Miolo invariantes topológicos by UNJFSC

INVARIANTES TOPOLÃ&#x201C;GICOS

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Universidade Estadual Paulista Vice-Reitor no exercício da Reitoria Julio Cezar Durigan Chefe de Gabinete Carlos Antonio Gamero Pró-Reitora de Graduação Sheila Zambello de Pinho Pró-Reitora de Pós-Graduação Marilza Vieira Cunha Rudge Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini Pró-Reitora de Extensão Universitária Maria Amélia Máximo de Araújo Pró-Reitor de Administração Ricardo Samih Georges Abi Rached Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto

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Cultura Acadêmica

Alice Kimie Miwa Libardi João Peres Vieira Thiago de Melo

INVARIANTES TOPOLÓGICOS

São Paulo 2012

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©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2012.

Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp L694i Libardi, Alice Kimie Miwa Invariantes topológicos / Alice Kimie Miwa Libardi, João Peres Vieira, Thiago de Melo. – São Paulo : Cultura Acadêmica, 2012. 76 p. Programa de apoio à produção de material didático da Pró-Reitoria de Graduação da UNESP. ISBN 978-85-7983-239-0 1. Topologia. 2. Espaços topológicos. 3. Matemática – Estudo e ensino (Superior). I. Vieira, João Peres. II. Melo, Thiago de. III. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Pró-Reitoria de Graduação. CDD 514

equipe

Pró-reitora Sheila Zambello de Pinho Secretária Silvia Regina Carão Assessoria José Brás Barreto de Oliveira Klaus Schlünzen Junior (Coordenador Geral – NEaD) Laurence Duarte Colvara Maria de Lourdes Spazziani Técnica Bambina Maria Migliori Camila Gomes da Silva Cecília Specian Eduardo Luis Campos Lima Fúlvia Maria Pavan Anderlini Gisleide Alves Anhesim Portes Ivonette de Mattos Maria Emília Araújo Gonçalves Maria Selma Souza Santos Renata Sampaio Alves de Souza Sergio Henrique Carregari Projeto gráfico Andrea Yanaguita Diagramação Estela Mletchol

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PROGRAMA DE APOIO À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO

Considerando a importância da produção de material didático-pedagógico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibilizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado sob demanda. Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade acadêmica mais esta obra, “Invariantes Topológicos”, de autoria dos Professores: Dra. Alice Kimie Miwa Libardi, Dr. João Peres Vieira e Dr. Thiago de Melo, do Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, esperando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado.

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SUMÁRIO

introdução

1 preliminares

2 conexão como invariante topológico 3 grupo fundamental 4 homologia simplicial

23 35

4.1.

Cálculo de alguns grupos de homologia

4.2.

O grupo de homologia como invariante topológico

5 característica de Euler

referências bibliográficas

índice remissivo

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49 55

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INTRODUÇÃO

Este texto é fruto de nossa experiência como professores do Departamento de Matemática do Instituto de Geociências e Ciências Exatas (IGCE) da Universidade Estadual Paulista – UNESP, Câmpus de Rio Claro, onde ministramos as disciplinas Espaços Métricos, Espaços Topológicos e Tópicos de Topologia para o curso de graduação em Matemática e Tópicos de Topologia para o curso de pós-graduação Matemática Universitária, mestrado profissional, cujo objetivo é a formação de um profissional para atuar no ensino superior. Apresentamos neste texto alguns exemplos de invariantes topológicos no sentido de dar uma primeira visão aos alunos sobre classificação de espaços topológicos, a menos de homeomorfismos. Um dos objetivos é dar uma motivação aos alunos para que prossigam no estudo de outros invariantes, conduzindo-os naturalmente para a Topologia Algébrica. São apresentados os seguintes invariantes topológicos: a conexão, o grupo fundamental, os grupos de homologia simplicial e a característica de Euler. Como aplicações destes invariantes, apresentamos a classificação dos intervalos da reta, o teorema de invariância da dimensão e a classificação de superfícies fechadas (compactas e sem bordo), via característica de Euler. Para a leitura deste texto, recomendamos que se tenha alguns conhecimentos básicos de Álgebra e de Topologia Geral. Os autores agradecem aos alunos do curso de graduação em Matemática, pela leitura criteriosa e sugestões apresentadas ao texto, em especial a Karen Regina Panzarin que também corrigiu os erros de digitação. Agradecem também ao parecerista pelas sugestões que muito contribuíram para melhoria do texto.

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1 PRELIMINARES

A Topologia considera conjuntos que têm uma estrutura que permite a definição de continuidade. Essa estrutura foi originalmente determinada a partir de propriedades de conjuntos abertos de Espaços Euclidianos, que por sua vez originaram da noção de distância entre pontos. Em Geometria Analítica, vê-se que a circunferência no R2 de centro O = (0, 0) e raio r > 0 é o conjunto: C = {(x, y) ∈ R2 , d((x, y), (0, 0)) = r}, onde d((x, y), (a, b)) =

√ (x − a)2 + (y − b)2 .

Na realidade, d ∶ R2 × R2 Ð→ R é um exemplo de métrica, cuja definição damos abaixo. Definição 1.1.

Sejam M um conjunto não vazio e d ∶ M × M Ð→ R uma

função, tal que ∀x, y, z ∈ M, 1.

d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;

d(x, y) = d(y, x);

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). d é chamada métrica e o par (M, d) é chamado de espaço métrico.

Há outras formas de se definir uma distância no R2 . Uma delas, conhecida como a métrica dos quarteirões, é dada por: d ′ ((x, y), (a, b)) = max{∣ x − a ∣, ∣ y − b ∣}, onde (x, y) e (a, b) pertencem a R2 .

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Em um espaço métrico (M, d) definimos uma bola aberta, de centro a e raio r, por: B(a, r) = {x ∈ M, d(x, a) < r}. Dizemos que um subconjunto A de M é um conjunto aberto se cada ponto de A é centro de uma bola aberta inteiramente contida em A. As bolas abertas formam uma base para o espaço métrico, no sentido de que cada conjunto aberto é uma reunião de bolas abertas. As propriedades de conjuntos abertos levam-nos à definição de um espaço topológico. Em geral, em um espaço topológico não há a noção de distância, são os conjuntos abertos que caracterizam o espaço. Definição 1.2.

Dado um conjunto X ≠ ∅, uma topologia para X é uma coleção τ = {A λ ∶ A λ ⊂ X}

satisfazendo: 1.

∅ e X pertencem a τ;

A interseção de um número finito de elementos de τ está em τ;

A reunião qualquer de elementos de τ está em τ.

O par (X, τ) é chamado espaço topológico. Os elementos de τ são chamados de subconjuntos abertos de X e o complementar de um aberto de X é dito fechado em X. A definição de espaço métrico foi introduzida por Maurice Frechet em 1906, porém foi com a publicação do livro de Felix Hausdorff, em 1912, que houve um grande desenvolvimento da Topologia Geral. Ressalte-se porém que as ideias já eram conhecidas e usadas por Henri Poincaré (1854–1912) desde 1895, conforme constam em seus diversos artigos (Analysis Situs). Definição 1.3.

Seja X um espaço topológico com uma topologia τ. Se Y ⊂

X, a coleção τY = {Y ∩ U ∣ U ∈ τ} é uma topologia em Y, chamada topologia induzida de X em Y.

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i Preliminares

Definição 1.4.

Se X é um espaço topológico e A é um subconjunto de X, então

o fecho de A em X, o qual denotaremos por AX , ou simplesmente, A, é a intersecção de todos os fechados de X que contém A. Observemos que se B ⊂ A ⊂ X então B A = B X ∩ A. Definição 1.5.

Se X é um espaço topológico e A é um subconjunto de X, então

dizemos que A é denso em X se AX = X. Definição 1.6.

Uma função f ∶ M → N entre espaços topológicos é contínua se

a imagem inversa de qualquer aberto (fechado) U de N, denotada por f −1 (U), é aberto (fechado) em M. Dizemos que f é um homeomorfismo se f é contínua, bijetora e sua inversa é contínua. Definição 1.7.

Um espaço topológico X é conexo por caminho se dados quais-

quer dois pontos x e y de X existe um caminho em X ligando x a y. Por um caminho em X entendemos uma função contínua do intervalo I = [0, 1] em X. O lema seguinte será usado muitas vezes no texto. Lema 1.8 (Lema da Colagem).

Sejam M e N espaços topológicos e A e B sub-

conjuntos fechados de M tais que A ∪ B = M. Sejam f ∶ A → N e д ∶ B → N funções contínuas satisfazendo a condição: f (x) = д(x) para todo x ∈ A ∩ B. Então a função h ∶ M → N definida por ⎧ ⎪ ⎪ f (x), se x ∈ A, h(x) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ д(x), se x ∈ B, é contínua. Demonstração.

Vamos provar que se F é um subconjunto fechado de N então

h (F) é um subconjunto fechado de M. −1

Seja F um subconjunto fechado de N. Como f e д são contínuas, então f (F) é um fechado de A e д−1 (F) é um fechado de B. Daí, uma vez que por −1

hipótese A e B são fechados de M, segue que f −1 (F) e д−1 (F) são fechados de M. Agora é fácil ver que h−1 (F) = f −1 (F)∪ д−1 (F) e portanto h −1 (F) é fechado de M, pois é reunião de dois fechados de M.

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Um problema fundamental em Topologia é determinar quando dois espaços são homeomorfos, ou seja, quando existe um homeomorfismo entre eles. Alguns exemplos de espaços homeomorfos Exemplo 1.9.

Sejam

S 1 = {(x, y) ∈ R2 ∶ x 2 + y2 = 1}

T = {(x, y) ∈ R2 ∶ ∣x∣ + ∣y∣ = 1}

o círculo unitário e o quadrado, respectivamente. As funções f ∶ S 1 → T e a sua inversa f ′ ∶ T → S 1 apresentadas abaixo definem um homeomorfismo entre o círculo e o quadrado. f (x, y) = ( Exemplo 1.10.

⎛ ⎞ x y f ′ (x, y) = √ ,√ . 2 2 2 2 ⎝ x +y x +y ⎠

x y , ), ∣x∣ + ∣y∣ ∣x∣ + ∣y∣ Os espaços

X2 = {(x, y, z) ∶ x 2 + y2 = 1},

X1 = {(x, y) ∶ (x, y) ≠ (0, 0)}, X3 = {(x, y, z) ∶ x 2 + y2 − z 2 = 1}

são homeomorfos. Os homeomorfismos são dados por: h ∶ X1 → X2 é definido por ⎛ ⎞ x y 1 h(x, y) = √ ,√ , ln(x 2 + y2 ) , 2 2 2 2 ⎝ x +y ⎠ x +y 2 cujo inverso h ′ ∶ X2 → X1 é definido por h′ (x, y, z) = (xe z , ye z ) e k ∶ X2 → X3 é definido por √ √ k(x, y, z) = (x 1 + z 2 , y 1 + z 2 , z), cujo inverso k ′ ∶ X3 → X2 é definido por k ′ (x, y, z) = ( √

x 1 + z2

y ,√ , z) . 1 + z2

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i Preliminares

Exemplo 1.11.

Sejam S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 ∶ x 2 + y2 + z 2 = 1} a esfera unitária e

p = (0, 0, 1) ∈ S 2 o seu pólo norte. A projeção estereográfica π ∶ S 2 − {p} → R2

estabelece um homeomorfismo entre a esfera menos o pólo norte e o plano. Tal x y homeomorfismo é dado por π(x, y, z) = ( , ) cuja inversa φ ∶ R2 → 1−z 1−z S 2 − {p} é dada por φ(x, y) = (

2x 2y x 2 + y2 − 1 , , ). x 2 + y2 + 1 x 2 + y2 + 1 x 2 + y2 + 1

Duas das questões mais importantes em Topologia são de extensão e de classificação. Vamos abordar uma introdução ao problema de classificação, definindo a relação de equivalência entre espaços topológicos por: X ≡ Y ⇐⇒ X e Y são homeomorfos. Isto nos dá uma classificação de espaços topológicos através de invariantes topológicos. Um invariante topológico pode ser uma propriedade geométrica do espaço, um número associado a um espaço ou um sistema algébrico como um grupo, um anel ou um módulo e tem a propriedade de que não se altera por homeomorfismos. Em geral é muito difícil dizer se dois espaços são homeomorfos. A Topologia Algébrica enfrenta o problema da seguinte maneira: associa ao espaço X um objeto G(X) satisfazendo a propriedade: “se X é homeomorfo a Y, então G(X) e G(Y) são iguais na sua categoria”. Neste trabalho, apresentaremos os seguintes invariantes topológicos: conexão, grupo fundamental, grupo de homologia simplicial e característica de Euler.

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2 CONEXÃO COMO INVARIANTE TOPOLÓGICO

A conexão pode ser vista como um invariante topológico de duas formas: a partir de suas próprias propriedades ou através de grupos que são associados ao espaço topológico. Esses grupos dão informações sobre a conexidade e o número de componentes conexas (ou conexas por caminhos) desse espaço. Se dois espaços são conexos ou têm o mesmo número de componentes conexas, então esses grupos associados são isomorfos. Para o entendimento deste capítulo o leitor necessitará de conhecimentos básicos em Espaços Métricos (vide [5]). Vamos relembrar aqui o Teorema do Valor Intermediário, que consideramos um dos mais importantes do Cálculo Diferencial: Teorema 2.1.

Se f ∶ [a, b] → R é uma função contínua e r é um número entre

f (a) e f (b), então existe um número real c entre a e b tal que f (c) = r. Na realidade, o que o teorema diz é que a imagem de [a, b] por uma função contínua é um intervalo. Esse teorema não depende só da continuidade de f , mas de uma propriedade de [a, b] que é a conexão. A ideia de conexão generaliza a ideia intuitiva de algo que não pode ser separado, embora nem sempre seja esse o caso. Um exemplo de espaço que pode ser separado é R∗ = R − {0}. Esse espaço se decompõe em duas semiretas que são conjuntos abertos e fechados em R∗ . Definição 2.2.

Um espaço topológico X é conexo se os únicos subconjuntos

simultaneamente abertos e fechados são o ∅ e o X; ou equivalentemente, X é conexo se A e B são abertos disjuntos tais que X = A ∪ B então A = ∅ ou B = ∅. Nesse caso dizemos que X só assume a cisão trivial. Exemplo 2.3.

O conjunto Y = [−1, 0) ∪ (0, 1] ⊂ R, com a topologia induzida

da topologia usual de R, não é conexo.

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

De fato, sendo [−1, 0) = (−2, 0) ∩ Y e (0, 1] = (0, 2) ∩ Y, segue que ambos são abertos em Y. Mas como Y − [−1, 0) = (0, 1] e Y − (0, 1] = [−1, 0), segue que ambos são também fechados em Y. Além disso, ambos são não vazios e disjuntos. O exemplo mais importante de espaço conexo é dado pelo teorema abaixo: Teorema 2.4.

A reta real R é conexa.

Demonstração.

Suponhamos que R não é conexo. Então R = A ∪ B, onde A e

B são abertos, disjuntos e não vazios. Tomemos a ∈ A e b ∈ B e suponhamos a < b. Consideremos X = {x ∈ A ∶ x < b}. Observemos que X ≠ ∅ pois a ∈ X. Além disso X é limitado superiormente por b, logo existe c = sup X. Como b é um limitante superior de X e o supremo é o menor dos limitantes superiores então c ≤ b. Segue também da definição de supremo que ∀є > 0, ∃x ∈ X tal que c − є < x ≤ c < c + є. Mas isso significa que c ∈ A, que por sua vez é o próprio A, pois A é fechado. Como A ∩ B = ∅, então c ∉ B e sendo c ≤ b, segue que c < b. Logo existe s > 0 tal que b = c + s. Tomando-se s˜ = s/2, tem-se que c + s˜ < c + s = b. Sendo A aberto e c ∈ A, existe r > 0 tal que (c − r, c + r) ⊂ A. Seja є = min {˜s , r}. Então (c − є, c + є) ⊂ A e c + є < b. Logo existe є > 0 tal que todo ponto de (c, c + є) pertence a X, implicando que c não é o sup X. O objetivo agora é mostrar que qualquer intervalo da reta é conexo. Para isso, desenvolveremos vários resultados. Proposição 2.5.

Seja f ∶ X → Y uma função contínua entre espaços topológi-

cos. Se X é conexo então f (X) é conexo. Demonstração.

