Programacion lineal by Stuart1611

POR: DANIEL J. ACOSTA T. Ci: 17436550 Álgebra lineal saia

EDITORIAL

En esta oportunidad esta casa editorial quiere hacer una nueva entrega en la que usted como nosotros ejercitamos el placer de la comprensión matemática y sus aplicaciones. En esta oportunidad, revisando un tema que esta presente en la solución de problemas, esta es la programación lineal, un tema básico para cualquiera que desee optimizar, ya entiéndase maximizar o minimizar una función lineal. El estudio de problemas reales puede ser analizado a través de la programación lineal, a través de una serie de planteamientos de ecuaciones matemáticas que permita resolver dichos problemas, tomando en cuenta ciertas

restricciones que son expresadas mediante un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo. También incluimos en esta edición una serie de ejercicios resueltos y propuestos, para que usted, amigo lector, tenga una mayor comprensión de su utilidad, del campo de aplicación y de graficas. En fin, deseamos que su aprovechamiento sea óptimo.

Daniel Josué Acosta Torres DIRECCIÓN GENERAL Daniel Josué Acosta Torres DIRECCIÓN ADMINISTRATIVA

PROGRAMACION LINEAL Se sabe que la programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático que permite resolver un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, que también es lineal. Esta consiste en optimizar, ya sea minimizar o maximizar una función lineal, la cual se denomina función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que son expresadas mediante un sistema de inecuaciones lineales. La Programación Lineal es una pequeña parte de una teoría matemática que se ha consolidado en el siglo XX con el nombre de Optimización. En general, se trata de un conjunto de técnicas matemáticas que intentan obtener el mayor provecho posible de sistemas económicos, sociales, tecnológicos, entre otros, cuyo funcionamiento se puede describir matemáticamente de modo adecuado. Una terminología establecida desde los primeros tiempos de la Optimización, denominaba a la solución óptima un programa de acción a poner en práctica; de ahí que la búsqueda de un tal programa de acción utilizando métodos matemáticos se llamase Programación Matemática. Según las características de las funciones del problema y de las variables se tienen diferentes tipos de problemas de Programación Matemática. Si todas las funciones del problema, objetivo y restricciones son lineales, se tiene un problema de Programación Lineal. HISTORIA DE LA PROGRAMACION LINEAL La Programación Lineal es una teoría matemática desarrollada en el siglo XX. Los matemáticos que han intervenido en la creación y desarrollo de la Programación Lineal han sido: LeonidVitalevich Kantorovitch, que en 1939 publica una monografía titulada "Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción". Tjalling Charles Koopmans, que junto con el anterior estudiaron entre 1941 y 1942 el conocido ahora como problema del transporte. Ambos recibieron el premio Nobel de Economía en 1975. George Joseph Stigler, que en 1945 planteó el problema del régimen alimenticio optimal, conocido ahora como problema de la dieta. George Bernard Dantzig, que formuló en 1947 el enunciado general al que se reduce cualquier problema de Programación Lineal y autor del método del simplex para la resolución de problemas. John von Neumann, que en 1947 relacionó los problemas de Programación Lineal con la teoría de Matrices. El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de FourierMotzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático de origen ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, LeonidKhachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, NarendraKarmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones factibles que deben ser revisadas.

DEFINICION Y TERMINOLOGIA Un problema de Programación Lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) la función: z = F (x1, x2, ... ,xn ) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn sujeto a: a11x1 + a12x2 +. . . + a1nxn ≤ = ≥ b a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ = ≥ b2 . . . am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ = ≥ bm x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0 A la función z = F ( x1, x2, ... ,xn ) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn se le denomina función objetivo o función criterio. Los coeficientes c1, c2,... ,cn son números reales y se llaman coeficientes de beneficio o coeficientes de costo. Son datos de entrada del problema. x1, x2, ... , xn son las variables de decisión (o niveles de actividad) que deben determinarse. Las desigualdades ai1x1 + ai2x2 +. . . + ainxn ≤ bi , con i = 1, ... , m se llaman restricciones. Los coeficientes aij , con i = 1, ... , m y j = 1, ... , n son también números reales conocidos y se les denomina coeficientes tecnológicos. El vector del lado derecho, es decir los términos bi , con i = 1, ... , m, se llama vector de disponibilidades o requerimientos y son también datos conocidos del problema.

