Metodos Cuantitativos by Tania Fuentes

UNIVERSIDAD RICARDO PALMA

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Escuela Académico Profesional de Administración de Negocios Globales

MÉTODOS CUANTITATIVOS

GUÍA DE APRENDIZAJE N° 8 EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE y TRANSBORDO

MÉTODO DE ESQUINA NOR OESTE MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO MÉTODO DE VOGEL MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE RUSSELL ING. JORGE CÁCERES TRIGOSO 2009 MÉTODOS CUANTITATIVOS

CICLO: 2009-1

ING. JORGE CACERES TRIGOSO

EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE OBJETIVO: El objetivo del modelo de transporte es determinar el mejor patrón de embarque desde varios puntos de suministros. Si (fuentes) a varios puntos de demanda dj (destinos), a fin de reducir los costos de transporte. Generalmente, existe una capacidad determinada de bienes para cada fuente y también, un requerimiento de bienes para cada destino. Cada empresa con una red de abasto y puntos de demanda se encara con éste problema. Para reducir éste tipo de problemas se han desarrollado algoritmos de propósitos especiales, mas específicos, para la aplicación del transporte, éste modelo se aplica de igual manera que el método de programación lineal, primero encuentra una solución factible inicial, y luego hace un mejoramiento paso a paso hasta que se alcanza una solución óptima. Contrariamente el método simplex de programación lineal, el método de transporte es relativamente fácil de calcular. PROPÓSITO: El propósito del método de transporte es encontrar los medios menos costosos para embarcar abastos desde varios orígenes hacia varios destinos. Los puntos de origen (fuentes) pueden ser fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarcan los bienes. Los destinos son cualquiera de los puntos que reciben bienes. Para utilizar el modelo de transporte, es necesario tener: 1) Los puntos de origen y la capacidad de abasto por período, para cada uno. 2) Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno. 3) El costo de embarque por unidad desde cada origen hacia cada destino y 4) Establecer una matriz de transporte, la cual tiene como propósitos: es el de resumir en forma conveniente y concisa todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo. Matriz de Transporte DESTINO ORIGEN 1 2 ... M DEMANDA dj (REQUERIMIENTOS)

COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA 1 C11 C21 ... Cm1

2 C12 C22 ... Cm2

3 C13 C23 ... Cm3

... ... ... ... ...

n C1n C2n ... Cmn

...

RECURSO O SUMINISTRO S1 S2 ... Sm ∑Si ∑dj

Para aplicar cualquier método de transporte , es necesario equilibrar la matriz de transporte, es decir, cuando la capacidad de suministro es diferente a la capacidad de requerimientos. CARACTERÍSTICAS: El problema general de transportación se refiere (literal ó figuradamente) a la distribución de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de abastecimiento, llamados orígenes, a cualquier grupo de centros de recepción llamados destinos, de tal manera que se minimicen los costos totales de distribución.

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3 Sea Z el costo total de distribución y Xij (i = 1, 2, ... m, y j = 1, 2, ... n ) el número de unidades que se distribuyen del origen i al destino j, la formulación de programación lineal para este problema es: m Min Z =

∑

i=1

Cij Xij Función Objetivo

j=1

Sujeta a las Restricciones m

∑ Xij = Si ; para i = 1, 2, ..., m i=1

∑ Xij = dj ; para j = 1, 2, ..., n j=1

X ij >= 0; para todo i y j Donde: Z = Costos. Cij = Contribución por unidad. Xij = Número de unidades enviadas del origen i al destino j. Si = Suministro desde el origen i. dj = Requerimiento del destino j. OFERTA Capacidad de Suministro

DEMANDA Requerimiento de Suministro O1

C11

D1 C12

C1n

C13

D2 C2n

O3 D3 C3n

Om Cmn

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MODELO GENERAL DE PROGRAMACION LINEAL El modelo matemático general de un problema de transporte a ser solucionado por el método simplex es el siguiente: Sea Xij = Cantidad de producto a transportar entre el origen i y el destino j F.O. MIN Z = c11X11+c12X12+c13X13+.....+c1nX1n+c21X21+c22X22+c23X23+...... +c2nX2n+......+cm1Xm1+cm2Xm2+cm3Xm3+........+cmnXmn Sujeto a: X11 + X12 + X13 +.....+ X1n ≤ a1 X21 + X22 + X23 +.....+ X2n ≤ a2 X31 + X32 + X33 +.....+ X3n ≤ a3

Capacidad de suministros

..................................................................................... .....................................................................................

Xm1 + Xm2 + Xm3 +.....+ Xmn ≤ am X11 + X21 + X31 +.....+ Xm1 = b1 X12 + X22 + X32 +.....+ Xm2 = b2 X13 + X23 + X33 +.....+ Xm3 = b3

Satisfacción de la Demanda

..................................................................................... ......................................................................................

