 ) ; д) x4 − x2 = x2 x2 − 1 = x2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ; е) ca2 − 9cb2 = c a2 − 9b2 = c ( a − 3b ) ( a + 3b ) ; є) 2a3 − 2b3 = 2 ( a − b ) a2 + ab + b2 ; ж) 27c + b3c = c 27 − b3 = c ( 3 − b ) 9 + 3b + b2 .
(
(
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
) (
)
)
( ) ( ) в) 24 − 6a = 6 ( 4 − a ) = 6 ( 2 − a ) ( 2 + a ) ; г) 3y − 3y = 3y ( y − 1 ) = 3y ( y − 1 ) ( y + 1 ) ; д) 18xy − 2x = 2x ( 9y − 1 ) = 2x ( 3y − 1 ) ( 3y + 1 ) ; е) 4k + 32 = 4 ( k + 8 ) = 4 ( k + 2 ) ( k − 2k + 4 ) ; є) 6a − 6ab = 6a (1 − b ) = 6a ( 1 − b ) ( 1 + b + b ) ; ж) a − a = a ( 1 − a ) = a (1 − a ) ( 1 + a ) .
681. а) 5 p2 − 5q 2 = 5 p2 − q 2 = 5 ( p − q ) ( p + q ) ; б) 3b2 − 27 = 3 b2 − 9 = 3 ( b − 3 ) ( b + 3 ) ; 2
4
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
3
5
3
3
2
2
3
(
)
682. а) 3 p2 + 6 pq + 3q 2 = 3 p2 + 2 pq + q 2 == 3 ( p + q ) ; 2
( ) = − (b − c) ; в) 81 − 54b + 9b = 9 ( 9 − 6b + b ) = 9 ( 3 − b ) ; г) 2xb + 8xb + 8x = 2x ( b + 4b + 4 ) == 2x ( b + 2 ) ; д) 9a + 6a + a = a ( 9a + 6a + 1 ) == a ( 3a + 1 ) ; е) m − 10m + 25m == m ( 1 − 10m + 25m ) = m ( 1 − 5m ) б) −b + 2cb − c = − b − 2cb + c 2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
(
)
.
683. а) 4x2 + 8x + 4 = 4 x2 + 2x + 1 = 4 ( x + 1 ) ; 116
(
2
)
б) n − 14nc + 49nc2 == n 1 − 14c + 49c2 = n ( 1 − 7c ) ;
(
в) −6a + 24ab − 24b = −6 a − 4ab + 4b 2
2
2
2
2
) == −6 ( a − 2b )
2
.
684. а) x = 51 ; y = 49 4x2 − 4y2 = 4 x2 − y2 = 4 ( x − y ) ( x + y ) == 4 ( 51 − 49 ) ( 51 + 49 ) = 800 ; б) a = 7, 3 ; b = 2, 3
(
)
(
)
5a2 − 10ab + 5b2 = 5 a2 − 2ab + b2 == 5 ( a − b ) = 5 ( 7, 3 − 2, 3 ) = 5 ⋅ 52 = 125 .
(
2
)
3m2 + 6mn + 3n2 = 3 m2 + 2mn + n2 = 3 ( m + n ) = 3 ( 4, 8 + 5, 2 ) = 300 ; б) a = 63 , b = 37 10a2 − 10b2 = 10 ( a − b ) ( a + b ) == 10 ( 63 − 37 ) ( 63 + 37 ) = 26000 . 2
2
АЛГЕБРА
685. а) m = 4, 8 ; n = 5, 2
2
686. а) 8x2 − 72 = 0 8 x2 − 9 = 0 8 ( x − 3) ( x + 3) = 0 x −3 = 0 або x + 3 = 0 x1 = 3 x2 = −3 ;
(
)
б) 12x2 − 3 = 0 3 4x2 − 1 = 0
(
)
3 ( 2x − 1 ) ( 2x + 1 ) = 0 2x − 1 = 0 або 2x + 1 = 0 2x = 1 2x = −1 1 1 x1 = = 0, 5 x2 = − = −0, 5 . 2 2 687. а) 5x2 − 125 = 0 5 x2 − 25 = 0
(
)
5 ( x − 5) ( x + 5) = 0 x −5 = 0 або x + 5 = 0 x1 = 5 x2 = −5 ; б) 50x2 − 2 = 0 2 25x2 − 1 = 0 2 ( 5x − 1 ) ( 5x + 1 ) = 0 5x − 1 = 0 або 5x + 1 = 0 5x = 1 5x = −1 1 1 x1 = = 0, 2 x2 = − = −0, 2 . 5 5
(
)
( (
)( )(
)
(
)
688. а) a4 − n4 = a2 − n2 a2 + n2 == ( a − n ) ( a + n ) a2 + n2 ; б) k4 − 16 = k2 − 4 k2 + 4 = ( k − 2 ) ( k + 2 ) k2 + 4 .
(
)( )(
)
)
(
(
)
)
689. а) x4 − 1 = x2 − 1 x2 + 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x2 + 1 ; б) 81 − b4 = 9 − b2 9 + b2 == ( 3 − b ) ( 3 + b ) 9 + b2 .
(
)
(
)
690. а) 3mn + 24n − 9m − 72 = 3n ( m + 8 ) −−9 ( m + 8 ) = ( m + 8 ) ( 3n − 9 ) ; б) bx4 − x4 + bx3 − x3 = x 4 ( b − 1 ) + x3 ( b − 1 ) = = x 4 + x3 ( b − 1 ) = x3 ( x + 1 ) ( b − 1 ) ; в) −4abc − 32bc − 12ac − 96c = −4bc ( a + 8 ) −−12c ( a + 8 ) = ( −4bc − 12c ) ( a + 8 ) = 117 = −4c ( b + 3 ) ( a + 8 ) ;
(
)
г) 2y4 − 2y3a + 2y2ab − 2y3b == 2y3 ( y − b ) − 2y2a ( y − b ) = = 2y3 − 2y2a ( y − b ) = 2y2 ( y − a ) ( y − b ) ; д) 1, 5a2 − 0, 5a2x + 1, 5ax − 0, 5ax2 == 0, 5a2 ( 3 − x ) + 0, 5ax ( 3 − x ) =
(
)
АЛГЕБРА
(
)
= 0, 5a2 + 0, 5ax ( 3 − x ) = 0, 5a ( a + x ) ( 3 − x ) ; е) x2 y2a − x2 y2 + 5axy − 5xy == x2 y2 ( a − 1 ) + 5xy ( a − 1 ) = = x2 y2 + 5xy ( a − 1 ) = xy ( xy + 5 ) ( a − 1 ) .
(
)
691. а) 4ac + 2bc + 4xac + 2xbc == 4ac ( 1 + x ) + 2bc ( 1 + x ) = = ( 4ac + 2bc ) ( 1 + x ) = 2c ( 2a + b ) ( 1 + x ) ; б) m2a − m2b + 3am − 3bm = m2 ( a − b ) ++3m ( a − b ) = m2 + 3m ( a − b ) = = m (m + 3) ( a − b ) ; в) −a3b − a2b2 − a2b − ab2 = −a2b ( a + 1 ) − ab2 ( a + 1 ) = −a2b − ab2 ( a + 1 ) = = −ab ( a + b ) ( a + 1 ) ; г) 0, 2x4 + 0, 6x3 y − 0, 4x3 − 1, 2x2 y = = 0, 2x3 ( x − 2 ) + 0, 6x2 y ( y − 2 ) = 0, 2x3 + 0, 6x2 y ( x − 2 ) = 0, 2x2 ( x + 3y ) ( x − 2 ) .
(
)
(
(
)
)
692. а) x2 − 2xy + y2 − z2 = ( x − y ) − z2 = ( x − y − z ) ( x − y + z ) ; 4 4 2 2 2 б) x2 − a2 − 2ab − b2 = x2 − ( a + b ) == x − a − b x + a + b ; 9 9 3 3 2
в) c2 + 9 − 6c − k2 = ( c − 3 ) − k2 == ( c − 3 − k ) ( c − 3 + k ) ; 2
г) 4x2 − 4y − y2 − 4 = 4x2 − ( y + 2 ) = ( 4x − y − 2 ) ( 4x + y + 2 ) . 2
693. а) m2 + 2mn + n2 − k2 = ( m + n ) − k2 == ( m + n − k ) ( m + n + k ) ; 2
9 2 9 2 2 3 3 a − 4x2 − 4xy − y2 == a − ( 2x + y ) = a − 2x − y ⋅ a + 2x + y ; 16 16 4 4 2 в) a2 − 8a − b2 + 16 = ( a − 4 ) − b2 == ( a − 4 − b ) ( a − 4 + b ) ; б)
г) p2 − 25 + 10q − q 2 = p2 − ( q − 5 ) == ( p − q + 5 ) ( p + q − 5 ) . 2
694. a2 + 2ab + b2 − c2 + 2c − 1 == ( a + b ) − ( 1 − c ) . 2
2
Якщо a + b + c = 1 , a + b = 1– c, то ( a + b ) − ( 1 − c ) = ( 1 − c ) − ( 1 − c ) = 0 , що й треба було довести. 2
2
2
2
695. a = −1 , b=c , a2 + 2a + 1 − b2 − c2 + 2bc == ( a + 1 ) − ( b − c ) = ( −1 + 1 ) − ( c − c ) = 0 . 2
2
2
2
696. а) a2 − b2 + a + b = ( a − b ) ( a + b ) + ( a + b ) == ( a + b ) ( a − b + 1 ) ; б) x2 − a2 + x − a = ( x − a ) ( x + a ) + ( x − a ) == ( x + a + 1 ) ( x − a ) ; в) 4x2 + y − 2x − y2 = ( 2x − y ) ( 2x + y ) −− ( 2x − y ) = ( 2x − y ) ( 2x + y − 1 ) ; г) 3, 5x2 − 3, 5y2 − x + y == 3, 5 x2 − y2 − ( x − y ) = 3, 5 ( x − y ) ( x + y ) − − ( x − y ) = ( x − y ) ( 3, 5x + 3, 5y − 1 ) .
(
)
697. а) c2 − b2 + c − b = ( c − b ) ( c + b ) + ( c − b ) == ( c − b ) ( c + b + 1 ) ; б) x + y + x2 − y2 = ( x − y ) ( x + y ) + ( x + y ) == ( x + y ) ( x − y + 1 ) ; в) a2 + 4, 8ab − x2 − 4, 8xb = ( a − x ) ( a + x ) ++4, 8b ( a − x ) = ( a − x ) ( a + x + 4, 8b ) . 118
2 1 ; y =5 ; 3 3
x2 − y2 + ( x + y ) = ( x − y ) ( x + y ) ++ ( x + y ) = ( x + y ) ( x − y + x + y ) = 2 2 1 22 3 = 2x ( x + y ) = 2 ⋅ 3 3 + 5 == ⋅ 9 = 66 ; 3 3 3 3 б) a = 96 ; 2
2
a2 + ( a + 4 ) − 16 = ( a − 4 ) ( a + 4 ) ++ ( a + 4 ) = ( a + 4 ) ( a − 4 + a + 4 ) = = 2a ( a + 4 ) = 2 ⋅ 96 ( 96 + 4 ) = 19 200 . 2
699. а) a = 5
2
1 1 ; b=2 ; 6 6
АЛГЕБРА
698. а) x = 3
a2 − b2 + ( a − b ) = ( a − b ) ( a + b ) ++ ( a − b ) = ( a − b ) ( a + b + a − b ) = 1 1 31 1 = 2a ( a − b ) = 2 ⋅ 5 5 − 2 = 6 ⋅ = 31 ; 6 6 6 6 б) m = 102 ; 2
2
( m − 2 ) + m2 − 4 = ( m − 2 ) + ( m − 2 ) ( m + 2 ) = = ( m − 2 ) ( m − 2 + m + 2 ) = 2m ( m − 2 ) = 2 ⋅ 102 ( 102 − 2 ) = 20 400 . 2
2
700. а) x3 − x = 0 x x2 − 1 = 0 x1 = 0 або б) 1, 6y3 − 0, 4y = 0 0, 4y 4y2 − 1 = 0 0, 4y = 0 або y1 = 0
(
)
(
x2 − 1 = 0 ( x − 1) ( x + 1) = 0 x −1 = 0 x2 = 1 або
)
4y2 + 1 = 0 ( 2y − 1 ) ( 2y + 1 ) = 0 2y − 1 = 0 2y = 1 1 y2 = = 0, 5 2
в) x − 4x − 4x + 16 = 0 x x2 − 4 − 4 x2 − 4 = 0 ( x − 4 ) x2 − 4 = 0 ( x − 4) ( x − 2) ( x + 2) = 0 x−4 = 0 або x −2 = 0 x1 = 4 x2 = 2 3
2
(
(
) (
(
) (
)
або
2y + 1 = 0 2y = −1 1 y3 = − = −0, 5 ; 2
)
)
г) 2z3 − z2 = 8z − 4 2z3 − z2 − 8z + 4 = 0 2z z2 − 4 − z2 − 4 = 0 ( 2z − 1 ) z2 − 4 = 0 ( 2z − 1 ) ( z − 2 ) ( z + 2 ) = 0 2z − 1 = 0 або z − 2 = 0 2z = 1 z2 = 2 1 z1 = = 0, 5 2
(
x +1 = 0 x3 = −1 ;
або
x+2 = 0 x3 = −2 ;
або
z+2 = 0 z3 = −2 ;
)
119
д) x4 − x3 − x2 + x = 0 x2 x2 − 1 − x x2 − 1 = 0 x ( x − 1 ) x2 − 1 = 0 x ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) = 0 x1 = 0 або x − 1 = 0 x2 = 1
АЛГЕБРА
(
(
)
(
)
)
або
x +1 = 0 x3 = −1 ;
е) x3 − 2x2 + 4x − 8 = 0 x2 ( x − 2 ) + 4 ( x − 2 ) = 0 ( x − 2 ) x2 + 4 = 0 x −2 = 0 x=2 або x2 + 4 = 0 x2 = −4 — не має рішень.
(
)
701. а) x3 − 4x = 0 x x2 − 4 = 0 x ( x − 2) ( x + 2) = 0 x1 = 0 або
(
)
x −2 = 0 x2 = 2
б) 1, 2z3 − 0, 3z = 0 0, 3z 4z2 − 1 = 0 0, 3z ( 2z − 1 ) ( 2z + 1 ) = 0 0, 3z = 0 або 2z − 1 = 0 z1 = 0 2z = 1 1 z2 = = 0, 5 2
(
або
x+2 = 0 x3 = −2 ;
або
2z + 1 = 0 2z = −1 1 z3 = − = −0, 5 ; 2
)
в) x3 − x2 − 9x + 9 = 0 x x2 − 9 − x2 − 9 = 0 ( x − 1 ) x2 − 9 = 0 ( x − 1) ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0 x −1 = 0 або x −3 = 0 або x+3 = 0 x1 = 1 x2 = 3 x3 = −3 ; г) 4y3 − y2 = 4y − 1 4y3 − y2 − 4y + 1 = 0 4y y2 − 1 − y2 − 1 = 0 ( 4 y − 1 ) y2 − 1 = 0 ( 4y − 1 ) ( y − 1 ) ( y + 1 ) = 0 4y − 1 = 0 або y − 1 = 0 або y +1 = 0 4y = 1 y2 = 1 y3 = −1 . 1 y1 = = 0, 25 4 702. а) x2 + 2x − 8 = x2 + 2x − 4 − 4 == x2 − 4 + 2 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x + 2 ) + +2 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x + 2 + 2 ) == ( x − 2 ) ( x + 4 ) ;
(
(
(
) (
(
) (
)
)
)
)
(
)
б) a2 − 8a + 12 = a2 − 8a + 12 + 4 − 4 == a2 − 8a + 16 − 4 = ( a − 4 ) − 4 = = (a − 4 − 4) (a − 4 + 4) = a (a − 8) ; 2
120
в) 4c2 − 4c − 3 = 4c2 − 4c − 3 + 4 − 4 == 4c2 − 4c + 1 − 4 = ( 2c − 1 ) − 4 = = ( 2c − 1 − 4 ) ( 2c − 1 + 4 ) = ( 2c − 5 ) ( 2c + 3 ) ; г) x2 − 6xy + 5y2 = x2 − 6xy + 5y2 + 4y2 −−4y2 = x2 − 6xy + 9y2 − 4y2 = 2
= ( x − 3y ) − 4y2 = ( x − 3y − 2y ) ⋅⋅ ( x − 3y + 2y ) = ( x − 5y ) ( x − y ) ; д) a2 + 12ab + 11b2 = a2 + 12ab + 11b2 +25b2 − 25b2 = a2 + 12ab + 36b2 −
−25b2 = ( a + 6b ) − 25b2 = ( a + 6b − 5b ) ⋅⋅ ( a + 6b + 5b ) = ( a + b ) ( a + 11b ) ; е) 9a2 − 6ab − 8b2 = 9a2 − 6ab − 8b2 +9b2 − 9b2 = 9a2 − 6ab + b2 − 9b2 = 2
= ( 3a − b ) − 9b2 = ( 3a − b − 3b ) ⋅⋅ ( 3a − b + 3b ) = ( 3a − 4b ) ( 3a + 2b ) . 2
(
)
(
)
АЛГЕБРА
2
703. а) 2a2 + a − 4ab − b + 2b2 == 2 a2 − 2ab + b2 + ( a − b ) =
= 2 ( a − b ) + ( a − b ) = ( a − b ) ( 2a − 2b + 1 ) ; 2
б) a3 − b3 − ( a − b ) = ( a − b ) a2 + 2ab + b2 − 3
(
)
− ( a − b ) = ( a − b ) a2 + ab + b2 − ( a − b ) = = ( a − b ) a2 + ab + b2 − a2 + 2ab − b2 == ( a − b ) 3ab . 3
(
2
)
704. а) x2 − 8x + 7 = 0 x2 − 8x + 7 + 9 − 9 = 0 x2 − 8x + 16 − 9 = 0
(x − 4) − 9 = 0 ( x − 4 − 3) ( x − 4 + 3) = 0 ( x − 7 ) ( x − 1) = 0 2
x −7 = 0 x1 = 7
x −1 = 0 x2 = 1 ;
або
б) y2 + 12y + 20 = 0 y2 + 12y + 20 + 16 − 16 = 0 y2 + 12y + 36 − 16 = 0 2 ( y + 6 ) − 16 = 0 (y + 6 − 4) (y + 6 + 4) = 0 ( y + 2 ) ( y + 10 ) = 0 y + 2 = 0 або y + 10 = 0 y1 = −2 y2 = −10 . 2 в) ( x − 1 ) − 6 ( x − 1 ) + 8 = 0 2 ( x − 1) − 6 ( x − 1) + 8 + 1 − 1 = 0 2 ( x − 1) − 6 ( x − 1) + 9 − 1 = 0 2 ( x −1 − 3) −1 = 0 2 (x − 4) −1 = 0 ( x − 4 − 1) ( x − 4 + 1) = 0 ( x − 5) ( x − 3) = 0 x − 5 = 0 або x −3 = 0 x1 = 5 x2 = 3 . г) ( x − 1 ) ( x − 3 ) x2 − 3 = ( x − 1 ) ( x − 3 ) x2 − 3 = 1 x2 − 3 − 1 = 0
(
)
121
x2 − 4 = 0
АЛГЕБРА
( x − 2) ( x + 2) = 0 x −2 = 0 x1 = 2
x+2 = 0 x2 = −2 .
або
(
)(
)
(
)(
)
705. a6 − b6 = ( a − b ) ( a + b ) a2 − ab + b2 ⋅ ⋅ a2 + ab + b2 ; a6 − b6 = a3 − b3 a3 + b3 = = ( a − b ) a2 + ab + b2 ⋅ ( a + b ) a2 − ab + b2 , що й треба було довести.
(
)
(
)
(
)
(
)
706. 334 + 992 − 330 − 990 = 330 ⋅ 34 + 990 ⋅ 92 −−330 − 990 = 330 34 − 1 + 990 92 − 1 = = 330 + 990 92 − 1 = 80 330 + 990 — ділиться на 80, що й треба було довести.
(
)(
)
(
)
(
)
707. 1110 + 4 ⋅ 749 + 1111 − 4 ⋅ 748 == 1110 (1 + 11 ) + 748 (7 ⋅ 4 − 4 ) == 12 1110 + 2 ⋅ 748 — ділиться на 12, що й треба було довести. 709. а) ( 3a + 2b ) ( 4a − b ) + 2b2 = 12a2 − 3ab +8ab − 2b2 + 2b2 = 12a2 + 5ab ; б) 2x ( y + 15x ) + ( x − 6y ) ( 5y + 2x ) == 2xy + 30x2 + 5xy + 2x2 − 30y2 − −12xy = 32x2 − 5xy − 30y2 . 710. а)
5x/ 3 2x/ 2 + = 38 6 9 19x = 38 18 18 2 x = 38 ⋅ 19 x = 36 ;
б)
1 − 3x 19 + x = 5 8
8 ( 1 − 3x ) = 5 ( 19 + x )
8 − 24x = 95 + 5x
−29x = 95 − 8 −29x = 87 x = 87 : ( −29 ) x = −3 .
}
712. Мідь — 80 % 2 кг Срібло — 100 %− 80 %= 20 % 2 ⋅ 0, 2 = 0, 4 (кг) — маса срібла. Відповідь: 0,4 кг.
}
713. Мідь — x + 0, 1 4,2 кг Цинк — x 4, 2x + 4, 2 ( x + 0, 1 ) = 4, 2 4, 2x + 4, 2x + 0, 42 = 4, 2 8, 4x = 4, 2 − 0, 42 8, 4x = 3, 78 x = 3, 78 : 8, 4 x = 0, 45 — частина цинку у сплаві; 4, 2 ( 0, 45 + 0, 1 ) = 2, 31 (кг) — маса міді. Відповідь: 2,31 кг. 714. Мідь — 2x + 0, 2 Олово — в 1,2 р. < 122
2x + 0, 2 = 1, 2 2, 2 − ( 2x + 0, 2 )
}
2,2 кг
2x + 0, 2 = 1, 2 2, 2 − 2x − 0, 2
АЛГЕБРА
2x + 0, 2 = 1, 2 ( 2 − 2x ) 2x + 0, 2 = 2, 4 − 2, 4x 2, 4x + 2x = 2, 4 − 0, 2 4, 4x = 2, 2 x = 2, 2 : 4, 4 x = 0, 5 = 50 % — міді в першому сплаві. Відповідь: 50 %. 717. а) x2 + 2x + 1 = ( x + 1 ) > 0 , що й треба було довести; 2
б) 4m + 4mn + n + 3 = ( 2m + n ) + 3 > 0 , що й треба було довести. 2
2
2
718. а) a2 − 4a + 4 = ( a − 2 ) > 0 , що й треба було довести; 2
б) x2 − 2xy + y2 + 4 = ( x − y ) + 4 > 0 , що й треба було довести. 2
719. а) 2452 − 2362 = ( 245 − 236 ) ( 245 + 236 ) == 9 ( 245 + 236 ) — ділиться на 9; б) 4382 − 622 = ( 438 − 62 ) ( 438 + 62 ) == 500 ( 438 − 62 ) — ділиться на 500; в) 523 − 363 = ( 52 − 36 ) 522 + 52 ⋅ 36 + 362 = 16 522 + 52 ⋅ 36 + 362 — ділиться на 16; г) 753 + 253 = (75 + 25 ) 752 − 75 ⋅ 25 + 252 == 100 752 − 75 ⋅ 25 + 252 — ділить ся на 100, що й треба було довести.
(
)
(
)
(
)
(
)
720. а) 8112 − 7122 = ( 811 − 712 ) ( 811 + 712 ) == 99 ( 811 + 712 ) — ділиться на 99; б) 483 − 193 = ( 48 − 19 ) 482 + 48 ⋅ 19 + 192 == 29 482 + 48 ⋅ 19 + 192 — ділиться на 29, що й треба було довести.
(
)
(
(
)
)
721. а) 4x3 − 6x2 + 5x − 3 = 4x2 − 6x + 5 x − 3 = ( ( 4x − 6 ) x + 5 ) x − 3
( ( 4 ⋅ 5 − 6 ) 5 + 5 ) 5 − 3 = 372 ; x = 3, 2 , ( ( 4 ⋅ 3, 2 − 6 ) 3, 2 + 5 ) 3, 2 − 3 = 82, 632 ; x = −2, 6 , ( ( 4 ( −2, 6 ) − 6 ) ( −2, 6 ) + 5 ) ( −2, 6 ) − 3 == −126, 864 ; x =5 ,
(
)
б) 1, 2x3 + 2, 4x2 + 0, 5x − 1 == 1, 2x2 + 2, 4x + 0, 5 x − 1 =
= ( ( 1, 2x − 2, 4 ) x + 0, 5 ) x − 1
x = 1, 7 ,
( (1, 2 ⋅ 1,7 − 2, 4 ) 1,7 + 0, 5 ) 1,7 − 1 = −1,1904 ;
(
) ( ( ( 45x + 4 ) x − 3, 5 ) x + 2 ) x − 1, 8
в) 4, 5x + 4x3 − 3, 5x2 + 2x − 1, 8 = 4, 5x3 + 4x2 − 3, 5x + 2 x − 1, 8 = 4
=
( ( 45x
2
)
)
+ 4x − 3, 5 x + 2 x − 1, 8 ==
( ( ( 45 ⋅ 4 + 4 ) 4 − 3, 5 ) 4 + 2 ) 4 − 1, 8 = 11726, 2 . − 8x + 12x − 30 = ( 15x − 8x + 12 ) x − 30 == ( ( 15x − 8 ) x + 12 ) x − 30
x=4, 722. а) 15x3
2
2
( (15 ⋅ 2 − 8 ) 2 + 12 ) 2 − 30 = 12 ; x = 1, 2 , ( (15 ⋅ 1, 2 − 8 ) 1, 2 + 12 ) 1, 2 − 30 = 1, 2 ; x = −4 , ( ( 15 ( −4 ) − 8 ) ( −4 ) + 12 ) ( −4 ) − 30 = −1166 ; x =2 ,
(
) ( ( ( 2, 4x − 7, 2 ) x − 3, 3 ) x + 4, 5 ) x x = 3 , ( ( ( 2, 4 ⋅ 3 − 7, 2 ) 3 − 3, 3 ) 3 + 4, 5 ) 3 = −16, 2 .
б) 2, 4x 4 − 7, 2x3 − 3, 3x2 + 4, 5x == 2, 4x3 − 7, 2x2 − 3, 3x + 4, 5 x = =
( ( 2, 4x
2
)
)
− 7, 2x − 3, 3 x + 4, 5 x ==
123
(
( ( a − 1) + 3 ) < 0 , що й треба було до+ 4x − 5 = − ( x − 4x + 5 ) == − ( ( x − 2 ) + 1 ) < 0 , що й треба було довести. )
(
)
2
723. а) − a2 − 2a + 4 = − a2 − 2a + 1 + 3 == − вести;
АЛГЕБРА
б) −x2
(
2
2
( ( x − 1) + 1) < 0 , що й треба було довести; + 2y − 4 = − ( y − 2y + 4 ) == − ( ( y − 1 ) + 3 ) < 0 , що й треба було довести. )
2
724. а) − x2 − 2x + 2 = − б) −y2
2
2
725. а) x2 − 4x + 4 = ( x − 2 )
2
( x − 2)
= 0 — найменше значення при x = 2 ;
( x − 2)
+ 3 = 3 — найменше значення при x = 2 .
2
б) x2 − 4x + 7 = ( x − 2 ) + 3 2
2
726. а) a2 + 6a + 9 = ( a + 3 )
2
( a + 3)
= 0 при x = −3 — найменше значення;
( x − 3)
+ 1 = 1 при x = −3 — найменше значення.
2
б) x2 − 6x + 10 = ( x − 3 ) + 1 2
2
(
)
727. а) ( n − 2 ) + 3n2 = n2 − 4n + 4 + 3n2 == 4n2 − 4n + 4 = 4 n2 − n + 1 — ділиться на 4, що й треба було довести; б) ( n − 2 ) ( 2n − 7 ) − 2n2 − 3 == 2n2 − 7n − 4n + 14 − 2n2 − 3 = = 11 − 11n = 11 ( 1 − n ) — ділиться на 11, що й треба було довести. 2
728. ( n + 2 ) − n ( n − 2 ) + 2 = n2 + 4n + 4 −n2 + 2n + 2 = 6n + 6 = 6 ( n + 1 ) — ділиться на 6, що й треба було довести. 2
729. а) ( n − 5 ) + ( 2n − 3 ) ( 2n + 8 ) == n2 − 10n + 25 + 4n2 + 16n − 6n − 24 = = 5n2 − 19 = 5n2 − 15 − 4 = 5 n2 − 3 − 4 — не ділиться на 5. б) ( n − 3 ) n2 − 3 − n3 − 1 == n3 − 3n − 3n2 + 9 − n3 + 1 = = −3n2 − 3n + 9 + 1 = 3 −n2 − n + 3 + 1 — не ділиться на 3. 2
(
) (
(
)
(
)
)
730. ( n + 3 ) − ( n − 3 ) + 3 == n2 + 6n + 9 − n2 + 6n − 9 + 3 == 12n + 3 — не ділиться на 12. 2
2
731. 533 − 5 30 = 5
30
(5
3
)
−1 = 5
(
30
(125 − 1 ) == 124 ⋅ 5 30
)
732. а) −x2 + 2x − 8 = − x2 − 2x + 8 == −
— ділиться на 124.
