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Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante

Angulos y circunferencias

Aplicación de derivadas I

Aproximación de números decimales

Area de polígonos regulares y no regulares

Area del círculo

Areas de rectángulos cuadrados paralelogramos y triángulos

Asíntotas de una función

Congruencia entre triángulos

Continuidad

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Ecuación de la circunferencia

Ejes cartesianos y lectura de gráficos

El caleidoscopio y las simetrías

Expresiones algebraicas

Expresiones decimales finitas y periódicas

Fracciones y expresiones decimales

Función cuadrática en el básquet

http://secuencias.educ.ar/course/category.php?id=17[05/02/2011 18:30:11]

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Función exponencial

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Función trigonométrica

Funciones polinómicas

Homotecia

Lenguaje simbólico y regularidades numéricas

Logaritmos y propiedades

Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo

Medición y clasificación de ángulos

Mediciones de superficies

Medidas y pasajes de unidades

Métodos analíticos y gráficos para la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Notación científica

Números enteros

Números irracionales

Números irracionales y operaciones

Números Primos

Números racionales positivos

Operaciones básicas con fracciones

Operaciones con números naturales

Planteo de ecuaciones de primer grado con una incógnita

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Propiedades de las potencias

Puntos notables de un triángulo

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Raíces de un polinomio

Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

Sistema de numeración

Sistema sexagesimal de ángulos

Suma de los ángulos interiores de un polígono

Título Resolución de inecuaciones

Triángulos elementos y clasificación

Triángulos rectángulos y relación pitagórica.

Ubicación de números irracionales en la recta numérica

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Matemática / Ciclo Matemática / orientado Ciclo orientado

Análisis de funciones polinómicas

Análisis de funciones racionales

Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante

Angulos y circunferencias

Aplicación de derivadas I

Aplicaciones de la función cuadrática

Aproximación de números decimales

Area de polígonos regulares y no regulares

Area del círculo

Areas de rectángulos cuadrados paralelogramos y triángulos

Asíntotas de una función

Composición de funciones

Concepto e interpretación gráfica del límite de una función en un punto

Congruencia entre triángulos

Cónicas parte I

Cónicas parte II

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Derivada de funciones compuestas y regla de la cadena

Derivada de funciones y reglas de derivación

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Ecuación de la circunferencia

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Expresiones algebraicas

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Introducción a las funciones homográficas

Lenguaje simbólico y regularidades numéricas

Logaritmos y cambio de base

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Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo

Medición y clasificación de ángulos

Mediciones de superficies

Medidas y pasajes de unidades

Métodos analíticos y gráficos para la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas

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Números complejos números imaginarios

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Introducción al modelo 1:1 Introducción al modelo 1:1 e ideas para trabajar en el aula/ es un manual desarrollado por el ministerio de Educación de la Nación y educ.ar en el marco de Conectar Igualdad, a fin de acercar a todos los docentes argentinos una serie de ideas y estrategias para la integración de las computadoras portátiles en las prácticas de enseñanza. Ver (formato PDF) Descargar (formato ZIP)

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Colecci贸n Fasc铆culos Digitales: Competencias en TIC

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La propuesta comprende un conjunto de obras de diferentes períodos históricos y problemáticas estéticas. El objetivo es diversificar y problematizar la concepción actual del arte, con un abordaje a partir de núcleos temáticos que consideramos importante trabajar en la escuela hoy. La obras seleccionadas forman parte en su gran mayoría de las colecciones públicas del Museo Nacional de Bellas Artes (MNBA) y el Museo de Arte Contemporáneo de Rosario (MACRO). También se han incluido obras de la colección del Malba-Fundación Costantini, y otros proyectos de artistas –colectivos e individuales–.

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797: Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante

Introducción al modelo 1 a 1

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Inicio - Matemática / Ciclo básico PDF

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante Autores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Peña y Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Ángulos determinados por dos rectas paralelas y un recta secante Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Propósitos generales Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo. Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades En la siguiente secuencia analizaremos las relaciones que hay entre los pares de ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal, y sus propiedades.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Reconozcan los ángulos según su ubicación entre paralelas cortadas por una transversal. Estudien la relación que hay entre los diferentes pares de ángulos según su ubicación. Calculen la amplitud de los ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Visiten los siguientes links para conocer las relaciones que existen entre los pares de ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante, y sus propiedades. Relaciones importantes Ángulos y rectas paraleas 2) A partir de lo leído en los links anteriores, realicen la actividad que se presenta a continuación. Para ello utilicen el programa Geogebra instalado en sus equipos portátiles. a) Dibujen una recta (utilicen la opción de rectas que pasan por dos puntos); luego dibujen una recta, que sea paralela a la anterior (utilicen la opción de rectas paralelas) y por ultimo otra recta que corte a las dos anteriores (utilicen la opción de rectas que pasan por dos puntos). b) Indiquen, en la figura anterior, los ángulos que se piden a continuación: -un par de ángulos alternos internos; -un par de ángulos alternos externos; -un par de ángulos correspondientes; -un par de ángulos conjugados internos; -un par de ángulos conjugados externos; c) Comparen los pares de ángulos anteriores, indicando en qué casos son iguales y en qué casos son distintos. Para los que son distintos, hallen la relación que hay entre ellos.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4120[05/02/2011 18:31:15]

797: Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante d) Con sus palabras, redacten una conclusión en la que expliquen las relaciones y propiedades que existen entre los pares de ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta secante.

Actividad 2 1) Hallen el valor de los ángulos que se especifican en cada figura:

2) Entre todos discutan: a) ¿Qué resultado se obtiene si se suman los ángulos interiores del triángulo que se forma en la segunda figura? ¿Se puede afirmar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es la misma para cualquier triángulo? b) ¿Cómo podrían aplicar alguna de las propiedades de los ángulos entre paralelas (analizadas anteriormente) para demostrar esta propiedad?

Actividad de cierre 1) Hallen el valor de cada ángulo interior en cada una de las siguientes figuras y justifiquen su respuesta:

2) A partir de lo visto en el ítem anterior, discutan con sus compañeros y el docente: a) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de esos cuadriláteros? b) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del rombo? Justifiquen sus respuestas utilizando los conceptos vistos en esta unidad.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4120[05/02/2011 18:31:15]

797: Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante Ángulos y rectas paralelas Pares de ángulos formados por una transversal que corta líneas Ángulos y rectas paraleas

Webgrafía recomendada Ángulos formados por una recta y por una transversal Ángulos determinados por rectas paralelas determinadas por una secante

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4120[05/02/2011 18:31:15]

799: Angulos y circunferencias

Introducción al modelo 1 a 1

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Ángulos y circunferencias Autores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Peña y Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Reconocer los ángulos centrales, inscriptos y semi-inscriptos en una circunferencia. Exploración y validación sus propiedades Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia nos dedicaremos a estudiar los ángulos de una circunferencia, y veremos qué relación hay entre un ángulo central y el inscripto al mismo arco.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Encuentren la relación existente entre un ángulo central y el ángulo inscripto que abarca el mismo arco de circunferencia. Encuentren la relación existente entre un ángulo central y el ángulo semi-inscripto que abarca el mismo arco de circunferencia. Encuentren la relación que hay entre los ángulos inscripto y semi-inscripto que abarcan el mismo arco de circunferencia.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Ingresen al siguiente link para comprender qué es el ángulo central y qué es el ángulo inscripto de una circunferencia. a) A partir de lo leído, expliquen con sus palabras qué diferencias existen entre el ángulo central y el inscripto de una circunferencia. b) En el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen una circunferencia y marquen un ángulo central y su correspondiente inscripto (como se indica más abajo). Luego, respondan: ¿qué relación hay entre el ángulo inscripto y el central? Para la construcción del ángulo inscripto y el central, tengan en cuenta los siguientes pasos: Hagan clic en el ícono de circunferencia

y seleccionen la opción compás.

Luego marquen otro punto (este será el centro de la circunferencia) y presionen Enter para fijar la circunferencia. Así construimos la circunferencia.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4122[05/02/2011 18:31:26]

799: Angulos y circunferencias

Ahora queremos construir el ángulo central. Para ello presionen sobre el ícono recta que pasa por dos puntos

la opción “segmento dados dos puntos” y construyan un segmento cuyos seleccionen extremos sean (1) el centro de la circunferencia y (2) un punto perteneciente a ella. Repitan el paso anterior seleccionando otro punto de la circunferencia.

Así queda determinado el ángulo central, y así es como tienen que verlo:

Ahora construiremos el ángulo inscripto. Para ello, repitan el paso anterior pero tengan en cuenta que el ángulo inscripto es aquel cuyo vértice pertenece a la circunferencia y que los lados abarcan el mismo arco que el central, tal como se muestra en las siguientes secuencias:

Hasta acá lo que hicimos fue construir un ángulo inscripto. Ahora queremos medir la amplitud de cada ángulo. Para ello el ícono ángulos y seleccionamos la opción de ángulo a partir de tres puntos. Luego nos dirigimos al presionamos gráfico y medimos la amplitud, primero del ángulo central, considerando el primer punto (B), luego el centro de la circunferencia y el tercer punto (A).

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4122[05/02/2011 18:31:26]

799: Angulos y circunferencias

Para medir el ángulo inscripto repetimos el paso anterior, pero en el siguiente orden: primero el punto B, segundo el punto C y por último el punto A.

2) Investiguen en Internet o en otras fuentes a qué se denomina ángulo semi-inscripto de una circunferencia. 3) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para construir una circunferencia en la que se muestre el ángulo central y un ángulo semi-inscripto. ¿Qué relación hay entre el ángulo inscripto y el semi-inscripto que abarcan el mismo arco de circunferencia?

Actividad 2 1) Utilizando el programa Geogebra, construyan una circunferencia (recuerden los pasos de la actividad anterior): Tracen un diámetro de extremos A y B y marquen un punto que pertenezca a la circunferencia pero que no pertenezca al diámetro y llámenlo C. Tracen un ángulo con vértice en C que pase por los puntos A y B (recuerden los pasos de la actividad anterior). ¿Cuál es la amplitud del ángulo que quedó determinado? Muevan de lugar el punto C. ¿Cómo es la amplitud del ángulo que quedó determinado en este caso? 2) Discutan con sus compañeros y saquen una conclusión respecto a la amplitud de los ángulos inscriptos que abarquen el diámetro de la circunferencia.

Actividad de cierre Hallen el valor de los ángulos inscriptos o semi-inscriptos en cada una de las siguientes figuras:

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Ángulos en la circunferencia, en Wikipedia

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4122[05/02/2011 18:31:26]

799: Angulos y circunferencias

ﾃ］gulos en la circunferencia, en Vitutor ﾃ］gulos en una circunferencia, en Descartes Circunferencia ﾃ］gulos en la circunferencia, en Roble

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4122[05/02/2011 18:31:26]

775: Aplicación de derivadas I

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Aplicación de derivadas I Autor: Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Análisis de funciones, máximos y mínimos. Ceros de una función Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos con la aplicación de derivadas en el marco de la resolución de problemas. A través de las reglas de derivadas, los alumnos podrán plantear diferentes cálculos para resolver distintos problemas y verificar la validez del resultado obtenido, dentro del contexto del problema.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Analicen situaciones y resuelvan problemas para comprender la utilidad de las derivadas de una función. Interpreten la noción de derivadas analítica y gráficamente por medio de ejercicios de aplicación. Calculen máximos y mínimos de una función utilizando su derivada.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 El instrumento matemático básico para medir la razón de cambio de una función es su derivada. La derivada de una función en un punto representa la razón de cambio instantánea de esa función para ese valor de la variable independiente. En problemas demográficos y económicos, en lugar de derivada se utiliza el término tasa o valor marginal. En problemas de física, química, biología, etc., se suele hablar de velocidad y de rapidez. Mientras que la expresión razón de cambio es utilizada en todas las disciplinas. 1) Visiten los siguientes links y analicen los ejemplos que proponen: Derivadas, aplicaciones, optimización Aplicaciones: cálculos máximos y mínimos a) Luego, grafiquen las funciones que se presentan a continuación utilizando el programa graficador Geogebra, disponible en sus equipos portátiles.

b) Calculen las derivadas de las funciones del ítem anterior para encontrar mínimos, máximos y ceros.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4098[05/02/2011 18:31:37]

775: Aplicación de derivadas I

Actividad 2 1) Analicen y desarrollen las siguientes situaciones, en las cuales aparece el concepto de derivada: a) Supongamos que estamos analizando un río en el que ingresan desechos químicos según la siguiente expresión: g(t) = 0 · 2t2 + 3 · 8t g(t) representa la cantidad de deshechos en toneladas que se han vertido al río después de t días. b) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen la función g(t). c) Por medio de una función, expresen la velocidad con que ingresan los desechos químicos al río. d) Utilicen el programa Geogebra para realizar el gráfico de la función de velocidad hallada en el ítem anterior V(t). e) ¿Con qué velocidad aumenta la cantidad de deshechos al cabo de una semana? f) Hallen los máximos y los mínimos de la función V(t). 2) Un grupo de amigos hinchas de Boca que van todos los domingos a la cancha, quiere diseñar una bandera azul, con la franja del medio amarilla, de 14 metros de perímetro. Y quieren que el área de la parte azul sea de 9 m 2 , pero quieren que la franja amarilla tenga el mayor ancho posible sin alterar los valores antes mencionados. a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la bandera para que se cumplan esas condiciones? Utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles para realizar los cálculos necesarios. b) Hagan un dibujo mostrando posibles medidas de la bandera. Para ello, pueden utilizar algún programa de ilustración. c) Si el largo tiene que ser mayor que el alto, ¿cómo va a quedar la franja?, ¿vertical u horizontal?

Actividad de cierre 1) En el depósito de la escuela hay 60 m de listones de madera con los que se quiere construir un arenero de forma rectangular. La directora quiere que el arenero tenga la mayor superficie posible para que los chicos lo aprovechen mejor. a) ¿Qué medidas debe tener el arenero? Hagan un dibujo mostrando posibles medidas del arenero utilizando un programa ilustrador. Empleen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles para realizar los cálculos necesarios. 2) Discutan con el docente la utilidad que tienen las derivadas para resolver diferentes situaciones.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Aplicación de derivadas Videotutoriales de Geogebra Introducción a las funciones en Geogebra Funciones Geogebra

Webgrafía recomendada Aplicaciones de las derivadas Aplicaciones de la derivada Derivada, en Wikipedia

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4098[05/02/2011 18:31:37]

801: Aproximación de números decimales

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Aproximación de números decimales Autores: Daniel Brizuela, Javier Peña y Sebastián Vera Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Números decimales Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Los números decimales representan un punto concreto en la recta numérica. En muchas ocasiones realizamos cálculos matemáticos en los que debemos tomar decisiones que parten de nuestra propia experiencia. A veces, nuestras decisiones no coinciden con las que toma otra persona en las mismas circunstancias. Parece absurdo realizar esta afirmación justamente en el campo de las matemáticas, donde se supone que trabajamos en el área de las ciencias exactas.

Objetivos de las actividades Redondear un número decimal con parámetros aceptados por la comunidad científica. Operar con números decimales aproximados

Objetivos pedagógicos Impulsar el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Estimular la capacidad de resolver operaciones aproximadas con el menor error posible. Incitar la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Actividad 1 1) Formen grupos de cuatro alumnos. A los integrantes los llamaremos alumno A, alumno B, alumno C y alumno D. Cada grupo tomará una hoja en blanco.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4124[05/02/2011 18:31:47]

801: Aproximación de números decimales

2) El alumno A medirá con una regla los cuatro lados de la hoja en blanco con la mayor exactitud posible, utilizando obligatoriamente dos decimales en su medición. Lo anotará en su carpeta. Luego el alumno B realizará la misma operación. Luego el alumno C y, por último, el alumno D. Todos los miembros del grupo habrán medido los lados de la hoja en blanco y los habrán registrado en sus carpetas. (¡No vale mirar el registro de sus compañeros!) 3) Cada alumno calculará el perímetro de la hoja (recuerden que el perímetro es la suma de todos los lados). 4) Comparen los resultados. ¿Coinciden exactamente? 5) Discutan entre ustedes los motivos por los que el resultado que cada integrante del grupo obtuvo no coincide. Las conclusiones alcanzadas por ustedes abren un tema muy importante en el campo de las matemáticas: el concepto de error, estimación del error al realizar una medición, variables que intervienen al realizar observaciones y registrar medidas, etcétera.

Actividad 2 Ahora trabajaremos con ejercicios matemáticos en los que no tengamos que realizar mediciones. Supongamos entonces que el error que se produce al medir; entonces, como no vamos a medir, el error ya no existe. Veamos: 1) Cada uno de los integrantes del grupo debe resolver las siguientes operaciones. Para hacerlo, pueden utilizar la calculadora científica que está disponible en sus equipos portátiles. Expresen el resultado con solo tres decimales. 2 : 3 + 8 : 7 + √6 + 1,43 x 0,58 + 6,4 : 3 = 1,5 x 0,478 + 1 : 9 + 5,2 : 6 + √8 = 2) ¿Obtuvieron el mismo resultado en los dos ejercicios?

Actividad de cierre Aquí tendremos que establecer algunas pautas que permitan a todos los operadores resolver los ejercicios con las mismas consignas. 1) Establezcan en el grupo las pautas para redondear los números decimales y resuelvan la actividad 2 con las consignas establecidas por ustedes. 2) Vuelvan a hacer la actividad 2 pero utilizando cuatro decimales. 3) Busquen en Internet o en enciclopedias, manuales, etc., información sobre modelos aceptados matemáticamente para redondear números decimales. Como conclusión, podemos afirmar que, al trabajar con números, podemos cometer errores no solo al medir sino también al redondear. Al primer tipo de error se lo denomina error de medición y al segundo, error por aproximación. Ambos temas pueden ser investigados por ustedes y tenerlos en cuenta al momento de realizar operaciones matemáticas.

Links de interés y utilidad para el trabajo Redondeo de números Redondeo Fracción decimal Errores en las mediciones

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4124[05/02/2011 18:31:47]

803: Area de polígonos regulares y no regulares

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Área de polígonos regulares y no regulares Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Autores: Miguel Serrano y Javier Peña Temática: Área de polígonos regulares y no regulares Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Propósitos generales Impulsar el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo. Incitar la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades En esta sección se trabajará con polígonos regulares y no regulares. En las actividades, los alumnos realizarán procedimientos para el cálculo de áreas, y se construirán las fórmulas según la necesidad para resolver situaciones problemáticas, entendiendo que no es el único camino para la resolución de las mismas.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Analicen conjeturas sobre relaciones y propiedades geométricas y numéricas. Reconozcan áreas de figuras planas. Analicen, comparen y debatan sobre las distintas situaciones problemáticas y elijan las soluciones fundamentando el resultado obtenido.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para construir un hexágono regular. Para ello utilicen el comando polígono regular

y divídanlo en triángulos:

a) ¿En cuántos triángulos quedó dividido el hexágono? b) ¿Cómo calcularían el área de este polígono? 2) Ingresen al siguiente link para comprender cómo se calcula el área de un polígono regular. a) A partir de lo leído escriban una ecuación o fórmula general para calcular el área de un polígono regular. b) Utilicen la fórmula propuesta para calcular el área de: Un pentágono regular de lado 5 cm y apotema 2,5 cm. Un decágono regular de 3 cm de lado y apotema 1,2cm. c) Calculen el área y el perímetro de un pentágono regular de 7 cm de lado. f) Calculen el área y el perímetro de un heptágono regular inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4126[05/02/2011 18:31:58]

803: Area de polígonos regulares y no regulares

Actividad 2 1) Utilizando la calculadora científica, instalada en sus equipos portátiles, y reunidos en grupos de dos o tres alumnos, resuelvan los siguientes ejercicios: a)¿Cuánto vale el área de la parte sombreada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm²?

b) Encuentren el área del siguiente polígono irregular:

Actividad de cierre 1) El área de un polígono irregular se puede obtener triangulando el polígono y sumando el área de esos triángulos.

A = T1 + T2 + T3 + T4

a) Calculen el área total de la figura anterior sabiendo que T 1 = 10 cm2 , T 2 = 12 cm2 , T 3 = 12,7 cm2 y T 4 = 16 cm2 . b) Utilizando la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles resuelvan el siguiente ejercicio: La figura que ven a continuación representa el terreno de una finca, que se vende a razón de $50 el metro cuadrado. Hallen el costo de cada parcela y el costo total.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Polígonos, triángulos, cuadriáteros, perímetros y áreas

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4126[05/02/2011 18:31:58]

803: Area de polígonos regulares y no regulares Área de polígonos regulares Polígonos, áreas

Webgrafía recomendada Polígono regular Polígono

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4126[05/02/2011 18:31:58]

805: Area del círculo

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Área del círculo Autores: Miguel Serrano y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Área del círculo y aplicaciones Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección, se trabajará con el área de un círculo. En las actividades, los alumnos realizarán procedimientos para obtener la fórmula o expresión general del área de un círculo. Luego aplicarán esta fórmula para resolver diferentes situaciones problemáticas, entendiendo que no es el único camino para la resolución de ellas.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Interpreten y reconozcan el área del círculo. Analicen conjeturas sobre relaciones y propiedades geométricas y numéricas. Analicen, comparen y debatan sobre las distintas situaciones problemáticas y elijan las soluciones, fundamentando el resultado obtenido.

Actividad 1 1) Discutan las siguientes preguntas junto con su docente: ¿Qué es el diámetro y el radio de una circunferencia? ¿Cuál es la expresión general o fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia? ¿De dónde sale el número Pi? ¿Cuál es la diferencia entre la circunferencia y el círculo? Pueden profundizar estos temas en el siguiente link: Polígonos regulares y círculos. 2) Analicen el siguiente video para comprender cómo se obtiene la fórmula o expresión matemática del área de un círculo. 3) Con base en lo que observaron en el video anterior, analicen y resuelvan las siguientes cuestiones: a) El área del círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre la apotema

y el perímetro

del polígono, es decir:

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4128[05/02/2011 18:32:08]

805: Area del círculo

Si consideramos que el perímetro de un círculo es igual a la longitud

; de su circunferencia, podemos decir que:

Entonces, ¿a qué es igual la apotema? b) Utilicen los datos del ítem a) para rescribir la fórmula del área de un círculo colocando los nuevos conceptos. c) Utilicen el análisis hecho en los ítems anteriores para completar las siguientes igualdades entre las expresiones matemáticas, y expliquen con sus palabras cómo se obtiene el área de un círculo.

Actividad 2 1) Utilizando la calculadora de sus equipos, calculen el área de un hexágono, un isodecágono y un tetracontágono. Luego, calculen el área del círculo que contiene los polígonos anteriores y compárenla con cada área de estos últimos. a) ¿Qué resultado se aproxima más al área del círculo? b) ¿Por qué sucede esto? Pueden utilizar el link de la Actividad 1 (Polígonos regulares y círculos) para profundizar estos temas.

Actividad de cierre 1) En grupos de dos o tres alumnos, analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la calculadora científica de sus equipos para realizar todos los cálculos. a) Calculen el área de la parte sombreada considerando que el radio del círculo mayor mide 8 cm, y el radio de los círculos pequeños, 2 cm.

b) En el centro de un parque que tiene forma circular –600 m de radio– hay una fuente, también de forma circular, cuyo radio es de 7 m de radio. Calculen el área de la zona de paseo.

c) En una plaza de forma circular de radio de 250 m se van a poner 7 farolas, cuyas bases son círculos de un 1 m de radio; en el resto de la plaza van a sembrar césped. Calculen el área del césped. 2) Analicen los siguientes videos en lo que se cuentan algunas historias sobre el número Pi: Universo matemático: 2 historias de Pi 1/5 Universo matemático: 2 historias de Pi 2/5 a) Utilicen el procesador de texto de sus equipos para redactar un resumen de lo analizado.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4128[05/02/2011 18:32:08]

805: Area del círculo Área de un círculo, en Youtube Relación entre circunferencia y diámetro, en Youtube

Webgrafía recomendada Perímetro de un círculo Área de un círculo Polígonos

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807: Areas de rectángulos cuadrados paralelogramos y triángulos

Introducción al modelo 1 a 1

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Áreas de rectángulos, cuadrados, paralelogramos y triángulos Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Autores: Miguel Serrano y Javier Peña Temática: Área de los polígonos Nivel: Secundaria, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia los alumnos trabajarán con figuras planas tales como el rectángulo, el cuadrado, el paralelogramo y el triángulo.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Analicen conjeturas sobre relaciones y propiedades geométricas y numéricas. Reconozcan áreas de figuras planas. Analicen, comparen y debatan sobre las distintas situaciones problemáticas, y que elijan las soluciones fundamentando el resultado obtenido.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 El concepto de área esta relacionado con el espacio o la porción de tierra que seencuentra delimitada por ciertos límites. Para la geometría, un área es la superficie comprendida dentro del perímetro de una figura. 1) Reunidos en grupos de dos o tres alumnos, miren el siguiente video. En él se explica con mayor profundidad el concepto de área, cuáles son sus unidades y cómo se determina el área de diferentes figuras geométricas. 2) Utilizando el procesador de textos disponible en sus equipos portátiles, redacten un resumen de lo que visto en el video, para ello tengan en cuenta las siguientes cuestiones: a) ¿Quiénes fueron los primeros en trabajar con el concepto de área y para qué lo necesitaban? b) ¿Cómo se puede medir el área de una figura? c) ¿Quiénes son, en la actualidad, los que se encargan de medir las superficies de los campos o terrenos? ¿Qué instrumentos utilizan? d) Expliquen con sus palabras cómo se calcula el área de las siguientes figuras: rectángulo, paralelogramo y triángulo. 3) Ingresen al siguiente link para verificar cómo se realiza el cálculo del área del rectángulo, del paralelogramo y del triángulo, y escriban la ecuación. a) A partir de lo analizado en el ítem anterior en los dos ítems anteriores, escriban la ecuación o fórmula que les permite calcular el área de: cuadrado, rectángulo, paralelogramo, triángulo, rombo y trapecio.

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807: Areas de rectángulos cuadrados paralelogramos y triángulos

Actividad 2 Utilizando la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles resuelvan las siguientes actividades: 1) Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calculen: a) El área del campo. b) El precio del campo si el metro cuadrado cuesta $350. 2) Calculen el número de cerámicos cuadrados de 10 cm de lado que se necesitan para cubrir una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura. 3) Hallen el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno. 4) Calculen el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m². 5) Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su altura.