X1n + X2n + X3n +.....+ Xmn = bn

EL ALGORITMO DE TRANSPORTE El algoritmo de transporte permite solucionar problemas de transporte mediante un procedimiento de cálculo tabular que comprende básicamente las siguientes acciones:

Premisa básica El algoritmo asume que todo problema de transporte a ser solucionado por este método está debidamente balanceado; es decir la OFERTA total es igual a la DEMANDA total: m

i =1

j =1

∑ ai = ∑b j Si la oferta total es mayor que la demanda total, para balancear el problema se debe crear un destino artificial D(n+1) con demanda también artificial e igual a la diferencia entre la oferta total y la demanda total y con costos de transporte nulos para el abastecimiento desde cualquiera de los orígenes hacia este destino artificial. m

i =1

j =1

b( n +1) = ∑ a i − ∑ b j ;

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C i ( n +1) = 0 ∀i

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5 Si por el contrario, la oferta total es menor que la demanda total, para balancear el problema se debe crear un origen artificial O(m+1) con oferta o capacidad de suministro también artificial e igual a la diferencia entre la demanda total y la oferta total y con costos de transporte nulos para el abastecimiento hacia cualquiera de los destinos. n

j =1

i =1

a ( m +1) = ∑ b j − ∑ a i ;

C ( m +1) j =0 ∀j

Tabla de asignación para el transporte Una vez balanceado el problema se debe construir una tabla de asignación para el transporte que tiene la siguiente forma general (Ej. 3 orígenes y 4 destinos): X11

X12 C11

X21

X13 C12

X22 C21

X31

X23 C22

X32 C31

X24

X33

a1 C14

C23

C32

X14 C13

a2 C24

X34 C33

u1 u2 a3

C34

En esta tabla : Xij = Cantidad de producto a transportar desde el origen i al destino j. Cij = Costo unitario de transporte desde el origen i al destino j. bj = Cantidad de producto demandada por el destino j. ai = Capacidad de suministro (disponibilidad) del origen i. ui = Multiplicador dual asociado al origen i. vj = Multiplicador dual asociado al destino j. Generación de una primera solución factible Para encontrar una primera solución factible para el problema de transporte se puede usar cualquiera de los siguientes tres métodos: Método de la Esquina Nor-Oeste Es un método sistemático, el cual es necesario principiar el cuadro superior izquierdo (ó esquina noroeste de la matriz de transportación equilibrada) y asignar unidades a las rutas de embarque, entendiéndose que éste método no da la mejor solución. •

Por ejemplo: Cuando la capacidad de suministro es menor a la capacidad de requerimientos. ∑Si < ∑dj, entonces debe crearse un origen ficticio Sm+1, con

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6 capacidad equivalente a la diferencia de ∑dj - ∑Si, cuyos costos de embarque Cij son de cero unidad. Y cuando la capacidad de suministro sea mayor a la capacidad de requerimientos ∑Si > ∑dj; entonces debe crearse un destino ficticio dn+1, con capacidad equivalente a la diferencia de ∑Si - ∑dj, cuyos costos de embarque Cij, deben ser de cero unidad.

Procedimiento de cálculo (Método Esquina Noroeste) 1) Estructurar la matriz de transportación equilibrada (∑Si = ∑dj). 2) Iniciar envíos en la esquina noroeste (superior izquierda de la matriz). 3) Terminar el abasto (capacidad del origen) de cada renglón antes de moverse hacia abajo, al siguiente renglón. 4) Terminar los requerimientos (destinos) de cada columna antes de moverse a la siguiente columna, hacia la derecha. 5) Verificar que todos los abastos y las demandas se hayan cumplido. m n 6) Calcular el valor de Z, empleando la ecuación Min Z = ∑ ∑ Cij Xij i=1 j=1

7) Hacer un reporte.

• • • • •

Método del Costo Mínimo Asigne la mayor cantidad posible de producto, que sea consistente con la cantidad ofrecida y la demandada, en el casillero libre donde se encuentra el menor costo de toda la tabla. Actualice los valores de oferta y demanda en la fila y columna del casillero de la última asignación, restando en ambos la cantidad recién asignada. Elimine de futuras asignaciones los casilleros de la fila o columna para la cual el valor de oferta o demanda se anuló (Se hizo igual a cero). Repita los tres pasos anteriores hasta que todos los valores de oferta y demanda se hayan anulado. Para encontrar el valor de la función objetivo que la solución implica, debe efectuarse la sumatoria de los productos Cij*Xij de aquellos Xij mayores que cero (Variables Básicas).