Sem perda de generalidade podemos supor f (X) = Y. Supo-

nhamos que Y não é conexo. Então existe B aberto e fechado em Y, B ≠ ∅ e B ≠ Y. Como f é contínua, f −1 (B) é aberto e fechado em X. Além disso f −1 (B) ≠ ∅, pois B ≠ ∅ e f −1 (B) ≠ X, pois como B ≠ Y, existe y ∈ Y − B. Logo, existe x ∈ X − f −1 (B). Contradição, pois X é conexo.

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Conexão como invariante topológico

Corolário 2.6.

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Se f ∶ X → Y é um homeomorfismo então X é conexo se, e

somente se, Y é conexo. Consequência. Proposição 2.7.

Demonstração.

Todo intervalo aberto é conexo, pois é homeomorfo a R. O fecho de um conjunto conexo é conexo. Seja X um subconjunto conexo de um espaço topológico M.

Consideremos primeiramente o caso em que X = M. Sejam A e B abertos e disjuntos tais que M = A∪B. Então X = X ∩M = X ∩(A∪B) = (X ∩A)∪(X ∩B) onde X ∩ A e X ∩ B são abertos em X e (X ∩ A) ∩ (X ∩ B) = ∅. Como X = M e M = A ∪ B, temos que X ∩ A ≠ ∅ ou X ∩ B ≠ ∅. Por outro lado, sendo X conexo, tem-se que X ∩ A = ∅ ou X ∩ B = ∅. Logo se X ∩ A = ∅ então X ∩ B ≠ ∅ o que implica que A = ∅. Analogamente, se X ∩ B = ∅ segue que B = ∅. Portanto M só assume a cisão trivial, logo é conexo e, como M = X, temos que X é conexo. No caso geral, observemos que X é denso em X M , isto é, X X M = X M ∩ X M =

X M . Do primeiro caso, se X é conexo, então X X M é conexo. Segue portanto que X M é conexo.

Consequência.

Observemos que [a, b] = (a, b). Portanto, intervalos fechados

são conexos. Proposição 2.8.

Demonstração.

Se X ⊂ Y ⊂ X M e X é conexo então Y é conexo. Observemos que X Y = X M ∩ Y = Y e da Proposição 2.7, X

conexo implica que X Y conexo. Logo Y é conexo. Consequência. Conclusão.

Como (a, b) ⊂ (a, b] ⊂ [a, b], segue que (a, b] é conexo.

Todo intervalo da reta é conexo.

Usando a conexão como um invariante topológico, obtemos uma classificação, por homeomorfismos, dos intervalos da reta.

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Teorema 2.9.

Os intervalos da reta dividem-se nas seguintes classes de equiva-

lência dadas pela relação “≡”. i)

(a, b), (a, ∞), (−∞, b) e R;

ii)

[a, b), (a, b], [a, ∞) e (−∞, b];

iii)

[a, b].

Demonstração.

Observemos de início que [a, b) é homeomorfo a [a, ∞), pelo

homeomorfismo ϕ ∶ [a, b) → [a, ∞) dado por ϕ(x) = tan( π2 ( x−a b−a )) + a. A restrição de ϕ ao intervalo (a, b) nos fornece um homeomorfismo entre (a, b) e (a, ∞). Um homeomorfismo entre [a, b) e (a, b] é dado por д(x) = (a + b) − x. Os demais homeomorfismos são imediatos. Suponhamos que h ∶ [c, d) → (a, b) seja um homeomorfismo. Então h∣[c,d)−{c} ∶ (c, d) → (a, b) − {h(c)} é também um homeomorfismo, porém (c, d) é conexo e (a, b) − {h(c)} não o é. Logo, pela Proposição 2.5, (a, b) e [c, d) não são homeomorfos. Usando raciocínio análogo, pode-se provar que (a, b) e [c, d] não são homeomorfos e também não o são [a, b) e [c, d]. Vamos terminar esse capítulo com um exemplo que dá uma introdução às técnicas usadas em Topologia Algébrica. Exemplo 2.10.

Seja X um um espaço topológico. Consideremos o conjunto H 0 (X) = { f ∶ X → Z, tal que f é contínua}

munido da operação soma usual de funções. Notemos que sendo f e д contínuas tem-se que f + д é contínua. Essa operação dá a H 0 (X) uma estrutura de grupo abeliano. Se X é conexo então as únicas aplicações contínuas de X em Z são as constantes, uma vez que os únicos conexos de Z são os conjuntos unitários e portanto H 0 (X) ≅ Z. Observemos que se X = ∅ então H 0 (X) = 0, o grupo trivial.

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Conexão como invariante topológico

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Sejam X e Y espaços topológicos e f ∶ X → Y uma aplicação contínua.

Definimos a aplicação f ∗ ∶ H 0 (Y) → H 0 (X) induzida de f por f ∗ (ϕ) = ϕ ○ f .

Dados ϕ e ψ em H 0 (Y), tem-se que: f ∗ (ϕ+ψ) = (ϕ+ψ)○ f = ϕ○ f +ψ ○ f = f ∗ (ϕ) + f ∗ (ψ), o que mostra que f ∗ é um homomorfismo de grupos. A aplicação Id ∗ ∶ H 0 (X) → H 0 (X) induzida da aplicação identidade Id ∶ X → X é o homomorfismo identidade. Se f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z são funções contínuas entre espaços topológicos,

então (д ○ f )∗ = f ∗ ○ д∗ . De fato, para todo ϕ ∈ H 0 (Z), tem-se (д ○ f )∗ (ϕ) = ϕ ○ (д ○ f ) = f ∗ (ϕ ○ д) = ( f ∗ ○ д∗ )(ϕ). Segue que se f ∶ X → Y é um

homeomorfismo então f ∗ é um isomorfismo. A recíproca não é verdadeira, como mostra o exemplo abaixo. Sejam X = S 1 e Y = R. Ambos são conexos, logo H 0 (S 1 ) = H 0 (R) ≅ Z,

porém S 1 não é homeomorfo a R.

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3 GRUPO FUNDAMENTAL

Dados um espaço topológico X e x0 ∈ X, associaremos um grupo, chamado de Grupo Fundamental, constituído por classes de equivalência de laços em X com ponto base x0 . Este grupo é um invariante topológico, no sentido de que se dois espaços são homeomorfos, então os respectivos grupos fundamentais são isomorfos. Para maiores detalhes sobre o assunto, sugerimos a leitura dos livros [1, 6]. Definição 3.1.

Sejam X um espaço topológico e x0 um ponto fixado de X. Um

laço em x0 é uma função contínua λ ∶ I = [0, 1] → X tal que λ(0) = λ(1) = x0 . Denotemos por Ω(X, x0 ) o conjunto {λ ∶ I → X; λ é laço em x0 }. Sejam λ, γ ∈ Ω(X, x0 ). O laço justaposto λ ∗ γ é definido por: λ∗γ ∶ I → X ⎧ λ(2x), x ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ x→⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ γ(2x − 1), x ∈ [ 2 , 1] . Em geral (Ω(X, x0 ), ∗) não tem estrutura de grupo, pois nem sempre vale a propriedade associativa, visto que, 1 ⎧ ⎪ ⎪ (λ ∗ γ)(2x), x ∈ [0, 2 ] , ((λ ∗ γ) ∗ α)(x) = ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ α(2x − 1), x ∈ [ 2 , 1] ,

⎧ ⎪ λ(4x), x ∈ [0, 41 ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ γ(4x − 1), x ∈ [ 41 , 21 ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ α(2x − 1), x ∈ [ 2 , 1] ,

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

enquanto ⎧ λ(2x), x ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ (λ ∗ (γ ∗ α))(x) = ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ (γ ∗ α)(2x − 1), x ∈ [ 2 , 1] , ⎧ ⎪ λ(2x), x ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ γ(4x − 2), x ∈ [ 21 , 43 ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎩ α(4x − 3), x ∈ [ 4 , 1] . Definição 3.2.

Dizemos que λ e γ em Ω(X, x0 ) são homotópicos e denotamos

por λ ∼ γ se existe uma função H ∶ I × I → X contínua tal que H(t, 0) = λ(t), ∀t ∈ I,

H(0, s) = H(1, s) = x0 , ∀s ∈ I,

H(t, 1) = γ(t), ∀t ∈ I. O parâmetro s é dito nível da homotopia. Proposição 3.3. Demonstração.

A relação de homotopia é uma relação de equivalência. Para todo λ ∈ Ω(X, x0 ), definindo-se H ∶I×I → (t, s)

→ λ(t)

tem-se que H é contínua e H(t, 0) = λ(t) = H(t, 1) e H(0, s) = x0 = H(1, s). Logo λ ∼ λ. Sejam λ, γ ∈ Ω(X, x0 ) tais que λ ∼ γ por uma homotopia H. Definindo-se G ∶I×I → (t, s)

→ H(t, 1 − s)

tem-se que G é contínua e G(t, 0) = H(t, 1) = γ(t), G(t, 1) = H(t, 0) = λ(t) e G(0, s) = H(0, 1 − s) = H(1, 1 − s) = G(1, s) = x0 . Segue que γ ∼ λ.

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Grupo fundamental

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Sejam λ, γ, ϕ ∈ Ω(X, x0 ) tais que γ ∼ λ e λ ∼ ϕ, por homotopias H0 , H1 , respectivamente. Definindo-se H ∶I×I → X ⎧ H0 (t, 2s), s ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ (t, s) → ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ H1 (t, 2s − 1), s ∈ [ 2 , 1] , tem-se, pelo Lema da Colagem (1.8), que H é contínua, pois H0 (t, 1) = λ(t) = H1 (t, 0) e H0 e H1 são contínuas, ambas definidas em intervalos fechados. Além disso H(t, 0) = H0 (t, 0) = γ(t), H(t, 1) = H1 (t, 1) = ϕ(t), ⎧ H0 (0, 2s) = x0 , s ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ H(0, s) = ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ H1 (0, 2s − 1) = x0 , s ∈ [ 2 , 1] , e

⎧ H0 (1, 2s) = x0 , s ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ H(1, s) = ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ H1 (1, 2s − 1) = x0 , s ∈ [ 2 , 1] . Segue que γ ∼ ϕ.

Denotamos por π1 (X, x0 ) o conjunto quociente Ω(X, x0 )/ ∼. Primeiramente observemos que: para quaisquer α, β, α ′ , β ′ ∈ Ω(X, x0 ) tais que α ∼ α ′ e β ∼ β ′ , por homotopias H e G, respectivamente, podemos definir F ∶ I × I → X por ⎧ H(2t, s), t ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ (t, s) → ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ G(2t − 1, s), t ∈ [ 2 , 1] . Como para t = 1/2, H(1, s) = x0 = G(0, s) e G, H são funções contínuas, ambas definidas em intervalos fechados, o Lema da Colagem (1.8) nos garante que F é contínua. Além disso, ⎧ H(2t, 0), t ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ F(t, 0) = ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ G(2t − 1, 0), t ∈ [ 2 , 1] ,

⎧ H(2t, 1), t ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ F(t, 1) = ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ G(2t − 1, 1), t ∈ [ 2 , 1] ,

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“versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 26 — #16

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

⎧ α(2t), t ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ =⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ β(2t − 1), t ∈ [ 2 , 1] ,

⎧ α ′ (2t), t ∈ [0, 21 ] , ⎪ ⎪ =⎨ 1 ′ ⎪ ⎪ ⎩ β (2t − 1), t ∈ [ 2 , 1] ,

= (α ∗ β)(t),

= (α ′ ∗ β′ )(t),

e também F(0, s) = H(0, s) = x0 = G(1, s) = F(1, s), mostrando assim que α ∗ β ∼ α ′ ∗ β′ . Segue que temos bem definida a operação ⋅ ∶ π1 (X, x0 ) × π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 ), ([α], [β]) → [α] ⋅ [β] = [α ∗ β]. Teorema 3.4.

O par (π1 (X, x0 ), ⋅) é um grupo, chamado grupo fundamental

de X com ponto base x0 . Demonstração.

Para quaisquer [α], [β], [γ] em π1 (X, x0 ), mostremos que ([α] ⋅ [β]) ⋅ [γ] = [α] ⋅ ([β] ⋅ [γ]),

isto é, vale a propriedade associativa. De fato, ⎧ ⎪ α(4t), t ∈ [0, 41 ], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ((α ∗ β) ∗ γ)(t) = ⎨ β(4t − 1), t ∈ [ 41 , 21 ], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ γ(2t − 1), t ∈ [ 2 , 1], ⎧ ⎪ α(2t), t ∈ [0, 21 ], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (α ∗ (β ∗ γ))(t) = ⎨ β(4t − 2), t ∈ [ 21 , 43 ], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎩ γ(4t − 3), t ∈ [ 4 , 1]. Ilustramos esses caminhos pelos seguintes diagramas, que podem ser usados para obter as descrições algébricas dos caminhos em questão.

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“versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 27 — #17

Grupo fundamental

α 0

1 4

α 1

1 2

(α ∗ β) ∗ γ

γ 1

3 4

α ∗ (β ∗ γ)

Por exemplo, considere (α ∗ β) ∗ γ. Para 1/4 ≤ t ≤ 1/2 utilizamos β e a compomos com a função linear ϕ ∶ [1/4, 1/2] → [0, 1] definida por ϕ(t) = 4t −1. Para construir uma homotopia entre α ∗(β ∗γ) e (α ∗ β)∗γ consideremos a figura a seguir, onde r e m são os segmentos determinados pelas retas r ∶ t = em∶t=

s+1 4

s+2 4 .

Figura 3.1: Homotopia entre (α ∗ β) ∗ γ e α ∗ (β ∗ γ) 1 2

3 4

α α

1 4

1 2

s+1 4

γ s+2 4

Para um dado valor de s, usamos α no intervalo [0, s+1 4 ], β no intervalo s+2 s+2 [ s+1 4 , 4 ] e γ no intervalo [ 4 , 1].

Definimos então a seguinte homotopia ⎧ 4t ⎪ ] α( s+1 ), t ∈ [0, s+1 ⎪ 4 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ s+2 H(t, s) = ⎨ β(4t − s − 1), t ∈ [ s+1 ] 4 , 4 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ [ s+2 γ( 4t−s−2 ⎩ 2−s ), t ∈ 4 , 1] . Temos que H é contínua, H(t, 0) = ((α ∗ β) ∗ γ)(t),

H(0, s) = α(0) = x0 ,

H(t, 1) = (α ∗ (β ∗ γ))(t),

H(1, s) = γ(0) = x0 ,

o que mostra que (α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ).

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Mostremos agora que e x0 = [c x0 ] é o elemento neutro de π1 (X, x0 ), onde c x0 ∶ I → X é definida por c x0 (t) = x0 , ∀t. Tomemos [α] ∈ π1 (X, x0 ) qualquer. Então 1 ⎧ ⎪ ⎪ α(2t), t ∈ [0, 2 ], (α ∗ c x0 )(t) = ⎨ ⎪ ⎪ x0 , t ∈ [ 21 , 1]. ⎩

Para mostrar que [α ∗ c x0 ] = [α], basta tomar 2t s+1 ⎧ ⎪ ⎪ α( s+1 ), t ∈ [0, 2 ], H(t, s) = ⎨ ⎪ ⎪ x0 , t ∈ [ s+1 ⎩ 2 , 1].

Então H é contínua e 1 ⎧ ⎪ ⎪ α(2t), t ∈ [0, 2 ] , rcl H(t, 0) = ⎨ ⎪ ⎪ x0 , t ∈ [ 21 , 1], ⎩

= (α ∗ c x0 )(t). Além disso, H(t, 1) = α(t) e H(0, s) = x0 = H(1, s). Para mostrar que [c x0 ∗ α] = [α] basta tomar ⎧ x0 , t ∈ [0, 1−s ⎪ ⎪ 2 ], G(t, s) = ⎨ 2t−1+s 1−s ⎪ ⎪ ⎩ α( s+1 ), t ∈ [ 2 , 1]. Finalmente, dado α ∈ Ω(X, x0 ), se tomarmos α¯ ∶ I → X o laço definido por α¯ (t) = α(1 − t), então [α] ⋅ [α¯ ] = [c x0 ] e [α¯ ] ⋅ [α] = [c x0 ], bastando considerar as homotopias

⎧ ⎪ α(2t), t ∈ [0, 2s ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H(t, s) = ⎨ ] α(s), t ∈ [ 2s , 2−s 2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2−s ⎪ ⎪ ⎩ α¯ (2t − 1), t ∈ [ 2 , 1] ,

⎧ ⎪ α¯ (2t), t ∈ [0, 2s ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ K(t, s) = ⎨ ] α¯ (s), t ∈ [ 2s , 2−s 2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2−s ⎪ ⎪ ⎩ α(2t − 1), t ∈ [ 2 , 1] .

