Principia Mathematica

3. SAYI

PRINCIPIA MATHEMATICA 2018-2019

tevitöl matematik dergisi

olasılık, paradokslar & dahası...

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

J Yazarlar Alican Kıranlar Arman Özcan Berra Doğan Berke Ünal Berke Filiz Kerem Öner

TEVİTÖL adına Dergi Sahibi

Mehmet Berkay Çatak

Mustafa Aydos

Okan Tezcan Umut Yalçın Baki

Genel Yayın Yönetmeni

Seray Çakır

Bahar Özkan

Simay Pala Zeynep Baştaş

Dergi Koordinatörleri

İçindekiler

Arman Özcan

John Forbes Nash Jr., Matematik ve Nash Dengesi, 2

Zeynep Baştaş

Bir Reel İntegral ile Kompleks Analize Giriş, 4

Kapak Ressamı

Monty Hall Problemi, 8

İlke Yağmur Çavdar

Bertrand Paradoksu, 11 Beklenen Değer (Expected Value), 14 Elealı Zenon ve Aşil Paradoksu, 18 Flavio’nun Sorusu, 21 Sanatsal Paradokslar, 24 Matematik Keşif midir İcat mı, 29 Mühendislik Tarihi, 36 Akıl Oyunları - Çarpım Karesi, 42 Exploration Örneği, 43

1

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

John Forbes Nash Jr., Matematik ve Nash Dengesi Alican Kıranlar John Nash oyun teorisi, diferansiyel geometri ve kısmi diferansiyel denklemler konularına katkılarıyla tanınan bir matematikçidir. 13 Haziran 1928’de, Amerika’nın Bluefield şehrinde doğmuştur.

Ailesinin yönlendirmesiyle ileri seviye matematik özel dersleri alan Nash, aldığı derslerin de yardımıyla üniversite hayatına tam burs ile Carnegie Teknoloji Enstitüsü’nde başlamıştır. İlk olarak kimya bölümünü seçmiştir, ancak sonrasında bir öğretmeninin önerisiyle matematik bölümüne geçmiştir. 1948 yılında, Carnegie Teknoloji Enstitüsü’nden matematik yüksek lisansını da yapmış halde mezun olmuştur. Sonrasında çoğu büyük çalışmasının tohumlarını atacağı Princeton Üniversitesine lisansüstü çalışmalarını gerçekleştirmek üzere tam burslu olarak girmiştir. Bu üniversiteye başvururken aldığı referans mektubunda öğretmeni “O bir matematik dehası.” ifadesini kullanmıştır. John Nash lisansüstü çalışmalarını yapmak üzere Harvard Üniversitesi’nden de kabul almıştır, ancak Princeton Üniversitesi’nin ona ek burs vermesi onun Princeton’a girmesine neden olmuştur. Nash, 1945 ve 1996 yılları arasında 23 bilimsel çalışma yayınlamıştır. Matematik üzerine yaptığı çalışmalar ile hem Abel hem de Nobel ödüllerine layık görülmüştür. Üç kişilik bir grup içinde ekonomi dalında Nobel ödülü kazanmıştır. Hayatı boyunca bu iki ödülü aynı anda kazanan tek insan ünvanına da sahiptir. John Nash, 23 Mayıs 2015’te hayatını kaybetmiştir.

”oyuncu” bu gerçeklere göre elde edebileceği en iyi duruma gelmeye çalışır. İki insan düşünün, ikisi de işe yetişmeye çalışıyor ve gittikleri yönler dik olarak kesişiyor. İkisinin de bulunduğu yolun ucunda trafik lambası bulunmakta. Biri yeşili diğeri ise kırmızıyı gösteriyor. İkisi de giderse çarpışırlar ve işlerine yetişemezler ve tam tersi olup ikisi de beklerse yine aynı durumla karşılaşırlar. İki durumda da bir oyuncu kurala uymuyor, Nash Dengesi’nde kurala uymak kazanmanın yoludur ve her kişi kurallara uyar.

Yeşil ışığa sahip olan gider ve kırmızı ışığa sahip olan sırasını bekler. Sonuçta ikisi de hedefine ulaşır. Bu teorem, oyun teorisinde bulunan problemlerin çözüm aşamasında temellendirme amaçlı kullanılmaktadır.

Birçok oyun teorisi konu anlatımı da bu teorinin basit örneklerle açıklanmasıyla başlar.

Nash Dengesi’ni açıklamak için tutsak ikileminden (Prisoner’s Dilemma) bahsedilebilir. İki hırsız düşünün. Bu iki hırsız aynı suçu işlemekten cezalandırılacaklar. İkisi de ayrı şekilde soruşturmaya çekiliyor ve “Suçu o (diğer hırsız) mu işledi?” diye soruluyor. Bu soruya cevap olarak ikisi de birbirini suçlarsa üçer yıl ceza alıyor. Sadece biri suçlar diğeri sessiz kalırsa sessiz kalan beş yıl cezaya çarptırılırken suçlayan serbest bırakılıyor. Eğer ikisi de sessiz kalırsa iki hırsızda birer yıl hapis yatıyor.

Bu yarışmada her ne kadar iki hırsızın da sessiz kaldığı durumda her ikisi de daha az süre hapis yatacak olsa da bireysel düşünüldüğünde diğer hırsızın ihanet edebileceği göz önüne alınmalıdır. Bu yüzden bu oyunun Nash Dengesi her hırsızın da arkadaşına ihanet etmesi durumudur. Bu örnekten de çıkarılabileceği üzere Nash Dengesi grup için en optimum olan durum değildir. Nash Dengesi, her bireyin maksimum faydaya ulaşması için izlemesi gereken stratejidir ve rakibin ne yaptığından bağımsız olarak en iyi durum seçilmiş olur.

Onun oyun teorisi üzerine yaptığı çalışmaları birçok endüstriye büyük katkılar sağlamıştır. Teoremleri de döviz ticareti ve perakende ve toptan satış stratejilerinin çoğunu değişime sürüklemiştir. Kısacası, John Nash’in günümüzde kullanılan matematiğe etkileri rahatça gözlemlenebilir. Onun oluşturduğu teoremlerden en bilindik olanını açıklamak John Nash’in çalışma alanını ve katkılarını anlamanızı kolaylaştıracaktır.

John Nash’in araştırmalarından sonra adlandırılan Nash Dengesi (Nash Equilibrium), günümüzde oyun teorisini açıklamak için kullanılan örneklerdendir. Nash Dengesi’nde değişmeyen gerçekler vardır ve her

Kaynakça https://www.investopedia.com/terms/n/nashequilibrium.asp

2

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3

Bir Reel Ä°ntegral ile Kompleks Analize GiriĹ&#x; Berke Ăœnal 2đ?œ‹

âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ cos(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ 0

1777 yÄąlÄąnda Leonhard Euler, karesi −1 olan sayÄąyÄą đ?‘– sembolĂź ile gĂśstermiĹ&#x;tir. GerçekliÄ&#x;i uzun sĂźre tartÄąĹ&#x;ma konusu olmuĹ&#x; negatif sayÄąlar ve irrasyonel sayÄąlar zamanla gĂźnlĂźk yaĹ&#x;antÄąmÄąza dâhil olmuĹ&#x;tur. Buna karĹ&#x;Äąn birçok insana kompleks sayÄąlar yaĹ&#x;adÄąÄ&#x;ÄąmÄąz evrenden çok uzaklarmÄąĹ&#x; gibi gelmektedir. Halbuki kompleks dĂźzlem, en Ăśnemlisi kuantum fiziÄ&#x;i olmak Ăźzere birçok alanda uygulamalara sahiptir. Bu makalede reel bir integrali hesaplamada kompleks sayÄąlardan nasÄąl yararlanabileceÄ&#x;imiz bir Ăśrnek ile gĂśsterilmiĹ&#x;tir.

Verilen belirli integrali hesaplamak için Euler Denklemi’ni hatÄąrlayalÄąm. đ?‘’ đ?‘–đ?œƒ = cos đ?œƒ + đ?‘– sin đ?œƒ 2đ?œ‹

Euler Denklemi’nden yararlanmak için hesaplamak istediÄ&#x;imiz integrale đ?‘– âˆŤ0 đ?‘’ cos đ?‘Ľ cos(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ ifadesini ekleyelim. Ä°ntegral alma iĹ&#x;leminin bir “linear transformationâ€? (doÄ&#x;rusal dĂśnĂźĹ&#x;Ăźm) olduÄ&#x;unu hatÄąrlayalÄąm.

2đ?œ‹

2đ?œ‹

âˆŤ đ?‘’

cos đ?‘Ľ

cos(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘– âˆŤ đ?‘’

0

2đ?œ‹ cos đ?‘Ľ

sin(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ (cos(sin đ?‘Ľ) + đ?‘– sin(sin đ?‘Ľ)) đ?‘‘đ?‘Ľ

0

0

Euler Denklemi’nde đ?œƒ yerine sin đ?‘Ľ koyalÄąm. đ?‘’ đ?‘– sin đ?‘Ľ = cos(sin đ?‘Ľ) + đ?‘– sin(sin đ?‘Ľ) 2đ?œ‹

2đ?œ‹

2đ?œ‹

âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ (cos(sin đ?‘Ľ) + đ?‘– sin(sin đ?‘Ľ)) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘– sin đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ+đ?‘– sin đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 0

0

0

Euler Denklemini’nde đ?œƒ yerine đ?‘Ľ koyalÄąm. đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ľ = cos đ?‘Ľ + đ?‘– sin đ?‘Ľ 2đ?œ‹

2đ?œ‹

đ?‘–đ?‘Ľ

âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ+đ?‘– sin đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘’ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ 0

0 đ?‘‘

� � ifadesinin Maclaurin Series açĹlĹmĹnĹ hesaplayalĹm. z’ye gÜre tßrev alan operatÜr �� olmak ßzere: �

đ?‘›

đ?‘˜=0

đ?‘˜=0

đ?‘‘đ?‘˜ 1 1 đ?‘’ = lim ∑ đ?‘˜ đ?‘’ đ?‘§ (0) đ?‘§ đ?‘˜ = lim ∑ đ?‘§ đ?‘˜ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘‘đ?‘§ đ?‘˜! đ?‘˜! đ?‘§

3

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3

� � ifadesinin Maclaurin Series açĹlĹmĹnda � yerine � �� yazalĹm. �

đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ľ

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘˜=0

đ?‘˜=0

1 1 = lim ∑ (đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ľ )đ?‘˜ = lim ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘˜! đ?‘˜!

Ä°ntegralimizi Maclaurin Series açĹlÄąmÄą Ĺ&#x;eklinde yazalÄąm.

2đ?œ‹

âˆŤ đ?‘’

đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ľ

đ?‘›

2đ?œ‹

đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ

0

0

lim ∑

đ?‘›â†’∞

đ?‘˜=0

1 đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘˜!

Fubini’nin Teoremi’nin bir uygulamasÄą der ki, sĂśz konusu fonksiyonun integrali tanÄąmlÄą olduÄ&#x;u sĂźrece integral ve toplam 1

yer deÄ&#x;iĹ&#x;tirebilir. âˆŤ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ ifadesinin hangi đ?‘˜ pozitif tamsayÄą deÄ&#x;erlerinde tanÄąmlÄą olduÄ&#x;unu bulalÄąm. đ?‘˜!

1 đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ 1 1 đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ = +đ??ś đ?‘˜! đ?‘˜! đ?‘˜! đ?‘–đ?‘˜ GĂśrĂźldĂźÄ&#x;Ăź Ăźzere integralimiz đ?‘˜ = 0 için tanÄąmsÄąz, diÄ&#x;er tĂźm đ?‘˜ pozitif tamsayÄąlarÄą için tanÄąmlÄądÄąr. Fubini’nin Teoremi’ni kullananilmek için serimizi tanÄąmlÄą ve tanÄąmsÄąz đ?‘˜ deÄ&#x;erleri için ikiye ayÄąralÄąm. đ?‘›

0

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘˜=0

đ?‘˜=0

đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

1 1 1 1 lim ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ = lim (∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ + ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ ) = 1 + lim ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘˜! đ?‘˜! đ?‘˜! đ?‘˜! Ĺžimdi tekrardan integralimizi yazalÄąm ve linear transformation’larÄąn toplamaya daÄ&#x;Äąlma ĂśzelliÄ&#x;ini tekrardan kullanalÄąm.

2đ?œ‹

âˆŤ 0

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘˜=0

đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

2đ?œ‹ 2đ?œ‹ 2đ?œ‹ 1 1 1 lim ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ (1 + lim ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ lim ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘˜! đ?‘˜! đ?‘˜!

0 0 0 đ?‘›â†’∞

KalkĂźlĂźs’ßn temel teoremini kullanarak birinci integralin deÄ&#x;erini hesaplayalÄąm.

2đ?œ‹

âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ = [đ?‘Ľ + đ??ś]2đ?œ‹ 0 = 2đ?œ‹ 0

Fubini’nin Teoremi’ni ikinci integrale uygulayalĹm ve toplamĹn içindeki ifadeyi integralden çĹkaralĹm.

2đ?œ‹

âˆŤ 0

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

2đ?œ‹

2đ?œ‹ 1 1 đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ 1 đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ lim ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = lim ∑ âˆŤ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ = lim ∑ [ + đ??ś] đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘˜! đ?‘˜! đ?‘–đ?‘˜ 0 đ?‘˜!

0

đ?‘Ľ = 2đ?œ‹ için đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ ifadesinin deÄ&#x;erini, Euler’in Denklemi’ni đ?œƒ = 2đ?œ‹ için yazarak hesaplayalÄąm. đ?‘˜

đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜2đ?œ‹ = (đ?‘’ đ?‘–2đ?œ‹ ) = (cos 2đ?œ‹ + đ?‘– sin 2đ?œ‹)đ?‘˜ = 1

4

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3

đ?‘Ľ = 0 için đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ ifadesi 1’e eĹ&#x;it olduÄ&#x;una gĂśre, ikinci integralimizin sonucu hesaplanabilir.

