berekenen?

Als tijd zou je de tijd na het vertrek thuis kunnen gebruiken. De grafiek verschuift dan naar rechts. Als er maar één bewegend voorwerp is, kies je, zoals in dit voorbeeld, tbegin = 0 h.

Bij een ERB is de x (t)-grafiek altijd een rechte met als helling de snelheid. De exacte ligging van de rechte is gekoppeld aan de keuzes die je bij de voorstelling van de beweging maakt. • De rechte snijdt de x-as in de beginpositie xbegin. • De rechte snijdt de t-as in de begintijd tbegin (die je kiest als nul als er maar één voorwerp beweegt).

De v (t)-grafiek is een horizontale rechte die door de snelheidswaarde gaat. De beginpositie xbeginen de begintijd tbeginhebben geen invloed op de v (t)-grafiek.

Het verloop van een ERB kun je weergeven in bewegingsgrafieken: • De x(t)-grafiek is een schuine rechte. • De v(t)-grafiek is een horizontale rechte. De snelheidsgrootte, de bewegingszin, de beginpositie xbegin en de begintijd tbegin bepalen de grafiek. ` Maak oefening 28, 29 en 30.

3.3 Hoe kun je de positie, de tijd en de snelheid bij een ERB berekenen? A Positie op elk moment

OPDRACHT 23

Bepaal de positie bij een ERB op elk moment.

vtaxi 2,0 Afb. 26 t (min) t (h) xauto (km) 0 0 0 60,10 120,20 180,30 … … … 300,50 xtaxi (km) 2,0 11,0 THEMA 01 HOOFDSTUK 3 55

vauto x (km) … 0 voorbeeldhoofdstuk

Op het moment dat Emma (rode auto) de autosnelweg oprijdt aan een constante snelheid v = 116 km h, bevindt er zich een gele taxi 2,0 km voor haar. De taxi rijdt ook aan een constante snelheid. Ze rijden allebei voorbij de afrit in Aalter.

1 Bepaal de positie van de rode auto na een willekeurig tijdsverloop. a Vul de posities in de tabel verder aan.

b Noteer je werkwijze voor ∆t = 0,50 h.

xauto =

c Vervolledig de uitdrukking om de positie na een willekeurig tijdsverloop Δt te berekenen.

xauto =

2 Bepaal de positie van de taxi na een willekeurig tijdsverloop. a Bereken de snelheid van de taxi. vtaxi = b c Vul de posities in de tabel verder aan. Noteer je werkwijze voor ∆t = 0,50 h. d xtaxi = Vervolledig de uitdrukking om de positie op een willekeurig moment te berekenen. xtaxi = 56 THEMA 01 HOOFDSTUK 3 Bij een ERB is de ogenblikkelijke snelheid gelijk aan de gemiddelde snelheid. Vanuit de basisformule voor de gemiddelde snelheid kun je de positie na een willekeurig tijdsverloop berekenen: v =

∆x ∆t , dus ∆x = v · ∆t (1)

De verplaatsing tussen een willekeurige positie x en de beginpositie xbegin is gegeven door: ∆x = x – xbegin (2) Als je uitdrukking (1) en (2) combineert, wordt dat: x – xbegin= v · ∆t x = xbegin + v · ∆t In het voorbeeld kun je de posities van de taxi en de auto berekenen ten opzichte van de oprit of ten opzichte van de kilometerpalen. voorbeeldhoofdstuk

Positie ten opzichte van de oprit (xbegin = 0,0 km)

vtaxi vauto

x (km) 2,0

Positie ten opzichte van de kilometerpaal (xbegin = 48,3 km)

vtaxi vauto 0

x (km) 50,3 48,3

Uitdrukking om de positie na tijdsverloop Δt te berekenen

xauto = xbegin, auto + vauto · ∆t = 0,0 km + 116km h · ∆t

xtaxi = xbegin, taxi + vtaxi · ∆t = 2,0 km + 90km h · ∆t

xauto = xbegin, auto + vauto · ∆t = 48,3 km + 116km h · ∆t

xtaxi = xbegin, taxi + vtaxi · ∆t = 50,3 km + 90km h · ∆t

Bij een ERB met snelheid v en beginpositie xbegin bereken je de na een tijdsverloop ∆t als: positie x = xbegin + v · ∆t ` Maak oefening 31, 32 en 33.

B Inhalen

OPDRACHT 24 VOORBEELDOEFENING

Bestudeer het uitgewerkte vraagstuk.

Op het moment dat Emma (rode auto) de autosnelweg oprijdt aan een constante snelheid van 116 km h , bevindt er zich een gele taxi 2,0 km voor haar. De taxi heeft een constante snelheid van 90 km h . Wanneer en waar haalt de auto de taxi in?

