Matrices y Determinantes
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Matrice s CONTENIDO
1. ¿CÓMO SURGIERON? 2. ¿EN QUÉ SE APLICAN? 3. MATRICES
• • • • •
Definición Orden o Dimensión de una Matriz Forma general de una matriz Igualdad de matrices Clases de matrices
4. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ 5. OPERACIONES CON MATRICES 2
Matrice s ¿CÓMO SURGIÓ? El estudio de la teoría de matrices se desarrolló en su mayoría, en el siglo XIX. Sin embargo, las primeras nociones aparecieron alrededor del año 150 d.C.; durante la dinastía Han, los chinos emplearon las matrices en la solución de sistemas de ecuaciones. Igual sucedió con los babilonios en el año 400 d.C. Al contrario de muchos temas que ya hemos estudiado, las matrices no representan ideas matemáticas profundas ni novedosas, sino que básicamente son innovaciones muy útiles en el lenguaje matemático. Es decir, la teoría correspondiente fue estudiada al analizar los sistemas de ecuaciones lineales, y las matrices permitieron expresar esta teoría de manera más compacta.
Matrice s ¿EN QUÉ SE APLICA? La noción de matriz es útil como método simplificado para representar información. Por ejemplo, cuando deseamos informar sobre los mismos aspectos de varios entes, podemos hacerlo en forma simplificada a través de una matriz, es decir podemos organizar los datos en filas y columnas. En una tabla de posiciones de los equipos que participan en el campeonato de futbol, cada fila (datos en forma horizontal) presenta los resultados logrados por cada equipo (partidos jugados, ganados, empatados, perdidos, etc.); cada columna (datos en forma vertical) muestra una misma información referente a todos los equipos (puntos totales).
Matrices y Determinantes
Matrices y Determinantes ¿EN QUÉ SE APLICA? Las operaciones que uno pueda realizar con la información depende del campo de aplicación en donde se empleen matrices; esos campos pueden ser: economía, teoría de juegos, genética, sociología, estudios sobre flujo de tránsito, modelos de crecimiento de una población, manejo de información secreta, etc.
Matrices Al realizar el inventario en los tres almacenes
de una tienda se obtuvo:
Almacén 1: 12 computadoras, 8 impresoras y 5 escáneres. Almacén 2: 20 computadoras, 18 impresoras y 9 escáneres. Almacén 3: 2 computadoras, 3 impresoras y 15 escáneres. ¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda?
Organizamos los datos, en filas y columnas formando un arreglo rectangular. La fila indica el almacén y la columna el artículo.
C
I
E
Almacén 1
12
8
5
Almacén 2
20
18
9
Almacén 3
2
3
15
34
29
29
Total
En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres. 7
Matrice s DEFINICIÓN Se denomina matriz a un arreglo rectangular ordenado de elementos dispuestos en filas y columnas, que se encierran entre corchetes o paréntesis. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas. Veamos por ejemplo:
� 1 � A = � 4 � 6 �
2 3 -1 0 8 -1
5 � � 9� 3� �
FILA
C O L U M N A
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Matrices Orden o Dimensión de una Matriz Se llama así a donde m es el � 1 A = � � 3 �
la siguiente representación: m x n (se lee “m por n”), número de filas y n el número de columnas. 2� � 4 � �
�2 2 0� � B= � �3 4 - 1 � � �
� 0, 4 2 3� � � C = �5 - 1 0� � �3 � 4 - 1� � �
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2. ¿Qué elemento es a21? B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23? C tiene 3 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 3 x 3. ¿Qué elemento es c23? Si el número de filas y de columnas es igual (m = n), entonces se dice que la matriz es de orden n. 9
Matrices Forma general de una matriz
Sea A una matriz de m filas y n columnas, es decir A es de orden m x n, luego ésta se representa así:
� a11 � a21 � � a31 A = � ..... � � ..... � � am1 �
a12 a13 ......... a22 aa 23 ......... a32 a33 ......... ...... ....... ......... ...... ....... ......... am2 am3 ......... 23
a1n � � a2n � a3n � � ...... � ...... � � amn � �
a23 representa al elemento que está en la segunda fila (2) y en la tercera columna (3). 10
Matrices A veces, tenemos que hacer referencia a una entrada específica, para ello existe un "etiquetado" especial. Está basado en filas y columnas.:
aij
Ejemplo
Es la entrada en la fila �5 4 � � � 2 11 � � �0 3 � � � � a �11 a21 � � a31 �
a12 � � a22 � a32 � �
i y la columna j 5 es la entrada a11 -2 es la entrada a21 0 es la entrada a31 4 es la entrada a12 11 es la entrada a22 3 es la entrada a32 11
Matrices Igualdad de matrices Dos o más matrices son iguales si y sólo si son del mismo orden, siendo todos sus elementos correspondientes iguales
� � 3 8� 3 8� � � � � A = � 2 a �; B = � 2 7� � � � � b 6 5 6 � � � � Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.