( ( x − 1) + 7 ) = − ( x − 1) 2
2
−7
− ( x − 1 ) − 7 = −7 при x = 1 — найбільше значення; 2
(
)
б) −a2 − 4a + 3 = − a2 + 4a − 3 + 4 − 4 = −
(( a + 2) −7 ) = 7 − ( a + 2) 2
2
7 − ( a + 2 ) = 7 при x = −2 — найбільше значення. 2
733. a2 − 4a + 7 = ( a − 2 ) + 3 2
( a − 2) + 3 = 1 2 ( a − 2) = 1 − 3 2 ( a − 2 ) = −2 — не має рішень, тому вираз не може дорівнювати 1. 2
124
б) x2 − x − 12 = 0 x2 − x + 0, 25 − 12 − 0, 25 = 0
( x − 0, 5 ) − 12, 25 = 0 ( x − 0, 5 − 3, 5 ) ( x − 0, 5 + 3, 5 ) = 0 ( x − 4) ( x + 3) = 0 2
x−4 = 0 x1 = 4
АЛГЕБРА
734. а) x2 − 7x + 12 = 0 x2 − 7x + 12 + 0, 25 − 0, 25 = 0 2 ( x − 3, 5 ) − 0, 25 = 0 ( x − 3, 5 − 0, 5 ) ( x − 3, 5 + 0, 5 ) = 0 ( x − 4) ( x − 3) = 0 x − 4 = 0 або x −3 = 0 x1 = 4 x2 = 3 ;
x+3 = 0 x2 = −3 .
або
735. а) ( x − 1) + ( x − 3 ) = 0 2
2
( x − 1)
2
= ( x − 3 ) = 0 — не має рішень; 2
( ) x − 1 ( ) = ( x − 1)
б) x2 − 1 + ( x − 1 ) = 0 2
4
2
2
x =1.
4
=0
(
)
736. а) 310 + 96 = 310 + 312 = 310 1 + 32 = 10 ⋅ 310 — ділиться на 10, що й треба було довести. б) 220 + 225 − 222 = 220 1 + 25 − 2 2 = 220 ( 1 + 32 − 4 ) = 29 ⋅ 220 — ділиться на 29, що й треба було довести.
(
)
737. а) x2 + y2 − 2x − 2y + 3 = 0 x2 + y2 − 2x − 2y + 1 + 1 + 1 = 0
( x − 1) + ( y − 1) + 1 = 0 2 2 ( x − 1 ) + ( y − 1 ) = −1 — рішень не існує, що й треба було довести; 2
2
б) 2x2 + 2y2 − 2xy − 2x − 2y + 3 = 0 x2 − 2xy + y2 + x2 + y2 − 2x − 2y + 3 = 0
( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1) + 1 = 0 2 2 2 ( x − y ) + ( x − 1 ) + ( y − 1 ) = −1 — рішень не існує, бо ( x − y )2 + ( x − 1)2 + ( y − 1)2 0 , що й треба було довести. 2
2
2
738. 2 + 2 = 4 , 2 ⋅ 2 = 4 — найбільший добуток. 740. a = n (м); b = n − k (м) P = 2a + 2b = 2n + 2n − 2k = 4n − 2k S = ab = n ( n − k ) = n2 − kn . 741. Vвл = 21 км/год; tпр. теч = 1, 2 год; Vтеч = ч км/год; tза теч = 7, 2 год; 7, 2x = 1, 2 ( 21 − x ) 7, 2x = 25, 2 − 1, 2x 7, 2x + 1, 2x = 25, 2
125
АЛГЕБРА
8, 4x = 25, 2 x = 25, 2 : 8, 4 x = 3 км/год — швидкість течії. Відповідь: 3 км/год.
}
742. I ділянка — 2x II ділянка — 3x 568 га III ділянка — ( 2x + 3x ) − 52 га 2x + 3x + 5x − 52 = 568 10x = 568 + 52 x = 620 : 10 x = 62 2 ⋅ 62 = 124 (га) — площа I ділянки; 3 ⋅ 62 = 186 (га) — площа II ділянки; 568 − (124 + 186 ) = 258 (га) — площа III ділянки. Відповідь: 124 га, 186 га, 258 га. 743. ax = 3 має єдиний корінь при a > 0 , або a < 0 . При a = 0 це рівняння не має коренів. 744. а) б) в) г) д) е)
( 5 − a ) ( 5 + a ) = 25 − a2 ; ( 3b + 2a ) ( 3b − 2a ) = 9b2 − 4a2 ;
(x + y )(x − y ) = x
2
(
)
− y4 ; ( −c + 0, 4 ) ( 0, 4 + c ) = 0,16 − c2 ; ( −m − 5n ) ( m − 5n ) = 25n2 − m2 ; ab + 2a2 ab − 2a2 = a2b2 − 4a4 . 2
2
)(
745. а) ( a − 2b ) = a2 − 4ab + 4b2 ; 2
(
б) 3x + 2x2
)
2
= 9x2 + 12x3 + 4x4 ;
в) ( −0, 5ab − 2c ) = 0, 25a2b2 + 2abc + 4c2 . 2
746. а) ( a − 6 ) ( a + 6 ) + ( 3 − a ) ( 3 + a ) == a2 − 36 + 9 − a2 = −27 ;
(
)(
) (
)
(
2
)
б) 3x2 − 1 3x2 + 1 − 1 − 3x2 = 9x4 − 1 − 1 − 6x2 + 9x4 = = 9x4 − 1 − 1 + 6x2 − 9x4 = 6x2 − 2 ; в) ( 5a − 2b ) + ( 2a + 5b ) − 29b2 = 25a2 − 20ab + 4b2 + 4a2 + 20ab + 25b2 − −29b2 = 29a2 ; 2
г) д) 747. б)
(a − b) + (b − c) + (c − a) 2
2
2
(
)
− 2 a2 + b 2 + c 2 = = a − 2ab + b + b − 2bc + c2 + c2 − 2ac + +a2 − 2a2 − 2b2 − 2c2 = −2ab − 2bc − 2ac . a2 − b2 a2 + b2 a4 + b4 + a8 + b8 == a4 − b4 = a8 − b8 + a8 + b8 = 2a8 . 2
(
2
)(
2
)(
( n + 1) + ( n + 5 )
)
(
)(a
4
)
+ b 4 + a8 + b 8 =
− 3 = (n + 2) + (n + 4) + 3 n + 2n + 1 + n + 10n + 25 − 3 == n2 + 4n + 4 + n2 + 8n + 16 + 3 2n2 + 12n + 23 = 2n2 + 12n + 23 , що й треба було довести; 2
2
126
2
2
2
2
2
( (
)( )(
) ) (
в) ( m − 2 ) ( m + 2 ) m2 + 4 m4 + 16 = m8 − 256 ( m − 2 ) ( m + 2 ) m2 + 4 m4 + 16 == m2 − 4 m2 + 4 m4 + 16 = = m4 − 16 m4 + 16 = m8 − 256 , що й треба було довести. 748. а) б) в) г)
)(
)
)(
)(
)
96 ⋅ 104 = (100 − 4 ) (100 + 4 ) == 10000 − 16 = 9984 ; 52 ⋅ 48 = ( 50 + 2 ) ( 50 − 2 ) = 2500 − 4 = 2496 ; 19, 8 ⋅ 20, 2 = ( 20 − 0, 2 ) ( 20 + 0, 2 ) = 400 − 0, 04 = 399, 96 ; 7, 5 ⋅ 8, 5 = ( 8 − 0, 5 ) ( 8 + 0, 5 ) == 64 − 0, 25 = 63, 75 .
749. а) ( x − 3 ) ( x + 3 ) − x ( x + 2 ) = 1 x2 − 9 − x2 − 2x = 1 −2x = 10 x = 10 : ( −2 ) x = −5 ;
АЛГЕБРА
(
б) ( 2x + 5 ) = ( 2x − 3 ) 4x2 + 20x + 25 = 4x2 − 12x + 9 32x = −16 x = −16 : 32 x = −0, 5 ; 2
2
2
1 1 в) + 10x − 4 + 25x2 = 0 5 5 1 4 + 4x + 100x2 − − 100x2 = 0 25 5 4/ 5 1 4x = − 5 25 20 − 1 19 4x = = 25 25 19 1 x= ⋅ 25 4 x = 0, 19 ; 1 2 г) ( 5x + 3 ) ( 5x − 3 ) + 9 = ( 5x − 1 ) 9 1 25x2 − 9 + 9 = 25x2 − 10x + 1 9 1 10x = 1 − 9 8 10x = 9 8 1 x= ⋅ 9 10 8 x= 90 4 x= . 45 750. а) ( 2n + 1 ) ( 2n − 1 ) − ( n + 1 ) − n − 1 == 4n2 − 1 − n2 − 2n − 1 − n − 1 = = 3n2 − 3n − 3 = 3 n2 − n − 1 —ділиться на 3, що й треба було довести. 2
(
)
б) ( 2n + 7 ) ( 8n − 8 ) − ( 4n + 5 ) == 16n2 − 16n + 56n − 56 − 16n2 − 40n − 25 == −81 — не ділиться на 6, що й треба було довести. 2
127
(
)
751. ( k − 2 ) + ( k + 2 ) − 2 ( k − 4 ) ( k + 4 ) == k2 − 4k + 4 + k2 + 4k + 4 − 2 k2 − 16 = = 2k2 + 8 − 2k2 + 32 = 40 — не залежить від значення k, що й треба було довести. 2
2
(
)
752. а) 3a2 − 3 = 3 a2 − 1 = 3 ( a − 1 ) ( a + 1 ) ;
(
) (
АЛГЕБРА
б) x3 − 4x = x x2 − 4 = x ( x − 2 ) ( x + 2 ) ;
) ) (1, 2a + b ) ; = ( c + 1 − 2c ) ( c + 1 + 2c ) == ( c − 1 ) ( c + 1 )
в) x4 y2 − x2 y4 = x2 y2 x2 − y2 == x2 y2 ( x − y ) ( x + y ) ;
(
г) 1, 44a2 − b4 = 1, 2a − b2
(
)
2
д) c + 1 − 4c 2
2
2
2
2
2
2
;
е) a − 2ab + b − 1 = ( a − b ) − 1 == ( a − b − 1 ) ( a − b + 1 ) ; 2
2
2
є) 25m2 − ( 4m − 4 ) = ( 5m − 4m + 4 ) ⋅ ( 5m + 4m − 4 ) = ( m + 4 ) ( 9m − 4 ) ; 2
ж) x2 − y2 − x − y = ( x − y ) ( x + y ) −− ( x + y ) = ( x + y ) ( x − y − 1 ) ;
(
)
з) 2a2 − 2b2 − ( a − b ) = 2 a2 − b2 −− ( a − b ) = 2 ( a − b ) ( a + b ) − ( a − b ) = 2
2
2
= ( a − b ) ( 2a + 2b − a + b ) == ( a − b ) ( a + 3b ) .
(
)
753. а) a3 − 64 = ( a − 4 ) a2 + 4a + 16 ;
(
)
б) x3 + 8z3 = ( x + 2z ) x2 − 2xz + 4z2 ;
(
)
в) ( x + 2 ) − y3 = ( x − y + 2 )⋅ ⋅ ( x + 2 ) + y ( x + 2 ) + y2 = 3
(
2
)
= ( x − y + 2 ) x2 + 2x + 4 + xy + 2y + y2 .
( )
) (
) (
)(
)
754. а) a5 − a3 + a2 − 1 = a3 a2 − 1 + a2 − 1 = a3 + 1 a2 − 1 =
(
( a − 1 ) ( a2 − a + 1 ) ; 4 3 3 3 б) z + z − 8z − 8 = z ( z + 1 ) − 8 ( z + 1 ) = ( z − 8 ) ( z + 1 ) = = ( z − 2 ) ( z2 + 2z + 4 ) ( z + 1 ) ; в) 2x4 − 2x3 − 2x + 2 = x3 ( 2x − 2 ) − ( 2x − 2 ) = = ( x3 − 1 ) ( 2x − 2 ) = ( x − 1 ) ( x2 + x + 1 ) ( 2x − 2 ) . = ( a + 1 ) a2 − a + 1 ( a − 1 ) ( a + 1 ) == ( a + 1 )
(
) − ( x − y ) = ( x + xy + y ) − ( x − y ) × × ( x + xy + y ) = ( x + xy + y ) ⋅⋅ (1 − ( x − y ) ) = ( x + xy + y )
755. а) x2 + xy + y2
2
3
2 2
2
3
2
2 2
2
(
(
(
2
2
)
2
(
2 2
2
− 4x2 == x2 + 2 − 2x
)(x
2
)
x −3 = 0 x2 = 3
або
x+3 = 0 x3 = −3 ;
y −1 = 0 y2 = 1
або
y +1 = 0 y3 = −1 ;
)
×
)
+ 2 + 2x .
)
y2 + 3y − 4y = 0 y3 − y = 0 y y2 − 1 = 0 y ( y − 1) ( y + 1) = 0 y1 = 0 або
(
2 2
2
× (1 − x + y ) (1 + x − y ) ; б) x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 − 4x2 == x2 + 2
756. а) x3 − 9x = 0 x x2 − 9 = 0 x ( x − 3) ( x + 3) = 0 x1 = 0 або б) y y2 + 3 = 4y
128
2
в) x3 − 5x2 − x + 5 = 0 x2 ( x − 5 ) − ( x − 5 ) = 0
x −5 = 0
або
x −1 = 0
або
x +1 = 0
x1 = 5
x2 = 1
x3 = −1 ;
АЛГЕБРА
( x − 5 ) ( x2 − 1 ) = 0 ( x − 5 ) ( x − 1) ( x + 1) = 0
г) 2z3 + 3z2 = 2z + 3 2z3 + 3z2 − 2z − 3 = 0 z2 ( 2z + 3 ) − ( 2z + 3 ) = 0
( 2z + 3 ) ( z2 − 1 ) = 0 ( 2z + 3 ) ( z − 1 ) ( z + 1 ) = 0 2z + 3 = 0 або
z −1 = 0
або
z +1 = 0
2z = −3 3 z1 = − = −1, 5 2
z2 = 1
z3 = −1 .
757. а) x2 − 4x + 4 + 2 ( x − 1 ) = 0 2
( x − 2 ) + 2 ( x − 1) = 0 2 2 ( x − 2 ) = −2 ( x − 1 ) — не має рішень; 2
(
2
) ( 2
б) x2 + 1 + x2 − x
)
2
=1
x + 2x + 1 + x − 2x3 + x2 − 1 = 0 4
2
4
2x4 − 2x3 + 3x2 = 0
(
)
x2 2x2 − 2x + 3 = 0 x2 = 0
або
x=0
2x2 − 2x + 3 = 0
2x ( x − 1 ) = −3 — не має рішень;
в) x ( x − 1 ) + x2 − 2x + 1 = 0 x ( x − 1) + ( x − 1) = 0 2
( x − 1) = x ( x − 1) 2 ( x − 1) − x ( x − 1) = 0 ( x − 1) ( x − 1 − x ) = 0 2
x −1 = 0 x =1. 758. а) 4012 − 1992 = ( 401 − 199 ) ( 401 + 199 ) = 600 ( 401 − 199 ) — ділиться на 600; б) 853 − 483 = ( 85 − 48 ) 852 + 85 ⋅ 48 + 482 = 37 852 + 85 ⋅ 48 + 482 — ділить ся на 37; в) 583 + 423 = ( 58 + 42 ) 582 − 58 ⋅ 42 + 422 = 100 582 − 58 ⋅ 42 + 422 — ділить ся на 100; г) 733 + 731 = 731 72 + 1 = 50 ⋅ 731 — ділиться на 50, що й треба було довести.
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
759. а) 8 − 64 = 8 − 8 = 824 ( 8 − 1 ) == 7 ⋅ 824 — ділиться на 7; б) 169 − 328 + 812 = 236 − 240 + 236 = 236 1 − 24 + 1 = −14 ⋅ 236 = −237 ⋅ 7 — ділить ся на 7, що й треба було довести. 129 25
12
25
24
(
)
760. x2 − 14x + 50 = x2 − 14x + 49 + 1 = ( x − 7 ) + 1 > 0 , що й треба було довести. 2
(
)
(
)
761. 4x − x2 − 5 = − x2 − 4x + 5 = − x2 − 4x + 4 + 1 = − = − ( x − 2 ) − 1 < 0 , що й треба було довести.
АЛГЕБРА
2
( ( x − 2 ) + 1) = 2
762. а) x2 + 8x + 17 = x2 + 8x + 16 + 1 == ( x + 4 ) + 1 2
(x + 4)
2
+ 1 = 1 — найменше значення;
б) a − 8ac + 16c2 + 16 = ( a − 4c ) + 16 2
2
( a − 4c )
2
+ 16 = 16 — найменше значення.
763. a = 2n ; b = 2n + 1 ; b2 − a2 = ( 2n + 1 ) − ( 2n ) = ( 2n + 1 − 2n ) ( 2n + 1 + 2n ) = 4n + 1 — непарне число, що й треба було довести. 2
2
764. a = 2n + 1 ; b = 2n + 3 2 2 b2 − a2 = ( 2n + 3 ) − ( 2n + 1 ) == ( 2n + 3 − 2n − 1 ) ( 2n + 3 + 2n + 1 ) = = 2 ( 4n + 4 ) = 8n + 8 = 8 ( n + 1 ) — ділиться на 8, що й треба було довести. 765. 1510 − 153 + 2256 − 2113 = 1510 − 153 +
(
) (
) (
(
)
+1512 − 2113 = 1510 + 1512 − 153 + 2113 == 1510 1 + 152 − (15 + 211) ×
(
)
)
× 152 − 15 ⋅ 211 + 2112 = 226 ⋅ 1510 − 226 152 − 15 ⋅ 211 + 2112 =
(
)
= 226 1510 − 152 + 15 ⋅ 211 − 2112 — ділиться на 226, що й треба було довести. 766. а) a = 3n + 1 ; b = 3n + 2 ; b2 − a2 = ( 3n + 2 ) − ( 3n + 1 ) == ( 3n + 2 − 3n − 1 ) ( 3n + 2 + 3n + 1 ) = = 6n + 3 = 3 ( 2n + 1 ) — ділиться на 3; 2
2
б) a = 3n + 1 ; b = 6n + 1 ; 2 2 b2 − a2 = ( 6n + 1 ) − ( 3n + 1 ) == ( 6n + 1 − 3n − 1 ) ( 6n + 1 + 3n + 1 ) =
(
)
= 3n ( 9n + 2 ) = 3 9n2 + 2n — ділиться на 3; в) a = 3b + 2 ; b = 6b + 2 ;
b2 − a2 = ( 6b + 2 ) − ( 3b + 2 ) = ( 6b + 2 − 3b − 2 ) ( 6b + 2 + 3b + 2 ) = = 3b ( 9b + 4 ) = 3 9b2 + 4b — ділиться на 3, що й треба було довести. 2
(
2
)
767. а) x2 + y4 − 4x − 2y2 + 7 = 0 x2 − 4x + 4 + y4 − 2y2 + 1 + 2 = 0 2 2 ( x − 2 ) + y2 − 1 + 2 = 0 — рішень не існує;
(
130
)
б) 2x2 + 4y2 − 4xy − 2x + 3 = 0 x2 − 4xy + 4y2 + x2 − 2x + 1 + 2 = 0 2 2 ( x − 2y ) + ( x − 1 ) + 2 = 0 — рішень не існує, що й треба було довести.
Завдання для самоперевірки №5 1. г); 2. в); 3. в); 4. в); 6. б) 8. а) ( 4 + 3b ) = 16 + 24b + 9b2 ; 2
( 2a − 5 )
2
= 4a2 − 20a + 25 . 9y − 16 = ( 3y − 4 ) ( 3y + 4 ) ; 3x2 − 3y2 = 3 x2 − y2 = 3 ( x − y ) ( x + y ) ; 27a3 − b3 = ( 3a − b ) 9a2 + 3ab + b2 . 2
(
)
(
АЛГЕБРА
б) 10. а) б) в)
)
11. а) 9a2 + 12a + 4 = ( 3a + 2 ) ; 2
б) 100a2 + b2 − 20ab = (10a − b ) . 2
12. а) ( 2x − 7y ) + ( 2x + 7y ) − 8x = 4x2 −−28xy + 49y2 + 4x2 + 28xy + 49y2 − −8x2 = 98y2 ; 2
(
2
)(
2
) (
)
(
2
)
б) 2 − 3b2 3b2 + 2 + 3b2 − 1 = 4 − 9b4 + 3 b4 − 2b2 + 1 = 4 − 9b4 + 3b4 − −6b2 + 3 = −6b4 − 6b2 + 7 . 14. а) b6 − 4b4 = b3 − 2b2 b3 + 2b2 ; б) 0, 001a3 − 27b3 == ( 0, 1a − 3b ) 0, 01a2 + 0, 3ab + 9b2 ;
(
)(
)
(
(
)
)
в) 0, 8a3 + 0, 4a2 + 0, 4a4 = 0, 4a2 a2 + 2a + 1 == 0, 4a2 ( a + 1 ) .
(
)
2
15. −x2 + 10x − 27 = − x2 − 10x + 25 + 2 == − ( x − 5 ) − 2 < 0 , що й треба було довести. 2
16. а) − ( 2x + 3 ) + ( x + 5 ) ( 2x + 5 ) = 16 − 4x2 + 12x + 9 + 2x2 + 5x + 10x + 25 − 16 = 0 −4x2 − 12x − 9 + 2x2 + 15x + 9 = 0 −2x2 + 3x = 0 x ( 3 − 2x ) = 0 x1 = 0 або 3 − 2x = 0 2x = 3 3 x2 = = 1, 5 ; 2 б) x2 − 2x − 35 = 0 x2 − 2x + 36 − 35 − 36 = 0 x2 − 2x + 1 − 36 = 0 2
(
)
( x − 1 ) − 36 = 0 (x −1 − 6) (x −1 + 6) = 0 ( x −7 ) ( x + 5) = 0 2
x −7 = 0 x1 = 7
x +5 = 0 x2 = −5 .
або
(
)
18. а) m3 − n3 + 3m2 + 3mn + 3n2 == ( m − n ) m2 + mn + n2 + +3 m2 + mn + n2 = m2 + mn + n2 ⋅ ( m − n + 3 ) ; б) a2 + b2 + c2 − x2 + 2ab + 2bc + 2ca == a2 + b2 + c2 + ab + ab + bc + bc + ca + +ca − x2 = a ( a + b ) + ab + b ( b + c ) + bc ++c ( c + a ) + ca − x2 = a ( a + b + c ) +
(
) (
)
+b ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) − x2 == ( a + b + c ) ( a + b + c ) − x2 =
= ( a + b + c ) − x2 = ( a + b + c + x ) ( a + b + c − x ) . 19. а) x2 − 1 x2 + 1 x4 + 1 = x8 + 4x x4 − 1 x4 + 1 = x 8 + 4x x8 − 1 = x 8 + 4x 2
(
(
)(
)(
)
)(
)
131
АЛГЕБРА
4x = −1 1 x=− ; 4 2 2 21. 4x2 + a2 − 4x + 1 = ( 2x − 1 ) + a2 > 0 , бо ( 2x − 1 ) > 0 та a2 > 0 , що й треба було довести. § 6. функції 772. S = 6x . Так. 773. m = 7800 ⋅ a3 . Область визначення: a > 0 (a — всі додатні числа). m = 7800 ⋅ ( 0, 2 ) ; m = 7800 ⋅ 0, 008 = 6, 24 (кг). 3
774. S = 75t . S = 75 ⋅ 2, 4 = 180 (км). 775. V = 7, 5 ⋅ 4 ⋅ x = 30x ; V = 302, 5 = 75 (см3). 776. y = 2x2 − x . x = 2 ; y = 2x ( x − 1) = 2 ⋅ 2 ( 2 − 1) = 4 . x=0; y=0 . x = −1 ; y = 2 ⋅ ( −1) ( −1 − 1) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 4 . 777. y = 2x + 1 . x = 5 ; y = 2 ⋅ 5 + 1 = 11 . x = 0, 5 ; y = 2 ⋅ 0, 5 + 1 = 2 . x = −2 ; y = 2 ⋅ ( −2 ) + 1 = −4 + 1 = −3 . 778. y = 18 − 3x . x y
–3 27
–2 24
0 18
1 15
6 0
–4 33
–2 9
0 1
2 9
4 33
779. y = 2x2 + 1 . x y
5 1 780. y = 4x − 5 . y = 0 ; 0 = 4x − 5 ; 4x = 5 ; x = ; x = ; 4 4 y = 3 ; 3 = 4x − 5 ; 4x = 8 ; x = 2 . 1 Відповідь. y = 0 ; x = . 4 y=3; x=2 . 781. y = −2x + 3 . 1 = −2x + 3 ; −2x = −2 ; x = 1 ; 5 = −2x + 3 ; −2x = 2 ; x = −1 ; Відповідь. y = 1 ; x = 1 . y = 5 ; x = −1 . 782. а) x = −2 ; y = −1 . x = 2 ; y =1 ; б) y = −1 ; x = −2 . 132 y =1 ; x = 2 ;
в) область визначення функції: –4; –2; 0; 2; 4; г) область значень: –2; –1; 0; 1; 2.
1
x
–4
–3
–1
–2
–0,25
y
–48
–36
–12
–6
–3
2
–3 3
–10 –4
6
1,5
2
2,25
3,5
18
24
27
42
783. y = x + 6 . x y
–12 –6
–6 0
–4 2
–12 –6
24 30
–24 –18
АЛГЕБРА
783. y = 12x .
785. Через t год велосипедист проїде 10t км. 7 = 10t + S ; S = 7 − 10t . Область визначення: 0 t 0, 7 . Область значень: 0 S 7 . 786.
m 4
=n+
1 4
;
m 4
=
4n + 1 4
; m = 4x + 1 ;
Область визначення: n 1 ; Область значень: m 5 ; Відповідь. n = 50 ; m = 201 . 787. y = x2 − 4x + 2 . а) y = 2 ; 2 = x2 − 4x + 2 ; x2 − x = 0 ; x ( x − 4 ) = 0 ; x = 0 ; x = 4 . Відповідь. Якщо y = 2 , x = 0 ; x = 4 . б) y = −2 ; x2 − 4 + 2 = −2 ; x2 − 4x + 4 = 0 ; ( x + 2 ) = 0 ; x = 2 . Відповідь. Якщо y = −2 , x = 2 . 2
788. y = x2 + 2x − 3 . а) y = −3 ; x2 + 2x − 3 = −3 ; x2 + 2x = 0 ; x ( x + 2 ) = 0 ; x = 0 ; x = −2 ; Відповідь. Якщо y = −3 , x = 0 ; x = −2 . б) y = −4 ; x2 + 2x − 3 = −4 ; x2 + 2x + 1 = 0 ;
( x + 1)2 = 0 ;
x = −1 . Відповідь. Якщо y = −4 , x = −1 . 789. y = −3x − 1 . x y
–6 17
–3 8
0 –1
3 –10
6 –19
9 –28
790. y = x2 + 6x + 10 .
x2 + 6x + 9 + 1 = ( x + 3 ) + 1 . 2
ираз ( x + 3 ) не може набувати від’ємних значень, отже ( x + 3 ) + 1 В також не може набувати від’ємних значень. 2
2
791. y = x2 − 4x + 2 .
x2 − 4x + 2 = x2 − 4x + 2 + 2 − 2 = x2 − 4x + 4 − 2 = ( x − 2 ) − 2 . 2
( x − 2)
2
0, отже, найменше значення функції y = x2 − 4x + 2 буде y = −2. Відповідь. –2.
133
АЛГЕБРА
792. y = x2 − 4 x . x2 − 4 x = 0 . Якщо x 0 , x2 − 4 = 0 ; x ( x − 4 ) = 0 x=0; x=4. Якщо x < 0 ; x2 + 4x = 0 ; x ( x + 4 ) = 0 x = 0 ; x = −4 . x = 0 не входить в проміжок, що розглядається. Відповідь. y = 0 при x = −4 ; x = 0 ; x = 4 . 793. y = x2 + 2ax ; y = x ( x + 2a ) Якщо x = −a , y = −a ( −a + 2a ) = −a ⋅ a = − a2 . Відповідь. Так, наприклад при x = −a . 794. 15 ⋅
40 60
+ 15x + 45x = 40 ;
2 15 ⋅ + 60x = 40 ; 3 10 + 60x = 40 ; 60x = 30 ; x= 1 2
+
1 2 2 3
(год) =
3+4 6
=
7 6
=
1 6
(год).
