3. El cálculo y los números. Parte 3

1. Las dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas

¿Qué son las dificultades de aprendizaje en matemáticas?

Las DAM son las siglas de Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas Para su estudio, en este trabajo, se dividen en dos campos: el cálculo y la solución de problemas.

¿Cuáles son las características de las dificultades de aprendizaje en matemáticas?

Entre las dificultades que se tienen están: una lenta memorización y recuperación de la secuencia verbal lo que dificulta el recuento; ritmo lento, baja velocidad del procesamiento de la información. Los estudiantes se enfrentan con este tipo de dificultades desde los primeros años de su escolaridad por problemas con el recuento, que es la base de la memorización de las combinaciones de sumas y restas y la estrategia básica para resolver los primeros problemas de suma y resta. Una de las dificultades más comunes es la memorización de las tablas de multiplicar.

Cuando hay problemas en la memoria a largo plazo, las personas tienen que utilizar sus dedos para llevar la cuenta en las sumas y restas básicas, pues se calculan mediante el recuento. También pueden tener problemas con la memoria de trabajo, incluso pueden calcular contando de dos en dos los resultados de esa tabla, pero el recuento no les sirve de gran ayuda en hechos como 8 X 7 o 9 X 6. Otro tipo de dificultad es carecer de una adecuada de las operaciones. ¿Qué sucede entonces? Resuelven los problemas si tienen algún referente concreto, sus dedos, materiales o una representación gráfica; pero sin estos recursos, les es difícil dar el paso de las situaciones concretas a la simbolización matemática, establecer las conexiones entre unas situaciones y otras. Sin embargo, una buena parte de ellos no manifiestan dificultades en áreas como la geometría o los conceptos de probabilidad o medida, fundamentalmente sus problemas suelen ser con la aritmética. En contraste, podrían mostrar su competencia en estas áreas si se reducen las dificultades en los cálculos aritméticos, pero los que realizan un trabajo diferenciado en el aula no suelen llevar a cabo actividades sobre estas áreas, su currículo se centra sobre todo en la aritmética.

¿Cuáles son las dificultades en el proceso cognoscitivo?

Las dificultades más frecuentes en las matemáticas son de tres tipos tomando como base su clasificación: la adquisición de las nociones básicas y principios numéricos, la numeración y el cálculo y, por último, la resolución de problemas

1.1 ¿En qué consisten las dificultades en la adquisición de las nociones básicas y principios numéricos?

Miranda, Fortes y Gil (2000) hacen una amplia revisión sobre las nociones básicas y los principios numéricos y señalan que, si a los cuatro años los niños cometen los errores que a continuación se mencionan, en un futuro cercano pueden presentar dificultades del aprendizaje de las matemáticas en relación a la tarea de contar:

• No realiza ningún intento de etiquetar cada objeto de un conjunto, por pequeño que éste sea, con una palabra para contar.

Multiplicación:

Errores relacionados con “llevar”: al agregar el número que se lleva, “llevar” un número equivocado, olvidarse de “llevar”, escribir el número que se “lleva”, errores al agregar el número que se lleva a cero, multiplicar el número que se lleva, agregar dos veces el número que se lleva y agregar un número cuando no se lleva.

• Errores relacionados con contar: contar para lograr el producto, repetir la tabla hasta llegar al número que se ha de multiplicar, multiplicar mediante sumas y escribir la tabla.

• Procedimientos defectuosos: Escribir una fila de ceros cuando hay uno en el multiplicador, usar el multiplicando como multiplicador, errores debido al cero en el multiplicador o en el multiplicando, omitir alguna cifra en el multiplicador o en el multiplicando, errores en la colocación de los productos parciales, confundir productos cuando el multiplicador tiene dos o más cifras, no multiplicar una cifra del multiplicando, omitir una cifra en el producto, dividir el multiplicador en dos o más números, repetir una cifra en el producto, empezar por la izquierda, multiplicar los productos parciales.

• Lapsus y otros: equivocar el proceso, derivar combinaciones desconocidas de otras conocidas, errores de lectura o al escribir los productos, multiplicar dos veces la misma cifra, invertir las cifras de los productos.

División:

• Errores en las combinaciones básicas.

• Errores de resta y/o de multiplicación.

• Hallar un resto superior al divisor.

• Hallar el cociente por sucesivas multiplicaciones.

• Olvidar el resto al seguir dividiendo.

• Omitir el cero en el cociente.

• Omitir una cifra del dividendo.