Matrices EJERCICIOS 01. Escribe una matriz 3x1 tal que aij = i2 - j 02. Escribe una matriz 3x3 tal que aij = 2i - 3j 03. Escribe una matriz 4x3 tal que
ai j
� i + j ; si i > j � = � i - j ; si i � j �
04. Dadas las matrices: A = (aij)2x2 / aij = i - 2j
� y-x B= � �0
x - 3y � � -2 �
Determina los valores de x e y, si A = B 13
Matrices CLASES DE MATRICES
Atendiendo a la forma: Matriz fila
Tiene una fila
y n columnas
Ejemplo: F = � 1 2 3 4� � �
Matriz de 1x4
Matriz
columna
Tiene m filas
y una columna Ejemplo:
� 1� �� C = � 2� � 3� � �
Matriz de 3x1
Matriz
cuadrada
Tiene el mismo
Matriz
rectangular
Tiene distinto
número de filas
número de filas
y columnas
y columnas
Ejemplo:
� 1 2 3� � � A = � 4 5 6� � 7 8 9 � � �
Matriz de 3x3
Ejemplo:
� 1 2� � � B = � 3 4� � 5 6� � �
Matriz de 3x2
Matrices CLASES DE MATRICES
Atendiendo a los elementos: Matriz
Matriz
Matriz
Matriz
nula
diagonal Todos los
escalar
Matriz diagonal en
unidad
Matriz escalar en
elementos iguales
elementos que no
la que todos los
la que todos los
diagonal principal Ejemplo: son iguales.
diagonal principal Ejemplo: son 1.
Tiene todos sus a cero.
Ejemplo:
� 0 0 0� N = � � 0 0 0 � �
están en la
diagonal principal Ejemplo: son 0.
� 1 0 0� � � D = � 0 6 0� � � 0 0 3 � �
elementos de la
� 3 0 0� � � E = � 0 3 0� � � 0 0 3 � �
elementos de la
� 1 0 0� � � I3 = � 0 1 0� � 0 0 1� � �
Matrices CLASES DE MATRICES
Atendiendo a los elementos: Matriz triangular
Matriz cuadrada en la que
todos los elementos situados
por debajo (o por encima) de la
Ejemplos: diagonal principal son cero.
� � 1 2 3� 1 0 0� � � � � A = � 0 6 4 �; B = � 2 6 0� � � 0 0 5� 3 4 5� � � � �
Matrices TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Se llama traspuesta de A, y se representa por AT, a aquella matriz construida a partir de la matriz A intercambiando sus filas por sus respectivas columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de AT, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.
