FACULTAD DE INGENIERÍA COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL
EJERCICIOS DEL TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD SEMESTRE 2010-2 1.- Sin emplear la regla de L’Hôpital, calcular los siguientes límites a) lim
2x 2 − 3x − 4
x4 + 1 tanθ b) lim θ → π (θ − π ) sec θ x→∞
1011A4AE.C1E 2.- Calcular el valor de m y n tales que hagan que la función f sea continua
⎧ ⎪ ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
( x + 3) 2 − 1 x+2 4 − ( x − 2) 2
si
x<m
si
m≤ x≤n
si
x>n 1011A5AE.C1E
3.- Mediante el cálculo de los límites en el infinito y los límites infinitos determinar para la función g
g( x ) =
x ( x + 7)( x − 2)
a) Las asíntotas verticales de su gráfica b) Las asíntotas horizontales de su gráfica Bosquejar su gráfica 1011A6AE.C1E 4.- Sin emplear la regla de L’Hôpital, calcular los siguientes límites a)
lim
2+ x
2− x sen 4 x b) lim x→0 sen 2 x x →∞
101C4AE.C1E 5.- De la función
⎧ − ( x + 2) 2 si x ≤ −2 ⎪ ⎪x 5 f ( x) = ⎨ + si − 2 < x ≤ 1 ⎪3 3 2 si x > 1 ⎪ − ( x − 1) ⎩
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determinar en cuál o cuales de los siguientes intervalos es continua a) ( - 5, -2 ) b) [ - 2, 1 ] c) [ 0, 2 ) 1011C5AE.C1E 6.- Escribir en el paréntesis de la derecha una V si la aseveración correspondiente es verdadera y una F si es falsa a) Se dice que una función f es continua en x = a si lim f ( x ) = x . . . . . . . . . . . . ( ) x→a
b) Si y = f ( x ), entonces
Δy
se puede calcular por medio de la expresión
Δy = f ( x + Δx ) - f ( x ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .( ) c) La desigualdad | x - a | < δ representa un entorno reducido de a de radio d) Si se cumple que lim f ( x ) = k
δ ( )
entonces la gráfica de la función tiene una
x→∞
asíntota vertical en x = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( ) e) Para y = f ( x ), si se cumple que
lim Δy = 0 , entonces la función f es continua
Δx → 0
para un cierto valor de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) 1011C6AD.C1E 7.- Sin emplear la regla de L’Hôpital, calcular los siguientes límites
1 − cos x + 2 x 2 a) lim x→ 0 x sen x b) lim x→ 0
x+1−1 3
x+1−1 1003A3AE.C1E
8.- De la función
⎧ 2 ⎪ x −1 ⎪ f ( x) = ⎨ x + 4 ⎪ ⎪ 0 ⎩
si
x<2
si
2≤ x≤ 5
si
x>5
determinar en cuál o cuáles de los siguientes intervalos es continua a) ( 0 , 2 ) b) [ 0 , 2 ] 2 http://dcb.fi-c.unam.mx
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c) ( 2 , 5 ] d) [ 5 , 8 ) 1003A5AE.C1E
9.- Mediante el cálculo de los límites en el infinito y los límites infinitos determinar para la función f
4x 2 + 2 f ( x) = 2 x −4
a) Las asíntotas verticales de su gráfica b) Las asíntotas horizontales de su gráfica Bosquejar su gráfica 1003A6AE.C1E 10.- Sin emplear la regla de L’Hôpital, calcular los siguientes límites 4
a) lim
x2 − 3 − 1
x2 − 3 − 1 θ sec θ b) lim θ →0 tanθ x→ 2
1003C3AE.C1E
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