CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIDAD 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD
TABLA: Graficar
y
x 1 x 1 2
p / x 1
;
Además la grafica Lo confirma
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-4
-3
¿?
-1
0
1
2
Según la tabla cuando x=-1 el valor de Y debe de ser y = -2
y
-1
x
0
-2
Si y f (x) entonces: el limite de valor x=-1 es -2; que se escribe así: Lim
x2 1 2 x 1
X -1
;
y
x
1 x 1 2
Simbólicamente: Limf ( x) L xa
El método de la tabla y grafica no es práctico:
; cuando x tiende o se aproxima al
Método para evaluar limites de funciones: 1.-Evaluar directo; si esto es posible, el problema esta resuelto. 2.-Si en el problema hay cociente y para el valor dado “a” el denominador se hace cero entonces transforme la función en otra equivalente que si permita la evaluación directa. Estas transformaciones se hacen con apoyo de reglas algebraicas o trigonométricas ya establecidas.
2.1.-Evaluar los límites siguientes: a) Lim2 x 2 3x 1 2(3) 2 3(3) 1 18 9 1 10 Solución x3 b)
c)
Lim( x 3)( x 5) (4 3)(4 5) (1)(9) 9 x4 x
Lim
( 2 )2 7 2 5
7 x 5 2
4 7 7
11 7
x 2
d) Lim x 1
x
2 x 1 x 2
2
(1 )
2 (1 ) 1 2 2
1 2 1 3
0 3
0
e) Lim x 5 11 5 16 4 x 11 f) Lim 3 2 x 3 x 15 g) Lim
x 2 5 x x
3
2 (15 ) 3
x ( x 5) x
Lim
3 x
21((xx33)) lim
x3
x3 2x2 4x x2
i) Lim x 2 j) Lim
x 1 3 3
x
2(2)2 4(2) 2 2
41 3 3 4 1
30 3
x 5 5
x 0
x0
h) Lim 2 x 6
3
5 3 4 1
1 2
88 4
5 12
0 4
0
3
27 3
En los ejemplos anteriores la evaluación fue por sustitución directa del valor de x lo cual no siempre es posible en los siguientes ejercicios se mostraran algunos procedimientos.-
a) Lim
x4 x 2 16
Factorizacion x4 ( x 4 )( x 4 )
x4
nueva f(x) 1 Lim ( x 4 )
1 44
1 8
x4
Diferencia de cuadrados 4 x 2 81
b) Lim 2 x 9
x
( 2 x(29x)(29x)9) Lim
2x 9 2 92 9 9 9 18
x 92
9 2
Trinomios 2
x x
c) Lim
2
4 x 77 6 x 55
Aquí la sustitución de x=-11 hace cero el denominador lo cual presenta la dificultad de no poder dividir entre cero hay que transformar las expresiones factorizando.