Відповідь. Через 1 год 10 хв. 796.
797.
B
D
C (3; 2)
A
B C
798. P = ( 2 + 4 ) 2 = 12 S = 2⋅4 = 8 .
803.
134
x y
–3 4
–2 2
0 0
1 –1
4,5 1,5
2 –1,5
1і3 –1
Область визначення: −3 x 5 . Область значень: −1, 5 y 4 . Функція набуває додатних значень для −3 x < 0 і 4 < x 5 .
0і4 0
–3 4
x y
–2,5 –1,5
–1 0
3 0,5
4 4
–2,5 –1,5
–1; 0,5; 3 0
Область визначення: −2, 5 x 4 Область значень: −1, 5 y 4
7 6
805.
x y
–3 –5
–2 –3
–1 –1
0 –1
1 3
2 5
3 7
Точка A ( −2; − 3 ) належить графіку. Точка B ( 0; − 1) не належить. x = −1, 5 ; y = −2 ; x = 0, 5 ; y = 2 ; y=0 ; x=−
1 2
3,5 2
4 4
АЛГЕБРА
804.
B A
;
y =1 ; x = 0 .
806. y = −3x − 1 , −2 x 2 . x y
–2 5
–1 2
0 –1
1 –4
2 –7
Точка M належить, точка N не належить. �6 �7
807. а) y =
1
808. а) y =
1
4
x − 1 , −4 x 6 .
б)
y = x2 − 1 , −2 x 2 .
2
x + 2 , −6 x 4 .
�6
809. а) 4 км;
б) 20 хв.
135
АЛГЕБРА
810. а) Вода витікає з басейну. б) V0 = 800 м3; V4 = 0 . 811. а) б) в)
t = 2 год; t° = −2° С; t = 9 год; t° = 0° С; t = 18 год; t° = 6° С; t = −2° С була о 2 год і о 8 год; Температура 0 °С була о 9 год і о 23 год. Найвищою температура була о 14 год. Найнижчою — о 6 год.
812. а) б) в) г)
4 м/с; 10 м/с; 10 м/с; 0 м/с; 2 с; 3 с; 4 с; у t = 0 і у t = 20 с; 5 t 10 ; S = 10 ⋅ 5 = 50 (м).
813. а) б) в) г)
4,5 год; S = 18 км, 0,5 год; v1 = 8 : 2 = 4 (км/год); v2 = (18 − 8 ) : ( 4, 5 − 2, 5 ) = 10 : 2 = 5 (км/год) 18 : 4,5 = 4 (км/год).
814. B
C D
A
815.
x
–1
1,33
≈ –1,7
y
0
3
–2
4,5
–1,5 і 5,5
≈ 3,5
1,5
1,25
2,5
–3 і 3
2
2,5
3
0x4 3
K N L
136
M
x
–3
–3,5
y
3
3,5
−2 x 2 2
816. а) y = x ( 4 − x ) , −1 x 5 .
б) y = x2 + 4x + 3 , −3 x 1 . 8 7
АЛГЕБРА
6
817. а) y = x2 − 2x , −2 x 3 .
б)
y = (1 − x ) ( 3 + x ) , −2 x 1 .
б)
y = x − 2 , −3 x 3 .
8 7 6
818. а) y = x , −3 x 3 .
819. 15x − 6 = 3 ; 15x = 9 ; x=
9 15
=
3 5
.
820. а) ( 2x + 3 ) ⋅ ( 4 − ( 2x + 3 ) ) = 0 3
1) 2x + 3 = 0 ; x = − 2) 4 − ( 2x + 3 ) = 0
4 = 2x + 3 ; 2x = 1 ; x =
Відповідь. −1
1 2
;
2
1 2
= −1
.
1 2
1 2
. 137
б)
АЛГЕБРА
2x − 1 3 4x − 2 6
− −
3x − 1 2 9x − 3 6
=1; =
6 6
.
4x − 2 − ( 9x − 3 ) = 6 ; 4x − 2 − 9x + 3 = 6 ; −5x + 1 = 6 ; −5x = 5 ; x = 1 .
821. У першому сплаві 04 · 10 = 4 (кг) міді. Додаємо x кг другого сплаву. У ньому 0, 1x міді. Складемо рівняння: 0, 3 (10 + x ) = 4 + 0, 1x ; 3 + 0, 3x = 4 + 0, 1x ; 0, 2x = 1 ; x = 5 (кг). Відповідь. 5 кг. 822. 190 − 90 ⋅t ; 90 – 90 · 1,2 = 82 (км). 829. y = 2x − 6 . x = −6 ; y = 2 ( −6 ) − 6 = −12 − 6 = −18 ; x = 0 ; y = −6 ; x = 9 ; y = 2 ⋅ 9 − 6 = 18 − 6 = 12 . y = −3 ; −3 = 2x − 6 ; 2x = 3 ; x = 1, 5 y = 0 ; 0 = 2x − 6 ; 2x = 6 ; x = 3 . y = 7 ; 7 = 2x − 6 ; 2x = 13 ; x = 6, 5 . 830. y = 5x − 1 . x = −4 , y = 5 ⋅ ( −4 ) − 1 = −21 ; x = 0 ; y =1 ; x=2 ; y=9 ; y = −6 ; −6 = 5x − 1 ; 5x = −5 ; x = −1 ; y = 0 ; 0 = 5x − 1 ; 5x = 1 ; x = 0, 2 ; y = 4 ; 4 = 5x − 1 ; 5x = 5 ; x = 1 . 831. y = 1, 8x + 9 . Точка A (10; 27 ) : 1,8 · 10 + 9 = 18 + 9 = 27 — належить. Точка B ( 50; 89 ) : 1,8 · 50 + 9 = 90 + 9 = 99 — не належить. Точка C ( −20; − 27 ) : 1,8 · (–20) + 9 = –36 + 9 = –27 — належить. 832. а) y = 2x − 3 .
138
б) y = −0, 5x + 1 .
г) y = −3x .
АЛГЕБРА
в) y = 0, 5x + 2 .
833. а) y = x − 2 .
б) y = −2x + 0, 5 .
в) y = −2, 5 .
834. а)
б)
y=4
y = 1,5
y = –2 y = –1,5x + 2 y = –1,5x y = –1,5x – 2
835. y = 2x ; y = 2x − 2 ; y = 2x + 1 .
y = 2x + 1 y = 2x y = 2x – 2
139
АЛГЕБРА
836. а) б) в) г)
x = −4 ; y = 7, 5 ; x = 0 ; y = 1, 5 ; x = 2 ; y = −1, 5 ; y = −3 ; x = 3 ; y = 1, 5 ; x = 0 ; нуль функції: x = 1 ; x<0 .
7 6
837. y = 0, 5x − 3 . а) x = −2 ; y = −4 ; x = 2 ; y = −2 ; б) y = −2 ; x = 2 ; y =1 ; x = 8 ; в) x = 6 ; г) x < 6 .
7
838. y = 4x . x y
–3 –12
–2 –8
–1 –4
2 8
3 12
5 20
–5 10
–3 6
–2 4
0 0
2 –4
3 –6
839. y = −2x . x y 840.
y = –4x
y = 4x
841. y = –3x
y = 3x
1 y=– x 2
2 y=– x 3
842. y = −
1 2
x.
y = −1 ; x = 2 y = 2 ; x = −4 y = 3 ; x = −6 .
140
8
АЛГЕБРА
843. y = 2x . x = −1, 5 ; y = −3 x = 2, 5 ; y = 5 .
844. y = 14x . Точка A ( −2; − 28 ) : 14 · (–2) = –28 — належить. Точка B ( 0, 5; 7 ) : 14 · 0,5 = 7 — належить. Точка C −
2 7
; 4 : −
2 7
⋅14 = −4 — не належить.
845. y = −4x . K ( 4; − 1) : –4 · 4 = –16 — не належить. M ( 0, 3; − 1, 2 ) — належить. N ( 0; − 4 ) — не належить. 846. а) Точка перетину A (1, 5; 5 ) .
y=1
б) Точка перетину A (1; − 1)
A
A 1 y=– x–1 3
y=x–2
в) A ( 6; 1)
y=1
y = –3x + 2
A
1 y=– x–1 3 A
847. а) y = 3x − 2 і y = 2, 5x − 1 A ( 2; 4 )
y = 2,5x – 1 y = 3x – 2
141
б) y = −x + 2 і y = 1, 5x + 2 A ( 0; 2 )
y = 1,5x + 2
АЛГЕБРА
A
y = –x + 2
848. а) y = −2, 5x + 1 і y = 2, 5x − 1 Графіки перетинаються, бо −2, 5 ≠ 2, 5 ; б) Графіки y = 2x + 2 і y = 2x + 3 паралельні, оскільки 2 = 2. 849. а) б) в)
y = −1, 6x + 4 . Нуль функції. 0 = −1, 6x + 4 ; −4 = −1, 6x ; x = 2, 5 . Координати точок перетину: З віссю Oy — (0; 4) З віссю Ox — (2,5; 0). y = 0, 3x − 21 . Координати точок перетину: З віссю Oy — (0; –21) З віссю Ox — (70; 0). y = −8 Координати точок перетину: З віссю Oy — (0; –8) З віссю Ox — не має точок нуля функції. Функція не дорівнює нулю на всій області визначення.
850. а) б) в)
y = 8 − 2, 5x Координати точок перетину: З віссю Oy — (0; 8) З віссю Ox — (3,2; 0) Нуль функції x = 3, 2 . y = −1, 6x + 4, 8 . Координати точок перетину: З віссю Oy — (0; 4,8) З віссю Ox — (3; 0) Нуль функції: x = 3 y=6 Координати точок перетину: З віссю Oy — (0; 6) З віссю Ox — графік функції не перетинається. Нулей функція не має.
851. а) (1; 17) y = 17x ; б) (–2; –4) y = 2x . 852. y = kx ; x = 2 ; y = 7 u = k ⋅2 ; k = 3, 5 . 853. y = 2, 5x x1 = −2 ; y1 = −5 ; x2 = 4 ; y2 = 10 . 142
854. а) y = 1, 5x б) y 0 .
856. 0, 5x = 2 ; x = 4 ; y = 2 y = 0, 5x x < 4
y = 3,5 y=2
A
АЛГЕБРА
855. x < 1, 75 .
y = 0,5x
y = 2x
857. y = 2x
858. а) через 4 с. б) 60 : 4 = 15 (м/с) в) 30 м. 859. а) б) в) г)
Через 0,5 год; перший зі швидкістю 60 км/год; другий зі швидкістю 80 км/год; на відстані 120 км; S = 60t .
860. а) б) в)
Олег — 30 с Петро — 40 с Петро; на 10 с;
г) Олег —
Петро
100
60 100 80
=
= 5 4
5 3
=1
=1
1 4
2 3
(м/с)
(м/с);
д) момент часу, коли хлопці знаходяться на одній відстані від початку дистанції. Наприклад, друга точка перетину графіків: Олег відплив від початку на відстань ≈ 12,5 м, починаючи другу стометрівку, а Петро у цей момент підпливає до початку, закінчуючи першу стометрівку і знаходиться на відстані ≈ 12,5 від початку. 861. 1, 2 ( 5n + 5 ) 1,2 (5 · 21 + 5) = 132 (к.) = 1 грн 32 к.
143
862. 7, 34 + 0, 02 ( n − 100 ) . 7,34 + 0,02 (320 – 100) = 7,34 + 0,02 · 220 = 7,34 + 4,40 = 11,74 (грн).
АЛГЕБРА
863. а) y = 14x − 8 і 7x + 8 . 14x − 8 = 7x + 8
7x = 16 ; x =
y = 7⋅
2 2 ; 24 7
б) y =
3
3
x−
4 1
x=
2
3/ 2
4
3
1
=
3 1
=
4 1
3
7
−
; x=2
2 7
+ 8 = 24
1 3 1 4 1 3
і y=
1 3
1 4
x
x; ;
; x=
3
2
⋅
2 ;
7
x−
4
x−
4 3
16
16
=
2 3
1 6
1
6
864. y = 2x + 5 і y = −5x − 2 2x + 5 = −5x − 2 7x = −7 ; x = −1 ; y = 3 Координати точки перетину (–1; 3). y = x + 4 : –1 + 4 = 3 Графік функції y = x + 4 проходить через точку перетину графіків функції y = 2x + 5 і y = −5x − 2 . 865. y = ax і y = 6x − 2 ax = 6x − 2 ( a − 6 ) x = −2 x=− 2=
2 a−6 2
6−a
; x=
;
; 12 − 2a = 2 ;
866. а) y = x − 2
144
2 6−a
10 = 2a ; a = 5 . б) y = 5 − x
867. а) y = x + 2 x
б)
АЛГЕБРА
868. а) ( 2a − c ) − ( 2a + c ) + 8ac = ( 2a − c + 2a + c ) ( 2 a − c − 2 a − c ) + 8ac = 4 a ⋅ ( −2c ) + 8ac = −8 2
2
c − 2 a − c ) + 8 ac = 4a ⋅ ( −2c ) + 8ac = −8ac + 8ac = 0 ;
(
б) 2 − x2
) (x
2
) (
)
2
+ 2 + x2 − 2 = 4 − x 4 + x 4 − 4x2 + 4 = 8 − 4x2 .
869. 4a2 − 4b2 . а) a = 6, 75 ; b = 3, 25 4a2 − 4b2 = 4 ( a − b ) ( a + b ) = 4 (6,75 – 3,25) (6,75 + 3,25) = 4 · 3,5 · 10 = = 4 · 35 = 140. 4 4 б) a = 12 ; b = 5 . 7 7 8 127 4 4 4 4 4 12 − 5 12 + 5 = 4 ⋅ 7 ⋅ 17 = 4 ⋅ 7 ⋅ = 508 . 7 7 7 7 7 7 874. y = 5x − 3 а) x = −8 ; y = 5 ⋅ ( −8 ) − 3 = −43 ; x = 0 ; y = −3 ; x = 16 ; y = 5 ⋅16 − 3 = 77 ; б) y = −3 ; −3 = 5x − 3 ; x = 0
y = 1 ; 1 = 5x − 3 ; 5x = 4 ; x =
в) x = 5x − 3 ; 4x = 3 ; x =
3 4
=
15 4
−3 ;
При x =
3 4
3 4
=
15 − 12 4
;
3
4 5
;
4 3 4
=
3 4
.
x=y.
875. tF = 1, 8tC + 32 а) tF = 1,8 · (15) + 32 = –27 + 32 = 5, отже, –15° С = 5° F. б) tF = 5° F ; 5° F = −15° C . tF = 50° F ; 50 = 1, 8 ⋅ tC + 32 ; tC = 10° C 50° F = 10° C . в) Температура плавлення льоду: tF = 0 ⋅1, 8 + 32 = 32 ; 0° C = 32° F. Температура кипіння води: tF = 100 ⋅1, 8 + 32 = 180 + 32 = 212 ; 100° C = 212° F
145
876. y = x2 − 3
АЛГЕБРА
x y
–3 6
–2 1
–1 –2
0 –3
1 –2
2 1
3 6
877. а) 0 °С; б) на 50 °С; в) на 40 °С; г) протягом 6 хв. 878. Область визначення: −2 x 5 Область значень: −1 y 2 Найбільше значення функції: y = 2 . Найменше значення функції y = −1 . Нулі функції: x = 0 і x = 3 . Функція набуває додатних значень для −2 < x < 0 і для x > 3 . Функція набуває від’ємних значено для 0<x<3 .
A C
B
879. y = 3x − 1 а) x = −1, 5 ; y = 3, 5 ; x = 1, 5 ; y = −5, 5 б) y = 5 ; x = −2 .
880. а) y = 2x + 1 ; −3 x 1 .
б) y = 0, 5x2 − 0, 5 ; −2 x 2
881. а) y = −3x
б) y = 1, 5x − 1
y = 1,5x – 1
y = –3x
146
y= x+ x
б)
АЛГЕБРА
882. а) y = 2 x
883. S = 1, 5 ⋅ 2 ⋅ x = 3x
884. A ( −3; 1) y = −
1 3
x
885. y = −kx , A ( −8; 4 ) ; 4 = k ( −8 ) ; k = − Через точку B ( 2; − 1) проходить. Через точку C −
1 3
;
1 2
.
1
проходить.
6
886. y = −4x + 6 x=0; y=6 y = 0 ; 0 = −4x + 6 ; −6 = −4x ; x =
3 2
Точка перетину з віссю Oy — (0; 6) 3 Точка перетину з віссю Ox — ; 0 . 2 887. а) б)
y = 3x і y = −3x + 6 3x = −3x + 6 ; 6x = 6 ; x = 1 ; y = 3 . Точка перетину (1; 3). y = x + 7 і y = 5 − 4x x + 7 = 5 − 4x ; 2
5x = −2 ; x = −
Точка перетину −
3
; y=6 2 5
3 5
.
3 ;6 . 5
147
888.
y = |x|
y= x+1 B
АЛГЕБРА
A
Координати точок перетину: A (–1; 1) і B (2; 2). x =
1 3
x+
1 3
; x = −1 ; x = 2
B: x = −1 ; x = 2 . 889. y = kx + 3 а) (2; 4) 4 = k⋅2 + 3 ;
1 = 2k ; k =
1 2
;
б) y = 5x − 8 . Для k = 5 графік функції y = kx + 3 паралельний графіку функції y = 5x − 8 . Завдання для самоперевірки № 6 1. г); 2. в); 3. б); 4. б); 5. б). 6. а і г. 7. а — 3 % б — 2; в— 4; г — 1. 8. y = −9 ; −9 = −4x − 1 ; x = 2
y = 9 ; 9 = −4x − 1 ; x = −2
9. а) x = −3 ; y = −1, 5 б) y = −2 ; x = −3, 5 . 10. y = −2x .
148
1 2
.
11. y = 4 − x2 , (3; – 5) –5 = 4 – 9, –5 = –5. Так, проходить. 12. Область визначення: −4 x 4 Область значень: −3 y 3 Функція набуває від’ємних значень для −3, 5 < x < 2 .
x=
14 5
=2
4 5
; y = 9−
28 5 4
АЛГЕБРА
13. y = x2 − 6x + 2 ; 2 = x2 − 6x + 2 ; x2 − 6x = 0 ; x (x − 6) = 0 ; x=0; x=6 . 14. y = −2x − 2 ; 0 = −2x − 2 ; −2x = 2 ; x = −1 15. y = 3x − 5 і y = 9 − 2x 3x − 5 = 9 − 2x ; 5x = 14 ; =
45 − 28 5
=
17 5
=3
2 5
.
2 Точка перетину 2 ; 3 5 5 16. y = kx ; 5 = 2, 5k ; k = 2 B (–3; –6): –6 = 2 · (–3). Так, проходить. 17. y = x2 − 6x + 2 ; 2 − 6x + 9 − 9 + 2 ;
( x − 3 ) − 7 . Найменше значення y = −7 . 18. y = ( x − 2 ) ( x + 4 ) ; −5 = ( x − 2 ) ( x + 4 ) ; 3 = x2 − 2x ; x + 2x − 3 + 1 − 1 = 0 2
( x + 1) − 4 = 0 ; ( x + 1 + 2 ) ( x + 1 − 2 ) = 0 ( x + 3 ) ( x − 1) = 0 x = 3 ; x =1. 19. y = 0, 4x + 1, 4 y = 3x + 4 і y = −2x − 1 3x + 4 = −2x − 1 5x = −5 ; x = −1 ; y = −3 + 4 = 1 . Точка перетину: (–1; 1). Функція y = 0, 4x + 1, 4 : 1 = 0,4 · (–1) + 1,4; 1 = –0,4 + 1,4. Так, проходить. 20. y = −x + 2 і y = 0, 5x + 3, 5 21. y = 2 x − 1 2
y = –x + 2
x <1
A
y = 0,5x + 3,5
§ 7. Системи Лінійних рівнянь із двома змінними 894. 3x + 2y = 10 2 ( x; y ) = ( 2; 2 ) , (1; 3, 5 ) , ( 4; −1 ) , ; 4 . 3
149
АЛГЕБРА
895. 4x − 3y = 1 2 ( x; y ) = ( 2; 2 ) , ( −1; − 2 ) , 1; . 3 896. а) 2x + 3y = 8 ( x; y ) = (1; 2 ) , ( −2; 4 ) ; б) x − 3y = −1 1 ( x; y ) = ( 5; 2 ) , 0; . 3 897. а) x + 2y = 7 1 ( x; y ) = 6; , (13; − 3 ) . 2 898. а) x = 1 , y = 3 8x − 3y = −1 ; б) ( −2; 1 ) x + 6y = 4 . 899. а) x = 2 ; y =1 2x + y = 5 ; б) ( 2; − 2 ) 4x − 6y = 20 . 900. 2x + y = 5 5−y а) x = = 2, 5 − 0, 5y ; 2 б) y = 5 − 2x . 901. а) x − y = 7 y = x −7 ( x; y ) = ( 3; − 4 ) ; ( 9; 2 ) ; б) 3x + 2y = 15 15 − 3x y= = 7, 5 − 1, 5x 2 ( x; y ) = (1; 6 ) , ( −2; 4, 5 ) . 902. а) 2x + y = 5 y = 5 − 2x ( x; y ) = ( 2; 1 ) , ( −3; 11 ) ; б) 5x − 2y = 10 5x − 10 y= = 2, 5x − 5 2 ( x; y ) = ( 6; 10 ) , ( −2; − 10 ) . 903. 3x + 5y = 16 , x = y 8x = 16 x = 16 : 8 x =2 ; y=2 . 904. ax + 3y = 10 , ( 1; 2 ) a + 3 ⋅ 2 = 10 a = 10 − 6 150 a=4 .
6 ; y = −3 ; 2 б) 3x + 0y = 9 , y — довільне число, 3x = 9 ; x = 9 : 3 ; x = 3 .
906. а) 0x − 2y = 6 , x — довільне число, −2y = 6 ; y = −
907. б) 3x + 2y = 10 10 − 3x 3 y= =5− x 2 2 3 Якщо x та y — цілі числа, то x повинно бути цілим числом, звідки 2 x = 2k , де k — ціле число. 3 y = 5 − 2k = 5 − 3k , тоді рівняння перетворюється 2 3 ⋅ 2k + 2 ( 5 − 3k ) = 10 ; 6k + 10 − 6k = 10 . Відповідь: x = 2k , y = 5 − 3k .
АЛГЕБРА
905. 2x + by = 12 , ( 3; 2 ) 2 ⋅ 3 + b ⋅ 2 = 12 b = ( 12 − 6 ) : 2 b=3 .
в) −4x + 9y = 6 1 2 1 9y − 6 9 6 x= = y − == 2y + y − 1 − = 2y − 1 + ( y − 2 ) 4 4 4 4 4 4 1 Якщо x та y — цілі числа, то ( y − 2 ) повинно бути цілим числом, отже 4 y − 2 = 4k , де k — ціле число. y = 4k + 2 1 x = 2 ( 4k + 2 ) − 1 + 4k = 8k + 4 − 1 + k == 9k + 3 , рівняння набуває вигляду 4 −4 ( 9k + 3 ) + 9 ( 4k + 2 ) = 6 −36k − 12 + 36k + 18 = 6 . Відповідь: x = 9k + 3 , y = 4k + 2 . 908. 5x + 6y = 57 1 1 57 − 6y 57 6 2 = − y = 11 + −− y − y = 11 − y − ( y − 2 ) , 5 5 5 5 5 5 1 де ( y − 2 ) — ціле число, отже y − 2 = 5k , де k — натуральне число, 5 y = 5k + 2 1 x = 11 − ( 5k + 2 ) − 5k == 11 − 5k − 2 − xk = 9 −–6k 6k 5 k=0 , x =9, y=2 k =1 , x = 9−6 = 3 , y =5+2 =7 . Відповідь: ( 9; 2 ) , ( 3; 7 ) . x=
909. 2 ( 5a + 1 ) x − 5 ( 2a − 1 ) y = 7 ; ( 2; 5 ) 2 25a2 + 10a + 1 2 − 5 4a2 − 4a + 1 5 = 7 100a2 + 40a + 4 − 100a2 + 100a − 25 = 7 140a = 28 28 a= ; a = 0, 2 . 140 2
(
2
)
(
918. −3x + 4y = 8 M (2; 4); N (3; 0,25)
)
151
919. −2x + y = 7 ; A(2; 11); C(0; 7); D(–1; 5) 920. а) x − 3y = 6
АЛГЕБРА
x y
0 –2
в) x − 2y = 0 6 0
б) 3x + y = −1 x y
–1 2
x y
2 1
4 2
г) 4x + y = 0 1 –4
x y
1 –4
–1 4
д) 1, 5x = 6
x y
4 довiльне
е) −0, 3y = 0, 6
x y
довiльне –2
921. а) x + 2y = 3 –1 2
3 0
x y
–1 –3
1 3
б) 3x − y = 0
152
в) 8x = 24
x y
x y
3 довiльне
г) 0, 7 y = −2, 8 x y
довiльне –4
922. а) x + y = 2 x y
0 2
–2 4
x y
1 1
3 –1
в) 2x + 2y = 4 x y
–1 3
2 0
АЛГЕБРА
б) −x − y = −2
Всі рівняння рівносильні, мають однакові розв’язки, отже й один і той же графік. 923. а) x − y = −2 x y
0 2
2 4
–2 –2
3 3
4 2
2 0
б) x − y = 0 x y в) x − y = 2 x y
Графіки паралельні один одному. 924. а) 5x − 6y = 4 x y
–4 –4
2 1
б) 8x + 16y = 24 x y
1 1
3 0
925. а) 4x + 7y = 3 x y
–1 1
6 –3
б) 12x − 4y = 8 x y 926. 7x − 5y = 9 x =2 , 7 ⋅ 2 − 5y = 9 5y = 14 − 9 5y = −5 y =1 .
–1 –5
1 1
153
АЛГЕБРА
927. 4x + 9y = 1 y =1 4x + 9 = 1 4x = −8 x = −8 : 4 x = −2 928. ax + 3y = 4 , т. (1; 2) a + 3⋅2 = 4 a = 4−6 a = −2 −2x + 3y = 4 x y
–5 –2
1 2
929. 5x − 2y = c , т. (2; 4) 5⋅2 − 2⋅4 = c c=2 5x − 2y = 2 x y
0 –1
2 4
930. a2x + 4y = 5 т. (1; 1) a2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 = 5 a2 = 1 a = 1 або a = −1 ( a + 1 ) x − y = 1 т. (1; 1) ( a + 1) ⋅1 − 1 = 1 a +1 = 2 a =1 . Відповідь: a = 1 . x −y=0
931. а)
x y
–2 2
–1 1
0 0
1 1
2 2
–1 -2
0 0
1 -2
2 -4
б) 2x + y = 0 x y
–2 -4
x + y = 2 ; x + y = 2
г) x y
–2 4
–1 3
1 1
–1 –1
1 –3
або x + y = −2 x y 154
–2 0
x y
–1 –3
2x − 3y = 2
x y A(4; 2)
1 0
1 –1 4 2
АЛГЕБРА
x − y = 2 939. а) 2x − 3y = 2 x−y=2
3x − y = −4 б) x + 2y = 8 3x − y = −4 x –1 y 1 x + 2y = 8
1 7
x y B(0; 4)
2 3
0 4
x + 2y = 4 в) 2x + 3y = 7 x + 2y = 4 x y
0 2
2 1
2x + 3y = 7 x y
–1 3
2 1
C(2; 1) 3x − 4y = −7 г) 2x + 3y = 1 3x − 4y = −7 x y
–1 1
3 4
2x + 3y = 1 x y
–1 1
5 3
D(–1; 1) x − y = 0 940. а) 2x + 5y = 7
155
x−y=0 x y
–2 –2
1 1
АЛГЕБРА
2x + 5y = 7 x y
1 1
6 –1
A(1; 1) 2x + y = 2 б) x + 2y = −5 2x + y = 2 x y
–1 4
1 0
x + 2y = −5 x –1 y –2 B(3; –4)
3 –4
4x − y = 8 в) 2x + y = 10 4x − y = 8 x y
1 –4
2 0
2x + y = 10 x y
4 2
3 4
C(3; 4) 941. (–1; 3) 5x + 2y = 1 а) ; −2x + y = 5
5 ⋅ ( −1 ) + 2 ⋅ 3 = 1 ; −2 ⋅ ( −1 ) + 3 = 5
1 = 1 — пара чисел (–1; 3) є розв’язка системи рівнянь. 5 = 5 −3 ( −1 ) − 3 = 0 −3x − y = 0 б) ; ; 4 x 2 y 2 + = − 4 ⋅ ( −1 ) + 2 ⋅ 3 = −2 0 = 0 — пара чисел (–1; 3) не є розв’язком системи рівнянь. 2 ≠ −2 942. x = −2 ; y = 1 156
4x + y = −7 −2x + 3y = 7
943. (3; –1)
x + 4y = −1 2x − y = 7
x y
–1 1
1 2
2x − 4y = −6 x y
–3 0
3 3
АЛГЕБРА
x − 2y = −3 944. а) 2x − 4y = −6 x − 2y = −3
Графіки співпадають, система рівнянь має безліч розв’язків. 3x − y = 2 б) 6x − 2y = 3 3x − y = 2 x y
1 1
2 4
6x − 2y = −3 x y
0 1,5
0,5 3
Графіки паралельні, система рівнянь розв’язків не має. x + 3y = 4 в) 4x + y = −5 x + 3y = 4 x y
–2 2
1 1
4x + y = −5 x –2 1 y 3 –1 Графіки перетинаються, система має один розв’язок. y = 2x − 4 г) 4x − 2y = 8 y = 2x − 4 x y
–1 –6
2 0
4x − 2y = 8 x y
0 –4
1 –2
Графіки співпадають, система має безліч розв’язків.
