MATEMATICAS DINAMICAS by SUSANA MILENA BENAVIDES PUPIALES

CONTENIDO

INTRODUCCION

CAPITULO I NUMEROS ENTEROS. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

HISTORIA DEFINICION OPERACIONES EN Z (CON ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS) LA RECTA NUMÉRICA APLICACIÓN DE LOS NUMEROS Z EN LA VIDA DIARIA EJERCICIOS

CAPITULO II NUMEROS RACIONALES. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

HISTORIA CLACIFICACION DE LOS Q REPRESENTACION GRAFICA LA RECTA NUMÉRICA OPERACIONES CON NÚMEROS Q EJERCICIOS

CAPITULO III ECUACIONES 1. HISTORIA 2. DEFINICION 3. EJERCICIOS

Las matemáticas no son solo números, también pueden Ser una bella expresión artística donde interviene la imaginación. EL ÁNGEL DE LOS NÚMEROS Vírgenes con escuadras y compases, velando las celestes pizarras. Y el ángel de los números, pensativo, volando del 1 al 2, del 2 al 3, del 3 al 4. Tizas frías y esponjas rayaban y borraban la luz de los espacios. Ni sol, luna, ni estrellas, ni el repentino verde del rayo y el relámpago, ni el aire. Sólo nieblas. Vírgenes sin escuadras, sin compases, llorando. Y en las muertas pizarras, el ángel de los números, sin vida, amortajado sobre el 1 y el 2, sobre el 3, sobre el 4

INTRODUCCION

El maravilloso mundo de las matemáticas nos envuelve en el divertido proceso de aprendizaje por medio de la práctica, haciendo que le estudiante se discipline en el área por medio de juegos y ejercicios prácticos de muy fácil comprensión. A continuación se presenta un texto que recopila tres temas fundamentales el mundo de los números enteros, los fraccionarios y las ecuaciones. Se ha optado por realizar una breve historia y una definición conceptual para hacer más entendible cada tema y se desarrollan ejercicios paso a paso. Además se podrá encontrar una cantidad de ejercicios propuestos para que el estudiante pueda poner a prueba los conceptos aprendidos.

1. HISTORIA Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos ―――para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

2. DEFINICION DE LOS Z En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales). Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3,...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo: −783 y 154 son números enteros 45,23 y −34/95 no son números enteros Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado. Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos. También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

3. OPERACIONES EN Z (CON ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS) Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

1.1. SUMA EN Z (CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes: a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo. Ejemplos: – 3 + – 8 = – 11

(sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37

(sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo). Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo). 5 + – 51 = – 46 (es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto) – 14 + 34 =

Propiedades de números enteros Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a+b=b+a Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a+0=a Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0 EJEMPLOS: 1. Propiedad asociativa: [(−13) + (+25)] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44) (−13) + [(+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2. Propiedad conmutativa: (+9) + (−17) = −8 (−17) + (+9) = −8 3 . E le me n to n eu t ro : a + 0 = a (−5 ) + 0 = − 5 4 . E le me n to op u e st o a + ( -a ) = 0 5 + (−5 ) = 0 − (−5 ) = 5

Ejercicios con signos de agrupaci贸n a) Eliminando par茅ntesis

b) Resolviendo lo que hay dentro de los parĂŠntesis corchetes y llaves

1.2.

RESTA EN Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse: a)

Cambiar el signo de la resta en suma y

b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario Ejemplos: –3 – 10 a) cambiamos el signo de resta por el de suma: –3

+ 10

b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo de operación (que ahora es el +): – 3 + – 10 =

–13 (signos iguales se suma y conserva el signo)

19 – – 16 a) cambiamos el signo de resta por el de suma: 19 + –16 b) cambiamos el signo del número que está a la derecha (– 16) del signo de operación (que ahora es el +): 19 + + 16 = 19 + 1.3.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla: + •

– • –

+ • –

= –

– • +

= –

Ejemplos de multiplicación: (– 5) * (– 10) = 50 (+ 12) * (– 4) = – 48

(5 * 10 =

50; – * – = +)

(12 * 4 =

+ * – = –)

24; – * – = +)

(- 8) * (- 3) = 24 (8 * 3 = (+ 12) * (+ 2) = 24 (12 * 2 = (- 7) * (+ 4) = -28 (7 * 4 =

