CÁLCULO DIFERENCIAL UNIDAD 4: DERIVADA Un problema geométrico como el siguiente da origen al cálculo diferencial.¿Cuál es la ecuación de la recta tangente, a la curva y x 2 en el punto T (2; 4)
y
RECTA TANGENTE T 4
0
2
1ra forma de solución (gráfica) m
y 2 y1 x 2 x1
40 21.2
4 0.8
5
y y1 m( x x1 ) y 4 5( x 2) y 4 5x 10 y 5x 6
2da Forma: Suponiendo un punto Q Cercano A (T (2; 4) Q2.1 ; 4.41
m
4.414 2.12
4.1
Ecuación de la recta Tangente (NO SIRVE)
y y1 m x x1 y 4 4.1x 2 y 4.1x 8.2 4 y 4.1x 4.2 Ecuación de la recta Tangente (no sirve) es Secante
3ra Forma: suponer a Q tan cerca de T 2;4 que la x de Q 2
Q x; x m xx 24 Lim
T 2;4 y
2
x 2 4 x 2
2
x2
m=
( x 2)( x 2) ( x 2)
x2 22 4
x2 La ecuación será: si y= x 2 = f(x) dy y-4 = 4(x-2) 2 x ; evaluada en x 2 dx y=4x-8+4 Nos da la pendiente de la recta tangente
m
y=4x-4
m4
2(2)
dy dx
EJERCICIOS DE LA DERIVADA 1. CALCULAR LA DERIVADA DE:
Y
Y X 3 8 X 10
Y Y
3 X SEN 6 X
Y 8e 5 x
3
4
Y 3 2 X 5
y 7( x
Y 3X
y
5X
4x
Y e2 x x3x
Y 1 2 X 3X 2 5
2 9 X 3 5 17 14 X 105
y ( x 3 2x 3) 6
7
5X 2 3 X 9
2
y
8) 7
tan 3x sen 5x
y 54
3 x2
4 1 3 7x e x x2
2
Y log 8 7 x tan 4x
3
y (1
2 4 ) 2x
y 6 sec 5x
y e8 x y ln(5x 2 10x)
y ln ( x 2 1)(cos8x 2 ) y ln 4
y cot 3 4 5x e 3 x ln10x 2.-CALCULAR LA 2° DERIVADA. Y ( X 2 3X ) 3
Y COS 7 X
Y e4x
2
y 4 x3
y 510 x
2
2 7x x2 3x
3.-CALCULAR LA DERIVADA IMPLICITA DE: 2 3 2 5 X 2 y 3 xy 2 12e x y x 2 ln y 3 3 x y x 2 y 3 ln(2x y 2 ) 2
2x y 5 y 3 x x 2 y 3
DIFERENCIALES Sea y F x una función; entonces: dy diferencial de la funcion ; un diferencial es un N° ≠ 0 (por lo general pequeño).dx diferencial de x
dy f x dx
El diferencial de la función se obtiene multiplicando la derivada de la función por dx.-
y F x
y
x x ; f x x
y
x ; y
dy dx x
0
x
x x
x
Calcular los diferenciales de las funciones siguientes.
y x3
4 x
y
3x 2 4 x
y Sen 2 x
y 2 Cos 10 x
y 4Tan 10 x
y Sen 1 4 x 2 6
y5
3
x2
y Tanh 3x 2
2x 3 y ln 5x
y ln x 2x 3
y 2 x
m 2t
ln 5 x
y 7 x Sec 4 x
y
3
2
R S ln S 2
Q R Sen R 2
ln 5
5 Sen 7 x x ln 5x
1 6 t 1 y Cos 3 2
S C R2 t 2
Ctes.
Ejercicios de diferenciación 1) Calcular el diferencial de las funciones siguientes.
y x2
4 x
y x 3 3x
y
2 x4
3x 1
2
y 3x x 2 5
P 50 x 0.5x 2 1.73 E
1 9T 3T 2 T 3 27
y 3 5x 4
y 7x 1
y ln5x
y ln x 3x 6
y ln x 2
4
x2 1 5x 3
y ln
y3
2x
x 2
y
y 3x
yx
y x 3 8x 10
y
2 5x
y
y
Tan 3x Sen 5x 2 x 5
5x 2 7 3x 9
y Cot
y x3 2x 3
5
3x2
y 3x
5x
8
7
7 x Tan 4 x
y
5x ln10x
y
2
10x 8
x 3x2 7 x 3
3x 3 7 x 10 4
6
y 54
2
y 1 2 x 3x 2
y 7 x
3
3x
x 2
y
y ln 5x
34
y 6 Sec 5x
4 1 y 2 3 7x x x y log
T 2T 7
2 3 R T 8
y 8 5 x 4 x
3
4 2
3 x 1
y 8 x
8
S
y 2 x
4
105
y3
2 x
y
3 y 1 2 x
29x 35 17 4x
1 2 Q T 2T 2 T
2
3x Sen 6x
4
y x 2x
y ln 4
3x
2
2 7x x 2 3x
y 0.25x 2 1.75x 10.48
y 2x 2 33x 17 x 11
y 14 8x 2 5x 3
y 3x 4 5x 2 7 x 102
y
2 4x 3x 5
y ln x 2 1Cos 8x 2 y
7 2x x 3
y
5x 2 11x 7x 1
y 5x 3
y 2x 15 3x 3
8 7 y 9 x 3
y 5x 7
y 4x 2 7 x 9
y
3 x 7
3 x 2 5 x
y4
y ln 5x 2 4x 18 y log4x
3
2 5x 8 y 3
y 8
y 7 x 6
4
2
7 x
y log 7 5x 2 8x
5x 8 5
y 5x
5
2
7 x
y ln 4x 3 11x 2
y 7 x 5x
9 y log 3x 5
6
y ln 3x 7
2
2)
Calcular el diferencial de:
y 4x 7 x 10 2
y ln 7 x
2
y 7 x
2
y Cos 7 x y 510 x
y 5x 2 3
y 4 x
2
2
3) Calcular el diferencial de las funciones implícitas:
y ln3x 4
y x 2 3x
y 4 x3
3
x2 y3 8 x 2 y 3 5x 3 y 2
x 2 y 3 xy 2 12 x
2
y3
2
2x y 5 y 3 x x 2 y 3
xy 2 4
x 3 2 x3 y 4 7x 2 y
x2 4 x 5 y 2 10 3 y
x
x 2 ln y 3 3 x
2 5
y
2
y3
ln x 3 4 y
x 2 y 3 ln 2x y 2