Projeto TEIA DO SABER 2006 Secretaria de Estado da Educação, SP. Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá
UNESP – Campus de Guaratinguetá Departamento de Matemática Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)
Tópicos em Geometria Analítica Ponto e Reta
Profª Drª Vera Lia Marcondes Criscuolo de Almeida Prof. Carlos Frederico Bastarz
TEIA DO SABER 2006 − Metodologias de Ensino da Matemática
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Sumário 1. Introdução........................................................................................................................... 3 2. Estrutura do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico .............................................. 4 3. Entes Fundamentais: Ponto, Reta, Plano e Espaço............................................................. 6 4. Ponto................................................................................................................................... 8 4.1 O Plano Cartesiano ....................................................................................................... 8 4.2 Distância entre dois pontos........................................................................................... 9 4.3 Ponto que divide um segmento numa razão dada....................................................... 10 4.4 Condição de alinhamento de três pontos .................................................................... 12 5. Reta................................................................................................................................... 13 5.1 Equação Geral da Reta ............................................................................................... 13 5.2 Equação reduzida da reta e os coeficientes ................................................................ 13 5.3 Posição relativa entre duas retas................................................................................. 16 5.4 Ângulos entre duas retas............................................................................................. 18 5.5 Distância entre ponto e reta ........................................................................................ 19 5.6 Área de um triângulo .................................................................................................. 20 Apêndice............................................................................................................................... 22 Leitura Introdutória: Atração Fatal................................................................................... 22 Atividades......................................................................................................................... 24 Lista de Mapas e Figuras ...................................................................................................... 30 Bibliografia........................................................................................................................... 31
Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta
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1. Introdução
Este material foi elaborado com a preocupação de proporcionar aos professores da Rede Estadual de Ensino momentos de reflexão sobre o ensino e aprendizagem de Matemática, revendo alguns conteúdos importantes que fazem parte do currículo do Ensino Médio. Optamos por conteúdos de Geometria, pois este é um dos últimos assuntos apresentados na maior parte dos livros didáticos e por esta razão, muitos professores acabam não tendo tempo para trabalhar este conteúdo. O abandono da Geometria em nossas escolas não é um fenômeno local, mas sim um acontecimento que pode ser percebido mundialmente. A relação entre a Álgebra e a Geometria é, muitas vezes ensinada de forma rápida, onde os conceitos são apresentados apenas como definições. Por tudo isso, escolhemos trabalhar com Geometria Analítica. O estudo do Ponto e da Reta pretende conduzir os professores a interpretações geométricas de fatos algébricos.
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2. Estrutura do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico Mapa 1
Investiga as formas e dimensões dos entes matemáticos Geometria
Geometria Plana
Geometria Espacial
Sólidos Geométricos
Investiga as propriedades dos elementos geométricos (ponto, reta e plano) em um espaço euclidiano
Geometria Euclidiana Plana
Trata no plano os sólidos e superfícies geométricas
Desenho Geométrico É a expressão gráfica da forma regida pelos princípios da Geometria, a resolução gráfica de problemas matemáticos
Possui também estas denominações por tratarem de problemas planos
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Sua finalidade é representar no plano as figuras do espaço de maneira tal que, nesse plano, possam-se resolver todos os problemas relativos a essas figuras. Criada no fim do século XVIII pelo matemático francês Gaspar Monge.
Geometria Analítica
Geometria Descritiva
Curvas Cônicas e Superfícies Quádricas Estuda as propriedades, formas e dimensões de lugares geométricos, curvas e superfícies características.
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Mapa 2
Geometria Espacial
Retas no Plano e no Espaço
Medidas de Superfícies
Poliedros
Geometria Espacial Métrica: áreas e volumes de sólidos, troncos e secções.
Geometria Espacial de Posição: Posições relativas entre retas, planos e entre planos e retas.
Investiga as propriedades dos poliedros, curvas cônicas e sólidos de revolução e calcula medidas de superfícies.
Sólidos Geométricos
Família de Sólidos: Prismas, Pirâmides e Esfera.