2đ?œ‹

âˆŤ 0

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘˜=0

đ?‘˜=1

đ?‘›

2đ?œ‹

1 1 đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ 1 1 1 lim ∑ đ?‘’ đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = lim ∑ [ + đ??ś] = lim ∑ ( + đ??ś − − đ??ś) = 0 đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘˜! đ?‘˜! đ?‘–đ?‘˜ đ?‘˜! đ?‘–đ?‘˜ đ?‘–đ?‘˜ 0 đ?‘˜=1

2đ?œ‹

Sonuç olarak, asÄąl hesaplamak istediÄ&#x;imiz integralin đ?‘– âˆŤ0 đ?‘’ cos đ?‘Ľ sin(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ ifadesi ile toplamÄą bulunmuĹ&#x;tur.

2đ?œ‹

âˆŤ đ?‘’

2đ?œ‹ cos đ?‘Ľ

cos(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘– âˆŤ đ?‘’

0

2đ?œ‹ cos đ?‘Ľ

sin(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ

0

0

đ?‘›

2đ?œ‹ 0

lim ∑

đ?‘›â†’∞

đ?‘˜=1

1 đ?‘–đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ = 2đ?œ‹ đ?‘˜!

Reel analizde belirli integrallerin sonuçlarÄą bir reel sayÄą olduÄ&#x;una gĂśre a ve b reel sayÄąlardÄąr.

2đ?œ‹

đ?‘Ž=âˆŤ đ?‘’

2đ?œ‹ cos đ?‘Ľ

đ?‘? = âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ sin(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ

cos(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ

0

0

HesapladÄąÄ&#x;ÄąmÄąz ifade đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– formatÄąndadÄąr, dolayÄąsÄąyla bir kompleks sayÄądÄąr. Ä°ki kompleks sayÄąnÄąn eĹ&#x;itliÄ&#x;ini hatÄąrlayalÄąm. đ?‘?1 , đ?‘?2 ∈ â„‚ için, đ?‘?1 = đ?‘?2 â&#x;ş â„œ(đ?‘?1 ) = â„œ(đ?‘?2 ) ∧ â„‘(đ?‘?1) = â„‘(đ?‘?2 ) 2đ?œ‹, 2đ?œ‹ + 0đ?‘– Ĺ&#x;eklinde yazÄąlabileceÄ&#x;ine gĂśre, đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– = 2đ?œ‹ â&#x;ş đ?‘Ž = 2đ?œ‹ ∧ đ?‘? = 0 Soldaki ifadenin doÄ&#x;ru olduÄ&#x;u ispatlandÄąÄ&#x;Äąna gĂśre saÄ&#x;daki ifade de doÄ&#x;ru olmak zorundadÄąr. Sonuç olarak, 2đ?œ‹

đ?‘Ž = âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ cos(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = 2đ?œ‹ 0 2đ?œ‹

đ?‘? = âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ sin(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = 0 0

BĂśylece, gerçek dĂźnyayÄą anlamlandÄąrmada hiçbir anlam ifade etmiyor gibi gĂśzĂźken kompleks sayÄąlar, bir reel integrali kolayca hesaplamamÄązÄą saÄ&#x;lamÄąĹ&#x;tÄąr.

2đ?œ‹

∴ âˆŤ đ?‘’ cos đ?‘Ľ cos(sin đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = 2đ?œ‹ 0

5

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Monty Hall Problemi Mehmet Berkay Çatak Monty Hall problemi, “Let’s Make A Deal” adlı Amerikan televizyon yarışma programından esinlenilmiş bir olasılık bulmacasıdır. Bu problem, adını bahsedilen yarışmanın sunuculuğunu yapan Monty Hall'dan alır.

Bahsedilen problem kısaca şu şekildedir: Bir yarışmada, üç kapı vardır. Bu kapılardan birinin arkasında bir araba, öbürlerinin ardında ise bir keçi vardır. Yarışmacı olan siz, arabayı bulma umuduyla bir kapı seçiyorsunuz: mesela 1. kapı. Yarışma sunucusu Monty Hall da seçmediğiniz kapılardan ardında keçi olan kapıyı açıyor (Eğer araba olan kapıyı seçtiyseniz rastgele bir kapı açıyor). Soru şudur: İlk seçtiğiniz 1. kapıyla devam mı

sonuca üç varsayımsal durumu gözden geçirerek ulaşabiliriz. Öncelikle tekrardan bu oyunda 1.kapıyı seçtiğimizi düşünelim. İlk durum, 1. kapının ardında ödül olmasıdır. Sunucu arkasında keçi olan kapılardan birini açar ve seçilen kapının değiştirilmesi sonucu yarışmacı keçiyi evine götürür. İkinci durum, ödülün 2. kapının ardında olmasıdır. Sunucu 3.kapıyı açar, yarışmacı kapısını değiştirmesi halinde kazanır. Son olarak, ödülün 3.kapının ardında olduğunu düşünelim.

Bu sefer, sunucu 2.kapıyı açar ve yarışmacı yine kapı değiştirirse kazanır. Bu varsayımsal yaklaşım problemin çözümüne ulaştırsa da aslında neden olasılık dengesinin böyle olduğunu açıklayamıyor. Bu problemin sonucunun nedeni iki farklı yöntem kullanılarak açıklanabilir.

Aslında sorunun cevabı oldukça basittir. Sunucu, sizin kapınızın ardında ve öbür kapıların ardında ne olduğunu biliyordur. Yani, sizin seçtiğiniz kapınızın ardında bir keçi varsa, (ki bunun olma olasılığı 2/3’tir) sunucu öbür keçinin olduğu kapıyı açar ve araba öbür kapının ardındadır; yani diğer kapının seçilmesi halinde arabanın kazanılma ihtimali 2/3’tür. Seçtiğiniz ilk kapının arabayı barındırma ihtimali ise 1/3’tür ve bu durumda kapıyı değiştirmeniz sizi keçiyle kavuşturacaktır, yani diğer kapının seçilmesi halinde arabanın kaybedilme ihtimali 1/3’tür.

etmelisiniz yoksa kapınızı değiştirmeli misiniz? Bu gerçekten sonucu etkiler mi? Siz ne diyorsunuz? Çoğu insan soruyu yanlış anlar ve soruyu yanlış yanıtlar çünkü akıllarından şu düşünce geçer: “Geriye bir keçi bir de araba kaldığına göre hangisini seçtiğim fark etmez. Yani, iki kapının da arabayı barındırıyor olma ihtimali eşit ve 1/2 idir.” Zannedilenin aksine, ihtimaller yarı yarıya değildir. Seçilen kapının değiştirilmesi halinde, 1. kapıyla devam etmeye kıyasla kazanma ihtimali iki katıdır. Öncelikle, ilk seçilen 1. kapının ardında araba olma ihtimali 1/3’tür. Çünkü bu kapı üç kapının arasından rastgele seçilmiştir. Yarışma sunucusu içinde keçi olan kapılardan birini açtığında da 1. kapının kazanma ihtimali 1/3’tür, yani sunucunun başka bir kapıyı açması; seçilen kapının kazanma olasılığını etkilemez. Ancak, yarışmacı seçtiği kapıyı değiştirirse, kazanma ihtimali 2/3 oranına çıkar. Bu

İkinci bir yöntem olarak içgüdümüzü kullanabiliriz. Kapı sayısının 100’e çıkarıldığını, 100 kapı arasından sadece birinin ardında araba ve diğer 99 tanesinin ardında keçi olduğunu düşünelim. Bu durumda birçok kişi kapıyı değiştirmenin mantıklı olan seçim olduğuna hemen karar verecektir. Matematik kullanmak gerekirse, yarışmacının doğru kapıyı tek seferde seçme olasılığı %1’dir. Sunucu diğer 98 kapıyı açar ve hepsinin arkasından keçi çıkar. Bu nedenle, yarışmacı açtığı kapıyı değiştirdiği taktirde kazanma ihtimali %99’a çıkacaktır.

6

Görüldüğü üzere, bu paradoks genel olarak olasılık hesabında yaşanan yaygın kafa karışıklığını

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

yansıtır. Aslında, bu paradoksun meşhur olması beklenmediktir ve bunun temel sebebi de işinin ehli akademisyenlerin hatta meşhur teorist Paul Erdös1’ün dahi en başta yarışmacının kapısını değiştirip değiştirmemesinin kazanma ihtimaline bir etkisi olmadığını düşünmesidir. Sonunda Paul Erdös’ü ikna etmeyi başarabilen yegâne şey ise Monte Carlo yönteminin kullanılmasıdır. Monte Carlo yöntemi diye adlandırılan yöntem, tekrarlanan rastgele bir bilgisayar simülasyonudur. İki tane yarışmacı hayal edin: Leyla ve Murat. Murat daima ilk seçtiği kapıyla devam ediyor, Leyla ise kapısını sürekli değiştiriyor. Bu simülasyonun 300 defa tekrar edildiğini düşünün. Bunun sonucunda Murat yaklaşık 100 tanesini kazanırken, yaklaşık 200 defa kaybeder. Leyla ise onun tersi bir biçimde yaklaşık 200 defa kazanırken yaklaşık 100 defa kaybeder.

Böylece Monty Hall probleminin cevabı kanıtlanmış olur.

Kısacası, Monty Hall problemi, üç kapı arasından bir kapı seçmesinin ardından, sunucunun ardında ödül olmayan bir kapıyı açması sonucu yarışmacının kapı değiştirmesinin gerekliliğini sorgular. Çoğu kişi kapı değiştirilmemesi veya değiştirilmesinin pek fark etmediğini yani iki durumda da kazanma ihtimalinin eşit olduğunu öne sürmüşlerdir. Ancak, aslında kapının değiştirilmesi durumunda yarışmacının kazanma ihtimali iki katına çıkmaktadır. Buradaki kilit nokta, sunucunun hangi kapının arkasında ödül olduğunu bilmesi sonucu filtreli bir seçim yapmasıdır.

Kaynakça Azad, K. (n.d.). Understanding the Monty Hall Problem.

Retrieved from Better Explained: https://betterexplained.com/articles/understandin g-the-monty-hall-problem/ Clark, M. (2007). Paradoxes from A to Z. New York: Routledge

1

Macar matematikçi. Kombinatorik, çizge kuramı ve sayılar teorisi gibi alanlarda yüzlerce ortak çalışma yapmıştır.

7

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Bertrand Paradoksu Umut Yalçın Baki Bertrand Paradoksu, olasılık teoreminin klasik yorumundan doğan bir problemdir. Farklı yollarla hesaplanan bazı olasılıkların birbirinden farklı olması sonucu oluşmuş bir paradoks olan Bertrand paradoksu, Joseph Bertrand’ın Calcul des probabilites (1889) çalışmasında tanıtıldığında oldukça ses getirmiştir. Bu çalışması, genel olarak bir olasılığın rastgele değişkeni açıkça tanımlanmadığında olasılığın da kesin olarak bulunamayacağını gösterir.

kenarından uzun olma olasılığı, üçgenin bir açısı 60 derece olduğundan dolayı ve gösterdiği yay tüm çemberin 1/3üne denk geldiği için, 1/3 olur.

2. Cevap: Rastgele Yarıçap ile Hesaplama

Problemin Tanımlanması Bir çemberin içine köşeleri teğet geçecek şekilde çizilmiş bir eşkenar üçgen düşünün. Çemberin içinden rastgele geçen bir doğru parçası olduğun varsayın. Bu doğru parçasının eşkenar üçgenin bir kenarından daha uzun olma olasılığı nedir? Bertrand bu soruya her biri geçerli olan üç farklı cevap vermiştir, ancak bu cevaplar farklı sonuçların doğmasına neden olmaktadır.

Çemberden rastgele seçtiğiniz bir yarıçapa dik olacak şekilde üçgeninizi oluşturun. Olasılığı hesaplayabilmek için, üçgenin aynısını 180 derece çevrilmiş olarak hayal edin (İsrail bayrağı gibi). Yarıçapa dik olacak şekilde rastgele doğru parçaları çizin. Sizin de görebildiğiniz gibi çizdiğiniz doğru parçaları dairenin merkezine yaklaştığında ve üçgenin, doğru parçalarına paralel olduğu kenarını geçtiğinde üçgenin kenarlarından daha uzun olmaya başlıyor. Şekildeki siyah doğru parçasının üçgenle kesiştiği nokta yarıçapı tam olarak ikiye böler. (Çünkü eşkenar üçgenin kenarortaylarının kesiştiği nokta olan çemberin merkezi kenar ortayları 2’ye 1 oranında keser.) Üste çizilen üçgen de simetrik olacağı için çizilen doğruların yarısı üçgenin bir kenarından daha uzun olacaktır. Yani doğru parçalarının 1/2 si üçgenin bir kenarından uzun olmaktadır.

1. Cevap: Rastgele Bitiş Noktaları ile Hesaplama

Çemberin çevresinden seçtiğiniz iki rastgele noktayı birleştirerek doğru parçanızı oluşturduktan sonra, bu doğru parçanızın bir noktasından başlayacak şekilde eşkenar üçgeni oluşturun. Eğer çizdiğiniz doğru parçası üçgenin içinde kalıyorsa, üçgenin bir kenarından uzun olacaktır. Eğer dışında kalırsa da kısa olur. O zaman, çizdiğiniz rastgele bir doğru parçasının üçgenin bir

8

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3

2.: Jaynes’in “Maximum Ignorance (Azami Yok Sayma) ÇÜzĂźmĂź

3. Cevap: Rastgele Orta Noktalar Belirleyerek

Maximum Ignorance prensibine gĂśre herhangi bir problemin anlatÄąmÄąnda bize verilmeyen hiçbir bilgiyi, bu problemin çÜzĂźmĂźnde kullanmamalÄąyÄąz. Jaynes, Bertrand’Ĺn çemberin bĂźyĂźklĂźÄ&#x;Ăź ve pozisyonu ile alakalÄą herhangi bir bilgi vermediÄ&#x;inin ĂźstĂźne basarak, doÄ&#x;ru çÜzĂźm yolunun bĂźyĂźklĂźk ve pozisyon deÄ&#x;iĹ&#x;tiÄ&#x;inde de aynÄą kalmasÄą gerektiÄ&#x;ini sĂśyledi. Yani, çÜzĂźm hem bĂźyĂźklĂźkte hem de Ĺ&#x;ekilde sabit nicelikte olmalÄądÄąr. Ă–rneÄ&#x;in, doÄ&#x;ru parçalarÄąnÄąn yarĹçapÄą 2 olan bir çemberin içine rastgele yerleĹ&#x;tirildiÄ&#x;ini dĂźĹ&#x;ĂźnĂźn. Ĺžimdi bu çemberin içine 1 yarĹçaplÄą baĹ&#x;ka bir daire çizildiÄ&#x;inde, doÄ&#x;ru parçalarÄąnÄąn oryantasyonu deÄ&#x;iĹ&#x;memelidir. Hem kßçßk hem de bĂźyĂźk çember birbirinin benzeri olmalÄądÄąr.