Las restricciones xj ≥ 0 con j = 1,..., n se llaman restricciones de no negatividad. Al conjunto de valores de (x1, x2,..., xn) que satisfacen simultáneamente todas las restricciones se le denomina región factible. Cualquier punto dentro de la región factible representa un posible programa de acción. La solución óptima es el punto de la región factible que hace máxima o mínima la función objetivo. TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL En un problema de Programación Lineal, según sean las restricciones, se obtendrán poliedros diferentes, acotados o no, y según sea la posición de la función objetivo respecto de dicho poliedro se pueden originar diferentes situaciones. Según el tipo de soluciones que presenten un problema de Programación Lineal puede ser: • Factible: si existe la región factible. En este caso nos podemos encontrar: Optimo finito y único. La solución óptima está formada por un único punto con coordenadas reales. Múltiples óptimos. Un problema de Programación Lineal puede tener más de un óptimo. Además, o bien el problema tiene un único óptimo, o bien, tiene infinitos óptimos Óptimo infinito. Un problema de Programación Lineal puede tener un óptimo no finito, es decir, la función objetivo puede tomar, un valor tan grande o tan pequeño como se quiera sin abandonar la región factible. Región factible no acotada, óptimo finito. La no acotación de la región factible no implica necesariamente óptimo infinito. Puede ocurrir que la función objetivo alcance el óptimo en la zona acotada de la región factible. Región factible no acotada, óptimo finito e infinito. Puede darse el caso que todos los puntos de una de las semirrectas que determinan la región factible no acotada sean solución del problema. No factible. Región factible vacía. El conjunto de restricciones de un problema de Programación Lineal puede ser incompatible, conduciendo a una región factible vacía INECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación en dos variables es una inecuación que puede ser escrita como: ax+by<c o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥ donde a, b y c son constantes y x y y son variables. Resolver una inecuación en dos variables consiste en encontrar todos los pares de valores de (x,y) para los cuales se cumple la desigualdad.

Tal como vimos en el tutorial de ecuaciones lineales en una dimensión, cuando intercambiamos el signo de desigualdad por el signo igual, obtenemos una ecuación que viene a ser la frontera de la solución de la desigualdad. Por ejemplo, consideremos la siguiente desigualdad: y < x . Cambiando el signo < por el signo = obtenemos la ecuación: y = x. La gráfica de esta ecuación es una recta que divide el plano en dos regiones como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1: Grafica de la ecuación y=x Tomemos un punto cualquiera en la región roja, por ejemplo el punto (1,-1). Donde x=1 y y=-1. Como -1<1, este par de valores satisface la desigualdad: y < x. Tomemos otro punto en la región roja, por ejemplo el punto (2,1). Donde x=2 y y=1. Como 1<2, este par de valores satisface la desigualdad: y < x. Trata de encontrar un punto en la región roja tal que y > x. Verás que no es posible conseguir un punto que cumpla esas condiciones. En conclusión, cualquier punto de la región roja satisface la desigualdad y < x. Del mismo modo, cualquier punto en la región amarilla, satisface la desigualdad y > x. En general, al cambiar el signo de desigualdad por el signo = obtenemos una ecuación de una recta que viene a ser la frontera de la solución de la inecuación.

Una inecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de alguna de las siguientes formas: a x + b y < 0a x + b y ≤ 0a x + b y > 0a x + b y ≥ 0