Actividad de cierre 1) Utilizando la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles calculen el área sombreada de cada figura:

2) Inventen y redacten una situación el la que necesiten calcular el área de las siguientes figuras: triángulo y rectángulo; paralelogramo; trapecio; pentágono regular.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Cómo calcular el área de un polígono Fórmula del área de un triángulo Área del cuadrado Áreal del rectángulo

Webgrafía recomendada Algunas ideas para enseñar geometría Perímetros y áreas de los polígonos Anexo: figuras geométricas Paralelogramo Superficie y área

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777: Asíntotas de una función

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Asíntotas de una función Autores: Rodrigo Weber, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Asíntotas verticales y horizontales Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará el concepto de asíntota de una función. En las actividades los alumnos determinarán gráfica y analíticamente las asíntotas de diferentes funciones

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Analicen y comprendan la noción de asíntotas horizontales y asíntotas verticales. Interpreten la noción de asíntotas analítica gráficamente. Justifiquen y validen distintos conceptos analítica o gráficamente.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Si trabajaron con límites infinitos, se habrán encontrado con rectas horizontales, verticales u oblicuas, y que las gráficas de las funciones se acercaban muchísimo a ellas sin llegar a tocarlas. Estas rectas se denominan asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. 1) Visiten los siguientes links: Asíntotas de una función Asíntotas 2) Luego, respondan: a) ¿A qué se denomina asíntota de una función? b) ¿Qué condiciones se deben cumplir para que existan las asíntotas horizontales y verticales de una función? c) Escriban un ejemplo de una función que cumpla con las siguientes condiciones en cada caso: o que no posea ninguna asíntota; o que posea una asíntota horizontal; o que tenga una asíntota vertical; o que tenga una asíntota horizontal y una vertical. 3) Utilicen el programa Winplot o el programa Geogebra, instalados en sus equipos portátiles, para graficar las funciones propuestas en cada caso.

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777: Asíntotas de una función

Actividad 2 1) Utilizando el programa Winplot o el programa Geogebra, grafiquen las siguientes funciones y escriban las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de cada una:

Actividad de cierre 1) Respondan verdadero o falso. Justifiquen todas sus respuestas. o Las funciones continuas no pueden tener asíntotas. o Una función puede tener más de una asíntota vertical. o Todas las funciones logarítmicas tienen asíntotas verticales. o Las funciones sen (x) tienen asíntota horizontal porque nunca son mayores a 1. o Las funciones del tipo f(x) = 1 : (ax2 + bx + c) siempre tienen asíntota vertical.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Asíntotas Asíntotas, en Matemática Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función Asíntotas, en Vitutor Asíntota, en Wikipedia

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809: Congruencia entre triángulos

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Congruencia entre triángulos Autores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Peña y Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Criterios de congruencia entre triángulos Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos con congruencias de triángulos. Tendremos en cuenta los requisitos necesarios para verificar si dos triángulos son congruentes. Para ello, primero trabajaremos con construcciones realizadas con regla y compás, y luego utilizaremos el programa Geogebra.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Construyan figuras de análisis usando diferentes niveles de precisión en el trazado. Resuelvan problemas con figuras planas. Produzcan y validen conjeturas Produzcan y analicen construcciones geométricas considerando las propiedades involucradas y las condiciones para su construcción.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Argumentar la validez de los siguientes enunciados. Si hay alguno falso, justificar con un contraejemplo: a) Es posible construir un único triángulo sabiendo la medida de dos ángulos. b) Es posible construir un único triángulo sabiendo la medida de un lado y los ángulos adyacentes a ese lado. c) Se puede construir un único triángulo sabiendo la medida de dos lados. d) Se puede construir un único triángulo sabiendo la medida los tres lados. 2) Utilizando regla y compás, construir un triángulo. Sabiendo que dos de sus lados miden 3 cm y 5 cm, determinen un ángulo de 50°. Calquen el triángulo que construyeron y superpónganlo con el que hicieron dos o tres de sus compañeros. ¿Cómo son los triángulos? 3) Completen la siguiente tabla:

Datos para la construcción de triángulos Dos ángulos Un lado y los ángulos adyacentes a ese lado Dos lados Tres lados Dos lados y el ángulo comprendido.

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¿El triángulo construido es único?

809: Congruencia entre triángulos 4) Entre todos debatan la siguiente pregunta: ¿cuáles son los criterios que permiten verificar que dos triángulos son congruentes?

Actividad 2 1) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, construyan triángulos que cumplan con los siguientes datos: Las longitudes de los lados son: 4 cm, 5 cm y 7 cm. Las longitudes de los lados son 5 cm y 6 cm, y el ángulo comprendido es de 60°. 2) Verifiquen cómo son estos triángulos con respecto a los de sus compañeros.

Actividad de cierre 1) Demostrar que: a) La altura de un triángulo isósceles acutángulo divide al triángulo en dos triángulos congruentes. b) La diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos congruentes.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Primer caso de congruencia de triángulos Segundo caso de congruencia de triángulos Tercer caso de congruencia de triángulos

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779: Continuidad

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Continuidad Autores: Rodrigo Weber, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Continuidad. Definición de continuidad. Discontinuidad evitable y esencial Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará con la definición de continuidad de una función desde el análisis geométrico y el analítico. A través de las herramientas de continuidad, los alumnos podrán plantear diferentes estrategias para hallar su solución y verificar la validez del resultado obtenido, ya sea gráfica o analíticamente.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan y calculen funciones continuas y discontinuas analítica y gráficamente. Estudien la continuidad de una función y clasifiquen sus discontinuidades.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Las funciones continuas son aquellas cuyo gráfico puede realizarse con un trazo continuo, que “no pega saltos” ni tiene “agujeros”. 1) Visiten los siguientes links para conocer el concepto de función continua: Continuidad y discontinuidad de una función Límites y continuidad 2) A partir de lo visto en los links, y en grupos de dos o tres alumnos, expliquen con sus palabras las siguientes cuestiones: a) Gráficamente, ¿qué significa que una función sea continua en un punto? Den un ejemplo de una función que sea continua en x = 5 y otra que no lo sea en ese mismo punto. Para ello utilicen el programa Geogebra o el programa Winplot, ambos instalados en sus equipos portátiles. b) ¿Qué casos de discontinuidad puede presentar una función? Den un ejemplo en cada caso. Utilicen el programa Geogebra para graficar la función propuesta en cada caso. c) Desde el punto de vista analítico, ¿qué condiciones deben cumplirse para que una función sea continua en un punto?

Actividad 2 1) Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen sus respuestas. En los casos en que la respuesta sea falsa, den un contraejemplo. Para responder utilicen el procesador de textos instalado en sus equipos portátiles y, en caso de tener que hacer algún gráfico, empleen el programa Geogebra, también instalado en sus equipos portátiles. La existencia del límite es condición necesaria para que una función sea continua en un punto. La existencia del límite es condición necesaria para que una función sea continua en un punto. Para que una función presente una discontinuidad no evitable de salto finito debe verificarse obligatoriamente que no exista el

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4102[05/02/2011 18:32:51]

779: Continuidad límite de esa función en ese punto. La función

es discontinua en x = 2.

Las funciones polinómicas de cualquier grado son siempre continuas para cualquier valor de x. Las funciones logarítmicas f(x) = log (ax + b) son siempre continuas para cualquier valor de x. Todas las funciones cuadráticas f(x)= ax 2 + bx + c son continuas para cualquier valor de x.

Actividad de cierre 1) Clasifiquen la discontinuidad de las funciones presentadas a continuación para los valores que se piden en cada caso. Utilicen el programa Geogebra o el programa Winplot, ambos instalados en sus equipos portátiles, para graficar cada función y tener una mayor apreciación del tipo de discontinuidad que presenta cada una.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Límites y continuidad YouTube - Continuidad de una función a trozos YouTube - Dominio de una función a trozos YouTube - Continuidad de una función a trozos http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/2.3.pdf Estudio de la continuidad de una función

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811: Divisibilidad

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Divisibilidad Autores: Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Divisibilidad, m. c. m., m. c. d. Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección se trabajará el concepto de división entera con números naturales. Para ello se proponen diferentes actividades en las cuales los alumnos deberán identificar y relacionar múltiplos y divisores de un número natural. Además deberán calcular el m. c. m. y d. c. m. de diferentes números naturales y resolver problemas en los que tengan que aplicar conceptos de divisibilidad.

Objetivos de las actividades Reconocer múltiplos y divisores. Utilización de números primos y compuestos. Saber calcular el m. c. m. y m. c. d. para la resolución de problemas.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Si una persona da pasos de 70 cm, ¿podrá cubrir una distancia de 490 cm? Ahora bien, la misma persona ¿podría cubrir en una cantidad exacta de pasos otra distancia de 520 cm? Para llegar a deducir las respuestas a estas preguntas, se utiliza el concepto de divisibilidad entre dos cantidades. Este tema tuvo su origen en el pasado, de la mano de algunas civilizaciones antiguas. A continuación verán un pequeño video relacionado con el concepto de divisibilidad. 1) Calculen todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860. 2) Descompongan en factores primos los siguientes números: 55; 74; 216; 360; 432. 3) Factoricen 342 y calculen la cantidad de divisores. 4) La divisibilidad brinda la oportunidad de conocer los números amigos, que son aquellos pares de números tales que la suma de los divisores de uno (sin considerar el mismo número) da como resultado el otro número. Utilizando la calculadora que tienen disponible en sus equipos portátiles, determinen si 220 y 284 son números amigos. 5) ¿Cuántos pares de números amigos puede haber? Investiguen en Internet, en manuales o enciclopedias quiénes fueron los primeros en trabajar con este tipo de números. 6) Calculen el m. c. d. y m. c. m. de: 12 y 26 428 y 376

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4134[05/02/2011 18:33:02]

811: Divisibilidad 148 y 156 -600 y 1000 7) En grupos de cuatro o cinco y utilizando el procesador de textos disponible en los equipos portátiles, realicen la siguiente tabla y completen con una cruz según corresponda (usen criterios de divisibilidad): … es múltiplo de … n.º

210 450 777 2520

Actividad de cierre También en grupos discutan y resuelvan las siguientes situaciones: 1) Si se tienen 2 tirantes de madera de 500 cm y de 450 cm de longitud y se quiere cortar en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que sobre madera: a) ¿Cuál será la longitud que deberá medir cada trozo? b) ¿Cuántos trozos pueden obtenerse de cada tirante? 2) Un hombre viaja a Tucumán cada 20 días y otro cada 30 días. Si se encontraron el 21 de enero en ese lugar, ¿cuál será la fecha en la que se volverán a encontrar en dicho lugar?

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo M. C. D. M. C. M. Múltiplo de un número Divisores de múltiplos naturales

Webgrafía La enseñanza de la divisibilidad Divisibilidad

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813: Ecuación de la circunferencia

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Ecuación de la circunferencia Autores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Peña y Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Ecuación de la circunferencia Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos la ecuación de la circunferencia teniendo en cuenta su centro y su radio.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan la ecuación de la circunferencia a partir del centro y del radio. Analicen las variaciones de la ecuación de la circunferencia a medida que varía el radio. Analicen las variaciones de la ecuación de la circunferencia a medida que varía el centro. Reconozcan la circunferencia como lugar geométrico.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 La circunferencia es una de las figuras geométricas más utilizadas en la historia de la humanidad. Si quisiéramos definirla matemáticamente, podríamos decir que es el conjunto de puntos que están en un mismo plano y que equidistan de otro punto llamado centro. 1) Ingresen al siguiente link para comprender el concepto de circunferencia y su ecuación general. 2) A partir de lo leído en el link anterior escriban la ecuación general de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas. ¿En qué varía la ecuación si el centro es el punto (1; 2)? 3) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para construir las siguientes circunferencias: a) De centro (0; 0) y radio 1. b) De centro (0; 0) y radio 2. c) De centro (0; 0) y radio 3. 4) Luego completen la tabla que se presenta a continuación:

Centro

Radio

(0; 0)

Ecuación

5) Escriban la ecuación de la circunferencia que figura a la izquierda de la pantalla, debajo del título objetos dependientes. a) ¿Cómo será la ecuación de la circunferencia si el radio es 5?

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813: Ecuación de la circunferencia

Actividad 2 1) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, construyan las siguientes circunferencias y luego completen la tabla que figura abajo con la ecuación de la circunferencia que se muestra en el lado izquierdo de la pantalla del programa, debajo del título objetos dependientes.

Centro

Radio

(0;3)

(0;-3)

(4;0)

(-4;0)

Ecuación

2) Ingresen al siguiente link y luego respondan: a) ¿Cómo sería la ecuación de la circunferencia en el caso en que el centro esté ubicado en el punto (1; 2) y tenga radio 2? b) Verifiquen la respuesta de la pregunta anterior utilizando el programa Geogebra.

Actividad de cierre 1) Utilizando el programa Geogebra, construyan dos circunferencias: una de centro (0; 0) y de radio 2, y la otra de centro (2; 0) y de radio 1. a) Luego hallen el punto de intersección entre ambas. Para ello utilicen la opción el ícono punto

, y hagan clic sobre la opción

intersección de dos objetos . Luego señalen con el puntero del mouse el punto de intersección de las dos circunferencias. Al costado izquierdo de la página aparecerán las coordenadas del punto de intersección buscado.

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813: Ecuación de la circunferencia

b) ¿A qué distancia está cada uno de los puntos del centro de ambas circunferencias? ¿Por qué?

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Ecuación de la circunferencia Circunferencia Más rectas y circunferencias Progresando en el conocimiento de la circunferencia Circunferencia y círculo

Webgrafía recomendada Ecuación de la circunferencia

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815: Ejes cartesianos y lectura de gráficos

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Ejes cartesianos y lectura de gráficos Autores: Mercedes Sens Hourcade y Sebastián Vera Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Ubicación de puntos en el sistema de ejes cartesianos, lectura de gráficos Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección trabajaremos con el sistema de ejes cartesianos. En las actividades los alumnos analizarán cómo se trabaja en este sistema de coordenadas. Ubicarán e interpretarán diferentes puntos en el plano cartesiano, y luego analizarán y construirán gráficos sencillos, utilizando el programa GeoGebra.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Conozcan el sistema de ejes cartesianos. Ubiquen puntos en un sistema de ejes cartesianos utilizando las coordenadas cartesianas. Lean e interpreten diferentes gráficos.

Actividad 1 Desde tiempos muy remotos el hombre necesitó confeccionar mapas y cartas geográficas para poder orientarse. Para ubicar una figura o un punto en un plano hace falta un sistema de referencia. En estas actividades trabajaremos con un sistema de referencia, conocido como sistema de ejes cartesianos. 1) Ingresen en el siguiente link para saber cómo se trabaja y se ubican puntos en el sistema de ejes cartesianos. 2) Con base en lo analizado en el link anterior, utilicen el programa de texto de sus equipos portátiles para contestar las siguientes preguntas: a) Expliquen con sus palabras qué es el sistema de ejes cartesianos. ¿Para qué se lo utiliza? ¿Quién fue el inventor de este sistema? b) Dibujen un sistema de ejes cartesianos indicando: El origen de coordenadas, El eje de las abscisas y el de las ordenadas. c) Expliquen cómo se representa un punto en este sistema de coordenadas y ubiquen los siguientes puntos: A = (-4,2), B = (3, -1), C = (-2,-6), D = (4, 6), P = (1;5); Q = (1,-5); R = (-1;-5); S = (-1;5) d) Indiquen en qué cuadrante se ubica cada punto del ítem c).

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815: Ejes cartesianos y lectura de gráficos

e) Escriban las coordenadas de cada punto ubicado en el siguiente sistema de coordenadas: 3) Utilicen el programa GeoGebra para ubicar todos los puntos del ítem c). Los siguientes videos les servirán de ayuda para comprender cómo se ubican puntos en este programa: Introducción a GeoGebra GeoGebra: puntos y polígonos

Actividad 2 1) Utilizando el programa GeoGebra, ubiquen los siguientes puntos: A = (0;1), B = (3;5), C = (-2;7), D = (-5;-3). a) Unan los puntos anteriores con segmentos en el siguiente orden: ABCDA. ¿Qué figura quedó determinada? ¿Cuántos lados tiene? 2) Utilizando el programa GeoGebra, construyan los siguientes polígonos e indiquen las coordenadas de los vértices:

un rombo un paralelogramo un trapecio isósceles un romboide 3) Utilicen el programa GeoGebra para representar: a) Dos puntos M y N, tal que sus abscisas sean números opuestos. b) Dos puntos P y Q, tal que la ordenada de P sea el doble de la ordenada de Q. c) Tres puntos con abscisa -1. d) Todos los puntos con abscisa -1. e) Todos los puntos de ordenada 5.

Actividad de cierre 1) Analicen la siguiente situación: Enrique sale de su casa y se dirige hacia el almacén, compra un paquete de yerba y luego retoma el camino hacia su casa, cuando pasa por el quiosco se detiene a comprar un chocolate, y luego vuelve a su casa. El siguiente gráfico representa la cantidad de cuadras recorridas por Enrique en función de los minutos que estuvo fuera de su casa.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4138[05/02/2011 18:33:24]

815: Ejes cartesianos y lectura de gráficos

2) Respondan las siguientes preguntas: a) ¿Durante cuánto tiempo Enrique estuvo fuera de su casa? b) ¿A cuántas cuadras le queda el negocio que está más lejos de su casa? c) ¿Cuánto tiempo estuvo en el almacén? d) ¿Cuántas cuadras hay entre el almacén y el quiosco? e) ¿En qué tiempo estuvo a una cuadra de su casa? 3) Utilicen el programa GeoGebra para construir un gráfico que represente la siguiente situación: Lucía sale de su casa y llega a la plaza, que está a 7 cuadras, en 10 minutos; se queda ahí durante 30 minutos y luego se dirige a la casa de su amiga, que queda a 5 cuadras de la plaza y a 12 de su casa; en la casa de su amiga se queda durante una hora y luego regresa a su hogar.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Localización de coordenadas con valores enteros Coordenadas cartesianas

Webgrafía recomendada Coordenadas cartesianas Videotutoriales de GeoGebra

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817: El caleidoscopio y las simetrías

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El caleidoscopio y las simetrías Autor: Fernando Luis Maffuche Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Simetría Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Actividades para descubrir imágenes simétricas y movimientos en el interior del caleidoscopio.

Objetivos de las actividades Brindar información a través de imágenes obtenidas en el interior del caleidoscopio. Investigar y trabajar sobre estos efectos, con el propósito de estimular la reflexión crítica. Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Estimular el trabajo en grupo y el intercambio de ideas. Desarrollar la manipulación fina y la creatividad. Descubrir la presencia de la Matemática, en este caso particular de la Geometría, en la vida cotidiana.

Objetivos pedagógicos

Actividad 1: Construcción de un caleidoscopio Un caleidoscopio (del griego kalós: “bella”; éidos: “imagen” y scopéo: “observar”) es un tubo que contiene tres espejos que forman un prisma triangular con su parte reflectante hacia el interior, al extremo de los cuales se encuentran dos láminas traslúcidas entre las cuales hay varios objetos de color y forma diferente, cuyas imágenes se ven multiplicadas simétricamente al ir girando el tubo mientras se mira por el extremo opuesto. Dichos espejos pueden estar dispuestos a distintos ángulos: a 45º de cada uno se generan ocho imágenes duplicadas; a 60º se observan seis duplicados; y a 90º, cuatro. Aunque lo más común es que un caleidoscopio esté integrado por tres espejos, también puede construirse con dos o más de tres para

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817: El caleidoscopio y las simetrías conseguir distintos tipos de efectos. El caleidoscopio moderno fue inventado en 1816 por el físico escocés David Brewster. Materiales necesarios: 3 espejos de forma rectangular (aproximadamente de 4 cm x 20 cm); cinta adhesiva; papelitos de distintos colores o lentejuelas; 1 hoja de papel de calcar n.º 3; 1 hoja canson n.º 5 de color oscuro. Procedimiento:

1) Coloquen los espejos de forma tal que formen un triángulo –como se indica en las fotografías– y péguenlos con la cara brillante hacia adentro. 2) Corten un triángulo de cartulina y otro de papel de calcar del tamaño de las bases, como muestra la imagen a continuación.

3) Peguen el triángulo de papel de calcar en una de las bases. Por el extremo abierto, coloquen las lentejuelas o papelitos de distintos colores, como se ve en la imagen.

4) Realicen un orificio en el centro del triángulo de cartulina que pegaron en la otra base. Vean la imagen siguiente.

5) Orienten el caleidoscopio hacia una fuente de luz, muévanlo lentamente, observen por el orificio y… ¡a asombrarse!

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817: El caleidoscopio y las simetrías

Recomiéndenles a sus alumnos que, como trabajo previo a la construcción del caleidoscopio, busquen información en Internet o en otras fuentes sobre las distintas clases de caleidoscopios que existen. Y durante el desarrollo de la construcción realicen distintos momentos de puesta en común para enriquecer el trabajo.

Actividad 2: Observación de las distintas imágenes que se forman en el interior del caleidoscopio El objetivo de esta actividad es que los alumnos puedan relacionar el instrumento realizado con la Geometría. 1. ¿Qué tipo de simetrías observaron en las figuras que se encuentran en el interior del caleidoscopio? 2. En el interior del caleidoscopio, ¿existe el movimiento de traslación? ¿Por qué?

Actividad de cierre 1) Saquen fotografías de las imágenes internas que se forman en el instrumento (puede ser con la webcam de los equipos portátiles o con otro dispositivo) y realicen una presentación de las fotos obtenidas con el programa de presentación de imágenes o de edición de videos, indicando en cada una de ellas qué tipo de simetría o movimiento se observa en la foto.

Actividad 3 1) Con las herramientas de dibujo del procesador de textos disponible en sus equipos portátiles, dibujen: a) un logotipo de alguna marca que posea eje de simetría; b) una señal de tránsito que posea centro de simetría. 2) Piensen nombres de países de Europa que, ubicados como en el ejemplo, sean simétricos respecto del eje E.

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819: Expresiones algebraicas

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Expresiones algebraicas Autores: Sebastián Vera y Javier peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Expresiones algebraicas Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En este espacio se intentará interpretar expresiones matemáticas en las que números y letras se disponen de tal forma que permiten formular problemas y establecer leyes en el área. En las actividades, los alumnos trabajarán con el uso de letras para generalizar propiedades geométricas y numéricas. Además interpretarán fórmulas y expresiones algebraicas sencillas.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan e interpreten fórmulas y expresiones algebraicas. Utilicen las expresiones algebraicas para representar y generalizar propiedades geométricas y numéricas. Realicen operaciones básicas con expresiones algebraicas. Identifiquen y desarrollen algunos productos notables como el cuadrado de un binomio.

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821: Expresiones decimales finitas y periódicas

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Expresiones decimales finitas y periódicas Autores: Sebastián Vera, Rodrigo Weber y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Pasaje de una expresión decimal finita o periódica a una fracción Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección trabajaremos con el pasaje de números decimales finitos o periódicos a una fracción. En las actividades los alumnos podrán pasar de una fracción a su expresión decimal, y la clasificarán en finitas y periódicas, dependiendo del resto obtenido al dividir el numerador de la fracción por su denominador. También se abordará el problema inverso, es decir, dado un decimal finito o periódico, pasarlo a su representación fraccionaria. Por último se trabajará con diferentes situaciones de la vida cotidiana que involucren distintas operaciones con este tipo de números decimales.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan los decimales finitos y periódicos (puros o mixtos). Expresen una fracción como número decimal. Expresen un número decimal como fracción. Resuelvan diferentes situaciones que involucren operaciones con números decimales finitos y periódicos.

Actividad 1 Sabemos que toda fracción puede escribirse como un número decimal, para ello solo hay que dividir el numerador por el denominador de dicha fracción. Por ejemplo:

(Compruébenlo haciendo la división entre el numerador y el denominador.)

En este caso el cociente es un número decimal exacto porque, después de varios pasos, el resto de la división es 0. 1) ¿Qué otros tipos de números decimales podemos obtener al dividir el numerador y el denominador de una fracción? Dividan los numeradores y denominadores de las siguientes fracciones:

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821: Expresiones decimales finitas y periódicas

a) ¿Qué sucedió con el resto en cada una de las divisiones anteriores? ¿Recuerdan cómo se llaman los decimales obtenidos en cada división? Ingresen en el siguiente link para repasar y profundizar este tema. b) Con base en lo analizado en el link anterior, expliquen con sus palabras qué es un decimal finito, un decimal periódico puro y un decimal periódico mixto.

Actividad 2 1) En grupos de dos o tres alumnos, analicen la siguiente información: El promedio de goles por partido en el mundial de Sudáfrica 2010 apenas superó al de Italia 1990, considerado como el más bajo de toda la historia, con 2, 1 goles por partido. a) Si en el mundial de Sudáfrica se marcaron 145 goles en 64 partidos, ¿cuál es el promedio de gol por partido? ¿Es un número decimal finito o periódico? b) Este promedio está muy por debajo del máximo obtenido en el mundial de Suiza en 1954, donde se convirtieron 140 goles en 26 partidos. ¿Cuál fue el promedio de gol por partido en este mundial? ¿Es un número decimal finito o periódico? c) ¿Cómo podrían calcular la diferencia entre el promedio de goles por partido entre el mundial de Sudáfrica en 2010 y el de Suiza en 1954? ¿Cuál sería el promedio de goles entre estos dos mundiales? ¿Y entre los tres mundiales? Planteen todos los cálculos que consideren necesarios y discutan su respuesta con los demás grupos y el docente. d) Una forma práctica de resolver el cálculo anterior es pasar cada número decimal a una fracción. Ingresen en el siguiente link para comprender cómo se realiza el pasaje de un decimal finito o periódico a una fracción. e) Con base en lo analizado en el link anterior, escriban un resumen en el programa Writer, incorporado en sus equipos portátiles. Expliquen, brevemente, cómo se pasa un número decimal a una fracción. Distingan entre decimal finito, periódico puro y mixto. Muestren un ejemplo en cada caso. f) Utilicen el resumen del ítem e) para pasar a fracción, los promedios de gol por partido obtenidos en a) y b), y luego realicen los cálculos pedidos en el ítem c). Usen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles para comprobar los resultados.

Actividad 3 Analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la calculadora científica para realizar todos los cálculos necesarios. 1) Un coche lleva una velocidad constante de 105,3 km / h. a) Después de 4 horas y 35 minutos, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido? b) ¿Después de cuántos minutos habrá recorrido 335 km? 2) Un campo de dimensiones rectangulares mide 135, 53 m de largo y 55,97 m de ancho. a) ¿Cuantos metros de alambre debemos comprar para cercar el terreno? b) Si el rollo de 10 metros de alambre cuesta $55,05, ¿cuántos rollos de alambre tenemos que comprar? ¿Cuánto gastaremos en total?