Prismas
Pirâmides
Cilindro
Esferas
Cone
Casos Especiais: Cilindro – é um prisma de base circular; Cone – é uma pirâmide de base circular;
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3. Entes Fundamentais: Ponto, Reta, Plano e Espaço Figura 1
Notação:
• A e B são pontos da reta r: A ∈ r e B ∈ r ;
r B
A
• R é a reta que passa por A e B: r = AB ; • O segmento de reta AB: AB ; • A semi-reta com origem A, passando por B: AB ; • A semi-reta com origem B, passando por A: BA ; • A reta r está contida no plano : r ⊂ α ;
O
α
• OA e OB são semi-retas opostas; • o ponto O é a origem das semi-retas OA e OB ;
Os elementos fundamentais (ou conceitos primitivos) de uma teoria não possuem definição. O ponto, a reta, o plano e o espaço são entes fundamentais, conceitos primitivos ou não definidos da Geometria. Hoje em dia, o ponto, a reta e o plano são tomados como axiomas* da Geometria Plana, mas Euclides de Alexandria (?? a.C. – 365 d.C.) os “definiu” ou, pelo menos tentou defini-los: • • •
Um ponto é o que não tem parte; Uma reta é um comprimento sem largura; Uma superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura;
Outras definições enunciadas por Euclides pecam pela circularidade lógica: • • •
Segmento de reta: “As extremidades de uma reta são pontos”; Reta: “Uma linha reta é uma linha em que os pontos são distribuídos regularmente sobre ela”; Plano: “As extremidades de uma superfície são linhas”;
Note que a definição de plano, enunciada por Euclides, nos dá a idéia de que o plano seja uma superfície finita. No final de século XIX, o matemático alemão, radicado nos Estados Unidos, David Hilbert (1862 – 1943), publicou uma obra intitulada Grundlagen der Geometrie, em português – “Os Fundamentos da Geometria”. Nesta obra, datada de 1899, Hilbert propõem uma axiomatização da Geometria Euclidiana, onde ficam bem claros e definidos os entes primitivos e os símbolos utilizados para representá-los: *
Para Aristóteles ( - ) os postulados seriam conceitos menos óbvios e não deveriam pressupor o consentimento implícito daqueles que estudam o assunto, pois se referem somente ao assunto em discussão. Axiomas (ou noções comuns) devem ser convincentes por elas mesmas – verdades comuns e genéricas, aplicáveis a quaisquer estudos que se pretenda fazer. Modernamente, os matemáticos não vêem vantagem em se estabelecer qualquer diferença entre postulado e axiomas, preferindo apenas utilizar o nome axioma para elaborar as suas teorias, sendo denominadas Teorias Axiomáticas, por este fato. Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta
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Entes primitivos: • • •
O ponto; A reta ou “linha reta” (straight line, em inglês); O Plano;
Hilbert adotou ainda seis relações não definidas (fundamentais aos grupos axiomáticos contidos em sua obra): • • • • • •
“estar sobre” ou “estar contido”; “estar em” ou “pertencer”; “estar entre” ou “estar localizado entre”; “ser congruente” ou “ter a mesma medida”; “ser paralelo”; “ser contínuo”;
Os símbolos utilizados para representar os elementos não definidos da Geometria de Hilbert são: • • •
Pontos – Letras latinas maiúsculas: A, B, C, D, E, ...; Retas – Letras latinas minúsculas: r, s, t, l, ou ainda AB , BC etc; Planos – Letras gregas minúsculas: α , β , γ , ... ;
Raios ou Semi-retas: r = AB , ou seja, “raio r partindo do ponto A, e passando por B”; • Segmento de Reta: AB, BC etc; • A, B e C pontos distintos pertencentes a uma reta com B entre A e C: [A, B, C];
•
Ao longo do século XX, várias outras axiomatizações da Geometria Euclidiana foram propostas por diversos matemáticos como G. D. Birkhoff e grupos estudiosos, como o SMSG*. O sistema axiomático proposto por Birkhoff - A Set of Postulates for Plane Geometry (base on scale and protactor), 1932 ou “Um Conjunto de Postulados para a Geometria Plana (baseado em régua e transferidor)”, propõem um conjunto de postulados introduzindo conceitos que permitem exprimir medidas através de valores numéricos utilizando a régua graduada e o transferidor. Tal axiomatização acaba confrontando-se com a abordagem grega da Geometria Plana, onde Euclides propunha que todas as construções geométricas fossem criadas a partir de uma régua não graduada e um compasso de hastes imóveis. *
O SMSG (School Mathematics Study Group) foi um empreendimento financiado pelo Governo NorteAmericano dirigido por Edward G. Begle (1914 – 1978), que criou e implementou um currículo escolar de Matemática desde 1958 até 1977, que se tornou conhecido como “a Matemática Moderna”. Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta
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4. Ponto 4.1 O Plano Cartesiano Existe uma relação entre um ponto do plano e um par ordenado de números reais: a cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado de números reais e, inversamente, a cada par tem como seu correspondente um ponto P do plano. Usa-se a notação (a,b) para indicar o par ordenado em que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento.