Kßçßk çemberi bĂźyĂźk çemberin içinde hareket ettirildiÄ&#x;inde olasÄąlÄąk aynÄą kalmalÄądÄąr.

Hesaplama Çemberin içinden rastgele bir nokta seçin ve orta noktasÄą bu nokta olacak Ĺ&#x;ekilde doÄ&#x;ru parçanÄązÄą oluĹ&#x;turun. DoÄ&#x;ru parçasÄą, eÄ&#x;er seçtiÄ&#x;iniz nokta çemberin yarĹçapÄąnÄąn yarÄąsÄą kadar bir yarĹçapa ve aynÄą merkeze sahip olan daha kßçßk bir çemberin içine dĂźĹ&#x;erse ßçgenin bir kenarÄąndan daha uzun olacaktÄąr. ÇizdiÄ&#x;iniz kßçßk çemberin alanÄą, bĂźyĂźk çemberin alanÄąndan 4 kat daha kßçßk olacaÄ&#x;Äą için (đ??´đ?‘™đ?‘Žđ?‘› = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 ) çizdiÄ&#x;iniz doÄ&#x;ru parçasÄąnÄąn da ßçgenin bir kenarÄąndan daha uzun olma olasÄąlÄąÄ&#x;Äą 1/4 olacaktÄąr.

Paradoks İçin BazÄą ÇÜzĂźmler 1.: Klasik ÇÜzĂźm Paradoksun klasik problemi yapacaÄ&#x;ÄąmÄąz rastgele seçimin nasÄąl olduÄ&#x;u metoduna dayanÄąr. EÄ&#x;er seçimi nasÄąl yapacaÄ&#x;ÄąmÄąz tam belirlenmemiĹ&#x;se, olasÄąlÄąÄ&#x;Äą nasÄąl hesaplayacaÄ&#x;ÄąmÄązÄąn da kesin bir çÜzĂźmĂź olamaz.

Bertrand’Ĺn yarattÄąÄ&#x;Äą ßç çÜzĂźm yolu da farklÄą seçim metodlarÄą içindir. Bu bilgi eksik olduÄ&#x;u sĂźrece bir çÜzĂźm yolunu diÄ&#x;erine tercih edemeyiz.

3. cevap için bir deÄ&#x;iĹ&#x;imin sĂśz konusu olacaÄ&#x;Äą kolaylÄąkla gĂśrĂźlebilir: kÄąrmÄązÄą çember nicelik olarak bĂźyĂźk çemberden farklÄą gĂśzĂźkĂźr. AynÄą Ĺ&#x;ey 1. cevap için de geçerlidir. Ancak 2. cevap hem kßçßk çember içeride oynatÄąldÄąÄ&#x;Äąnde, hem de bĂźyĂźklĂźÄ&#x;Ăź deÄ&#x;iĹ&#x;tirildiÄ&#x;inde nicelik olarak deÄ&#x;iĹ&#x;kenlik gĂśstermiyordur. 3. cevap sadece bĂźyĂźklĂźÄ&#x;Ăźyle oynandÄąÄ&#x;Äąnda aynÄą kalÄąr, 1. cevap ise hiç birinde kalmaz.

Klasik çÜzĂźm yoluna gĂśre doÄ&#x;ru parçasÄąnÄą nasÄąl seçeceÄ&#x;imizi bilmezsek olasÄąlÄąÄ&#x;Äą nasÄąl hesaplayacaÄ&#x;ÄąmÄązÄą da bilemeyiz.

Bune raÄ&#x;men, Jaynes hiçbir çÜzĂźm yolunu bunlara dayandÄąrarak deÄ&#x;erlendirmedi.

DeÄ&#x;iĹ&#x;mezlikleri

9

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

olasılıkları direk olarak göstermek için integral denklemleri kullandı. Sonucunda sadece 2. cevabın kendi denklemlerine uygun olduğunu buldu. Yani, kabul edilebilir ve makul bir sonuca ulaşabildi.

Yanda bulunan QR kodda eğlenceli birkaç örnekle 3 cevabın da kullanılabileceği alanlar gösterilmiştir. Yani rastgele seçimin de tanımlandığı bazı örnekler verilmiştir.

Kaynakça Clark M. (2002), Paradoxes from A to Z (Routledge).

Gyenis Z., Redel M. (2014), “Defusing Bertrand’s paradox”, British Journal for the Philosophy of Science , 65.

Larson, Richard, and Katie Livingston Vale. “Bertrand's Paradox.” Bertrand's Paradox, Massachusets Institue of Technology, web.mit.edu/tee/www/bertrand/.

10

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3

Beklenen DeÄ&#x;er (Expected Value) Arman Ă–zcan Beklenen deÄ&#x;er, olasÄąlÄąk kuramÄąnda bir deneyin çok sayÄąda tekrar edilmesi sonucu ortaya çĹkan teorik ortalama deÄ&#x;erdir. Ä°statistik biliminden yorumlayacak olursak; normal daÄ&#x;ÄąlÄąm gĂśsteren grafiklerdeki veriler, her iki yĂśnden beklenen deÄ&#x;ere doÄ&#x;ru artan bir trend gĂśsterecektir.

Beklenen deÄ&#x;er, sonucu sayÄąsal bir deÄ&#x;er olan deneylerde her bir sonucun meydana gelme olasÄąlÄąÄ&#x;Äą ile çarpÄąlÄąp bu deÄ&#x;erlerin toplanmasÄą ile bulunur: đ??¸(đ?‘‹) = ∑đ?‘– đ?‘Ľđ?‘– Ă— đ?‘ƒ(đ?‘Ľđ?‘– ) Ă–rnek vermek gerekirse, bir hilesiz zarÄąn beklenen deÄ&#x;eri aĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki gibi bulunur: 1 6

1

1

1

1

6

6

6

6

(1) + (2) + (3) + (4) +

1

(5) + (6) = 3.5 6

KÄąsacasÄą, hilesiz zar deneyinde bir zar çok kez atÄąldÄąÄ&#x;Äąnda ortaya çĹkan veriler 3.5’a doÄ&#x;ru gidildikçe artÄąĹ&#x; gĂśsterecektir. Ä°statistik gibi geniĹ&#x; bir alanÄąn konusu olan beklenen deÄ&#x;erin kullanÄąm alanlarÄąnÄą açĹklamak uzun sĂźrecektir, o yĂźzden ben doÄ&#x;rudan beklenen deÄ&#x;er problemine giriĹ&#x; yapmak istiyorum.

YazÄą-Tura Oyunu Ă–ncelikle basit problemlerde baĹ&#x;layalÄąm. Hilesiz bir parayla tura gelene kadar yazÄą-tura atÄąlÄąyor. Bu oyunun sĂźreceÄ&#x;i hamle sayÄąsÄąnÄąn beklenen deÄ&#x;eri nedir? Bu sorunun cevabÄąnÄą belki de içgĂźdĂźsel olarak bulmuĹ&#x; olabilirsiniz.

Ancak yine de matematiksel olarak gĂśstermek gerekiyor: 1

Hilesiz paranÄąn kaçĹncÄą hamlede tura geleceÄ&#x;inin beklenen deÄ&#x;erine ET diyelim. Ä°lk hamlede tura gelme olasÄąlÄąÄ&#x;Äą 2 1

‘dir. Ä°lk hamlede yazÄą gelip, ikinci hamlede tura gelme olasÄąlÄąÄ&#x;Äą 4 ‘dir. BĂśyle devam ettirirsek eÄ&#x;er ET’yi aĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki gibi buluruz: ET

1 =

2

1

1

1

4

8

16

(1 ℎ����) + (2 ℎ����) + (3 ℎ����) + ET

1 =

2

2

3

4

4

8

16

+ + +

(4 ℎ����) + ⋯

+â‹Ż=

1/2+ 1/4+

1/4+

1/8+

1/8+

1/8+

1 / 16 +

1 / 16 +

1 / 16 +

1 / 16 +

+‌

+‌

+‌

+‌

=1+

=1/2+

=1/4+

=1/8+‌

11

=2

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Bu sonsuz toplamdan ET’nin, yani tura çıkacağı hamle sayısının beklenen değerin, 2 olduğu görülmektedir. İkinci bir yöntemden bu oyunun beklenen değerini bulmak için asağıdaki şekil kullanılabilir: ET 1

1

2

2

Yazı (1 + BT hamle)

Tura (1 hamle)

Yazı geldiğinde oyun ilk baştaki durum ile aynı hale geldi, yani bir nevi oyunumuz sıfırlandı. Bu yüzden yazı geldiğinde tura geldiği hamle sayımız ilk yazı-tura atışı (1 hamle) artı ET olacaktır.

1

ET = 2 (1) + 1 2

1 2

(1 + ET)

ET = 1

ET = 2 Böylece, bu yoldan da cevabı 2 bulmaktayız. Sonuç olarak matematiksel olarak göstermiş olduk ki tura gelene kadar yazı-tura atıldığı bir oyunda ortalama 2 hamlede tura gelir ve oyun biter.

Gösterdiğim her iki yöntem de benzer problemlerin çözümü için çok kullanışlıdır. Özellikle ikinci yöntem olan “ağaç çizme metodu” daha akıllıcadır ve problemleri çok kolay hala getirmektedir.

Aşağıda ilgi çekici beklenen değer problemleri bulunmaktadır. Arzu eden okuyucularımız problemleri çözmeye çalışabilirler.

1) Bir oyunda yazı geldikten hemen sonra tura gelene kadar yazı-tura atılmaktadır. Bu oyun ortalama kaç hamlede biter?

2) Bir oyunda art arda iki kez yazı gelene kadar yazı-tura atılmaktadır. Bu oyun ortalama kaç hamlede biter?

3) 16 yaşındaki bir maymun hilesiz bir zar atmakta ve çıkan sonuçları bir kağıda yan yana not etmektedir. Bu maymun kağıda kendi yaşını yazdığında kağıttaki rakam sayısı ortalama kaçtır? (Sorudaki maymunun yazı yazabilen zeki bir maymun olduğu farz ediliyor.)

4) Yukarıdaki soruya ek olarak, eğer maymun yaşını yazdığında kağıttaki rakamlarda toplam 2 tane “1” yazılmış işe kağıttaki rakam sayısı ortalama kaçtır?

St. Petersburg Paradoksu Beklenen değer çoğu zaman günlük hayatımızda da kullanacağımız güvenli bir araç olsa da kimi zaman anlamsız sonuçlara verebilmektedir. St. Petersburg paradoksu bunun en güzel örneklerinden bir tanesidir. Bu paradoks, beklenen değeri sonsuz olan bir yazı-tura oyununu konu edinmektedir. Paradoksu anlatmaya başlayalım: Bir kumar oyununda hilesiz parayla yazı-tura atılmaktadır. Oyunun kurallarına göre oyuncu eğer ilk atışta yazı gelirse $2 kazanıyor. İlkinde gelmez ikincisinde gelirse $4 kazanıyor. Aynı şekilde yazı ilk kez 3. atışta gelirse ise $8

12

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3

kazanÄąyor. Bu dĂźzen, para ĂśdĂźlĂź $16, $32, $64‌ olacak Ĺ&#x;ekilde devam ediyor. Bu oyuna giren kiĹ&#x;i ortalama ne kadar kazanÄąr? đ?‘– đ??¸(đ?‘‹) = ∑∞ đ?‘– 2 Ă—

1 2đ?‘–

=1+1+1+â‹Ż= ∞ veya

1

1

1

1

đ??¸(đ?‘‹) = 2 ($2) + 4 ($4) + 8 ( $8) + 16 ($16) + â‹Ż = ∞ Sonuç olarak, beklenen deÄ&#x;eri hesapladÄąÄ&#x;ÄąmÄązda deÄ&#x;erin sonsuz olduÄ&#x;unu gĂśrmekteyiz. Ancak pratikte bu kumar oyununu oynayanlarÄąn sonsuz miktarda paraya sahip olamayacaÄ&#x;Äą kesindir. Bu paradoksun çÜzĂźmĂź için matematikçiler gĂźnĂźmĂźzde hala uÄ&#x;raĹ&#x;makta ancak henĂźz tam anlamÄąyla açĹklama getirebilen olmadÄą. 18. yĂźzyÄąlda yaĹ&#x;ayan GeorgesLouis Leclerc, Comte de Buffon adÄąndaki FransÄąz matematikçi, bu oyunu 2048 kez oynayarak deneysel bir beklenen deÄ&#x;er bulmuĹ&#x;tur. Deney sonucu olarak ortalama $9.82 deÄ&#x;erinÄą bulmuĹ&#x;tur. GĂśrĂźldĂźÄ&#x;Ăź Ăźzere, beklenen deÄ&#x;er hesaplamasÄąna gĂźvenerek oyuncularÄąn bu oyunu oynamak için ortaya bĂźyĂźk meblaÄ&#x;lar koymamasÄą gerekiyor.

Kaynakça https://www.math.tamu.edu/~david.larson/garcia13.pdf

13

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Elealı Zenon ve Aşil Paradoksu Berra Doğan Elealı Zenon veya diğer bir değişle Zenon’un MÖ 490- MÖ 430 yılları arasında yaşadığı rivayet edilmekte olsa da yaşadığı dönem ve coğrafyadan dolayı doğum ve ölüm tarihi kesin değildir. Zenon Elea Okulu 'nda yetişen önemli filozofları arasında yer almakla birlikte mantık ustası ve diyalektik düşüncenin en önemli geliştiricilerinden biridir.