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“versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 29 — #19

Grupo fundamental

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Através do conceito de conexão por caminhos, estabeleceremos uma relação entre os Grupos Fundamentais de um determinado espaço topológico, considerados com diferentes pontos base. Proposição 3.5.

Seja X um espaço topológico conexo por caminhos e sejam

x0 , x1 ∈ X quaisquer. Então π1 (X; x0 ) e π1 (X; x1 ) são isomorfos. Demonstração.

Sendo X, por hipótese, conexo por caminhos e x0 , x1 ∈ X, te-

mos que existe um caminho γ ∶ I → X tal que γ(0) = x0 e γ(1) = x1 . Definimos γ# ∶ π1 (X; x0 ) → π1 (X; x1 ) por γ# ([β]) = [γ −1 ∗ β ∗ γ]. Mostremos que a aplicação γ# está bem definida. Para isto, devemos mostrar que se [α] = [β] então γ# ([α]) = γ# ([β]), isto é, que [γ −1 ∗ α ∗ γ] = [γ −1 ∗ β ∗ γ], ou equivalentemente, que γ−1 ∗ α ∗ γ ∼ γ−1 ∗ β ∗ γ. De fato, sejam [α], [β] ∈ π1 (X; x0 ), tais que [α] = [β]. Então, α ∼ β, o que implica que existe F ∶ I × I → X homotopia entre α e β, isto é, F contínua tal que F(t, 0) = α(t), F(t, 1) = β(t), ∀t ∈ I e F(0, s) = x0 = F(1, s), ∀s ∈ I. Definimos G ∶ I × I → X por: G(t, s) = (γ−1 ∗ Fs ∗ γ)(t), onde Fs ∶ I → X, é dado por Fs (t) = F(t, s). Assim, para todo s ∈ I, Fs é contínua, Fs (0) = F(0, s) = x0 e Fs (1) = F(1, s) = x0 . Logo Fs é um laço em x0 . Também, a aplicação G é contínua, pelo Lema da Colagem (1.8), e G(t, 0) = (γ −1 ∗ F0 ∗ γ)(t) = (γ −1 ∗ α ∗ γ)(t), desde que F0 (t) = F(t, 0) = α(t), ∀t ∈ I e, portanto, F0 = α; G(t, 1) = (γ −1 ∗ F1 ∗ γ)(t) = (γ−1 ∗ β ∗ γ)(t), desde que F1 (t) = F(t, 1) = β(t), ∀t ∈ I e, portanto, F1 = β; G(0, s) = (γ −1 ∗ Fs ∗ γ)(0) = γ−1 (0) = x1 , G(1, s) = (γ −1 ∗ Fs ∗ γ)(1) = γ(1) = x1 . Assim, γ−1 ∗ α ∗ γ ∼ γ−1 ∗ β ∗ γ, o que implica que γ# ([α]) = γ# ([β]). Portanto, γ# está bem definida. Mostremos agora, que γ# é um homomorfismo.

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“versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 30 — #20

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Sejam [α], [β] ∈ π1 (X; x0 ). Devemos mostrar que γ# ([α] ⋅ [β]) = γ# ([α]) ⋅ γ# ([β]). Observemos que, se γ ∈ Ω(X; x0 , x1 ), então γ ∗ γ −1 ∼ c x0 , onde c x0 ∶ I → X é dado por c x0 (t) = x0 , ∀t ∈ I. Definamos H ∶ I × I → X por ⎧ ⎪ γ(2t), t ∈ [0, 1−s ⎪ 2 ], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1+s H(t, s) = ⎨ γ−1 (s), t ∈ [ 1−s 2 , 2 ], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1+s −1 ⎪ ⎪ ⎩ γ (2t − 1), t ∈ [ 2 , 1]. Então, H é uma homotopia entre γ ∗ γ−1 e c x0 , pois desde que, para t = γ(2t) = γ(1 − s) = γ−1 (s) e, para t =

1+s 2 ,

1−s 2 ,

γ−1 (s) = γ−1 (2t − 1). Além disso,

⎧ ⎪ γ(2t), t ∈ [0, 21 ], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H(t, 0) = ⎨ γ −1 (0), t = 21 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 −1 ⎪ ⎪ ⎩ γ (2t − 1), t ∈ [ 2 , 1],

⎧ ⎪ γ(2t), t = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H(t, 1) = ⎨ γ−1 (1), t ∈ [0, 1], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎩ γ (2t − 1), t = 1,

⎧ γ(2t), t ∈ [0, 21 ], ⎪ ⎪ =⎨ 1 −1 ⎪ ⎪ ⎩ γ (2t − 1), t ∈ [ 2 , 1],

⎧ ⎪ γ(0) = x0 , t = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ γ−1 (s) = x0 , t ∈ [0, 1], ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎩ γ (1) = x0 , t = 1,

= γ ∗ γ−1 (t), ∀t ∈ I,

= c x0 (t), ∀t ∈ I,

e H(0, s) = γ(0) = x0 e H(1, s) = γ−1 (1) = x0 . Assim, γ ∗ γ−1 ∼ c x0 ⇒ α ∗ γ ∗ γ−1 ∼ α ∗ c x0 ∼ α ⇒ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∼ α ∗ β ⇒ α ∗ β ∼ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ⇒ γ−1 ∗ α ∗ β ∗ γ ∼ γ −1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∗ γ. Então, γ# ([α] ⋅ [β]) = γ# ([α ∗ β]) = [γ−1 ∗ α ∗ β ∗ γ] = = [γ −1 ∗ α ∗ γ ∗ γ −1 ∗ β ∗ γ] = [γ−1 ∗ α ∗ γ][γ −1 ∗ β ∗ γ] = = γ# ([α]) ⋅ γ# ([β]).

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Grupo fundamental

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Finalmente, mostremos que γ# é bijetor. Injetividade: seja [α] ∈ π1 (X; x0 ) tal que γ# ([α]) = e x1 = [c x1 ]. Então: [γ−1 ∗ α ∗ γ] = [c x1 ] ⇒ γ−1 ∗ α ∗ γ ∼ c x1 ⇒ γ ∗ γ −1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∼ γ ∗ c x1 ∗ γ−1 ⇒ c x0 ∗ α ∗ c x0 ∼ γ ∗ c x1 ∗ γ−1 ⇒ α ∼ γ ∗ c x1 ∗ γ −1 ⇒ α ∼ γ ∗ γ−1 ⇒ α ∼ c x0 ⇒ [α] = e x0 , desde que γ ∗ c x1 ∼ γ, pois K ∶ I × I → X dada por 2t s+1 ⎧ ⎪ ⎪ γ( s+1 ), t ∈ [0, 2 ], K(t, s) = ⎨ ⎪ ⎪ x1 , t ∈ [ s+1 ⎩ 2 , 1],

é uma homotopia entre γ ∗ c x1 e γ, uma vez que K é contínua pelo Lema da Colagem (1.8), 1 ⎧ ⎪ ⎪ γ(2t), t ∈ [0, 2 ], K(t, 0) = ⎨ ⎪ ⎪ x1 , t ∈ [ 21 , 1], ⎩

⎧ ⎪ ⎪ γ(t), t ∈ [0, 1], K(t, 1) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x1 , t = 1,

= γ ∗ c x1 (t), ∀t ∈ I;

= γ(t), ∀t ∈ I;

e K(0, s) = γ(0) = x0 e K(1, s) = x1 . Portanto γ# é injetor. Sobrejetividade: dado [β] ∈ π1 (X; x1 ), tome [γ ∗ β ∗ γ−1 ] ∈ π1 (X; x0 ). Então γ# ([γ ∗ β ∗ γ −1 ]) = [γ −1 ∗ γ ∗ β ∗ γ−1 ∗ γ] = [c x1 ∗ β ∗ c x1 ] = [β]. Assim, γ# é sobrejetor. Portanto γ# é um isomorfismo e π1 (X; x0 ) e π1 (X; x1 ) são isomorfos. Por este teorema, podemos ver que o grupo fundamental de um espaço topológico independe do ponto base considerado, se o espaço for conexo por caminhos. Neste caso, denotaremos π1 (X; x0 ) simplesmente por π1 (X). Seja f ∶ X → Y uma função contínua. Observemos que f ○ α é um laço em f (x0 ), pois

f ○ α ∶ [0, 1] → Y t → ( f ○ α)(t)

é contínua e ( f ○ α)(0) = f (x0 ) = ( f ○ α)(1).

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“versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 32 — #22

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Sejam α e α ′ dois laços em x0 tais que α ∼ α ′ , por uma homotopia G. Definimos H ∶ I × I → Y por H(t, s) = ( f ○ G)(t, s) e observamos que H é contínua, pois f e G o são. Além disso, H(t, 0) = f ○ G(t, 0) = ( f ○ α)(t),

H(0, s) = f ○ G(0, s) = f (x0 ),

H(t, 1) = f ○ G(t, 1) = ( f ○ α ′ )(t),

H(1, s) = f ○ G(1, s) = f (x0 ).

Portanto f ○ α ∼ f ○ α ′ e podemos dar a seguinte definição. Definição 3.6.

Seja f ∶ X → Y uma função contínua. Definimos f# , a induzida

de f , por f# ∶ π1 (X, x0 ) → π1 (Y , f (x0 )) [α] → [ f ○ α]. Proposição 3.7.

Sejam f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z aplicações contínuas, onde X, Y

e Z são espaços topológicos com x0 ∈ X, y0 = f (x0 ) ∈ Y e z0 = д(y0 ) ∈ Z. Então: 1.

f# ∶ π1 (X, x0 ) → π1 (Y , y0 ) é um homomorfismo.

(д ○ f )# = д# ○ f# .

Id# é o homomorfismo identidade do π1 (X, x0 ), onde Id ∶ X → X é a aplicação identidade.

Demonstração.

1. Primeiramente observamos que para quaisquer laços α e β, temos f ○(α∗β) = ( f ○ α) ∗ ( f ○ β). De fato, para todo t ∈ I temos ⎧ f (α(2t)), t ∈ [0, 21 ], ⎪ ⎪ ( f ○ (α ∗ β))(t) = ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩ f (β(2t − 1)), t ∈ [ 2 , 1], = (( f ○ α) ∗ ( f ○ β))(t).

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Grupo fundamental

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Sendo assim temos que f# ([α] ⋅ [β]) = f# ([α ∗ β]) = [ f ○ (α ∗ β)] = = [( f ○ α) ∗ ( f ○ β)] = [ f ○ α] ⋅ [ f ○ β] = f# ([α]) ⋅ f# ([β]) e portanto f# é um homomorfismo. 2. Sejam f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z funções contínuas. Consideremos as respectivas aplicações induzidas: f# ∶ π1 (X, x0 ) → π1 (Y , y0 )

д# ∶ π1 (Y , y0 ) → π1 (Z, z0 )

[α] → f# ([α]) = [ f ○ α],

[α] → д# ([α]) = [д ○ α].

Então (д ○ f )# é dada por (д ○ f )# ∶ π1 (X, x0 ) → π1 (Z, z0 ) [α] → (д ○ f )# ([α]) = [(д ○ f ) ○ α] e portanto, (д ○ f )# ([α]) = [(д ○ f ) ○ α] = [д ○ ( f ○ α)] = = д# ([ f ○ α]) = д# ( f# ([α])) = (д# ○ f# )([α]). 3. É imediato. Teorema 3.8.

Se f ∶ X → Y é um homeomorfismo, então f# ∶ π1 (X, x0 ) →

π1 (Y , f (x0 )) é um isomorfismo. Demonstração.

Sendo f um homeomorfismo segue que f ○ f −1 = Id = f −1 ○ f ,

onde f −1 denota a função inversa de f . Pelas propriedades acima temos ( f ○ f −1 )# = f# ○ ( f −1 )# = (Id)# ,

( f −1 ○ f )# = ( f −1 )# ○ f# = Id# ,

o que implica que f# é um isomorfismo.

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Observamos que o Teorema 3.8 mostra que o grupo fundamental é um invariante topológico, pois se π1 (X, x0 ) e π1 (Y , f (x0 )) não são isomorfos, então X e Y não são homeomorfos. Por exemplo, como π1 (S 1 ) = Z e π1 (R) = {0} (vide [2]) não são isomorfos,

concluímos que S 1 e R não são homeomorfos.

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4 HOMOLOGIA SIMPLICIAL

O objetivo deste capítulo é associar um grupo a um dado espaço topológico, chamado grupo de homologia simplicial, e usar sua estrutura para obter propriedades topológicas e geométricas do espaço. Há outros tipos de grupos de homologia que poderiam ser tratados como invariantes topológicos. Optamos pela homologia simplicial pela sua abordagem geométrica que a torna mais acessível aos alunos de graduação. Para maiores detalhes, sugerimos a leitura dos livros [1, 7]. Definição 4.1.

Um conjunto A = {a0 , a1 , . . . , a k } ⊂ Rn é geometricamente

independente se, e somente se, nenhum hiperplano de dimensão (k − 1) contém A. Assim, A é geometricamente independente se todos os pontos são distintos, nenhum 3 deles estão em uma reta, nenhum 4 deles estão em um plano e nenhum p deles estão em um (p − 2)-hiperplano. Definição 4.2.

Seja A = {a0 , a1 , . . . , a k } um conjunto geometricamente inde-

pendente. O simplexo geométrico k-dimensional ou k-simplexo gerado por A, denotado por σ k , é o conjunto dos pontos x ∈ Rn para os quais existem números reais não negativos λ0 , . . . , λ k tais que x = ∑ki=0 λ i a i e ∑ki=0 λ i = 1. Os números λ0 , . . . , λ k são chamados coordenadas baricêntricas e os pontos a0 , . . . , a k são chamados vértices de σ k . O k-simplexo geométrico aberto gerado por A é o conjunto de todos x ∈ σ k tais que as coordenadas baricêntricas são positivas. Um 0-simplexo é um ponto; um 1-simplexo é um segmento fechado e um 1-simplexo aberto é um segmento sem os extremos; um 2-simplexo é um triângulo (interior e fronteira) e um 2-simplexo aberto é o interior do triângulo;

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

um 3-simplexo é um tetraedro (interior e fronteira) e um 3-simplexo aberto é o interior do tetraedro.

Um simplexo σ k é uma face de um simplexo σ n , k ≤ n, se cada

Definição 4.3.

vértice de σ k é um vértice de σ n . As faces de σ n distintas de σ n são chamadas faces próprias.

Se σ n é o simplexo de vértices a0 , . . . , a n , escrevemos σ n = ⟨a0 . . . a n ⟩. Com essa notação, as faces do 2-simplexo ⟨a0 a1 a2 ⟩ são: ⟨a0 a1 a2 ⟩, ⟨a0 a1 ⟩, ⟨a0 a2 ⟩, ⟨a1 a2 ⟩, ⟨a0 ⟩, ⟨a1 ⟩ e ⟨a2 ⟩. Definição 4.4.

Dois simplexos σ m e σ n são propriamente ligados se σ m ∩ σ n é

vazia ou se σ m ∩ σ n é uma face de σ m e de σ n .

(a) propriamente ligados Definição 4.5.

(b) não propriamente ligados

Um complexo simplicial é uma família finita K de simplexos

que são propriamente ligados e cada face de um elemento de K é também um elemento de K. A dimensão de K é o maior inteiro positivo r tal que K tem um r-simplexo. A reunião de todos os elementos de K com a topologia induzida de Rr , denotada por ∣K∣, é chamada o poliedro associado a K. Exemplo 4.6.

O complexo simplicial K abaixo, onde não estamos conside-

rando o 3-simplexo ⟨a0 a1 a2 a3 ⟩ e o 2-simplexo ⟨a1 a5 a6 ⟩, é constituído por quatro 2-simplexos, dez 1-simplexos e sete 0-simplexos e tem dimensão 2.

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Homologia simplicial

i 37

Seja X um espaço topológico. Se existe um complexo simplicial

Definição 4.7.

K cujo poliedro associado é homeomorfo a X, dizemos que X é triangulável e K é uma triangulação de X. Consideremos a esfera S 2 . O complexo simplicial

Exemplo 4.8.

