Reële functies by Erwin Meyers

1. Herhaling 4 TIW 1.1. Elementaire begrippen : Reële functie : met elke x waarde stemt hoogstens 1 y-waarde overeen Domein : verzameling van originelen die een beeld hebben Nulpunten : a is een nulpunt <==> f(a) = 0 Stijgen en dalen : f is stijgend in [a,b] ∀x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Snijpunt Y-as : de y-waarde van een functie als x = 0 Beeld of bereik : verzameling van y-waarden die een x-waarde hebben 1.2. Reële functies : 1.2.1. Eerstegraadsfuncties Algemene vorm : y = ax + b Grafiek Stijgen / dalen Nulpunt Tekenonderzoek 1.2.2. Tweedegraadsfuncties Algemene vorm : y = ax ² + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ⎛−b − D⎞ Top : ⎜ , ⎟ ⎝ 2a 4a ⎠ Symmetrie-as Stijgen / dalen Nulpunten : D = b ² − 4ac −b± D X= 2a Tekenonderzoek

1.2.3. Andere basisfuncties 1.2.3.1.

y= x

1.2.3.2.

y = x3 1 y= x

1.2.3.3.

Bepaal het domein, de nulpunten, het stijgen en dalen en het beeld van deze functies. Maak tevens een tekentabel.

1.3. Veeltermen : 1.3.1. Algemene vorm 0 = a n x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x ² + a1 x + a0 1.3.2. Bepalen van de wortels, ontbinden : verschillende methoden 1.3.2.1.

Afzonderen x³ − x² − 6 x = 0

1.3.2.2.

Samennemen van termen 2 x³ − 5x² − 2 x + 5 = 0

1.3.2.3.

Reststelling / regel van Horner 2 x ³ + x ² − 12 x + 9 = 0 3 x 5 − 4 x 4 − 20 x ³ + 10 x ² + 17 x − 6 = 0 ( x − a ) V ( x) ⇔ f (a ) = 0 ⇔ a a0 ( x − a) V ( x) ⇔ V ( x) = ( x − a ) ⋅ q ( x)

1.3.2.4.

Substitutie 0 = x 4 − 4 x² + 4

1.3.3. Euclidische deling van veeltermen Een veelterm V(x) delen door een andere veelterm d(x) heeft q(x) als quotiënt en r(x) als rest. V(x) = x ³ + x ² − 3 x D(x) = x − 2 V ( x) = d ( x) ⋅ q ( x) + r ( x) V ( x) r ( x) = q( x) + d ( x) d ( x)

1.4. Oefeningen : We maken een oefeningenreeks: zie Derive bestand herhalingsoefeningen.

2. Veeltermfuncties Doelstellingen : a) Vanuit de grafiek, eventueel aangevuld met tabellen, elementaire begrippen afleiden1. (AN 1) b) Vragen beantwoorden i.v.m probleemsituaties.(AN 2) c) Algebraïsch bepalen van het domein, de nulpunten en het tekenverloop. (AN 3, 4, 5) d) Ongelijkheden oplossen met ICT of rekentechnieken. (AN 6) 2.1. Inleiding: soorten functies De leerlingen zelf voorbeelden laten aanhalen. Vanuit deze voorbeelden een opdeling maken. 2.1.1. Begrip functie (zie herhaling) p 8 2.1.2. Algebraïsche functies p 8 2.1.3. Transcendente functies p 9 2.2. Veeltermfuncties 2.2.1. Voorbeeld 1 p 10-11: ballonvaart 1 4 1 t³ − t 216 18 h= hoogte in tientallen meters, t is de tijd in uren (t=0, boven kerk) h(t ) = 24 − 2t +

De grafiek laten tekenen : scherm juist instellen. Vragen p 10 oplossen m.b.v. ICT. Begrippen domein, beeld en nulpunt aanhalen.

2.2.2. Begrippen p 11 -

Domein / praktisch domein Het domein van een veeltermfunctie is \ . Beeld / praktisch beeld

2.2.3. Voorbeeld 2 p 12 : vuurwerk h(t ) = t ³ − 4t ² + 2t + 8 h in meter en t in seconden, na 5 seconden ontploft de pijl

De grafiek laten tekenen : scherm juist instellen. Vragen p 12 oplossen m.b.v. ICT. Domein, beeld en praktisch domein en beeld. Nieuw begrippen : relatief maximum, minimum.