48;

24; + * + = +)

28; – * + = -)

(+ 13) * (- 3) = -39 (13 * 3 = 39; + * – = -) (- 25) * (- 5) = 125 (25 * 5 =

125; – * – = +)

Ejemplos de división: (- 21) ÷ (- 7) = 3 (21÷7 = 3; - ÷ - = +) (+ 15) ÷ (+ 3) = 5 (15÷3 = 5; + ÷ + = +) (- 18) ÷ (+ 3) = -6 (18÷3 = 6; - ÷ + = -) (+ 63) ÷ (- 9) = -7 (63÷9 = 7; + ÷ - = -) (- 12) ÷ (- 6) = 2 (12÷6 = 2; - ÷ - = +)

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).

4. LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».

Ejemplo. |+5| = 5, |−2| = 2, |0| = 0.

El orden de los números enteros puede resumirse en: El orden de los números enteros se define como:  Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a. 



Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es: o El de menor valor absoluto, si el signo común es «+». o El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−». El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplo. +23 > −56, +31 < +47, −15 < −9, 0 > −36

5. APLICACIÓN DE LOS Z EN LA VIDA DIARIA Los números negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria. Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

Para medir altitudes. Se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresar por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números enteros negativos.

Para  medir temperaturas. Fíjate en el termómetro. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el termómetro marca 0 grados el agua se congela.

Las temperaturas por encima de 0 grados se indican con números enteros positivos. Las temperaturas por debajo de 0 grados se indican con números enteros negativos.

6. EJERCICIOS 6.1.

Averigua qué sección hay en cada planta y completa las Etiquetas del cartel.



Si sales de la primera planta y bajas una planta llegas a Electrodomésticos.



Si sales de la segunda planta y bajas tres plantas llegas a Oportunidades.



Si sales del primer sótano y subes dos plantas llegas a la sección Caballeros.



Si sales del primer sótano y subes tres plantas llegas a la sección de Señoras.

PLANTA +2 PLANTA +1 PLANTA 0 PLANTA –1

6.2. Ayúdate de la recta entera y ordena de mayor a menor los siguientes números.

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1



-2, +5, -1

 +6, -3, -4, +1



+4, +5, -6

 +4, 0, -6, -2

6.3.

6.4.

Calcula. a. (+2) + (+5) =

d. (+3) + (-4) =

b. (-6) + (+7) =

e. (+8) + (-6) =

c. (-2) + (-3) =

f. (-4) + (-5) =

Averigua el tĂŠrmino que falta:

a) 4 - ___ = 11 b) -7 -___ = -4 c) ___ -4 = -10 d) ___ -(-3) = - 6 6.5.

Rodea el resultado correcto.-

(+6) + (-1)

-3

(-2) + (+5)

-4

-7

(-3) + (-2)

-1

-5

6.6.

Observa esta recta entera y relaciona.

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12

(+2) + (+4)

-6

(-4) + (-8)

-1

(-5) + (+4)

-12

(+1) + (-7)

6.7. Dibuja en una cuadrícula los caminos que pasan por los puntos indicados.

 Camino rojo (-3 ,+1), (-2, +1) , (-1, +1), (+3, +2) 

Camino azul (-1, +1), (+1,), (+2, -1), (+2, +3)

Camino verde (+1, -2), (+1, -1), (0, -1), (-2 ,-2) Camino amarillo (+5, -1), (+3, -2), (0, -3), (-2, -2)

Observa los caminos dibujados y contesta.  

¿Qué caminos pasan por el punto (-1, +1) ¿Qué caminos pasan por el punto (-2, -2)

6.8.

a) b) c) d) e) f) g) h)

Completa con los signos < o >:

-3 ____ +5 -7 ____ -9 -4 ____ -3 +3 ____ +7 +4 ____ 0 0 ____ -5 -6 ____ +8 +5 ____ -5

6.9.

PROBLEMAS.

