Questões Resolvidas (Plana e Espacial) Completo Ver 2 by Usadesign Usadesign

GEOMETRIA ESPACIAL 1 AUTOR: JERLEY DANTAS

VAMOS RESOLVER JUNTOS

Calculando e igualando os volumes, temos : 1.(ENEM) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema a seguir, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.

VCIL  R 2 H    12 2  15  2160 cm 3 4 R 3 3  VCIL

V ESF  V ESF

4 R 3  2160 3 2160  3 R3  4 3 R  1620 R  3 1620 fatorando 1620, temos 2 2.3 4.5  2 2.33.3.5 R  3 2 2 3 3. 3 . 5 R  33 60 ( letra d )

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de 4.200 3 m por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de: (A) 2 minutos. (D) 16 minutos.

(B) 5 minutos. (E) 21 minutos.

3.(ENEM) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.

VAMOS RESOLVER JUNTOS

Vcam  2000  20  17  68000m 3 de água t

68000  16 min ( letra d ) 4200

2.(ENEM) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Volume da esfera: Vesfera 

4R 3 . 3

Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a (A) 15 (B) 12 (C) 24 (D) 3 3 60 (E) 6

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo 

3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3 ;



2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3 ;

Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente, (A) 29,9 toneladas (B) 31,1 toneladas (C) 32,4 toneladas (D) 35,3 toneladas (E) 41,8 toneladas

5.(UEPA) A preocupação com a estética não é mais exclusivamente das mulheres. O mercado de cosméticos desenvolve pesquisas visando a novos produtos destinados ao público masculino. Um desses produtos é disponibilizado num recipiente cilíndrico reto de vidro conforme ilustrado na figura abaixo.

VAMOS RESOLVER JUNTOS

V1  3 2  12  0,06  3  19,44 m 3 V2  4 2  10  0,06  2  19,2 m 3 m , então m  dv v m1  0,77  19,44  14,9688 ton

Como d 

m1  0,78  19,2  14,976 ton mT  m1  m2 mT  14,9688  14,976 mT  29,9448 ton  29,9 ton ( letra a ) 4.(UEPA) Os profissionais da área de nutrição têm orientado a população de que uma boa alimentação deve ser balanceada em elementos nutritivos, ocasionando maior resistência física, vida mais saudável e mais longa aos cidadãos. Portanto, adquirir hábitos alimentares salutares, é hoje uma prática indispensável para aqueles que desejam obter uma boa saúde. Um desses hábitos, segundo os nutricionistas, é beber água, somente entre as refeições, 6 a 8 copos diariamente, jamais durante.

Sabendo-se que o diâmetro interno do recipiente é igual a 1,5H cm e que o volume da substância colocada nesse recipiente atinge a altura de

substância restante no recipiente caso seja consumido produto disponibilizado será de:

(A) 0,66  H cm 3 3 (B) 0,45  H cm 3 3 (C) 0,33  H cm 3 3 (D) 0,30  H cm 3 3 (E) 0,15  H cm 3

2 do produto, 3 1 1 então restaram , ou seja , VR  .VCIL 3 3 1 4 VR  . .R 2 . H 3 5 1 4 VR  . .(0,75 H ) 2 . H 3 5 1 3 4 VR   .( H ) 2 . H 3 4 5 1 9 4 V R   . .H 2 . H 3 16 5 9 VR  H3 60 VR  0,15 H 3 cm 3 (letra e) Se foram consumidos

6 cm

A quantidade aproximada de água, em litros, ingerida

do copo indicado na figura a seguir é: (A) 1,0 (B) 1,3 (C) 1,5 (D) 2,0 (E) 2,5 VAMOS RESOLVER JUNTOS

VCIL  R 2 .H  3,14  32  12  339,12cm 3 VCIL  339,12 ml de água ( copo cheio) 3  339,12 4  2034,72 ml

VING  8  VING

dividindo por 1000, temos : VING  2,03472  2 ( letra d )

cm. O volume de

VAMOS RESOLVER JUNTOS

12 cm

por um indivíduo que bebe diariamente 8 vezes os

4H 5

3 4

2 do 3

6. Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água

VAMOS RESOLVER JUNTOS

do copo recubra exatamente a esfera. Antes da esfera ser

VCONE  100000, como 1m 3  1000, então

colocada no copo, a altura de água era

VCONE  100m 3

 .R 2 .h

 100 3 3,15.5 2.h  100 3 100  3 h 3,15  25 12 h  3,809  3,81m ( letra e ) 3,15

(A) 27/8 cm (B) 19/6 cm (C) 18/5 cm (D) 10/3 cm (E) 7/2 cm

VAMOS RESOLVER JUNTOS

8. Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até que o nível da bebida fica exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: (A) 3/4

Antes do mergulho a altura de água no cilindro era h, então : (B) 1/2 (C) 2/3 V A  R 2 h    4 2  h  16h cm 3 Depois do mergulho a altura de água no cilindro é o diâmetro da esfera, ou seja, h  2R  2  2  4cm VD    4 2  4  64 cm 3

(D) 3/8 (E) 1/8 VAMOS RESOLVER JUNTOS Ilustrando a situação temos:

A diferença entre os volumes dos cilindros depois e antes do mergulho é igual ao volume da esfera. 4 4 32 VESF  R 3   .2 3  cm 3 3 3 3 VD  VA  VESF 32 3 64 16h 32   1 1 3 192  48h 32  3 3 192  48h  32  48h  32  192  48h  160 .(-1) 48h  160 160 10 h , simplificando por 16 o valor é h  cm ( letra d) 48 3 64  16h 

7.(UFPA) Projeta-se um reservatório para cem mil litros de água em forma de um cone reto. Se o raio da base é de 5 metros e se  =3,15, obtemos que sua altura será de aproximadamente (A) 3,50 metros. (B) 3,62 metros. (C) 3,90 metros. (D) 3,70 metros. (E) 3,81 metros.