157
x + 3y = −2 945. а) 2x + 6y = −4 x + 3y = −2
АЛГЕБРА
x y
–5 1
1 –1
2x + 6y = −4 x 1 4 y –1 –2 Графіки співпадають, система має безліч розв’язків. 3x − 2y = 1 б) 9x − 6y = −2 3x − 2y = 1 x y
–1 –2
3 4
9x − 6y = −2 x
0
y
1 3
1 1
5 6
Графіки паралельні, система розв’язків не має. x − 2y = −2 в) x + 4y = 0 x − 2y = −2 x y
–4 –2
0 1
x + 4y = 0 x y
–4 1
0 0
Графіки перетинаються, система має один розв’язок. 2x − 3y = −2 2 ⋅ ( −4 ) − 3 ( −2 ) = −2 −2 = −2 946. ; ; 6x − 9y = −6 6 ( −4 ) − 9 ( −2 ) = −6 −6 = −6 (–4; –2) 2 ⋅ ( −1 ) = −2 (–1; 0) 6 ( −1 ) = −6 Відповідь: (–4; –2), (–1; 0). 5x − ay = 10 947. (2; –1) 6x + 2y = 4 158
10 + a = 10 2b = 6
5 ⋅ 2 − a ( −1 ) = 10 b ⋅ 2 + 2 ( −1 ) = 4 a = 0 b = 3
x − y = 0 948. а) x − y = −2 x y
–2 2
–1 1
0 0
1 1
2 2
1 2
2 4
x − y = −2 x 0 y 2 A(–1; 1)
1 3
АЛГЕБРА
x −y=0
2x − y = 0 б) y = 3 2x − y = 0 x –2 –1 0 y 4 2 0 B(–1,5; 3); C(1,5; 3) x − y = 0 в) x − 3y = −4 x − 3y = −4 x –1 2 y 1 2 D(–1; 1); E(2; 2) 949. а) 2x − 6 = 2 (1 − x ) 2x − 6 = 2 − 2x 4x = 8 x = 8:4 x =2 ; б) 3 ( 6y − 4 ) + 2y = 0 18y − 12 + 2y = 0 20y = 12 12 3 y= = 20 5 y = 0, 6 ; в)
5x − 1\2 x − 1\3 − 2x \6 = − 7\12 6 4 2 ( 5x − 1 ) − 12x − 3 ( x − 1 ) + 84 =0 12 10x − 2 − 12x − 3x + 3 + 84 = 0 −5x + 85 = 0 5x = 85 x = 85 : 5 ; x = 17 ;
159
АЛГЕБРА
г)
2y + 3 − y\3 = y\3 − 3\3 3 2y + 3 − 3y − 3y + 9 =0 3 −4y + 12 = 0 4y = 12 y = 12 : 4 y=3 .
950. ( n + 2 ) − ( n − 2 ) = n2 + 4n + 4 − n2 + 4n − 4 = 8n + 8 = 8 ( n + 1 ) — ділиться на 8, що й треба було довести. 2
2
952. 2x − 3y = −4 а) x =
3y − 4 3 4 + 2x 4 2 1 2 = y − 2 = 1, 5y − 2 ; б) y = = + x =1 + x . 2 2 3 3 3 3 3
y = 2x + 1 953. а) 3x + 2y = 9 3x + 2 ( 2x + 1 ) = 9 3x + 4x + 2 = 9 7x = 7 x =1 y = 2 +1 = 3 . Відповідь: (1; 3). 3x − 2y = 30 б) x = 4y + 25
3 ( 4y + 25 ) − 2y = 30
12y + 75 − 2y = 30 10y = −45 y = −4, 5 x = 4 ⋅ ( −4, 5 ) + 25 = 7 . Відповідь: (7; –4,5). y = 4 − x x + y = 4 954. а) ; 4 x − y = 1 4x − ( 4 − x ) = 1 4x − 4 + x = 1 5x = 5 x =1 y = 4 −1 = 3 . Відповідь: (1; 3).
160
u − 3v = 1 u = 1 + 3v б) ; 2u + v = 9 2 ( 1 + 3v ) + v = 9 2 + 6v + v = 9 7v = 7 v =1 u = 1 + 3 ⋅1 = 4 . Відповідь: (4; 1).
2x − 3y = 0 x = 2 + y
7s + 2t = 3 г) 5s − t = 7 7s + 2 ( 5s − 7 ) = 3 7s + 10s − 14 = 3 17s = 17 s =1 t = 5 ⋅ 1 − 7 = −2 . Відповідь: (1; –2).
7s + 2t = 3 ; t = 5s − 7
3x + 9y = 4 д) x + 3y = 1
3x + 9y = 4 x = 1 − 3y
АЛГЕБРА
2x − 3y = 3 в) x − y = 2 2 ( 2 + y ) − 3y = 3 4 + 2y − 3y = 3 4−y =3 y =1 x = 2 +1 = 3 . Відповідь: (3; 1).
3 (1 − 3y ) + 9y = 4 3 − 9y + 9y = 4 — не має рішень; y +7 3x = y + 7 x = е) 3 4y = 3x − 1 4y = 3x − 1 4y = y + 7 − 1 3y = 6 y = 6:3 y=2 2 +7 x= 3 x =3 . Відповідь: (3; 2). x − 2y = 4 955. а) 2x − 5y = 8 4y + 8 − 5 = 8 y=0 x=4. Відповідь: (4; 0). 2x + y = 11 б) 4x − y = 7 2 (11 − y ) − y = 7 22 − 2y − y = 7 3y = 15 y = 15 : 3 y =5 11 − 5 x= ; x =3 . 2 Відповідь: (3; 5).
x = 2y + 4 2 ( 2y + 4 ) − 5y = 8
2x = 11 − y x=
11 − y 2
161
АЛГЕБРА
4x − 6y = 18 в) 2x + y = 1 4x − 6 (1 − 2x ) = 18 4x − 6 + 12x = 18 16x = 24 x = 24 : 16 x = 1, 5 y = 1 − 2 ⋅ 1, 5 = 1 − 3 = −2 . Відповідь: (1,5; –2).
4x − 6y = 18 y = 1 − 2x
5u + 4v = 11 г) u + 6v = −3 5 ( −3 − 6v ) + 4v = 11 −15 − 30v + 4v = 11 −26v = 26 v = −1 u = −3 − 6 ( −1 ) = 3 . Відповідь: (3; –1).
5u + 4v = 11 u = −3 − 6v
2a − 5b = 9 д) a − 7b = 0 2 ⋅ 7b − 5b = 9 14b − 5b = 9 9b = 9 b =1 a =7 . Відповідь: (7; 1).
2a − 5b = 9 a = 7b
2x + 3y + 1 = 0 е) ; 3x − y = 4 2x + 3 ( 3x − 4 ) + 1 = 0 2x + 9x − 12 + 1 = 0 11x = 11 x =1 y = 3 − 4 = −1 . Відповідь: (1; –1).
2x + 3y + 1 = 0 ; y = 3x − 4
5x − 6y = 1 956. а) 3x + 4y = 12
1 + 6y x = 5 3 ( 0, 2 + 1, 2y ) + 4y = 12
0, 6 + 3, 6y + 4y = 12 7, 6y = 12 − 0, 6 y = 11, 4 : 7, 6 y = 1, 5 x = 0, 2 + 1, 2 ⋅ 1, 5 = 2 . Відповідь: (2; 1,5).
162
3x + 4y = −5 б) 5x − 3y = 11 3 ( 2, 2 + 0, 6y ) + 4y = −5 6, 6 + 1, 8y + 4y = −5
3x + 4y = −5 11 + 3y x = 5
3x − 2y = 2 957. а) ; 4x − 6y = 1 4x − 9 + 6 = 1 4x = 4 x =1 y = 1, 5 − 1 = 0, 5 . Відповідь: (1; 0,5). 5x + 4y = 1 б) 4x − 3y = 7 0, 8 − 3, 2y − 3y = 7 −6, 2y = 6, 2 y = −1 x = 0, 2 − 0, 8 ( −1 ) = 1 . Відповідь: (1; –1). 4x − 0, 5y = 3 в) 7x + 0, 2y = 16 7x + 1, 6x − 1, 2 = 16 8, 6x = 17, 2 x = 17, 2 : 8, 6 x =2 y = 8 ⋅ 2 − 6 = 10 . Відповідь: (2; 10).
АЛГЕБРА
5, 8y = −5 − 6, 6 y = −11, 6 : 5, 8 y = −2 x = 2, 2 + ( −2 ) ⋅ 0, 6 = 2, 2 − 1, 2 = 1 . Відповідь: (1; –2) 2 + 4y 0, 2x − 4y = 2 x = 0, 2 = 10 + 20y в) 0, 5x + 2y = 11 0, 5 ( 10 + 20y ) + 2y = 11 5 + 10y + 2y = 11 12y = 6 y = 6 : 12 y = 0, 5 x = 10 + 20 ⋅ 0, 5 = 20 . Відповідь: (20; 0,5). 0, 7x − 0, 3y = 1, 2 0, 7x − 0, 3y = 1, 2 г) 5y − 9 −2x + 5y = 9 x = 2 = 2, 5y − 4, 5 0, 7 ( 2, 5 − 4, 5 ) − 0, 3y = 1, 2 1, 75y − 3, 15 − 0, 3y = 1, 2 1, 45y = 4, 35 y = 4, 35 : 1, 45 y=3 x = 2, 5 ⋅ 3 − 4, 5 = 3 . Відповідь: (3; 3). 3x − 2 = 1, 5x − 1 y = 2 4x − 6 (1, 5x − 1 ) = 1
1 − 4y = 0, 2 − 0, 8y x = 5 4 ( 0, 2 − 0, 8y ) − 3y = 7
4x − 3 y = 0, 5 = 8x − 6 7x + 0, 2 ( 8x − 6 ) = 16
163
АЛГЕБРА
x − y = 4 958. а) x + 2y = −2 3y = −6 y = −6 : 3 y = −2 x = 4−2 = 2 . Відповідь: (2; –2).
x = 4 + y 4 + y + 2y = −2
5x − 10 = 2, 5x − 5 5x − 2y = 10 y = 2 б) 3 x − 4 y = − 8 3x − 4 ( 2, 5x − 5 ) = 8 3x − x + 20 = −8 2x = −28 x = −28 : 2 x = −14 y = 2, 5 ( −14 ) − 5 = −35 − 5 = −40 . Відповідь: (–14; –40). 7x + 4y = 9 −5y − 9 = −2, 5y − 4, 5 x = 2
7x + 4y = 9 959. 2x + 5y = −9
7 ( −2, 5y − 4, 5 ) + 4y = 9 −17, 5y − 31, 5 + 4y = 9 −13, 5y = 40, 5 y = 40, 5 : ( −13, 5 ) y = −3 x = −2, 5 ( −3 ) − 4, 5 = 7, 5 − 4, 5 = 3 . Відповідь: (3; –3).
5 ( x − 4 ) + 2x = x − 2 960. а) ; 4 ( y + 3 ) − 5 = x − 4 5x − 20 + 2x − x = −2 ; 4y + 12 − 5 = x − 4 6x = 18 ; 4y − x = −11 4y = −8 y = −8 : 4 y = −2 . Відповідь: (3; –2). −2 ( 6x + 3 ) + 1 = 2y − 3 б) ; 11 − 4 ( x − 2 ) = y − 2
x = 3 4y − 3 = −11
−12x − 6 + 1 − 2y = −3 ; 11 − 4x + 8 − y = −2
164
−12x − 2y = 2 ; −4x − y = −21 −4x + 6x + 1 = −21 2x = −22 x = −22 : 2 ; x = −11
y=
−12x − 2 = −6x − 1 2
y = −6 ( −11 ) − 1 = 65 . Відповідь: (–11; 65).
8x + 24 − 17 = −5y − 15 ; 0, 2y − 1 + 1 + 0, 3x = −0, 9 8x + 5y = −22 −22 − 8x ; y= = −4, 4 − 1, 6x 5 0, 2y + 0, 3x = −0, 9 0, 2 ( −4, 4 − 1, 6x ) + 0, 3x = −0, 9 −0, 88 − 0, 32x + 0, 3 = −0, 9 −0, 02x = −0, 02 x =1 y = −4, 4 − 1, 6 = −6 . Відповідь: (1; –6).
АЛГЕБРА
8 ( x + 3 ) − 17 = −5 ( y + 3 ) в) ; 0, 2 ( y − 5 ) + 1 = −0, 9 − 0, 3x
p + 5 ( q − p ) = 3 p − 2q + 6 г) ; 2q − p = 3 p − 2q − 20 p + 5q − 5 p − 3 p + 2q = 6 ; 2q − p − 3 p + 2q = −20 −7 p + 7q = 6 ; 4q − 4 p = −20
−7 p + 7q = 6 q = p − 5
−7 p + 7 ( p − 5 ) = 6 −7 p + 7 p + 35 = 6 — не має рішень. 2 ( x + y ) + 3 ( x − y ) = 1 д) 4 ( x + y ) + 5 ( x − y ) = 3 2x + 2y + 3x − 3y = 1 4x + 4y + 5x − 5y = 3 5x − y = 1 y = 5x − 1 9x − y = 3 9x − 5x + 1 = 3 4x = 2 x = 2:4 x = 0, 5 y = 5 ⋅ 0, 5 − 1 = 2, 5 − 1 = 1, 5 Відповідь: (0,5; 1,5). 1 1 x + y −2 = 0 е) 3 4 4x − y = 56 1 1 x + ( 4x − 56 ) − 2 = 0 3 4 1 x + x − 14 − 2 = 0 3 4 x = 16 3
1 1 x + y −2 = 0 4 3 y = 4x − 56
165
x = 16
\4
⋅
3 4
\1
= 12
АЛГЕБРА
y = 4 ⋅ 12 − 56 = 48 − 56 = −8 . Відповідь: (12; –8). 7 ( x − 2 ) + 3x + 7 = 3y + 1 961. а) ; 10 − 5x = 4 ( x − 3 ) + 4 7x − 14 + 3x + 7 − 3y = 1 10 − 5x = 4x − 12 + 4 10x − 3y = 8 9x = 18
10x − 3y = 8 x = 2
10 ⋅ 2 − 3y = 8 3y = 20 − 8 3y = 12 y = 12 : 3 y=4 . Відповідь: (2; 4). 8 ( x − 3y ) + 25y = 5x − 7 б) ; 0, 3 ( x − 9y ) = 0, 2x − 2y + 0, 5 8x − 24y + 25y − 5x = −7 ; 0, 3x − 2, 7y − 0, 2x + 2y = 0, 5 3x + y = −7 y = −3x − 7 ; 0, 1x − 0, 7 ( −3x − 7 ) = 0, 5 0, 1x − 0, 7 y = 0, 5 0, 1x + 2, 1x + 4, 9 = 0, 5 2, 2x = −4, 4 x = −4, 4 : 2, 2 x = −2 y = −3 ( −2 ) − 7 = −1 . Відповідь: (–2; –1). 3 ( x − 2y ) + 2 ( x − y ) = 2 в) ; 5 ( x − 2y ) + 3 ( x − y ) = 4 3x − 6y + 2x − 2y = 2 ; 5x − 10y + 3x − 3y = 4 5x − 8y = 2 ; 8x − 13y = 4
166
2 + 8y = 0, 4 + 1, 6y x = 5 8x − 13y = 4
8 ( 0, 4 + 1, 6y ) − 13y = 4 3, 2 + 12, 8y − 13y = 4 0, 2y = −0, 8 y = −0, 8 : 0, 2 y = −4 x = 0, 4 + 1, 6 ⋅ ( −4 ) = 0, 4 − 6, 4 = −6 . Відповідь: (–6; –4).
1 15 5 1 2 y+ − y = 5 10 10 9 3
1 2 1 5 x − 9 y = 3 x = 3y + 1 = 1, 5y + 0, 5 2
АЛГЕБРА
1 2 1 x− y= г) 5 9 3 ; 2x − 3y = 1
3\9 1\3 1\10 2\10 y+ − y= 10 10 9 3 27 − 10 20 − 3 y= 90 30 17 17 y= 90 30 y=
17
\1
⋅
90
\3
=3 30 17 x = 1, 5 ⋅ 3 + 0, 5 = 5 . Відповідь: (5; 3). \1
\1
4x − 2y = 5 962. 6x − 3y = 6
4x − 2y = 5 6x − 6 y = 3 = 2x − 2
4x − 2 ( 2x − 2 ) = 5 4x − 4x + 4 = 5 — система не має розв’язків, отже графіками рівнянь є паралельні прямі. x − y = 3 965. а) 2 ; 2 x − y = 15 ( 3 + y − y ) ( 3 + y + y ) = 15
x = 3 + y ( x − y ) ( x + y ) = 15
3 ( 3 + 2y ) = 15
9 + 2y = 15 2y = 6 y = 6:2 y=3 x =3+3 =6 . Відповідь: (6; 3). x + y = 7 б) 2 2 x − y = 7 7 (7 − y − y ) = 7
x = 7 − y ( x − y ) ( x + y ) = 7
49 − 14y = 7 14y = 42 y = 42 : 14 y=3 x =7 −3 = 4 . Відповідь: (4; 3).
167
x\3 y + 1\5 − =0 5 3 в) \2 \3 x −2 = y 6 4
АЛГЕБРА
3x − 5y − 1 = 0 2x − 3y − 4 = 0
3 (1, 5y + 2 ) − 5y = 1 4, 5y + 6 − 5y = 1 0, 5y = 5 y = 5 : 0, 5 ; y = 10 x = 1, 5 ⋅ 10 + 2 = 15 + 2 = 17 . Відповідь: (17; 10).
3x − 5y − 1 =0 15 2x − 4 − 3y = 0 12 3x − 5y = 1 3y + 4 x= = 1, 5y + 2 2
x − 2y\5 3x − y\3 + 3\15 = 3 5 г) \2 2 3 x − y ) = x − 2y\3 + 10\6 ( 3 2 5 ( x − 2y ) + 45 − 3 ( 3x − y ) =0 15 12x − 4y − 3 ( x − 2y ) − 60 = 0 6 5x − 10y + 45 − 9x + 3y = 0 12x − 4y − 3x + 6y − 60 = 0 4x + 7 y = 45 4x + 7y = 45 60 − 9x = 30 − 4, 5x 9x + 2y = 60 y = 2 4x + 7 ( 30 − 4, 5x ) = 45 4x + 210 − 31, 5x = 45 27, 5x = 210 − 45 x = 165 : 27, 5 x =6 y = 30 − 4, 5 ⋅ 6 = 30 − 27 = 3 . Відповідь: (6; 3). 4 ( 2x + 3y + 1) − ( 2x − 3y − 1) = 7 д) 6 ( 2x + 3y + 1) − 7 ( 2x − 3y − 1) = 5 8x + 12y + 4 − 2x + 3y + 1 = 7 12x + 18y + 6 − 14x + 21y + 7 = 5 6x + 15y = 2 39y − 2x = −8 6 ( 19, 5y + 4 ) + 15y = 2 117 y + 24 + 15y = 2 132y = −22 168
y=−
22
\1
132
\6
=−
1 6
6x + 15y = 2 39y + 8 = 19, 5y + 4 x = 2
y = 4x + 9 6x + a ( 4x + 9 ) = 4
4x − y = 9 966. 6x + ay = 4
6x + a ⋅ 4x + 9a = 4 — не має рішень, якщо 6x + a ⋅ 4x = 0 6x = −a ⋅ 4x 6x a=− = −1, 5 . 4x Відповідь: –1,5.
АЛГЕБРА
3 1 x = 19, 5 ⋅ − + 4 = −3, 25 + 4 = 0, 75 = . 4 6 3 1 Відповідь: ; − . 6 4
5x + by = 8 16 − 3y x = 10 = 1, 6 − 0, 3y
5x + by = 8 967. 10x + 3y = 16
5 (1, 6 − 0, 3y ) + by = 8
8 − 1, 5y + by = 8 — має безліч рішень якщо 8 − 1, 5y + by − 8 = 0 −1, 5y + by = 0 by = 1, 5y b = 1, 5y : y b = 1, 5 . Відповідь: 1,5. 968. а) 2x − 6 − xy + 3y == 2 ( x − 3 ) − y ( x − 3 ) = ( 2 − y ) ( x − 3 ) ;
(
)
б) y3 − 10y2 + 25y == y y2 − 10y + 25 = y ( y − 5 ) ; 2
в) ( a − 2b ) − 4a2 == ( a − 2b − 2a ) ( a − 2b + 2a ) = ( −a − 2b ) ( 3a − 2b ) ; г) 27a3 − b3 = ( 3a − b ) 9a2 + 3ab + b2 . 2
(
)
(
) (
)
969. 4 ( a − 2 ) − ( 2a − 3 ) + 4a == 4 a2 − 4a + 4 − 4a2 − 12a + 9 + 4a = = 4a2 − 16a + 16 − 4a2 + 12a − 9 + 4a = 11 — не залежить від значень a, що й треба було довести. 2
2 2 a + b = 25 970. ab = −12
2
2 2 a + 2ab + b = 25 + 2a 2ab = −24
(a + b)
2
= 25 − 24 = 1 a2 − 2ab + b2 = 25 − 2ab
(a + b)
2
= 25 + 24 = 49 .
971. a = −2 2a2 − ab = 4 2 ( −2 ) + 2b = 4 2
8 + 2b = 4 2b = −4 b = −4 : 2 b = −2
(
)
a + 2 ( a + ( 2a − b ) ) = −2 + 2 −2 + ( 2 ⋅ ( −2 ) + 2 ) = −2 .
169
АЛГЕБРА
}
972. I полиця — x − 20 книжок 100 книжок II полиця — x книжок III полиця — x + 7 книжок ( x − 20 ) + x + ( x + 7 ) = 100 3x = 113 x = 113 : 3 2 x = 37 (кн.) — кількість книжок на другій полиці число дробове, 3 отже таким чином розмістити книжки не можна. Відповідь: не можна. x − y = 1 973. а) x + y = 7 2x = 8 x = 8:2 x=4 4+ y =7 y =7 −4 = 3 . Відповідь: (4; 3). 3x − 8y = 18 б) −3x + 4y = −6 −4y = 12 y = 12 : ( −4 ) y = −3 x = ( 18 + 8 ⋅ ( −3 ) ) : 3 = −6 : 3 = −2 . Відповідь: (–2; –3). 2x + 5y = 6 в) 8x − 5y = −1 10x = 5 x = 5 : 10 x = 0, 5 y = ( 8 ⋅ 0, 5 + 1 ) : 5 = 1 . Відповідь: (0,5; 1). 4x + 5y = 6 974. а) ; 4x + 3y = 2 −2y = −4 y=2 x = (2 − 3 ⋅2) : 4 x = −1 . Відповідь: (–1; 2).
170
−4x − 5y = −6 4x + 3y = 2
5m + 2n = −2 −5m − 2n = 2 б) 3 m + 2 n = 2 3m + 2n = 2 −2m = 4 m = 4 : ( −2 ) m = −2 n = ( 2 + 3 ( −2 ) ) : 2 = −2 . Відповідь: (–2; –2).
−3x + 3y = −12 3x + 2y = 17
АЛГЕБРА
3x − 3y = 12 в) 3x + 2y = 17 5y = 5 y =1 x = (12 + 3 ) : 3 = 5 . Відповідь: (5; 1). x − y = 4 975. а) 2x + y = 5 3x = 9 x = 9:3 x =3 y = 5 − 2 ⋅ 3 = −1 . Відповідь: (3; –1). 5x + y = −2 б) −5x + 3y = −6 4y = −8 y = −8 : 4 y = −2 x = ( −2 + 2 ) : 5 = 0 . Відповідь: (0; –2). 2x + 3y = 7 в) 2x + y = 1
−2x − 3y = −7 2x + y = 1
−2y = −6 y = −6 : ( −2 ) y=3 x = (1 − 3 ) : 2 = −1 . Відповідь: (–1; 3). 3x − 5y = 2 × 2 976. а) 2x + 3y = −5 × −3 6x − 10y = 4 −6x − 9y = 15 −19y = 19 y = −1 x = ( −5 + 3 ) : 2 = −1 . Відповідь: (–1; –1). 5x + 2y = 6 × 3 б) 3x + 7y = −8 × −5 15x + 6y = 18 −15x − 35y = 40 −29y = 58 y = 58 : ( −29 ) y = −2 x = ( −8 − 7 ( −2 ) ) : 3 = 6 : 3 = 2 . Відповідь: (2; –2).
171
АЛГЕБРА
8x − 3y = 41 × 5 в) 7x + 5y = 13 × 3 40x − 15y = 205 21x + 15y = 39 61x = 244 x = 244 : 61 x=4 y = ( 8 ⋅ 4 − 41 ) : 3 = −9 : 3 = −3 . Відповідь: (4; –3). 2x + 4y = −1 × −9 г) 9x + 7y = 1 × 2 −18x − 36y = 9 18x + 14y = 2 −22y = 11 y = 11 : ( −22 ) y = −0, 5 x = ( −1 − 4 ⋅ ( −0, 5 ) ) : 2 = 0, 5 . Відповідь: (0,5; –0,5). 5x + 3y = 2 × 3 д) 3x + 5y = −2 × −5 15x + 9y = 6 −15x − 25y = 10 −16y = 16 y = −1 x = ( −2 + 5 ) : 3 = 1 . Відповідь: (1; –1). −9x + 8y = −25 × 5 е) 5x + 3y = −1 × 9 −45x + 40y = −125 45x + 27y = −9 67y = −134 y = −134 : 67 y = −2 x = ( −1 + 3 ⋅ 2 ) : 5 = 1 . Відповідь: (1; –2). 2x − 3y = 8 × 2 977. а) 5x + 2y = 1 × 3 4x − 6y = 16 15x + 6y = 3
172
19x = 19 x =1 y = ( 1 − 5 ⋅ 3 ) : 2 = −7 . Відповідь: (1; –7).
АЛГЕБРА
5x − 4y = 1 × 2 б) −2x + 5y = 20 × 5 10x − 8y = 2 −10x + 25y = 100 17y = 102 y = 102 : 17 y=6 x = ( 5 ⋅ 6 − 20 ) : 2 = 5 . Відповідь: (5; 6). 3x − 8y = 11 × 4 в) 4x − 6y = 17 × −3 12x − 32y = 44 −12x + 18y = −51 14y = −7 y = −7 : 14 1 y = −0, 5 = − 2 7 1 x = ( 11 − 8 ⋅ 0, 5 ) : 3 = = 2 . 3 3 1 1 Відповідь: 2 ; − . 2 3 3x − 5y = −2 × 7 г) 7x − 8y = 10 × −3 21x − 35y = −14 −21x + 24y = −30 −11y = −44 y = −44 : ( −11 ) = 4 x = ( −2 + 5 ⋅ 4 ) : 3 = 6 . Відповідь: (6; 4). 0, 1x + 3y = 5 × −3 978. а) 0, 3x − 7y = −1 −0, 3x − 9y = −15 0, 3x − 7 y = −1 −16y = −16 y =1 x = ( 5 − 3 ) : 0, 1 = 20 . Відповідь: (20; 1). 1, 2x + 0, 7y = 28 1, 2x + 0, 7 y = 28 б) − 0 , 6 x + 0 , 5 y = 3 × 2 −1, 2x + y = 6 1, 7y = 34 y = 34 : 1, 7 y = 20 10 70 4 2 x = ( 0, 5 ⋅ 20 − 3 ) : 0, 6 = 7 ⋅ = = 11 = 11 . 6 6 6 3 2 Відповідь: 11 ; 20 . 3
173
АЛГЕБРА
1 1 x − y = 1 × −25 в) 4 5 6x − 5y = 13 25 x + 5y = −25 − 4 6x − 5y = 13 25 6x − x = −12 4 1 6x − 6 x = −12 4 1 − x = −12 4 x = −12 ⋅ ( −4 ) = 48 ; y = ( 6 ⋅ 48 − 13 ) : 5 = 275 : 5 = 55 . Відповідь: (48; 55). 1 2 3 x + 5 y = 1 × 2 г) 1 x− 2 y =0 3 5 2 4 3 x + 5 y = 2 1 x− 2 y =0 3 5 5 x =2 3 3 6 2 6 12 3 x = 2 ⋅ = = 1, 2 ; y = 1 − ⋅ ⋅ 5 = 1 − ⋅5 = 1 . ⋅5 = 5 5 3 5 15 15 Відповідь: (1,2; 1).