x 11
x 2 BX C
Forma
X 2 4 X 77 X 2 6 X 55
( X 1)( X 7 ) ( X 11)( X 5 )
7 18 Lim xx75 11 16 89 115
x 11 Forma
x 2 BX C 3 x 2 10 x 7
d) Lim 2 x 2 3 x 5 x 1
e) Lim
x 3 27 x 2 9
x3
( 3 x 7 )( x 1) ( 2 x 5 )( x 1)
Lim 32 xx 75
x4
4 7
74
En este problema tenemos en el numerador una diferencia de cubos y en el denominador una diferencia de cuadrados factorizando
2
x 1
( x( 3x)(3x)(x3x3) 9) Lim 64 x 3 f) Lim x 4
3 (1) 7 2 (1) 5
( x 3 64 ) x4
x2 3x9 x3
999 33
27 6
2 ( x 4 )(( xx 4)4 x 16 )
9 2
X 4
( X 2 4 X 16) -48
Lim ( x 2 4 x 16) 4 44 16 16 16 16 48 x4 2
5 8( )3 8 x 3 125 125 125 0 2 g) lim 2 (imposible) 4 x 25 4( 5 ) 2 25 25 25 0 2 Pero como el numerador es una suma de cubos y el denominador una diferencia de cuadrados factorizando
x25 2x25x45x210 Lim x5
8x3 125 Lim 4x2 25
2
x 52
x 52
2 5 2
4 5 10 5 25 2
4 x 2 10 x 25 2 x 5
2
5 2
25525525 75 152 10
x3 4 x x( x 2 4) x( x 2)( x 2) x( x 2) lim 2 ( x 2) ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x2 x 2 x 2
h) lim
2(2 2) 2(4) 8 ; 22 0 0
En este problema es necesario efectuar el proceso de racionalización.-
x 11 x
i) Lim x0
En este problema se dice que el límite no existe por no ser posible la eliminación de la división por cero
x 1 1 ( x)
Lim
1 x 1 1
x 11 x x 1 1 x x 1 1 x 1 1
1 11
x x 1 1
1 2
x0
j) Lim
1 x Racionalizando 5 x 2 2
x 1
5 x 2 1 x 5 x 2 1 x 5 x 2 5 x 1 1 x 5 x 2 5 x 2 1 x 2
2
2
2
2
2
2
Diferencia de cuadrados
1 x 1 1
1 x 5 x 2 2 1 x 1 x
1 1x k) Lim x 1x x0
l) Lim
x2 x 1
Lim
5 x 2 2 1 x
x 1
2 2 11
42 2
1 x x 1
=
x 1
TRIGONOMETRIA: Teorema de Pitágoras: en un rectángulo: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos. c2 a 2 b2
a=cateto opuesto b= cateto adyacente c=hipotenusa Angulo agudo
c a=
b
Relaciones fundamentales entre los lados de un rectángulo y un ángulo agudo, que dan lugar a las 6 funciones trigonometricas básicas: SEN
a ; c
COS
b ; c
TAN
a ; b
COT
b ; a
SEC
c ; b
CSC
c ; a
Como podemos observar la función seno es recíproca con la cosecante. La función coseno lo es con la secante y la función tangente con la cotangente. de lo anterior se desprenden las siguientes Identidades:
SEN
1 CSC
;
CSC
1 SEN
;
SEN CSC 1 ;
COS
TAN TAN
1 SEC 1 COT
SEN COS
;
;
;
1 TAN 2 SEC 2 ;
SEC
1 COS
COT
TAN
1
TAN COT 1
1 COT 2 CSC 2 ;
SEN 2 2 SEN COS
COS SEN
TAN 12TAN 2
SEN SEN ;
TAN TAN ;
180 ;
36
;
SEN 2 COS 2 1
COS 2 2COS 2 1 ;
5
COS SEC 1 ;
;
COT
COS 2 COS 2 SEN 2 ; TAN 2
;
6
2
COS 2 1 2 SEN 2
;
