INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 3.- LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia al lugar geom茅trico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuaci贸n:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
Ecuación reducida de la circunferencia
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:
EJERCICIOS RESUELTOS Obténgase la ecuación de la circunferencia, dado: 1.- c (2,0), r=2 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a,b y r 2 de los datos dados a = 2 y b =0, r = 2, y r2= (22) entonces r2 = 4 Segundo paso. Sustituyendo datos en la ecuación de la circunferencia. (x – a)2 + (y – b)2 = r 2
Entonces la ecuaci贸n es
(x - 2)2 + (y - 0)2 = 4 (x - 2)2 + y2 = 4
2.- C (0,5), r = 5 Primer paso. Determinar a, b y r2 del centro de la circunferencia de los datos dados. A = 0, b = 5, r = 5 y r2 = (5)2 entonces r2 = 25 Segundo paso. Sustituir datos en la ecuaci贸n de la circunferencia (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 (x - 0)2 + (y-5)2 = 25
X2 + (y-5)2 = 25
3.- C (0,0), r = 2/5 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a, b y r2 de los datos dados. a = 0, b = 0, r = 2/5 y r2 = (2/5)2 entonces r2 = 4/25 Segundo paso. Sustituir datos en la ecuaci贸n de la circunferencia. (x - a)2 + (y-b)2 = r2 (x - 0)2 + (y-0)2 = 4/25
X2 + y2 = 4/25
Multiplicando toda la ecuaci贸n por 25 ( x2 + y2 = 4/25)25
25x2 + 25y2 = 4
4.- C (-5/4, 2), r = 3 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a, b y r2 de los datos dados. A = -5/4, b = 2, r = 3 y r2 = (3)2 entonces r2 = 9 Segundo paso. Sustituir datos en la ecuaci贸n de la circunferencia. (x - a)2 + (y-B)2 = r2 (x - (-5/4)2 + (y - 2)2 = 9
(x + 5/4)2 + (y - 2)2 = 9
5.- C (2,-3/2), r = 4 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a, b y r2 de los datos dados. A = 2, b = -3/2, r = 4 y r2 = (4)2 entonces r2 = 16 Segundo paso. Sustituir datos en la ecuaci贸n de la circunferencia. (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 (x - 2)2 + (y - (-3/2))2 = 16
(x - 2)2 + (y + 3/2)2 = 16
6.- C (-3,4), r = 10 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a, b y r2 de los datos dados. A = -3, b = 4, r = 10 y r2 = (10)2 entonces r2 = 100 (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 (x - (-3))2 + (y - 4)2 = 100
(x + 3)2 + (y - 4)2 = 100
LA CIRCUNFERENCIA.
1.-TODA ECUACION CON LAS VARIABLES “X” Y “Y” QUE ESTEN SUMANDO CON COEFICIENTES IGUALES Y ELEVADAS AL CUADRADO REPRESENTA UNA CIRCUNFERENCIA. EJEMPLOS: a) 2
+2
= 18
b)
c) 3
+3
+6 =4
d) 5
+
−2 +6 = 6 +5
+ 10 − 3 = 0
ECUACION GENERAL DE UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO REAL ES: (0, 0) a) 2
>0 +2
+
=
= 18
DIVIDIR TODO ENTRE 2 +
=9
∴
(0, 0) ∴
=9
∴
= √9 = 3
3 0
LAS ECUACIONES b), c) Y d), SON CIRCULOS PERO SU CENTRO NO ESTA EN EL ORIGEN, ENTONCES REQUERIMOS DE OTRO FORMATO MPARA ESTE TIPO DE PROBLEMAS.
