Matemáticas.
Para adquirir esta revista comuníquese a los teléfonos: 04267892536; 04242365123…. O por la página: WWW.FMATES.COM. WWW.FMATES.CO
Funciones trigonométrica. trigonométrica Es una rama de las matemáticas que tiene como objetivo: objetivo La Definición que Estudia las funciones seno, coseno, tangente medición de los triángulos. Se utiliza generalmente en la astronomía para cotangente, tangente, secante y cosecante. Medir distancias a estrellas, en puntos geográficos ficos y en sistemas de navegación por satélites .
Razones trigonométricas de cualquier Angulo A continuación se expresan: expresan SENO:: Es la razón entre las la definiciones de las funciones trigonométricas. COSENO: Es la razón entre la abscisa y la ordenada y la distancia al origen. TANGENTE: Es la razón entre la ordenada y la abscisa; distancia al origen. SECANTE: Es la COTANGENTE: Es la razón entre la abscisa y la ordenada. COSECANTE:: Es la razón entre razón entre la distancia al origen y la abscisa. La distancia al origen y la ordenada. Y 6 X X 5. 5 Círculo trigonométrico y líneas trigonométricas. Se define como aquel cuyo radio equivale a la unidad. Si se traza un circulo trigonométrico en un sistema de coordenadas cartesianas y se representan algunos puntos y rectas en el mismo tal y como se muestra en la figura.
Ángulos trigonométricos Dado un sistema rectangular de coordenadas, un ángulo trigonométrico es una cuadrúpleta (a, b, d, n), donde: 1. El rayo “eje X positivo” es llamado lado inicial del ángulo. 2. La rotación (a, b) aplicada al lado inicial, determina el rayo llamado lado final del ángulo. 3. d indica la dirección del ángulo que puede ser positiva (d = +) si es contraria a las manecillas del reloj o, en caso contrario negativa (d = −). 4. n es un número úmero natural que indica el número de vueltas aplicadas al lado inicial en la dirección d, antes de aplicarle la rotación (a, b). b
Ejemplo de cómo Representemos los ángulos trigonométricos
Análisis del dominio y rango de un función trigonométrica. trigonométrica
Dominio o de una función trigonométrica: Se define como el conjunto de valores que pueden tener la variable independiente de manera que se puede obtener su imagen o el valor de la función. Rango o de una función trigonométrica: Es el conjunto de valores que puede tener la variable dependiente.
Ley de los senos La ley de los Senos: es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de los Senos dice así: donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. Resolución de triángulos por la ley de los Senos esto significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver. En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno. Supónganos que te ponen el siguiente problema: Resolver el triángulo siguiente: Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A = 5, B=?, C = ? a = 43°, b = 27°, c = ? El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de
un triángulo, el tercero siempre sale así: c = 180° - a - b Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así: c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110° c= 110° Ya tenemos entonces los tres ángulos a, b y c. Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos: sustituyendo queda: Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos: haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y calculamos ésta expresión: 3.32838 = B y esto es lo que vale B. Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C: (Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.) Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): hacemos las operaciones y queda: 6.88925 = C y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo. Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo: o escrito ya sin el término de en medio: igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y si haces las operaciones verás que te da C = 6.88925 igual que antes.
Ley del coseno La ley de los Coseno: es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley del Coseno dice así: y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entonces dice así: donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos: Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos. Resolución de triángulos por la ley del Coseno Esto significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver. En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley de los cosenos. Supónganos que te ponen el siguiente problema: Resolver el triángulo siguiente: llamemos a al ángulo de 25° porque está
opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b. Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A =?, B = 9, C = 12 a = 25°, b = ?, c = ? Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo: realizando las operaciones queda: A = 5.4071 Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, : Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda: Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad: de ésta igualdad despeja el ángulo b (una forma rápida de despejar cuando lo que queremos despejar está abajo, es como sigue: invierte primero los quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-: luego, lo que está dividiendo al sen(b) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado. y así es más rápido.) haciendo las operaciones nos queda: inviértelo para que quede bien escrito: sen (b) = 0.7034297712 y saca la función inversa del seno (el arcoseno): b = sen-1 (0.7034297712) b = 44. 703 = 44° 42' El ángulo c es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre triángulo. Suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así: c = 180° - a - b Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así: c = 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17' c= 110°17' y con este resultado ya queda resuelto todo el
Función Seno La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa: Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente: el seno del ángulo alpha será: Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno: cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en inglés la función seno se escribe "sin"): para este caso, el resultado da: 53.13010... Que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
Función Cosecante La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante: sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución: y ya.