Como os cones são semelhantes, então vamos calcular a razão de semelhança . altura do cone menor K altura do cone maior H H 1 1 k 2    H 2 H 2 V Como NC  K 3 , então VC VNC  1    VC  2  VNC 1  VC 8

1 V NC  .VC (letra e ) 8

09.(UFPA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando  =3,14, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente

10.(UEPA) Um médico prescreveu ao seu paciente um antibiótico, para ser tomado em doses, cuja medida está indicada no copinho da figura a seguir.

(A) 18 (B) 20 (C) 22 (D) 24 (E) 26 VAMOS RESOLVER JUNTOS Ilustrando a situação temos:

Sabendo–se que o vidro desse antibiótico tem volume de 51,6 ml e que o paciente o consumiu integralmente, o número de doses tomadas por ele foi: (A) (B) (C) (D) (E)

16 20 25 30 36 VAMOS RESOLVER JUNTOS Ilustrando a situação temos:

Fazendo a semelhança dos triângulo s, temos : 14 x  17 x  27 17 x  14.( x  27) 17 x  14 x  378 3 x  378 x  126 cm (altura do cone menor) 126  27  153 cm (altura do cone maior)

R 2 H  .17 2.153   14739 m 3 3  r 2 h  .14 2.126 VNC    8232 m 3 3 VT  VC  V NC VT  14739  8232 VT  6507 m  6507  3,14  20431,98m VT  20 ( letra b ) VC 

Fazendo a semelhança dos triângulo s, temos : r h  R H 1 h  1,6 1  h 1,6h  1  h 0,6h  1 1 h 0,6 10 5 h   cm (altura do cone menor) 6 3 5 8  1  cm (altura do cone maior) 3 3 8  .1,6 2 . R 2 H 3   .2,56. 8 . 1  20,48 ml VC   3 3 3 3 9 5  .1 2 .  r 2h 3   .1. 5 . 1  5 ml VNC   3 3 3 3 9 VT  VC  V NC 20,48 5  9 9 15,48 5,16 VT  ml  ml ( volume de uma dose) 9 3 V 51,6 3 n  T 0TAL   51,6.  10.3  30 ( letra d ) VDOSE 5,16 5,16 3 VT 

11. Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são

quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

1º) Sua base é um quadrado com 100 m de lado. 2º) Sua altura é de 100 m.

(A) 156 cm 3 (B) 189 cm 3 (C) 192 cm 3 (D) 216 cm 3 (E) 540 cm

Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 3 1000 m , os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de

VAMOS RESOLVER JUNTOS Ilustrando a situação temos:

(A) 40 anos (B) 50 anos (C) 60 anos (D) 90 anos (E) 150 anos VAMOS RESOLVER JUNTOS

AB .H 3 100.100.100 1000000 3 VPIR   m 3 3 vamos fazer uma regra de três para obter o tempo necessário para a construção VPIR 

VAMOS RESOLVER JUNTOS Aplicando semelhança, temos:

1000m 3 _______54 dias 1000000 3 m _______ x 3 x  18000dias 18000 x  50 anos( letra b) 360

Volume do tronco = Volume pirâmide – Volume da pirâmide nova pirâmide

VTRONCO  VP  VNP

Volume do tronco = Volume pirâmide maior – Volume da pirâmide menor

12.(ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

( letra b )

13. Ao assistir a uma reportagem na TV sobre o impacto do crescimento demográfico nos recursos hídricos, o Sr. José decidiu adotar medidas que auxiliam na preservação de recursos naturais. Ele construiu um reservatório para captação de água da chuva e também instalou um aquecedor solar em sua residência. O sistema de aquecimento solar é composto de coletores solares (placas) e um reservatório térmico chamado boiler, o qual tem o formato de um cilindro circular reto, como mostra a figura abaixo. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde,

14.(UEPA) A polpa de açaí pode ser utilizada na fabricação de sorvete, vinhos, licores, doces e etc. Uma das sobremesas prediletas dos paraenses é o sorvete de açaí, que em geral, é servido em bolas de formato esférico de 2cm de raio. Um dos tipos de cascalho (recipiente onde são colocadas essas bolas) tem formato de um cone circular reto de 4cm de raio e altura de 10cm. Qual a quantidade de bolas de sorvete necessárias para encher exatamente esse cascalho? Por sua vez, foi escolhido e construído um reservatório para a captação de água da chuva na forma de um prisma reto cuja base é um quadrado. Sabe-se que: 1 - o lado da base do prisma (que corresponde ao reservatório) mede 2 metros e o raio da base do cilindro (que corresponde ao boiler) mede 1/2 metro; 2 - a área lateral do prisma (reservatório) é igual ao dobro da área lateral do cilindro (boiler). A partir das considerações acima, relacione o volume do reservatório e o volume do boiler. Utilizando-o estabeleça o valor da razão (volume do reservatório) / (volume do boiler). (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12 VAMOS RESOLVER JUNTOS