( − ) +( − ) =
+
b).-
( , )
,
−2 +6 = 6
AGRUPAMOS TERMINOS CON “X” Y CON “Y” −2 +
+6 =6
AHORA COMPLETAMOS TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS. −2 +1+
+6 +9 = 6+1+9
AHORA FACTORIZAMOS ( − 1) + ( + 3) = 16 LLEVANDO LA ECUACION A LA FORMA GENERAL. ( − ) +( − ) = (1, −3) = 16
=4
1
-3
c) 3
+3
+6 =4
DIVIDIR TODO ENTRE 3 +
+2 =
4 3
=
ORDENAR Y COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO SOLO PARA “X” +2 +1+
4 +1 3
=
FACTORIZAR ( + 1) + ( + 0) =
7 3
COMPARANDO CON LA FORMA GENERAL ( − ) +( − ) = ENCONTRAMOS QUE: (−1, =
0) ;
=
≅ 1.53
-1
d)
5
+5
+ 10 − 3 = 0
DIVIDIMOS TODO ENTRE 5 +
+2 =
COMPLETAMOS TRINOMIO CUADRADO PERFECTO PARA “Y” +
+2 +1 =
3 +1 5
FACTORIZAMOS ( − 0) + ( + 1) =
8 5
OBTENIENDO: (0, −1)
=
8 5
=
8 ≅ 1.26 5
-1
2.- LOS PROBLEMAS ANTERIORESFUERON: DADA LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA, ENCONTRAR SUS ] PARA GRAFICAR. ELEMENTOS, [ ( , ) AHORA DAREMOS LOS ELEMENTOS Y CALCULAREMOS SU ECUACION. a).- (−4, 7)
=8
,
[ − (−4)] + ( − 7) = (8) ( + 4) + ( − 7) = 64 DESARROLLANDO OBTENEMOS. + 8 + 16 + +8 +
− 14 + 49 = 64
− 14 + 65 − 64 = 0
( − ) +( − ) =
+8 +
− 14 + 1 = 0
, −3
b).-
.
=5
−
1 2
+ ( + 3) = (5)
−
1 2
+ ( + 3) = 25
DESARROLLANDO −
1 + + 4
−
+
1 + 6 + + 9 − 25 = 0 4
−
+
+6 −
+ 6 + 9 = 25
63 =0 4
.
3.- ENCONTRAR LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS PUNTOSSIGUIENTES. (−1, 5)
(6, 4)
(−2, −2)
EL PUNTO ( , ) SERA EL CENTRO, QUE NO CONOCEMOS PERO QUE ES EQUIDISTANTE DE LOS PUNTOS CONOCIDOS A, B Y D. = = = . CON LA FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y USANDO ESTA TRIPLE IGUALDAD POR PAREJAS OBTENDREMOS LAS ECUACIONES 1 Y 2 QUE PASAN POR EL CENTRO Y EN MEDIO DE LOS PUNTOS RESPECTIVAMENTE.
L1
A
B
C
L2 D =
,
( + 1) + ( − 5) =
1
(−1, 5)
(6, 4)
( − 6) + ( − 4)
( + 1) + ( − 5) = ( − 6) + ( − 4)
(−2, −2)
( , )
+2 +1+
− 10 + 25 =
− 12 + 36 +
− 8 + 16
2 − 10 + 12 + 8 = −1 − 25 + 36 + 16 14 − 2 = 26 =
1
,
2
( − 6) + ( − 4) =
( + 2) + ( + 2)
( − 6) + ( − 4) = ( + 2) + ( + 2) − 12 + 36 +
− 8 + 16 =
+4 +4+
+4 +4
−12 − 8 − 4 − 4 = −36 − 16 + 4 + 4 −16 − 12 = −44
2
RESOLVIENDO EL SISTEMA ENCONTRAMOS QUE
= 2,
= 1 QUE SON LAS COORDENADAS DEL CENTRO
AHORA CALCULAREMOS LA LONGITUD DEL RADIO, QUE SERA LA MISMA DEL CENTRO A CUALQUIERA DE LO (−1, 5) (6, 4) (−2, −2) PUNTOS = = , (2, 1) =
(−1 − 2) + (5 − 1) = √9 + 16 = √25 = 5
=
(6 − 2) + (4 − 1) = √16 + 9 = √25 = 5
ENTONCES LA ECUACION BUSCADA ES: ( − 2) + ( − 1) = 25 DESARROLLANDO −4 +4+
− 2 + 1 = 25
AGRUPANDO Y REDUCIENDO −4 +
− 2 = 20
.