Temel anlayışı, dünyayı anlamak için asıl olarak duyularımıza ve duyusal deneyimlerimize değil; mantık, akıl yürütme ve matematiğe güvenmemiz gerektiğidir.

Zenon düşüncelerdeki doğrulardan önce çelişkileri bulması nedeniyle kendisinden yaklaşık bir asır sonra yaşamış olan Aristoteles onu “diyalektik” adını verdiği tartışma türünün kurucusu olarak adlandırır. Ayrıca Zenon’un ününün günümüze kadar ulaşmasına yardım eden temel kişi de fizikte Zenon’un paradokslarına yer vermesiyle Aristoteles olmuştur. Ancak her şeye karşı çıkmasıyla ün kazanan Zenon paradokslarda hiçbir şeyin değişmediği; hareketin ve değişmenin olanaksız olduğunu, bunların bir yanılsama olduğunu ve temelde varlığın değişmeyen bir halinde bulunduğunu öne sürerek başı olarak bilindiği diyalektikçilerin de karşısında bir tutum sergilemiştir. Bu tutumunun doğru olduğunun bir kanıtı olaraksa en ünlüleri “Aşil paradoksu” ve “ok paradoksu” olan birçok paradoks geliştirmiştir ve Bertrand Russell, Henri Bergson, Alfred North Whitehead, Hegel gibi çağdaş filozofların çalışmalarında ve ünlü Rus Şekil 1 Zenon Heykeli yazar Lev Tolstoy’un Savaş ve Barış romanında paradokslardan bahsetmiştir.

Aşil paradoksu (Aşil ile Kaplumbağa)Aşil olarak da anılan Akhilleus ölümlü Peleus ve su tanrıçası Thetis'in oğlu, yarı tanrıdır ve dünyanın en büyük savaşçısı kabul edilir. Truva Savaşı'nın Grek kahramanlarının başında gelerekse Homeros'un İlyada mitolojik eserinde Greklerin en büyük savaşçısı olarak yerini almıştır. Zenon da paradokslarının birinde, Aşil paradoksunda dünyanın yavaş hayvanı olan kaplumbağa ve hızlı, güçlü, dayanıklı Akhilleus’u yarıştırmıştır.

Zenon, kaplumbağanın- yavaş olduğu için Aşil’in önünde başlaması durumunda Aşil’in kaplumbağayı hiç yakalayamayacağını savunarak dönemi için büyük bir paradoks oluşturmuştur. Zenon paradoksu Aşil’in kaplumbağayı yakalayabilmesi her zaman ilk olarak koşusuna başladığında kaplumbağanın olduğu yere ulaşması ve daha sonra tekrardan kaplumbağanın ilerleyerek ulaştığı yere ulaşması gerektiği gerekçesiyle açıklar ve kaplumbağanın hareketinin sürdüğü müddetçe bu kovalamacanın bitip Aşil’in kaplumbağaya ulaşamayacağını belirtir.

Bilgi Kutusu-1 Çok güzel bir tanrıça olan Thetis’e, Efsaneye göre hem Göklerin, şimşeklerin ve gök gürültülerinin tanrısı Zeus hem de denizler, depremler ve atlar tanrısı Poseidon su tanrıçası Thetis’e aşıktır ve ondan bir erkek çocuk isterler. Hatta Zeus onunla evlenmeyi bile düşünür. Ancak ateş hırsızı Prometheus’un Zeus’a Thetis’ten doğacak çocuğunun kendisinden bile güçlü olacağını söylemesiyle otoritelerini sarsabilecek üstün bir gücün ortaya çıkışını engellemek isteyen tanrılar Thetis’in bir ölümlü (Peleus) ile

evlenmesini ayarlarlar.

Aşil’in düşüncesine bir örnek vermek gerekirse Aşil’in 30 m/s hızında ilerlediğini, kaplumbağanın 0.3 m/s ilerlediğini ve Aşil’in kaplumbağadan 300 metre gerisinde olduğunu varsayalım ve Aşil’in başladığı noktayı A0, kaplumbağanın başladığı noktayı A1 ve Aşil’in her kaplumbağanın olduğu yere geldiğinde kaplumbağanın ulaştığı yerlere sırasıyla A2, A3, A4, … , An diyelim. Bu

14

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

durumda Aşil, kaplumbağayı kaplumbağa hiç ilerlemezse 10 saniyede A1 noktasına ulaşır ancak bu 10 saniyede kaplumbağa da 3 metre ilerleyerek A2 noktasına ulaşır ve Aşil’in A2’ye gelmesi 1/10 saniyesini alır. Lakin kaplumbağa da bu süreçte ilerlemiş olur. Böylelikle bu mantıkla düşünen Zenon Aşil’in kaplumbağaya ulaşabilmek için sonsuz hareket yapmasını ve bunun mümkün olamayacağını söyler ve Parmenides’in sadık bir öğrencisi olarak Parmenides’in “Gerçek tektir ve değişmez. Çokluk, değişim ve hareket aslında yokturlar ve duyularımızın bizi kandırmasından kaynaklanırlar.” düşüncesini savunur.

Bilgi Kutusu-2 Thetis oğlu Akhilleus’u (Aşil) ölümsüzlük nehri Styx'de yıkarken elini suya değdirmemesi öğütlendiği için onu sol topuğundan tutup suya batırmış ve Aşil’in sol topuğu suya değmemiştir. Bu yüzden de Aşil’in yalnızca sol topuğundan vurulursa öleceğine inanılmıştır.

Günümüzde de Aşil efsanesinden kaynaklı olarak ayak topuğunda yer alan

Şekil 2 Gidilen Yol

tendona "aşil tendonu" adı verilmiştir.

Ancak günümüzde bu probleme yeni bir pencere açan matematikçilerle Aşil’in kaplumbağaya ulaşılabileceğine dair bir kanıt oluşturularak bu paradoksu, paradoks olmaktan çıkarmışlardır. Matematikçiler Şekil 2’de de görüldüğü gibi her bir yeni noktaya ulaşması 10 kat daha az sürdüğü için Aşil’in kaplumbağayı yakalamasının aşağıdaki işlemler sayesinde 10/9 yani ortalama 1.11 saniye alacağını göstermişlerdir: S = 1 + 1/10 + 1/100 + …

Küçük Bir de Bulmaca (1 TL Nerede?)

10S = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + …

3 arkadaş 1 radyo almaya gider radyonun fiyatı 30 TL’dir. Her arkadaş 10 TL verir ve radyoyu

10S = 10 + S

alırlar. Sonra radyocunun sahibi o ürünün

9S = 10

indirimde olduğunu hatırlar indirimli fiyatı da 25 TL’dir. Çırağına der ki:

S = 10/9 -Bu 5 TL’yi al onlara ver çırak yolda düşünür

Kaynakça

bunlar radyoyu ortaklaşa aldılar. 5 TL’yi de

Bayar Bravo, I. (n.d.). Antikçağda Varlık ve Bilgi Problemleri Üstüne. Süleyman Demirel Üniversitesi Felsefe Dergisi. Retrieved April 21, 2019, from http://flsfdergisi.com/sayi4/43-58.pdf

paylaşırlar bu 5 TL’yi 3’e bölemezler ben bunun

Çavuş, H. (n.d.). Elealılarda Mantık. Pamukkale Üniversitesi Felsefe Dergisi. Retrieved from http://www.academia.edu/download/7377501/eleamantigi.doc

3 arkadaş en başta 10’ar TL vermiş ve daha

2 TL’sini alırım 3’ü 3 arkadaş paylaşırlar.

sonra 1 TL almışlardır. Yani kişi başı 9’dan toplam 27 TL vermişlerdir, çırakta ise 2 TL var.

Bunların toplamları 29 ise 30 TL’den kalan 1 TL nerededir?

15

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Flavio’nun Sorusu Zeynep Baştaş

Ali Nesin Portekiz’e gittiğinde onun matematikçi olduğunu öğrenen bir liseli ona birkaç matematik sorusu sormuş. Bu çocuğun adı Flavio’ymuş. Ali Nesin Flavio’nun sorduğu sorulardan birini ve cevabını paylaşmış. Soru şu şekilde: 1000 öğrencisi olan yatılı bir okulda her öğrenciye 1’den 1000’e kadar numaralandırılmış dolaplar veriliyor. Fakat çilingir bir hata yapıyor ve dolaplardan birinin kilidi döndüğünde (açıldığında ya da kapandığında) o dolabın numarasının katı olan dolapların da kilidi dönüyor (açıksa kapanıyor, kapalıysa açılıyor). Örnek olarak 7 numaralı dolap açıldığında ya da kapandığında, 14 numaralı dolap da açıksa kapanıyor ya da kapalıysa açılıyor. Aynı durum 21, 28, 35, … numaralı dolaplarda da söz konusu oluyor.

Başlangıçta dolapların hepsi kapalıyken bir numaralı dolabın sahibi dolabını açıyor. Bunu sonucunda bütün dolaplar açılıyor. Daha sonra iki numaralı dolabın sahibi olan öğrenci geliyor ve açık olan dolabını kapatıyor. Bunun sonucunda da çift numaralı olan dolaplar kapanıyor. Sonra üç numaralı dolabın sahibi olan öğrenci geliyor ve açık dolabını kapatıyor. Sonuç olarak 6 numaralı dolabın kapalı olan kilidi açılıyor, açık olan 9 numaralı dolabın kilidi kapanıyor, kapalı olan 12 numaralı dolabın kilidi açılıyor ve bu böyle gidiyor.

Bunlardan sonra Flavio sormuş sorusunu: 1000 öğrenci de dolaplarının kilitlerini sırayla bir kez döndürdüklerinde, hangi dolaplar açık kalır?

Soruyu düşünmek isteyen okuyucularımız yazının devamını okumadan önce çözümü bulmak için uğraşabilir.

Burada dikkat etmemiz gereken her dolabın kaç kere açılıp kapanmış olduğu. Eğer bu sayı tekse, dolap açık olacaktır. Eğer sayı çiftse dolap çift kalacaktır. O zaman bir dolabın kaç defa açılıp kapanacağını bulmalıyız. Bu da o dolap numarasının bölünebildiği sayıların sayısı değil midir? Mesela 8 numaralı dolap, “1, 2, 4, 8” öğrencileri tarafından açılıp kapanacaktır. Yani toplam 4 kere. Bu da demektir ki 8 numaralı dolap kapalı kalacaktır. Peki 36 numaralı dolaba

16

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3

bakarsak, “1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36â€? ĂśÄ&#x;rencileri tarafÄąndan açĹlÄąp kapanÄąr, yani tam 9 kere. Bu da demektir ki 36 numaralÄą dolap açĹk kalacaktÄąr.

DolayÄąsÄąyla biz n numaralÄą bir dolaba sahip olduÄ&#x;umuzda, bu n sayÄąsÄąnÄąn kaç doÄ&#x;al sayÄąya bĂślĂźnebildiÄ&#x;ini bulmalÄąyÄąz. n sayÄąsÄąnÄą asallarÄąna ayÄąralÄąm: đ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž1 đ?‘?2 đ?‘Ž2 đ?‘?3 đ?‘Ž3 đ?‘?4 đ?‘Ž4 . . . đ?‘?đ?‘&#x; đ?‘Žđ?‘&#x; Bu đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 . . . đ?‘?đ?‘&#x; sayÄąlarÄą n sayÄąsÄąnÄą bĂślen asal sayÄąlardÄąr. SÄąra n’yi bĂślen sayÄąlarÄą bulmaya geldi.

0 ≤ đ?‘?1 ≤ đ?‘Ž1 , 0 ≤ đ?‘?2 ≤ đ?‘Ž2 ‌. 0 ≤ đ?‘?đ?‘&#x; ≤ đ?‘Žđ?‘&#x; koĹ&#x;ulu için, bĂślenleri Ĺ&#x;u Ĺ&#x;ekilde yazabiliriz: đ?‘?1 đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘?2 đ?‘?3 đ?‘?3 đ?‘?4 đ?‘?4 . . . đ?‘?đ?‘&#x; đ?‘?đ?‘&#x; Her bir bi sayÄąsÄą için ai+1 seçeneÄ&#x;imiz var. Yani n’nin (a1 + 1) (a2 + 1) ‌ (an + 1) tane bĂśleni vardÄąr. Bu sayÄą çift bir sayÄą ise dolabÄąn kapaÄ&#x;Äą kapalÄą kalacaktÄąr. EÄ&#x;er sayÄą tek sayÄą ise açĹk kalacaktÄąr. Bu sayÄąnÄąn çift sayÄą olabilmesi için ai + 1 sayÄąlarÄąndan birinin çift sayÄą olmasÄą yani ak sayÄąlarÄąndan birinin tek sayÄą olmasÄą gereklidir.

Bu ifadeden Ĺ&#x;unu da çĹkarabiliriz: Bu sayÄąnÄąn tek olmasÄą için de her bir ai + 1 sayÄąsÄąnÄąn tek sayÄą olmasÄą, yani ai sayÄąlarÄąndan her birinin çift olmasÄą gereklidir. Her ai sayÄąsÄąnÄąn çift olmasÄą da a sayÄąsÄąnÄąn bir sayÄąnÄąn tam karesi olduÄ&#x;u anlamÄąna gelmektedir. ÇßnkĂź her ai çiftse, ai sayÄąsÄą 2ci olarak yazÄąlabilir. Bu da Ĺ&#x;u eĹ&#x;itliÄ&#x;i kanÄątlar: đ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž1 đ?‘?2 đ?‘Ž2 đ?‘?3 đ?‘Ž3 đ?‘?4 đ?‘Ž4 . . . đ?‘?đ?‘&#x; đ?‘Žđ?‘&#x; = đ?‘?1 2đ?‘?1 đ?‘?2 2đ?‘?2 đ?‘?3 2đ?‘?3 đ?‘?4 2đ?‘?4 . . . đ?‘?đ?‘&#x; 2đ?‘?đ?‘&#x; = (đ?‘?1 đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘?2 đ?‘?3 đ?‘?3 đ?‘?4 đ?‘?4 . . . đ?‘?đ?‘&#x; đ?‘?đ?‘&#x; )2 Bu eĹ&#x;itliÄ&#x;in tersine baktÄąÄ&#x;ÄąmÄązda onun da doÄ&#x;ru olduÄ&#x;unu gĂśrĂźrĂźz. EÄ&#x;er n sayÄąsÄą tam kareyse, ai sayÄąlarÄąnÄąn da her biri çifttir.

