1 Tijdrek en lengtekrimp

Boven in onze atmosfeer ontstaan muonen. Deze deeltjes bestaan zo kort, dat het onmogelijk lijkt om ze op zeeniveau nog te detecteren. Toch meet je muonen op het aardoppervlak. Hoe is dat mogelijk?

Figuur 1

Referentiestelsel, relatieve snelheid

Je zit in een trein die stilstaat op het station. Rechts van je staat een andere trein ook stil. Als je op een bepaald moment naar rechts kijkt, lijkt het of jouw trein beweegt. Kijk je naar links, naar het perron, dan zie je dat jouw trein stilstaat en dat de andere trein dus beweegt. Jij ziet alle bewegingen in een stelsel waarvan jij het middelpunt bent. Zo’n stelsel noem je een referentiestelsel. Een referentiestelsel is een coördinatenstelsel waarmee je de plaats van voorwerpen vastlegt. In dit voorbeeld legt de trein naast je in jouw referentiestelsel een bepaalde afstand af in een bepaalde tijd en staat het perron stil. In jouw referentiestelsel zijn jij, jouw trein en het perron in rust ten opzichte van elkaar. Dat noem je een ruststelsel. Voor jou bevindt de andere trein

zich in een bewegend stelsel.

Voor een passagier in de andere trein beweeg jij ten opzichte van hem. In het referentiestelsel van die passagier ben jij degene die een bepaalde afstand in een bepaalde tijd aflegt. De passagier en zijn trein zijn in rust ten opzichte van elkaar. Dat is voor de passagier het ruststelsel. Voor hem bevinden jij, het perron en jouw trein zich in een bewegend stelsel.

Voorbeeld Floor staat op haar skateboard en rijdt met een snelheid van 6,0 m s−1 op Maxime af. Floor gooit een bal met een snelheid van 4,0 m s−1 ten opzichte van het bewegende skateboard richting Maxime. Zie figuur 2. De richting naar rechts is de positieve richting. In tabel 1 zijn de gegevens verwerkt.

Floor Maxime

Figuur 2

Snelheid

−1 ) s (m

Tabel 1

Referentiestelsel Floor bal Floor 0

bal +4,0 0

Maxime −6,0 Maxime

+6,0

0

a Leg uit waarom op de diagonaal telkens 0 staat. b Leg uit waarom de snelheid van Maxime in het referentiestelsel van Floor een minteken heeft. c Bereken de grootte en de richting van de snelheid van de bal in het referentiestelsel van Maxime. d Vul de lege cellen in het referentiestelsel van de bal in.

Uitwerking a In die situatie staat een persoon of de bal stil in het referentiestelsel van die persoon of bal, en beweegt de omgeving. b Floor beweegt naar rechts volgens Maxime. Dat is de gekozen positieve richting.

Maxime beweegt naar links volgens Floor. Dat geef je aan met hetzelfde getal, maar dan met een minteken. c De bal heeft voor Maxime twee snelheden: de snelheid van het skateboard en de snelheid van de bal ten opzichte van het skateboard. Beide zijn naar rechts gericht. De snelheid waarmee de bal op Maxime afkomt is dus: 6,0 + 4,0 = +10,0 m s−1 . d In de rij Floor: −4,0.

De bal gaat voor Floor naar rechts met de snelheid +4,0 m s−1. Voor de bal beweegt

Floor naar links met 4,0 m s−1 en dan komt er dus een minteken.

In de rij Maxime: −10,0.

De bal gaat met een snelheid van 10,0 m s−1 naar rechts. Dus komt Maxime met een snelheid van 10,0 m s−1 naar links op de bal op af en krijgt de snelheid een minteken.

De grootte en de richting van de snelheid hangt dus af van het ruststelsel dat je kiest. Je kunt dan niet spreken over ‘de’ snelheid van de bal. Snelheid is dus een relatief begrip. Dit staat bekend als het relativiteitsprincipe van Galilei. Dit principe gaat ervan uit dat de referentiestelsels met een constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen. Er werken dus geen krachten op het referentiestelsel. Zo’n referentiestelsel noem je een inertiaalstelsel.

Lichtsnelheid

In 1887 deden Michelson en Morley een onderzoek naar de snelheid van licht. Zij vergeleken de snelheid van het licht evenwijdig aan de baan van de aarde met de snelheid van het licht loodrecht op de baan van de aarde. De aarde beweegt met een snelheid van 30 km s−1 rond de zon. Tot hun verbazing namen ze geen verschil in lichtsnelheid waar. De conclusie was uiteindelijk dat de lichtsnelheid onafhankelijk is van de beweging van de waarnemer. In 1905 publiceerde Einstein hierover in de speciale relativiteitstheorie. Einstein veronderstelde: ▪ dat in ieder inertiaalstelsel de wetten van Newton gelden; ▪ dat de lichtsnelheid in vacuüm in ieder inertiaalstelsel dezelfde constante waarde heeft.