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7 Método de VOGEL Este método provee una solución factible inicial generalmente superior a los anteriores. El método mide la diferencia entre los dos costos menores en cada fila o columna y este indica donde la no asignación al costo menor significa la mayor pérdida (principio de la más grande penalidad) El procedimiento es el siguiente: 1. Calcule a un costado y bajo la tabla, la diferencia entre los dos menores costos de cada fila y cada columna. Si dos costos de esta fila son ambos los mas pequeños la penalidad es cero. La penalidad de la columna j se calcula de una forma similar. 2. Cuando se han calculado todas las penalidades, localice la mayor, ya sea una penalidad de fila o de columna y ahí introducir a la base xij correspondiente a la celda de costo más bajo (i,j) esto es: xij = mín { a, b}. Si ai < bj, hágase bj = bj - ai y elimínese las columnas; esta columna se elimina en el resto del proceso y seguidamente se calcula las penalidades de fila sin considerarla ahora en el cálculo de la columna eliminada. Si ai = bj elimínese la fila i, o la columna j, pero no ambos. 3. Repetir el proceso hasta obtener la solución factible básica inicial. 4. Si dos o más penalidades de fila o columna son iguales en una iteración cualquiera procédase como sigue: a. Ver si el elemento de mínimo costo en una de las filas o columnas igualadas es también el mínimo elemento de costo en su columna o fila. Si existe tal elemento min i, min j cij entre las filas o columnas igualadas, deshacer la relación a favor de tal fila o columna. b. Si no existe ninguna de las filas o columnas igualadas tal elemento mínimo, determínese las penalidades secundarias para estas filas y columnas. La penalidad secundaria para una fila ( o columna) se define como la diferencia entre el segundo elemento de costo más pequeño en esta fila ( o columna) y elemento de costo más pequeño en la columna ( o fila) que contienen dicho segundo elemento. Si hay dos o más elementos de costos del mismo valor que el segundo elemento de costo más pequeño en la fila ( o columna) igualada habrá varias penalidades secundarias a calcular en dicha fila ( o columna). La igualdad entre las penalidades primarias se rompe a favor de la fila o columna con la mayor penalidad secundaria. Si todavía queda alguna igualdad, el método dice que podemos elegir arbitrariamente ya sea la fila o la columna. 5. Repita los cuatro pasos anteriores hasta que todos los valores de oferta y demanda se hayan anulado.

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8 6.

Para encontrar el valor de la función objetivo que la solución implica, debe efectuarse la sumatoria de los productos Cij*Xij de aquellos Xij mayores que cero (Variables Básicas).

MÉTODOS DE TRANSPORTE PARA MINIMIZAR EJEMPLO: Una empresa desea minimizar los costos de embarque, según la matriz mostrada. Resuelva, empleando los métodos: 1) Esquina noroeste 2) El Método del costo mínimo DESTINO 1 ORIGEN A $5 B $6 DEMANDA dj

100

$7 $3

$4 $5

250

100

SUMINISTRO Si 150 300 450 450

Solución 1) Empleando la Esquina Noroeste.

Procedimiento de cálculo 1) Estructurar la matriz de transportación equilibrada (∑Si = ∑dj) En nuestro problema ∑Si = 450 y ∑dj = 450; como (∑Si = ∑dj, no es necesario agregar un origen ni destino ficticio.

Matriz de Transporte Equilibrada

DESTINO 1 ORIGEN 5 A B DEMANDA dj

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2 7 100

150

50 3

5 200

100

SUMINISTRO Si

250

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300

100 100

450 450

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2) Iniciar envíos en la esquina noroeste O

S 3) Terminar el abasto (capacidad del origen) de cada renglón antes de moverse hacia abajo al siguiente renglón. Desde el origen A enviamos 100 unidades al destino 1, como aún queda capacidad de 150 – 100 = 50; entonces el origen A enviará 50 unidades al destino 2, en ese momento, el origen A agota su capacidad, cuando esto ocurre, se mueve hacia abajo, al siguiente renglón, es decir, al origen B, para satisfacer las demandas restantes. Desde el origen B enviamos 200 unidades al destino 2, para satisfacer demanda, quedando capacidad de 300 – 200 = 100; entonces B, envía 100 unidades al destino 3, satisfaciendo su demanda, en ese momento el origen B, agota su capacidad. 4) Cada requerimiento (demanda) se fue satisfaciendo de izquierda a derecha, una a una. 5) Como podemos observar, todos los abastos y las demandas se han cumplido (hasta m n llegar al valor de cero). 6) Calcular valor de Z, empleando la ecuación: Min Z = ∑ ∑ Cij Xij donde Z = Costos i=1 j=1 Z Min = 5 (100) + 7 (50) + 3 (200) + 5 (100 ) = Z Min = 500 + 350 + 600 + 500 = $1950 7) Hacer un reporte: Para que los costos de embarque sean mínimos en un total de $1950, debemos enviar:  100 unidades del origen A, al destino 1, con un costo de $5/unidad = $500  50 unidades del origen A, al destino 2, con un costo de $7/unidad = $350  200 unidades del origen B, al destino 2, con un costo de $3/unidad = $600  100 unidades del origen B, al destino 3, con un costo de $5/unidad = $500 Costo Total = $1950 2) Empleando el método del costo mínimo Procedimiento de cálculo. 1) Estructurar la matriz de transportación equilibrada (∑ Si = ∑dj ) En nuestro problema ∑Si = 450 y ∑dj = 450; como ∑Si = ∑dj; no es necesario agregar ni origen ni destino ficticio.