K = {⟨a0 a1 a2 ⟩, ⟨a0 a1 a3 ⟩, ⟨a0 a2 a3 ⟩, ⟨a1 a2 a3 ⟩, ⟨a0 a1 ⟩, ⟨a0 a2 ⟩, ⟨a0 a3 ⟩, ⟨a1 a2 ⟩, ⟨a1 a3 ⟩, ⟨a2 a3 ⟩, ⟨a0 ⟩, ⟨a1 ⟩, ⟨a2 ⟩, ⟨a3 ⟩} tem poliedro associado homeomorfo a esfera S 2 . a0

a3 a1

Definição 4.9.

O fecho de um k-simplexo σ k , denotado por σ k , é o complexo

simplicial constituído de σ k e todas as suas faces. Exemplo 4.10.

Seja σ 2 = ⟨a0 a1 a2 ⟩. Então o fecho de σ 2 é dado por

σ 2 = {σ 2 , ⟨a0 a1 ⟩, ⟨a0 a2 ⟩, ⟨a1 a2 ⟩, ⟨a0 ⟩, ⟨a1 ⟩, ⟨a2 ⟩} . Definição 4.11.

Se K é um complexo simplicial de dimensão n e r ≤ n, então o

r-esqueleto de K é o complexo simplicial K (r) constituído de todos os simplexos de K de dimensão menor ou igual que r.

i i

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i 38

INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Exemplo 4.12.

Consideremos o complexo simplicial do Exemplo 4.8. Neste

caso, o 1-esqueleto de K é K (1) = {⟨a0 ⟩, ⟨a1 ⟩, ⟨a2 ⟩, ⟨a3 ⟩, ⟨a0 a1 ⟩, ⟨a0 a2 ⟩, ⟨a0 a3 ⟩, ⟨a1 a2 ⟩, ⟨a1 a3 ⟩, ⟨a2 a3 ⟩} . Observação.

Note que, em uma triangulação, cada aresta interna é aresta de

exatamente dois triângulos, pois se fosse só de um, pontos interiores a essa aresta possuiriam vizinhanças V ⊂ R2 que não são homeomorfas a bolas abertas e se pertencesse a mais de dois, contrariaria a dimensão da superfície (vide definição no capítulo 5).

V V

Definição 4.13.

Dado um p-simplexo σ p , com p ≥ 1, podemos dar-lhe uma

orientação simplesmente escolhendo uma ordem para seus vértices. A classe de equivalência de permutações pares da ordem escolhida é constituída pelos simplexos positivamente ordenados, denotados por +σ p ou simplesmente σ p , e a classe de equivalência de permutações ímpares é constituída pelos simplexos negativamente ordenados, denotados por −σ p . Um complexo simplicial orientado é um complexo simplicial com uma orientação coerente em cada um de seus simplexos. Um 0-simplexo ⟨a0 ⟩ é sempre orientado. Exemplo 4.14.

Seja σ 1 = ⟨a0 a1 ⟩. Tomando-se a orientação a0 < a1 , temos

+σ 1 = ⟨a0 a1 ⟩ e −σ 1 = ⟨a1 a0 ⟩. Seja σ 2 = ⟨a0 a1 a2 ⟩ com a orientação dada por a0 < a1 < a2 . Usando as permutações associadas a σ 2 , obtemos três permutações

pares: ⎛0 1 2⎞ = (0 2) (1 2) , ⎝2 0 1 ⎠

⎛0 1 2⎞ = (0 2) (0 1) , ⎝ 1 2 0⎠

⎛0 1 2 ⎞ = (0 1) (0 1) ; ⎝0 1 2 ⎠

i i

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Homologia simplicial

i 39

e três permutações ímpares: ⎛0 1 2⎞ = (1 2) , ⎝0 2 1 ⎠

⎛0 1 2⎞ = (0 1) , ⎝ 1 0 2⎠

⎛0 1 2⎞ = (0 2) . ⎝ 2 1 0⎠

Portanto +σ 2 = ⟨a2 a0 a1 ⟩ = ⟨a1 a2 a0 ⟩ = ⟨a0 a1 a2 ⟩ e −σ 2 = ⟨a0 a2 a1 ⟩ = ⟨a1 a0 a2 ⟩ = ⟨a2 a1 a0 ⟩. Definição 4.15.

Seja K um complexo simplicial com uma orientação fixada.

A cada par (σ

, σ p ) de simplexos de K associamos um número [σ p+1 , σ p ],

p+1

chamado número de incidência, definido por: i)

se σ p não é uma face de σ p+1 , então [σ p+1 , σ p ] = 0;

ii)

se σ p é uma face de σ p+1 , consideremos +σ p = ⟨a0 . . . a p ⟩ e seja v o vértice de σ p+1 que não está em σ p . Se +σ p+1 = +⟨va0 . . . a p ⟩, [σ p+1 , σ p ] = 1 e se +σ p+1 = −⟨va0 . . . a p ⟩, [σ p+1 , σ p ] = −1.

Exemplo 4.16.

Considere σ 1 = ⟨a0 a1 ⟩ com a orientação a0 < a1 . Então +σ 1 =

⟨a0 a1 ⟩ e −σ 1 = ⟨a1 a0 ⟩. Assim [σ 1 , ⟨a0 ⟩] = −1 e [σ 1 , ⟨a1 ⟩] = 1. Considere σ 2 =

⟨a0 a1 a2 ⟩ com orientação a0 < a1 < a2 . Então +σ 2 = ⟨a0 a1 a2 ⟩. Sejam +σ 1 = ⟨a0 a1 ⟩ e +τ 1 = ⟨a0 a2 ⟩. Assim [σ 2 , σ 1 ] = 1, pois +σ 2 = +⟨a2 a0 a1 ⟩ e [σ 2 , τ 1 ] = −1, pois +σ 2 = −⟨a1 a0 a2 ⟩.

Teorema 4.17.

Sejam K um complexo orientado, σ p um p-simplexo orientado

de K e σ p−2 uma (p − 2)-face de σ p . Então p p−1 p−1 p−2 ∑ [σ , σ ][σ , σ ] = 0. σ p−1 ∈K

Demonstração.

Consideremos +σ p−2 = ⟨v0 . . . v p−2 ⟩ e sejam a e b os vértices

adicionais de σ p . Assumamos que +σ p = ⟨a b v0 . . . v p−2 ⟩. Os únicos (p − 1)-simplexos tais que [σ p , σ p−1 ] ≠ 0 e [σ p−1 , σ p−2 ] ≠ 0 são p−1

σ1

= ⟨av0 . . . v p−2 ⟩ e

p−1

σ2

= ⟨bv0 . . . v p−2 ⟩,

i i

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i 40

INVARIANTES TOPOLÓGICOS

visto que são os únicos que são faces de σ p e têm σ p−2 como face. Analisemos os quatro casos determinados pelas orientações de σ1

p−1

e σ2 . p−1

Podemos ter: +σ11

= +⟨av0 . . . v p−2 ⟩

+σ12 = −⟨av0 . . . v p−2 ⟩,

+σ21 = +⟨bv0 . . . v p−2 ⟩

+σ22 = −⟨bv0 . . . v p−2 ⟩.

p−1 p−1

p−1

Temos então os seguintes números de incidência: [σ p , σ11 ] = −1, p−1

[σ p , σ12 ] = +1,

[σ p , σ21 ] = −1,

p−1

[σ p , σ22 ] = +1, p−1

[σ11 , σ p−2 ] = +1, [σ12 , σ p−2 ] = −1, [σ21 , σ p−2 ] = +1, [σ22 , σ p−2 ] = −1. p−1

p−1

Portanto [σ p , σ11 ] ⋅ [σ11 , σ p−2 ] = (−1) ⋅ (+1) = −1, p−1

p−1

[σ p , σ12 ] ⋅ [σ12 , σ p−2 ] = (+1) ⋅ (−1) = −1, p−1

p−1

[σ p , σ21 ] ⋅ [σ21 , σ p−2 ] = (+1) ⋅ (+1) = +1, p−1

p−1

[σ p , σ22 ] ⋅ [σ22 , σ p−2 ] = (−1) ⋅ (−1) = +1, p−1

p−1

donde segue que 2

p p−1 p−1 p−2 p p−2 ∑ [σ , σ ] ⋅ [σ , σ ] = ∑ [σ , σi j ] ⋅ [σi j , σ ] = 0, p−1

σ p−1 ∈K

p−1

i, j=1

o que conclui a demonstração. Definição 4.18.

p αp

Sejam K um complexo simplicial orientado e {σi }i=0 a família

dos p-simplexos de K, onde α p denota o número de p-simplexos. Uma cadeia p-dimensional (ou uma p-cadeia) é uma função p αp

c p ∶ {σi }i=0 → Z tal que c p (−σi ) = −c p (+σi ). Uma 0-cadeia é uma função p

c0 ∶ {0-simplexos} → Z.

i i

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Homologia simplicial

O conjunto C p (K) de todas as p-cadeias com a operação adição de funções é um grupo abeliano, chamado grupo das p-cadeias. Uma p-cadeia é elementar quando existe um p-simplexo σ p ∈ K tal que c p (τ p ) = 0, para todo p-simplexo τ p ∈ K, distinto de σ p . Neste caso denotamos c p por дσ p , onde д = c p (+σ p ). Com essa notação, toda p-cadeia d p pode ser escrita como uma soma formal finita de p-cadeias elementares αp

d p = ∑ дi σi , p

дi = c pi (+σi ). p

i=0

Definição 4.19.

Se дσ p é uma p-cadeia elementar com p ≥ 1, o bordo de дσ p ,

denotado por ∂(дσ p ), é definido por: α p−1

∂(дσ p ) = ∑ [σ p , σi

p−1

]дσi

p−1

i=0

O operador bordo ∂ ∶ C p (K) → C p−1 (K), αp

∂(c p ) = ∑ ∂(дi σi ), p

i=0 αp

onde c p = ∑ дi σi , é obtido estendendo por linearidade a definição anterior. p

i=0

O operador bordo de C0 (K) é o homomorfismo identicamente nulo. Teorema 4.20.

⋯

Se K é um complexo orientado e p ≥ 2 então / C p (K)

∂

/ C p−1 (K)

∂

/ C p−2 (K)

/⋯

é uma sequência semi-exata, isto é, ∂2 = 0. αp

Demonstração.

Seja c p ∈ C p (K) qualquer. Então c p = ∑ дi σi , onde дi σi são p

i=0

p-cadeias elementares. Como ∂ é um homomorfismo, basta provarmos para p-cadeias do tipo дσ p .

i i

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i 42

INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Temos que α p−1

∂2 (дσ p ) = ∂ ( ∑ [σ p , σi

p−1

]дσi

)

]дσi

)

p−1

i=0 α p−1

= ∑ ∂ ([σ p , σi

p−1

i=0

⎛α p−2 p p−1 p−1 p−2 p−2 ⎞ = ∑ ∑ [σ , σi ][σi , σ j ]дσ j ⎠ i=0 ⎝ j=0 α p−1

α p−2

α p−1

= ∑ ( ∑ [σ p , σi

][σi

, σj

] = 0,

p−1

j=0

p−1

p−2

]) дσ j

p−2

i=0

Pelo Teorema 4.17, observamos que α p−1

p ∑ [σ , σi

p−1

][σi

p−1

p−2

i=0

de onde segue o resultado. Definição 4.21.

Sejam K um complexo simplicial orientado e p ≥ 0. Um p-

ciclo de K, é uma p-cadeia z p tal que ∂(z p ) = 0. Dizemos que b p é um p-bordo se existir uma (p + 1)-cadeia c p+1 tal que ∂(c p+1 ) = b p . Denotemos por Z p (K) o conjunto de todos os p-ciclos de K. Observemos que Z p (K) é o núcleo do homomorfismo bordo ∂ ∶ C p (K) → C p−1 (K) e C0 (K) = Z0 (K), pois ∂(C0 (K)) = 0. O conjunto dos p-bordos, denotado por B p (K), é constituído pela imagem de ∂ ∶ C p+1 (K) → C p (K). Se K tem dimensão n, não há cadeias de dimensão maior que n. Logo C p (K) = 0, para p > n, e portanto B n (K) = 0. Se K é um complexo orientado de dimensão n, então B p (K) ⊂ Z p (K), 0 ≤ p ≤ n. De fato, se b p ∈ B p (K), existe c p+1 ∈ C p+1 (K) tal que ∂(c p+1 ) = b p .

Então ∂(b p ) = ∂2 (c p+1 ) = 0 e portanto b p ∈ Z p (K). Definição 4.22.

Sejam w p e z p em Z p (K). Dizemos que w p e z p são homólogos

se w p − z p ∈ B p (K).

i i

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Homologia simplicial

i 43

Essa relação é de equivalência. A classe de equivalência de z p ∈ Z p (K), chamada classe de homologia de z p , é o conjunto z p + B p (K) = {w p ∈ Z p (K); w p − z p = ∂(c p+1 ), c p+1 ∈ C p+1 (K)} , também denotado por [z p ]. Definimos o grupo de homologia p-dimensional de K como o grupo quociente H p (K) =

Z p (K) . B p (K)

Suponhamos que K tenha r p-simplexos. Então C p (K) é isomorfo a Z ⊕ ⋯ ⊕ Z, ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ r-cópias

isto é, C p (K) é um grupo abeliano livre com r geradores. Como Z p (K) e B p (K) são subgrupos de C p (K) então são livres e abelianos. Z p (K) é um grupo abeliano. Então H p (K) = L ⊕ T1 ⊕ ⋯ ⊕ Tm , Assim H p (K) = B p (K) onde L é abeliano livre e cada Ti é um subgrupo de torção. Observemos que H0 (K) é livre. Exemplo 4.23.

Seja K o fecho do 2-simplexo ⟨a0 a1 a2 ⟩, com orientação indu-

zida por a0 < a1 < a2 . Os 0-simplexos de K são ⟨a0 ⟩, ⟨a1 ⟩ e ⟨a2 ⟩ e os 1-simplexos orientados são ⟨a0 a1 ⟩, ⟨a0 a2 ⟩, ⟨a1 a2 ⟩ e existe um único 2-simplexo ⟨a0 a1 a2 ⟩. Dimensão zero: uma 0-cadeia c0 de K é da forma c0 = д0 ⟨a0 ⟩ + д1 ⟨a1 ⟩ + д2 ⟨a2 ⟩, onde дi ∈ Z, i = 0, 1, 2. Portanto, C0 (K) ≅ Z ⊕ Z ⊕ Z. Dimensão um: uma 1-cadeia c1 de K é da forma c1 = д0 ⟨a0 a1 ⟩ + д1 ⟨a0 a2 ⟩ + д2 ⟨a1 a2 ⟩, onde дi ∈ Z, i = 0, 1, 2. Portanto C1 (K) ≅ Z ⊕ Z ⊕ Z. Dimensão dois : uma 2-cadeia c2 de K é da forma д⟨a0 a1 a2 ⟩, onde д ∈ Z. Portanto C2 (K) ≅ Z. Para que c0 = д0 ⟨a0 ⟩+д1 ⟨a1 ⟩+д2 ⟨a2 ⟩ seja um 0-ciclo, devemos ter ∂(д0 ⟨a0 ⟩+ д1 ⟨a1 ⟩ + д2 ⟨a2 ⟩) = 0, ou seja д0 ∂(⟨a0 ⟩) + д1 ∂(⟨a1 ⟩) + д2 ∂(⟨a2 ⟩) = 0. Como ∂⟨a0 ⟩ = ∂⟨a1 ⟩ = ∂⟨a2 ⟩ = 0, segue que Z0 (K) ≅ Z ⊕ Z ⊕ Z.

i i

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i 44

INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Para que c1 seja um 1-ciclo, devemos ter ∂(д0 ⟨a0 a1 ⟩+д1 ⟨a0 a2 ⟩+д2 ⟨a1 a2 ⟩)=0. Assim д0 ∂(⟨a0 a1 ⟩) + д1 ∂(⟨a0 a2 ⟩) + д2 ∂(⟨a1 a2 ⟩) = 0, ou ainda д0 (−⟨a0 ⟩ + ⟨a1 ⟩) + д1 (−⟨a0 ⟩ + ⟨a2 ⟩) + д2 (−⟨a1 ⟩ + ⟨a2 ⟩) = 0. Portanto −д0 − д1 = д0 − д2 = д1 + д2 = 0, donde segue que д0 = д2 = −д1 e consequentemente Z1 (K) ≅ Z. Para que c2 = д⟨a0 a1 a2 ⟩ seja um 2-ciclo, seu bordo deve ser nulo, ou seja, devemos ter ∂(д⟨a0 a1 a2 ⟩) = д(⟨a0 a1 ⟩ − ⟨a0 a2 ⟩ + ⟨a1 a2 ⟩) = 0 e portanto д = 0 e Z2 (K) ≅ 0. Dos cálculos acima obtemos que Z0 (K) ≅ Z ⊕ Z ⊕ Z,

Z1 (K) ≅ Z,

Z2 (K) ≅ 0.