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma: ax+by=c. Representa un sistema compatible indeterminado con un parámetro. Tiene infinitas soluciones. Las soluciones son todos los puntos de la recta de ecuación ax+by=c. Esta recta divide al plano en dos semiplanos. Todos los puntos de uno de estos semiplanos verifican ax+by<0 y todos los puntos del otro semiplano verifican ax+by>0. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS Para resolver un problema de Programación Lineal tenemos que representar la región factible resolviendo el sistema de inecuaciones formado por el conjunto de restricciones. Un sistema de inecuaciones lineales está formado por un conjunto de inecuaciones lineales. Para resolverlo tendremos que resolver cada una de las inecuaciones que lo forman y después encontrar la intersección de todos los semiplanos solución (región factible). La región factible, si es no vacía, siempre será un conjunto convexo (dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmento que los une también está contenido). Ejemplo 1:Resolverla siguiente inecuación x + y < 4 Solución: Paso 1: Reemplazando el signo de desigualdad por el signo =, obtenemos la siguiente ecuación: x + y = 4. Para graficar una recta, es suficiente hallar dos puntos. Una forma sencilla de graficar la recta es hallar los interceptos con los ejes: Para hallar el intercepto con el eje x, hacemos y=0, x+y = 4 x+ 0 = 4 x = 4 Para hallar el intercepto con el eje y, hacemos x=0, x+y=40+y=4y=4 La gráfica de la recta es la siguiente. Esta recta divide el plano en dos regiones R1 y R2

Figura 2. Grafica de lainecuación x + y < 4

Paso 2: Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad Punto de prueba en R1 (0,0) x+y < 4 0 + 0 < 4 0 < 4 Como la expresión es verdadera, entonces esta es la región que representa la solución de la inecuación.Como ya determinamos la solución, no es necesario seleccionar un punto de prueba en la otra región. Puedes comprobar que cualquier punto en la otra región no satisface la desigualdad Paso 3: Graficar la solución. Como el signo de desigualdad es < no se debe incluir la frontera como parte de la solución. Para denotar este hecho gráficamente, utilizaremos líneas discontinuas en la frontera

Figura 3. Grafica de lasolución

METODOS DE SOLUCION Ya hemos representado la región factible y hemos calculado sus vértices. Ahora vamos a calcular el máximo o el mínimo de la función objetivo en la región factible. Nos encontramos con dos procedimientos. Procedimiento analítico. Este procedimiento únicamente es válido para problemas con regiones factibles acotadas. Para resolver un problema de Programación Lineal mediante el procedimiento analítico, necesitamos conocer el siguiente teorema.

Teorema fundamental de la Programación lineal

Si un problema de Programación Lineal tiene región factible no vacía, entonces, si existe el óptimo (máxim

Si una función alcanza el valor óptimo en dos vértices consecutivos de la región factible, entonces alcanza

Teniendo en cuenta el teorema anterior, para calcular el máximo o el mínimo de una función, será suficiente con evaluar la función objetivo en todos los vértices de la región factible y quedarnos con el que proporciona el valor óptimo. Procedimiento gráfico. Este procedimiento es válido tanto para problemas con regiones factibles acotadas como no acotadas. Como los problemas que vamos a estudiar tienen dos variables, es posible efectuar una representación gráfica en el plano y encontrar gráficamente la solución. Sin embargo, este procedimiento no es generalizable para un número cualquiera de variables. Cualquier punto de la región factible es una solución factible para el problema de Programación Lineal, sin embargo, nos interesa encontrar en cualquier problema la solución óptima. Para encontrarla hacemos F(x,y)=0 y representamos la recta que se obtiene llamada recta de beneficio nulo. Posteriormente recorremos la región factible con rectas paralelas a la que hemos representado, llamadas líneas de nivel o rectas de beneficio constante. Observamos como varía la función objetivo al desplazar las rectas de nivel en un sentido o en otro y los últimos puntos de contacto de estas rectas con la región factible proporcionan el valor o valores máximos y mínimos. La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de qwue exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible y puede estar o no acotada.

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (<= o >=) o en sentido estricto (< o >). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente: 1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra. 2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no. Tipos de regiones factibles. Con solución única Con solución múltiple: Si existe mas de una soluciónCon solución no acotada: Cuando no existe limite para la función objetivo. No factibles: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes. Ejemplo 2:Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