Onder elementaire begrippen verstaan we : domein, bereik, nulpunten, stijgen en dalen, gemiddelde verandering, extrema, symmetrie, periodiciteit en groei.

2.2.4. Voorbeeld 3 p 13: algemeen voorbeeld

f ( x) = x 4 − 8 x ² + 7 -

Maak een duidelijke grafiek van de functie. Bepaal het domein. Bepaal de nulpunten algebraïsch. Maak een tabel met het tekenverloop. Bepaal het stijgen en dalen. Bepaal de eventuele relatieve minima, maxima.

2.2.5. Begrippen Duidelijk aandacht besteden aan de notatie in symbolen !!! Relatief maximum / minimum p 14 Absoluut Maximum /minimum p 14 2.2.6. Functievoorschrift opstellen -

Voorbeeld 1 p 15 : vanuit 4 gegeven punten een derdegraadsfunctie opstellen. P(-3,4), Q(-2,0); R(0,4) en S(2,-16) Als de vergelijkingen gevonden zijn, deze oplossen met ICT

2.2.7. Vraagstukken : kartonnen doos -

Voorbeeld 2 p 17 : aan de vier hoeken van een stuk karton van 80 cm op 50, snijdt men vier gelijke vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel. Stel een functie op die de inhoud van de doos weergeeft in functie van zijn hoogte. Probeer te achterhalen voor welke hoogte de inhoud van de doos maximaal is.

2.2.8. Differentiequotiënt : gemiddelde snelheid 0≤ t ≤15 d (t ) = 2t ³ 15≤ t ≤30 d (t ) = 10125 − (30 − t )³ T in minuten, d in meter - Hoeveel km reed Jonas effectief? - Wat was zijn gemiddelde snelheid over de hele rit? - Benader zijn exacte snelheid op t = 8. - Terminologie uitleggen : p 20

∆y f ( x2 ) − f ( x 1 ) y2 − y1 = = ∆x x2 − x1 x2 − x1 Gemiddelde verandering in [ x1 , x2 ] 2.3. Samenvatting p 21 2.4. Oefeningen: zie Derive bestand : oefeningen veeltermfuncties

3. Rationale functies Doelstellingen : a) Vanuit de grafiek, eventueel aangevuld met tabellen, elementaire begrippen afleiden.1 (AN 1) b) Vragen beantwoorden i.v.m probleemsituaties. (AN 2) c) Algebraïsch bepalen van het domein, de nulpunten en het tekenverloop. (AN 3, 4, 5) d) Homografische functies bestuderen. (AN 7) e) Ongelijkheden oplossen met ICT of rekentechnieken. (AN 6) 3.1. Definitie p 25 : 3.1.1. Definitie p 25 3.1.2. Voorbeeld 1 : konijnenpopulatie p 25 360 3+t Met n(t) het aantal konijnen en t in maanden. n(t ) = 150 −

Schets de grafiek van n(t). Hoeveel konijnen zijn er de zesde maand bijgekomen? Na hoeveel maanden zijn er 135 konijnen? (algebraïsch oplossen) Hoeveel konijnen telt deze populatie op lange termijn? (tabel leren gebruiken met ZRM)

3.2. Voorbeelden van rationale functies : 3.2.1. Voorbeeld 1 -

Onder elementaire begrippen verstaan we : domein, bereik, nulpunten, stijgen en dalen, gemiddelde verandering, extrema, symmetrie, periodiciteit en groei.

2 x² + 1 x² + 1

Dom f(x) = \ Geen nulpunten Y-as : (0,1) Bld f(x) = [1,2[ Dalend : ]−∞, 0] ; Stijgend : [ 0, +∞[ Als x zeer grote waarden aanneemt :

Als f(x) zeer grote (kleine) waarden aanneemt, nadert het beeld van de functie naar twee. We zeggen dat de rechte Y = 2 een horizontale asymptoot is.

lim f ( x) = 2 x →∞

De functie is overal positief. 3.2.2. Voorbeeld 2 -

Schets de grafiek van de functie. Bepaal het domein van deze functie. Bepaal de snijpunten met de assen. Waar is deze functie stijgend/dalend? Wat gebeurt er als x zeer grote waarden aanneemt? Welke waarden neemt de functie aan in de omgeving van -1? Maak een tabel die het tekenverloop weergeeft. Voer de euclidische deling uit en herschrijf het functievoorschrift.