Calculemos agora os conjuntos dos i-bordos, B i (K), i = 0, 1, 2. Dada uma 1-cadeia c1 = д0 ⟨a0 a1 ⟩ + д1 ⟨a0 a2 ⟩ + д2 ⟨a1 a2 ⟩ temos que ∂(c1 ) = (−д0 − д1 )⟨a0 ⟩ + (д0 − д2 )⟨a1 ⟩ + (д1 + д2 )⟨a2 ⟩ é uma 0-cadeia b0 = r0 ⟨a0 ⟩ + r1 ⟨a1 ⟩ + r2 ⟨a2 ⟩ onde r0 = −д0 − д1 ,

r1 = д0 − д2 ,

r2 = д1 + д2 ,

ou, equivalentemente, r0 = −r1 − r2 . Portanto um 0-bordo é do tipo b0 = (−r1 − r2 )⟨a0 ⟩ + r1 ⟨a1 ⟩ + r2 ⟨a2 ⟩ = r1 (⟨a1 ⟩ − ⟨a0 ⟩) + r2 (⟨a2 ⟩ − ⟨a0 ⟩) e assim B0 (K) ≅ Z ⊕ Z. Seja agora д⟨a0 a1 a2 ⟩ uma 2-cadeia. Como ∂(д⟨a0 a1 a2 ⟩) = д(⟨a0 a1 ⟩ − ⟨a0 a2 ⟩ + ⟨a1 a2 ⟩), então B1 (K) ≅ Z.

i i

“versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 45 — #35

Homologia simplicial

i 45

Observemos que B2 (K) ≅ 0, pois não existem 3-cadeias em K. Estamos agora em condições de determinar os grupos de homologia do complexo simplicial orientado K. Seja c0 = д0 ⟨a0 ⟩ + д1 ⟨a1 ⟩ + д2 ⟨a2 ⟩ uma 0-cadeia qualquer. Temos que c0 = ∂(д1 ⟨a0 a1 ⟩ + д2 ⟨a0 a2 ⟩) + (д0 + д1 + д2 )⟨a0 ⟩, ou seja, c0 − (д0 + д1 + д2 )⟨a0 ⟩ = ∂(д1 ⟨a0 a1 ⟩ + д2 ⟨a0 a2 ⟩). Portanto todo 0-ciclo c0 é homólogo a um múltiplo de ⟨a0 ⟩. Segue que H0 (K) ≅ Z. Dos cálculos acima, temos que Z1 (K) ≅ B1 (K) e portanto H1 (K) ≅ 0. Segue também que H2 (K) ≅ 0, pois Z2 (K) ≅ 0. Definição 4.24.

Dizemos que um espaço topológico de Hausdorff é uma n-

variedade se, para cada ponto, existe um aberto que o contém e que é homeomorfo a uma bola aberta do Rn . I×I onde ∼ I é o intervalo fechado [0, 1] e “∼” é a relação definida por (x, 0) ∼ (x, 1) e

Definição 4.25.

Por um Toro entendemos o espaço quociente T 2 =

(0, y) ∼ (1, y). Por uma Garrafa de Klein entendemos o espaço quociente I×I KB = onde I é o intervalo fechado [0, 1] e “∼” é a relação definida por ∼ (x, 0) ∼ (x, 1) e (0, y) ∼ (1, 1 − y). Definição 4.26.

Definição 4.27. 2

Por um Plano Projetivo entendemos o espaço quociente P 2 =

S , onde S 2 é a esfera unitária do R3 . x ∼ (−x) Uma superfície é uma 2-variedade compacta e conexa. As superfícies mais conhecidas são a esfera S 2 , o toro T 2 , a garrafa de Klein KB, o plano projetivo real P 2 , além daquelas obtidas dessas por somas conexas. De fato, essas são todas as superfícies (ver Teorema 5.14 do capítulo 5). Definição 4.28.

Uma n-pseudovariedade é um complexo K com as seguintes

propriedades:

i i

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i 46

INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Cada simplexo de K é uma face de algum n-simplexo de K.

Cada (n − 1)-simplexo é face de exatamente dois n-simplexos de K.

Dado um par σ1n e σ2n de n-simplexos de K, existe uma sequência de nsimplexos começando em σ1n e terminando em σ2n tal que quaisquer dois termos consecutivos dessa sequência tem uma (n − 1)-face comum.

Para n = 2, essa definição é equivalente à definição de uma triangulação de uma superfície (lembrando que no nosso contexto, as superfícies são variedades sem bordo). Exemplo 4.29.

A triangulação do toro dada abaixo é um exemplo de uma

2-pseudovariedade. a0

a2 a1 a0

a2 a1

Por uma faixa de Möebius entendemos o espaço quociente I×I FM = , onde I denota o intervalo fechado [0, 1]. (0, y) ∼ (1, 1 − y)

Definição 4.30.

Exemplo 4.31.

A faixa de Möebius d

não é uma 2-pseudovariedade, pois existem 1-simplexos, por exemplo ⟨e f ⟩, que são faces de apenas um 2-simplexo, no caso ⟨b f e⟩. Portanto não satisfaz a condição (2) da Definição 4.28.

i i

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Homologia simplicial

Definição 4.32.

n−1

i 47

Seja K uma n-pseudovariedade. Para cada (n − 1)-simplexo

de K, consideremos σ1n e σ2n os dois n-simplexos dos quais σ n−1 é face.

Uma orientação para K com a propriedade [σ1n , σ n−1 ] = −[σ2n , σ n−1 ] para cada (n − 1)-simplexo σ n−1 de K é chamada uma orientação coerente de K. Uma n-pseudovariedade é orientável se a ela pode ser associada uma orientação coerente. Caso contrário, ela é não orientável. Exemplo 4.33.

Seja T o toro com orientação induzida por a < b < c < d < e <

f < д < h < i. a

e i

d д

Em todas as 1-faces temos coerência na orientação. Como exemplo considere a 1-face ⟨h f ⟩ e observe que [⟨ih f ⟩, ⟨h f ⟩] = 1 e [⟨ f h д⟩, ⟨h f ⟩] = −1. Portanto o toro é orientável. Exemplo 4.34.

Se à faixa de Möebius acrescentarmos do lado direito os dois

2-simplexos ⟨ade⟩ e ⟨abe⟩ e orientarmos conforme a figura abaixo d

i i

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i 48

INVARIANTES TOPOLÓGICOS

então para a 1-face ⟨ad⟩ tem-se [⟨cad⟩, ⟨ad⟩] = 1 e [⟨ade⟩, ⟨ad⟩] = 1 e portanto a faixa de Möebius é não orientável. Exemplo 4.35.

Consideremos o plano projetivo P 2 com orientação dada pela

figura abaixo. f

c e

Observemos que a face ⟨a f ⟩ de ⟨a f d⟩ e ⟨ea f ⟩ é tal que [⟨a f d⟩, ⟨a f ⟩] = 1 e

[⟨ea f ⟩, ⟨a f ⟩] = 1. Logo P 2 é não orientável. Proposição 4.36. Demonstração.

Se K é uma n-pseudovariedade orientável então H n (K) ≅ Z.

Se K é orientável, associamos a K uma orientação coerente. αn

α n α n−1

i=0

i=0 j=0

n−1 Seja z ∈ C n (K), isto é, z = ∑ дi σin e ∂(z) = ∑ ∑ [σin , σin−1 j ]дi σ i j . Esta

equação pode ser reescrita como α n i−1

α n α n−1

αn

i=0 j=0

i=0 j=i+1

i=0

α n i−1

α n α n−1

αn

i=0 j=0

j=0 i= j+1

i=0

n n−1 n−1 n n−1 n−1 n−1 ∂(z) = ∑ ∑[σin , σin−1 j ]дi σ i j + ∑ ∑ [σ i , σ i j ]дi σ i j + ∑[σ i , σ ii ]дi σ ii ,

ou equivalentemente, n−1 n n−1 n−1 n n−1 n−1 ∂(z) = ∑ ∑[σin , σin−1 j ]дi σ i j + ∑ ∑ [σ j , σ i j ]д j σ i j + ∑[σ i , σ ii ]дi σ ii .

Como σin−1 = σ jin−1 é face de exatamente dois n-simplexos (digamos σin e j

n n−1 σ jn ) e [σin , σin−1 j ] = −[σ j , σ i j ] então, obtemos α n i−1

α n α n−1

i=0 j=0

j=0 i= j+1

n−1 n−1 n n−1 ∂(z) = ∑ ∑[σin , σin−1 j ]дi σ i j − ∑ ∑ [σ i , σ i j ]д j σ i j ,

i i

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Homologia simplicial

i 49

ou equivalentemente, αn

n−1 ∂(z) = ∑ ∑[σin , σin−1 j ](дi − д j )σ i j . i=0 j≠i

Lembrando que [σin , σin−1 j ] = ±1, segue que z é um n-ciclo se, e somente se, αn

дi = д j = д se, e somente se, z = д ∑ σin . Logo Z n (K) = Z. i=0

Como n é a dimensão de K então não há (n + 1)-simplexos em K e assim B n (K) = 0. Concluímos portanto que H n (K) ≅ Z.

4.1. CÁLCULOS DE ALGUNS GRUPOS DE HOMOLOGIA Exemplo 4.37.

Seja a faixa de Möebius (FM) d

com orientação induzida por a < b < c < d < e < f . Como não há 3-simplexos, temos que B2 (FM) = 0. Calculemos agora Z2 (FM). Para isto, suponha que w = д0 ⟨ade⟩ + д1 ⟨abe⟩ + д2 ⟨be f ⟩ + д3 ⟨bc f ⟩ + д4 ⟨ac f ⟩ + д5 ⟨acd⟩ seja um 2-ciclo. Então ∂(w) = 0. Mas ∂(w) = д0 ∂⟨ade⟩ + д1 ∂⟨abe⟩ + д2 ∂⟨be f ⟩ + д3 ∂⟨bc f ⟩ + д4 ∂⟨ac f ⟩ + д5 ∂⟨acd⟩ = д0 (⟨ad⟩ + ⟨de⟩ − ⟨ae⟩) + д1 (⟨ab⟩ + ⟨be⟩ − ⟨ae⟩) + д2 (⟨be⟩ + ⟨e f ⟩ − ⟨b f ⟩) + д3 (⟨bc⟩ + ⟨c f ⟩ − ⟨b f ⟩) + д4 (⟨ac⟩ + ⟨c f ⟩ − ⟨a f ⟩) + д5 (⟨ac⟩ + ⟨cd⟩ − ⟨ad⟩)

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

= (д0 − д5 )⟨ad⟩ + д0 ⟨de⟩ − (д0 + д1 )⟨ae⟩ + д1 ⟨ab⟩ + (д1 + д2 )⟨be⟩ + д2 ⟨e f ⟩ − (д2 + д3 )⟨b f ⟩ + д3 ⟨bc⟩ + (д3 + д4 )⟨c f ⟩ + (д4 + д5 )⟨ac⟩ − д4 ⟨a f ⟩ + д5 ⟨cd⟩. Assim ∂(w) = 0 se, e somente se, д0 = д1 = д2 = д3 = д4 = д5 = 0. Portanto w = 0 e então Z2 (FM) = 0. Logo H2 (FM) = 0. Além disso, considere as seguintes 1-cadeias: z = ⟨ab⟩ + ⟨bc⟩ + ⟨cd⟩ − ⟨ad⟩,

z ′ = ⟨ad⟩ + ⟨de⟩ + ⟨e f ⟩ − ⟨a f ⟩.

Temos que ∂(z) = ⟨b⟩ − ⟨a⟩ + ⟨c⟩ − ⟨b⟩ + ⟨d⟩ − ⟨c⟩ − (⟨d⟩ − ⟨a⟩) = 0 e analogamente ∂(z ′ ) = 0. Portanto z e z ′ são 1-ciclos. Observe ainda que z−z ′ = ∂(⟨abe⟩+⟨bc f ⟩+⟨acd⟩−⟨ac f ⟩−⟨be f ⟩−⟨ade⟩) e z é homólogo a z ′ . Pode-se provar de maneira análoga, que qualquer 1-ciclo é homólogo a z. Então H1 (FM) = {[дz] ∶ д ∈ Z} ≅ Z. Afirmamos também que quaisquer duas 0-cadeias são homólogas a ⟨a⟩. Por exemplo, ⟨a⟩ − ⟨e⟩ = ∂(−⟨ae⟩), donde ⟨e⟩ é homólogo a ⟨a⟩. Portanto H0 (FM) = {[д⟨a⟩] ∶ д ∈ Z} ≅ Z. Exemplo 4.38.

Consideremos a esfera unitária S 2 de R3 com a triangulação K

da figura abaixo e com a orientação induzida dada por a < b < c < d. c

Calculemos H2 (K). Observemos primeiramente que B2 (K) = 0, desde que K não possui 3-simplexos. Encontremos agora Z2 (K). Para isso tomemos uma 2-cadeia c2 = д0 ⟨abc⟩ + д1 ⟨abd⟩ + д2 ⟨acd⟩ + д3 ⟨bcd⟩

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Homologia simplicial

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tal que ∂(c2 ) = 0. Então ∂(c2 ) = д0 (⟨ab⟩ − ⟨ac⟩ + ⟨bc⟩) + д1 (⟨ab⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨bd⟩)+ + д2 (⟨ac⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨cd⟩) + д3 (⟨bc⟩ − ⟨bd⟩ + ⟨cd⟩) = 0, ou equivalentemente, (д0 + д1 )⟨ab⟩ + (д2 − д0 )⟨ac⟩ + (−д1 − д2 )⟨ad⟩ + (д0 + д3 )⟨bc⟩ + (д1 − д3 )⟨bd⟩ + (д2 + д3 )⟨cd⟩ = 0. Assim д0 = −д1 = д2 = −д3 implica que c2 = д0 ⟨abc⟩− д0 ⟨abd⟩+ д0 ⟨acd⟩− д0 ⟨bcd⟩ = д0 (⟨abc⟩−⟨abd⟩+⟨acd⟩−⟨bcd⟩) e portanto Z2 (K) ≅ Z. Concluímos assim que H2 (K) ≅ Z. Calculemos agora H1 (K). Para isto, tomemos uma 1-cadeia c1 = д0 ⟨ab⟩ + д1 ⟨ac⟩ + д2 ⟨ad⟩ + д3 ⟨bc⟩ + д4 ⟨bd⟩ + д5 ⟨cd⟩ tal que ∂(c1 ) = 0. Então д0 (⟨b⟩ − ⟨a⟩) + д1 (⟨c⟩ − ⟨a⟩) + д2 (⟨d⟩ − ⟨a⟩) + д3 (⟨c⟩ − ⟨b⟩) + д4 (⟨d⟩ − ⟨b⟩) + д5 (⟨d⟩ − ⟨c⟩) = 0, ou equivalentemente, (−д0 − д1 − д2 )⟨a⟩ + (д0 − д3 − д4 )⟨b⟩ + (д1 + д3 − д5 )⟨c⟩ + (д2 + д4 + д5 )⟨d⟩ = 0. Assim д0 = д3 + д4 , д1 = −д3 + д5 e д2 = −д4 − д5 . Portanto, c1 = (д3 + д4 )⟨ab⟩+(−д3 + д5 )⟨ac⟩+(−д4 − д5 )⟨ad⟩+ д3 ⟨bc⟩+ д4 ⟨bd⟩+ д5 ⟨cd⟩, ou equivalentemente,

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

c1 = д3 (⟨ab⟩ − ⟨ac⟩ +⟨bc⟩) + д4 (⟨ab⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨bd⟩) + д5 (⟨ac⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨cd⟩) = д3 ∂(⟨abc⟩) + д4 ∂(⟨abd⟩) + д5 ∂(⟨acd⟩) = ∂(д3 ⟨abc⟩ + д4 ⟨abd⟩ + д5 ⟨acd⟩). Portanto todo 1-ciclo é um bordo. Logo H1 (K) = 0. Calculemos H0 (K). Por definição, ∂(c0 ) = 0, para toda 0-cadeia c0 . Desta forma c0 = α0 ⟨a⟩ + α1 ⟨b⟩ + α2 ⟨c⟩ + α3 ⟨d⟩ é um ciclo e portanto Z0 (K) é gerado por {⟨a⟩, ⟨b⟩, ⟨c⟩, ⟨d⟩} de modo que é isomorfo a Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z. Calculemos B0 (K). Para isto tomemos c1 = д0 ⟨ab⟩ + д1 ⟨ac⟩ + д2 ⟨ad⟩ + д3 ⟨bc⟩ + д4 ⟨bd⟩ + д5 ⟨cd⟩ tal que ∂(c1 ) = c0 , para alguma 0-cadeia c0 . Desde que ∂(c1 ) = (−д0 − д1 − д2 )⟨a⟩+(д0 − д3 − д4 )⟨b⟩+(д1 + д3 − д5 )⟨c⟩+(д2 + д4 + д5 )⟨d⟩, procuramos дi , i = 1, . . . , 5, tais que −д0 − д1 − д2 = α0 ,

д0 − д3 − д4 = α1 ,

д1 + д3 − д5 = α2 ,

д2 + д4 + д5 = α3 .