Actividad de cierre 1) Discutan las siguientes preguntas y justifiquen su respuesta: a) ¿Es posible que 0,9 = 1? y ¿2,39 = 2,4? b) Sabemos que toda fracción o número racional puede escribirse como un decimal finito o periódico, pero ¿será posible escribir cualquier número decimal como una fracción? ¿Existirán números decimales que no se puedan escribir como una fracción? Investiguen sobre este tema en diferentes páginas de Internet y discutan lo analizado junto con el docente.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Números decimales Números decimales, en Descartes Decimales Matemática 2, unidad 1 – Números decimales

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821: Expresiones decimales finitas y peri贸dicas

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823: Fracciones y expresiones decimales

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Fracciones y expresiones decimales Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Autores: Miguel Serrano, Javier Peña y Daniel Brizuela Temática: Expresiones decimales finitas y periódicas Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección se trabajará con el pasaje de una fracción a su representación decimal. Para ello los alumnos trabajarán con diferentes actividades en las cuales podrán clasificar las distintas expresiones decimales, obtenidas de la división entre el numerador y el denominador de una fracción (finita, periódica pura o mixta). Además, podrán analizar cuando una fracción tiene una expresión decimal finita o periódica.

Objetivos de las actividades Pasaje de una fracción a su expresión decimal. Analizar en que casos una fracción tiene una expresión decimal exacta o una periódica. Comparar y debatir sobre las distintas situaciones problemáticas y elegir las soluciones fundamentando el resultado obtenido. Utilizar, para la resolución de problemas, el entorno tecnológico.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Toda fracción puede expresarse en forma de número decimal. Para poder hacerlo, hay que dividir el numerador por su denominador. 1) Obtengan las expresiones decimales de las siguientes fracciones y comprueben sus resultados utilizando la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles:

2) Junto con su docente discutan las siguientes cuestiones: a) ¿En qué se diferencian las expresiones decimales obtenidas en cada fracción?

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823: Fracciones y expresiones decimales

b) ¿Cómo se pueden clasificar? 3) Para profundizar este tema les recomendamos ingresar a los siguientes links: Paso de fracción a decimal Expresión decimal 4) Luego de leer la información dada en los links anteriores, clasifiquen cada expresión obtenida en el ítem 1 como: expresión decimal exacta, expresión periódica pura o expresión periódica mixta.

Actividad 2 1) Construyan la siguiente tabla en el programa de hojas de cálculos, instalado en sus equipos portátiles, y completen las filas que faltan:

Fracción

Significado

Resultado

19 : 90

0,21111…

17 : 10

1,7

10 : 33

0,3030…

Notación

Tipo de expresión decimal

periódica mixta

1,7

exacta

periódica pura

2) Descompongan los denominadores de cada una de las fracciones dadas en el ítem 1 de esta actividad en factores primos. 3) ¿Qué relación observan entre los factores primos de cada denominador y la expresión decimal de cada fracción? Justifiquen su respuesta y debátanla junto con el docente.

Actividad de cierre 1) Investiguen en sitios de Internet u otras fuentes las siguientes cuestiones: a) ¿Quiénes fueron los primeros matemáticos en trabajar con expresiones decimales? ¿Por qué necesitaban trabajar con este tipo de expresiones? b) Toda fracción se puede escribir como un número decimal: finito, periódico o mixto. ¿Será posible escribir cualquier número decimal como una fracción?

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823: Fracciones y expresiones decimales

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Expresión decimal de números racionales Fracciones y expresiones decimales Expresiones decimales, fracción generatriz y notación científica Números decimales

Webgrafía recomendada Números decimales, un poco de historia

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781: Función cuadrática en el básquet

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Función cuadrática en el básquet Autores: Martín Miguel Pérez y Ana Verónica Veltri Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Función cuadrática Nivel: Secundario, ciclo básico y ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Esta secuencia permite el abordaje de los siguientes temas: Aplicación de las funciones cuadráticas a la ecuación de la trayectoria de una pelota de básquet en un tiro libre (ideal), e interpretación de los parámetros que intervienen en la fórmula de la función. Para poder realizar las actividades presentadas a continuación, es necesario que los alumnos manejen las relaciones trigonométricas y la fórmula de la función cuadrática.

Objetivos pedagógicos Actividad 1: Presentación de la función e identificación de los parámetros Se trabajará con base en la función f (x) = Ax 2 + Bx + C. Sin embargo, atendiendo a las condiciones iniciales del tiro libre de básquet –que corresponde a un tiro oblicuo–, debe considerarse que: A se relaciona con la aceleración de la gravedad, la velocidad inicial y el ángulo de tiro –medido respecto de la horizontal–; B se relaciona con el ángulo de tiro; C representa la altura desde la que parte la pelota –que depende de la altura del basquetbolista–. En estas condiciones, la ecuación de la trayectoria de la pelota de básquet en el tiro libre es:

–Se puede aproximar la gravedad a 10 m/s 2 –. 1) Dentro de esta fórmula, identifiquen los parámetros A, B y C. 2) ¿Qué parámetros de la ecuación cuadrática varían al modificar la velocidad de tiro al momento del lanzamiento? ¿Y si se modifica la altura de tiro? ¿Y si ahora cambia el ángulo de tiro? Si trabajan en coordinación con un docente de Física, él podrá darles el enfoque y la interpretación correspondiente a su asignatura. En tal caso, puede analizarse la descomposición de la velocidad en sus componentes rectangulares mediante las relaciones trigonométricas.

Actividad 2: Visualización de la trayectoria y de los cambios físicos que se producen al variar los parámetros Para realizar esta actividad, deben descargar el archivo de GeoGebra, al que pueden acceder haciendo clic aquí. El origen de las coordenadas se ubicó en el punto en el que se para el jugador para ejecutar el tiro libre, y las medidas respetan aproximadamente a las medidas reales. Sus alumnos podrán variar las condiciones iniciales del tiro libre de básquet (altura, velocidad y ángulo de tiro) y visualizar cómo varía

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781: Función cuadrática en el básquet la trayectoria en función de ellos.

Después de variar las condiciones iniciales, y antes de iniciar el lanzamiento, es conveniente mover el deslizador “Pelota”, de manera que la pelota se ubique en el punto de partida (como se observa en la imagen). Ahora sí, activen la pelota con el botón encuentra en el extremo inferior izquierdo de la pantalla.

, que se

Pueden ensayar varios tiros hasta lograr el enceste (pueden estimar las posiciones iniciales, considerando qué parámetros pueden variar si necesitan, por ejemplo, que la curva sea más “cerrada”, o si es preciso que la pelota alcance mayor altura, etcétera). Si quieren borrar las trayectorias anteriores, alcanza con presionar Ctrl + F. También pueden buscar en Internet la altura de algunos basquetbolistas famosos e intentar distintas velocidades y ángulos de tiro hasta encestar. Además, podrían indicarles distintas condiciones iniciales y pedirles que hallen la posición de la pelota al alcanzar la altura máxima en ese tiro, o el alcance de ella, en el caso de no encestar. Se muestran dos ejemplos: Si la pelota parte desde una altura de 2,05 m con un ángulo de 50º y una velocidad de 7,30 m/s, ¿cuál será la posición de la pelota al alcanzar la altura máxima? Si ahora la pelota parte desde una altura de 2,30 m con un ángulo de 60º y una velocidad de 6,8 m/s, ¿a qué distancia del jugador la pelota tocará el piso (a esta distancia se la llama alcance)? Para verificar las soluciones obtenidas, sus alumnos podrán ubicar los deslizadores según las condiciones del problema y tildar las casillas correspondientes en el mismo archivo. Los deslizadores también pueden usarse haciendo clic sobre cada uno y moviéndolos con las flechas del teclado. Igualmente pueden incluirse problemas en los que se dan algunas de las posiciones iniciales y se buscan otras, como: en el último partido, Juan lanzó un tiro libre y la pelota alcanzó la máxima altura al ubicarse en el (2,83; 4). Cuando realizó el lanzamiento, Juan soltó la pelota a 1,90 m del piso y con un ángulo de tiro de 56º. ¿Con qué velocidad lanzó la pelota? Como en los problemas anteriores, la respuesta puede verificarse en el mismo archivo, pero esta vez se deberán mover los deslizadores hasta los valores que se dieron como dato y hasta la velocidad obtenida, y verificar el punto donde se alcanza la altura máxima. (Es aconsejable trabajar con todos los decimales de la calculadora para no propagar errores, y redondear los centésimos solo en la respuesta).

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Efdeportes

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783: Función exponencial

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Función exponencial Autores: Rodrigo Weber y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Función exponencial, estudio del rápido crecimiento y decrecimiento. Análisis de gráficos. Desplazamientos verticales y horizontales. Aplicaciones en diferentes situaciones Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Mediante estas actividades los alumnos podrán observar la aplicación de la función exponencial en la vida real por medio de problemas de aplicación. También se realizarán por medio del programa Geogebra diferentes gráficos de la función para identificar su dominio e interpretar su crecimiento o decrecimiento.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Analicen situaciones y resuelvan problemas para reconocer y comprender la aplicación de la función exponencial en el mundo real. Desarrollen estrategias para interpretar la realidad a través de la matemática. Interpreten situaciones problemáticas vinculadas a función exponencial. Utilicen funciones para modelizar fenómenos del mundo real.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 En fenómenos como la evolución de población, la desintegración radiactiva y la reproducción de bacterias se encuentran magnitudes que varían con un ritmo muy acelerado, produciendo rápidos aumentos o decrecimientos, como por ejemplo el crecimiento de una población debido a diferentes factores o el crecimiento acelerado de una bacteria estudiada en un laboratorio, etc. Todos estos son hechos acordes a un modelo expresado por la función exponencial. 1) Vean los siguientes videos: No linealidad - Crecimiento exponencial Función exponencial (matemática) 2) Escriban un resumen sobre la historia de la función exponencial. Den ejemplos y destaquen sus aplicaciones en la vida real. Para realizar esta actividad, utilicen el procesador de textos instalado en sus equipos portátiles.

Actividad 2 1) Un laboratorio se estudia el comportamiento de una población de bacterias y ha comprobado que a temperatura ambiente, las bacterias se producen de manera muy acelerada y que se duplican cada 20 minutos. En cierto momento se cuentan 64 ejemplares. Respondan las siguientes cuestiones: a) ¿Cuántas bacterias había dos horas antes de los 64 ejemplares? ¿Cuántas habrá dos horasdespués?

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783: Función exponencial b) ¿Cuántas se sumarán durante la primera hora, a partir de los 64 ejemplares? ¿Y en la segunda hora? ¿Y en la tercera? c) Encuentren una expresión que permita calcular, sabiendo el tiempo medido en minutos, qué cantidad de ejemplares (bacterias) se tendrán, o viceversa. d) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que haya 22.768 ejemplares? e) Representen gráficamente con el programa Geogebra la expresión hallada en el ítem c.

Actividad 3 Utilizando el programa Geogebra, grafiquen siguientes funciones dadas a continuación. Encuentren el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los ceros de cada función:

Actividad de cierre En un lago del sur de la Argentina un grupo de científicos acaba de descubrir una nueva especie de bacterias que se estaría reproduciendo muy rápido y podría causar muchas enfermedades en la población. Estudios recientes revelaron que esta especie se reproduce cada una hora partiéndose en dos (bipartición) y que inicialmente todo habría comenzado con una bacteria. 1) Completen el siguiente cuadro para saber cuánto crecerá la población de bacterias a medida que pasen las horas: Tiempo Población de bacterias

0 hs.

1 hs.

2 hs.

3 hs.

4 hs.

5 hs.

6 hs.

7 hs.

8 hs.

9 hs.

10 hs.

b) ¿Cuántas bacterias habrá a las dos horas y media? c) ¿Cuántas bacterias habrá a los dos días? d) Los biólogos calcularon que si la población de bacterias crece hasta alcanzar los 4.096 ejemplares, correríamos un grave peligro de contaminación. ¿Cuántas horas deberían pasar para que ocurra este desastre? e) Escriban una expresión o fórmula matemática que les permita hallar la cantidad de bacterias en función del tiempo (en horas). Con los datos obtenidos, propongan un gráfico que represente esta situación.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Funciones exponenciales Función exponencial, en Wikipedia Función exponencial, en vitutor Función exponencial, en unlu Funciones exponencial y logarítmica Función exponencial (matemática) No linealidad - Crecimiento exponencial

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785: Función inversa

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Función inversa Autores: Rodrigo Weber, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Función inversa, concepto y cálculo de funciones inversas Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará sobre la aplicación de la función inversa.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Analicen situaciones y resuelvan problemas para reconocer la utilidad de la función inversa. Reconozcan gráfica o analíticamente la inversa de una función. Comprendan el uso de las funciones inversas y que puedan usarlas en problemas de aplicación.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Visiten los links que se presentan a continuación para conocer lo que son las “funciones invertibles” o funciones a las cuales se les puede calcular su inversa: Familias de funciones: tipos y operaciones Funciones - Gráfico de la función inversa 2) Luego, expliquen con sus palabras: a) ¿Qué es la función inversa? Den, por lo menos, tres ejemplos y para cada uno de ellos grafiquen la función y su inversa en un mismo sistema de ejes cartesianos. Para realizar la consigna pueden utilizar el programa Geogebra o el programa Winplot, ambos instalados en sus equipos portátiles. b) Redacten un informe para entregar sobre las funciones inversas de funciones elementales y trigonométricas. Hallen su dominio y grafiquen cada función y su inversa en un mismo grafico.

Actividad 2 a) Dadas las siguientes funciones, calculen la función inversa y hallen su dominio.

b) Graficar con Winplot cada funcion y su inversa en un mismo sistema de ejes cartesianos.

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785: Función inversa

Actividad de cierre 1) La siguiente función f (x) = 1,8x + 32Cº permite pasar la temperatura representada en grados Celsius (ºC) a grados Fahrenheit (ºF). a) A partir de cualquier temperatura en grados Fahrenheit, encuentren la función que también les permite obtenerla en grados Celsius. b) Sabiendo que el papel arde aproximadamente a 451º F, ¿a cuántos grados Celsius habrá que exponerlo para quemarlo? 2) En grupos de dos o tres alumnos investiguen en páginas de Internet o en otras fuentes y respondan las siguientes consignas: a) Analicen la conversión de temperaturas Fahrenheit / Celsius destacando su relación con la matemática. b) ¿Quiénes fueron Fahrenheit y Celsius? Utilizando el programa Writer, instalado en sus equipos portátiles, redacten un resumen y desarrollen una presentación en Impress.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Funciones inversas, ejercicio, en YouTube Fución inversa, en YouTube Función recíproca, en Wikipedia Función inversa Función inversa

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787: Función trigonométrica

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Función trigonométrica Autor: Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Análisis de las funciones trigonométricas seno y coseno: variación de parámetros y construcción de gráficos Nivel: Secundario, ciclo orientado. Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia analizaremos las funciones trigonométricas seno y coseno. A lo largo de las actividades los alumnos tendrán que graficar estas funciones, analizar sus propiedades y observar sus corrimientos.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Analicen las funciones trigonométricas del seno y coseno, y estudien sus propiedades. Relacionen e interpreten situaciones problemáticas mediante el uso de funciones trigonométricas. Justifiquen y validen distintos conceptos analítica o gráficamente.

Actividad 1 Las funciones trigonométricas se usan para calcular situaciones en las que intervienen triángulos planos. 1) Ingresen en los siguientes links para trabajar con las razones trigonométricas seno y coseno. Y analicen cómo se representan las funciones trigonometriítas gráficamente trabajando con las imágenes interactivas que aparecen en los links. Función seno Función coseno 2) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen las funciones que se presentan a continuación. Para cada función indiquen imagen, dominio, amplitud, período, ceros de la función, máximos y mínimos en cada caso. a) f(x) = 4sen (2x + 4p) b) f(x) = cos (x + p) c) f(x) = 5sen (-3x) d) f(x) = 3cos (4x + p)

Actividad 2 1) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen las funciones que se presentan a continuación. Luego, respondan si las afirmaciones que acompañan a cada función son verdaderas o falsas. a) f(x) = sen x + 4, está desplazada 4 unidades con respecto al eje x. b) f(x) = sen (x + 4p), está desplazada 4p hacia la derecha.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4110[05/02/2011 18:34:51]

787: Función trigonométrica c) f(x) = sen (4x + p), tiene por ángulo de fase a p. d) f(x) = cos(2x + 2p), tiene por ángulo de fase a 2p. e) f(x) = cos(x - 6), está desplazada 6 unidades hacia abajo. 2) El péndulo de un reloj se mueve periódicamente y se separa 5 cm de la vertical. La ecuación que describe el movimiento es: S(t)= 5 sen 4 pt, esta ecuación representa la distancia de la pesa a la vertical, en función del tiempo (t).

a) Representen gráficamente s(t). b) Decidan a qué distancia de la vertical y de qué lado de ella (derecho o izquierdo) estará la pesa: A los 4/3 seg. A los 2 seg. A los 17/8 seg. c) ¿Qué distancia máxima alcanza el péndulo con respecto a la posición original? d) ¿En qué instante el péndulo del reloj alcanza la distancia máxima? e) Indiquen el período en el que se mueve el péndulo.

Actividad de cierre 1) En grupos de dos o tres alumnos, investiguen en Internet o en otras fuentes la biografía del matemático, astrónomo y geógrafo Ptolomeo. 2) Utilizando el procesador de textos instalado en sus equipos portátiles, redacten la biografía de este matemático. Hagan hincapié en cuáles fueron sus aportes en la matemática, la astronomía, la óptica y la música.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Introducción trigonometría Apuntes de trigonometría

Webgrafía recomendada Función seno Función trigonométrica, en Wikipedia Trigonometría, en monografias.com

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789: Funciones polinómicas

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Funciones polinómicas Autores: Sebastián Vera, Rodrigo Weber y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Introducción a funciones polinómicas Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará con funciones polinómicas. En la actividades los alumnos realizarán gráficos aproximados de diferentes funciones polinómicas, y hallarán primero sus raíces y los conjuntos de positividad y negatividad. También utilizarán el programa Geogebra para corroborar los gráficos propuestos en cada actividad.

Objetivos de las actividades. Que los alumnos: Retomen los conceptos de función, dominio, imagen, conjuntos de positividad y negatividad para funciones polinómicas. Interpreten los gráficos e identificación de raíces, positividad y negatividad de una función. Apliquen temas vistos en unidades anteriores (operaciones entre polinomios y factorización) para analizar diferentes funciones polinómicas.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) En grupos de dos o tres alumnos analicen la situación que se presenta a continuación y respondan las siguientes preguntas: Silvana necesita construir una caja para guardar sus CD. Tiene una plancha de cartón duro de 60 cm de largo por 46 cm de ancho. Pensó que si le corta un cuadrado en cada esquina (ver figura), podría armar una caja en forma de prisma y sin tapa.

a) Si el lado de cada cuadrado mide 3 cm, ¿cuál sería el volumen de una caja armada como propone Silvana? ¿Y si fuera de 5 cm?, ¿y de 7 cm? b) Encuentren una fórmula que les permita obtener el volumen de la caja dependiendo del lado del cuadrado. c) Indiquen qué valores podría tomar el lado del cuadrado y qué valores no. Justifiquen su respuesta y comparen sus resultados con los

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789: Funciones polinómicas demás grupos. d) Utilicen el programa Geogebra para realizar un gráfico que muestre la dependencia del volumen de la caja en función de la longitud del lado del cuadrado cortado.

Actividad 2 1) Como se vio en la actividad anterior, existe una relación de dependencia entre la medida del lado del cuadrado y el volumen de la caja. Discutan las siguientes cuestiones junto con el docente: a) ¿Podrían decir que esta relación es una función? Si lo fuera, ¿qué tipo de función estaríamos representando en este caso? b) ¿Cuáles son el dominio y la imagen de esa función? Distingan entre el dominio natural (dominio matemático) de la fórmula y el dominio propio de la situación analizada en el punto. ¿Es el mismo en cada caso? ¿Qué sucede con la imagen de esta función? c) ¿Cuáles serían las raíces de esta función? 2) Para repasar y profundizar lo realizado en esta actividad, visiten los siguientes links: Funciones polinómicas Dominio e imagen de una función Funciones polinominales A partir de lo visto en los links, indiquen los intervalos de positividad y negatividad de la función en estudio del punto 1. b) Utilizando una hoja y un lápiz, realicen gráfico aproximado de la función anterior y compárenlo con el gráfico realizado en la actividad 1.

Actividad de cierre 1) Utilicen los datos de cada ítem para realizar un gráfico aproximado de alguna función que cumpla con las condiciones indicadas en cada caso. a) Tal que sus únicas raíces sean:

= -1,

-2 y

2. Dar el conjunto de positividad y el de negatividad de la función graficada.

b) Tal que tenga al menos dos raíces en el intervalo (1,4) y

. Dar el conjunto de positividad y el de negatividad de la función

graficada. c) Tal que sus conjuntos de positividad y negatividad sean los siguientes: C + = (-2; 1) U (3; +∞) C - = (-∞; -2) U (1; 3) d) Encuentren el conjunto de raíces o ceros correspondiente a esta función. 2) Para las siguientes funciones: f(x) = (x + 1) · (x - 2) g(x) = x 2 - 4 h(x) = x 3 - 3x2 + x - 3 a) Identifiquen las raíces de cada función. ¿A partir de qué puntos la función cambia de signo? ¿Cuáles son los conjuntos de positividad y negatividad? b) Realicen un gráfico aproximado (sin usar una tabla de valores) y verifiquen cada grafico realizado utilizando el programa Geogebra o el programa Winplot instalados en sus equipos.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Factorización de polinomios Teorema del factor Funciones polinómicas Introducción a las funciones en Geogebra Funciones Geogebra

Bibliografía / Webgrafía recomendada Polinomios Kaczor, P. y otros. Matemática I Polimodal. Santillana. Buenos Aires, 1999.

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789: Funciones polin贸micas

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825: Homotecia

Introducción al modelo 1 a 1

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Inicio - Matemática / Ciclo básico PDF

Homotecia Autores: Damián Gibellieri y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Homotecia Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección los alumnos se familiarizarán con elementos y funciones de la geometría, a través de la aplicación de homotecias a figuras y analizando la variación de las medidas de los elementos principales. Se utilizará como herramienta geométrica el programa GeoGebra, que les permitirá realizar figuras regulares e irregulares, y aplicarles diferentes homotecias.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan homotecias de razones positivas y negativas. Compongan movimientos rígidos.

Actividad 1 Cuando necesitamos variar el tamaño de una figura o dibujo, aplicamos lo que se denomina homotecia. Esta aplicación nos permite aumentar o disminuir el tamaño de una figura sin cambiar su forma original. Para aplicar una homotecia necesitamos definir un punto fijo por el cual pasarán las rectas que nos permitirán obtener la figura modificada. Por ejemplo, en la figura de abajo aplicamos una homotecia al triángulo ABC. Para esta figura, primero, definimos un punto fijo D, y luego, trazamos rectas que pasen por este punto y por los tres vértices del triángulo ABC. De esta manera obtenemos el triángulo A’ 1 B’ 1 C’ 1 , que es una ampliación del triángulo original ABC.

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825: Homotecia

1) Ingresen en los siguientes links para profundizar sobre este tema: Semejanza y homotecia Homotecias y semejanzas 2) Con base en lo analizado en el ítem anterior, contesten las siguientes preguntas: a) ¿Qué es una homotecia? b) ¿Que es el centro de una homotecia? c) ¿A qué se denomina razón K de una homotecia? ¿Cómo se calcula? d) Expliquen y muestren un ejemplo en cada caso, ¿qué sucede con la figura si aplicamos una homotecia con: i) K < 0 ii) K = O iii) 0 < K < 1 iv) K = 1 v) K > 1?

Actividad 2 En esta actividad usaremos el programa GeoGebra, instalado en sus equipos portátiles, como herramienta para realizar diferentes homotecias. 1) En grupos de dos o tres alumnos, observen el siguiente video en el cual se explica cómo realizar una homotecia con el programa GeoGebra. Escriban todos los pasos que consideren necesarios. 2) Utilicen el programa GeoGebra para: a) Dibujar un pentágono regular y aplicarle una homotecia de razón igual a 3. b) Dibujar un polígono de 8 lados y aplicarle una homotecia de razón igual a (–2). c) Dibujar un triángulo rectángulo y realizar una homotecia de razón igual a ½. 3)Utilicen el programa GeoGebra para dibujar dos hexágonos similares a estos:

a) A cada vértice pónganle una letra (hagan coincidir las letras de los vértices del hexágono grande con el vértice correspondiente). b) Ahora hagan pasar líneas rectas por cada vértice de manera que el vértice a coincida con a’, y así con todos los demás. Todas las rectas tienen que coincidir en un solo punto. Llámenlo O. c) ¿A qué distancia están ubicados los vértices del punto O? d) ¿Pueden generar otra figura semejante continuando las rectas? e) Generen una figura que sea la mitad del hexágono más pequeño.

Actividad 3 1) Dibujen la siguiente figura en el programa GeoGebra:

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825: Homotecia

a) Aplíquenle: Una homotecia con centro O y una razón de 3/2. Una homotecia con centro O y una razón de -5/2.

Actividad de cierre 1) En el programa GeoGebra, dibujen un triángulo rectángulo y aplíquenle una homotecia de razón 2, a partir de un punto distante del triángulo dibujado. a) Midan la longitud de cada uno de los lados del triángulo dibujado y del obtenido al aplicarle la homotecia. b) Calculen el área del polígono dibujado en el ítem anterior y del obtenido al aplicarle la homotecia. c) ¿Que relación pueden sacar entre los lados y las áreas de los triángulos obtenidos? ¿Esta relación se cumplirá en cualquier polígono? 2) En grupos de dos o tres alumnos, realicen una investigación en Internet u otras fuentes, en la que se explique para qué se utiliza el cálculo de homotecias en astronomía, el cálculo de distancias, o en ingeniería.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Homotecia y semejanza 2 Homotecias Animaciones en GeoGebra: Ejemplo 5 (Homotecia) Homotecia y propiedades con GeoGebra

Webgrafía recomendada Homotecia Homotecia 1 Homotecias

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827: Lenguaje simbólico y regularidades numéricas

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Inicio - Matemática / Ciclo básico PDF

Lenguaje simbólico y regularidades numéricas Autores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Nivel: Secundario, ciclo básico Temática: Lenguaje simbólico. Producir fórmulas para representar regularidades numéricas en N y analizar sus equivalencias Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia estudiaremos expresiones algebraicas que permitan analizar diferentes regularidades en el conjunto de los números naturales y analizar las equivalencias entre ellas.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Realicen correctamente el pasaje del lenguaje simbólico al lenguaje coloquial. Creen fórmulas para representar regularidades numéricas en el conjunto de los números naturales. Analicen las equivalencia entre las fórmulas.