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Matriz de Transporte Equilibrada DESTINO 1 ORIGEN 5 A B DEMANDA dj

100

250

SUMINISTRO Si 150 300 450

100

450

2) Preparar una nueva matriz de transporte, en este caso vamos a elegir las columnas para removerlas y dejar los renglones en la posición mostrada en la matriz de transporte. Nueva Matriz de Transporte DESTINO 3 ORIGEN 4 A B DEMANDA dj

1 5 100

150

50 6

3 50

100

SUMINISTRO Si

100

250 250

300 450 450

Con la ayuda de la técnica de esquina noroeste, empezamos los envíos, eligiendo el origen A, hasta agotar su capacidad, considerando primero el destino que más prefiere, con el objetivo de minimizar los costos, es por ello que prefiere enviar: al destino 3 primero, es decir, del origen A enviar 100 unidades al destino 3, satisfaciendo así su demanda, como aún le queda capacidad de 150 – 100 = 50, ahora elige al destino más barato de los que quedan, es decir, elige al destino A, entonces el origen A envía 50 unidades al destino 1, en ese momento agota su capacidad, entonces pasamos al renglón dos, para seguir satisfaciendo las demandas restantes, con el mismo criterio de seguir prefiriendo los destinos más económicos, es decir, del origen B, enviar 50 unidades al destino 1, satisfaciendo su demanda, quedando con capacidad des 300 – 50 = 250; por lo tanto, el origen B enviará 250 unidades al destino2, satisfaciendo su demanda y en ese momento agota su capacidad 3) Como podemos observar todos los abastos y demandas se han cumplido (hasta llegar a valor cero) m n 4) Calcular el valor de Z, empleando la ecuación: Min Z = ∑ ∑ i=1 j=1 Z Min = 4 (100) + 5 (50) + 6 (50) + 3 (250) Z Min = 400 + 250 + 300 750 Z Min = $1700 MÉTODOS CUANTITATIVOS

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Cij Xij

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5) Hacer un reporte: Para minimizar los costos de envíos en un total de $1700, debemos enviar:  Del origen A, 100 unidades al destino 3, con un costo de $4/unidad = $400  Del origen A, 50 unidades al destino 1, con un costo de $5/unidad = $250  Del origen B, 50 unidades al destino 1, con un costo de $6/unidad = $300  Del origen B, 250 unidades al destino 2, con un costo de $3/unidad = $750 Costo Total = 1700

Ejemplo del método de Vogel Una compañía tiene fábricas en A, B, y C, las cuales proveen a los almacenes que están en D, E, F, y G. Las capacidades mensuales de las fábricas son 70, 90 y 115 unidades, respectivamente. Y de los almacenes son respectivamente: 50,60,70 y 95 unidades. Los costos unitarios de embarque son los siguientes: Destino Origen A B C

17 15 15

20 21 14

13 26 15

12 25 17

Determinar una solución básica factible utilizando el método de Vogel. D1 O1

aj 70

115

P* 1

Observamos que existen dos penalidades iguales de la fila 2 y columna 2, para seguir adelante recurrimos al paso 4(a), de acuerdo a esto elegimos la columna (2) que contiene el menor costo (14), luego introducimos la base: x32 = mín. {115, 60}= 60 a3 = a3 – b2 = 115-60= 55

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12 Se elimina la columna 2

: P* → Penalidad

Las nuevas penalidades son: D1 O1

aj 70

115

P* 1

Como 10 es la mayor penalidad y está en la fila 2, buscamos en esta fila el menor costo que es (15), luego introducimos a la base: X21 = mín. {90, 50} = 50 a2 = a2 – b1= 90-50 = 40 Las nuevas penalidades son: D1

D4 12

aj 70

P* 1

50 O3

15 20

bj P*

95 95

Como 5 es la mayor penalidad y está en la columna 4 buscamos en esta columna el menor costo (12), luego introducimos a la base: X14 = mín. {70, 95} = 70 b4 = b4– a1= 95-70 =25 Se elimina la fila (1). Las nuevas penalidades son:

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13 D1

115

aj 70

115

O1 O2

26 50

15 20

bj P*

95 95

En la columna 3 se tiene: x33 = min { 55, 70 }= 55 b3 = b3 – a3 = 70-55 = 25 Se elimina la fila 3 y finalmente se tiene: X23 = min { 40, 15 }= 15 a2 = a2 – b3 = 40-15 = 25 Se elimina la columna 3: X24 = min { 25,25 }= 25 Quedando la solución como: D1 O1