0, 8x + 0, 3y = 5 × 2 979. а) 2x − 0, 6y = −1 1, 6x + 0, 6y = 10 2x − 0, 6y = −1 3, 6x = 9 x = 9 : 3, 6 x = 2, 5 y = ( 2, 5 ⋅ 2 + 1 ) : 0, 6 = 10 . Відповідь: (2,5; 10). 1 1 5 6 x + 3 y = − 3 × −2 б) x + 2 y = 2 3 3 2 2 10 − 6 x − 3 y = 3 x + 2 y = 2 174 3 3
4 3
6 4
\2 \1
= −2 \4
\1
2 3 8 3 2 2 y = + 2 : = 2 ⋅ = \1 ⋅ \1 = 4 . 3 2 3 3 3 2 Відповідь: (–2; 4).
АЛГЕБРА
10 x+x = 6 4 4 − x= 6 3 \1 4 x = \1 ⋅ − 3 −
19 ( x − 3 ) = 5 ( y − 2 ) − 3 980. а) 3 ( y + 1 ) = 7 + 19 ( x − 3 ) 19 ( x − 3 ) = 5y − 10 − 3 −19 ( x − 3 ) = 7 − 3y − 3 5y = 13 −3y = −4 2y = 9 y = 9:2 y = 4, 5 19 ( x − 3 ) = 5 ⋅ 4, 5 − 13 19x − 57 = 9, 5 19x = 66, 5 x = 66, 5 : 19 x = 3, 5 . Відповідь: (3,5; 4,5). 5 ( x + 2y ) − 1 = 6y + 2 б) 2 ( x + 6y ) − 1 = 7y 5x + 10y − 6y = 2 + 1 2x + 12y − 7 y = 1 5x + 4y = 3 × 2 2x + 5y = 1 × −5 10x + 8y = 6 −10x − 25y = −5 −17y = 1 1 y=− 17 \11 1 22 1 11 x = 1 + 5⋅ ⋅ \1 = . :2 = 17 17 17 2 1 11 Відповідь: . ;− 17 17 1 2 ( x + 7 ) − 6 = 5y × −1 в) 2 x − 5y = 3 3
175
АЛГЕБРА
1 7 5y − 2 x = 2 − 6 2 x − 5y = 3 3 1\3 2\2 7 1 − x+ x = −3 = 3 −3 2 3 2 2 4 3 1 x− x= 6 6 2 1 1 x= 6 2 1 2 x = ⋅6 = 3 ; y = ⋅3 + 3 :5 = 1 . 2 3 Відповідь: (3; 1). p−q p+q = 5 г) 3 7 ( p − q ) = 5 ( p + q ) + 1
5 ( p − q ) − 3 ( p + q ) = 0 7 ( p − q ) − 5 ( p + q ) = 1 5 p − 5q − 3 p − 3q = 0 ; 7 p − 7q − 5 p − 5q = 1
2 p − 8q = 0 2 p − 12q = 1 × −1 2 p − 8q = 0 −2 p + 12q = −1 4q = −1 1 1 q = − ; p = 8q : 2 = 4q = 4 ⋅ − = −1 . 4 4 1 Відповідь: −1; − . 4 5 ( 2x − 3y ) = 4x 981. а) 6x − 4y = 4 ( 2x − 1 ) − 5 10x − 15y − 4x = 0 6x − 4y = 8x − 4 − 5 6x − 15y = 0 −2x − 4y = −9 × 3 6x − 15y = 0 −6x − 12y = −27 −27y = −27 y =1 x= 176
9 − 4y = 4, 5 − 2 = 2, 5 . 2
Відповідь: (2,5; 1).
АЛГЕБРА
2 3 ( x − 2) + ( x + y ) = 4 7 б) 7 3 ( x − 2 ) + 5 ( x + y ) = 7 3 2 2 3 x −2⋅ + x + y = 4 7 7 7 7 3x − 6 + 5x + 5y = 7 6 2 5 x − + y = 4 ×7 7 7 7 8x + 5y = 13 5x − 6 + 2y = 28 × −5 8x + 5y = 13 × 2 −25x − 10y = −170 16x + 10y = 26 −9x = −144 x = −144 : ( −9 ) x = 16 y = ( 34 − 5 ⋅ 16 ) : 2 = −23 . Відповідь: (16; –23). 11x + 17 y = 25 × −1 982. а) 11x + 17 y = 27 −11x − 17y = −25 — система не має рішень. 11x + 17 y = 27 2x − 7y = 6 × 2 б) −4x + 14y = −12 4x − 14y = 12 — система має розв’язок. −4x + 14y = −12 2x + 5y = 13 2x + 5y = 13 × 7 983. а) 4x − 2y = −10 7x = −7 × −2 3x + 2y = 3 14x + 35y = 91 −14x = 14 35y = 105 y = 105 : 35 y=3 7x = −7 x = −1 Відповідь: система має розв’язок. 8x + 3y = 2 б) 6x + 2y = 1 4x + 4y = 1 −16x − 6y = −4 18x + 6y = 3 2x = −1
8x + 3y = 2 × −2 6x + 2y = 1 × 3
177
1 = −0, 5 2 y = ( 1 − 6 ⋅ ( −0, 5 ) ) : 2 = 2 Підставимо значення x та y в систему 4x + 4y = 1 4 ⋅ ( −0, 5 ) + 4 ⋅ 2 = 1 −2 + 8 ≠ 1 , це означає, що система не має розв’язку.
АЛГЕБРА
x=−
6x + 5y = −7 984. 2x − 3y = 7 4x + y = 0 6x + 5y = −7 6x − 2y = 7 − 1 6x + 5y = −7 −6x + 2y = −7 7y = −14 y = −14 : 7 y = −2 7 − 3⋅2 1 x= = = 0, 5 . 2 2 Графіки рівнянь проходять через точку (0,5; –2), що й треба було довести. 2 4x + y = −8 985. а) 2 2 x − y = 4 x2 + 4x + 4 = 0
( x + 2)
2
=0 x = −2 y2 = −8 + 4 ⋅ 2 = 0 y=0 . Відповідь: ( −2; 0 ) . 2x + y = 7 б) x − y = 2 3x = 9 x = 9:3 x =3 y = 7 − 2⋅3 = 1 y1 = 1 ; y2 = −1 . Відповідь: ( 3; 1 ) ; ( 3; − 1 ) . ( x − 4 )2 − ( x + 4 )2 = 4y в) 2 2 ( y + 2 ) − ( y + 1 ) = 2x
2 2 x − 8x + 16 − x − 8x − 16 = 4y 2 2 y + 4y + 4 − y − 2y − 1 = 2x −16x − 4y = 0 2y − 2x = −3 22
178
−16x − 4y = 0 4y − 4x = −6
−20x = −6 6 x= = 0, 3 20 y = ( −3 + 2 ⋅ 0, 3 ) : 2 = 1, 2 . Відповідь: ( 0, 3; − 1, 2 ) . 4 ( x + 3 ) − 5 x2 − y − 3 = 9 г) 2 6 ( x + 3 ) + 5 x − y − 3 = 1 10 ( x + 3 ) = 10 x +3 =1 x = −2 6x + 18 + 5x2 − 5y − 15 = 1 6 ( −2 ) + 18 + 5 ⋅ 4 − 5y − 15 = 1 5y = 10 y = 10 : 5 y=2 . Відповідь: ( −2; 2 ) .
) )
АЛГЕБРА
( (
ax − 3y = 5 − 2 986. 4x − 6y = 10 −2ax + 6y = −10 4x − 6y = 10 −2ax + 4x = 0 2ax = 4x 4x a= = 2 — безліч розв’язків 2x a ≠ 2 — один розв’язок. 988. а) x + y = 5 ( x − y ) ; a б) ab = + 12 ; b 1 в) a + b = ab . 3 992. Вклад — (x грн. — 20 %) — 30 % Залишок — 280 грн. x − 0, 2x − 0, 3 ( x − 0, 2x ) = 280 0, 8x − 0, 3x + 0, 06x = 280 0, 56x = 280 x = 280 : 0, 56 x = 500 (грн) — початковий вклад. Відповідь: 500 грн. 995. Сливи — 5 ящ. по x кг Виноград — 7 ящ. по y кг Маємо систему рівнянь: 8 5x + 7y = 89 8x + 8y = 120 −5 40x + 56y = 712 −40x − 40y = −600 16y = 112
}
89 кг — 8 ящ. по x кг — 8 ящ. по y кг
}
120 кг
179
АЛГЕБРА
y = 112 : 16 y = 7 (кг) — маса ящика винограду; x = ( 89 − 7 ⋅ 7 ) : 5 = 8 (кг) — маса ящика сливок. Відповідь: 8 кг; 7 кг. 996. I автомобіль — 5 рейсів по x т II автомобіль — 6 рейсів по y т
}
50 т
5x + 6y = 50 × 2 10x + 7 y = 75 −10x − 12y = −100 10x + 7 y = 75 −5y = −25 y = −25 : ( −5 ) y = 5 (т) — вантажність II автомобіля; x = ( 75 − 7 ⋅ 5 ) : 10 = 40 : 10 = 4 (т) — вантажність I автомобіля. Відповідь: 4 т; 5 т. a + b = 104 997. a + 11 = b a + a + 11 = 104 2a = 93 a = 93 : 2 a = 46, 5 b = 46, 5 + 11 = 57, 5 . Відповідь: 46,5; 57,5. a − b = 48 998. a = 5b 5b − b = 48 4b = 48 b = 48 : 4 b = 12 a = 12 ⋅ 5 = 60 . Відповідь: 60; 12. 1002. I робітник — x деталей II робітник — y деталей 4x + 4y = 80 4y = 4x + 16
180
}
— 10 рейсів по x т 75 т — 7 рейсів по y т
4x + 4y = 80 y = x + 4 4x + 4 ( x + 4 ) = 80 4x + 4x + 16 = 80 8x = 80 − 16 8x = 64 x = 64 : 8 x = 8 (дет.) — виготовляв за годину I робітник; y = 8 + 4 = 12 (дет.) — виготовляв за годину II робітник. Відповідь: 8 деталей; 12 деталей.
y = 60 − x 3 1 3x − x − x = 60 − x 4 4 3x = 60 x = 60 : 3 x = 20 (книжок) — на I полиці. y = 60 − 20 = 40 (книжок) — на II полиці. Відповідь: 20 книжок; 40 книжок.
АЛГЕБРА
x + y = 60 1003. 1 1 3 x − 4 x = y + 4 x
}
1004. І гілка — x горобців 25 горобців ІІ гілка — y горобців x + y = 25 x − 5 = 2 ( y − 7 + 5 ) x = 25 − y x − 2y = 1 25 − y − 2y = 1 3y = 24 y = 24 : 3 y = 8 (гор.) — на ІІ гілці спочатку; x = 25 − 8 = 17 (гор.) — на І гілці спочатку. Відповідь: 17 горобців; 8 горобців. 1005. Vвл — x км/год Vтеч — y км/год
3 ( x + y ) + 5 ( x − y ) = 338 0, 5 ( x + y ) + ( x − y ) = 63 3x + 3y + 5x 5y = 338 0, 5x + 0, 5y + x − y = 63 :2 8x − 2y = 338 1, 5x − 0, 5y = 63 × − 2
4x − y = 169 −3x + y = −126 x = 43 (км/год) — власна швидкість теплохода; y = −126 + 3 ⋅ 43 = 3 (км/год) — швидкість течії. Відповідь: 43 км/год; 3 км/год. 1006. Vвл — x км/год Vтеч — y км/год 2 ( x + y ) + 3 ( x − y ) = 222 3 ( x + y ) − 60 = 2 ( x − y ) 2x + 2y + 3x − 3y = 222 3x + 3y − 2x + 2y = 60 5x − y = 222 x + 5y = 60
181
АЛГЕБРА
5x − y = 222 x = 60 − 5y 5 ( 60 − 5y ) − y = 222 300 − 25y − y = 222 26y = 300 − 222 26y = 78 y = 78 : 26 y = 3 (км/год) — швидкість течії; x = 60 − 5 ⋅ 3 = 60 − 15 = 45 (км/год) — власна швидкість теплохода. Відповідь: 45 км/год; 3 км/год. 1007. Галки — x Палки — y 2 ( y − 1 ) = x y + 1 = x 2y − x = 2 x = y + 1 2y − y − 1 = 2 y = 3 (шт.) — кількість палок; x = 3 + 1 = 4 (шт.) — кількість галок. Відповідь: 4 галки; 3 палки. 1008. Кінь — x мішків Мул — y мішків 2 ( x − 1 ) = y + 1 x + 1 = y − 1 2x − 2 = y + 1 x = y − 2 2x − y = 3 x = y − 2
2 ( y − 2) − y = 3 2y − 4 − y = 3 y = 7 (міш.) — ніс мул; x = 7 − 2 = 5 (міш.) — ніс кінь. Відповідь: 5 мішків; 7 мішків. a + b = 24 1009. 0, 35a = 0, 85b a = 24 − b 0, 35 ( 24 − b ) = 0, 85b 8, 4 − 0, 35b = 0, 85b 0, 85b + 0, 35b = 8, 4 1, 2b = 8, 4 b = 8, 4 : 1, 2 b =7 a = 24 − 7 = 17 . 182 Відповідь: 17; 7.
}
y = 102 − x 0, 85x − 102 + x = 9 1, 85x = 111 x = 111 : 1, 85 x = 60 (т) — на I складі; y = 102 − 60 = 42 (т) — на II складі. Відповідь: 60 т; 42 т.
АЛГЕБРА
1010. I склад — x т 102 т II склад — y т x + y = 102 x − 0, 15x − y = 9
1011. ab = 10a + b ba = 10b + a a + b = 8 10a + b − 10b − a = 18 a = 8 − b 9 ( 8 − b ) − 9b = 18 72 − 9b − 9b = 18 −18b = −54 b=3 a = 8−3 =5 ab = 53 . Відповідь: 53. 1012. V1 — x км/год V2 — y км/год V1 + V2 — спільна швидкість; t = 2 год. S = ( V1 + V2 ) ⋅ t = 18 (км) ( x + y ) ⋅ 2 = 18 x + 2 ( x + y ) + 2 ( x + y ) = 41 x + y = 9 x + 2x + 2y + 2x + 2y = 41 x = 9 − y 5 ( 9 − y ) + 4y = 41 45 − 5y + 4y = 41 y = 45 − 41 y = 4 (км/год) — швидкість другого пішохода; x = 9 − 4 = 5 (км/год) — швидкість першого пішохода. Відповідь: 5 км/год; 4 км/год. 1 1 5 a − 3 b = 4 1014. a − 1 a + b + 1 b = 102 4 6
1 1 3 b = 5 a − 4 3 a + 7 b = 102 4 6
183
3 b = 5 a − 12 3 a + 7 3 a − 12 = 102 65 4
АЛГЕБРА
1
3 7 3 7 2 a+ 2 ⋅ a − 1 ⋅ 12 = 102 4 6 5 6 3/ 5 7/ 2 a+ a − 14 = 102 4 10 15 + 14 a = 102 + 14 20 4 20 a = 116 ⋅ 1 = 80 29 3 16 b = 1 ⋅ 80 − 12 = 48 − 12 = 36 . 5 Відповідь: 80; 36. 1015. I посудина — 25 л — 25 + x — місткість II посудина — 45 л — 45 + y — місткість 1 45 − x = 3 ( 45 + y ) 25 − y = 1 ( 25 + x ) 5 1 45 − x = 15 + 3 y 25 − y = 5 + 1 5x 1 x + 3 y = 30 y = 20 − 1 x 5 1 1 x + 20 − x = 30 3 5 20 1 x+ − x = 30 3 15 14 20 x = 30 − 15 3 14 70 x= 15 3 5
70
5
15 = 25 (л) — долили доверху в першу посудину; 3 14 25 + 25 = 50 (л) — місткість першої посудини; x=
1
1
1 ⋅ 25 = 15 (л) — долили доверху в другу посудину; 5 45 + 15 = 60 (л) — місткість другої посудини. Відповідь: 50 л; 60 л. y = 20 −
184
⋅
}
360 + 0,5 x + 0,125 y
x + y = 360 x + 0, 5x + y + 0, 125y = 360 + 0, 25 ⋅ 360
}
+ 0,25 •360
x = 360 − y 1, 5x + 1, 125y = 450 1, 5 ( 360 − y ) + 1, 125y = 450 540 − 1, 5y + 1, 125y = 450 0, 375y = 90 y = 90 : 0, 375 y = 240 (грн) — ціна купівлі другого предмета; x = 360 − 240 = 120 (грн) — ціна купівлі першого предмета; 1, 5 ⋅ 120 = 180 (грн) — ціна продажу I предмета; 1, 125 ⋅ 240 = 270 (грн) — ціна продажу II предмета. Відповідь: 180 грн; 270 грн.
АЛГЕБРА
1017. I предмет — x II предмет — y
1019. V1 — x км/год V2 — y км/год t = 1, 5 год 1, 5x = 1, 5y + 9 1 12 ( x + y ) = 9 x = ( 1, 5y + 9 ) : 1, 5 x + y = 108 x = y + 6 y + y + 6 = 108 2y = 102 y = 102 : 2 y = 51 (км/год) — швидкість другого мотоцикліста; x = 51 + 6 = 57 (км/год) — швидкість першого мотоцикліста; 1, 5 ⋅ 57 = 85, 5 (км) — відстань між пунктами. Відповідь: 57 км/год; 51 км/год; 85,5 км. 1020. A — B B—A Шосе — 60 ⋅ x — 56 ⋅ ( 1, 5 − y ) Ґрунтова дорога — 45 (1, 5 − x ) — 48 ⋅ y 60x = 56 ( 1, 5 − y ) 45 ( 1, 5 − x ) = 48y 60x = 84 − 56y 67, 5 − 45x = 48y
60x + 56y = 84 −45x = 48y − 67, 5 60x + 56y = 84 16 67, 5 48 y x = 45 − 15 45
185
16 60 1, 5 − y + 56y = 84 15 4
АЛГЕБРА
90 − 60 :
16
y + 56y = 84 15 −64y + 56y = 84 − 90 8y = 6 6 3 y= = (год) — час руху по ґрунтовій дорозі від B до A; 8 4 4
1
16
1
3 4 = 1, 5 − = 1, 5 − 0, 8 = 0, 7 (год) — час руху по шосе від A до B; 1 5 15 4 60 ⋅ 0, 7 = 42 (км) — довжина шосе; 12 3 48 ⋅ 1 = 36 (км) — довжина ґрунтової дороги. 4 x = 1, 5 −
5
⋅
Відповідь: 42 км; 36 км. 1 1021. AB + BC = 9 год 20 хв = 9 год; 3 CB + BA = 9 год. Vвл = 10 км/год. Vтеч = 2 км/год. Vза теч = 10 + 2 = 12 км/год; Vпр. теч = 10 − 2 = 8 км/год. x/ 2 x + y/ 3 1/ 8 + =9 12 8 3 /2 /3 x y x + / 24 + =9 12 8 2x + 3x + 3y 224 = 24 24 2x + 2y + 3x = 216 24 24 5x + 3y = 224 5x + 2y = 216 y = 8 (км) — відстань між A і C. Відповідь: 8 км. 1022. а) ( m + 2n ) ( 2m − n ) + 2n2 == 2m2 − mn + 4mn − 2n2 + 2n2 == 2m2 + 3mn ; б) a2 ( b + 5a ) + ( a − 2b ) 2b − 5a2 = a2b + 5a3 + 2ab − 5a3 − 4b2 + 10a2b = = 11a2b − 4b2 + 2ab.
(
)
1023. а) a + 3ab − c − 3bc = ( a − c ) + 3b ( a − c ) = ( a − c ) ( 1 + 3b ) ; б) x2 − y2 + 2 ( x + y ) = ( x − y ) ( x + y ) ++2 ( x + y ) = ( x + y ) ( x − y + 2 ) ; в) a2 − 4b2 + a − 2b = ( a − 2b ) ( a + 2b ) ++ ( a − 2b ) = ( a − 2b ) ( a + 2b + 1 ) ; г) c2 − 3ac + 2a2 = c2 − 2ac + a2 − ac + a2 =
= ( c − a ) − a ( c − a ) = ( c − a ) ( c − a − a ) = ( c − a ) ( c − 2a ) ; 2
(
)
1024. а) 7253 − 3753 = ( 725 − 375 ) ⋅ 7252 + 725 ⋅ 375 + 3752 = 186 = 350 7252 + 725 ⋅ 375 + 3752 — ділиться на 350, що й треба було довести.
(
)
(
)
(
)
(
)
1025. a = 3k; b = 3k + 1 c = 3k + 2 , де k — ціле число a2 + b2 + c2 = 9k2 + ( 3k + 1 ) + ( 3k + 2 ) == 9k2 + 9k2 + 6k + 1 + 9k2 + 12k + 4 = = 18k2 + 18k + 3 + 2 = 3 6k2 + 6k + 1 + 2 — при діленні на 3 дає остачу 2, що й треба було довести. 2
(
2
)
АЛГЕБРА
б) 723 + 883 = ( 72 + 88 ) 722 − 72 ⋅ 88 + 882 == 160 722 − 72 ⋅ 88 + 882 = = 80 ⋅ 2 722 − 72 ⋅ 88 + 882 — ділиться на 80, що й треба було довести.
1026. x2 − 4x + y2 − 4y + 9 = 0 x2 − 4x + 4 + y2 − 4y + 4 + 1 = 0
( x 2) + ( y − 2) + 1 = 0 2 2 2 2 ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = −1 — не можливо, бо ( x − 2 ) + ( y − 2 ) > 0 , отже рішень 2
2
не існує, що й треба було довести.
1028. 5x − 4y = 3 . Відповідь: ( 3; 3 ) ; ( −1; − 2 ) ; ( 1; 0, 5 ) . 1029. а) −2x + 4y = 8 . Відповідь: ( 0; 2 ) ; ( −2; 1 ) . б) x + 3y = −2 . Відповідь: ( −2; 0 ) ; ( 1; − 1 ) . 1030. а) x = 4; y = 3 8x − 3y = 23 ; б) ( −2; 4 ) 2x − 3y = −16 . 1031. 4x − y = 6 6+y а) x = = 1, 5 + 0, 25y ; 4 б) y = 4x − 6 . 1032. а) x − 2y = 4 x y
0 –2
4 0
б) 4x + y = −4 x y
–1 0
0 –4
в) 3x − 2y = 6 x y
2 0
0 –3
2x + 3y = 5 1033. 3x + 4y = 8
( −2; 3 )
187
АЛГЕБРА
2 ( −2 ) + 3 ⋅ 3 = 5 3 ( −2 ) + 4 ⋅ 3 = 8 −4 + 9 = 5 −6 + 12 = 8 5 = 5 , тобто ця пара чисел не є розв’язком системи. 6 ≠ 8 x + y = 3 1034. а) x − 3y = −1 x+y=3 x y
0 3
1 2
x − 3y = −1 x y
–4 –1
2 1
A ( 2; 1 ) Відповідь: ( 2; 1 ) . 3x − 2y = −1 б) x − 2y = 1 3x − 2y = −1 x 1 y 2 x − 2y = 1 x y
–1 –1
3 5 1 0
B ( −1; − 1 ) Відповідь: ( −1; − 1 ) . x + 3y = 1 1035. а) 2x − y = 9 x = 1 − 3y 2 ( 1 − 3y ) − y = 9 2 − 6y − y = 9 −7y = 7 y = −1 x =1+3 = 4 . Відповідь: ( 4; − 1 ) . 2m − n = 6 б) 3m + 2n = 2
188
n = 2m − 6 3m + 2 ( 2m − 6 ) = 2 3m + 4m − 12 = 2 7m = 14
5 + 4y x = 2 2 5 + 4y 4⋅ 1 − 3y = 5 2 10 + 8y − 3y = 5 5y = −5 y = −1 5 + 4 ( −1 ) 1 x= = . 2 2 1 Відповідь: ; − 1 . 2
АЛГЕБРА
m = 14 : 7 m=2 n = 2 ⋅ 2 − 6 = −2 . Відповідь: ( 2; − 2 ) . 2x − 4y = 5 в) 4x − 3y = 5
6x + y = 1 1036. а) 3x − y = 8 9x = 9 x =1 y = 1 − 6x = 1 − 6 = −5 . Відповідь: ( 1; − 5 ) . 3x − 4y = 9 б) 3x + 2y = −9 × −1 3x − 4y = 9 −3x − 2y = 9 −6y = 18 y = 18 : ( −6 ) y = −3 x = ( 9 + 4y ) : 3 = ( 9 + 4 ( −3 ) ) : 3 = −1 . Відповідь: ( −1; − 3 ) . 5x − 7 y = 1 −6 в) 6x − 5y = 8 5 −30x + 42y = −6 30x − 25y = 40 17y = 34 y = 34 : 17 y=2 x = (1 + 7y ) : 5 = (1 + 7 ⋅ 2 ) : 5 = 3 . Відповідь: ( 3; 2 ) . 2x − 3y = 1 1037. x + 3y = 5 3x = 6 x = 6:3
189
АЛГЕБРА
x =2 y = (5 − 2 ) : 3 = 1 . Відповідь: ( 2; 1 ) . 2, 8x − 1, 5y = −1 −7, 5 1038. а) 21x + 25y = 355 −21x + 11, 25y = 7, 5 21x + 25y = 355 36, 25y = 362, 5 y = 362, 5 : 36, 25 y = 10 x = ( 355 − 250 ) : 21 = 5 . Відповідь: ( 5; 10 ) . 99x − 114y = 28 2 б) −9 11x − 14y = 30 99x − 114y = 282 −99x + 126y = −270 12y = 12 y =1 x = ( 30 + 14 ) : 11 = 4 . Відповідь: ( 4; 1 ) . 2 ( x − 1 ) + y = x − 4 в) 4 ( x + 1 ) − 5 = − y 2x − 2 + y − x = −4 4x + 4 + y = 5 x + y = −2 − 1 4x + y = 1 −x − y = 2 4x + y = 1 3x = 3 x =1 y = −1 − 2 = −3 . Відповідь: ( 1; − 3 ) . 2 ( 2x + 1 ) − ( 2y − 3 ) = 3 г) −4 ( 2x − 1 ) + 3 ( y − 2 ) = 0 4x + 2 − 2y + 3 = 3 −8x + 4 + 3y − 6 = 0 4x − 2y = −2 2 −8x + 3y = 2
190
8x − 4y = −4 −8x + 3y = 2 y=2 1 x = ( −2 + 2 ⋅ 2 ) : 4 = = 0, 5 . 2 Відповідь: ( 0, 5; 2 ) .
5x − y = 15 −5x + 3y = 15 2y = 30 y = 30 : 2 y = 15 15 + y x= = 30 : 5 = 6 . 5 Відповідь: ( 6; 15 ) .