1.- Un día de invierno, en el garaje de Juan, el termómetro marcaba 3 grados bajo cero. En el garaje de Mario el termómetro marcaba 2 grados bajo cero. ¿Dónde era la temperatura más alta? 2.- Pedro se encuentra en el cuarto sótano y Lorena se encuentra en el tercer sótano. ¿Qué niño se encuentra más cerca de la planta baja? 3. Magdalena vive en la primera planta. Para ir a ver a su amiga Lucía tiene que subir tres plantas. ¿En qué planta vive Lucía? 4. María sacó de¡ congelador un caldo que estaba a 2 grados bajo cero. Lo puso a calentar y la temperatura subió 6 grados. ¿A qué temperatura está ahora el caldo? ¿Con qué número entero se puede representar esta temperatura? 5. En la casa donde vive Lucas hay varios sótanos. Lucas salió de la segunda planta y bajó cuatro plantas para coger su coche. ¿En qué sótano está el coche de Lucas? ¿Con qué número entero se puede representar esta planta? 6. Alberto estaba en una cueva a un metro por debajo del nivel del mar. Esta mañana bajó cinco metros más. ¿A cuántos metros bajo el nivel del mar se encuentra ahora Alberto?



HISTORIA

En el Antiguo Egipto se calculaba utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son las primeras fracciones utilizadas para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de un número entero.5 Esto equivale a considerar fracciones como: un medio, un tercio, un cuarto, etc., de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Se puede demostrar además, que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. El jeroglífico de de una boca abierta denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción. 



Los babilonios utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60. El sistema chino de numeración con varillas permitía la representación de fracciones. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. Diofanto de Alejandría (siglo IV) escribía y utilizaba fracciones. Posteriormente, se introdujo la «raya horizontal» de separación entre numerador y denominador, y el numerador dejó de restringirse al número uno solamente, dando origen a las llamadas fracciones vulgares o comunes. Finalmente, se introducen las «fracciones decimales», en donde el denominador se escribe como una potencia de diez. Khwarizmi introduce las fracciones en los países islámicos en el siglo IX. La forma de representar las fracciones provenía de la representación tradicional china, con el numerador situado sobre el denominador, pero sin barra separadora. Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en su Liber Abaci (Libro del Ábaco2 ), escrito en 1202, expone una teoría de los números fraccionarios. Las fracciones se presentan como fracciones egipcias, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos.

Cronología Año

Acontecimiento

1800

Registro de uso de fracciones por el Imperio Babilónico.

1650 a.C.

Sistema egipcio con fracciones unitarias.

500-600 d.C.

Aryabhata y Brahmagupta desarrollan las fracciones unitarias.

100

Sistema chino de cálculo de fracciones con varillas (Suanpan).

1202

Fibonacci difunde la notación con barra para separar numerador y denominador.

1585

Teoría sobre las fracciones decimales de Simon Stevin.

1700

Uso generalizado de la línea fraccionaria (barra horizontal u oblícua).



DEFINICION

Un número fraccionario es una división sin efectuar. Ejemplo 3/4, el número situado en la parte superior se llama numerador y al colocado debajo, denominador. El denominador indica las partes en que se divide la unidad; mientras el numerador, las partes que tomamos. Escritura Una fracción tiene 2 formas de escribirse (notación). La primera es colocando una línea horizontal entre el numerador y el denominador. Por ejemplo: La otra forma es colocando una línea diagonal entre ambos números. Por ejemplo: 9 / 5 3 / 6 10 / 8 Lectura La forma para leer un quebrado es muy sencilla: primero se lee el numerador tal y como decimos comúnmente los números: un, dos, tres, cuatro, etc… Con respecto al denominador lo leemos así: 2 es medios, 3 es tercios, 4 cuartos, 5 quintos, 6 sextos, 7 séptimos, 8 octavos, 9 novenos y 10 décimos. En caso que el numerador sea mayor que 10, se le añade al número la terminación avo. Con esa regla, podríamos decir que 11 se lee onceavo, 12 doceavo, 13 treceavo, etc. Por ejemplo: 8 / 5 se lee ocho quintos 10 / 35 se lee diez treintaicincoavos Comúnmente conocido como fracción, el quebrado o número fraccionario es el que expresa 1 o más partes iguales de la unidad central. Según la cantidad en la que se divide la unidad, ésta va cambiando de nombre. Por ejemplo si está dividida en 2 se le llama medios, en 3 tercios, 4 cuartos, 5 quintos, 6 sextos, 7 séptimos, 8 octavos, 9 novenos, 10 décimos, etc. 1/2 un medio 1/3 un tercio 1/4 un cuarto 1/5 un quinto 1/6 un sexto 1/7 un séptimo 1/8 un octavo 1/9 un noveno 1/10 un décimo 1/11 un onceavos ocho 8/15 quinceavos

