Relazione di calcolo strutturale
TimberTech s.r.l.
Azioni orizzontali Analisi modale
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L’analisi modale porta alla determinazione dei modi di vibrare della struttura, che forniscono importanti informazioni sul comportamento sismico dell’edificio e sono alla base dell’analisi dinamica lineare. La determinazione dei modi di vibrare implica la risoluzione del problema agli autovalori generalizzato: [đ?‘˛đ?‘˛ − đ?œ´đ?œ´2 đ?‘´đ?‘´]đ?š˝đ?š˝ = đ?&#x;Žđ?&#x;Ž
rte
dove đ?‘˛đ?‘˛ è la matrice di rigidezza, đ?‘´đ?‘´ la matrice delle masse, đ?œ´đ?œ´2 è la matrice diagonale degli autovalori e đ?š˝đ?š˝ è la matrice dei corrispondenti autovettori o modi di vibrare (massa normalizzati); le masse sismiche dei singoli piani sono calcolate sulla base della seguente combinazione dei carichi gravitazionali: G1 + G2 + ďż˝ Ďˆ2j â‹… Q kj j
be
Il singolo autovalore, ricavato dalla soluzione del problema agli autovalori generalizzato, è pari al quadrato della pulsazione angolare đ??Žđ??Ž legata al periodo, T, e la frequenza, f, secondo le relazioni: đ?‘‡đ?‘‡ =
1 đ?‘“đ?‘“
e đ?‘“đ?‘“ =
đ?œ”đ?œ” 2đ?œ‹đ?œ‹
m
A ciascun modo i-esimo è associata una massa partecipante nelle due direzioni principali X e Y e attorno all’asse verticale Z pari a:
w .ti
������ =
w w
������
dove:
đ?‘šđ?‘šđ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘–đ?‘– [%] ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘Ľđ?‘Ľ,đ?‘—đ?‘—
đ?‘šđ?‘šđ?‘Śđ?‘Śđ?‘–đ?‘– = [%] ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘Śđ?‘Ś,đ?‘—đ?‘—
������ =
������ = ������ = ������ =
đ?‘šđ?‘šđ?‘§đ?‘§đ?‘–đ?‘– [%] ∑ đ??źđ??źđ?‘§đ?‘§,đ?‘—đ?‘— đ?‘ťđ?‘ť
đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?‘ťđ?‘ť
đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?‘ťđ?‘ť
đ?&#x;?đ?&#x;?
���� �� � �� ���� � [�� �� ]�� �� �� ��
���� �� � �� ���� � [�� �� ]�� �� �� ��
���� �� � �� ���� � [�� �� ]�� �� �� ��
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e in cui ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘Ľđ?‘Ľ,đ?‘—đ?‘— , ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘Śđ?‘Ś,đ?‘—đ?‘— e ∑ đ??źđ??źđ?‘§đ?‘§,đ?‘—đ?‘— rappresentano la somma delle masse agenti in direzione X e Y e delle masse polari di tutti i j-esimi gradi di libertĂ non vincolati della struttura.
Periodo [s]
Frequenza [Hz]
MX [%]
Somma MX [%]
MY [%]
Somma MY [%]
MZ [%]
Somma MZ [%]
Modo 1
0,52
1,91
1,34
1,34
75,13
75,13
4,01
4,01
Modo 2
0,38
2,66
48,90
50,24
7,05
82,18
32,60
36,61
Modo 3
0,29
3,50
45,38
95,61
1,43
Modo 4
0,22
4,51
0,12
95,74
15,97
Modo 5
0,15
6,47
2,93
98,67
0,40
Modo 6
0,10
9,66
1,33
100,00
0,01
L’analisi dinamica lineare consiste:
83,62
48,00
84,62
99,58
4,21
88,82
99,99
9,38
98,20
100,00
1,80
100,00
rte
Analisi dinamica lineare
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Modo di vibrare
nel calcolo degli effetti dell’azione sismica, rappresentata dallo spettro di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare ricavato dall’analisi modale;
-
nella combinazione di questi effetti.