АЛГЕБРА
x/ 5 y − = 1/ 15 д) 3 15 5x − 3y = −15 5x y 15 − = 15 15 15 5x − 3y = −15 5x − y = 15 5x − 3y = −15 − 1
x y +1 2 = 3 е) y = x+2 7 6 2 ( y + 1 ) = 3x 7 ( x + 2 ) = 6y 2y + 2 = 3x 7x + 14 = 6y
2y − 3x = −2 3 7x − 6y = −14 6y − 9x = −6 −6y + 7x = −14 −2x = −20 x = −20 : ( −2 ) = 10 3 ⋅ 10 − 2 = 14 . 2 Відповідь: ( 10; 14 ) . y=
( x + 3 )2 − ( x + 2 )2 = −2y + 5 1039. 2 2 ( y − 5 ) − ( y + 3 ) = 4 + 4x 2 2 x + 6x + 9 − x − 4x − 4 = −2y + 5 2 2 y − 10y + 25 − y − 6y − 9 = 4 + 4x 2 2x + 2y = 0 − 4 x − 16 y = − 1 2 4x + 4y = 0 −4x − 16y = −12
191
АЛГЕБРА
−12y = −12 y =1 x = −1 . Відповідь: ( −1; 1 ) . 5x + 3y = 5, 6 2 1040. −3 4x + 2y = 4 10x + 6y = 11, 2 −12x − 6y = −12 −2x = 0, 8 x = −0, 8 : ( −2 ) x = 0, 4 (грн) — ціна тонкого зошита; 4 − 4 ⋅ 0, 4 = 1, 2 (грн) — ціна товстого зошита. 2 Відповідь: 0,4 грн; 1,2 грн. y=
18x + 12y = 1248 1042. ( 18 − 4 ) x + ( 12 − 6 ) y = 824 18x + 12y = 1248 −2 14x + 6y = 824 18x + 12y = 1248 −28x − 12y = −1648 −10x = −400 x = −400 : ( −10 ) = 40 (кг) — маса мішка борошна І ґатунку; 824 − 14 ⋅ 40 264 y= = = 44 (кг) — маса мішка борошна ІІ ґатунку. 6 6 Відповідь: 40 кг; 44 кг. a + b = 4, 5 1043. 0, 5a = 0, 75b a = 4, 5 − b 0, 5 ( 4, 5 − b ) = 0, 75b 2, 25 − 0, 5b = 0, 75b 0, 75b + 0, 5b = 2, 25 1, 25b = 2, 25 b = 2, 25 : 1, 25 b = 1, 8 a = 4, 5 − 1, 8 = 2, 7 . Відповідь: 2,7; 1,8. 1044. S = 100 (км) Vавтобуса — x км/год Vавтомобіля — y км/год
1 год. 2 3 10 год – 9 год 15 хв = 45 хв = год. 4 10 год – 9 год 30 хв = 30 хв =
192
1 3 4 x + 2 y = 110 1 1 x = y 4 3 1 1 x + 1 x = 110 4 2 4
1 год. 4
3/ 2 5 x + x = 110 4 8
АЛГЕБРА
10 год 30 хв – 9 год 15 хв = 1 год 15 хв = 1
6 5 x + x = 110 8 8 11 x = 110 8 8 x = 110 ⋅ = 80 (км/год) — швидкість автобусів. 11 5 ⋅ 80 = 100 (км/год) — швидкість автомобіля. 4 Відповідь: 80 км/год; 100 км/год. 1045. Vавтобуса — x км/год. Vавтомобіля — y км/год.
1 год. 3 11 11 год 20 хв – 10 год 25 хв = 55 хв = год. 12 11 1 1 3 x − 12 y = 8 y = 1 1 x 3 11 y− y=8 12 1 y=8 12 11 год 20 хв – 10 год = 1 год 20 хв = 1
y = 12 ⋅ 8 = 96 (км/год) — швидкість автомобіля. 3 x = 96 ⋅ = 72 (км/год) — швидкість автобуса. 4 Відповідь: 72 км/год; 96 км/год. 3x + 5y = 5, 6 2 1046. −3 2x + 4y = 4 6x + 10y = 11, 2 −6x − 12y = −12 −2y = −0, 8 y = −0, 8 : ( −2 ) y = 0, 4 (грн) — ціна тонкого зошита; x=
4 − 4 ⋅ 0, 4 = 1, 2 (грн) — ціна товстого зошита. 2
193
АЛГЕБРА
5 < 1, 2 ⋅ n < 7 n = 5 , бо 1, 2 ⋅ 5 = 6 (грн), 7 − 6 = 1 (грн.) — здача Олега. Відповідь: 1 грн. Завдання для самоперевірки № 7 1. б); 2. в); 3. в); 4. г); 5. г) 6. 5x – 2y = 9
( 3; ∗ ) : 5 ⋅ 3 − 2y = 9 2y = 24 y = 24 : 2 y = 12 ( ∗; 2 ) : 5x − 2 ⋅ 2 = 9 5x = 13 13 3 x= = 2 = 2, 6 . 5 5 Відповідь: ( 3; 12 ) ; ( 2, 6; 2 ) x − y = 2 7. x + 3y = 6 x−y=2 x y
1 –1
2 0
x + 3y = 6 x y
0 2
3 1
т. А ( 3; 1 )
Відповідь: ( 3; 1 ) . x + 2y = 11 8. 2x − 3y = 1 x = 11 − 2y 2 ( 11 − 2y ) − 3y = 1 22 − 4y − 3y = 1 7y = 21 y=3 x = 11 − 2 ⋅ 3 = 5 . Відповідь: ( 5; 3 ) .
194
3x + 2y = 6 9. 4x − 2y = 8 7x = 14 x = 14 : 7 x =2 6 − 2⋅3 y= =0. 2 Відповідь: ( 2; 0 ) .
11. 2x − ay = 2
АЛГЕБРА
( −1; 2 ) 2 ( −1 ) − a ⋅ 2 = 2 −2a = 4 a = 4 : ( −2 ) a = −2 2x − 5y = −1 12. 3x + 2y = 8 2x − 5y = −1 x –3 y –1 3x + 2y = 8 x y
0 4
2 1 2 1
2 2x − 0, 3y = 2 13. 5x + 0, 2y = 24 3 4x − 0, 6y = 4 15x + 0, 6y = 72 19x = 76 x = 76 : 19 x=4 y = ( 24 − 5 ⋅ 4 ) : 0, 2 = 20 . Відповідь: ( 4; 20 ) . 3 ( 2x − y ) − 2 ( x − y ) = 1 14. 4x − 5 ( x + 2y ) = 51 6x − 3y − 2x + 2y = 1 4x − 5x − 10y = 51 4x − y = 1 −x − 10y = 51 y = 4x − 1 −x − 10 ( 4x − 1 ) = 51 −x − 40x + 10 = 51 −41x = 41 x = −1 y = −4 − 1 = −5 . Відповідь: ( −1; − 5 ) . 16. 2ax − ( b + 2y ) = 2
( −4; 1 ) : 2a ( −1 ) − b ⋅ 4 − 2 ⋅ 4 = 2 −2a − 4b = 10
( 2; 2 ) : 2a ⋅ 2 − b ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 = 2 4a − 2b = 6 −2a − 4b = 10 2 4a − 2b = 6
195
АЛГЕБРА
−4a − 8b = 20 4a − 2b = 6 −10b = 26 b = 26 : ( −10 ) b = −2, 6
a = ( 6 + 2 ( −2, 6 ) ) : 4 = 0, 2 . Відповідь: 0,2; –2,6. 2x − y = 0 17. x + y = 3 2x − y = 0 x y
–2 4
–1 2
0 0
1 2
2 4
x+y=3 x y
–1 4
1 2
А ( −3; 6 ) B ( 1; 2 ) Відповідь: ( −3; 6 ) ; ( 1; 2 ) . ( x − 1 )2 + y = ( x + 2 )2 18. 2 2 ( y + 1 ) − x = ( y − 2 ) y = ( x + 2 − x + 1 ) ( x + 2 + x − 1 ) ( y + 1 − y + 2 ) ( y + 1 + y − 2 ) = x
y = ( x + 2 )2 − ( x − 1 )2 2 2 ( y + 1 ) − ( y − 2 ) = x
y = 3 ( 2x + 1 ) 3 ( 2y − 1 ) = x
y = 6x + 3 6y − 3 = x 6 ( 6x + 3 ) − 3 = x 36x + 18 − 3 = x 35x = −15 15 3 x=− =− 35 7 18 4 3 3 y = 6⋅ − + 3 = 3 − = 3−2 = . 7 7 7 7 3 3 Відповідь: − ; . 7 7 x + 3y = 4 − 2 19. 2x + ay = 8
196
−2x − 6y = −8 2x + ay = 8 −6y + ay = 0
ay = 6y 6y a= = 6 — безліч розв’язків. 6 Відповідь: 6. 70 т
АЛГЕБРА
}
20. 5 % сталь — x кг 40 % сталь — y кг x + y = 70 0, 05x + 0, 4y = 0, 3 ⋅ 70
x = 70 − y 0, 05 (70 − y ) + 0, 4y = 21 3, 5 − 0, 05y + 0, 4y = 21 0, 35y = 21 − 3, 5 0, 35y = 17, 5 y = 17, 5 : 0, 35 y = 50 (т) — 40 % сталі; x = 70 − 50 = 20 (т) — 5 % сталі. Відповідь: 20 т; 50 т. Задачі за курс алгебри 7 класу 1048. V1 = 80 (км/год), t1 = t V2 = 70 (км/год), t2 = 2 год. S = V1t1 + V2t2 S = 80 ⋅ t + 70 ⋅ 2 = 80 ⋅ t + 140 t = 1, 2 S = 80 ⋅ 1, 2 + 140 = 96 + 140 = 236 (км). Відповідь: 80t + 140 ; 236 км. 1049. 3 год = 3 ⋅ 60 = 180 хв. 180a + 180b = 180 ( a + b ) Відповідь: 180 ( a + b ) . 1050. а) 94 = 6561 ; б) ( −3 ) = −243 ; 5
в) ( −2, 5 ) = −15, 625 ; 3
3
3
1000 1 1 10 г) 3 = . = 37 = 27 27 3 3 1051. а) a2 ⋅ a4 = a6 ; б) a7 : a = a6 ;
( ) =a ; г) ( a a ) = a . в) a3 5
5
15
4
24
1052. а) 0, 45 ⋅ 2, 55 = ( 0, 4 ⋅ 2, 5 ) = 1 ; 5
(
б) 2 ⋅ 0, 5 2
2
5
)
7
⋅ 0, 25 ⋅ 4 = ( 2 ⋅ 0, 5 ) ⋅ ⋅ ( 0, 25 ⋅ 4 ) = 1 ; 4
4
5
14
4
5
3 1 3 7 в) − ⋅ 1, 72 ⋅ 2 = − ⋅ ⋅ 1, 72 = −1 ⋅ 2, 89 = −2, 89 ; 7 3 7 3
197
1053. а) 8x2xy = 8x3 y — 4 степінь;
( )
2
б) −3a2b ⋅ 2 a5 = −6a12b — 13 степінь; в) −m3 ⋅ 3m2n ⋅ 5n4 = −15m5n5 — 10 степінь;
(
)
2
АЛГЕБРА
г) 0, 5ac −4a3c ⋅ a2c = 8a9c4 — 13 степінь. 4
д)
2 4 8 2 2 12 5 3 a b −2 ab2 = − 1 ⋅ a b == − a5b3 = −1, 6a5b3 — 8 степінь; 3 5 5 5 3
е)
1 3 2 81 5 4 27 5 4 2 1 81 5 4 x y ⋅ −1 xy = ⋅ x y == xy = x y — 9 степінь. 6 294 98 7 6 49
2
1054. 12a4b5 : 1) 2a2b2 ⋅ 6a2b3 ; 2) −4a3b ⋅ −3ab4 ; 3) −0, 5b ⋅ −24a4b4 .
( (
)
(
)
)
2
1055. 9a6b2 = 3a3b .
(
1056. 27x6 y9 = 3x2 y3
)
3
.
1 1 ; b= 2 5 3 1 1 1 1 1 3 −4a b = 4 ⋅ − ⋅ = 4 ⋅ 2 ⋅ = 0, 1 ; 2 5 8 5 б) x = 0, 25; y = 4
1057. а) a = −
( 2x y )
2
3
⋅ y4 = 4x6 y6 = 4 ( x ⋅ y ) == 4 ( 0, 25 ⋅ 4 ) = 4 . 6
6
( ) (x x ) = x ⋅ x ⋅ x = x б) ( −a ) ⋅ ( −a ) = −a ⋅ ( −a ) = a
1058. а) x3
3n
n +1 2
5
17
n
2
9n
9
17 n
2 n +2
10
11n
17 n+18
18
x12 = x11n+12 ; .
1059. а) 3x2 − 6x + x2 − 3 + x = 4x2 − 5x − 3 — 2 степінь; б) 3a ⋅ 2ab + a5 − a3 − 7a2b = a5 − a3 ++6a2b − 7a2b = a5 − a3 − a2b — 5 степінь; в) 0, 6a2b − 1, 4b2a + 2, 8a2b + 3, 3ab2 == 3, 4a2b + 1, 9b2a — 3 степінь; 5 2 1 1 2 1 2/ 2 2 г) 5x3 + 1 x − 6 x3 − 1 x == −1 x3 + x — 3 степінь. 14 7 14 7 7
(
)
1060. а) 8a2 + 4a − 3 − 7 − 8a + 3a2 = 8a2 + 4a − 3 − 7 + 8a − 3a2 == 5a2 + 12a − 10 ; б) x − 3x2 y − xy + x2 − 3x2 y + xy = x − 3x2 y − xy + x2 − 3x2 y + xy = = −6x2 y + x2 + x ; 1 1 2 2 2 1 1/ 3 2 1/ 3 2/ 4 2 2 2 1 в) x2 + x − − x2 − x + x + x− − x + x− = = 3 4 3 9 3 12 3 4 3 9 3 12 3 2 3 8 8 1 1 11 9 1 11 3 = x2 − x2 + x+ x− − == x2 + x = x2 + x− . 9 9 12 12 12 12 9 12 12 9 12 4
( ( в) ( 4ab
(
) ) ( −0, 5x ) == −x ) ( 2b − 3a ) = 8ab
)
1061. а) 4a a2 − 4a + 3 = 4a3 − 16a2 + 12a ; б) 2x2 − 4x + 8
198
2
+ 9a
2
2
2
4
+ 2x3 − 4x2 ;
4
− 12a2b2 + 18a2b2 − 27a3 = 8ab4 + 6a2b2 − 27a3 ;
г) ( a − 7 ) ( b + 1 ) ( c − 2 ) = ( ab + a − 7b − 7 ) ( c − 2 ) = = abc + ac − 7bc − 7c − 2ab − 2a + 14b + 14 .
1062. а) ( b + 2c ) ( b − 2c ) = b2 − 4c2 ; б) ( 5x − 2y ) ( 5x + 2y ) = 25x2 − 4y2 ; в) ( 1, 4a − 0, 3b ) ( 0, 3b + 1, 4a ) = 1, 96a2 −−0, 09b2 ;
АЛГЕБРА
2 2 4 г) ab + 2c2 ab − 2c2 = a2b2 − 4c4 . 3 3 9 2 1063. а) ( 2x + 3 ) = 4x2 + 12x + 9 ; б) ( 3c − 1 ) = 9c2 − 6c + 1 ; 2
в) ( 0, 4b − 5a ) = 0, 16b2 − 4ab + 25a2 ; 2
2
2
1 225 15 1 15 1 1 1 15 г) 2 − y = ⋅ y ++ y2 = − y + y2 = −2⋅ 4 49 7 4 7 2 7 2 7 29 1 1 2 =4 −2 y + y . 49 7 4 1064. а) б) в) г) д) е)
( x − 3 ) ( x2 + x + 3 ) − x3 = x3 + x2 + 3x −−3x2 − 3x − 9 − x3 = −2x2 − 9 ; 3c − ( c − 2 ) ( 2c2 − c + 1 ) − 5c2 == 3c − ( 2c3 − c2 + c − 4c2 + 2c − 2 ) − −5c2 = 3c − 2c3 + 5c2 − 3c + 2 − 5c2 == −2c3 + 2 ; ( 5 + x ) ( 5 − x ) + x2 = 25 − x2 + x2 = 25 ; ( 2b − 9 ) ( 2b + 9 ) − 4b2 = 4b2 − 81 − 4b2 = −81 ; ( n − 1 ) n2 + n + 1 − n3 = n3 − 1 − n3 = −1 ; ( a + 3 ) a2 − 3a + 9 = a3 + 27 − 27 = a3 .
( (
)
)
1065. а) (10 − 3m ) ( 2 + 3m ) + ( 5m − 4 ) ( 5 − 2m ) = 20 + 30m − 6m − 9m2 + 25m − 10m2 − −20 + 8m = −19m2 + 57m ;
(
)
б) ( 4a + 9 ) a2 − 2a + 2 − ( 4a − 7 ) ( a + 1) == 4a3 − 8a2 + 8a + 9a2 − 18a + 18 − − ( 4a − 7 ) a2 + 2a + 1 = 4a3 + a2 − 10a + 18 − 4a3 + 8a2 + 4a − 7a2 − 14a − 7 = = 4a3 + a2 − 10a + 18 − 4a3 − a2 + 10a + 7 = 25 ; в) n2 − 3n ( 1 + 3n ) ( −1 + n ) − 3n n3 + 1 = = n2 + 3n3 − 3n − 9n2 ( −1 + n ) − 3n4 − 3n = = −3n3 + 8n2 + 3n + 3n4 − 8n3 − 3n2 −−3n4 − 3n = −11n3 + 5n2 ;
(
(
)
(
(
2
)
(
(
)
) (
)
( )(
) ( )
2
)
)
2
г) 4y − 5y2 + 2y + 5y2 − 20y2 = 16y2 − 40y3 + 25y4 + 4y2 + 20y3 + +25y4 − 20y2 = 50y4 − 20y3 .
)( (
)
1066. а) ( b + 2 ) ( b − 2 ) b2 + 4 = b2 − 4 b2 + 4 = b4 − 16 ; б) 15x3 x2 + 10 10 − x2 == 15x3 100 − x4 = 1500x3 − 15x7 ;
(
(
(
(
))) ) ) + 4a
в) a5 a4 − 2a3 + a2 a2 − 2a + 3
(
(
= a5 a4 − 2a3 + a4 − 2a3 + 3a2
(
1067. а) a2 + 2a − 2
)
2
+ 4a7 = 7
(
)
)
= a5 a4 − a4 − 3a2 + 4a7 = 4a7 − 3a7 == a7 .
= a4 + 2a3 − 2a2 + 2a3 +4a2 − 4a − 2a2 − 4a + 4 = a4 + 4a3 −−8a + 4 ;
(
)
б) ( 5x − 2 ) = ( 5x − 2 ) 25x2 − 20x + 4 = = 125x3 − 100x2 + 20x − 50x2 + 40x − 8 == 125x3 − 150x2 + 60x − 8 ; 3
(
)(
)
в) ( c − 3 ) = c2 − 6c + 9 c2 − 6c + 9 == c4 − 6c3 + 9c2 − 6c3 + 36c2 − 54c + 9c2 − −54c + 81 = c4 − 12c3 + 54c2 − 108c + 81 . 4
1068. а) y ( b − x ) + x ( b + y ) = b ( x + y ) y ( b − x ) ++x ( b + y ) = by − xy + bx + xy == bx + by = b ( x + y ) ;
199
б) ( −m + n ) ( m − n ) = − ( n − m )
2
( −m + n ) ( m − n ) = −m + mn + mn − n2 = − ( n2 − 2mn + m2 ) = − ( n − m ) 2 2 2 ( a + b + c + d ) − ( a + b ) − ( c + d ) == 2 ( a + b ) ( c + d ) 2 2 2 ( a + b + c + d ) − ( a + b ) − ( c + d ) = a2 + ab + ac + ad + b2 +
2
2
АЛГЕБРА
в) г)
;
+ab + bc + bd + c2 + ac + bc + cd + d2 ++ad + bd + cd − a2 − 2ab − b2 − c2 − −2cd − d2 = 2ac + 2ad + 2bc + 2bd == 2a ( c + d ) + 2b ( c + d ) = 2 ( a + b ) ( c + d ) ; ( n + 1 ) ( n + 3 ) ( n + 5 ) ( n + 7 ) + 7 == n2 + 8n + 8 n2 + 8n + 14 ( n + 1 ) ( n + 3 ) ( n + 5 ) ( n + 7 ) + 7 = n2 + 7n + n + 7 n2 + 5n + 3n + 15 + 7 = = n4 + 8n3 + 15n2 + 8n3 + 64n2 + 120n ++7n2 + 56n + 105 + 7 = n4 + 8n3 + 14n2 + +8n3 + 64n2 + 112n + 8n2 + 64 + 112 == n2 + 8n + 8 n2 + 8n + 14 .
( (
)(
)
)(
(
)(
)
)
1069. а) 2x + 2xy = 2x (1 + y ) ; б) a2 − 2a = a ( a − 2 ) ; в) 12xy3 + 8xy2 − 16x2 y = 4xy 3y2 + 2y − 4x .
(
)
1070. а) ax − ay + 3x − 3y = a ( x − y ) ++3 ( x − y ) = ( a + 3 ) ( x − y ) ; б) x2 y − 2x + xy − 2 = xy ( x + 1 ) − 2 ( x + 1 ) == ( x + 1 ) ( xy − 2 ) ; в) 9ya − 6ya2 + 2axy − 3xy == 3y ( 3a − x ) − 2ay ( 3a − x ) == y ( 3 − 2a ) ( 3a − x ) ; г) 8x2a − 15y3 − 10x2 y + 12ay2 == 4a 2x2 + 3y2 − 5y 2x2 + 3y2 = = ( 4a − 5y ) 2x2 + 3y2 .
(
(
)
)
(
)
1071. а) 9n2 − 4m2 = ( 3n − 2m ) ( 3n + 2m ) ; б) 120 − 30a4 = 30 4 − a4 == 30 2 − a2 2 + a2 ; в) 27x3 + 0, 008y3 = ( 3x + 0, 2y ) ⋅ 9x2 − 0, 6xy + 0, 04y2 ;
(
)
(
(
)(
(
)
г) x3 − ( m − n ) = ( x − m + n ) ⋅ x2 + xm − xn + ( m − n ) = ( x − m + n ) x2 + xm − xn + m2 − 2mn + n2 ; 3
(
2
)
д) a2 + 8a + 16 = ( a + 4 ) ; 2
(
)
)
)=
е) 6x − 24xy + 24y = 6 x2 − 4xy + 4y2 = 6 ( x − 2y ) . 2
2
2
1 2 2 1 2 1 y = y − yy + y ; 49 7 7 2 2 б) a − 4b + 2b + a = ( a − 2b ) ( a + 2b ) ++ ( a + 2b ) = ( a + 2b ) ( a − 2b + 1 ) ;
1072. а) y4 −
(
в) x2 − 4xy + 4y2 − 4y4 = ( x − 2y ) − 4y4 = x − 2y − 2y2 2
) ( x − 2 y + 2y ) . 2
1073. а) x2 − 2x − 3 = x2 − 2x − 3 + 4 − 4 = x2 − 2x + 1 − 4 = ( x − 1 ) − 4 = = ( x − 1 − 2 ) ( x − 1 + 2 ) = ( x − 3 ) ( x + 1) ; 2
б) a2 + 3a − 4 = a2 + 3a − 4 + 6, 25 − 6, 25 = a2 + 3a + 2, 25 − 6, 25 = ( a + 1, 5 ) − 2
−6, 25 = ( a + 1, 5 − 2, 5 ) ( a + 1, 5 + 2, 5 ) == ( a − 1 ) ( a + 4 ) ; в) x2 − 8xy + 7y2 = x2 − 8xy + 7y2 + 9y2 − 9y2 =
= x2 − 8xy + 16y2 − 9y2 = ( x − 4y ) − 9y2 == ( x − 4y − 3y ) ( x − 4y + 3y ) = = ( x − 7y ) ( x − y ) . 2
(
)
1074. а) 97 − 312 = 314 − 312 = 312 32 − 1 == 8 ⋅ 312 — ділиться на 8, що й треба було довести; б) 498 + 3 ⋅ 715 = 716 + 3 ⋅ 715 = 715 ( 7 + 3 ) = 10 ⋅ 715 — ділиться на 10, що й треба 200 було довести.
1076. а) a = 1, 5 a3 − 0, 5a2 = a2 ( a − 0, 5 ) = 2, 25 ( 1, 5 − 0, 5 ) = 2, 25 ; б) x = −0, 3 ; y = 10, 3
x2 − 2xy + y2 = ( x − y ) = 0, 32 + 2 ⋅ 0, 3 ⋅ 10, 3 +10, 32 = ( −0, 3 − 10, 3 ) = 112, 36 . 2
2
(
АЛГЕБРА
1075. а) 97 ⋅ 103 = ( 100 − 3 ) ( 100 + 3 ) == 1002 − 32 = 10 000 − 9 = 9991 ; б) 1, 8 ⋅ 2, 2 = ( 2 − 0, 2 ) ( 2 + 0, 2 ) = 4 − 0, 04 = 3, 96 ; в) 522 − 482 = ( 52 − 48 ) ( 52 + 48 ) = 400 ; г) 7, 352 − 6, 352 = ( 7, 35 − 6, 35 ) ( 7, 35 + 6, 35 ) = 13, 7 .
)
1077. ( x + 1 ) − ( x − 1 ) ( x + 3 ) = x2 + 2x + 1 − x2 + 3x − x − 3 = x2 + 2x + 1 − x2−−2x + 3 = 4 — не залежить від значень x, що й треба було довести. 2
(
)
1078. а) ( 2n + 3 ) − ( 2n − 1 ) = 4n2 + 12n + 9 − 4n2 − 4n + 1 = 4n2 + 12n + 9 − −4n2 + 4n − 1 = 16n + 8 = 8 ( 2n + 1 ) — ділиться на 8, що й треба було довести; 2
2
б) ( 8n − 4 ) − 8 ( 4n − 3 ) = 64n2 − 64n + 16 − 32n + 24 = 64n2 + 96n + 32 + 8 = = 32 2n2 − 3n + 1 + 8 — не ділиться на 32, що й треба було довести. 2
(
)
1079. x2 + 2x + 9 = x2 + 2x + 1 + 8 = ( x + 1 ) + 8 2
( x + 1 ) = 0 — найменше значення 2 ( x + 1) + 8 = 8 2
x = −1 . Відповідь: –1.
(
(
)
)
1080. 2 − x2 + 4x = − x2 − 4x − 2 + 4 − 4 = − x2 − 4x + 4 − 6 = − ( x − 2 ) + 6 − ( x − 2 ) = 0 — найбільше значення 2
2
− ( x − 2) + 6 = 6 x =2 . Відповідь: 2. 2
1081. a = 3k + 1 ; b = 3k + 2 , де k — ціле число. a3 + b3 = ( 3k + 1 ) + ( 3k + 2 ) == ( 3k + 1 + 3k + 2 ) × 3
(
3
)
× ( 3k + 1) − ( 3k + 1) ( 3k + 2 ) + ( 3k + 2 ) == ( 6k + 3 ) ×
(
2
2
(
)
)
× 9k + 6k + 1 − 9k + 6k + 3k + 2 + 9k2 + 12k + 4 = 2
( = ( 6k + 3 ) ( 9k
2
)
= ( 6k + 3 ) 18k2 + 18k + 5 − 9k2 − 9k − 2 =
)
+ 9k + 3 = 54k3 + 54k2 ++18k + 27k2 + 27k + 9 = 54k3 + +81k + 45k + 9 = 9 6k3 + 9k2 + 5k + 1 — кратна 9, що й треба було довести. 2
(
2
)
1082. a, b — натуральні числа a4 − b4 = a2 − b2 a2 + b2 = ( a − b ) ( a + b ) a2 + b2 — у виразі присутній квадрат числа, який не може бути простим числом, отже a4 – b4 не може 201 бути простим числом.
(
)(
)
(
)
1083. x2 + y2 − 4y − 2x = x2 − 2x + 1 + y2 −−4y + 4 − 5 = ( x − 1 ) + ( y − 2 ) − 5 Найменше значення при 2
( x − 1)
2
x =1
=0
( x − 1) + ( y − 2 ) 2
АЛГЕБРА
та
Відповідь: –5.