Exemplo 1: • •
(2,5) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 2 e o segundo é 5 (5,2) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 5 e o segundo elemento é 2
Note que os pares (2,5) e (5,2) diferem entre si pela ordem de seus elementos. Existe uma maneira geométrica para representarmos o par ordenado (a,b):
1º Passo: desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a sua intersecção O como origem para cada um deles; 2º Passo: marcamos no eixo horizontal o ponto A, correspondente ao valor de a; 3º Passo: marcamos no eixo vertical o ponto B, correspondente ao valor de b; 4º Passo: traçamos por A uma reta r paralela ao eixo vertical; 5º Passo: traçamos por B uma reta s paralela ao eixo horizontal; 6º Passo: destacamos a intersecção das retas r e s chamando-a de P, que é o ponto que representa graficamente o par ordenado (a,b), com notação P (a,b); Nomenclatura: • • • •
o eixo horizontal Ox é o eixo das abscissas; o eixo vertical Oy o eixo das ordenadas; o ponto O, intersecção de Ox e Oy é a origem. o plano que contém Ox e Oy é o Plano Cartesiano;
Figura 2 - 1º Passo.
(eixo das y ordenadas)
O (origem)
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x (eixo das abscissas)
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TEIA DO SABER 2006 − Metodologias de Ensino da Matemática Figura 3 - 2º e 3º Passos.
Figura 3 - 4º, 5º e 6º Passos.
y
y
B
rP s
B b
O
x
A
a
O
A
x
Cada uma das quatro partes em que fica dividido o Plano pelos eixos cartesianos, chama-se quadrante. A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário, a contar do quadrante correspondente aos pontos que possuem amas as coordenadas positivas. Figura 4 - quadrantes do Plano Cartesiano.
y
2º quadrante (II) 3º quadrante (III)
1º quadrante (I) O
4º quadrante (IV)
x
4.2 Distância entre dois pontos Dados dois pontos distintos A e B do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta AB que tem os dois pontos por extremidades. Determinemos a distância entre os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2) a qual indicaremos por d. y
Figura 5 - d é a distância entre os pontos A e B.
B(x2,y2) d y2 y1
A(x1,y1)
O
C x
x1 x2
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2
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, vem: d 2 = AC + CB (1). Mas: e
AC = x 2 − x1 CB = y 2 − y1
Substituindo-se em (1), segue: d 2 = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) 2
ou d =
2
(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 , que é a fórmula procurada.
Exemplo 2: Determinar um ponto do eixo y eqüidistante dos pontos A (3,5) e B (-3,-1). Solução Um ponto do eixo y é um ponto do tipo P (0,y), de abscissa nula, resultando:
PA =
(0 − 3)2 + ( y − 5)2
PB =
(0 + 3)2 + ( y + 1)2
e Como PA = PB , vem:
(− 3)2 + ( y − 5)2
= 3 2 + ( y + 1)
2
Elevando-se ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo, segue: 9 + y 2 − 10.y + 25 = 9 + y 2 + 2.y + 1 − 12.y = −24
y=2 A resposta é P (0,2).
4.3 Ponto que divide um segmento numa razão dada Há muitos problemas em Geometria Analítica que envolvem mediatrizes de segmentos, medianas e mediatrizes* de triângulos e outros assuntos relacionados com o ponto médio de um segmento. *Cevianas e Pontos Notáveis dos Triângulos – Ceviana é todo segmento que une o vértice à reta suporte do lado oposto. São cevianas as alturas, medianas, mediatrizes e bissetrizes. Os Pontos Notáveis de um triângulo são os pontos obtidos através da intersecção das cevianas: Incentro (bissetrizes internas), Circuncentro (mediatrizes), Ex-Incentro (bissetrizes externas) e Ortocentro (alturas). Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta
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Seja M o ponto médio do segmento com extremidades A (xA,yA) e B (xB,yB). Notemos que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, pois possuem os três ângulos respectivamente congruentes. Figura 6 - ponto médio de um segmento.
y yB
B M
yM yA
A
xM = xN xB = xP
xA
O
P
N
x
Assim:
AM AN = AB AP
( )
Mas AB = 2 AM , pois M é ponto médio de AB .