Stel dat Floor op een skateboard staat dat beweegt met een snelheid van 1,5∙108 m s−1 richting Maxime. Floor zendt een lichtsignaal naar Maxime met een snelheid van 3,0∙108 m s−1. Volgens Galilei zou Maxime het licht op zich af zien komen met een snelheid van 4,5∙108 m s−1. Volgens Einstein gebeurt dat echter niet. Volgens Einstein ziet Maxime het licht met een snelheid van 3,0∙108 m s−1 op zich afkomen! Een snelheid groter dan de snelheid van het licht bestaat namelijk niet.

Speciale relativiteitstheorie

Als Floor en Maxime ten opzichte van elkaar bewegen, is de enige waarneming die overeenkomt de grootte van de lichtsnelheid. Als de lichtsnelheid in elk inertiaalstelsel hetzelfde is, moeten afstand en tijd dus in elk inertiaalstelsel verschillen. De ruimte en de tijd zijn aan elkaar gekoppeld en vormen samen de ruimtetijd. Die koppeling zorgt ervoor dat voor elke waarnemer overal in de ruimte de waarde voor de lichtsnelheid gelijk is aan (afgerond) 3,0∙108 m s−1 .

Door botsingen van deeltjes uit de ruimte met moleculen in de atmosfeer ontstaan boven in de atmosfeer muonen. Een muon heeft een gemiddelde levensduur van slechts 2,2 μs in zijn ruststelsel en beweegt met bijna de lichtsnelheid. Een muon kan dus maximaal een afstand afleggen van x = c · t = 3,0·108 × 2,2·10−6 = 660 m. De atmosfeer is 10 km dik. Muonen zouden dus op het oppervlak van de aarde niet waargenomen kunnen worden, terwijl dat wel het geval is.

De klassieke mechanica van Newton werkt hier kennelijk niet. Einsteins speciale relativiteitstheorie verklaart het waarnemen van de muonen wel. Einstein stelt dat de afstanden in het referentiestelsel van de muonen zijn gekrompen ten opzichte van die in het referentiestelsel van een waarnemer op aarde. Tegelijkertijd is de gemiddelde levensduur van de muonen gerekt in het referentiestelsel van de waarnemers op aarde ten opzichte van die in het referentiestelsel van de muonen. De afstanden en tijden in het referentiestelsel van de muonen en in het referentiestelsel van de waarnemers op aarde komen dus niet meer overeen. De theorie heet ‘speciaal’ omdat hij enkel werkt voor referentiestelsels die eenparig ten opzichte van elkaar bewegen. De algemene relativiteitstheorie beschrijft ook versnelde bewegingen en het effect van de zwaartekracht op de ruimtetijd. Een heel klein stukje daarvan komt aan bod in paragraaf 5.

Tijdrek

Licht kun je opgebouwd denken uit deeltjes die bewegen met de lichtsnelheid. Deze deeltjes noem je fotonen. Een lichtklok bestaat uit twee spiegels waartussen een foton heen en weer beweegt. De lichtklok is een voorbeeld van een proces. Voor een proces is tijd nodig. De tijd die een foton nodig heeft om van de ene spiegel naar de andere en weer terug te bewegen is de periode T. Alina zit in een trein naast de lichtklok, terwijl de trein Bruce op het perron voorbij rijdt. Zie figuur 3. Je kunt de situatie zowel vanuit Alina als vanuit Bruce bekijken. Alina Alina, de lichtklok en de trein zijn in rust ten opzichte van elkaar. Voor hen bevinden Bruce en het perron zich in een bewegend stelsel. Bruce Bruce en het perron zijn in rust ten opzichte van elkaar. Dat is voor Bruce het ruststelsel. Voor hem bevinden Alina, de lichtklok en de trein zich in een bewegend stelsel.

Figuur 3

Alina ziet gedurende een periode de lichtklok zoals in figuur 4. In het stelsel van Bruce ziet de lichtklok eruit zoals in figuur 5. Voor Alina en Bruce beweegt het foton met dezelfde snelheid, namelijk de lichtsnelheid. Volgens Alina legt het foton gedurende één periode de afstand 2d af. Volgens Bruce is deze afstand dus groter dan 2d. Als ze allebei met behulp van de lichtsnelheid de periode T berekenen, is de periode die Bruce berekent groter dan de periode die Alina berekent. Volgens Bruce doet het foton er dus langer over om tussen de twee spiegels heen en weer te bewegen dan volgens Alina. Kortom: een proces in een stelsel dat beweegt ten opzichte van jou, duurt voor jou langer dan voor een waarnemer in dat stelsel zelf. Dit verschijnsel noem je tijdrek.