2
( y − 2)
2
y=2
2
=0
− 5 = ( 1 − 1 ) + ( 2 − 2 ) − 5 = −5 . 2
2
1084. 1) a = 3k + 1 , b = 3k + 2 , де k — ціле число
a + b = 3k + 1 + 3k + 2 = 6k + 3 = 3 ( 3k + 1 ) ділиться на 3. 2) a = 3k + 1 ; b = 3n + 1 , де k, n — цілі числа a − b = 3k + 1 − 3n − 1 = 3 ( k − n ) — ділиться на 3. 3) a = 3k + 2 ; b = 3n + 2 , де k, n — цілі числа
a − b = 3k + 2 − 3n − 2 = 3 ( k − n ) — ділиться на 3. У всіх випадках сума або різниця таких чисел діляться на 3, що й треба було довести. 1085. V1–1 — 20 км/год. V1–2 — 16 км/год;
1 S = x км 2
V2–1 — 19 км/год. V2–2 — 17 км/год. x/ 16 x/ 20 16x + 20x 36x + = = 20 16 320 320 x/ 17 x/ 19 17x + 19x 35x + = = 19 17 323 323
36x 36x > , отже перший велосипедист затратив більше часу на шлях 320 323 від A до B. Відповідь: перший велосипедист. 1086. а) 3x − 18 = 57 − 2x 3x + 2x = 57 + 18 5x = 75 x = 75 : 5 x = 15 ; б) 3 ( x − 2 ) − 4 ( x − 4 ) = 5 3x − 6 − 4x + 16 = 5 x = 10 − 5 x =5 ; в) 250 ( x + 8 ) = 125x − 500 250x + 2000 = 125x − 500 250x − 125x = −2000 − 500 125x = −2500 x = −2500 : 125 x = −20 ; г) 0, 3 (1 − x ) = 0, 4 ( x − 1 ) − 0, 7 0, 3 − 0, 3x = 0, 4x − 0, 4 − 0, 7 0, 7x = 1, 4 x = 1, 4 : 0, 7 202 x =2 ;
2 1 2 ( 3x − 2 ) + ( x − 1 ) = 9 3 9 1
2⋅ 3 3
x−
4 1 1/ 3 2 + x− = 9 3 3 9
9 2 1 2 4 3 x+ x= + + 3 3 9 9 9 x =1; 5 1 1 е) (1 − 4x ) = x + ( 5x + 3 ) 6 3 6 5 5⋅4 1 1 1 − x = x + ⋅ 5x + ⋅ 3 6 6 3 6 6 2 5 20 5 3 x+ x+ x= − 6 6 6 6 6 27 2 x= 6 6 1 2 6 2 x= 1 ⋅ = ; 6 27 27
АЛГЕБРА
д)
x−4 x −1 =1− 5 3 3 ( x − 4 ) + 5 ( x − 1 ) − 15 =0 15 3x − 12 + 5x − 5 − 15 = 0 8x = 32 x = 32 : 8 x=4; 2x + 3/ 3 3x + 4/ 2 5 + = ж) 6 9 18 3 ( 2x + 3 ) + 2 ( 3x + 4 ) − 5 =0 18 6x + 9 + 6x + 8 − 5 = 0 12x = −12 x = −1 . є)
1087. а) x ( x + 5 ) − x2 = 2 x2 + 5x − x2 = 2 2 x = = 0, 4 ; 5 б) ( 2x + 3 ) ( x − 1 ) = 2x2 2x2 − 2x + 3x − 3 − 2x2 = 0 x =3 ; в) x ( x + 0, 1 ) = ( x − 0, 1 ) ( x + 0, 2 ) x2 + 0, 1x = x2 + 0, 2x − 0, 1x − 0, 02 x2 + 0, 1x − x2 − 0, 1x = −0, 02 — не має рішень; 1 3 1 2 г) xx− = x −2 3 4 3
(
)
1
1 2 3 1 1 2 x − ⋅ x = x2 − 3 4 13 3 3
203
АЛГЕБРА
1 2 x= 4 3 2 8 x = ⋅4 = 3 3 2 x =2 ; 3 2 д) ( x − 3 ) ( x + 3 ) = ( x + 1 ) 2 2 x − 9 = x + 2x + 1 2x = −10 x = −10 : 2 x = −5 ; е) 2x ( x − 1, 5 ) = 2x3 − 6x2 + 3 2x x2 − 3x + 2, 25 − 2x3 + 6x2 = 3 2x3 − 6x2 + 4, 5x − 2x3 + 6x2 = 3 x = 3 : 4, 5 2
(
)
x = 3⋅ x=
10 = 45
2 . 3
2 3
30 45
1088. а) y3 − 3y2 = 0 y2 ( y − 3 ) = 0 y2 = 0 або y −3 = 0 y1 = 0 y2 = 3 ; 1 3 б) x − x = 0 4 2 1 xx − =0 4 1 1 xx − x + = 0 2 2 1 x1 = 0 або x− =0 2 1 x2 = 2 в) x2 − 6x + 9 = 0
( x − 3)
2
=0 x −3 = 0 x =3 ;
г) x3 − 2x2 − 4x + 8 = 0 x2 ( x − 2 ) − 4 ( x − 2 ) = 0 ( x − 2 ) x2 − 4 = 0 ( x − 2) ( x − 2) ( x + 2) = 0 x − 2 = 0 або x+2 = 0 x1 = 2 x2 = −2 ; д) y2 + 2y − 48 = 0 y2 + 2y − 48 + 49 − 49 = 0 y2 + 2y + 1 − 49 = 0
(
204
( y + 1)
2
)
− 49 = 0
або
1 =0 2 1 x3 = − ; 2 x+
( y +1 −7) ( y +1 +7) = 0 ( y − 6) ( y + 8) = 0 y −6 = 0 y1 = 6
y+8=0 y2 = −8 ;
або
АЛГЕБРА
е) z2 − 15z + 56 = 0 z2 − 15z + 56 + 0, 25 − 0, 25 = 0 z2 − 15z + 56, 25 − 0, 25 = 0
( z − 7, 5 ) − 0, 25 = 0 ( z − 7, 5 − 0, 5 ) ( z − 7, 5 + 0, 5 ) = 0 (z − 8) (z −7) = 0 2
z−8 = 0 z1 = 8
z −7 = 0 z2 = 7 .
або
1089. а) 3 − 2x = 5 3 − 2x = 5 або −2x = 2 x1 = −1 б)
3 − 2x = −5 −2x = −8 8 x2 = 2 x2 = 4 ;
x −2 = 6 x −2 = 6
або
x − 2 = −6
x =8
x = −4 не має рішень.
x1 = 8 x2 = −8 1090. а) ( x + 5 ) ( 3 x − 9 ) = 0 x +5 = 0 або 3 x −9 = 0 x = −5 — немає рішень. 3 x =9 x =3 x1 = 3 x2 = −3 ; б) x ( x − 2 ) + x2 = 0 x ( x − 2 ) = −x2 — немає рішень x ( x − 2 ) = 0 і x2 = 0 x ( x − 2 ) = x2 = 0 x=0; в) x2 + 2 x + 1 = 0 x2 + 2x + 1 = 0
( x + 1)
2
=0 x1 = −1
або
x2 − 2x + 1 = 0
( x − 1)
2
=0
x2 = 1 .
1091. x4 + 1 + ( x − 2 ) = 2x2 4
x − 2x + 1 + ( x − 2 ) = 0 4
(x (x
4
2
) )
2
−1 + ( x − 2) = 0
2
−1
2 2
2
= − ( x − 2 ) — немає рішень, що й треба було довести. 2
205
АЛГЕБРА
1092. x + 4 = 7 − x x + 4 = 7 − x або x + 4 = −7 + x — немає рішень. 2x = 3 ; x = 3 : 2 ; x = 1, 5 1093. a = x ; b = x + 3, 6 см P = 68, 4 см 2 ( x + x + 3, 6 ) = 68, 4 ; 4x + 7, 2 = 68, 4 ; 4x = 68, 4 − 7, 2 ; 4x = 61, 2 x = 61, 2 : 4 x = 15, 3 (см) — ширина прямокутника; 15, 3 + 3, 6 = 18, 9 (см) — довжина прямокутника. Відповідь: 15,3 см; 18,9 см. 1094. a = x ; b = 2, 4x a + b = 52, 7 x + 2, 4x = 52, 7 3, 4x = 52, 7 x = 52, 7 : 3, 4 x = 15, 5 — менше з чисел; 15, 5 ⋅ 2, 4 = 37, 2 — більше з чисел. Відповідь: 37,2. 1095. I цистерна — 3x – 400 л, у 8 р. > II цистерна — x – 800 л 8 ( x − 800 ) = 3x − 400 8x − 6400 = 3x − 400 8x − 3x = 6400 − 400 5x = 6000 x = 6000 : 5 x = 1200 (л) — було в II цистерні спочатку; 3 ⋅ 1200 = 3600 (л) — було в I цистерні спочатку. Відповідь: 3600 л; 1200 л. 1096. Vм — 40 км/год Vав — 60 км/год tм = x год tав = x − 0, 5 год. 40x = 60 ( x − 0, 5 ) 60x − 40x = 30 20x = 30 x = 30 : 20 x = 1, 5 (год) — час руху мотоцикліста до зустрічі; 1, 5 − 0, 5 = 1 (год) — час руху автомобіля. Відповідь: 1 год.
}
1097. Хром — 15 % x Нікель — 0,5 % Залізо — на 2,78 кг > 0, 15x + 0, 005x + 0, 15x + 2, 78 = x x − 0, 305x = 2, 78 0, 695x = 2, 78 x = 2, 78 : 0, 695 x = 4 (кг) — маса листа. 206 Відповідь: 4 кг.
Відстань від міста N до міста першої зустрічі: 1 1 80x = 60 x + + + 10 4 8 60 60 80x = 60x + + + 10 4 8 20x = 15 + 7, 5 + 10 20x = 32, 5 x = 32, 5 : 20 x = 1, 625 (год) 80 ⋅ 1, 625 = 130 (км) — відстань до N. Відповідь: 130 км.
АЛГЕБРА
1098. Vавт — 60 км/год Vлегк — 80 км/год Нехай x — час руху легкового автомобіля з міста першої зустрічі до міста N, тоді час руху автобуса до другої зустрічі: tавт = x + 15 хв + ( 10 : 80 ) .
1099. y = −2x + 3 а) x = −2 ; y = 7 x=0; y=3 x = 6 ; y = −9 б) y = 3 ; 3 = −2x + 3 ; x = 0 y = 1 ; 1 = −2x + 3 ; −2 = −2x ; x = 1 в) x = −2x + 3 ; 3x = 3 ; x = 1 1100. y = 2x − 0, 5 а) x = −0, 5 ; y = −1, 5 x = 1, 5 ; y = 2, 5 б) y = 1, 5 ; x = 1 .
1101. y = 0, 5x + 1 , −4 x 3 Область визначення: −4 x 3 Область значень: −1 y 2, 5 . Нуль функції: x = −2 . Функція набуває додатних значень при x > − 2 . Функція набуває від’ємних значено при x < − 2 .
1102. а) y = −x + 1 , −3 x < 2
б)
y = 2x2 − 2 , −2 x 2 .
207
АЛГЕБРА
в) y = 1, 5x
г)
y = −1, 5x
е)
y = −1, 5x − 1
д) y = 3x + 1
1103. 7 = 2 ⋅k ; k =
7 2
=3
1 2
; −14 = −4 ⋅
7 2
= 14 ⋅ 7
Графік проходить через точку B(–14; –14). 1104. Область визначення: 0 x 10 Область значень: 0 y 5 . а) 0 x 2 ; y = 2, 5x 1105. а) y = 1m5x і y = −x + 5 1, 5x = −x + 5 ; 2, 5x = 5 ; x = 2 ; y = 3 . Точка перетину: (2; 3). б) y = −2x і y = 2 −2x = 2 ; x = −1 ; y = 2 Точка перетину: (–1; 2). 1106. 3x + b = 2x + 4 ; x = 4 − b ; 0 = 4 − b ; v = 4 . 1107. 2x + 5y = −3 ( 2; − 1 ) : 2 ⋅ 2 + 5 ⋅ ( −1 ) = −3 4 − 5 ≠ −3 — не є розв’язком рівняння. 1108. а) x + 3y = 3 x y
0 1
3 0
б) 2x − 3y = 6 208
x y
–2 0
0 2
б) 2 x 6 ; y = 5 .
в) 2x = 5 x = 2, 5 y — довільне
АЛГЕБРА
г) −3y = 6 y = −2 x — довільне
x − y = 2 1109. x + 2y = 5 x−y=2 x y
1 –1
2 0
x + 2y = 5 x y
–1 3
1 2
A ( 3; 1 ) . Відповідь: ( 3; 1 ) . x + 2y = 6 1110. а) 2x − 3y = −2 12 − 4y − 3y = −2 7y = 14 y=2 x = 6 − 2⋅2 = 2 . Відповідь: ( 2; 2 ) .
x = 6 − 2y 2 ( 6 − 2y ) − 3y = −2
2x − 5y = 8 б) 2x + 3y = − 8 − 1 2x − 5y = 8 −2x − 3y = 8 −8y = 16 y = 16 : ( −8 ) y = −2 x = ( 8 − 5 ⋅ 2 ) : 2 = −1 . Відповідь: ( −1; − 2 ) . 15x − 8y = 4 − 5 в) 8 9x − 5y = 1 −75x + 40y = −20 72x − 40y = 8 −3x = −12 12 =4 3 y = ( 9 ⋅ 4 − 1) : 5 = 7 . Відповідь: ( 4; 7 ) . x=
209
АЛГЕБРА
3 ( 2x − 5 ) + 2y = x + 2 1111. а) 5 ( x + 1 ) − 15 = y + 4 6x − 15 + 2y = x + 2 5x + 5 − 15 = y + 4 5x + 2y = 17 5x − y = 14 − 1 5x + 2y = 17 −5x + y = −14 3y = 3 y =1 x = ( 14 + 1 ) : 5 = 3 . Відповідь: ( 3; 1 ) . 0, 2 ( 2x + 0, 5 ) − 0, 3 ( 2y − 3 ) = 1, 8 б) −38 ( 5x − 1 ) + 38 ( 5y + 6 ) = 0 0, 4x + 0, 1 − 0, 6y + 0, 9 = 1, 8 −190x + 38 + 190y + 228 = 0 0, 4x − 0, 6y = 0, 8 −190x + 190y = −266 x = ( 0, 8 + 0, 6y ) : 0, 4 x = 2 + 1, 5y −190 ( 2 + 1, 5y ) + 190y = −266 −380 − 285y + 190y = −266 −95y = 114 y = 114 : ( −95 ) y = −1, 2 x = 2 − 1, 5 ⋅ 1, 2 = 0, 2 . Відповідь: ( 0, 2; − 1, 2 ) . 1 1 x + 9 y = 3 3 1112. а) 3x − 2 y = 1 3 1 2 10 − y − y = 1 3 3 y=9 1 1 1 x = 3 − ⋅9 = 2 . 3 9 3 1 Відповідь: 2 ; 9 . 3
210
1 1 x = 3 3 − 9 y 3 ⋅ 3 1 − 1 y − 2 y = 1 3 9 3
x + 1/ 2 y − 2 /6 3 + 6 = −2 б) /3 /4 x + 8 − y +7 = 0 8 6 2x + 2 + y + 10 = 0 3x + 24 − 4y − 28 = 0
2 ( x + 1 ) + y − 2 + 12 =0 6 3(x + 8) − 4 (y +7) = 0 24
8x + 4y = −48 3x − 4y = 4 11x = −44 x = −44 : 11 x = −4 y = ( 3 ⋅ ( −4 ) − 4 ) : 4 = −4 .
Відповідь: ( −4; − 4 ) .
АЛГЕБРА
2x + y = −12 4 3x − 4y = 4
2x + 3y = −2 −2 1113. 4x − 5y = 7 −4x − 6y = 4 + 4x − 5y = 7 − 11y = 11;
y = −1
2x − 3 = −2 ; 2x = 1 ; x = Точка перетину
1 2
.
1 ; − 1 . 2
2x + 4y = −6 −5 1114. 10x − y = 12 −10x − 20y = 30 + 10x − 5y = 7 − 21y = 42;
y = −2
2x − 8 = −6 ; 2x = 2 ; x = 1 . Точка перетину (1; –2). 3 · 1 – 2 = 1. Отже, точка (1; –2) належить графіку рівняння 3x + y = 1 . 1115. A (1; 1) ; B ( 3; −7 ) . 1 = ( −1) ⋅ k + b ⋅3 −7 = 3k + b 3 = −3k + 3b + 7 = 3k + b −4 = 0 + 4b; b = −1 1 = −k − 1 ; k = −2 . x + 2y = 5 − 2 1116. 2x + 4y = k −2x − 4y = −10 2x + 4y = k −10 + k = 0 k = 10 — безліч розв’язків.
211
АЛГЕБРА
a + b = 20, 5 1117. a − b = 2, 3 2a = 22, 8 a = 22, 8 : 2 a = 11, 4 b = 20, 5 − 11, 4 = 9, 1 . Відповідь: 11,4; 9,1. 8 ( x + y ) = 2000 1118. 2x + 3y = 630 8x + 8y = 2000 2x + 3y = 630 − 4 8x + 8y = 2000 −8x − 12y = −2520 −4y = −520 y = −520 : ( −4 ) = 130 (дет.) — виготовляє за годину другий станок; x = ( 630 − 3 ⋅ 130 ) : 2 = 120 (дет.) — виготовляє за годину перший станок. Відповідь: 120 деталей; 130 деталей. 1119. V1 — x км/год V2 — y км/год x + 0, 5 = y 2x + 2y = 17
2x + 2 ( x + 0, 5 ) = 17 2x + 2x + 1 = 17 4x = 16 x = 16 : 4 x = 4 (км/год) — швидкість I пішохода; y = 4 + 0, 5 = 4, 5 (км/год) — швидкість II пішохода. Відповідь: 4 км/год; 4,5 км/год.
1120. Брат — x років 10 років Сестра — y років x + y = 10 ( x + 1 ) = 2 ( y + 1 ) x = 10 − y x + 1 = 2y + 2 10 − y + 1 − 2 = 2y 3y = 9 y = 9:3 y = 3 (р.) — сестрі; x = 10 − 3 = 7 (р.) — брату. Відповідь: 7 років; 3 роки.
}
1121. I корова — x л — 5 % 10 л — 4 % II корова — y л — 3,5 % 0, 05x + 0, 035y = 0, 04 ⋅ 10 212 x + y = 10
x = 10 − y 0, 05 ( 10 − y ) + 0, 035y = 0, 4 0, 5 − 0, 05y + 0, 035y = = 0, 015y = 0, 1 y = 0, 1 : 0, 015 2
⋅
АЛГЕБРА
1
100
1000 10 2 =6 = 6 (л) — з II корови; 15 15 3 10 2 1 10 − 6 = 3 (л) — з I корови. 3 3 1 2 Відповідь: 3 л; 6 л. 3 3 y=
Задачі підвищенної складності До § 1. Лінійні рівняння з однією змінною 1122. а) x − 1 + x + 1 = 0 x − 1 = x + 1 = 0 — не має рішень; б) x − 4 + 2x − 8 = 0 x − 4 = 2x − 8 = 0 x − 4 = 2x − 8 = 0 x=4. 1123. а) x − a = 0 — один корінь; б) x = a — a > 0 — два корені; a < 0 — не має коренів; в) x − a + x − 1 = 0 — a = 1 — один корінь; a ≠ 1 — не має коренів. 1125. а) x − a = 3 a=0 : x =3 a ≠ 0 : x =3+a ; б) x + a = −4 a = 0 : x = −4 ; a ≠ 0 : a = −4 − x ; в) 3x = a a=0 : x=0 1 a≠0: x= a; 3 г) −2x = a + 2 a = 0 : x = −1 1 a ≠ 0 : x = − a −1 ; 2 д) 0, 5x + 3a = 1, 5 a = 0 : x = 1, 5 : 0, 5 = 3 1, 5 − 3a a≠0: x= = 3 − 6a ; 0, 5 е) a − 4x = 3a −4x = 2a a=0 : x=0 1 a≠0: x=− a. 2
213
1126. а) ax = 5 5 a a = 0 — не має коренів. a⋅x = 0 a = 0 : x — довільне число a≠0 : x=0; ax = 10a a ≠ 0 : x = 10 a = 0 : x — довільне число; ( a + 2) x = 2 a = 0 : x =1 2 a≠0: x= ; a+2 4ax + 4a = 8a 4ax = 4a a = 0 : x — довільне число a ≠ 0 : x =1; a ( 1 − x ) = 5a a = 0 : x — довільне число; a ≠ 0 : x = −4 . a≠0: x=
АЛГЕБРА
б)
в)
г)
д)
е)
1127. a ( x − 1 ) + 5a = 8 ( x + a ) + 1 ax − a + 5a = 8x + 8a + 1 ax − 8x = 8a − 4a + 1 x ( a − 8 ) = 4a + 1 4a + 1 x= a−8 а) при a = 8 рівняння не має рішень, бо a − 8 ≠ 0 ; б) при a ≠ 8 рівняння має один корінь. 1128. Vавт — 60 км/год Vлегк — 90 км/год 1 1) 60 ⋅ = 30 (км) — шлях автобуса до першої зустрічі з легковим авто2 мобілем; 1 (год) — час руху легкового автомобіля до міста A і автобуса 3 після першої зустрічі; 1 3) 60 ⋅ = 20 (км) — шлях автобуса за час руху автомобіля до міста A; 3 2 4) 60 ⋅ = 40 (км) — шлях автобуса за час перебування автомобіля у місті A. 3 x 30 + 20 + 40 + x 5) = 60 90 60 ( 90 + x ) = 90x 2) 30 : 90 =
90x − 60x = 5400 30x = 5400 214
x = 5400 : 30 x = 180 (км) — шлях автобуса до другої зустрічі з автомобілем.
}
1129. Мідь — x Олово — на 20 % > 1 кг Цинк — на 50 % > x + 2 ( x + 0, 2x ) + 0, 5 ( x + 0, 2x ) = 1 x + 2x + 0, 4x + 0, 5x + 0, 1x = 1 4x = 1 1 x= (кг) — маса міді; 4 3 1 2 1 2 12 1 3 1 + ⋅ = +1 ⋅ = ⋅ = (кг) — маса олова; 4 10 4 10 4 10 1 4 10
АЛГЕБРА
6) 30 + 20 + 40 + 180 + 20 = 290 (км) — відстань між містами A і B. Відповідь: 290 км.
3 5 3 45 5 3 15 3 = 0, 45 (кг) = 450 (г) — маса + ⋅ = 1+ ⋅ = ⋅ = 10 10 10 10 10 10 10 100 цинку. Відповідь: 450 г. 4 x 5 1 молоко — x 5
1130. Кава —
}
4 1 — x− x 5 5 x 56 мл 1 1 1 — x− x+ x 5 5 5
0, 8 ( x − 0, 2x ) − ( 0, 2 ( x − 0, 2x ) + 0, 2x ) = 56 0, 8x − 0, 16x − 0, 2x + 0, 04x − 0, 2x = 56 0, 4x − 0, 12x = 56 0, 28x = 56 x = 56 : 0, 28 x = 200 (мл) — місткість чашки. Відповідь: 200 мл. 1131. V1 — x км/год V2 — x + 2 км/год t1 = 1, 1y год. t2 = y год. 1, 1xy = ( x + 2 ) ⋅ y 1, 1x = x + 2 1, 1x − x = 2 0, 1x = 2 x = 2 : 0, 1 ; x = 20 (км/год) — швидкість велосипедиста. Відповідь: 20 км/год. До § 2. Цілі вирази 1132. а) 1 − 2 + 3 − 4 − 5 − 6 + 7 − 8 + 9 + 10 = 5 ; б) не може дорівнювати 0, тому що залишається одне непарне число. в) не може дорівнювати 60, тому що сума всіх даних чисел дорівнює 55. 1134. a = 2 a2 + 2ab + 2a − b + 4 = 4 + 4b + 4 − b + 4 = 3b + 12
215
АЛГЕБРА
3b + 12 = 0 3b = −12 b = −12 : 3 b = −4 a2 + ab + b2 = 4 − 2 ⋅ 4 + 16 = 12 . Відповідь: 12. 1135. 3m + 3n = 7a , де a — натуральне число; а) 10m + 9n = 7b , де b — натуральне число 3m + 2n = 7a − 10 3 10m + 9n = 7b
−30m − 20n = −70a 30m + 27n = 21b
7n = −70a + 21b 7n + 70a − 21b = 7 ( n + 10a − 3b ) — ділиться на 7, що й треба було довести.
б) 4m + 5n = 7b , де b — натуральне число. 3m + 2n = 7a − 4 3 4m + 5n = 7b
−12m − 8n = −28a 12m + 15n = 21b 7n = −28a + 21b 7n + 28a − 21b = 7 ( n + 4a − 3b ) — ділиться на 7, що й треба було довести.
в) m + 3n = 7b , де b — натуральне число; 3m + 2n = 7a m + 3n = 7b − 3
3m + 2n = 7a −3m − 9n = −21b 7n = 21b − 7a 7n − 21b + 7a = 7 ( n − 3b + a ) — ділиться на 7, що й треба було довести.
1136. 5m − n = 8a , де a — натуральне число; 3m + 4n = 8b , де b — натуральне число 5m − n = 8a 4 3m + 4n = 8b 20m − 4n = 32a 3m + 4n = 8b 23m = 32a + 8b 23m = 8 ( 4a + b ) — на 8 не ділиться. 1137. а) a = 7k + n ; b = 7 p + n , де k, p — цілі числа; n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . a − b = 7k + n − 7 p − n = 7k − 7 p == 7 ( k − p ) — ділиться на 7. б) a = 7k + n , b = 7 p + n , де k, p — цілі числа, n — від 0 до 6, отже при- наймні два з восьми чисел матимуть однакову остачу від ділення на 7 і їх різниця буде ділитися на 7: 216 a − b = 7k + n − 7 p − n = 7k − 7 p == 7(k − p) , що й треба було довести.
АЛГЕБРА
1138. a = 5k a = 2p +1 a = 3n + 1 a = 4m + 1 , де k, p, n, m — цілі числа. a = 2 p + 1 3 a = 3n + 1 2 3a − 2a = 6 p + 3 − 6n − 2 a = 6 p − 6n + 1 4 a = 5k a = 4m + 1 5 5a − 4a = 20m + 5 − 20k a = 20m − 20k + 5 a = 20m − 20k + 5 6 5 a = 6 p − 6n + 1 6a − 5a = 120m − 120k + 30 − 30 p + 30n − 5 a = 120 ( m − k ) − 30 ( p − n ) + 25 . 1139. Знайдемо НОД ( 2, 3, 4, 5, 6 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 60 — можлива кількість яєць в одній корзині, тоді в двох корзинах: 60 ⋅ 2 = 120 . Загальна кількість: 120 + 1 = 121 < 70 ⋅ 2 121 = 7 ⋅ 17 + 2 , всі умови виконуються, отже в корзині було 121 яйце. 1140. Якщо різниця чисел ділиться на 9, то й самі числа повинні ділитися на 9, тобто сума цифр у числі повинна бути кратною 9. Отже: a + b + c = 9n a + b + c + x = 9n + x x = 9 або x = 0 . 1141. aaabbb = a ⋅ 100000 + a ⋅ 10000 ++a ⋅ 1000 + b ⋅ 100 + b ⋅ 10 + b = = a (100000 + 10000 + 1000 ) + b ⋅ 111 == a ⋅ 111000 + b ⋅ 111 = 111 ( a ⋅ 1000 + b ) = = 37 ⋅ 3 ( 1000a + b ) — ділиться на 37, що й треба було довести. 1142. а) abc = a ⋅ 100 + b ⋅ 10 + c bca = b ⋅ 100 + c ⋅ 10 + a cab = c ⋅ 100 + a ⋅ 10 + b abc + bca + cab = 100a + 10b + c ++100b + 10c + a + 100c + 10a + b = = 111a + 111b + 111c = 111 ( a + b + c ) — кратна 11, що й треба було довести. б) abc = 100a + 10b + c
( abc )
2
= ( 100a + 10b + c ) = 10000a2 + 1000ab + 100ac + 1000ab + +100b + 10bc + 100ac + 10b + c2 = 10000a2 + 2000ab + 200ac + 100b2 ++20bc + c2 abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c
( abc )
2
2
2
≠ abc + bca + cab , що й треба було довести.
1143. а) n = 10 Може, якщо написана ним цифра в сумі з попередньою будуть дорівнювати 9. б) n = 15 Не може, бо останню цифру буде писати перший учень.
217
До § 3. Одночлени
( )
2
(
АЛГЕБРА
(
)(
)
1144. а) 34n + 4 = 34n + 4 − 5 + 5 = 34n − 1 + 5 == 32n − 1 + 5 = 32n − 1 32n + 1 + +5 = 3n − 1 3n + 1 32n + 1 + 5 . Якщо n = 4k, де k — натуральне число, то число 3 закінчується на 1, а число 3n — 1 закінчується на 0, і згідно ознакам ділення, ділиться на 5. Якщо n = 4k, де k — натуральне число, число 3n закінчується на 9, а число 3n + 1закінчується на 0, і теж ділиться на 5. Якщо n = 2k + 1 , тобто непарне, де k — натуральне число, то у множнику 32n + 1 або 32n − 1 степінь стає парною і може бути записана у вигляді одного з вище наведених виразів. Отже при кожному натуральному значенні n вираз ділиться на 5.
(
)
)(
)(
(
)
)
( )
(
)
б) 92n − 1 = 92 − 1n = 92 − 1 ( …) == ( 81 − 1 ) ( …) = 80 ( …) при будь-якому натуральному значенні n одним із множників буде 92 − 1 = 80 = 8 ⋅ 10 , який ділиться на 10, отже й вираз ділиться на 10.
(
n
)
1145. 42n + 4 . При кожному натуральному значенні n степінь є парним числом, бо дорівнює 2n, а 42n завжди закінчується на 6, отже 42n + 4 — закінчується на 0, і згідно ознакам ділення, ділиться на 10, що й треба було довести. 1146. 10n − 4 = 9 ⋅ 10n−1 + 9 ⋅ 10n−2 + …+ 9 ⋅ 10 + 6 , з виразу видно що сума цифр у числі: 9 ⋅ ( n − 1 ) + 6 = 3 ( 3 ( n − 1 ) + 2 ) — ділиться на 3, але не ділиться на 9, отже згідно ознакам ділення і саме число ділиться на 3, але не ділиться на 9. 1147. m ( m + 1 ) = 3n + 2n . Якщо m — парне число, то m + 1 — непарне і навпаки, а додаток парного та непарного чисел зажди число парне. 3n — при кожному натуральному значенні n — число непарне, а 2n — парне. Сума парного та непарного чисел завжди число непарне. Отже не існує натуральних чисел m і n, для яких би виконувалась ця рівність.