2. CLASIFICACION DE LOS FRACCIONARIOS

Podríamos decir que las fracciones se dividen en 2 tipos: 

Fracción Común: es la fracción cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros. Por ejemplo: 8/3 9/4



Fracción Decimal: es la fracción que tiene como denominador la unidad seguida de ceros. Por ejemplo:

4 / 10

48 / 100

Tipos Toda fracción, sin importar que sea decimal o común, pueden ser fracciones: 

Propias: son las fracciones que tienen el numerador menor que el denominador. Por ejemplo:

9 / 13 

Impropias: son las fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador. Por ejemplo:

15 / 4 

98 / 2 8 / 7

Unitarias: son las que tienen el mismo numerador y denominador. Por ejemplo:

4/4 

2 / 4 5 / 12

12 / 12

9/9

Número Mixto: una fracción mixta es aquella que contiene un número entero y una fracción. Por ejemplo: 4 3 5 2 6 3 4 3 7



Fracciones equivalentes: Son aquellas que multiplicadas en cruz dan el mismo resultado. Ejemplo:

Algunas afirmaciones que podemos hacer con respecto a las fracciones son: 

Toda fracción propia es menor que la unidad.



Toda fracción impropia es mayor que la unidad,



Toda fracción unitaria es igual a la unidad



Toda número mixto contiene un número exacto de unidades y además una o varias partes iguales a la unidad.



De varias fracciones que tengan igual denominador es mayor la que tenga mayor denominador



De varias fracciones que tengan el mismo numerador es mayor la que tenga menor denominador



Si a los 2 términos de una fracción propia (numerador y denominador) se les suma un mismo número, la fracción nueva es mayor que la primera



Si el numerador o el denominador de una fracción es multiplicado por cierto número, la nueva fracción queda multiplicada por dicho número y en caso que se divida, queda dividida.



Si los 2 términos de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, la fracción no varía



Si a los 2 términos de una fracción propia se le resta un mismo número, la nueva fracción es menor que la primera.



Si a los 2 términos de una fracción impropia se les suma un mismo número, la fracción nueva es menor que la anterior, sin embargo si se les resta un mismo número la nueva fracción va a ser mayor que su antecesora

3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para identificar y obtener fracciones equivalentes se pueden utilizar representaciones gráficas y rectas numéricas, en las que se puede demostrar la equivalencia de dos o más fracciones. Ejemplo: Un anciano prometió premiar a sus hijos de tal manera que a uno le daría un tercio de un terreno por su buena conducta, en tanto que al otro le daría 2/6 por ser una persona laboriosa. ¿Cuál de los dos hijos tendría la mayor cantidad de terreno? Para resolver este problema, los hijos decidieron representar gráficamente la cantidad de terreno que habrían de recibir, encontrándose con la siguiente situación:



De esta manera, los dos hijos se dieron cuenta que el padre les daría la misma cantidad de terreno: 2/6 = 1/3.

4. RECTA NUMÉRICA Otra forma de representar la equivalencia de fracciones es a través de rectas numéricas. Supongamos que queremos saber si 6/8 es equivalente a 12/16. Para comprobar esta situación utilizaremos 3 rectas numéricas, en las cuales la primera será la unidad a considerar, en tanto que las otras dos servirán para comprobar si las dos fracciones son equivalentes:

A simple vista se puede apreciar que dichas fracciones son equivalentes, porque se ubican en el mismo punto de la recta numérica, por lo tanto: 6/8 = 12/16. 5. OPERACIONES CON FRACCIONARIOS 5 . 1 . S uma y re s ta de fra cc i one s c on e l mis mo de nomi na dor S e su ma n o d e no m ina do r.

re st a n

lo s

nu m e ra d o re s

m an t ie ne

5 . 2 . S uma y re s ta de fra cc i one s c on di s ti nto de nomina dor Para sumar fracciones con distinto denominador hay que buscar otras tantas fracciones con igual denominador, el cual sería el mínimo común múltiplo de los denominadores. Recordamos que para hallar el m.c.m., descomponemos los números dados en factores primos, luego le damos forma de potencia y al final se toman los resultados diferentes y de mayor potencia y se multiplican entre sí.