Actividad 1 Las expresiones algebraicas son expresiones en las cuales intervienen números letras y signos de diferentes operaciones. 1) Ingresen al siguiente link para profundizar el concepto de expresiones algebraicas. 2) Redacten dos o tres situaciones en las que intervenga alguna operación y tradúzcanlas al lenguaje algebraico. 3) Copien el siguiente cuadro en una hoja de cálculo y completen la primera columna con la letra que corresponda a cada enunciado:

El siguiente del cuadrado de un número

El doble de un número

n+1

La tercera parte de un número

n2 + 1

El siguiente de un número

n:3

Actividad 2

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827: Lenguaje simbólico y regularidades numéricas 1) Observen la siguiente tabla y respondan:

Si n toma los valores que se indican en la primera fila y se le aplica una fórmula, se obtienen los números que están en la segunda fila. Indiquen qué fórmula debe ir en el espacio en blanco. 2) Sabiendo que n es un número entero, encuentren una fórmula que permita obtener los números impares. 3) Completen la siguiente tabla para obtener los múltiplos de 5:

4) Completen la siguiente tabla:

n n+3

5) En la siguiente expresión (3n + 1) - (-2 - 2n), reemplacen n por algún valor. Hagan lo mismo con la fórmula que hallaron en el ítem anterior (reemplacen n por el mismo valor que eligieron) y contesten: ¿son equivalentes las expresiones? 6) Discutan con sus compañeros y el docente en qué casos las expresiones son equivalentes.

Actividad de cierre 1) Copien la siguiente tabla en una hoja de cálculos y completen la primera columna con el número que corresponda a la columna B. Es recomendable reemplazar n por un número entero.

B (5n) 2 2

n+4

n + 3 + 4n - 1

25n2

(6n - 4) - (n - 4)

5n + 2

2) En grupos de 2 o 3 alumnos investiguen sobre los orígenes del álgebra. Redacten un resumen de lo investigado utilizando el procesador de textos instalado en sus equipos portátiles. Pueden usar las siguientes preguntas como guía: a) ¿Qué significa la palabra “álgebra”? b) Cuenten en no más de 20 líneas quiénes fueron los primeros matemáticos que desarrollaron el álgebra. c) ¿Con qué fin se utilizan las expresiones algebraicas en otras áreas (como la física, química o la biología)? Den ejemplos.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Expresiones algebraicas: polinomios Lenguaje algebraico Lenguaje algebraico y ecuaciones

Bibliografía / Webgrafía recomendada Expresiones algebraicas Álgebra

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827: Lenguaje simb贸lico y regularidades num茅ricas

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791: Logaritmos y propiedades

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Logaritmos y propiedades Autores: Rodrigo Weber, Sebastián Vera y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Historia y concepto de los logaritmos. Propiedades y operaciones Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Interpreten la noción de logaritmos por definición y resuelvan distintos casos. Analicen situaciones y resuelvan diferentes ejercicios prácticos y teóricos. aplicando las propiedades de los logaritmos. Interpreten la evolución histórica de los logaritmos y sus aplicaciones en diferentes disciplinas.

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará con el concepto de logaritmo, sus propiedades y aplicaciones. En las actividades los alumnos podrán calcular diferentes logaritmos aplicando su definición y propiedades. Para finalizar, realizarán una investigación que les permita conocer la utilidad que tienen los logaritmos como herramienta para otras disciplinas.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 La invención de los logaritmos, a principios del siglo XVII, trajo consigo un significativo ahorro de tiempo. John Napier, o Neper en latín, presentó las primeras tablas de logaritmos en 1614, pero como no estaban en el sistema decimal, no fueron de utilidad. Más tarde Briggs las mejoró y las presentó en forma decimal. Los logaritmos fueron empleados durante muchos años en todas las ciencias, pero la Astronomía fue la que más se benefició con ellos. 1) En grupos de dos o tres alumnos, realicen una investigación en páginas de Internet u otras fuentes sobre la historia de los logaritmos. Indiquen quién fue John Napier y con qué fin inventó los logaritmos. 2) Expliquen con sus palabras qué significa calcular el logaritmo de un número. Den algunos ejemplos. Pueden ver una explicación de este tema en el siguiente video. 3) Discutan con el docente las siguientes cuestiones: a) ¿La base de un logaritmo puede ser negativa? b) ¿Existe el logaritmo de un número negativo? ¿Y el logaritmo de cero?

Actividad 2 1) A partir de lo trabajado en la actividad anterior, realicen los siguientes ejercicios: a) Hallen el logaritmo de 1 en base a. b) Hallen el logaritmo de 0 en base a. c) Hallar el valor de log 10 5.

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791: Logaritmos y propiedades d) Expresen el número 6 como un logaritmo en base 2. e) Expresen el número 2 como un logaritmo en base 12. 2) Completen la siguiente tabla: n

1/16

log2 n

1/2

-2

-3

log1/2 n

Actividad 3 1) Para saber más sobre propiedades de los logaritmos, visiten el siguiente link. 2) A partir de lo leído en el link visitado, expliquen con sus palabras las cinco propiedades de los logaritmos y den un ejemplo para cada caso. Los ejemplos tienen que ser diferentes de los vistos en el link. 3) Resuelvan las siguientes operaciones aplicando las propiedades trabajadas. Utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos para realizar los cálculos.

4) Demuestren las siguientes propiedades:

Actividad de cierre 1) En grupos de cuatro o cinco alumnos, armen una presentación en Impress que describa los diferentes usos de los logaritmos en la práctica. a) Si tienen conexión a Internet, busquen ejemplos de aplicación de los logaritmos donde se registre su uso para facilitar la resolución de algún problema específico real, por ejemplo, para medir la intensidad de oído humano; para medir la intensidad de un terremoto en la escala de Richter; el uso de escalas logarítmicas en diferentes gráficos, etcétera. b) Busquen y vean al menos un video en el que se trabaje con el concepto del número neperiano. c) Redacten una conclusión como cierre de trabajo. En ella expliquen cómo los logaritmos han ayudado al progreso tecnológico del hombre, cuál fue su aporte en la actualidad y si creen que en el futuro seguirán siendo útiles.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Ejercicios de logaritmos Números reales, propiedades de logaritmos Propiedades de los logaritmos ¿Logaritmos? Webquest: ¿para qué sirven los logaritmos?

Webgrafía recomendada Definición de logaritmo Logaritmo, en Wikipedia

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829: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo

Introducción al modelo 1 a 1

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Inicio - Matemática / Ciclo básico PDF

Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo Autores: Claudia Ugrin, Sebastián Vera y Javier peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Trazado de mediatrices y bisectrices. Análisis de sus propiedades Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará con los conceptos de mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. En las actividades, los alumnos aprenderán a trazar mediatrices y bisectrices usando regla y compás. Además, aplicarán sus propiedades para resolver distintas situaciones problemáticas.

Objetivos de la actividad Que los alumnos: Utilicen el lenguaje matemático correcto durante el desarrollo de la actividad. Construyan mediatrices y bisectrices usando compás y regla. Analicen y apliquen las propiedades de las mediatrices y bisectrices

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Visiten los siguientes links para comprender qué es la mediatriz de un segmento y qué es la bisectriz de un ángulo. Bisectriz de un ángulo Mediatriz de un segmento a) Expliquen con sus palabras qué es la bisectriz de un ángulo y qué es la mediatriz de un segmento. b) ¿Qué propiedades tiene cada una? 2) Observen el siguiente video, en el que se explica cómo trazar la bisectriz de un ángulo y la mediatriz de un segmento con regla y compás. 3)Luego de ver el video, y en grupos de dos o tres alumnos, redacten con sus palabras, los pasos básicos que se necesitan para trazar la mediatriz y la bisectriz con regla y compás. Den un ejemplo en cada caso. Para realizar este ejercicio utilicen el procesador de textos, instalado en sus equipos portátiles. 4) Respondan verdadero o falso en cada una de las siguientes afirmaciones. Justifiquen sus respuestas: a) Es posible trazar la mediatriz tanto a segmentos como ángulos. b) La bisectriz divide al segmento en dos partes iguales. c) La mediatriz es una recta perpendicular a un segmento. d) La bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. e) Al trazar la mediatriz de un segmento, este siempre queda dividido en dos segmentos iguales.

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829: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo f) A veces la mediatriz de un segmento pasa por el punto medio del segmento. g) No es posible trazar la bisectriz de un ángulo de 231º.

Actividad 2 1) Abran el programa graficador Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, y realicen las siguientes consignas: Dibujen la mediatriz a un segmento AB de 7,5 cm. Luego, con la herramienta Segmentos entre dos puntos, realicen lo siguiente: ubiquen el primer punto C sobre la mediatriz y el segundo en el extremo A del segmento AB; tracen otro segmento desde el mismo punto C hasta B (el otro extremo del segmento AB); comparen la distancia del punto C a cada uno de los extremos. ¿Qué pueden concluir? 2) Utilizando el programa Geogebra y en una nueva hoja de Geogebra: tracen un ángulo ABC no mayor a 180º. Sobre ese mismo ángulo, tracen la bisectriz. Con el puntero muevan uno de los lados del ángulo, por ejemplo, hagan clic sobre el punto A y arrástrenlo. ¿Qué se verifica?

Actividad 3 1) Si se sabe que la semirrecta QS es bisectriz y la amplitud de los ángulos PQS Y SQR son los que aparecen indicados en cada caso, hallen para ambos casos la amplitud del ángulo PQR.

2) Si las coordenadas son P = (1;4); Q = (1;1); R = (4;1); S = (4;5): ¿se puede afirmar que la semirrecta QS es bisectriz del ángulo PQR? Justifiquen su respuesta. Si es necesario, utilicen el programa Geogebra para graficar los puntos.

Actividad de cierre 1) Utilicen el programa Geogebra para dibujar una circunferencia. En ella marquen dos cuerdas como se muestra en la figura (cuerda BC, cuerda DE). a) Para cada una de las cuerdas, tracen la mediatriz correspondiente. b) ¿Qué observan? c) Al trazar una tercera cuerda en la circunferencia, ¿qué sucederá con su mediatriz? d) Justifiquen su respuesta.

2) Completen el enunciado que establece la relación entre la circunferencia y la mediatriz de sus cuerdas: La mediatriz de una cuerda de una circunferencia... 4) Con el transportador, dibujen un ángulo de 135º y divídanlo en cuatro partes iguales utilizando únicamente regla y compás. a) Dibujen nuevamente un ángulo de 135º, pero ahora intenten dividirlo en tres partes iguales utilizando el mismo método. ¿Pudieron hacerlo? 5) Investiguen en Internet o en otras fuentes sobre el problema de dividir un ángulo en tres partes iguales usando solo regla y compás.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo

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829: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo Mediatriz de un segmento Cómo trazar la bisectriz de un ángulo Determinación del punto medio de un segmento

Webgrafía recomendada Bisectriz Mediatriz

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831: Medición y clasificación de ángulos

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Medición y clasificación de ángulos Autores: Claudia Ugrin y Sebastián Vera Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: ángulos, clasificación y medición. Ángulos opuestos por vértice y adyacentes Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección se estudiará la relación entre los ángulos. Aprenderán sobre la aplicación práctica en la vida diaria de los ángulos. El alumno utilizará el transportador para medir la amplitud y verificar las propiedades de los ángulos según su posición.

Objetivos de las actividades Observar el entorno que nos rodea, descubrir ángulos y clasificarlos Reconocer tipo de ángulos según su amplitud y su posición Estimar valor de los ángulos en relación a su amplitud Calcular con exactitud el valor de los ángulos en relación a su posición Escribir ecuaciones para representar la relación que hay entre dos ángulos

Actividad 1 1) Junto a sus compañeros observen las fotografías de los puentes que aparecen en los siguientes links: Tren de las nubes, Salta Tren de las nubes Puentes de acero a) ¿Cómo es la estructura de estos puentes? ¿Cuántos ángulos puedes señalar? Marcando ángulos 1) Hay dos maneras comunes de marcar o indicar un ángulo: 1. Nombrarlo con una letra minúscula como a o b o con una letra griega como α (alfa) o θ (theta). 2. Nombrar con una letra minúscula el punto donde se define el ángulo.

Ejemplo: el ángulo a es BAC; y el ángulo θ es BCD

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831: Medición y clasificación de ángulos

a) Nombren los siguientes ángulos:

2) En el siguiente link pueden ver un instrumento de medición para conocer la amplitud de los ángulos según el sistema sexagesimal. 3) Abran el siguiente link y practiquen como utilizarlo. Elijan la opción tres: ángulo, y luego la cinco: medida de ángulos

Actividad 2 Clasificación de ángulos 1) Ingresen en los siguientes links, allí encontrarán la clasificación de los ángulos según su amplitud: Clasificación de ángulos según su medida Tipos de ángulos 2) Utilicen el programa Geogebra para clasificar ángulos según su amplitud a los tres ángulos que se forman al ingresar las coordenadas de los siguientes puntos. Las coordenadas son: A = (4; 5), b = (6; 7) y c = (2; 1)

3) Las agujas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. Abran el siguiente link y observen la posición de las agujas Las agujas de los relojes deben marcan la hora indicada debajo de cada uno de ellos. ¿Qué tipo de ángulo se forma en cada caso?

12:20

10:25

9:00

2:50

Actividad 3 La rosa de los vientos es un elemento cartográfico. Utilicen la imagen del siguiente link para realizar la siguiente actividad. 1)Tomen un lápiz o una tira fina de papel y fijen uno de sus extremos en el centro. Ahora muévanla girando –siempre en el mismo sentido que las agujas del reloj– para mostrar los ángulos que se necesitan en cada caso. Y completen con las frases: “es igual”, “es menor que” o “es mayor que”, según corresponda. 1. El giro de S a NO ……. el giro de E a SE 2. El giro de O a N ……. el giro de SO a E 3. El giro de SO a NE ……. el giro de O a E 4. El giro de E a SE ……. el giro de S a NO 5. El giro de O a NO ……. el giro de E a SE 6. El giro de N a NE ……. el giro de S a SO a) Observen aquellos que son iguales. ¿Qué característica tienen? Ingresen a los siguientes links:

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4154[05/02/2011 18:35:57]

831: Medición y clasificación de ángulos Ángulos opuestos – vértice Ángulos opuestos por el vértice 2) Ingresen al siguiente link, y resuelvan los siguientes ejercicios:

a) Si el ángulo alfa mide 32º, ¿cuánto mide el ángulo beta? b) Si el ángulo AEB mide 62º, ¿cuánto mide DEC?

c) Hallen el valor del ángulo BOD. Ángulos consecutivos: son aquellos que comparten el mismo vértice y uno de sus lados.

Cuando dos ángulos consecutivos forman uno llano (su suma es igual a 180º) se llaman adyacentes. 3) Encuentren los ángulos: consecutivos, los no consecutivos y los adyacentes.

4) Resuelvan:

NKJ es ángulo llano Hallen el valor del ángulo MKL

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El ángulo COA mide 180º

POQ + QOR = 180º

El ángulo COB=70º

Determinen el valor de POQ

Hallen el valor de BOA

si ROQ=95º

831: Medición y clasificación de ángulos

Actividad de cierre Desde la antigüedad, astrónomos y navegantes tuvieron la necesidad de medir ángulos para localizar las estrellas en el cielo y orientarse según su posición. En la actualidad, a través de algunos instrumentos modernos, se pueden calcular distancias (inaccesibles para medirlas en forma directa) a partir de la medición de ángulos. 1) Investiguen sobre los siguientes instrumentos: astrolabio, sextante, nivel angular y teodolito. ¿Qué funciones cumplen? ¿Cómo se usan? ¿Cuál es su historia? Para conseguir información pueden visitar este link. 2) Redacten lo investigado utilizando el procesador de textos instalado en sus equipos. 3) Encuentren en la sopa de letras el nombre de los ocho ángulos que aparecen más abajo.

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831: Medición y clasificación de ángulos

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Los ángulos Ángulos opuestos por el vértice Medir un ángulo usando el transportador Medida de ángulos Juegos de orientación y topografía

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833: Mediciones de superficies

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Mediciones de superficies Autores: Miguel Serrano, Sebastián Vera y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Mediciones y unidades de superficies Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos con el cálculo del área de diferentes superficies planas. Los alumnos trabajarán con situaciones que les permitirán observar las diferencias entre longitudes y áreas de desiguales figuras. Además trabajarán con el pasaje de unidades de longitud y de superficie.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Comprendan la diferencia entre el perímetro y el área de una superficie. Conozcan las distintas unidades de mediciones de superficies. Apliquen el cálculo de superficies y perímetros en diferentes situaciones problemáticas cotidianas.

Actividad 1 1) Observen el siguiente video para comprender cómo se trabaja con las unidades de superficies, y luego, junto con el docente, contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la diferencia entre calcular el perímetro de una superficie y calcular su área? b) ¿Qué unidades se utilizan en cada caso? c) ¿Cuál es el perímetro y la superficie de un campo de fútbol, si las medidas de arco a arco son 110 m y de ancho 60 m?

Actividad 2 1) Reunidos en grupos de dos o tres alumnos analicen y resuelvan la siguiente situación. Utilicen la calculadora de sus equipos para resolver todos sus cálculos. Un albañil necesita comprar cerámicas para el piso de una habitación y zócalos de madera para colocar en todos los bordes. Si la habitación tiene las siguientes medidas:

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4156[05/02/2011 18:36:09]

833: Mediciones de superficies

a) ¿Cuántos metros de zócalos necesita? b) En la carpintería le venden los zócalos de dos formas diferentes: $12 cada zócalo de 1, 5 metros de largo. Por metro lineal a $8, 50 el metro. ¿Cómo le conviene comprar los zócalos? c) En el corralón de materiales le venden dos tipos cuadrados de cerámicas de 30 cm x 30 cm: Los de color azul los venden por unidad, y cada uno sale $32. Los de color verde los venden por caja, y cada caja cubre aproximadamente 1, 5 metros cuadrados, y sale $90 pesos cada una. ¿Qué tipo de cerámicas le conviene comprar? Justifiquen su respuesta. d) Visiten el siguiente link donde podrán profundizar estos temas.

Actividad 3 1) Utilicen la calculadora científica de sus equipos portátiles para pasar las siguientes unidades: a) 70 m a cm b) 70 m2 a cm2 c) 1,3 cm2 a dm 2 d) 1,3 cm a dm e) 4 km a m f) 4 km2 a m2 g) 0,03598 km2 + 96,45 hm 2 + 3.000 dam 2 h) 179,72 m2 − 0,831 dam 2 i) 52 dam 2 + 31 m2 + 500 cm2

Actividad de cierre Reunidos en grupos de dos o tres alumnos, tomen las medidas de las canchas de los distintos deportes que realizan en Educación física (largo y ancho), luego calculen su perímetro y su superficie. Expresen el perímetro en centímetros y en metros, y la superficie en m 2 , y en hectáreas. Utilicen la calculadora científica de sus equipos para realizar todos los cálculos que consideren necesarios.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Medidas de superficie, en YouTube Sistema métrico decimal, en YouTube Área de superficie, en YouTube Unidades de superficies

Webgrafía recomendada Superficie Unidades Unidades y superficies Áreas de figuras planas

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833: Mediciones de superficies

Sistema mĂŠtrico decimal y proporcionalidad

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835: Medidas y pasajes de unidades

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Medidas y pasajes de unidades Autores: Claudia Ugrin y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Magnitudes. Pasaje de una unidad a otra Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección los alumnos estimarán y medirán cantidades de diferentes magnitudes, y aprenderán a realizar pasajes de unidades de una misma magnitud.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Conozcan el concepto de magnitud. Sepan realizar conversiones de unidades. Estimen la incertidumbre en magnitudes determinadas indirectamente.

Actividad 1 1) Junto con el docente, lean la información de los links que se encuentran a continuación, y luego discutan cuáles de las siguientes expresiones son magnitudes: color, altura, tiempo, forma, belleza, peso, temperatura, longitud, capacidad, amplitud de un ángulo. Midiendo capacidades. Qué es medir Magnitudes y unidades Longitud. Medir 2) En grupos de dos alumnos, tomen un lápiz, una goma y una regla. Con ellos midan el tamaño de la mesa de trabajo. ¿Cuántas veces entra cada elemento en las longitudes de la mesa? Utilicen el programa de texto de sus equipos para construir una tabla como la que se muestra a continuación, complétenla y comparen los resultados con sus demás compañeros.

Lápiz

Goma

Regla

Medida del ancho Medida del largo Medida del alto

a) Ahora elijan dos objetos de referencia, por ejemplo una cartuchera y una goma, y comparen el peso de cada una con una carpeta,

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835: Medidas y pasajes de unidades con una mochila y con una lapicera. b) Armen una tabla similar a la anterior para anotar los resultados obtenidos.

Actividad 2 1) Junto con el docente, analicen los siguientes links en los cuales se muestra cómo pasar de una unidad a otra: Múltiplos y submúltiplos del metro Conversión de medidas Metros, litros, kilogramos 2) Con base en lo analizado en los links anteriores, pasen unidades de sistema: a) 2 kilómetros (km) = ...... metros (mts). b) 30 litros (lt) = ...... mililitros (ml). c) 3.500 miligramos (mg) = ...... gramos (gr). d) 0,3 milímetros (m.m.) = ...... Kilómetros (Km). e) 1O kilogramo (Kg.) = ...... miligramos(mg). 3) Analicen las siguientes situaciones y justifiquen su respuesta: a) Un señor viaja en avión desde su país hasta Sudáfrica, recorre 1870 km. Luego, desde el aeropuerto, toma un micro hasta la esquina del hotel y recorre 9,85 m. Finalmente camina 6500 cm. desde la parada hasta el lobby del hotel. ¿Qué distancia recorrió en total? 4) Se construye una pared de 3 m de altura por 5 m de largo, con ladrillos de 26 cm de largo, por 6 cm de espesor. a) ¿Cuántos ladrillos tendríamos que colocar a lo largo de la pared? b) Si la separación entre cada hilera de ladrillos es de 35 mm, ¿cuántos ladrillos necesitaríamos para llegar a la altura de 3 m?

Actividad de cierre Es evidente que no todas las cosas pueden medirse, ¿cómo medir la belleza de un cuadro?, ¿o la simpatía de una persona? Si es difícil definirlas, mucho más difícil es poder medirlas. Por lo tanto, estas no pertenecen al campo de la ciencia. La capacidad de poder definir las cosas y de medirlas es un requisito de la ciencia, es necesario definir cuidadosamente las cantidades que medimos, esta idea que parece tan simple ha desembocado en los más grandes descubrimientos de la historia de la humanidad. 1)Investiguen en diferentes webs cómo las culturas antiguas median el tiempo y la longitud. 2) Investiguen sobre los instrumentos para medir las distintas magnitudes: capacidad, longitud, masa. Utilicen el programa de texto de sus equipos para preparar un resumen de lo investigado en los puntos a y b.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Múltiplos y submúltiplos del metro Conversión de medidas Metros, litros, kilogramos El tiempo Las antiguas medidas de longitud Aritmética La medición en la historia Magnitud Longitud, múltiplos y submúltiplos Unidades, múltiplos y submúltiplos Sistema de unidades básicas Tablas de conversión La medida

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835: Medidas y pasajes de unidades

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837: Métodos analíticos y gráficos para la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas

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Métodos analíticos y gráficos para la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas Autores: Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Resolución de sistema de ecuaciones con dos incógnitas Nivel:Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajarán distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas. Para ello los alumnos investigarán en páginas especializadas u otras fuentes métodos de resolución y, mediante el programa Geogebra, graficarán y verificarán la solución de los distintos sistemas planteados.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Analicen y compararen diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Grafiquen sistemas de ecuaciones lineales e interpreten las soluciones. Clasifiquen las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Analicen la siguiente situación: Un coleccionista compró en una subasta 47 monedas, algunas de bronce y otras de plata. Las monedas de bronce le costaron $14 cada una y las de plata, $18 cada una. Si en total gastó $750, ¿cuántas monedas de bronce compró y cuántas de plata? 2) La situación anterior se puede resolver planteando un sistema de dos ecuaciones lineales, de primer grado, con dos incógnitas. Discutan junto con el docente las siguientes cuestiones: a) Para esta situación, ¿cuáles serían las incógnitas? ¿Cómo quedarían planteadas las ecuaciones? b) Planteen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y traten de resolverlo. Ingresen al siguiente link, en donde se explican algunos métodos para resolver este tipo de sistemas. c) Expliquen brevemente en qué consiste cada método analizado en el ítem anterior. d) Resuelvan el sistema planteado en el ítem b aplicando los métodos explicados anteriormente. Utilicen el programa Geogebra o Winplot para representar gráficamente cada ecuación y verifiquen la solución hallada. e) Investiguen en Internet qué otros métodos existen para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones, y discutan junto con su docente las ventajas y desventajas de cada método.

Actividad 2 1) El resultado de un sistema de ecuaciones es X = 1 e Y = -3. Determinen a cuál de los siguientes sistemas pertenece este resultado:

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837: Métodos analíticos y gráficos para la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas b) Utilicen el programa del Geogebra para graficar la recta de cada ecuación y verifiquen el resultado obtenido. 2) Escriban otro sistema de ecuaciones que tenga la misma solución del problema anterior. ¿Cuántos puede haber?

Actividad 3 1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para graficar cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) Para cada sistema de ecuaciones graficado, analicen cómo son las rectas entre sí. b) Resuelvan los sistemas de ecuaciones anteriores aplicando alguno de los métodos analizados en la actividad 1. c) Indiquen en qué casos pudieron encontrar una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución. d) ¿Cómo relacionarían cada solución hallada en el ítem d con los gráficos obtenidos en el ítem a? Clasifiquen las soluciones de cada sistema según las rectas obtenidas.

Actividad de cierre 1) Hallen los lados del triángulo ABC con los datos que se indican a continuación:

2) Los lados de un triángulo están determinados por las gráficas de las siguientes ecuaciones: 3x + y = 9 2x + 3y = -1 x - 2y = -4 a) Utilicen el programa Geogebra para graficar cada ecuación y encontrar los vértices del triángulo. ¿Cuáles son los puntos del vértice del triángulo formado? b) Planteen un sistema de ecuaciones para cada par de lados, resuélvanlo y verifiquen las soluciones halladas en el ítem a.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Ecuaciones lineales con dos incógnitas Problemas de matemáticas Sistema de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Definición y clasificación de sistemas de ecuaciones

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839: Notación científica

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Notación científica Autores: Daniel Brizuela, Sebastián Vera y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Escritura de un número en notación científica Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Los números muy grandes –es decir, aquellos que tienen muchos ceros– o los muy pequeños –aquellos que están muy próximos al cero– pueden ser escritos de una manera que simplifique su expresión. En las siguientes actividades se trabajará la necesidad de expresar números muy grandes o muy chicos utilizando las propiedades de las potencias de base 10.

