INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 1.- EL PLANO CARTESIANO: SE LLAMA ASI A LA REGION FORMADA AL TRAZAR DOS EJES PERPENDICULARES ENTRE SI, EL HORIZONTAL (EL DE LAS “X” O DE LAS ABSCISAS) Y EL VERTICAL (EL DE LAS “Y” O DE LAS ORDENADAS). ESTOS DOS EJES DIVIDEN EL PLANO EN (4) REGIONES LLAMADAS CUADRANTES, EL PUNTO DONDE SE CRUZAN SE LE LLAMA ORIGEN.
+Y
2º. CUADRANTE
1er. CUADRANTE
-X
+X
0 3er. CUADRANTE
4°.- CUADRANTE
-Y 2.- UBICACIÓN DE PUNTOS DEFINIDOS POR SUS COORDENADAS. UN PUNTO DEFINE SU POSICION, CUANDO LE ASIGNAMOS DOS VALORES NUMERICOS QUE PUEDEN SER POSOTIVOS, NEGATIVOS, ENTEROS, FRACCIONARIOS O IRRACIONALES, EL ORDEN DE ESTOS NUMEROS SIEMPRE ES “X” Y LUEGO “Y”,
( , )
LOCALIZAR LOS PUNTOS SIGUIENTES EN EL PLANO CARTESIANO: (3 ; 1) (1 ; 5) (−4 ; (−
1 ) 2
5 ; −2) 2
(−√5 ; 6) (5 ; −4)
1
E B
A
C
D
F
3.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEFINIDOS POR SUS COORDENADAS. (
SEAN
;
) Y
(
;
) ESOS DOS PUNTOS, ENTONCES:
LA FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ES: =
(
−
) +(
)
−
EJERCICIOS: CALCULAR LAS DISTANCIAS ENTRE LOS PUNTOS PEDIDOS, UTILIZANDO PARA ELLO LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS A, B, C, D... DADOS. U.L. = UNIDADES LINEALES (cm., m., km., inch., pies.,…) =
(1 − 3) + (5 − 1) = (−2) + (4) = √4 + 16 = √20 = 4.47 .
= (3 − 1) + (1 − 5) = (2) + (−4) = √4 + 16 = √20 = 4.47 . NOTA: OBSERVAR QUE LA DISTANCIA
=
=
− − (−4)
−4 − − √5
+ −2 −
2
+
1 2
ES LA MISMA, SOLO CAMBIO EL ORDEN.
=
2
−6 =
− +4
+ −
−4 + √5
=
+ −
2
+ −
=
+
=
= 2.92 .
= √3.11 + 30.25 = √33.36 = 5.78 .
2
2
+ 6 − (−4) = (−7.24) + (10) = √52.36 + 100 = √152.36 = 12.34 .
=
−√5 − 5
=
(5 − 1) + (−4 − 5) = (4) + (−9) = √16 + 81 = √97 = 9.85 .
4.- CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO DEFINIDO POR LAS COORDENADAS DE SUS VERTICES. EL METODO CONSISTE EN ACOMODAR EN FORMA VERTICAL LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS O VERTICES, SIGUIENDO UN ORDEN YA SEA EN EL SENTIDO DE LAS MANECILLAS DEL RELOJ O AL CONTRARIO, REPITIENDO AL FINAL EL PRIMER PUNTO. LUEGO SE PROCEDE A EFECTUAR PRODUCTOS CRUZADOS (PRODUCTOS HACIA ABAJO Y LUEGO PRODUCTOS HACIA ARRIBA), INICIANDO POR MULTIPLICAR LA “X” DEL PRIMER PUNTO POR LA “Y” DEL SEGUNDO, LUEGO LA “X” DEL SEGUNDO POR LA “Y” DEL TERCERO Y ASI SUCESIVAMENTE. UNA VEZ TENIENDO LOS PRODUCTOS, APLICAMOS LA SIGUIENTE FORMULA:
=
∑
−∑ 2
EJEMPLO: CALCULAR EL AREA DEL TRIANGULO FORMADO POR LOS PUNTOS A, B Y C DADOS ANTERIORMENTE. A= (3; 1) B= (1; 5)
B C= (-4; 1/2) NOTA: EL SENTIDO ES
A
C
A= (3; 1) B= (1; 5)
=
( )( ) ( )
(
)( )
( )
(
U.A.= UNIDADES DE AREA (
CONTRARELOJ.
)( ) ( )( )
;
;
C= (-4; 1/2)
3
=
= . …)
.
.
=
= 14.5 U.A
A= (3; 1) SI SE TOMARA EL SENTIDO DEL RELOJ: A= (3; 1) C= (-4; 1/2) B= (1; 5) A= (3; 1) =
( )
(
)( ) ( )( )
( )( ) ( )
(
)( )
=
=
.
.
=
= −14.5 U.A
EL AREA RESULTO NEGATIVA POR EL SENTIDO TOMADO, PERO COMO NO HAY AREA NEGATIVA EL SIGNO MENOS SE DESPRECIA, QUEDANDO EL = 14.5 U.A
5.- PARA EL AREA DE UN POLIGONO SE APLICA LA MISMA FORMULA, ORDENANDO LOS PUNTOS Y REPITIENDO EL PRIMERO AL ULTIMO.
EJEMPLO: CALCULAR EL AREA DEL POLIGONO B, D, F, A, B. UTILIZANDO LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS DADOS ANTERIORMENTE.
B= (1; 5) D= (-5/2; -2) F= (5; -4) A= (3; 1) B= (1; 5)5 =
=
(1)(−2) + −
5 5 (−4) + (5)(1) + (3)(5) − (1)(5) + (3)(−4) + (5)(−2) + − (5) 2 2 2
(−2 + 10 + 5) − (5 − 12 − 12.5) 13 − (−19.5) = = 16.25 . 2 2
4