Una vez obtenidas las fracciones con igual denominador, se deja el denominador y se suman los numeradores Y como numerador se coloca el resultado de dividir el m.c.m. entre los antiguos denominadores y multiplicar el resultado de la división por el numerador..

Ejemplo con resta: El procedimiento es el mismo de la suma, con la diferencia de que al primer numerador se le van restando los demás numeradores. Ejemplo:

5 . 3 . P ropi e da de s de l a s uma de nĂşme ros frac c i ona rios As oc i a ti va : (a + b) + c = a + (b + c )

Conmuta ti va : a + b = b + a

E l e me nto ne utro : a + 0 = a

E l e me nto opue s to a + (â&#x2C6;&#x2019;a ) = 0

E l o p ue st o d e l o pue st o d e u n n úm e ro e s igu a l a l m ismo n ú me ro

5 . 3 Mul ti pl ic a ci ón de núme ros fra cc i ona ri os E l p ro du ct o d e d o s núme ros ra c i onal e s e s o t ro núme ro ra c i onal qu e t ie n e: Po r n um e ra d o r e l p ro du ct o d e lo s n um e rad o re s. Po r d en om in a do r e l p rod u ct o d e lo s d en om in ad o re s.

P r opi e da des de la mul ti pl i ca c i ón de núme ros ra c i ona l e s As oc i a ti va : E l mod o de a gru pa r lo s f a ct o re s n o va ría el re su lt a do . (a · b ) · c = a · (b · c)

Conm uta ti va : E l ord e n de lo s f a cto res n o va ría e l p ro duct o . a · b = b · a

E l e m e nto ne utro : E l 1 e s e l e leme n t o n eu t ro de la m u lt ip lica ción p o rqu e t od o n úm e ro mu lt ip lica do p o r é l d a e l m ism o n úm e ro . a ·1 = a

E l e m e nto i nve rs o: Un n ú me ro e s in ve rso d e o t ro si a l m u lt ip lica rlo s o b t en em o s co mo re su lt ad o e l e lem e nt o un id a d.

Di s tr i buti va : E l pro d u ct o de un n úm e ro p o r u na suma e s igu a l a la su m a de lo s p rod u ct o s de d ich o n ú m e ro po r ca d a u n o de lo s su m an do s. a · (b + c) = a · b + a · c

S a c ar fa c tor c omún: E s e l p ro ce so in ve rso a la p ro p ie d ad d ist rib u t iva . S i va rio s su ma n do s t ien e n u n f a cto r com ú n, po d em os t ra n sf o rm a r la su ma e n p ro du ct o e xt ra ye n d o d ich o f a ct or. a · b + a · c = a · (b + c)

5 . 4 . Di vi s i ón de fr a c c i ona ri os División en cruz: Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (ya tenemos el numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador). Ejemplo: 4 ---5

3 :

---9

4x9 = ------5x3

36 = --15

Inverso multiplicativo: Para dividir fracciones, se multiplica la primera fracción por las fracciones inversas de las demás. Una fracción es inversa de otra cuando sus cantidades cambian de lugar ( 3/5 es inversa de 5/3 ). Ejemplo.

Ley de la oreja: ―medios por medios y extremos por extremos‖. Ejemplo. 2/5 ÷ 3/4 = (2)*(4)/ (5)*(3)= 8/15

2 — 5 —— 3 — 4

Medios por medios y extremos por extremos:

(2)*(4)/ (5)*(3) = 8/15

En la división de racionales aplica la Ley de los signos exactamente igual que en la multiplicación. (+)÷(+)=+ (+)÷(-)=(-)÷(+)=(-)÷(-)=+

EJERCICIOS

6.1. ¿Cuántos cristales de la ventana circular de arriba son azules?

6.2. EN CADA CASO, RODEA LAS FRACCIONES QUE SE INDICAN

Menores que

3 7

6 7

2 7

9 7

1 7

Menores que

4 9

4 10

4 6

4 5

4 13

6.3. PRIMERO COLOREA. DESPUÉS ESCRIBE CADA FRACCIÓN EN FORMA DE NÚMERO MIXTO.

12 5

12  5

15 6

15  6

13 2

13  2

14 4

14  4

6.4. OBSERVA EL EJEMPLO RESUELTO Y CALCULA DE LA MISMA FORMA EL NÚMERO MIXTO CORRESPONDIENTE A CADA FRACCIÓN.

8 6

8 2

9 a). 6

6 1

2 6

10 b) 6 .