• Equivocar el proceso.

• Contar para hallar el cociente.

Cuadro # 15 Errores frecuentes en las operaciones básicas

1.3 ¿Cuáles son las dificultades en la resolución de problemas?

Se ponen de manifiesto situaciones relacionadas con la simbolización, representación y aplicación de reglas generales, traducción de lenguajes, entre otros. El aprendizaje de las matemáticas exige el dominio de códigos lingüísticos especializados y la capacidad de traducción desde otros códigos matemáticos y viceversa.

El alumno debe aprender a sustituir los procedimientos intuitivos y los códigos propios del lenguaje natural u ordinario por los procedimientos formales y códigos propios del lenguaje matemático. Pero las dificultades de traducción no sólo se producen entre la acción y la simbolización sino también entre la simbolización y el lenguaje verbal, esta traducción no es directa.

Es preciso analizar el texto, estableciendo la relación entre los datos con los que se cuenta, el orden en el que aparecen y cómo se pueden utilizar para llegar a la solución a través de las operaciones adecuadas.

¿Qué tipo de terminología hay que aprender en relación con las operaciones básicas?

En matemáticas básicas hay muchas maneras de llamar a las mismas cosas. Hemos reunido algunas aquí

Símbolo Palabras usadas ¿Qué es? ¿Cómo se llaman los números?

Juntar dos o más números (o cosas) para hacer un nuevo total.

Adición:

Resta, sustraer, sustracción, quitar, menos, diferencia, disminuir, deducir decrecer. ×

Multiplicación, multiplicar, producto, por, veces

÷

Resta:

En su forma más simple: suma repetida

Multiplicar:

Repartir en partes o grupos iguales. Es el resultado de un “reparto equitativo” .

División:

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2.3 Clasificación de las dificultades de cálculo

2.3.1. Discalculia

Se les conoce a estos problemas como “discalculia” o dificultades de aprendizaje de las matemáticas (DAM), pero también se usan los términos “disaritmética” o “acalculia”; sin embargo, existen diferencias entre ellos, según sea el referente teórico. En esta parte se toma en consideración el paradigma científico biomédico principalmente.

Son alteraciones que tienen su origen en partes del cerebro que son el sustrato anatómico-psicológico de los procesos neuropsicológicos que se ocupan de nociones matemáticas y hechos numéricos, del manejo de los números y del cálculo aritmético.

Se refiere específicamente a la incapacidad de realizar operaciones matemáticas o aritméticas. Discalculia es un término que hace referencia a un amplio rango de problemas relacionados con el aprendizaje de las habilidades matemáticas. No existe una única forma de trastorno del aprendizaje de las matemáticas y las dificultades que se presentan varían de persona a persona. Afectan de modo diferente en cada momento de su ciclo vital.

Bajo esta perspectiva, las dificultades en matemáticas es el equivalente a la dislexia sólo que, en lugar de tratarse de problemas en el lenguaje, se refiere a la dificultad para comprender y realizar cálculos matemáticos. Su padecimiento se calcula entre un 3 a un 6 por ciento de la población infantil. Esta anomalía casi nunca se diagnostica y trata adecuadamente. Su etiología es multicausal, como: un déficit de percepción visual o problemas de orientación, entre otros. Es una discapacidad relativamente poco conocida. De hecho, se considera una variación de la dislexia. Quien padece discalculia por lo general tiene un cociente intelectual normal o superior, pero manifiesta problemas con las matemáticas, señas y direcciones.

2.3.1.1 Tipos de discalculia

Se diferencian las adquiridas de las evolutivas Las primeras son una consecuencia de un daño cerebral sobrevenido afectando a personas que ya sabían calcular. Las evolutivas surgen en el curso del desarrollo y del proceso de aprendizaje, pero con características muy similares a las adquiridas.

A. Discalculia primaria. También llamada escolar o primaria, se presenta al comenzar el aprendizaje y está vinculada con sus primeras dificultades específicas, que logrará superar su eficiencia. Se puede convertir en discalculia verdadera cuando no se ha superado y persisten y se afianzan los errores, sometiendo al orientado a un programa de reducación.

