ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE MECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DINÁMICA Ing. NARCISA PORTALANZA COORDENADAS RADIALES GRUPO #3 INTEGRANTES: TATIANA NÚÑEZ CARLOS CUNACHI GABRIEL CASTAÑEDA VICENTE RIVADENEIRA MÓNICA CALLAY BRYAN GUANANGA SEXTO “A” MARZO - AGOSTO 2014
COORDENADAS RADIALES Las coordenadas radiales consisten en un sistema formado por coordenadas esféricas, varios vectores de movimiento y desplazamiento y un período de tiempo en el cual se desarrollan las diferentes funciones que son aplicadas a estas coordenadas.
COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se define mediante sus coordenadas polares r y θ (figura a). En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se conocen como componentes radial y transversal.
Se unen a P dos vectores unitarios, er y eθ (figura b). El vector er está dirigido a lo largo de OP y el vector eθ se obtiene al rotar er 90° en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. El vector unitario er define la dirección radial, esto es, la dirección en la cual P se movería si r aumentara y se mantuviera constante; el vector unitario eθ define la dirección transversal, es decir, la dirección en la que P se movería si θ aumentara y r se mantuviera constante. Determinar la derivada del vector unitario et produce las relaciones
(1) Donde -er denota un vector unitario de sentido positivo respecto a er (figura c). Mediante la regla de la cadena, se expresan las derivadas del tiempo de los vectores unitarios er y eθ del modo siguiente:
(2) o, al utilizar puntos para indicar derivación con respecto a t,
(3) Para obtener la velocidad v de la partícula P, se expresa la posición del vector r de P como el producto del escalar r y el vector unitario er y se deriva con respecto a t:
(4) o, al recordar la primera de las relaciones
(5) Al derivar otra vez con respecto a t para obtener la aceleración, se escribe
(6) o, al sustituir e˙ r y e˙ _, de (11.42) y factorizar er y eθ,
(7) Las componentes escalares de la velocidad y la aceleración en las variaciones radial y transversal son, por lo tanto,
(8)
(9) Es importante advertir que ar no es igual a la derivada respecto al tiempo de vr y que aθ no es igual a la derivada en el tiempo de vθ. En el caso de una partícula que se mueve a lo largo de un círculo de centro O, se tiene r=constante y ˙rθ = ¨rθ = 0, y las fórmulas (5) y (7) se reducen, respectivamente, a
(10) EJERCICIOS: Determine la rapidez máxima que los carros de la montaña rusa pueden alcanzar a lo largo de la porción circular AB de la pista, si la componente normal de su aceleración no puede ser mayor que 3g.
80ft=24,38m
v 2max =( 24,38 )( 3 ) ( 9,81 )=
2
717,62 m =26,78 m/ s s2
Se dispara un proyectil desde el punto A con una velocidad inicial v0. a) Muestre que el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil alcanza su valor mínimo en el punto más alto de la trayectoria, B. b) Si se denota mediante θ el ángulo formado por la trayectoria y la horizontal en el punto dado C, muestre que el radio de curvatura de la trayectoria en C es
Solución
Cosθ es máximo cuando θ = 0
BIBLIOGRAFÍA: BEER JHONSTON, Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica. Octava edición