( )
AM AN AN 1 = = , donde AP = 2 AN . 2 AM AP AP 2 Assim, temos: x P − x A = 2( x N − x A )
Logo,
xB − x A = 2xM − 2x A
xM =
x B − x A = 2( x M − x A )
x A + xB . 2
y A + yB . 2 Portanto, sendo M o ponto médio do segmento AB , temos:
Mediante procedimento análogo, prova-se que y M =
M
x A + xB y A + y B , 2 2
Exemplo 3: Sendo dados os pontos A (4,-1) e B (-2,5), temos:
Solução x M
=
4−2 =1 2
e
yM =
−1 + 5 = 2. 2
Assim, o ponto médio do segmento AB é M (1,2).
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Figura 7 - Exercício 3
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y B
5
M
2
4 -2
1
-1
A
x
4.4 Condição de alinhamento de três pontos É possível verificarmos se três pontos do plano, distintos dois a dois, estão alinhados. Vamos supor que os pontos A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y 3 ) estejam alinhados: Figura 8 – alinhamento de três pontos.
y y3
C B
y2 y1
A x1
O
Q
P x2
x3
x
Prolonguemos a reta horizontal que passa por A, obtendo os pontos P e Q, os quais formam os triângulos retângulos ABP e ACQ, que são semelhantes. x − x1 y 3 − y1 AQ CQ Decorre a proporção = , que pode ser escrita como 3 = . x 2 − x1 y 2 − y1 AP BP Desenvolvendo essa expressão, obtemos:
(x3 − x1 )( y 2 − y1 ) − (x 2 − x1 )( y3 − y1 ) = 0 , x1 Que pode ser escrita sob a forma x 2
x3 Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta
y1 1 y2 1 = 0 . y3 1 Profª Drª Vera Lia Marcondes Criscuolo de Almeida Prof. Carlos Frederico Bastarz
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5. Reta Para que uma reta fique perfeitamente determinada, basta que tenhamos a sua direção e um ponto pelo qual ela passe. De fato, note que na figura 9a, existem infinitas retas (todas paralelas entre si) que possuem a mesma direção – formam um ângulo θ (não reto) com o eixo das abscissas no seu sentido positivo; destas, apenas uma (r) passa pelo ponto P. Da mesma forma, na figura 9b, existem infinitas retas que passam por P e, dentre elas, apenas uma (r) tem a direção dada, ou seja, forma um ângulo θ com o eixo das abscissas. Figura 9a – retas paralelas: mesma direção formando y um ângulo θ não-reto com o eixo das abscissas.
θ θ
P
θ
θ
Figura 9b – retas não-parelelas: y direções diferentes e ângulos diferentes.
r
θ
P
θ
x
r
x
5.1 Equação Geral da Reta Chamaremos equação geral da reta a equação da reta dada na forma: ax + by + c = 0 (a e b não simultaneamente nulos) Toda reta não vertical tem uma equação que pode ser apresentada na forma y = mx + n , onde m e n são constantes chamadas, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.
5.2 Equação reduzida da reta e os coeficientes Suponhamos que uma reta r, que passa por P (x,y) e forma um ângulo θ com o eixo das abscissas, corte o eixo das ordenadas no ponto Q (0,n). No triângulo PQR, retângulo em R, temos: tgθ =
cateto oposto a θ PR y − n y − n = = = cateto adjacente a θ QR x − 0 x
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y−n , ou x y = mx + n .
Fazendo tg θ = m, podemos escrever m =
Daqui em diante utilizaremos a notação r : y = mx + n para dizer que a equação da reta r é y = mx + n . Figura 10 – fazendo tgθ = m , podemos escrever y = mx + n , que é a Equação Reduzida da reta r.
y y n
θ
O
r
P Q
θ
R x
x
Esta última expressão é chamada forma reduzida da equação da reta r, ou simplesmente equação reduzida da reta r, na qual m, n ∈ ℜ e:
• • • • •
m representa a tangente do ângulo θ formado entre a reta r e o eixo das abscissas, no sentido positivo; m é chamado coeficiente angular (ou declividade) da reta r; n representa a ordenada do ponto em que a reta r corta o eixo das ordenadas; n é chamado coeficiente linear de r; x e y são as coordenadas de um ponto genérico da reta r. se a reta r é horizontal, ela forma um ângulo nulo com o eixo das abscissas; assim, m = tg 0 o = 0 e a equação reduzida da reta torna-se simplesmente y = n (caso 1). se a reta r é vertical, ela forma um ângulo reto com o eixo das abscissas; como não existe tg 90 o é impossível escrever a forma reduzida da equação de qualquer reta vertical (caso 2).