B. Discalculia secundaria. Esta se presenta como síntoma caracterizado por un déficit global del aprendizaje, no se trata de tener una dificultad en alguna asignatura, sino en todos los conocimientos o asignaturas que se imparten. Algunos autores mencionan tres tipos:

a) Discalculia escolar secundaria con discapacidad intelectual: el orientado padecen déficit mental, por tanto, las dificultades en el cálculo se incrementan en cuanto más grave es el déficit intelectual Tiene menos oportunidad de recuperarse porque las dificultades son prácticamente irreversibles.

b) Discalculia escolar secundaria de alumnos con dislexia. Su aptitud matemática se deteriora al confundir las cifras cuando las lee o escribe, mal

Instrucciones. ¿Cuántas botellas hay? Repasa su contorno con un color distinto. Escribe cuántas son.

3.2 Modelo multisensorial

¿Quién es la principal representante de este modelo?

Una de las personalidades más importantes en el desarrollo de los sistemas multisensoriales es Grace Fernald (VACT, 1943). Aun cuando existen otros procedimientos denominados multisensoriales, el de Fernald representa el enfoque más comprensivo e integral de todos

• Se maneja un balance entre los aspectos visual, auditivo, cinestésico y táctil.

• Da una particular importancia a los canales táctil y cinestésico, aparte del visual y auditivo, ya que estos involucran receptores que responden a la estimulación casi o en la superficie del cuerpo (exteroceptores) y aquellos que reaccionan a la estimulación dentro de las articulaciones, músculos, tendones, ligamentos y demás (propioceptores). Es por esta razón que también se nombra estrategia VACT.

¿Cuál es la estrategia del VACT?

La estrategia VACT de Fernald, es utilizada involucrando cuatro sentidos: visual, auditivo, cinestésico y táctil.

Los orientados que presentan problemas para aprender tienen dificultad para integrar la información sensorial que se manda al cerebro a través de los receptores, esto es: recibir la información, organizarla, procesarla y crear una respuesta.

Fig. # 8. Percepción visual: discernimiento de figuras.

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4. El aprendizaje es holístico, por consiguiente, la enseñanza se debe centrar en el todo.

5. La función del maestro consiste en suministrar experiencias relevantes, a partir de las cuales el alumno pueda construir significados.

Actividad # 8 Secuencia numérica

Instrucciones. Llena los espacios con los números correspondientes con base en la secuencia lógica.

¿Quiénes son algunos de los representantes del enfoque cognoscitivo?

Dentro de los psicólogos que han contribuido a desarrollar el enfoque cognoscitivo se encuentran Anderson, Ausubel, Bandera, Brunner, Cronbach, Dewey y Gagné. Todos ellos creen que lo que sucede internamente en el alumno es importante y que el aprendizaje es un proceso de construcción y el individuo debe ser activo durante el aprendizaje.

¿Cuáles son algunos de los métodos de intervención?

Entre los métodos de intervención aplicables a los trastornos cognoscitivos y de aprendizaje se encuentran diversas perspectivas implicadas en la enseñanza, como son:

• Enfoque de la teoría de desarrollo o epistemología genética: Se enfoca en el desarrollo del conocimiento nuevo en los niños y cambios cualitativos que ocurren cuando se enfrentan a nuevas tareas. Esta perspectiva sugiere que el paso por los distintos estadios de desarrollo de los niños con problemas de aprendizaje, se producen en el orden que los niños normales, aunque con cierto retraso. Esta teoría permite un marco de estudio sobre como aprenden los niños con problemas de aprendizaje, mientras se organizan e interactúan con el medio. Las observaciones de cómo se organizan y responden pueden servir como base para comprender sus estrategias de aprendizaje.

• Procesos cognoscitivos básicos o modelo de capacidades específicas: Este modelo reconoce la importancia de los procesos cognoscitivos básicos que funcionan de forma interrelacionada para conseguir un aprendizaje. Los procesos que han sido estudiados en niños con problemas de aprendizaje y que se consideran como etiología de estos son, entre otros, atención, memoria y estilo cognoscitivo. Las intervenciones más utilizadas para la conducta, durante la tarea y derivadas de esta perspectiva son: reducción de estímulos, medicamentos cognoscitivos.

• Procesamiento de la información: Se centra en cómo y en qué información se adquiere, es decir, se interesa por cómo se selecciona, resume, mantiene y se utiliza la información del medio. Cómo se elabora la información

Fig. # 9 Caminos numéricos.

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La respuesta de sus observaciones permite que la seriación implique una coordinación mental de relaciones transitivas reversibles, es decir, deben ser capaces de determinar:

Si D es más corto que A

C es más corto que B

B es más corto que A

D será entonces más corto que todos los demás.