Figuur 4 Figuur 5

De tijd die een waarnemer meet als hij zich in het ruststelsel van het proces bevindt, noem je de eigentijd ∆t e. De tijd in het stelsel dat beweegt ten opzichte van het ruststelsel van het proces noem je ∆tb. De tijd ∆tb is altijd gerekt ten opzichte van de tijd ∆t e . Je berekent de tijdrek met:

Δ tb = γ⋅ Δ t e

▪ ∆tb is de tijd van een proces in s in het referentiestelsel dat beweegt ten opzichte van het ruststelsel van het proces. ▪ ∆t e is de eigentijd van een proces in s in het ruststelsel van het proces. ▪ γ is de gammafactor.

De gammafactor heet ook wel lorentzfactor, omdat aan het begin van de twintigste eeuw de Nederlands natuurkundige Hendrik Lorentz deze factor gebruikte. De gammafactor heeft geen eenheid en is altijd groter dan of gelijk aan 1. Er geldt:

γ = 1 _______ _√1 − v 2 _ c 2

▪ γ is de gammafactor. ▪ v is de relatieve snelheid van de twee systemen ten opzichte van elkaar in m s−1 . ▪ c is de lichtsnelheid in m s−1 .

Voorbeeld In het ruststelsel van de muonen is de gemiddelde levensduur van de muonen 2,2 μs. De muonen bewegen met een snelheid van 99,9% van de lichtsnelheid. De dikte van de aardatmosfeer is 10 km. a Toon aan dat de gammafactor gelijk is aan 22,4. b Toon aan dat een onderzoeker op aarde door tijdrek het muon nu zeker kan detecteren.

Uitwerking a γ = 1 _ _√1 − v 2 _ c 2 v = 0,999c γ = 1 _____________ ___________√1 − (0,999c)2 _ c 2 = 22,4

b s = v ∙ t

Het muon beweegt met 99,9% van de lichtsnelheid. v = 0,999 × 2,998∙108 = 2,995∙108 m s−1

In het ruststelsel van het muon bestaat het muon 2,2 μs. De aarde beweegt ten opzichte van het ruststelsel van het muon. In het referentiestelsel van de aarde bestaat het muon dus langer: ∆tb = γ ∙ ∆t e = 22,4 × 2,2∙10−6 = 4,928∙10−5 s

De afstand die het muon af kan leggen is dus: s = v ∙ ∆tb = 2,995∙108 × 4,928∙10−5 = 1,475∙104 m

Afgerond: 15 km.

De muonen kunnen dus de atmosfeer met een dikte van 10 km passeren.

Opmerking Je kunt de tijdrek van een proces niet meten, alleen berekenen. Als je de tijd van een proces wilt meten moet je namelijk wel bij dat proces zijn. Heeft het proces zich tijdens de meting ten opzichte van jou verplaatst, dan kost het ook nog tijd voordat de informatie van het proces bij jou is. Daardoor kun je nooit de juiste tijd meten.

Lengtekrimp

De tijd die twee waarnemers meten hangt af van hun referentiestelsel. Ook afstanden in de bewegingsrichting hangen af van het referentiestelsel van een waarnemer. In fi guur 6a zie je een telefoon als de telefoon stilstaat ten opzichte van jou. In fi guur 6b zie je de telefoon overdreven weergegeven als die ten opzichte van jou naar links of naar rechts beweegt. Een voorwerp dat ten opzichte van jou beweegt, neem je smaller waar. Dit verschijnsel heet lengtekrimp. Deze lengtekrimp geldt alleen voor de richting waarin het voorwerp beweegt. Daarom is de breedte kleiner, maar de hoogte niet. Dat geldt dus ook voor fi guren.

a b

Figuur 6

De lengte van een voorwerp in het ruststelsel noem je de eigenlengte ℓ e. De lengte in het bewegende stelsel bereken je met:

ℓb = ℓ e _ γ ▪ ℓb is de lengte in m in het referentiestelsel dat beweegt ten opzichte van het ruststelsel van het voorwerp. ▪ ℓ e is de eigenlengte in m in het ruststelsel van het voorwerp. ▪ γ is de gammafactor.

Opmerking Figuur 6 is sterk overdreven: de gammafactor γ is bijna gelijk aan 1 bij snelheden lager dan 0,25c. Zie fi guur 7.

Figuur 7

v (ms–1)

Voorbeeld Arthur beweegt met een snelheid van 0,60c ten opzichte van Berna. Dat wil zeggen met 60% van de lichtsnelheid. Beiden zien in de bewegingsrichting in hun eigen stelsel een liniaal van 40 cm liggen. Ze vergelijken de lengtes met elkaar. Arthur zegt: ‘Jouw liniaal is korter dan die van mij’. a Bereken de lengte die de liniaal van Berna heeft in het stelsel van Arthur. Berna beweert ‘Nee, hoor, jouw liniaal is korter’. b Heeft Berna gelijk? Licht je antwoord toe. c Is er een situatie mogelijk waarin in het stelsel van Arthur de liniaal van Berna korter is, terwijl ze in het stelsel van Berna even lang zijn?