Figura 11
y
y
r
caso 1:
n
caso 2:
r: y = n
0
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r: x = a r
x
0
a
x
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Exemplo 4: Obtenha a equação da reta r indicada na figura. Figura 12 - Exemplo 4
r (0,3) 45º
x
Solução A equação da reta r é y = mx + n , onde m = tg 45 o = 1 e n = 3. Logo, a equação pedida é y = x + 3 .
Exemplo 5: O triângulo OAB da figura abaixo é eqüilátero de lado 10. Obtenha as equações das retas suportes das alturas do triângulo relativas aos lados OB e OA. Figura 13 - Exemplo 5
s
y O
θ
x
M
r
A B
θ
N
o
Solução Sejam r e s as retas suportes das alturas relativas aos lados OB e OA, respectivamente. Para a equação da reta r, temos:
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y = ax + b a=0 b = −5
, com a sendo o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear.
Portanto a equação da reta r é: y = −5 .
y = ax + b Para a reta s, temos : a = ?
.
b = −10 Neste caso, precisamos determinar o valor do coeficiente angular da reta s, e para isto 5 15 MN 5 3 utilizaremos a seguinte equação: a = tgθ = . Sendo BN = e MN = 5 + = , 2 2 2 BN logo a = tgθ = 3 .
Portanto, a equação da reta suporte s, relativa ao lado OA, é y = x 3 − 10 . Logo, s: y = x 3 − 10 e r: y = −5
5.3 Posição relativa entre duas retas Seja P (xP,yP) o ponto de intersecção de duas retas, r e s dadas em sua forma geral por a1 x + b1 y + c1 = 0 e a 2 x + b2 y + c 2 = 0 , respectivamente. Substituindo simultaneamente as coordenadas xP e yP nas duas equações, temos:
a1 x P + b1 y P + c1 = 0 a 2 x P + b2 y P + c 2 = 0 Que constitui um sistema de equações lineares a duas incógnitas (xP e yP), o qual, se resolvido (sendo o sistema possível e determinado), fornece as coordenadas do ponto de intersecção.
Observações: 1) Um ponto pode ser obtido a partir da intersecção de duas ou mais retas. Note que para duas retas, a determinação das coordenadas deste ponto fica condicionada à resolução de um sistema linear de duas equações a duas incógnitas. Para o caso de três ou mais retas, a determinação das coordenadas do ponto de intersecção entre elas, ficará condicionada à resolução de um sistema linear de três equações a três incógnitas. Logo, para n retas, deveremos resolver um sistema de n equações a n incógnitas. Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta
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2) Discussão de um sistema: a. Sistema Possível e Determinado: a solução é única - neste caso, existe apenas um ponto de intersecção entre as retas, e elas são ditas concorrentes; Figura 14 – Sistema Possível e Determinado (solução): um ponto.
y
s
r
x
b. Sistema Possível e Indeterminado: há infinitas soluções - neste caso, há infinitos pontos comuns entre as retas, e elas são ditas coincidentes; Figura 15 – Sistema Possível e Indeterminado (infinitas soluções): infinitos pontos.
y
r≡s
x
c. Sistema Impossível: nenhuma solução - o sistema não possui solução e as retas são ditas paralelas no plano. Figura 16 – Sistema Impossível (não há solução): Não há ponto de intersecção.
y
r
s
x
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5.4 Ângulos entre duas retas Sejam duas retas concorrentes r1 e r2 não perpendiculares entre si. Elas determinam dois pares de ângulos congruentes (por serem opostos pelo vértice). Dois desses ângulos são agudos e dois obtusos. Figura 17
y
r1
θ α1
α2
O
r2
x
Sendo α 1 e α 2 os ângulos formados pelas retas r1 e r2 com o eixo x, no sentido positivo, temos: α 2 = α 1 + θ , pois α 2 é ângulo externo do triângulo. Daí, θ = α 2 - α 1 e tg θ = |tg( α 2 - α 1 )|, pois θ é agudo e tg θ > 0. Temos, então, tgθ =
tgα 2 − tgα 1 . 1 + tgα 2 .tgα 1
Como tg α 1 = m1 e tg α 2 = m2, podemos escrever:
tgθ =
m2 − m1 1 + m2 .m1
Observações: 1) Se as retas r1 e r2 forem paralelas, teremos m1 = m2 e θ = 0º; 2) Se as retas r1 e r2 forem perpendiculares, teremos m1.m2 = -1 e θ = 90º. Em ambas as hipóteses, resolve-se facilmente o problema. Porém, se uma das retas for vertical e a outra oblíqua aos eixos, teremos dois casos:
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Figura 18
y
y
r1
r1
θ
θ α1
α1 x
r2
x
r2
Em ambos os casos:
θ=
π 2
− α1
tgθ = tg
π 2
− α1 tgθ =
tgθ = cotgα 1 =
1 tgα 1
1 . m1
5.5 Distância entre ponto e reta Sejam
ax + by + c = 0 (1) a equação de uma reta r, e P(x1,y1) um ponto não pertencente a essa reta. Deseja-se calcular a distância d do ponto P à reta r. Figura 19 - distância entre ponto e reta.