Sonuç olarak tam kare bir numaraya sahip olan dolaplar açĹk kalĹrken, tam kare numarasĹ olmayan dolaplar kapalĹ kalacaktĹr.

Kaynakça Nesin, Ali. Flavio’nun Sorusu.

17

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Sanatsal Paradokslar Seray Çakır Yunanca para: karşıt ve doxa: düşünce, inanış sözcüklerinden meydana gelen “paradoks” kavramı; isminin hakkını vererek bizleri “düşünsel yanılsamalara, çelişkilere, mantıksal tutarsızlığa” sürükler. Birçok matematikçinin, filozofun, şairin ve yazarın eserlerinde karşımıza çıkan algısal paradokslar, görsel sanatlarda da “Biz buradayız!” demekte ve iddialarını korumaktadırlar. Paradoks ve sanatın bu tarihi buluşması, Kant’ın sanat anlayışının temelini oluşturur. Kant’a göre, sanat doğa gibi göründüğünde güzeldir fakat biz onun sanat olduğunun bilincinde olmalıyız. Burada “sanat” olarak kastedilen bir amaç doğrultusunda gerçekleşen insan edimi hatta o edimin ortaya koyduğu herhangi bir ürün, yapıttır. Bahsi geçen ürün de salt bir güzelliğe kavuşmak adına, doğa gibi tasarlanmamış ve kavram bağlamından uzaklaşıp bağımsızlığını ortaya koymuş olmalıdır. Görsel ürünlerdeki renklerin ve birtakım biçimlerin yarattığı iki boyuttaki paradoksal yapıya ve sanatçıların paradoksal denklemleri eserleriyle nasıl bütünleştirdiklerine bir göz atalım: I.

Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

Kardeşi Berend Escher’in teşviğiyle matematiğe ilgi duyan Hollandalı sanatçı; simetri, felsefe, sonsuzluk alanlarındaki alakasını da harmanlayarak iki ve üç boyutlu kavramlar biçeminden sonsuzluğa uzanan bir düşünce temsiline ulaşmıştır. Zaman ve uzay sonsuzluğunu, sanatsal sonsuzluğa addetmiş, sınırlı bir alanda negatif pozitif farklılığında konulan şekiller ile kendisine has bir perspektif yaratmıştır.

Şekil 1.Escher, Konkav ve Konveks Birbiri ile uyumsuz ifadeleri estetik olarak sunabilen ve gerçeküstü bir algı yaratabilen sanatçıya yukarıdaki eseri için Gombrich tarafından şöyle bir yorum yapılmıştır: “... Özellikle perspektifinin bu denli doğru gözükmesi nedeniyle, Hogarth’ın kazı resminin karşıtıdır. Fakat resme daha dikkatli baktığımızda, bu türden yapıların bizim gerçekliğimizde yerinin bulunmadığını, sanatçının bizi yukarısının ve aşağısının, sağın ve solun söz konusu olmadığı düzlemlere götürmeye çalıştığını anlarız. Resim, sanatçının uzam sorunu üzerindeki düşünme eylemini içermekte, fakat bununla eşzamanlı olarak uzamın gözleminde izleyicinin oynadığı rolü de sergilemektedir. Tek tek nesneler ile çeşitli bakış açıları arasında amaçlanan ilişkileri kavramaya çalışırken, sanatçının düzenlemelerinin çelişkili yanlarını da ortaya çıkarmaktayız.”

18

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Şekil 2.Escher, Çizen Eller Escher’in “Çizen Eller”i, optik yanılsamayı gözler önüne sermektedir. Sağ elin sol eli, sol elin de sağ eli çizmesi üzerine bir paradoksa düşüyoruz. Escher’in resimlerinin “paradokslar” kullanılmadan açıklanabilmesi içinse daha güçlü bir anlam seviyesine ihtiyaç duyuyoruz. Tıpkı resimlerine hükmeden ressam Escher’in kendi kurallarını kendisi koyması gibi…

II.

Patrick Hughes (1939)

“Reverspective” (Ters Perspektif) akımının öncüsü İngiliz öğretmen, yazar, tasarımcı ve görsel sanatçı Hughes; birçok Trompe l'oei (göz aldanması) resimlerine imzasını atmıştır. Bu biçemin en dikkat çekici özelliği iki boyutlu resmin temsil ettiği şeyin kendisi olduğu sanısıdır. Reverspective’de esere önünden bakacak olursak boyalı ve üç boyutlu bir perspektifle karşılaşırız. Tablonun 180 derecelik açısında başımızı hareket ettirdiğimizde ise üç boyutlu yüzeylerin arasında meydana gelen “optik geçiş” yeni bir görüntü elde etmemizi sağlar. Ayrıca sanatçının resimlerinde yakaladığı hayali derinlik kurgusu ve sayısız bakış açısı da özgünlüğünün bir göstergesidir. Birçok açıdan resimlerini değerlendirdiğimizde “Ters Perspektif” kavramına uygun olarak bir resim içerisindeki farklı konu bütünlüklerine rastlarız.

Bu da bizleri paradoksal bir çelişkiye iter.

Şekil 3. Hughes, Pleasure Island

19

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Şekil 4. Hughes, Downtown Uptown “Perspektif ilkeleri ters ve olağanüstü bir şey olur. Heykel resim halinde katılaştığı zaman; zihin statik bir resim içinde kendi isteğiyle hareket edebilir, imkânsız zanneden elde edilir. ” Patrick Hughes III.

Rene Magritte (1898-1967)

Belçika’da dünyaya gelmiş ve sanat eğitimini tamamlamıştır. Afiş ve reklam da tasarlayan ressam, “gerçeküstücülük” akımının en önemli sanatçılarındandır. Magritte’nin eserlerinde objeler başkalaşıma ve radikal bir değişikliğe uğramıştır. Sanatçının “Bu bir pipo değildir.” yapıtı, tanınan bir eseridir.

Şekil 5. Magritte, İmgelerin İhaneti Bu resimde görülen bir pipodur fakat altındaki yazı algısal bir probleme yol açar. Burada verilmek istenen mesaj ise pipo olarak gördüğümüz nesnenin yalnızca gerçek dünyadaki herhangi bir piponun görüntüsü olabileceğidir.

“Görüntüler bizde birtakım duygular uyandırdığına göre, gösterilenle gösteren arasında gerçekçi bir ayırım yapmak anlamsızdır. Bir anlamda resimde gördüğümüz pipo, cebimizdeki pipodan daha gerçektir. Çünkü gördüğümüz şu ya da bu sapı olan, içi kirli ya da ağızlık yerinden bir parça kopmuş belli bir pipo değil, genel bir pipodur. ‘Pipo’ dediğimiz

20

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

nesnenin varlığını, kafamızdaki pipo kavramı belirler. Kuşkusuz ‘pipo’ sözcüğü bir İngiliz ya da Fransız için yeterli olabilir...” (Lynton, 2014) *Bu resim ve yarattığı paradoksu hakkında daha ayrıntılı bilgiye ulaşmak için Michel Foucault’un “Bu bir pipo değildir.” kitabına başvurabilirsiniz.

Şekil 6. Margitte, İnsanın Oğlu Sonuç olarak paradoks algısını eserlerine yansıtan pek çok sanatçı bulunmaktadır. Bahsettiğimiz sanatçıların stillerini ele alacak olursak: Escher, uzay zaman mekân anlayışıyla; Hughes, optik algısıyla; Magritte de simge ve imge arasındaki kurduğu ilişkiyle paradoks yaratmayı başarmışlardır. Bu tür yapıtlarda kullanılan paradoks semantiği sınırlı olan birçok görüntüye yeni anlamlar yükler ve düşün dünyasının ufkunu genişletir. İki boyuta aktarılan imgelemlerin içerisindeki gerçekliğe erişme çabası ise sanat ve matematik var oldukça süregelecek, yani sonsuza dek insanlığın yakasını bırakmayacaktır. Gösterilenin ve gördüklerinizin paradokslarından sıyrılıp, doğru önermeler oluşturabileceğiniz bir hayat dilerim.

Kaynakça Bitlis, B. (2003). Dikkat Paradoks Var! Matematik Dünyası, 90-91.

Tüzün, M. C. (2017). Görsel Sanatlarda Paradoks. Uluslararası Sosyal Bilimler Dergisi, 295-314.

21

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Matematik Keşif midir İcat mı?

Simay Pala Matematik doğada kendiliğinden mi vardır, yoksa insanoğlu matematiği evreni anlamak için icat mı etmiştir? Tarih boyunca farklı bilim insanları bu konuda farklı görüşler ortaya atmıştır. Profesör Doktor Beno Kuryel’e göre matematik bir bilim dalı olarak düşündüğünde soyut değil, tam aksine insan aklının en mükemmel yönlerinden biri olan soyutlama sanatıdır.

Beno Kuryel bu tezini desteklemek için çokluğun fiziksel bir büyüklük mü matematiksel bir büyüklük mü olduğu sorunsalını incelemiştir. Kuryel, çokluğun fiziksel bir büyüklük olduğunu savunmuştur. Fakat çokluk diye nitelendirilen olgu anlamlandırılmaya çalışıldığında, başka bir deyişle sayılmaya çalışıldığında sayı soyutlanması icat edilmiş olur. Beno Kuryel ve birçok matematikçinin incelediği gibi uzun yıllardır tartışma konusu olan matematik keşif mi icat mı sorusunun cevabını bulmak için matematiğin nasıl ortaya çıktığını ve tarihsel gelişimini incelemeliyiz.

M. Ö. 550’li yıllarda “Matematik” kelimesi ilk kez Pisagor tarafından kullanılmıştır, anlamı ise “öğrenilmesi gereken şey”dir. Ancak matematik bundan çok daha uzun zaman önce ortaya çıkmıştır. Nerede ve nasıl ortaya çıktığı konusunda kesin bulgular olmasa da M. Ö. 3000 yılından bu yana Mezopotamya ve Mısır’da matematik kullanımına rastlanmıştır. Herodot’a göre matematik Mısır’da ve çiftçilerin tarlalarının sınırlarının karışmaması için alanlarını ya da Nil nehrinin su seviyesinin ne zaman nasıl olacağını hesaplama ihtiyacı gibi tarımsal sebeplerle ortaya çıkmıştır. Aristo ise matematiğin yine Mısır’da, ancak din adamları sayesinde ortaya çıktığını söylemiştir. Aristo’ya göre, dönemdeki üst sınıftan olan din adamlarının bilimsel uğraşlara ayıracak çokça vakitleri vardır ve can sıkıntılarını gidermek için matematiği kullanmaya başlarlar.

Matematiğin, her iki matematikçinin söylediği şekilde de ortaya çıkmış olması olasıdır.

Matematiğin tarihsel gelişimini Ali Ülger “Matematik Tarihi” yazısında beş dönem üzerinden incelemiştir: Mısır ve Mezopotamya Matematiği (M.Ö.

2000 - M.Ö. 500); Eski Yunan Matematiği (M.Ö. 500 M.S. 500); Hint, İslam ve Rönesans Matematiği (500 1700); Klasik Matematik Dönemi (1700 - 1900); Modern Matematik Çağı (1900 - ). Matematiğin bir keşif mi yoksa bir icat mı olduğunu anlamak için özellikle matematiğin ilk dönemleri olan Mısır ve Mezopotamya Matematiği ile Eski Yunan Matematiği’ni incelemek uygun olacaktır.

Mısır ve Mezopotamya Matematiği (M. Ö. 2000 – M. Ö. 500 ) Matematiğin çıkış yerinin Mısır olabileceği düşünülse de bu konuda günümüze kadar kalan yazılı kaynak sayısı çok azdır. Bunlardan birisi M. Ö. 2000 civarından kalma, matematik öğretmek için yazılmış ve içinde çözümleriyle birlikte sorular da bulunduran bir papirüstür. Burada ortaya çıktığı düşünülmesine rağmen matematiğin gelişimi Mısır’da oldukça yavaştır ve bunun nedeninin kullandıkları sayı sistemi ile ilgili olduğu düşünülmektedir. Mezopotamya’da matema-tiğe dair yazılı belge sayısı Mısır’da bulunanlara kıyasla oldukça fazladır. Bunun nedeni Mısırlılar papirüs kullanırken, Mezopotamya uygarlıklarının ise kil tabletler kullanıyor olmasıdır. Bu ilk dönemlerde kullanılan matematik o zamanda orada yaşayan insanların günlük hayattaki sorunlarına çözüm getirmek amacı taşımakla beraber oldukça basit seviyededir.

Eski Yunan Matematiği ( M. Ö. 500 - M. S. 500) M. Ö. 480 yılında Persler Atina’ya gelerek şehri ele geçirirler. Bundan bir yıl sonra Yunanlılar şehri geri alırlar ve Yunan Uygarlığı kurulmuş olur. Yunan Uygarlığı dönemi bilim ve felsefenin hızla geliştiği bir dönemdir. Yunanlılarda matematik aslında daha önce başlamış olsa da bu dönemde diğer bilimlerde olduğu gibi matematikte de büyük gelişmeler yaşanmıştır. Thales, Pisagor, Platon, Öklid, Apollonius, Arşimed ve Ptolemaios Yunan matematiğinin gelişimine katkıda bulunan önemli matematikçilerden-dir.

