Versi贸n de evaluaci贸n 23/04/12
Matem谩ticas I
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Coordinación técnico-pedagógica Dirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos, dgme/sep María Cristina Martínez Mercado, Gabriel Calderón López, Alexis González Dulzaides Autores Diana Karina Hernández Castro, José Alfredo Rutz Machorro, Citlali Yacapantli Servín Martínez, Eladio Escobedo Trujillo, Francisco Ángel Vela Sánchez, Leonardo Jiménez Hernández, Adriana Rodríguez Domínguez, Olga Leticia López Escudero, Manuel García Minjares, Jesús Manuel Hernández Soto, Víctor Manuel García Montes, Ana María López Avilés, Mauricio Héctor Cano Pineda, Jesús Miguel Buendía Solorio Revisión técnico-pedagógica Ángel Daniel Ávila Mujica Coordinación editorial Dirección Editorial dgme/sep Alejandro Portilla de Buen, Olga Correa Inostroza Cuidado editorial Anne Alberro Semerena Producción editorial Martín Aguilar Gallegos
Servicios editoriales Rocío Mireles Gavito Diseño y diagramación Rocío Mireles Gavito, Bruno Contreras, Fernando Villafán Investigación iconográfica Cynthia Valdespino, Erandi Alvarado Corrección de textos Eduardo Méndez Olmedo
Versión de evaluación 23/04/12
Matemáticas I. Telesecundaria fue elaborado por la Dirección General de Materiales Educativos (dgme) de la Subsecretaría de Educación Básica, Secretaría de Educación Pública.
Ilustraciones Leonardo Olguín Landa (pp. 20b, 73, 75, 83, 107, 129, 159, 169, 180, 183, 184, 185, 191c, 194, 203, 211, 212, 220, 244, 250, 259).
Créditos iconográficos Adam Wiseman (p. 239); Bruno Contreras (pp. 27, 28, 50, 53, 57, 59, 60, 147, 191b, 214-216, 271a); Cynthia Valdespino (pp. 8, 12, 14, 63, 78, 81, 93, 96, 99, 118, 119, 131, 134, 157, 160, 164, 176, 189, 207, 227, 234); Fernando Villafán (pp. 20a, 33, 62, 67, 166, 191a, 210, 242, 278); Rocío Mireles Gavito (pp. 98, 243); iStockphoto (pp. 22, 23, 29, 66, 71, 88, 94, 101, 103, 104, 105, 124, 128, 150, 151, 162, 175, 208, 248, 249, 252, 271, 279, 282)
Primera edición, 2012 (ciclo escolar 2013-2014) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2012 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN: 978-607-514-022-3 Impreso en México D istribución gratuita -P rohibida su venta
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En el marco del Acuerdo 592, por medio del cual se establece la Articulación de la Educación Básica, así como del Acuerdo 593 que señala los programas de estudio de la asignatura de Tecnología para la educación secundaria, la Secretaría de Educación Pública ha consolidado una propuesta de libros de texto, a partir de un nuevo enfoque centrado en la participación de los alumnos en su proceso de aprendizaje y en el desarrollo de las competencias básicas para la vida y el trabajo. Especialmente en el contexto de la Telesecundaria, el libro de texto se complementa con las Tecnologías de la Información y Comunicación (tic), con los objetos digitales de aprendizaje, los materiales y equipos audiovisuales e informáticos que, junto con las bibliotecas escolares, representan el soporte pedagógico de los niños mexicanos en su proceso de adquisición del conocimiento escolarizado. Esta nueva generación de libros de texto para Telesecundaria responde al principio de mejora continua, por lo que ha puesto atención en el replanteamiento de las cargas de contenido para centrarse en estrategias innovadoras para el trabajo escolar, incentiva habilidades orientadas al aprovechamiento de distintas fuentes de información, busca que los estudiantes adquieran habilidades para aprender de manera autónoma incentivando el uso intensivo de la tecnología informática. Asimismo, con la intención de dar continuidad a la propuesta editorial iniciada en los libros de texto de primaria, en este libro se ha fortalecido la línea editorial que promueve una lectura integral capaz de interpretar tanto el discurso textual como el visual. Se ha incluido en sus páginas una muestra representativa de géneros y técnicas plásticas, así como propuestas iconográficas que no sólo complementan el contenido textual, sino lo enriquecen y conforman por sí mismos una fuente de información para el alumno. En la preparación de este libro confluyen numerosas acciones de colaboración de organismos y profesionales, entre los que destacan asociaciones de padres de familia, investigadores del campo de la educación, instituciones evaluadoras, maestros, editores y expertos en diversas disciplinas. A todos ellos la Secretaría de Educación Pública les extiende un agradecimiento por el compromiso demostrado con cada niño residente en el territorio nacional y con aquellos mexicanos que se encuentran fuera de él. Secretaría de Educación Pública
Versión de evaluación 23/04/12
Presentación institucional Presentación
Bloque 1
Bloque 2
Conoce tu libro
6
8
Secuencia 1
De fracción a número decimal
10
Secuencia 2
Fracciones y decimales en la recta
18
Secuencia 3
Sumas y restas de fracciones
26
Secuencia 4
Sucesiones de números y figuras
31
Secuencia 5
Literales en fórmulas geométricas
40
Secuencia 6
Trazo de triángulos y cuadriláteros
50
Secuencia 7
Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los triángulos
56
Secuencia 8
Reparto proporcional
62
Secuencia 9
Juegos de azar
68
78
Secuencia 10
Criterios de divisibilidad
80
Secuencia 11
MCD y mcm
88
Secuencia 12
Sumas con fracciones y decimales
93
Secuencia 13
Multiplicación y división con fracciones
98
Secuencia 14
Propiedades de la mediatriz y bisectriz
106
Secuencia 15
Fórmulas para calcular área y perímetro
112
Secuencia 16
Proporcionalidad directa
118
Versión de evaluación 23/04/12
Índice
Bloque 4
Bloque 5
124
Versión de evaluación 23/04/12
Bloque 3
Secuencia 17
Multiplicación con decimales
126
Secuencia 18
División con decimales
130
Secuencia 19
Ecuaciones de primer grado
134
Secuencia 20
Construcción de polígonos regulares
142
Secuencia 21
Cálculo de área y perímetro
149
Secuencia 22
Factor de proporcionalidad
154
Secuencia 23
Registro de una experiencia aleatoria
162
Secuencia 24
Análisis de frecuencia absoluta y relativa
170
178
Secuencia 25
Números positivos y negativos
180
Secuencia 26
El círculo y cómo construirlo
189
Secuencia 27
Pi en el círculo
196
Secuencia 28
Regla de tres
203
Secuencia 29
Proporcionalidad utilizando escala
210
Secuencia 30
Problemas de conteo
214
Secuencia 31
Tipos de gráficas
225
234
Secuencia 32
Sumas y restas con enteros
236
Secuencia 33
Notación exponencial
244
Secuencia 34
Raíz cuadrada
252
Secuencia 35
Sucesiones con progresión aritmética
262
Secuencia 36
Área y perímetro del círculo
269
Secuencia 37
Proporcionalidad múltiple
278
Hoja para las familias
284
Has estudiado Matemáticas durante toda la primaria. Ahora que inicias la secundaria, uno de los propósitos del plan de estudios es que uses lo que ya sabes para aprender los nuevos conocimientos que te serán presentados. Tu profesor, con el apoyo de este libro y con el uso de algunos recursos tecnológicos, te ayudará a que lo logres. Lo primero será conocer tu libro y familiarizarte con los elementos que lo forman. Tu libro de Matemáticas consta de cinco bloques. Cada uno contiene varias secuencias de aprendizaje. En cada secuencia estudiarás un tema del programa de Matemáticas a través de varias sesiones. Una sesión está diseñada para que la trabajes en una clase, aunque en ocasiones será necesario que le dediques un poco más de tiempo.
Bloque 2
Bloque 1
común divisor o el máximo lemas utilizand • Resolver prob ún múltiplo. y el mínimo com iquen étricos que impl medianas, geom s lema las alturas, las • Resolver prob propiedades de triángulos el uso de las bisectrices en las y ces las mediatri . y cuadriláteros
s y viceversa. arios a decimale eros fraccion esentar • Convertir núm ones para repr zar las convenci a numérica. • Conocer y utili arios y decimales en la rect cion ir números frac de figuras a part o eros núm sucesiones de • Representar a. dada y vicevers de una regla
Bloque 3 que efectuar que se tengan eros lemas en los ciones y núm • Resolver prob iones con frac nes y/o divis multiplicacio decimales. ecuaciones de uso el n ique lemas que impl c, donde • Resolver prob + a = b; ax = b y ax + b = x s. y/o decimale de las formas: eros naturales de a, b y c son núm iquen el cálculo r impl que s lema para encontra • Resolver prob de las fórmulas bles varia eros y las cualquiera de gulos, cuadrilát el área de trián existe entre el perímetro y la relación que icar Expl . lares polígonos regu figuras. el área de las el perímetro y
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Bloque 4
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Bloque 5
3/21/12 11:46 AM
cumplan con regulares que los y polígonos • Construir círcu es establecidas. as cier tas condicion barr de cas en gráfi ión presentada cas para • Leer informac tipos de gráfi Utilizar estos y circulares. mación. infor ar unic com
el uso de que impliquen tivos lemas aditivos o decimales posi • Resolver prob ros, fraccionarios números ente de la raíz y negativos. ulo cálc el n ique y decimales. lemas que impl • Resolver prob ncias de números naturales cuadrada y pote directa del tipo orcionalidad 3/21/12 11:47 AM lemas de prop o externa es • Resolver prob en los que la razón interna , “valor faltante” cionario. un número frac
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6
3/21/12 11:47 AM
3/21/12 11:48 AM
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Conoce tu libro
En cada secuencia de aprendizaje podrás encontrar los apartados siguientes: 27 cia
Autoevaluación
Pi en el círculo
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
Es una actividad que te permitirá diagnosticar y rescatar las ideas previas. Aquí se relaciona el nuevo conocimiento que aprenderás con algo que ya hayas estudiado.
Sesión 108
Su propósito es que valores los aprendizajes, tanto de conocimientos como de habilidades, que desarrollaste durante la secuencia, contestando una pregunta o completando alguna información.
En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.
¿Qué sabes tú?
rad
io
Observa la siguiente imagen.
B4
B1
diámetro
Sesión 111
En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.
3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma
círculo
cir
bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados?
cu nf
Manos a la obra
er
Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?
en cia
Lleva a cabo las siguientes actividades.
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
¿Qué sabes tú?
¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?
1. Observa la imagen. Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área del círculo de la imagen anterior.
Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?
¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?
¿Consideran que influye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?
Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más 196
frecuencia?
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Manos a la obra ¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?
¿Y con el área? ¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?
¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo? 2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.
200
17/04/12 16:36
17/04/12 16:36
Responde lo siguiente. 1. Describe un juego que sea de azar.
2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la canica por la salida 1?
1
2
1
a)
3
1
2 3
4
1
c)
d)
76
Es una información curiosa y a veces poco conocida.
¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para colocar las tres cuerdas?
¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?
B4 En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.
1. Resuelve lo siguiente.
a
b
C
Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de este punto a los lados del ángulo. Mídelas. ¿Qué observas?
¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma distancia uno del otro?
En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las propiedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y trazo de esta situación. Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tamaños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen con color rojo las partes en las que se observen las propiedades de dicho lugar geométrico.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.
Manos a la obra
También es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas de un ángulo.
1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.
Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres ángulos internos es también la mediatriz de los lados opuestos.
Convivencia social Asistencia a eventos culturales, deportivos y de entretenimiento
Un dato interesante… Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que esto es imposible.
Deportes y ejercicio físico Utilización de medios masivos de comunicación
Q
P
a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.
b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con un color los que, además de ser ejes de simetría, también sean mediatrices de algún lado de las figuras, y con otro color los que sean bisectrices de algún ángulo de las figuras.
c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del siguiente triángulo (pista: recuerda que cualquier punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de los dos lados que lo forman). Sesión 98
B3
Evaluación
5. ¿En cuál d
2 cm
Consulta en…
Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema. Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y decomprar aula el siguiente 1. Jacinto requiere 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con pesos doblado de juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en en internet. ¿Cuántos debe 2003 (Libros del Rincón). papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, $14.30? a) $ 2 152.534
6. En una ca 2 amarillos
b) $ 2 152.354
c) $ 2 152.435 Traza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con d) $ 2 152.4035 color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad.
a) Hay má
b) Hay má
Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con Considera la ecuación 9 x =la270. color rojo las distancias de los puntos a los2.lados del ángulo. Define propiedad. ¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior? a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm.
110
4.2
3
Se te presentarán tanto ejercicios como problemas en los que podrás elegir la respuesta correcta entre cuatro opciones, aunque en algunos casos tendrás que escribir una respuesta breve.
Autoevaluación
28.1 Participación en juegos y aficiones
Sesión 61
Manos a la obra
c
2
16/04/12 18:53
Evaluación
B
A
111
Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.
c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm.
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c) Hay má
d) Hay má
La siguiente de energía elé 4 casas duran
b) El área de un eneágono regular mide 270 cm. 3/21/12 11:49 AM
d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm.
¿A qué actividad le dedican más tiempo? ¿A qué actividad le dedican menos tiempo?
3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se muestra en la tabla.
Consulta en…
A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato.
Son sugerencias para que revises otros materiales, de modo que puedas ampliar y ejercitar tus aprendizajes por medio de videos, libros de la biblioteca y sitios de internet, entre otros.
Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.
Consulta en… Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas: <http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico> <http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf> <http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf> <http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P> <http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html> 230
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2
b)
S14
En la figura de la derecha podemos observar un triángulo rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vértice B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué puntos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre el puente?
Un dato interesante…
2.1
Autoevaluación
En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.
En esta sesión continuarás aplicando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.
Formen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.
6.7
En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontar alguna estrategia de juego.
B2 Sesión 60
Manos a la obra
59.0
Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?
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En cada bloque encontrarás:
Sesión 129
Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más.
Inicia con una breve introducción, la cual continúa con una actividad en la que hallarás preguntas que te ayudarán a construir tu conocimiento y a analizar lo que estés aprendiendo. Algunas veces trabajarás individualmente y otras en equipo o con todo el grupo. En esta sección también encontrarás las conclusiones sobre los conceptos estudiados.
Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno.
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¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción?
17/04/12 16:37
Tiempo (minutos) Distancia
21 min 7 km
42 min 14 km
55 min
84 min 28 km
7. ¿En qué m gía eléctric a) Enero
Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió?
b) Febrero
a) 15.00 km
c) Diciemb d) Marzo
b) 20 km c) 18.33 km d) 22 km
9. ¿Qué políg
4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas hojas higiénicas contiene el rollo?
a) Dodecá
b) Undecá
a) 300.23
c) Pentad
b) 499.10
d) Icoságo
c) 400.51 d) 420.19
176
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7
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Bloque 1
Versión de evaluación 23/04/12
y viceversa. s le a im c e d a fraccionarios s ro e m ú n r ti r • Conve presentar re ra a p s e n io nc numérica. zar las conve ta li c ti u re y la r e n c e o s n le • Co rios y decima a n io c c a fr s número guras a par tir fi e d o s ro e m esiones de nú c u s r ta n e s re • Rep y viceversa. a d a d la g re de una
uen S ec 1 cia
De fracción a número decimal
Sesión 1
En esta sesión identificarás lo que es una fracción decimal.
¿Qué sabes tú? Reúnete con un compañero y organicen en la tabla las fracciones siguientes, considerando si son decimales o no. 3 4
3 7
1 2
3 10
5 9
Fracciones decimales
31 100
1 6
5 8
23 1000
92 10
Fracciones no decimales
Escriban en la tabla dos ejemplos más en cada columna. Comenta con tu compañero cómo establecieron cuáles son las fracciones decimales.
Recuerda que toda expresión de la forma a , b donde b es diferente de cero, recibe el nombre de fracción común.
10
4 11
Versión de evaluación 23/04/12
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
Contesten lo siguiente: Las que se encuentran en la columna denominada fracciones decimales, ¿son también fracciones comunes? Observen las fracciones siguientes: 3 10
31 100
23 1000
¿Qué pueden comentar sobre los denominadores?
2. En equipos, contesten lo que se les pide. Escriban una fracción decimal que sea equivalente a 2 = 5 ¿Cómo obtuvieron esa fracción decimal equivalente? Encuentren una fracción decimal que sea equivalente a 2 = 3 ¿Pudieron obtenerla?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Junto con tu compañero, revisen la tabla donde clasificaron las fracciones.
A las fracciones comunes que tienen como denominador una potencia de 10, es decir 10, 100 y 1 000… se les conoce como fracciones decimales.
¿Por qué? Completen el siguiente enunciado: Una fracción común puede expresarse como fracción decimal cuando…
11
B1 Sesión 2
En esta sesión representarás fracciones comunes en su notación decimal.
Manos a la obra Adrián compró cuatro carretes de listón de 15 m cada uno, necesita hacer moños de diferentes tamaños y para ello cortará un carrete en 10 trozos iguales, un segundo en 30, el tercero en 5 y el cuarto en 2. ¿Cuánto medirá cada trozo? Del primer carrete
Del segundo carrete
Del tercer carrete
Del cuarto carrete
¿Cómo determinaron lo que debe medir cada tramo de listón?
En algunas ocasiones, las fracciones comunes representan divisiones como en el problema anterior, donde el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor, esto es n = d n d
a) 4 = 5
¿Realizaron alguna operación? ¿Cuál? ¿Cuáles trozos se pueden representar con una fracción decimal?
2. En equipos, realicen las divisiones que indican las fracciones comunes siguientes. Aproximen sus resultados a dos o tres cifras decimales. b) 3 = c) 21 = d) 35 = 10 4 100
e) 5 = 7
f) 4 = 9
g) 7 = 15
3 h) 2 =
Pongan atención en los residuos de las divisiones que efectuaron y contesten lo siguiente: ¿En cuáles casos pudieron calcular el cociente exacto, es decir, obtuvieron como residuo 0? Una fracción se puede escribir también con notación decimal.
12
¿Qué observan en los cocientes donde no se obtuvo residuo 0? Con la participación de todo el grupo y con la guía de su profesor concluyan cómo obtener la notación decimal de una fracción común. Anótalo en tu cuaderno.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
S1 En esta sesión obtendrás la representación de números decimales como fracciones comunes.
Sesión 3
Manos a la obra Al dividir ciertos números enteros entre una potencia de 10 (por ejemplo 10, 100 o 1 000) Noemí obtuvo los siguientes cocientes: 0.4, 0.45, 0.125, 0.564, 2.6 y 13.567. Indiquen un posible divisor y un posible dividendo correspondiente a cada cociente. Cociente 0.4:
divisor
, dividendo
Cociente 0.45:
divisor
, dividendo
Cociente 0.125:
divisor
, dividendo
Cociente 0.564: divisor
, dividendo
Cociente 2.6:
divisor
, dividendo
Cociente 13.567: divisor
, dividendo
Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Obtengan las fracciones decimales correspondientes a las divisiones anteriores. 2. En parejas, contesten las preguntas siguientes. a) En una clase de telesecundaria Martín dice que 0.4 corresponde a 4 , y Héctor que a 2 . 10 5 ¿Quién de los dos tiene la razón? b) Salvador afirma que 0.45 corresponde a 9 , y Guadalupe que a 45 . 20 100 ¿Quién de los dos está en lo correcto? ¿Son equivalentes las fracciones 9 y 45 ? ¿Por qué? 20 100
c) Rosa dijo que al transformar ciento veinticinco milésimas a una fracción decimal y simplificarla, obtuvo 1 . ¿Es correcto lo dicho por Rosa? 8 Expliquen brevemente por qué.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
d) ¿Cómo se convierte un número decimal a fracción? e) Describe en tu cuaderno cómo se puede simplificar una fracción a su mínima expresión. Comparen sus respuestas con las de otras parejas y con ayuda del profesor determinen un procedimiento para escribir un número decimal como fracción común representada en su mínima expresión. 13
B1
0.9
a) 69 250
0.58
b) 3 4
0.276
c) 21 25
0.75
d) 9 10
0. 840
e) 29 50
4. Resuelvan los siguientes problemas. a) Víctor pidió 1 3 kg de tortillas, el encargado colocó en su báscula digital una pila de 4 tortillas y en la pantalla apareció 1.750 kg. Expliquen si le despacharon correctamente o no las tortillas a Víctor. b) La mamá de Rubén quiere cambiar en el banco unos cheques que le dieron, por las siguientes cantidades:
Su Banco
Su Banco
Fecha: 15 de agosto 2013
Fecha: 10 de agosto 2013
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 2 538. 68 Dos mil quinientos treinta y ocho pesos 68 M.N. 100
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 561. 220 220 M.N. Quinientos sesenta y un pesos 100
CHEQUE 0000101
CHEQUE 0000211
Firma
Su Banco
Firma
Fecha: 11 de agosto 2013
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 5 000. 06
Cinco mil pesos CHEQUE 0001201
6 M.N. 100
Firma
Ya en la ventanilla, la cajera le dijo que una cantidad está mal representada. ¿Cuál es la cantidad incorrecta?
Expliquen en su cuaderno por qué. Comenta con tu grupo y con tu profesor un procedimiento que permita representar un número decimal como fracción común.
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Versión de evaluación 23/04/12
3. Relacionen los números decimales con su respectiva fracción.
S1 Sesión 4
En esta sesión representarás números decimales como fracciones no decimales.
Manos a la obra 1. Reúnete con dos compañeros para realizar lo que se plantea a continuación.
Versión de evaluación 23/04/12
a) Sumen el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad: 8=6+2
Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad. b) Resten el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:
750 = 500 + 250
Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad. c) Multipliquen por el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:
15 = 20 − 5
Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad. d) Dividan entre el número que quieran distinto de 0, en ambos lados de la siguiente igualdad:
1000 = 500 × 2
Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad. Después de haber conocido algunas propiedades de las igualdades, las cuales usarás en este tema de fracciones, retoma el estudio sobre cómo representar las fracciones en su forma común o decimal.
Cuando se tiene una igualdad, al operar en ambos lados de ésta con un mismo número, sumando, restando, multiplicando o dividiendo se obtendrá otra igualdad.
2. Con tu mismo equipo, identifiquen un decimal o un grupo de decimales (periodo) que se repiten varias veces en los cocientes siguientes y enciérrenlo con color rojo. 2 = 0.2222… 9
3 = 0.27272727… 11
41 = 0.123123123123… 333
1 = 0.16666… 6
Al expresar una fracción común en su forma decimal, en ocasiones el cociente se repite indefinidamente, se dice entonces que el cociente es periódico y esto se representa colocando un segmento sobre dicho periodo. Por ejemplo, 2 = 0.2 9
3 = 0.27 11
41 = 0.123 333
1 = 0.16 6
De los números decimales anteriores: a) ¿Cuál es el decimal periódico del primer cociente? b) ¿Cuál de las fracciones tiene un cociente periódico de tres dígitos? 15
B1 3. Continúa con tu equipo para analizar el siguiente procedimiento que permite obtener la fracción común de los números decimales periódicos.
Se quiere encontrar la fracción común correspondiente al número decimal 0.3 Para encontrar cuánto vale
se iguala con el número decimal periódico:
= 0.3 Se multiplican ambos términos de la igualdad por 10 para tener una nueva igualdad, porque el periodo está formado por un decimal que se repite. Si el periodo tuviera dos dígitos que se repiten, se multiplicaría por 100, si tuviera 3 por 1 000, y así consecutivamente.
Entonces: = 0.333
10 ×
= 10 × 0.333
10 ×
= 3.333
1
2
Para eliminar los decimales periódicos se resta la igualdad 1 de la igualdad 2 :
10 ×
− 9×
= 3.333 − 0.333 =3
Se dividen entre nueve los dos lados de la igualdad para dejar al
9× 9
sólo de un lado de la igualdad:
= 3 9
Entonces, como 9 = 1 se tiene: 9 = 3 9 3 Esto quiere decir que, 0.3 = = 9 Como 3 se puede expresar como 1 , se concluye que 0.3 = 1 9 3 3
4. Identifiquen el decimal periódico de los números decimales siguientes y con el procedimiento anterior obtengan las fracciones comunes correspondientes. a) 0.6666... b) 0.36363636... c) 0.135135135135135...
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Como no se conoce la fracción, se dejará el espacio, representado por un cuadrado.
S1 5. En equipos, contesten lo siguiente. a) ¿Qué tipo de fracción da como resultado un número decimal periódico? b) ¿Cuál es el denominador de las fracciones que obtuvieron en cada inciso del ejercicio anterior? cantidad de cifras que tiene el periodo? d) Si se expresan 0.3 y 0.3 como fracción común, ¿se obtiene la misma fracción? ¿Por qué? Comparen sus resultados y sus respuestas con otros equipos. 6. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que corresponda.
( ) 0.7
a) 5 11
( ) 0.45
b) 15 37
( ) 0.405
c) 7 9
Consulta en… Busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro para conocer más sobre el tema: Luz María Marván, “Escritura decimal infinita” y “Otros símbolos para números no enteros”, en Representación numérica, México, SEP-Santillana, 2003 (Libros del Rincón). Entra al sitio: <http://www.thatquiz.org/es-e/matematicas/fracciones/reducir/>. Elige en el recuadro de la izquierda las opciones “Fracción a decimal” y “Decimal a fracción”. Selecciona el nivel en el que quieras practicar estas conversiones.
Versión de evaluación 23/04/12
c) ¿Qué relación encuentran entre la cantidad de nueves que tiene el denominador y la
Autoevaluación Escribe en tu cuaderno lo siguiente. • Un procedimiento para expresar una fracción común como número decimal. • Un procedimiento para expresar un número decimal como fracción común.
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2 cia
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
Sesión 5
En esta sesión aprenderás que en la recta numérica se pueden representar números enteros, fracciones comunes y decimales, lo cual es muy útil porque permite comparar números o comprobar equivalencias.
¿Qué sabes tú? Gradúa las siguientes rectas numéricas según se te indique, es decir, marca las partes que corresponden a cada división. En cuartos.
0
1
0
1
En quintos.
En décimos.
0
18
1
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uen S ec
Fracciones y decimales en la recta
1. En equipos de a lo más tres integrantes, escriban los números que hagan falta para completar la graduación de cada recta. a)
2 10
0
5 10
9 10
b)
0
0.3
0.8
c)
0
0.4
5 10
0.9
2. Expliquen por qué en una recta se pueden ubicar tanto fracciones comunes como decimales.
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Manos a la obra
3. En la siguiente recta escriban la fracción común o el número decimal correspondiente al punto donde se ubica cada letra.
0
a
c
b = 1 2
d
Ahora comenten qué es lo que deben considerar para representar en una recta numérica una fracción común y un número decimal. 19
B1 Sesión 6
En esta sesión observarás cómo se puede representar en la recta numérica una fracción si se conoce la ubicación de otro par de fracciones.
1. E n una escuela telesecundaria realizaron competencias atléticas para conmemorar el 40 aniversario de su fundación.
Alumno Juan Godínez José Sandoval Erik López
4
Longitud aproximada del salto (metros) 41 2 2 4 3 43 5
En la tabla se muestran las tres mejores marcas obtenidas en salto de longitud por distintos alumnos: En la siguiente recta se ha representado el salto de Erik López.
43 5 Reúnete con un compañero y representen en la recta anterior los saltos de los otros dos alumnos. Considerando que el ganador es el que realizó el salto más largo, ¿cómo otorgarías las medallas?
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Manos a la obra
S2 2. En parejas, ubiquen en la siguiente recta los números 7 , 1 , 12 , 0, 1 1 y 2 . 3 3 6 6 5
1
¿Qué hicieron para ubicar el 0? ¿Cuántos sextos se representan en la marca de 1 ? 3 ¿Qué otro número representa 12 ? 6 ¿Qué hicieron para ubicar a 2 ? 5 Comparen sus respuestas con las de otros equipos y escriban en su cuaderno un procedimiento que les permita ubicar cualquier fracción cuando se tienen como referencia otras dos fracciones. 3. Localiza las fracciones que se indican en cada inciso. a) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 2 , 7 y 9 . 3 9 6
0
1 3
4 6
b) En la siguiente recta numérica ubica el 0 y las fracciones 3 , 3 y 11 . 2 10 5
2 5
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5 6
c) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 1 , 3 y 5 . 4 5 12
1 3
1 2
Comenta con un compañero qué deben hacer cuando en una recta hay previamente localizadas al menos dos fracciones que no tienen un denominador común y se desea ubicar otra. 21
B1 Sesión 7
En esta sesión representarás números decimales en la recta numérica.
Manos a la obra 1. En parejas, completen la graduación de las siguientes rectas.
5
5.5
6
¿Cuánto representa cada segmento de la recta?
b)
7.2
7.24
7.29
7.3
¿Cuánto representa cada segmento de la recta anterior? 2. En parejas, lean la información siguiente y realicen lo que se indica. Entre las competencias atléticas, la carrera de 100 m planos es considerada la reina de las pruebas. Para determinar quién es el ganador se requiere manejar números decimales. Para tal efecto, consideren la siguiente tabla de resultados obtenidos por las tres alumnas más rápidas en las competencias conmemorativas del aniversario de su telesecundaria.
Alumna Ana Juárez Sonia Martínez Claudia Pérez
Tiempo (en segundos) 13.6 13.3 13.4
Ubiquen cada una de las marcas en la recta numérica siguiente.
12
22
14
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a)
S2 3. Lee la siguiente situación y realiza lo que se pide.
Competidor Braulio Efrén Teresa Daniel Reyna
Altura del salto (m) 1.43 1.50 1.45 1.48 1.51
Competidor Alexa Antonia Jesús Emmanuel Aline
Altura del salto (m) 1.55 1.43 1.49 1.54 1.40
a) Ubica en la recta numérica los saltos registrados.
1.3
1.7
b) Contesta las preguntas. ¿Por qué la recta numérica no inicia en 0? Para ubicar saltos como 1.45, 1.48 y 1.49, ¿en cuántas partes se tendrá que dividir el espacio que hay entre 1.4 y 1.5? c) Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo y contesten. ¿Hay saltos que estén ubicados en el mismo lugar en la recta numérica? Andrea dice que 1.06 y 1.60 se ubican en el mismo punto de la recta. Expliquen si es correcta o no la afirmación de Andrea. ¿Qué otro decimal se ubica en el punto 1.5?
1.4
Para ubicar números decimales en la recta, como 1.5, 1.52, 1.524, etcétera, es necesario dividir cada segmento en 10 partes iguales y cada una de éstas en otras 10, y así sucesivamente.
1.5
1.5
1.6
1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59
Versión de evaluación 23/04/12
En la escuela también se hizo un torneo de salto de altura, en la tabla de abajo se registraron los diez mejores saltos.
1.6
1.52 1.521 1.522 1.523 1.524 1.525 1.526 1.527 1.528 1.529 1.530
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B1 Sesión 8
En esta sesión continuarás trabajando con la ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica.
1. Realiza lo que se te indica y contesta. a) Ubica 1 , 3 , 1 y 7 en la recta numérica. 2 5 4 8
0
1
b) Ubica 0.75, 0.5, 0.6 y 0.25.
0
1
Al comparar las rectas numéricas de los incisos a y b, ¿qué fracciones comunes y números decimales se ubican en el mismo punto? ¿Cómo puedes usar una sola recta numérica para ubicar fracciones comunes y números decimales? 2. En parejas, ubiquen en la recta numérica 3 , 0.5, 1 , 0.75 y 3 . 10 4 4
0
1
¿Cómo ubicaron fracciones y decimales en la misma recta? a) ¿Cómo graduaron la recta? b) En una recta graduada con fracciones, ¿es posible ubicar también decimales? c) ¿Cómo se haría?
Consulta en… Entra al sitio: <http://miayudante.upn.mx/ficha.html?rgrado=5&rconsul=4&numfich=42>, ahí encontrarás más información sobre la ubicación de números en la recta numérica.
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Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
S2 3. Expresa las siguientes fracciones en notación decimal y ubícalas en la siguiente recta. b) 3 = 8
d) 7 = 20
e) 365 = 1000
0
c) 2 = 5
1
Explica cómo ubicaste las fracciones anteriores en la recta. Para ubicar una fracción común en una recta numérica graduada con decimales, ¿qué importancia tiene expresarla en notación decimal? 4. Ubica 0.25, 0.3, 0.2 y 0.295 en la siguiente recta.
0
1 2
¿Qué hiciste para ubicar en la recta los números decimales? Compara tus respuestas con las de otros compañeros y escriban un procedimiento que les permita ubicar fracciones comunes y decimales en la misma recta numérica.
Autoevaluación
Versión de evaluación 23/04/12
a) 38 = 100
Responde en tu cuaderno lo siguiente. • ¿Cómo se ubica una fracción en la recta numérica cuando ya están localizadas otras dos? • Describe una estrategia que te permita ubicar fracciones y números decimales en la misma recta numérica.
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3 cia
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
Sesión 9
En esta sesión identificarás cuándo un problema se puede resolver con una adición, y para solucionarlo aplicarás tus conocimientos sobre números fraccionarios.
¿Qué sabes tú? En la vida cotidiana no siempre se emplean cifras exactas; por ejemplo, al comprar ciertos productos es común el uso de fracciones para señalar la cantidad que se desea adquirir, por lo que es habitual escuchar expresiones como: “quiero un cuarto de queso, y medio de jamón”. Otro caso similar es indicar el nivel de combustible con el que cuenta un vehículo en términos fraccionarios, al decir: “le queda un cuarto de gasolina”, o alguna otra expresión semejante.
1. En parejas, resuelvan lo siguiente. En carpintería, es habitual expresar las medidas en fracciones de pulgada. Observa la siguiente imagen y escribe abajo de cada clavo su medida en pulgadas.
1 pulgada 1 pulgada 2
Compara tus medidas de los clavos con las de otro compañero. ¿Cuál de los clavos mide 7 de pulgada? 8 2 ¿Cuál clavo mide de pulgada? 3 ¿Cuántos clavos miden más de 1 pulgada? 2 ¿Cuáles clavos miden menos de 3 de pulgada? 4
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Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Sumas y restas de fracciones
Manos a la obra a) En el esquema de al lado se presentan pares de clavos de distinta medida, calculen cuál sería el tamaño total de cada pareja de clavos. Consideren las medidas de los clavos anteriores. ¿Cómo realizan una suma de fracciones con diferente denominador? b) Las distancias entre la telesecundaria y las casas de Juan, Laura y María se ilustran en el siguiente esquema.
1 1 km 2
Con base en la información que se presenta contesten lo siguiente: ¿Cuál es la distancia total que recorrerá Juan si primero va por María y después van
Casa María
3 km 4
juntos a la telesecundaria? ¿Qué distancia recorrerá Juan para ir a la telesecundaria si previamente va por Laura y luego por María? Comparen sus respuestas con las de otras parejas. c) Con base en la información del ejercicio anterior resuelvan en equipos las siguientes preguntas. Si consideramos el recorrido más corto de sus casas a la telesecundaria, ¿cuál es la distancia que recorren los tres estudiantes en total? Indiquen la ruta que muestra la siguiente suma de fracciones y elaboren un enunciado que describa el problema. 1+1+3 2 4 4
TELEsecundaria
1 km 4
1 km 2
Casa Juan
3 km
4 km 5
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
4 Casa Laura Distancias entre las casas de Juan, Laura y María con la telesecundaria
Para llevar a cabo la suma de números fraccionarios con denominadores distintos se emplean fracciones equivalentes. Por ejemplo, para efectuar la operación 2 + 3 se 3 4 deben buscar fracciones equivalentes para ambos términos, con la consigna de que tengan el mismo denominador. Algunas fracciones equivalentes de 2 son 4 , 6 , 8 y 10 , 3 6 9 12 15 y de 3 son 6 , 9 y 12 . 8 12 16 4 Para este problema las fracciones que tienen el mismo denominador son 8 y 9 . 12 12 De esta manera: 2 + 3 = 8 + 9 = 17 3 4 12 12 12 27
B1 Sesión 10
En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre sustracción de fracciones para resolver problemas.
Manos a la obra En la siguiente imagen se muestra un conjunto de clavos que se van a clavar en un bloque de madera. Considerando las medidas de los clavos de la sesión anterior, indica qué longitud de cada clavo quedará fuera de la madera. ¿Hay algún clavo cuya longitud coincida con el grosor de la madera? ¿Cómo resolviste el problema?
1 pulgada 2
2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas. a) A una madera de 3 de pulgada se le colocó un clavo de 3 de pulgada. Si la punta del 8 4 clavo llega exactamente al otro lado de la madera, ¿qué longitud del clavo quedó sin ser clavado? b) La señora Julia compró 2 3 kilogramos de guayabas y 1 kilogramo y medio de naranjas, 4 ¿qué cantidad de guayabas compró más que de naranjas?
Para resolver una sustracción de fracciones con diferentes denominadores deben buscarse fracciones equivalentes con el mismo denominador. Un problema que se soluciona con una sustracción de fracciones responde a preguntas como: ¿cuánto falta?, ¿cuánto sobra?, ¿por cuánto es mayor?, ¿por cuánto es menor?, ¿cuál es la diferencia?
c) Una jarra contiene 3 1 litros de agua de tuna. Si Marisol, Sara, Ángel, 4 Alejandro y Sofía se sirvieron cada quien un vaso con 1 litro de agua, 2 ¿qué cantidad de agua queda en la jarra? d) En parejas, planteen un problema que se resuelva con la operación 3 − 5 y resuélvanlo. 4 12 ¿Cuál es el resultado? Comparen su problema con el de otras parejas y revisen que éste implique una sustracción de fracciones. e) Para que un problema pueda resolverse mediante una sustracción, ¿qué tipo de preguntas se deben hacer?
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Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve el problema que se plantea.
S3 En esta sesión aplicarás tu conocimiento sobre adición y sustracción de fracciones para resolver problemas.
Sesión 11
Manos a la obra a) El siguiente cuadro presenta el total de litros de agua embotellada que consumen al día los alumnos de la telesecundaria 10 en los tres grados que la integran, divididos entre hombres y mujeres. Género Masculino Femenino
Grado Segundo
Primero 6 1 L 4 5 1 L 2
7 1 L 8 7 1 L 2
Tercero 7 3 L 4 9 1 L 4
¿Qué cantidad total de agua toman los alumnos de la telesecundaria 10? ¿Quiénes toman más agua, los hombres o las mujeres? ¿Cuál es la diferencia en litros? ¿Cuál es la diferencia de la cantidad total de agua ingerida por las alumnas de segundo respecto de las de primer grado? La fracción 3 es resultado de sustraer… 8 9 1 − 7 3 4 4 7 1 − 7 1 2 8 De acuerdo con este contexto, escribe una pregunta que se resuelva con la operación del inciso anterior.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.
b) En cierta población, el canal XW es visto por 1 de los hombres y por 1 de las mujeres, 3 2 mientras que el canal XZ es visto por 1 de los hombres y por 5 de las mujeres. 5 8 ¿Qué canal es más visto por la población? ¿En qué medida es más visto este canal? Hasta aquí has aprendido a determinar cuándo aplicar una adición o una sustracción para resolver problemas de fracciones.
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B1 Sesión 12
En esta sesión aprenderás a identificar cómo resolver problemas, cuáles y cuántas operaciones son necesarias para su solución.
Manos a la obra a) Andrea compró y puso en una bolsa 1 kg de jamón, 3 kg de queso y 1 kg de salchi4 4 2 chas, y en otra bolsa lleva 1 kg de cebollas, 1 kg de jitomates, 1 kg de chile de árbol, 2 2 4 1 kg de tomates y 1 kg de aguacates. ¿Cuál de las dos bolsas pesa más? 4 2
b) El tiempo que destinó un joven para visitar a su novia la semana pasada fue: el lunes 3 de hora, el martes 1 hora 15 minutos, el miércoles 1 de hora, el viernes 2 horas 1 , 4 2 4 3 el sábado 4 horas y media, y finalmente el domingo, 2 horas . 4 ¿Cuál fue el tiempo total que dedicó el joven a visitar a su novia? ¿Cuál fue el tiempo total de visita el fin de semana? ¿Qué diferencia hubo entre el tiempo total de viernes, sábado y domingo respecto del resto de la semana? 2. En equipos, comparen sus resultados de los problemas anteriores y describan una estrategia para identificar cuándo deben utilizar la adición y cuándo la sustracción.
Autoevaluación Responde lo siguiente. • Indica la operación + o −, según corresponda en cada inciso.
30
2 4
2 6 8 = 8
1 3
1 2 9 = 9
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.
4 cia
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
En esta sesión estudiarás la relación que existe entre varias figuras que se forman con un patrón, lo cual te permitirá conocer la formación de otras figuras que tengan las mismas características.
¿Qué sabes tú? Cuando al analizar una colección de figuras ordenadas es posible encontrar un patrón o una regla a partir de la cual se pueden generar cada uno de los elementos de dicha colección, se dice que conforman una sucesión. Observa la siguiente sucesión y en tu cuaderno complétala hasta la figura 6.
Figura 1
Figura 2
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Sucesiones de números y figuras
Sesión 13
Figura 3
Escribe con tus propias palabras una regla para encontrar cada figura de la sucesión.
