JOHNSONOVY MNOHOSTĚNY
JOHNSONOVY MNOHOSTĚNY V PRAXI deskriptivní geometrie II LS 2016 Tereza Šipková
ÚVOD Obsahem této práce je návrh batohu a kabelky s využitím vybraných Johnsonových mnohostěnů. V první části jsem se zabývala obecnými informacemi Johnsonových mnohostěnů, v druhé části samotným návrhům a jejich zpracování. Součástí této práce byla i výroba modelů, z nichž jsou oba funkční.
JOHNSONOVY MNOHOSTĚNY Johnsonovy mnohostěny (nebo také tělesa) patří do skupiny konvexních mnohostěnů. Specifikem těchto mnohostěnů je stejná délka všech hran tělesa, tudíž stěny těles jsou tvořeny pravidelnými mnohoúhelníky. Johnsonova tělesa pojmenoval americký matematik Norman W. Johnson. V roce 1966 publikoval seznam všech 92 těles, kterým přiradil jména a čísla, nebyl si však jist zda je počet komplektní. V roce 1969 izraelský matematik Viktor Zallgaler potvrdil, že již nemohou existovat žádná další taková tělesa. Ukazuje se, že stěnami Johnsonových mnohostěnů mohou být pouze pravidelné troj-, čtyř-, pěti-, šesti-, osmi- a desetiúhelníky.
DĚLENÍ Podle skladby stěn: triangle-faced - složeny pouze z trojúhelníkových stěn (J51) triangle and square-faced - kombinace trojúhelníkových a čtvercových stěn (J1) J51 Triaugmented triangular prism
J1 Square pyramid
J11 Gyroelongated pentagonal pyramid
triangle and pentagonal-faced - kombinace trojúhelníkových a pětiúhelníkových stěn (J11) triangle, square and hexagonal-faced - kombinace trojúhelníkových, čtvercových a šestiúhelníkových stěn (J55) triangle, square and octanogonal-faced - kombinace trojúhelníkových, čtvercových a osmiúhelníkových stěn (J23)
J55 Parabiaugmented hexagonal prism
J23 Gyroelongated square cupola
Podle vzniku:
Augmenteddodecahedron
Square orthobicupola
Elongated pentagonal orthobirotunda
Augmented
(zvětšený, rozšířený) – přidání pyramidy nebo kupole k tělesu
Bi-
(dvoj-) – dvě stejná tělesa jsou podstavami k sobě přidělaná
Diminished
(zmenšený, snížený) – odebírání pyramidy nebo kupole od tělesa
Elongated
(prodloužené) – přidání hranolu k tělesu nebo mezi dvě podstavy dvou těles
Gyroe londated
- přidání antihranolu k podstavě nebo mezi dvě podstavy dvou těles
Gyrate
(otáčivý) – pootočení kopule na tělesu
NÁVRH Pro můj návrh jsem si vybrala dva mnohostěny J1 a J53, ze kterých navrhuji batoh a kabelku. Jednodušší těleso square pyramid mi stálo modelem pro návrh batohu, složitější tvar tělesa J53 využívám pro návrh kabelky. Jako materiál jsem použila pravou kůži, pro batoh tužší světlou, pro lepší držení tvaru a pro kabelku jemnější černou, která drží svůj tvar díky pevným prošitým spojům.
J1 Square pyramid
J53 Biaugmented pentagonal prism
J1 Square pyramid
J53 Biaugmented pentagonal prism
J1 SQUARE PYRAMID Square pyramid je hned první z Johnsonových mnohostěnů. Tento jednoduchý tvar je složen z pyramidy a čtvercové podstavy, jejíž vrchol se nachází nad středem čtverce. Výška pyramidy je dána podílem hrany mnohostěnu a druhé odmocniny ze dvou. Hrana mnohostěnu je díky charakteru Johnsonových těles všude stejná a stěny pyramidy jsou složeny ze čtyř rovnostranných trojůhelníků. Patří do skupiny triangle and square-faced solid a společně s ní je ve skupině ještě jedna pyramida, která se liší pětiúhelníkovou podstavou.
J1 Square pyramid
síť tělesa
POSTUP PRÁCE Pro výrobu batohu jsem zvolila tužší bílou kůži tloušťky 4mm. Tato kůže je pevná a díky činění tříslovinou je částečně tvarovatelná, což mi práci trochu zjednoduššilo. Nejprve jsem si na rub kůže vyznačila síť mnohostěnu, kterou jsem posléze vyřezala. Hrany, které tvoří spoje tělesa jsem pod co nejvíce tupým úhlem seřízla, tak aby na sebe plochy co nejlépe dosedaly. Hned na to jsem na líci nařízla kůži v místě styku stěn, tak aby se kůže zalomila a vytvořila ostré hrany. Ze zbytku kůže jsem si připravila 1,5cm široké popruhy, poutko a zapínání. Pomocí nýtků jsem připevnila popruhy a poutko k zádům batohu, kterým je čtvercová podstava mnohostěnu. Zavírání jsem udělala pomocí velmi jednoduchého poutka, které je na jedné straně přinýtkováno. Zvolila jsem pouze jedno, tak abych co nejméně narušila jednoduchost tohoto modelu. Nakonec jsem pomocí lepidla na kůži slepila volné hrany (přerušovaná čára na obrázku vlevo) tak, aby vzniklo celé těleso. Jako pojistku jsem ke slepeným hranám z vnitřní strany přilepila dlouhé pásky, které zabraňují rozlepení.
nýtkování popruhů
přípravana lepení - seřezávání hran
zapínání
popruhy
J53 BIAUGMENTED PENTAGONAL PRISM Biaugmented pentagonal prism je JOhnsonův mnohostěn vytvořen z pětiúhelníkového hranolu, ke kterému jsou přidány dvě čtvercové pyramidy. Má třináct stěn a 12 rohů.
síť
POSTUP PRÁCE Pro výrobu kabelky jsem zvolila měkčí černou kůži tloušťky 1,5mm. Stějně jako u batůžku jsem si nejprve nakreslila na kůži z rubu síť. Narozdíl od batohu jsem nevyřezala celou síť dohromady, ale každý dílek zvlášť. Aby kabelka držela svůj tvar, použila jsem pro vyztužení lepenku, ze které jsem vyřezala tytéž dílky jako z kůže, avšak o 1,5cm menší. Poté jsem si vyřelala dva pásy na popruhy, které jsem sešila, aby byl popruh pevnější. Na podšívku jsem použila jemnou tenkou černou látku, která skrývá výztuhy. Zapínání jsem vyřešila magnetkem, který z venku nejde vidět. Kvůli náročnosti sešívání především spojů do špičky mi s výrobou této kabelky pomohl odborník.
ZDROJE Johnson solid [online] Dostupné z: https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson_solid Doležalová, Jitka: Polopravidelné rovinné grafy: diplomová práce UPOL, 2010 Kupčáková, Marie: Kapitoly ze stereometrie pro učitele Svobodová, Veronika: Historie pravidelných mnohostěnů: Rigorózní práce, Brno, 2006
tereza šipková 2016