Gráfica de la función Seno.
Función Coseno La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa: Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente: el coseno del ángulo alpha será: Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno: cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos": para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
Función Secante La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente: en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante: sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución y ya.
Gráfica de la función Coseno.
Función Tangente La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente: Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente: la tangente del ángulo alpha será: Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente: cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la
esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan": para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha. La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue: y el resultado es el mismo que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Gráfica de la función Tangente
Fórmulas e Identidades Trigonométricas La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:
Fundamentales
sen(-x) = -sen(x) cos(-x) = cos(x) tan(-x) = -tan(x) sen2x + cos2x = 1 1 + tan2x = sec2x 1 + cotan2x = csc2x sen ( ¶ - x) = sen (x) cos ( ¶ - x) = -cos (x) tan ( ¶ - x) = -tan (x)
Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas.
sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v) sen (u - v) = sen (u)cos (v) - cos(u)sen(v) cos (u + v) = cos(u) cos(v) - sen(u)sen(v) cos (u - v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
Fórmulas para la suma del doble del ángulo
sen(2x) = 2sen(x)cos(x) cos(2x) = 2cos2(x) - 1 cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) cos(2x) = 1 - 2sen2(x)
APLICACIONES PARA LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS La funciones trigonométricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en esos ejemplos se llama movimiento armónico. Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio. Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno. Para ayudar a la descripción del movimiento armónico, imagínese un punto P que se mueve a velocidad constante en la circunferencia de radio a (con el sentido invariable),
que aparece en la figura 1: Figura 1θPOA(a,0)A´(-a,0)B´(0,-a)B(0,a)yx Supóngase que la posición inicial de P es A (0,a), y que θ es el ángulo descrito por el segmento OP luego de haber transcurrido t unidades de tiempo. La velocidad angular ω de OP es la rapidez a la cambia el valor de θ por la unidad de tiempo. Decir que P se mueve en la circunferencia con una rapidez invariable equivale a decir que la velocidad angular ω es constante. Si así es, entonces θ = ω t. Por ejemplo si ω = 6πradianes, entonces θ = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛6π t. Aplicaciones para las funciones trigonométricas Si las coordenadas de P son (x, y), como indica la figura 2, entonces cos θ =ax y sen θ =ay y por consiguiente: x = a cos θ y= a sen θ Se aplica el hecho de que θ = ω t, se tiene así que: x = a cos(ω t) y= a sen(ω t) La dos últimas ecuaciones especifican la posición (x,y) de P en cualquier momento t. Q´(0,y)Q(x,0)P(x,y)Figura 2θOA(0,a)A´(0,-a)B´(0,-a)B(0,a)yx A continuación se considera el punto Q(x,0), es decir, la proyección de P sobre el eje x.
Ese punto se muestra en la figura 2. La posición Q esta expresada por x = a cos ω t, a medida que P describe varias revoluciones, el punto Q oscila de un lado a otro, entre A(a, 0) y A´(-a, 0). Igualmente, el punto Q´(0,y) es la proyección de P sobre el eje y, y su posición está indicada por y= a sen ω t, al moverse P en la circunferencia, Q´ oscila entre B´(0,-a) y B(0,a). los movimientos de Q y Q´ son del tipo que se describen en la siguiente definición: Un punto que se mueve en un eje de coordenadas tiene movimiento armónico simple si su distancia d desde el origen, cuando el tiempo es t, está determinada por: d = a cos ω t, o bien por y= a sen ω t para números reales, a yω, distintos de cero. Aplicaciones para las funciones trigonométricas
1. Una rueda de 40 cm. de diámetro gira en su eje a 100 revoluciones por minuto (rpm). Si se introduce un sistema coordenado como el de la figura 2, de tal modo que P sea un punto en el borde de la rueda, Calcule a) la velocidad angular de OP b) la posición (x,y) de P, a los t minutos. 2. Una rueda de 2 pies de radio gira sobre su eje, y la velocidad angular de un rayo que va del centro de la rueda a un punto P, en el borde, es 65π radianes por segundo. a) ¿Cuántas revoluciones efectúa la rueda en 10 minutos? b) si se introduce un sistema de coordenadas como en la figura 2, determine el posición (x, y) de P, a los t segundos. b) 105 km/h