x² + x − 2 x +1

Dom f(x) = \ \ (−1) Nulpunten zijn : (-2,0) ; (1,0) Y-as : (0,-2) Bld f(x) = \ Stijgend : ]−∞, −1[ U ]−1, +∞[ Als x zeer grote waarden aanneemt, wordt het beeld ook oneindig groot (klein). In de omgeving van -1 :

In de omgeving van -1 wordt het beeld ook oneindig klein (groot). lim f ( x) = −∞

x →−1 <

lim f ( x) = +∞

x →−1 >

We zeggen dat de functie een verticale asymptoot heeft, nl X = -1.

We voeren de euclidische deling uit en herschrijven de functie. y=

x2 + x − 2 2 = x− x +1 x +1

Als we de rechte y = x tekenen zien we dat de functie in oneindig bijna samenloopt met deze rechte. We noemen deze rechte een schuine asymptoot. Het quotiënt bij de euclidische deling geeft steeds deze asymptoot weer. 3.2.3. Voorbeeld 3 y=

Schets de grafiek van de functie. Bepaal het domein van deze functie. Bepaal de snijpunten met de assen. Waar is deze functie stijgend/dalend? Wat gebeurt er als x zeer grote waarden aanneemt? Welke waarden neemt de functie aan in de omgeving van 2? Maak een tabel die het tekenverloop weergeeft. x+3 x−2

Dom f(x) = \ \ (2) Nulpunten : (-3,0) Y-as : (0,-3/2) Bld f(x) = \ \ (1) Dalend : ]−∞, 2[ U ]2, +∞[

Als x zeer grote waarden aanneemt :

We zien dat f(x) in beide gevallen naar 1 nadert. Dus Y = 1 is horizontale asymptoot.

lim f ( x) = 1 x →∞

In de omgeving van 2 :

lim f ( x) = −∞ x→2 <

lim f ( x) = +∞ x→2 >

De functie heeft dus een verticale asymptoot nl X = 2. Tekentabel maken.

3.3. Begripsvorming : domein, asymptoten 3.3.1. Domein Het domein van een rationale functie is R\(nulpunten noemer). 3.3.2. Verticale asymptoot p 30 -

De rechte X = c is verticale asymptoot ⇔ lim f ( x) = ∞

c is een pool van f(x), vaak zal dit een nulpunt zijn van de noemer. Bepaal de verticale asymptoot van onderstaande functie : x² + x − 2 y= x −1 Opmerking : geperforeerde grafiek

x →c

3.3.3. Horizontale asymptoot : p 31 -

De rechte y=a is horizontale asymptoot ⇔ lim f ( x) = a

Wanneer heeft een rationale functie een horizontale asymptoot?

x →∞

GrT = GrN GrT < Gr N

: HA is het quotiënt van de hoogstegraadstermen : HA is y = 0

3.3.4. Schuine asymptoten p 32 -

Een rationale functie heeft een schuine asymptoot als de graad van de teller één groter is dan de graad van de noemer. We vinden de schuine asymptoot door de euclidische deling uit te voeren. Het quotiënt is de schuine asymptoot. Als de functie een horizontale asymptoot heeft, kan ze geen schuine asymptoot hebben.

3.4. Toepassing : concentratie van een medicijn p 34 c(t ) =

12t t² + 2

C(t) in mg/l en t in uren -

Na hoeveel uur moet er een tweede injectie gegeven worden zodat de concentratie ten minste 2 mg/l blijft? Zijn er op lange termijn nog sporen terug te vinden van het medicijn?

3.5. Homografische functies : 3.5.1. Definitie p 26 : quotiënt van twee eerstegraadsfuncties 3.5.2. Voorbeeld 1 : y= -

2x +1 x −1 Schets de grafiek van deze functie. Wat stel je vast? Schrijf deze functie in een andere vorm door de euclidische deling uit te voeren. Welke transformaties moet de grafiek van y = 1/x ondergaan om de grafiek van deze functie te bekomen?