Actividad # 10 Varillas

Instrucciones. Organiza las varillas de distintas maneras siguiendo un criterio, por ejemplo, intercalar la mayor con la menor y seguirlo.

¿Qué es la seriación numérica?

Seriación numérica: Conjunto de números que están subordinados entre sí y se suceden unos a otros. La serie numérica sólo podrá entenderse si se tiene en cuenta la sucesión.

Para que los niños puedan manejar adecuadamente una serie numérica es necesario que establezcan diferencias y tengan dominio de los signos < (menor que) y > (mayor que).

• Traslaciones o transposiciones. El alumno cambia el lugar de los números, ejemplo 13 y escribe 31

• Repetición de cifras. Se le ordena al alumno que escriba la serie numérica del 1 al 10 y el alumno reiteradamente escribe dos o más veces el mismo número.

• Omisión de cifras. El alumno omite uno o más números de la serie, ejemplo 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10.

• Perseveración. Trastorno menos frecuente. Se le indica al alumno que cuente del 1 al 8 y que en el 8 se detenga. Al cumplir la orden no reconoce la limitación de la serie y sigue contando.

• No abreviación. Se le pide al niño que escriba la serie numérica empezando por una cifra determinada, ejemplo 5 y empieza escribiendo 1.

Fig. # 12 Juego de varillas.

4.5.1 Clasificación de los errores según los procesos

4.5.1.1 Los números y los signos

Antes de clasificar los errores, debemos tener en cuenta que el niño tenga la noción de significados de los números, que comprenda que la conservación de las cantidades supone la conservación de números y finalmente, que la serie numérica se explica por medio de dos ideas: la de sucesión y el ordenamiento de conjunto. En posición del número, el niño ve facilitado el concepto de magnitud o de cantidad numérica, lo cual es importante para determinar los errores que se cometen al comparar cantidades.

• Fallas en la identificación: el niño no conoce los números, no los identifica. Al enseñarle un número cualquiera de la serie, titubea y se equivoca al nombrarlos o a señalarlos, al dictar un número cualquiera, escribe otro, y al indicarle que copie uno o dos números de la serie, duda y se equivoca, copiando otros.

• Confusión de números de formas semejantes: el nuño confunde grafismos parecidos: confunde el tres con el ocho, el siete con el cuatro.

• Confusión de signos: al realizar un dictado o al efectuar una copia, confunde el signo de suma con el de multiplicar; el de dividir con el de restar, y viceversa.

• Confusión de números de sonidos semejantes: se confunden en el dictado el dos con el doce, el siete con el seis.

• Inversiones: se caracteriza por la forma en que los alumnos escriben determinados números: los hace girar ciento ochenta grados. El caso más frecuente es la confusión del seis con el nueve.

4.5.1.2 Confusiones de números simétricos

Se relaciona con la lateralidad. Ciertos rasgos de determinados números que deberían ocupar el espacio derecho, y el alumno lo dibuja del lado izquierdo.

• La numeración o seriación numérica: consideramos la serie como un conjunto de números que están subordinados entre si y se suceden unos a otros.

• La repetición: se le ordena al alumno que escriba la serie del 1 al 10 y reiteradamente escribe dos o más veces el mismo número.

• La omisión: lo más frecuente, es que el alumno omite uno o más números de la serie.

• La perseveración: aparece como el tratarnos menos frecuente: tan solo en la proporción del 1, 75 al 0,75 por ciento.

• No abreviar: se hace presente cuando al alumno se le ordena que escriba o repita la serie numérica, pero empezando por un determinado número; el cinco por ejemplo.

• Traslaciones o trasposiciones: se caracteriza por el hecho de que el alumno que lo presenta cambia de lugar los números. Se le dicta el numero13, y escribe el 31.

4.5.1.3 Escalas ascendentes y descendentes

Los alumnos poseen con claridad las nociones operacionales de la suma y de la resta: agregar y quitar, mediante operaciones concretas y con objetos familiares, para pasar en otro momento a las operaciones numéricas de las escalas ascendentes y descendentes, primero con números pares, y luego con impares, clarificarlas con las nociones de magnitud, sucesión y orden:

4.10.2 En la numeración

¿Cuáles son las implicaciones educativas en la numeración?

Puesto que la construcción del concepto de número es el resultado de la unión de los conceptos lógicos de seriación, clasificación y correspondencia biunívoca, están indicadas las actividades referidas con anterioridad, relativas a la clasificación, correspondencia y seriaciones en el plano gráfico. Así mismo, realizar actividades con grupos o conjuntos de objetos.