Objetivos de las actividades Conocer otra forma de expresar una cantidad numérica utilizando las propiedades de las potencias de base 10. Expresarse correctamente con un formato numérico que simplifique su escritura. Interpretar resultados en notación científica desde la calculadora.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Investigar en Internet o en otras fuentes las siguientes consignas: a) ¿Quién tiene mayor masa: el Sol, la Tierra o la Luna? Realicen un cuadro en el que se indique la masa en kilogramos de cada uno de ellos. Para hacerlo, pueden utilizar el procesador de textos disponible en sus equipos portátiles. b) ¿Qué distancia hay entre el Sol y la Tierra? ¿Y entre la Tierra y la Luna? Expresen el resultado en kilómetros y en metros. c) ¿Cuántos años hace que se formó el sistema solar? Seguramente encontrarán esta información en manuales, sitios web, enciclopedias o cualquier otra forma de divulgación científica, y es probable que esté expresada de diferentes maneras. Para comprenderlas, tal vez deban profundizar el estudio de esos tipos de expresiones. La masa de un cuerpo puede ser expresada en: gramos, kilogramos, miriagramos, megagramos (tonelada), gigagramos, entre otras. También la distancia entre dos puntos puede ser expresada de diversas maneras. Por eso la ciencia resuelve la complicación de escribir números tan grandes en unidades que le permitan simplificarlas. La matemática ha desarrollado una forma de escritura de números que permite escribir números grandes en una forma más simple: la notación científica. Se trata en una simple conversión del número basada en la propiedad fundamental de la potenciación con base 10.

Actividad 2 1) Resuelvan las siguientes potencias de base 10. Cuando sea necesario, utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles.

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839: Notación científica 10 2 = 10 3 = 10 4 = 10 12 = 10 22 = 2) ¿A qué conclusiones pueden llegar sobre la relación que existe entre la cantidad de ceros que tiene el resultado y el exponente de la potencia calculada? 3) Ingresen al siguiente link y observen cómo se pueden escribir algunas unidades de masa utilizando potencias de base 10.

Actividad 3 En la actividad anterior representaron diferentes cantidades empleando potencias de base diez. Esta forma de escritura se denomina notación científica. Haciendo uso de la notación científica podremos escribir cantidades muy grandes o muy chicas de manera abreviada. Por ejemplo, si quisiéramos escribir: 12 millones quinientos mil, podríamos hacerlo como 1,25 x 10 7 . Si analizamos detalladamente la notación anterior, verán que lo que hicimos fue multiplicar la potencia de base diez por un número decimal cuya parte entera contiene una cifra mayor o igual a 1 y menor a 10. Es decir: 1,25 x 10 7 = 1,25 x 10.000.000 = 12.500.000 1) ¿Cómo escribirían en notación científica 0,000000000002568? 2) Copien el cuadro que se presenta a continuación en el procesador de textos, instalado en sus equipos portátiles, y complétenlo con los datos investigados en la actividad 1. Consigna

Ejemplo

Cantidad expresada en notación tradicional 12.500.000

Cantidad expresada en notación científica 1,25 x 10 7

Masa de la Luna en kg Masa de la Tierra en kg Masa del Sol en kg Distancia entre el Sol y la Tierra en km Tiempo transcurrido desde la formación del sistema solar 3) A partir del ejemplo que se muestra en la primera fila del siguiente cuadro, completen las consignas indicadas (pueden apoyarse en investigaciones realizadas en sitios especializados): Consigna

Ejemplo

Cantidad expresada en notación tradicional 0,0000000125

Cantidad expresada en notación científica 1,25 x 10 -8

Masa de un protón en kg Carga eléctrica de un protón en culombios ¿Cuántos metros hay en un micrómetro (μm)? ¿Cuántos metros hay en un nanómetro (nm)? ¿Cuántos metros hay en un Angström (Å)?

Actividad de cierre 1) Analicen y discutan entre todos las siguientes preguntas: a) ¿Cómo muestra la calculadora los resultados cuando los números son muy grandes o muy pequeños? b) ¿Cómo introducimos en la calculadora números en notación científica? Investiguen con sus calculadoras y también con la calculadora científica instalada en los equipos portátiles. Tengan en cuenta que algunas no tienen la capacidad de mostrar un número

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839: Notación científica en notación científica, mientras que otras sí, pero de todos modos existen distintas formas de mostrarlos. Realicen diferentes pruebas y saquen conclusiones sobre las calculadoras que utilizaron. 2) Copien los siguientes ejemplos y resuélvanlos usando diferentes calculadoras: a) 328.000 x 423.000 = b) 328.000 x 423.000 = c) 1,25 x 52.500.000 = d) 1,25 : 52.500.000 = 0,0006981 = f) 0,0000654 : 0,000056981 = Nota: no confundan el punto de separación de mil, con la coma de un número decimal.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo ¿Qué es la notación científica? Problemas resueltos: notación científica Notación científica, cifras negativas

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841: Números enteros

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Inicio - Matemática / Ciclo básico PDF

Números enteros Autores: Mercedes Sens Hourcade, Sebastián Vera, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Orden, valor absoluto y opuesto de un entero Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección ubicaremos números enteros en la recta numérica. A partir de esto, veremos cómo se ordenan los números enteros. Y calcularemos distancias entre números.

Objetivos de las actividades Reconocer el orden de los números enteros. Trabajar con distancias de un número entero al cero. Trabajar con distancias entre dos números enteros. Reconocer los números opuestos.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Ana y Juan juegan el siguiente juego: dejan una piedra en el piso, Juan solo se puede mover hacia la derecha y Ana solo hacia la izquierda, de modo que si Ana da una cierta cantidad de pasos hacia la izquierda, Juan debe hacer lo mismo pero hacia el otro lado. Simbolicemos la derecha con el signo + y la izquierda con el signo –. a) Completen la siguiente tabla indicando los movimientos de cada uno: Ana

Juan

-2

Distancia de cada uno a la piedra

+5 -3 +4 b) Utilicen el programa graficador (Geogebra), instalado en sus equipos portátiles, para marcar en la recta horizontal los números donde se pararon Ana y Juan. (Para visualizar mejor estos números, deben ocultar la recta vertical. Para ello, hagan clic derecho, seleccionen “vista gráfica”, luego “comando” y cancelen la opción “eje Y”.) c) Junto con sus compañeros y el docente discutan las siguientes preguntas: ¿a qué distancia del cero se encuentra cada uno?; ¿cómo se llaman los números que se encuentran a la misma distancia del cero?

Actividad 2 1) Utilizando el programa graficador oculten la recta vertical, y sobre la recta que queda ubiquen los siguientes números: A=-4; B=+3; C=0; D=-1 y E=2.

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841: Números enteros 2) Mirando la recta numérica, ordenen los números del ítem anterior de menor a mayor. 3) En la misma recta del ítem 1, ubiquen los siguientes números: (A-2); (B+4) y (2+D). 4) Hallen el valor de –A, -C y –E.

Actividad de cierre 1) Dibujen la recta numérica en una hoja y ubiquen los números que cumplan con las siguientes condiciones: a) se encuentran a distancia 2 del -5; b) se encuentran a distancia 4 del 3; c) se encuentran a distancia 3 del opuesto de 4. Verifiquen lo trabajado en esta actividad utilizando el programa graficador instalado en sus equipos portátiles.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Ordenación y comparación de números enteros Los números enteros -1 Los números enteros Los números enteros (M2R)

Webgrafía recomendada Número entero Los números enteros Ejercicios y problemas de números enteros

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843: Números irracionales

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Números irracionales Autores: Sebastián Vera, Javier Peña, Daniel Brizuela. Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Noción de número irracional. Algunos números especiales √2 (raíz cuadrada de dos) y φ (fi) (número de oro) Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades: A través de estas actividades los alumnos comenzarán a familiarizarse con el concepto de número irracional. En la primera actividad deberán calcular la diagonal de un cuadrado de lado 1cm. Mediante el uso de la calculadora y el programa Geogebra podrán observar que √2 en su expresión decimal no tiene una cifra periódica, con lo cual no es posible escribir este numero como una fracción, por lo tanto √2 no pertenece a los números racionales. Además si el docente lo considera necesario, se muestran algunos links para que los alumnos puedan analizar la demostración de porque √2 no se puede escribir como un cociente entre dos números enteros. Por ultimo se proponen otras actividades para que los alumnos conozcan otro numero irracional como el número de oro φ (fi).

Objetivos de las actividades Analizar situaciones y resolver problemas para discriminar y caracterizar los números racionales e irracionales. Interpretar la noción de número irracional √2 y número de oro φ (fi) mediante el estudio de su expresión decimal. Conocer diferentes aplicaciones del número de oro φ (fi).

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Entre los siglos VI y V a. C., existió en Grecia la Escuela Pitagórica, llamada así en honor a su fundador, Pitágoras de Samos. Para los pitagóricos, toda la naturaleza estaba determinada por números enteros o fracciones de enteros (lo que nosotros conocemos como números racionales). Hasta que un día, un estudiante de esta escuela llamado Hipaso descubrió y demostró la existencia de otra clase de números: los números inconmensurables o irracionales. Probablemente, Hipaso se encontró con los números irracionales resolviendo problemas muy parecidos a estos: 1) ¿Cuánto vale la diagonal de un cuadrado de 1 cm de lado? Para realizar este cálculo, pueden utilizar la calculadora que tienen en sus equipos portátiles. Comparen el resultado obtenido con los de sus compañeros. a) ¿Cuántos decimales (números después de la coma) tiene el valor calculado? 2) Ahora, grafiquen el cuadrado de 1 cm de lado en el programa graficador (Geogebra), que está instalado en sus equipos portátiles. a) Usen el comando de distancia/longitud que se encuentra en la barra de herramientas para medir la longitud de la diagonal del cuadrado. ¿Tiene el mismo valor que la que calcularon ustedes? b) Usen el comando redondeo que se encuentra en el menú opciones para obtener más números decimales. ¿Qué sucede con estos? 3) Junto con sus compañeros y el docente, discutan la siguiente cuestión: a) ¿El valor de la diagonal puede ser un número racional? Si fuese así, ¿qué debería suceder? 4) Junto con el docente, analicen alguna de las demostraciones matemáticas que aparecen a continuación, donde se demuestra por qué √2 no puede ser un número racional.

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843: Números irracionales Demostración 1 Demostración 2 Demostración 3

Actividad 2 1) En grupos de dos o tres integrantes, dibujen pentágonos regulares con diferentes medidas. Para ello, utilicen el programa graficador (Geogebra), que se encuentra instalado en sus equipos portátiles. 2) En el programa de hojas de cálculo, instalado en sus equipos portátiles, armen una tabla como se muestra a continuación:

3) Para cada pentágono, midan la longitud de uno de los lados y la longitud de una de las diagonales. Coloquen estas medidas en la tabla anterior. Las celdas de la última columna deben tener un formato de diez decimales o más. 4) En cada pentágono dibujado, dividan la diagonal por el lado y escriban este resultado en la última columna. Pueden hacer este procedimiento escribiendo la fórmula que aparece en el cuadro (fila 2, columna D). Cópienla en las filas siguientes. 5) ¿Cuál fue el número que obtuvieron al dividir la diagonal por uno de sus lados? Comparen sus resultados con los demás grupos y discutan sobre el valor obtenido. 6) ¿Este valor será siempre el mismo para cualquier pentágono regular dibujado? ¿Puede ser un número racional?

Actividad de cierre El número que se consigue al dividir la diagonal de un pentágono regular por cualquiera de sus lados recibe un nombre especial, ya que aparece tanto en Matemática como en el arte, en la arquitectura de edificios, en las Ciencias naturales y en muchas otras áreas. Vean el video que se encuentra en el siguiente link para saber más sobre este número. 1) Realicen un resumen de lo que vieron en el video. 2) ¿En qué situaciones aparece este número? 3) Si tienen acceso a Internet, investiguen algunas de las situaciones en las que aparece este valor, y expongan lo investigado frente a los demás grupos.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo El número de oro Tres irracionales famosos Historia de los números irracionales

Webgrafía recomendada La divina proporción Raíz cuadrada de 2 Número áureo

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845: Números irracionales y operaciones

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Números irracionales y operaciones Autores: Sebastián Vera, Javier Peña, Daniel Brizuela. Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Analizar situaciones y resolver problemas para discriminar y caracterizar los números racionales y los irracionales. Revisar y profundizar algunas operaciones de radicación Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección trabajaremos con números irracionales de la forma √2. En la primera actividad los alumnos podrán observar la relación que existe entre los lados de una hoja formato A4 y el número irracional √2. En las actividades siguientes, se trabajará con algunas propiedades de radicación, aplicadas en diferentes contextos.

Objetivos de las actividades Analizar situaciones y resolver problemas para discriminar y caracterizar los números racionales e irracionales. Revisar y profundizar algunas operaciones de radicación. Aplicar el Teorema de Pitágoras para resolver una situación de la vida cotidiana.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 ¿Alguna vez se preguntaron por qué una hoja de papel A4 tiene ese tamaño? 1) Formen grupos de 3 o 4 alumnos y realicen las siguientes actividades para comprender el porqué de sus medidas y la relación que existe entre ellas. a) Tomen una hoja tamaño A4 y córtenla a la mitad (imagen 1). Luego tomen una de las mitades obtenidas en el paso anterior y vuelvan cortar la mitad por su lado más largo (imagen 2). Sigan cortando las mitades obtenidas 3 o 4 veces más. Imagen 1 Imagen 2

b) Ubiquen los cortes obtenidos de cada hoja uno encima del otro (imagen 3). Imagen 3

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845: Números irracionales y operaciones

c) ¿Qué observan entre los rectángulos obtenidos a partir de la hoja A4? d) Abran el programa de hojas de cálculo que se encuentra en sus equipos portátiles y armen una tabla como la que se muestra a continuación:

e) Midan los lados de los rectángulos obtenidos en el punto b y completen la tabla con las medidas obtenidas en cada caso. Para obtener el cociente entre los lados, escriban la fórmula que aparece en tabla (fila 3, columna D). Utilicen la misma fórmula para calcular el cociente de todos los lados obtenidos. f) Observen la relación que existe entre los cocientes obtenidos de cada rectángulo. ¿A qué número irracional se aproxima este cociente? g) ¿Por qué en una hoja A4 los rectángulos obtenidos comparten la diagonal? ¿Esto será igual con cualquier hoja de papel? Utilicen una hoja de su carpeta y repitan el procedimiento anterior. h) Si tienen acceso a Internet, visiten este link y analicen cómo se obtienen los diferentes formatos de hojas de papel DIN A (A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 y A8). i) ¿Qué similitudes encuentran con el proceso hecho por ustedes con una hoja A4?

Actividad 2 Supongamos que una empresa fabricante de hojas de papel necesita diseñar hojas con el mismo formato de la hoja A4, es decir que el cociente entre su lado mayor y el menor se aproxime a √2. Pero esta empresa solo cuenta con hojas de 1 m 2 de superficie y no sabe cómo fabricarlas, por lo tanto contrata a un grupo de diseñadores, en este caso ustedes, para que resuelvan el problema. (Tomen la aproximación como una igualdad.) a) ¿Qué medidas deberán tener los lados de las hojas a diseñar? b) Comparen los resultados obtenidos con los demás grupos.

Actividades de cierre Analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Escriban todos los cálculos involucrados en la respuesta. 1) Si se duplica el lado de un cuadrado, ¿también se duplica su diagonal? Justifiquen se respuesta. 2) Clasifiquen los siguientes números en irracionales y racionales. Expliquen su respuesta. 3,14 √3 π 1,414285714 -√2 √8 3 √-8

2+√2 1

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845: Números irracionales y operaciones

100 √27 3) Indiquen qué operaciones pueden efectuarse entre los siguientes pares de números de manera tal que el resultado sea un número racional.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Los números irracionales en la realidad Formato de papel Números reales, ejercicios Números irracionales

Webgrafía recomendada Representación de números irracionales Operaciones con números reales

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847: Números Primos

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Números Primos Autores: Sebastián Vera, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Números Primos Nivel: Secundaria, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección se trabajará con el concepto de números primos, número compuestos, y algunas propiedades entre estos números. En la primera actividad los alumnos trabajarán con un método sencillo para encontrar números primos, como es lo es la criba de Eratóstenes. Luego se trabajarán algunas propiedades y relaciones que existen entre este tipo de números.

Objetivo de las actividades Reconocer el número primo del número compuesto. Interpretar y resolver las situaciones problemáticas. Aprender nuevas estrategias de cálculo. Fomentar la investigación matemática particular del alumnado como medio de aprendizaje.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Eratóstenes (276 a. C. - 194 a. C.) nació en Cyrene, hoy Libia. Fue astrónomo, geógrafo, poeta, filósofo griego y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C. fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como Criba de Eratóstenes. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra. Para comprender el concepto de números primos vean el siguiente video de Adrián Paenza, en el cual se explica un gran problema relacionado con estos números: Números primos, por Adrián Paenza 1) Investiguen en qué consiste el método utilizado por Eratóstenes para hallar los números primos. 2) A partir de los resultados obtenidos en la investigación, construyan una tabla con las mismas características de la Criba de Eratóstenes. Para ello, utilicen el programa de hojas de cálculo disponible en sus equipos portátiles. 3) En la tabla construida, ¿cuales de los números del 2 hasta el 100 son primos? Marquen con un color aquellas celdas que contengan números compuestos y dejen las celdas con números primos sin marcar. 4) ¿Son primos los siguientes números?: 357; 181; 721; 163; 1079; 1111.

Actividad 2 1) Observando la tabla construida, determinen si todos los números primos, excepto el 2, son impares. 2) En una hoja de la planilla de cálculos, hagan cinco columnas. En cada una anotarán los números terminados en 1, en 3, en 5, en 7 y en 9, respectivamente. Escriban únicamente los números primos impares menores a 500. ¿Cuál es la terminación que menos se repite? ¿Por qué? ¿Y la que más se repite?

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847: Números Primos 3) Debajo o al costado de las columnas, anoten los números capicúas.

Actividad de Cierre 1) Hay parejas de números primos que son números impares consecutivos (3 y 5, 11 y 13, etc.). Estos números se llaman primos gemelos. Marquen las parejas de números primos gemelos que aparecen en la tabla construida por ustedes. ¿Hay algún número primo capicúa entre 200 y 300? ¿Por qué? ¿Y entre 300 y 400? 2) ¿Hay algún número primo capicúa entre 200 y 300? ¿Por qué? ¿Y entre 300 y 400?

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Tabla de números primos ¿Qué son los números primos y por qué les interesan a los matemáticos? Números primos

Webgrafía recomendada ¿Qué son los números primos? Número primo

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849: Números racionales positivos

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Números racionales positivos Autores: Miguel Serrano, Javier Peña y Damian Gibellieri Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Representación gráfica de fracciones Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos el concepto de número racional. Para ello se proponen diferentes actividades en las cuales los alumnos representarán gráficamente diferentes cantidades. También se trabajará con fracciones equivalentes. Por último, se aplicará lo trabajado en diferentes situaciones de la vida cotidiana.

Objetivos de las actividades Representar la fracción mediante gráficos. Comprender las familias de fracciones por medio de las fracciones equivalentes. Identificar la fracción irreductible de las familias de fracciones.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Los números racionales “fracciones” tuvieron sus orígenes en el Antiguo Egipto. A continuación verán dos videos relacionados con este tema: Historia de las fracciones Números racionales 1) A partir de lo que vieron en los videos, realicen las siguientes consignas: a) Copiar la siguiente actividad en un graficador y pinten los gráficos según corresponda a cada fracción:

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849: Números racionales positivos

2) Cinco amigos se juntaron a comer pizza. Dos de ellos comieron cinco porciones cada uno, otro comió seis porciones y los dos restantes comieron cuatro porciones. a) Sabiendo que una pizza tiene 8 porciones iguales, representen gráficamente la cantidad de porciones que comió cada persona y escriban la fracción que representa la cantidad de pizza que comió cada uno. b) ¿Cuántas porciones de pizza comieron en total? ¿Y cuántas pizzas?

Actividad 2 En esta actividad trabajaremos con el concepto de fracción equivalente. Para comprenderlo, les proponemos que observen los siguientes videos. Fracciones equivalentes Fracciones equivalentes, amplificación y simplificación A partir de lo analizado, realicen las siguientes actividades: 1) Encuentren por lo menos 5 fracciones equivalentes a cada una de las dadas:

2) Ingresen al siguiente link y descarguen el programa Pedazzitos, que es de uso gratuito, y con él armen la representación gráfica de cada una las fracciones equivalentes anteriores. 3) Simplifiquen las siguientes fracciones hasta hacerlas irreductibles. Para ello utilicen la calculadora científica que está instalada sus equipos portátiles.

4)Encuentren los números que deben ir donde aparece el signo ? para que las fracciones resulten equivalentes.

Actividad de cierre Analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Luego, representen gráficamente los resultados obtenidos. 1) Si se sabe que un paquete de fideos pesa ¼ de kilogramo, ¿cuántos paquetes se necesitarán para empaquetar 20 kilos de fideos? 2) Gabriela quiere comprar una computadora. En la tienda se la venden con las siguientes condiciones: tiene que abonar la mitad del total al momento de la entrega;

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849: Números racionales positivos dos meses después deberá pagar un tercio de la mitad que quedó sin abonar; y a los 6 meses abonará el resto, cuyo valor asciende a $600. Calculen el total que deberá pagar por la computadora.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Comparación gráfica de fracciones, en YouTube Gráfica de fracciones, en YouTube Fracciones equivalentes, en YouTube Fracciones: simplificar 1, en YouTube Fracciones: simplificar 2, en YouTube Fracciones: simplificar 3, en YouTube Pedazzitos

Webgrafía recomendada Número racional Fracción Fracción irreductible

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851: Operaciones básicas con fracciones

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Operaciones básicas con fracciones Autores: Miguel Serrano y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Operaciones básicas con fracciones Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará con las cuatro operaciones básicas entre fracciones positivas (suma, resta, multiplicación y división). En las actividades los alumnos resolverán diferentes cálculos y situaciones que les permitirán comprender como se aplican estas operaciones y podrán corroborar sus resultados utilizando la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Comprendan y sepan usar las operaciones y relaciones entre fracciones positivas para resolver problemas. Promuevan el uso de distintos tipos de cálculo: mental, escrito, con calculadora, exacto o aproximado.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 En la Antigüedad, cerca del 2.500 a. C., los egipcios utilizaban las fracciones para situaciones de la vida diaria, por ejemplo, para la distribución del pan, el fraccionamiento de parcelas y cultivos y para la construcción de pirámides. Sin embargo, la escritura que conocemos hoy para operar con las fracciones tiene sus orígenes en la India, aproximadamente en el siglo VI d. C. 1) Visiten los siguientes links para conocer más sobre la historia de las fracciones y para comprender cómo se realizan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones. Matemáticas: ¿Dónde se utilizan las fracciones? Operaciones con fracciones Les recomendamos bajar el programa de edición DescartesWeb 2.0 que les permitirá trabajar con las escenas interactivas. Operaciones con fracciones, en YouTube 2) A partir de lo leído en el ítem anterior, redacten una breve explicación de cómo se realizan las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) entre fracciones. Den al menos un ejemplo de cada una.

Actividad 2 1) Resuelvan los siguientes cálculos. Cuando sea posible, simplifiquen el resultado. Verifiquen los resultados con la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles.

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851: Operaciones básicas con fracciones

2) En cada recuadro en blanco, escriban el signo que corresponda (+, -, ¸, x) para que las igualdades sean ciertas:

Actividad 3 1) Reunidos en grupos de dos o tres alumnos resuelvan las situaciones presentadas a continuación. Utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles para comprobar los resultados obtenidos. a) El paso de cierta persona equivale a una distancia de 1.400 m?

de metro. ¿Qué distancia recorre con 1.000 pasos? ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer

b) Una empresa embotelladora de gaseosas debe entregar el jueves una cierta cantidad de botellitas de gaseosa. El domingo embotelló 1/3 de esa cantidad, el lunes 1/5, el martes 2/15 y el miércoles 3/10. Con lo embotellado hasta el momento, ¿podrá cumplir con el pedido? De no ser así, ¿qué fracción le faltaría embotellar? c) Inventen y redacten una situación para cada caso en la cual intervengan las siguientes operaciones:

2) La herencia del jeque: Un jeque árabe tenía tres hijos. Al morir les dejó 17 camellos, con el mandato expreso de que debían repartirlos sin matar ningún camello, y de la siguiente manera: el mayor recibiría la mitad, el segundo la tercera parte y el menor la novena parte. Los hijos del jeque, al querer hacer el reparto, se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había más remedio que matar algunos camellos. Para no tener que llegar a esta situación acudieron al cadí (juez) y este les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, el cadí apareció con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos. Les propuso que se procediera a cumplir la voluntad del jeque sobre esta herencia aumentada. Por lo tanto, el mayor tomó 9 camellos, el segundo 6 y el menor 2. Al terminar el reparto, el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos. Expliquen la solución dada por el cadí.

Actividad de cierre En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind visitó Egipto y en Luxor compró un papiro que se había encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Actualmente este papiro se conoce como papiro Rhind o papiro de Ahmes. 1) En grupos de dos o tres alumnos investiguen en Internet o en otras fuentes qué tipo de problemas había en el papiro de Rinh. Tomen dos o tres e intenten resolverlos. 2) ¿Cómo representaban las fracciones los egipcios? Investiguen esta forma de escritura y traten expresar las siguientes fracciones como lo hacían los egipcios:

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851: Operaciones básicas con fracciones

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Aprender fracciones Matemáticas en el antiguo Egipto: el papiro de Rhind

Webgrafía recomendada Operaciones básicas El papiro de Rhind

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853: Operaciones con números naturales

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Operaciones con números naturales Autores: Sebastián Vera, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Operaciones con números naturales Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En épocas primitivas, el hombre se servía de los dedos de su mano para contar y para sumar los objetos. Así como un dedo representaba el número 1, tres dedos representaban el número 3, etc. Pero a medida que aumentaron las cantidades que tenía que contar, le fue necesario recurrir a otros métodos. Los incas hacían nudos en las cuerdas y los llamaban quipus. Cada nudo registraba una faja de cereal cortado en la cosecha. Los pastores sumaban sus ovejas marcando el bastón cada 10 ovejas. Los egipcios, por su parte, sumaban haciendo huellas en la arena y allí colocaban esferas. Cada esfera en la primera huella de la derecha representaba un objeto; cada esfera en la segunda, diez objetos; cada esfera en la tercera, 100 objetos, y así sucesivamente. Estos tipos de suma tienen cierta similitud y dan nacimiento al instrumento de cálculo más antiguo de la humanidad: el ábaco. Este elemento fue el primero que permitió sumar grandes cantidades.