31
B1 Manos a la obra 1. En parejas, analicen la siguiente sucesión de figuras y realicen lo que se indica en cada inciso. a) En su cuaderno, completen la sucesión dibujando hasta el término 10. Término 2
Término 3
Término 4
b) Completen la tabla con la información obtenida de la sucesión anterior y contesten las preguntas. Número de término 1 2 3 4 5 Número de puntos 1 3 5
6
7
8
9
10
¿Cuántos puntos debe tener el término 15? ¿Cuántos puntos tendrá el término 22? ¿Y cuántos el término 27? ¿Cómo determinaron el número de puntos en cada término?
c) Agreguen a su tabla una fila en la que puedan calcular la diferencia entre el número de puntos que tiene cada término. Número de término
1
2
3
Número de puntos
1
3
5
3 − 1= 2
5−3=2
Diferencia
¿Cuántas puntos hay de diferencia entre cada término? Escriban una regla que permita calcular la cantidad de puntos que tiene cada término.
d) Subrayen la regla que permite determinar el número de puntos que tendrá cada término de la sucesión. • Los números impares. • Se multiplica por dos el número de cada término. • A partir del segundo término se agrega dos al número de puntos del término anterior. • Se multiplica por dos el número de cada término y se le resta uno. 32
Versión de evaluación 23/04/12
Término 1
S4 2. A continuación se muestran algunos elementos de una sucesión. a) Dibujen en su cuaderno los primeros diez términos de esta sucesión. Término 2
Término 5
b) Completen las siguientes tablas. Número de término 1 2 Número de cerillos Diferencia Número de término Número de cerillos
15
21
3
4
26
5
8
10
30
¿Cuántos cerillos hay de diferencia entre una figura y la siguiente? c) Contesten las siguientes preguntas. ¿Cuál será el término con 51 cerillos? ¿Cuál será el término que tenga 63 cerillos? ¿Habrá algún término con 100 cerillos? Explica tu respuesta.
Versión de evaluación 23/04/12
Término 1
Una sucesión de figuras es una colección de las mismas que está determinada por una regla de formación o de crecimiento, de tal manera que si se identifica la regla podemos generar los elementos de esa sucesión. 33
B1 Sesión 14
En esta sesión estudiarás sucesiones con progresión aritmética.
Manos a la obra 1. Realiza lo siguiente. a) Completa la sucesión , 51, 63,
, 87,
, 111,
,
, 147,…
Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una regla. Se llama término a cada uno de los números que la componen. b) Encuentra una regla para obtener cualquiera de los términos de la sucesión anterior.
c) Completa la siguiente tabla. Término Número de la sucesión Diferencia
1 15
2 3 4 5 27 51 63 27 − 15 =
6
7 87
8
9 111
d) Encuentra una regla para obtener cualquier término de la sucesión anterior y completa la tabla siguiente, que es su continuación. Término Número de la sucesión
21
22
23
24
25
30
40 375
50 519
e) De las siguientes reglas, ¿cuáles son equivalentes a la que encontraste para obtener los términos de la sucesión? •• Sumar 12 al término anterior. •• Calcular algunos múltiplos del 12. •• Multiplicar por 12 el término y sumar 15. •• Multiplicar por 12 el término y sumar 3. Compara las respuestas que obtuviste con las de tus compañeros.
34
Versión de evaluación 23/04/12
15, 27,
S4 2. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que contenga la regla de formación correspondiente a cada sucesión.
Reglas de formación de la sucesión
( ) 7, 11, 15, 19, 23,…
a) Sumar 4 al término anterior
( ) 8, 13, 18, 23, 28, 33,…
b) Multiplicar el término por 5 y quitarle 2
( ) 2, 6, 10, 14, 18, 22,…
c) A cuatro veces el término agregarle 3
( ) 3, 8, 13, 18, 23, 28,…
d) Multiplicar el término por 5 e incrementarle 3
( ) 7, 16, 25, 34, 43, 52,…
e) Multiplicar el término por 5 y sumar 4
( ) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45,…
f) Nueve veces el término y 2 unidades menos
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Una sucesión numérica es una progresión aritmética si para obtener cada uno de sus términos se suma una cantidad constante, llamada diferencia, al término anterior. Las reglas que permiten obtener los términos de una sucesión se pueden dar a partir del lugar que ocupa un término y la diferencia (es decir, la cantidad constante) que hay entre dos términos consecutivos. 3. Escribe un ejemplo de una sucesión numérica que sea progresión aritmética. 4. Crea una sucesión cuya regla de formación no genere una progresión aritmética. 5. Intercambia con un compañero las sucesiones que crearon en los incisos 3 y 4 y pídele que identifique cuál es la progresión aritmética. En caso de que su respuesta no sea correcta, explícale la regla de formación de tu progresión aritmética. Si no logran un acuerdo, consulten con su profesor.
Versión de evaluación 23/04/12
Términos de la sucesión
35
B1 Sesión 15
En esta sesión estudiarás cómo se forman las sucesiones de figuras con progresión geométrica.
Manos a la obra a) Dibujen las dos figuras siguientes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
b) Respondan las siguientes preguntas. ¿Cuántos y de qué color serán los triángulos que forman la séptima figura?
¿Cuántos triángulos tendrá la octava figura? ¿De qué color serán los triángulos que forman la décima figura? c) Completen la tabla. Figura 1 2 3 4 5 6
Número de triángulos 2 4 8 16
Diferencia 4–2=2 8–4=4
¿Es constante la diferencia entre los triángulos que forman cada figura? ¿Encuentran alguna relación entre el número de triángulos de cada figura nueva respecto de la que le precede? ¿Cómo obtuvieron los triángulos que conforman la quinta y la sexta figura?
¿Cómo obtendrían el número de triángulos de cualquier figura de esta sucesión?
d) Andrea afirma que la regla es: El número de triángulos de cada figura se genera duplicando el total de triángulos de la figura anterior. Expliquen si es o no correcta su afirmación. 36
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, analicen la siguiente sucesión.
S4
Figura 1
Figura Azules Cantidad de Naranjas triángulos Total
Figura 2
1 1
Figura 3
2 4
3
4 16
5
108
324
6 36
¿Cómo estableciste la cantidad de triángulos de la cuarta figura?
¿Cómo determinaste el número de triángulos azules de cada figura?
¿Y de los triángulos naranjas? ¿Y el total de triángulos de cada término?
¿Cuál es la regla que determina la cantidad total de triángulos de cada figura (o término) de esta sucesión?
Versión de evaluación 23/04/12
2. Analiza la siguiente sucesión y completa la tabla.
3. Lee las siguientes afirmaciones con respecto a la regla de formación anterior. •• Raúl afirma que para obtener el número total de cada término se debe triplicar la cantidad de triángulos del término anterior. •• Guadalupe dice que se obtiene multiplicando por 3 la cantidad de triángulos del término que le antecede. •• Ángel, por el contrario, dice que se suman 8 triángulos al término que le antecede. De estas tres afirmaciones, ¿cuál es correcta? 37
B1 Sesión 16
En esta sesión estudiarás sucesiones numéricas con progresión geométrica.
Manos a la obra 1. Con la siguiente regla dibuja las estrellas para cada uno de los términos que se marcan en la sucesión. El quíntuple del anterior.
Término 1
Término 2
Término 3
Completa la tabla. Término 1 2 3 4 6 9 Cantidad de estrellas 3 ¿Es constante la diferencia de la cantidad de estrellas entre los términos consecutivos de esta sucesión? 2. Completa los términos que hacen falta en cada sucesión. a) 2, 6,
, 54,
,
,…
¿Cuál es la regla para esta sucesión? b) 2, 12,
, 432,
,
,…
Explica por qué la regla de esta sucesión es: El séxtuple del término anterior.
c) 3,
, 48, 192,
,
,…
Escribe la regla para esta sucesión
d) Encuentra el cociente entre cada par de términos consecutivos de la última sucesión. 3=
48 =
192 = 48
192
¿Cómo son los cocientes de dos términos consecutivos? 38
=
Versión de evaluación 23/04/12
Contesta lo que se te pide.
S4 3. En parejas, organicen las piezas para crear dos sucesiones cuyas reglas son: a) Cuatro veces el término anterior. b) El triple del término anterior.
270
20
80
5
320
30
90
10
810
1280
Sucesión A:
,
,
,
,
.
Sucesión B:
,
,
,
,
.
¿Cuál es la razón de la sucesión A? ¿Y de la B?
Una sucesión numérica se denomina progresión geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando al anterior por una constante llamada razón.
4. En parejas, escriban la regla para generar una sucesión con progresión geométrica e intercámbienla con la de otra pareja. Obtengan los primeros cinco términos de la sucesión y revisen que sea correcta la construcción de los mismos.
Autoevaluación Responde lo siguiente. 1. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión aritmética, ¿cómo se obtiene la regla de toda la sucesión? 2. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cómo se obtiene la
Versión de evaluación 23/04/12
Las piezas son las siguientes:
regla para generar la sucesión? 3. Indica con una A si la sucesión es una progresión aritmética, con una G si es una progresión geométrica, y con una X si no es ninguna de las dos. 5, 10, 15, 20, 25,…
15, 18, 17, 20, 19, 22
4, 6, 9, 13.5, 20.25
0, 3, 6, 9, 12,…
39
5 cia
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.
Sesión 17
En esta sesión representarás números por medio de literales, con las que realizarás operaciones.
¿Qué sabes tú? 4 cm 2.5 cm 4 cm
2.5 cm
4 cm 3 cm
3 cm 2.5 cm
4 cm
3 cm
2.5 cm
Figura 1
Figura 2
Figura 3
¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1? ¿Y el de la figura 2? ¿Y el de la 3?
40
2.5 cm
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Literales en fórmulas geométricas
1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes triángulos equiláteros.
3 cm
3 cm
3 cm
4 cm
a
Figura 1
Figura 2
Figura 3
¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1? ¿Y el de la figura 2? ¿Y el de la figura 3? Expliquen cómo calcularon el perímetro de las figuras, en particular el de las figuras 2 y 3, en las que solamente se conoce la medida de uno de sus lados. Un triángulo equilátero mide b por lado, ¿cuál de las siguientes expresiones pueden utilizar para calcular su perímetro? Subrayen sus respuestas. b + b + b
b + 3
3b
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
b 3
41
B1 2. Completen la tabla.
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
5 cm
Figura 1
Figura 2
Figura geométrica
Figura 3
Longitud de sus lados
Perímetro
Figura 1 Figura 2 Figura 3 ¿Cómo representaron la longitud de los lados de la figura 3? ¿Cómo calcularon el perímetro de la figura 3? Comparen sus respuestas con las de otras parejas. 3. Usa literales para expresar el perímetro de las siguientes figuras.
Perímetro 42
Perímetro
Perímetro
Versión de evaluación 23/04/12
3 cm
S5 Sesión 18
En esta sesión trabajarás con figuras geométricas que se parecen en su forma y en sus propiedades, así como en la manera en que se calcula su perímetro.
Manos a la obra A algunos estudiantes les pidieron utilizar literales para indicar las longitudes de un rectángulo. Observen sus respuestas. a
a
a
a
c
b
b
a Figura 1
a
Figura 3
a
a
b
b
a
Figura 2
Figura 4
a) ¿En cuál de los rectángulos expresaron correctamente la longitud de los lados? b) Expliquen por qué es o no correcta la forma en que se señalaron las longitudes en los rectángulos anteriores. c) ¿Cuántos pares de lados de la misma longitud tiene el rectángulo? d) ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, contesten las preguntas.
e) Para calcular el perímetro de un rectángulo se puede emplear alguna de las siguientes expresiones algebraicas: a + b + a + b
2a + 2b
2(a + b)
¿Por qué son correctas estas expresiones algebraicas?
43
B1
Usen las letras que anotaron y escriban una expresión algebraica para calcular el perímetro de cada romboide. ¿Es posible calcular el perímetro del romboide con la misma expresión algebraica que emplearon para el rectángulo?
44
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
2. En parejas, empleen cualquier literal para expresar la longitud de los lados de los siguientes romboides.
S5 Sesión 19
En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el perímetro de triángulos y trapecios isósceles.
Manos a la obra
Figura 1
Figura
Figura 2
Longitud de los dos lados iguales
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, asignen una letra a la longitud de los lados de las figuras siguientes, tomen en cuenta que son triángulos isósceles. Completen la tabla.
Figura 3
Longitud del tercer lado
Perímetro
1 2 3 Una expresión algebraica que permite obtener el perímetro de un triángulo isósceles es:
¿Es la única?
, ¿por qué?
Un triángulo escaleno tiene todos sus lados de diferente longitud, ¿cómo se puede expresar su perímetro? 2. Observa el siguiente trapecio isósceles.
¿Cómo se puede expresar su perímetro?
b (base menor)
l
l
En una figura geométrica señalamos con la misma literal los lados que tienen igual longitud, y si éstos tuvieran longitudes diferentes se emplearían más literales. Por ejemplo, en un rectángulo, el perímetro se puede expresar como: P = a + a + b + b, o bien P = 2a + 2b o P = 2(a + b)
B (base mayor) 45
B1 Sesión 20
En esta sesión trabajarás con las fórmulas de los perímetros de polígonos regulares.
Manos a la obra ¿Qué figuras regulares conocen?
¿Cómo se calcula el perímetro de una figura geométrica que tiene todos sus lados iguales?
Escriban una expresión algebraica que les permita calcular el perímetro de una figura regular. ¿Cómo se calcularía el perímetro de un polígono regular de 38 lados?
2. Completa la tabla. Nombre de la figura
Longitud de sus lados
Número de lados
Pentágono regular
a
Hexágono regular
b
Octágono regular
m
Decágono regular
h
Heptadecágono
x
17
Triacontágono
s
30
Perímetro
Observa que en la tabla anterior la letra m representa una literal, sin embargo, la misma letra también es el símbolo de “metro”. Por ejemplo: 5m = m + m + m + m + m, Para calcular el perímetro de un polígono regular se debe conocer el número de lados que lo forman y multiplicarlo por su longitud.
46
mientras que 5 m representa 5 metros. Lo mismo ocurre con otras letras que también son utilizadas como símbolos de unidad de medida, tales como s (segundo), h (hora), etcétera.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En grupo, contesten las preguntas que se plantean.
S5 Sesión 21
En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el área de distintas figuras.
Manos a la obra 1. Lee la siguiente información y contesta.
y se abrevia cm2. Observa los siguientes rectángulos y mide su área.
t 5 cm 3 cm
6 cm
1 cm
s
Rectángulo A
Rectángulo B
Rectángulo C
El área del rectángulo B es: Del rectángulo A es: Del rectángulo C es:
Versión de evaluación 23/04/12
Un ejemplo de unidad de superficie es un centímetro cuadrado, que es de este tamaño:
2. Si e es el largo de un rectángulo y f el ancho, subraya de las siguientes expresiones algebraicas cuáles son equivalentes y permiten calcular el área del rectángulo con resultados iguales. A = e × f = e f
A = 2(e + f)
A = 2 e + 2 f
A = f e
A = (2 e) (2 f )
47
B1 3. Subraya la fórmula que te permita calcular el área del siguiente cuadrado. x
x x
Expresiones algebraicas. 4 x
x + x
( x )( x )( x )( x )
x + x + x + x
( x )( x )
4 + x
x 2
4. En parejas, observen las siguientes figuras y contesten.
a a
a
a
b
¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un cuadrado? ¿Y la del rectángulo? ¿Cómo determinan el área de la parte naranja del cuadrado? ¿Y la parte naranja de los rectángulos? ¿Qué fracción representa el área naranja con respecto a toda la figura?
48
b
Versión de evaluación 23/04/12
x
S5 Sólo una de las siguientes expresiones no determina el área del triángulo azul, ¿cuál es? Márquenla. A = a × b 2 2
A = a × b 2
A=a× b 2
De manera grupal expliquen por qué la fórmula que comunmente usamos para calcular el área de un triángulo es: A = b h , donde b es la base y h es la altura. 2
h
b
Autoevaluación Responde lo siguiente. • ¿Qué representan las letras o literales en una expresión algebraica?
Versión de evaluación 23/04/12
A = 1 (a × b) 2
49
uen S ec 6 cia
Trazo de triángulos y cuadriláteros
Sesión 22
En esta sesión aprenderás a trazar cuadriláteros y triángulos a partir de líneas paralelas, utilizando escuadras.
¿Qué sabes tú? ¿Cómo puedes trazar líneas paralelas y perpendiculares con tu juego de geometría? Realiza tus trazos en hojas blancas. Observa la imagen de la derecha. Sobre una hoja blanca coloca de la misma manera tu regla y tu escuadra y traza líneas paralelas y perpendiculares. Mueve la escuadra como lo indican las flechas. Ahora observa las siguientes imágenes para trazar las líneas perpendiculares y paralelas que se obtienen al mover la escuadra. Compara tus trazos con los de tus compañeros.
50
Versión de evaluación 23/04/12
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
Manos a la obra Usa las escuadras y el compás para trazar en una hoja blanca dos líneas rectas paralelas de 20 cm cada una. Las líneas deben tener una distancia de 5 cm entre ellas. Traza las siguientes figuras geométricas, considerando que dos de sus lados deben estar sobre las líneas paralelas que ya trazaste. •• Un cuadrado. •• Un rectángulo, uno de sus lados mide 3 cm. •• Un romboide cuya base mide 7 cm. •• Un romboide, dos de sus lados miden 4 cm y uno de sus ángulos mide 60º. Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado? b) ¿Cuánto miden los otros lados del rectángulo? c) ¿Cuánto mide la altura de cada romboide? Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 2. Formen parejas y, en una hoja blanca, tracen un par de líneas paralelas para construir sobre ellas los trapecios que se enlistan a continuación. •• Trapecio recto. •• Trapecio isósceles. •• Trapecio escaleno. Cada uno de los trapecios debe cumplir con las siguientes condiciones: la base mayor mide 8 cm; la base menor, 6 cm, y la altura, 4 cm. ¿A qué distancia deben trazarse las líneas paralelas? ¿Qué tienen en común los tres trapecios que trazaste, el perímetro o el área? ¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Realiza las siguientes construcciones y responde las preguntas.
3. En una hoja blanca, y a partir de dos líneas paralelas, traza tres triángulos diferentes cuya base mida 6 cm y su altura mida 5 cm. ¿Cuánto mide el área de cada triángulo? 4. En grupo, construyan un romboide, un trapecio y un triángulo cuyas áreas sean iguales.
51
B1 Sesión 23
En esta sesión construirás triángulos utilizando el juego de geometría.
Manos a la obra 1. Lee con atención las siguientes instrucciones y en una hoja blanca construye lo que se indica.
•• Ahora utiliza tu compás, su apertura debe ser mayor a la longitud del segmento que marcaste. Construcción 1
•• Coloca la punta de metal del compás en uno de los puntos extremos del segmento y traza un círculo. •• Sin cambiar la apertura del compás y colocando la punta metálica en el otro extremo, traza otro círculo. De las construcciones de la izquierda, marca con una palomita ( ) la que se parece a la que tú trazaste. ¿En cuál de las construcciones anteriores obtienes un triángulo equilátero al unir los extremos del segmento con uno de los puntos de intersección de las circunferencias?
Construcción 2
¿Qué tipo de triángulo se obtiene con las instrucciones que seguiste? 2. Reúnete con un compañero y en sus cuadernos escriban las instrucciones para obtener un triángulo equilátero. Lean sus instrucciones a otra pareja para verificar que sí se obtiene ese triángulo. Es importante que solamente digan en voz alta lo que ustedes escribieron. Hagan las correcciones necesarias para que sus instrucciones sean claras, de modo que cualquiera pueda construir un triángulo equilátero al seguirlas.
Construcción 3
3. Identifiquen en cuál de las cuatro construcciones anteriores se obtiene un triángulo isósceles. Trácenlo. Comparen sus construcciones y sus respuestas con las de otras parejas.
Construcción 4
4. En grupo, comenten qué cambios deben hacer al seguir las instrucciones para construir un triángulo equilátero que mida 3 cm por lado. 5. Con regla y compás, traza en tu cuaderno un triángulo escaleno cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 2 cm. a) Al trazar la primera línea, ¿cuál es la apertura del compás con respecto a la distancia que hay entre los dos puntos que se marcan en ella? Compara tu construcción con la de otros compañeros.
52
Versión de evaluación 23/04/12
•• Con tu regla traza una línea recta y marca en ella dos puntos; de esta manera has trazado un segmento. Los puntos son sus extremos.
S6 Sesión 24
En esta sesión seguirás construyendo triángulos y cuadriláteros utilizando el juego de geometría.
1. Considera las cuatro construcciones que aparecen en la sesión anterior e identifica aquellas dos en las que al unir los puntos extremos del segmento con los dos puntos de intersección de las circunferencias se traza un rombo. ¿Cuáles son esas construcciones? Subraya tu respuesta. •• Construcción 1
Paso 1. Trazar un segmento de 5 cm.
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
Paso 2. Abrir el compás a 3.5 cm y colocarlo en un extremo del segmento, trazar un arco.
•• Construcción 2 •• Construcción 3 •• Construcción 4 2. Traza los rombos y marca en cada uno la diagonal menor y la diagonal mayor. ¿Qué tipo de ángulo se forma en el punto donde se cortan? 3. En tu cuaderno escribe las instrucciones para construir un rombo.
Paso 3. Abrir el compás a 4.5 cm y apoyarlo en el otro extremo del segmento, trazar otro arco que corte al primero.
Intercámbialas con algún compañero y comprueba si al seguir tus instrucciones logra construir esa figura. Si es necesario hacer correcciones, anótalas y comprueba nuevamente el procedimiento, pero ahora con la ayuda de otro compañero. 4. Observa los pasos de la columna de la derecha para trazar un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 3.5 cm y 4.5 cm. Síguelos y traza en tu cuaderno ese triángulo. 5. En tu cuaderno traza un triángulo con un lado de 6 cm y otro de 5 cm.
Paso 4. Unir cada extremo del segmento con el punto de corte de los arcos para obtener el triángulo.
Compara el triángulo que construiste con los de tus compañeros y contesten las siguientes preguntas. ¿Por qué los triángulos no son todos iguales? ¿Qué dato hay que determinar para que todos los triángulos sean iguales? 53
B1 Sesión 25
En esta sesión trazarás cuadriláteros que cumplan con ciertas condiciones.
Manos a la obra a) Traza un rectángulo a partir del siguiente segmento.
b) Traza un cuadrado.
c) El segmento siguiente es la base de un rectángulo.
d) El segmento siguiente es una diagonal de un cuadrado.
2. En equipos, comparen los cuadrados y rectángulos que trazaron. Contesten las siguientes preguntas. ¿Cuáles de las figuras trazadas son iguales?
¿Por qué?
En el caso del rectángulo a), ¿qué datos habría que definir para que todos los rectángulos que construyeron fueran iguales? ¿Y en el caso del rectángulo c)? 3. Utilicen el juego de geometría para trazar de manera individual lo que se indica a continuación. a) Un rombo con una diagonal de 3 cm y la otra de 7 cm. b) Un romboide de base 7 cm y altura de 4.5 cm. Comparen sus trazos con los de sus compañeros, ¿todas las figuras fueron iguales? 54
Versión de evaluación 23/04/12
1. Utiliza tu juego de geometría para completar los trazos y construir las figuras que se piden en cada inciso.
S6 Sesión 26
En esta sesión trazarás triángulos y cuadriláteros a partir de ciertas condiciones.
Manos a la obra a) ¿Se puede trazar un trapecio con 10 cm de base mayor y 5 cm de base menor? Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene? Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que definir para que sea única la solución? b) ¿Se puede trazar un romboide con base de 7 cm? Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene? Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que especificar para que sea única la solución? c) ¿Se puede trazar un triángulo con lados de 3 cm, 2 cm y 4 cm, y un ángulo de 90º?
d) ¿Se puede trazar un rombo con una diagonal de 5 cm? Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?
Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?
e) ¿Se puede trazar un cuadrado que tenga diagonales de 4 cm? Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?
Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?
2. En seguida, verifiquen sus respuestas trazando las figuras en su cuaderno.
Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene? Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, contesten en sus cuadernos las preguntas siguientes.
3. En grupo, y con ayuda de su profesor, comparen sus respuestas. Si se requiere, hagan las correcciones necesarias.
Consulta en… Entra al sitio: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/dibujoTecnico/trazadodetriangulos.html, donde encontrarás animaciones que muestran paso a paso procedimientos interesantes para que, dadas ciertas condiciones, construyas triángulos o cuadriláteros empleando solamente regla y compás.
Autoevaluación Responde lo siguiente. 1. Utiliza tu regla y tus escuadras para trazar en tu cuaderno un cuadrado que tenga 3 cm por lado y un rectángulo que mida 7 cm de largo y 4 cm de altura. 2. ¿Cuántos rombos diferentes pueden construirse si se da la medida de sus lados?
55
uen S ec
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
Sesión 27
En esta sesión aprenderás a trazar las alturas de cualquier tipo de triángulo, y sus propiedades.
¿Qué sabes tú? Relaciona las imágenes con el nombre de la recta correspondiente. ( ) Altura ( ) Mediana ( ) Mediatriz
1
2
3
Manos a la obra B
1. En equipos, observen que en el siguiente triángulo se marcaron con rojo las alturas. Contesten las preguntas en su cuaderno. ¿De dónde a dónde van los segmentos que indican las alturas del triángulo?
A 56
C
Versión de evaluación 23/04/12
7 cia
Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los triángulos
a) ¿Qué tipo de ángulo se forma entre el segmento AB y su altura? b) ¿Y entre el segmento BC y su altura?
d) ¿Cómo pueden trazar una altura en un triángulo empleando las escuadras? e) ¿A qué se le llama altura en un triángulo? f) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y elijan la técnica más práctica para encontrar las alturas en diferentes triángulos. 2. Encuentra el punto en que se unen las alturas en los siguientes triángulos.
altura
La altura en un triángulo es el segmento de recta que va desde el vértice de un ángulo hasta el lado opuesto, formando un ángulo de 90º con el mismo. Las escuadras son un buen recurso para trazar la altura: se coloca la escuadra de 60° sobre el segmento al que se le va a trazar la altura, se desliza la otra escuadra, usando su ángulo de 90°, hasta encontrar el vértice opuesto a dicho segmento y se traza la altura.
Paso 1.
Paso 2.
Versión de evaluación 23/04/12
c) Sin medirlo, ¿qué tipo de ángulo crees que se formará entre el segmento AC y su altura? Utiliza tu juego de geometría para comprobarlo.
Paso 3.
Dado un triángulo, sus alturas siempre se intersecan en un único punto, llamado ortocentro. 57
B1 Sesión 28
En esta sesión conocerás otra recta notable de los triángulos: la mediana.
Manos a la obra 1. En equipos, analicen el segmento azul trazado en el triángulo ABC. A este segmento se le denomina mediana.
D
A
B
a) ¿Cuánto mide la distancia de A a D?
f) ¿Cuáles son los pasos a seguir para trazar una mediana en un triángulo?
b) ¿Cuánto mide la distancia de D a B? c) ¿Desde dónde hasta dónde va la mediana que lle-
g) Tracen las medianas sobre los segmentos BC y CA de tal forma que tengan las mismas propiedades que el trazo de color azul.
ga al segmento AB? d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y contesten.
h) ¿Las medianas tienen algún punto de intersección?
e) ¿Cuáles son las características de una mediana?
2. Traza las medianas en los siguientes triángulos y observa dónde se intersecan. C La mediana es el segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.
C C
A
Las medianas se intersecan siempre en un único punto llamado baricentro. A 58
B
B
A
B
Versión de evaluación 23/04/12
C
S7 Sesión 29
En esta sesión te presentamos otra recta notable de los triángulos, llamada mediatriz, y sus propiedades.
Manos a la obra
P
A
B
A
B
A
B
El segmento trazado en color rojo se llama mediatriz. Respondan las siguientes preguntas. a) ¿Cómo son los segmentos AP y PB? b) ¿Qué ángulo forman la mediatriz y el segmento AB? c) ¿De qué otra forma se podrá trazar la mediatriz de un segmento? d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y describan el procedimiento para trazar una mediatriz sin usar el compás. e) Explica brevemente qué es una mediatriz
2. Ahora dibuja en tu cuaderno tres triángulos de diferentes formas y tamaños y traza las mediatrices de los lados de cada uno de ellos. Llamen O al punto en el que se cortan las mediatrices.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, observen la secuencia de trazo de la mediatriz en un segmento y coloquen en el recuadro una instrucción que describa claramente lo que se hace en cada paso.
En un triángulo, la mediatriz es la recta perpendicular a uno de sus lados que pasa por su punto medio. El punto en el que siempre se intersecan las tres mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.
59
B1 Sesión 30
En esta sesión trazarás las bisectrices de un triángulo.
Manos a la obra Formen equipos de tres personas y desarrollen las actividades que se indican. 1. Tracen las diagonales en la siguiente figura.
Observen ahora la siguiente figura.
D
B
D
B
Midan los ángulos en los que quedó dividido el ángulo C. A
¿Qué hace la recta roja al ángulo C?
¿Cómo quedaron divididos los ángulos por las diagonales que trazaron?
Dividan los ángulos D y B de la misma forma en que está dividido el ángulo C. Las rectas que trazaron se llaman bisectrices. 2. Observen detenidamente los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un ángulo y escriban en cada recuadro una instrucción clara para realizar dicho trazo.
60
Versión de evaluación 23/04/12
C
C
S7
Resalta en color rojo el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los triángulos. ¿Todas las bisectrices tienen un mismo
La bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
punto en común?
En un triángulo las bisectrices siempre se intersecan en un solo punto, llamado incentro.
Ahora traza un triángulo cualquiera y sus bisectrices. Observa qué sucede con el punto que tienen en común las bisectrices. Comenta tus observaciones con tus compañeros.
Un dato interesante… La recta de Euler En un triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro se encuentran en una misma recta (son colineales), a la que se denomina recta de Euler. Se llama así en honor del matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.
H G
alturas
H: ortocentro
medianas
G: baricentro
mediatrices
O: circuncentro
O
Consulta en… Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
Versión de evaluación 23/04/12
3. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 5 cm, un triángulo escaleno de 3 cm, 5 cm y 7 cm respectivamente, y un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el lado diferente, 3 cm. Traza las bisectrices de los ángulos interiores de cada triángulo con el método anterior.
Autoevaluación Responde en tu cuaderno lo siguiente. • ¿Cómo se puede diferenciar la altura de la mediana en cualquier triángulo? • ¿En qué tipo de triángulo coinciden las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices?
61
uen S ec 8 cia
Reparto proporcional
Sesión 31
En esta sesión aprenderás a repartir basándote en ciertos criterios o en determinados factores.
¿Qué sabes tú? 1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas. a) Don Ernesto tiene un terreno de 94.5 hectáreas, él quiere repartirlo por partes iguales a sus hijos: Salvador, Martín, Héctor, Ricardo y Jesús, y a sus hijas: Rosa, Juana, Guadalupe y Carmen. ¿Qué cantidad de terreno le corresponde cada uno?
b) Tres amigos ganaron un premio de lotería de $100 000.00 con un boleto que costó $40.00. Para comprar el boleto Raúl aportó $8.00, Andrés colaboró con 4 pesos más que Raúl, y Braulio pagó el resto. Si reparten el premio de acuerdo con lo que aportaron, ¿a quién le corresponde la mayor cantidad del premio y a quién la menor? ¿Por qué? ¿Cómo resolvieron el primer problema? ¿Y el segundo?
62
Versión de evaluación 23/04/12
Resolución de problemas de reparto proporcional.
1. En parejas, de acuerdo con el problema del premio, contesten. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a Andrés? ¿Y cuánto a Braulio? ¿Y a Raúl? Registren en su cuaderno las operaciones que realizaron para obtener sus respuestas. Comparen sus procedimientos con los de otras parejas, verifiquen que las cantidades obtenidas sean las mismas. Si hay algún procedimiento diferente al suyo, explíquenlo.
2. Lee el siguiente problema y resuélvelo. De los 24 metros de listón que trae un carrete, María ocupó 8 metros para hacer una tarea escolar, Ramiro empleó 11 metros, y Javier, el resto. El carrete les costó $60.00. Si se reparten el costo del carrete de acuerdo con la cantidad de listón que cada quien utilizó, ¿quién de ellos deberá aportar $20.00?
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
¿Con cuánto dinero deberá contribuir Javier? Verifica tu respuesta con un procedimiento diferente al que empleaste. Reflexionen sobre cuáles son las diferencias que hay entre un reparto proporcional y un reparto equitativo. De manera grupal escriban en su cuaderno las características que tiene un problema de reparto proporcional. 63
B1 Sesión 32
En esta sesión continuarás con la solución de problemas de reparto proporcional, sólo que ahora utilizarás tus conocimientos sobre fracciones.
Manos a la obra
Alberto Flavio
1. En parejas, resuelvan el siguiente problema. a) Tres albañiles levantaron una barda de 30 m2. Alberto levantó 10 m2, Flavio 5 m2 y Gonzalo 15 m2. Por esta construcción les pagaron $2 100.00, y se repartieron el dinero de acuerdo con el número de metros cuadrados que cada quien levantó. Completen la tabla. ¿Cómo obtuvieron la cantidad de dinero que le co-
Gonzalo
rresponde a cada uno?
Total
2. De acuerdo con el problema del premio de lotería de la sesión anterior, contesten las siguientes preguntas. ¿Quién de los tres contribuyó con la mitad del costo del boleto? ¿Qué fracción del total del boleto aportó Raúl? ¿Qué cantidad del premio le habría tocado a Braulio si hubiera colaborado con la cuarta parte del costo del boleto? Comparen sus respuestas con las de otras parejas y en su cuaderno empleen fracciones para comprobar las cantidades que corresponden a cada uno de los tres amigos. Expliquen si obtuvieron o no los mismos resultados que en la sesión anterior.
3. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. a) Para completar un pedido que deben exportar, cinco artesanos de una comunidad juntaron los suéteres de lana que tejen. Hortensia fabricó 24 prendas; Alonso, 40; Tomás, 30; Guadalupe, 16, y Blanca 10 piezas. Por este pedido les pagaron $22 200.00, que repartieron proporcionalmente de acuerdo con la cantidad de prendas que cada uno confeccionó. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno de los artesanos? b) Entre Angélica, Mónica y Francisco sacaron 400 copias fotostáticas de una invitación. El costo total lo pagaron en proporción a las invitaciones que cada uno quiere repartir. Angélica pagó $22.00 por la cuarta parte de las copias; Mónica, 3 partes, y lo 5 demás lo aportó Francisco. ¿Cuánto pagó Francisco? ¿Cuánto se pagó en total por todas las copias? ¿Cómo obtuvieron la respuesta de la pregunta anterior?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y verifiquen que sean correctas. Reflexionen sobre el empleo de fracciones en los problemas de reparto proporcional. Expliquen en qué situaciones de reparto proporcional es conveniente emplear fracciones. 64
Versión de evaluación 23/04/12
Fracción que Cantidad de de m2 representan Albañil Cantidad del dinero que le construidos total de m2 corresponde
S8 Sesión 33
En esta sesión resolverás problemas de reparto proporcional considerando el valor unitario.
Manos a la obra ¿Recuerdan que en el problema del boleto de lotería Raúl aportó $8.00 para comprar el boleto, Andrés, cuatro pesos más que Raúl, y el resto lo pagó Braulio? ¿Cuánto aportó cada uno de ellos? Si se repartieron los $100 000.00 de acuerdo con lo que pusieron, ¿cuánto le habría tocado a Raúl si únicamente hubiera aportado un peso de los $40.00 que costó el boleto? ¿Qué importancia crees que tiene saber la cantidad del premio que corresponde por cada peso invertido? 2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas. a) Cuatro campesinos rentaron un camión por la cantidad de $4 200.00 para llevar al mercado las 2.5 toneladas de aguacate que recolectaron y que transportan en 120 cajas de madera. Observa el registro que realizaron y completa la tabla. ¿A quién de ellos le conviene más que se reparta el pago del camión de acuerdo con la cantidad de cajas?
Cantidad de dinero a pagar por el flete, de Cantidad Peso Nombre de cajas (kilogramos) acuerdo con: Cajas Peso Irma
30
605
Lorena
45
945
Armando
20
450
Efrén
25
500
Total
120
2 500
¿Cuál reparto le conviene más a Efrén? ¿Emplearon fracciones para resolver este problema?
¿Por qué?
¿Cuánto se pagó por cada caja que se transportó? ¿Y cuánto por kilogramo de aguacate transportado? b) Yolanda pagó $2 280.00 por los 60 m2 de barda que pintaron entre Ernesto, Lorena y José. El primero pintó 28 m2, Lorena, 19 m2, y José el resto. De acuerdo con el trabajo que cada uno realizó, ¿cuánto se le debió pagar? Para responder, completa la siguiente tabla y en la última fila escribe la cantidad de metros cuadrados que pintó José.
Versión de evaluación 23/04/12
1. Lean la siguiente información y contesten.
El valor unitario se refiere a la cantidad que le corresponde a una pieza, objeto o unidad.
Metros cuadrados pintados Cantidad de dinero a pagar 60 1 28 19
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y comprueben con algún otro procedimiento sus resultados. 65
B1 Sesión 34
En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre las diferentes formas aprendidas del reparto proporcional y resolverás diversos problemas que lo involucran.
Manos a la obra a) A Marina le pagaron $300.00 por podar la quinta parte de los 60 m2 de césped de un jardín. ¿Cuánto le pagaron a Anselmo si podó únicamente una cuarta parte de todo el césped? b) Cuatro amigos fueron al cine. Para pagar el total del costo de los boletos, Noemí aportó $80.00, Abraham, $50.00 y Jesús dio $70.00. Adriana dijo que a la salida los recompensaría. En agradecimiento por haber pagado su entrada, Adriana les obsequió $500.00 para los tres, con la condición de que se repartieran conforme a lo que cada uno de ellos aportó para su boleto. ¿Qué cantidad de dinero de los $500.00 le corresponde a cada uno? c) El dueño de una fábrica de calzado quiere repartir un bono de $15 000.00 entre los cuatro vendedores que tiene. Para ello cuenta con la información de las siguientes gráficas, que corresponden a las ventas del tercer bimestre; además se sabe que en junio se vendieron 140 unidades. Ventas de mayo 35
Unidades vendidas
30 25 20
Ventas de junio José 12%
15 10
Lizbeth 10%
5 0
Andrés
Ana
Lizbeth
Andrés 50%
José
Ana 28%
66
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve los problemas siguientes.
S8 Si el bono se reparte de acuerdo con la cantidad de unidades vendidas, ¿qué cantidad
Para resolver un problema de reparto proporcional deben tomarse en cuenta distintos criterios a fin de llevar a cabo la distribución correcta. Entre otras formas, se puede resolver calculando el valor unitario, es decir, lo que le corresponde a una unidad; por ejemplo, en el problema del premio de lotería se ganaron $100 000 y el boleto costó $40, por lo que por cada peso aportado a una persona le corresponde el cociente de 100 000 , es decir, 2 500. 40
Además, observamos que un problema de reparto proporcional también se puede resolver a través de fracciones, al determinar la fracción de la cantidad a repartir. Por ejemplo, Braulio aportó $20.00 de los $40.00 que costó el boleto, él aportó la mitad, por lo que le corresponde la mitad del premio, es decir, $50 000.00.
Autoevaluación Responde lo siguiente.
Versión de evaluación 23/04/12
del bono le corresponde a Andrés?
• ¿Cómo se calcula el valor unitario? • ¿Qué diferencia hay entre el reparto proporcional y el reparto equitativo?
• ¿Cómo se debe interpretar el cociente de dividir 2 500 kilogramos entre $4 200.00?
67
9 cia
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos, y el registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
Sesión 35
En esta sesión aprenderás a identificar cuándo un juego es de azar.
¿Qué sabes tú? ¿Alguna vez has jugado “gato”? Si es así, describe en qué consiste y cómo se determina al ganador.
¿Alguna vez has jugado “volados”? Describe en qué consisten y cómo se determina al ganador.
Manos a la obra 1. Reúnete con un compañero para jugar “gato” cinco veces. Uno de los jugadores inicia marcando una cruz en una de las casillas. Luego, el siguiente jugador marca un círculo en otra casilla. Gana el primero que logra completar una fila, una columna o una diagonal. Antes de empezar, contesta de manera individual las siguientes preguntas. ¿Quién ganará el primer juego? ¿Quién va a ganar más juegos? ¿Cuántos juegos ganará cada jugador?
68
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Juegos de azar
Después de jugar, contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas. ¿Es cierto que en el juego del “gato”, el que inicia siempre gana? ¿Conoces algún otro juego parecido al “gato”? ¿Cómo se llama y en qué consiste? ¿Hay alguna estrategia para ganar? Compara tus respuestas con las de tus compañeros y lleguen a una conclusión grupal con la guía de su profesor. 2. Reúnete con un compañero para jugar el juego de la “escalera”. Cada jugador deberá escribir su nombre en un extremo de la escalera. Coloquen una ficha sobre el centro de la escalera. Utilicen una moneda para hacer los lanzamientos por turnos; cuando sale águila, la ficha se baja un escalón, y cuando sale sol, se sube uno. Gana el jugador cuyo nombre está escrito en el escalón al que llega antes la ficha. Antes de empezar, contesta: ¿Quién consideras que va a ganar el juego? Después de jugar, contesta las siguientes preguntas. ¿Consideras que existe una manera de ganar siempre en el juego de la escalera?
¿Es cierto o no que en el juego de la escalera el que pide primero siempre gana?
Si en un “volado” la moneda cae águila, ¿es seguro que en el siguiente “volado” no caerá águila? ¿Qué puede ocurrir?
¿Conoces algún otro juego, parecido al de la escalera, en el que antes de empezar no se sepa quién va a ganar? ¿Cómo se llama y en qué consiste? ¿Es el juego del “gato” un juego de azar? Justifica tu respuesta.
