FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL SEMESTRE 2010-2
TEMA 4. LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES 1.- Sean
y = sen( t ) ; t =
p ; p = π 2 tan( q )
y
q=x+
π 4
; obtener
dy dx
x=0
2011A1AE.C1E
2.- En una alberca cuya geometría se muestra en la figura, se vierte agua a razón de 10
m3 min
¿Con qué rapidez crece el nivel del agua dentro de la alberca cuando la profundidad es de 2 m? 20 m
15 m
1.5 m
5m
2011A3AE.C1E
⎧x = t +3 ⎪ 3.-De la función dada en forma paramétrica ⎨ obtener la ecuación de la o las rectas ⎪y = t3 + 1 ⎩ tangentes a su gráfica que sean paralelas a la recta y =
3 x+3 4 2011A6AE.C1E
⎧⎪ x = angtan( t )
4.- De la expresión ⎨ 2 ⎪y = 1+ t
⎩
3.- Para la curva definida por el punto para el cual
x=4
y=
obtener
x +1 x −1
dy dx
obtener la ecuación de la recta tangente a la curva en
2003C3AE.C1E 4.- De un tinaco, cuya geometría se muestra en la figura se está extrayendo agua a razón de 500 litros por minuto ¿Con qué rapidez esta disminuyendo el nivel del agua dentro del tinaco en el momento que la altura del nivel es de 1 metro?
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2003C4AE.C1E 5.- Dada la expresión 3 cos ( x + 2
y ) = 2 demostrar que
dy =1 dx 2003A1AE.C1E
6.- Obtener la ecuación de las rectas tangentes a la curva de ecuación pasan por el punto
P ( 2,
x 2 − y + 3 x − 6 = 0 que
1) 2021A2AE.C1E
7.- La diagonal de un cuadrado aumenta a razón de 0.5 centímetros por minuto. Calcula con qué rapidez aumenta el área del cuadrado, cuando la diagonal mide 5 cm. 2003A3AE.C1E 8.- Calcular el ángulo de intersección entre las gráficas de las funciones:
1 g( x ) = − x
1
y
f ( x) = − x 3 2972B3AE.C1E
9.- Obtener
dy de: dx
sen 4 ( x + y ) + cos( x 2 y 3 ) = 7 2021B4AE.C1E
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10.- La cuerda de un papalote se desenrolla de manera uniforme a razón de 50 centímetros por segundo. Si a una altura de 40 metros el viento arrastra al papalote horizontalmente, ¿cuál es la rapidez con que se mueve el papalote cuando se han desenrollado 60 metros de cuerda? 2972B6AE.C1E 11.- Para la función y =
1 + cot x , calcular: cos x
y′ x = π
4
2981B1AE.C1E
12.- Obtener todos los puntos que pertenecen a la gráfica de la función recta tangente es paralela a la recta
f (x) =
− x + 2 y + 10 = 0 .
1+ x donde la 1− x 2981B2AE.C1E
13.- Calcular el o los ángulos de intersección entre las curvas de ecuaciones
x 2 + y2 = 7 y
y2 = x + 1 2981B4AE.C1E 14.- Una persona de 1.8 metros de estatura camina sobre un piso horizontal con una rapidez de 1.4 metros por segundo, hacia la ubicación de un poste cuya lámpara se localiza a 4 metros de altura. Calcular con qué rapidez está disminuyendo la longitud de la sombra que proyecta la persona sobre el piso cuando se encuentra a una distancia de 4 metros del poste.
15.- Calcular
Dx y y = π
para la función:
4
f :
⎧ t3 2 = + x t ⎪ 4 ⎨ ⎪ y = ang tan t ⎩
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2981B5AE.C1E 1
15.-Obtener la derivada de la función f ( x ) = x 3 por el método de los cuatro pasos 2981C1AE.C1E 16.- Calcular los valores de a, b y c tales que las curvas cuyas ecuaciones son y = x y y = cx
2
+ ax + b
− x , tengan la misma recta tangente en el punto (3,3). 2
2981C2AE.C1E 17.- Por medio de diferenciales calcular un valor aproximado de
tan 46° 2981C3AE.C1E
18.- En una fábrica de cemento desde una banda transportadora se vierte 1 m
3
min de cemento
formando un cono en el piso cuyo diámetro de la base es tres veces su altura ¿Con qué rapidez está creciendo la altura del cono cuando su altura es de 2 metros? 2981C4AE.C1E 19.- Calcular
Dx y y = π
para la función:
4
f :
⎧ t3 2 = + x t ⎪ 4 ⎨ ⎪ y = ang tan t ⎩
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