3 +2 x −1

1 1 3 3 →y= →y= →y= +2 x x −1 x −1 x −1

Uit deze tabellen kunnen we dus gemakkelijk de opeenvolgende transformaties aflezen. 3.6. Samenvatting p 36 3.7. Oefeningen : zie Derive bestand : oefeningen rationale functies

4. Irrationale functies Doelstellingen : a) Vanuit de grafiek, eventueel aangevuld met tabellen, elementaire begrippen afleiden. (AN 1) b) Vragen beantwoorden i.v.m. probleemsituaties. (AN 2) c) Algebraïsch bepalen van het domein en de nulpunten. (AN 3, 4) d) Ongelijkheden oplossen met ICT of rekentechnieken. (AN 6) 4.1. Domein van een irrationale functie p 41 y= x

y = ( x + 2) y = 3 ( x − 4)

Besluit : p 41 4.2. Nulpunten 4.2.1. Voorbeelden : bepaal de nulpunten van onderstaande functies

y = ( x 2 − 5 x + 6) y = (5 x + 6) − x − 2

4.2.2. Irrationale vergelijking: los de vergelijking op (2 x + 3) − 2 ( x + 1) = −1

4.2.3. Besluit : Kwadrateringsvoorwaarde Nulpunten irrationale functie 4.3. Functies bespreken 4.3.1. Voorbeeld 1: y = ( x + 3)

4.3.2. Voorbeeld 2: y= -

( x + 2) x2 Schets de grafiek van de functie. Bepaal het domein van deze functie. Bepaal de snijpunten met de assen. Waar is deze functie stijgend/dalend? Wat gebeurt er als x zeer grote waarden aanneemt? Onderzoek het verloop van de functie in de omgeving van nul. Maak een tabel die het tekenverloop weergeeft.

4.3.3. Voorbeeld 3: y = 4 â&#x2C6;&#x2019; x2 -

4.3.4. Voorbeeld 4: zie boek p 45

3x 2 + 4 y 2 = 4 -

4.4. Vraagstukken p 47 : afstand Parijs-Dakar Opdracht p 47 : opgave laten lezen, oplossing bedekken 4.5. Samenvatting p 48 4.6. Oefeningen : zie Derive bestand verloop van irrationale functies

Doelstellingen : machten, exponentiële groei en exponentiële functies a) N-de machtswortel en machten met rationale en reële exponenten. (AN 11) b) Problemen i.v.m exponentiële groei. (AN 12) c) Grafiek van de exponentiële functie tekenen en elementaire begrippen afleiden. (AN 13) d) Elementaire exponentiële vergelijkingen oplossen. (AN18) e) Problemen oplossen i.v.m exponentiële functies. (AN19)

5. Machten 5.1. Machten met gehele exponenten. Eerst werden machten ingevoerd met natuurlijke getallen als exponent.

∀a ∈ \, ∀n ∈ ` 0 : a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ .... ⋅ a ∀a ∈ \ : a1 = a ∀a ∈ \ 0 : a 0 = 1 00 = ? De volgende fase was het invoeren van negatieve getallen als exponent. ∀a ∈ \ 0 , ∀n ∈ ` : a − n =

1 an

Voorbeelden p 68. 5.2. Eigenschappen van machten met gehele exponenten. ∀a, b ∈ \ 0 , ∀m, n ∈ ] : a m ⋅ a n = a m+ n am = a m−n an ( a m ) n = a m ⋅n ( a ⋅ b) n = a n ⋅ b n n

an ⎛a⎞ = ⎜ ⎟ bn ⎝b⎠ ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

−n

⎛b⎞ =⎜ ⎟ ⎝a⎠

5.3. Vierkantswortels in R. Een vierkantswortel uit een reëel getal is elk reëel getal waarvan de tweede macht gelijk is aan het gegeven getal. b is de vierkantswortel uit a asa b² = a. Enkel positieve getallen kunnen een vierkantswortel hebben. ∀a , b ∈ \ + : a = b ⇔ b 2 = a

Eigenschappen: ∀a, b ∈ \ + : a2 = a

( a)

( a ⋅ b) = a ⋅ b a a = ,b ≠ 0 b b Let op : ∀x ∈ \ : x 2 = x

5.4. N-de machtswortels in R. Geef zelf enkele voorbeelden. Definitie n-de machtswortel : Voor een van nul verschillend natuurlijk getal n is de n-de machtswortel uit een reël getal elk reëel getal waarvan de n-de macht gelijk is aan een gegeven getal. ∀n ∈ ` 0 , ∀a, b ∈ \ : n a = b ⇔ b n = a

Besluit p 70: welke getallen hebben een n-de machtswortel !!!