Si : A = � aij � � A T = � a ji � �� � � mxn nxm Así por ejemplo:
� 2 - 1� � � A = � 3 5 � � � 7 4 � �
su transpuesta será: A
T
�2 = � � -1 �
3 5
7� � 4� �
Matrices EJERCICIOS 05. Determina las transpuestas de las siguientes matrices:
� � -2 3 � 1 3 0� A = � �; B = � � 1 0 9 2 1 � � � � 06. Dada la matriz cuadrada de orden 3 tal que a ij = 3i – 2j. Encuentra su transpuesta.
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Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Adición y/o sustracción de matrices La suma (diferencia) de dos matrices A = (a ij), B =(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S = (s ij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij = aij ± bij Así por ejemplo: Halla A + B y A – B dadas las matrices:
� � 1 2 -3 � -3 2 5 � A = � �; B = � � � � � � 0 2 1 1 3 4 � � � �
Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Adición y/o sustracción de matrices
� 1 + ( -3) 2 + 2 -3 + 5 � A+B= � � � � 0 + ( 1) 2 + 3 1 + 4 � �
� -2 4 2 � A+B= � � � � 1 5 5 � �
� 1 - ( -3) 2 - 2 -3 - 5 � A-B= � � � � 0 ( 1) 2 3 1 4 � �
� 4 0 -8 � A-B= � � � � 1 1 3 � �
Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades de la suma de matrices P1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) P2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) P3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) P4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Producto de un número por una matriz El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir: bij = k·aij Así por ejemplo: Efectúa 3A, si A es:
� 2 -1 0 � A = � � � � 3 4 5 � �
Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Producto de un número por una matriz
( ) ( ) ( ) ( )
� 3 2 3 -1 2 -1 0 � � 3A = 3 � �= � � � -3 4 5 � 3 -3 3 4 � � � � 6 -3 0 � 3A = � � � -9 12 15 � � �
( ) ( )
3 0 � � 3 5 � �
Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades del producto de una matriz por un número P1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva) P2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva) P3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa) P4. 1·A = A (elemento unidad) P5. Si A + C = B + C → A = B.
Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Producto de dos matrices Para multiplicar dos matrices, el nĂşmero de columnas de la primera matriz debe ser igual al nĂşmero de filas de la segunda. El producto es otra matriz que se obtiene multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz.
Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Producto de dos matrices Ejemplo: � -3 0 4 � 1 2� � Calcula A.B, si: A = � � �y B = � 5 2 3 � � Solución: � � -3 � � � 1 2� . � �= 1 -3 + 2 5 = 7 � � � �5 � � �0 � -3 0 4 � � � � � � � A.B = � 1 2� .� 1 2� . � �= 1 0 + 2 -2 = -4 �= � � 5 -2 3 � � -2 � � � � � 4� � � �1 2 . � �= 1 4 + 2 3 = 10 � �3 � �� � � A.B = � 7 4 10 � �
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades del producto de matrices P1. A·(B·C) = (A·B)·C P2. El producto de matrices en general no es conmutativo. P3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A P4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = I n. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 . 5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
Matrices EJERCICIOS 07. Dadas las matrices:
� � � 2x - 1 y � 5 - y 2 - x� y x� A = � �; B = � �; C = � � 3 y 2 x + 1 2 3 4 � � � � � �
Determina la suma de los elementos de la matriz A + C, si A = B. 08. Sean las matrices:
� � � 2 5� 5 -9� 1 0� A = � �; B = � �; I2 = � � 4 1 7 4 0 1 � � � � � �
Halla las matrices: i. A + B ii. 3A – 2B iii. A + 2B – 3I 28
Matrices TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Dada la matriz cuadrada A, la traza de dicha matriz se denota así: Traz(A) y se define como la suma de todos los elementos de la diagonal principal. n
( ) �a
Traz A =
i =1
ii
= a11 + a22 + ................ + ann
� 2 5 � A = 3 7 Ejemplo: Calcula Traz(A) si: � � 4 8 �
8� � 0� 2� �
De acuerdo a lo expuesto en la teoría tenemos: Traz(A) = 2 + 7 + 2 Traz(A) = 11
Matrices TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Propiedades de la traza P1. Traz (A + B) = Traz (A) + Traz (B) P2. Traz (k.A) = k.Traz (A) P3. Traz (A.B) = Traz (B.A)
Matrices � -2 3 -1 � � � 01. Dada la matriz: A = �0 -2 4 � � � 3 0 5 � � EJERCICIOS
Calcula el valor de E = a12 + a212 + a33 02. Calcula el valor de P = 4x + 2y – z, si:
� �3y 6y � 2x - 1 3 � A = � �; B = � ��A = B -1 � -2 z -1 � � 4 �
03. Calcula la traza de C, si:
�1 4 � �3 2 � A = � �; B = � ��C = 2A + 3B -2 5 � -2 1 � � �
Matrices EJERCICIOS
� 3 2� � � 1 4� 04. Dada la matriz: A = � � � 7 6 � � Determina 2AT 05. Calcula el valor de M = a + b + c, si:
�7 c - 1 b + 7� � � A = � a-3 6 a + 4� � � b + 2 c 1 7 � �
A es una matriz triangular superior.