T i p o T i p o 210000

inversión A x B y 0,1x+0,08y

rendimiento 0 , 1 x 0 , 0 8 y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la regi贸n factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4 x y x y x y x y 0 210000 130000 0 0 60000 0 0 210000 0 1 3 0 0 0 0 65000 La regi贸n factible es la pintada de amarillo, de v茅rtices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La función objetivo es: F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima. Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D) APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL Aunque surgió como aplicación a cuestiones de carácter logístico y militar, es la industria y la economía donde, posteriormente ha encontrado sus aplicaciones más importantes. Así, por ejemplo, la Programación Lineal permite resolver problemas de mezclas, nutrición de animales, distribución de factorías, afectación de personal a distintos puestos de trabajo, almacenaje, planes de producción, escalonamiento de la fabricación, problemas de circulación, planes de optimización de semáforos, estudios de comunicaciones internas, etc. Veamos algunas de las aplicaciones más importantes: 9.1. El problema del transporte. Trata de organizar el reparto de cualquier tipo de mercancías con un coste mínimo de tiempo, de dinero o de riesgo (por ejemplo, el transporte de mercancías peligrosas). Se dispone de m centros de producción u orígenes (Oi), con sus respectivas ofertas; y n centros de consumo o destino (Dj), con sus demandas correspondientes. A su vez, son conocidos los costes de envío (cij), desde cada origen a cada destino. El objetivo del problema del transporte es determinar cuántas unidades de producto deben enviarse desde cada origen hasta cada destino de forma que se minimicen los costes totales de distribución, se satisfaga la demanda de cada destino y no se exceda la capacidad de oferta de cada uno de los orígenes. (El total de unidades que salen de los centros de origen debe ser igual al total de unidades que llegan a los centros de destino). Podemos expresar el problema con la siguiente tabla:

Orígenes 2

c c

Demandas

Ofertas

. a

En 1958 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo del transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costes previstos. Ejemplo 3: Dos almacenes A y B, tienen que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispones de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan diariamente 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén viene dado por los datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo. D

O r í g e n e s M e r c a d o

M e r c a d o

A l m a c é n

El problema de la dieta: Trata de determinar los alimentos que deben incluirse en una dieta para asegurar la nutriciรณn necesaria y a la vez minimizar el coste. C

Alimentos C

Necesidades

C o s t e s

El problema de la planificaciรณn de la producciรณn: Pretende planificar la producciรณn de una empresa de acuerdo con las materias primas disponibles para obtener mรกximos beneficios. P

Factores P

a a

. F

Beneficios o costes

R e cu r s o s

. a

. r

EL ALGORITMO DEL SIMPLEX Según el teorema fundamental de la Programación Lineal, si un problema de Programación Lineal tiene solución óptima finita, ésta se alcanza en un vértice de la región factible. Los vértices se obtienen como solución de sistemas de ecuaciones lineales determinados por las restricciones. Al haber un número finita de restricciones, hay también un número finito de vértices. Por tanto la solución del problema se puede obtener evaluando la función objetivo en un número finito de puntos. Sin embargo, el número de vértices de la región factible puede ser muy grande y por tanto el cálculo de la solución óptima puede resultar bastante entretenido. Sería interesante un procedimiento que escoja unos cuantos vértices sin necesidad de trabajar con todos. Esto el lo que intenta el algoritmo del simplex descubierto por G. B. Dantzig. El nombre del método es debido a que en una de sus primeras aplicaciones, la región factible estaba formada por un "simplex", es decir, un poliedro convexo generado por (n+1) puntos de Rn, no situados en una misma variedad lineal (n-1)-dimensional. Este procedimiento parte de un vértice cualquiera y mediante algoritmos se va pasando a vértices adyacentes que mejoran el valor de la función objetivo en el vértice anterior, obteniendo la solución óptima en un número de pasos bastante inferior al de evaluar la función objetivo en todos los vértices. Por ejemplo, supongamos que una hormiga se encuentra con la estructura de un complicado poliedro convexo y quiere subir al vértice situado en lo más alto siguiendo las aristas del poliedro. ¿Cuál es la forma más rápida de conseguirlo? Parece lógico que desde el suelo escoja la arista con más pendiente y suba por ella hasta llegar al vértice en el que finaliza. Después escoger de todas las aristas que salen de dicho vértice la que tiene mayor inclinación y subir por ella hasta un nuevo vértice. Repitiendo este procedimiento llegará al vértice más alto en el menor número de pasos posible Aquí quedan una serie de ejercicios para practicar y tener mayor comprensión de los mismos:

Diferentes situaciones sobre regiones factibles y óptimos. 1. Maximizar la función F(x,y) = 40x + 50y sujeta a las restricciones: (1) 2x + 5y ≤ 50 (3) 3x + 5y ≤ 55 (5) x ≥ 0 (2) 5x + 2y ≤ 60 (4) x + y ≤ 18 (6) y ≥ 0 2. Determinar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = 2x - 8y sometida a las restricciones: (1) 3x - 2y ≤ 12 (3) x - 4y ≥ -20 (5) x ≥ 0 (2) 3x + 2y ≤ 24 (4) x + 2y ≥ 4 (6) y ≥ 0

3. Hallar analítica y gráficamente el máximo y el mínimo de las funciones: F1(x,y) = 2x - y F2(x,y) = -3x - 3y F3(x,y) = -x + 2y F4(x,y) = 5x + 5y Sometida a las restricciones: (1) x + y ≤ 10 (2) x + y ≥ 2 (3) x - y ≤ 5 (4) x - y ≥ -5 (5) x ≥ 0 (6) y ≥ 0 4. Calcular los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = 2x + y sujeta a las restricciones: (1) 0 ≤ x ≤ 6 (2) 0 ≤ y ≤ 10 (3) 8 ≤ 2x + y ≤ 16 5. Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = 5x - 3y sujeta a las restricciones: (1) x + y ≤ 3 (2) 2x + y ≥ 8 (3) x ≥ 0 (4) y ≥ 0 6. a) Encontrar el máximo y el mínimo de la función F1(x,y) = - 4x - 2y sometida a las restricciones: (1) 3x + y ≥ 300 (2) x + 2y ≥ 200 b) Determinar el máximo y el mínimo de la función F2(x,y) = - x + 3y sujeta a las mismas restricciones anteriores. 7. Calcular el máximo y el mínimo de cada una de las funciones: F1(x,y) = 3x + 4y F2(x,y) = 10x - 30y + 300 F3(x,y) = 12x - 3y Sometidas a las restricciones: (1) x + y ≥ 14 (3) 4x + y ≥ 16 (2) 2x + 3y ≥ 36 (4) x - 3y ≤ 0 8. Calcular el máximo y el mínimo de la función F(x,y) = 3x + 4y sujeta a las restricciones: (1) x - 2y ≥ 0 (2) 2x - y ≤ 0 (3) x + y ≥ 0 9. Calcular el máximo y el mínimo cada una de las funciones: F1(x,y) = -x - y F2(x,y) = 2x - 2y F3(x,y) = -2x + 4y F4(x,y) = 3y Sometidas a las restricciones: (1) x + y ≥ 4 (2) 3x + y ≥ 6 (3) x - 2y + 12 ≥ 0 (4) x ≥ 0 (5) y ≥ 0 10. Representar la región del plano determinada por las inecuaciones: (1) 2x + y ≥ 5 (2) x - y + 3 ≥ 0 (3) x - 2y ≤ 1 (4) 2x - 11 ≤ 0 a) ¿Cuántos puntos con las dos coordenadas enteras existen en dicha región? b) Calcular el máximo y el mínimo, de entre todos los puntos de coordenadas enteras, de las funciones: F1(x,y) = 2x - y F2(x,y) = -3x - 3y Problemas con enunciado. 1. Un ave de rapiña necesita para subsistir al día 30 unidades de proteínas, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de proteínas, 4 de grasas y 1 de vitaminas y palomas que le proporcionan 6 unidades de proteínas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratón le cuesta 7