Milet’te doğan Thales’in geometriyi Mısır’da öğrendiği bilinmektedir. Ünlü matematikçi bir piramidin gölgesi ile kendi gölgesi arasındaki orandan yola çıkarak

22

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

geliştirdiği teoremi “Thales Teoremi” olarak adlandırmıştır. Matematikte soyut (deneye dayalı olmayan) ispat yapan ilk kişidir. Yani somut olan nesnelerin büyüklüklerini soyutlaştırarak bir teorem geliştirmiş ve bu teoremi somut nesneleri kullanmadan kanıtlamıştır. Bahsi edilen teorem dönemin matematik anlayışı için büyük bir sıçrayış olmuştur.

Pisagor da Thales’in tavsiyesiyle Mısır’a gidip orada geometri öğrenmiş, ancak orada esir düşmüş ve Babil’e getirilmiştir. Babil’de de öğrenme aşkına karşı koyamamış, elinde olan tüm imkânları değerlendirerek içinde bulunduğu ortamda öğrenimine devam etmiştir.

Doğum yeri olan Samos’a dönüşünün ardından bilgiyi aktarmak ve çoğaltmak amacıyla orada bir okul kurmuş ve öğrencilerine eğitim vermeye başlamıştır. Pisagor’a göre her şey sayılar üzerine kuruludur ve sayılar arasında mükemmel bir uyum vardır. Ünlü matematikçinin yaşadığı coğrafyada o, Pisagor Teoremini ortaya atana kadar sadece rasyonel sayıların varlığı biliniyordu.

Pisagor Teoremi, bir dik üçgende iki dar açının karşılarındaki kenar uzunluklarının karesinin hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olmasıdır. Bu teoremin bulunmasıyla irrasyonel sayıların varlığı ortaya çıkmıştır ve Pisagor’un sayılar hakkındaki düşünceleri çıkmaza girmiştir. 5. yüzyıl Yunan Pisagor-cuları, matematiğin gerçekliği anlama ve felsefi boyuttaki düşüncelerin somut imgeler ile insanlığa aktarımı için bir keşif, sayıların bu keşfi destekleyecek evrensel prensipler olduğuna inanmışlardır. Matematiğin atası sayılan Pisagor ve Thales’in Mısır’da eğitim almasından gördüğümüz üzere Yunan matematiğinin başlangıcı aslında Mısır ve Mezopotamya’ya dayanır.

Yalnızca matematiğe sayılar çerçevesinde bakmak bahsi edilen bilimin derinliğini anlamak adına yanlış bir adım olacaktır. Bu nedenle döneminin ileri filozoflarının matematik ile olan ilişkileri de incelenmelidir. Atina’da doğan Platon, Sokrates’in öğrencisidir. İtalya ve Mısır’da Pisagorculardan matematik öğrenir. Atina’ya geri döndüğünde “Akademius” isimli bir okul kurar. Bu okulda pek çok ünlü matematikçi eğitim almıştır. Bunlardan bazıları Öklid, Proclus ve Eudoxus’tur.

Matematikçi Ali Ülger bu konu üzerine birçok araştırma yapmıştır. Yaptığı araştırmalara göre Eudoxus ilk kez bir kozmos modeli tasarlamıştır. Aynı zamanda Eudoxus, entegral kavramının temeli olan “exhaustion” (“Exhaustion” yöntemi şekli düzgün olmayan, alanı ya da hacmi bilinmeyen bir cismin alan veya hacmini, alanı ya da hacmi bilinen şekillerle doldurarak o alanı ya da hacmi hesaplama yöntemidir) yöntemini geliştirerek Pisagorcuların sayı olgusunu değiştirmiş, sayıyı iki nokta arasındaki uzunluğun birbirine oranı biçiminde tanımlamış ve yaptığı bu tanıma uygun bir sayı aritmetiği icat ederek, irrasyonel sayıların icadı sonucu, matematiği içinde bulunduğu durgunluktan ve buhrandan kurtarmıştır. Platon’a göre de matematiksel kavramlar somuttu ve evrenin kendisi kadar gerçeklerdi. Öklid, matematiğe çokça katkıda bulunan isimlerden biridir. Kanıt gerekmeyen gerçekler olarak 5 tane aksiyom öne sürmüştür. Diğer tüm önermeleri bu aksiyomlar üzerine kuruludur. Bunlar şu şekilde sıralanabilir: 1. Herhangi bir noktadan herhangi başka bir noktaya bir doğru çizilebilir.

2. Bir tane doğru parçası her iki yöne de sürekli bir şekilde uzatılabilir.

3. Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap ile bir çember tanımlanabilir.

4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.

5. İki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğruyla aynı tarafta olan ve iç açılarının ölçüleri toplamı 90 dereceden küçük olan iç açılar oluşmasını sağlıyorsa, bu iki doğru sonsuza giderken bir noktada muhakkak kesişirler.

Beşinci aksiyoma sonrasında paralellik aksiyomu da denmiştir. Bu aksiyoma göre bir doğruya paralel ve o doğrunun üzerinde olmayan bir noktadan geçen sadece bir doğru vardır. Öklid’in diğer aksiyomları kullanılarak paralellik aksiyomu kanıtlanmaya çalışılsa da başarılamamıştır. 2000 yıllık bir sürenin ardından Öklid geometrisine alternatif geometriler ortaya çıkmaya başlamıştır ve bu geometriler paralellik aksiyomunu çürütecek niteliktedir. Bu geometriler hiperbolik geometri ve eliptik geometridir.

23

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Öklid geometrisinin fiziksel evreni açıklamaya yetmemesi ve bu nedenle Öklid dışı geometrilerin ortaya çıkması, matematik önermelerinin bazı durumlarda işe yararken bazı durumlarda işe yaramadığını göstermiştir.

Buradan da görüldüğü üzere matematik; doğada kendiliğinden bulunan bir şey değil, insanların evreni açıklamaya çalışırken geliştirdiği bir bilimdir. Bazen geliştirilen önerme açıklanmaya çalışan durumu açıklamaya yetmeyebilir, o zaman yeni bir önerme geliştirilmelidir. İcatların özelliklerinden biri geliştirilebilir ve üzerine yeni şeyler eklenebilir olmasıdır. İlk fotoğraf makinesi bir oda büyüklüğünde ve oldukça ilkel olmasına rağmen zamanla birçok yeni özellik eklenmiş ve elimizle taşıyabileceğimiz bir boyuta getirilmiştir. Matematiğin de her geçen gün gelişiyor, yeni teoremler bulunuyor olması onun icat olduğunun bir göstergesidir. İcat ile Keşif Kavramları İcadın kelime anlamı “Bilinen bilgilerden yararlanarak daha önce bilinmeyen yeni bir bulguya ulaşma veya yöntem geliştirme”dir. Keşif ise “Var olduğu bilinmeyen bir şeyin ortaya çıkarılması” demektir. Bu tanımları göz önünde bulundurduğumuzda da matematik keşiften daha çok bir icattır.

Matematikçiler, kendinden önce bulunmuş bilgilerin üzerine yeni bilgiler ekleyerek matematiği geliştirirler.

Var olduğu bilinmeyen bir şeyin ortaya çıkarılması matematik için uygun bir tanım değildir. Bunu bir örnekle açıklamak gerekirse, bir tarlanın belirli bir alan kapladığı zaten bilinen bir şeydir. Matematiğin buradaki rolü tarlanın fiziksel alanını alıp soyutlaştırarak bize sayısal bir sonuç vermesidir. İcadın özelliklerinden birisi insanlık için kolaylık sağlamasıdır. Matematik insanlık için büyük bir gelişme ve kolaylıktır. Günlük hayatın her yerinde kullanılır: yaşadığımız binalar, market alışverişi vs. matematiksel hesaplamalarla kullanılarak yapılır.

Matematiğin ilk ortaya çıkışına baktığımızda ve doğayı incelediğimizde matematiğin insanlık tarihinden önce de var olduğu ve dolayısıyla insanoğlunun matematiği keşfettiği düşünülebilir. Öte yandan, Tarım Devrimi’nden günümüze kadarki süreçte insanlar istek ve ihtiyaçlarını karşılamak için birtakım matematiksel

işlemleri icat etmek zorunda kalmışlardır. Örnek vermek gerekirse Tarım Devrimi’nden sonra ne kadar mahsul üretildiğini, kimin ne kadar toprağa sahip olduğunu ve hangi dönemlerde sulama ve hangi dönemlerde ekim yapılacağını hesaplamak için günümüzdeki matematiksel işlemler icat edilip kullanılmıştır. Bu noktada bazı matematikçiler icat edilen matematiksel işlemlerin zaten hali hazırda doğada var olduğu ve bu matematiksel işlemlerin insanoğlu tarafından icat edildikten sonra da doğadaki düzenin aynen devam ettiği için bu olayı icat yerine keşif olarak nitelendirmeyi daha uygun görmüşlerdir. Ancak sonraki zamanlarda diğer matematikçilerin geliştirdiği birbirinden farklı teoremlerde görüldüğü üzere matematik soyuttur.

Matematiği insanoğlu aklını ve sezgilerini kullanarak yaratmıştır. Günlük hayatta onluk tabandaki sayı sistemini kullanıyor olmamızın nedeni on parmağa sahip olmamızdır. Ondan farklı bir sayıda parmağa sahip olmamız, o sayı tabanındaki sayı sistemini kullanmamıza neden olabilirdi. Bilgisayarlar tarafından kullanılan iki tabanındaki sayı sistemi de insanoğlu tarafından icat edilmiştir. “Biz ışığın hızını icat etmedik, ancak onu Einstein’ın e=mc2 (enerji = kütle × ışık hızının karesi) gibi denklemlerle tartışmak, incelenmek için matematiği icat ettik. Başka bir deyişle doğayı, ‘matematik modelledik’.” (Kuryel, 2010) Sonuç olarak matematik, keşif ya da icat olarak kesin bir şekilde sınıflandırılamasa da icat olarak nitelendirmeye daha yakındır. Matematik, bir şeye “icat” denilebilmesi için gereken özelliklerin birçoğuna sahiptir.

Doğada ve evrende var olan ve insanoğlunun arayışları sonucu keşfedilen muntazam ilişkiler kullanarak ortaya çıkarılan bir olgudur. Bu noktada icatların bir özelliğinin de var olan bilgiler kullanılarak yeni bir şey ortaya çıkarmak olduğu göz önünde bulundurulduğunda matematiği icat olarak kategorize etmek daha uygundur. İcatların bir diğer özelliği de geliştirilebilir olmalarıdır.

Matematiğin de geliştirilebilir bir olgu olduğu söylenebilir. Yüzyıllar önce ilk ortaya çıkışında Mısır ve Mezopotamya topraklarında kullanılan ile günümüzde kullandığımız matematik gelişmişlik düzeyleri açısından oldukça farklıdır. Mısır ve Mezopotamya’da temelleri

24

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

atılan bu bilim, zamanla gelişmiş ve günümüzdeki halini almıştır. Sayılar kullanılarak toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri bulunmuş, bu dört basit işlem kullanılarak da karmaşık teoremler oluşturulmuştur.

Matematikte de diğer icatlarda olduğu gibi bir buluş bir diğerini tetikler. Gramofonun icadı, günümüzdeki CD çalarların icadına nasıl katkıda bulunduysa bir teoremin icadı da başka bir teoremin icadına katkıda bulunur. Bu teoremler de her zaman ilk icat edildikleri hallerinde kalmamış, zamanla geliştirilmişler ya da yanlış oldukları ispatlanarak yerlerine yeni teoremler konulmuştur. Öklid geometrisi bu duruma verilebilecek güzel bir örnektir. Ünlü matematikçi Öklid tarafından geliştirilen ve kendi

adını taşıyan bu sistem, yüzyıllarca geçerliliğini korumuştur. Ancak, zamanla matematiğin gelişmesi ile Öklid geometrisinin bazı durumlarda yanlış olduğu ve açıklayamadığı durumların var olduğu ispatlanmıştır.

Bunun üzerine yeni geometri sistemleri geliştirilmiştir.

Bir teoremde açıklar bulunmuş ve bu açıklar geliştirilen yeni teoremlerle düzeltilmiştir. Yani matematik, insanlıktan önce var olduğuna dair kanıt olmadığı ve icatların pek çok özelliğine sahip olduğu için, birçok saygıdeğer matematikçinin de belirttiği üzere bir keşif olmaktan ziyade bir icattır.

Kaynakça Beno, K. (2010). Matematik Keşif mi Yoksa İcat mı. Bilim Tarihi, (204. sayı). http://www.imo.org.tr/resimler/dosya_ekler/991760f915b6ca0_ek.pdf?tipi=2&turu=X&sube=16 adresinden erişildi.

Dosay Gökdoğan, M. (2010). Matematik nerede, ne zaman ve nasıl doğdu? Bilim ve Ütopya, (Haziran). https://www.bilimveutopya.com.tr/matematik-nerede-ne-zaman-ve-nasil-dogdu adresinden erişildi.

TED-Ed. (2014, 27 Ekim) Matematik keşif mi icat mı? https://www.youtube.com/watch?time_continue=171&v=X_xR5Kes4Rs adresinden erişildi. Ülger, A. (2003). Matematiğin Kısa Bir Tarihi. Matematik Dünyası, (1, 2, 3, 4.

Sayı).http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?yazar=Ali%20%C3%9Clger adresinden erişildi.

25

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Mühendislik Tarihi Kerem Öner Mühendislik Nedir?

Mühendislik mesleği insanlığın zaman içinde ihtiyaç duyduğu çeşitli yapıları: yol, bina, elektronik, makineler, yazılımlar, gıda; gerekli olan matematik ve bilimlerin yardımıyla oluşturulması ve bu esnada ortaya çıkan problemlerin çözülmesi üzerine kurulmuştur.

