Unidad 1 el plano cartesiano

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 1.- EL PLANO CARTESIANO: SE LLAMA ASI A LA REGION FORMADA AL TRAZAR DOS EJES PERPENDICULARES ENTRE SI, EL HORIZONTAL (EL DE LAS “X” O DE LAS ABSCISAS) Y EL VERTICAL (EL DE LAS “Y” O DE LAS ORDENADAS). ESTOS DOS EJES DIVIDEN EL PLANO EN (4) REGIONES LLAMADAS CUADRANTES, EL PUNTO DONDE SE CRUZAN SE LE LLAMA ORIGEN.

+Y

2º. CUADRANTE

1er. CUADRANTE

-X

+X

0 3er. CUADRANTE

4°.- CUADRANTE

-Y 2.- UBICACIÓN DE PUNTOS DEFINIDOS POR SUS COORDENADAS. UN PUNTO DEFINE SU POSICION, CUANDO LE ASIGNAMOS DOS VALORES NUMERICOS QUE PUEDEN SER POSOTIVOS, NEGATIVOS, ENTEROS, FRACCIONARIOS O IRRACIONALES, EL ORDEN DE ESTOS NUMEROS SIEMPRE ES “X” Y LUEGO “Y”,

( , )

LOCALIZAR LOS PUNTOS SIGUIENTES EN EL PLANO CARTESIANO: (3 ; 1) (1 ; 5) (−4 ; (−

1 ) 2

5 ; −2) 2

(−√5 ; 6) (5 ; −4)

1


E B

A

C

D

F

3.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEFINIDOS POR SUS COORDENADAS. (

SEAN

;

) Y

(

;

) ESOS DOS PUNTOS, ENTONCES:

LA FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ES: =

(

) +(

)

EJERCICIOS: CALCULAR LAS DISTANCIAS ENTRE LOS PUNTOS PEDIDOS, UTILIZANDO PARA ELLO LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS A, B, C, D... DADOS. U.L. = UNIDADES LINEALES (cm., m., km., inch., pies.,…) =

(1 − 3) + (5 − 1) = (−2) + (4) = √4 + 16 = √20 = 4.47 .

= (3 − 1) + (1 − 5) = (2) + (−4) = √4 + 16 = √20 = 4.47 . NOTA: OBSERVAR QUE LA DISTANCIA

=

=

− − (−4)

−4 − − √5

+ −2 −

2

+

1 2

ES LA MISMA, SOLO CAMBIO EL ORDEN.

=

2

−6 =

− +4

+ −

−4 + √5

=

+ −

2

+ −

=

+

=

= 2.92 .

= √3.11 + 30.25 = √33.36 = 5.78 .


2

2

+ 6 − (−4) = (−7.24) + (10) = √52.36 + 100 = √152.36 = 12.34 .

=

−√5 − 5

=

(5 − 1) + (−4 − 5) = (4) + (−9) = √16 + 81 = √97 = 9.85 .

4.- CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO DEFINIDO POR LAS COORDENADAS DE SUS VERTICES. EL METODO CONSISTE EN ACOMODAR EN FORMA VERTICAL LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS O VERTICES, SIGUIENDO UN ORDEN YA SEA EN EL SENTIDO DE LAS MANECILLAS DEL RELOJ O AL CONTRARIO, REPITIENDO AL FINAL EL PRIMER PUNTO. LUEGO SE PROCEDE A EFECTUAR PRODUCTOS CRUZADOS (PRODUCTOS HACIA ABAJO Y LUEGO PRODUCTOS HACIA ARRIBA), INICIANDO POR MULTIPLICAR LA “X” DEL PRIMER PUNTO POR LA “Y” DEL SEGUNDO, LUEGO LA “X” DEL SEGUNDO POR LA “Y” DEL TERCERO Y ASI SUCESIVAMENTE. UNA VEZ TENIENDO LOS PRODUCTOS, APLICAMOS LA SIGUIENTE FORMULA:

=

−∑ 2

EJEMPLO: CALCULAR EL AREA DEL TRIANGULO FORMADO POR LOS PUNTOS A, B Y C DADOS ANTERIORMENTE. A= (3; 1) B= (1; 5)

B C= (-4; 1/2) NOTA: EL SENTIDO ES

A

C

A= (3; 1) B= (1; 5)

=

( )( ) ( )

(

)( )

( )

(

U.A.= UNIDADES DE AREA (

CONTRARELOJ.

)( ) ( )( )

;

;

C= (-4; 1/2)

3

=

= . …)

.

.

=

= 14.5 U.A


A= (3; 1) SI SE TOMARA EL SENTIDO DEL RELOJ: A= (3; 1) C= (-4; 1/2) B= (1; 5) A= (3; 1) =

( )

(

)( ) ( )( )

( )( ) ( )

(

)( )

=

=

.

.

=

= −14.5 U.A

EL AREA RESULTO NEGATIVA POR EL SENTIDO TOMADO, PERO COMO NO HAY AREA NEGATIVA EL SIGNO MENOS SE DESPRECIA, QUEDANDO EL = 14.5 U.A

5.- PARA EL AREA DE UN POLIGONO SE APLICA LA MISMA FORMULA, ORDENANDO LOS PUNTOS Y REPITIENDO EL PRIMERO AL ULTIMO.

EJEMPLO: CALCULAR EL AREA DEL POLIGONO B, D, F, A, B. UTILIZANDO LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS DADOS ANTERIORMENTE.

B= (1; 5) D= (-5/2; -2) F= (5; -4) A= (3; 1) B= (1; 5)5 =

=

(1)(−2) + −

5 5 (−4) + (5)(1) + (3)(5) − (1)(5) + (3)(−4) + (5)(−2) + − (5) 2 2 2

(−2 + 10 + 5) − (5 − 12 − 12.5) 13 − (−19.5) = = 16.25 . 2 2

4


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