Versión de evaluación 23/04/12
¿Existe una estrategia para no perder en el juego? ¿Cuál es?
En un juego de azar, como el de la escalera, no se puede saber con anterioridad cuál será el resultado, por lo que no se tiene seguridad de si se va a ganar o se va a perder.
69
B1 Sesión 36
En esta sesión continuarás identificando si un juego es de azar o no.
Manos a la obra Tienes que pensar un número mayor que 0 y menor que 50. Lo anotas en un papelito, sin que lo vea tu compañero. Él debe adivinar el número que pensaste, y para ello puede hacerte hasta seis preguntas. Tú sólo puedes contestar sí o no. Anoten las preguntas y respuestas en la siguiente tabla.
Preguntas
Respuestas
¿Tu compañero o compañera adivinó el número que pensaste?
¿Qué número pensaste?
¿Cuántas preguntas te hizo?
Ahora es tu turno, ¿podrás adivinar el número que piense tu compañero con menos de seis preguntas? Inténtalo. Si este juego lo realizan muchas veces más, ¿podrían encontrar una manera segura de adivinar el número? ¿Cuál?
70
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, jueguen a “adivina el número”.
S9
¿Ganó quien avanzó primero? Realicen el juego una vez más. ¿Consideran que hay una manera segura de ganar el juego? Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con su profesor. Comenten cuál de los dos juegos anteriores es de azar y cuál no lo es, y por qué. Si encontraron estrategias para ganar en cada juego, pruébenlas para ver si lo logran.
Versión de evaluación 23/04/12
2. En equipos, jueguen a la “oca”. Necesitan un par de dados y una ficha por jugador. Todos salen de Inicio y por turnos avanzan lo que sumen los dados. Gana el primero que logra llegar a 63.
71
B1 Sesión 37
En esta sesión identificarás las principales características de un juego de azar.
Manos a la obra Se requieren dos jugadores. El jugador que inicia el juego puede anotar sólo el número 1 o el 2. El otro jugador puede sumar 1 o 2 al número que anotó el primer jugador. En los siguientes turnos, siempre se le suma 1 o 2 al número que anotó el jugador anterior. Gana el juego el primero que llegue a 10. Observa lo siguiente: Los jugadores son Toño y Manuel:
Toño
Manuel
1
3
Toño inició el juego y anotó el número 1.
5
7
Manuel decidió sumar dos y anotó el 3.
8
10
¿Qué número anotó después Toño?
¿Quién ganó?
Ahora juega con tu compañero y anota en cada caso quién ganó. Jugador 1
Ganador:
Jugador 2
Jugador 1
Ganador:
Jugador 2
Jugador 1
Ganador:
Jugador 2
Jugador 1
Ganador:
Jueguen varias veces hasta que encuentren alguna estrategia para ganar. Comenten con sus compañeros si este juego es de azar o no y por qué.
72
Jugador 2
Versión de evaluación 23/04/12
1. Reúnete con un compañero para jugar “carrera al 10”. Las reglas del juego son las siguientes:
S9
Caja A
Caja B
¿De qué caja prefieres hacer la extracción? Utiliza canicas y una caja o una bolsa para realizar varias extracciones. Recuerda que no debes ver la canica hasta que esté afuera, y después de registrar su color debes regresarla a la caja para seguir jugando. Realicen el juego varias veces más, ¿hay una manera segura de ganar el juego?
Comenten en grupo y con su profesor si este juego es de azar o no y digan por qué. 3. Completa la siguiente tabla contestando Sí o No, para ello deberás tomar en cuenta los seis juegos que has realizado en esta secuencia. Juego
Se puede anticipar Se puede encontrar una Se puede controlar quién ganará estrategia para ganar el resultado
Gato Volados Adivina el número Oca Carrera a 10 Extracción de canicas Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo, y con ayuda de su profesor contesten las siguientes preguntas.
Caja C
Versión de evaluación 23/04/12
2. Observa las siguientes tres cajas con canicas. Debes extraer una canica de una de las cajas, sin ver; ganas si la canica es blanca.
Es un juego de azar
¿Al lanzar un dado, se puede determinar el número de puntos que se mostrarán en la cara superior?
¿Por qué?
¿Se puede determinar la cara que quedará a la vista al lanzar una moneda al aire? ¿Por qué? ¿Se puede determinar el color de la canica que se extrae de una caja o urna, sin ver? ¿Por qué? 73
B1 Sesión 38
En esta sesión aprenderás a registrar los resultados posibles de un juego de azar.
Manos a la obra a) Primero contesten las siguientes preguntas. Antes de lanzar un dado, ¿saben en qué número caerá? Si lanzan un dado muchas veces, ¿qué número saldrá más veces? b) Ahora, lancen su dado veinte veces y registren sus resultados en la siguiente tabla. Número de lanzamiento Puntos que marca el dado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
¿Cuál es el número de puntos que más veces salió? ¿Qué número de puntos no salió? ¿Los resultados coinciden con lo que predijeron antes de lanzar el dado? 2. Comparen los resultados obtenidos por las diferentes parejas del grupo. Concentren en una gráfica como la siguiente los resultados de cada equipo. Si elaboraron una tabla, cópienla en el pizarrón y comparen los resultados con los de la gráfica. Número de veces que salió
¿Qué número se repitió más veces? ¿Qué número se repitió menos veces? ¿Hubo algún número de puntos que no saliera al lanzar el dado? Si se realiza un nuevo lanzamiento, y quieren ganar, ¿qué número escogerían?
1
2
3
4
Número de puntos
74
5
6
Hagan el lanzamiento, ¿ganó el número que escogieron?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, lleven a cabo la siguiente actividad, que consiste en lanzar varias veces un dado.
S9 En esta sesión encontrarás alguna estrategia para jugar un juego de azar en función del análisis de los resultados posibles.
Sesión 39
Manos a la obra Bolsa 1
Bolsa 2
Bolsa 3
Consideren que utilizan esa bolsa para realizar el experimento de sacar canicas al azar, devolviendo cada vez la canica que se saca antes de la siguiente extracción. Si se realizan veinte extracciones, ¿cuántas canicas azules y blancas estiman que van a salir? Anoten sus predicciones en el siguiente cuadro. Predicciones Azules Blancas
2. Utilicen una bolsa no transparente y canicas, de acuerdo con el número de bolsa que seleccionaron, para realizar el experimento. Uno por uno deberá extraer una canica. Registren en sus cuadernos los resultados; por ejemplo, anoten A cuando sale una canica azul, y una B cuando sale una blanca. No olviden regresar la canica a la bolsa. Realicen cada uno veinte extracciones. Después de hacer el experimento completen el cuadro con el total de canicas azules y blancas que salieron.
Bolsa 4
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, seleccionen una bolsa de canicas del siguiente grupo.
Resultado de veinte extracciones Azules Blancas
75
B1 3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados? Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?
Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió? ¿Consideran que influye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?
Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más frecuencia? ¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción? Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más. Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?
En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontrar alguna estrategia de juego.
Autoevaluación Responde lo siguiente. 1. Describe un juego que sea de azar. 2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la canica por la salida 1?
1 a)
76
2
1 b)
2
3
1 c)
2 3
4
1 d)
2
3
Versión de evaluación 23/04/12
¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?
S9 Sesión 40
Evaluación Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta a cada problema.
c) 0.0050
d) 0.00050
2. ¿Qué punto corresponde a la ubicación de la fracción 21 ? 6 0
a
a) d
b) c
c) b
3. Dos tablas, una de 3 de pulgada y otra de 7 de 8 4 pulgada, son unidas por un clavo de 2 pulgadas, ¿qué parte del clavo sobresale de las tablas? a) 1 4
b) 3 8
c) 1 8
b
c
d
d) a
A
4. La sucesión numérica 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,… a) Aumenta de dos en dos. B
b) Disminuye de dos en dos.
8. ¿Cómo se llama la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales?
d) Cada término es el cuadrado del anterior. 5. ¿Qué expresión algebraica se puede usar para calcular el perímetro de un triángulo isósceles? a) P = a + b + c
c) P = 2(a + b)
b) P = 2a + b
d) P = 3(a + b)
6. Dos mujeres compraron 80 gallinas en $3 200; Andrea aportó $1 420 y Susana el resto. ¿Cuántas gallinas corresponden al dinero que aportó Susana? a) 50
b) 48
c) 42
4
7. Utilizando sólo un compás marca los cuatro vértices que definen a un cuadrado. Toma como una de las aristas del cuadrado el segmento de recta siguiente.
d) 3 4
c) Cada término es el doble del anterior.
Versión de evaluación 23/04/12
1. ¿Qué notación decimal corresponde a 5 ? 10 a) 0.50 b) 0.050
a) Mediatriz
c) Bisectriz
b) Mediana
d) Altura
9. Se lanzaron dos dados, gana Alberto si la suma es menor a 7; Gonzalo si cae 7; Carmen si cae una suma mayor de 10, y Ximena si cae 8, 9 o 10. ¿Quién de ellos tiene más posibilidades de ganar? a) Alberto
c) Gonzalo
b) Carmen
d) Ximena
d) 36 77
Versi贸n de evaluaci贸n 23/04/12
Bloque 2
Versión de evaluación 23/04/12
r común diviso o im x á m l e o mas utilizand le b ro p r e lv o s • Re n múltiplo. ú m o c o im ín y el m e impliquen u q s o ic tr é m s, blemas geo , las mediana s ra u lt a s la • Resolver pro e propiedades d triángulos n e s el uso de las e ic tr c e es y las bis las mediatric s. y cuadrilátero
10 cia
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.
Sesión 41
En esta sesión determinarás los criterios para distinguir cuándo un número es divisible entre 2 o entre 3.
¿Qué sabes tú? Trabaja con un compañero para resolver el problema siguiente. Beatriz quiere repartir los productos que se muestran en la tabla, de tal forma que al número de personas que se indica les toque exactamente la misma cantidad entera. Escriban en la tabla la cantidad que le corresponde a cada persona, cuando esto sea posible, o pongan una cuando no se pueda dividir exactamente. Si tienen dudas con alguna repartición, pueden hacer una división para comprobar. Número de personas
$1 140
125 naranjas
77 manzanas
439 nueces
56 huevos
181 hojas de papel
48 lápices
12 gomas
14 sacapuntas
2 3 5 7 ¿Pudieron realizar la repartición de todos los productos entre el número de personas señalado en cada renglón?
¿Cuáles son divisibles entre 7?
De las cantidades que se repartieron:
la división?
¿Cuáles son divisibles entre 2, esto es, que se pudieron
¿Todas las cantidades se podrán dividir exactamente entre
dividir exactamente entre 2?
el 1 y ellas mismas?
¿Cuáles son divisibles entre 3? ¿Cuáles son divisibles entre 5? 80
¿Podrían establecer un procedimiento para determinar cuándo un número es divisible entre 2, 3, 5 o 7, sin realizar
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Criterios de divisibilidad
Manos a la obra 1. En un deportivo se van a dar clases de seis deportes en los que se requiere repartir a los participantes en dos o tres grupos. Con la información de alumnos inscritos que se muestra en la siguiente tabla contesten en qué disciplinas es posible formar dos o tres grupos con el mismo número de integrantes. Escriban SÍ en el caso de que sea posible, y NO cuando no lo sea. Si tienen dudas, hagan las divisiones. Especialidad
Inscritos
Natación
220
Futbol
213
Beisbol
111
Volibol
146
Tenis
98
Atletismo
132
¿Es posible formar 2 grupos ¿Es posible formar 3 grupos con el mismo número de con el mismo número de integrantes? integrantes?
¿En qué deportes sí fue posible formar 2 grupos exactos?
¿En cuáles fue posible formar 3 grupos exactos? Escriban los números que se pudieron dividir exactamente entre 2, es decir que son divisi¿Qué característica tienen en común estos números?
bles entre 2.
Expliquen brevemente cómo es posible determinar, sin realizar la división, cuándo un número es divisible entre 2.
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen las actividades siguientes.
Escriban los números que se pudieron dividir exactamente entre 3, es decir que son divisi¿Qué característica tienen en común estos números?
bles entre 3.
¿Tiene algo que ver la terminación de los números para que sean divisibles entre 3? ¿Por qué?
81
B2
123
528
111
923
611
326
327
259
405
102
420
936
639
412
984
Busquen alguna característica que tengan en común los números divisibles entre 3. Pueden realizar operaciones (suma, resta, multiplicación, división) con los dígitos de cada número y ver si hay alguna característica común. Comparen sus observaciones en el grupo y saquen una conclusión respecto a cómo determinar cuándo un número es divisible entre 3 sin realizar la división. Un número natural a es divisible entre otro natural b distinto de cero, cuando puede dividirse exactamente entre éste, es decir que existe un natural c, de tal forma que bc = a. b a = c
Los números cuya última cifra es un número par son divisibles entre 2. Por ejemplo: 458 es divisible entre 2, porque la última cifra es par. 1 080 es divisible entre 2, porque la última cifra es 0. Son divisibles entre 3 los números en los que la suma de los dígitos que lo forman es un múltiplo de 3. Ejemplos: 285 es divisible entre 3, porque la suma de 2 + 8 + 5 es 15, y 15 es múltiplo de 3. 542 319 es divisible entre 3, porque la suma de 5 + 4 + 2 + 3 + 1+ 9 es 24, y 24 es múltiplo de 3.
82
Versión de evaluación 23/04/12
2. En la siguiente tabla hay diez números que al dividirlos entre 3 dejan residuo cero. Subráyenlos.
S10 Sesión 42
En esta sesión conocerás los criterios para determinar cuándo un número es divisible entre 5 o 7.
Manos a la obra 1. Catalina quiere comprar unas estampas para repartirlas entre sus cinco hijos, pero quiere que a cada uno le toque un número exacto de estampas y que no sobre ninguna. ¿Qué paquetes puede comprar para que se cumplan estas condiciones?
Escriban qué paquetes cumplieron con las condiciones marcadas. Escriban qué características tienen en común los paquetes que sí cumplieron las condiciones.
2. Encierren los números que sean divisibles entre 5. ¿Qué característica observan en los números que pueden dividirse entre 5?
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
123
365
258
415
780
965
589
333
200
555
145
789
235
350
625
380
415
100
3. Analicen el procedimiento siguiente, que permite saber cuándo un número es divisible entre 7. a) ¿El número 386 es divisible entre 7? Separen el dígito de las unidades:
38 6
Dupliquen el dígito de las unidades:
6 × 2 = 12
Resten el producto a las cifras de la izquierda:
38 − 12 = 26
Si el resultado es cero o múltiplo de 7 el número será divisible entre 7. Como 26 no es múltiplo de 7, entonces 386 no es divisible entre 7. Realicen la división y compruébenlo.
83
B2 b) ¿El número 875 es divisible entre 7? Separen el dígito de las unidades:
87 5
Dupliquen el dígito de las unidades:
5 × 2 = 10
Resten el producto a las cifras de la izquierda:
87 − 10 = 77
c) Cuando el número es mayor, por ejemplo 2 982, el proceso se repite tantas veces como sea necesario. Analicemos si 2 982 es múltiplo de 7. Separen el dígito de las unidades:
298 2
Dupliquen el dígito separado:
2×2=4
Resten el producto a las cifras que quedaron a la izquierda: 298 − 4 = 294 Se repite el procedimiento con el número obtenido en el paso anterior, para ver si es múltiplo de 7, es decir, el 294. Separen el dígito de las unidades:
29 4
Dupliquen el dígito de las unidades:
4×2=8
Resten el producto a las cifras que quedaron a la izquierda: 29 – 8 = 21 El 21 es múltiplo de 7, entonces el 2 982 es divisible entre 7.
4. Analiza los siguientes números. Emplea el procedimiento anterior para determinar si el número es divisible entre 7, y si el número es divisible, subráyalo. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si tienen resultados distintos, comprueben realizando la división.
602
2520
907
787 875
339 644 337
Un dato interesante… Se cree, pero no se ha demostrado, que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos. Este resultado se conoce como la conjetura de Goldbach. Ejemplos: 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 84
Versión de evaluación 23/04/12
Como el 77 es múltiplo de 7, entonces el 875 es divisible entre 7. Realicen la división y compruébenlo.
S10 Sesión 43
En esta sesión conocerás qué son los números primos y los números compuestos.
Manos a la obra ¿Qué tipos de números conoces?
1°, 2°, 3°… 1, 2, 3, 4,… 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 2, 4, 6, 8… 2. Escriban qué otro tipo de números conocen y den un ejemplo de ellos.
Comparen sus respuestas con las de otra pareja y en caso de duda comenten con su maestro. 3. En equipos, resuelvan el problema siguiente.
Número
Fátima tiene un pasatiempo: le gusta analizar números y determinar cuáles son sus divisores. Ella sabe que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.
240
Ayúdale a completar la tabla.
47
Divisible entre… 1, 2, 3, 4, 5, 6,
43 246
¿Entre qué números fue divisible el 43? ¿y el 47? Esta fue la forma en que Jorge analizó los números 43 y 47.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, escriban qué tipos de números son los siguientes:
No son divisibles entre 2 porque no terminan en número par. No son divisibles entre 3 porque sus dígitos no suman un múltiplo de 3. No son divisibles entre 5 porque no terminan en 0 o en 5. No son divisibles entre 7 porque al duplicar el dígito de las unidades y restarlo a lo demás no da un múltiplo de 7. ¡No son divisibles entre esos números! ¿Qué opinan del análisis que hizo Jorge?
85
B2 En su cuaderno dividan los números 43 y 47 entre sí mismos y comenten lo que sucede. ¿Pudieron dividirse entre sí mismos?
¿Qué cociente obtuvieron?
Ahora dividan entre 1 los números señalados.
¿Qué pueden concluir?
Hay números que sólo tienen dos divisores diferentes: ellos mismos y la unidad. Los números que sólo tienen dos divisores diferentes se llaman números primos.
De acuerdo con la definición anterior, ¿el número 1 es un número primo?
1 13 , 13 13 ; 1 43 , 43 43 ; 1 47 , 47 47
4. En equipos, realicen la actividad siguiente. La criba de Eratóstenes Eratóstenes (276-194 a.n.e.) fue un matemático griego que ideó una forma para reconocer cuáles números son primos. Háganla ustedes también.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
•• En la siguiente tabla tachen el 1 porque no es número primo.
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
•• Encierren con un círculo el 2 y tachen todos sus múltiplos (4, 6, 8, etcétera).
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
86
•• Encierren con otro círculo el siguiente número que no esté tachado, en este caso el 3, y tachen todos sus múltiplos (6, 9, 12, etcétera). •• Encierren con un nuevo círculo el siguiente número que no esté tachado, ahora sería el 5, y tachen todos sus múltiplos (5, 10, 15, etcétera). •• Encierren con un círculo el siguiente número que no esté tachado, que será el 7, y tachen todos sus múltiplos. •• Busquen el siguiente número sin tachar y enciérrenlo en un círculo. Después tachen todos sus múltiplos. •• Continúen así hasta que todos los números estén tachados o encerrados.
Versión de evaluación 23/04/12
¿Qué cociente obtuvieron?
S10 Los números encerrados en círculo, es decir, los que quedaron sin tachar, son los números primos menores de 100. Escríbanlos a continuación.
Escriban con sus propias palabras lo que entienden por número compuesto.
Comparen su texto con el de otros equipos, y si tienen alguna duda coméntenla con el maestro.
Consulta en… Entra a los sitios: <http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/primos.htm> y <http://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0898/recursos/sabiasque.htm>, donde encontrarás otros aspectos interesantes de los números primos.
Autoevaluación Responde lo siguiente. • Determina entre qué números primos son divisibles los siguientes números: 210, 105, 77, 184, 91.
Versión de evaluación 23/04/12
Todos los números que fueron tachados, a partir del 4 reciben el nombre de números compuestos.
87
11 cia
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Sesión 44
En esta sesión resolverás problemas efectuando el cálculo del máximo común divisor.
¿Qué sabes tú? 1. Reúnete con un compañero para resolver el problema siguiente. Se inscribieron 240 personas en un curso de idiomas. Todas deben pertenecer a algún grupo. Si se forman grupos con el mismo número de integrantes, cuántas personas habrá en cada uno si se tienen: Cinco grupos Seis grupos Ocho grupos Doce grupos
¿Qué hicieron para saber cuántas personas correspondían a cada grupo?
Comprueben si 240 tiene como divisores a 5, 6, 8 y 12.
88
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
MCD y mcm
Manos a la obra En la tabla se muestran los participantes que se han inscrito para las distintas disciplinas de las pruebas de atletismo. Disciplina
Número de participantes
Carreras
60
Salto
48
Lanzamientos
30
Marcha
120
a) Se trata de formar equipos de manera que haya el mismo número de participantes de cada disciplina. ¿Cuál es el mayor número de equipos que se pueden crear? ¿Cuántos integrantes de cada prueba habrá por equipo? b) Diana dice que para contestar las preguntas la operación que se necesita emplear es la división. ¿Tiene razón?
¿Qué números son los que hay que dividir? ¿Entre qué número habría que dividir?
c) Pedro dice que hay que multiplicar. ¿Tiene razón?
¿Qué números son los que ¿Por qué número habría que mul-
hay que multiplicar? tiplicar?
d) Escriban en la tabla todos los divisores que tiene cada número Número
Divisores
60 48 30
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, resuelvan los problemas siguientes.
120 ¿Cuáles divisores son comunes a todos los números? e) Comenten lo siguiente. De los divisores comunes, ¿cuál es el mayor? ¿Cómo se relaciona este número con la solución del problema? 89
B2 2. En equipos, resuelvan el problema siguiente. El máximo común divisor (mcd) de varios números corresponde al divisor que es común para todos los números dados y además es el mayor. Por ejemplo: El mcd de los números 132
Números
120
¿Cuál es el número máximo de bolsas que
144 Divisores
puede llenar sin que le sobren o le falten galletas?
¿Cuántas galletas
108
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108
132
1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132
de cada sabor deberá poner en cada bol-
120
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
sa?
144
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144
Los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y el mayor es el 12. Por lo tanto, el mcd de 108, 132, 120 y 144 es 12, esto quiere decir que el número 12 es el número mayor que puede dividir exactamente a todos los números mencionados.
Sesión 45
Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que justifiquen su respuesta y analicen cuál consideran que es el procedimiento correcto.
En esta sesión resolverás problemas encontrando el mínimo común múltiplo.
Manos a la obra 1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes. a) Rosa, Raúl y Rita juegan a la pulga y las trampas en una tira que llega hasta el 50. Rosa dice que su pulga saltará de 3 en 3 empezando en el 1, Raúl dice que su pulga saltará de 5 en 5 empezando en el 2, Rita podrá poner 2 trampas. ¿Los podrá atrapar con las dos trampas o necesitará más? ¿Podría atraparlos con una trampa o necesitará las dos? Escriban los números por los que pasará la pulga de cada uno. Rosa: Raúl: ¿En qué números le conviene a Rita poner sus trampas para atrapar a sus compañeros? Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, y en caso de duda pidan que justifiquen sus respuestas.
90
Versión de evaluación 23/04/12
108
Edna horneó galletas de diferentes sabores: nuez, 216 piezas; vainilla, 264; chocolate, 240; fresa, 288, y con azúcar, 144. Quiere empacarlas en bolsas distribuidas equitativamente.
S11 b) Luis, Leti, Luci y Lalo juegan a la pulga y las trampas en una tira que llega hasta el 100. Todos iniciarán en el cero. Luis saltará de 4 en 4, Leti de 6 en 6, Luci de 3 en 3, y Lalo solamente tendrá oportunidad de colocar una trampa. ¿Bastará una trampa para atraparlos a todos?
Si quiere atraparlos a todos lo antes posible, ¿en qué casilla deberá poner la trampa? Escriban los números por los que pasará la pulga de cada uno. Luis: Leti: Luci: Observen los números por los que pasarán las pulgas y contesten: ¿Cuáles son los números comunes a todos? ¿Cuál es el número menor por el que pasarán todas las pulgas? ¿En qué número le conviene a Lalo poner la trampa? Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que las justifiquen.
El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números corresponde al múltiplo positivo que es común para todos los números dados y además es el menor. Por ejemplo: El mcm de los números 18
12
10
Números
Versión de evaluación 23/04/12
¿En dónde le conviene a Lalo colocar la trampa para atrapar al mayor número de compañeros?
Divisores
18
36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234,…
12
24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204,…
10
20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180,…
El primer múltiplo común es 180. Por lo tanto, el mcm de 18, 12 y 10 es 180. Esto quiere decir que el número 180 es el menor múltiplo común y que puede ser dividido exactamente entre todos los números mencionados.
91
B2 Sesión 46
En esta sesión resolverás problemas realizando el cálculo del máximo común divisor o del mínimo común múltiplo.
1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes. a) Carlos tiene los dulces que se enlistan a continuación: 40 higos, 56 alegrías, 48 pepitorias y 24 calabazas. Los quiere empacar en cajas para su venta, de tal forma que use el mayor número de cajas y que en cada una haya la misma cantidad de cada tipo de dulces. ¿Cuántas cajas usará y cuántos dulces de cada tipo habrá en cada una?
parada
b) Para cubrir una ruta de 60 cuadras hay tres líneas de autobuses que suben o bajan pasaje al final de las cuadras de la siguiente forma: la línea verde hace parada cada 3 cuadras; la azul, cada 4 cuadras, y la rápida solamente se detiene cada 6 cuadras. Si Enrique vive en la esquina del final de la cuadra 7 y quiere caminar hasta la calle más próxima en la que hagan parada las tres líneas, para que pueda
parada
tomar cualquiera de ellas, ¿cuál es la cuadra a la que debe caminar? Mónica vive en la esquina del principio de la calle 15 y quiere caminar a su casa desde cualquier cuadra en la que pare una de las líneas. ¿Cuál parada le queda más cerca?
¿De qué línea de autobús es?
Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que las justifiquen.
Avenida Central
Autoevaluación Responde en tu cuaderno lo siguiente. • Escribe una forma de calcular el mínimo común múltiplo de varios números. • Escribe una forma de calcular el máximo común divisor de varios números. • Usando los números 18, 12 y 36, inventa dos problemas, uno que involucre el cálculo del mínimo común múltiplo y otro que requiera el cálculo del máximo común divisor.
92
Versión de evaluación 23/04/12
parada
Enrique
Manos a la obra
12 cia
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
En esta sesión resolverás problemas utilizando la equivalencia entre fracciones.
¿Qué sabes tú? Trabajen en parejas para resolver la siguiente actividad. Al comienzo del año, doce personas participan en una tanda, que es una modalidad de ahorro en la que todos aportan al mes la misma cantidad de dinero, la cual se entrega en su totalidad en cada ocasión a una persona diferente. En el mes de agosto un integrante salió de viaje y otro tuvo un accidente, lo que les impidió hacer su aportación. ¿Qué fracción de la tanda recibió la persona en turno?
Manos a la obra 1. Resuelve los problemas siguientes. a) Hoy en la mañana Luis Adrián tomó medio litro de leche antes de ir a la escuela. Por la tarde, al regresar a su casa, tomó otro vaso de leche, equivalente a un cuarto de litro, y finalmente, antes de irse a dormir bebió leche en un vaso con capacidad de tres cuartos de litro. Si consideramos que un vaso equivale a un cuarto de litro, ¿cuántos vasos de leche tomó el día de hoy Luis Adrián? b) El señor López utiliza la tercera parte de su día de trabajo en contestar llamadas; asimismo, durante la mitad de la jornada laboral se encuentra en juntas con clientes. El tiempo restante lo considera como su momento productivo. Conforme a la percepción del señor López, ¿a cuántos momentos productivos es equivalente el tiempo destinado a atender llamadas y a estar en juntas con clientes?
Comenta tus resultados con el grupo.
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Sumas con fracciones y decimales
Sesión 47
Cuando dos o más fracciones representan la misma cantidad, entonces son equivalentes; es decir, 1 = 2 . 2 4 93
B2 Sesión 48
En esta sesión resolverás problemas que implican el empleo de fracciones.
Manos a la obra En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
en lo que quieran durante la semana. Pasados tres días los niños deciden juntar la cantidad de dinero con que cuentan en ese momento porque quieren comprar un juguete que vale 1 1 veces lo que recibió alguno de ellos. Si al primero le queda la mitad de lo que recibió, 3 al segundo 2 y al tercero 7 , ¿será posible que les alcance el total de su dinero para com8 6 prar el juguete que quieren? b) La señora Tina decidió hacer la dieta de la luna para bajar de peso. Al terminarla pesaba 9 de lo que tenía al comienzo de su dieta, sin embargo, debido a que tuvo una descom10 pensación estuvo en el hospital una semana. Al salir pesaba 1 menos que cuando inició la 8 dieta. ¿Qué fracción de peso perdió en total la señora Tina?
Para sumar o restar dos o más fracciones que tienen diferente denominador se deben obtener fracciones equivalentes con denominador común.
Un denominador común es cualquier múltiplo común de los denominadores de las fracciones, así que por conveniencia utilizaremos el mínimo común múltiplo. Por ejemplo, en el caso de 3 + 5 − 1 el mínimo común múltiplo de los denominadores es 6, de forma que las fracciones 2 3 6 18 equivalentes son 9 , 10 y 1 , siendo el resultado de la operación 6 = 3. 6 6 6
94
Versión de evaluación 23/04/12
a) Tres hermanos reciben cada uno de sus papás la misma cantidad de dinero para utilizarla
S12 Sesión 49
En esta sesión compararás fracciones.
Manos a la obra a) En el siguiente cuadro se muestra la fracción que representan los maestros de secundaria con respecto al número de alumnos de ese nivel en siete países. Esto es, la tabla nos dice cuántos maestros hay por número de alumnos. País Argentina
Maestros por número de alumnos 3 50
Brasil
3 50
Chile
1 25
Corea
1 20
España
2 25
Estados Unidos
7 100
México
1 20
Fuente: Elaboración propia con base en información del INEE. Panorama educativo de México 2009, p. 40.
¿Qué países superan a México en mayor número de maestros por número de alumnos? ¿Por cuánto más? ¿Qué país es el que tiene mayor número de maestros por número de alumnos? b) La familia Pérez fue a Acapulco, realizando el trayecto en un tiempo de 6 1 horas. Estando 8 allí se encontraron a la familia López, quienes llegaron por otro camino, empleando un tiempo de 3 2 horas. 3 ¿Cuánto tiempo se hubiera ahorrado la familia Pérez de haber tomado el mismo camino que
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
la familia López? Para hacer una suma o una resta de números mixtos se acostumbra convertirlos a fracciones impropias. Luego, las fracciones impropias se transforman en fracciones equivalentes con denominador común para poder efectuar la operación.
95
B2 Sesión 50
En esta sesión verás cómo se trabaja con números decimales en ciertas actividades cotidianas.
Manos a la obra Los precios de algunos productos que se venden en la papelería “La Goma” son los siguientes: Producto Lápiz de 2 1 2 Cuaderno profesional
Precio $ 3.00 $ 17.80
Goma
$ 6.20
Bolígrafo
$ 4.20
Fotocopia
$ 0.60
Fólder
$ 1.50
Encuentren el costo de: Diez copias, un fólder y un bolígrafo 1 Un cuaderno profesional, lápiz de 2 2 y una goma 80 copias, dos fólderes y tres cuadernos Si una persona que va a “La Goma” tiene destinado pagar $100.00, ¿qué podría comprar? Escriban una opción.
Para realizar la adición o la sustracción con números decimales se escriben los números en forma vertical, de manera tal que las cifras queden alineadas a partir del punto decimal, esto permite sumar décimos con décimos, centésimos con centésimos, y así sucesivamente. Ejemplo:
96
9.05 + 12.50 25.00 46.55
Versión de evaluación 23/04/12
Trabajen en equipos la actividad siguiente.
S12 En esta sesión resolverás problemas utilizando tanto fracciones como decimales.
Sesión 51
Manos a la obra a) En un grupo de secundaria la mitad de los hombres está en el taller de electrónica, mientras que la tercera parte de las mujeres cursa el de computación, ¿cuál es la diferencia entre la fracción de hombres que estudian electrónica y la de mujeres que cursan computación? 1 b) Una persona tiene que trabajar 40 horas a la semana. Si el lunes laboró 7 4 h, el mar1 2 5 tes 9 2 h, el miércoles 10 3 h, y el jueves 6 6 h, ¿cuánto tiempo tendrá que laborar el viernes? c) En una tlapalería, el señor Robles pagó por un kilogramo de cemento la cantidad de $35.60, y por dos kilogramos de estopa, $15.06. Al pagar con un billete de $200, el encargado le dice que no cuenta con centavos, por lo que el señor Robles acepta que no le dé los centavos de cambio. ¿Cuánto recibió de cambio? d) En el refrigerador de la casa de Juan hay un recipiente con 3.5 litros de leche; si él toma 1 4 L de leche por día, ¿para cuántos días le alcanza la leche que hay?
e) En un frutero hay 2 1 kg de fruta; si hay 0.125 kg de melón, 1 kg de manzana y medio 2 4 kilogramo de sandía, ¿qué cantidad de kilogramos hay de otras frutas?
Autoevaluación Responde lo siguiente. • ¿Cómo resolverías la siguiente operación?
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
3 2 5 + 7 10 + 0.85 • ¿Cuál es el resultado expresado en fracción? • ¿Cuál es el resultado expresado con número decimal?
97
13 cia
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y la división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
Sesión 52
En esta sesión resolverás problemas cotidianos empleando la multiplicación y la división de fracciones.
¿Qué sabes tú? 1. Contesta lo siguiente. Óscar compra 1 kg de carne, 3 kg de cebolla, 3 kg de tortillas, 1 1 kg de jitomate y 4 4 2 2 verdura que pesó 2 1 kg, y todo lo pone en una bolsa, ¿cuánto peso lleva la bolsa? 2 Si su hermana le ayuda con la verdura y la carne, ¿cuánto peso lleva cada uno?
98
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Multiplicación y división con fracciones
Manos a la obra 1. En parejas, completen la tabla y contesten las preguntas.
Cantidad de kilogramos
Mercancías
Precios por kilogramo
Cebollas
3
$6
Azúcar
1 1 2
$18
Carne
3 4
$80
Huevo
1 4
$24
Cantidad de dinero a pagar
¿Por cuál de las cuatro mercancías pagó más? ¿Cuánto pagó en total? Si compran tres veces esa cantidad de cebollas, ¿cuánto deben pagar? ¿Cuánto cuesta 1 kg de azúcar? 2 Si compran 2 kg de carne, ¿cuánto deben pagar? ¿Y si compran 1 kg de huevo? 2 ¿Cómo calculan cuánto pagó esa persona por la carne?
Si por 1 de kg de huevo paga 6 pesos, ¿cuánto dinero pagará por 3 kg? 4 4 2. Resuelve el problema siguiente.
Versión de evaluación 23/04/12
Una persona compró en el mercado las siguientes mercancías para su despensa.
El señor Pedro compró una pieza de 15 m de tela. Va a utilizar 4 1 m para hacer sus pan2 talones. El resto de la tela lo va a repartir en partes iguales a sus tres hijos. ¿Cuántos metros de tela le corresponden a cada hijo? Pedro va a confeccionar dos pantalones con la tela que tiene, ¿cuántos metros utilizará para cada pantalón? Analiza con un compañero la estrategia seguida para resolver los problemas anteriores. 99
B2 Sesión 53
En esta sesión seguirás aplicando la multiplicación y la división de fracciones en diferentes contextos, ahora las estudiarás para calcular áreas.
Manos a la obra ¿Cuánto tendrá de área un espejo rectangular que mide 2 m de alto y 5 m de largo?
alto
largo
2. En parejas, realicen la actividad siguiente y anoten los resultados en su cuaderno. Una persona necesita comprar tres hojas de triplay con las siguientes medidas: Hoja 1: 1 m × 1 m 3 6
Hoja 2: 1 1 m × 3 m 2 5
Hoja 3: 5 m × 3 m 6
La hoja de triplay que mide 6.10 m × 1.83 m vale $250.00. Calculen el área y el costo de las hojas 1, 2 y 3. Describan brevemente el método que siguieron para calcular el costo de las hojas. Si se necesita una hoja de triplay que mida 3 m de largo y 1 m de ancho, ¿cuánto medirá 4 su área?, ¿y cuál será su costo? Comparen sus respuestas y los procedimientos que emplearon con los de otras parejas. 3. Contesta lo siguiente. Don José tiene una parcela de forma cuadrada. Si aró las 3 partes de su parcela y sembró 4 2 partes de la parte arada, ¿qué parte de la parcela sembró? 3 En la parte de la parcela que está sin arar construyó un corral que ocupa la mitad de ésta. ¿Qué parte de la parcela ocupa el corral? Si el terreno mide de largo 1 de kilómetro, ¿cuál es el área en metros cuadrados de la 5 parcela de don José? 4. Comenten en grupo cómo se obtiene el producto y el cociente de dos fracciones. 100
Versión de evaluación 23/04/12
1. Contesta lo siguiente.
S13 En esta sesión resolverás problemas de multiplicación de fracciones.
Sesión 54
Manos a la obra En el museo Universum de la unam, en la ciudad de México, se tienen simuladores en los que se representa la fuerza de gravedad de los planetas de nuestro sistema solar. La fuerza de gravedad en la Tierra es 5 veces la fuerza en Neptuno. Esto significa que en Nep6 5 tuno una persona saltaría veces menos alto de lo que salta en la Tierra, y que su peso sería 6 6 veces mayor. 5 Si en la Tierra el récord de salto de altura es cercano a 2.5 m, ¿cuál sería la altura de este récord en Neptuno? Una persona que pesa 80 kg en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Neptuno? 1. En equipos, completen la tabla siguiente. Integrantes del equipo
Peso en la Tierra (en kg)
Peso en la Luna ( 1 del peso en la Tierra) 6
Peso en Marte ( 2 del peso en la Tierra) 5
Peso en Neptuno
Cuando se multiplica cualquier número por una fracción menor que 1, el producto es menor que ese número, porque se toma sólo una parte de él:
Versión de evaluación 23/04/12
Los planetas atraen a los objetos con distinta intensidad.
5 × 9 = 45 = 7 3 = 7 1 ; 7 1 es menor que 9; 6 6 2 2 6 5 × 1 = 5 ; 5 es menor que 1 . 2 6 2 12 12 Y cuando se multiplica cualquier número por una fracción mayor que 1, el producto es mayor que ese número, porque se toma más de una vez: 5 × 4 = 20 = 10; 10 es mayor que 4; 2 2 5 × 2 = 10 ; 10 es mayor que 2 . 2 3 6 6 3
101
B2 Consulta en…
2. Contesta lo siguiente. La fracción recíproca o inversa de una fracción es otra fracción que se obtiene al invertir sus términos. Por ejemplo: de 2 su recíproca o inversa es 3 . 3 2
Entra al sitio <http://www.universum.unam.mx/> y analiza la información que contiene acerca de los planetas y la fuerza de gravedad.
recíproca?
Sesión 55
En esta sesión resolverás problemas de división de fracciones en distintos contextos.
Manos a la obra 1. Resuelve el problema siguiente. Si en una papelería tienen un rollo de hule para forrar de 12 m y necesitan cortar trozos de 2 m cada uno, ¿cuántos trozos se obtienen? 3 Si el rollo tuviera 15 1 m y necesitaran cortar trozos de 1 m cada uno, ¿cuántos trozos 2 4 se obtendrían? 2. En equipos, realicen las siguientes actividades. La siguiente figura representa un rollo de hule de 12 m de largo. Marquen la medida del largo de los trozos ( 2 m) tantas veces como se pueda a lo 3 largo del hule. ¿Cuántos trozos obtuvieron?
1m
102
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
Versión de evaluación 23/04/12
¿Cuál será el resultado de multiplicar una fracción por su
S13
Cantidad de hule disponible
12 m
12 m
12 m
12 m
12 m
12 m
12 m
Medida del largo de los trozos
12 m
6m
3m
11 m 4
13 m 4
1m 6
1m 8
Número de trozos que se obtienen Si el rollo de hule mide 12 m y cortan trozos de 1 de m, ¿cuántos trozos se obtienen? 3 Escriban la división que corresponde a cada situación: Si el rollo de hule mide 15 1 m y cortan trozos de 1 m, ¿cuántos trozos se obtienen? 2 6 Escriban la división que modela esta situación: ÷
=
Si tienen 10 trozos de 1 m y los unen, ¿cuántos metros de hule tienen en total? 2
Dividir un entero entre una fracción es equivalente a multiplicar el entero por el recíproco de la fracción. Por ejemplo: 12 ÷ 3 = 12 × 4 12 ÷ 1 = 12 × 2
4 = 12 × 4 = 48 = 16 3 1 3 3 2 = 12× 2 = 24 = 24 1 1 1 1
Dividir cualquier fracción (dividendo) entre otra (divisor) es equivalente a multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Versión de evaluación 23/04/12
Completen la siguiente tabla.
Por ejemplo: 9 ÷ 3 = 9 × 4 = 36 = 12 5 4 5 3 15 5
103
B2 Sesión 56
En esta sesión estudiarás problemas de multiplicación y división de fracciones en diversos contextos.
Manos a la obra a) En una planta lechera se tienen distintas presentaciones de un mismo producto. Un tanque de leche deslactosada tiene 36 000 L, con los que se llenarán 20 000 garrafones, sin que sobre leche.
¿De qué capacidad deben ser los garrafones?
¿Qué operación realizaron para encontrar la respuesta?
b) Se van a repartir 6 3 L de leche light en 27 envases. Se quiere que en cada envase haya 4 la misma cantidad de líquido y que no sobre.