s
y I y - y1 y
d
r
P
y1
x - x1
0
x
x1 x
A distância d deve ser calculada em função dos dados a, b, c, x1 e y1. Seja I(x,y) o ponto de intersecção das retas perpendiculares r e s. O quadrado da distância do ponto P ao ponto I é: d 2 = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) (2) 2
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A equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à r é:
( y − y1 ) = b (x − x1 ) a
Substituindo-se em (2), tem-se: d = − 2
ax1 + by1 + c a +b 2
2
2
(a
2
+ b2
)
d=
ax1 + by1 + c a2 + b2
5.6 Área de um triângulo Sejam A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) três pontos não alinhados do plano cartesiano. Para calcular a área do triângulo ABC, devemos fazer: 1 x base x altura 2 Notemos que a base pode ser tomada como a distância entre os pontos B e C, e a altura correspondente será h A = d A,r . Para achar esta altura devemos inicialmente obter a equação da reta r, que passa por B e C. A∆ABC =
Figura 20 área de um triângulo.
y yA
A
yC
H
B
yB
xB
hA
xA
C
r
xC
x
A área do triângulo ABC é dada por: Tomemos a base como a distância entre os pontos B e C e a altura hA. x y 1
xb
yb 1 = 0
xc
yc 1
xyb + xc y + xb yc − xc yb − xyc − xb y = 0
( yb − yc )x + (xc − xb ) y + (xb yc − xc yb ) = 0 a
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b
(1)
c
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Como
( yb − yc )xa + (xc − xb ) ya + (xb yc − xc yb ) ( yb − yc )2 + (xb − xc )2
A∆ABC =
1 1 d ( B , C )d ( A, r ) = 2 2
A∆ABC =
1 ( yb − yc )xa + (xc − xb ) ya + (xb yc − xc yb ) (2) 2
(xb − xc )2 + ( yb − yc )2 .
De (1) e (2), segue que: A∆ABC
xa 1 = xb 2 xc
21
ya 1 yb 1 . yc 1
Observação: Condição de Alinhamento de três pontos: A condição para que 3 pontos estejam em linha reta, é que a área do triângulo cujos vértices são ABC, seja nula, ou seja: xa ya 1 1 A∆ABC = xb y b 1 = 0 2 xc y c 1
Exemplo 6: Determine a área do triângulo de vértices A(0,1), B(2,-3) e C(-3,-2). Solução: Iniciamos pelo cálculo do determinante:
xa
ya 1
0
1
1
xb xc
y b 1 = 2 − 3 1 = 0 − 3 − 4 − 9 − 2 − 0 = −18 yc 1 − 3 − 2 1
xa y a 1 1 1 1 A seguir temos A∆ABC = xb y b 1 , ou seja, A∆ABC = x − 18 = x 18 = 9 . 2 2 2 xc y c 1 Logo, a área do triângulo ABC vale 9 unidades de área.
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Apêndice Leitura Introdutória: Atração Fatal Pegue um esquadro que tenha ângulo de 60º. Pegue ainda lápis e régua. Você vai desenhar um caminho. Saindo do ponto A, numa direção que forme (à direita) 60º com a reta de partida. Chegando na reta seguinte, faça o mesmo: saia dela, numa direção que forme (à direita) 60º com ela. Continue assim até chegar à última reta do feixe.
Desenhou esse caminho? Então faça outro. O Jeito de fazer é o mesmo de antes, mas o resultado será bem diferente.
Embora seja o mesmo processo, o caminho de feixe de retas paralelas ficou bem diferente do caminho em retas concorrentes, não é? Os caminhos que você desenhou podem explicar um fato interessante. Você já viu uma mariposa rodar sem parar em torno de uma lâmpada? É uma atração fatal. Por que a lâmpada atrai a mariposa?
