ال َو ْح َد ُة الرابع ُة
١
ا�س ا ْل َه ْن َد َ�ضـــ ُة وا ْلقِ َي ُ
أْ إِذَا تَ َقا َ ط� َع م أْ ان ُس�تَقِ يمَ ِ ان َف� ِإ َّن ُك َّل َز ِاويَتَي ِأْن ُمتَ َقا ِب َلتَي ِأْن ِبال� َّرأ ِس تَ ُكون َ ِ َاس اويَتَي ِأْن فِ ي ا أْلقِ ي ِ ُمتَ َس ِ
()1
∠ (=) ∠(ب )
ب
()2
ات ال َّزوَايَا المتجاورة ا أْل ُمتَجَّ مِ عَ ِة حَ أْو َل ن ُ أْق َ َاس ِ مَجأْ مُو ُع قِ ي َ ط ٍة ي َُس ِاوي °360
∠ ( و ب ) ∠( +ب و ( + )
الدَّ ْر ُ�س الثانى
∠و+)
( ∠ و ° ..... = )
ـــع ال ُم َ�ض َّل ُ
و
ب
ض َل ِع أ َ أْو أ َ أْكث َ ُر تُ َسمَّ ي م َ ُستَ ِوي َُة ا أْلم أُْغ َل َقة ا َّلتِي َلهَ ا ث َ َلث َ ُة أ َ أْ ُض َّلعَ ٌ َال أْش َكا ُل ا أْلهَ نأْد َِسي َُّة ا أْلم أْ ات
ا أْلم َ ُض َّل ُع ا أْلمُحَ دَّبُ ا أْلم َ ُض َّل ُع ا أْلم َُقعَّ ُر
َرأ ْ ٌس َز ا ِو ي ٌ َ�ة َخ ِارجَ ٌة
ِض ْل ٌع
ويالحظ أن أى زاوية من زوايا ه قياسھا أقل من ْ ١٨٠ َز ِاوي َُة دَاخِ َل ٌه
ويالحظ أنه توجد زاوية واحدة على األقل من زوايا ه قياسھا أكبر من ) ْ ١٨٠زاوية منعكسة ( ُوس ا ْلم َ ُض َّل ِع ن َ ِج ُد أ َ َّن: lعِ ن ْ َد أَيِّ َرأ ْ ٍس ِم ْن ُرء ِ
مَ جْ مُو ُع قِ يَاسي ال َّز ِاويَتَيْن الدَّاخِ َل ِة وا ْل َخ ِارجَ ِة َ يس ِاوي °180
َز ِاوي ٌَة ُمنْعَ ك َِس ٌة
٢
lالمضلع المنتظم :ھو المضلع الذى تتساوى فيه أطوال أضالعه وتتساوى قياسات زواياه l
ُض َّل ِع مُحَ د َِّب عَ َد ُد أ َ ْ ات ال َّزوَايَا الدَّاخِ َل ِة ِلم َ َاس ِ مَ جْ مُو ُع قِ ي َ اوي ( °180 × )2- ضلَعِ ِه ي َُس ِ
//
ات ال َّزوَايَا َ ُض َّل ٍع مُحَ د ٍَّب عَ َد ُد أ َ ْ الخ ِارجَ ِة ِلم َ َاس ِ lمَ جْ مُو ُع قِ ي َ ضلَعِ ِه ي َُس ِاوي °360 ُض َّل ٍع مُحَ د ٍَّب ُمنْتَ ِظ ٍم عَ َد ُد أ َ ْ َاس ُك ِّل َز ِاوي ٍَة ِم ْن َزوَايَا م َ lقِ ي ُ ضلَعِ ِه ي َُس ِاوي
//
*
*
* سداسى منتظم *
(°180 × )2-
=
// *
//
*
تَمأْ ِري ُن ()2-4
1
احأْ ِسبأْ قِ ي َ َاس ال َّز ِاوي َِة ا أْلمَ جأْ هُ و َل ِة فِ ي ُك ٍّل ِممَّ ا يَأأْتِي: [أ]
س
ص
[ب]
س
اري ُن ُمتَنَوِّعَ ٌة تَمَ ِ
1
ال ْاآل ِتي َِة إِذَا َك َ ان فِ ي ُك ٍّل ِم َن ْاأل َ ْش َك ِ
[ أ ]
3
°72
ب
فِ ي َّ الش أْك ِل ا أْلم َُقا ِب ِل:
//ب
[ب]
َفعَ ي ِّْن مَ َع ذِ ْك ِر َّ السب َِب ∠ ( ب )
[ج�]
°57
∠ ( ،ب ، °40 = )ب ه� يُنَصِّ ُف ∠ ب و أَو ِْج ْد ∠ ( ب و)
ه�
ب
°63
ب
} ه� = {ب}
=
°40
ب
ه�
و
4
فِ ي َّ الش أْك ِل ا أْلم َُقا ِب ِل:
ه�
ب ∈ ∠( ، أوجد ∠ ( ب )
ب هـ) = ،°116ب
6
٣
ينصف ∠ ب
هـ ،
º116
فِ ي َّ الش أْك ِل ا أْلم َُقا ِب ِل:
∠ ( ب ∠ ( ، °110 = ) ب ،°35 = ) ∠ ( ب ه� ) = ، °140أَو ِْج ْد ∠( ه� ب )
º110 º140
º
35 ب
متوازى الضلع :
ه�
هو شكل رباعى فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان خواص متوازى الضلع
( ) 1كل زاويتين متقابلتين متساويتان فى القياس ( ) 2كل ضلعين متقابلين متساويان فى الطول .