ALP  2.h.4  8h (4 retângulos com base 2m e altura h) 1 ALC  2RH  2 . .H  H 2 (1 retângulo com base 2R e altura H) ALP  2. ALC 8h  2.H h 2  H 8 h   H 4 vamos agora calcular os volumes VPRI  A B .H  2.2.h  4h

H 1 VCIL  R .H   .  .H  4 2 VPRI 4h 4 16h   4h.  VCIL H H H 4 h  como  , então : H 4 VPRI 16h 16    .  4 ( letra a) VCIL H  4

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 VAMOS RESOLVER JUNTOS

VCONE 

 .R 2 .h

3  .4 2.10 VCONE  3 160 VCONE  cm 3 3 4 .R 3 4 .2 3 VESF   3 3 32 VESF  cm 3 3 160 VCONE 160 3 160 q  3  .   5 ( letra c) 32 VESF 3 32 32 3 15.(ENEM) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões: I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante. II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira. Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.

A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de

VAMOS RESOLVER JUNTOS

Como os cones são semelhantes, então vamos calcular a razão de semelhança . ( mesmo raciocínio da questão 8 ) altura do cone menor K altura do cone maior H H 1 1 k 2    H 2 H 2 V Como NC  K 3 , então VC

(A) 30% (B) 22% (C) 15% (D) 12% (E) 5% VAMOS RESOLVER JUNTOS

quando o barbante contorna a circunferê ncia do tronco seu comprimento é 2  R e na 2ª dobra este comprimento é dividido em 4 partes iguais, então : 2  R R  4 2 R R  2 .R 2 .h V MADEIRA  . .h  2 2 4 2 VCIL   .R .h

VNC  1    VC  2  VNC 1  VC 8

1 V NC  .VC 8 1 V NC  .1200  150 l ( letra e ) 8

V PERDA  VCIL  V MADEIRA

 2 .R 2 .h 4    .R 2 .h ( 1 - ) 4 3 ,14   .R 2 .h ( 1 ) 4 3,14   .R 2 .h ( 1 ) 4   .R 2 .h ( 1 - 0,785)

V PERDA   .R 2 .h  V PERDA V PERDA V PERDA V PERDA

V PERDA   .R 2 .h ( 0,215) V PERDA  0,215 .R 2 .h V PERDA  22% VCIL ( letra b )

17.(UEPA) Um grupo de jovens se reuniu para organizar uma festa. Ficou estabelecido que os homens e as mulheres levariam a bebida. Os homens chegaram na festa com suco de laranja, em um barril de formato cilíndrico reto de altura 60 cm e diâmetro da base 40 cm. Já as mulheres, levaram suco de acerola em um vasilhame de forma de um cone reto com 90 cm de altura e 60 cm de diâmetro da base. Se V1 é o volume de suco de laranjas e V2 o volume de suco de acerolas V então 1 vale: V2 (A) (B)

16. Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo, tem água até a metade de sua altura. Se a capacidade do tanque é de 1200  , então a quantidade de água nele existente é de (A) 600  (B) 450  (C) 300  (D) 200  (E) 150 

9 16 4 9 8 9 3 4 5 16

VAMOS RESOLVER JUNTOS

V1  VCIL  R 2 H   .20 2.60  24000 cm 3 V2  VCONE 

 .R 2 .h



 .30 2.90

3 3 V1 24000 24 8    ( letra c ) V2 27000 27 9

 27000 cm 3

18.(ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

20. Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale aproximadamente:

(A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm

VAMOS RESOLVER JUNTOS

Calculando e igualando os volumes, temos : VPAR  abc  3.18.4  216 cm 3 VCUBO  a 3 VCUBO  V PAR a 3  216 a  3 216 a  6 cm ( letra b ) 19. Durante uma feira de exposição de animais, um tratador de cavalos é encarregado de levar água a alguns animais em uma baia. É colocado um tanque vazio na baia na forma de um paralelepípedo retangular com a = 80 cm, b = 2 m e c = 50 cm, conforme ilustra a figura. O tratador transporta água de um reservatório para o tanque, em um balde de formato cilíndrico com base de 40 cm de diâmetro e 50 cm de altura. Estimase que a cada vez que vai ao reservatório, ele enche o balde e, no caminho, derrame 5% de seu conteúdo. Para que o nível de água no tanque atinja a metade de sua capacidade, o número mínimo de vezes que o tratador deverá buscar água no reservatório é igual a

(A) 142 cm 3 (B) 154 cm 3 (C) 168 cm 3 (D) 176 cm 3 (E) 182 cm VAMOS RESOLVER JUNTOS

V PAR  abc  6.6.13  468cm 3 VCIL1   R 2 H  3,14.3 2.10  282,6cm 3 VCIL 2   r 2 h  3,14.12.3  9,42cm 3 VCIL  282,6  9,42  292,02cm 3 V NÃO OCUPADO  468  292,02 V NÃO OCUPADO  175,98cm 3 V NÃO OCUPADO  176cm 3 ( letra d )

(Utilize   3,1).