Let op : n oneven : ∀x ∈ \ : n x n = x n is even : ∀x ∈ \ : n x n = x Eigenschappen (zowel grondtal als wortel zijn positief !!!): ∀m, n ∈ ` 0 , ∀a, b ∈ \ +0 : n

an = a

( a) n

(a ⋅ b) = n a ⋅ n b

a na = b nb

m n

a = m ⋅n a

5.5. Machten met rationale exponenten. Geef zelf enkele voorbelden !!!

∀a ∈ \ +0 , ∀m ∈ ], ∀n ∈ ` 0 : a n = n a m m

5.6. Eigenschappen van machten met rationale exponenten. ∀a, b ∈ \ +0 , ∀p, q ∈ _ : a p ⋅ aq = a p+q ap = a p −q q a ( a p ) q = a p ⋅q

Toepassingen p 72 !!! 5.7. Samenvatting p 73 : 5.8. Oefeningen. Oef 1 p 73 : a, d, f, i Oef 2 p 74 : a, b, d Oef 4 p 74 : a, i, j Oef 5 p 74 : a, e, f Oef 6 p 74 Oef 7 p 75 Oef 13 p 75

6. Exponentiële en logaritmische functies.

6.1. Exponentiële groei. 6.1.1. Soorten groei. Inleidende tekst lezen p 80. 6.1.2. Lineair versus exponentieel. Inleidend voorbeeld p 81 : algengroei Vragen oplossen p 81 Besluiten p 82 – 83: a) Definitie b) Functievoorschrift c) Grafiek 6.1.3. Groeifactor. Voorbeeld 1 : samengestelde intrest formule : K = 2500(1.05)t groeifactor : 1.05 (per jaar) besluit p 84 Voorbeeld 2 : luchtschepen formule : V = 105000(0.5)t groeifactor : 0.5 (per 10 dagen) 1

0.510 = 0.933 (per dag) besluit p 85 Voorbeeld 3 : bacteriëncultuur formule : A = 100(3)t groeifactor : 3 (per uur) 2 3 = 1.73 (per half uur) 2 3 = 9 (per 2 uur) besluit p 85 Toepassingen p 86 6.1.4. Machten met reële exponenten. a x is gedefinieerd ⇔ ∀a ∈ \ +0 , ∀x ∈ \ De rekenregels blijven hetzelfde voor de machten met rationale exponenten.

6.1.5. Exponentiële functies. 6.1.5.1.

Definitie.

y = ax a ∈ \ +0 \ {1}

a noemen we het grondtal of de groeifactor. 6.1.5.2. -

Voorbeelden.

Schets de grafiek van de functie. Bepaal het domein van deze functie. Bepaal de snijpunten met de assen. Waar is deze functie stijgend/dalend? Wat gebeurt er als x zeer grote of kleine waarden aanneemt? Maak een tabel die het tekenverloop weergeeft.

y = 2x ⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝2⎠ 6.1.5.3.

Algemeen verloop p 87

De leerlingen schetsen zelfstandig het algemeen verloop van de basisfuncties. y = ax

⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝a⎠

Transformaties

6.1.5.4.

Beschrijf voor elke functie welke transformatie de functie y = a x ondergaat. y = ax + c y = a x+d y = b ⋅ ax x

y = ab

6.1.6. Exponentiële vergelijkingen. Een vergelijking waar een x in de exponent voorkomt noemen we een exponentiële vergelijking. Tip : probeer in beide leden een macht te krijgen met eenzelfde grondtal ! Voorbeelden : los op.

2 ⋅ 3(2 x −1) = 18 3 2 x = 4( x−1) − 8 Voorbeeld : inwoners aantal p 90 6.1.7. Exponentiële ongelijkheden. !!! Wanneer is een exponentiële ongelijkheid stijgend/dalend ? Als 0 < a < 1 : a f ( x ) < a g ( x ) ⇒ f ( x) > g ( x) Als a > 1 : a f ( x ) < a g ( x ) ⇒ f ( x) < g ( x) Voorbeelden : los op.