D2 20

D3 13

D4 12 70

50 O3

15 60

bj P*

MÉTODOS CUANTITATIVOS

25 17

55 70

95 11

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14 El costo de esta solución es: Costo = 12 x70 + 15 x 20 + 26x 15 + 14 x 60 + 15x 55 = 4270 Costo = S/. 4 270. Ejemplo En el siguiente ejemplo encontrar la solución básica inicial utilizando el método Vogel: D1

aj 100

200

300

160

100

260

Solución: D1

aj 100

200

300

bj P*

160 1

100 1

P* 1

260 1

La máxima penalidad es 2 que corresponde a la fila 2, en esta fila buscamos el menor costo que es (1), luego introducimos a la base: x22 = min { 200, 160} = 160 a2 = a2 – b2 = 200 – 160 = 40 Se elimina la columna 2

MÉTODOS CUANTITATIVOS

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Cálculo de las nuevas penalidades: D1

D3 3

aj 100

P* 1

300

bj P* Ps

80 1 0

100 1 1

Ps 0

260 0

Observamos que existen cuatro penalidades iguales (1) para seguir adelante recurrimos al paso 4(a); vemos que no existe elemento de mínimo costo de las filas y columnas igualadas sino que son iguales ( para nuestro caso es 2). P ---------- Penalidad secundaria (Ps) Entonces recurrimos al paso (4b) para calcular penalidades secundarias. Aplicando el procedimiento descrito en (4b), calculamos las penalidades secundarias solamente para las filas y columnas igualadas tal como se muestra en el tablero anterior. Observamos que persiste el empate, el método dice que podemos elegir arbitrariamente ya sea la fila o la columna, elegimos la columna 3 y aquí buscamos el elemento de menor costo, luego introducimos en la base: X13 = min { 100,100} = 160 a1 = a1 – b3 = 100 – 100 = 0 Se elimina la columna 3. Cálculo de las nuevas penalidades:

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D1 O1

aj 0

300

bj P*

80 1

P* 1

260 0

En la fila 3 se tiene: X31 = min { 300,80} = 80 a3 = a3 – b1 = 300 – 80 = 220 Se elimina la columna 1, finalmente: X24 = min { 40, 260} = 40 b4 = b4 – a2 = 260 - 40 = 220 Se elimina la fila 2 y : X34 = min { 220, 220} = 220 Quedando la solución como: D1

aj 100

200 40

160 O3

80 bj

300

5 220

160

100

260

Costo = 2 x 100 + 1 x 160 + 2 x 80 + 5 x 220 = S/. 1740 . MÉTODOS CUANTITATIVOS

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3) Método de Rusell Este método proporciona otro criterio excelente y fácil de llevarlo a la práctica en un ordenador pero no para la forma manual, debido a que es necesario realizar numerosos cálculos del índice gij=cij –ui –vj. Todavía se necesita más experimentación para determinar cual es más eficiente en promedio (respecto al método de Vogel), pero con frecuencia este criterio ha proporcionado una solución mejor. En un problema grande, quizás pueda ser interesante aplicar ambos criterios y posteriormente utilizar la mejor solución que se obtenga para iniciar las iteraciones que permitan obtener la solución óptima.

El procedimiento es el siguiente: 1. Calcúlense las cantidades ui(i=1,…..,m) y vj( j=1,…..,n) sabiendo que: Ui= Max ( Cij) y vj = Máx ( cij) 2. Encuéntrese la mejor variable xij, para formar una base usando los estimadores econtrados en (1) de acuerdo con el criterio de Dantazing; esto es: Xij= Máx (ij) [ ( ui+vj- Cij) > 0] 3. Introducimos a la base: Xij = Mín ( ai, bi) . Si ai < bi hágase: Bj= bj-ai. Se limina la fila i Si bi < ai hágase ai = ai – bi Si ai = bj elimínese

se elimina la columna j

la fila i o la columna j.

4. Se termina el método si todos los ai y bj son cero, si no es así debe repetir el proceso desde 1.

Ejemplo de aplicación Una compañía tiene fábricas en A, B, y C, las cuales proveen a los almacenes que están en D, E, F, y G. Las capacidades mensuales de las fábricas son 70, 90 y 115 unidades, respectivamente. Y de los almacenes son respectivamente: 50,60,70 y 95 unidades. Los costos unitarios de embarque son los siguientes:

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Destino Origen A B C

17 15 15

20 21 14

13 26 15

12 25 17

Determinar una solución básica factible utilizando el método de Russel. Solución: Calculando las cantidades u1 y v1 se tiene: O1

D1 17

D2 20

D3 13

D4 12

bj vj

50 17

60 21

70 26

95 25

2.-

bj vj

115

Calculando ( (ui+vj- cij) 20 28 19 50 17

21 26 24 60 21

33 26 28 70 26

33 26 25 95 25

ai 70 90 115

ui 20 26 17

Encontrando la mejor variable xij para formar una base utilizando Xij = Máx ( i,j) [(u1+vj-c1)>0] Ubicamos la celda (1,3) y (1,4); escogemos (1,4) (y marcamos con un asterisco esta celda) 3. Introducimos a la base: X14= Mín ( 70,95) =70 B4= b4-a1 = 95-70= 25

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Se elimina la fila 1 Repetimos el proceso desde 1, sin considerar la fila 1.