Mühendislik dediğimizde akla ilk gelen kavram matematiktir ve bu durum yanlış değildir. Çünkü mühendisler üretim veya tasarım aşamasında ortaya çıkan problemleri çözebilmek için asırlardır problem çözme konusunda insanlığa yardım etmiş olan matematiğe başvururlar. Mühendislerin ve bilim insanlarını ayıran fark ise, bilim insanları çeşitli deneyler ve yöntemlerle ortaya yeni bilgiler çıkarırlar fakat mühendisler bu bilgiler ışığında yeni teknolojiler geliştirir ve insanların kullanabileceği bir araç haline getirirler. Mühendislik dallarına örnek vermek gerekirse; makine mühendisleri tarım makinelerinden otomotive kadar içerisinde makine bulunduran sektörlerde çeşitli ekipmanların tasarımından ve bakımından sorumludurlar, bilgisayar mühendisleri çeşitli amaçlar için oluşturulan yazılımların en optimize ve en uygun şekilde yapılmasından sorumludurlar, inşaat mühendisleri ise köprüler, otoyollar, binalar gibi yapıların tasarımından ve inşa sürecinden sorumludurlar.

olduğunu göstermektedir. Oluşturulan yapı ve binalara ek olarak ortaya çıkan pusula, güneş saati gibi aletler de mühendislik ürünü sayılabilir. İnsanlığın mühendislik alanında gelişmesine çok katkıda bulunmuş bir uygarlık ise Antik Yunan’dır.

Antik Yunan’da Mühendislik Felsefenin ortaya çıktığı Antik Yunan’da mühendisliğin de temellerinin oluşturulması bir tesadüf değildir. Serbest düşünce ortamı, devlet yönetimindeki demokrasi, halk refahının yüksek olması, savaşlardan uzak olunması Antik Yunan halkını dönemin diğer uygarlıklarının aksine yeni bir şeyler üretmeye ve düşünmeye itmiştir. Düşünmenin yoğun bir şekilde gerçekleştiği bir ortamda felsefenin yanında, insan hayatına kolaylık sağlayacak teknolojilerin geliştirilmesi ve çeşitli mühendislik problemlerinin çözülmesi de kaçınılmaz olmuştur.

Elbette mühendisliğin dallara ayrılması her konudaki bilginin oldukça artması ve bir mühendisin tüm dalları yapamayacağından dolayı ortaya çıkmıştır.

Mühendisliğin çıkışını insanlığın başlangıcıyla aynı yere koyabiliriz. İlk insanlar çeşitli araç gereçler oluşturarak hayatlarına kolaylık sağlayabilecek eşyalar oluşturmuş ve ilk mühendislik çalışmalarını yapmışlardır.

Mühendisliğin tarih boyunca Rönesans ve Sanayi Devrimi gibi zamanlarda büyük adımlar atarak gelişmesini hızlandırdığı söylenebilir. Fakat daha da geçmişe bakılırsa Mısır Piramitleri gibi yapıların yapılması için gereken mühendislik bilgisi, eski uygarlıkların mühendislik konusunda ne kadar iyi

Güç Kaynakları Mühendislik denildiğinde güç ve enerji kaynaklarının kullanımı, yönetimi ve oluşturulması akla gelir. Antik Yunan’a bakıldığında tabii ki akla gelen ilk güç kaynağı insan gücüdür. Örneğin tapınakların yapımında kaldırılması gereken silindir şeklindeki sütunları insanların kaldırması gerekiyordu. Fakat taşlara bakıldığında bunların yeterince insan gücü olmasına

26

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

rağmen teknik olarak kaldırılması imkansızdı ve Antik Yunan’da Mısır’daki gibi çok büyük bir köle gücü yoktu.

Bu problemi çözmek için ise “çıkrık” denilen bir alet kullanılmıştır. Çıkrıklar ile hem kuvvetin yönü değiştirilebilmiş hem de kuvvet belirli bir miktarda arttırılabilmiştir. Aynı zamanda çıkrığın inşaat dışında, tıp biliminin kurucusu kabul edilen Hippocrates’in tezgahında da önemli rol oynadığı bilinmektedir.

Yunanlılar güç problemini sadece insan gücünü aletlerle arttırarak çözmekle kalmamış, su ve rüzgâr güçleri için çeşitli çark, mil ve değirmenler inşa ederek çok daha verimli güç kaynakları oluşturmuşlardır. Örneğin bir geminin hareketi için iki öküzün bir çark ve dişli sistemini döndürdüğü görülmektedir. Sanayi devrimi ile dünyada çok büyük etki yaratmış olan buhar gücünün de Antik Yunan’da çalışmaları yapıldığına dair deliller vardır. İskenderiyeli Heron bir anlatımında “Kazandaki su kaynağında bir pimin üzerinde dönmeye başlayan bir top…” (Landels 35) şeklinde buhar gücünden bahsetmektedir.

boru malzemesi olan kurşun, sağlığa kötü etki edebileceği ve kullanımında işçilere sağlayabileceği kullanım zorluklarından dolayı teknik olarak çok uygun bir malzeme olmasına rağmen tercih edilmemiştir. Onun yerine hem bir zararı olmayan hem de kullanım zorluğu olmayan pişmiş toprak tercih edilmiştir. Aynı zamanda günümüzde çok kullanılan bir alaşım olan lehim de Antik Yunan zamanında özellikle boruları oluşturmak için kullanılmıştır.

Vinçler ve Kaldırma Problemleri Çeşitli bina ve yapıların oluşması için büyük ve ağır cisimlerin kaldırılabilmesi gerekmektedir. Bunun için Yunanların çözümü ise günümüzdekine benzer bir vinç sistemi oluşturmak olmuştur. Çıkrıklar, makaralar, kıskaçlar ve halatlarla oluşturulan bu vinçler birçok ağır taşın veyahut yapı malzemesinin kaldırılmasında yardımcı olmuştur. Bu vinçlerin ve kaldıraçların oluşturulması birçok küçük parçanın kullanımlarının bir araya gelmesi ile olmuştur. Bu parçaların ve genel sistemin kontrolünü sağlayabilen ve her şeyi mantık, matematik çerçevesinde yürüten Yunanların basit makineler konusunda oldukça gelişmiş olduğu söylenebilir. Kuramsal bir şekilde ortaya bilimsel görüş ve metotlar konmasa da fizik alanında da en azından uygulanabilir yönüyle ilerlemiş bir uygarlık oldukları görülebilir. Buna bir örnek olarak da gemilerden çıkartma yapılacağı zaman geminin kıç tarafının kaldırılmasının gerekmesidir. Vinçlerle belirli bir miktar kaldırılır fakat kaldırmak için geri kalan kuvveti kaldırma kuvveti ile sağlanır. Bu durum hidrostatik kanunlarının çoğunun bilindiğini göstermektedir.

Su Problemleri Mühendislik çeşitli problemleri çözmek ve insan hayatına yardımcı olacak şeyleri üretmek üzerine kuruludur. Yunan şehirlerindeki en büyük problemlerden biri de su temin etmekti. Tabii ki Yunan mühendisler bu konuda da çeşitli çözümler üretmiştir. Suyun taşınması için oluşturdukları yapılardan biri de “substructio”lardır.

Altyapı anlamına gelen substructio kısaca dış yüzeyi taşlardan, iç yüzeyi molozlarla doldurulmuş ve yatağı su geçirmez çimentoyla kaplanmış bir çeşit kanaldır. Eğimli arazilerde su teminini oldukça kolaylaştıran bu yapılar Yunanların inşaat mühendisliğin yanında su geçirmez çimento gibi malzemeler üretmesi ile malzeme mühendisliğinin de temellerinin atılmış olduğunu göstermektedir. Yapılar oluşturulurken tabii ki malzeme mühendisliği de önemli bir yer taşımaktadır ve Yunanların tasarladığı su borularında da bu durumu görülebilir. Malzemelerin fiyatlarının, kullanımlarının ve sağlığa etkilerinin karşılaştırılarak bir tasarım yöntemi kullanılması, mühendisliğin aslında günümüzdekine yakın bir seviyede varlığını sürdürdüğü söylenebilir. Bir

Savaş Teknolojileri Mühendisler günlük hayata katkıda sağlayacak şeyler geliştirmesine rağmen o günün devlet açısından önemli ihtiyaçlarından biri de savaş teknolojileridir.

Düşmanlarına teknik bakımdan üstünlük sağlatacak araç gereçleri tasarlamaya en uygun kişiler tabii ki mühendislerdir. Eskiçağ dendiğinde dönemin üstün aleti olan mancınık; fizik, mühendislik ve matematiğin ortaya çıkardığı çok kullanışlı bir savaş aletidir. Tarihteki ilk

27

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

mancınık denilebilecek olan aletler yaylardır. Yaylardan fırlayan okların gücü ve sürati iki etkene bağlıdır: gerilen ipin sertliği ve ipin çekilme miktarı. Bu faktörlerin ikisi de insan gücü ile sınırlanan durumlardır ve mühendisler bu kısıtlamaları kaldırmak üzere çalışmışlardır. Yaydan bir sonraki aşama ise tatar yaylarıdır. Tatar yayları ise mancınık dendiğinde akla gelen devasa yapıların babası olarak sayılabilir. Tabii ki devasa kütleler fırlatan mancınıklardan önce tatar yayının büyük versiyonu olarak söylenebilecek yay mancınıkları üretilmiştir.

Mancınıkların oluşturulmasında da birçok alt parçanın icat edilmesi gerekmiştir. Hem mancınığın sağlamlığı hem de kolay kullanıma sahip olması dönemin malzeme mühendislerini bir hayli zorlamıştır. Üstüne üstlük fırlatılan kütlenin yaklaşık nereye düşeceğini hesaplamak ve gerekli ayarları yapmak zamanın mühendislerinin üstün fizik ve matematik bilgisini göstermektedir.

Matematiğin bir alt dalı olan geometrinin de mancınıklar sayesinde oldukça geliştiği düşünülmektedir.

bu birim sistemi iki birbirini tanımayan insan arasında iletişim yolu oluşturmuştur. Önemli Yunan Mühendisler Antik Yunan’daki mühendislik konusunda bu kadar ilerlemenin sağlanmasında deha denilebilecek bazı Yunan düşünür, mühendis ve matematikçiler önemli rol oynamaktadır. Hidrostatiğin temellerini atarak “eureka” sözüyle de tanınan Arşimet, zamanına göre çok ileride bir matematik ve fizikçidir. Düzgün şekilde olmayan cisimlerin suya batırılarak hacminin hesaplanabileceğini bulması, antik çağın en büyük gemisi olarak anılan “Syracusia”yı tasarlaması, günümüzde su pompalamasında kullanılan Arşimet vidasını geliştirmesi ve mancınıkların daha isabetli atış yapabilmesi için aynalardan oluşan bir sistem kurması onun ne kadar iyi bir mühendis ve fizikçi olduğunu göstermektedir. Ancak tüm bunların yanında geometri alanında kürenin yüz ölçümü ve hacmini hesaplaması ile de insanlığa büyük katkıda bulunmuştur.

Ölçü Birimleri

Antik Yunan’da yaşamış olan bir başka dahi ise İskenderiyeli Heron’dur. Heron’un sıvı ve gaz basıncı konularında bulduğu birçok özellik vardır. Bunların bazılarını eğlenceli aletler oluşturarak gösterilerde kullanmıştır. Fakat Heron’un yazdığı 3 kitaptan oluşan “Metrica” dönemin mühendisleri için paha biçilmez matematiksel bilgiler ve ispatlar sunmaktadır. Bir sayının karekökünü bulmayı sağlayan bir algoritma, değişik geometrik cisimlerin alanlarının hesaplanması için farklı formüller ve hala geometri derslerinde öğretilmekte olan üçgenin alanını sadece kenar uzunluklarını kullanarak bulmaya yarayan Heron formülü kitabında bulunan bazı bilgilerdir.

Mühendislik konusunda önemli olduğu gibi bilimde de önemli olan bir diğer nokta ise standartların oluşmasıdır. Günümüzde dünya çapında bazı farklılıklar olsa da “SI” birimi dediğimiz birimler tüm mühendis ve bilim insanları için ortak bir platform oluşturarak gelişimin daha hızlı ve evrensel olmasını sağlamaktadır.

Antik Yunan’da da belirli ölçüler için standart birimler belirlenmiş ve kullanılmıştır. Uzunluk birimleri olarak herkese göre farklılık değiştiren fakat kullanım açısından herkesin yaklaşık olarak kullanabileceği vücut ölçüleri kullanılmıştır. Ölçülecek şeyin büyüklüğüne göre parmak, ayak, dirsek ve kulaç gibi vücut içerisindeki ölçüleri kullanmışlardır. Aynı zamanda daha büyük uzunluklar için ise örneğin 600 ayak anlamına gelen “stadion”, daha küçük uzunluklar için de örnek olarak ¼ ayak anlamına gelen “palma” gibi türemiş birimler kullanmışlardır. Bu şekilde ülke çapında sabit bir birim sistemi kullanılması mühendisliğin gelişmesi açısından faydalı olmuştur. Atina’da üretilmiş olan bir borunun, aynı kalite ve standartta Sparta’da da üretilebilmesi için

Diğer düşünürlere kıyasla ünü çok olmayan Vitruvius ise mimarlığın temellerini atan çok önemli bir mühendistir. Mimarlık ile ilgili yazdığı kitaplarında mimarlıkta kullanışlılık, sağlamlık ve güzellik etmenlerinin önemli olduğunu vurgulamıştır. Suyun taşınması gibi konularda çeşitli yapılar tasarlamış ve dönemin mimarisinde önemli rol oynamıştır.

Mühendislik, fizik ve matematik alanında birçok çalışma

28

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

yapmış olan bu düşünürler; günümüzde neredeyse imkânsız sayılabilecek bir şekilde sanat, müzik, tiyatro ve felsefe alanlarında da çağlarını ileri taşıyacak gelişmeler yapmışlardır.

bulunmuştur. Gündelik problemler için ufak çapta icat ve çalışmalar yapılmakla birlikte, devlet çapındaki daha büyük problemler için de mühendisler çözümler üretmiştir. Fakat sadece insanların hayatını kullanılacak şeyler tasarlanmamış, devlet için önemli rol oynayan savaş teknolojileri de mühendisler tarafından geliştirilmiştir. Eski çağın en büyük uygarlıklarından biri olan Antik Yunan uygarlığı, günümüzdeki matematik ve mühendisliğin oluşmasına zamanında yapılan çalışmalar ile birçok uygarlıktan daha fazla yardımcı olmuştur.