50 ⋅ (0.5) x < 100 1− x

(2 x − x 2 )

⎛1⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝9⎠

6.1.8. Samenvatting p 92. 6.1.9. Oefeningen. Oef 2 p 93 Oef 8 p 95 Oef 9 p 95 Oef 18 p 97 Oef 23 p 98 : b, c, h Oef 24 p 98 : a, e Oef 25 p 99 : a, c

6.2. Logaritmische functies. 6.2.1. Logaritmen. Groei van waterplanten : y = 2t Na hoeveel tijd is er 10 m² volgroeid ? Dus : 2t = 10 Dit kunnen we niet uit het hoofd. We weten wel dat t zal liggen tussen 2 en 3. Tot welke macht moeten we twee verheffen om 1O te verkrijgen : 2 log10 We kunnen een aantal voorbeelden uit het hoofd berekenen. Hiervoor vullen we de tabel in op pagina 100. Bereken nu ook eens onderstaande voorbeelden : 3

log 27

1 2

log 8

log1000

log(−2)

log 4

−2

log 8

Besluit : a

log x = y ⇔ a y = x

a ∈ \ + \ ( 0,1)

Opmerkingen : a

log a = 1

log a y = y

log x

Brigse logaritmen Natuurlijke of Neperiaanse logaritmen

6.2.2. Rekenregels voor logaritmen. Logaritme van een product : a

log ( x1 ⋅ x2 ) = a log ( x1 ) + a log ( x2 )

Toon deze stelling aan : a

(

log ( x1 ⋅ x2 ) = a log a

(

= a log a

log ( x1 ) + a log ( x2 )

log ( x1 )

⋅a

log ( x2 )

)

log ( x1 ) + a log ( x2 )

Dit heeft tot gevolg : a

( )

log x1n = n ⋅ a log ( x 1 )

Analoog kunnen we de logaritme van een quotiënt berekenen. a

⎛x ⎞ log ⎜ 1 ⎟ = a log ( x1 ) − a log ( x2 ) ⎝ x2 ⎠

De leerlingen tonen deze stelling zelf aan. Vaak hebben we een praktisch probleem om een logaritme te kunnen berekenen. Denk maar aan ons inleidend voorbeeld : 2 log10 We kunnen onderstaande rekenregel gebruiken om een logaritme te berekenen. b

log x =

a a

log x log b

Toon deze regel aan : b

log x = y ⇔ b y = x ⇔

log b y = a log x ⇔

y ⋅ a log b = a log x ⇔ y=

a a

log x log b

Bereken nu zelf : 2 log10 Vaak zullen we dus simpelweg Brigse logaritmen gebruiken om andere logaritmen te kunnen berekenen.

6.2.3. Grafiek en eigenschappen van een logaritmische functie. Teken nu zelf de grafiek van y = 2 log x

Wat Stel je vast in vergelijking met de exponentiële functie : y = 2 x

Besluit : de logaritmische functie met grondtal a is de inverse functie van de exponentiële functie met grondtal a. Bespreek het verloop van de logaritmische functie : y = a log x a >1

Bespreking zie boek p 106 ! 6.2.4. Transformaties van de grafiek. y = a log x → y = a log ( x − p ) + q

Zie boek p 106

6.2.5. Oplossen van exponentiële vergelijkingen mbv logaritmen. Dankzij het bestaan van logaritmen, kunnen we nu meer exponentiële vergelijkingen oplossen dan ervoor. In eerste instantie konden we enkel vergelijkingen oplossen indien beide leden herleid konden worden naar eenzelfde grondtal. Nu is dit geen noodzaak meer. Los onderstaand voorbeeld op : x −1

⎛1⎞ 2 x +10 = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ We kunnen aan beide leden “de logaritme nemen” !

(

log 2

x +10

)

⎛1⎞ = log ⎜ ⎟ ⎝3⎠

x −1

⇔

( x + 10) ⋅ log 2 = ( x − 1) ⋅ log

1 3

We krijgen nu een eerste graadsvergelijking in x die we gemakkelijk kunnen oplossen. Besluit : oplossen van exponentiële vergelijkingen a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ f ( x) ⋅ log a = g ( x) ⋅ log b Soms is het mogelijk a x te substitueren door t. Ook bij ongelijkheden kunnen we gebruik maken van logaritmen : Los onderstaand voorbeeld op : wijzen op de regels van ongelijkheden !!!