COS COS
90
3
60
4
45
30
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA LÍMITES Lim SEN 1
0 DEMOSTRACION POR MEDIO DE UNA TABULACION CON EN RADIANES.
RAD SEN SEN
1 COS
Lim 0
0 .1 0.0998
0.01 0.0099998
0.001 0.0009999
0
0.998
0.99998
0.9999998
1
0
DEMOSTRADO
DEMOSTRACION POR MEDIO DE UNA TABLA:
RAD COS 1 COS 1 COS
0 .1 0.995 0.004995 0.04995
0.01 0.99995 0.0000499 0.004999
0.001 0.9999995 0.0000005 0.0005
0 DEMOSTRADO
0
LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
a) Lim x0
b) Lim x0
SEN 5 X X
SEN 2 X X
5 SEN 5 X 5 X
1 COS 2 X X
5 Lim
51 5
1 cos x 1 cos x
Lim
x 1cos x Lim1cos 1 x
SEN 5 X 5X
x
x0
COS 0 1
(1+1)(0)=0
x0
c)
Lim
X
2
COSX COTX
COSX 1 COSX SENX
SENX COSX COSX
lim SENX X
SEN 90 1
2
2 90
d) Lim x sec x cos180
1
sec
x 180 x
e) Lim x0
cos
x tan x
x
cosx senx 1 cosx
x
Lim x0
SENX X
1
1 1 1 cos 1
f) Lim SEN 3 X 2X x0 3x 2 SEN 2 x 3 SEN 3 x 2x
2 SEN 2 X
SEN 2 X
3X 3 SEN 2(1) 3(11) 3X
2 3
Evaluar: Lim SEN 2 X x 15
Lim Tanx
x
4
Lim SENX TANX SECX
x 1
Cot x x2 1TANX
Lim SENX COSX
x
Lim
TANX SENX SEN 2 X
2
x0
Determinar si las siguientes funciones son continuas o no. a) y x 2 2 x
b) y x 4
Esta función si es continúa porque su dominio esta formado por todos los reales Dx , además su gráfica no presenta interrupciones.Como esta función tiene el dominio Dx 4, en ese intervalo la función es continua.-
2 c) y 16 x
Esta función tiene como dominio el intervalo cerrado Dx 4,4 ahí es continua la función.d) y
x 2 16
e) y
2 x4
f) y
1 ( x 3 )( x 7 )
El dominio de esta función es formado por dos intervalos ,4 4, La función es continua en ellos.Esta función no es continua en x 4 por que ese valor esta fuera del dominio entonces la función es continua en todo valor de x 4 que escritos en intervalos es: continua en ,4 4,
En esta función hay dos valores que quedan fuera del dominio y que son: x 3; x 7 la función es continua en tres intervalos ,7 7,3 3,
Obtenga las Asíntotas verticales horizontales y oblicuas de las siguientes funciones si es que existen así como su grafica. y
a) y 2 x 2 3
Esta función no tiene asíntotas.
3 x
Gráfica b) y 2 2
x
En esta función el único valor de x que hace cero el denominador de la función es x=0 ( o sea el eje yy’) y este representa una asíntota Vertical.
Además analizando el límite de la función para valores grandes positivos y negativos cercanos por la derecha e izquierda a la asíntota, encontramos que:
Lim x22 0
Asíntota Vertical x=0
y
x
Lim x22 x 0
Lim x 22
x 0
0
Lim x 22 0
x
En este problema por la gráfica se observa que el eje xx’ también tiene comportamiento de asintota horizontal pues no permite que la grafica lo cruce.-
Y’ c)
y
4 ( x 7 )( x 1)
En esta función hay dos valores que hacen cero el denominador y que son: x=7; x=-1 estas dos rectas verticales representan asíntotas verticales
Gráfica Analizando los límites: X=-1
4 0 ( x 7)( x 1) x
X=7
y
lim
x
-x
-4/7
0
-y
lim
4 ( x 7)( x 1)
x 1
lim
4 ( x 7)( x 1)
x 1
lim
4 ( x 7)( x 1)
x 7
lim
4 ( x 7)( x 1)
x 7 4 0 ( x 7)( x 1) x
lim
d) y
2 x2 x x2 ;
Esta función se puede reescribir así:
y
2x2 x2
x x2
2 1x 1
La y 2 representa una asíntota horizontal y en la parte de la función x el valor x 0 es una asintota vertical.
