Operaciones con Matrices

OPERACIONES CON MATRICES

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PRESENTA

OPERACIONES CON MATRICES

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ÍNDICE

1 | Historia de una Matriz ......................................................................................... 3 2 | ¿Matriz? Definición ............................................................................................. 4 3 | Tipos de Matrices ................................................................................................ 5 4 | Suma de Matrices ............................................................................................... 9 5 | Producto de matrices (Multiplicación) .................................................................. 11 6 | Producto de un escalar por una matriz ................................................................ 12 7 | Resta de Matrices .............................................................................................. 13

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Historia de una Matriz Autor: Neida Castillo Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

El origen de la matriz es muy antiguo, un cuadrado mágico 3 por 3; se registra en la literatura china hacia 650 a.C. Un importante texto Matemático chino del año 300 a.C. define 9 capítulos del arte de las matemáticas, dando a conocer el primer ejemplo del uso de las matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultaneas.

El término matriz fue acuñado en 1848, por J.J. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. En 1858 se introdujo la notación matricial, como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.

Durante la segunda Guerra Mundial Olga Taussky (1906-1995), uso la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado Fluttering.

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ÂżMatriz? DefiniciĂłn Autor: Miguel Vergel Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser nĂşmeros ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden "mĂ—n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz tambiĂŠn se denomina dimensiĂłn o tamaĂąo, siendo m y n nĂşmeros naturales.

đ?‘Ž11 đ?‘Ž12 đ?‘Ž13 â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ž21 đ?‘Ž22 đ?‘Ž23 â‹Ż đ?‘Ž2đ?‘› A = đ?‘Ž31 đ?‘Ž32 đ?‘Ž33 â‹Ż đ?‘Ž3đ?‘› â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹ą â‹Ž (đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Žđ?‘š3 â‹Ż đ?‘Žđ?‘šđ?‘› ) Las matrices se denotan con letras mayĂşsculas: A, B, C, y los elementos de las mismas con letras minĂşsculas y subĂ­ndices que indican el lugar ocupado: a, b, c. Un elemento genĂŠrico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij.

COLUMNAS

312 B =(1 0 1) 234

FILAS

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Tipos de Matrices Autor: Luis Suárez

Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Columna La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aij constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

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Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

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Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At) t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At

Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa.

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Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A.

Matriz involutiva Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I.

Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Matriz ortogonal Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At = I.

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Suma de Matrices Autor: Miguel Vergel Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria.

La suma de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. La matriz resultante tiene las mismas dimensiones, cada uno de cuyos elementos es la suma aritmética de los elementos en las posiciones correspondientes en las matrices originales.

 Propiedades de la suma de matrices Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

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Elemento neutro: A+0=A Donde O es la matriz nula de la misma dimensi贸n que la matriz A. Elemento opuesto: A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos est谩n cambiados de signo.

Conmutativa: A+B=B+A

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Producto de matrices (Multiplicación) Autor: Luis Suárez Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mmxn x Mnxp = Mmxp El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

 Propiedades del producto de matrices Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C

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Elemento neutro: A·I=A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A·B≠B·A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

Producto de un escalar por una matriz Autor: Luis Suárez Dada una matriz A = (aij) y un número real k pertenece R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k k · A=(k aij)

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a · (b · A) = (a · b) · A

A € Mmxn, a, b € R

a · (A + B) = a · A + a · B

A,B € Mmxn , a € R

(a + b) · A = a · A + b · A

A € Mmxn , a, b € R

1·A=A

A € Mmxn

Resta de Matrices Autor: David Liscano Todas las matrices no se pueden restar para poder hacerlo debemos cumplir una condición muy importante.

Para Realizar una resta es necesario tenerte dos matrices diferentes que contengan la misma dimensión, eso quiere decir que deben tener el mismo número de filas y columnas, para poder restar los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

0−12 A=(1 − 3 1) 4 01

3 1 2 B=( 0 2 − 7 ) 00−2

−1 − 2 0 A-B=( 0 − 5 8 ) 4 0 3

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Grupo de Trabajo

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Luis Suarez Tipos de Matrices Producto de matrices (Multiplicaci贸n) Producto de un escalar por una matriz

Miguel Vergel 驴Matriz? Definici贸n Sumas de Matrices

Neida Castillo Historia de una Matriz

David Liscano Resta de Matrices