(A) 6 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 9 VAMOS RESOLVER JUNTOS

VCIL  R 2 .h  3,14  20 2  50  62800cm 3 V ÁGUA  95%.62800  0,95.62800  59660cm 3 abc 80.200.50   400000cm 3 2 2 V 400000 n  PAR  7 VÁGUA 59660

VPAR 

( letra c )

21.(UFPA) A Geometria é essencial para a criação de objetos na arquitetura e no design. Os padrões recursivos podem ser vistos em diversas obras arquitetônicas contemporâneas fundamentadas em conceitos geométricos, como, por exemplo, a Torre Eiffel, construída em 1889, que apresenta uma estrutura metálica composta por quatro níveis na forma da letra A, do que resulta um monumento arquitetônico interconectado por elementos repetidos em escalas decrescentes. Outra obra que também merece destaque é o gaveteiro projetado, em 2008, pelo designer Takeshi Miyakawa, em forma de cubo, com várias gavetas de diferentes tamanhos simulando um padrão recursivo.

Inspirado no trabalho do designer Takeshi Miyakawa, deseja-se projetar um gaveteiro, que apresente forma de cubo, com arestas medindo um metro, e que possua gavetas quadradas e retangulares (como ilustram as figuras abaixo). Esse gaveteiro deve ser projetado de tal modo que a maior gaveta quadrada meça 0,5 m de largura, 0,5 m de altura e 0,5 m de comprimento, que as larguras e alturas das outras gavetas quadradas diminuam à razão de 1:2, e que o comprimento de todas as gavetas (quadradas e retangulares) seja mantido em 0,5 m. Ou seja, a segunda gaveta quadrada deve ter a metade da largura da primeira e a terceira gaveta quadrada deve ter a metade da largura da segunda. Além disso, as duas gavetas retangulares menores devem possuir a mesma altura.

22. Um tanque de gás têm a forma de um cilindro de 4 m de comprimento, acrescido de duas semiesferas de raio 2 m, uma em cada extremidade, como mostra a figura abaixo.

Adotando  = 3, a capacidade total do tanque, em metros cúbicos, é (A) 80 (B) 70 (C) 60 (D) 55 (E) 50 VAMOS RESOLVER JUNTOS

VCIL   R 2 h  3.2 2.4  48m 3

Considerando-se as informações dadas, é correto afirmar que o volume da menor gaveta retangular será

4 .2 3 32.3 VESF    32m 3 3 3 VT  48  32

(A) 1/45 m 3 (B) 1/256 m 3 (C) 1/128 m 3 (D) 1/64 m 3 (E) 1/192 m

VT  80m 3 ( letra a) VAMOS RESOLVER JUNTOS

podemos perceber pelo desenho que o comprimento da menor gaveta retangular é 1 1 1 1 a . .  m , 2 2 2 8 podemos perceber pelo desenho que a altura da menor gaveta retangular é 1 1 1 1 1 b . . .  m 2 2 2 2 16 e a profundidade dessa gaveta é igual para todas 1 c  m , então : 2 VGAV  a.b.c 1 1 1 VGAV  . . 8 16 2 1 3 VGAV  m ( letra b ) 256

23. Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:

(A) (B) (C) (D) (E)

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

VAMOS RESOLVER JUNTOS

VOBJ  VCIL DESLOCADO   R 2 h   .10 2.10  1000 cm 3 VOBJ   .10 2.10  1000 cm 3 ( letra a )

24.(UEPA) O SURDO é um instrumento de percussão, bastante usado nas rodas de samba, nas bandas escolares e principalmente pelas baterias das escolas de samba. Nos padrões normais, tem um formato de cilindro circular reto com diâmetro de 30 cm e uma altura de 40 cm. O volume ocupado por esse surdo é: (A) (B) (C) (D) (E)

VAMOS RESOLVER JUNTOS Ilustrando a situação temos:

12.000 cm 3 9.000 cm 3 7.500 cm 3 6.000 cm 3 4.500 cm

VAMOS RESOLVER JUNTOS

VCIL   R 2 h   .15 2.40  9000 cm 3 ( letra b ) 25.(UFPA) Alguns compradores de madeira em toras ou troncos-de-árvore da região amazônica calculam o volume da tora por meio da seguinte fórmula: Divide-se o “rodo” por 4, multiplica-se o resultado por ele mesmo e pela altura h da tora, o que fornece a seguinte fórmula para o volume V da tora: 2

 rodo  V   h  4  Considere que 1) a tora de madeira tem o formato de tronco de cone e que o perímetro da circunferência da base maior desse tronco de cone é chamado, pelos madeireiros, de “rodo”; 2) a tora de madeira tem as seguintes dimensões indicadas abaixo e na figura ao lado. raio R da base maior: R = r=

1 m; raio r da base menor: 2

2 m; altura h igual a h = 4 m. 5

Fazendo a semelhança dos triângulo s, temos : 2 r   0,4 5 1 R   0,5 2 0,4 h  0,5 4  h 0,5h  1,6  0,4h 0,1h  1,6 1,6 h  16m 0,1 h  16m ( altura do cone menor) 16  4  20m ( altura do cone maior)

 R 2 H 3,14.0,5 2 .20   5,233m 3 3 3  r 2 h 3,14.0,4 2 .16 VNC    2,679 m 3 3 3 VT  VC  V NC VT  5,233  2,679 VC 

VT  2,55m 3  rodo   2 R  V   .h    .h  4   4  2

Calcule o volume correto da tora, usando os conhecimentos de geometria espacial, e o volume aproximado, usando a fórmula aplicada pelos madeireiros. Em seguida, calcule o erro da aproximação feita pelos madeireiros, determinando a diferença entre os volumes encontrados. Use  = 3,14 e considere duas casas decimais após a vírgula.