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Acontece que as mariposas orientam seus vôos por feixes de retas paralelas existentes na natureza. São raios de luz solar ou lunar. Observe, na figura, o paralelismo dos raios solares. Sendo paralelos, eles produzem na placa inferior um círculo de luz do mesmo tamanho que a abertura circular da placa de cima.
Voltando à mariposa: quando ela voa em certa direção, seu sentido de orientação faz com que ela não mude o ângulo entre o seu caminho e os raios solares. Mantendo sempre um mesmo ângulo, o caminho resulta numa linha reta.
Os ângulos assinalados na figura têm um nome na Geometria: ângulos correspondentes. Como os raios solares são formados por um feixe de retas paralelas, todos têm a mesma medida. Pode conferir: nesse exemplo, todos medem 75º. A tragédia da mariposa ocorre quando, em vez do sol, ela encontra uma lâmpada comum. Nesse caso, como você pode observar na figura, os raios de luz não são paralelos. Eles equivalem a um feixe de retas concorrentes, que se encontram, todas, no centro da lâmpada. Só que a mariposa não sabe disso. A coitada, pensando que se trata da luz à qual está acostumada, ou seja, a luz solar, procura se orientar da mesma maneira. Assim, ela mantém sempre o mesmo ângulo com os raios de luz. A trajetória, em vez de ser uma reta, torna-se uma espiral que vai dar no centro da lâmpada. Poe isso, a mariposa nunca chaga a seu destino... Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta
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Atividades Atividade 1: Aprendendo e Ensinando com o uso do Geoplano. a) Identificar no Geoplano os seguintes pontos: (2,5), (-3,4), (-4,4), (5,2), (4,-3) e (-5,3). Dizer em qual quadrante cada um dos pontos está situado. b) Os segmentos AB e CD são determinados pelos pontos A(0,1), B(1,2), C(3,1) e D(4,2). Construa os segmentos no Geoplano e diga qual deles é o maior. c) Dados os polígonos não convexos: A(0,5), B(2,3), C(5,4), D(4,8), E(3,7), F(1,9) e G(5,5), H(7,3), I(10,4), J(9,8), K(8,8), L(7,7), M(6,9), calcule suas áreas e diga qual delas é a maior. Justifique sua resposta.
Atividade 2: Construção de Ângulos utilizando Régua e Compasso a) Construir um ângulo de 60º: Traça-se o segmento de reta AB e, a partir de A (ou de B), abrindo o compasso em um raio qualquer, traça-se um arco, obtendo-se o ponto C.
Com centro em C e mantendo a mesma abertura do compasso, traça-se um arco, obtendo-se o ponto D. Ligando, no exemplo, A a D, obtém-se o ângulo de 60º.
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b) Construir um ângulo de 30º: A construção do ângulo de 30º pode ser feita através da bissetriz do ângulo de 60º. Considere o ângulo de 60º construído anteriormente e vamos traçar sua bissetriz:
Com o centro em C e D e abertura do compasso maior que CD , traça-se dois arcos, obtendo-se o ponto E. Ligando-se o vértice A a E, obtém-se a bissetriz do ângulo DAC, ou seja, a bissetriz do ângulo de 60º, onde ficam determinados dois ângulos de 30º.
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c) Construir um ângulo de 45º: O ângulo de 45º pode ser obtido a partir de uma adição de ângulos (30º + 15º = 45º). Para isso, traçaremos um ângulo de 60º, construiremos sua bissetriz formando dois novos ângulos de 30º, e em seguida, traçaremos uma nova bissetriz em um ângulo de 30º.
Considere os ângulos de 30º construídos anteriormente. Com o centro em D e G e abertura do compasso maior que DG , traça-se dois arcos, obtendo-se o ponto H. Ligando-se o vértice A a H, obtém-se a bissetriz do ângulo DAG, ou seja, a bissetriz do ângulo de 30º, onde ficam determinados dois novos ângulos de 15º e um novo ângulos de 45º.
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d) Construir um ângulo de 90º: A construção de um ângulo de 90º, envolve a o traçado de uma reta perpendicular s a uma reta r, a partir de um ponto P dado. Neste caso, o ponto P pode ou não estar contido na reta r.
Considere o caso P ∈ r : Traçar s, perpendicular a r, passando pelo ponto P dado.
Com centro em P, traçar um arco de raio qualquer, obtendo-se A e B.