Uitwerking a ℓb = ℓ e _ γ ℓ e = 40 cm γ = _ 1 _ √1 − v 2 _ c 2

v = 0,60c γ = 1 ___________ ___________√1 − (0,60c)2 _ c 2 = 1,25

Dit levert voor de lengte van de liniaal van Berna in het stelsel van Arthur: ℓb = ℓ e _ γ = 40 _ 1,25 = 32 cm. b Ja, want in het stelsel van Berna beweegt de liniaal van Arthur. Dus in het stelsel van Berna is de liniaal van Arthur ook korter en dus 32 cm lang. c Dat kan als de liniaal van Arthur loodrecht staat op de bewegingsrichting van

Berna: een lengtekrimp treedt alleen op in de bewegingsrichting.

1 Een piloot vliegt in een straaljager met een lengte van 15 m. Stel dat hij zou kunnen vliegen met een snelheid van 50% van de lichtsnelheid. a Bereken hoe lang de straaljager is in het stelsel van een waarnemer op de grond. b Bereken hoe groot de snelheid van de straaljager is wanneer in het stelsel van een waarnemer op de grond de straaljager slechts 7,5 m lang is.

2 Astronaut Buzz reist met 80% van de lichtsnelheid naar de ster Proxima Centauri.

Proxima Centauri staat op 4,0∙1016 m van de aarde. Zijn zus Lola neemt de reis vanaf de aarde waar. a Toon aan dat de reis in het stelsel van Lola 5,3 jaar duurt. b Bereken hoe groot de afstand tussen de aarde en Proxima Centauri is in het stelsel Buzz. c Bereken hoelang de reis duurt in het stelsel van Buzz.

3 Astronaut Buzz reist met 60% van de lichtsnelheid van de aarde weg. Buzz heeft contact met een controlepost op aarde. Hij vertelt gedurende 45 s aan de controlepost dat alles in orde is. a Bereken hoelang de boodschap in het stelsel van de controlepost duurt. b Leg uit dat zijn stem lager klinkt in de controlepost.

De hartslag van astronaut Buzz is 70 slagen per minuut. Zijn hartslag wordt door de controlepost op aarde beluisterd. c Bereken hoeveel slagen zijn hart per minuut maakt in het stelsel van de controlepost.

4 In een trein vinden op dezelfde plek na elkaar twee gebeurtenissen plaats. De tijdsduur tussen deze twee gebeurtenissen is 0,60 s. Ole staat op een station. In zijn referentiestelsel is de tijdsduur tussen die twee gebeurtenissen 0,80 s. a Bereken de snelheid van de trein.

Ole kan die tijdsduur van 0,80 s niet meten, alleen beredeneren. b Leg dit uit.

5 Harry Potter vliegt op zijn bezemsteel Nimbus met 60% van de lichtsnelheid onder een brug door. Zijn vriendin Ginny Wemel staat op de brug en zwaait naar Harry.

Harry vliegt op de Nimbus, die in zijn stelsel een lengte heeft van 2,00 m. Neem aan dat de plaats van Harry samenvalt met achterkant van Nimbus.

De breedte van de brug is in het stelsel van Ginny 1,60 m.

Op t = 0 s ziet Ginny dat de voorkant van de Nimbus precies gelijk is met de voorkant van de brug. Zie figuur 8 voor een bovenaanzicht. a Toon aan dat de breedte van de brug in het stelsel van Harry 1,28 m is. b Bereken de lengte van de Nimbus in het stelsel van Ginny. c Bereken hoelang de tocht onder de brug duurt in het stelsel Harry. d Bereken hoelang de tocht duurt in het stelsel Ginny.

achter voor

▶ hulpblad

Figuur 8

links rechts

6 Anjali staat bij een staaf van 1,2 m. De staaf staat onder een hoek van 30° evenwijdig aan de weg. Ramazan vliegt met een snelheid van 0,70c over de weg. a Toon aan dat de lengte van de staaf in het stelsel van Ramazan 0,95 m is. b Bereken onder welke hoek de staaf staat in het stelsel van Ramazan.

7 De afstand tussen de spiegels van de lichtklok op pagina 12 is d, de periode in het stelsel van Alina is TA en de periode in het stelsel van Bruce is TB. a Toon aan dat de lichtklok in het stelsel van Alina een periode heeft van TA = 2d _ c . b Toon aan dat de lichtklok in het stelsel van Bruce een periode heeft van TB = 2d _ √_ c 2 − v 2 . c Leid uit de formules voor TA en TB af dat geldt TB = γ⋅ TA.