 2 .0,5 2  R  V  .4  .4  4  2  V  3,14 2 .0,5 2  2,46 m 3 ERRO  2,55  2,46 2

ERRO  0,09m 3

GEOMETRIA PLANA AUTOR: George Christ EXERCÍCIOS 01. (UFSJ) Para se preencher um mosaico, cujo formato é o da figura abaixo, foram usadas pastilhas quadradas com lado de 0,5 cm, na proporção de: 40% das pastilhas na cor azul, 35% das pastilhas na cor verde e 25% das pastilhas na cor branca.

A área do mosaico é: Amosaico  A verde  Aazul  1  39  40 cm2 . A área de cada patilha é Apastilha  0,5 . 0,5  0,25 cm2 . Para calcular o número de pastilhas de cada cor, dividimos a área coberta pelo tipo de pastilha pela área de cada uma delas. Sabendo-se que não houve desperdício nos recortes das pastilhas, foram utilizadas 40%.40 40%.40 0,4 .40 pastilhas Pazuis     64 Apastilha 0,25 0,25

Pverdes 

azuis,

35%.40 35%.40 0,35 .40    56 Apastilha 0,25 0,25

pastilhas

Pbrancas

verdes 25%.40 25%.40 0,25 .40     40 Apastilha 0,25 0,25

e pastilhas

brancas. 02. (ENEM) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Considerando-se que não houve desperdício nos recortes das pastilhas, é CORRETO afirmar que foram gastas (A) 32 pastilhas azuis, 28 pastilhas verdes e 20 pastilhas brancas. (B) 16 pastilhas azuis, 14 pastilhas verdes e 10 pastilhas brancas. (C) 64 pastilhas azuis, 56 pastilhas verdes e 40 pastilhas brancas. (D) 48 pastilhas azuis, 42 pastilhas verdes e 30 pastilhas brancas. ALTERNATIVA C Resolução: Considere a figura.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtém-se, respectivamente, (A) 0,23 e 0,16. (D) 230 e 160. (B) 2,3 e 1,6. (E) 2 300 e 1 600. (C) 23 e 16. ALTERNATIVA B Resolução: Utilizamos o quadro de múltiplos e submúltiplos do metro. km hm dam m dm cm mm X

Preenchendo a  2300 mm km

dam

2 3 0 0 Fazendo a leitura na unidade metros, obtemos a  2,3 m . A área verde corresponde a área de um triângulo de b.h 2.1   1 cm2 base 2 e altura 1, isto é, A verde  2 2 Aplicando o teorema de Pick na figura azul temos F 26 A azul   I  1   27  1  39 cm2 . 2 2

Preenchendo b  160 cm km

dam

1 6 0 Fazendo a leitura na unidade metros, obtemos b  1,6 m .

03. (UPE) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um paralelogramo, como mostra a figura abaixo:

3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.

Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede 4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo? 2 2 2 2 2 (A) 12 cm (B) 16 cm (C) 24 cm (D) 32 cm (E) 36 cm

A área construída da bandeirinha APBCD, em cm , é igual a:

(B) ALTERNATIVA E Resolução: Considere a figura, com CF  DE  8cm.

 25  6  25  3  50  2  50  3 

 3 3 3 3

(A) 25 4  3

ALTERNATIVA B Resolução: Construindo a bandeirinha temos: Como BF é hipotenusa do triângulo retângulo BCF, segue que BF  CF  8cm. Logo, AB  4,5cm e a área pedida é dada por A  AB  CF  4,5  8  36cm2 . 04. (UERJ) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo.

h2  52  102

1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:

h2  75

h2  100  25

h  5 3cm Portanto, a área da bandeirinha será:

A  10.15 

2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:

10.5 3  150  25 3  25(6  3 )cm2 2

05. (UEPA) Preocupado com a falta de área verde em sua cidade, um prefeito resolveu aproveitar um terreno triangular, localizado no cruzamento de duas ruas, para construir uma praça, conforme representado na figura abaixo:

30 m

Resolução: As coordenadas dos vértices do quadrilátero são  3   1  7 3  S   , 0  , R  2,  , V  5,  e B  , 4  . Logo, a área 2 2 2       2  do quadrilátero é S 3  2

Praça 150º 40 m

1 2

7 2

B 3 2

S 3  2

3 21 5  7  20  6    24,5 4 4 2 D 24,5 A   12,25 cm2 (mapa). 2 2 Na escala 1 : 10.000.000, cada 1 cm no mapa equivale à 10.000.000 cm (10 km) na realidade, veja: D

A área da praça a ser construída, em m², é: (A) 250 (B) 250 3 (C) 300 (D) 300 3 (E) 500 ALTERNATIVA C

Realidade

Mapa

Resolução: São dados dois lados do triângulo e o ângulo formado entre eles, portanto: b.c.sen  A 2 30.40.sen150º A 2 1 1200. 2 A 2

A  300 m2 06. (UERJ) Observe o mapa da região Sudeste.