Por escalonamento, obtemos que o sistema só terá solução se α0 + α1 + α2 + α3 = 0 e neste caso ∂(c1 ) = (−α1 − α2 − α3 )⟨a⟩ + α1 ⟨b⟩ + α2 ⟨c⟩ + α3 ⟨d⟩. Assim B0 (K) ≅ Z ⊕ Z ⊕ Z e é gerado por {−⟨a⟩ + ⟨b⟩, −⟨a⟩ + ⟨c⟩, −⟨a⟩ + ⟨d⟩}. Mas Z0 (K) é gerado por {⟨a⟩, ⟨b⟩, ⟨c⟩, ⟨d⟩}, ou ainda, por {⟨a⟩, −⟨a⟩ + ⟨b⟩, −⟨a⟩ + ⟨c⟩, −⟨a⟩ + ⟨d⟩} . De fato, α0 ⟨a⟩ + α1 ⟨b⟩ + α2 ⟨c⟩ + α3 ⟨d⟩ = = γ0 ⟨a⟩ + γ1 (−⟨a⟩ + ⟨b⟩) + γ2 (−⟨a⟩ + ⟨c⟩) + γ3 (−⟨a⟩ + ⟨d⟩) se, e somente se, γ0 − γ1 − γ2 − γ3 = α0 , γ1 = α1 , γ2 = α2 e γ3 = α3 . Portanto γ0 = α0 + α1 + α2 + α3 , γ1 = α1 , γ2 = α2 e γ3 = α3 .

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Homologia simplicial

Logo H0 (K) = Exemplo 4.39.

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Z0 (K) = [⟨a⟩ + B0 (K)] ≅ Z. B0 (K)

Seja P 2 o plano projetivo, representado pelo diagrama: f

c e

com orientação induzida por a < b < c < d < e < f . Como não há 3-simplexos,

temos novamente que B2 (P 2 ) = 0.

Vamos calcular Z2 (P 2 ). Observe que cada 1-simplexo σ 1 é face de exata-

mente dois 2-simplexos σ12 e σ22 . Calculemos alguns números de incidência dos 1-simplexos com os 2-simplexos dos quais são faces. Quando σ 1 é ⟨de⟩, ⟨e f ⟩, ⟨d f ⟩, ⟨bc⟩, ⟨cd⟩, ⟨bd⟩ ou ⟨ab⟩ então: -

⟨de⟩ é face de ⟨bde⟩ e ⟨cde⟩, [⟨bde⟩, ⟨de⟩] = 1 e [⟨cde⟩, ⟨de⟩] = 1,

⟨e f ⟩ é face de ⟨be f ⟩ e ⟨ae f ⟩, [⟨be f ⟩, ⟨e f ⟩] = 1 e [⟨ae f ⟩, ⟨e f ⟩] = 1,

⟨d f ⟩ é face de ⟨ad f ⟩ e ⟨cd f ⟩, [⟨ad f ⟩, ⟨d f ⟩] = 1 e [⟨cd f ⟩, ⟨d f ⟩] = 1,

⟨bc⟩ é face de ⟨bc f ⟩ e ⟨abc⟩, [⟨bc f ⟩, ⟨bc⟩] = 1 e [⟨abc⟩, ⟨bc⟩] = 1,

⟨cd⟩ é face de ⟨cd f ⟩ e ⟨cde⟩, [⟨cd f ⟩, ⟨cd⟩] = 1 e [⟨cde⟩, ⟨cd⟩] = 1,

⟨bd⟩ é face de ⟨abd⟩ e ⟨bde⟩, [⟨abd⟩, ⟨bd⟩] = 1 e [⟨bde⟩, ⟨bd⟩] = 1,

⟨ab⟩ é face de ⟨abc⟩ e ⟨abd⟩, [⟨abc⟩, ⟨ab⟩] = 1 e [⟨abd⟩, ⟨ab⟩] = 1. Quando σ 1 é ⟨ac⟩, ⟨ad⟩, ⟨c f ⟩, ⟨ae⟩, ⟨ce⟩ ou ⟨be⟩ então:

⟨ac⟩ é face de ⟨ace⟩ e ⟨abc⟩, [⟨ace⟩, ⟨ac⟩] = 1 e [⟨abc⟩, ⟨ac⟩] = −1,

⟨ad⟩ é face de ⟨ad f ⟩ e ⟨abd⟩, [⟨ad f ⟩, ⟨ad⟩] = 1 e [⟨abd⟩, ⟨ad⟩] = −1,

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

⟨c f ⟩ é face de ⟨cd f ⟩ e ⟨bc f ⟩, [⟨cd f ⟩, ⟨c f ⟩] = −1 e [⟨bc f ⟩, ⟨c f ⟩] = 1,

⟨ae⟩ é face de ⟨ace⟩ e ⟨ae f ⟩, [⟨ace⟩, ⟨ae⟩] = −1 e [⟨ae f ⟩, ⟨ae⟩] = 1,

⟨ce⟩ é face de ⟨ace⟩ e ⟨cde⟩, [⟨ace⟩, ⟨ce⟩] = 1 e [⟨cde⟩, ⟨ce⟩] = −1,

⟨be⟩ é face de ⟨be f ⟩ e ⟨bde⟩, [⟨be f ⟩, ⟨be⟩] = 1 e [⟨bde⟩, ⟨be⟩] = −1. Quando σ 1 é ⟨a f ⟩ ou ⟨b f ⟩ então:

⟨a f ⟩ é face de ⟨ad f ⟩ e ⟨ae f ⟩, e [⟨ad f ⟩, ⟨a f ⟩] = −1 e [⟨ae f ⟩, ⟨a f ⟩] = −1,

⟨b f ⟩ é face de ⟨bc f ⟩ e ⟨be f ⟩, e [⟨bc f ⟩, ⟨b f ⟩] = −1 e [⟨be f ⟩, ⟨b f ⟩] = −1. Podemos então dividir os 1-simplexos σ 1 em três tipos:

Quando σ 1 é ⟨de⟩, ⟨e f ⟩, ⟨d f ⟩, ⟨bc⟩, ⟨cd⟩, ⟨bd⟩ ou ⟨ab⟩.

Quando σ 1 é ⟨ac⟩, ⟨ad⟩, ⟨c f ⟩, ⟨ae⟩, ⟨ce⟩ ou ⟨be⟩.

Quando σ 1 é ⟨a f ⟩ ou ⟨b f ⟩.

2 Vamos obter condições para que w = ∑10 i=1 дi σ i seja um 2-ciclo. Convencio-

namos: σ12 = ⟨ad f ⟩,

σ22 = ⟨cd f ⟩,

σ32 = ⟨bc f ⟩,

σ42 = ⟨abc⟩,

σ52 = ⟨ace⟩,

σ62 = ⟨ae f ⟩,

σ72 = ⟨be f ⟩,

σ82 = ⟨bde⟩,

σ92 = ⟨abd⟩,

2 σ10 = ⟨cde⟩.

15 2 1 1 Então ∂(w) = 0, isto é, ∑10 i=1 ∑ j=1 [σ i , σ j ]дi σ j = 0, o que implica

(д8 + д10 )⟨de⟩ + (д6 + д7 )⟨e f ⟩ + (д1 + д2 )⟨d f ⟩ + (д3 + д4 )⟨bc⟩ + (д2 + д10 )⟨cd⟩ + (д8 + д9 )⟨bd⟩ + (д4 + д9 )⟨ab⟩ + (д5 − д4 )⟨ac⟩ + (д1 − д9 )⟨ad⟩ + (д3 − д2 )⟨c f ⟩ + (д6 − д5 )⟨ae⟩ + (д5 − д10 )⟨ce⟩ + (д7 − д8 )⟨be⟩ + (−д1 − д6 )⟨a f ⟩ + (−д3 − д7 )⟨b f ⟩ = 0. Assim д8 + д10 = д6 + д7 = д1 + д2 = д3 + д4 = д2 + д10 = д8 + д9 = д4 + д9 = д5 − д4 = д1 − д9 = д3 − д2 = д6 − д5 = д5 − д10 = д7 − д8 = −д1 − д6 = −д3 − д7 = 0,

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Homologia simplicial

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ou equivalentemente, дi = 0, i = 1, . . . , 10. Portanto w = 0 e Z2 (P 2 ) = 0 e daí H2 (P 2 ) = 0.

Considere z = ⟨de⟩ + ⟨e f ⟩ + ⟨ f d⟩. Pode-se verificar que qualquer 1-ciclo é homólogo a um múltiplo de z. Assim temos duas classes de 1-cadeias que são 1-ciclos: a primeira classe tem como representante z ou um múltiplo ímpar de z. Por exemplo: w = ⟨bc⟩ + ⟨ce⟩ + ⟨eb⟩ é homólogo a (2д − 1)z, pois w −(2д−1)z = ∂((д−1)⟨ad f ⟩+ д⟨cd f ⟩+ д⟨bc f ⟩+(1− д)⟨abc⟩+(1− д)⟨ace⟩ + (1 − д)⟨ae f ⟩ − д⟨be f ⟩ + (1 − д)⟨bde⟩ + (д − 1)⟨abd⟩ − д⟨cde⟩). A outra classe é dada pelos 1-ciclos que são homólogos a um múltiplo par de z. Quando isso acontece, estes são bordos, isto é, representam o elemento neutro do quociente H1 (P 2 ). De fato, 2дz = ∂(−д⟨ad f ⟩ − д⟨cd f ⟩ + д⟨ae f ⟩ + д⟨be f ⟩ + д⟨bde⟩ + д⟨cde⟩ − д⟨abd⟩ − д⟨bc f ⟩ + д⟨ace⟩ + д⟨abc⟩) = ∂(w). Assim (2д + 1)z − z = 2дz = ∂(w), ou seja, (2д + 1)z é homólogo a z e

portanto H1 (P 2 ) ≅ Z2 .

Como exercício prove que H0 (P 2 ) ≅ Z.

4.2. O GRUPO DE HOMOLOGIA COMO INVARIANTE TOPOLÓGICO

Já definimos grupos de homologia simplicial de um dado complexo K, denotado por H∗ (K, Z) ou simplesmente, H∗ (K). Dada uma superfície S, é possível dar uma triangulação para S e obter os grupos de homologia do complexo K a partir da triangulação de S. Calculamos os grupos de homologia de algumas superfícies. Agora vamos ver os grupos de homologia como invariante topológico. Dados dois complexos K e L e uma função contínua f ∶ K → L, associaremos os respectivos i-ésimos grupos de homologia simplicial H i (K) e H i (L) e o homomorfismo induzido f∗ ∶ H i (K) → H i (L).

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â&#x20AC;&#x153;versao-editoraâ&#x20AC;? â&#x20AC;&#x201D; 2012/1/26 â&#x20AC;&#x201D; 15:00 â&#x20AC;&#x201D; page 56 â&#x20AC;&#x201D; #46

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INVARIANTES TOPOLĂ&#x201C;GICOS

O objetivo desse capĂtulo ĂŠ provar que se f ĂŠ um homeomorfismo entĂŁo fâ&#x2C6;&#x2014; ĂŠ um isomorfismo. Dessa forma, conclui-se que se fâ&#x2C6;&#x2014; nĂŁo ĂŠ um isomorfismo entĂŁo f nĂŁo ĂŠ um homeomorfismo. Sejam K e L complexos e {Ď&#x2022; p } p=0 uma sequĂŞncia de homoâ&#x2C6;&#x17E;

DefiniĂ§ĂŁo 4.40.

morfismos Ď&#x2022; p â&#x2C6;ś C p (K) â&#x2020;&#x2019; C p (L), p â&#x2030;Ľ 1 tal que o diagrama Ď&#x2022;p

C p (K) â&#x2C6;&#x201A;

C pâ&#x2C6;&#x2019;1 (K)

/ C p (L)

Ď&#x2022; pâ&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x201A;

/ C pâ&#x2C6;&#x2019;1 (L)

comuta, isto ĂŠ, â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2022; p = Ď&#x2022; pâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x201A;. A sequĂŞncia {Ď&#x2022; p } p=0 ĂŠ chamada uma aplicaĂ§ĂŁo de â&#x2C6;&#x17E;

cadeias.

ObservaĂ§ĂŁo.

Se p ĂŠ maior que as dimensĂľes de K e L, entĂŁo Ď&#x2022; p ĂŠ o homomor-

fismo nulo. Teorema 4.41.

Uma aplicaĂ§ĂŁo de cadeias {Ď&#x2022; p } p=0 de um complexo K em um â&#x2C6;&#x17E;

complexo L induz homomorfismos (Ď&#x2022; p )â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;ś H p (K) â&#x2020;&#x2019; H p (L), para cada p â&#x2030;Ľ 0. DemonstraĂ§ĂŁo.

Provemos primeiramente que Ď&#x2022; p (B p (K)) â&#x160;&#x201A; B p (L). Para isso,

tomamos b p = â&#x2C6;&#x201A;(c p+1 ) â&#x2C6;&#x2C6; B p (K), qualquer. EntĂŁo Ď&#x2022; p (b p ) = Ď&#x2022; p (â&#x2C6;&#x201A;(c p+1 )) = â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2022; p+1 (c p+1 ). Logo Ď&#x2022; p (b p ) ĂŠ o bordo de uma (p + 1)-cadeia de C p+1 (L). AlĂŠm disso, se p = 0, entĂŁo a sequĂŞncia semi-exata ĂŠ da forma â&#x2039;Ż

/ C1 (K)

â&#x2C6;&#x201A;

/ C0 (K)

â&#x2C6;&#x201A;

/ Câ&#x2C6;&#x2019;1 (K) = 0.

Logo, por definiĂ§ĂŁo, qualquer z â&#x2C6;&#x2C6; Z0 (K) ĂŠ tal que â&#x2C6;&#x201A;z = 0. Assim Z0 (K) = C0 (K) e Z0 (L) = C0 (L), logo Ď&#x2022;0 (Z0 (K)) â&#x160;&#x201A; Z0 (L). Se p â&#x2030;Ľ 1, seja z p â&#x2C6;&#x2C6; Z p (K) e como â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2022; p (z p ) = Ď&#x2022; p+1 â&#x2C6;&#x201A;(z p ) = Ď&#x2022; p+1 (0) = 0, segue que Ď&#x2022; p (z p ) â&#x2C6;&#x2C6; Z p (L). Dessa forma, concluĂmos que Ď&#x2022; p (Z p (K)) â&#x160;&#x201A; Z p (L), â&#x2C6;&#x20AC;p â&#x2030;Ľ 0. Definimos assim (Ď&#x2022; p )â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;ś H p (K) â&#x2020;&#x2019; H p (L) por (Ď&#x2022; p )â&#x2C6;&#x2014; (z p + B p (K)) = Ď&#x2022; p (z p ) + B p (L).

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Homologia simplicial

Definição 4.42.

i 57

Uma aplicação simplicial de um complexo K em um complexo

L é uma função ϕ, do conjunto dos vértices de K para o conjunto dos vértices de L, satisfazendo a seguinte condição: se σ p = ⟨v0 . . . v p ⟩ é um p-simplexo de K, então os vértices ϕ(v i ), 0 ≤ i ≤ p, são os vértices de um simplexo L (observe que os vértices ϕ(v i ) não precisam ser distintos). Se os vértices ϕ(v i ), 0 ≤ i ≤ p, forem todos distintos, então o p-simplexo ⟨ϕ(v0 ) . . . ϕ(v p )⟩ = ϕ(σ p ) é chamado a imagem de σ p . Se ϕ(v i ) = ϕ(v j ), para algum i ≠ j, dizemos que ϕ colapsa σ p . Definição 4.43.