11 c). 6

6.5. COMPRUEBA SI LAS SIGUIENTES FRACCIONES SON EQUIVALENTES. a)

6 12  4 8

15 5 b)  21 7 9 3 c)  12 4 6.6. SUMA Y RESTA LAS SIGUIENTES FRACCIONES: a) 5 + 2 + 1 8 3 5 b) 2 - 9 7 5 c) 1 + 5 + 8 - 7 2 4 3 6 d) 3 - 4 2 9 e) 13 + 8 4 3

6.7. MULTIPLICA Y DIVIDE: a) 8 * 4 * 7 2 3 5 b) 7 ÷ 3 2 5 c) 4 * 8 ÷ 3 ÷ 2 5 7 5 3 6.8. PROBLEMAS 1.- Ramón reparte cinco pasteles en partes iguales entre 6 niños y cuatro bizcochos en partes iguales entre 7 niñas. ¿Qué fracción de pastel le corresponde a cada niño? ¿Qué fracción de bizcocho le corresponde a cada niña? 2.- María y sus amigos se han comido quince quintos de pizza. ¿Cuántas pizzas enteras se han comido? 3.- Carolina se ha bebido dos sextos de litro de zumo de naranja y su hermano Marcos se ha bebido cuatro sextos de litro. ¿Cuál de los dos ha bebido más zumo de naranja? 4.- Jorge ha coloreado tres cuartos de su mural. Eva ha coloreado dos quintos de su mural. ¿Qué niño ha coloreado más parte de mural si los dos murales tienen el mismo tamaño? 5.- Concepción ha pintado cinco séptimos de la valla del jardín y José ha pintado dos octavos de esta misma valla. ¿Qué niño ha pintado más valla? 6.- Marta ha comprado tres cuartos de kilo de limones y Adela ha comprado dos tercios de kilo de limones. ¿Qué niña ha comprado más limones?

1. HISTORIA Ya en el siglo XVI aC. Los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía usaban un método iterativo aproximado llamado el "método de la falsa posición". Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro "El Arte del y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. El matemático cálculo" en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los pioneros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas. Pasada la ―edad oscura‖ medieval, el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, experto algebrista. Sobre mediados del siglo XVI los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado el uso de los números imaginarios era indispensable. Cardano, enemigo acérrimo de Tartaglia, también halló métodos de resolución de ecuaciones de cuarto grado. En el mismo siglo el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c,… y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. En esta época se enuncian problemas de ecuaciones que sólo han sido resueltos actualmente, algunos que sólo recientemente se han resuelto; entre ellos tenemos el último teorema de Fermat, uno de los teoremas más famosos de la matemática, que no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor. A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; sólo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del siglo XIX Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado; acto seguido Évariste Galois demostró, utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.

Durante el siglo XIX las ciencias físicas utilizan en su formulación ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución lleva a la creación de una nueva especialidad, la Física Matemática. Ya en el siglo XX la Física Matemática sigue ampliando su campo de acción; Schrödinger, Pauli y Dirac formulan ecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica cuántica. Einstein utiliza ecuaciones tensoriales para su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoría económica. Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usando algoritmos numéricos. 2. DEFINICION En matemáticas, una ecuación es una igualdadentre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta. Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y decimos que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad. EJEMPLO: x+5=0 Hay que buscar un valor para la incógnita. Las incógnitas se pueden mediante cualquier letra, generalmente se usa la X, Y, ó Z. Dicho valor es: x = -5

expresar

porque si reemplazo a la x por -5 quedaría : -5 + 5 = 0 Cuando x = -5 se cumple la igualdad si, por ejemplo, hubiese puesto x = -4 no se cumpliría: -4 + 5 = 0 1 = 0 NO SE CUMPLE LA IGUALDAD Se dice entonces que la solución para la ecuación x + 5 = 0 es: x = -5 Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, por ejemplo: 5x=4x+3; es equivalente a 5x-4x=3; pues si reemplazamos a ambas por x=3, comprobaremos que se cumplen, ambas igualdades, veamos para la primera

