UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO INTEGRAL
SERIE 1
1. − Mediante Sumas de Riemann,calcular :
∫ ∫ ∫
4
a)
4 dx
b)
0
∫
3
0
2 x , 0 ≤ x ≤1 f ( x ) dx ,en donde f ( x ) = 2 , 1< x ≤ 3
3
c)
( 2 x − 1) dx
∫ ∫
( 2 x 2 − x )dx
d)
1 1
e)
2
( x + 1)3 dx
f)
−1
−1 b
( a 2 − x 2 )dx ,b ∈ R +
0
a ) 16 b) 5
Re spuestas : 9 d) 2 e) 4
c) 6
b3 f ) a b− 3 2
2. − Sean las funciones f y g ,delas cuales se sabe que :
∫ ∫
4
f ( x )dx = 3
,
2 6
g( x )dx = 10
,
0
∫ ∫
0
f ( x )dx = −2 2 6
g( x )dx = 4 4
Deter min ar : a)
∫
2
f ( x )dx 0
b)
∫
4
g( x )dx 0
c)
∫
4
[ 2 f ( x ) − 3g( x )]dx 0
Re spuestas : b) 6 c) −8
a) 2
3. − Sea la función : f (x) = 4− x Obtener : a ) El valor promediode f en el intervalo [ −4 ,1] b) El valor o los valores de c ∈ [ −4,1] cuya existencia garantiza el Teorema delValor Mediodel Cálculo Integral. Re spuestas : 23 −17 a) b) c = 10 10
4. − Seala función : f ( x ) = x −1 Calcular el valor mediodela función f para el int ervalo [ −1,1],y obtener el valor de c ∈ [ −1,1] tal que satisface el Teorema delValor Mediodel Cálculo Integral. Re spuestas : f (c) =1 , c = 0 5. − Si las funciones : f ( x ) = a csc 2 x
,
g( x ) =
−1 ( x − π )2
tienen la misma ordenada media en el intervalo [ − determinar el valor de a.
π π
, ], 4 4
6. − Por medio del Teorema Fundamental del Cálculo,obtener : a)
∫
10
dx 0
b)
∫
2
( 3 − 2 x )dx 0
c)
∫
2
( 6 x 2 − 4 x + 3 )dx −1
Re spuestas : a )10 b) 2 c ) 21
7. − Seala función f definida por : f ( x ) = 2senx cos x comprobar que una de las antiderivadas de f es : 1 G( x ) = 3 − cos 2 x 2 Re spuesta : 1 F ( x ) = − cos 2 x + c , por comparación se comprueba. 2
∫
8. − Si f ( x ) = ax − 3 y
2
f ( x )dx = −6 , calcular el valor de a. −1
Re spuesta : a=2
9. − Dada la función G defnida por : G( x ) =
∫
x
−x4
t2 dt t 2 +1
Obtener G'( x ). Re spuesta : G'( x ) =
4 x11 x2 + x8 + 1 x 2 + 1
10. − Calcular :
∫ ∫
2π
a)
cos x dx
b)
0
∫
9
1
4t 2 − t 2 t + 1 dt t2
2
x 2 − 1 si − 2 ≤ x < 1 c) f ( x )dx, donde f ( x ) = 2 3 x( x − 1) si 1≤ x ≤ 2 −2
Re spuestas : a) 4
b)
140 9
c)
81 8
11. − Efectuar : a)
d) g)
∫ ∫ ∫
5 dx x (1 + x ) 5
1+ x dx x
(
dx
x 1+ x
)
∫ ∫ ( ∫
b)
e)
h)
3
3
x
(
dx x+6x
)
cos x dx 1 − cos 2 x
∫ ∫
c)
1 + sen 2 x ) dx sec 2 x
( x )+C 1 c ) tan ( 8x ) + C 4 e ) − csc x + C −1 g) +C 2 1+ x
(
)
8x cos 2 8x
4
b) 6 6 x − 6 angtan
(
)
( x)+C 6
6 55 1+ x + C 3 f ) − cos(sec x ) + C 1 5 h ) (1 + sen 2 x ) + C 10
d)
)
f ) sec x tan xsen(sec x )dx
Re spuestas :
a ) 10angtan
(
dx