4.10.3 En el cálculo operatorio

¿Cuáles son las implicaciones educativas en el cálculo operatorio?

La respuesta educativa que se ofrezca en este sentido debe contemplar, en sus contenidos, los ejercicios específicos anti-inversiones de grafías de números (en su caso) y un entrenamiento grafomotriz para quienes invierten y confunden las escrituras de números. Todo ello simultaneado con el necesario apoyo manipulativo en la realización de operaciones. Es aconsejable, también, la verbalización de los algoritmos empleados a través de la monitorización del docente.

4.10.4 En la resolución de problemas

¿Cuáles son las implicaciones educativas en la resolución de problemas?

Las implicaciones educativas en la resolución de problemas son:

• Comprensión: intentar la comprensión del enunciado del problema a través de: la lectura analítica del texto, preguntarse sobre cuáles son los datos, qué es lo que se desea averiguar, representar gráficamente, dibujar el texto problema, ordenación espacial y temporal de las acciones del problema.

• Ejecución: trazar un plan de resolución en el cual se comprueben todos los pasos, preguntarse en cada paso (“¿qué información he obtenido?”), aclarar cada operación matemática con un comentario o explicando lo que se ha hecho y para qué es, salir del bloqueo de las dificultades volviendo al inicio de cada frase.

• Revisión: revisar todo el proceso seguido: comprobar todos los datos obtenidos, buscar otras posibles soluciones, validar el procedimiento utilizado y plantear nuevos problemas.

4.10.5 En los aspectos geométricos

¿Cuáles son las implicaciones educativas en los aspectos geométricos?

El componente espacial de los aspectos geométricos tiene una importante relevancia, por lo que debería estimularse el desarrollo de la organización

Fig. # 15. La resta

4.11.2 Pruebas pedagógicas

¿En qué ayudan las pruebas pedagógicas específicas?

Las pruebas pedagógicas específicas ayudan a determinar el grado de dominio de la diversidad de conceptos y procedimientos propios del ámbito matemáticos, tales como:

• Habilidad para comprender y usar los conceptos de cantidad, combinaciones, número, forma, tamaño, posición y medida.

• Habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales, enteros y fracciones.

• Habilidad para aplicar los conceptos matemáticos a la solución de problemas en situaciones personales y sociales (comprar y vender, calcular diferencias de tiempo, pesar y medir).

• Habilidad para clasificar y categorizar datos y hechos matemáticos.

• Adquisición de nociones e información específicamente matemática.

¿Qué caracteriza a las pruebas pedagógicas y cuáles se utilizan?

En principio, las pruebas pedagógicas no se diferencian de las más clásicas que puede realizar cualquier profesor, aunque suponen una mayor estandarización, que permite, en muchas ocasiones, comparar los resultados con los baremos disponibles para grandes muestras de población de una misma edad o nivel educativo. Algunos ejemplos son:

1. Pruebas pedagógicas graduadas para preescolar y ciclo inicial (EAP de Terrasa). Lo forman multitud de ítems graduados para distintos niveles de Educación Infantil y primer ciclo de Primaria, similares a los que se encuentran los alumnos en la práctica educativa real. Incluyen ítems de lógica, cálculo y grafía de números, medida y geometría.

2. Pruebas psicopedagógicas de evaluación individual (Montesinos et al). Incluyen tareas que permiten detectar la competencia del alumno en el conocimiento de las cantidades, operaciones, problemas y otros contenidos de Educación Infantil y Primaria.

3. Prueba de cálculo y nivel matemático (A. Palomino y J. Crespo). Esta prueba detecta dificultades o errores en el aprendizaje del cálculo. Según sus niveles incluye la escritura y dictado de operaciones basta potencias y raíces.

4. Prueba de aptitud y rendimiento matemático (R. Olea, L. E. Líbano y H. Ahumada). Se aplica de 7 a 12 años y consta de tres series:

• Serie A: Nociones previas: conservación, seriación, previsión, clasificación e inclusión.

• Serie B: Conocimiento de la simbolización matemática: dictado y lectura de números, concepto de valor, concepto de signos, conocimiento de figuras geométricas y conocimiento de cuerpos geométricos.

• Serie C: Disposición para el cálculo y resolución de problemas: repartición y resta, resolución de problemas con elementos concretos, con dificultad en el enunciado y de problemas abstractos.