bj vj

28 19 50 15

26 24 60 21

26 28 70 26

26 25 95 25

ai 0 90 115

ai 0 90 45

26 17

Introducimos en la base: X33 = mín (115, 70) = 70 a33= a3 – v3 = 115 – 70 = 45 se elimina la columna 3. Repetimos el proceso:

bj vj

25 17 50 15

26 24 60 21

25 25 25 25

25 17

Si existiese varios ( ui + vj – Cij) iguales escogemos la celda que tenga el costo más pequeño si estos costos son también iguales, elegimos arbitrariamente cualquiera de ellos luego introducimos en la base: X21 = mín (90, 50) = 50 A2 = a2 – b1 = 90 – 50 = 40 Se elimina la columna 1 Repetimos el proceso:

bj vj

25 24 60 21

25 25 25 25

ai 0 40 45

ui 25 17

Introducimos en la base:

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20 X34 = mín (45,25) = 25 a3 = a3 – b4 = 45 – 25 = 20. Se elimina la columna 4 Finalmente: X22 = min ( 40,60) = 40 b2 = b2 – a2 = 60-40 = 20 se elimina la fila 2 y x32 = min ( 20,20) =20 La solución por lo tanto es: O1

D1 17

D2 20

D3 13

D4 12

ai 70

70 90

115

bj 50

El costo por lo tanto es: Costo= 12 x70 + 15 x50 + 21x40 + 14x 20 + 15x 70 + 17x 25 = 4,185 soles

CASO DEL PROBLEMA DE TRANSBORDO Dado un problema de transbordo, se sugiere el siguiente procedimiento para convertirlo a un problema de transporte. Primero, se clasifican los nodos en las siguientes categorías mutuamente excluyentes. a) Origen puro: un nodo en el sólo se envía. b) Destino puro: un nodo que sólo recibe. c) Nodo de transbordo: un nodo que puede enviar y recibir. La tabla de transporte se construye como sigue: Los orígenes son los orígenes puros y los nodos de transbordo. La disponibilidad (oferta) en cada nodo de transbordo i se reemplaza por ai + B, en donde ai es el máximo entre cero y la salida neta del nodo i y B es el surtido artificial (o de colchón) que se especificara después. MÉTODOS CUANTITATIVOS

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21 Los destinos son los destinos puros y los nodos de transbordo. El requerimiento o demanda de un nodo de transbordo i es bi +B, en donde bi es el máximo entre cero y la entrada neta en el nodo i. Si no hay comunicación directa del nodo i al nodo j, entonces cij es igual a M, donde M es un número positivo grande. Asimismo, cii = 0 para los nodos de transbordos. Finalmente, B es un número positivo grande, como: B = ∑i ai Ejemplo: Una empresa tiene 3 fabricas que producen un producto, la primera fabrica produce 1000 unidades, la segunda fabrica produce 1500 unidades y la fabrica tres produce 1200 unidades. Estos producto pasa por dos centros de distribución los costos de transporte de las fabricas a los centros se dan en la tabla Nº1 y de los centros de distribución se reparte los productos a 4 centros de consumo; los costos de transporte y las demanda de los centros de consumo se dan en la tabla Nº 2 Resolver el problema como un modelo de trasbordo e indicar su solución optima. El objetivo es minimizar los costos de transporte. Tabla Nº 1

Fabrica 1 2 3

Centro de distribución 1 2 8 10 10 9 8 7

Tabla Nº 2 Centro de distribución 1 2 Demanda

Centro de consumo 1 2 5 4 4 3 800 1250

3 5 3 1000

4 4 4 650

Luego el tablero de transporte queda de la siguiente manera: a) Nodos origen 1:fabrica 1, 2: fabrica 2, 3: fabrica 3, 4: centro de distribución 1, 5: centro de distribución 2. b) Nodos destinos 4: centro de distribución 1, 5: centro de distribución 2, 6: centro de consumo 1, 7: centro de consumo 2, 8: centro de consumo 3 y 9: centro de consumo 4 1 2 3 4 5

4 8 10 8 0

MÉTODOS CUANTITATIVOS

5 10 9 7 0

5 4

4 3

5 3

4 4

CICLO: 2009-1

Oferta 1000 1500 1200 3700 3700

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22 Demanda

3700

800

1000

1250

650

Las celdas que están sombreadas su costo es M (un costo muy alto)