Antik Yunan’da mühendisliğin bu kadar gelişmiş olmasında halkın özgür düşünce ortamında yaşaması etkili olmuştur. Yunanların mühendislik alanında yaptığı çalışmalar hem günümüzdeki birçok mühendislik dalının temellerini oluşturmuş hem de mühendislikle iç içe olan matematik ve fizik bilimlerinin gelişmesine katkıda Kaynakça

Landels, J. G., & Bıçakçı, B. (2004). Eski Yunan ve Romada mühendislik. İstanbul: TÜBİTAK. Kuzu, H. (2015, July 10). Mühendislik Nedir ve Mühendislik Dalları Nelerdir? Retrieved April 8, 2019, from http://www.teknikicerik.com/muhendislik-nedir-muhendislik-dallari.html Yıldırım, Ö. (2017, December 3). İskenderiyeli Heron Kimdir? Retrieved April 8, 2019, from http://www.felsefe.gen.tr/filozoflar/iskenderiyeli-Heron-kimdir.asp Kalkan, S. (2014, September 27). Arşimet (Archimedes) Kimdir? , Suyun Kaldırma Kuvveti. Retrieved April 8, 2019, from https://www.bilgiustam.com/arsimet-archimedes-kimdir/ Atasoy, Z. B. (2011, December 13). Vitruvius’a Göre “Mimarlığın Yeri” ve Günümüz Mimarlığı Arasındaki Farklar.

Retrieved April 8, 2019, from http://www.arkitera.com/haber/4743/vitruvius-a-gore-mimarligin-yeri-ve-gunumuzmimarligi-arasindaki-farklar

29

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Akıl Oyunları - Çarpım Karesi Okan Tezcan 1'den 9'a kadar bütün rakamları bir kez kullanarak karelerin içerisine yerleştirin. Kareler arasındaki kutularda, o iki karede yer alan sayının çarpımlarının sonucu verilmiştir. Sonuçlardan bazılarının bütün rakamları ya da tek bir rakamı silinmiştir.

30

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Exploration Örneği Berke Filiz

MATHEMATICS HL May 2019

ESTIMATING THE VOLUME OF TORRE GLORIES

Code: hhw778

31

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

Table of Contents

Introduction

3

Calculation

3

Finding Its Base Width

3

Finding the Equation

4

Methods for the Rest

5

Volume of the Upper Part

5

Volume of the Lower Part

6

Comparing the Volume to a Bullet’s

7

Comparing the Volume to a Bullet’s

7

Conclusion

8

Limitations & Extensions

8

Bibliography

9

32

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

A. Introduction First time being on the streets of Barcelona, I was amazed by the enormous size of Torre Glories (also known as Torre Agbar). Besides its height, its unusual design quickly captured my attention: I thought it looked like a glass bullet!

Of course, a bullet’s size was nothing compared to Torre Glories... so how many bullets in volume was Torre Glories? Did I really need to find an answer to that question? Yes, because I love to compare the sizes of buildings and their models as it helps me to visualize how large the buildings actually are. Even while reading a map, knowing that a centimetre is in fact represents thousands of kilometres is fascinating for me! So this activity of mine could apply to this question as well, where the building is Torre Glories and its model is a 2.5 cm3 bullet.

B. Calculation The unique design of the tower was indeed fascinating, but it also was the primary problem while estimating Torre Glories’ volume. It was not a regular shape, such as a cylinder, so the volume could not be simply equal to base area times height. Luckily, the building could easily be estimated to be symmetrical, and all vertical cross-sectional areas that intersect the centre of the circular base and the highest point were equal. This defined my primary method: to find that cross-sectional area and revolve it around the intersection point of the symmetry axes. All I needed was the height of the building, and a photo of Torre Glories from its side.

1. Finding Its Base Width To find the cross-sectional area I mentioned, I needed the closes the shape. And to find the equation, I needed some points to plane. One was the x-intersects, which can be derived from the base.

equation which put on the coordinate diameter of the

A quick internet search revealed that the height (h) of the meters.[2] By printing a photograph of it onto an A4 paper, I aimed to for calculating its base diameter. According to the symmetry paper and both on the real building, the height to width ratio should it was possible to calculate the base diameter R by using a simple

tower is 144.44 apply “similarity” principle, both on be equal. Therefore, equation:

Height on paper Height in real life = Width on paper Width in real life 15.08cm 4.17cm

=

144.44m , R

Figure 1: Torre Glories dimensions.

then R ≈ 39.94m

2. Finding The Equation

Figure 2: Vertex and x-intercepts.

2 “Torre Glòries.” The Skyscraper Center, Council on Tall Buildings and Urban Habitat Image: “Torre Glòries.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 1 Feb. 2019,

33

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

As stated above, the curved upper part of the tower looks like an upsidedown parabola. In order to calculate the cross-sectional area, I needed to find the equation of the parabola. Thus, I copied the tower on a Cartesian coordinate plane and marked the vertex and x-intercepts as seen from Figure 2. The tower is is estimated to be, so that the x-axis splits its base into two equal parts A parabola’s equation can be written as y = a(x + p)2 + k, where (-p, k) is the turning point. I aligned the vertex with the y-axis, so that I could directly read the vertex’ y-coordinate too. As in Figure 2, vertex P is located on (0, 144.44). The equation turned into this: y = a(x + 0)2 + 144.44 The formula should give the y value on the curved side of the tower, for each x value between -19.97 and 19.97 (boundaries are included). However, by reading from the graphic above (Figure 2), we see that below the line y ≈ 75, the curved side is virtually perpendicular to the x-axis. This value is estimated, for I do not have the exact plans of the building.

As this part prevents this to be a function, I limited y values to be between 75 and 144.44 (both boundaries included). So that, for the following calculations, I will split the tower into two parts: The lower part (y values between 0 and 75m) and the upper part (y values between 75m and 144.44m). The subtopics 3, 4 and 5; and the rest of subtopic 2 refers to the upper part.

The minimum value of the upper part, y = 75, gives us another point on the curved side. The point’s coordinates are therefore (±19.97, 75). Setting x value to 19.97 and y value to 75 should help us to find the numerical value of a in the curve equation: y = ax2 + 144.44 75 = a(19.97)2 + 144.44 a ≈ -0.19 This gives us the final equation for the upper part: y = (-0.19)x2 + 144.44 (-19.97 ≤ x ≤ 19.97)

34

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3 Figure 3: Cross-sectional area.

3. General Method for the Rest

Imagine Torre Glories as a solid of revolution. In other we rotate the shape seen in Figure 3 around the y-axis for 360 Glories. Before calculating the volume of the tower, I should derive

words, assume that when degrees, we get Torre a formula first.

Any cross-sectional area we have which is parallel to x-axis because a point that was once on the 2-dimensional shape (see around y-axis without changing its distance from the origin[3]. Then bullet-shaped tower is made up of many circular discs of a very

should be circular; Figure 3) has revolved we can say that the small height of h.

The mentioned discs have two faces. Let the largest one is other face of this cylinder is at y = y1 + h. As the radius is different say the shape we have exactly is a cylinder. However, as h get closer and closer to be a cylinder. Thus I approximated the disc thickness, or height, h, and radius x. The volume V should then be equal to πx2h.[4]

located on y = y1. The for both faces, we cannot approaches to zero, it will with a cylinder of

Now we can think the tower in two parts. I will use the above logic to determine the volume of the upper part.

For the lower part, I will treat it as a regular cylinder. The sum of these two should give us the volume of the entire building.

4. Volume of the “Upper Part�

Stacking many discs of thickness h will give the Torre Glories, so that the sum of their volumes should be equal to the tower’s. As the curved part of the tower is only the upper part, which means the part that is higher than 75 meters, I will apply this logic on only the upper part. We can state the sum for the upper part (75m ≤ h ≤ 144.44m) as such: 1

144

144.44

1

Vtower = lim ( ∑ Vdisc ) = lim ( ∑ Ď€x²h) ℎ→0

ℎ→0

đ?‘Ś=75

đ?‘Ś=75

From the definition of integral: 144.44

Vtower = Ď€ âˆŤ

x² ��

75

I will be calculating the volume by using this formula. My first step will be to find x in terms of y. Back to the equation of our curve: y = (-0.19)x2 + 144.44

3 4

“Rigid Bodies.� Damtp.CAM “Finding the VOLUME of a Right Circular Cylinder.� Math By Design, Maryland Public Television, 2009,

35

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3 đ?‘Śâˆ’144.44

x=√

−0.19

144.44−đ?‘Ś

=√

0.19

Now replacing x in the volume formula with the x in terms of y, we get the equation below. It is the volume of the upper part of the tower in cubic meters, which is between the heights 75m and 144.44m.

144.44

Vupper tower = Ď€ âˆŤ

x 2 đ?‘‘đ?‘Ś

75 144.44

= Ď€ âˆŤ 75

2

144.44 − đ?‘Ś √ đ?‘‘đ?‘Ś 0.19

144.44

=Ď€ âˆŤ 75

144.44 − đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś 0.19

1

To get a numeric value, I should evaluate the finite integral first. I start with taking 0.19 out as a factor, so that the evaluation process gets easier.

144.44

Vupper tower

Ď€ = âˆŤ (144.44 − đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ś 0.19 75

144.44

Ď€ đ?‘Ś2 = [144.44đ?‘Ś − ] 0.19 2 75 =

Ď€ 144.442 752 ((144.44)(144.44) − − (144.44)(75) + ) 0.19 2 2 = 39864.44 m3

5. Volume of the “Lower Part�

To find the volume of the tower, we can simply use the volume formula of cylinders, which is volume V = πr2h where r is the radius and h is the height. We know that the radius is equal to 39.97 meters, and also the height of the lower part of the tower is 75 meters –where the upper part starts.

Vlower tower = πr 2 h = π(19.972 )(75) = 93965.25 m3 6. Comparing the Volume to a Bullet’s

36

Principia Mathematica, YÄąl 2019, SayÄą 3

Back to the first aim we have, calculating the volume of the entire building in terms of bullets, we have to find the volume of the building first. The sum of the volumes of two parts should give us the volume of Torre Glories VTorre Glories = Vupper tower + Vlower tower = 39864.44 + 93965.25 = 133829.69 m3 I have estimated the tower’s volume as 133829.69 cubic meters. Given that I presumed an average bullet to be 2.5 (or 2.5 x 10-6 m3), dividing the tower’s volume by a bullet’s volume will answer my primary question: how many bullets in volume is Torre Glories? cm3

133829.69 m3 ≈ 53 531 876 000 (2.5)(10−6 )đ?‘š3 This means, it takes approximately 54 billion bullets of 2.5 cm 3 volume to fill up the tower. For the sake of estimation, this can be rounded up to 5.4 x 1010 Figure 4: Cross-sectional areas compared

7. Crosschecking the Validity of Estimation From the shape of the building, we can say that its volume cone and a cylinder of the same base area. As seen in Figure 4, when parallel to y-axis are compared, a cylinder’s (displayed in red borders) tower’s but a cone’s (displayed in green borders) is way less than the mind, I decided to find numerical values for volumes of both a cylinder the base area with the tower. I expected a result like this:

should be between a cross-sectional areas is larger than the tower’s. With that in and a cone which share

Vcone â&#x2030;Ş VTorre Glories < Vcylinder For r being the radius of the base (19.97m) and h being the (144.44m):

height of the shapes

Vcylinder = Ď&#x20AC;r 2 h = Ď&#x20AC;(19.97)2 (144.44) = 180964.54 m3

Vcone =

Ď&#x20AC;r 2 h Ď&#x20AC;(19.97)2 (144.44) = = 60321.51 m3 3 3

There we see the towerâ&#x20AC;&#x2122;s volume, 133829.69 m3 fits between these two values, closer to cylinderâ&#x20AC;&#x2122;s value. This proves that the estimation is valid, and not far from the actual value.

C. Conclusion I am amazed about the size of the Torre Glories after calculating it myself! Knowing that the building is more a hundred billion times larger than its models is fascinating! The calculations helped me to visualize really high numbers that we do not use in daily life, such as a hundred billion. On the other hand, this also helped me to understand how

37

Principia Mathematica, Yıl 2019, Sayı 3

small we actually are compared to the size of our Earth, or the universe... this is frightening and amazing at the same time.

Limitations & Extensions There were some errors in my calculations which come from the methods I used. Here is a list of major ones that decreases the precision of my estimation, and the ways to fix them.

•

•

•

The quality of the photo I used: Just because I did not measure the values myself, I was limited by the resolution of the photographs I used. A pixel in the photo might be an equivalent of a couple of centimetres in the real building, which makes it impossible to measure accurately from a photo. Even though I used the largest photo I could find, 2000 pixels by 5000 pixels, it still is a problem unless I use a high-accuracy measuring tape and go quantify the base diameter myself. (There I am still neglecting the uncertainty of the measuring equipment) The tower’s rough surface: During all the calculations, I assumed that the surface of Torre Glories is perfectly smooth. In reality, however, that is not the case. The glasses installed on the tower make its surface rough, increasing or decreasing the volume of the building. To fix this, I could have calculated one and every bulge individually, but this is theoretically impossible.

Gaps between bullets: The result I found is a volume ratio, meaning that the gaps (or air) between bullets are neglected. These gaps would decrease the final number I found, as the air between bullets would prevent additional ones to be added.

D. Bibliography “Torre Glòries.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 1 Feb. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Torre_Gl%C3%B2ries.

“Torre Glòries.” The Skyscraper Center, Council on Tall Buildings and Urban Habitat, www.skyscrapercenter.com/building/torre-glories/4193.

“Volumes of Solids of Revolution.” MathCentre, Jan. 2009, http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-tyvolumes-2009-1.pdf “Rigid Bodies.” Damtp.CAM, www.damtp.cam.ac.uk/user/reh10/lectures/ia-dyn- chapter10.pdf.

“Finding the VOLUME of a Right Circular Cylinder.” Math By Design, Maryland Public Television, 2009, mathbydesign.thinkport.org/images/pdfs/Hint_VolumeofCylinder.pdf.

Trout. “Volumes of Solids of Revolution.” Darthmouth.edu, 2010, math.dartmouth.edu//archive/m3f10/public_html/troutslides/m3w10_Lecture_25_

38

BB.pdf.

Sizleri çok Özleyeceğiz