25 ⋅ ( 0.8 ) < 10 ⋅ (1.2 ) x

Toepassing : autobanden p 109 -

stel eerst een vergelijking op van U(n): U (n) = 2 ⋅ ( 0.989 ) vertaal het gevraagde in een wiskundige ongelijkheid los deze ongelijkheid op

2 ⋅ ( 0.989 ) < 1.7 n

6.2.6. Logaritmische vergelijkingen. Een vergelijking waarbij x in het argument of het grondtal van een logaritme voorkomt, noemen we een logaritmische vergelijking. Oplossingsmethode: -

altijd eerst de bestaansvoorwaarde opstellen omzetten tot logaritmen met hetzelfde grondtal oplossen f(x) = g(x)

Los nu onderstaande vergelijkingen op : 2

log x = 4 log(2 x + 2)

log(2 x) = 1 + 3 log ( x + 1)

6.2.7. Logaritmische ongelijkheden. We hebben het verloop van de logaritmische functies in gedachten. Hieruit kunnen we onderstaande regels afleiden : o < a < 1: a log ( f ( x) ) > a log ( g ( x) ) ⇔ f ( x) < g ( x) a > 1: a log ( f ( x) ) > a log ( g ( x) ) ⇔ f ( x) > g ( x)

Los nu onderstaande ongelijkheid op. 1 2

log( x + 2) > −2

Los onderstaande ongelijkheid grafisch, numerisch op. Dit kan altijd bij minder eenvoudige ongelijkheden. 2

log(2 x + 3) ≤ 3 − x

6.2.8. Samenvatting. 6.2.9. Oefeningen. Oef 1 p 117 : b, c, e, g, h, i Oef 2 p 117 : d, e Oef 3 p 117 : b Oef 4 p 117 : b Oef 5 p 117 : a, d Oef 7 p 118 : a, d Oef 8 p 118 Oef 9 p 118 Oef 18 p 119 Oef 27 p 121 : b, c Oef 28 p 121 : a, d, f

Oef 29 : a

7. Goniometrische functies.

7.1. Periodieke functies. 7.1.1. Voorbeelden p 126,127. -

getijden bloeddruk en hartslag

7.1.2. Begrippen p 128. -

periodieke functie periode

7.2. Basisgrafieken 7.2.1. Herhaling goniometrische begrippen p 129. -

goniometrische cirkel sinus, cosinus en tangens aflezen op C(0,1) het teken van de goniometrische getallen per kwadrant definities van tangens, cotangens, secans en cosecans grondformule richtingscoĂŤfficiĂŤnt en hellingshoek verband tussen hoeken en hun goniometrische getallen a) gelijke hoeken b) tegengestelde hoeken c) supplementaire hoeken d) complementaire hoeken

7.2.2. Sinusfunctie in radialen. y = sin x - Domein, beeld - periode - amplitude - nulpunten - symmetrie - tekenen waardeverloop

7.2.3. Cosinusfunctie. y = cos x - Domein, beeld - periode - amplitude - nulpunten - symmetrie - tekenen waardeverloop

7.2.4. Tangensfunctie.

y = tan x - Domein, beeld - periode - amplitude - nulpunten - symmetrie - tekenen waardeverloop - asymptoten

7.3. Som-en verschilformules. 7.3.1. Inleiding p 150. Met voorbeelden aantonen dat de formules niet zo simpel te berekenen zijn. 7.3.2. Formules voor de cosinus. cos(α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos(α + β ) = cos(α − (− β )) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β

7.3.3. Formules voor de sinus.

sin(α − β ) = cos( − (α − β )) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β 2 sin(α + β ) = sin(α − (− β )) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β 7.3.4. Formules voor de tangens. sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β sin(α − β ) tan α − tan β cos α ⋅ cos β tan(α − β ) = = = cos(α − β ) cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β 1 + tan α ⋅ tan β cos α ⋅ cos β tan α + tan β tan(α + β ) = 1 − tan α ⋅ tan β

7.3.5. Samenvatting. 7.4. Verdubbelings- en halveringsformules. 7.4.1. Verdubbelingsformules. We gebruiken de som- en verschilformules voor het afleiden van de verdubbelingsformules. sin(2α ) = sin(α + α ) = 2sin α cos α cos(2α ) = cos(α + α ) = cos 2 α − sin 2 (α ) 2 tan α tan(2α ) = 1 − tan 2 (α ) Deze formules kunnen we voor elke hoek gebruiken (elke hoek is immers een dubbele hoek). 7.4.2. Samenvatting.