Luego surgieron libros de texto que difundieron las tablas de sumar y la resolución de problemas de suma y resta. En ellos aparecieron por primera vez los signos de suma (+) y resta (-). Las palabras más o menos, que indican adición y sustracción, en los países latinos se representaban por sus iniciales p (de plus) y m (de minus). Los signos + y - no pueden atribuirse a un invento en particular. La palabra multiplicar antiguamente se conocía con el nombre de producere o facere; el significado de estas palabras es de producto y factor. Después de introducir los signos + y -, se vio la ventaja de utilizar un signo para la multiplicación (x). Este fue usado por primera vez por William Oughtred (1574-1660), un matemático inglés. En cambio, el alemán Leibniz (1646-1716), argumentando que el signo x podía confundirse con la letra equis, lo simplificó y lo redujo a un punto (•). Paralelamente al signo de multiplicación surgió el signo de división, de la mano del matemático John Pell (1611-1685), quien utilizó este símbolo¸ para dicha operación y luego se transformó en %. Leibniz simplificó el signo de división con dos puntos (:). A lo largo de la historia, el uso de signos y números para realizar operaciones introdujo un nuevo lenguaje en el ser humano: el lenguaje numérico.

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853: Operaciones con números naturales

Objetivos de las actividades Operar con números naturales. Conocer las propiedades de los números naturales. Resolver distintas operaciones con números naturales.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Desarrollo de la actividad 1) Escriban las siguientes situaciones en lenguaje numérico y luego resuélvanlas: a) Un contador ha anotado en el día de la fecha estas operaciones: - primero, recibió depósitos de Juan (por $ 1900), de Pedro ($ 2400), de José ($ 400) y de Jazmín ($ 2000); - segundo, tuvo que pagar los montos de $ 1000 y $ 300; - por último, recibió de Rosa $ 2000. ¿Qué monto recaudó el contador? ¿Cuánto tuvo que abonar? ¿Cuál es el saldo a favor? b) Luis se compró una bicicleta por $ 318 y la pagó en tres cuotas mensuales de igual valor. Por pagar en cuotas le recargaron $ 21 al valor original. ¿Cuánto pagó en cada cuota? c) En un colegio hay 3 cursos de 7.º grado: cada curso empezó el año con una caja de tizas azules y una caja de tizas blancas; cada caja contenía 90 tizas. En cada curso, se usan 2 tizas blancas y 1 azul por día. El martes de la tercera semana de clases, al finalizar el día, la preceptora contó las tizas que quedaban en cada una de las cajas. ¿Cuántas tizas de cada color había en cada caja? Las tizas que quedaban, ¿para cuántos días más alcanzarán? 2) Analicen y respondan las siguientes preguntas planteando diferentes ejemplos: a) Si sumamos o multiplicamos dos números naturales, ¿el resultado es siempre otro número natural? b) Y si dividimos o restamos dos números naturales, ¿cómo será el resultado? 3) Investiguen las distintas propiedades que se pueden cumplir con los números naturales. Para esto recurran a los siguientes links: Suma ¿Qué son los números naturales? 4) En el procesador de textos de sus equipos portátiles, hagan una lista con las propiedades investigadas, acompañadas de un ejemplo. Comparen su lista con las de sus compañeros.

Actividad 2 1) Resuelvan las siguientes operaciones combinadas de dos maneras distintas aplicando las propiedades correspondientes (verifiquen que el resultado sea siempre el mismo). a) 453 + 171 - 281 - 12 - 1 + 123 = b) (509 + 162) + (376 - 273) - 251 = c) 253 - (12 + 25 + 29) + 12 = d) (10 +2 + 4) 3 + 2 = e) (100 : 10 + 8 9) : 2 + (9 + 1) 2 = f) (120 + 14 - 18 : 9) 2 + (8 - 4 : 2) : 3 = g) 4 (3 - 2) + 5 (6 3 - 10) = 2) Utilicen la calculadora científica, instalada en sus equipos portátiles, para comprobar si los resultados obtenidos en las operaciones anteriores son correctos.

Actividad de cierre 1) Sabiendo que el cociente de una división es de 295, el divisor 324 y el resto 265, ¿cuál es el número del dividendo? 2) Completen el espacio en blanco para que la igualdad sea verdadera. A) (4 + ) 5 = 20 + 15 B) ( - 100) : 2 + 2 (75 - ) = 100 - 50 + 150 - 66 3) Utilizando el procesador de textos de sus equipos portátiles, inventen y redacten una situación de la vida cotidiana en la que intervengan las siguientes operaciones entre números naturales. A) 12500 - (112 + (1056 - 1230)) = B) (3254 : 2 - 100) + 201 - 74 = C) 2 . (18041 - 1002) - 960 : 3 + 116 =

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853: Operaciones con números naturales

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Una breve historia del ábaco Números naturales Conjuntos numéricos Suma de números naturales

Webgrafía recomendada Número natural ¿Qué es un número? Números

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855: Planteo de ecuaciones de primer grado con una incógnita

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Planteo de ecuaciones de primer grado con una incógnita Autores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: planteo y resolución de problemas Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección trabajaremos con el concepto de ecuación dentro del marco de la resolución de problemas. A través de las actividades los alumnos podrán plantear diferentes ecuaciones de primer grado y verificar la validez del resultado obtenido dentro del contexto del problema.

Objetivos de las actividades Plantear ecuaciones acordes al problema dado. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Verificar la validez del resultado teniendo en cuenta el contexto del problema.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Analicen las siguientes situaciones: 1) Ana, Juan y María tienen una cierta cantidad de dinero que se van a repartir de la siguiente forma: a Ana le corresponde la mitad, a Juan 1/4 del resto y a María le dan 150 pesos. a) Dibujen una recta numérica para representar la situación planteada y hallar el valor del dinero que tienen inicialmente y del dinero que les corresponde a Ana y a Juan. b) Utilizando la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles verifiquen la validez del resultado obtenido. 2) Juan tiene unas cuantas varillas de la misma longitud. Para armar un cuadrado, luego va agregando varillas de la siguiente forma:

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855: Planteo de ecuaciones de primer grado con una incógnita

a) Con el programa Geogebra realicen el dibujo que le quedaría a Juan, pero con 5 cuadrados. b) ¿Cuántas varillas utilizó? c) ¿Cuántas varillas son necesarias para armar 10 cuadrados? d) ¿Cuántos cuadrados consecutivos se pueden construir si se utilizan 121 varillas?, ¿con 1000 varillas? ¿Y con 1050?

Actividad 2 1) Para cada una de las siguientes ecuaciones redacten un problema que se ajuste a los datos:

a) 2x + 5 - 4x = -15 + 3x b) 6 (x - 2) = x + 3 c) 5x + 2 = 2 - (-x + 4) d) 4x + 2 (x - 3) = 4 (5 - x) 2) Resuelvan las ecuaciones dadas en el ítem 1 y verifiquen los resultados utilizando la calculadora científica instalada en los equipos portátiles.

Actividad de cierre En grupos de dos o tres alumnos realicen las siguientes consignas: 1) Analicen la ecuación: x 2 + y2 = z 2 . Propongan tres números enteros diferentes que cumplan con esta igualdad. ¿Cuántos creen que hay? 2) ¿Qué sucede si en la misma ecuación se eleva cada número al cubo, es decir: x 3 + y3 = z 3 ?¿Encontraron alguna solución? 3) Prueben ahora con la misma ecuación pero escrita en una forma más general: x n + yn = z n , donde n es un número natural. ¿Habrá alguna solución para n mayor a 3? 3) Ingresen a la siguiente página y lean sobre “El último teorema de Fermat”. 4) Observen los siguientes videos, en los que se cuenta la vida de este matemático y el origen de su conocida ecuación:

Universo matemático: 4 Fermat el margen más famoso de la historia 1/5 Universo Matemático: 4 Fermat el margen más famoso de la historia 2/5 Universo Matemático: 4 Fermat el margen más famoso de la historia 3/5 Universo Matemático: 4 Fermat el margen más famoso de la historia 4/5 Universo Matemático: 4 Fermat el margen más famoso de la historia 5/5

5) Luego de leer la información proporcionada y de ver los videos, escriban un resumen de la biografía de Fermat y expliquen qué sucedió a lo largo de la historia con esta ecuación.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Valor numérico de una expresión algebraica Pierre Fermat

Webgrafía recomendada

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855: Planteo de ecuaciones de primer grado con una inc贸gnita Ecuaciones

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857: Propiedades de las potencias

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Propiedades de las potencias Autores: Sebastián Vera, Javier Peña, Daniel Brizuela y Miguel Serrano Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Propiedades de las potencias Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Objetivos de las actividades Utilizar las propiedades en la resolución de situaciones problemáticas. Entender el uso de las propiedades para facilitar las operaciones.

Objetivos pedagógicos Introducción Las propiedades de las potencias se utilizan muchas veces para facilitar algunas operaciones, o sea, para hacerlas más sencillas. Aquí pueden ver un video relacionado con estas propiedades.

Actividad 1 a) Construyan una tabla en el programa Writer, incorporado en los equipos portátiles, y complétenla escribiendo todas las propiedades de las potencias analizadas en el video anterior, con sus respectivos ejemplos. b) Aplicando las propiedades de las potencias, descubran el valor que falta para que se cumpla la igualdad: c) Si Luciana decide regalarle 3 11 chocolates a sus 3 9 amigas, ¿cuántos chocolates regalará a cada una?

Actividad 2 a) Reunidos en parejas, construyan una tabla en el programa Writer y completen los valores de cada rectángulo. Escriban los resultados como una sola potencia. Rectángulo

Área

Base

13 6

13 2 m

2 3

Altura

95 m 12 7

97 m 12 2 m2

m2 4 5

10 9 m 10 9

10 7 10 3 m

b) Utilicen la calculadora KHI3 instalada en sus equipos y realicen los cálculos de todas las potencias. c) Manteniendo las parejas, discutan y resuelvan la siguiente situación: Se quiere construir un edificio de 12 2 m x 15 2 m en una manzana cuya superficie es de 6 3 m x 7 3 m. ¿Esto es posible? Si la superficie de la manzana fuera de (212 ) 2 m2 , ¿cuántos edificios del mismo tamaño se podrían construir?

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857: Propiedades de las potencias

Actividades de cierre a) Calculen distintas potencias de números pares e impares. ¿Cómo son los resultados en cada caso? Redacten una conclusión. b) Las potencias de base 10 desempeñan un papel muy importante dentro de la matemática, ya que nos permiten simplificar muchos cálculos. Investiguen en Internet o en otras fuentes sobre la aplicación de este tipo de potencias. Luego, expliquen sus propiedades con sus respectivos ejemplos. c) Redacten y resuelvan alguna situación en donde puedan aplicar este tipo de potencias. d) Ingresen en este link para leer y analizar una famosa leyenda sobre el origen del ajedrez y su relación con el cálculo de potencias.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Propiedades de la potenciación (parte I) Propiedades de la potenciación (parte II)

Webgrafía Potenciación

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859: Puntos notables de un triángulo

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Puntos notables de un triángulo Autores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Construcción y análisis de mediatrices, bisectrices, alturas y medianas. Circunferencias inscriptas y circunscriptas en un triángulo Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección encontraremos y analizaremos las propiedades de algunos puntos notables de un triángulo. En las primeras actividades los alumnos utilizarán el programa Geogebra para encontrar y analizar las propiedades de los puntos notables tales como el circuncentro, incentro, ortocentro y el baricentro de diferentes triángulos. Finalmente, utilizarán las propiedades de estos puntos para resolver diferentes problemas de aplicación.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan los puntos notables del triángulo y sus aplicaciones. Analicen la pertinencia de la aplicación de los conceptos, aprendidos en esta secuencia, en situaciones problemáticas concretas.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para resolver las siguientes actividades: a) Construyan un segmento, ubiquen tres puntos equidistantes, es decir que estén a igual distancia, de los extremos del segmento, y junto con el docente respondan las siguientes preguntas: ¿Hay más puntos que cumplan con las condiciones anteriores? ¿Cuántos? ¿Se puede trazar una recta que pase por esos puntos? ¿Cómo se llama la recta? b) Construyan un triángulo y tracen las mediatrices de cada uno de los segmentos que forman sus lados. Luego, respondan: ¿Las tres mediatrices se cortan en algún punto? Comparen su triángulo con los de sus compañeros. El punto de intersección entre las tres mediatrices, ¿equidista de los vértices del triángulo? Justifiquen su respuesta. ¿Cómo se llama este punto? Observen qué sucede con el punto de intersección obtenido en el ítem anterior si el triángulo es acutángulo, obtusángulo o rectángulo. c) Visiten el siguiente link. Luego, redacten una conclusión en la que se explique cómo se llama el punto de intersección que se obtiene al trazar las mediatrices de los lados de un triángulo y qué propiedad tiene.

Actividad 2 1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para resolver las siguientes actividades: a) Construyan un ángulo y marquen tres puntos equidistantes de los lados del ángulo. Luego, respondan: ¿Hay más puntos? ¿Se pueden unir con una recta? ¿Qué nombre recibe esta recta?

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4182[05/02/2011 18:38:30]

859: Puntos notables de un triángulo 2) Grafiquen un triángulo cualquiera, para hacerlo utilicen la opción “polígono”. Luego, construyan la bisectriz de cada uno de los ángulos del triángulo. ¿Las tres bisectrices obtenidas se cortan en el mismo punto? a) Sobre el triángulo anterior, construyan una circunferencia, para hacerlo utilicen la opción “Circunferencia dados tres puntos”, tengan en cuenta que esos tres puntos son los vértices del triángulo inicial. Luego, junto con el docente discutan las siguientes preguntas: ¿A qué distancia se encuentran los vértices del triángulo del punto intersección de las tres bisectrices? ¿Qué nombre recibe ese punto? 3) Visiten el siguiente link. Realicen el ejercicio que ahí se plantea para cambiar los vértices del triángulo y observar cómo varía la posición del punto que se produce por la intersección de las bisectrices. 4) A partir de lo visto en el link anterior, redacten una conclusión que explique cómo se llama el punto de intersección que se obtiene al trazar las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo y cuál es su propiedad.

Actividad 3 1) Utilizando el programa geogebra construyan dos triángulos. a) En el primero, tracen las medianas (segmentos que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto) correspondientes a cada lado. b) En el segundo, tracen las alturas correspondientes a los lados del triángulo. c) ¿Qué observan en cada triángulo dibujado? ¿Las medianas trazadas o las alturas, se cortan en algún punto? d) ¿En qué casos el punto de intersección está dentro o fuera del triángulo? Comparen los triángulos dibujados por sus compañeros. 2) Ingresen a los siguientes links para saber cómo se llaman estos puntos (el de intersección entre las medianas y el de intersección entre las alturas). Medianas, baricentro Alturas, ortocentro 3) Expliquen con sus palabras cómo se obtienen y qué propiedades tienen el baricentro y el ortocentro de un triángulo. 4) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen el baricentro y el ortocentro de un triángulo.

Actividad de cierre 1) Analicen y resuelvan las siguientes situaciones: a) Se quiere construir un supermercado que esté a la misma distancia de una farmacia (f), una estación de servicio (e) y una clínica (c), tal como se ve en la figura abajo. ¿A dónde debe estar ubicado exactamente el supermercado? ¿Qué concepto geométrico podrían utilizar para ubicarlo? ¿Por qué?

b) Si se quiere colocar un poste de luz en un punto que esté a igual distancia de las calles que rodean la plaza. El gráfico que representa la situación es el siguiente:

¿Dónde debe estar ubicado el supermercado? ¿Qué concepto geométrico podrían aplicar? ¿Por qué?

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859: Puntos notables de un triángulo

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Geometría, conceptos previos

Webgrafía recomendada Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo

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861: Puntos rectas y planos

Introducción al modelo 1 a 1

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Inicio - Matemática / Ciclo básico PDF

Puntos, rectas y planos Autores: Miguel Serrano y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Puntos, rectas y planos Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos los conceptos de punto, recta y plano e introduciremos el concepto de recta paralela y perpendicular.

Objetivo de las actividades Reconocer a la geometría como parte de la condición humana. Saber diferenciar los distintos conceptos geométricos. Interpretar y reconocer figuras en el plano.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 La geometría se basa en tres conceptos fundamentales, el punto, la recta y el plano, que forman parte del espacio geométrico, es decir del conjunto formado por todos los puntos. 1) Miren los siguientes videos en los cuales se definen estos conceptos: El punto y la línea Pareja de rectas 2) Respondan las siguientes consignas: a) ¿Con qué tipo de letra se denomina un plano? b) ¿Cuál es el nombre de esta letra griega:

c) ¿Cómo se llama este tipo de recta?

d)¿Qué nombre se le da a esta semirrecta?

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861: Puntos rectas y planos

e) En geometría punto y recta son dos términos primitivos, ¿cuál es el otro?

Actividad 2 Reunidos en grupos de dos o tres alumnos respondan las preguntas que se presentan a continuación. Utilicen lápiz, papel, regla y escuadra para corroborar sus afirmaciones. Luego verifiquen sus respuestas visitando la siguiente web. a) ¿Cuántos puntos tiene una recta? b) ¿Cuántas rectas contiene un plano? c) ¿Cuántas rectas pasan por un punto? ¿Y por dos puntos? ¿Y por tres? Dibujen cada situación. d) ¿Cuántos planos pueden intersectar a una recta en un punto? e) ¿Es posible que dos planos se intersecten en un punto solamente? f) ¿Pueden dos planos contener a la misma recta? g) ¿Pueden tres planos coincidir en un punto solamente? h) ¿Cuántos planos se pueden trazar por dos puntos distintos?

Actividad 3 1) Utilizando el programa graficador Geogebra, realicen las siguientes consignas: a) Marquen un punto en el plano y tracen diez rectas que pasen por ese punto. b) Utilicen la opción: Segmento dados punto extremo y longitud y grafiquen tres segmentos de 5, 10 y 15 de longitud. c) Utilicen la opción: Polígono y grafiquen cuatro planos diferentes con 3, 4, 5 y 6 puntos en la pantalla.

Actividad de cierre 1) Miren el siguiente video (hasta el minuto 2:35) sobre rectas paralelas y perpendiculares: a) Expliquen con sus palabras qué diferencias hay entre dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares. Dibujen un ejemplo para cada caso. b) Nombren ejemplos de la vida cotidiana en los que aparezcan este tipo de rectas. 2) Miren los siguientes videos sobre como trazar rectas paralelas y perpendiculares: Paralelas Paralelas y perpendiculares a) Dibujen lo que se pide en cada video y luego redacten en el procesador de textos, instalado en sus equipos portátiles, los pasos básicos para trazar rectas paralelas y perpendiculares. b) Utilizando regla y escuadra, dibujen una recta y un punto exterior a ella y tracen la paralela que pasa por ese punto. c) Utilizando regla y compás, dibujen una recta y marquen un punto perteneciente a esa recta. Luego tracen una recta perpendicular que pase por ese punto. d) Tracen dos rectas paralelas y luego una perpendicular y respondan: ¿la recta perpendicular es perpendicular a las otras dos? e) Realicen nuevamente los ítems a y b utilizando el programa Geogebra.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Geogebra – Manual Rectas perpendiculares y paralelas

Webgrafía recomendada Punto, recta y plano Punto, Recta, Plano

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793: Raíces de un polinomio

Introducción al modelo 1 a 1

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Raíces de un polinomio Autores: Sebastián Vera y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Raíces o ceros de un polinomio y expresión polinómica factorizada Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos con la búsqueda de ceros o raíces de un polinomio. Mediante las actividades propuestas los alumnos podrán observar y analizar las ventajas de escribir un polinomio en su forma factorizada para encontrar sus raíces. Para ello deberán recurrir a teoremas y propiedades vistas en otras secuencias, como el Teorema de Ruffini, el Teorema del Resto y la divisibilidad entre polinomios.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Analicen las ventajas de tener polinomios factorizados para hallar los ceros. Vinculen la presencia de raíces de un polinomio con factores del mismo. Identifiquen los ceros o raíces de polinomios por medio de la factorización de polinomios, apelando a teoremas y a propiedades.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Analicen la siguiente situación: Para armar el asiento y el respaldo de una silla, un carpintero necesita cortar dos placas de madera con las siguientes condiciones: Ambas piezas tienen que tener la misma superficie. El asiento tiene que ser un cuadrado. El respaldo tiene que ser un rectángulo que tenga el doble de altura que el asiento y su ancho 19,5 cm menor. a) En grupos de dos o tres alumnos, completen la siguiente tabla con la información dada: partes de la silla

ancho

largo

área

Asiento

Respaldo

b) ¿Podrá el carpintero construir esta silla? ¿Qué ecuaciones debería plantearse para encontrar las medidas del asiento y el respaldo? Justifiquen su respuesta. c) Para encontrar las medidas del asiento y el respaldo, tuvieron que calcular las raíces o ceros de algún polinomio. Visiten los

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793: Raíces de un polinomio siguientes links para profundizar sobre este tema: Factorización de un polinomio Factorizar polinomios Polinomios (les recomendamos bajar el programa de edición DescartesWeb 2.0, que les permitirá trabajar con las actividades interactivas). d) A partir de lo visto en los links anteriores, discutan junto con el docente las siguientes cuestiones: ¿Qué relación existe entre las raíces de un polinomio y su expresión factorizada? Si tuvieran que elegir algunos de los siguientes polinomios para hallar sus raíces, ¿cuáles serían y por qué? f(x) = (x - 5) (x - 2) (x + 1) g(x) = x 4 + x 2 - 2 h(x) = x 2 - 81 j(x) = x 2 + 4x + 10 (x) = x 2 ● (x - 5) Indiquen cuáles son las raíces de los polinomios elegidos.

Actividad 2 1) Completar los espacios en blanco del siguiente cuadro: Polinomio desarrollado P(x) = 3x5 - 9x4

Expresión factorizada

Raíces x =0y x =

P(x) = 3x4 · (x - 3)

Q(x) =

P(x) = (x - 5) · (x + 2)

T(x) = x 2 - 25

T(x) =

R(x) =

R(x) = (x + 2)2 · (x 1)

2) Marquen la o las opciones correctas en cada caso: a) Dado el polinomio p(x) = 2 · (x - 5) · (x + 6) + x3 x = 5 y x = -1 son ceros de f; la expresión de f(x) está factorizada; el resto de dividir f(x) por x - 1 es (-61). 2) Encontrar un polinomio

de modo que:

sea factor de ese polinomio.

3) Encontrar un polinomio

de modo que:

sea uno de sus factores y 1 sea una de sus raíces.

4) Encontrar un polinomio

de grado 4, de modo que:

las raíces de

sea uno de sus factores y 1 sea una de sus raíces. Indicar todas

Actividad de cierre 1) Completen los espacios en blanco según corresponda. Utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles para realizar los cálculos que sean necesarios. Polinomio

Polinomio factorizado

desarrollado

Grado del

Raíces

raíces reales 3

f(x) = x 3 - 4x g(x) =

g(x) = x 2 (x - 8)

h(x) = x 2 + 8x + 4

h(x) =

1 x = 8x = 1x = 1

r(x) = x 3 - 8x2 + x - 8 Q(x) =

Cantidad de

polinomio

Q(x) = (x - 2) · (x - 4) ·

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793: Raíces de un polinomio (x - 4) T (x) = x 3 + x 2 + x + 1

T(x) =

P(x) =

P(x) = (2x2 + 1) · (x -

x = -1

3) a) Miren el cuadro y discutan junto con el docente si existe alguna relación entre el grado del polinomio y la cantidad de raíces que posee.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Polinomios Teorema del resto Factorización de polinomios

Webgrafía recomendada Polinomio, en Wikipedia Polinomios, en aulamatematica Polinomios, en Álgebra universitaria

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795: Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

Introducción al modelo 1 a 1

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Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss Autores: Sebastián Vera y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Aplicación del Teorema de Gauss para la búsqueda de raíces racionales de un polinomio Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos con la búsqueda de ceros o raíces racionales de un polinomio a través del Teorema de Gauss. Mediante las actividades propuestas los alumnos podrán trabajar con este teorema, que les permitirá encontrar raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Utilicen el Teorema de Gauss para hallar las raíces racionales de un polinomio de grado mayor que 2. Analicen las ventajas de tener polinomios factorizados para hallar los ceros. Identifiquen los ceros o raíces de polinomios aplicando la factorización de polinomios apelando a diferentes teoremas y propiedades.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Hallen las raíces de los siguientes polinomios: T(x) = x 3 - 2x 2 + x + 2 P(x) = 12x 3 - 4x 2 - 3x + 1 a) ¿Encontraron las raíces del polinomio P(x)? Completen el siguiente cuadro para conocer las raíces racionales de este polinomio: X0

P(x 0 )

¿Es raíz de P(X)?

1 -1 1/2 -1/2 1/3 -1/3 1/4

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795: Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

-1/4 1/6 -1/6 1/12 -1/12

Los valores (X0 ) dados en la tabla anterior fueron propuestos utilizando el Teorema o método de Gauss. Este método nos permite disponer de una lista de posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. b) Para comprender en qué consiste este método, analicen la relación que existe entre los numeradores de los valores (X 0 ) y el término independiente de P(x), y entre los denominadores y el coeficiente del término principal. Discutan lo analizado junto con el docente. 2) Para profundizar sobre el método de Gauss, visiten los siguientes links: Factoreo con Gauss, ejercicios resueltos Raíces de polinomios

Actividad 2 1) Apliquen el Teorema de Gauss para encontrar las posibles raíces y las raíces de cada uno de los polinomios que se presentan a continuación. Para ello, armen una tabla similar a la presentada en la actividad 1. Para realizar esta actividad, utilicen el procesador de textos de sus equipos portátiles. F(x) = 6x2 - 9x - 6 G(x) = 5x3 - 10x 2 + 5x - 10 H(x) = x 4 + 12x 2 + 36 R(x) = 27x 3 + 3x + 5x - 10 a) Escriban los polinomios anteriores como productos de dos o más polinomios. 2) Encuentren las soluciones racionales de las siguientes ecuaciones: x 3 - x 2 + 2 = 4x - x 3 x 4 – x 3 + 2 = 4x + 3x2 + 4 -3x5 - 2x4 = -4x + 11x 3 + 8x2 3) Un contador determina que las ganancias de uno de sus clientes se calculan mediante la siguiente fórmula: F(x) = x 3 - 4x, en donde x representa la cantidad de artículos vendidos. Para otro cliente determina que sus ganancias pueden establecerse mediante la siguiente fórmula: G(x) = 7x - 2, donde x representa la cantidad de artículos que vende. Hallar para qué cantidad de artículos vendidos los clientes obtienen igual ganancia.