Tekening: 9 min 17,4 km vtaxi vauto THEMA 01 HOOFDSTUK 3 57

• Formuleer in je eigen woorden wat ‘inhalen’ betekent. • Noteer de gegevens en het gevraagde in symbolen. • Ga op zoek naar de uitdrukking voor de positie van beide voertuigen. • Schrijf de betekenis van ‘inhalen’ wiskundig op. • Los de vergelijking op om de tijd te vinden. • Bereken de positie van beide voertuigen op de gevonden tijd. • Controleer of aan de voorwaarde voor inhalen voldaan is. OPLOSSINGSSTRATEGIE Afb. 27 voorbeeldhoofdstuk

vtaxi vauto

x (km)

Afb. 28

2,0

Gegeven: • auto: vauto = 116 km h en xbegin, auto = 0,0 km • taxi: vtaxi = 90 km h en xbegin, taxi = 2,0 km

Gevraagd: t en xbij inhalen = ? 0

Oplossing: Uitdrukking voor de positie van de auto: xauto = xbegin, auto + vauto · ∆t = 116 km h · ∆t Uitdrukking voor de positie van de taxi: xtaxi = xbegin, taxi + vtaxi · ∆t = 2,0 km + 90 km h · ∆t ‘Inhalen’ betekent dat de auto en de taxi op hetzelfde moment op dezelfde positie zijn. xauto = xtaxi 116 km h · ∆t = 2,0 km + 90 km h · ∆t ⇔ 116 km h · ∆t – 90 km h · ∆t = 2,0 km ⇔ 26 km h · ∆t = 2,0 km ⇔ ∆t = 2,0 km 26km h 58 THEMA 01 HOOFDSTUK 3

= 0,077 h = 4,6 min = 4 min 36 s De positie vind je door het tijdsverloop ∆t in te vullen in een van beide uitdrukkingen voor de positie: xauto = 116 km h · ∆t = 116 km h · 0,077 h = 8,9 km Controle:Bevindt de taxi zich op dezelfde positie? xtaxi= 2,0 km + 90 km h · ∆t = 2,0 km + 90 km h · 0,077 h = 8,9 km

Dit is een eerstegraadsvergelijking met als onbekende t: a · t = b · t + c TIP Als twee voorwerpen in dezelfde richting en zin bewegen, kan een snel voorwerp een trager voorwerp dat al voorop is, inhalen. Op het moment van inhalen bevinden het trage en het snelle voorwerp zich op hetzelfde moment op dezelfde plaats: xsnel = x traag Door de gegevens in te vullen en een eerstegraadsvergelijking op te lossen, vind je de tijd en de positie waarbij de voorwerpen elkaar inhalen. Je kunt de positie en de tijd ook aflezenop een x (t)-grafiek waarop je de beweging van beide voorwerpen tegelijk voorstelt. voorbeeldhoofdstuk

15

10

5 inhalen

0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

t (h) 59THEMA 01 HOOFDSTUK 3 Grafiek 11 De auto haalt de taxi in op het snijpunt van beide grafieken. Dat is na het tijdsverloop ∆t = 0,08 h op de positie x = 9,0 km. • De auto rijdt sneller dan de taxi (steilere grafiek). • De auto haalt de taxi in op het snijpunt van beide grafieken. Dat is bij t = 0,08 h en x = 9,0 km. Een snel bewegend voorwerp haalt een trager bewegend voorwerp in op een tijdstip t waarop de positie van beide voorwerpen gelijk is (xsnel = x traag). ` Maak oefening 34 en 35. voorbeeldhoofdstuk

OPDRACHT 25

Los het vraagstuk op.

In de richting van Gent rijdt een bus aan een snelheid van 100 km h . De bus bevindt zich ter

hoogte van de afrit in Aalter als Emma in Sint-Denijs-Westrem de autosnelweg oprijdt aan een snelheid van 116 km h . Waar en wanneer kruisen ze elkaar?

Tekening: Teken de vectoren op de kaart (afbeelding 29) en op de voertuigen (afbeelding 30).

VRAAGSTUKKEN OPLOSSEN

x (km) 17,4 9 min 17,4 km x (km) 17,4 0 Gegeven: • auto: • bus: Opgelet: de bus beweegt tegengesteld aan de x-as. Gevraagd: Oplossing: a Noteer de uitdrukking voor de positie van: • de auto: • de bus: b Leg in je eigen woorden uit wat ‘kruisen’ betekent.

Afb. 29 Afb. 30 Denk goed na over het teken van de snelheden. 0 TIP voorbeeldhoofdstuk

c Schrijf de betekenis van ‘kruisen’ wiskundig op en werk verder uit om het tijdverloop te bepalen.

d Bepaal de positie door het tijdsverloop Δt in te vullen in een van beide uitdrukkingen voor de positie.

Controle:Bevindt de bus zich op dezelfde positie?

61THEMA 01 HOOFDSTUK 3 Als twee voorwerpen in dezelfde richting, maar in tegengestelde zin bewegen, zullen ze elkaar op een bepaald tijdstip kruisen. Op het moment van kruisen bevinden beide voorwerpen zich op hetzelfde moment op dezelfde plaats: xvoorwerp 1 = xvoorwerp 2 Door de gegevens in te vullen en een eerstegraadsvergelijking op te lossen, vind je de tijd en de positie waarbij de voorwerpen elkaar kruisen. Je kunt de positie en de tijd ook aflezen op een x(t)-grafiek waarop je de beweging van beide voorwerpen tegelijk voorstelt. 0 0,00 t (h) 10 15 kruisen 20 0,05 0,10 0,15 0,20 x (km) x(t)-grafiek auto en bus Grafiek 12 Je ziet de x(t)-grafiek voor de rode auto en de bus. De auto kruist de bus op het snijpunt van beide grafieken. Dat is bij t = 0,08 h en x = 9 km. Twee voorwerpen die in dezelfde richting, maar in tegengestelde zin bewegen, kruisen elkaar wanneer ze zich op een tijdstip t op dezelfde positie bevinden (xvoorwerp 1 = xvoorwerp 2). 5 ` Maak oefening 36 en 37. voorbeeldhoofdstuk