UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO INTEGRAL
SERIE 3
Mediante la aplicación del método correspondiente,obtener el resultado de las siguientes int egrales : 1.
∫
2 3
cos x 8 3
dx
sen x 5
3 − cot 3 x + C 5
Solución :
2.
∫
3 2 ⎛ 2 1⎞ ang tan ⎜x + ⎟+C 3 2⎠ 3⎝
Solución :
3.
x dx x4 + x2 +1
∫
dx 2
⎛ 1 ⎞ ⎜ x ⎟ −1 ⎝e ⎠
( )
Solución : − ang sec e − x + C
4.
∫
4 senx cos x dx sen 2 x − cos 2 x
Solución : ln sen 2 x − cos 2 x + C
Efectuar : 5.
∫
sen 2 x cos
6.
∫
sen 4 3x dx
Solución :
7.
x dx 3
3 1 1 x − sen 6 x + sen12 x + C 8 12 96
∫
sen 4 x cos 5 x dx
sen 5 x 2 sen 9 x 7 − sen x + +C Solución : 5 7 9
8.
∫
sec h 3 x tanh x dx
9.
∫
4 x ( ang sec x ) dx
Solución : 2 x 2 ang sec x − 2 x 2 − 1 + C
10.
∫
x3 +1 dx x 2 − x3
Solución : − x + ln x − = −x −
1 − 2 ln ( x − 1) + C x
x 1 + ln +C 2 x ( x − 1)
11.
∫
dx x ln x
Solución : ln [ln x ] + C
12.
∫
dx x 2 −1
)
(
Solución : ln x + x 2 − 1 + C
13.
∫
2x dx x + x +1 2
1⎞ ⎛ 2⎜ x + ⎟ 2 2⎠ Solución : ln x 2 + x + 1 − angtan ⎝ +C 3 3
(
14.
)
∫
9 − x2 dx x2
Solución : angcos
15.
∫
(x
2
9 − x2 x − +C 3 x
)
− 1 e x dx
Solución : x 2e x − 2 xe x + e x + C
16.
∫(
x ex x + 1)
2
dx
x ex + ex + C Solución : − x +1
17.
18.
2
∫
x2 + x +1 dx 3 x +1
33 6 3 6 8 5 2 ( x + 1) − 3 ( x + 1) + 3 ( x + 1) + 8 5 2 7
19.
Solución :
)
x2 +1
angtan( x ) x + 2 +C 2 2x + 2
Solución :
Solución :
∫(
dx
12 ⎛ ⎜1 + x 13 ⎜⎝
1 4
∫
3
13 3
6
( x + 1)
7
+C
1 + 4 x dx
⎞ 18 ⎛ ⎟⎟ − ⎜⎜ 1 + x 5⎝ ⎠
1 4
10 3
⎞ 36 ⎛ ⎟⎟ + ⎜⎜1 + x 7⎝ ⎠
1 4
7 3
⎞ ⎛ ⎟⎟ − 3 ⎜⎜ 1 + x ⎠ ⎝
1 4
4 3
⎞ ⎟⎟ + C ⎠
20.Calcular el área de la región limitada por las gráficas de ecuaciones : a) f ( x ) = 3( x 3 − x ) y g( x ) = 0 3 Solución : u 2 2
b) y = e x
,
y = e− x
y x =1
⎡1 ⎤ Solución : ⎢ e 2 + 1 − 2 ⎥ u 2 ⎣e ⎦
(
)
y2 c) x = y x = y+4 2 Solución : 18 u 2
21.Calcular el área de la región limitada por la elipse de ecuación : 4x 2 + y2 = 4 Solución : 2π u 2 22.Calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje de las abscisas la región limitada por las gráficas : a)
y = x2 + 1 , y = 0 , x = 0 y x = 1 Solución :
b)
c)
28 π u3 15
y = e− x , y = 0 , x = 0 y x = 1 2 3
y = 0 , x = 5 y x = y +1 Solución : 64π u3
23.Por medio de integrales calcular el volumen de una esfera de radio r = 2 cm. Solución : V =
32 π u3 3
24.Calcular el área de la región limitada por las graficas de ecuación ⎡ π⎤ y = sec x y y = cos x , en el intervalo ⎢0, ⎥ . ⎣ 4⎦ 1 Solución : A = ln 2 + 1 − u2 2 25.Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer
(
)
girar la region limitada por las gráficas de y = x 2 y de y = − x 2 + 1, alrededor del eje de las abscisas. Solución : V =
2 2 π u3 3
x3 1 26.Obtener lalongitud de la curva de ecuación y = + , en el 6 2x intervalo [1, 3]. Solución : L =
14 u 3
27.Por medio de integrales calcular el perímetro del círculo definido por la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 − 9 = 0 . 28.Calcular la longitud de la curva de ecuación y = ln cos x , desde ⎛ 1 ⎞ el punto cuya abscisa es x = 0 , hasta el punto cuya ordenada es y = ln ⎜ ⎟. ⎝ 2⎠ Solución : L = ln
(
)
2 +1 u
29.Calcular el volumen del sólido que se genera al hacer girar el círculo limitado por la cincunferencia de ecuacion ( x − 1) + ( y − 1) = 1 , alrededor 2
del eje de las ordenadas.
2