Actividad de cierre 1) Discutan junto con su docente las siguientes cuestiones: ¿Cómo podrían aplicar el método de Gauss para encontrar las raíces racionales de los siguientes polinomios? T(X) = x 3 -2/5 x 2 + 1/2x +1 S(X) = x 4 -3x3 + (13/14)x2 + (3/2)x2 + (1/4) ¿Sirve el Teorema de Gauss para encontrar todas las posibles raíces de un polinomio? 2) Observen el siguiente video, en el que se cuentan algunos de los problemas resueltos por Carl Friedrich Gauss en su juventud. 3) En grupos de dos o tres alumnos, realicen una investigación en paginas de Internet o en otras fuentes sobre la vida de este genial matemático al que algunos apodaron “El príncipe de las matemáticas”. Redacten lo analizado en el programa de textos de sus equipos.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Factorización de polinomios Teorema del factor ¿Qué dice Gauss? Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 1/5

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795: Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 2/5 Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 4/5 Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 5/5

Bibliografía / Webgrafía recomendada Kaczor, P. y otros: Matemática I Polimodal. Ediciones Santillana, Buenos Aires, 1999. Raíces de polinomios Teorema de la raíz racional

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863: Sistema de numeración

Introducción al modelo 1 a 1

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Inicio - Matemática / Ciclo básico PDF

Sistema de numeración Autor: Sebastián Vera, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Sistema de numeración Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Objetivos de las actividades Conocer el modo de representación de otros sistemas de numeración y sus usos en otras culturas. Conocer el sistema de numeración actual. Valorar el sistema de numeración como instrumento útil y necesario para comunicar cantidades, expresar y contar.

Objetivos pedagógicos Introducción a las actividades Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó distintos métodos –que incluían objetos– para contar. A continuación veremos un video que nos permitirá entender las distintas culturas de los sistemas de numeración.

Actividad 1 Luego de ver el video, contesten el siguiente cuestionario. Para ello utilicen el procesador de textos que se encuentra disponible en sus equipos portátiles. 1) ¿De qué manera el hombre paleolítico representaba las cantidades? 2) ¿Quiénes usaban collares para la representación de cantidades? 3) ¿Quiénes inventaron el sistema sexagesimal? ¿Se utiliza actualmente? 4) ¿Qué elemento utilizaban los chinos para contar? ¿Se utiliza en nuestros días? 5) Los siguientes símbolos corresponden al sistema de numeración griego. Busquen en el video o en Internet qué cantidades representan.

6) Trabajen en equipos de 3 o 4 personas. Confeccionen una tabla. Para ello, utilicen el procesador de textos que se encuentra

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4186[05/02/2011 18:39:13]

863: Sistema de numeración disponible en sus equipos portátiles.

Cantidad

Número decimal

Número romano

Número egipcio

Número maya

Días que tiene un año Edad de uno de ustedes Número de alumnos en el aula Año en que vivimos

Busquen en Internet o en otro medio –enciclopedias o manuales– información sobre los diferentes sistemas de numeración que aparecen en la tabla. Escriban luego las cantidades que se piden en cada uno de los sistemas de numeración.

Actividad de cierre 1) Manteniendo el mismo grupo de trabajo, inventen un sistema de numeración en el cual utilicen 10 símbolos diferentes. 2) Utilicen el sistema de numeración inventado para representar las cantidades de la tabla anterior. 3) Discutan junto con los demás grupos las siguientes preguntas: a) ¿Qué diferencias o similitudes hay entre los sistemas de numeración que aparecen en la tabla? b) ¿Cómo se podrían agrupar? El que ustedes inventaron, ¿a qué grupo pertenecería?

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Historia de los números naturales Sistemas de numeración Sistemas de numeración Los sistemas de numeración Sistemas de numeración: binario, octal y hexadecimal

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865: Sistema sexagesimal de ángulos

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Sistema sexagesimal de ángulos Autores: Mercedes Sens Hourcade, Sebastián Vera y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Sistema sexagesimal de ángulos y operaciones Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia nos pondremos en contacto con el sistema sexagesimal. En las actividades los alumnos trabajarán con las equivalencias entre ángulos, minutos y segundos .También trabajarán diferentes operaciones con el sistema sexagesimal.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Estudien los orígenes del sistema sexagesimal. Realicen correctamente sumas y restas en ese sistema. Realicen productos y divisiones por un número natural Estimen valores de ángulos. Utilicen la calculadora para verificar la validez de las estimaciones.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional en el cual se emplea como base al número sesenta. En la actualidad se utiliza para medir tiempos y grados. 1) Ingresen a los siguientes links para saber adonde se originó este sistema y cómo es utilizado en la actualidad: Sistema sexagesimal Medir el tiempo y los ángulos. el sistema sexagesimal 2) Investiguen en Internet o en otros medios qué otros sistemas de medición se utilizan para medir ángulos. 3) Expresen en segundos las siguientes medidas de ángulos: 45º 90º 180º 360º

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4188[05/02/2011 18:39:24]

865: Sistema sexagesimal de ángulos 125º 19´04” 15º 4) Visiten el siguiente link en el cual se explica cómo se opera con ángulos utilizando el sistema sexagesimal: 5) Planteen una operación de suma, una de resta, una de multiplicación y otra de división que involucren ángulos medidos mediante el sistema sexagesimal y resuélvanlas.

Actividad 2 1) Realicen las siguientes operaciones entre ángulos: 125° 02´ 46” + 5° 52´ 16” = 139° 35’ + 207° 12’” = 326° 45´ 6” - 164° 32’ 19” = 72° 04´ + 15° 27´ 54” = 3 . 15° 28´ 54” = 44° 28´ 54” : 3 = 17º : 2 = a) Verificar las operaciones realizadas utilizando una calculadora científica.

Uso de la calculadora científica en el sistema sexagesimal La calculadora tiene tres sistemas o modos de medidas angulares:: Para trabajar en el sistema sexagesimal, deberán colocarla en el modo DEG. Consulten con su docente para verificar que la calculadora este en este en ese modo. La tecla para colocar grados, minutos y segundos sexagesimales es: Por ejemplo para ingresar el siguiente valor 26°35´16” deben escribir :

Uso de la calculadora científica Khi3 Abran la calculadora Khi3 que está instalada en sus equipos portátiles. Bajo el visor hay un tecla con el siguiente símbolo: Hagan clic ahí para tener más opciones de uso. Bajo los números aparecen las siguientes opciones: lista 1, lista 2, lista 3 y lista 4. Hagan clic en lista 3. En la parte inferior derecha de la pantalla aparece una operación con horas minutos y segundos (recordar que el tiempo también lo medimos con el sistema sexagesimal). Ahora realicen los cálculos que se les pidieron y completen con los números que correspondan. Si desean realizar una resta presionen sobre el cuadrado que contiene la suma, y aparecerá la opción de la resta. 2) Un telescopio está apuntando hacia una estrella con un ángulo de elevación de 17º 18´ 42”. Si ese ángulo se cuadriplica, ¿cuál será el nuevo ángulo de elevación?

3) ¿Cuánto mide un ángulo cuya amplitud vale

de un ángulo recto? 4) Un cocinero necesita cortar una pizza grande en 16 porciones exactamente iguales. ;¿y si la cortamos en 8 porciones exactamente iguales ? Explicar como debería hacer el cocinero para cortar cada porción y calcular el ángulo de las mismas. 5)Completar la siguiente tabla realizando las operaciones indicadas. Verifiquen los resultados con las calculadoras científicas instaladas en los equipos portátiles.

20° 10´ 42”

30° 51’ 80° 10’

Actividad de cierre

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4188[05/02/2011 18:39:24]

b+a

170° 06’ 15”

2.a - b

2.(a +b )

865: Sistema sexagesimal de ángulos Una aplicación interesante del uso del sistema sexagesimal de medición de ángulos, es la localización geográfica de un lugar en la superficie de la Tierra. 1) Visiten el siguiente link para comprender cómo se aplica el sistema sexagesimal. a) Luego, redacten un resumen de lo analizado explicando cómo se utiliza este sistema para localizar un país, una isla o una montaña en el mundo. b) Utilizando el sistema sexagesimal, den la ubicación geográfica de tres capitales de provincias argentinas, indicando su latitud y longitud. 2) Investiguen en Internet o en otras fuentes otras aplicaciones del sistema sexagesimal. Discutan lo investigado junto a los demás compañeros y el docente.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Historia del sistema sexagesimal Sistema sexagesimal, en Wikipedia Operaciones con ángulos Medición de ángulos

Webgrafía recomendada Medición de ángulos Medida de ángulos

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4188[05/02/2011 18:39:24]

867: Suma de los ángulos interiores de un polígono

Introducción al modelo 1 a 1

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Suma de los ángulos interiores de un polígono Autores: Claudia Ugrin, Sebastián vera, Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Propiedades de los ángulos interiores de un polígono Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia los alumnos podrán descubrir las propiedades de los ángulos interiores de un polígono. En especial del triángulo, podrán hallar la relación entre ellos y los polígonos en general.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Relacionen la suma de ángulos interiores con cada polígono. Calculen el resto de los datos referidos a los ángulos de un polígono regular, a partir de un dato. Resuelvan los problemas con triángulos.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 El ángulo interior de un polígono es el que se forma al unirse cada par de lados consecutivos del mismo. Por ejemplo, en el polígono que se muestra debajo, los lados: QR = lado1 y RS = lado2 determinan en el punto R (vértice) el ángulo interior: QRS.

1) En grupo de dos o tres alumnos utilicen el programa Geogebra, para graficar los siguientes puntos A = (2, 4) B = (4, 5) C = (5, 1) D = (2,0) E = (1, 2)

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4190[05/02/2011 18:39:35]

867: Suma de los ángulos interiores de un polígono

a) Utilizando la opción “segmento entre dos puntos”, unan los puntos graficados en el ítem anterior y formen un polígono irregular. b) Marquen cada uno de los ángulos interiores del polígono formado. Utilicen la herramienta Ángulo para marcar cada uno de los ángulos del polígono formado. c) ¿Cuál es el resultado de la “suma de los ángulos interiores” del polígono anterior? Utilicen la calculadora científica, instalada en sus equipos portátiles, para hacer todos los cálculos necesarios. Copien el gráfico del polígono con todos los ángulos marcados en el procesador de textos. Expresen el cálculo realizado y su resultado. 2) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen un pentágono regular, para ello utilicen el comando “polígono regular”. Marquen sus ángulos internos y súmenlos. Comparen este resultado con el obtenido en el punto 1 c. 3) Repitan el procedimiento de las actividades 1 y 2 para un hexágono irregular y otro regular. Comparen las sumas de los ángulos interiores de estos hexágonos. a) A partir a las comparaciones realizadas, respondan: ¿qué pueden concluir sobre la suma de los ángulos interiores de un polígono? Luego, redacten una conclusión

Actividad 2 1) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen tres triángulos diferentes, y midan los tres ángulos interiores de cada triángulo. 2) Copien la siguiente tabla en el procesador de textos y completen los datos:

Nombre del triángulo

Valor de cada ángulo interno

Suma de los tres ángulos internos

ABC HIJ PQR Comparen los datos de la última columna de cada triángulo y junto con el docente enuncien la propiedad que se cumple con los ángulos interiores de un triángulo. 3) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen distintos polígonos. En cada uno de ellos, tracen las diagonales de solo un punto, como se muestra en la figura:

4) En una hoja de cálculo, realicen la siguiente tabla y completen las celdas vacías:

Nombre del polígono

n.º de lados

n.º de diagonales

Cuadrilátero

Pentágono

Cantidad de triángulos que forman las diagonales 2

Suma de ángulos interiores de cada triángulo 180º

Suma total de los ángulos interiores

360º

Hexágono Heptágono Octágono

5) Si el polígono tuviera “n” lados. ¿Cómo podrían escribir una fórmula que les permita encontrar la suma de los ángulos interiores de este polígono? 6) Junto con el docente y sus compañeros enuncien una regla general que relacione la cantidad de lados con la suma de ángulos interiores de un polígono.

Actividad de cierre Generalmente, las pelotas de fútbol son similares a la que se ve en la imagen. Están compuestas por figuras negras, rodeadas de otras blancas.

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867: Suma de los ángulos interiores de un polígono

1) Respondan las siguientes consignas: a) ¿De qué figuras se trata? b) Dibujen el patrón de distribución de las figuras negras y blancas c) ¿Cuál es la proporción de blancos a negros en este patrón? d) Consigan una pelota similar a la mostrada en la imagen y examínenla. ¿Cuántos polígonos negros hay en la pelota? ¿Y cuántos blancos hay en total? e) ¿Cuál es la proporción de polígonos blancos a negros en la pelota? ¿Por qué, su respuesta no es la misma que en el ítem c? f) ¿Cuánto da la suma de todos los ángulos interiores de todos los pentágonos negros de la pelota? g) ¿Cuál es la suma de todos los ángulos interiores de todos los hexágonos blancos de la pelota? h) Al dividir el resultado del ítem c por el resultado obtenido en el ítem e, ¿qué número obtienen? ¿Cómo se relaciona esto a la suma de los ángulos de un pentágono y de un hexágono?

Webgrafía recomendada Polígonos Polígonos y círculos Descubrir la geometría Ángulos interiores – polígonos Ángulos de un polígono Polígonos regulares y polígonos regulares estrellados

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869: Título Resolución de inecuaciones

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Título: Resolución de inecuaciones Autores: Javier Peña y Daniel Brizuela. Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática:Resolución de inecuaciones Nivel: 3º año de secundaria básica Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Objetivo de la actividad - Expresará la necesidad de las inecuaciones lineales para poder resolver problemas de la vida cotidiana y la ciencia. - Resolverá inecuaciones lineales con una incógnita - Aplicará las inecuaciones a la solución de problemas reales.

Objetivos pedagógicos Impulsar el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo. Incitar la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a la actividad En esta sección trabajaremos con el concepto de inecuación. Para ello se trabajará con diferentes situaciones en las cuales los alumnos deberán plantear y resolver diferentes inecuaciones de primer grado. Para comprender el concepto de inecuación, recomendamos que visiten la siguiente página: http://www.galeon.com/student_star/desigual.html

Actividad I Analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la calculadora científica, instaladas en sus equipos para corroborar todos los cálculos planteados. A) “Fernando tiene más edad que Álvaro. Jorge es menor que Claudio y Álvaro es mayor que Claudio. ¿Indiquen con una cruz cual es el menor de todos? A) Claudio B) Álvaro C) Jorge D) Fernando E) No se puede determinar B) Al organizar un baile escolar, los alumnos de una escuela encuentran que una banda toca por $250, más el 50% del total de ventas por entradas. Otra banda lo hace por una suma fija de $550. Los alumnos de este colegio suponen que asistirán al baile aproximadamente 300 personas. i)¿ a cual banda les conviene contratar ?¿ Por que ? ii) si decidieran contratar a la primer banda ¿Cuál es el precio máximo que pueden cobrar por entrada ? Suponiendo que la asistencia será de 300 personas. C) La NASA envía dos satélites al planeta Venus. El primero envía datos informando que la temperatura del planeta es cierta localidad es de 5t – 50 ³ 3t + 550, mientras que el segundo satélite informa que la temperatura en la misma localidad es de 6t + 500 – t £ 4t + 1200. Si “t” corresponde a la temperatura en ºC y la información de ambos satélites es correcta. -Cual es la temperatura en la localidad analizada. -Interpretar sobre una recta la solución de la temperatura. -Representar gráficamente el conjunto solución.

Actividad II I)Resolver las siguientes inecuaciones. Expresar el resultado en forma de intervalo y representar gráficamente el conjunto solución. Utilizar la calculadora científica para realizar todos los cálculos necesarios.

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869: Título Resolución de inecuaciones

II) Indiquen cual de las siguientes desigualdades son solución de la siguiente inecuación: -28 + 3x < 40 + 5x -20 A) x > -24 B) x < -24 C) x > 24 D) x > -48 E) x < -48

Actividad de cierre Ezequiel y sus amigos organizaron un equipo de futbol. Tienen que comprar su indumentaria para competir. Recorriendo tiendas encontraron que cada remera les puede costar entre $ 28 y $ 32; cada pantalón, entre $ 20 y $ 25. Ellos están dispuestos a gastar, por la compra de los 18 conjuntos, no mas de $ 2000. a) Escriban la inecuación que expresa el gasto que deberán realizar, en función de la compra de las remeras y los pantalones. b) Escriban, por lo menos, tres soluciones posibles para la adquisición de la indumentaria

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Inecuaciones_con_una_inc%C3%B3gnita_(1%C2%BABach) http://tareasfacil.info/matematicas/algebra/inecuaciones/Resolver%20inecuaciones%20lineales%20con%20una%20incognita http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/inecuac.htm

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871: Triángulos elementos y clasificación

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Triángulos elementos y clasificación Autores: Claudia Ugrin, Rodrigo Weber, Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Elementos y clasificación de triángulos Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia los alumnos, podrán comprender la propiedad triangular y expresar su enunciado, así como aprender a graficar triángulos.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Identifiquen los elementos del triángulo. Clasifiquen triángulos según sus lados. Clasifiquen triángulos según sus ángulos. Construyan triángulos dados distintos elementos.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Junto con el docente, analicen los siguientes videos. En ellos se analizan los elementos de un triángulo: Triángulos 1 Elementos del triángulo

2) Con Geogebra. Utilicen la herramienta: Polígono,grafiquen un triángulo y marquen sus elementos con ayuda de las distintas herramientas: Segmentos entre dos puntos y Ángulos. Utilicen diferentes colores y tipo de trazo, esto lo logran con Elige ymueve, haciendo clic derecho sobre cada elemento. 3) Abran el programa Geogebra. Desde Menú vista, activen solo Cuadrícula. Con la herramienta Segmento entre dos Puntos, grafiquen: 3 segmentos de 5 unidades de largo; 1 segmento de 1 unidad; 1 segmento de 10 unidades; 1 segmento de 14 unidades. (Nota: Para mover los segmentos, utilicen la herramienta Elige y Mueve. Trasladen cada segmento de tal manera que tengan un punto en común. Para poder girar el segmento, también con Elige y Mueve, hagan clic sobre uno de sus extremos.)

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871: Triángulos elementos y clasificación a) Con los segmentos formen los triángulos indicados a continuación. En un documento de texto copien cada uno e indiquen cuando hayan podido formar un triángulo: 1) 10 cm; 5 cm; 5 cm 2) 10 cm; 7 cm; 5 cm, 3) 7 cm; 5 cm; 5 cm 4) 14 cm; 7 cm; 5 cm 5) 5 cm; 5 cm; 5 cm 4) A partir de los resultados de la experiencia anterior discutan las siguientes cuestiones: a) ¿En qué casos pudieron formar un triángulo? ¿Y en cuáles no? b) Para poder construir un triángulo, se debe cumplir una propiedad. ¿Cuál? Miren el siguiente video en el cual se profundiza este tema: c) En base a lo visto en el video expliquen con sus palabras qué relación tienen que cumplir tres segmentos para formar un triángulo. d) Verifiquen la relación anterior para los triángulos armados en el ítem 3. e) Sin dibujar los triángulos, escriban la medida de tres segmentos que puedan formar un triángulo y tres segmentos que no puedan formar un triángulo. Justifiquen su propuesta.

Actividad 2 1) Junto con el docente miren los siguientes videos: Triángulo dados los tres lados Triángulo, lado y ángulos adyacentes a) Con Geogebra. Desde Menú-Vista, activen solo la cuadrícula. Con las herramientas Segmento entre dos Puntos y ángulos dada su amplitud, grafiquen triángulos con los datos indicados en cada caso:

lado a=3 cm

lado b=4 cm

lado c=5cm

lado BC=6 cm

áng. B=40º

áng. C=70º

lado AB=10 cm

áng. A=110º

lado AC=4cm

lado AC=7cm

áng. C=30º

lado AB=9cm

b) Completen la tabla con los datos obtenidos en el ejercicio anterior:

Medida de sus ángulos Triángulo

áng. A

áng. B

Medida de sus lados áng. C

lado a

lado b

lado c

1 2 3 4

Actividad de cierre 1) Junto con el docente miren los siguientes videos: Clasificación de los triángulos Triángulos 2) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles realicen las siguientes consignas: a) Utilicen la herramienta Polígono

para ubicar los puntos abajo indicados y formar los distintos triángulos:

A = (1;1)

B = (1,3)

C = (3,1)

D = (-1;-1)

E = (1;-2)

F = (0;-2)

G = (0;6)

H = (2;7)

I = (-2;7)

J = (-4;4)

K = (-5;0)

L = (-3;0)

M = (0;-3)

N = (0;-5)

O = (8;-3)

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4194[05/02/2011 18:39:56]

871: Triángulos elementos y clasificación

Clasificación Según sus ángulos

Según sus lados

Triángulo ABC Triángulo DEF Triángulo GHI Triángulo JKL Triángulo MNO

b) Copien las siguientes afirmaciones en el procesador de textos, instalado en sus equipos portátiles, y respondan con verdadero o falso: Todo triángulo equilátero es isósceles. Todo triángulo isósceles es equilátero. Ningún triangulo acutángulo es escaleno. Existen triángulos rectángulos que son isósceles. Un triángulo obtusángulo no puede ser isósceles. Todo triángulo isósceles es acutángulo.

Webgrafía recomendada Elementos de los triángulos Elementos del triángulo

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873: Triángulos rectángulos y relación pitagórica.

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Inicio - Matemática / Ciclo básico PDF

Triángulos rectángulos y relación pitagórica. Autores: Mercedes Sens Hourcade, Rodrigo Weber y Sebastián Vera Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Analizar las relaciones entre lados de triángulos rectángulos. Y Comprender el teorema de Pitágoras para aplicarlo en diferentes situaciones. Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo, más conocida como Teorema de Pitágoras.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Verifiquen si se cumple el Teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos. Construyan ternas pitagóricas a partir de una terna dada. Apliquen el Teorema de Pitágoras a situaciones problemáticas concretas.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Los lados de un triángulo rectángulo guardan una relación muy especial. 1) Visiten los siguientes links para conocer cuál es esta relación y cómo se llama. Teorema de Pitágoras, en Wikipedia Teorema de Pitágoras 2) En los siguientes triángulos, indiquen cuáles son los catetos y cuál es la hipotenusa:

3) Utilicen el programa Geogebra para verificar que se cumple el teorema de Pitágoras, para eso construyan tres triángulos utilizando como ángulo recto la intersección de los ejes y completen la siguiente tabla colocando en cada celda las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4196[05/02/2011 18:40:07]

873: Triángulos rectángulos y relación pitagórica.

Cateto A

Cateto B

Hipotenusa

Luego verifiquen que se cumple la siguiente igualdad: H 2 =A 2 +B 2 4) Junto con sus compañeros y el docente debatan las siguientes cuestiones: a) ¿Si multiplico la terna (H, A y B) por algún número natural se sigue cumpliendo el teorema? b) ¿Se cumple el Teorema de Pitágoras en triángulos que no son rectángulos? c) Actualmente, se sabe que existen más de trescientas demostraciones del Teorema de Pitágoras. Visiten los siguientes links, para conocer una de estas demostraciones: El Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras, en YouTube 5) En base a lo visto en el punto anterior, expliquen, con sus palabras, en qué consisten las demostraciones desarrolladas en cada link.

Actividad 2 1) Utilizando el Teorema de Pitágoras, calculen la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos. Utilicen la calculadora científica, instalada en sus equipos portátiles, para realizar todos los cálculos necesarios.

2) Resuelvan las siguientes situaciones y justifiquen sus respuestas: a) Una tormenta inclina el mástil de la bandera de una escuela, que tiene 6 metros de longitud (ver figura). ¿Qué distancia hay entre la punta del mástil y el pie de la altura?

b) Si se apoya una escalera, de 2 m de longitud, contra una pared, de modo tal que el pie de la escalera se encuentra a de 1, 5 m de distancia de la pared. ¿A qué altura se encuentra el otro extremo de la escalera? c) Si se quiere dividir un terreno rectangular por su diagonal, y el terreno tiene un largo de 50 m y un ancho de 20 m, hallen la longitud del alambre necesario para realizar la división. d) Un joven se encuentra perdido en el bosque, después de varias horas de caminata encuentra a un guarda parque, este le explica que existen dos caminos posibles para llegar a su campamento: Camino 1 (dos tramos) = caminar en línea recta unos 6000 metros, luego girar 90º a su derecha y caminar algunos kilómetros hasta el campamento. Camino 2 (un tramo) = desviarse unos 25º hacia su derecha y caminar 9 kms en línea recta hasta toparse con el campamento.

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873: Triángulos rectángulos y relación pitagórica. El joven estudia las dos posibilidades y con la ayuda de su brújula dibuja el siguiente mapa:

¿Cual será el camino más corto para llegar al campamento? ¿Por qué?

Actividad de cierre. 1) Investiguen en Internet o en otras fuentes sobre las siguientes cuestiones: a) ¿Quiénes fueron los primeros en la historia en aplicar el Teorema de Pitágoras? ¿Cómo y para qué lo utilizaban? b) ¿Quién fue Pitágoras? Escribir una breve reseña biográfica sobre él. Para ello utilicen el procesador de textos, instalado en sus equipos portátiles.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Explicación del Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras Pitágoras interactivo Teorema de Pitágoras, en YouTube Demostraciones gráficas del Teorema de Pitágoras

Webgrafía recomendada Teorema de Pitágoras, en Wikipedia

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875: Ubicación de números irracionales en la recta numérica

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Ubicación de números irracionales en la recta numérica Autores: Sebastián Vera, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Números irracionales en la recta numérica Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Para ubicar números irracionales en la recta numérica, primero trabajaremos con diferentes aproximaciones de √2 y luego aplicaremos el teorema de Pitágoras para ubicar números irracionales de la forma √a.