Sejam ϕ uma aplicação simplicial de K em L e p ≥ 0. Se дσ p é

uma p-cadeia elementar, definimos ⎧ ⎪ 0, se ϕ colapsa σ p , ⎪ ϕ p (дσ ) = ⎨ p p ⎪ ⎪ ⎩ дϕ(σ ), se ϕ não colapsa σ . p

A função ϕ p estende-se por linearidade a um homomorfismo ϕ p ∶ C p (K) → C p (L) definido por ϕ p (∑ дi σi ) = ∑ ϕ p (дi σi ). p

Exemplo 4.44.

Sejam K o 2-esqueleto de um 3-simplexo ⟨abcd⟩ e L o fecho

de um 2-simplexo ⟨e f h⟩ com orientações a < b < c < d e e < f < h, respectivamente. c

Seja ϕ ∶ K → L definida por ϕ(a) = ϕ(d) = e, ϕ(b) = f e ϕ(c) = h. As aplicações de cadeias ϕ p são dadas por i)

ϕ0 (д0 ⟨a⟩ + д1 ⟨b⟩ + д2 ⟨c⟩ + д3 ⟨d⟩) = (д0 + д3 )⟨e⟩ + д1 ⟨ f ⟩ + д2 ⟨h⟩.

ii)

ϕ1 (д0 ⟨ab⟩+д1 ⟨ac⟩+д2 ⟨ad⟩+д3 ⟨bc⟩+д4 ⟨bd⟩+д5 ⟨cd⟩) = д0 ⟨e f ⟩+д1 ⟨eh⟩+ д3 ⟨ f h⟩ + д4 ⟨ f e⟩ + д5 ⟨he⟩ = (д0 − д4 )⟨e f ⟩ + (д1 − д5 )⟨eh⟩ + д3 ⟨ f h⟩.

iii)

ϕ2 (д0 ⟨abc⟩ + д1 ⟨abd⟩ + д2 ⟨bcd⟩ + д3 ⟨acd⟩) = д0 ⟨e f h⟩ + д2 ⟨ f he⟩ = (д0 + д2 )⟨e f h⟩.

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“versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 58 — #48

i 58

INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Teorema 4.45. ∞ {ϕ p } p=0

Se ϕ ∶ K → L é uma aplicação simplicial, então a sequência

é uma aplicação de cadeias.

Demonstração.

Sejam дσ p uma p-cadeia elementar qualquer com p ≥ 1 e σ p =

+⟨v0 . . . v p ⟩. Se ϕ não colapsa σ p , então ϕ(σ p ) = ⟨ϕ(v0 ) . . . ϕ(v p )⟩ é o pp simplexo denotado por ϕ(σ) p . Consideremos σî a (p − 1)-face de σ p , obtida p eliminando-se o i-ésimo vértice v i , ou seja, σî = ⟨v0 . . . v i−1 vî v i+1 . . . v p ⟩ e seja p p ̂ ϕ(σˆ )i = ϕ(σî ) = ⟨ϕ(v0 ) . . . ϕ(v i−1 )ϕ(v i )ϕ(v i+1 ) . . . ϕ(v p )⟩

a (p − 1)-face de ϕ(σ) p , obtida eliminando-se o i-ésimo vértice ϕ(v i ). Então p

∂ϕ p (дσ p ) = ∂(дϕ(σ p )) = ∂(дϕ(σ) p ) = ∑(−1)i д(ϕ(σˆ )i ) = p

i=0 p

i i p ∑(−1) дϕ(σˆi ) = ϕ p−1 (∑(−1) д σˆi ) = ϕ p−1 ∂(дσ ). p

i=0

Se ϕ colapsa σ p , por exemplo ϕ(v0 ) = ϕ(v1 ), então ϕ p (дσ p ) = 0. Assim p p ∂ϕ p (дσ p ) = 0. Por outro lado, observemos que σˆ0 = ⟨vˆ0 v1 . . . v p ⟩ e σˆ1 = ⟨v0 vˆ1 v2 . . . v p ⟩ e como ϕ(v0 ) = ϕ(v1 ) então ϕ(σˆ0 ) = ϕ(σˆ1 ). Além disso para p p i ≥ 2, σˆi contém v0 e v1 o que implica que ϕ colapsa σˆi para i ≥ 2. Logo p

p p ∑i=2 (−1)i дϕ(σˆi ) = 0. Assim p

ϕ p−1 ∂(дσ p ) = ∑(−1)i дϕ(σˆi ) = дϕ(σˆ0 ) − дϕ(σˆ1 ) = д(ϕ(σˆ0 ) − ϕ(σˆ1 )) = 0, p

i=0

e o teorema está provado. Seja σ n = ⟨v0 . . . v n ⟩ um n-simplexo. O baricentro de σ n é o ponto σ˜ n =

1 n+1 (v0

+ v1 + ⋯ + v n ). Assim o baricentro de um 0-simplexo ⟨v⟩ é v, o de 1-

simplexo ⟨v0 v1 ⟩ é seu ponto médio e o de um 2-simplexo ⟨v0 v1 v2 ⟩ é seu centro de massa. A primeira subdivisão baricêntrica K ′ de um complexo simplicial K é o complexo simplicial formado pelos vértices {σ˜ 0 , σ ∈ K} e pelos simplexos σ˜ q = ⟨σ˜0 σ˜1 . . . σ˜q ⟩ onde σ˜0 < σ˜1 < ⋯ < σ˜q e σ0 , σ1 , . . . , σq são simplexos de K. Sucessivamente, podemos definir a r-ésima subdivisão baricêntrica de K, para r ≥ 1.

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Homologia simplicial

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Observemos que se K ′ é uma subdivisão baricêntrica de K então ∣K∣ ⊂ ∣K ′ ∣. De fato, se x ∈ ∣K∣ então x ∈ σ, para algum σ ∈ K. Tomemos σ como sendo o de menor dimensão para o qual isto é verdadeiro. Assim, se σ = ⟨v0 . . . v p ⟩ então x = λ0 v0 + ⋯ + λ p v p , onde as coordenadas baricêntricas são todas positivas. Vamos assumir λ0 ≥ λ1 ≥ ⋯ ≥ λ p e seja σi = ⟨v0 . . . v i ⟩, i = 0, . . . , p. Então x ∈ ⟨σ˜0 σ˜1 . . . σ˜p ⟩, pois x = (λ0 − λ1 )σ˜0 + 2(λ1 − λ2 )σ˜1 + ⋯ + p(λ p−1 − λ p )σ˜p−1 + (p + 1)λ p σ˜p . Definição 4.46.

Sejam X, Y dois espaços topológicos. Duas aplicações contí-

nuas f , д ∶ X → Y dizem-se homotópicas quando existe uma aplicação contínua H ∶ X × I → Y, tal que H(x, 0) = f (x) e H(x, 1) = д(x), para todo x ∈ X. A aplicação H chama-se então uma homotopia entre f e д. Escreve-se, neste caso, H ∶ f ≃ д, ou simplesmente f ≃ д. Vale o seguinte resultado, cuja demonstração será omitida (veja o teorema de aproximação simplicial em [1]): Teorema 4.47.

Sejam ∣K∣ e ∣L∣ poliedros com triangulações K e L respectiva-

mente e f ∶ ∣K∣ → ∣L∣ uma função contínua. Então existem um inteiro r e uma aplicação simplicial д ∶ K r → L homotópica a f , onde K r é a r-ésima subdivisão baricêntrica de K. Pelos Teoremas 4.41 e 4.45, a sequência {дp } p=0 dada no Teorema 4.47 é ∞

uma aplicação de cadeias, que induz homomorfismos (дp )∗ ∶ H p (K) → H p (L) ∞ em cada dimensão p. A sequência {(дp )∗ } p=0 é chamada sequência de homomorfismos induzidos por f e será denotada por {( f p )∗ }. Lema 4.48.

Sejam f ∶ ∣K∣ → ∣L∣ e h ∶ ∣L∣ → ∣M∣ contínuas. Então [(h ○ f ) p ]∗ =

(h p )∗ ○ ( f p )∗ . Demonstração.

Tomemos w p +B p (K) um elemento qualquer de H p (K). Então

[(h ○ f ) p ]∗ (w p + B p (K)) = (h ○ f ) p (w p ) + B p (M) = h p ( f p (w p )) + B p (M) = (h p )∗ ( f p (w p ) + B p (L)) = (h p )∗ ○ ( f p )∗ (w p + B p (K)).

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Lema 4.49.

Seja id ∶ ∣K∣ → ∣K∣ a função identidade de ∣K∣. Então [(id∣K∣ ) p ]∗ =

id H p (K) . Demonstração.

Tomemos w p +B p (K) um elemento qualquer de H p (K). Então

[(id∣K∣ ) p ]∗ (w p + B p (K)) = (id∣K∣ ) p (w p ) + B p (K) = = w p + B p (K) = id H p (K) (w p + B p (K)). O teorema abaixo nos permite observar que o grupo de homologia simplicial é um invariante topológico. Teorema 4.50.

Se ∣K∣ e ∣L∣ são homeomorfos, então H p (K) e H p (L) são iso-

morfos, para cada p. Demonstração.

Sejam f ∶ ∣K∣ → ∣L∣ um homeomorfismo e f −1 ∶ ∣L∣ → ∣K∣ seu

inverso. Assim f e f −1 são contínuas, f ○ f −1 = id∣L∣ e f −1 ○ f = id∣K∣ . Observemos que ((id∣L∣ ) p )∗ = id H p (L) pois ((id∣L∣ ) p )∗ (w p + B p (L)) = (id∣L∣ ) p (w p ) + B p (L) = w p + B p (L). De modo análogo ((id∣K∣ ) p )∗ = id H p (K) . Pelo Lema 4.48, temos ( f p )∗ (( f −1 ) p )∗ = (( f ○ f −1 ) p )∗ = ((id∣L∣ ) p )∗ = id H p (L) , (( f −1 ) p )∗ ( f p )∗ = (( f −1 ○ f ) p )∗ = ((id∣K∣ ) p )∗ = id H p (K) . Portanto, ( f p )∗ ∶ H p (K) → H p (L) é um isomorfismo. Teorema 4.51 (Teorema da Invariância da Dimensão).

Sejam m, n inteiros po-

sitivos. Se m ≠ n, então: a)

S m e S n não são homeomorfos.

Rm e Rn não são homeomorfos.

Demonstração.

(a) Suponha que S m e S n são homeomorfos. Então existe um

homeomorfismo f ∶ S m → S n , cuja induzida ( f p )∗ ∶ H p (S m ) → H p (S n ) é

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Homologia simplicial

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um isomorfismo, para todo p. Suponha que m > n. Pela Proposição 4.36, H m (S m ) ≅ Z. Por outro lado H m (S n ) ≅ 0 pois m > n. O caso m < n é análogo. (b) Seja m ≠ n e suponha que Rm e Rn são homeomorfos. Então a compactificação por um ponto (vide [8, p. 183]) de Rm e Rn respectivamente são homeomorfos. Logo S m e S n são homeomorfos, com m ≠ n, o que é um absurdo pelo item (a). Definição 4.52.

Seja f ∶ S n → S n , n ≥ 1, uma aplicação contínua. Considere-

mos uma triangulação orientável K de S n e ϕ ∶ H n (S n ) → Z um isomorfismo. Seja [S n ] a classe de H n (S n ) tal que ϕ([S n ]) = 1. Essa classe é chamada de classe fundamental de S n . O inteiro p tal que f∗ ([S n ]) = p[S n ] é chamado o grau de f , denotado por deg( f ). O próximo teorema usa técnicas avançadas na demonstração que não serão vistas neste texto. O leitor interessado poderá consultar [4, II.8.4]. Teorema 4.53 (Teorema de Classificação de Hopf).

Duas aplicações f e д de

S em S são homotópicas se, e somente se, têm o mesmo grau. n

Proposição 4.54.

Se f , д ∶ S n → S n são funções contínuas e h ∶ S n → S n é um

homeomorfismo então: a)

deg( f ○ д) = deg( f ) deg(д).

deg(h) = ±1.

Demonstração.

(a) Sejam K uma triangulação orientável de S n e ϕ ∶ H n (S n ) →

Z um isomorfismo. Sejam ( f n )∗ ∶ H n (S n ) → H n (S n ) e (дn )∗ ∶ H n (S n ) → H n (S n ) os homomorfismos induzidos de f e д, respectivamente. Então existem p, q inteiros tais que ( f n )∗ ([S n ]) = p[S n ] e (дn )∗ ([S n ]) = q[S n ] onde p = deg( f ) e q = deg(д). Assim, (( f ○ д)n )∗ ([S n ]) = ( f n )∗ ○ (дn )∗ ([S n ]) = ( f n )∗ ((дn )∗ ([S n ])) = ( f n )∗ (q[S n ]) = q( f n )∗ ([S n ]) = qp[S n ].

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Portanto deg( f ○ д) = pq = deg( f ) deg(д). (b) Como h ∶ S n → S n é um homeomorfismo, então h○h −1 = id S n . Portanto deg(h) deg(h−1 ) = deg(h ○ h−1 ) = deg(id S n ) = 1. Observando que o grau de h é um número inteiro, segue o resultado.

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5 CARACTERÍSTICA DE EULER

O invariante topológico que apresentaremos a seguir, a característica de Euler, destaca-se pelo fato de ser apenas um número com o qual obtemos o importante teorema de classificação de superfícies compactas. Para maiores detalhes veja [3]. Definição 5.1.

Seja P um poliedro associado a um complexo simplicial K de

dimensão 3. Denotemos por v, o número de vértices; f o número de faces e e o número de arestas do poliedro. O número χ(P) = v − e + f é chamado característica de Euler de P. Em 1750, Euler enviou uma carta a Goldbach onde falava que χ = 2, para qualquer poliedro. Em 1813, Lhuilier chamou atenção para poliedros do tipo abaixo. Na realidade, na demonstração de Euler ele trabalha apenas com poliedros convexos. Exemplo 5.2.

O número de vértices, arestas, faces e a característica de Euler

dos seguintes poliedros

são, respectivamente, v = 16,

e = 24,

f = 12,

χ = 4,

v = 20,

e = 40,

f = 20,

χ = 0,

v = 6,

e = 12,

f = 8,

χ = 2.

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

O próximo passo é calcular a característica de Euler de superfícies. Como a fórmula depende de vértices, arestas e faces, a maneira de efetuar tal cálculo é considerar uma triangulação da superfície e aplicar a fórmula. Exemplo 5.3.

A esfera S 2 com a triangulação

possui χ(S 2 ) = 4 − 6 + 4 = 2. Exemplo 5.4.

O toro T 2 com a triangulação

possui χ(T 2 ) = 9 − 27 + 18 = 0. Exemplo 5.5.

A garrafa de Klein KB com a triangulação

possui χ(KB) = 9 − 27 + 18 = 0. Exemplo 5.6.

O plano projetivo P 2 possui χ(P 2 ) = 6 − 15 + 10 = 1, com a

triangulação abaixo: a3

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Característica de Euler

i 65

A característica de Euler não depende da triangulação. Depende apenas da superfície. Este resultado pode ser provado usando a teoria de homologia. Por enquanto, vamos dar alguns exemplos ilustrando o fato. a

b a

(a) Esfera

Exemplo 5.7.

(b) Toro

Tomemos a esfera S 2 com triangulação K (figura (a)).

Suponhamos que a triangulação tenha n linhas verticais e m linhas horizontais. Então temos que v = 2 + mn. Há 3 tipos de arestas: horizontais, verticais e oblíquas. Temos (n + 1)m horizontais, mn verticais e (n − 1)m oblíquas, totalizando ((n + 1) + (n − 1))m + mn = 3mn. Em cada “fatia” há 2 + 2(n − 1) faces. Como existem m “fatias”, segue que

f = (2 + 2(n − 1))m = 2mn e portanto χ(S 2 ) = 2. Exemplo 5.8.

Consideremos o toro T 2 com triangulação K (figura (b)).

Suponhamos que a triangulação tenha n linhas verticais e m linhas horizontais. Então temos que v = mn, e = 3mn e f = 2mn. Logo, χ(T 2 ) = 0. Exemplo 5.9.

Seja P 2 o plano projetivo com triangulação K (figura (c)).