OTRA FORMA DE RESOLVER EL PROBLEMA, ES USAR LA ECUACION GENERAL ( − ) + ( − ) = , SUSTITUYENDO EN ELLA LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS (−1, 5) (6, 4) (−2, −2), GENERANDO UN SISTEMA COMO EL SIGUIENTE: ( + 1) + ( − 5) =
→
1
( − 6) + ( − 4) =
→
2
( + 2) + ( + 2) =
→
3
DESARROLLANDO OBTENEMOS +2 +1+ − 12 + 36 +
− 10 + 25 = − 8 + 16 =
→
. 1
→
. 2
+4 +4+
+4 +4 =
→
. 3
ELIMINANDO POR SUMA O RESTA EN LAS EC. 1 Y EC. 2 +2 +1+ −
− 10 + 25 =
+ 12 − 36 −
→
+ 8 − 16 = −
. 1 →
. 2
OBTENEMOS LA ECUACION 4 14 − 2 = 26 →
.4
AHORA ELIMINANDO POR SUMA O RESTA LAS EC. 1 Y 3. +2 +1+ −
− 10 + 25 =
−4 −4−
−4 −4=−
→
. 1
→
. 3
OBTENEMOS LA EC. 5 −2 − 14 = −18 →
.5
RESOLVIENDO EL SISTEMA FORMADO POR LAS EC. 4 Y 5 14 − 2 = 26 →
.4
−2 − 14 = −18 →
.5
ENCONTRAMOS LAS COORDENADAS DEL CENTRO (2, 1), QUE COINCIDEN CON LAS OBTENIDAS CON EL METODO ANTERIOR, ENTONCES LA ECUACION SERA LA MISMA −4 +
− 2 = 20
.
.
4.- ENCONTRAR LA ECUACION DE LA RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA DEFINIDA POR LA ECUACION −4 + + 6 = 12, EN EL PUNTO (5, 1). NOTA: RECTA TANGENTE A UNA CURVA, ES AQUELLA RECTA QUE TOCA A LA CURVA EN UN PUNTO.
T 2 5 -3
C
PRIMERO VERIFICAMOS QUE EL PUNTO SEA DE LA CURVA, ENTONCES SUS COORDENADAS DEBEN SATISFACER LA ECUACION. PUNTO
(5, 1),
−4 +
ECUACION
+ 6 = 12
(5) − 4(5) + (1) + 6(1) = 12 25 − 20 + 1 + 6 = 12 32 − 20 = 12 12 = 12 EL PUNTO ES DE LA CURVA. AHORA CALCULAREMOS LOS ELEMENTOS DE LA CURVA. −4 +
+ 6 = 12
COMPLETAMOS TRINOMIOS −4 +4+
+ 6 + 9 = 12 + 4 + 9
FACTORIZAMOS ( − 2) + ( + 3) = 25,
(2, −3)
AHORA CON LOS PUNTOS (2, −3) =
UNE:
=5
(5, 1), CALCULAMOS LA PENDIENTE “m” DE LA RECTA QUE LOS
= APLICANDO AHORA LA PROPIEDAD DE LAS RECTAS PERPENDICULARES (RECIPROCAS Y DE
SIGNO CONTRARIO), OBTENEMOS LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE (5, 1)
FINALMENTE CONOCIENDO EL PUNTO USAREMOS LA FORMULA 3 − 1 = − ( − 5), 4
=−
3 4
+
19 4
− =−
( −
= 3 4
+
15 +1 4
=− ).
=−