7.5. Formules van Simpson. 7.5.1. Van een som naar een product. We beginnen wederom met de som en verschilformules : sin(α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos(α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β

Door enkele eenvoudige bewerkingen uit te voeren krijgen we onderstaande formules. Deze geven ons een overgang van een som naar een product of omgekeerd. sin(α − β ) + sin(α + β ) = 2sin α ⋅ cos β sin(α − β ) − sin(α + β ) = 2sin β ⋅ cos α cos(α − β ) + cos(α + β ) = 2 cos α ⋅ cos β cos(α − β ) + cos(α + β ) = −2sin α ⋅ sin β Men past nog een substitutie toe om de formules van een som naar een product te krijgen.

α +β = x α −β = y ⇒ (α + β ) 2 (α − β ) y= 2

Dit levert ons de formules van Simpson op. x+ y x− y cos 2 2 x− y x+ y sin x − sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2sin sin 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2 cos cos 2 2 sin x + sin y = 2sin

7.5.2. Van een product naar een som. In het vorige onderdeel is deze overgang reeds aan bod gekomen. 7.5.3. Samenvatting. 7.5.4. Oefeningen. 7.6. Goniometrische vergelijkingen. 7.6.1. Definitie. Zie boek p 7.6.2. Oplossen van basisvergelijkingen. a) sin( x ) = a ⇔ x = α + k ⋅ 2π ∨ x = π − α + k ⋅ 2π Voorbeelden: 1 sin( x) = 2 3 sin(2 x) = 2 b) cos( x) = a ⇔ x = α + k ⋅ 2π ∨ x = −α + k ⋅ 2π Voorbeelden: 1 cos x = − 2 π 2 cos( x − ) = 2 6 c) tan( x) = a ⇔ x = α + k ⋅ π Voorbeelden : 3 tan( x) = 2

3 tan(2 x − ) + 1 = 2 2

7.6.3. Vergelijkingen die uiteenvallen in basisvergelijkingen. In een aantal vergelijkingen herkennen we niet onmiddellijk een basisvergelijking. Door gebruik te maken van de goniometrische formules kunnen we deze vergelijkingen we laten uiteenvallen (schrijven als een product) in twee of meerdere basisvergelijkingen. Voorbeelden: cos x + sin(2 x) = 0 sin( x) + sin(3 x) − sin(2 x) = 0

7.6.4. Enkele eenvoudige substituties. Zoals bij elk type vergelijking kunnen we ook vaak in een goniometrische vergelijking een substitutie toepassen zodat we een veelterm krijgen. Deze veelterm kunnen we dan oplossen langs de klassieke weg. De oplossingen van de veelterm leveren ons telkens een basisvergelijking op. Voorbeelden:

sin x = cos 2 ( x) − sin 2 ( x) 7.6.5. Samenvatting. 7.6.6. Oefeningen. Oef 1 p 173 : e, f Oef 2 p 173 : a, d, i Oef 3 p 173 : a, d 7.7. Goniometrische ongelijkheden. 7.7.1. Terminologie. Definitie p 175. 7.7.2. Voorbeelden. eerst een voorstelling maken op de goniometrische cirkel daarna de oplossing algebraïsch opschrijven 1 sin x > 2 3 tan x < 3

onderstaande ongelijkheden vormen we eerst om tot een echte basisongelijkheid en lossen ze dan op de klassieke manier op.

cos(2 x + π ) <

1 2

2sin(4( x − )) + 2 > 3 3 7.7.3. Samenvatting. 7.7.4. Oefeningen. Oef 1p 180: a, e, g Oef 7 p 181 7.8. Cyclometrische functies. 7.8.1. 7.8.2. 7.8.3. 7.8.4. 7.8.5.

De omgekeerde relatie van de sinusfunctie. De omgekeerde relatie van de cosinusfunctie. De omgekeerde relatie van de tangensfunctie. Samenvatting. Oefeningen.