Encierra la operación que resuelve correctamente el problema.
6 3 ÷ 27 4
27 ÷ 6 3 4 27 × 18 4 4
6 3 × 27 4
¿Qué cantidad de leche quedará en cada envase?
2. En parejas, analicen las siguientes divisiones y, sin resolverlas, escriban frente a cada una: cociente entero, resultado menor que el dividendo o resultado mayor que el dividendo, según sea el caso. Resuelvan las operaciones en su cuaderno y corroboren sus cálculos.
104
3 ÷ 2 = 4
2 1 ÷ 3= 3
5 3 ÷ 3 2 = 3 4
2÷3= 7 5
4 ÷ 3 = 7 4
24 ÷ 14 = 3 7
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve los problemas siguientes.
S13 3. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
b) El rendimiento de gasolina de un automóvil A es de 11 1 km/L, y el del automóvil B es 2 de 15 1 km/L. Si con el tanque lleno el automóvil A recorre 690 km, ¿cuál es la capa4 cidad del tanque A? ¿Cuánto recorre el automóvil B con la misma cantidad de gasolina? Comparen sus procedimientos con los de otras parejas.
Autoevaluación Responde en tu cuaderno lo siguiente. En una escuela presentaron examen 240 alumnos. 1. Si 3 de los alumnos que aprobaron son mujeres, ¿cuántas mujeres aprobaron? 6 a) 82 b) 104 c) 98 d) 72 2. Del total de alumnos que presentaron el examen, 5 están en primer grado, y de éstos, 12 4 lo aprobaron. ¿Cuántos alumnos de primer grado aprobaron? 5 a) 80 b) 65 c) 102 d) 78
Versión de evaluación 23/04/12
a) Se tienen 9 litros de miel y se van a envasar en botellas de 3 , ¿cuántas botellas se 4 llenarán?
105
14 cia
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.
Sesión 57
En esta sesión conocerás las aplicaciones que tienen las diferentes propiedades de la mediatriz de un segmento.
¿Qué sabes tú? En temas del bloque anterior viste el trazo de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo. Algunos problemas y situaciones generales en geometría implican el conocimiento y análisis de las propiedades de dichos lugares geométricos. El maestro de Matemáticas de 1°B ha organizado un concurso de construcción de papalotes entre sus alumnos, con la condición de que los papalotes sean diseñados con figuras geométricas y que contengan representaciones de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo. El papalote ganador será premiado. Chucho y su amigo entraron al concurso e investigaron algunos esquemas de figuras que cumplen con las condiciones solicitadas. ¿Qué necesitan saber Chucho y su amigo acerca de la mediatriz y la bisectriz para armar el papalote y ganar el concurso? Dibuja algunas figuras geométricas que conozcas, con las condiciones que puso el profesor.
106
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Propiedades de la mediatriz y la bisectriz
Manos a la obra En un concurso de tiro con arco se colocan cinco blancos frente al tirador en turno; a éste se le indica que debe situarse en el centro de la línea de tiro y desde ahí efectuar sus disparos. Localiza el punto P sobre la línea de tiro desde donde su disparo al punto C sea una perpendicular. Dibuja ahora los segmentos que parten del centro de la línea de tiro hacia cada uno de los blancos marcados con las letras A, B, D y E.
E D C B A
¿Cuántos pares de segmentos iguales hay y cuáles son?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, analicen el siguiente problema y contesten.
Si acercamos la línea de tiro, ¿cuántos pares de segmentos iguales quedan? En caso de que se decida alejar la línea de tiro, ¿cuántos pares de segmentos iguales quedan? ¿Cuál es el segmento que tiene diferente medida que los demás? ¿Qué lugar geométrico representa dicho segmento si pasa por el punto medio de la línea de blancos? 107
B2 Sesión 58
En esta sesión definiremos las propiedades de la mediatriz que nos ayuden a resolver ciertas situaciones de la vida cotidiana.
Manos a la obra
Alto
Al padre de Pepe, que es herrero, le solicitaron una puerta que tenga un diseño como el que se muestra en la siguiente figura: Largo
Por la carga de trabajo, el papá le encargó a Pepe que realizara los cortes para la construcción de la puerta, considerando su diseño y el ahorro de material. Reúnanse en equipos y contesten las siguientes preguntas para ayudar a Pepe con el trabajo. Pueden hacer trazos en su cuaderno para explicar sus procedimientos. •• ¿Cómo son entre sí las varillas que forman el contorno de cada figura?
•• Si se pretende utilizar dos varillas para el centro de cada figura, ¿cuántas se necesitan para armar la secuencia? •• ¿Qué condición deben cumplir las dos varillas centrales para que la figura se arme correctamente? •• Observa la secuencia de figuras, ¿cuántas mediatrices encuentras?
¿Cuál es la propiedad de la mediatriz que se usa en el armado del centro de cada rombo?
¿Cuál es la propiedad de la mediatriz que se usa en el armado del contorno de cada figura?
En equipos, y con ayuda de su profesor, concluyan qué tipo de propiedades de la mediatriz y su correcto trazo hemos analizado, y que podrían ayudar al padre de Pepe a entregar un mejor diseño en su trabajo. La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio. La mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia de cualquier punto de esa recta a cada uno de los dos extremos del segmento al que divide es la misma. 108
Para finalizar, tracen en su cuaderno un diseño parecido al que debe entregar el padre de Pepe con las medidas que ustedes determinen, y marquen con color rojo la distancia de la mediatriz a los extremos del segmento que divide y con color azul el ángulo recto que forma la mediatriz con el segmento que divide.
Versión de evaluación 23/04/12
1. Lee la información siguiente y contesta.
S14 En esta sesión resolverás algunos problemas usando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.
Sesión 59
Manos a la obra El maestro de Matemáticas del 1ºC propuso al grupo construir relojes de manecillas para analizar las propiedades de la bisectriz de un ángulo , y luego procedió a plantear lo siguiente: ¿Qué hora exacta será cuando el minutero esté en las doce, el horario en las cuatro y el segundero sea la bisectriz que forman las dos anteriores?
¿Qué tuvieron que hacer para encontrar la respuesta más adecuada?
¿Cómo es la distancia que hay entre cada manecilla a esa hora?
2. Realiza lo que se indica. Traza en tu cuaderno tres círculos de 5 cm de radio, marca la división de las horas como si fuera un reloj de manecillas y determina tres ángulos con sus bisectrices, como se hizo en la actividad anterior. Compara tus trazos con los de tus compañeros.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, analicen el siguiente problema y contesten.
109
B2 Sesión 60
En esta sesión continuarás aplicando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.
Manos a la obra En la figura de la derecha podemos observar un triángulo rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vértice B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué puntos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre el puente?
B c
A ¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para colocar las tres cuerdas?
a
b
C
Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de este punto a los lados del ángulo. Mídelas. ¿Qué observas?
¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma distancia uno del otro?
¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?
En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las propiedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y trazo de esta situación. Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tamaños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen con color rojo las partes en las que se observen las propiedades de dicho lugar geométrico.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales. También es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas de un ángulo. Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres ángulos internos es también la mediatriz de los lados opuestos.
Un dato interesante… Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que esto es imposible. 110
Versión de evaluación 23/04/12
1. Formen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.
S14 En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.
Sesión 61
Manos a la obra a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.
P
b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con un color los que, además de ser ejes de simetría, también sean mediatrices de algún lado de las figuras, y con otro color los que sean bisectrices de algún ángulo de las figuras.
c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del siguiente triángulo (pista: recuerda que cualquier punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de los dos lados que lo forman).
Consulta en… Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
Q
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve lo siguiente.
Autoevaluación Traza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad. Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con color rojo las distancias de los puntos a los lados del ángulo. Define la propiedad.
111
15 cia
Justificación de las fórmulas del perímetro y del área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
Sesión 62
En esta sesión trabajarás con los perímetros y las áreas de triángulos y rectángulos.
¿Qué sabes tú? Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras. Triángulo Cuadrado
4 cm
3 cm
3 cm
Hexágono Rectángulo
3 cm
4 cm
2 cm
Compara tus respuestas con las de otro compañero, y comenten los métodos utilizados para obtenerlas.
112
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Fórmulas para calcular el área y el perímetro
Manos a la obra a) Dibuja y recorta dos triángulos rectángulos cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente (igual al de la figura anterior). Luego pégalos sobre el rectángulo de la figura anterior. ¿Cuál es la relación entre el área del rectángulo y la de cada uno de los triángulos?
¿Qué puedes decir del perímetro del rectángulo y de los triángulos?
b) Ahora dibuja en tu cuaderno un triángulo, con las medidas que desees. Haz dos copias de tu triángulo y recórtalas. Recorta cada uno de estos triángulos en dos partes por la altura del lado más largo. Con las cuatro piezas obtenidas forma dos rectángulos. Describe cómo los acomodaste.
a h
c h
h
b Pega los rectángulos en tu cuaderno, a un lado del triángulo original. ¿Qué tienen en común estos rectángulos?
Versión de evaluación 23/04/12
Realiza las siguientes actividades.
¿Qué relación hay entre el área de tu triángulo original y la suma de las áreas de los rectángulos obtenidos?
c) Compara y comenta tus respuestas con las de otro compañero.
113
B2 Sesión 63
En esta sesión trabajarás con las áreas de rombos, romboides y trapecios.
Manos a la obra Realiza las actividades siguientes.
Dibuja en ambos rombos su diagonal mayor y su diagonal menor. Ahora recorta la copia a través de sus diagonales para que obtengas cuatro triángulos. Utiliza los triángulos para formar un rectángulo, y pégalo a un lado del rombo original.
¿Qué relación tienen las medidas de las diagonales del rombo con los lados del rectángulo formado?
¿Cuál es la relación entre el área del rombo y la del rectángulo?
2. Dibuja un romboide en tu cuaderno. Haz una copia del romboide y recórtala. Recorta la copia en dos partes, de modo que con éstas formes un rectángulo. Pega el rectángulo formado a un lado del romboide original.
¿Qué relación tienen las medidas del romboide y las del rectángulo?
¿Cuál es la relación entre sus respectivas áreas?
114
Versión de evaluación 23/04/12
1. Dibuja en tu cuaderno un rombo del tamaño que desees. Después haz una copia del rombo y recórtala.
S15 3. Dibuja en tu cuaderno un trapecio. Haz dos copias del trapecio y recórtalas.
¿Qué relación hay entre las medidas del trapecio y las del romboide? ¿Qué relación hay entre las áreas respectivas? Compara y comenta tus resultados con los de otro compañero.
En la siguiente tabla se anotan las fórmulas para calcular el área del rombo, el romboide y el trapecio. Área Rombo D
d
(diagonal mayor × diagonal menor) 2
Romboide h
base × altura b b
Trapecio
Versión de evaluación 23/04/12
Con las dos copias recortadas forma un romboide y pégalo a un lado del trapecio original.
(base mayor + base menor) × altura
h
2 B
Los ejercicios realizados en esta sesión justifican estas fórmulas. Comenten en grupo sus análisis y con ayuda del profesor establezcan una conclusión. 115
B2 Sesión 64
En esta sesión trabajarás con las áreas de polígonos regulares.
Manos a la obra 1. Realiza las actividades siguientes. Utiliza los triángulos para cubrir el hexágono que aparece al principio de esta secuencia (pág. 112). ¿Qué relación hay entre el área del hexágono y la de uno de los triángulos?
¿Cómo calculas el perímetro del hexágono?
El centro de un polígono regular es el punto que equidista de cada uno de sus vértices; por lo tanto, el centro del polígono es el centro de la circunferencia que circunscribe al polígono.
b) Dibuja un pentágono regular en tu cuaderno y ubica su centro. Une cada uno de los vértices del pentágono con el centro mediante una línea recta. ¿En cuántos triángulos queda dividido el pentágono? ¿Qué tienen en común los triángulos? ¿Qué relación hay entre el área del pentágono y la de los triángulos?
Cualquier polígono regular se puede dividir en tantos triángulos como lados tenga, uniendo cada vértice del polígono con su centro. La altura de los triángulos que va de un lado del polígono al centro se llama apotema.
2. En parejas, comenten lo siguiente. ¿Es posible hacer algo similar a lo realizado en el ejercicio anterior con un polígono regular de más de seis lados? ¿Y con un polígono regular de menos de cinco lados?
116
Versión de evaluación 23/04/12
a) Dibuja y recorta seis triángulos equiláteros con lados de 2 cm.
S15 Sesión 65
En esta sesión continuarás trabajando las áreas de polígonos regulares.
Manos a la obra 1. Realiza la siguiente actividad.
Área =
perímetro × apotema 2
a) ¿Cómo calculas su perímetro? Da una fórmula. b) Justifica la fórmula del área de un polígono regular. 2. Calcula el área de la siguiente figura.
Compara y comenta tus resultados con los de otro compañero.
Autoevaluación Completa la siguiente tabla con las fórmulas para calcular las áreas y los perímetros que se piden. Perímetro
Versión de evaluación 23/04/12
Dado un polígono regular de n lados, se puede calcular su área mediante la siguiente fórmula:
Área
Triángulo Rombo Romboide Polígono regular de n lados
117
16 cia
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
Sesión 66
En esta sesión comenzarás a utilizar las nociones de proporcionalidad.
¿Qué sabes tú? Para el cumpleaños de Mario se esperan veinte invitados. A cada uno le darán dos tamales oaxaqueños preparados con la receta de la abuelita Carlota.
Tamales oaxaqueños (para 10 porciones)
4 hojas de plátano grandes lavadas y hechas rollo 1 Pollo mediano 1 4 1 2
kg de pierna de puerco kg de mole negro
¿Para cuántos tamales es la receta? ¿Cuántos tamales necesitan preparar? Escribe a continuación las cantidades adecuadas para preparar los tamales que se necesitan. Tamales oaxaqueños (40 porciones) hojas de plátano grandes lavadas y hechas rollo
250 g de manteca de cerdo 1 kg de masa blanca para tortillas Cebolla, ajo y sal al gusto
pollo mediano kg de pierna de puerco kg de mole negro g de manteca de cerdo kg de masa blanca para tortillas Cebolla, ajo y sal al gusto
Si disminuimos la cantidad de porciones, ¿qué sucederá con la cantidad de hojas de plátano que se requiere? Si aumentan las porciones, ¿qué sucederá con la cantidad de manteca de cerdo que se requiere?
118
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Proporcionalidad directa
1. Con la información de la receta de la abuelita Carlota resuelve el siguiente problema. Como gustaron tanto los tamales oaxaqueños, la mamá de Mario decidió abrir su propio negocio de tamales. Mario desea elaborar una tabla para ayudarle a calcular la cantidad de ingredientes que requiere, de acuerdo con el número de porciones que va a preparar. Ayúdale a completarla. Ingredientes (en kg)
Números de Porciones 4
10
15
Masa blanca 3 8
Carne de cerdo Mole negro
1 2
Para 12 porciones, Ana dice que se necesita 1 kg de carne de cerdo. Explica si ella tiene o 2 no razón.
Verifica con otro compañero tus respuestas. 2. En parejas, resuelvan los problemas siguientes. a) Para hornear 25 donas se requiere 1 kg de harina, ¿cuántas donas se hornearán con 4 7 kg de harina? b) En la construcción de una casa, con 3 partes de un bulto de mortero se pueden pegar 4 300 tabiques. Si se solicitaron 2 millares de tabiques, ¿qué cantidad de mortero se necesita para pegar todo ese material?
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
Expliquen cómo encontraron la solución de cada problema. Comparen sus procedimientos con los de otras parejas y reflexionen sobre lo siguiente. Expliquen la importancia de conocer el valor unitario para resolver este tipo de problemas. Verifiquen sus respuestas empleando el valor unitario.
119
B2 Sesión 67
En esta sesión aplicarás la constante de proporcionalidad para resolver problemas de proporcionalidad directa.
Manos a la obra a) Contesten las preguntas. ¿Cuánto miden los lados del cuadrado naranja en el A?
¿Cuánto miden en el B? ¿Cuánto mide el lado más largo del triángulo azul en A?
¿Cuánto mide el lado más largo del triángulo azul en B?
A ¿Cuál es la constante de proporcionalidad, es decir, cuántas veces es mayor el Tangram B del A respecto a los lados?
B 120
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, realicen la siguiente actividad con las figuras que se muestran.
S16 Uno de los lados del triángulo rosa en el Tangram A mide 3 cm, conociendo la constante de proporcionalidad y sin medir el triángulo rosa en el Tangram B, ¿cómo podrían saber la longitud de su lado?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, comprueben que sean correctas. 2. En parejas, resuelvan lo siguiente. a) Una estatuilla de madera que se talló en una telesecundaria mide 36 cm de altura y 13 cm de ancho. La estatuilla ha gustado tanto que se mandará reproducir de manera tal que el ancho mida 87.75 cm. ¿Cuánto medirá la altura de dicha reproducción?
b) En una telesecundaria de Guanajuato se tiene la maqueta del taller de carpintería, el cual mide 28 cm de largo y 12 cm de ancho. Si realmente el taller mide de ancho 14 m y 3.2 m de altura, ¿cuántos centímetros mide la altura del taller en la maqueta?
¿Cuántos metros de ancho mide el taller? Comparen sus respuestas con las de otros compañeros.
Cuando una cantidad aumenta o disminuye en la misma constante de proporcionalidad respecto de otra, se dice que están en proporción directa.
Versión de evaluación 23/04/12
En el Tangram B la base del romboide mide 6 cm, sin medirla en el Tangram A y usando la constante de proporcionalidad, ¿cómo obtendrían la longitud de la base del romboide?
121
B2 3. Resuelve los siguientes problemas. a) Para ilustrar una revista se va a utilizar una fotografía original de 16 cm de largo por 8 cm de alto. La ilustración para la portada se obtendrá de reducir la fotografía original a la mitad, ¿cuáles serán las medidas de la reproducción?
¿Cuántos litros de gasolina necesita para recorrer la distancia de un kilómetro?
Si la ilustración de un reportaje se obtendrá de reducir la fotografía de la portada a la cuarta parte, ¿cuáles serán las medidas de esta reproducción?
c) Para limpiar un terreno de tres hectáreas, Andrés y María emplearon 22 jornadas de trabajo de 6 horas cada una. Si ellos trabajan al mismo ritmo, ¿cuántas horas se tardarán en limpiar un terreno de 7.5 hectáreas?
Distancia recorrida (km) San Juan de los Lagos
38
Arandas
60.05
Tepatitlán
70.63
Tonalá
130
Cantidad de gasolina (l)
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comprueben que sean correctas empleando un método diferente al que usaron. Planteen en su cuaderno un problema de proporcionalidad directa, resuélvanlo e intercámbienlo con otro compañero. A lo largo de esta secuencia hemos visto que los problemas de proporción directa se pueden resolver empleando el valor unitario o la constante de proporcionalidad, esta última se determina al comparar dos magnitudes; por ejemplo, en el problema del Tangram, como cada lado del A mide 6 cm y el del B 12 cm, la constante de proporcionalidad es 6 , o bien 1 . La constante se multiplica o se 12 2 divide según se quiera determinar una cantidad mayor o una menor a la que se tiene.
Consulta en… Entra al sitio <http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/ Proporcionalidad_lbc/magdirectprop.htm>, y consulta acerca de la proporcionalidad directa.
Autoevaluación Responde lo siguiente. • ¿Cómo se puede identificar un problema de proporción directa?
• ¿Qué es la constante de proporcionalidad y cómo se emplea?
122
Versión de evaluación 23/04/12
b) Óscar sabe que requiere 4.5 litros de gasolina para recorrer aproximadamente una distancia de 42.75 km, ¿qué cantidad de gasolina requiere para llegar a cada uno de los lugares mencionados en la tabla?
¿Cuántos kilómetros recorrerá con un litro de ga solina?
S16 Sesión 68
Evaluación Aplica lo aprendido a lo largo del bloque y selecciona la respuesta a cada problema.
a) 11 180
b) 11 360
c) 11 18
d) 22 18
6. Se tiene un terreno de forma irregular, como el de la imagen. Si se desea saber cuál es su superficie, ¿con cuál de los procedimientos siguientes se puede obtener esa información?
Versión de evaluación 23/04/12
1. La respuesta a la siguiente operación 3 + 1 – 0.8 es: 4 9
2. La distancia de cada uno de sus puntos a los lados del ángulo que divide siempre es la misma: a) mediana
b) mediatriz
c) recta
d) bisectriz
3. Juan desea comprar un vidrio para cubrir una mesa rectangular, cuyos lados miden 1 m y 1.5 m. Si el metro cuadrado de vidrio cuesta $70, ¿cuánto le costara el vidrio a Juan? a) $75
b) $85
c) $95
d) $105
4. Entre qué números primos son divisibles los siguientes números: 945, 735, 525. a) 2, 3
b) 2, 3, 5
c) 3, 5, 7
d) 3, 7
5. Una línea de autobuses viaja a tres ciudades distintas, A, B y C. Rumbo a la ciudad A sale un camión cada 3 horas, a la ciudad B cada 4, y a la ciudad C cada 5. Si a las 7 de la mañana del lunes salieron los 3 camiones al mismo tiempo, ¿qué día y a qué hora volverán a salir al mismo tiempo los camiones?
a) Se mide la longitud de los lados del terreno y se suman.
b) Se divide el terreno en cuadrados y la suma de las superficies de cada cuadrado será la superficie del terreno completo.
c) Se encuentra el centro del terreno, se calcula el apotema y se multiplica por el número de lados del terreno.
d) Se segmenta el terreno en triángulos, se calcula la superficie de cada uno, se suman las superficies obtenidas y esa es la superficie del terreno.
a) El mismo lunes a las 7 p.m. b) El mismo lunes a las 10 p.m. c) El martes a las 3 a.m. d) El miércoles a las 7 p.m.
7. Mariana y Adriana sembraron 280 arbolitos. Si trabajaron 5 horas diarias durante 4 fines de semana sembrando arbolitos, ¿cuántas horas se tardarán en sembrar 1 400 arbolitos? a) 280 horas
c) 56 horas
b) 200 horas
d) 25 horas
123
Versi贸n de evaluaci贸n 23/04/12
Bloque 3
Versión de evaluación 23/04/12
que efectuar n a g n te e s e qu s y números e blemas en los n io ro c p c r a e fr lv o n s o e c • R /o divisiones y s e n io c a c li multip decimales. ecuaciones e d o s u l e n e s que impliqu a nde m le b ro p r e ax + b = c, do y b • Resolv = x a ; b s. :x+a= y/o decimale de las formas s le ra tu a n s úmero a, b y c son n l cálculo de e n e u q li p im mas que ra encontrar a le p b s ro p la r u e rm lv o fó s s • Re ariables de la v s la e láteros y d ri d ra a u ie c , s lo u cualqu g n el área de triá existe entre y e u o q tr n e ió m c rí e la p re el s. Explicar la re la u g re s o n . polígo de las figuras a re á l e y o tr el períme
17 cia
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Sesión 69
En esta sesión realizarás multiplicaciones de números decimales para resolver problemas de escalas.
¿Qué sabes tú? En una fotografía las medidas son proporcionales a las reales. La imagen de una persona en una foto está a escala 1 a 35, es decir que cada centímetro en la foto corresponde a 35 cm en la realidad. Si en la foto la persona mide 5 cm, ¿cuánto mide en la realidad?
Manos a la obra 1. En parejas, observen la siguiente imagen y reprodúzcanla a escala en su cuaderno, de manera que su dibujo sea 4 1 veces más grande que el original. 5
4 cm
6 cm
126
8.24 cm
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Multiplicación con decimales
2. Completen la tabla. Multiplicación
Producto (resultado de la multiplicación)
4.2 × 6 4.2 × 8.24 3. Calculen las medidas de los lados que miden 4 cm y 8.24 cm con los factores de escala que aparecen en la tabla. Factor de escala
Medida del lado de 4 cm
Medida del lado de 8.24 cm
0.15
0.6 cm
1.236 cm
0.7 1 2.2 3.4 8.3 Con base en la información de la tabla, contesten lo siguiente. ¿Qué tienen en común las escalas que amplifican el dibujo? ¿Qué tienen en común las escalas que reducen el dibujo? 4. Calcula mentalmente lo siguiente. 1.25 × 4 = 0.5 × 0.5 =
Versión de evaluación 23/04/12
4.2 × 4
1.4 × 10 = 0.7 × 0.3 = 0.125 × 8 = 1.52 × 5 = Comenten con otras parejas qué sucede cuando se multiplica un número natural por un factor menor que la unidad. 127
B3 Sesión 70
En esta sesión multiplicarás números decimales en diferentes contextos.
Manos a la obra 1. En parejas, contesten lo siguiente.
¿Cuánto reciben a la semana en pesos? ¿Cuánto reciben al mes en pesos? b) Una lámina de acero mide 6 × 20 pies. Si 1 pie = 30.48 cm, ¿cuáles son las medidas de la lámina en centímetros? ¿Cuál es el área en metros cuadrados? c) En un almacén están estibadas cajas A y B de 45.3 cm y 25.4 cm de altura respectivamente. Si en una primera estiba hay 4 cajas A y 8 cajas B, ¿qué altura alcanza esta estiba? Si en otra estiba se encuentran 6 cajas B y 7 cajas A, ¿qué altura alcanza esta otra estiba?
d) En la telesecundaria 11 se organiza un campamento que durará tres días, con un costo de $125.50 por día. ¿Cuánto pagará cada alumno por el campamento?
Si asistirán 79 alumnos, ¿cuánto dinero se recaudará? e) A la semana, un automóvil consume 32.8 L de gasolina. Si el costo del litro de gasolina es de $10.48, ¿cuánto dinero se gasta cada quincena en gasolina?
Comparen sus resultados con los de otra pareja y corrijan de ser necesario.
128
Versión de evaluación 23/04/12
a) El papá de Pedro, que trabaja en California, manda 75 dólares semanalmente para el gasto familiar. Si el tipo de cambio es 1 dólar = 13.80 pesos…
S17 En esta sesión pondrás en práctica los conocimientos aprendidos en las sesiones anteriores.
Sesión 71
Manos a la obra I. Adriana quiere cambiar el piso de la sala de su casa por duela. Si las dimensiones de la sala son 3.50 m por 4.80 m. a) ¿Cuántos metros cuadrados de duela comprará? b) Si el metro cuadrado de duela cuesta $435.50, ¿cuánto invertirá? c) La mano de obra del carpintero le va a costar $160.00 por metro cuadrado, ¿cuánto le pagará? d) ¿Cuánto gastará en total Adriana? II. En la clase de Tecnología se va a elaborar una conserva de frutas de la región. Para ello se utilizan 0.450 kg de pulpa de fruta, 0.225 kg de azúcar y 0.125 L de agua. ¿Cuántos gramos de pulpa de fruta, azúcar y agua se requieren para elaborar tres y media veces la cantidad de conserva?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve los problemas siguientes.
III. En el año 2011 México sufrió un fuerte problema de sequía en la mayoría de los estados, lo que afectó a un total de 974.92 mil hectáreas de cultivo. Del total de hectáreas afectadas, Coahuila, Chihuahua y Zacatecas concentran 1 parte. ¿Cuántas hectá3 reas fueron afectadas en dichos estados?
Comenta con un compañero tus estrategias de solución y compara los procedimientos que sean diferentes.
Consulta en… Entra al sitio <http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm> y da clic en “Multiplicando con decimales” y en “Multiplicando decimales menores que 1”.
Autoevaluación Responde lo siguiente. • Leonardo debe comprar cuatro y medio manojos de espinacas; si el manojo cuesta $7.75, ¿cuánto pagará Leonardo en total?
129
18 cia
Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Sesión 72
En esta sesión resolverás problemas de contextos cotidianos utilizando la división de números decimales.
¿Qué sabes tú? Resuelve el problema siguiente. Jugando futbol, los compañeros del grupo de primer grado rompieron un cristal de la ventana del salón. Si el costo del cristal es de $55.20 y deben pagarlo entre los 12 alumnos que estaban jugando, ¿cuánto pagará cada uno? Comenten con sus compañeros los procedimientos que siguieron.
Manos a la obra 1. En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes. a) Para asistir a un paseo se alquiló un autobús en $1 820.00 y cada niño pagó $45.50, ¿cuántos niños asistieron? Si el alquiler hubiera costado $2 755.00 y cada niño hubiese pagado $72.50, ¿cuántos niños habrían asistido? b) Un alumno dedica 12 1 horas a la semana para estudiar 8 asignaturas, dedicando el 2 mismo tiempo a cada una. ¿Cuántas horas a la semana dedica a cada asignatura?
¿Cuántos minutos?
130
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
División con decimales
3 ÷ 1.5 =
3 ÷ 0.25 =
6 ÷ 0.1 =
13.5 ÷ 0.5 =
2.5 ÷ 0.125 =
4 ÷ 0.1 =
16. 5 ÷ 0.3 =
6 ÷ 0.2 =
Comenta con tus compañeros qué sucede cuando se divide un número natural entre un número decimal menor que la unidad. Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse con una multiplicación, convirtiendo el decimal a fracción. Por ejemplo, 5 ÷ 0.2 puede escribirse como 5 ÷ 1 5 que, como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 5 × 5 = 25. 3. Resuelve el problema siguiente. Raúl va a leer un libro que tiene 184 páginas. Si al día lee 40 páginas, ¿en cuántos días leerá el libro? Si lee las 40 páginas en 2 horas, ¿en cuántos minutos lee una página? Si el libro costó $335.60 y lo compraron entre 4 amigos, ¿con cuánto cooperó cada uno?
Observa la división que se realizó para resolver el problema.
8
3 . 9
0
4
3
3
5 . 6
0
3
2
1
5
1
2
3 6
3 6
0
Versión de evaluación 23/04/12
2. Resuelve mentalmente las divisiones siguientes.
0
A cada uno le tocarán $83.90. El algoritmo para dividir un decimal entre un natural es el mismo que cuando se dividen dos naturales, sólo debe conservarse la posición del punto decimal, es decir que se sube el punto al cociente. 131
B3 Sesión 73
En esta sesión resolverás problemas de cambio de dinero utilizando la división de números decimales.
Manos a la obra Pedro pagó $67.50 por varias copias de una guía; si cada juego de copias le costó $7.50, ¿cuántos juegos de copias sacó? Describan un procedimiento para poder realizar la división que resuelve el problema.
7.50 67.50
Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicieron así. 2. Resuelvan las siguientes divisiones:
5 6
500 600
50 60
5 000 6 000
a) ¿Cómo son los resultados que obtuvieron? b) Observen que el dividendo (6) y el divisor (5) de la primera división se multiplicaron por 10 para obtener la segunda división (60 y 50). c) ¿Por qué número se multiplicaron el dividendo y el divisor de la primera división para obtener la cuarta división? 3. Consideren que se tiene la siguiente división: 3.4 17 Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y resuélvanla.
Esta división es más sencilla que 17 ÷ 3.4, y por la propiedad utilizada en el ejercicio anterior saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas. 132
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, contesten lo siguiente.
S18
Una división con punto decimal en el divisor se resuelve:
2º Se resuelve la división equivalente una vez que el divisor está expresado como un número natural. Por ejemplo, para resolver: 0.25 4.217
Se multiplican por 100 el dividendo y el divisor, porque el divisor tiene dos cifras decimales, para obtener la división: 25 4.217
Y se resuelve.
El resultado de dividir 421.7 ÷ 25 es el mismo que el de dividir 42.17 ÷ 2.5 o 4.217 ÷ 0.25. Compruébenlo con una calculadora.
Consulta en… Entra al sitio <http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm> y da clic en “Dividiendo con decimales”. Aprenderás sobre la división de números decimales.
Autoevaluación
Versión de evaluación 23/04/12
1º Se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, para ello se multiplican el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000,... según el divisor tenga 1, 2, 3,... cifras decimales.
Selecciona la respuesta correcta al problema. 1. Daniela cuenta con $420.00 y desea comprar trompos para regalarlos a sus sobrinos. Si cada trompo cuesta $21.50, ¿cuántos trompos podrá comprar? a) 21
b) 18
c) 19
d) 15
c) $12.50
d) $10.50
2. ¿Cuánto dinero le sobrará? a) $13.00
b) $11.50
133
19 cia
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento de ecuaciones de primer grado de las formas x + b = c; a x = b; a x + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
Sesión 74
En esta sesión resolverás problemas mediante ecuaciones de primer grado de la forma x + b = c.
¿Qué sabes tú? En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes. Si tengo $80.00, ¿cuánto dinero debo ahorrar para reunir $225.00? a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son? b) ¿Cuál es el número que al sumarle 80 da como resultado 225? Comenten con sus compañeros cómo resolvieron el problema.
134
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Ecuaciones de primer grado
Manos a la obra 1. Pedro desea saber qué cantidad tenía inicialmente en su cuenta de ahorros si efectuó un depósito de $150.00 y al final le quedaron $750.00. a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo. La cantidad que depositó La cantidad ahorrada que tenía El saldo final de su cuenta b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son? c) En la siguiente igualdad el valor desconocido del problema es el número que debe estar en el recuadro. Encuéntralo. + 150 = 750 d) ¿Qué operación hicieron con los valores conocidos para encontrar el número que va en el recuadro? e) ¿Qué cantidad tenía Pedro inicialmente en su cuenta de ahorros? 2. Representen con una igualdad el problema siguiente. ¿Cuál es el número que al sumarle 85 da como resultado 220? a) ¿Cuál es la igualdad algebraica que representa el problema? b) ¿Qué operación deben hacer para encontrar el resultado?
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
En Matemáticas se emplean letras para representar los valores desconocidos o incógnitas. Para representar estos valores comúnmente se usan las últimas letras del abecedario en minúsculas, siendo x la más utilizada.
135
B3 3. El problema anterior podemos representarlo como: x + 85 = 220, donde x representa el valor desconocido. a) ¿Cuánto vale x ?
x=
+ 85 = 220 La ecuación x + 85 = 220 se resuelve de la manera siguiente.
Las igualdades en las que hay un valor desconocido o incógnita reciben el nombre de ecuaciones.
Se resta 85 a ambos lados de la igualdad: x + 85 − 85 = 220 − 85 x + 0 = 135 x = 135
4. Ana realizó dos depósitos, uno de $300.00 y otro de $200.00. Ella desea saber cuánto tenía ahorrado antes de realizarlos, si su saldo actual es de $ 1 400.00. a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema? x − 300 – 200 + 1 400
x − 300 + 200 = 1 400
x + 300 + 200 = 1 400
x + 500 = 1 400
b) Resuelvan la ecuación, es decir, encuentren el valor de x. x= c) ¿Qué cantidad tenía ahorrada al principio? d) Hay dos ecuaciones que representan el problema, comprueben la solución sustituyendo la x en ambas. + 500 = 1400
+ 300 + 200 = 1400
5. Luis reparte volantes de publicidad. Sale de su casa con una cantidad y recoge 1 200 volantes antes de empezar su labor. Reparte 450 en la mañana, 680 en la tarde y al final le sobran 260 volantes. a) En este problema hay cuatro valores conocidos, ¿cuáles son? ,
,
,
b) La ecuación x + 1200 − 450 − 680 = 260 permite representar el problema. Resuélvanla. c) ¿Cuántos volantes tenía al salir de casa?
136
Versión de evaluación 23/04/12
b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor obtenido en lugar de x en la igualdad anterior.
S19 Sesión 75
En esta sesión resolverás problemas utilizando ecuaciones de primer grado de la forma ax = b.
Manos a la obra 1. Una persona tiene un empleo y recibe un salario mensual. Al final de 9 meses ha ganado $40 500.00. ¿Cuál es su salario mensual? a) ¿Cuál es el valor desconocido? Subráyenlo. El número de meses trabajados El salario de los 9 meses El salario que cobró cada mes b) Usando la letra z para representar la incógnita (valor desconocido) escriban una ecuación que represente el problema. Recuerden que 9z es lo mismo que 9 × z, pues usualmente en las expresiones algebraicas no se utiliza el signo × para evitar confundirlo con otro número desconocido o incógnita representado con la letra x. c) Encuentren el valor de z.
d) ¿Cuál es la ecuación que representa el problema anterior? Subráyenla. 40 500 z = 9
40 500 + z = 9
z + 9 = 40 500
9 z = 40 500
e) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de z ? Subráyenla. 9 ÷ 40 500
40 500 ÷ 9
40 500 – 9
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen lo que se les pide a continuación.
9 × 40 500
f) Usando la operación que señalaron, encuentren el valor de z . z= g) ¿Cuánto ganó cada mes?
137
B3 2. El perímetro de un cuadrado es igual a 50 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado? a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a este problema? Se usa la letra L para representar la longitud de cada lado. Subráyenla. 4 L = 50
L ÷ 4 = 50
L ÷ 50 = 4
4 + L = 50
c) Comprueben la solución en la ecuación que eligieron. d) ¿Qué operación hicieron para encontrar la longitud? 3. Completen la tabla siguiente, que presenta algunos problemas. Escriban las ecuaciones correspondientes y las operaciones con las que se pueden resolver hasta obtener el valor de la incógnita. Problema ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 11 da 132?
Ecuación
Operación
Valor de la incógnita
¿Cuál es el número que al dividirlo entre 9 da 172? Comparen con sus compañeros las respuestas de los problemas de esta sesión y comenten qué estrategias siguieron para resolverlos. La ecuación 6 x = 36 se resuelve de la siguiente manera: Como 6 multiplica a la incógnita x, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 1 , 6 que es el recíproco del 6. 1 × 6 x = 1 × 36 6 6 1 × 6 × x = 1 × 36 6 6 6 × x = 36 6 6 1 × x = 6, por lo que x = 6 Compruébenlo sustituyendo el valor de x en la ecuación.
138
Versión de evaluación 23/04/12
b) ¿Cuánto mide cada lado?
S19 En esta sesión continuarás analizando diferentes tipos de ecuaciones y la forma de resolverlas. Ahora trabajarás con ecuaciones de la forma ax + b = c.
Sesión 76
Manos a la obra 1. Cristina ha leído un libro más que el doble de los que ha leído Antonio. Si Cristina ha leído 19 libros, ¿cuántos ha leído Antonio?
b) Escriban una ecuación para representar el problema. Usen la letra L para representar la incógnita.
a) ¿Cuál es la incógnita en este problema?
Subráyenla. Libros que ha leído Cristina Libros que ha leído Antonio
c) Resuelvan la ecuación y escriban un enunciado con
Total de libros leídos por los dos
su respuesta.
Comenten en grupo qué operaciones efectuaron para resolver la ecuación. 2. En parejas, completen el proceso para resolver la ecuación 2 x + 1 = 19. Observen que hay expresadas dos operaciones: primero se multiplica 2 por x, y después al resultado se le suma 1.
2 x + 1 = 19
2x+1−
2x+
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
= 19 − =
×2×x=
1×x=
Por lo que x =
× 18
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas. 3. En parejas, contesten lo siguiente. El papá de Julia le dio cierta cantidad de dinero para que la repartiera equitativamente entre ella y sus tres hermanos, después le dio $6.00 más. Cuando Julia hizo el reparto final, a cada uno le tocaron $11.00. a) ¿Qué tuvo que hacer Julia para repartir el dinero?
b) Escribe una ecuación que represente lo anterior.
c) ¿Qué cantidad de dinero recibió inicialmente Julia?
Comprueben la solución y compárenla con la de otras parejas. 139
B3 Sesión 77
En esta sesión resolverás problemas que se pueden representar con las ecuaciones vistas anteriormente.
Manos a la obra En el rectángulo que se muestra en la figura, la medida de la base es igual al triple de la medida de la altura menos 1 cm.
a
9.5 cm De las siguientes ecuaciones, subrayen las que sirven para encontrar la altura. a × 3 + 9.5 = 1 3a − 1 = 9.5 (a ÷ 3 ) − 1 = 9.5 a ÷ 3 + 1 = 9.5 Con la ecuación seleccionada calculen el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación. 2. La tercera parte del número de alumnos que hay en el grupo A, más 15, es igual a 29. a) Escriban una ecuación para resolver este problema. b) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo A? 3. Asombra a tus compañeros adivinando su edad por medio de las ecuaciones algebraicas que has aprendido. Les dices: “Multiplica tu edad por 3, agrega 10 al resultado, réstale el doble de tu edad y a lo que te resulte quítale 6”. A continuación pregúntales qué número obtuvieron. Su edad será ese resultado menos 4. Escriban una ecuación que les permita resolver este problema. Comenten en grupo si obtuvieron la edad de sus compañeros.
140
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
S19 4. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno y después comprueba tus resultados sustituyendo el valor obtenido en la ecuación. a) 5x + 0.5 = 12 b) ( x ÷ 4 ) + 38 = 120
d) 7 x − 14 = 28 En grupo, den a conocer sus resultados, y en caso de tener resultados diferentes analícenlos con su profesor.
Para la clase siguiente debes traer recortados 30 triángulos, 10 de cada uno de los modelos de la página 144.
Consulta en… Entra al sitio <http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo37.html>. Juega y aprende “Cómo se adivina un objeto” utilizando ecuaciones. En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para conocer más sobre este tema: Carlos Bosch y Claudia Gómez, Una ventana a las incógnitas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón). Malba Tahan, El hombre que calculaba, trad. Basilio Lozada, México, sep-Limusa, 2005 (Libros del Rincón).
Autoevaluación
Versión de evaluación 23/04/12
c) x + 32 − 21 = 45.7
Resuelve el siguiente problema planteando una ecuación. • De una caja de mangos, Luis vendió 6 en la mañana. A media tarde vendió el doble que en la mañana y por la tarde sólo vendió 8. Si en la noche sólo le quedaban 10 piezas, ¿cuántos mangos había en la caja?