1 2 3 4 5 Demanda

4 8 10 8 0 M 3700

5 10 9 7 M 0 3700

6 M M M 5 4 800

7 M M M 4 3 1000

8 M M M 5 3 1250

9 M M M 4 4 650

Oferta 1000 1500 1200 3700 3700

La solución por el método de Vogel se muestra en el siguiente tablero

MÉTODOS CUANTITATIVOS

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Interpretación: La fabrica 1 envía 1000 unidades al centro de distribución1, la fabrica 2 envía 1500 unidades al centro de distribución 2 y la fabrica 3 envía 1200 unidades al centro de distribución 2. Del centro de distribución 1 se envía 350 al centro de consumo 2 y 650 al centro de consumo 4 y del centro de distribución 2 se envía 800 al centro de consumo 1, 650 al centro de consumo 2 y 1250 al centro de consumo 3. Y esto genera un costo mínimo de 4,800 Dólares. EJEMPLO N° 2 La compañía X puede producir su principal artículo en dos departamentos diferentes. Cada departamento puede enviar lo producido al centro de control de calidad final A o al centro de control de calidad final B, desde los cuales se remite a cualquiera de las cuatro líneas del empaque y envío de que dispone la empresa. El departamento 1 tiene capacidad para producir 80 unidades por hora y el departamento 2 para producir máximo 60 unidades por hora. Según las demandas esperadas, se ha programado que las líneas de empaque atiendan al menos las siguientes cantidades por hora: 30, 20, 40, 40 respectivamente.

MÉTODOS CUANTITATIVOS

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24 La siguiente tabla muestra los tiempos promedio (minutos) que se gasta en los diferentes movimientos de cada unidad del producto. DEPARTAMENTO P1 10 9

P2 12 11

CONTROL DE CALIDAD C1 C2

LINEA DE EMPAQUE Y ENVIO L1 L2 L3 L4 24 22 19 23 20 23

El centro 1 de control de calidad, se demora 4 minutos para revisar un artículo y el centro 2 de control de calidad se demora 6 minutos. ¿Cómo debe organizarse el flujo de las unidades entre los departamentos productivos y las líneas de empaque y envío, pasando por algunos de los centros de control de calidad, de tal forma que se obtenga un mínimo tiempo total de producción?. Construcción del Modelo Para una mejor comprensión del problema elaboremos un diagrama descriptivo en el cual los nodos 1 y 2 representan los departamentos de producción (P1 y P2), los nodos 3 y 4 representan los Centros de Control de Calidad (A, B) y los nodos del 5 al 8 representan las cuatro líneas de empaque (L1 a L4).

Las variables de decisión se definirán como: Xij : unidades enviadas del nodo i al nodo j.

MÉTODOS CUANTITATIVOS

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25 Antes de escribir el modelo debemos aclarar que los valores representados con guión (-) en la tabla indican que entre ese Centro de Control de Calidad y esa línea de empaque no hay envío posible, ya sea por decisiones administrativas o por incomunicación entre ellos.. surge entonces la idea de no incluir esas variables en la función objetivo, pero esto conduciría a tomar como cero el respectivo coeficiente objetivo y como se desea minimizar el costo, lo anterior llevaría a que sea altamente conveniente aumentar el valor de las variables de decisión X36 y X38. Esto obviamente es un error, pues sabemos que esas variables deben valer cero al no existir comunicación entre los nodos. Concluimos rápidamente que por el contrario debemos asignar a esas variables un coeficiente objetivo bien grande para obligar a que valgan cero. El modelo de Programación Lineal será: Minimizar: z= Costo Total = 10X13 + 9X14 + 12X23 + 11X24 + 24X35 + 1000X36 + 22X37 + 1000X38 + 19X45 + 23X46 + 20X47 + 23X48 Sujeta a: Capacidad de producción de cada departamento X13 + X14

Departamento P1

X23 + x24

Departamento P2

Capacidad de Transbordo en cada centro X13 + X23 = X35 + X37 Centro Calidad A X14 + X24 = X45 + X46 + X47 + X48 Centro Calidad B

Demanda mínima en cada línea X35 + X45 X46 X37 + X47 X48 Con Xij

30 20 40 40

0 para todo ij.

SOLUCION: La solución que se obtiene por el método simplex del WINQSB se presenta en el siguiente tablero óptimo, lo cual nos indica que se obtiene un tiempo óptimo de producción de 4,020 minutos.

MÉTODOS CUANTITATIVOS

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CASO DE MAXIMIZACION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE Si EN un problema de transporte en vez de minimizar costos deseamos maximizar eficiencias €, ganancias, relacionadas con el envío de una unidad origen i al destino j, aplicamos el método UV, haciendo una ligera modificación . La modificación requerida consiste en multiplicar todos los valores Cij por - 1, ya que: Max z = Min (- Z)

MÉTODOS CUANTITATIVOS

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Problemas propuestos: 1) Una compañía tiene actualmente un programa de embarques que la administración superior no considera como óptimo. La empresa tiene tres fábricas y cinco bodegas. A continuación se dan datos necesarios en términos de costos de transporte, capacidades de fábrica y requerimientos de bodegas. Empleando los métodos: 1.Esquina noroeste, 2. Vogel y 3. Russell; encontrar el costo mínimo de embarque de la compañía. Matriz de Transportación