Para la segunda:

Las ecuaciones sencillas se resuelven transformándolas en otras equivalentes, por consecuencia de la ley de uniformidad de las operaciones con números enteros, que no explicaremos en este apunte, simplemente daremos unas cuantas reglas prácticas para resolver ecuaciones. REGLA PRÁCTICA: Para poder encontrar la solución de una ecuación se hace lo que se llama despejar la x o sea dejar a la misma sola de un miembro de la igualdad. A) Cuando la x está acompañada por números que están sumando o restando entonces los mismos pasan al otro miembro con la operación inversa con la que operan.

EJEMPLOS: 

x+4=2 Pasamos el 4 al otro miembro de la igualad pero como está sumando lo pasamos restando. x=2-4 x = -2

Verificación: Para saber si igualdad -2 + 4 = 2 2 =2

Hacemos la cuenta y nos queda

la solución es la correcta

reemplazamos el valor de x en la

 x + 2 - 3 = 4 + 5 Pasamos el 2 que como está sumando pasa restando x - 3 = 4 + 5 - 2 Pasamos el 3 que como está restando pasa sumando x = 4 + 5 - 2 + 3 Hacemos la cuenta x = 10

Verificación: Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado 10 + 2 - 3 = 4 + 5 9 = 9 Queda verificada la solución.

B) Cuando la incógnita es multiplicada o dividida por un número, el mismo pasa al otro miembro con la operación inversa o sea si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. EJEMPLOS: 

2x = 4 x = 4: 2 x=2

Pasamos el 2 dividiendo resuelvo

Verificación: Para saber si la solución es la correcta igualdad 2* 2=4 4 = 4 Se verifica



reemplazamos el valor de x en la

-2 x = 4 ¡¡¡ CUIDADDO!!! El -2 pasa dividiendo con su multiplicando y la operación inversa es la división. x = 4: (-2) resuelvo x = -2

signo

porque

está

Verificación: Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad -2. (-2) = 4 4 = 4 Se verifica 

x:2 = 4 x = 4. 2 x=8

Pasamos el 2 multiplicando resuelvo

Verificación: Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad 8: 2 = 4 4 = 4 Se verifica 

x: (-2) = 4 ¡¡¡ CUIDADO!!! El -2 pasa multiplicando con su signo porque está dividiendo y la operación inversa es la multiplicación x = 4. (-2) resuelvo x = -8

Verificación: Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad -8. (-2) = 4 4 = 4

Se verifica

C) Cuando la incógnita está siendo multiplicada y dividida por un número y además sumada o restada por otros, primero se pasan los números que suman o restan y después los que multiplican o dividen. EJEMPLOS: 

2x + 3 - 1 = 6 2x = 6 - 3 + 1 2x = 4 x = 4: 2 x = 2 Verificación:

Pasamos el 3 restando y el 1 sumando Resuelvo El 2 pasa dividiendo

Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado 2.2 +3-1= 6 4 +3-1= 6 6 = 6

Queda verificada la solución.

D) Cuando en la ecuación hay varias incógnitas multiplicadas o divididas por un número de un miembro de la igualdad y del otro, acompañados con sumas o restas de números. Se separan en términos de ambos lados de la igualdad, y se transponen a un miembro de la igualdad, los números que multiplican a la incógnita, y al otro, los números solos. Ejemplo: Primer paso, separo en términos: El 2 y el 3 que son positivos en el primer miembro de la igualdad, los paso restando, al segundo: El 5x que es negativo en el segundo miembro, lo paso positivo al primero: Sumo las x del primer miembro, y los números del segundo: Luego el 3 lo paso dividiendo, y me queda x=6/3; x=2 Comprobación:

Ejercicios:

Resolver las siguientes ecuaciones y corroborar la solución encontrada: 1) 4x-2=10

2) 6x-3=x+17

4) 7x=4x+6

5) 2x=9+x

6) 6x=24-2x

7) 10=15-5x

8) x-8=4-x

9) 3x-10=18-x

10) 7x-8=3x+4

3) 2x+5=3

11) 2-3x-5=5-8x+x

12) x+2=3-2x+8