141
20 cia
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, del ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.
Sesión 78
En esta sesión trabajarás con polígonos regulares.
¿Qué sabes tú? Describe con tus propias palabras qué es un polígono. Comenten en grupo sus descripciones. Con los triángulos que recortaste, de cada uno de los siguientes modelos,
1
trata de armar los polígonos siguientes:
142
2
3
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Construcción de polígonos regulares
¿Cuántos triángulos utilizarías? ¿Qué polígono se puede formar con triángulos como el 2? ¿Qué polígono se puede formar utilizando triángulos como el 3? Calca los triángulos y verifica tus respuestas. ¿Se pueden formar otros polígonos? ¿Qué relación encuentras entre el número de lados y el número de triángulos que forman cada polígono? ¿Cómo es la medida de los ángulos de los triángulos cuyo vértice coincide con el centro del polígono? Un polígono es regular cuando sus lados son iguales y la medida de sus ángulos es la misma.
Manos a la obra Formen equipos, realicen la siguiente actividad y contesten las preguntas. 1. En hojas blancas o de color tracen tres diferentes polígonos regulares de 5 cm, 8 cm y 10 cm por lado respectivamente. ¿Cómo trazaron cada polígono para que todos sus lados fueran iguales?
¿Cuántos polígonos más se pueden trazar con las medidas que tienen?
Versión de evaluación 23/04/12
¿Qué polígono se puede formar con triángulos como el 1?
¿Se puede trazar el mismo polígono de tres tamaños diferentes?
Comenten en grupo sus respuestas, y con apoyo de su profesor determinen cómo influye la medida de los lados de un polígono regular en su construcción.
143
B3 Sesión 79
En esta sesión estudiarás las propiedades del ángulo interior de un polígono regular.
Manos a la obra 1. En los siguientes polígonos regulares marquen con un color los ángulos interiores.
¿Cuántos ángulos tienen cada uno de los polígonos regulares?
Como habrás observado, el ángulo interior de un polígono regular es la abertura que forman los lados consecutivos de la figura.
Organizados en equipos: 2. Midan con ayuda del transportador y anoten la medida de los ángulos interiores de los siguientes polígonos regulares.
144
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen la siguiente actividad.
S20 3. Escriban en la tabla los datos que obtuvieron. Medida de cada ángulo interior
4. Contesten lo siguiente. a) ¿Cómo podemos construir un polígono regular a partir de la medida de su ángulo interior?
b) ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular? ¿Y el de un dodecágono regular? Analicen en grupo y con su profesor cómo se puede construir un polígono regular a partir de la medida de su ángulo interior. 5. Tracen en su cuaderno un polígono para cada ángulo interior proporcionado. a) 90° b) 108° c) 120° Comparen sus trazos con los de sus compañeros.
Versión de evaluación 23/04/12
Nombre del polígono regular
145
B3 Sesión 80
En esta sesión estudiarás las propiedades del ángulo central de un polígono regular.
Manos a la obra 1. En los siguientes polígonos regulares marquen con un color los ángulos centrales. ¿Cuántos ángulos marcaron en cada uno de los polígonos regulares?
Como habrán observado, los ángulos centrales de un polígono regular son los que tienen su vértice en el centro del polígono. Organizados en equipos, lleven a cabo las actividades siguientes. 2. Tracen en su cuaderno al menos dos polígonos regulares utilizando la medida de los ángulos de las escuadras de su juego de geometría y contesten las siguientes preguntas. ¿Qué procedimiento siguieron para trazar sus polígonos?
¿Cómo son los ángulos centrales de los polígonos trazados en relación con el vértice de la escuadra que usaron?
3. El número de ángulos centrales en un polígono regular es el mismo que el número de lados de la figura. Con base en esta información, completen la siguiente tabla. Nombre del polígono
Número de lados
Cuadrado Pentágono Hexágono Octágono Dodecágono 146
Número de ángulos centrales
Medida de cada ángulo central
Suma de los ángulos centrales
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen la siguiente actividad.
S20 4. Contesten las preguntas siguientes. a) ¿Cuál es el resultado de multiplicar el número de lados de un polígono regular por la medida de su ángulo central? b) Si el número de lados de un polígono regular es 10, ¿cuál es la medida de su ángulo central?
Versión de evaluación 23/04/12
c) La medida de cada ángulo central de un polígono regular es 40°, ¿cuántos lados tiene ese polígono? d) ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 90°? Comenten en grupo sus respuestas.
En esta sesión construirás polígonos regulares a partir de la medida de su ángulo interno, de su ángulo central o de la medida de uno de sus lados.
Sesión 81
Manos a la obra En el trazo de polígonos regulares inscritos en una circunferencia podemos identificar algunos elementos importantes de la misma.
A 72 °
1. En equipos, realicen lo siguiente.
72 ° B
Ordenen la secuencia de construcción de un pentágono regular y pongan dentro de los recuadros la instrucción que corresponde al trazo realizado. Contesten lo siguiente. ¿Cuál es la relación entre el total de grados de la circunferencia y los ángulos centrales de un polígono regular? ¿Qué procedimiento deben seguir si quieren saber la medida del ángulo central de un polígono regular con n número de lados?
A
A
72 °
72 ° B
B
Utilicen su procedimiento para construir un eneágono. Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor.
147
B3 2. En parejas, completen lo que se les pide.
Consulta en… En las bibliotecas escolares y de aula busca el libro con la siguiente referencia para conocer más sobre este tema: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Nombre de los polígonos”, “La miel de los hexágonos”, “Recubrimientos”, “Los reflejos del caleidoscopio” y “Construcción de un caleidoscopio”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
Autoevaluación Selecciona la respuesta correcta al problema. 1. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular con un ángulo interior de 150º? a) 15
b) 14
c) 13
d) 12
2. ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 40º? a) Pentágono
148
b) Octágono
c) Undecágono
d) Eneágono
Versión de evaluación 23/04/12
A partir del siguiente triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual es de 72º, formen el polígono regular.
uen S ec 21 cia
Cálculo de área y perímetro
En esta sesión resolverás problemas que implican calcular el perímetro y el área del triángulo y del cuadrado.
¿Qué sabes tú? En la siguiente imagen aparece el tablero de un juego de mesa llamado “damas chinas”. El tablero está dividido en pequeños triángulos equiláteros, los cuales señalan los posibles movimientos de las piezas. Cada uno de estos triángulos tiene lados de 1 cm y una altura aproximada de 0.866 cm. En parejas, contesten las siguientes preguntas. ¿Cuánto mide el perímetro del tablero?
¿Cuánto mide el área del tablero?
Versión de evaluación 23/04/12
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.
Sesión 82
¿Cómo calcularon el perímetro y el área?
Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor.
149
B3 Manos a la obra 1. Contesta lo que se te pide.
A
B
C
D
E
F
G
H
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
A
B
C
D
E
F
G
H
Si cada casilla del tablero de ajedrez mide 1 cm, ¿cuánto miden el área y el perímetro del tablero? 2. Ahora, junto con otro compañero, construirán un tablero de damas que tenga un área de 256 cm2. ¿Cuánto medirán los lados del tablero y los lados de las casillas? Investiguen las reglas para que puedan jugar con su tablero de damas.
150
Versión de evaluación 23/04/12
El ajedrez y las damas son otros juegos de mesa muy populares, los cuales emplean un tablero cuadrado dividido a su vez en 64 casillas cuadradas, como se muestra en la siguiente imagen.
S21 En esta sesión realizarás cálculos relacionados con el perímetro y el área de polígonos regulares de cinco y seis lados.
Sesión 83
Manos a la obra 1. Regresando al tablero de damas chinas, observa que puedes dividirlo en un hexágono y seis triángulos equiláteros, los cuales forman las puntas de la estrella de seis picos. Considerando las medidas del tablero de damas chinas, ¿cuánto mide el área de cada uno de los triángulos que forman los picos de la estrella? ¿Cuánto miden el perímetro y el área del hexágono? 2. Si se quisiera un tablero de damas chinas cuyo perímetro fuera de 96 cm, ¿cuánto mediría cada lado del hexágono? ¿Cuál sería el perímetro del hexágono? 3. Si en lugar de hexágono tuviéramos un pentágono con un área igual a 17.32 cm y lados de 4 cm, ¿cuánto mediría el apotema del pentágono? Si sólo conocieras el área y el apotema del pentágono, ¿cómo calcularías su perímetro? Coméntalo con un compañero.
Un dato interesante… Un lugar en la naturaleza donde puedes encontrar hexágonos es en una colmena de abejas. Sobre este hecho, Pappus de Alejandría dijo: Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono posee una superficie mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.1
1
Versión de evaluación 23/04/12
Resuelve los siguientes problemas.
http://www.arrakis.es/~mcj/abejas.htm 151
B3 Sesión 84
En esta sesión calcularás el área y el perímetro de polígonos regulares de siete o más lados.
Manos a la obra
Versión de evaluación 23/04/12
1. Considera los siguientes polígonos.
152
S21 Haz las mediciones necesarias y completa la siguiente tabla. Medida de lado
Apotema
Perímetro
Área
Como se observa en la tabla, el perímetro de los polígonos depende del número de lados.
El perímetro de un polígono regular se puede calcular con la fórmula P = n × L donde P es el perímetro, n el número de lados y L lo que mide el lado de la figura con que se está trabajando. La fórmula para encontrar el área es la misma para todos los polígonos regulares, es decir: Área = P × a donde a es el apotema de la figura a la que se le está calculando el área.
2. Resuelve los ejercicios siguientes. a) Calcula el área de un octágono cuyo lado mide 6.2 cm y su apotema 7.48 cm.
¿Cuánto mide su perímetro? b) José quiere saber si con un pliego de papel china de 40 cm de ancho y 60 cm de largo puede hacer una cometa con forma de decágono regular, con lados iguales a 4 cm y apotema de 6.15 cm. ¿Logrará José realizar la cometa? ¿Se puede hacer más
¿Qué cantidad de papel china utilizará? grande la cometa?
c) ¿Cuánto medirán los lados de un dodecágono con un área de 100 cm2, si su apotema mide 5.5 cm?
Versión de evaluación 23/04/12
Polígono regular Heptágono Octágono Decágono Dodecágono Pentadecágono
Autoevaluación Selecciona la respuesta correcta al problema. 1. ¿Cuánta malla se necesita para cercar un jardín en forma de hexágono, con un apotema de 2 m y un área de 13.85 m2? a) 2.30 m
b) 13.85 m
c) 16 m
d) 11.74 m
153
22 cia
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
Sesión 85
En esta sesión observarás qué sucede al aplicar sucesivamente un factor de proporcionalidad entero.
¿Qué sabes tú? 1. En una clase de Artes Plásticas el profesor pidió a sus estudiantes organizarse en equipos para dibujar la siguiente imagen, de acuerdo con estas indicaciones:
c “Elaboren dos copias del dibujo original.
e
• Las medidas de la copia 1 son dos veces mayores que las medidas del dibujo original.
f
• Las medidas de la copia 2 son tres veces mayores que las medidas de la copia 1.” d
154
a
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Factor de proporcionalidad
a) Dibuja las copias 1 y 2 en papel cuadriculado.
Medida
Original
Copia 1
Copia 2
a b c d e f c) ¿Cuántas veces son más grandes las medidas de la copia 2 con respecto a las medidas del original? d) Completa el esquema. Escribe en cada recuadro el número por el que se deben multiplicar las medidas de un dibujo para conocer las medidas de otro dibujo. ×3 Medidas del dibujo
Medidas de la copia 1
Medidas de la copia 2
El número por el cual se multiplica cada medida de un dibujo para producir otro se llama factor de escala.
Versión de evaluación 23/04/12
b) Anota en la tabla las medidas que faltan. Comprueba tus respuestas dibujando las copias.
2. Compara tus resultados con los de tus compañeros, y con ayuda de su profesor completen las siguientes afirmaciones. •• Aplicar el factor de escala ×3 a un dibujo, y después, a la copia resultante aplicarle el factor ×2, equivale a aplicar al dibujo original el factor
.
•• Al aplicar un factor de escala ×p y después ×q es equivalente a aplicar un solo factor, que es igual
.
155
B3 Sesión 86
En esta sesión determinarás el efecto que produce la aplicación sucesiva de un factor de proporcionalidad fraccionario.
Manos a la obra a) En tu cuaderno dibuja las copias 3 y 4. b) Escribe en la tabla las medidas que faltan.
• “Las medidas de la copia 3 son tres veces menores que las del dibujo original.
Medida
Original
Copia 3
Copia 4
a
• Las medidas de la copia 4 son dos veces mayores que las de la copia 3.”
b c d e f c) Completa el esquema y anota el factor de escala que se aplica en cada dibujo. Luego determina el factor que al aplicarlo en el dibujo original produce la copia 4.
Recuerda que dividir entre un número, por ejemplo entre 2, 1 equivale a multiplicar por 2 .
Medidas del dibujo
Medidas de la copia 3
Medidas de la copia 4
2. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten qué ocurre cuando cambian el orden en que se aplican los factores, ¿la nueva copia es igual o diferente a la copia 4? Completen la siguiente tabla. × 1 3
×2 Medida a b c d e f 156
Original
Copia 3
Copia 4
Versión de evaluación 23/04/12
1. En la clase de Artes Plásticas continúan dibujando. Ahora el profesor ha dado las siguientes indicaciones:
S22 3. Observa la copia 5, sus medidas son 2 de las del dibujo 3 original. Anótalas sobre la copia. c e
f
d
b Copia 5
Sesión 87
En esta sesión resolverás problemas que implican aplicar un factor de proporcionalidad fraccionario.
Manos a la obra 1. Andrés quiere preparar un postre. Observa los ingredientes que necesita. Si Andrés lo desea preparar para 6 porciones, ¿qué cantidades de cada ingrediente debe tener? Completa: de azúcar de leche yemas de huevo cucharadas de harina de maíz cáscara de limón
a
Versión de evaluación 23/04/12
¿A las de qué copia son iguales esas medidas? Por lo tanto, aplicar el factor de escala × 2 equivale a 3 primero obtener la reducción × 1 y después obtener la 3 ampliación ×2. También se cumple si primero se produce la ampliación ×2 y luego se reduce × 1 . 3
Natilla
Ingredientes para 4 porciones: 100 g de azúcar 500 ml de leche 3 yemas de huevo
1 21 cucharadas rasas de harina de maíz 1 cáscara de limón 1 palito de canela canela en polvo al gusto
palito de canela
Compara tus respuestas con las de otros compañeros y comenten cómo determinaron cada cantidad.
157
B3 2. Observa la manera en que Andrés determinó la cantidad que requiere de cada ingrediente. “Primero calculó los ingredientes para una porción y luego multiplicó por 6”. Por ejemplo:
100 g de azúcar
Ingredientes para una porción 100 g de azúcar 4 porciones = 25 g de azúcar por porción.
Ingredientes para 6 porciones 25 g de azúcar por porción × 6 porciones = 150 g de azúcar.
a) Utiliza el procedimiento anterior para calcular la cantidad que se requiere de los otros ingredientes. Ingredientes para 4 porciones
Ingredientes para una porción
Ingredientes para 6 porciones
500 ml de leche 3 yemas de huevo 1 1 cucharadas de harina de maíz 2 b) Para calcular la cantidad de cada ingrediente por porción, ¿por cuál número se divide? Completa el siguiente esquema. × Ingredientes para 4 porciones
Ingredientes para 1 porción
Ingredientes para 6 porciones
c) Considerando la receta original, ¿cuál es el número por el que se multiplica o divide para calcular de manera directa la cantidad de cada ingrediente, es decir, de 4 a 6 porciones?
Ingredientes para 4 porciones
El número que te permite calcular la cantidad requerida de cada ingrediente es la constante de proporcionalidad.
158
Ingredientes para 6 porciones
Compara tus respuestas y utiliza el número que encontraste para verificar la cantidad que se requiere de cada ingrediente para preparar el postre.
Versión de evaluación 23/04/12
Ingredientes para 4 porciones
S22 En esta sesión determinarás qué factor de proporcionalidad se aplica.
Sesión 88
Manos a la obra 1. En parejas, contesten lo siguiente. Con tres engranes de diferente tamaño se forma una maquinaria. Observen la imagen.
Versión de evaluación 23/04/12
a) Si el engrane A da 2 vueltas, ¿cuántas vueltas da y ¿cuántas
el engrane B? vueltas da el C?
b) Completen la tabla, deben calcular los valores que faltan. Engrane A
Engrane B
1 2
1
1
2
Engrane C
A
3 2
4
21 2
5 6
15
B 4
C
30
c) Anoten los factores de proporcionalidad en el siguiente esquema.
Número de vueltas del engrane A
Número de vueltas del engrane B
Número de vueltas del engrane C
159
B3 2. Otra maquinaria está formada de la siguiente manera: el engrane A da cuatro vueltas mientras el B completa una y el C da tres. a) Completen la tabla, y en el esquema anoten los factores de proporcionalidad.
4
Número de vueltas del engrane B
b) ¿Cuál de los engranes es el menor? ¿Por qué? c) ¿Cuántos dientes tendrá cada engrane? Hay más de una respuesta, anoten dos
1 2
Sesión 89
Número de vueltas del engrane C
6
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y verifíquenlas con ayuda de su profesor.
En esta sesión resolverás problemas que implican la aplicación de factores de proporcionalidad.
Manos a la obra 1. La siguiente tabla muestra las medidas reales de un automóvil deportivo y algunas de las medidas que tendrían sus modelos a escala. Organizados en equipos, complétenla. Medidas
Medidas reales
Modelo A
Largo
4.2 m
4.83 cm
Ancho
2.2 m
Altura
1.5 m
Modelo B
Modelo C
5.12 cm
9.17 cm 6.25 cm
a) ¿Cuál es el factor de escala de cada modelo? b) ¿Qué factor de proporcionalidad produjo las longitudes más pequeñas? c) Los tres factores de proporcionalidad son fraccionarios. Analizando las operaciones que realizaron, contesten: ¿de qué manera influye el denominador del factor de proporcionalidad?
160
Versión de evaluación 23/04/12
Número de vueltas del engrane A
S22 2. En la siguiente tabla se muestran las medidas que tiene un modelo de automóvil (A) con un factor de escala de 1 . A partir de esas medidas y del factor de proporcionalidad comple64 ten la tabla.
1 64 Medidas reales
Modelo A
Modelo B
Largo
4.47 m
6.98 cm
cm
Ancho
m
2.66 cm
cm
Altura
m
2.42 cm
cm
a) ¿Cuántas veces es más grande la medida real del largo del automóvil que la medida en el modelo B? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que te permite pasar de una medida real del automóvil a su medida en el modelo B? Comparen sus respuestas y verifiquen que hayan aplicado correctamente los factores de proporcionalidad.
Cuando se refiere al factor de escala de una ampliación o reducción de una fotografía, la equis representa la cantidad de aumentos (o de reducciones) con respecto al original.
Autoevaluación La mamá de Ernesto tiene una fotografía rectangular que mide 10 cm × 15 cm. Ernesto y sus hermanas quieren reproducirla en diferentes tamaños. En el estudio fotográfico, él pide 1 una reproducción a 4 ×. Rosaura pide que su copia sea a 2 × de la de su hermano, mientras que Laura pide que su copia sea 3 × de la copia de su hermana.
Versión de evaluación 23/04/12
Medidas
×2
a) ¿La fotografía de Ernesto es más grande o más pequeña que la original? b) ¿Cuál de las tres fotografías es la de mayor tamaño? c) ¿Cuáles son las dimensiones de la copia de Laura?
161
23 cia
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
Sesión 90
En esta sesión estimarás el resultado de un juego de azar.
¿Qué sabes tú? En Matemáticas decimos que una situación es de azar o aleatoria si presenta varios resultados posibles y no se puede asegurar cuál de ellos se obtendrá. a) Si lanzas una moneda al aire, ¿caerá al piso? ¿Es posible asegurar que siempre pasará lo mismo? Menciona por qué. Esta situación, ¿es de azar?
¿Por qué?
b) Si la moneda cae al piso, ¿qué cara quedará hacia arriba?
Esta situación, ¿es de azar?
¿Por qué?
¿Por qué?
Si lo que se quiere es observar la cara que queda hacia arriba al lanzar una moneda, ¿cuáles son los resultados posibles? Si se lanza una moneda y se observa la cara que queda hacia arriba, ¿puedes afirmar qué ocurrirá en un siguiente lanzamiento?
¿Por qué?
Si lanzas diez veces una moneda al aire, ¿caerán más águilas o más soles?
162
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Registro de una experiencia aleatoria
Manos a la obra 1. Formen equipos y cada integrante, por turnos, lanzará una moneda al aire diez veces. Registren en la siguiente tabla los resultados de cada uno. Tachen A si cae águila y S si cae sol. Primer juego
1 2 3
Número de volado
Total por resultado
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
(Si su equipo tiene más de tres integrantes, copien la tabla en su cuaderno, agregando tantos jugadores como sea necesarios.) Contesten las siguientes preguntas. b) ¿Cuántos soles por jugador?
a) ¿Cuántas águilas cayeron por jugador?
c) Si vuelven a jugar, ¿obtendrán los mismos resultados? Al número de veces que cae águila al lanzar diez veces una moneda al aire se le identifica como su frecuencia. También se puede referir a la frecuencia con que cae sol en diez lanzamientos.
En una situación de azar, la frecuencia es el número de veces que ocurre un resultado.
2. Consideren los resultados que obtuvieron y compárenlos con los de otros equipos. Describan cuál es el comportamiento de los resultados. ¿La frecuencia es mayor que la que registraron en su equipo?
¿Es menor?
¿Es igual?
Si los equipos ganan cuando caen más águilas, ¿cuántos equipos ganaron? En la siguiente tabla escriban los resultados obtenidos por todo el grupo. Resultados de lanzar una moneda al aire en el grupo Frecuencia
Versión de evaluación 23/04/12
Jugador
Resultado Caer águila Caer sol Total de lanzamientos
¿Cuál es la diferencia entre el número total de águilas y de soles? ¿Cuál de los siguientes resultados tiene más posibilidades de ocurrir en una serie de diez lanzamientos de moneda? a) AAASSAAASS
b) SSSSSSAAAA
c) SASASASAAS
d) Cualquiera de las series puede ocurrir 163
B3 Sesión 91
En esta sesión registrarás los resultados de otro juego de azar. Analizarás dichos resultados para poder proponer alguna manera de ganar.
1. En equipos de seis compañeros jueguen a las carreras. Cada jugador elige un carrito y coloca una ficha sobre él. Por turnos, cada quien lanza el dado, y avanza una casilla el jugador cuyo carrito corresponde al número que se muestra en la cara superior del dado. Gana el jugador que llegue primero a la meta. Número de carrito
META
1
2
3
4
5
6 (Si su equipo tiene menos integrantes pueden elegir más de un carrito.) ¿Quién ganó? Si se realiza nuevamente el juego, ¿crees que tienes más posibilidades de ganar? ¿Por qué?
Realicen una vez más el juego. 164
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
S23 2. En la siguiente tabla anoten el número de carrito que ganó en cada equipo. Número de carrito que ganó Número de carrito que ganó en la primera carrera en la segunda carrera
Contesten las siguientes preguntas. ¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador en la primera carrera?
¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador en la segunda carrera?
¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador al considerar ambas carreras? De acuerdo con los resultados obtenidos, si vuelven a jugar a las carreras, ¿existe algún número que tenga ventaja sobre los demás? Si así lo consideran, pruébenlo jugando una carrera más. 3. En un grupo, al analizar los resultados obtenidos, un equipo propuso que para ganar una carrera conviene apostar por los carritos que tienen un número par. ¿Creen que tienen razón?
Versión de evaluación 23/04/12
Número de equipo
¿Por qué?
Otro equipo propuso apostarle a los carritos con el número 3 o más. Organicen una carrera más y observen los resultados. Describan una estrategia en la cual tengan más posibilidades de ganar una carrera.
165
B3 Sesión 92
En esta sesión anticiparás el resultado de una extracción y lo verificarás. Para ello deberás anotar los resultados en una tabla de frecuencias.
Manos a la obra
A
A
Z
R
Si sacas de la caja uno de los papelitos doblados, ¿qué letra es más posible que saques? ¿Por qué? ¿Qué letras tienen las mismas posibilidades de salir? ¿Por qué? 2. Repite el experimento cincuenta veces. En cada extracción, registra una rayita en la columna de conteo que corresponde a la letra que sale. Luego debes doblar de nuevo el papelito que sacaste y regresarlo a la caja. Anota los resultados en la siguiente tabla de frecuencias. Letras
Conteo
Frecuencia
A Z R Total de extracciones
¿Qué letra fue la más frecuente? ¿Por qué?
166
50
¿Era lo que esperabas?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Recorta cuatro cuadritos de papel iguales y escribe en cada uno de ellos una de las letras de la palabra AZAR. Dóblalos, colócalos en una bolsa o en una caja y revuélvelos.
S23 3. Compara tus resultados con los de tus compañeros, ¿cuál fue la letra que se extrajo con mayor frecuencia?
¿Para qué letras la frecuencia fue la misma?
¿Qué esperas que ocurra si repiten el experimento otras cincuenta veces?
4. Ahora reúnete con un compañero o compañera para realizar el experimento con la palabra ALEATORIO. Al sacar de la caja uno de los papelitos, ¿qué letra es más posible que saquen? ¿Por qué? ¿Qué letras consideran que tienen las mismas posibilidades de salir? ¿Por qué? Elaboren en su cuaderno una tabla de frecuencias como la que utilizaron para registrar los resultados del experimento con la palabra AZAR, pero ahora para las letras de la palabra ALEATORIO. 5. Comparen sus resultados con los de sus compañeros y contesten las siguientes preguntas. ¿Qué letra fue la más frecuente?
¿Era lo que esperaban?
¿Por qué? ¿Alguna vez se han preguntado cuál es la letra que más se utiliza en nuestro idioma? ¿Cuál letra suponen que es? Propongan una manera de averiguarlo, llévenla a cabo y registren sus resultados en una tabla de frecuencias. Después muestren sus resultados al grupo.
Versión de evaluación 23/04/12
¿Por qué consideras que los resultados no son siempre los mismos?
167
B3 Sesión 93
En esta sesión anticiparás y registrarás los resultados al extraer una canica de una bolsa.
Manos a la obra Dos compañeros, María y Joel, colocan dos canicas en una urna; una de las canicas es azul y la otra es blanca. Después de remover las canicas extraen una, sin mirar, y resulta ser blanca. Regresan la canica a la bolsa, la remueven y hacen una extracción más. ¿De qué color piensas que será la canica en esta ocasión? Haz el experimento varias veces y comprueba si aciertas. ¿Qué piensas que es más fácil, sacar la canica blanca o la azul? María y Joel hicieron el experimento diez veces. Para registrar sus resultados, anotan una A si sale azul, y una B si sale blanca. Observa sus resultados: ABBABABBAB ¿Cuántas canicas azules sacaron? ¿Y cuántas canicas blancas? 2. Reúnete con un compañero y lleven a cabo el experimento descrito en el problema anterior, pero primero anoten sus estimaciones en la siguiente tabla. Estimaciones Canicas azules que salen en 20 extracciones Canicas blancas que salen en 20 extracciones Registren en una tabla de frecuencias sus resultados. Pueden anotar una rayita o escribir una A si sale azul y una B si sale blanca. Color
Conteo
Frecuencia
Azul Blanco Total Comparen los resultados obtenidos en la estimación que hicieron previamente, ¿acertaron?
3. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comenten: ¿Qué color de canica es más frecuente de obtener? ¿Podrían adivinar el color de la canica que saldrá en la próxima extracción?
168
Versión de evaluación 23/04/12
1. Lee y realiza lo siguiente.
S23 4. Repitan el experimento, pero esta vez pongan en la bolsa tres canicas: dos azules y una blanca.
Cálculo Canicas azules que salen en 30 extracciones de la bolsa 2
Canicas blancas que salen en 30 extracciones de la bolsa 2
Resultados de 30 extracciones Canicas azules que salen en 30 extracciones de la bolsa 2
Canicas blancas que salen en 30 extracciones de la bolsa 2
¿Qué color de canica es más frecuente sacar en esta situación? ¿Podrían adivinar el color de la canica que saldrá en la próxima extracción?
Consulta en… Entra al sitio <http://www.acanomas.com/Biblioteca.php> y consulta la información sobre otros juegos de azar.
Autoevaluación Responde lo siguiente. Observa las cuatro bolsas que se muestran a continuación:
bolsa 1
bolsa 2
bolsa 3
Versión de evaluación 23/04/12
¿Consideran que ahora será más fácil obtener una canica blanca o una azul?
bolsa 4
Contienen canicas de color azul (A) y blanco (B). Marca con una palomita ( ) las frases que son verdaderas.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 1 que de la bolsa 2.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 2 que de la bolsa 4.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 1 que de la bolsa 3.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 3 que de la bolsa 4. 169
uen S ec 24 cia
Análisis de frecuencia absoluta y relativa
Sesión 94
En esta sesión utilizarás tablas de frecuencia absoluta para obtener la información resumida en ellas.
¿Qué sabes tú? El manejo y la interpretación de información dependen de la cantidad de datos que se tengan; por ejemplo, si se cuenta con un conjunto de diez datos, sólo bastaría enlistarlos y ordenarlos para poder describir su comportamiento. Sin embargo, para el análisis de un número mayor de datos se recomienda utilizar una tabla de frecuencia, la cual concentra y organiza la información. A continuación se muestran las horas a la semana que cada alumno de tercer grado de la escuela A invierte en estudiar después de clase. El grupo se compone de 50 estudiantes. 4 6 1 5 6 7 8 6 7 1
9 3 2 2 2 0 7 0 0 4
1 6 2 10 0 8 0 9 4 6
10 3 6 10 4 5 10 6 10 2
4 1 10 6 6 7 9 0 7 8
a) ¿Cuál es el mayor número de horas de estudio invertidas por un alumno? b) ¿Cuál es la diferencia entre el alumno que invierte menos horas de estudio con respecto al que invierte más horas? c) ¿Cuántas horas estudian la mayoría de los alumnos? e) ¿Cómo organizaron los datos para responder las preguntas? 170
Versión de evaluación 23/04/12
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
Manos a la obra Número de horas invertidas
Conteo
Frecuencia absoluta
4
3
0
6
a) ¿Cuántas horas diferentes se registraron? b) ¿Cuáles fueron esas horas? 2. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las preguntas siguientes. a) ¿Cuántos alumnos invierten 4 horas de estudio? c) ¿Cuántos alumnos invierten 10 horas de estudio? d) ¿Cuántos alumnos no invierten tiempo en estudiar?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, completen la siguiente tabla de frecuencias y contesten las preguntas.
En una tabla de frecuencias, la columna de frecuencia absoluta se refiere a la cantidad de veces que aparece un dato en toda la información, por lo que al sumar dicha columna nos dará el total de datos u observaciones registrados.
En este ejemplo, el total de datos es de 50 alumnos. 171
B3 Sesión 95
En esta sesión utilizarás tablas de frecuencia relativa para obtener información.
1. Continuaremos trabajando con los datos de la tabla de la sesión anterior. Agregaremos a nuestra tabla de frecuencias las columnas de frecuencia relativa y el porcentaje referente a cada dato. En parejas, completen la siguiente tabla (realicen los cálculos que sean necesarios). Número de horas invertidas
Frecuencia relativa Cálculo Resultado
Porcentaje Cálculo Resultado
Conteo
Frecuencia absoluta
4
4 50
0.08
0.08 × 100
8%
3
3 50
0.06
0.06 × 100
6%
50
50 50
1
1 × 100
100%
0
6
Total
Al dividir la frecuencia absoluta de cada dato entre el número total de datos se obtiene la frecuencia relativa. Al sumar los valores de la columna de frecuencia relativa el resultado debe ser igual a uno. Al multiplicar por 100 la frecuencia relativa de cada dato, obtendremos el porcentaje que representa ese dato con respecto al total. 2. Con base en los datos de la tabla, contesta las siguientes preguntas. a) ¿Qué número de horas invertidas en estudiar tiene el mayor porcentaje? b) ¿Cómo comprobarías que la columna de frecuencia relativa es correcta? Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 172
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
S24 Sesión 96
En esta sesión continuarás trabajando con tablas de frecuencia relativa.
Manos a la obra 34
34
115
52
106
72
52
40
89
116
114
110
89
67
115
80
96
89
40
89
89
62
40
98
80
46
111
111
29
25
Con la información del cuadro anterior completa la tabla siguiente. Cantidad de material reciclado (kg)
Conteo
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa Cálculo Resultado
Porcentaje Cálculo Resultado
1 34 40
3
3 30
0.10
0.1 × 100
10%
1 × 100
100%
2 98 1 114 116 Total
30
Versión de evaluación 23/04/12
1. Se realizó un concurso entre 30 telesecundarias del país para ver cuál reunía la mayor cantidad de material reciclado en kilogramos, los resultados se muestran a continuación.
En equipos, comparen los resultados y contesten las preguntas siguientes. a) La telesecundaria que ganó, ¿qué cantidad de material reciclado reunió? b) ¿Qué cantidades de material reciclado reunieron las telesecundarias que quedaron en segundo y tercer lugar? c) ¿Cuál fue la menor cantidad de material reciclado que se recolectó?
173
B3 Sesión 97
En esta sesión interpretarás la información que se presenta en distintas tablas.
Manos a la obra Entidad federativa Aguascalientes Baja California Baja California Sur Campeche Coahuila de Zaragoza Colima Chiapas Chihuahua Distrito Federal Durango Guanajuato Guerrero Hidalgo Jalisco Estado de México Michoacán de Ocampo Morelos Nayarit Nuevo León Oaxaca Puebla Querétaro Quintana Roo San Luis Potosí Sinaloa Sonora Tabasco Tamaulipas Tlaxcala Veracruz de Ignacio de la Llave Yucatán Zacatecas Estados Unidos Mexicanos
2000 25 927 84 377 11 793 8 532 52 571 11 813 22 018 72 885 451 553 21 445 67 668 19 619 23 971 163 935 289 186 46 557 31 704 11 795 127 178 20 482 64 339 38 673 18 557 32 387 37 781 53 505 20 729 54 062 9 042 72 247 28 494 16 610 2 011 425
2005 61 954 188 340 32 352 27 061 129 265 29 665 63 584 183 005 825 157 59 870 163 484 59 908 72 311 371 642 697 749 118 615 73 340 36 568 261 981 65 558 166 162 86 444 47 916 87 448 104 451 135 318 59 110 136 969 28 374 202 314 69 669 49 343 4 694 927
2010 99 579 374 234 72 319 55 160 230 582 58 737 135 322 312 615 1 171 631 105 076 301 818 129 170 134 561 652 230 1 162 156 221 817 137 530 78 882 468 025 134 557 287 815 153 832 115 058 151 052 220 665 267 201 117 126 256 467 53 921 405 608 129 964 84 909 8 279 619
Nota: Cifras correspondientes a las siguientes fechas censales: 14 de febrero (2000), 17 de octubre (2005), y 12 de junio (2010). Fuente: http://www.inegi.org.mx/sistemas/sisept/default.aspx?t=mviv41&s=est&c=26573 174
Versión de evaluación 23/04/12
1. La siguiente tabla muestra el número de viviendas particulares habitadas, por entidad federativa, con disponibilidad de computadora en los años 2000, 2005 y 2010.
S24 En parejas, utilicen la información anterior y calculen el porcentaje por año para cada entidad con respecto al total nacional. Contesten las siguientes preguntas. a) Cada uno explique a su compañero, con sus propias palabras, qué información muestra la tabla.
c) ¿Qué entidad muestra el mayor porcentaje y en qué año? d) Indiquen por cada año las entidades que tienen los tres primeros lugares en porcentaje. 1º año 2º año 3º año e) ¿Qué entidades mantienen el mismo porcentaje durante los tres años de análisis?
f) En cada año aumentó el número de computadoras en las viviendas particulares. ¿En qué año hubo un mayor aumento?
Consulta en… Entra a la página del INEGI para conocer otros interesantes datos estadísticos sobre nuestro país.
Versión de evaluación 23/04/12
b) ¿A qué años corresponde la información que presenta la tabla?
Autoevaluación Responde lo siguiente. • ¿Qué significaría que el total de la columna de frecuencia relativa fuera mayor a uno?
175
B3 Sesión 98
Evaluación Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.
a) $ 2 151.354 b) $ 2 151.4035 c) $ 2 151.435 d) $ 2 151.536 2. Considera la ecuación 9 x = 270. ¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior? a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm. b) El área de un eneágono regular mide 270 cm. c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm. d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm. 3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se muestra en la tabla. Tiempo (minutos) Distancia
21 min 7 km
42 min 14 km
55 min
84 min 28 km
Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió? a) 15.00 km b) 18.33 km c) 20 km d) 22 km 4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas hojas higiénicas contiene el rollo? a) 300.23 b) 400.51 c) 420.19 d) 499.10
176
Versión de evaluación 23/04/12
1. Jacinto requiere comprar 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda en internet. ¿Cuántos pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en $14.30?
S24 5. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares el área es de 20 m2? 2 cm
2 cm
b)
c)
d) 2 cm
2 cm a=4
a = 2.61
a = 1.37
a = 5.00
6. En una caja se colocan 12 lápices del mismo tamaño y textura, 3 son azules, 3 rojos, 2 amarillos, 2 negros, 1 verde y 1 morado. ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera? a) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color morado que uno verde. b) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color azul que uno rojo. c) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color rojo que uno amarillo. d) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color amarillo que uno negro.
La siguiente tabla ilustra el consumo de energía eléctrica en kilowatts (kW) de 4 casas durante 5 meses.
Mes Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4
Noviembre Diciembre 86 95 78 89 76 98 89 100
7. ¿En qué mes se consumió la mayor cantidad de energía eléctrica?
Enero 105 110 89 65
Febrero 88 80 78 117
Marzo 102 97 114 76
Versión de evaluación 23/04/12
a)
8. ¿Qué casa consumió menos energía durante los cinco meses?
a) Enero
a) Casa 1
b) Febrero
b) Casa 2
c) Diciembre
c) Casa 3
d) Marzo
d) Casa 4
9. ¿Qué polígono regular se puede generar a partir del ángulo mostrado? a) Dodecágono b) Undecágono c) Pentadecágono
156°
d) Icoságono
177
Versi贸n de evaluaci贸n 23/04/12
Bloque 4
Versión de evaluación 23/04/12
cumplan con e u q s re la u g re s y polígonos lo u c ír c ir u tr s • Con establecidas. s e n io ic d n o c cier tas as de barras c fi rá g n e a d ra ación presenta e gráficas pa d s o • Leer inform p ti s to s Utilizar e y circulares. formación. comunicar in
25 cia
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Sesión 99
En esta sesión resolverás problemas que implican utilizar números enteros.
¿Qué sabes tú? En equipos, cada uno de los integrantes escoja un objeto de la ilustración. Luego describan en un trozo de papel la ubicación de los objetos que eligieron y muéstrenlo a uno de sus compañeros; pueden emplear números y símbolos para la descripción, pero no palabras. Cada uno debe interpretar el mensaje de su compañero para saber qué objeto eligió. Anoten en el papel el nombre del objeto y devuélvanlo a su compañero. Finalmente revisen si interpretaron correctamente la descripción y pudieron identificar el objeto. Si hubo equivocaciones, deben encontrar en dónde estuvo la falla y corregirla. 60 m
40 m
22 m
10 m ESCUELA
1m
4m
1m 4m 10 m
40 m
180
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Números positivos y negativos
Manos a la obra Objetos que se eligieron: 60 m 1m 4m a) Utilicen ese mismo sistema y completen la tabla.
Ubicación
La persona que recibió el mensaje cree que es: Helicóptero Tubería de gas Rata
Dibujo Carro del metro
4m Tubería de agua potable 10 m b) Hay objetos sobre el nivel del suelo, como el helicóptero, y por debajo de su nivel, como el metro. En esta propuesta ¿cómo se representaron los objetos que están ubicados sobre el nivel del suelo? ¿Y los que se encuentran bajo el nivel del suelo? Con este sistema, escriban cómo representarían la ubicación de un bache sobre la calle.
2. En parejas, contesten las siguientes preguntas. En la primera actividad de la sesión, ¿cómo representaron ustedes los objetos que están sobre el nivel del suelo?
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En otra telesecundaria, un equipo elaboró un mensaje que fue correctamente interpretado. Observen y analicen cómo lo hicieron.
¿Cómo lo hicieron con los objetos que están ubicados bajo el nivel del suelo? ¿Por qué? Comparen sus mensajes con los de otros equipos. ¿Cuáles les parecen más claros y por qué?
Como hay distintas maneras de comunicar la ubicación de los objetos, se debe establecer un acuerdo. En este ejemplo podríamos representar el nivel del suelo con el cero, lo que está sobre el nivel del suelo con signo positivo + y lo que está bajo el nivel del suelo con signo negativo − . 181
B4 Sesión 100
En esta sesión localizarás números enteros en un recta númerica.
Manos a la obra Objeto Palomas a 20 m sobre el nivel del suelo. Una señal de tránsito a nivel del suelo. Un cable de la luz a 4 m de altura. Una estación del metro a 15 m bajo el nivel del suelo.
Ubicación + 20 m
2. En parejas, localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la tabla anterior. Cada división equivale a 5 unidades.
Los números enteros están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. Se pueden representar en la recta numérica tal y como se hizo con las fracciones y los decimales. Para ubicarlos, primero se determina el lugar del cero, a continuación se sitúan a su derecha los números con signo + (enteros positivos) y a su izquierda los números con signo – (enteros negativos).