FABRICA BODEGA 1 2 3 4 5 SUMINISTRO Si

$5 $8 $6 $6 $3

$4 $7 $7 $6 $5

$8 $4 $6 $6 $4

800

600

DEMANDA dj 400 400 500 400 800 2500 2500

1100

2) Una compañía que renta autos tiene problemas de distribución, debido a que los acuerdos de renta permiten que los autos se entreguen en lugares diferentes a aquellos que originalmente fueron rentados, por el momento, hay dos lugares (orígenes) con 15 y 13 autos de exceso, respectivamente, los costos unitarios de envío entre los lugares se citan en la matriz. La compañía desea minimizar los costos, resuelva empleando los métodos estudiados. Matriz de Transportación

DESTINO ORIGEN A B DEMANDA dj

$45 $14

$17 $18

$21 $19

$30 $31

SUMINISTRO Si 15 13 28 31

3) Una empresa distribuidora desea minimizar los costos de embarque de cada bodega a cada uno de los almacenes. En la matriz se dan los datos de capacidad, demanda y costos. Resuelva empleando los métodos estudiados.

MÉTODOS CUANTITATIVOS

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28 ALMACEN FABRICA A B C DEMANDA dj

$7 $5 $7

$3 $5 $4

$8 $6 $9

$8 $8 $10

150

120

SUMINISTRO Si 100 200 200 600 500

4) Una compañía tiene dos almacenes que surten cinco bodegas de mayoreo. Los almacenes operan al 100% de su capacidad. La compañía planea abrir un tercer almacén para proveer el 50% esperado de aumento en las ventas en cada depósito durante los próximos tres años. La situación actual es: ALMACEN A B

CAPACIDAD DEPOSITO 120 1 160 2 3 4 5

COSTOS DE TRANSPORTE A DE 1 2 A $5 $8 B $3 $4

3 $4 $9

4 $6 $5

DEMANDA 50 100 30 40 60

5 $2 $2

Se están considerando dos localizaciones para el nuevo almacén. Los costos de transporte a cada depósito son los siguientes: DE L1 L2

A 1 $7 $2

2 $5 $8

3 $3 $3

4 $8 $7

5 $2 $2

Suponiendo que los costos de transporte son el único factor, ¿Qué localización debe elegir la compañía para su nuevo almacén? (No olvide el 50% en las ventas), resuelva empleando los métodos estudiados.

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5. El siguiente grafo corresponde a una red de ordenadores en la que los nodos O1 y O2 representan los servidores de correo electrónico de los ordenadores de varias ciudades europeas, T1 y T2 son nodos de distribución intermedios y D1, D2 y D3 representan los servidores de correo que dan servicio a los ordenadores de varias ciudades americanas. Se estima que a O1 llegan 1000 mensajes al día, y 1200 a O2. Sin embargo, D1 solamente puede dar salida a 800 mensajes diarios, D2 a 900, y D3 a 500. Se supone que no hay problemas de capacidad en las líneas que conectan estos nodos, por lo que por cada tramo se pueden transmitir tantos mensajes como sean necesarios. Los números indicados en la red representan el tiempo que tarda en milésimas de segundo la transmisión del mensaje por ese tramo de la red. Modelizar y resolver el problema de programación lineal que permite transmitir los mensajes en el menor tiempo posible.

6. La Ahab Oil Company tiene un solo campo petrolero desde donde envía todo el petróleo, a través de un oleoducto, a uno de dos centros de embarque, en donde se almacena en buques tanque para su envío a refinerías de Estados Unidos. La oferta diaria en el campo es de, 2,000 barriles. Deben considerarse los costos del oleoducto, los costos de embarque y las cantidades de petróleo que pueden enviarse a través de los oleoductos. Los costos del oleoducto y las capacidades diarias de éste, se muestran en la tabla 2.1. En la tabla 2.2 se presentan los costos de embarque de cada estación de embarque a cada refinería y las demandas diarias de las refinerías. Plantear el problema en forma de Red y de Programación Lineal y encontrar la solución utilizando el WinQSB

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Tabla 2.1 Costos y capacidades de los ductos Instalación de envío

Costo por barril

1 2

$0.20 $0.15

Capacidad del oleoducto (en barriles) 1000 500

Tabla 2.2 Costo de transporte y demandas

Número 1 2

Refinería Ubicación Nueva Jersey Houston

Costo de transporte por barril Desde centro 1 Desde centro 2 $0.10 $0.15 $0.20 $0.25

Demanda diaria 600 800

7.- La tienda por departamentos SAGA FALABELLA quiere comprar las siguientes cantidades de vestidos de mujer: Tipo de vestido Cantidad total

A 60

B 25

C 30

Tres diferentes fabricantes someten propuestas para proveer no más de las cantidades que aparecen a continuación ( todos los tipos de vestidos combinados) Fabricante Cantidad total

X 100

Y 15

Z 40

La tienda estima que su ganancia por vestido varía según el fabricante como se muestra en la matriz siguiente: FABRICA / VESTIDO X Y Z

11 12 10

14 13 14

17 18 19

Determinar el plan de adquisiciones más ventajosas para la tienda. La solución factible se encontrará utilizando el winqsb. ********

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