Lim 1x 0 x
GRÁFICA
y
Asíntota Vertical
Lim 1x x 0
Lim 1x 0 x 0
Lim 1x 0
Asíntota Horizontal
x
2
x
-x 0
-y
e)
y
x2 2 x
Esta función puede reescribirse así:
y
x2 x
2x x
2 x
2
Aquí y x representa una asintota oblicua y en la otra parte de la función x ; x 0 (eje yy’) representa asíntota vertical Lim x x Lim
2 x
x 0 (Abajo de y=x)
x 2x x
x 0
Lim
x
2 x
x
2 x
x 0 (Arriba de y x )
x 0 Lim x x
y Y=x asíntota oblicua
x 0
f )y
x2 1 x2 1 1 2 2 1 2 2 x x x x
Y=1
representa asíntota horizontal 1 Además en 2 el valor x=0 es una asíntota vertical x lim1
X-
1 1 0 (por debajo de y=1) x2
Además Si x=-1; y=0 Si x=+1; y=0
lim1
1 1 x2
x0 lim1
1 1 x2
x 0 lim1
1 1 0 (a bajo de y=1) x2
x
y
Asíntota Vertical
Asíntota Horizontal y=1
-1
+1
x
-x 0
-y
Evaluar: Lim x 2 3 x x5 Lim 2x 1 x4
Lim
x2 5x 2x7
x
1 2
Lim
x 2 9 x 2 5 x 6
x3 Lim x x 21x 3 x3 4
Lim
5 x 3 8 x 2 3 x 4 16 x 2
x0 Lim x x 21x 3 x 1 4
Lim
x 3 8 x2 4
x 2 Lim
x 2 3 x 2 x2 x2
x2 Lim
x 4 16 x2 4
x2 Lim
x 9 x 3
x9 Lim xx13 2 x 3 Lim 5 2xx 5 x0 2 Lim 2 x x1x 3 x 1 Lim
x 3 x2 7 4
x 3
1 1 x 2
Lim x2 x2
Problemas de limites (u-2)
Evaluar los límites siguientes: 1.- Lim 2 x 2 3 x 1 x 2 2.- Limx 8x 11 x0 3.- Lim x3 4.- Lim x x 7
x2 7 x x 1
2
x 2 7 x x
2x1 3 3
7.- Lim x 13 8.- Lim
4 x 21 x 5
x3
5.- Lim x6 6.- Lim x0
x
x 2 9 x 2 5 x 6
x 4 2 x 3 x 1
x3
9.- Lim x3
10.- Lim x 1
x 4 2 x 3 x 1
11.- Lim
x 3 8 x2 4
x 2
Matemáticas (I.I.) Matemáticas (L.I.)
12.- Lim
x 2 3 x 2 x2 x2
x2
x 4 16 13.- Lim x 2 4 x2
14.- Lim x 1 15.- Lim x2 16.- Lim
2 x 2 x 3 x 1
1 1 x 2
x2
x 9 x 3
x9
17.- Lim x3 18.- Lim x0 19.- Lim
x 1 2 x 3
x 5 5 2x
x 3 x2 7 4
x 3
20.- Lim x2 21.- Lim
x 5 32 x2
x 1 4 x 2 x 3
x 1
22.- Lim
x6 18 3 x x 2
x 6 1 1
23.- Lim x0
x x 1 x
24.- Lim
x2 x 1
1 x x 1
x 1
Problemas de Limites Evaluar los siguientes límites: 1) Lim sen2 x x 15 2) Lim tan x x 4 3) Lim cos 3 x x 4) Lim sec x x 60 5) Lim csc 2 x
x
6
6) Lim sec x x 00
7) Lim x0 8) Lim x0
sen10 x x
tan x x
9) Lim tan x sec x x2 Lim
1 cos x x2
x0 Lim
tan x senx sen 3 x
x0
10) Lim
cos x csc x
x
2 5
tan x sec x
11) Lim x 1
1 12) Lim cot x csc x
x
3 18
Calcular asíntotas y gráfica de: 1)
y x2 5
2)
y
3 x6
3)
y
5 x2
4)
y
2 x 2 4 x 21
5)
y
3 x 2 x x2
6)
y
x 2 3 x
x x cos x x cos x x cos x cos x cos(0) 1 Lim x cot x senx 1 senx senx 1 x x0
7)
8)
Lim
1 senx
x 45
tan x cos
x