3. Localicen los siguientes números en la recta numérica. Cada división equivale a una unidad. 1, 3, 7, –1, –5, –6, 0
Los números con signo positivo, o simplemente positivos, se ubican a la derecha del cero en la recta numérica y se escriben con el signo + o sin él; por ejemplo, el 1 positivo se escribe +1 o sólo 1. Los números negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y siempre se escriben anteponiéndoles un signo −; por ejemplo, el 16 negativo se escribe −16. El cero no es ni positivo ni negativo, es neutro, por lo que se escribe sin signo (no se le pone + ni –).
182
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, completen la siguiente tabla usando los signos + y – según corresponda.
S25 En esta sesión identificarás el orden que tienen los números enteros.
Sesión 101
Conocer la temperatura ambiental es importante para realizar nuestras actividades cotidianas. Para medirla se emplean los termómetros ambientales, como el de la ilustración, que muestran tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o temperaturas negativas. Las temperaturas bajo cero se acostumbra representarlas anteponiéndoles el signo –. Conocer los cambios o las variaciones de la temperatura nos permite, entre otras cosas, tener un mayor control de las cosechas y cuidar mejor nuestra salud. 1. En parejas, contesten las preguntas con los datos de la tabla. El 16 de enero de 2012 el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de las heladas que se esperaban para ese día en distintas ciudades. Ciudad La Rosilla El Vergel Creel La Ascensión
Estado Durango Chihuahua Chihuahua Nuevo León
Temperatura máxima Temperatura mínima (°C) (°C) 16.0 –8.5 14.0 –5.0 22.0 –4.0 23.0 –3.0
¿Qué temperaturas máximas se esperaban en La Rosilla y El Vergel? ¿Cuál es mayor? ¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Creel y La Ascensión es menor?
¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en El Vergel? ¿Y en Creel?
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
2. En grupo, comparen sus resultados y comenten sus procedimientos. En el equipo 1 señalaron que la variación de temperatura que se esperaba en El Vergel es de 9 °C, porque 14 − 5 = 9. En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las temperaturas y dijeron que la variación es de 19 °C, porque es el número de grados que hay entre ambas temperaturas. ¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación de temperatura correcta?
183
B4 3. En equipos, empleen la imagen del termómetro para contestar las preguntas siguientes. a) En un cierto día, la temperatura máxima en Toluca fue de 25 °C y la temperatura mínima fue de −1.5 °C. ¿De cuánto fue la variación de temperatura en esa ciudad?
c) ¿Cuántos grados hay de −9 °C a −26 °C? d) ¿Cuántos grados hay de −1.5 °C a −15.5 °C? e) En el termómetro ubiquen las temperaturas 13 °C y 4 °C, ¿cuál de las dos es menor?
f) ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas? g) Ahora ubiquen las temperaturas –13 °C y –4 °C, ¿cuál de las dos es menor?
h) ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas? i) Entre –13 °C y 4 °C, ¿cuál de las dos temperaturas es menor? j) Analicen sus respuestas en grupo y en caso de controversia consulten con su profesor.
24.2
La variación de temperatura es el número de grados que hay entre dos temperaturas dadas. Por ejemplo, Máxima
Mínima
Diferencia
21.3
–2.9
24.2
Guapoca
La variación de temperatura también la podemos interpretar como la distancia que hay entre dos números en una recta numérica horizontal. Por ejemplo: entre −12° y 7° hay una distancia de 19 unidades. −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
1
2
3
4
5
6
19 Es decir, la distancia entre dos números es igual a la longitud del segmento que los une. 184
7
Versión de evaluación 23/04/12
b) La temperatura mínima de Pachuca fue de −2.9 °C. Si se sabe que la variación de temperatura es de 23.4 °C, ¿cuál fue la temperatura máxima de dicha ciudad?
S25 4. Calcula la distancia que hay entre cada par de marcas del mismo color. Distancia entre marcas naranjas Distancia entre marcas azules
Versión de evaluación 23/04/12
Distancia entre marcas verdes
20°C 16°C
1°C −1°C −8°C
−29°C
Distancia entre marcas rojas Distancia entre marcas azules Distancia entre marcas verdes
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Consulta en… Entra al sitio <http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1025>, ahí encontrarás más información sobre los números enteros.
185
B4 Sesión 102
En esta sesión conocerás el valor absoluto y el simétrico de los números con signo.
La distancia que hay entre un número dado y el cero se conoce como valor absoluto. Observa que este valor es siempre positivo porque corresponde a la longitud del segmento que une a dicho número con el cero. El valor absoluto de un número se representa por medio de dos barras paralelas. Por ejemplo: la longitud entre el –11 y el 0 es 11, es decir, el valor absoluto de –11 es 11 y se escribe |–11| = 11. La longitud entre el 7 y el 0 es 7, es decir, el valor absoluto de 7 es 7 y se escribe |7| = 7. 1. En la recta numérica se han representado algunos números.
1 −1 2
−7.5 −6.5
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1 2
0
1 1 2
1
3.5
2
3
4
5
6
7
8
a) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −6.5? b) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que 1 ? 2 c) ¿Cuáles números tienen valor absoluto 5? Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten los procedimientos que emplearon. 2. Contesta las siguientes preguntas. a) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que 11? b) ¿Qué valor absoluto tienen los números 18 y −18? c) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −7.5?
186
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
S25
El valor absoluto de los números positivos y negativos siempre es un número positivo. Dos números que están a la misma distancia del cero se llaman números simétricos. Por ejemplo: +3 y –3 son números simétricos. |-3|=3
-3
|3|=3
0
3
3. En parejas, contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el simétrico del 5? b) ¿Cuál es el simétrico del −3? c) ¿Cuál es el simétrico del −18.9? d) ¿Cuál es el simétrico del 16.1? e) ¿Son simétricos los números 3 y − 3 ? 2 2 1 f) ¿Cuál es el simétrico de − ? 4 Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
Versión de evaluación 23/04/12
Por ejemplo: |–10.2| = 10.2 y |10.5| = 10.5
187
B4 Sesión 103
En esta sesión resolverás ejercicios aplicando lo que estudiaste anteriormente.
Manos a la obra 28
–27
33
–18
–16
8
2. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números? a) −6 y 10
b) 10.3 y 26
c) −9 y −0.5
d) −15 y 3.9
e) −6.1 y 0
f ) 0.9 y 8.1
g) −4.25 y 0.5 3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda. a) 14.7
6.1
d) –0.98
–0.1
b) −9.5
5
c) −4.3
e) –15.6
10.6
−15.7
Consulta en… Busca en las bibliotecas escolares y de aula las siguientes referencias con lecturas interesantes sobre este tema: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Números enteros”, en Una ventana al infinito, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón). Luz María, Marván, “Números simétricos”, “Números con signo”, “¿Mayor o menor?” y “El valor absoluto”, en Representación numérica, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Autoevaluación Responde lo siguiente. 1
1
1. Ubica sobre la recta numérica los números siguientes: –1.5, 2 , –0.25, – 3 , 2.25 -3
-2
-1
0
1
2
3
2. Abajo de cada uno de los números anteriores escribe su valor absoluto. 3. Encuentra el simétrico del mayor número positivo y del menor número negativo.
188
Versión de evaluación 23/04/12
1. En una recta numérica, ¿de qué lado del cero se ubican los siguientes números?
26 cia
Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
El círculo y cómo construirlo
Sesión 104
En esta sesión reconocerás la diferencia entre círculo y circunferencia.
¿Qué sabes tú? 1. Completa la siguiente definición. Una línea curva cerrada, que cumple con la condición de que todos sus puntos mantienen la misma distancia con el centro es
2. Organizados en equipos lleven a cabo la siguiente actividad y contesten las preguntas. Para permitirle a Víctor salir a jugar futbol con sus amigos, su mamá le puso como condición que armara el siguiente rompecabezas de un círculo, en cuyas piezas se han señalado algunas rectas notables y ciertos puntos sobre la circunferencia.
C B A En una hoja, calquen el rompecabezas de Víctor, recórtenlo y ármenlo. ¿Cuánto tiempo les tomó armarlo? 189
B4 Manos a la obra Responde las preguntas siguientes. 1. En la imagen del rompecabezas, los puntos A, B y C ¿están sobre la circunferencia o dentro
2. ¿Es lo mismo círculo que circunferencia? . Si consideras que son distintos, escribe con tus propias palabras una definición de círculo y una de circunferencia.
3. En las siguientes imágenes escribe el nombre de los elementos del círculo y su definición.
Comenten en grupo las respuestas que dieron.
190
Versión de evaluación 23/04/12
del círculo?
S26 Sesión 105
En esta sesión trazarás circunferencias a partir de dos puntos dados.
Manos a la obra 1. Organizados en equipos, observen la siguiente situación y contesten las preguntas.
Versión de evaluación 23/04/12
Javi y Ale jugaban con una cuerda en el patio de su casa. Ale permanecía firme mientras Javi daba vueltas manteniendo tensa la cuerda. a) ¿Qué figura describe el movimiento de Javi? b) ¿Qué elemento representa en la figura descrita el punto donde se paró Ale? c) ¿Qué elemento de la circunferencia representa la cuerda con la que jugaban? d) ¿Se puede trazar una circunferencia conociendo la longitud de su radio? 2. Observa la siguiente figura y escribe un procedimiento para trazar una circunferencia, con ayuda del compás, conociendo la longitud de su radio. a) Si se traza otro segmento del centro a un punto cualquiera de la circunferencia dibujada, ¿cómo es en relación al radio? b) ¿Cuántos radios tiene una circunfe rencia?
3. Don Cheto amarró un chivo a una estaca con una cuerda, como se muestra en la figura de la derecha. Cuando está completamente extendida, la cuerda mide 6 metros.
5m
Colorea la región de pasto que puede comer el chivo mientras está amarrado.
10 m 191
B4 Sesión 106
En esta sesión encontrarás un procedimiento para trazar una circunferencia a partir de su diámetro o de una cuerda de la misma.
Manos a la obra Yoyis
Arucha
18 cm
20 cm
Para una obra de teatro de la asignatura de Artes se necesitan unas máscaras de cartulina de forma circular. Para hacerlas, cada alumno midió la distancia de su frente a su barbilla. A continuación están los segmentos que indican las distancias obtenidas por dos alumnas.
Conociendo estas distancias, ¿cómo construirán la base de las máscaras? ¿Qué elemento del círculo representarán estos segmentos? Ahora midan la distancia que hay entre su frente y su barbilla y hagan su propia máscara. Compartan con el grupo el procedimiento que siguieron para elaborar su máscara y elijan la mejor máscara (recuerden que debe tener forma circular). 2. Realiza lo siguiente. a) Marca un punto en tu cuaderno y traza una circunferencia de 5 cm de radio. b) Señala dos puntos sobre la misma y únelos, procurando que no definan el diámetro. ¿Cómo se llama este segmento? c) Traza la mediatriz del segmento resultante. Responde las siguientes preguntas. Observa que al trazar la mediatriz del segmento que definen dos puntos sobre la circunferencia, el centro está sobre dicha mediatriz.
¿Cómo son las distancias del centro a los puntos marcados sobre la circunferencia?
¿Es posible trazar otras circunferencias que pasen por los mismos puntos que elegiste? El segmento que determina la unión de dos puntos dentro de la circunferencia se llama cuerda.
192
Comenta tus respuestas con tus compañeros.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan la siguiente actividad.
S26 Como ya viste, la mediatriz de un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasa por el centro de la misma; por lo tanto, conociendo dos puntos y tomando un punto sobre la mediatriz como centro, se puede trazar una circunferencia que pase por ellos.
Versi贸n de evaluaci贸n 23/04/12
B Mediatriz
A
3. Encuentra el centro de las circunferencias aplicando los conceptos que manejamos en la sesi贸n.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Analicen en grupo lo que sucede en el caso de la figura 3.
193
B4 Sesión 107
En esta sesión trazarás circunferencias a partir de tres puntos dados.
Manos a la obra 1. La tienda de ropa Mores tiene tres sucursales ubicadas en diferentes puntos de la ciudad. Si se decide colocar una bodega a la misma distancia de cada una de las tres sucursales, ¿en qué lugar se debe ubicar la bodega? Señálenlo en el croquis.
Los puntos marcados con rojo son los sitios donde se localizan las tiendas. a) ¿Es posible determinar un punto que se encuentre a la misma distancia de los puntos rojos? b) Describan el procedimiento que siguieron para determinarlo y compártanlo con el grupo. c) ¿Podemos auxiliarnos del trazo de mediatrices para ubicar la bodega del problema anterior? d) Para encontrar un punto que equidiste de los puntos rojos, ¿será necesario trazar las tres mediatrices o será suficiente con trazar sólo dos de ellas? 2. El dueño de la tienda de ropa finalmente construyó la bodega y ahora desea abrir una nueva sucursal. Quiere que ésta se ubique a la misma distancia de la bodega, al igual que las demás sucursales. Encuentren en el croquis anterior cinco posibles lugares donde instalarla. Comparen sus propuestas con las de sus compañeros. ¿Cuáles son todos los posibles lugares en donde pueden situar la nueva sucursal?
194
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, resuelvan lo que se les solicita.
S26 3. En su cuaderno marquen tres puntos a diferentes distancias, cuidando de que no sean colineales (es decir, que no estén en una misma línea recta). a) Unan los puntos mediante segmentos. b) Tracen las mediatrices de los segmentos. d) Tomando como centro el punto O y como radio la distancia de O a cualquiera de los puntos, tracen una circunferencia. Comprueben que ésta pasa por los puntos marcados. Comparen con otras parejas los puntos que dibujaron y las circunferencias que trazaron. 4. En grupo, analicen lo siguiente. Dado que los tres puntos de la actividad anterior no están en una misma recta, ¿por qué se intersecan en el mismo punto las mediatrices de los segmentos que los unen?
Versión de evaluación 23/04/12
c) Encuentren la intersección de las mediatrices y llámenlo O.
Dados tres puntos no colineales siempre se puede trazar una única circunferencia que pase por ellos. El centro de la misma es el punto de intersección de las mediatrices. Cuando los tres puntos son colineales (es decir, cuando están sobre la misma recta), no se puede trazar la circunferencia.
¿Cuál fue el objetivo de encontrar este punto de intersección?
Consulta en… En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para saber más sobre este tema: José Antonio de la Peña, Geometría y el mundo, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón). Carlos Hernández, La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Autoevaluación Responde lo siguiente. 1. Describe el procedimiento para construir un círculo a partir de tres puntos dados.
2. Si tienes tres puntos, ¿cuántas circunferencias puedes trazar que pasen por ellos? 3. Y si solamente tienes dos puntos, ¿cuántas circunferencias puedes trazar que pasen por ellos?
195
27 cia
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Sesión 108
En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.
¿Qué sabes tú?
r ad
io
Observa la siguiente imagen.
diámetro
c ir
círculo
nf cu er en cia
Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área del círculo de la imagen anterior. ¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?
196
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Pi en el círculo
Lleva a cabo las siguientes actividades. 1. Usa tu compás para trazar dos círculos distintos en tu cuaderno. Tú determinarás la medida de los radios. Ahora mide la longitud de las circunferencias. Dos posibles formas de hacerlo son: a) Utiliza un trozo de hilo (lo bastante largo), colócalo sobre la circunferencia y marca el punto donde se encuentra con el extremo inicial del hilo, y ahora mide la distancia entre este extremo y la marca que realizaste. Haz lo mismo con la otra circunferencia. b) Recorta una copia de cada círculo. Colócala sobre el borde más largo de una hoja de papel (como se muestra en la imagen). Marca en la hoja y en el círculo un punto inicial. Ahora rueda el círculo sobre el borde hasta que gire completamente (lo sabrás cuando la marca que hiciste vuelva a estar sobre el borde). Mide lo que abarcó el recorrido de la circunferencia.
Borde de la hoja
2. Para cada uno de los círculos que trazaste en tu cuaderno, mide el diámetro, el perímetro perímetro y calcula diámetro .
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
3. ¿Qué notas en los resultados de los dos cocientes calculados?
4, Formen equipos, comparen sus resultados y coméntelos. ¿Qué tienen en común los resultados?
197
B4 Sesión 109
En esta sesión aprenderás a calcular el perímetro de una circunferencia.
Manos a la obra
Para cualquier círculo este cociente da el mismo valor, el cual se denomina pi y se representa con la letra griega π. El valor de π es aproximadamente 3.1416. perímetro Entonces, dado que para todo círculo tenemos diámetro = π , podemos calcular el perímetro del círculo con la fórmula: perímetro = π × diámetro. 1. Utilizando esta fórmula y un valor aproximado para π de 3.14, calcula el perímetro de los dos círculos que dibujaste en la sesión anterior. Anota los resultados en tu cuaderno. ¿Es distinto el resultado al del perímetro que habías medido? ¿A qué se podría deber la diferencia?
2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 10 cm?
Un dato interesante… Las cifras decimales de π nunca terminan, y además no se puede encontrar un periodo en ellas. Te presentamos las primeras veinte cifras de π: 3.1415926535897932384… 3. Lee el siguiente poema. Soy y seré a todos definible, mi nombre tengo que daros, cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.
Manuel Golmayo
Este poema está dedicado al número π, ¿notas alguna relación entre el poema y el valor de π?
Comenta tu respuesta con tu grupo y con ayuda del profesor lleguen a una conclusión. 198
Versión de evaluación 23/04/12
En la sesión anterior calculaste el cociente perímetro/diámetro en círculos distintos, y notaste que este cociente es aproximadamente 3.14.
S27 En esta sesión calcularás el área de círculos.
Sesión 110
Manos a la obra 1. En tu cuaderno traza con color azul un polígono regular (puede ser un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono) y encuentra el punto medio de todos sus lados. Luego traza una circunferencia que pase por tres de estos puntos, y ahora une con color verde los puntos medios anteriores. ¿Cuál es el área de cada polígono que dibujaste? ¿Qué relación hay entre estas áreas y el área del círculo? Comenten sus resultados en parejas. 2. En parejas comenten cómo obtener un valor más aproximado para el área del círculo, y con ayuda de su profesor den una mejor aproximación.
Cuando una circunferencia pasa por todos los vértices de un polígono regular se dice que ésta circunscribe al polígono, o que el polígono está circunscrito por la circunferencia. Por ejemplo, el polígono verde que trazaste está circunscrito por la circunferencia. En cambio, una circunferencia está inscrita en un polígono regular cuando pasa por todos los puntos medios de los lados de dicho polígono. Este es el caso del polígono que trazaste en color azul.
Versión de evaluación 23/04/12
Lleva a cabo las siguientes actividades.
199
B4 Sesión 111
En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.
Manos a la obra Lleva a cabo las siguientes actividades.
Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno. ¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?
¿Y con el área? ¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?
¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo?
200
2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.
Versión de evaluación 23/04/12
1. Observa la imagen.
S27 ¿Qué sucede con los perímetros de los polígonos azules conforme aumenta el número de lados del polígono? ¿Y con el área?
¿Qué relación hay entre el área de estos polígonos y el área del círculo?
Imagina que cada vez hay más lados en el polígono regular que está inscrito en la circunferencia. ¿Cómo será el perímetro del polígono respecto al de la circunferencia?
¿Y el área?
Una circunferencia se puede pensar como un polígono regular con una cantidad infinita de lados, cuyo apotema coincide con el radio (en la imagen se puede notar cómo al aumentar el número de lados del polígono el apotema es cada vez más cercana a la longitud del radio).
a
a
r
r
a
r
a
Entonces calculamos el área del círculo utilizando la fórmula del área para polígonos regulares: Área =
perímetro × apotema 2
Pero sabemos que, perímetro = π × diámetro
r
Versión de evaluación 23/04/12
¿Qué relación hay entre el perímetro de estos polígonos y el perímetro de la circunferencia?
apotema = radio Así que sustituyéndolos en la fórmula de área se obtiene: Área =
π × diámetro × apotema 2
Ahora dado que, diámetro = 2 × radio, la fórmula para calcular el área del círculo es: Área = π × radio × radio, o lo que es lo mismo: A = π × r2 201
B4 Sesión 112
En esta sesión aplicarás las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo.
Manos a la obra Radio
Diámetro 2 cm
Perímetro
Área
2 cm 3 cm 8 cm 5 cm Analicen los resultados de la tabla. ¿Qué sucede con el perímetro del círculo cuando se duplica y se triplica el tamaño de su diámetro? ¿Existe una razón de proporcionalidad?
Coméntalo con un compañero.
¿Sucede lo mismo con el área? Si el diámetro de un círculo aumenta en una unidad, ¿qué sucede con el perímetro?
Resuelvan mentalmente las preguntas siguientes. a) Si el radio de un círculo mide 6 cm, ¿cuánto será su perímetro? b) Si el diámetro de otro círculo mide 7 cm, ¿cuánto mide el perímetro? Comenten sus respuestas para llegar a una conclusión, con la orientación de su profesor.
Autoevaluación Responde lo siguiente. 1. Una aproximación del número π es: 2. ¿Cuáles son las fórmulas del perímetro y el área del círculo?
202
Consulta en… En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para saber más sobre este tema: José Antonio de la Peña, “¿De dónde sale el famoso número Pi?”, en Geometría y el mundo, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón). Carlos Hernández, La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón). Carlos Hernández, “Perímetro del círculo”, en La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón). Luz María Marván, “Números de cuento y de película”, en Representación numérica, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, completen la siguiente tabla. En ella se encuentran los datos de cinco círculos distintos. Consideren π = 3.14.
uen S ec 28 cia
Regla de tres
En esta sesión resolverás problemas para encontrar el valor unitario.
¿Qué sabes tú? Contesta lo siguiente. Si se quieren comprar seis latas de rajas, ¿en cuál de las dos tiendas conviene comprar?
“Abarrotes Don Domingo” promoción
2x1
$6.74
“TIENDITA DE LA ESQUINA”
Versión de evaluación 23/04/12
Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios.
Sesión 113
$5.90
APROVECHE
3x2
203
B4 Manos a la obra 1. Resuelve los problemas siguientes. a) Arturo compró 4 kg de azúcar y pagó $48.00, ¿cuánto habría pagado por 2 kg?
¿Cómo obtuviste el precio para 2 kg? ¿Y para 13 kg? b) Con $71.50 se compraron tres gorras. ¿Cuánto cuesta una gorra?
Completa la tabla.
Núm. de gorras
15
21
55
109
210
Precio Para saber el precio de cualquier cantidad de gorras, ¿es importante conocer el valor de ¿Por qué?
una sola gorra?
¿Cómo obtuviste el valor de una sola gorra?
2. Resuelve el problema siguiente.
Nombre: Jesús
Domicilio: Central Teléfono: 663 Cant.
#23
0543
Descripción 1 2
Precio Unitario
Importe
$32.50
5
Codos de 90°
2
Tubos de 2 pulgada, 6m
8
T de 2 pulgada
$88.00
3
Llaves de paso
$162.00
4
204
pulgada
1
1
Paquetes de soldadura
$688.00
$280.00
La siguiente nota de remisión es del material que compró Jesús para la instalación hidráulica de su baño. El vendedor no llenó la columna de valor unitario. a) ¿Cuánto cuesta un codo de 90° de 1 pulgada? 2 b) ¿Cuánto se pagará por 3 T de 1 ? 2 c) ¿Cuánto cuesta un metro de tubo de 1 ? 2 d) Si se compran 2 llaves de paso y 3 paquetes de soldadura, ¿cuánto se debe pagar?
Versión de evaluación 23/04/12
¿Y por 13 kg?
S28 En esta sesión resolverás problemas con la constante de proporcionalidad.
Sesión 114
Manos a la obra 1. En parejas resuelvan el problema siguiente.
Nombre
Cantidad de piezas
Pago total
Víctor
13
$195.00
Mariana
8
$120.00
Angélica
21
$315.00
Daniel
4
$60.00
a) ¿Cuánto pagaría Víctor por una sola pieza? b) ¿Cuánto pagaría Mariana por 30 piezas? c) Si se sabe la cantidad de piezas adquiridas, ¿cómo se puede determinar la cantidad a pagar? e) Gabriela pagó $270.00 por todas las piezas adquiridas. ¿Cuántas piezas compró? f) Si se conoce la cantidad pagada, ¿cómo se puede determinar la cantidad de piezas adquiridas?
Dados dos números a y b, al cociente a se le denomina la razón b de a respecto a b. Dos razones están en proporción si los cocientes respectivos son equivalentes, esto es: a = c = constante de proporcionalidad. b d Los términos a y d se denominan extremos, y los términos b y c se denominan medios.
Versión de evaluación 23/04/12
En la tabla se muestra la cantidad de piezas del mismo modelo adquiridas por cada persona y lo que pagaron en total.
En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios, o lo que es lo mismo, a d = b c.
205
B4 2. Resuelve los problemas. a) Rosalba compró 3 kg de azúcar en $57.00, y su mamá compró 5 kg, ¿cuánto pagó la mamá de Rosalba por el azúcar que compró?
Cantidad de tacos Cantidad a cobrar (pesos)
1
2
3
5
10
60
204
c) Gonzalo y Felipe corrieron a la misma velocidad. Gonzalo corrió 12 km en 48 minutos, ¿en cuánto tiempo corrió Felipe 7 km? d) Ana, Jesús y Lizbeth tienen el mismo rendimiento de gasolina en sus autos. El auto de Ana consumió 15 litros de gasolina al recorrer 135 km, Lizbeth recorrió en su auto 99 km, y el auto de Jesús consumió 9 litros de gasolina en su recorrido, ¿cuántos litros de gasolina consumió el auto de Lizbeth? La regla de tres es una manera de resolver problemas con valores relacionados en proporción directa, ésta se denota como a:b : : c:d también se representa como a = c , que es igual que ad = bc b d La regla de tres se aplica cuando se conocen tres valores y necesitamos averiguar un cuarto, y se basa en el hecho de que en una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Por ejemplo, en los autos del problema anterior, el gasto de gasolina está en proporción directa con los kilómetros que se recorren. Para saber qué distancia recorrió Jesús en su automóvil con 9 litros de gasolina formamos la siguiente proporción: Lizbeth 15 L = 135 km
Jesús 9 L x km
De acuerdo con la propiedad de las proporciones que establece que a d = b c, sustituimos los datos y tenemos que: 15x = 135(9)
Se forma una ecuación
x = 135 (9) 15
Se resuelve la ecuación
x = 81
Jesús recorre 81 km con 9 L de gasolina. 206
Versión de evaluación 23/04/12
b) Juan es taquero, y para no equivocarse al hacer las cuentas y determinar la cantidad de dinero que debe cobrar, decidió elaborar una tabla, sólo que no la concluyó. Escribe los valores que faltan.
S28 Ensalada de atún
3. Contesten en parejas. a) Para preparar este platillo para 6 personas, ¿cuántas latas de atún se necesitan?
(4 porciones)
2 latas de atún
b) Para 20 personas, ¿cuántos kilogramos de lechuga se necesitan?
250 gramos de lechuga
c) En la familia de Reyna prepararon la receta y ocuparon 30 jitomates,
4 jitomates
¿para cuántas porciones alcanzará la ensalada? 4. En equipos, comenten cómo encontraron las respuestas a los problemas de la sesión.
En esta sesión resolverás problemas encontrando el valor faltante en una proporción.
Manos a la obra 1. Analiza el procedimiento propuesto y después responde lo que se te pide. Para transportar a 124 personas se requieren 4 autobuses. Si se emplearon 7 autobuses, ¿cuántas personas se transportaron? Lo que se tiene es una proporción directa, y para encontrar el valor faltante se multiplican extremo por extremo y medio por medio.
(124) (7) = (x) (4)
868 = 4 x
x = 868 4
x = 217
Se forma una igualdad (ecuación) Se resuelve la ecuación
Versión de evaluación 23/04/12
4 zanahorias
Sesión 115
Entonces, en 7 autobuses se transportaron 217 personas.
207
B4
a) 124 personas son a 4 autobuses como x personas son a 7 autobuses
b) 4 autobuses son a 124 personas como 7 autobuses son a x personas
124 : 4 : : x : 7
4 : 124 : : 7 : x
¿Se colocaron los valores en cualquier orden ?
¿Por qué?
¿Qué valores son los extremos en el inciso b? ¿Qué valores son los medios en el inciso b? Para la forma representada en el inciso a), 124 y 7 son los extremos, mientras que x y 4 son los medios. Una forma más de expresar lo anterior es:
124 : 4
x : 7 Si aumentan las personas, ¿aumentará la cantidad de autobuses?
En una proporción se tiene a : b : : c : d (se lee: a es a b como c es a d)
Si disminuye la cantidad de personas, ¿qué sucederá con la cantidad de autobuses?
2. Lee los siguientes problemas y contesta las preguntas. a) Por 3 árboles frutales del mismo precio Ernesto pagó $270. Laura también compró de los mismos tipos de árboles. Si terminó pagando $630, ¿cuántos árboles frutales compró Laura? ¿Cómo plantearías la proporción? ¿Cuál es la ecuación que se forma? Encuentra la solución y escribe un enunciado con tu respuesta. b) Para recorrer 85 kilómetros se emplearon 17 litros de gasolina. Si en total se emplearon 25 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron? c) Para construir 5 m2 de pared se emplean 140 tabiques; con 476 tabiques, ¿cuántos metros cuadrados de barda se pueden construir? En equipos, comparen sus procedimientos y sus resultados. 208
Versión de evaluación 23/04/12
La información anterior también se puede representar de las siguientes maneras:
S28 En esta sesión resolverás problemas aplicando lo aprendido en las sesiones anteriores.
Sesión 116
Manos a la obra a) En un edificio todos los departamentos tienen la misma cantidad de puertas. Si para 5 departamentos se colocaron 24 puertas y el edificio tiene 24 departamentos, ¿cuántas puertas se deben colocar? b) Por 200 gramos de jamón se pagaron $25, ¿cuánto se deberá pagar por 750 gramos? c) De un terreno de 8 hectáreas se cosecharon 72.8 toneladas de aguacate, ¿cuántas toneladas de aguacate se cosecharán en 15.7 hectáreas? d) Si el rendimiento de un automóvil es de 18 kilómetros por litro de gasolina, ¿cuántos kilómetros recorrerá ese automóvil con 2 litros de gasolina? ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular la distancia recorrida para cualquier cantidad de litros de gasolina? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el consumo de gasolina a partir de la distancia que se recorre? ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta situación de proporcionalidad?
Consulta en… Entra al sitio: <http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_proporcionalidad/index_1quincena6.htm>, ahí podrás conocer más y resolver ejercicios sobre proporcionalidad.
Autoevaluación Responde lo siguiente. 1. María fue de vacaciones a Acapulco en su camioneta. Desde su casa recorrió 522 kilómetros y gastó 63 litros de gasolina. En cambio Pepe, en su automóvil, gastó 21 litros de gasolina para recorrer los 190 kilómetros que lo separaban de Cuernavaca. ¿El rendimiento de estos vehículos es proporcional?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
Explica por qué.
2. Si el auto de Javier tiene el mismo rendimiento que la camioneta de María, ¿cuánta gasolina necesitará para recorrer los 28.8 kilómetros de la avenida Insurgentes, que es la más extensa de la ciudad de México? 209
29 cia
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
Sesión 117
En esta sesión trabajarás con problemas de escalas.
¿Qué sabes tú? 1 : 18 24 cm
1 : 24 18 cm
Existen varios objetos que se realizan a escala con fines diversos. Por ejemplo, los mapas cartográficos, las maquetas que utilizan los arquitectos o los autos a escala. En la imagen de al lado se muestran las principales escalas usadas en autos, y una medida aproximada. Si se hiciera un modelo a tamaño real, ¿a qué escala estaría? ¿En la imagen, a qué escala está el primer auto con res-
1 : 43 10 cm
pecto al último?
1 : 64 7 cm
Manos a la obra 1. Contesten en parejas. Si el auto a escala 1:64 mide aproximadamente 7 cm de largo, ¿cuál es la medida aproximada del auto original? ¿Cuánto medirían los autos de las otras escalas? Además de estas escalas, también se utiliza la escala 1:87, ¿cuál sería el tamaño del auto en esta escala? Comparen sus resultados con los de otras parejas. 210
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Proporcionalidad utilizando escala
En esta sesión continuarás trabajando con escalas en distintos contextos.
Sesión 118
1. La siguiente imagen muestra el dibujo de un chip, hecho a una escala de 10:1 cm.
5 cm
¿De qué tamaño es el chip real? ¿Cuál es la diferencia entre la escala utilizada en este dibujo y las que emplearon en los autos de la sesión anterior? ¿Cómo calculas la razón de proporcionalidad a partir
10 cm
de la escala? ¿Cuál es la razón de proporcionalidad en este caso? Si a partir del dibujo anterior se hiciera una réplica que coincidiera en medidas con el chip real, ¿cuál sería la escala del segundo dibujo, respecto del primero?
¿Cuál sería la razón de proporcionalidad?
10 : 1 cm
¿La multiplicación de ambas razones de proporcionalidad es igual a uno?
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
¿Por qué?
¿Cuál sería la escala del segundo dibujo respecto del chip original? Comenten sus respuestas con sus compañeros.
El producto de dos números recíprocos siempre es uno. Por ejemplo, 7 multiplicado por su recíproco 1 es igual a 1, y 2 multiplicado 7 3 por su recíproco 3 es igual a 1. 2 211
B4 Sesión 119
En esta sesión aplicarás lo aprendido en las sesiones anteriores.
Manos a la obra 1. Contesten en parejas.
a) ¿Cuánto mide su altura? b) Si se conserva el valor del área del rectángulo pero la base midiera 12 cm, ¿cuántos centímetros medirá su altura? c) Si ahora la base del rectángulo midiera 8 cm de longitud y conservara la misma área, ¿cuántos centímetros medirá su altura? d) ¿Habría alguna relación de escala entre estos rectángulos? Comenta tus respuestas con tus compañeros. 2. Resuelve esta actividad de manera individual. La siguiente es una imagen de una habitación hecha a escala 1:12. a) ¿Cuánto mide la habitación real? b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad? 200 mm
c) Si quisieras colocar una réplica tuya en la habitación, ¿cuánto mediría de estatura? Si quisieras hacer la habitación con las medidas originales, ¿a qué escala la harías, tomando como base la habitación de la imagen?
127 mm
¿Cuál es la relación entre ambas escalas? 160 mm
En grupo, analicen las respuestas de esta actividad y obtengan una conclusión.
Consulta en… Entra al sitio <http://vela.sep.gob.mx/index.php/primero> y selecciona la materia Matemáticas para ver el video “Proporcionalidad inversa”. 212
Versión de evaluación 23/04/12
Se sabe que un rectángulo tiene un área de 24 cm2 y que su base mide 6 cm de longitud.
S29 En esta sesión aplicarás una proporción para ir de una escala a otra.
Sesión 120
Manos a la obra 1. En equipos, realicen la siguiente actividad.
¿A qué escala está el mapa? Midan la distancia entre dos puntos del mapa, ¿qué distancia encontraron? ¿Cuál es la distancia real entre estos puntos? Si en el mapa dibujas un cuadrado con lados de 1 cm, ¿cuál sería el área real de la región que abarca el cuadrado? Comparen y comenten sus resultados con otros equipos. 2. Responde las siguientes preguntas. Si hicieras una estatua tuya, ¿de qué tamaño la harías? ¿Qué escala usarías? Si se hiciera una réplica de tu estatua al doble del tamaño, ¿cuál sería la escala con respecto a la estatua original?
¿Y cuál sería su escala con respecto a ti?
Comenta tus respuestas con un compañero.
Autoevaluación Responde lo siguiente, completando la afirmación para que sea verdadera.
Versión de evaluación 23/04/12
En su libro de Geografía ubiquen un mapa a escala.
1. El producto de dos números recíprocos es: 2. Un busto que mide 84 pulgadas de altura está hecho a una escala 7:1 pulgadas, ¿cuál es su medida original en centímetros? 3. El muñeco de un superhéroe está hecho a una escala 1:7 pies, ¿cuál es su estatura original en metros?
213
uen S ec
Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Sesión 121
En esta sesión aprenderás a enumerar todos los resultados posibles de una situación.
¿Qué sabes tú? alhua
c án
c io Pala nte
34 30
33 34 26
25
Br av
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llegar a la tienda?
3
Croquis
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alhua
este nuevo recorrido? c án
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22
ina
21
19
Marca en la imagen, con color naranja, el recorrido que hizo alguno de tus compañeros. ¿Por qué calles pasa
Croquis 1 214
Realiza la siguiente actividad.
En este recorrido, ¿por qué calles pasa Adriana para e de
31
30
29
28
27
Ilhu
Vall
Adriana vive cerca del centro de Ciudad Nezahualcóyotl, en la esquina que forman las calles 25 y Valle de Bravo. Ella va a la tienda que se encuentra en la calle 32 esquina con Chalco. El mapa muestra el recorrido que ayer hizo Adriana para ir a la tienda. a) Sobre la imagen anterior marca con rojo otro recorrido que podría hacer Adriana para ir de su casa a la tienda.
31
29
lc o
V ic e
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Ilhu
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ic am
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19
Chim
3
Casi todas las calles de Ciudad Nezahualcóyotl son rectas, por lo que es posible representar el recorrido que hizo Adriana de su casa (A) a la tienda (T), como muestra el croquis 1.
Versión de evaluación 23/04/12
30 cia
Problemas de conteo
19
Chim
28
Pala nte
31
V ic e
29 30 26
Vall
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33 34 25
26
de cuadras?
Marquen esos recorridos de distintos colores en el croquis 2.
Cha
T
3
Croquis 2
Manos a la obra 1. Contesten en parejas. Una pareja de alumnos señaló el recorrido que siguió Adriana en color naranja y otra en color rosa, como sigue: 19
ina
Chim
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Croquis pareja 1
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c án
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26
1N
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21
19
2E
Versión de evaluación 23/04/12
c io
31 32
30
29 23
¿Cuántos recorridos diferentes hay con este número
Comparen su solución con las de los otros equipos.
c án
26
22
¿Cuántas cuadras tiene ese recorrido?
alhua
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Ilhu
23
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22
ina
21
b) Encuentren en el croquis 2 un recorrido en el que Adriana camine el menor número de cuadras para llegar a la tienda (T) y represéntenlo.
3
Croquis pareja 2
a) ¿Puede llegar Adriana a la tienda siguiendo el camino 2N, 5E, 2S, 1N? Utilicen las letras N, S y E para representar en su cuaderno los recorridos que puede hacer Adriana para ir de su casa a la tienda caminando el menor número de cuadras.
215
alhua
c án
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Vall
Utiliza el código de las letras N, S y E para representar en tu cuaderno los recorridos más cortos que puede hacer Jessica.
3
Croquis 3
Chim
alhua
3. Consideren el croquis 4. Si alguien vive en la esquina c án
27
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Ilhu
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21
19
A los recorridos que constan del menor número de cuadras se les llamará “recorrido óptimo”.
c io Pala nte
34 30
lc o
31
29 26 27
Vall 31
30
29
28
25
34
33
ina ic am Ilhu
Cha
V ic e
25
26
T
menor número de cuadras?
Ri va
33
22
32
30
31
29
28
diferentes puede llegar a la tienda (T) caminando el
23
?
de las calles 23 y Valle de Bravo, ¿de cuántas formas
e de
Br av
o
O te
3
Croquis 4
Al encontrar cuántas formas diferentes hay de realizar un recorrido se está resolviendo un problema de conteo. En los problemas de conteo es conveniente utilizar una manera de distinguir un resultado de otro. Por ejemplo, en el caso de Adriana se puede diferenciar un camino de otro si cada uno de ellos se distingue con un símbolo, una letra o un nombre. Una manera de representar uno de los ocho recorridos óptimos que Adriana puede hacer es: 1E, 1N, 6E. Esta manera de resolver problemas de conteo se llama “procedimiento de enumeración”.
216
Versión de evaluación 23/04/12
nte
34 30
¿Cuál es el menor número de cuadras que debe caminar Jessica para ir de su casa a la tienda (T)?
c) ¿De cuántas formas diferentes puede ir de su casa a la tienda caminando el menor número de cuadras?
31
29
lc o
V ic e
25
26
ina ic am
Cha
T
b) Jessica (J) es prima de Adriana y vive en la esquina de la calle 28 y Chimalhuacán. Utilicen el croquis 3 para contestar las preguntas.
Ri va
23
33
22
32
30
31
29
28
27
26
25
Ilhu
23
Chim
J
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22
ina
21
19
B4
S30 Sesión 122
En esta sesión utilizarás tablas de doble entrada como recurso para ordenar y contar datos.
Manos a la obra
La Delicia Chocolatería
En la chocolatería La Delicia elaboran chocolates de diferentes tipos, formas y rellenos. Cuando alguien hace un pedido, el vendedor debe llenar un formato como el siguiente: a) ¿Habrá más de diez chocolates diferentes? ¿Más de veinte?
Cliente: Pedido:
Precio:
Fecha de entrega: Marcar la opción deseada Barra
Forma
¿Más de cuarenta?
b) ¿Cuántos chocolates diferentes pueden elaborarse en La Delicia?
Bolitas Oscuro
Tipo de chocolate
Blanco Amargo
Compara tus respuestas con las del resto del grupo.