ب
( ) 3القطران ينصف كل منهما اآلخر.
ج�
( ) 4مجموع قياسى أى زوايتين متتاليتين = ْ 180
ملحظة الش�كل الرباعى ال�ذى فيه ضلعان فق�ط متوازيان يسمى « شبه المنحرف »
ب
متوازى الضلع وحاالته الخاصة
المخطط التالى يلخص الحاالت المختلفة لمتوازى األضلع: إذا كان قطراه متعامدين
متوازى الأ�ضالع
طرا
ه مت
ئمة إذا كان قطراه متعامدين
طول
ه قا ا ى زواي طول احد ى ال انت نف ذا ك اويا إ متس طراه وق أ
أو ق
كان تا نف
اويا س
حدى زواي
ى ال
ائمة اه ق
الم�ستطيل
إذا
أو ضلعان متجاوران متساويان فى الطول
المعين
المربع
٤ تَمأْ ِري ُن ()2-4 ب // ∠ ( ، °30 = ) ∠ ( ب، °40 = )
،
∪
5
فى الشكل المقابل :
ب ، =
°30 °70
∠( ب) = °70
برهن أن الشكل ب
6
متوازى األضلع
فى الشكل المقابل :
ب
ب
°40
ج�
مربع ،ه� ∈ ب،
// ه� ( ) 1أثبت أن
ه� متوازى األضلع
( ) 2أوجد ∠( ه�)
7
ب
ج�
فى الشكل المقابل :
ب معين ،ب ∠ ( ب °62 = )
قطر فيه ، °62 ب
أوجد بالبرهان ) ∠ (
8
ه�
فى الشكل المقابل :
ه� ∈ ب ∠ ( ، ب ∠( ه� ب) = ∠( ، °70
، °65 = )
°115 = ) ∠(
ب
متوازى األضلع .
°65
°45
ه�) = ، °45
برهن أن الشكل ب
ج�
°70
ه�
°115
ج�
٥
ا ْل ُم َث َّل ِث
الدَّ ْر ُ�س الثالث
َاس ِ مَ جأْ مُو ُع قِ ي َ اوي °180 ات ال َّزوَايَا الدَّاخِ َل ُة لل ُمث َ َّل ِث ي َُس ِ
نظرية ()1
ا ْل ُمث َ َّل ُث َل ُه ث َ َل ُ ث َزوَايَا دَاخِ َل ٌة قياساتها ، ب ،
+ب
+
ب
= °180
lالزواية الخارجة للمثلث : ،إِذَا مُ� َّد ِض ْل� ٌع ِم� ْن أ َ ْض َلعِ ِه يُنْتِ�جُ َز ِاوي ًَة َخ ِارجَ ً �ة ِل ْل ُمث َ َّلثِ قياسها ( °180 = + زاوية مستقيمة)
ب
َ�ة َ ار ِج ٍ َ�اس أَيِّ َز ِاوي ٍ قِ ي ُ �ة ِل أْل ُمث َ َّل ِث خ ِ اوي مَ جأْ مُو َع قِ ي ِ َاسي ا أْل َز ِاويَتَي ِأْن ي َُس ِ او َر ِة َلهَ ا ا أْلدَاخِ َلتَي ِأْن عَ دَا ا أْلمُجَ ِ أ َ أْك ِم أْل: َاس ال َّزا َويَا: ُون قِ ي ِ ِبد ِ
°120
1 °42
°.... = °42 - °120 =
2 °140
ب = °.... = °.... - °140
3
ب ب
°62
°64
ب = ِ °....بالتَنَا ُ ظ ِر °.... = )°..... + °....( - °180 =
٦ نظرية ()2
الشعاع المرسوم من منتصف ضلع فى المثلث موازيا أحد الضلعين اآلخرين ينصف الضلع الثلث .