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Com centro em A e raio maior que AP, traçar um arco e, com centro em B e mesmo raio, traçar outro arco, obtendo-se o ponto C.
Traçar CP, obtendo-se s ⊥ r , pelo ponto P.
Considere o caso P ∉ r Traçar s, perpendicular a r, passando pelo ponto P, exterior a r.
Com centro em P e raio maior que a distância de P a r, traçar um arco, obtendo-se A e B.
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Com centro em A e raio maior que a metade de AB, traçar um arco e, com centro em B e mesmo raio, traçar outro arco, obtendo-se o ponto C.
Traçar CP, obtendo-se s ⊥ r , pelo ponto P.
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Lista de Mapas e Figuras Mapa 1..........................................................................................................................pág. 04 Mapa 2..........................................................................................................................pág. 05 Figura 1.........................................................................................................................pág. 06 Figura 2.........................................................................................................................pág. 08 Figura 3.........................................................................................................................pág. 09 Figura 4.........................................................................................................................pág. 09 Figura 5.........................................................................................................................pág. 09 Figura 6.........................................................................................................................pág. 11 Figura 7.........................................................................................................................pág. 12 Figura 8.........................................................................................................................pág. 12 Figura 9.........................................................................................................................pág. 13 Figura 10.......................................................................................................................pág. 14 Figura 11.......................................................................................................................pág. 15 Figura 12.......................................................................................................................pág. 15 Figura 13.......................................................................................................................pág. 16 Figura 14.......................................................................................................................pág. 17 Figura 15.......................................................................................................................pág. 18 Figura 16.......................................................................................................................pág. 18 Figura 17.......................................................................................................................pág. 18 Figura 18.......................................................................................................................pág. 19 Figura 19.......................................................................................................................pág. 20 Figura 20.......................................................................................................................pág. 21
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Bibliografia [Coll & Teberosky 2002] COLL, César & Teberosky, Ana. Aprendendo Matemática – Conteúdos Essenciais para o Ensino Fundamental. São Paulo, Ática, 2002. [Iezzi, Dolce, Degenszajn & Perigo 1997] IEZZI, Gelson; DOLCE, Oswaldo; DEGENSZAJN, David Mauro & PÈRIGO, Roberto. Matemática - Volume Único. São Paulo, Atual, 1997. [Imenes, Jakubovic & Lellis] IMENES, Luiz Márcio Pereira; JAKUBOVIC, José & LELLIS, Marcelo Cestari. Pra que serve a Matemática? - Geometria (2º Grau). São Paulo, Atual, 1997. [Knijnik, Basso & Klüsuner] KNIJNIK, Gelsa; BASSO, Marcus Vinicius de Azevedo & KLÜSUNER, Renita. Aprendendo e Ensinando Matemática com o Geoplano. Ijuí, UNIJUÍ, 2004. [NCTM 2006] NCTM - National Council of Teachers of Mathematics. Illuminating NCTM’S for School Mathematics. NCTM, EUA, 2006. http://illuminations.nctm.org/ (site acessado em 13 de setembro de 2006). [NCTM 2006] NCTM - National Council of Teachers of Mathematics. Principles and Standars for School Mathematics. NCTM, EUA, 2006. http://standards.nctm.org/ (site acessado em 13 de setembro de 2006). [NLVM 2006] NLVM - National Library of Virtual Manipulatives. Geometry (All Grade Bands) - Virtual manipulatives related to the NCTM Geometry standard. NLVM, EUA, 2006. http://nlvm.usu.edu/en/nav/topic_t_3.html (site acessado em 13 de setembro de 2006). [Sá Leite 2002] SÁ LEITE, Aury de. Apostila: Geometria Plana I. UNESP - Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”: Guaratinguetá, 2002. [Sá Leite 2004] SÁ LEITE, Aury de. Apostila: A Geometria Euclidiana. UNESP Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”: Guaratinguetá, 2004. [Steinbruch & Basso 1991] STEINBRUCH, Alfredo & BASSO, Delmar. Geoemtria Analítica Plana. São Paulo, Makron Books, 1991. [Trotta, Imenes & Jakubovic 1979] TRATTA, Fernando; IMENES, Luiz Márcio Pereira & JAKUBOVIC, José. Matemática Aplicada - Segundo Grau. São Paulo, Moderna, 1979. [Velasco 2002] VELASCO, Ângela Dias. Apostila de Desenho Geométrico.UNESP Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”: Guaratinguetá, 2002.
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