Nuez Relleno
Almendras Cacahuate
2. En parejas, completen las siguientes tablas. a) ¿Cuántas variedades de chocolates en forma de bolita hay de chocolate amargo? b) ¿Cuántas variedades hay de chocolate oscuro con relleno de nuez? c) Si alguien pide un chocolate con relleno de almendra, ¿entre cuántas variedades de chocolate puede elegir?
d) Observen las tablas. En la primera casilla de cada tabla está identificada la forma del chocolate, de la segunda columna en adelante están los rellenos, y del segundo renglón hacia abajo, los tipos. Si en vez de construir las tablas a partir de la forma del chocolate se construyen a partir de los diferentes tipos, ¿cuántas tablas tendrían que hacerse? Elabórenlas en su cuaderno.
Chocolate en barra
Relleno nuez (n)
Oscuro (O)
O-n
Blanco (B)
Relleno Relleno almendras cacahuate (a) (c) B-a
Amargo (A) Chocolate en bolitas
Relleno nuez (n)
Relleno Relleno almendras cacahuate (a) (c)
Oscuro (O) Blanco (B) Amargo (A)
Versión de evaluación 23/04/12
1. Contesta lo siguiente.
A-a
.
e) ¿Cambia el número total de variedades de chocolate? ¿Por qué? Analicen sus resultados con ayuda del profesor. 217
B4 Sesión 123
En esta sesión utilizarás como recurso de conteo el diagrama de árbol.
Manos a la obra 1. En parejas, completen el siguiente diagrama de árbol. Forma
Relleno Nuez
Bolitas Obscuro
Chocolate
Blanco
a) ¿Cuántos chocolates diferentes de tipo amargo se pueden elaborar? b) ¿Cuántos chocolate diferentes se pueden elaborar con relleno cacahuate? Un diagrama de árbol es un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resultados de un problema de conteo. Los diagramas de árbol están compuestos por niveles y ramas.
218
c) ¿Cuántos chocolates diferentes se pueden elaborar en forma de barra? d) ¿Cuántos chocolates diferentes se pueden elaborar? e) ¿Obtuvieron el mismo número de chocolates diferentes con las tablas y con el diagrama de árbol? f) El diagrama de árbol anterior tiene tres niveles, uno por cada uno de los conjuntos que definen las características del chocolate, ¿cuál de las tres características del chocolate se utiliza en el primer nivel del árbol? g) Supongan que en La Delicia tienen un nuevo relleno: cajeta. ¿Cuántos chocolates distintos podrían elaborarse ahora? Elaboren en su cuaderno el diagrama de árbol que represente esta situación.
Versión de evaluación 23/04/12
Tipo
S30 2. En parejas, resuelvan el problema siguiente. La Delicia puede decorar los chocolates con dos ingredientes: café o azúcar glass. Ahora los ha incluido en el formato de pedidos.
b) ¿Qué recurso les parece más conveniente utilizar para resolver este problema, el diagrama de árbol o las tablas? Empléenlo para resolver este problema en su cuaderno.
Las tablas y los diagramas de árbol son dos recursos para encontrar de manera sistemática todos los resultados posibles en un problema de conteo. En ambos casos se ha hecho uso de códigos para enumerar los diferentes resultados. Cuando se realiza un conteo de modo sistemático, el resultado será siempre el mismo, no importa el recurso que se utilice.
3. De los caracteres que los seres vivos heredan hay algunos que son dominantes y otros recesivos. Por ejemplo, en tu familia, ¿cuál color de ojos es un carácter dominante?, ¿cuál color de ojos es un carácter recesivo? 4. Supón que en cierto tipo de maíz, el blanco es un carácter dominante y el azul es recesivo. Identifica el blanco con BB (dos letras porque la información de la herencia biológica se transmite en pares) y el azul con aa. Si en la primera generación se cruzan una planta de maíz blanco y otra de maíz azul, tendrás la siguiente tabla: En esta generación todo el maíz que se cosecha es blanco porque B representa al carácter dominante. Una planta Ba indica que el maíz es blanco, pero lleva información del maíz azul (aunque no se manifieste). La única manera de que el maíz sea azul, por ser carácter recesivo, es cuando ambas letras son aa. Si se toman dos de los cuatro descendientes y se cruzan, ¿de qué color será el maíz? Averígualo completando la tabla:
Planta BB (blanco)
Planta aa (azul) a a
B
Ba
Ba
B
Ba
Ba
Planta Ba B
Planta Ba B
a
Versión de evaluación 23/04/12
a) ¿Cuántas opciones distintas de chocolates ofrece ahora La Delicia?
a
a) ¿Cuántas plantas dan maíz blanco? (recuerda que son las que por lo menos tienen una letra B)
b) ¿Cuántas plantas dan maíz azul (aa)? Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. 219
B4 Sesión 124
En esta sesión resolverás un problema de conteo utilizando diferentes recursos para hacer el recuento.
Manos a la obra Una aerolínea cubre los siguientes destinos turísticos del país: ciudad de México, Guadalajara, Monterrey, Huatulco, CanMonterrey
cún. La aerolínea ofrece vuelos directos; por ejemplo, va de Guadalajara a Cancún Cancún
Guadalajara
sin hacer escalas, ¿cuántos viajes diferentes ofrece la aerolínea?
Cuidad de México
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Huatulco
Ciudad de salida
Ciudad de llegada
2. En parejas, realicen lo que se les pide. a) Completen la tabla. b) Si una persona sale de Monterrey, viajando en esta aerolínea, ¿a cuántos destinos diferentes puede llegar? c) Si una persona llega a Huatulco, ¿de cuántas ciudades diferentes pudo haber salido? d) En total, ¿cuántos viajes diferentes hay?
220
Versión de evaluación 23/04/12
1. Contesta lo siguiente.
S30 3. La aerolínea ha decidido dar servicio a la ciudad de Los Cabos. a) ¿Cuántos viajes diferentes ofrece ahora la aerolínea? Un equipo empezó a resolver el problema mediante el siguiente diagrama de árbol. b) Complétenlo en su cuaderno.
Huatulco
Ciudades de llegada Guadalajara Monterrey Cancún México
Avión
4. En equipos, contesten lo siguiente. a) ¿Cuántos niveles tiene el diagrama de árbol? b) ¿A qué corresponde cada nivel? c) ¿Cuántas ramas tiene el primer nivel? d) ¿A qué corresponde cada rama? e) ¿Cuántas ramas tiene el segundo nivel? f) ¿A qué corresponde cada rama? g) Consideren una ciudad como punto de salida, ¿cuántas opciones diferentes de viaje hay? h) Si hay cinco ciudades como punto de salida, ¿cuántas opciones diferentes de viaje hay? i) ¿Qué relación encuentran entre el número de ciudades de salida, el número de ciudades de llegada y el total de viajes que se pue-
Resultados viaje
Versión de evaluación 23/04/12
Ciudades de salida
Huatulco-Monterrey
Para determinar el número total de viajes que la aerolínea ofrece se puede multiplicar el número de ciudades de salida por el número de ciudades de llegada. Por ejemplo, si hay cuatro ciudades de salida y tres ciudades de llegada el número total de viajes es 4 × 3 = 12.
den realizar? 221
B4 Sesión 125
En esta sesión resolverás problemas de conteo a partir de reconocer algunas regularidades y de utilizar distintos recursos y diferentes estrategias.
Manos a la obra a) Ahora la aerolínea da servicio a siete ciudades del país. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece la aerolínea? b) La aerolínea ahora da servicio a diez ciudades. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece? c) Otra aerolínea tiene como destinos las capitales de los 31 estados del país y la ciudad de México. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece esta otra aerolínea?
Los diagramas de árbol y las tablas son recursos que ayudan a encontrar todas y cada una de las opciones existentes en un problema de conteo. En ocasiones la multiplicación es la operación que permite encontrar el número total de opciones existentes.
2. Enrique necesita ponerle una clave a su celular para que nadie pueda ver las fotos que guarda en él. La clave debe tener dos cifras y ninguna de las dos puede ser 0 y deben ser diferentes entre sí. a) ¿Qué números puede utilizar Enrique como primera cifra?
¿Cuántos son en total?
3. En parejas, resuelvan el problema siguiente. Para tener una mayor seguridad Enrique decide que, en lugar de dos dígitos, su clave tenga tres dígitos, ahora sí puede utilizar el 0 y repetir dígitos. Supongan que el primero debe elegirse de los números del 5 al 8, el segundo tiene que ser 1 o 2 y el tercero es menor que 5. a) ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
b) Si la primera cifra fuera 8, ¿qué números podría utilizar como segunda cifra?
¿Cuántos son en total?
c) Entonces, ¿qué números de dos cifras pueden
b) Elaboren tablas de doble entrada para representar los resultados. c) ¿Cuántas claves para el celular inician con 51?
ser el número de la clave del celular de Enrique? ¿Cuántos pares de números existen en total que cumplen con las condiciones del problema?
222
d) ¿Cuántas claves terminan con 0? e) ¿Cuántas claves tienen el mismo número en los tres dígitos?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, contesten las siguientes preguntas, considerando la información de la sesión anterior.
S30 Sesión 126
En esta sesión aprenderás a leer e interpretar un diagrama de árbol.
Manos a la obra 1. El siguiente diagrama de árbol muestra algunas de las posibles placas de identificación vehicular que se pueden formar utilizando únicamente dos dígitos en cada una. Complétenlo en su cuaderno. Primer dígito
1 2 3 4 ALN–81 _ _
Segundo dígito
Combinación dígitos
Posibles placas
1
1 1
ALN–8111
2
1 2
ALN–8112
3
1 3
ALN–8113
4
1 4
ALN–8114
5
1 5
ALN–8115
6
1 6
ALN–8116
7
1 7
ALN–8117
8
1 8
ALN–8118
9
1 9
ALN–8119
5 6 7 8 9
a) Contesten las siguientes preguntas. El resultado (2,1) significa que
b) De esas placas, ¿en cuántas se cumplen las siguientes condiciones?:
en la placa se tiene el 2 en el
•• Los dígitos se repiten.
primer dígito, ¿qué número tie-
•• En el primer dígito hay un
ne en el segundo dígito?
número mayor que en el
¿Qué significa el resultado
segundo.
(1,2)? ¿Y el resultado (6,6)?
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen lo que se indica.
•• En el primer dígito hay un
c) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y contesten lo que se les pide. ¿Cuántas placas hay en las
que ambos dígitos son números impares? ¿Y cuántas en las que ambos dígitos son pares?
número par.
¿Cuántas placas distintas puede haber? 223
B4 2. Del diagrama de árbol se ha tomado el siguiente conjunto de resultados: (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (4,0). ¿Qué característica tienen en común estos resultados? ¿Qué característica tienen en común los siguientes conjuntos de resultados?
b) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) c) (1,3), (2,2), (3,1) d) (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) Comenten con el grupo sus resultados.
Consulta en… En las bibliotecas escolares y de aula busca las siguientes referencias para conocer otros ejemplos de problemas de conteo: Akiro Nozaki, Trucos con sombreros, México, sep-fce, 2005 (Libros del Rincón). Mitsumasa Anno, El jarrón mágico. Una aventura matemática, México, sep-Editorial Juventud, 2005 (Libros del Rincón).
Autoevaluación Completa lo que se te pide. 1. Un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resultados de un problema de conteo es: 2. ¿Qué palabras de cuatro letras se pueden crear con las letras de la palabra A M O R? ¿Cuáles de esas palabras tienen un significado?
224
Versión de evaluación 23/04/12
a) (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)
31 cia
Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
Sesión 127
En esta sesión reconocerás algunos tipos de gráficas.
¿Qué sabes tú? Una forma de presentar la información para que sea analizada de manera visual es mediante gráficas. Las más sencillas son la gráfica de barras y la gráfica circular. En ellas se muestra el comportamiento de los datos de la población que se está estudiando. Los diferentes medios de comunicación, como los periódicos y las revistas, utilizan las gráficas de barra y circular para mostrar a los lectores el comportamiento de diferentes noticias o investigaciones que realizan, ya sea de manera impresa o electrónica. Ejemplo de ello son las gráficas siguientes.
Fuente: El economista.mx REVISTA DEL CONSUMIDOR • MARZO 11 > 43
¿Con qué frecuencia los niños de 3 a 12 años consumen cereales?
37% 50% Diario
9%
3%
De 2 a 3 Cada Cada mes veces por semana semana
1%
Nunca
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Tipos de gráficas
¿Cuál es la razón principal por la que compras cereales a los niños?
42% Los niños lo piden (les gusta) 33% Por sus propiedades alimenticias (son nutritivos) 7% Para que desayunen los niños 5% Para darle variedad al desayuno 3% Por costumbre 10% Es práctico (fácil preparación)
Fuente: Revista del Consumidor.
225
B4 1. Observa las gráficas y contesta la pregunta siguiente. a) ¿Qué tema muestran cada uno de los gráficos?
a) Cada uno de los miembros del equipo escojan una de las imágenes anteriores, obsérvenla, analícenla y, con sus palabras, expliquen al resto del equipo lo que la gráfica informa.
Manos a la obra 1. En parejas, observen la gráfica y contesten. De acuerdo con la Encuesta Nacional sobre Prácticas de Lectura 2006, el promedio de libros leídos por los alumnos de cuarto a sexto de primaria y de secundaria según el servicio educativo es de 3.6 a nivel nacional.
Promedio de libros leídos 4.8
5
4.1
3.6
4 3
2.5
2.4
1.7
2
2.3
1
ia nd cu se Te le
ar nd cu Se
ar nd cu Se
ar
ni c Té c ia
Ge ia
In d ia ar im Pr
a
l ne
íg e
ra
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o ad gr lt i Mu ia ar
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Pr
im
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ia
Na
Ge
c io
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na
ra
l
l
0
a) En promedio, ¿qué alumnos leen más libros? b) ¿Cuál es la diferencia entre el mayor promedio de lectura y el promedio nacional?
c) ¿Qué promedio de libros leídos tiene el servicio educativo que menos lee?
d) Al comparar sólo el nivel de secundaria, ¿en qué lugar se ubica el promedio de lectura de la telesecundaria?
226
Versión de evaluación 23/04/12
2. En equipos de cuatro integrantes, realicen la actividad siguiente.
S31 2. La siguiente gráfica muestra información sobre el promedio de libros leídos por los alumnos de cuarto a sexto de primaria y de secundaria, agrupados por rangos de edad.
1.9 De 8 a 11 años
4.5
De 12 a 15 años De 16 años y más
2.9
a) ¿En qué grupo de edad se presenta el mayor promedio de libros leídos?
b) ¿Qué grupos de edad presentan un promedio mayor al nacional?
c) ¿Qué promedio de libros leídos presenta el grupo de edad de 8 a 11 años?
Versión de evaluación 23/04/12
Promedio de libros leídos por grupos de edad
227
B4 Sesión 128
En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas de barras.
Manos a la obra Un documento del Instituto Mexicano de Cinematografía presenta toda la información pertinente sobre el desarrollo anual del cine mexicano. La siguiente tabla muestra la asistencia al cine por día de la semana. El miércoles el precio promedio de la entrada fue 18% menor respecto al precio habitual.
Distribución de asistencia 30%
26%
25%
21%
20% 15%
15% 10%
8%
14%
7%
8%
5%
o ng mi
ba Sá
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co
s r te Ma
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s
0%
Fuente: IMCINE, con datos de Rentrak / Anuario estadístico 2010.
a) ¿Qué porcentaje de asistencia se presentó el fin de semana en los cines?
b) ¿Qué día se presenta el mayor número de asistentes? c) El miércoles se presenta un 15% de asistencia. ¿Podrías justificar el motivo?
En grupo, comparen sus respuestas.
228
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
S31 2. Observa la siguiente gráfica y contesta.
Películas mexicanas con mayor número de espectadores. 2000–2010 5.2
5
4.0
4
3.2
3.1
3.0
2.9
2.5
2.4
2 1 a
a
v id a el am
Ar
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Un
a
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0
de en im
3.3
3
Ot
ra
pe
El
cr
3.5
Fuente: IMCINE, con datos de Rentrak / Anuario estadístico 2010.
a) ¿Cuál es la película con mayor audiencia? b) ¿Cuál es la diferencia en audiencia entre la película más vista y la menos vista?
En una gráfica de barras, la altura de cada barra es la cantidad que representa. Su principal finalidad es comparar datos de las distintas categorías de información. Para comparar categorías es recomendable ordenar las frecuencias, ya sea en orden ascendente o descendente.
Versión de evaluación 23/04/12
Espectadores en millones
6
229
B4 Sesión 129
En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.
Manos a la obra
Convivencia social Asistencia a eventos culturales, deportivos y de entretenimiento
28.1
59.0
Participación en juegos y aficiones Deportes y ejercicio físico
2.1
6.7
Utilización de medios masivos de comunicación
4.2 Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.
¿A qué actividad le dedican más tiempo? ¿A qué actividad le dedican menos tiempo?
A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato. Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.
Consulta en… Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas: <http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico> <http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf> <http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf> <http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P> <http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html> 230
Versión de evaluación 23/04/12
1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.
S31 2. El gráfico siguiente muestra el tipo de actividad que desempeña el personal de los gobiernos estatales de la República Mexicana.
9%
53%
Servicios educativos
38%
Servicios de salud y asistencia social
¿En qué actividad se desempeña el mayor número de personas? ¿En qué actividad se desempeña el menor número de personas?
Autoevaluación Responde lo siguiente. • ¿Es correcto utilizar una gráfica de barras para comparar porcentajes, y una gráfica circular para comparar frecuencias? Justifica tu respuesta.
Versión de evaluación 23/04/12
Actividades de gobierno
231
B4 Sesión 130
Evaluación Aplica lo aprendido a lo largo del bloque y selecciona la respuesta a cada problema. 1. ¿Qué distancia hay entre los números –16.01 y 1.08?
b) –14.93 c) 15.07 d) 14.93 2. Coloca la letra V cuando la afirmación sea verdadera, y la letra F cuando la afirmación sea falsa. Para encontrar el centro de un círculo dadas dos paralelas, se traza la mediana a una de las cuerdas, se identifica el diámetro que está sobre la mediatriz, se obtiene el punto medio del diámetro, el cual es el centro del círculo. Dados tres puntos que no son colineales siempre se puede trazar una circunferencia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto de intersección de las mediatrices. Para encontrar el centro de un círculo dadas dos cuerdas no paralelas, se traza la mediatriz a cada cuerda y el punto de intersección de las mediatrices trazadas es el centro de la circunferencia. 3. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo diámetro es de 7 cm? a) 10.9 cm2 b) 21.9 cm2 c) 38.48 cm2 d) 153.93 cm2 4. Si 5 paquetes de arroz cuestan $49.5, ¿cuánto costarán 12 paquetes? a) $117.6 b) $118.8 c) $119.8 d) $130.8
232
Versión de evaluación 23/04/12
a) –15.07
S31
5. Si dos albañiles construyen una barda en 3 días, ¿cuánto tardarían en construirla 4 albañiles?
b) Un día c) Dos días d) Dos días y medio 6. ¿Cuántas placas como la siguiente es posible obtener si se pueden repetir los dígitos? a) 72 b) 81
A – 30 –
c) 90 d) 100
7. Con la información de la siguiente tabla construye una gráfica de barras usando la columna “ambos sexos”. 2012
Nacimientos totales Ambos sexos
Varones
10 133
5 191
4 942
365
187
178
Colima
1 842
943
899
Comala
312
160
152
Coquimatlán
246
126
120
Cuauhtémoc
381
195
186
Ixtlahuacán
50
26
24
Manzanillo
2 950
1 511
1 439
Minatitlán
84
44
40
Tecomán
1 800
922
878
Villa de Álvarez
2 103
1 077
1 026
Estado de Colima Armería
Mujeres
Versión de evaluación 23/04/12
a) Un día y medio
Fuente: SINAIS, Estadística de nacimientos estimados por sexo en el estado de Colima para el año 2012: <http://www.sinais.salud.gob.mx/nacimientos/index.html> [Fecha de consulta: 15-12-2011] 233
Versi贸n de evaluaci贸n 23/04/12
Bloque 5
Versión de evaluación 23/04/12
en el uso de u q li p im e u q os positivos blemas aditiv s ro le p a r e im c lv e o d s e o os • R s, fraccionari ro te n e s ro e núm de la raíz y negativos. lo u lc á c l e n e u as que impliq ecimales. d m y le b s ro le p ra r e tu lv a n • Reso s de números ia c n te o p y a cuadrad cta del tipo e ir d d a d li a n io s as de proporc m le b a o externa e ro p rn r te e in lv n ó z ra • Reso la ”, en los que te n a lt fa r lo a v “ ccionario. un número fra
uen S ec 32 cia
Sumas y restas con enteros
Sesión 131
En esta sesión realizarás operaciones con números enteros. Recuerda que los enteros son el conjunto de números que incluye a los naturales, sus negativos y al cero.
¿Qué sabes tú? En los torneos de futbol, si un equipo gana un partido se le asignan tres puntos, si empata uno, y si pierde no se le contabiliza nada. Al final del torneo se suman todos los puntos acumulados y el que tenga más es el ganador. Si dos equipos tuvieran el mismo número de puntos se utiliza como criterio de desempate la diferencia de goles, es decir, los goles anotados menos los goles recibidos, de manera que el equipo que tenga un número mayor tendrá mejor posición. En el mundial de 2010 celebrado en Sudáfrica, la selección mexicana jugó en la primera fase del torneo contra Sudáfrica, Francia y Uruguay. Los dos primeros lugares del grupo clasificaron a la segunda ronda. Los resultados de los encuentros de los equipos del grupo se muestran a continuación. Sudáfrica Francia Francia Sudáfrica Uruguay Sudáfrica
1-1 0-0 0-2 0-3 1-0 2-1
México Uruguay México Uruguay México Francia
Fuente: FIFA, World Cup South Africa 2010.
¿Cuántos puntos tuvieron al final de la primera ronda cada uno de los equipos? ¿Qué equipos clasificaron a la siguiente ronda? ¿Por qué? Comenta con tu grupo tus respuestas.
236
Versión de evaluación 23/04/12
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
En parejas, realicen las siguientes actividades. 1. A continuación se muestran los tiros penales a favor y en contra marcados a los equipos participantes en el torneo de apertura 2011-2012 del futbol mexicano. Completen la tabla. Equipo
Penales a favor
Penales en contra
Diferencia
UNAM Atlante Monterrey Querétaro Puebla San Luis Guadalajara Morelia Pachuca Jaguares Toluca Santos América Tijuana UAG Cruz Azul Atlas UANL
2 6 6 6 4 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 0
2 0 2 3 4 4 2 3 1 4 3 2 0 5 5 1 3 2
0
−2
Fuente: Federación Mexicana de Futbol.
¿Qué equipos tuvieron más penales a favor?
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
¿Qué equipos tuvieron más penales en contra? ¿Qué equipos tuvieron la misma cantidad de penales a favor y en contra? ¿Qué equipos tuvieron menos penales a favor que en contra? Comenten sus resultados con el grupo.
237
B5
Familia López Hernández Pérez Rodríguez García
Ingreso $5 000.00 $8 500.00 $3 500.00 $6 200.00 $7 490.00
Gasto $4 500.00 $7 800.00 $3 400.00 $4 950.00 $6 325.00
Después de haber realizado sus gastos, ¿qué familia dispone de mayor cantidad de dinero para hacer frente a alguna eventualidad? Supóngase que una de estas familias tiene que hacer un desembolso adicional de $900.00 para la atención médica de uno de sus hijos, ¿qué familia podría realizar este pago sin necesidad de pedir prestado? Comenten sus respuestas con sus compañeros.
En una adición de dos números enteros, que cuentan con el mismo signo, el resultado mantendrá el mismo signo. En una adición de dos números enteros con diferente signo, el resultado será positivo si el valor absoluto del número positivo es mayor que el valor absoluto del número negativo; en caso contrario el resultado es negativo, y es cero si ambos valores absolutos son iguales. Por ejemplo: 9 + (–5) = 4, pues |9| > |–5| –9 + 5 = –4, pues |5| < |–9| –9 + 9 = 0, pues |–9| = |9|
238
Versión de evaluación 23/04/12
2. El ingreso y el gasto mensual de cinco familias de cierto poblado se muestran a continuación.
S32 En esta sesión resolverás problemas haciendo sumas de números enteros.
Sesión 132
Manos a la obra a) Un juego de lotería tiene 12 planillas (divididas en 9 casillas) y 52 cartas en las que se encuentran los personajes. Regularmente, para marcar las casillas se utilizan piedras o algunas semillas. Si hay 12 personas jugando, ¿cuántas piedras o semillas se necesitan para llenar todas las planillas? b) La familia Martínez adquirió una casa a través de un crédito bancario y cada mes va a pagar al banco $3 500.00, que representan la tercera parte de su ingreso. Por otra parte, el señor Martínez está preocupado porque uno de sus hijos va a estudiar la preparatoria y mensualmente requiere $1 500.00 para cubrir sus nuevas responsabilidades, y además sus gastos habituales por mes ascienden a $4 500.00. ¿Con su ingreso actual puede cubrir sus gastos? c) Debido a problemas con el transporte público, Juan casi siempre llega tarde a su trabajo. Su jefe y él acordaron que cada vez que llegue tarde deberá quedarse más tiempo al final de la jornada, o de lo contrario se le descontará un día por cada hora acumulada. A continuación se muestra el tiempo que Juan llegó tarde en la última semana. Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Tiempo que llega tarde en minutos 68 43 94 16 19
¿Cuál fue el total de tiempo que tuvo que reponer Juan en esa semana? Si no hubiera repuesto el tiempo que llegó tarde, y al día gana $200.00, ¿cuánto dinero le hubieran descontado?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, realicen las siguientes actividades.
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y coméntenlas.
239
B5 Sesión 133
En esta sesión realizarás adiciones con enteros.
Manos a la obra
1. Resuelve las siguientes sumas de números enteros. (+427) + (+180) = (110) + (150) = (−9470) + (+842) = (+108) + (−487) = (−57) + (−84) = 2 ¿Qué número se debe sumar en las siguientes operaciones? + (−5792) = 0 + 4865 = 0 Compara tus resultados con el grupo. 3. En parejas, resuelvan la siguiente actividad. Durante el ciclo escolar 2006-2007, en Veracruz había en total 1 628 telesecundarias. Si 489 eran consideradas urbanas, ¿cuántas telesecundarias eran rurales?
240
Versión de evaluación 23/04/12
Para realizar sumas de números enteros tienes que considerar el valor absoluto de las cifras y sus signos.
S32 Sesión 134
En esta sesión realizarás sustracciones de números enteros.
Manos a la obra 1. José va a la feria del pueblo a jugar, lleva $125.00 para gastar. Si gastó $60.00 en juegos de destreza y $75.00 en juegos mecánicos, ¿cuánto dinero le queda para seguir jugando?
2. Luis va a presentar un informe de la administración de su edificio; los datos de los movimientos del último mes se muestran en la tabla siguiente. Concepto Saldo al cierre del mes anterior Pago de conserje Pago de luz Pago de agua Pago de vigilancia
Entrada $6 530.00
Salida $1 750.00 $487.00 $230.00 $1 200.00
¿Cuál es el saldo al final del mes? 3. Juan recibe en su tarjeta de débito $1 800.00 por su beca. Durante el mes en curso realiza tres compras, una de $950.00, otra de $300.00 y una más de $250.00, ¿Cuánto será su saldo para el siguiente mes? Si antes del corte le depositan $500.00, ¿cuánto tendrá el próximo mes? 4. En equipos, con las siguientes frases construyan un ejemplo para cada una de ellas, completen la información faltante y comenten sus resultados. Un número positivo “grande” – un número positivo “pequeño” = Un número positivo “pequeño” – un número positivo “grande” =
Versión de evaluación 23/04/12
Resuelve las actividades siguientes.
Un número negativo “grande” – un número positivo “pequeño” = Un número positivo “pequeño” – un número positivo “grande” = Un número positivo “grande” – un número negativo “pequeño” = Un número positivo “pequeño” – un número negativo “grande” = Un número negativo “grande” – un número negativo “pequeño” = Un número positivo “pequeño” – un número negativo “grande” = 241
B5 Sesión 135
En esta sesión usarás sumas y restas de números enteros para resolver problemas.
Manos a la obra 1. Un vehículo de transporte público recorre su ruta generalmente en una hora. La ruta se conforma de cinco paradas; en la siguiente tabla se muestra el número de pasajeros que utilizaron el vehículo en la ruta de las 9 a las 10 de la mañana del pasado lunes. Completen la tabla. Parada
Pasajeros que suben al vehículo
Base La Loma El Centro El Fuerte La Plaza Base
60 15 25 13 3 0
Pasajeros que descienden del vehículo 0 8 49 21 29
Pasajeros a bordo al dejar la parada 60 43
0
¿Cuántos pasajeros descendieron en total del vehículo durante toda la ruta?
Si el vehículo cobra $8.00 por persona, ¿cuánto llevaba recaudado al salir de El Fuerte?
Comenten sus resultados con el grupo.
242
Versión de evaluación 23/04/12
Resuelvan en parejas los siguientes problemas.
S32 2. En la tabla siguiente se muestran los ingresos y egresos del mes de agosto de una taquería.
Ventas de la primera semana
12 000.00
Ventas de la segunda semana
8 000.00
Ventas de la tercera semana
13 500.00
Ventas de la cuarta semana
15 000.00
Renta (mensual)
–5 000.00
Agua (bimestral)
–200.00
Luz (bimestral)
–1 500.00
Pago por seguridad social (mensual)
–1 200.00
Salario de tres personas (quincenal)
–9 000.00
Materia prima (semanal)
–3 500.00
¿Cuál es la ganancia neta del mes de agosto? Comenten sus respuestas con el resto del grupo.
Autoevaluación Responde lo siguiente. • ¿Cuáles de las siguientes operaciones resultan en un número negativo? Subráyalas. –54 + 53 –38 + (–37) 1–2 2 – (3)
Versión de evaluación 23/04/12
Costos $
243
33 cia
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Sesión 136
En esta secuencia aprenderás a representar dichas cantidades en una forma abreviada, llamada notación científica, que ayuda a realizar cálculos con cantidades muy grandes, como la distancia entre la Tierra y el Sol, que es de 149 597 870 000 m; o con cantidades muy pequeñas, como la longitud de una bacteria, que puede ser de 0.000005 m.
¿Qué sabes tú? La imagen muestra las medidas de un abrevadero que se construirá en un rancho.
10m
70cm 1000mm
1. Completa la tabla con las medidas del abrevadero en las unidades que correspondan.
Largo Ancho Altura
Metros (m) 10
Centímetros (cm)
Milímetros (mm) 10 000
100 70
2. Calcula el área de las caras laterales del abrevadero, según la unidad de medida que se solicita. a) ¿Cuántos milímetros cuadrados tienen de área las caras laterales del abrevadero?
b) Comparen sus resultados con el grupo. 244
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Notación exponencial
Manos a la obra 1. Escribe las siguientes potencias como productos y obtén sus resultados.
53 =
= 125 = 10 × 10 =
35 =
=
Recuerda que un número que se multiplica varias veces por sí mismo se representa como una potencia. Por ejemplo: 3 × 3 × 3 × 3 = 34. En la expresión 34, 3 es la base y 4 es el exponente. 2. Calcula las potencias de 10 que se indican en las tablas. Si lo requieres usa números decimales. Potencia de 10 105 104 103 102 101 100
Cantidad
Potencia de 10
Cantidad
10 10–2 10–3 10–4 –1
100
( )
10–5 = 1 5 = 1 10 10 –6 10
5
0.00001
a) ¿Cuántos ceros hay después del 1 al calcular 103? b) ¿Cuántos ceros hay después del 1 al calcular 1012? c) ¿Cuántas cifras (ceros y 1) hay después del punto decimal al calcular 10–4?
d) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal al calcular 10–15?
Versión de evaluación 23/04/12
26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
3. Analiza tus respuestas y contesta las siguientes preguntas. a) ¿Qué relación hay entre el exponente positivo de la potencia de 10 con el número de ceros que van después del 1? b) ¿Qué relación hay entre el exponente negativo de la potencia de 10 con el número de cifras que van después del punto decimal? En grupo, comenten sus respuestas y entre todos establezcan sus conclusiones. 245
B5 Sesión 137
1 000 =
0.00001 =
10 000 000 =
0.000000001 =
10 =
0.001 =
100 000 =
0.1 =
a) ¿Cómo obtuviste los resultados de la columna izquierda? b) ¿Cómo obtuviste los resultados de la columna derecha? 2. Analiza los siguientes casos y responde las preguntas. Justifica tus respuestas. a) Para escribir 10 000 000 como potencia de 10, Ana recorrió el punto decimal hacia la izquierda hasta llegar a la derecha del 1, luego contó el número de cifras que lo recorrió y escribió ese número como exponente de la potencia de 10. 10 0 0 0 0 0 0 = 107 •• ¿Es correcto el procedimiento que siguió Ana? •• ¿Se puede aplicar este procedimiento en los demás casos de números naturales?
b) Para expresar 0.00001 como potencia de 10, José recorrió el punto decimal hacia la derecha hasta después del 1, luego contó el número de cifras que lo recorrió y escribió ese número como exponente de la potencia de 10, pero con signo negativo. 0.0 0 0 01 = 10−5 •• ¿Es correcto el procedimiento seguido por José? •• ¿Se puede aplicar este procedimiento en los demás casos de números decimales?
En grupo, comparen sus respuestas. Entre todos redacten en su cuaderno una regla para escribir la cantidad que le corresponde a una potencia de 10 (consideren que hay exponentes positivos y negativos). 246
Versión de evaluación 23/04/12
1. Expresa cada cantidad como una potencia de 10.
S33 3. Expresa las cantidades como el producto de un número natural por una potencia de 10. 30 000 = 150 000 = 0.12 =
a) José escribió la siguiente respuesta: 30 000 = 34 Explica por qué.
¿Es correcto el resultado de José?
b) Ana escribió la siguiente respuesta: 30 000 = 3 × 10 000 = 3 × 104 Explica por qué.
¿Es correcto el resultado de Ana?
4. Expresa cada cantidad como el producto de un número por un múltiplo de 10; y luego como potencia de 10. a) 200 000 = 2 × 100 000 = 2 × 105 b) 4 000 =
× 1 000 =
c) 350 000 000 = 3.5 × d)
× 103 =
= 1.25 × 1 000 000 =
Se le llama notación científica a la forma abreviada de expresar un número muy grande, con una multiplicación donde uno de los factores es una potencia de 10 y el otro es un número menor que 10, por ejemplo: 351 000 000 se puede expresar como 3.51 × 108
Versión de evaluación 23/04/12
0.04 =
6. En equipos, comenten lo siguiente. ¿Qué procedimiento se debe realizar para expresar 0.04 en notación científica?
247
B5 Sesión 138
En esta sesión transformarás números muy grandes.
Manos a la obra 1. Resuelve los problemas siguientes.
Distancia Luna a Tierra =
m
b) La vida media de un muón (partícula elemental similar al electrón) es de 0.0000022 s. Expresa esta cantidad en notación científica. Vida media del muón =
s
En notación científica un número decimal muy pequeño se expresa con una multiplicación donde uno de los factores es una potencia de 10 con exponente negativo, por ejemplo: 0.0000000017 se expresa como 1.7 × 10–9
2. Escribe cada número en notación científica. a) 3 640 000 = b) 0.0000000000000034 = c) 47 090 000 000 000 000 = d) 0.000001006 = e) 21 890 000 000 = f) 0.00000005402 = 3. En grupo, redacten una regla para escribir números muy grandes o muy pequeños en notación científica.
248
Versión de evaluación 23/04/12
a) La distancia media entre la Luna y la Tierra es aproximadamente de 380 000 000 m. Expresa esta cantidad en notación científica.
S33 Sesión 139
En esta sesión utilizarás la notación científica para expresar la resolución de un problema.
¿Sabías que la luz que nos llega del Sol es historia?, esto se debe a que tarda cerca de 8.3 minutos en recorrer una distancia aproximada de 149 597 870 km que hay entre el Sol y la Tierra. Piensa en cuánto tardará en llegar la luz de estrellas que están a miles de millones de kilómetros de nuestro planeta. 1. Resuelve los problemas siguientes. a) En números redondos, la distancia media entre la Tierra y el Sol es de 150 000 000 000 m, y la distancia entre la Tierra y Neptuno es de 4 308 000 000 000 m. ¿Cuál es la distancia aproximada que hay entre el Sol y Neptuno? b) Expresa las medidas de las distancias de la Tierra al Sol y a Neptuno en notación científica: Distancia entre la Tierra y el Sol = 150 000 000 000 m =
m
Distancia entre la Tierra y Neptuno = 4 308 000 000 000 m =
m
Realiza la suma de las dos cantidades expresadas en notación científica. ¿Qué resultado obtuviste? c) En grupo, comenten los procedimientos que siguieron y sus resultados. ¿Hubo diferentes respuestas? Verifiquen sus resultados escribiéndolos en notación decimal.
2. En parejas, lean los siguientes procedimientos. Emilio resolvió la suma del problema de la siguiente manera: •• Primero escribió las cantidades como potencias de 10, de manera que ambas tuviesen el mismo exponente en la potencia de 10. Distancia entre la Tierra y el Sol = 150 000 000 000 m = 1.5 × 1011 m Distancia entre la Tierra y Neptuno = 4 308 000 000 000 m = 43.08 × 1011 m •• Luego sumó sólo la parte decimal de cada cantidad: 43.08 + 1.5 = 44.58 •• Al resultado de esta suma le escribió el producto por la potencia de 10 de las cantidades en notación científica: 44.58 × 1011
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
•• Al final corrió el punto decimal una cifra hacia la izquierda y cambió el exponente: 4.458 × 1012 a) ¿El resultado que obtuviste es igual al de Emilio? b) Analiza este procedimiento y determina si es correcto o no. Sigue todos los pasos y verifica la suma: 39 900 000 + 5 470 100 000 = 5.51 × 109 c) En equipos, comenten lo siguiente: ¿se puede aplicar este procedimiento para la resta de cantidades escritas en notación científica? Entre todos propongan un ejemplo y realicen las operaciones necesarias. 249
B5
Sesión 140
( ) 2.3 × 107 + 608 000 000 =
(T) 1.381 × 1011
( ) 971 000 – 77 000 =
(I) 6.21 × 108
( ) 4 806 000 000 + 133 300 000 000 =
(U) 1.381 × 10–11
( ) 6.501 × 10−11 − 512 × 10−13 =
(E) 6.31 × 108
( ) 3.4 × 10−6 + 0.00000692 =
(D) 0.00001032
( ) 778 000 000 − 1.57 × 108 =
(S) 8.94 × 105
( ) 8.22 × 10–10 + 4.51 × 10−10 =
(A) 0.000000001273
En esta sesión trabajarás con notación científica para resolver problemas con números pequeños.
Manos a la obra ¿Sabías que en nuestro cuerpo hay más células bacterianas que células humanas? Se calcula que hay diez veces más, y el mayor número se localiza en el tracto digestivo y en la piel. Las bacterias son microorganismos unicelulares de formas diversas que alcanzan un tamaño que va de algunos milímetros hasta milésimas de milímetro o micrómetros (μm). No todas las bacterias son perjudiciales para el cuerpo humano; de hecho, necesitamos de ellas para muchas funciones, como la digestión. ¿Qué otros beneficios generan las bacterias? 1. En equipos, contesten lo siguiente. Se calcula que en un mililitro de agua dulce hay cerca de un millón de células bacterianas, mientras que en un gramo de tierra hay hasta 40 millones. ¿Cuántas bacterias habrá en 1 3 litros de agua dulce? 4 Comenten el procedimiento que siguieron y sus resultados. Verifiquen sus respuestas usando la calculadora.
250
Versión de evaluación 23/04/12
3. Escribe en el paréntesis de cada operación la letra que corresponda al resultado.
S33 2. Realiza los siguientes pasos para calcular el producto de 1 000 000 por 1 750: •• Escribe 1 000 000 en notación científica: •• Multiplica 1 750 por la parte decimal (sin la potencia de 10) del número escrito en no=
tación científica: 1 750 ×
•• Multiplica el resultado anterior por la potencia de 10 del número en notación científica:
•• Escribe el resultado en notación científica: a) ¿El resultado que obtuviste fue 1.75 × 107? Si no es así, repasa el procedimiento anterior y rectifica. b) Sigue los pasos anteriores y calcula el producto de 0.000000812 × 1 500. En grupo, comenten cómo resolvieron los problemas de las actividades 1 y 2. Entre todos propongan un ejemplo y realicen los pasos anteriores para calcular el producto de un número escrito en notación científica por otro escrito en notación decimal. 3. Usa los datos del problema anterior y calcula la cantidad de células bacterianas que hay en 455 g de tierra.
En general, un número está escrito en notación científica si se expresa de la forma a × 10n, donde a es un número decimal mayor o igual que 1 y menor que 10. Para sumar o restar dos números expresados en notación científica es necesario escribirlos de manera que sus respectivas potencias de 10 tengan el mismo exponente. Por ejemplo: (4.6 × 108) + (5.7 × 106) = (46 × 107) + (0.57 × 107) = 46.57 × 107 = 4.657 × 108
Un dato interesante… El número 1 seguido de cien ceros, esto es 1 × 10100, se denomina googol. Para darnos una idea de lo que representa este número: un googol es mayor que el número de átomos en el universo conocido.
Versión de evaluación 23/04/12
=
1 750 ×
Autoevaluación Realiza en tu cuaderno las siguientes operaciones. • 6.91 × 10–10 × 585 =
• 1 071 000 000 − 4.3 × 108 =
• 590 000 000 + 9 060 000 000 =
• 4.04 × 10−11 + 0.000000000839 =
• 5.23 × 105 + 692 000 − 6.7 × 104 =
• 38 000 000 000 × 9 500 =
251
34 cia
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
Sesión 141
En esta secuencia estudiarás potencias y la raíz cuadrada.