( ) = (5 )
1148. а) 125125 = 53
125
= 5375
185
25 = 5370 125 185 125 > 25 ; 185
2
б) 2508 = (125 ⋅ 2 ) = 1258 ⋅ 28 = 1257 ⋅ 25 ⋅ 28 == 1257 ⋅ 6400 8
375 = ( 125 ⋅ 3 ) = 1257 ⋅ 37 = 1257 ⋅ 2187 2508 > 3757 . 7
7
1149. a2a2— 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; aa44 — 0 ; 1 ; 5 ; 6 ; 8 8— 0; 1 ; 5 ; 6 . aa 1150. а) 33.3 — не може бути квадратом цілого числа, остання цифра якого у квадраті закінчувалася б на 3. б) m4 = 10n + 4 — не існують, бо жодне число в четвертому степені не за218 кінчується на 4.
в) m8 = 10n + 2 — не існують, бо у восьмому степені останньою цифрою числа може бути тільки 0; 1; 5; 6, а приведене число закінчується на 2.
АЛГЕБРА
1151. НОД ( 2 ; 3 ) = 6 63 = 216 216 : 3 = 72 72 ⋅ 2 = 144 = 122 . Відповідь: 72. До § 4. многочлени 1152. а) n = 6k + 3 , m = 6k + 4 3n + 5m = 3 ( 6k + 3 ) + 5 ( 6k + 4 ) = 18k + 9 + 30k + 20 = 48k + 24 + 5 = = 6 ( 8k + 4 ) + 5 — остача 5. nm = ( 6k + 3 ) ( 6k + 4 ) = 36k2 + 24k + 18k + 12 = 6 6k2 + 7k + 2 — без остачі; б) m = 5 p + 2 ; n = 5 p + 3 ; k = 5 p + 4
(
)
nk − m ( m − 1 ) = ( 5 p + 3 ) ( 5 p + 4 ) − ( 5 p + 2 ) + 5 p + 2 = 25 p2 + 20 p + +15 p + 12 − 25 p2 − 20 p − 4 + 5 p + 2 == 20 p + 10 = 5 ( 4 p + 2 ) — ділиться на 5, що й треба було довести. 2
1153. a + 10 ( a + 1 ) + 100 ( a + 2 ) + 1000 ( a + 1 ) = = a + 10a + 10 + 100a + 200 + 1000a + 1000 = = 1111a + 1210 = 11 ( 101a + 110 ) — ділиться на 11, що й треба було довести. 1154. ab + ba = x2 92 + 29 = 121 83 + 38 = 121 74 + 47 = 121 65 + 56 = 121
(
1155. ( 5 x − 6 ) ( 3 x + 5 ) = 5 3x2 + 1
)
1) ( 5x − 6 ) ( 3x + 5 ) = 15x2 + 5 15x2 + 25x − 18x − 30 = 15x2 + 5 7x = 35 x = 35 : 7 x =5 ; 2) ( −5x − 6 ) ( 3x + 5 ) = 15x2 + 5 −15x2 − 25x − 18x − 30 = 15x2 + 5 30x2 + 43x + 35 = 0 25x2 + 30x + 9 + 4x2 + 4x + 1 ++ x2 + 10x + 25 − x = 0 ;
(
) (
) (
( 5x + 3 ) + ( 2x + 1 ) + ( x + 5 ) = x 3) ( −5x − 6 ) ( −3x + 5 ) = 15x2 + 5 2
2
2
15x2 − 25x + 18x − 30 − 15x2 = 5 −7x = 35 x = 35 : ( −7 ) x = −5 ; 4) ( 5x − 6 ) ( −3x + 5 ) = 15x2 + 5 −15x2 + 25x + 18x − 30 = 15x2 + 5
)
— не має рішень.
219
30x2 − 43x + 35 = 0
( 25x
2
) (
) (
)
− 30x + 9 + 4x2 − 4x + 1 ++ x2 − 10x + 25 + x = 0
−x = ( 5x − 3 ) + ( 2x − 1 ) + ( x − 5 ) — не має рішень. 2
2
2
АЛГЕБРА
Відповідь: 5; –5. 1156. а) 2 ( x − 3 ) = 3 ( x − a ) 2x − 6 = 3x − 3a x = 3a − 6 ; б) 4 ( x − 1 ) = a − 4 x −1 =
1 a −1 4
1 a 4 a=0 : x=0 1 1 a > 0 : x1 = a ; x2 = − a 4 4 x =
a < 0 : Рішень немає.
(
)
1157. x x + a2 − a2 = x ( x − 1 ) + 2 x 2 + a2 x − a2 = x 2 − x + 2 a2 x − a 2 + x = 2 2 + a2 x= 2 > 0 , що й треба було довести. a +1 1158. а) 1 + 2 + 22 + 23 + …+ 29 + 210 = 211 − 1 1 + 2 + 22 + 23 + …+ 29 + 210 == ( 2 − 1 ) 1 + 2 + 22 + 23 + …+ 29 + 210 = 2 + 22 + 23 + …+ 29 + 210 + 211 − 1 − 2 −−22 − 23 − 24 − 25 −…− 29 − 210 = = 211 − 1 , що й треба було довести. б) 4 1 + 5 + 52 + 53 + …+ 58 + 59 = 510 − 1 ( 5 − 1 ) 1 + 5 + 52 + 53 + …+ 58 + 59 = = 5 + 52 + 53 + 54 + …+ 59 + 510 − 1 − 5 − −52 − 53 −…− 58 − 59 = 510 − 1 , що й треба було довести.
(
(
)
(
)
)
(
)
1159. а) 211 − 45 + 128 = 211 − 210 + 27 = 27 24 − 23 + 1 = 9 ⋅ 27 — ділиться на 9. б) 2711 + 911 − 815 = 321 + 322 − 320 = 320 3 + 32 − 1 = 11 ⋅ 320 — ділиться на 11.
(
)
(
(
)
)
(
)
1160. 2n+3 + 5n+3 − 2n + 5n = 2n 23 − 1 ++5n 53 + 1 = 7 ⋅ 2n − 126 ⋅ 5n == 7 2n − 18 ⋅ 5n — ділиться на 7.
(
)
1161. 3n + 3n+1 + 3n+2 + 3n+3 = 3n 1 + 3 + 32 + 33 = 3n ⋅ 40 = 120 ⋅ 3n
(
1
— ділиться на 120.
)
1162. а) 2a − a2 − 6b + 9b2 = 2 ( a − 3b ) − a2 − 9b2 = 2 ( a − 3b ) − ( a − 3b ) × × ⋅ ( a + 3b ) = ( a − 3b ) ( 2 − a + 3b ) ;
б) 81x2 − 49x2 y2 + 144xy + 64y2 = ( 9x + 8y ) − 49x2 y2 = ( 9x + 8y − 7xy ) × ⋅ × ⋅ ( 9x + 8y + 7xy ) ; в) a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + ca2 + 3abc = a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + ca2 + abc + +abc + abc = a ( ab + bc + ca ) ++b ( ab + bc + ca ) + c ( ab + bc + ca ) = = ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) . 2
220
(
1163. a − ( −b ) + ( −b )
2n
) + ( a + ( −b ) )
n 2
n 2
= a2 −−2a ( −b ) + ( −b ) + a2 + 2a ( −b ) + n
2n
n
= a2 + b 2 n .
( x − x)( x + x) =1− x 1− x = 0 x =1 x1 = 1 x2 = −1 ; б) ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) = ( x − 1 ) ( 4x − 1 ) 4x2 − 1 = 4x2 − x − 4x + 1 5x = 2 2 x = = 0, 4 ; 5 в) ( 1 − x ) ( 1 + x ) 1 + x
(1 −
) (1 +
2
x
x
( )+x )+x = x
2
2
4
АЛГЕБРА
1164. а)
= x
4
1− x + x = x x =1 x1 = 1 ; x2 = −1 . 4
(
4
)
2
( )
)
1165. а) a2 + 1 + 6 a2 + 1 + 5 = a4 + 2a2 ++1 + 6a2 + 6 + 5 = a4 + 4a2 + 4 + 4a2 +
(
+8 = a2 + 2
(
)
2
2
(
(
) (
)(
)
+ 4 a2 + 2 == a2 + 2 a2 + 6 ;
)
б) c2 − 3c − 2 c2 − 3c − 8 == c4 − 6c3 + 9c2 − 2c2 + 6c − 8 = = c4 − 6c3 + 8c2 − c2 + 6c − 8 = c2 c2 − 6c + 8 − c2 − 6c + 8 = = c2 − 1 c2 − 6c + 8 = ( c − 1 ) ( c + 1 )⋅⋅( c − 4 ) ( c − 2 ) ;
(
)( в) ( a − 4a ) − 2a 2
(
)
) (
)
+ 8a − 15 = a4 − 8a3 ++16a2 − 2a2 + 8a − 15 = a4 − 8a3 + +15a − a + 8a − 15 = a2 a2 − 8a + 15 − − a2 − 8a + 15 = a2 − 1 a2 − 8a + 15 = ( a − 1 ) ( a + 1 ) ( a − 3 ) ( a − 5 ) ; г) x2 + 2x − 2 x2 + 2x − 3 = x4 + 4x3 + 4x2 − 2x2 − 4x − 3 = = x4 + 4x3 + 3x2 − x2 − 4x − 3 = x2 x2 + 4x + 3 − x2 + 4x + 3 = 2
2
(
(
) (
) (
(
2
2
)
)(
( )(
) )
(
)
) (
)
= x2 − 1 x2 + 4x + 3 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⋅ ( x + 3 ) .
(
2
)(
)
(
) (
)
)(
)
1166. а) a4 + 4a2 − 5 = a4 − 1 + 4a2 − 4 == a2 − 1 a2 + 1 + 4 a2 − 1 = a2 − 1 × ⋅ × ⋅ a2 + 5 = ( a − 1 ) ( a + 1 ) a2 + 5 ; б) a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + 1 + a3 − a3 == a2 a2 + a + 1 − a3 + 1 + a2 − a2 − a + a = = a2 a2 + a + 1 − a a2 + a + 1 + a2 + a + 1 = a2 − a + 1 a2 + a + 1 .
(
)
(
(
)
(
)
(
) (
) (
)
1167. а) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca == ( a + b + c ) ( a + b + c ) ; б) 4x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1 = 4x2 + 2xy + 2xy + y2 + 2x + 2x + + y + y + 1 = 2x ( 2x + y + 1 ) + y ( 2x + y + 1 ) ++ ( 2x + y + 1 ) = ( 2x + y + 1 ) ( 2x + y + 1 ) .
(
1168. 256 − 221 = 252
(
) ( ( ) + 25 + 625 ⋅ 128 + 128 ) = 497 ( 625
) − ( 2 ) = ( 25 3
= ( 625 − 128 ) 6252 литься на 497.
7
3
2
− 27 ⋅⋅ 252 2
2
( )
2
)=
2
⋅ 27 + 27
2
+ 625 ⋅ 128 + 1282
)
— ді221
1169. a = 5k + 1 ; b = 5k + 2 4
4
(
АЛГЕБРА
(
)(
)
b4 − a4 = ( 5k + 2 ) − ( 5k + 1 ) == ( 5k + 2 ) − ( 5k + 1 ) ( 5k + 2 ) + ( 5k + 1 ) = ( 5k + 2 − 5k − 1 ) ( 5k + 2 + 5k + 1 )⋅⋅ 25k2 + 20k + 4 + 25k2 + 10k + 1 = = ( 10k + 3 ) 50k2 + 30k + 5 = 500k3 + 300k2 + 50k + 150k2 + 90k + +15 = 500k3 + 450k2 + 140k + 15 = 5 100k3 + 90k2 + 28k + 3 — ділиться на 5.
)
2
2
(
2
2
)
(
)
1170. Усі прості числа непарні, тому вони складаються з суми парного та непарного чисел, отже якщо m2 , та як слідство і m — не парні числа, то n2 та n — числа парні, причому m = 2k + 1 , n = 2k m2 − n2 = ( m − n ) ( m + n ) = ( 2k + 1 − 2k )⋅⋅( 2k + 1 + 2k ) = 4k + 1 . а) m = n + 1 m−n =1 2k + 1 − 2k = 1 1 = 1 , що й треба було довести. б) 4m + n2 = 4 ( 2k + 1 ) + 4k2 = 4k2 + 8k + 4 = ( 2k + 2 ) — що й треба було довести. 2
1171. а) ( m + n ) − n2 = 3 m2 + 2mn + n2 − n2 = 3 m2 + 2mn = 3 m =1 ; n =1 ; 2
б) m2 − ( m − n ) = 9 (m − m + n) (m + m − n) = 9 n ( 2m − n ) = 9 2mn − n2 = 9 m =5 ; n =1 . 2
1172. ( n + 2m ) − ( n + m ) = 5 ( n + 2m − n − m ) ( n + 2m + n + m ) = 5 m ( 2n + 3m ) = 5 n =1 ; m =1 2
2
1173. а) m3 − ( m − 2n ) = 99 3
(
)
(
( m − m + 2n ) m2 + m ( m − 2n ) + ( m − 2n ) = 2n m2 + m ( m − 2n ) + ( m − 2n ) число парне, отже не може дорівнювати 99. 2
2
)
—
б) ( 2m + 1 ) + ( m + 2 ) = 2n 3
3
( 2m + 1 + m + 2 ) ⋅( ( 2m + 1 ) − ( 2m + 1 ) ( m + 2 ) + ( m + 2 ) ) = ( 3m + 3 ) ⋅ × × ( 4m2 + 4m + 1 − 2m2 − 4m − m − 2 + m2 + 4m + 4 ) = 3 ( m + 1 ) ( 3m2 + 3m + 3 ) = = 9 ( m + 1 ) ( m2 + m + 1 ) — усі множники не парні, отже й число непарне і 2
2
не може дорівнювати 2n, яке є парним числом.
1174. x4 + 2x3z − 2xz3 − z4 − 4x2 y2 + 4y2z2 = 0 x+z y= 2 2 x+z x4 + 2x3z − 2xz3 − z4 − 4x2 y2 + 4y2z2 == x4 + 2x3z − 2xz3 − z4 − 4x2 + 2 2 x+z 2 4 2 2 2 2 2 2 4 3 3 +4 z = x + 2x z − 2xz −−z − x x + 2xz + z + z x + 2xz + z = 2 = x4 + 2x3z − 2xz3 − z4 − x4 − 2x3z −−x2z2 + x2z2 + 2xz3 + z4 = 0 , що й треба бу 222 ло довести.
(
)
(
)
( (
) )(
)
(
б) 1 − x + x2 + x3 − x2
)
20
АЛГЕБРА
1175. а) x10 − x9 = x 4 − x3 x 9 ( x − 1 ) = x3 ( x − 1 ) x 9 = x3 x 9 − x3 = 0 x3 x6 − 1 = 0 x3 x3 − 1 x3 + 1 = 0 x3 = 0 або x3 − 1 = 0 або x1 = 0 x2 = 1
x3 + 1 = 0 x3 = −1 ;
=x
( x − 1) = 0 2 20 40 x − 1 + x x ( ) ( − 1) = 0 2 18 ( x − 1 ) (1 + x40 ( x − 1 ) ) = 0 18 2 ( x − 1 ) = 0 або 1 + x40 ( x − 1 ) = 0 18 40 x ( x − 1 ) = −1 — не має рішень. x −1 = 0 x − 2x + 1 + x 2
40
20
x =1 2
1176. а) x − 3 x + 2 = 0 x2 − 3x + 2 = 0 ( x − 1) ( x − 2 ) = 0 x − 1 = 0 або x −2 = 0 x1 = 1 x2 = 2
або
x2 + 3x + 2 = 0 ( x + 1) ( x + 2 ) = 0 x +1 = 0 або x3 = −1
x+2 = 0 x4 = −2 ;
2
б) x + 2 x = 3 x2 + 2x − 3 = 0 або ( x − 1) ( x + 3 ) = 0 x − 1 = 0 або x+3 = 0 x1 = 1 x2 = −3
x2 − 2x − 3 = 0
( x + 1) ( x − 3 ) = 0 ;
1177. а) x3 − 7x − 6 = 0 x3 − x − 6x − 6 = 0 x x2 − 1 − 6 ( x + 1 ) = 0 x ( x − 1) ( x + 1) − 6 ( x + 1) = 0 ( x + 1) ( x ( x − 1) − 6 ) = 0 ( x + 1 ) x2 − x − 6 = 0 x + 1 = 0 або x2 − x − 6 = 0 x1 = −1 x ( x − 1) = 6 x2 = 3 ; б) x4 + 2x2 − 3 = 0 x4 + 2x2 − 2 − 1 = 0 x 4 − 1 + 2 x2 − 1 = 0 x2 − 1 x2 + 1 + 2 x2 − 1 = 0 x2 − 1 x2 + 1 + 2 = 0 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x2 + 3 = 0 x − 1 = 0 або x + 1 = 0 або x1 = 1 x2 = −1
(
x + 1 = 0 ; x3 = −1 або x −3 = 0 x4 = 3 .
)
(
( ( (
)
) ( ) )( ) ( )( ) ( )
)
x2 + 3 = 0 x2 = −3 — не має рішень.
223
(
)
1178. а) 2x2 − 1 + 2 ( 2x − 1 ) − 3 = 0 4x4 − 4x2 + 1 + 4x − 2 − 3 = 0 4x4 − 4x2 + 4x − 4 = 0 4x2 x2 − 1 + 4 ( x − 1 ) = 0 4x2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) + 4 ( x − 1 ) = 0 ( x − 1 ) 4x2 ( x + 1 ) + 4 = 0 x − 1 = 0 або 4x3 + 4x2 + 4 = 0 x =1 x3 + x2 + 1 = 0 x2 = −1 − x3 — не має рішень. 2
АЛГЕБРА
(
)
(
(
)
)
(
2
)
б) x2 + 4x − 4x x2 + 4x + 3x2 = 0 x4 + 8x3 + 16x2 − 4x3 − 16x2 + 3x2 = 0 x4 + 4x3 + 3x2 = 0 x2 x2 + 4x + 3 = 0 x2 ( x + 1 ) ( x + 3 ) = 0 x2 = 0 або x + 1 = 0 або x1 = 0 x2 = −1
(
)
x+3 = 0 x2 = −3 .
1179. а) ( a − 2 ) x = a2 − 4 a2 − 4 − ( a − 2 ) x = 0 ( a − 2) ( a + 2) − x ( a − 2) = 0 ( a − 2) ( a + 2 − x ) = 0 a = 2 : x — довільне число. a ≠ 2 : x ( a − 2) = ( a − 2) ( a + 2) x = a+2 ; б) ax − 2x = 2a − 4 x ( a − 2) = 2 ( a − 2) a = 2 : x — довільне число a≠2 : x =2 .
(
)
1180. x2 − 12x + 30 = a x2 − 12x + 30 + 6 − 6 = x2 − 12x ++36 − 6 = ( x − 6 ) − 6 = a 2
(x − 6)
2
a = −6 .
= a+6 = 0
1181. а) 1) n = 3k , де k — ціле число. n2 = 9k2 = 3 3k2 — ділиться на 3;
(
)
2) n = 3k + 1 , де k — ціле число.
(
)
n2 = ( 3k + 1 ) = 9k2 + 6k + 1 = 3 3k2 + 2k + 1 — при діленні на 3 має остачу 1. 2
3) n = 3k + 2 , де k — ціле число.
(
)
n2 = ( 3k + 2 ) = 9k2 + 12k + 4 == 9k2 + 12k + 3 + 1 = 3 3k2 + 4k + 1 + 1 — при діленні на 3 дає остачу 1. 2
224
б) 1)
m = 2n , де n — ціле число. m2 = 4n2 4n2 = 3n + 2 4n2 − 3n − 2 = 0 — цілих значень кореня не існує.
2) m = 2n + 1 , де n — ціле число. m2 = ( 2n + 1 ) = 4n2 + 4n + 1 4n2 + 4n + 1 = 3n + 2 4n2 + n = 1 — цілих значень кореня не існує. 2
в) a = 3k : b = 3k + 1 ; c = 3k + 2 a2 + b2 + c2 = 9k2 + ( 3k + 1 ) + ( 3k + 2 ) = 9k2 + 9k2 + 6k + 1 + 9k2 + 12k + 4 = = 18k2 + 18k + 5 18k2 + 18k + 5 = 0 18k2 = −18k − 5 — рішень не існує. 2
2
АЛГЕБРА
г) m2 + 1 = 3n , якщо 3n — ділиться на 3, то m2 + 1 — теж повинно ділитися на 3.
(
)
1) Нехай m = 3k , де k — ціле число, тоді m2 + 1 = 9k2 + 1 = 3 3k2 + 1 — не ділиться на 3; 2) m = 3k + 1 , де k — ціле число
(
)
m2 + 1 = ( 3k + 1 ) + 1 = 9k2 + 6k + 1 + 1 = 3 3k2 + 2k + 2 — не ділиться на 3; 2
3) m = 3k + 2 , де k — ціле число
(
)
m2 + 1 = ( 3k + 2 ) + 1 = 9k2 + 12k + 4 + 1 = 3 3k2 + 4k + 1 + 2 — не ділиться на 3, отже не існує натуральних чисел m і n, для яких би виконува- лася ця нерівність. 2
1182. а) 8n + 2 = m2 m = 2k , де k — ціле число. 8n + 2 = 4k2 2 ( 4n + 1 ) = 2 ⋅ 2k2 2k2 = 4n + 1 , але це не можливо, бо число 2k2 — парне, а 4n + 1 — не парне, отже цілих чисел m і n, для яких виконувалася б ця рівність. б) 8n + 2 = m2 , не існує, що було доведено вище в п. а); в) a = 2k + 1 ; b = 4k + 1 a2 + b2 = ( 2k + 1 ) + ( 4k + 1 ) = 4k2 + 4k + 1 + 16k2 + 8k + 1 == 20k2 + 12k + 2 = 0 2
2
20k2 = −12k − 2 — цілих значень кореня не існує. 1183. а) Останнім числом, що не є квадратом натурального числа буде n2 + 2n. Квадрат наступного за n числа:
( n + 1 ) = n2 + 2n + 1 . 2 Отже ( n + 1 ) − 1 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n , що й треба було довести. 2
( )
2
б) 520 + 1 = 510 + 1 Квадрат наступного за 510 числа:
( 5 + 1 ) = 5 + 2 ⋅ 5 + 1 , отже як доведено вище у п. а) 2 ⋅ 5 чисел за ( 5 ) не є квадратами натурального числа, у тому числі і ( 5 ) + 1 . 2
10 10
2
20
10
10
10
2
в) 52m + 4 = n2 52m = n2 − 4 = ( n − 2 ) ( n + 2 ) Для того, щоб виконувалася рівність необхідно, щоб n − 2 та n + 2 закінчувалися на 5, а це неможливо, отже чисел m і n не існує.
225
До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
АЛГЕБРА
1184. Переможець — II хлопець. Через 45 с відстань між хлопцями дорівнювала 0. У момент фінішу переможця відстань між хлопцями: приблизно 6–7 м. 1185. (–1; –2) і (2; 1) −2 = −k + b 2 1 = 2k + b −4 = −2k + b + 1 = 2k + b 3 = 3b; b = −1 1 = 2k − 1 ; 2 = 2k ; k = 1 . y = x −1 2 − a = 2a − 1 3 = 3a ; a = 1 . 1186. 2 ( 5a + 1 ) x − 5 ( 2a − 1 ) y = 7 2
(
2
)
(
) )
2x 25a + 10a + 1 − 5y 4a2 − 4a + 1 = 7
(
2
)
(
x 50a2 + 20a + 2 − y 20a2 − 20a + 5 = 7
(2; 5) :
(
) (
)
2 50a2 + 20a + 2 − 5 20a2 − 20a + 25 = 7 100a2 + 40a + 4 − 100a2 + 100a − 25 = 7 140a = 28 a = 28 : 140 a = 0, 2 . 1187. а) 3n − 7m = 5 5 + 7m n= 3 m =1 ; n = 4 ; б) n2 − m2 = 9 n2 = m2 + 9 m2 = 16 m=4; n2 = 25 n=5 ; в) n2 + 2mn − 8m2 = 7 n2 + 2mn − 8m2 + 9m2 − 9m2 = 7 n2 + 2mn + m2 − 9m2 = 7
(
226
)
( n + m ) − 9m2 = 7 ( n + m − 3m ) ( n + m + 3m ) = 7 ( n − 2m ) ( n + 4m ) = 7 2
n = 3 ; m =1 .
2 2 x − 4y = 6 1189. а) 2y − x = 3 x = 2y − 3
АЛГЕБРА
1188. x − y = 0 ; x = y 1) I-а чверть: x > 0 і y > 0 x−y=0 ; y=x 2) II-а чверть: x < 0 і y > 0 −x − y = 0 ; y = −x 3) III-я чверть: x < 0 і y < 0: x < 0; y < 0 −x + y = 0 ; y = x 4) IV-а чверть: x > 0 і y < 0 −x − y = 0 ; y = x
( 2y − 3 )
2
− 4 y2 = 6 4y2 − 12y + 9 − 4y2 = 6 12y = 3 3 1 y= = = 0, 25 12 4 1 1 1 x = 2 ⋅ 2 − 3 = 2 = −2, 5 . 2 4 Відповідь: ( −2, 5 ; 0, 25 ) . 2 x − y = 0 б) 2 y − x = 0 2 y = x 4 x − x = 0 x x3 − 1 = 0 x1 = 0 або
(
)
x3 − 1 = 0 x2 = 1 .
( x + 1 )2 + ( x − 1 )2 = 2y 1190. а) 2 x = 2y − 3 2 x + 2x + 1 + x2 − 2x + 1 = 2y 2x2 − 2y = −2 2 ( 2y − 3 ) − 2y = −2 4y − 6 − 2y = −2 2y = 4 y = 4:2 y=2 x2 = 2 ⋅ 2 − 3 = 1 x1 = 1 ; x2 = −1 . Відповідь: ( 1 ; 2 ) , ( −1 ; 2 ) . 2 x − 2y − 7 = 0 б) 2 2 x − y − 8 = 0
2 x = 2y + 7 2 2y + 7 − y − 8 = 0
y2 − 2y + 1 = 0 ; ( y − 1 ) = 0 ; y = 1 x2 = 2 + 7 = 9 ; x1 = 3 ; x2 = −3 2
Відповідь: ( 3 ; 1 ) , ( −3 ; 1) .
227
АЛГЕБРА
2x + y + z = 23 − 3 −6x − 3y − 3z = −63 2x + y + z = 21 1191. а) x + 2y + z = 22 2 x + 3 y + 3 z = 43 2x + 3y + 3z = 43 x + y + 2z = 21 −4x = −20 ; x = −20 : ( −4 ) ; x = 5 3x + 2y + 3z = 44 3x + 2y + 3z = 44 x + 2 y + z = 22 − 3 −3x − 6y − 3z = −66 −4y = −22 ; y = −22 : ( −4 ) ; y = 5, 5 ; z = 21 − 2 ⋅ 5 − 5, 5 = 5, 5 . Відповідь: ( 5 ; 5, 5 ; 5, 5 ) . 2 2 2 x + y + z = 3 б) 2x + 2y + 2z = 6 − 1
x2 − 2x + y2 − 2y + z2 − 2z = −3 ; x2 − 2x + 1 + y2 − 2y + 1 + z2 − 2z + 1 = 0 ;
( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) 2
2
y −1 = 0 ; y = 1 ; z −1 = 0 ; z = 1 . Відповідь: ( 1 ; 1 ; 1 ) .
2
= 0 ; x −1 = 0 ; x = 1 ;
3x + ( a − 2 ) y = 4a 1192. −3x + 3ay = −2 ay − 2y + 3ay = 4a − 2 ; 4ay − 2y = 4a − 2 ; y ( 4a − 2 ) = 4a − 2 a = 0, 5 : y — довільне число; a ≠ 0, 5 : y = 1 . Відповідь: a = 0, 5 — безліч коренів; a ≠ 0, 5 — один розв’язок. 2 x − y = a 1193. x − y = 0 y= x ; 2 x − x =a ; x =a; a > 0 : x = ±a a=0 : x=0 a < 0 : коренів не існує. Відповідь: a > 0 — два розв’язки. 1195. V1 — x км/сек V2 — y км/сек t1 = 4,68 с. t2 = 46,8 с. l1 = 130 м l2 = 104 м 4, 68 ( x + y ) = 130 + 104 4, 68x + 4, 68y = 23 410 46, 8x − 46, 8y = 468 46, 8 ( x − y ) = 234 ⋅ 2 46, 8x + 46, 8y = 2340 46, 8x − 46, 8y = 468 93, 6x = 2808 ; x = 2808 : 93, 6 ; x = 30 (м/с) — швидкість I поїзда; y = ( 234 − 46, 8 ⋅ 30 ) : 4, 68 = 20 (м/с) — швидкість II поїзда. Відповідь: 30 м/с; 20 м/с. 228