unidades de energía y una paloma le cuesta 12 unidades de energía, ¿ cuántas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades con el menor gasto de energía ? 2. Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 euros y 150 euros respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de paseo 2 kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el máximo beneficio? 3. Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros por kilogramo y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo y otro producto N que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 4 euros por kilogramo. ¿Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible? 4. Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del tipo F1 cuestan 300 euros y los del tipo F2, 500 euros. Solo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 euros para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos en la venta posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30 % del precio de compra? 5. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Además el triple de la producción de vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre menor o igual que 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 8 euros y cada unidad de vinagre 2 euros. 6. En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes, P, Q, y R. Se dispone de 90 toneladas de P, 90 de Q y 70 de R, y se desea fabricar dos tipos de pienso M1 y M2. Una tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de P, 1 de Q y 1 de R y se vende a 12 euros. Una tonelada de M2 requiere 1 tonelada de P, 2 de Q y 1 de R y se vende a 10 euros. ¿Cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener el mayor beneficio? 7. Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1000. La demanda de ambos productos conjuntamente es mayor de 3000 unidades y menor de 6000 unidades. Se sabe que la cantidad demandada de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble del otro. Para obtener los máximos beneficios vendiendo toda la producción, ¿cuál debe ser la producción de cada uno de ellos si uno lo vende a un precio que es el triple que el del otro? 8. Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello se van a mezclar dos tipos de piensos P y Q, cuyo precio por

kilogramo es para ambos de 30 pesetas, y cuyo contenido vitamínico por kg se expresa en la tabla. ¿Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo? A

m g1

m g2 0 m g2

m g

m g3

m g7.5 mg0

m g

9. Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa A le paga 0.05 euros por impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes. le paga 0.07 euros por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de tipo A, en la que le caben 120, y otra para los de tipo B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 10.Para el tratamiento de cierta enfermedad hay que suministrar a los pacientes tres tipos de vitaminas, a, b, g. Quincenalmente precisan al menos, 875 mg de vitamina a, 600 mg de vitamina b, y 400 mg de vitamina g. En el mercado dichas vitaminas están en dos productos A y B. Cada comprimido de A tiene 25 mg de vitamina a, 20 mg de vitamina b, y 30 mg de vitamina g. Cada comprimido de B tiene 35 mg de vitamina a, 30 mg de vitamina b, y 10 mg de vitamina g. El coste de cada comprimido de A es de 0.05 euros y el de B de 0.06 euros. ¿Qué número de comprimidos de cada producto hará más económico el tratamiento? 11. En una empresa se fabrican diariamente dos tipos de aparatos. A y B. Como máximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y obligatoriamente, al menos, un aparato del tipo B. Indicar todas las posibilidades de fabricación si se quieren realizar ventas por importe superior a 60 euros, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son, respectivamente, 30 euros y 10 euros. 12. Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P1 y P2 cuyos contenidos vitamínicos por kilogramo son los siguientes: P

P 2 4 3 Si el kg de pienso P1 vale 0.4 euros y el de P2 vale 0.6 euros, ¿cómo debe suministrar las vitaminas requeridas en un coste mínimo? 13. Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitamina diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2.5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1 de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 0.3 euros y el de pienso compuesto 0.52 euros, se pide:

a) ¿Cuál es la composición diaria de la dieta que minimiza los costes ? b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado, el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto ? 14. Un agricultor utiliza un invernadero de 300 m2 para dos tipos de cultivo. Los gastos de cada uno de ellos son de 50 y 20 euros por metro cuadrado, siendo los beneficios que se obtienen de 300 y 100 euros por metro cuadrado respectivamente. Si se dispones de 7500 euros para invertir, ¿qué superficie debe dedicar a cada tipo de cultivo para obtener un beneficio máximo? 15. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje de caballero requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana y un vestido de señora necesita 2 m2 de cada una de las telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio. 16. Una empresa conservera puede enlatar diariamente un máximo de 1000 kg de atún. Tiene dos tipos de envases, latas pequeñas y latas grandes, cuyo contenido neto es de 90 g y 400 g respectivamente. Por razones de producción, el número de latas pequeñas no puede superar el doble de las grandes. Si la ganancia empresarial es de 0.3 euros por lata pequeña y de 0.8 euros por lata grande, ¿cómo debe planificarse la producción para que la ganancia sea máxima? 17. Una persona quiere invertir 100000 euros en dos tipos de acciones, A y B. Las del tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10 %. Las del tipo B son más seguras, pero producen solo el 7 %. Decide invertir como máximo 60000 euros en acciones del tipo A y, por lo menos, 20000 euros en acciones del tipo B. Además, quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir los 100000 euros para que el beneficio anual sea máximo? 18. Se necesita una dieta que proporciones a un animal 3000 calorías y 80 unidades de proteínas por día. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento A1 cuesta o.20 euros por kilo y contiene 600 calorías y 2 unidades de proteínas. El alimento A2 cuesta o.10 euros por kilo y contiene 50 calorías y 8 unidades de proteínas. Determinar la combinación de alimentos más barata que satisfaga las necesidades de la dieta. 19. Una empresa tiene dos centros de producción C1 y C2 en los que fabrica tres tipos de artículos: A1, A2 y A3. Dicha empresa debe fabricar diariamente un mínimo de 360 unidades del artículo A1, 320 del A2 y 180 del A3. La producción por hora en cada centro es: en C1, 25 de A1, 30 de A2 y 10 de A3; en C2, 30 de A1, 20 de A2 y 18 de A3. Si cada hora de funcionamiento cuesta 800 euros en C1 y 1000 en C2, ¿cuántas horas debe funcionar cada centro para que produciendo, al menos, lo necesario, se reduzcan al mínimo los costes de producción?