1 cm2

1 cm

10.000 km2

100 km Cada 1 cm2 no mapa corresponde à 10.000 km2 na realidade. Portanto a área real do quadrilátero é A  12,25 . 10000  122500 km2 07. (UNIFOR) A parte superior de um tablado tem a forma de um trapézio isósceles com 56 m de perímetro e cujos lados paralelos medem 12 m e 24 m. Se a superfície desse tablado for inteiramente revestida de uma camada de verniz, ao preço de R$ 6,50 o metro quadrado, a quantia a ser desembolsada por esse serviço será: (A) R$ 916,00 (D) R$ 950,00 (B) R$ 920,00 (E) R$ 986,00 (C) R$ 936,00 ALTERNATIVA C Resolução: 12 m

Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45° como o eixo das ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coordenadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Vitória são, respectivamente,

10 m 6m

10 m

h 12 m

Pelo teorema de Pitágoras: todas as medidas em centímetros. Supondo que a escala do mapa é de 1 : 10.000.000, a área do quadrilátero cujos vértices estão representados por essas quatro cidades, em quilômetros quadrados, é igual a (A) 118500 km2

(D) 124500 km2

(B) 120500 km2

(E) 126500 km2

ALTERNATIVA C

100 km

1 cm

102  62  h2 h2  64 h8m A área do trapézio será: B  b .h  24  12.8 A   144 m2 2 2 O valor V desembolsado será: V  A.6,5  144.6,5  936 reais

08. (UFSJ) Observe a figura abaixo.

Resolução:

3 de um círculo de raio r 4 e um quadrado de lado r e sua área é 3  3  2  3  4  A  . r 2  r 2  r 2 .   1  r .   . 4  4   4  A figura é composta por

k A razão entre a área e o perímetro do hexágono regular inscrito na circunferência de diâmetro k é 3 8 3 8 3 3 3 k (C) (A) (D) k (B) k k (E) 4 3k 3 6 8

10. (FMTM) Na figura, a medida dos segmentos OA e OB é 4 cm. O arco AOB tem 90º e OCA e OCB são semicircunferências. A área da superfície hachurada é:

ALTERNATIVA D Resolução: O lado do hexágono regular é igual ao raio do círculo k que é igual a  , então a razão entre a área e o 2 perímetro é 2

k 3.   . 3 3k 2 3 2 Área 3k 2 3 1 k 3 8 2    .  k Perímetro 3k 8 3k 8 6. 2 09. (UEPA) A larga experiência tem levado profissionais ligados às diversas áreas de produção de conhecimento tecnológico a escreverem manuais técnicos com a finalidade de orientar estudantes, projetistas de máquinas e professores de cursos técnicos. A figura abaixo ilustra o desenho técnico planificado de uma peça que será produzida em escala industrial.

(A) (B) (C)

 4   cm2 .  6   cm2 .  2  4  cm2 .

(D)    3  cm2 . (E)  2  5  cm2 .

ALTERNATIVA C Resolução: O setor circular maior de centro O, ângulo central reto e lados OA  4 e OB  4 é composto por um quadrado de lado 2 , dois setores menores de ângulo central reto e raio 2 e a figura verde de área solicitada. B

r O Portanto,

Fonte: Elementos de máquina, Sarkis Melconian – edição atualizada e revisada, São Paulo: Érica, 2000.

Com base nessa figura, a área delimitada pelo desenho planificado da peça é:  3  1  (A) r 2   unidades de área.  4   3  4  (B) r 2   unidades de área.  4   3   4  unidades de área. (C) r 2   4   3  4  (D) r   unidades de área.  4  1  (E) r 2  3   unidades de área. 4   ALTERNATIVA B

 .42  . 22  22  2 .  A verde 4 4 4  4  2  A verde A verde  2  4

11. (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

y 5. Se foi utilizada a mesma unidade de comprimento em ambos os eixos, a medida do perímetro desse polígono é: (A) 10 (B) 13 (C) 18 (D) 20 (E) 24 ALTERNATIVA D Resolução: De acordo com o texto, a curva é composta por segmentos como segue no desenho:

cada uma das seguintes retas: x  1 , x  8 , y  2 e

A N

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde (A) à mesma área do triângulo AMC. (B) à mesma área do triângulo BNC. (C) à metade da área formada pelo triângulo ABC. (D) ao dobro da área do triângulo MNC. (E) ao triplo da área do triângulo MNC.

Se “abrirmos” a curva como segue:

Teremos:

ALTERNATIVA E Resolução: Os triângulos BAC e MNC são semelhantes e AC 2.NC AC=2.NC,então k    2. NC NC A relação entre as áreas é A BAC  k2 A MNC

Se “abrirmos” novamente como segue:

A BAC  22 A MNC A BAC  4.A MNC A área S da calçada será o triplo da área do triângulo MNC. S  ABAC  AMNC  4.AMNC  AMNC  3.AMNC 12. (UERJ) Ao observar, em seu computador, um desenho como o apresentado a seguir, um estudante pensou tratar-se de uma curva.