∵ ه� //ب ه� =
= ،ب
ه�
ه�
س
ب نتيجة :القطعة المستقيمة المرسومة بين منتصفى ضلعين فى مثلث توازى الضلع الثالث ِمثَ��ا ٌل
= ب،
نظرية ()3
س
فى الشكل المقابل : ه� = ه�
س //ب ، ه�
أثبت أن :ص منتصف
∪
، س
س
= ص
ص
ه�
ب
طول القطعة المستقيمة المرسومة بين منتصفى ضلعين فى مثلث يساوى نصف طول الضلع الثالث ∵ منتصف ب ،ه� منتصف 1 ه� = 2
ه�
ب
ب
و
ِمثَ��ا ٌل
فى الشكل المقابل : ب = 5سم ،ب 8 = سم 7 = ،سم ،
،
ه� ،و منتصفات
احسب محيط ∆ ه� و
ب ،ب
،
و
على الترتيب ب
هـ
ِمثَ��ا ٌل فى الشكل المقابل : ، ه� منتصفى ب ،على الترتيب ، و ∈ ب حيث ب و = 1ب 2 أثبت أن الشكل ب ه� و متوازى الضلع
٧
ه�
و
ج�
ب
تَمأْ ِري ُن ()3-4 ( ) 1احْ ِسبْ قِ ي َ َاس ال َّز ِاوي َِة ا ْلمَ جْ هُ و َل ِة فِ ي ُك ٍّل ِممَّ ا يَأْتِي: س
أ)
ب)
°67
°60
°120
د)
ج�) ص
ص
°42
°53
°72
ب
°70
( ) 2فى الشكل المقابل
ب
مثلث فيه
ب
ب
°48
،
،ب ،
ه� ،و منتصفات على الترتيب
12= سم 10= ،سم
أوجد محيط الشكل � ه
و10سم
و ب
ه�
12سم
الدَّ ْر ُ�س الرابع
ال َّت ْح ِو َ يالت ُ ا ْل َه ْن َد�ضِ ِّي ُة
ِاالنْعِ َك ُ اس
ِاالنْت َِقا ُل
ط ِة ن فِ ي ا ْلم ُْستَوَى إ ِ َلي ن ُ ْق َ ا ْلتَّحْ ِويْ َل ُة ا ْلهَ نْد َِسي َُّة تُحَ ِّو ُل ُك َّل ن ُ ْق َ ط ِة ن ′فِ ي ا ْلم ُْستَوَي ن َ ْف ِس ِه . مث��ال 1
٨ ال َّد َو َرا ُن
أوجد صورة ∆ ب
حيث ، ) 2 ، 1 ( ب ( ، ) 2 ، 3
( )5 ، 3
بالتحويلت الهندسية اآلتية : ( ( ) 1س ،ص ) ( س - ،ص ) ( ( ) 2س ،ص ) ( س ، 1 +ص )3 - ( ( ) 3س ،ص ) -( ص ،س ) ( ( ) 1س ،ص ) (س - ،ص )
ب
، )2- ، 1 ( ) 2 ، 1 (
اس فِ ي م ّ ا ِالنأْعِ َك ُ ُستَق ِيم
5 4 3 2 1
ب ( َ ) 2 ، 3ب ( ، )2- ، 3 )5- ، 3 ( َ ) 5 ، 3 (
ص
س
ِاالنْعِ َك ُ اس فِ ي ِمحْ و َِر س يُحَ ِّو ُل :
َب
′ َ
ب
ِاالنأْعِ َك ُ اس فِ ي ا أْلم أْ ُستَوَي ِاإلحأْ دَاث ِِّي
1 2 3 4
ل
≡
′
ب
ص′
و 3- 2- 1-1س2345-
′
ِاالنْعِ َك ُ اس فِ ي ِمحْ وَر ص يُحَ ِّو ُل :
( ′س ’ -ص) ( س ’ ص) -( ′س ’ص) ( س ’ ص) اس�ت ِْخدَام َّ الش�بَ َكة التَّ ْر ِبيعِ يَّة ا ْل ُمتَعَ ِامدَة أَو ِْج ْد ُ ِب ْ صو َر َة ا ْل ُمث َ َّل ِث ل ن حَ ي ُْث ل (، )1- ، 4- مث��ال 1 اس فِ ي ِمحْ و َِر س ، )3- ، 1-( ن (ِ )1- ، 0ب ِاالنْعِ َك ِ