Determinante s CONTENIDO
1. ¿CÓMO SURGIERON? 2. DEFINICIÓN 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES
• • •
Orden 1 Orden 2 Orden 3
4. CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES 5. SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER 6. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO DETERMINANTES
33
Determinante CÓMO SURGIÓ?
La noción de determinante surgió primero en Japón en 1 863, cuando el matemático japonés Takakasu Seki Kôwa (1 642 – 1 708) los utilizó para una construir una resolvente de un sistema de ecuaciones polinómicas. Por la misma época, en Europa Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 646 – 1 716) logró varios resultados acerca de los determinantes y estableció una regla análoga al método que posteriormente desarrolló Gabriel Cramer (1 704 – 1 752). Sin embargo el término determinante lo introdujo Karl F. Gauss solo hasta 1 801 y su famoso método de eliminación apareció en uno de sus trabajos relacionados con la órbita del asteroide Pallas.
Determinante CÓMO SURGIÓ?
La forma de expresar los determinantes, tal y como la conocemos hoy en día, se la debemos a Cauchy, que hacia 1 812, expresó los términos de los determinantes con doble subíndice. Sheldon Axler en su polémico artículo, de 1 995, titulado ¡Abajo los determinantes! los define como el producto de sus valores propios (contando multiplicidades)
Determinante DEFINICIÓN
El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada, nos proporciona un número real. Su notación es la siguiente:
( )
Det A = A CÁLCULO DE DETERMINANTES
Determinante de una matriz de orden 1 a11 � Sea A una matriz de orden uno, es decir A = � � �su determinante se denota así:
( )
Det A = a11 = a11
Determinante CÁLCULO DE DETERMINANTES
Determinante de una matriz de orden 2 Sea A una matriz de orden dos, su determinante se define como la diferencia del producto de los elementos de la diagonal principal con el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Esto es:
� a11 Si A = � a21 �
a12 � a11 �� Det A = a22 � a21
a12 a22
( )
= a11 .a22 - a21 .a12
Ejemplo � -5 Si A = � �7
2� � 9�
-5 Det A = 7
( )
2 = -5 . 9 - 7 . 2 = -59 9
(
) ( ) ( ) ( )
Determinante CÁLCULO DE DETERMINANTES
Determinante de una matriz de orden 3 El determinante de orden 3 se obtiene por la llamada regla de SARRUS. Consiste en repetir las dos primeras columnas a continuación de la matriz, sumar los productos de las diagonales principales y restar los productos de las diagonales Secundarias.