20. Un pastelero fabrica dos tipos de pasteles de chocolate C1 y C2. El pastel C1 se hace con 1 litro de leche y 0.2 kilos de cacao y el pastel C2 con 1 litro de leche y 0.4 kilos de cacao. Por cada pastel del tipo C1 se obtiene un beneficio de 2 euros y por cada pastel del tipo C2 se obtiene un beneficio de 3.5 euros. La maquinaria disponible sólo permite fabricar como máximo 100 pasteles de cada tipo al día. Si le suministran diariamente 120 litros de leche y 40 kilos de cacao, ¿cuántos pasteles de cada tipo debe fabricar y vender para que el beneficio obtenido sea máximo? 21. Dos almacenes A y B distribuyen fruta a tres mercados. El almacén A dispone de 15 toneladas de fruta diarias y el B de 20 toneladas, que reparten en su totalidad. Los tres mercados necesitan diariamente 12, 13 y 10 toneladas de fruta, respectivamente. Si el coste del transporte desde cada almacén a cada mercado está representado en la tabla, ¿cómo se debería planificar el transporte de forma que el coste sea mínimo? A l m a c é nM e r c a d o 1 M e r c a d o 2 M e r c a d o 3 A

22. Dos yacimientos de oro A y B producen al año 2000 kg y 3000 kg de mineral de oro, respectivamente, que deben distribuirse a tres puntos de elaboración: C, D y E, que admiten 500 kg, 3500 kg y 1000 kg de mineral, respectivamente, al año. El coste del transporte en euros por kilogramo es el de la siguiente tabla. ¿Cómo ha de distribuirse el mineral para que el transporte sea lo más económico posible? C o s t

E .

23. Para abastecer de madera a tres aserraderos A1, A2 y A3, hay dos bosques, B1 y B2, que producen 26 y 30 toneladas respectivamente. Las necesidades de cada aserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si los costes del transporte por tonelada de los bosques a los aserraderos son, en euros, los que figuran en la tabla, planificar el transporte de coste mínimo. A

24. Una empresa compra en un lugar P 50000 unidades de un determinado producto y en un lugar G, 40000 unidades del mismo producto. Estas cantidades las guarda en tres almacenes A con capacidad para 20000 unidades, B con 30000 y C con 40000. El precio en euros de llevar una unidad del producto desde los lugares de compra hasta los almacenes

viene indicado en la tabla siguiente. ¿Cómo debe planificarse el almacenado del producto para que los gastos de transporte sean mínimos? A

Para mayor información consultar: http://actividadesinfor.webcindario.com/proli.htm http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/Lin_Ineq2d/ineq2d_right.xhtml Título: "Programación lineal y métodos de optimización". Autor: Eduardo Ramos Méndez. Universidad Nacional de Educación a Distancia. Madrid. 1997. Libros de texto de Matemáticas de C.O.U. Opciones C y D. Autores: varios Editoriales: Anaya, Ecir, Edelvives, SM. Libros de texto de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales. Autores: varios Editoriales: Editex, Mc Graw-Hill, Santillana, SM