تَمأْ ِري ُن ()6-4
4
اس�ت ِْخدَام َّ الش�بَ َكة التَّ ْر ِبيعِ يَّ�ة ا ْل ُمتَعَ ِام�دَة أَو ِْج ْد ُ ِب ْ ص�و َر َة الن ُّ َق ِط ه��� ( ’ )3 ’ 6( ’ )5 ’ 0ز (’ )1 ’ 3- اس فِ ي ِمحْ وَر ص. ح (س’ ص) ِب ِاالنْعِ َك ِ
َّ الد ْر ُ�س ال�ضاد�س
ِال ْن ِت َق ُ ـــال
ِاالنْت َِق�ا ُل ُه َو تَحْ ِوي َل ٌة َهنْد َِس�يَّة تُحَ � ِّو ُل ُك َّل ن ُ َق ِط
ا ْلم ُْس�تَوَي ’ :ب ’ ... ’ مَ َس َ �اف ًة ثَا ِبتَ ًه فِ ي اتِّجَ اهٍ مُعَ ي ٍَّن ِبحَ ي ُْث:
= ′ ب ب′
=
// ′ ب بَ //
’′
مث��ال 1
ب
′
ب′
′
٩
′
فِ ي ا ْل َّش ْك ِل ا ْلم َُقا ِب ِل: صو َر َة ا ْلن ُّ ْق َ ا ْر ُس ْم ُ ال ن فِ ي اتِّجَ اهِ ن ط ِة ِ بانْت َِق ِ
ن
صو َر َة ا ْلن ُّ ْق َ تُ َسمَّي ا ْلن ُّ ْق َ ط ُة ُ ′ ال م ََس َاف َة ن فِ ي اتِّجَ اهِ ن ط ِة ِ ب ِاالنْت َِق ِ
1
ِاالنْت َِقا ُل يُحَ وِّل ُك َّل ن ُ ْق َ ط ٍة إ ِ َزاحَ ًة ِسي ِني ًَّة ه� يَتْبَعُ هَ ا ِاالنأْت َِقا ُل فِ ي ا أْلم أْ ُستَوَي ِاإلحأْ دَاث ُِّي إ ِ َزاحَ ٌة َ صادِ ي ٌَّة ( ′س +ه� ’ ص ) + ( س ’ ص) ص� َو َر الن ُّ َق ِط ا ْل ُمو َّ َضحَ ِ [ أ ] أَو ِْج� ْد ُ �ة فِ ي ا ْلجَ � ْدو َِل التَّالِي (س ’3 +ص ) 2- ِبانْت َِق ِال( :س ’ ص) (س ’ 3 +ص ) 2- (س ’ ص) ()5 ’ 3-
تَمأْ ِري ُن ()8-4
2
()0 ’ 1
(
’
)
()4 ’ 4
(
’
)
اس�ت أْ ال ل في اتج�اه ل ، حَ ي ُ أْج� أْد ُ ِب أْ أْث ص�و َر َة ُك ٍّل ِممَّ ا يَأَتِي ِبانأْت َِق ِ ِخدَا ِم َش�بَ َك ًة تَ أْر ِبيعِ ي ٍَّة أَو ِ ل ()5 ’ 4( ، )3 ’ 1 [ أ ] ()3 ’ 2-
3
()3 ’ 0
[ ب ] ()4 ’ 5
[ج�] ()0 ’ 3
�ال ا َّل�ذِي يُحَ ِّو ُل الن ُّ ْق َط َ �ة (س ’ ص) إ ِ َل�ى الن ُّ ْق َط ِة ي�ق ِاالنْت َِق ِ ِبتَ ْط ِب ِ (س ’ 2 +ص )3 +أَو ِْج ِد ا ْلن ُّ ْق َط َة ا َّلتِي صُ و َرتُهَ ا ()3 ’ 2
١٠ مث��ال
َّ الد ْر ُ�س ال�ضابع
الد َو َر ُ َّ ان
س
ان حَ ْو َل الن ُّ ْق َ صوَر َة الن ُّ ْق َ ط ِة «و» ِب َز ِاوي ٍَة قِ ي ُ )1أَو ِْج ْد ُ َاسهَ ا °90 ط ِة ِ بال َّد َو َر ِ
′
ال َّد َو َرا ُن فِ ي ا أْلم أْ ُستَوَي ا ِإلحأْ دَاث ِِّي:
ال� َّد َو َرا ُن ِب َز ِاوي ٍَة °180حَ � ْو َل ن ُ ْق َط ِة األَصْ ل «و» ِي َر ْس ِم إ ِ َلى ′حَ ي ُْث: ( س ’ ص) -( ′س ’ -ص)
ال َّد َو َرا ُن ِب َز ِاوي ٍَة °90حَ ْو َل ن ُ ْق َط ِة األَصْ ِل «و» ِي َر ْس ِم إ ِ َلى ′حَ ي ُْث: -( ′ص ’ س) ( س ’ ص)
1
عَ َلى َّ الش َكب َِة التَّ أْر ِبيعِ يَّة: ان حَ وْل ن ُ ْق َ أَو ِْج� ْد ُ ط ِة ص�و َر َة ا ْل ُمث َ َّل ِث و ب ِبال� َّد َو َر ِ ص ِل «و» ِب َز ِاوي ٍَة قِ ي ُ األ َ ْ [ ب ] °180 َاسهَ ا [ :أ ] °90 كل م�ن التحوي�لت الهندس�ية ملحوظة ( األنعكاس ،االنتقال ،الدوران)
5 4 3 2 1
5
2 3 4
1
يح�وِّل الش�كل الهندس�ى إلى تَمأْ ِري ُن ()10-4
و
ص
ب
س
و
شكل هندسى آخر مطابق له .
و 3- 2- 1-1س′2-
34-
ص′
3
ال َّد َو َرا ُن ِب َز ِاوي ٍَة قِ ي ُ َاسهَ ا °90حَ أْو َل «و» ي َر أْ س ِم (س sص) إ ِ َلى (-ص sس): [ أ ] أَو ِْج ْد ُ ص َو َر الن ُّ َق ِط)2 ’ 3-( ’ )5 ’ 0( ’ )1 ’ 4( :
4
ب م ُْستَ ِطي ٌل فِ ِيه ’ )2- ’ 1-( ب ( ’ )2 ’ 3-( ’ )6 ’ 5( ’ )2 ’ 7ا ْر ُس َم عَ َلى ا ْلم ُْستَوَي ان حَ ْو َل ن ُ ْق َ ا ِإلحْ دَاث ِِّي ا ْلم ُْستَ ِطي َل و ُ ط ِة األ َ ْ ( -ص ’ س) ص ِل حَ ي ُْث( :س ’ ص) َصو َرتَ ُه ِبال َّد َو َر ِ [أ]
2
احأْ ِسبأْ قِ ي َ َاس ال َّز ِاوي َِة المَ جأْ هُ و َل ِة فِ ي ُك ٍّل ِممَّ ا يَأأْتِي:
ْ اخ ِت َبـا ُر ال َو ْح َ ــد ُة
(3س)5-
°70
١١ [ب]
[ج�]
ص
5
[ه]
س
°36
°60
°64
س
(3س )8-س
2
°61
فى الشكل المقابل : ه� ∈ ب ∠( ، ب ه� ) = ، °45
°65
°45
∠(ه� ب ) = °65 =) ∠( ، °70 °115 = ) ∠( برهن أن الشكل ب متوازى األضلع .
6
ب
[ أ ] احْ ِسبْ قِ ي َ َاس ال َّز ِاوي َِة ا ْلمَ جْ هُ و َل ِة فِ ي ُك ٍّل ِممَّ ا يَأْتِي: ()2 ()1
°115
°70
ج�
()3
°50
3س
°25 س
7
°70
منتصف ب ،ه� منتصف و
ب
ب
⊂
4
5س
س
ض َل ِع م َ [ج�] عَ َد ُد أ َ ْ َاس ِ ُض َّل ٍع ِ 15ض ْلعً ا )1 :أَو ِْج ْد مَ جْ مُو َع قِ ي َ ات َزوَايَا ُه الدَّاخِ َل ِة. فى الشكل المقابل :
10
°150
= س ،
2س
،
س = سو،
= 12سم
أوجد طول س ص في الشكل المقابل: مجموع قياسات الزوايا الخارجة للمثلث ب يساوي °360 أ °90 د °720 ب °180 صورة النقطة ل ( )4 ، 5-تحت تأثير انتقال ( :س ،ص) ← ( س ، 4 +ص )5 -هي ............
ه�
ب
ص
س
و ب