� a11 � Si A = � a21 � a31 �
( ) (
a12 a22 a32
a13 � a11 � a23 �� Det A = a21 a33 � a31 �
( )
) (
a12 a22 a32
a13 a11 a23 a21 a33 a31
a12 a22 a32
Det A = a11 .a22 .a33 + a12 .a23 .a31 + a13 .a21 .a32 - a31 .a22 .a13 + a32 .a23 .a11 + a33 .a21 .a12
)
Determinante CÁLCULO DE DETERMINANTES
Ejemplo �1 2 3 � � � Si A = � -1 0 4 � � � 2 1 5 � �
1 2 3 1 2 3 1 2 Det A = -1 0 4 = -1 0 4 -1 0 -2 1 5 -2 1 5 -2 1
( )
( ) ( ( 1.0.5 ) + ( 2.4. - 2 ) + ( 3. - 1.1 ) ) - ( ( -2.0.3) + ( 1.4.1 ) + ( 5. - 1.2 ) )
Det A =
( ) (
) (
Det A = 0 - 16 - 3 - 0 + 4 - 10
( ) (
) ( )
Det A = -19 - -6
( )
Det A = -13
)
Determinante PROPIEDADES
P1. P2. P3. P4. P5.
Determinante CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido antihorario, tiene como coordenadas : A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3), ……… An(xn; yn). Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, se puede calcular mediante la expresión:
x1 x2
1 .... S = 2 .... xn
y1 y2
....
.... yn
Llamada también formula determinante de Gauss
Determinante CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES
Ejemplo Halla el área del triángulo cuyos vértices son: (-3; -2), (7; 2), (1; 6) Solución: Hacemos un gráfico aproximado:
Determinante CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES Solución: Elejimos como primer vértice al par ordenado (x1; y1) = (-3; -2) Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido anti horario serán: (x2; y2) = (7; 2) (x3; y3) = (1; 6) Reemplazando estos valores:
:
-3 - 2 1 S = 7 2 2 1 6
S=
1� 34 - -30 � = 32 � � 2
(
) (
)
Determinante SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER
Esta regla permite resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante determinantes. Resuelve sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
� ax1 + by1 + cz1 = d1 � ax2 + by2 + cz 2 = d2 � � ax3 + by3 + cz 3 = d3 �
Con los coeficientes y términos independientes formamos matrices y calculamos sus determinantes.
Determinante SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER
� ax1 + by1 + cz1 = d1 � ax2 + by2 + cz 2 = d2 � � ax3 + by3 + cz3 = d3 � Determinante principal
a1 D = a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
Determinante de x
Dx
d1 = d2 d3
b1 b2 b3
Determinante de y
c1 a1 c2 Dy = a2 c3 a3
El valor de cada incógnita es:
x =
d1 d2 d3
Dx D
Determinante de z
c1 a1 c2 Dy = a2 c3 a3
y=
Dy D
b1 b2 b3
z =
d1 d2 d3
Dz D
Determinante SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER
Ejemplo Halla el conjunto solución del sistema:
� 3x - y + z = 7 � x + 3y - 2 z = 0 � � 2 x + 2y - z = 2 �
Solución: Hallamos el determinante principal del sistema: 3 -1
D = 1 2
3 2
1
-2 -1
= 2
Hallamos el determinante de cada una de las incógnitas: 7 -1
Dx = 0 2
3
2
1
=5
-2
-1
x =
5 2
3 7
1
2 2
-1
Dy = 1
0 -2
y=
= -7 -7 2
3 -1 7
Dz = 1
2
3
2
0
2
= -8
z = -4
Determinante PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO DETERMINANTES
Ejemplo Determina el año en que murió el notable matemático Johann Carl Friedrich Gauss, si se da como dato que la primera cifra es 1 y que en las tres restantes se cumple: cinco veces la cifra de las unidades, más diez veces la cifra de las decenas, menos cinco veces la de las centenas es 35. La cifra de las unidades, menos la cifra de las decenas, más cinco veces la de las centenas, es igual a 40. Además, el doble de la cifra de las centenas, menos la de las unidades, más el doble de la de las decenas, es 21.