be
-
Il calcolo degli effetti dell’azione sismica si basa sull’applicazione delle forze esterne equivalenti alla struttura secondo la formulazione seguente:
e
đ?‘đ?‘đ?’Šđ?’Šđ?’šđ?’š = Γđ?‘Śđ?‘Śđ?‘–đ?‘– đ?‘†đ?‘†đ?‘‘đ?‘‘ (đ?‘‡đ?‘‡đ?‘–đ?‘– ) đ?‘´đ?‘´ đ?š˝đ?š˝ đ?’Šđ?’Š
w .ti
dove:
m
đ?‘đ?‘đ?’Šđ?’Šđ?’™đ?’™ = Γđ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘–đ?‘– đ?‘†đ?‘†đ?‘‘đ?‘‘ (đ?‘‡đ?‘‡đ?‘–đ?‘– ) đ?‘´đ?‘´ đ?š˝đ?š˝ đ?’Šđ?’Š
đ?‘đ?‘đ?’Šđ?’Šđ?’™đ?’™ e đ?‘đ?‘đ?’Šđ?’Šđ?’šđ?’š sono le forze esterne riferite all’i-esimo modo di vibrare e dovute all’azione sismica agente rispettivamente lungo X e lungo Y đ?‘†đ?‘†đ?‘‘đ?‘‘ (đ?‘‡đ?‘‡đ?‘–đ?‘– ) è l’ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo i-esimo
w w
�� �� è il modo di vibrare i-esimo
Γ���� �� Γ���� sono i coefficienti di partecipazione dell’i-esimo modo di vibrare definiti come: Γ����
đ?‘ťđ?‘ť
đ?‘ťđ?‘ť
��� �� � �� ���� ��� �� � �� ���� �� = e à = �� [�� �� ]�� �� �� �� [�� �� ]�� �� �� ��
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La combinazione degli effetti relativi ai singoli modi è eseguita utilizzando una combinazione quadratica completa degli effetti relativi a ciascun modo, cosÏ come definita nell’espressione seguente: 1/2
đ?‘—đ?‘—
con:
đ?‘–đ?‘–
đ??¸đ??¸đ?‘—đ?‘— valore dell’effetto relativo al modo j;
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đ??¸đ??¸ = �� ďż˝ đ?œŒđ?œŒđ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– ∙ đ??¸đ??¸đ?‘–đ?‘– ∙ đ??¸đ??¸đ?‘—đ?‘— ďż˝
đ?œŒđ?œŒđ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j, calcolato con la formula: đ?œŒđ?œŒđ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– =
(1 + đ?›˝đ?›˝đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– )��1 − đ?›˝đ?›˝đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– ��
rte
đ?œ‰đ?œ‰ smorzamento viscoso dei modi i e j;
3/2
8 đ?œ‰đ?œ‰ 2 đ?›˝đ?›˝đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–
������ è il rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi (������ = ���� /���� ).
be
Nella tabella seguente si riportano le proprietĂ degli impalcati della struttura. Quota rispetto al piano di fondazione zi [m]
xG,sisma [m]
yG,sisma [m]
Massa i [kg]
1
3,20
7,71
3,75
68621
2
6,69
7,62
3,62
61793
m
Impalcato
w w
w .ti
In tabella sono riportati, per ciascun modo di vibrare, il periodo corrispondente e l’ordinata spettrale agli Stati Limite di Salvaguardia della Vita e agli Stati Limite di Danno. Periodo [s]
Ordinata spettro SLV [g]
Ordinata spettro SLD [g]
Modo 1
0,54
0,10
0,06
Modo 2
0,35
0,12
0,10
Modo 3
0,30
0,12
0,11
Modo 4
0,23
0,12
0,11
Modo 5
0,14
0,12
0,11
Modo 6
0,11
0,11
0,10
Modo di vibrare
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Modo
w .ti
m
Modo 2
be
rte
Modo 1
w w
Modo 3
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