¿Qué sabes tú? De manera individual contesta lo que se te pide. 1. Una de las primeras fórmulas que aprendiste en tus cursos de Matemáticas es la que se utiliza para calcular el área de un cuadrado. Si la medida del lado de un cuadrado es L, se tiene que su área A se calcula con la fórmula: A = L × L . Esta expresión suele expresarse como A = L 2. ¿Sabes cómo calcular la medida del lado de un cuadrado si se conoce la medida de su área? 2. Don Luis va a cercar su terreno para formar parcelas de superficie cuadrada, por lo cual está calculando las medidas que deben tener los lados y el área de diferentes cuadrados. Calcula las siguientes medidas. a) Si el lado de un cuadrado mide 2 m, ¿cuánto mide su área? b) Si el lado de un cuadrado mide 5 m, ¿cuánto mide su área? c) Si el lado de un cuadrado mide 3 m, ¿cuánto mide su área? d) Si un cuadrado tiene un área de 16 m2, ¿cuánto mide su lado? e) Si un cuadrado tiene un área de 36 m2, ¿cuánto mide su lado? f) Si un cuadrado tiene un área de 32 m2, ¿cuánto mide su lado? De manera grupal comparen sus respuestas. Comenten cómo calcularon la medida del área de un cuadrado cuando se conoce la medida de su lado.
252
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Raíz cuadrada
Manos a la obra
Lado
Contesta las siguientes preguntas. a) Con una regla traza la otra diagonal del cuadrado, así obtendrás cuatro triángulos rectángulos iguales. ¿Cuánto mide el área de cada triángulo? ¿Cuánto mide el área del cuadrado? ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? b) Mide con una regla la longitud del lado del cuadrado. Aplica la fórmula del área del cuadrado A = L × L y verifica la medida que obtuviste para el lado del cuadrado. ¿Qué medida del área del cuadrado obtuviste usando la fórmula? c) Compara los resultados que obtuviste con los procedimientos anteriores y contesta:
Versión de evaluación 23/04/12
1. La imagen representa parte del terreno que va a cercar don Luis. Se trata de un cuadrado del cual sólo conoce la medida de la diagonal.
De los valores del área que obtuviste con la fórmula, ¿cuál se aproxima más a 32 m2?
¿Cuál es la mejor aproximación que obtuviste de la medida del lado del cuadrado? Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
253
B5 Sesión 142
En esta sesión obtendrás valores aproximados de la raíz cuadrada de números naturales.
Manos a la obra
5.65
Área (m2)
1. Completa la tabla para encontrar valores aproximados de la medida del lado del cuadrado con 32 m2 de área. a) ¿Cuál es la mejor aproximación que obtuviste para la medida
16 36
del lado del cuadrado? b) ¿Crees que se puede encontrar una mejor aproximación para la medida del lado?
, ¿cuál?
Compartan sus respuestas y entre todos establezcan sus conclusiones con respecto a la obtención del lado de un cuadrado cuando se conoce la medida de su área.
2. En parejas, realicen la actividad siguiente. Un ayudante de don Luis dice que no existe cuadrado alguno que tenga 42 m2 de área; don Luis asegura que sí.
Medida del lado (m) 6 6.3 6.4 6.5 6.6 7
Área (m2) 36
a) ¿Cuánto medirían los lados del cuadrado? b) Encuentra algunas aproximaciones a la medida de los lados que debe tener un cuadrado de 42 m2 de área. Completa la tabla. c) ¿Qué valor de la medida del lado genera la mejor aproximación a 42 m2? d) Determina un valor de la medida del lado de un cuadrado, que se encuentre entre 6.4 m y 6.5 m, cuya área se aproxime más a 42 m2. ¿Qué valor del área obtuviste? e) De acuerdo con tu resultado anterior, ¿entre qué valores se encuentra ahora la mejor aproximación a la medida del lado del cuadrado? ¿Qué valor del área obtuviste? De manera grupal, comparen sus resultados y los procedimientos que siguieron. Comenten en qué consiste el método que han venido empleando para obtener la medida del lado de un cuadrado, cuando se conoce la medida del área.
254
Versión de evaluación 23/04/12
Medida del lado (m) 2 3 5 5.5 5.6 5.7
S34 3. Aplica el procedimiento anterior y obtén la mejor aproximación de la medida del lado de un cuadrado que tiene 53 m2.
Por otra parte, al calcular el lado de un cuadrado cuando se conoce la medida de su área, decimos que se calcula la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de a es el número que multiplicado por sí mismo da a. La forma de escribir esto es a .
Sesión 143
En esta sesión conocerás un procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número natural.
Manos a la obra 1. Completa la tabla. Puedes usar calculadora para verificar los resultados. Número (x) 6 8 10 11
14 16
Cuadrado del número (x 2)
2. Anota en el paréntesis la letra que relacione correctamente cada pregunta con su respuesta. Preguntas
49
( ) ¿ Cuánto mide el área de un terreno cuadrado si sus lados miden 15 m?
81
( ) ¿ Cuál es la raíz cuadrada de 144 ?
Respuestas a) 100 cm2 b) 196 c) 11
( ) ¿ Cuál es el resultado de 289 ? 144 169 225
Versión de evaluación 23/04/12
En las actividades anteriores has visto que al multiplicar un número por sí mismo, como en el cálculo del área de un cuadrado L × L , decimos que se calcula el cuadrado del número o la segunda potencia. La forma de escribir esto es L 2 .
( ) ¿Cuál es el resultado de 142 ?
d) 12
( ) ¿ Cuánto mide el área de un cuadrado de 10 cm por lado?
e) 225 m2
( ) ¿ Cuál es el resultado de 121 ?
f) 17
Comparen sus respuestas y verifiquen sus procedimientos.
Un dato interesante… A lo largo de la historia se han desarrollado y perfeccionado muchos de los procedimientos que en la actualidad empleamos. En el caso del cálculo de la raíz de cuadrada, gracias al Papiro de Ahmes (1650 a.n.e.) se sabe que los antiguos egipcios extraían la raíz cuadrada al resolver problemas geométricos. Las antiguas culturas india y griega también desarrollaron conocimiento en este tema.
255
B5 3. Aplica los procedimientos que has practicado a lo largo de la secuencia y obtén una aproximación de la medida del lado de los siguientes cuadrados: a) Área = 2 cm2
4. Analiza el siguiente ejemplo: El cuadrado de 12 está dado por: 122 = 12 × 12 = 144 La raíz cuadrada de 144 está dada por:
144 = 12
¿Qué observas?
Cuando un número natural ( n ) se eleva al cuadrado ( n 2 ) y al resultado le aplicas la raíz cuadrada, el resultado que se obtiene es el número original ( n ). Por ello decimos que el cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas.
Sesión 144
En esta sesión conocerás otro procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número natural.
Manos a la obra 1. Se va a cercar un terreno de forma cuadrada que tiene de 24 m2. ¿Cuál es la medida del lado del terreno? Para resolver este problema emplearemos un método desarrollado hace varios siglos. Sigue los pasos que a continuación se describen.
En tu cuaderno construye las figuras que se indican.
Paso 1. Elige dos números que multiplicados den 24, por ejemplo 6 y 4. Estas serán las medidas del primer rectángulo que construirás.
Con ayuda de regla y escuadra, en tu cuaderno construye un rectángulo cuyos lados midan 6 cm y 4 cm. Su área es de 24 cm2 (ilumínalo de amarillo).
Paso 2. Calcula el promedio de las medidas de los lados del rectángulo: 6+4= 2
256
Versión de evaluación 23/04/12
b) Área = 5 cm2
S34 Paso 3. Ahora debes construir otro rectángulo que tenga un lado de 5 cm y área igual a 24 cm2, por lo tanto hay que calcular la medida del otro lado del rectángulo.
Construye un rectángulo cuyos lados midan 5 cm y 4.8 cm (ilumínalo de verde).
El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la medida de sus lados. Llamemos x a la medida del lado desconocida, así obtenemos la ecuación: Resuelve la ecuación. Repite el paso 2. Calcula el promedio de las medidas de los lados del último rectángulo: 5 + 4.8 = 2 Repite el paso 3. Debes construir otro rectángulo que tenga un lado de 4.9 cm y área igual a 24 cm2, por lo tanto hay que calcular la medida del otro lado del rectángulo.
Construye un nuevo rectángulo cuyos lados midan 4.9 cm y 4.89 cm (ilumínalo de azul).
Llamemos x a la medida del lado desconocida, así obtenemos la ecuación: 4.9 x = 24 Resuelve la ecuación. Continúa con este procedimiento para aproximar cada vez más el valor exacto de la raíz cuadrada de 24. Observa que el rectángulo azul es casi un cuadrado. Sus lados miden 4.9 cm y 4.89 cm, esto significa que la raíz de 24 está entre estos dos números.
2. Calcula lo siguiente (puedes usar calculadora): •• 4.92 =
3. Los lados del rectángulo verde miden 5 cm y 4.8 cm. Calcula (pueden usar calculadora): •• 52 =
•• 4.89 = 2
¿Cuál de los dos números es una mejor aproximación a 24?
Versión de evaluación 23/04/12
5 x = 24
•• 4.82 =
Comenta con tus compañeros qué rectángulo da mejores aproximaciones a 24, ¿el verde o el azul?
El procedimiento que acabas de desarrollar para calcular la raíz cuadrada de 24 es semejante al que empleaban los antiguos babilónicos, por lo que se conoce como método babilónico para el cálculo de la raíz cuadrada de un número. El método consiste básicamente en obtener rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado de igual medida del área.
257
B5 Sesión 145
En esta sesión aplicarás el método babilónico para calcular la raíz cuadrada.
Manos a la obra Usa una calculadora para efectuar las operaciones necesarias y tu juego de geometría para construir los rectángulos. 1. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 11.5? Paso 1. Se eligen dos números que multiplicados den 11.5 (sugerencia: inicia con 1 y 11.5). Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyos lados tengan esas medidas. Recuerda que a partir del siguiente paso el objetivo es encontrar rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado. Paso 2. Calcula el promedio de 1 cm y 11.5 cm, ¿cuánto resultó? Este valor es la medida de uno de los lados del nuevo rectángulo. Paso 3. Calcula la medida del otro lado del rectángulo. Para hallar dicha medida resuelve la ecuación: 6.25 x = 11.5 Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyas medidas sean las que acabas de obtener. Se repite el paso 2. Calcula el promedio de 6.25 cm y 1.84 cm, ¿cuánto resultó? Este valor es la medida de uno de los lados del nuevo rectángulo. Se repite el paso 3. Calcula la medida del otro lado del nuevo rectángulo. Para hallar dicha medida resuelve la ecuación: 4.045 x = 11.5 Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyas medidas sean las que acabas de obtener. Continua aplicando los pasos de forma sucesiva hasta que encuentres la mejor aproxi mación al valor exacto de la raíz cuadrada de 11.5. ¿Cuánto es 11.5 ? Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del método babilónico. 2. Calcula la raíz cuadrada de 20. Realiza el procedimiento y las construcciones en tu cuaderno.
258
Versión de evaluación 23/04/12
El método babilónico se puede emplear para calcular la raíz cuadrada de cualquier número. Sigue el procedimiento descrito en la sesión anterior y calcula las raíces cuadradas que se indican en cada caso.
S34 En esta sesión observarás que las potencias y los exponentes ayudan a obtener modelos matemáticos que representan fenómenos biológicos.
Sesión 146
¿Sabías que las células se reproducen por división? La división es parte importante del ciclo celular, pues en ella sucede que una célula inicial se divide para formar células hijas, luego éstas se dividen para formar otras, y así sucesivamente. 1. Existe un tipo de división celular que presentan bacterias y amebas, llamada bipartición, la cual consiste en que una célula madre se divide en dos células hijas idénticas a la célula madre. Llamemos nivel 0 a la etapa en que está solamente la célula madre, sin dividirse. •• Llamemos nivel 1 a la etapa en que la célula madre se ha dividido en dos células. •• Llamemos nivel 2 a la etapa en que las dos células se dividen cada una en otras dos. Y así sucesivamente. a) Dibuja las células que se formarán en el nivel 3. b) ¿Cuántas células hay en el nivel 4? c) ¿Cuántas células hay en el nivel 6? d) Si hay 128 células, ¿en qué nivel se encuentra la división celular? e) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite obtener el número de células en el nivel 7? •• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 •• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Comparen sus respuestas y expliquen sus procedimientos. Comenten cómo calcularían el número de células que habrá en el nivel 20, o en el nivel 50.
Versión de evaluación 23/04/12
Manos a la obra
2. Expresa las multiplicaciones como potencia: a) 3 × 3 × 3 × 3 = b) 5 × 5 × 5 = c) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = d) 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 259
B5 3. Fernanda decidió poner en práctica una forma de enviar buenos deseos a muchas personas. Para iniciar, ella enviará buenos deseos a tres amigos. Luego, cada uno de éstos tendrá que enviar buenos deseos a tres amigos más, quienes también enviarán buenos deseos a otros tres, y así sucesivamente. Cada persona tendrá que enviar tres buenos deseos. a) Completa el diagrama de árbol hasta el nivel 3 de envíos de buenos deseos.
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3
b) Cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 3? c) ¿Cuántos buenos deseos hay en el nivel 5? d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite calcular el número de envíos de buenos deseos en el nivel 10? •• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 •• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 Expresa la multiplicación correcta como una potencia: e) Si en vez de enviar buenos deseos a tres personas se envían a cinco, ¿cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 4? f) ¿Cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 7? g) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite encontrar el número de envíos de buenos deseos en el nivel 11? •• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 •• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 Expresa la multiplicación correcta como una potencia:
Las potencias permiten expresar multiplicaciones de manera breve. Por ejemplo, 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 se abrevia al escribir 36; y se lee “la sexta potencia de 3”.
260
Versión de evaluación 23/04/12
Nivel cero (Fernanda inicia el envío)
S34 Sesión 147
En esta sesión obtendrás potencias y raíces cuadradas de números naturales y decimales.
Manos a la obra a) ¿Qué número multiplicado tres veces por sí mismo
Número x 4
Cuadrado Tercera potencia Cuarta potencia x 2 x 3 x 4 256
5
da 2 197?
100
b) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 16? c) ¿Qué número tiene raíz cuadrada igual a 10?
125 0.36
0.216
1.2 169
d) ¿Qué número tiene segunda potencia igual a 25? f) ¿Qué número tiene cuarta potencia igual a 0.1296?
0.3
28 561 0.027
0
0
1 1.5
2.25 16
g) ¿Cuál es la raíz cúbica de 1 000?
225
50 625
h) ¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000? i) La raíz
de 1.44 es 1.2.
j) ¿Cuál es la raíz cúbica de 3.375?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Completa la tabla con los números y potencias que faltan.
k) ¿Cuál es la raíz cuarta de 0.0081?
La raíz cúbica de 125 es 5, porque 53 = 125. La raíz cúbica de 125 se expresa como 3 125 .
l) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 1?
De forma general, la raíz cúbica de un número n es aquel número que tiene tercera potencia igual a n.
m) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0? 2. Resuelve lo siguiente. Considera que la raíz cúbica de 27 es 3 y que la raíz cúbica de 64 es 4. Obtén una aproximación de la raíz cúbica de 40, con una cifra decimal. Puedes utilizar tu calculadora.
La raíz cuarta de 1 296 es 6, porque 64 = 1 296. La raíz cuarta de 1 296 se expresa como 4 1 296.
De forma general, la raíz cuarta de un número n es aquel número que tiene cuarta potencia igual a n.
Autoevaluación Calcula en tu cuaderno la raíz cuadrada de 53 empleando el método babilónico.
261
35 cia
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
Sesión 148
En esta sesión aprenderás a obtener la regla para determinar los términos de una sucesión dada.
¿Qué sabes tú? Dibuja los siguientes dos términos que completan la sucesión.
Manos a la obra 1. Escribe los términos que faltan en la siguiente sucesión numérica. −5, −2, 31,
, 4, 7, 10, , 37,
, 16,
,
, 25, 28,
,…
a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión. b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30? c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión? Compara tus respuestas con las de tus compañeros y analicen qué estrategia siguieron para encontrar la regla de esta sucesión. 262
Versión de evaluación 23/04/12
uen S ec
Sucesiones con progresión aritmética
−15, −11, −7, −3, 1, 5,…
3, 6, 9, 12, 15, 18,…
−4, −1, 2, 5, 8, 11,…
−8, −3, 2, 7, 12, 17,…
−7, −4, −1, 2, 5, 8, 11,…
−12, −9, −6, −3, 0,3,…
−14, −6, 2, 10, 18, 26,… 3. En parejas, respondan las preguntas. a) ¿Con la regla suma cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesiones o una sola sucesión? b) Propongan un ejemplo de una sucesión que se obtenga con esta regla. c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que propusieron es: sumar cinco al término anterior y el primer término es ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontraron en el inciso b)? d) Obtengan tres sucesiones en las que se cumpla la regla: la diferencia entre dos términos
Versión de evaluación 23/04/12
2. Subraya cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla sumar tres al término anterior.
consecutivos es 7. En grupo, comparen sus respuestas.
263
B5 4. Completen lo que falta en las siguientes expresiones y respondan las preguntas. a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35,… es: sumar seis al término anterior y el primer término es ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
al término anterior, y el primer término es ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? c) Escriban la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y el primer término es −14 : ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?
La regla para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. Por ejemplo: en la sucesión −8, −3, 2, 7, 12, 17,… la diferencia entre dos términos consecutivos sería . Por lo tanto, la regla sería: sumar 5 al término anterior, y el primer término es −8. Es importante indicar cuál es el primer término de una sucesión, ya que de lo contrario se pueden obtener muchas sucesiones usando la misma regla.
5. En parejas, contesten lo siguiente. Anoten el primer dígito de la sucesión siguiente y completen la regla. , −9, −3, 3, 9, 15,… La regla es sumar
al término anterior y el primer término es
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? Comparen sus resultados con los de otras parejas.
264
.
Versión de evaluación 23/04/12
b) Una regla para obtener la sucesión −12, −10, −8, −6, −4, −2,… es sumar
S35 Sesión 149
En esta sesión estudiarás la relación que hay entre un término en la sucesión y la posición que ocupa en ella.
Manos a la obra En parejas, contesten.
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) ¿Cuál es la regla? 2. Para esta sucesión de números: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,… a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) ¿Cuál es la regla? Para las siguientes sucesiones, n indicará el lugar que ocupa un término en ellas. Obtengan los términos faltantes en la tabla que corresponden a la sucesión establecida por la expresión algebraica 4n − 2. Lugar que ocupa el término (n)
1
2
3
4
Expresión algebraica 4n − 2 Término
5
6
7
8
9
4 × 5 − 2 = 18
18
Comparen los términos obtenidos en la tabla con los de la sucesión anterior, ¿qué observan en ellos?
¿Las sucesiones son distintas? ¿Por qué? ¿Cómo es la regla que establecieron en el inciso b) respecto a la dada por la expresión algebraica?
Cuando hay varias reglas para obtener la misma sucesión de números se dice que son reglas equivalentes. Por ejemplo, las siguientes reglas son equivalentes:
Versión de evaluación 23/04/12
1. Para la siguiente sucesión de números: −11, −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13,…
a) Sumar 5 al término anterior y el primer término es 12, b) La regla dada por la expresión algebraica 5n + 7, donde n representa el lugar que ocupa cada término en la sucesión.
En grupo, comparen sus respuestas. 265
B5 Sesión 150
En esta sesión encontrarás expresiones equivalentes para obtener una sucesión.
Manos a la obra
a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar anterior y el primer término es
al término
.
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40? c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término? d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 48? 2. En parejas, respondan. ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16,…? Observen las dos sucesiones y respondan. 3, 6, 9, 12, 15, 18,…
1, 4, 7, 10, 13, 16,…
¿Cuál es la expresión algebraica para obtener la primera sucesión?
En las sucesiones en que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante (k), podemos obtener la expresión algebraica: multiplicando el lugar del término (n) por la diferencia de los términos consecutivos (k) y sumando o restando, según sea conveniente, la diferencia (r) entre k y el primer término de la sucesión, esto es, kn ± r. Por ejemplo: en la sucesión 2, 7, 12, 17,… para encontrar la expresión algebraica que la define obtenemos la diferencia entre dos términos consecutivos, que es k = 5. Ahora obtenemos la diferencia entre k = 5 y el primer término de la sucesión, que es 2, por lo que r = 3. De aquí la expresión algebraica podría ser 5n + 3 o 5n − 3; para determinar cuál es la expresión conveniente calculamos el valor del primer término empleando las dos expresiones. En este caso la expresión conveniente es 5n − 3.
266
Subrayen la operación que debemos hacer para pasar de un término en la primera sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión: Restar 2
Sumar 2
¿Cuál es la expresión algebraica para obtener la segunda sucesión? Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten qué hicieron para encontrar las expresiones algebraicas. 3. En parejas, encuentren la regla y la expresión algebraica para obtener la sucesión −11, −6, −1, 4, 9, 14,… 4. Realicen lo siguiente en parejas. Obtengan la expresión algebraica que defina la sucesión −3, 2, 7, 12, 17, 22,…
Versión de evaluación 23/04/12
1. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n − 7.
S35 Sesión 151
En esta sesión completarán sucesiones.
Manos a la obra
Trabajen en equipos para realizar las siguientes actividades.
2. Completen la siguiente sucesión de números:
6, 2,
,
, −10,
, −18, −22,
,
,… ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? Comenten cómo hicieron para encontrar la diferencia entre dos términos consecutivos. Comparen con sus compañeros sus respuestas. 3. Dada la regla 7n − 5 obtengan los términos que se encuentran en los lugares 20, 21, 32, 100, 150. 4. Completen la siguiente tabla. Lugar del término
4n+6
4n−2
35 45 74 324 En grupo, comparen y comenten sus respuestas.
4n–5
Versión de evaluación 23/04/12
1. Encuentren los primeros diez términos de la sucesión que se obtiene con la regla 9n − 3
267
B5 Sesión 152
En esta sesión aplicarás lo aprendido en sesiones anteriores.
Manos a la obra
En parejas, den una expresión algebraica que determine las siguientes sucesiones. a) −12, −7, −2, 3, 8, 13,… c) 9, 22, 35, 48, 61,…
Consulta en… En las bibliotecas escolares y de aula y busca el libro con la siguiente referencia para conocer más sobre este tema: Concepción Ruiz y Sergio Régules, El piropo matemático, de los números a las estrellas, México, sep-Editorial Lectorum, 2003 (Libros del Rincón). Entra a la página del Proyecto Descartes <http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_ numeros_reales_limites/Progresiones_aritmeticas.htm>, y explora las actividades del interactivo “Sucesiones geométricas con Logo”.
Autoevaluación Responde lo siguiente. • Determina una expresión algebraica y encuentra los primeros diez términos de la sucesión dada por la regla sumar 15 al término anterior y el primer término es 3.
268
Versión de evaluación 23/04/12
b) 5, 10, 15, 20, 25, 30,…
uen S ec 36 cia
Área y perímetro del círculo
En esta sesión resolverás problemas usando la fórmula del perímetro del círculo.
¿Qué sabes tú? En la siguiente figura marca con rojo el contorno del círculo y su superficie con azul; traza con verde el radio y con negro el diámetro.
Contesta las siguientes preguntas. ¿A qué se le llama π? ¿Cuál es un valor aproximado de pi?
Versión de evaluación 23/04/12
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
Sesión 153
¿Cómo se calcula el perímetro de un círculo? ¿Qué datos se necesitan para calcular el perímetro del círculo?
269
B5 Manos a la obra
10 cm
22 cm
32.9 cm
40.8 cm
2. Completen la tabla, tomen π = 3.14 Círculo 1 2 3 4
Radio
Diámetro
R 5 cm
D
Perímetro
22 cm 103.30 cm 40.8 cm
¿Cómo obtuvieron el radio del círculo 3? ¿Cómo obtuvieron el radio del círculo 4? 3. Resuelve los problemas siguientes. a) Ernesto es herrero y le pidieron que hiciera con perfil redondo dos aros para tableros de basquetbol. Uno de ellos debe tener 27 cm de radio y el otro 27 cm de diámetro. ¿Qué cantidad de perfil debe cortar para ambos aros? b) Para reforzar un barril se necesitan tres cinturones de acero inoxidable de 4 cm de ancho. Dos de los cinturones tienen 60 cm de diámetro, mientras que el radio del cinturón que se coloca a la mitad del barril es 4.5 cm más grande que el de los otros dos. ¿Qué cantidad de lámina se necesita para reforzar medio centenar de barriles?
Comparen sus procedimientos y respuestas, verifiquen que sean correctas. Si hay algún procedimiento diferente verifiquen que sea efectivo. Para calcular el perímetro de un círculo podemos usar la fórmula P = 2rπ, donde r es el radio del círculo, o P = D π, si recordamos que el diámetro es dos veces el radio. 270
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes círculos.
S36 Sesión 154
En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del perímetro del círculo.
Manos a la obra 1. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Tomen π = 3.14
9.76 m
9.76 m
b) La imagen anterior corresponde a la ciclopista del deportivo de la comunidad. Edna la recorre diariamente con su bicicleta hasta 9 veces, mientras que Braulio sólo recorre 5 km. ¿Quién de los dos da más vueltas al circuito?
92.52 m
B
73.00 m
36 .5
A
Versión de evaluación 23/04/12
157.39 m
0m
9.76 m
9.76 m
a) ¿Cuál es la longitud de la línea AB?
¿Cómo resolvieron los problemas anteriores?
271
B5
¿Cuántos círculos completos tienen en su diseño? ¿Cuánto mide su radio? ¿Cuál es el perímetro? Intercambien su problema con alguno de sus compañeros y verifiquen que la solución sea correcta.
Para resolver problemas por medio del cálculo de perímetros de figuras compuestas con círculos de un mismo radio, debemos determinar la cantidad de círculos que forman la figura para multiplicarla por su perímetro.
272
Versión de evaluación 23/04/12
2. En parejas, diseñen una figura empleando círculos del mismo diámetro y planteen un problema que se resuelva tomando como base su diseño.
S36 En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del área del círculo.
Sesión 155
Manos a la obra
6 cm
¿Cómo se determina el área de un círculo? Si sólo se conoce el diámetro del círculo, ¿cómo se calcula el área?
2. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Usen 3.14 para π. a) Una tapa de forma circular de 18 cm de diámetro se empleó para marcar una circun ferencia sobre un pedazo de tela de forma cuadrada de 20 cm por lado. Después de recortar el círculo de tela, ¿cuál es el área de la tela que se desperdicia?
b) En el patio de la secundaria el profesor de Educación Física trazó tres círculos para pintarlos de color amarillo, rojo y azul, como se muestra en la imagen.
1m
80 cm
1m
Versión de evaluación 23/04/12
1. Calcula el área del siguiente círculo.
Alberto dice que el área de los círculos pequeños es igual a la del círculo azul. ¿Tiene razón?
¿Por qué?
Para que el área del círculo amarillo, más el área del círculo rojo, sea el área del azul, ¿cuánto tendrá que medir el radio del círculo amarillo? 273
B5 c) Reyna decora tablas circulares como las de la imagen para usarlas como portarretratos. Le han solicitado media docena de cada modelo, ¿cuál es el área total que pintará de
2
cm
3 cm
¿Cómo determinaron el área de la superficie azul?
¿Qué portarretrato tiene la mayor superficie pintada de azul?
Para calcular el área de un círculo se emplea la formula A= π r2, donde el radio se multiplica por sí mismo y luego por π. Cuando un círculo está dentro de otro, sin importar si tienen o no el mismo centro, una forma de calcular el área limitada entre las dos circunferencias es restar los cuadrados de los radios y la diferencia multiplicarla por π. Por ejemplo, para calcular el área limitada entre un círculo cuyo radio mide 4 cm que está dentro de otro cuyo radio mide 6 cm es: 20π = 62.8 cm2, dado que 36 – 16 = 20.
274
5 cm
Versión de evaluación 23/04/12
cm
cm
6
3
5
cm
azul?
S36 Sesión 156
En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del área del círculo.
Manos a la obra 1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.
6 cm 12 cm
30 cm
1.2 m 40 cm 80 cm 1.2 m
¿Cómo calcularon el área de la figura naranja?
Versión de evaluación 23/04/12
¿Cuál es área de cada una de las siguientes figuras?
¿Qué figuras forman la figura verde? ¿Qué figuras forman la figura azul? ¿Cuál de las figuras está formada por más círculos? 2. Resuelvan los problemas.
275
B5 a) La siguiente figura es el modelo de un aspa que se fabrica en acero, ¿cuál es el área del
60 cm
60 cm
b) Para una ruleta se cortó un círculo de 60 cm de radio y se decoró como se muestra en la imagen. ¿Cuál es el área de la superficie en rojo?
c) ¿Cómo determinaron el área solicitada? d) ¿Cuál es el área de la superficie en negro? e) Con respecto al problema del aspa y al de la ruleta, ¿cuántos círculos forman las figuras? ¿Cómo resolvieron ambos problemas?
276
3. Resuelve el problema.
Versión de evaluación 23/04/12
aspa?
S36 Alexa es pintora y las obras de arte que muestra a continuación están hechas sobre un cuadrado de 90 cm por lado. ¿En cuál de ellas utilizó más pintura?
Autoevaluación Contesta lo siguiente. • ¿Cómo determinarías el perímetro de la siguiente figura? • ¿Y el área de la superficie naranja?
Versión de evaluación 23/04/12
¿Por qué?
277
uen S ec 37 cia
Proporcionalidad múltiple
Sesión 157
En esta sesión reconocerás y resolverás problemas que implican el uso de distintos tipos de proporcionalidad en situaciones de la vida cotidiana.
¿Qué sabes tú? Para organizar su convivio, los 25 alumnos de 1º A llevaron tostadas y agua de jamaica. Como la mamá de uno de ellos tiene una fonda les dio la siguiente información: •• Un paquete de tostadas tiene 20 piezas. •• 3 1 vasos de crema alcanzan para cubrir 40 tostadas. 2 •• 1 kg de pata de res es suficiente para 10 tostadas. •• 1 kg de queso rallado alcanza para 50 tostadas. 4 •• 1 kg de pechuga de pollo es suficiente para 25 tostadas. Si quedaron de acuerdo en que se llevaría lo necesario para que cada quien comiera dos tostadas de pata y dos de pollo, ¿qué cantidad de tostadas se deben comprar?
278
Versión de evaluación 23/04/12
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
Manos a la obra Ingredientes
Cantidad que se requiere
Paquetes de tostadas Kilogramos de pata Vasos de crema Queso rallado Kilogramos de pechuga de pollo a) ¿Usaron el mismo procedimiento para encontrar la cantidad de cada ingrediente que se necesita? b) Para la kermés de la escuela el grupo decidió preparar todas las tostadas que salieran con 9 kg de pechuga, ¿qué cantidad de queso rallado se necesitará para las tostadas que se preparen? Comparen sus respuestas con las de otras parejas y escriban el procedimiento que siguieron para obtener la respuesta de la última pregunta. De manera grupal, verifiquen sus procedimientos y reflexionen sobre el uso de distintos tipos de proporcionalidad para la solución de este problema. 2. Resuelve los siguientes problemas. a) En una escuela se va a realizar una excursión. Los organizadores saben que, en promedio, 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. ¿Cuántos litros de agua hay que llevar a una excursión de 3 días, si van a ir 60 niños? b) Rubén tiene 5 vacas, cada una de ellas produce 6 litros de leche diariamente; con 15 litros de leche obtiene 2.5 litros de crema y vende 2 litros de crema por $75.00. Si destinó la producción de dos semanas para obtener crema, ¿cuánto dinero recibirá por
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, con la información del problema de las tostadas, completen la tabla.
la venta de toda la crema producida en el tiempo mencionado? Compara tus respuestas con las de otros compañeros.
Cuando se usan la proporcionalidad directa y la inversa en la solución de un mismo problema, se dice que este problema es de proporcionalidad múltiple.
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B5 Sesión 158
En esta sesión resolverás problemas de proporcionalidad múltiple en situaciones como el cálculo de perímetros y áreas.
Manos a la obra Tracen en hojas blancas tres rectángulos con las siguientes medidas y recórtenlos: Rectángulo 1: 3 cm de base y 4 cm de altura. Rectángulo 2: 6 cm de base y 8 cm de altura. Rectángulo 3: 15 cm de base y 20 cm de altura. Calculen el perímetro y el área y completen la tabla. Rectángulo 1 Base
Rectángulo 2
Rectángulo 3
3
Altura
15 8
20
Perímetro Área ¿Cuántas veces es mayor la base del rectángulo 2 con respecto a la base del rectángulo 1?
¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rectángulo 2 con respecto al perímetro del rectángulo 1? ¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo 1 y el área del rectángulo 2? ¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rectángulo 3 con respecto al perímetro del rectángulo 1? ¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo 3 y el área del rectángulo 1? Comparen sus respuestas con las de otras parejas y reflexionen sobre la forma en que aumentan el área y el perímetro de un rectángulo cuando aumentan las medidas de sus lados. 2. Contesta lo siguiente. Los lados de un rectángulo han aumentado tres veces su tamaño, ¿cuál será la razón entre los perímetros de los rectángulos? ¿Cuál es la razón entre las áreas de los rectángulos?
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1. En parejas, realicen la siguiente actividad y contesten las preguntas.
S37 3. Resuelve los siguientes problemas. a) A un cuadrado de 4.5 cm por lado se le triplicó la longitud de cada uno de sus lados, ¿cuánto mide el perímetro del nuevo cuadrado? b) Se reproduce un rectángulo con perímetro de 35 cm y 75 cm2 de área hasta obtener otro rectángulo con un perímetro de 157.5 cm, ¿cuánto mide el área de la figura repro-
c) Se tienen dos círculos, uno de 4 cm de radio y otro de 12 cm de radio, ¿cómo es el perímetro del segundo círculo con respecto al perímetro del primero? Compara tus respuestas con las de otros compañeros y reflexionen si al duplicar o triplicar las medidas de los lados en un polígono regular su perímetro y su área también se duplican o triplican, respectivamente. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.
Sesión 159
En esta sesión resolverás problemas de proporcionalidad múltiple en diferentes contextos.
Manos a la obra 1. En equipos, observen el prisma. ¿Cuántos cubos verdes tiene? ¿Cuántos cubos en total lo forman? Alto
a) Si se aumentan al doble los cubos del ancho, del largo y de la altura, ¿cuántos cubos formarán el nuevo prisma? b) ¿Cuántas veces será mayor el número de cubos del prisma nuevo con respecto al de la ilustración?
Versión de evaluación 23/04/12
ducida?
Largo Ancho
c) ¿Habrá alguna forma directa de conocer el número de cubos sin contarlos uno a uno? Si al prisma de la ilustración se le triplican los cubos del ancho, del largo y de la altura, ¿cuántos cubos formarán el nuevo prisma? ¿Cuántas veces es mayor el número de cubos de este nuevo prisma con respecto al de la ilustración?
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B5 2. Se sabe que para construir un muro de 3 m de largo y 2 m de altura se necesitan 150 tabiques, y que para construir 2 m2 de barda se necesitan 3 de un bulto de cemento. 4 Si el albañil mezcló tres bultos, ¿cuántos tabiques pegará con esa mezcla? Si en la construcción del baño se ocuparon 600 tabiques, ¿cuántos bultos se emplearon
Para la cocina se levantaron tres bardas de 12 m2 y una de 9 m2, ¿qué cantidad de tabiques y de bultos se emplearon? 3. Damián es un granjero que se dedica a la crianza de guajolotes. Él sabe que 10 guajolotes consumen aproximadamente 120 kg de alimento durante tres días. También sabe que cada bulto de alimento contiene aproximadamente 50 kg. ¿Cuántos bultos deberá comprar para alimentar por tres semanas a las tres docenas de guajolotes que tiene? Comparen sus resultados con los de otros compañeros, verifiquen que sean correctos y reflexionen en qué otros contextos se pueden encontrar problemas de proporcionalidad múltiple.
En esta secuencia observamos que las situaciones de proporcionalidad múltiple se caracterizan porque dos o más cantidades están relacionadas proporcionalmente. Una proporción múltiple se denota como: a : b : : c : d : : e : f , o también se representa como a = c = e , y cumple que b d f ad = bc = cf = de = af = be
Consulta en… Entra al sitio: <http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/MATEGENERAL/t5geometria/Geometria/node9.html>, y consulta la información sobre los prismas rectangulares y otras figuras geométricas.
Autoevaluación Plantea en tu cuaderno un problema de proporción múltiple.
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para levantar las bardas del baño?
S37 Sesión 160
Evaluación 1. En un congelador se registraron las siguientes variaciones de temperatura: −7°, 12°, −5°, −10°, 6°; si la temperatura inicial era de −20°, en cuántos grados quedó la temperatura. b) 18°
c) −22°
d) −24°
2. La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Señala cuál de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación científica. a) 525 × 10 6 km
b) 5.25 × 10 8 km
c) 5.25 × 10 9 km
d) 525 × 10 8 km
3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene de área 289 cm 2? a) 72.25 cm
b) 28.9 cm
c) 28 cm
d) 17 cm
4. Si una persona cuenta una historia a tres personas, y cada una de éstas, a su vez, la cuentan a otras tres, y éstas hacen lo mismo, ¿cuántas personas escucharon la historia? a) 9
b) 18
c) 27
d) 81
5. ¿Cuál es la regla que forma la sucesión 1, 3, 5, 7, 9,…? a) 2 x + 1
b) 2 x
c) x + 2
d) x − 2
6. ¿Qué operación debe realizarse para obtener el área de un círculo con 15 cm de diámetro? a) 15 × 3.14
b) 7.5 × 3.14
c) 15 × 15 × 3.14
d) 7.5 × 7.5 × 3.14
7. Si el perímetro de un cuadrado aumenta al doble, su área aumenta: a) al doble
b) al triple
c) al cuádruple
d) al séxtuple
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a) 40°
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Hoja para las familias Seguimiento de los avances de los niños en la escuela Con el propósito de fortalecer su participación en la escuela para impulsar las actividades escolares y extraescolares que sus niños y niñas realizan, les presentamos el siguiente cuestionario en el cual pueden registrar sus avances y tomar decisiones junto con los docentes para mejorar el aprovechamiento escolar.
Algunas recomendaciones: • Si a usted se le dificulta el llenado del cuestionario, solicite ayuda a un familiar o amigo para responderlo e interpretar el resultado. Recuerde que es muy importante dar seguimiento a los avances y logros de su niña o niño. • Cuando su desempeño no sea óptimo, usted puede acudir a la escuela para recibir asesoría sobre cómo apoyar al niño en su formación académica. • Si al revisar las tareas y ejercicios del niño no están registradas las calificaciones o algún dato que le permita responder cuestionario, pida ayuda al maestro para determinar con él cómo puede dar seguimiento a los resultados del niño. • Recuerde que este cuestionario no es una evaluación o examen, es un registro que sirve para reconocer y ayudar a las niñas y los niños a nuestro cargo de una manera oportuna y eficaz.
Para dar seguimiento a los avances de los niños es importante que: • Revise con atención las tareas, los ejercicios y las actividades del libro de texto y del cuaderno de trabajo al menos cada dos meses (duración aproximada de un bloque). • Observe su conducta al realizar las actividades extraescolares y ponga atención en lo que platica de sus actividades en la escuela.
Cuestionario
Con base en sus observaciones sobre el trabajo del niño, marque la respuesta que corresponde a cada pregunta. A. Excelente
B. Bueno o bien
C. Mal o malo
D. No lo he observado
Desempeño del niño N˚
Reactivos
1
Las calificaciones obtenidas en las tareas del libro de texto reflejan que su trabajo fue
2
Las calificaciones obtenidas en los ejercicios realizados en su cuaderno reflejan que su trabajo fue
3
Al realizar actividades fuera de la escuela su desempeño fue
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Bloque i
ii
iii
iv
v
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Estimada familia y tutores
Bloque
Reactivos
4
He observado que trabaja en equipo y lo hace
5
Las actividades de estudio extras las hace
6
Su actitud para sistir a la escuela generalmente es
i
ii
iii
iv
v
iv
v
Mi desempeño N˚
Bloque
Reactivos
i
1
Su asistencia a la escuela es
2
Su puntualidad en la escuela es
3
Su aseo personal y de sus útiles para asistir a la escuela es
ii
iii
Recomendaciones para contribuir a mejorar el desempeño de su niño Si obtuvo de 7 a 10 respuestas
Si obtuvo de 5 a 7 respuestas
Si obtuvo en más de 4 preguntas
Si en 2 o más preguntas respondió
A. Excelente
B. Bien, aunque necesita apoyo
C. Mal. Requiere apoyo urgente
D. No lo he observado
Se recomienda felicitar a su niño o niña y preguntarle sobre el tipo de apoyo que requiere para seguir con ese avance y mantener los buenos resultados.
Se recomienda poner atención en aquellas actividades en las que se obtuvo esta valoración y acompañar a los niños para repasar las tareas y/o ejercicios en los cuales no obtuvo un buen desempeño. Si tiene dudas al respecto, es recomendable que se acerque con el maestro de grupo.
Se recomienda consultar con el maestro de su hijo o hija sobre cómo puede ayudarlo a mejorar el desempeño educativo.
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N˚
Recuerde que en el buen desempeño de sus hijos en la escuela también influye la familia. Le recomendamos contribuir con la escuela estando al pendiente de sus avances.
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