Suponhamos que a triangulação tenha m círculos concêntricos no interior de P 2 e n diâmetros, de modo que v = 2mn − n + 1, e = 3n(2m − 1) e f = 2n(2m − 1). Assim, χ(P 2 ) = 2mn − n + 1 − 3n(2m − 1) + 2n(2m − 1) = 2mn − n + 1 + n − 2mn = 1. A partir das superfícies conhecidas, vamos efetuar uma operação, chamada soma conexa, para obter novas superfícies.

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Intuitivamente, a soma conexa de duas superfícies S1 e S2 é a superfície S1 #S2 obtida retirando-se o interior de dois discos, um em cada superfície, e identificando-os pelos bordos. Formalmente temos: Sejam S1 e S2 duas superfícies, compactas e sem bordo. Es-

Definição 5.10.

colhemos D1 ⊂ S1 e D2 ⊂ S2 , subconjuntos homeomorfos ao disco D 2 e sejam h1 ∶ D1 → D2 e h2 ∶ D2 → D 2 , os respectivos homeomorfismos.

Definimos a soma conexa de S1 e S2 , e denotamos por S1 #S2 , sendo o conjunto

(S1 − intD1 ) ∪ (S2 − intD2 ) , ∼

onde a relação x ∼ y é dada por: a)

se x, y estão no complementar de ∂D1 ∪ ∂D2 então x ∼ y ⇔ x = y;

caso contrário, x ∼ y ⇔ h1 (x) = h2 (y). É possível mostrar que a soma conexa não depende da escolha dos subcon-

juntos D1 e D2 e que a soma conexa é uma superfície. Lembramos que consideramos em S1 #S2 a topologia quociente. Exemplo 5.11.

Denotando S1 = S2 = T 2 então S1 #S2 = T 2 #T 2 é dada pela

figura (c) abaixo:

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Característica de Euler

Exemplo 5.12.

i 67

P 2 #P 2 = KB. Lembramos que P 2 pode ser obtido de um disco

D 2 com os lados identificados, como na Figura 5.1(a). Retiramos D1 ⊂ D2 e D2 ⊂ D 2 , subconjuntos homeomorfos ao disco D 2 , como na Figura 5.1(b), para obter

a Figura 5.1(c). Identificando-se os lados sem seta da Figura 5.1(c) obtemos a Figura 5.1(d). Tomando a diagonal como na Figura 5.1(e) e separando as figuras ao longo dessa diagonal obtemos a Figura 5.1(f). Dispondo a Figura 5.1(f) como na Figura 5.1(g) e identificando os lados com uma seta da Figura 5.1(g) obtemos a Figura 5.1(h) que pode ser representada como a Figura 5.1(i) que descreve a garrafa de Klein KB. Figura 5.1: Garrafa de Klein como soma conexa de dois planos projetivos

(a)

(b)

(c)

(f)

(d)

(g)

Proposição 5.13.

(e)

(h)

(i)

Sejam S1 e S2 duas superfícies fechadas (compactas e sem

bordo). Então χ(S1 #S2 ) = χ(S1 ) + χ(S2 ) − 2. Demonstração.

Tomemos K1 e K2 triangulações de S1 e S2 , respectivamente.

Sejam χ(S1 ) = v1 − e1 + f1 e χ(S2 ) = v2 − e2 + f2 . K1′ = K1 − ⟨a0 a1 a2 ⟩ é uma

triangulação de S1 −intD 2 e K2′ = K2 −⟨b0 b1 b2 ⟩ é uma triangulação de S2 −intD 2 .

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

K1′ ∪ K2′ , onde a i ∼ b i , i = 0, 1, 2 e ⟨a i a j ⟩ ∼ ⟨b i b j ⟩, i, j = ∼ 0, 1, 2. Como K é uma triangulação para S1 #S2 , então Tomemos K =

χ(S1 #S2 ) = (v1 + v2 − 3) − (e1 + e2 − 3) + (f1 + f2 − 2) = χ(S1 ) + χ(S2 ) − 2. Para calcularmos a característica de Euler de superfícies fechadas usaremos o seguinte resultado que classifica as superfícies por homeomorfismos. Uma prova desse resultado pode ser encontrada em [6]. Teorema 5.14.

Toda superfície fechada S é homeomorfa à esfera ou à soma

conexa de toros ou à soma conexa de planos projetivos, sendo a esfera e a soma conexa de toros orientáveis e a soma conexa de planos projetivos não orientável. Teorema 5.15.

A característica de Euler da esfera é 2, da soma conexa de n-

toros é 2 − 2n, da soma conexa de n-planos projetivos é 2 − n, da soma de um plano projetivo e n-toros é 1 − 2n e, por fim, da soma conexa de uma garrafa de Klein e n-toros é −2n. Demonstração.

Já vimos que χ(S 2 ) = 2. Consideremos S = T 2 #⋯#T 2 a soma

conexa de n-toros, n ≥ 1. Se n = 1 então χ(S) = χ(T 2 ) = 2 − 2(1) = 0. Supo-

nhamos que a afirmação é válida para um certo n e seja S = T 2 #⋯#T 2 a soma

conexa de (n + 1)-toros, que pode ser vista como S = (T 2 #⋯#T 2 )#T 2 , a soma conexa de n-toros e um toro. Logo χ(S) = χ((T 2 #⋯#T 2 )#T 2 ) = χ(T 2 #⋯#T 2 ) + χ(T 2 ) − 2 = 2 − 2n + 0 − 2 = −2n = 2 − 2(n + 1). Portanto, por indução finita, a característica de Euler da soma conexa de ntoros é χ(T 2 #⋯#T 2 ) = 2 − 2n, ∀n ∈ N. Lembrando que χ(P 2 ) = 1 e χ(KB) = 0 e procedendo por indução finita, como fizemos para a soma conexa de n-toros, obtemos os resultados desejados. Nosso próximo passo é provar um Teorema de Classificação de superfícies fechadas via característica de Euler.

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Característica de Euler

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Teorema 5.16 (classificação de superfícies fechadas via característica de Euler).

Sejam S1 e S2 duas superfícies fechadas. Então S1 é homeomorfa a S2 se, e

somente se, χ(S1 ) = χ(S2 ) e ambas são orientáveis ou ambas são não orientáveis. Sejam S1 e S2 superfícies fechadas, ambas orientáveis, tais que

Demonstração.

χ(S1 ) = χ(S2 ). Desta forma, considere os casos: S1 = T 2 #⋯#T 2 é a soma conexa

de n-toros ou S1 = S 2 e S2 = T 2 #⋯#T 2 é a soma conexa de n-toros ou S2 = S 2 . Se S1 ≠ S2 então i)

se uma delas é a esfera, por exemplo, S1 = S 2 então S2 = T 2 #⋯#T 2 é a soma conexa de n-toros. Mas χ(S1 ) = χ(S2 ). Logo 2 = 2 − 2n o que implica n = 0. Absurdo.

ii)

se uma delas é a soma conexa de n-toros, S1 = T 2 #⋯#T 2 então S2 = T 2 #⋯#T 2 é a soma conexa de m-toros, com m ≠ n. Ora, se χ(S1 ) = χ(S2 )

então 2 − 2n = 2 − 2m, o que implica m = n. Contradição. Sejam S1 e S2 superfícies fechadas, ambas não orientáveis, tais que χ(S1 ) = χ(S2 ). O resultado segue analogamente observando apenas que, nesse caso, as

superfícies devem ser S1 = P 2 #⋯#P 2 a soma conexa de n-planos projetivos e S2 = P 2 #⋯#P 2 a soma conexa de n-planos projetivos.

Definição 5.17.

Seja K um complexo orientado. Uma família {z 1p , . . . , z rp } de

p-ciclos é linearmente independente em relação à homologia, ou linearmente independente mod B p (K), se sempre que ∑ri=1 дi z ip ∈ B p (K) implicar д1 = ⋯ = дr = 0. O p-ésimo número de Betti é o maior inteiro r para o qual existem r

p-ciclos linearmente independentes mod B p (K). Notação: R p (K) é o p-ésimo número de Betti de K. Observação.

Para o próximo teorema, consideraremos os grupos de homolo-

gia com coeficientes em Q. A razão disso é que os grupos de homologia com coeficientes em Q são espaços vetoriais sobre Q. É possível mostrar que R p (K) não se altera com a mudança de coeficientes. (veja [1, p. 26])

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Teorema 5.18 (de Euler–Poincaré).

Seja K um complexo orientado de dimen-

são n e para p = 0, . . . , n seja α p o número de p-simplexos de K. Então: n

p=0

p p ∑ (−1) α p = ∑ (−1) R p (K).

Demonstração.

Para simplificar a notação usaremos B p = B p (K), C p = C p (K)

e Z p = Z p (K), que são Q-espaços vetoriais. ∗

Seja {d pi } um conjunto maximal de p-cadeias tais que nenhuma combinação própria dos d pi ’s é um ciclo. Seja D p o subespaço de C p gerado por esses vetores. Então D p ∩ Z p = {0}.

Além disso D p + Z p = C p , logo C p = D p ⊕ Z p . Assim vale a seguinte relação: α p = dim C p = dim D p + dim Z p , logo dim Z p = α p − dim D p , p = 1, . . . , n. i ). Afirmamos que {b ip } é uma base para Para p = 0, . . . , n − 1, seja b ip = ∂(d p+1 B p . Seja v ∈ B p , ou seja, existe uma (p + 1)-cadeia c p+1 tal que ∂(c p+1 ) = v.

Mas c p+1 ∈ C p+1 e então notamos que c p+1 = z p+1 + d p+1 . Assim v = ∂(c p+1 ) = ∂(z p+1 ) + ∂(d p+1 ) = ∂(d p+1 ). Portanto, {b ip } gera B p . Mostremos agora que {b ip } é linearmente independente. i i ) então ∑i α i ∂(d p+1 ) = 0, o Suponhamos ∑i α i b ip = 0. Como b ip = ∂(d p+1

i i i é um ciclo. Por (∗), ∑i α i d p+1 é ) = 0. Logo ∑i α i d p+1 que implica ∂(∑i α i d p+1

uma combinação linear trivial, logo os α i ’s são nulos. Seja {z ip }, i = 1, . . . , R p um conjunto maximal de p-ciclos linearmente independentes mod B p . Estes ciclos geram um subespaço G p de Z p e Z p = G p ⊕ B p , p = 0, . . . , n − 1. Observemos que B p ⊂ Z p . Os ciclos que não são bordos pertencem a G p , pois G p é gerado por {z ip }, que são p-ciclos linearmente independentes mod B p . Um elemento v ∈ G p é da forma v = ∑i дi z ip . Logo se v ∈ B p , então дi = 0 e v = 0. Portanto segue o resultado. Assim, dim Z p = dim G p + dim B p = R p + dim B p . Então R p = dim Z p − dim B p = α p − dim D p − dim B p , 1 ≤ p ≤ n + 1. Observe que B p é gerado pelos bordos das cadeias elementares ∂(1σi ) = p ∑ η i j (p)σ j onde (η i j (p)) = η(p) é a p-ésima matriz de incidência, isto é, p+1

η i j (p) = [σi

p+1

, σ j ]. Então dim B p = posto η(p). p

i i

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Característica de Euler

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i Como o número de d p+1 é o mesmo que o de b ip , então dim D p+1 = dim B p =

posto η(p), p = 0, . . . , n − 1. Então

R p = α p − dim D p − dim B p = α p − posto η(p − 1) − posto η(p), 1 ≤ p ≤ n − 1. Observe que R0 = dim Z0 − dim B0 = α0 − posto η(0) e R n = dim Z n = α n − dim D n = α n − posto η(n − 1). Assim, n

p n−1 n ∑ (−1) R p (K) = R0 (K) − R1 (K) + ⋯ + (−1) R n−1 (K) + (−1) R n (K) = p=0

α0 −posto η(0)−(α1 −posto η(0)−posto η(1))+(α2 −posto η(1)−posto η(2)) −⋯+(−1)n−1 (α n−1 −posto η(n−2)−posto η(n−1))+(−1)n (α n −posto η(n−1)) n

= α0 − α1 + ⋯ + (−1)n−1 α n−1 + (−1)n α n = ∑ (−1) p α p , p=0

o que finaliza a prova do teorema. Definição 5.19.

Se K é um complexo de dimensão n, o número n

χ(K) = ∑ (−1) p R p (K) p=0

é chamado a característica de Euler de K. Usando os grupos de homologia com coeficientes em Z de algumas superfícies, apresentadas no capítulo anterior, e o Teorema dos Coeficientes Universais, que assumiremos conhecido (veja [3, p. 195]), vamos calcular as características de Euler usando o número de Betti. 1.

A esfera S 2 tem característica de Euler χ(S 2 ) = 2, pois seus grupos de homo-

logia são H0 (S 2 , Q) = Q,

H1 (S 2 , Q) = 0,

H2 (S 2 , Q) = Q.

i i

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

O toro T 2 tem característica de Euler χ(T 2 ) = 0, já que seus grupos de

homologia são H0 (T 2 , Q) = Q, 3.

H1 (T 2 , Q) = Q ⊕ Q,

H2 (T 2 , Q) = Q.

Por fim, para o plano projetivo P 2 temos χ(P 2 ) = 1, pois H0 (P 2 , Q) = Q,

Observação.

H1 (P 2 , Q) = 0,

H2 (P 2 , Q) = 0.

No caso de uma superfície S, usando a definição acima, temos

χ(S) = ∑2p=0 (−1) p R p . Pelo Teorema de que χ(S) = ∑2p=0 (−1) p α p , onde α p é o

Euler–Poincaré (Teorema 5.18), temos número de p-simplexos, ou seja, α0 é

o número de vértices, α1 é o número de arestas e α2 é o número de triângulos. Substituindo, temos que χ(S) = (−1)0 α0 + (−1)1 α1 + (−1)2 α2 = v − e + f. Lembrando que se S1 e S2 são homeomorfas, então os grupos de homologias H i (S1 ) e H i (S2 ) são isomorfos, para i = 0, 1, 2, segue que χ(S1 ) = χ(S2 ), demonstrando então que a característica de Euler é um invariante topológico.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1]

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[2]

GIBLIN, P. J. Graphs, Surfaces and Homology. Chapman and Hall Ltd, London, 1981.

[3]

HATCHER, A. Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

[4]

HU, S-T. Homotopy theory. Academic Press Inc., NY, 1959.

[5]

LIMA, E. L. Espaços Métricos. Projeto Euclides, IMPA, 2009.

[6]

MASSEY, W. S. Algebraic Topology: An Introduction. Harcourt Brace & World, Inc., 1967.

[7] [8]

MUNKRES, J. R. Topology: A First Course. Prentice Hall, Inc., 1975. . Elements of Algebraic Topology. The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc, 1984.

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ÍNDICE REMISSIVO

denso, 7

aplicação

fechado, 6

de cadeias, 50

fecho de um, 7, 13

simplicial, 51

geom. independente, 29 continuidade, 7

baricentro, 52

bola aberta, 6

esfera, 9, 31, 44, 58

bordo, 36

espaço

∂, 35

conexo, 11 por caminhos, 7, 23

métrico, 5

cadeia(s), 34 aplicação de, 50 elementar(es), 35

topológico, 6 esqueleto, 31

caminho, 7

característica de Euler, 57, 62, 65

face, 30

ciclo(s), 36

faixa de Möebius, 40, 41, 43

homólogos, 36, 44

fecho, 7, 13

circunferência, 5, 8 cisão, 11

de um simplexo, 31 função contínua, 7

classe fundamental, 55 complexo simplicial, 30

esqueleto, 31

garrafa de Klein, 39, 58

orientado, 32

grau, 55

conexão, 11 conjunto aberto, 6

grupo de cadeias, 35 de homologia, 37, 49

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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

simplicial, 49 fundamental, 17, 20

simplexo, 29 soma conexa, 60

subdivisão baricêntrica, 52

homeomorfismo, 7

superfície, 40

homologia

fechada, 61

grupo de, 37, 49

soma conexa, 60

simplicial, 29, 49 homomorfismo induzido, 26, 49

Teorema da Invar. da Dimensão, 54

homotopia, 18, 53

de classificação L

de Hopf, 55

laço(s), 17

de superfícies fechadas, 62

homotópicos, 18

de Euler–Poincaré, 64

Lema da Colagem, 7

do Valor Intermediário, 11 topologia

induzida, 6, 11

métrica, 5 do máximo, 5

quociente, 60 toro, 39, 41, 58 triangulação, 31

número de Betti, 63 de incidência, 33, 47

variedade, 39

operador bordo ∂, 35 orientação, 32 P

plano projetivo, 39, 42, 47, 58 projeção estereográfica, 9 pseudovariedade, 39 orientável, 41

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