Teremos um retângulo cujos lados são 3, 7, 7 e 3 conforme a figura a seguir: 7

3 3

7 O perímetro da curva será igual ao perímetro do retângulo, isto é, P  3  3  7  7  20 . Porém, após aumentar muito a figura, verificou que a tal "curva" era, de fato, um polígono, com o menor perímetro possível, formado por uma quantidade finita de lados, todos paralelos ao eixo x ou ao eixo y. Verificou ainda que esse polígono possuía um lado em

13. (CESESP) Considere a figura onde G é o baricentro do triângulo ABC. B D G

14. (UEPA) A Universidade do Estado do Pará mantém, em alguns municípios do nosso estado, Pólos de Educação a Distância, entre eles São Miguel do Guamá e Vigia de Nazaré. Supondo que o coordenador do curso de matemática à distância saiu de Belém para realizar visitas técnicas ao pólo de Vigia, depois ao pólo de São Miguel e voltou para Belém, conforme trajetória descrita na figura 1. Figura 1

C Y (km)

A razão entre as áreas dos triângulos ABG e EGD é igual a (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 12.

V (Vigia)

ALTERNATIVA D Resolução: Como G é o baricentro então AD e BE são medianas. Toda mediana é dividida pelo baricentro em duas partes sendo a parte que tem extremidade no vértice do triângulo igual ao dobro da parte que contém o ponto médio, isto é,

150 km aprox.

100

B (Belém)

30

X (km)

140 km aprox. M (S. Miguel)

B 2y

2z 2x

y A

Com base na figura 2, a área do triângulo BVM, em unidades de área, é: (A) 3.100 (B) 4.900 (C) 6.200 (D) 9.800 (E) 10.500

ALTERNATIVA B

Como D e E são pontos médios dos lados BC e

AC podemos afirmar pelo teorema da base média do triângulo que o segmento DE é paralelo ao lado AB e vale a metade de sua medida. Além disso, pelo teorema fundamental da semelhança, os triângulo ABG e EGD são semelhantes como segue: G

y 2z

Deste modo, podemos aplicar as propriedades da relação entre lados e áreas de polígonos semelhantes: BG k EG 2y k y k2

A ABG  k2 AEGD A ABG  22 AEGD A ABG 4 AEGD

Resolução: As coordenadas dos vértices do triângulo são B  0, 0  , M100,  30  e V  60, 80  . Logo, a área do triângulo é B 0 0

M 100 30

V 60 80

B 0 0

D  0  8000  0  0  1800  0  9800 D 9800 A   4900 km2 2 2 15. (UERJ) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração: – colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD; – em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD. Veja as figuras.

Calculou, então, a diferença entre a medida do raio da circunferência maior e a do raio do CD, chamando-a

de x. Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada. Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y:

Sabemos que C4  C3  1

2R 4  2R3  1 2R 4  2R3  1 2  R 4  R 3   1

1

(A) x  y  

(B) x  y  2

1 2 De acordo com o texto R4  R3  y , então 1 . y 2 1 1 2 1 Logo x  y      1 . 2 2 2  R 4  R3 

(C) y  x  2 (D) y  x  1 ALTERNATIVA A Resolução: Situação 01: O comprimento do barbante é igual ao comprimento da circunferência do CD.

16. (ENEM) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.

C1 C2 Sabemos que C2  C1  1

Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:

2R2  2R1  1 2R2  2R1  1 2 R2  R1   1

1 2 De acordo com o texto R2  R1  x , então

(A)

(D)

(B)

(E)

R2  R1 

x

1 . 2

Situação 02: O comprimento do barbante é igual ao comprimento da circunferência do CD.

(C)

ALTERNATIVA E

C3 C4

Resolução: Das opções apresentadas, a única em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é a alternativa (E) pois os paralelogramos 1 e 2 podem ter área menor que os paralelogramos 3 e 4 e y para que isto ocorra basta que x  , veja: 2

cm 4 h

2 3

h/2

4 2

A1  A2  x.h

y.h 2 Para que as áreas sejam iguais deve-se ter: y.h x.h  2 y x 2 y Então, se x  as áreas 1 e 2 serão menores que 2 as áreas 3 e 4. A3  A 4 

17. (CEFET) Uma indústria necessita produzir lâminas de máquinas moedoras de carne, conforme a especificação a seguir. cm 6

8 cm

18. (UNIFESP) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1, que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2.

Sabe-se que A e B são pontos da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C1 e C2. A área da região hachurada é: (A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21 ALTERNATIVA A

4 Resolução: A área da figura hachurada corresponde à área do círculo maior menos a área do círculo menor. O raio do círculo menor é igual a 4, então:

2 8 cm 6 A área da lâmina está diretamente relacionada com a potência do motor da máquina. Considerando que o contorno da lâmina somente é constituído de 2 semicírculos, a área da mesma, em cm , é igual a: (A) 16 (B) 16 (C)  (D) 4  16 (E) 4  12 2

Amenor  .r 2  .42  16 No triângulo retângulo ATC2 , os lados medem

AC2  R , AT  4 e TC2  8  R , veja:

ALTERNATIVA A 8-R

Resolução: Vamos transformar a hélice em um quadrado como segue:

cm Aplicando o Teorema de Pitágoras: 6

R 2   8  R   42

R2  64  16R  R2  16 16R  80 80 R 16 R5 Portanto a área do círculo maior é:

2 8 cm 6 Destacando as partes azuis e encaixando-as como segue: 2

Amaior  .R2  .52  25 A área da figura hachurada é:

Ahachurada  Amaior  Amenor Ahachurada  25  16

Portanto, a área externa é: A externa  A1  A 2

A externa  14 400  6 400

Ahachurada  9 19. (UEPA) Um designer construiu um móvel temporário de papelão em forma de cubo, conforme a figura abaixo, o qual pode ser utilizado individualmente ou em conjunto, formando ambientes para sentar e apoiar. Se a diagonal do móvel na forma de cubo mede 60 3 cm e o lado do quadrado ABCD mede um terço da aresta do cubo, a área da superfície externa do cubo, em m2 , é:

A externa  20800 cm2 Utilizamos o quadro de múltiplos e submúltiplos do metro quadrado. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 XX

mm2

Preenchendo A externa  20800 cm2 km2

hm2

dam2

dm2

cm2

Fazendo a leitura na unidade metros quadrados, obtemos A externa  2,08 m2 . (A) 1, 20

(B) 1, 21

(D) 1,92

(E) 2,08

ALTERNATIVA E Resolução: A diagonal de um cubo é dada por D  a 3 , então podemos calcular a aresta do cubo, veja:

20. (FUVEST) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores.

Da 3 D  60 3 a 3  60 3 a  60 cm Como o lado do quadrado é igual a um terço da aresta do cubo temos: 1  .a 3 1  .60 3  20 cm A área externa é composta por: 1) 4 quadrados de aresta 60 cm.

Então, a área do pentágono hachurado é igual a: (A) 3 3

(B) 2 3

(C)

3 3 2

(D)

(E)

3 2

ALTERNATIVA E Resolução: Podemos dividir um hexágono regular em seis triângulos equiláteros conforme mostra a figura

1 1

A1  4.a2  4.602  14 400 cm2 2) 2 “faixas quadrangulares” cujos lados são L  60 e  20 cm

1 A área do pentágono corresponde à área de dois triângulos equiláteros de lado igual a 1, veja:



A3  2. L2 

  2.602  202   2.3200  6 400 cm2

Apentágono  2.

. 3 12 . 3 3  2.  4 4 2

21. (UFRGS) Um cilindro tem o eixo horizontal como representado na figura abaixo. Nessa posição, sua altura é de 2 m e seu comprimento, de 5 m.

22. (ENEM) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 2 m de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás 2 propano e cobre 45 m de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).

A região sombreada representa a seção do cilindro por um plano horizontal distante 1,5 m do solo. A área dessa superfície é (A) 3. (B) 2 2. (C) 2 3. (D) 5 2. (E) 5 3. ALTERNATIVA E Resolução: Observe a secção transversal do cilindro a seguir: x 0,5

Avaliando-se todas as informações, serão necessários (A) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. (B) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. (C) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. (D) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. (E) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. ALTERNATIVA C

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:

12   0,5   x 2

Resolução: Calculando as áreas dos ambientes, obtemos

SI  8  5  40 m2,

1  0,25  x 2 x 2  1  0,25

SII  (14  8)  5  30 m2,

x  0,75

SIII  (14  8)  (9  5)  24 m2 e

x  0,75 x

75 100

SIV 

5 3 10 Portanto o lado do retângulo hachurado é igual a 5 3  2x  2.  3. 10 A área do retângulo hachurado é dada por x

Aretângulo  b.  5. 3

(14  8)  4  7  35 m2. 2

Como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). 23. (UFT) Considerando a circunferência da figura a seguir com centro no ponto O e diâmetro igual a 4 cm.

Pode-se afirmar que o valor da área da região hachurada é: (A)





8  4 cm2

(B) 2 cm (C)  2  4  cm2 2

(D)    1 cm2 (E)

 4  2

cm2

ALTERNATIVA C Resolução: Observe a figura:

A

Acírculo  A quadrado π.22  8   2π  4 2 2

24. (UFTM) Se a folha retangular ABCD for dividida conforme indicado na figura 1, obter-se-ão 6 quadrados (Q) congruentes. Entretanto, se a mesma for dividida conforme indicado na figura 2, obter-se-ão 6 retângulos (R) congruentes.

2x 3x   65 3 2 4x  9x  65.6 x  30

x  0,3 m2 Logo, sua área será

3x  3x  2.0,3  3  0,3  0,54 m2 . 25. (UEL) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada do terreno?

(A) 38,28 km2 (B) 45,33 km2 (C) 56,37 km2 (D) 58,78 km2 (E) 60,35 km2 ALTERNATIVA D Resolução: O terreno é composto por um retângulo, um triângulo e um setor circular.

Sabendo-se que o semiperímetro de cada retângulo R mede 65 cm, então a área da folha ABCD é igual a (A) 0,54 m2 . (B) 0,64 m2 . (C) 0,72 m2 . (D) 0,81 m2 . (E) 1,08 m2 . ALTERNATIVA A Resolução: Lado do quadrado = x. Lados da folha 2x e 3x. 2x 3x Lados do retângulo . e 3 2

A  Aretângulo  A triângulo  A setor 7.7 π.42.45o A  7.4   58,78m2 2 360o