Objetivos de las actividades Ubicar en la recta numérica diferentes números racionales. Representar gráficamente números irracionales de la forma √a y ubicarlos en la recta numérica. Aplicar el teorema de Pitágoras para representar números irracionales.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) √2 es un número irracional, ¿cómo podrían ubicarlo en la recta numérica? 2) En parejas, dibujen una recta numérica y en ella intenten ubicar √2. a) ¿La ubicación es exacta o aproximada? b) Comparen sus resultados con los de los demás grupos y discutan quién utilizó la mejor aproximación. c) Analicen el siguiente argumento para aproximar √2: El número irracional √2 tiene que estar ubicado en uno de los puntos de la recta comprendidos entre el 1 y el 2, pues: (1) 2 = 1; (√2)2 = 2; (2) 2 = 4, es decir que 1 < √2 < 2 porque (1) 2 < (√2)2 < (2) 2 . d) ¿Por qué cada número se eleva al cuadrado y no a otra potencia? e) ¿Podríamos obtener una mejor aproximación de √2 diciendo que está entre 1,4 y 1,5? ¿Por qué? Ubíquenlo en la recta numérica. f) ¿Qué otros valores se podrían tomar para realizar una mejor aproximación de √2? Argumenten y ubíquenlos en la recta numérica.

Actividad 2 Existe una forma más precisa de representar números irracionales como √2. Para ello, solo hay que aplicar el famoso teorema de Pitágoras. 1) Visiten esta web para recordar de qué se trata el teorema de Pitágoras. a) Utilizando el teorema, ¿cómo podríamos representar un segmento de longitud igual a √2? c) ¿De qué manera podrían trasladar esta medida a la recta numérica? ¿Qué elementos de geometría necesitarían? ¿Este método nos asegura que el valor marcado sea √2?

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875: Ubicación de números irracionales en la recta numérica

d) Dibujen sobre la recta un rectángulo de base igual a √2 y una altura de longitud 1. Tracen la diagonal que pasa por el 0. ¿Qué número pueden representar mediante esta construcción? e) Si el rectángulo que construyeron en el punto anterior tuviera una altura de longitud 3, ¿cuál sería el número que podrían representar? f) ¿Cómo se podrían representar los números anteriores utilizando el programa graficador? Ingresen en este link para aprender a utilizar el programa.

Actividades de cierre 1) Inventen un número irracional mayor que 2 y menor que 2,1. 2) Utilizando el programa graficador representen, los números del ítem a en una recta, y los del ítem b en otra la misma recta numérica, los siguientes números: a) -√2; -√3; -√7; -√10 b) √11; √30; √41 3) ¿Cómo podrían representar √2 y √5? 2 2 4) ¿Sirve este método para representar todo tipo de número irracional? 5) Investiguen en Internet u otras fuentes cómo se representan otros números irracionales como π (pi) o φ (fi).

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Pi T

Webgrafía recomendada Sector matemática Disfruta las matemáticas Matemáticas Ejercicios de matemáticas Número irracional Raíz cuadrada de 2

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Charla abierta sobre modelos 1 a 1 Como actividad de cierre del “Taller internacional de Evaluación y Seguimiento del Programa Conectar Igualdad”, autoridades y especialistas explicaron a la prensa y al público general algunas conclusiones de la jornada de trabajo. El encuentro fue organizado por la Unidad de Investigación y Experimentación de la Organización de Estados Iberoamericanos (OEI) y Educ.ar S. E. La charla abordó los modelos 1:1 –un alumno, una computadora– y los mecanismos posibles de seguimiento y evaluación. Para la ocasión, disertaron Hugo Martínez (especialista pedagógico de Chile), Ana Laura Martínez (Plan Ceibal, Uruguay) y Laura Marés Serra (Secretaría Ejecutiva de la Red Latinoamericana de Portales Educativos, RELPE). Más Información [+]

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Declaración final de la XX Cumbre Iberoamericana Declaración de Mar del Plata 4 de diciembre de 2010 La siguiente es la declaración final, denominada “Declaración de Mar del Plata” aprobada por los jefes de Estado y de Gobierno de los países participantes en la XX Cumbre Iberoamericana: Las Jefas y los Jefes de Estado y de Gobierno de los países miembros de la Comunidad Iberoamericana, reunidos en la ciudad de Mar del Plata, República Argentina, en ocasión de la XX Cumbre Iberoamericana bajo el tema “Educación para la Inclusión Social”, inspirados en los valores y principios que constituyen el acervo iberoamericano, y en el contexto de la conmemoración de los Bicentenarios de América Latina, reiteran el objetivo común de avanzar en la construcción de sociedades justas, democráticas, participativas y solidarias en el marco de la cooperación e integración cultural, histórica y educativa iberoamericanas, valorando los importantes logros alcanzados en los últimos años en materia de crecimiento de la cobertura de nuestros sistemas educativos en el nivel primario, especialmente respecto de una mayor inclusión de sectores históricamente excluidos y grupos vulnerables, tales como la población rural, las comunidades de pueblos originarios, los afro-descendientes y los sectores de menores recursos y personas con discapacidades. Más información [+]

Marco de Acción de Mar del Plata Las Jefas y los Jefes de Estado y de Gobierno iberoamericanos, tomando en consideración los

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Educación en Valores Campaña TV

objetivos establecidos en la Declaración de la XX Cumbre Iberoamericana, así como las deliberaciones sobre el tema de “Educación para la Inclusión Social” y sobre los otros temas que componen la agenda actual de la Conferencia, y en cumplimiento de los mandatos de las Cumbres anteriores, Acordamos las siguientes decisiones que componen el Programa de Acción: Acceder

Declaraciones especiales y Comunicados XX Cumbre Iberoamericana 5 de diciembre de 2010 Además de la declaración de Mar del Plata y el Marco de Acción se suscribieron los siguientes acuerdos: Declaracion especial sobre defensa de la democracia, Comunicado Islas Malvinas, Comunicado promoción de inversiones, Comunicado bloqueo a Cuba, Comunicado Qhapaq Ñan, Comunicado Yasuní ITT, Combate delincuencia organizada, Comunicado Comunidad Estados Latinoamericanos y Caribeños, Comunidad solidaridad por intensas lluvias, Comunicado lucha contra el terrorismo y Declaración apoyo cambio climático Más información [+]

VI Encuentro Cívico Iberoamericano - Declaración 6 de diciembre de 2010 Argentina ha sido la sede del VI Encuentro Cívico Iberoamericano a realizarse en Mar del Plata, el 2 y 3 de diciembre de 2010, en el marco de la XX Cumbre Iberoamericana de Jefes de Estado y de Gobierno. Los Encuentros Cívicos tienen como objetivo aportar opiniones y experiencias a los temas que las Cumbres abordan desde las perspectivas específicas de las Organizaciones Sociales de la Sociedad Civil. Este año el tema considerado, propuesto por la Presidenta de Argentina, ha sido “Educación para la Inclusión”. Más información [+]

Constitución del Consejo Asesor de las Metas Educativas 2021 1ro de diciembre de 2010 Con la presencia de más de 50 representantes de Redes, Plataformas, Sindicatos docentes, Consejos nacionales de educación de Iberoamérica, comenzó a gestionar el Consejo Asesor de las Metas Educativas 2021 Las Metas 2021 son un proyecto regional inédito orientado a lograr transformaciones importantes en la educación de la región. Lograr las metas implicará una inversión de más de 100.000 M de dólares, sólo posibles en un marco de crecimiento e integración regional. André Lázaro, Secretario de Educación Continua, Alfabetización y Diversidad del Ministerio de Educación del Brasil será su presidente. Más información [+]

Las metas educativas, sus indicadores y sus niveles de logro 3 de diciembre de 2010 Metas Educativas 2021: 11 metas generales, 28 metas específicas asociadas a 39 indicadores con sus respectivos niveles de logro sintetizan un ambicioso programa educativo que aspira a lograr, a lo largo de una década, una educación que dé respuesta a un conjunto de demandas sociales inaplazables; como conseguir que más alumnos estudien, durante más tiempo, con una oferta de calidad reconocida, equitativa e inclusiva, y en la que participen la gran mayoría de las instituciones y sectores de la

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El ministro de Educación argentino destacó la identidad americana en la educación 3 de diciembre de 2010 El ministro de Educación argentino, Alberto Sileoni, destacó la importancia de que en la XX Cumbre se avance en pensar a la Educación como una forma de integración. Enfatizó la necesidad de profundizar la identidad americana en la Educación regional. Fue durante la apertura de una muestra de fotos. El titular de la cartera de Educación argentina, Alberto Sileoni, abrió una muestra de fotos y artículos que representan los diferentes estadíos de la educación en Argentina. Al hacerlo destacó el rol de la XX Cumbre, y llamó a profundizar la identidad americana en la pedagogía. Más información [+

XX Cumbre Iberoamericana de Jefes de Estado y de Gobierno Conferencia de Prensa de Enrique Iglesias y Álvaro Marchesi en la sede de la OEI de Buenos Aires 30 de noviembre de 2010 El Secretario General Iberoamericano, Enrique Iglesias, y el Secretario General de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI), Álvaro Marchesi, brindaron hoy, en la sede de la OEI en Buenos Aires, una conferencia de prensa, con motivo de la realización de la XX Cumbre Iberoamericana de Jefes de Estado y de Gobierno, cuyo tema central será “La Educación para la Inclusión Social”. Más información [+]

XX Cumbre Iberoamericana - Mar del Plata, Argentina. Metas Educativas 2021 27 de noviembre de 2010 La XX Cumbre Iberoamericana de Jefes de Estado y de Gobierno se celebrará los días 3 y 4 de diciembre en la ciudad argentina de Mar del Plata. Los mandatarios iberoamericanos centrarán sus deliberaciones sobre el tema: “Educación para la Inclusión Social”. Tendrá como eje el plan METAS EDUCATIVAS 2021 en el que los países invertirán unos 76.000 millones de euros (más de 100.000 millones de dólares) hasta 2021. “Metas educativas 2021: La educación que queremos para la generación de los bicentenarios” es el título de estos objetivos que se prolongarán hasta el 2021, cuando concluyen las celebraciones de las independencias de los países centroamericanos y de Perú. Más información [+]

Iberoamérica: un pasado común, un futuro compartido Desafíos Estratégicos (2010-2021) 27 de noviembre de 2010 Fecha: lunes 29 de noviembre Hora: 18 horas Lugar: CASA NACIONAL DEL BICENTENARIO (Riobamba 985, CABA) La XX Cumbre Iberoamericana de Jefes de Estado y de Gobierno ha desarrollarse en Mar del Plata el próximo 3 y 4 de diciembre, no sólo es relevante desde el punto de vista histórico –se realiza en el marco de la conmemoración del bicentenario de las revoluciones latinoamericanas que abrieran paso a las independencias nacionalessino también desde el punto de vista del futuro de nuestra región: las metas de largo plazo que se abordarán 2021- marcan un proceso de maduración, unidad, actualidad plena e innovación en la comunidad Iberoamericana de naciones. Más información [+]

La SEGIB y la OEI presentan la XX Cumbre Iberoamericana de Jefes de Estado, que estará centrada en la Educación para

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la inclusión social 24 de noviembre de 2010 El Secretario General Iberoamericano, Enrique V. Iglesias, y el secretario general de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI), Álvaro Marchesi, han presentado la XX Cumbre Iberoamericana de Jefes de Estado y de Gobierno, cuyo tema central será la educación para la inclusión social. Se prevé que en esta cita, que se celebrará los próximos 3 y 4 de diciembre en Mar de Plata (Argentina), se aprobará el proyecto Metas 2021. La Educación que queremos para la Generación de los Bicentenarios, un ambicioso programa educativo para los próximos once años con el que los países latinoamericanos pueden lograr un desarrollo histórico en su educación y aspirar a estar al mismo nivel de los países más desarrollados. Más información [+]

Educación: Tedesco, Juan Carlos Educación y justicia: el sentido de la educación 24 de noviembre de 2010 Documento básico XXV Semana Santillana La educación en el horizonte 2020 Las reflexiones que se presentan en este trabajo están organizadas en dos grandes secciones. En la primera de ellas se analizan las lecciones que dejaron los procesos de cambios educativos de las últimas décadas y sus perspectivas futuras. La hipótesis central de esta sección consiste en sostener que los cambios educativos recientes se caracterizaron por un significativo déficit de sentido. Cubrir ese déficit supone adoptar una posición ético-política. Este trabajo se ubica en la corriente de aquellos que sostienen la idea de construir una sociedad más justa como ideal que puede y debe orientar el comportamiento de los actores sociales y, más específi camente, de los actores de los procesos educativos. La base de esta posición radica en reconocer que, en la sociedad de la información y el conocimiento, una educación de calidad para todos es condición necesaria para el logro de la justicia social. Más información [+]

PAKAPAKA en el norte argentino 16 de noviembre de 2010 Se abre una convocatoria a las organizaciones de la sociedad civil para el desarrollo de proyectos de sensibilización de comunidades, familias y docentes en el uso de material audiovisual desarrollado por la señal. La propuesta audiovisual de la nueva señal pública e infantil PAKAPAKA busca ser un incentivo al trabajo en educación inicial. Sus programas, sus propuestas pueden ser motores para profundizar el proceso de aprendizaje en la infancia. Con estos objetivos surge una convocatoria que se dirige a las organizaciones de la sociedad civil con presencia en el NEA y/o NOA (Corrientes, Chaco, Formosa, Misiones, Catamarca, Jujuy, Salta, Santiago del Estero y Tucumán). Más información [+]

Tendencias recientes del Nivel Inicial 15 de noviembre de 2010 Tendencias recientes del Nivel Inicial. Un análisis estadístico de la situación en Argentina es un informe que presenta un análisis estadístico sobre la situación de la Educación Infantil y la infancia en Argentina durante el periodo 1997-2007. Tiene como propósito proveer recursos para el diagnóstico del Nivel Inicial en términos de cobertura y oferta y pretende ser una contribución que brinda información sistemática y analítica sobre la situación del nivel en el sistema educativo argentino. Más información [+]

Telegrama enviado por Álvaro Marchesi, secretario general de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI), a la presidenta de la República Argentina, Cristina Fernández Querida Presidenta:

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OEI - Oficina Regional en Buenos Aires Profundamente conmovido por la muerte de Néstor Kirchner, cuya figura está ya presente en las mejores páginas de la historia de la República Argentina, quiero transmitirle mi más sincero pésame y también el cariño de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI). Álvaro Marchesi Secretario General Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura

1er. Boletín Evaluación Educativa de la OEI de Buenos Aires 25 de octubre de 2010 El BOLETÍN OEIBA de EVALUACIÓN EDUCATIVA abre un espacio de debate, conocimiento y crecimiento en el área educativa. Invita a compartir la reflexión acerca del quehacer evaluativo, como una manera de fomentar la mejora de las herramientas conceptuales y prácticas. Nace de una historia de inserción en los sistemas educativos Iberoamericanos, de una trayectoria de formación en el campo de la evaluación y de la experticia y reconocimiento de los especialistas que han impulsado la superación continua en los múltiples procesos evaluativos que atraviesan el desarrollo de la educación en la Región. Más información [+]

María Inés Vollmer: ’Con la computadora, el alumno aprende a aprender con otros’ 15 de octubre de 2010 Programa Conectar Igualdad. Primera parte Manuel Crespo (CAEU-OEI- AECID) La Viceministra de Educación de la República Argentina, María Inés Vollmer, no esconde su entusiasmo ante los primeros pasos que ya está dando Conectar Igualdad, el ambicioso programa estatal que repartirá, en el lapso de dos años y medio, tres millones de computadoras portátiles entre los alumnos y profesores de escuelas secundarias públicas, colegios de educación especial e institutos de formación docente de todo el país austral. Más información [+]

VI Foro Educativo: Escuela Ciudadana - Ciudad Educadora Para una ciudadanía comprometida con la inclusión y la solidaridad 15 de octubre de 2010 Durante los días 5, 6 y 7 de octubre de 2010 se desarrolló el “VI Foro Educativo: Escuela Ciudadana- Ciudad educadora. Para una ciudadanía comprometida con la inclusión y la solidaridad”en el Colegio San José de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Participaron del acto de apertura la Subsecretaria de Calidad y Equidad del Ministerio de Educación de la Nación, licenciada Mara Brawer, el Director de la Organización de Estados Iberoamericanos, profesor Darío Pulfer y el coordinador del VI Foro, Doctor Jorge Seibold S.J. Más información [+]

Premio Bicentenario a las Bibliotecas Escolares 2010 24 de septiembre de 2010 La convocatoria, que se extiende desde el 15 de septiembre y hasta el 15 de noviembre de 2010, está destinada a recoger aquellas experiencias orientadas a la construcción de la memoria y la identidad de la comunidad. Podrán participar todas las bibliotecas de las escuelas del país, sean de gestión estatal o privada, de todos los niveles y modalidades educativas. El certamen reconocerá con PESOS DIEZ MIL ($ 10.000) una única experiencia evaluada como ganadora y cinco segundos premios de PESOS DOS MIL QUINIENTOS ($2.500) cada uno. Más información [+]

LICITACION PUBLICA INTERNACIONAL – OEI BUE LPI 01/2010

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OEI - Oficina Regional en Buenos Aires entrevistas_138.htm OBJETO: adquisición de los bienes necesarios para la implementación del Proyecto Conectarigualdad.com.ar - Laptop con Servicio de Soporte Técnico y Mantenimiento - Servidores con Servicio de Soporte Técnico y Mantenimiento Access Point (punto de acceso inalámbrico) con Servicio de Soporte Técnico y Mantenimiento - Conmutador (Switch) Ethernet/Fast Ethernet POE con Servicio de Soporte Técnico y Mantenimiento - Modem 3G y Sintonizador SATVD-T 1seg USB con Garantía - Racks con Garantía - Fuentes de Alimentación Ininterrumpidas (UPS) con Servicio de Soporte Técnico y Mantenimiento, de acuerdo al pliego Más información [+]

Lanzamiento del Premio Viva Lectura 2011 20 de septiembre de 2010 El 8 de septiembre se realizó en la ciudad de Córdoba el lanzamiento del Premio Viva Lectura 2011. En el acto de apertura estuvieron presentes Walter Grahovac, Ministro de Educación de Córdoba, Margarita Eggers Lan, Directora del Plan Nacional de Lectura, 6 David Delgado y Vanesa Dinitz, presidente y miembro del equipo de profesionales de la Fundación Santillana (respectivamente) y Ana Vitar, en representación de la Oficina Regional Buenos Aires de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Estuvo presente además el profesor y escritor Eduardo Sacheri, presidente del jurado de la actual convocatoria, quien después de la finalización de su conferencia, mantuvo además un enriquecedor diálogo con los numerosos estudiantes presentes en la sala. Más información [+]

La infancia, el juego y los juguetes Primer Seminario Internacional – FLACSO Argentina 20 al 22 de octubre de 2010. Este seminario, organizado por FLACSO ARGENTINA, tiene como objetivo principal ofrecer un espacio de formación, capacitación y actualización sobre la infancia, los juegos y los juguetes. Contaremos con la participación de destacados investigadores nacionales e internacionales en diferentes paneles, mesas y cursos. Los ejes temáticos centrales del Seminario son: el juego, la educación y la cultura; historia y prospectiva del juguete; el juego dentro y fuera de la escuela; el juego entre la psicología y el psicoanálisis; los juguetes y el mercado; los juguetes, la literatura y el cine Espacio Lasalle – Riobamba 650 Ciudad Autónoma de Buenos Aires Más información [+]

Escuela de Educación Curso en Línea en Evaluación de Educativa (VIII Edición) 14 de agosto de 2010 El Centro de Altos Estudios Universitarios (CAEU), desde la OEI, abre la II convocatoria 2010 al Curso en línea sobre evaluación educativa con el propósito de contribuir a una educación de calidad para todos los alumnos, objetivo presente prácticamente en todas las metas educativas 2021. El desarrollo del Curso en línea sobre 6 evaluación educativa pone a disposición de los educadores de Iberoamérica modelos de evaluación de los sistemas educativos, de las escuelas y del rendimiento de los alumnos concretando una de las líneas de acción diseñadas para el Programa de mejora de la calidad de la educación de las metas educativas 2021. Más información [+]

Premio Nacional a la comunicación pública de la ciencia, la tecnología y la innovación 7 de agosto de 2010 La participación está abierta a comunicadores sociales, equipos de comunicación de instituciones científico-tecnológicas, periodistas y equipos de prensa. Las categorías son Divulgación Científica, para trabajos publicados en el marco de actividades relacionadas con la divulgación científica

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OEI - Oficina Regional en Buenos Aires como ser conferencias, eventos, exposiciones, jornadas, seminarios, libros o revistas institucionales y Periodismo Científico para trabajos inéditos o publicados en cualquier medio de comunicación masiva como televisión, radio, Internet, diarios o revistas. Más información [+]

VI Foro Educativo: Escuela Ciudadana - Ciudad Educadora 5, 6 y 7 de octubre de 2010 El "VI Foro Educativo: Escuela Ciudadana Ciudad Educadora" cuyo lema es "Para una ciudadanía comprometida con la inclusión y la solidaridad", en continuidad con los realizados anteriormente, se llevará a cabo entre los días 5 y 7 de octubre de 2010 en el Colegio San José (Azcuénaga 158), en la Ciudad Autónoma de Buenos Aires. El mismo se encuentra impulsado por el Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa (IDIE) de la Organización de Estados Iberoamericanos (OEI), el Centro de Investigación y Acción social (CIAS), el Centro de Estudios Interdisciplinarios en Educación, Cultura y Sociedad (CEIECS) -Escuela de Humanidades- de la Universidad Nacional de San Martín, el Sindicato Argentino de Docentes Privados (SADOP) y el Centro de Comunicación La Crujía (CCE). Más información [+]

Valores y participación en la adolescencia y juventud Secretaría de la Juventud Provincia de Córdoba La Secretaría de la Juventud de la Provincia de Córdoba organizó el 16 de junio en la Capilla del Paseo Buen Pastor la jornada sobre “Valores y Participación en la Adolescencia y en la Juventud”, en el marco del Programa “Capacitación y Participación” que desarrolla la Secretaría de la Juventud. La responsable del área de valores para la ciudadanía del IDIE, Alicia Tallone abordó la importancia de la educación en valores durante la juventud como pilar del respeto de los derechos de los y las jóvenes. El objetivo de la jornada fue contribuir a la divulgación y promoción de los derechos de las y los jóvenes a la participación, la educación, la libertad, la reflexión y la expresión del pensamiento mediante la interacción social. En la apertura de la jornada participaron el Secretario de Juventud, Pablo Días Azulay y el Subsecretario de la Secretaría de Niñez, Adolescencia y Familia, Licenciado Norberto Reinaldi. Participaron más de 140 jóvenes y docentes de distintas instituciones educativas de la provincia. Más información [+]

Cierre del Ciclo de Formación en Planeamiento y Gestión de Políticas Educativas Durante los días 8 y 9 de junio, en la Ciudad de Buenos Aires, se ha llevado a cabo el último encuentro presencial del Ciclo de Formación en Planeamiento y Gestión de Políticas Educativas. En dicho encuentro, se ha efectuado el cierre de la actividad, mediante distintas instancias de evaluación de las que participaron los cursantes: autoridades e integrantes de los equipos técnicos de las Direcciones de Nivel Inicial y Nivel Superior de todo el país. Los referentes políticos locales (Marisa Díaz, Directora de Gestión Curricular y Formación Docente y Marta Muchiutti, Directora de Nivel Inicial, ambas del Ministerio de Educación Nacional) junto con Sandra Rodríguez (Coordinadora del IDIE- OEI, Argentina) han integrado el panel de apertura en el que se destacó la importancia que para estos organismos representó la elaboración y realización de un ciclo de formación destinado al mejoramiento y fortalecimiento de las distintas áreas de gobierno educativo. Más información [+]

VI Foro Latinoamericano de Educación Durante los días 31 de mayo al 2 de junio se llevó a cabo en la sede de Fundación Santillana, en Buenos Aires, el VI Foro Latinoamericano de Educación, centrado en EDUCACIÓN Y NUEVAS TECNOLOGÍAS. Allí se hizo la presentación y debate en torno al tema partiendo del documento base: EDUCACIÓN Y NUEVAS TECNOLOGÍAS: LOS DESAFíOS PEDAGÓGICOS ANTE EL MUNDO DIGITAL que estuvo a cargo de Inés Dussel y Luis Alberto Quevedo. El Foro contó con 230 inscriptos. Más información [+]

XIII Jornadas Nacionales de Cooperativismo y Mutualismo

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Escolar- VII del MERCOSUR Estas Jornadas fueron declaradas de Interés Educativo por el Ministerio de Educación de la Nación, Ministerios de Educación de varias provincias del país y se contó con la adhesión de diversas Instituciones vinculadas al ámbito cooperativo y Educativo, entre ellas, la OEI. Tuvo una concurrencia de más de 500 docentes pertenecientes a aproximadamente 200 establecimientos educativos de todo el país, quienes se dieron convocatoria en el lugar para debatir e intercambiar experiencias sobre la temática. Más información [+]

Curso de Dirección de Instituciones de Educación Técnico Profesional Inicio del Curso 27 de julio de 2010 El presente Curso de Dirección de Instituciones de Educación Técnico Profesional constituye una opción de formación de pregrado para profesionales que se desempeñan en el campo de la Educación Técnico Profesional, la Educación Tecnológica, la Educación Técnica o la Formación Profesional, intentando sentar las bases de una capacitación continua dentro de esta disciplina. La programación está definida en términos de competencias; se identifica una competencia general y ocho unidades de competencias. Es un curso integrado en la Escuela de Educación del Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI. Más información [+]

VI Foro Latinoamericano de Educación Educación y Nuevas Tecnologías: Los Desafíos Pedagógicos ante el Mundo Digital 17 de mayo de 2010 La Fundación Santillana tiene el honor de invitar a usted al VI Foro Latinoamericano de Educación

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Educación y Nuevas Tecnologías: Los Desafíos Pedagógicos ante el Mundo Digital Los encuentros tendrán lugar los días lunes 31 de mayo, martes 1.° y miércoles 2 de junio de 2010 a las 18:30, en la sede de la Fundación Santillana, Av. Leandro N. Alem 720 - Ciudad Autónoma de Buenos Aires. El Documento Básico Educación y nuevas tecnologías: los desafíos pedagógicos ante el mundo digital ha sido elaborado por Inés Dussel y Luis Alberto Quevedo. El Foro cuenta con el auspicio de la Organización de Estados Iberoamericanos. Se ruega confirmar asistencia • Teléfono: 4119-5000 int. 2065 • Mail: vdinitz@santillana.com.ar Más información [+]

Argentina: Premio Viva Lectura 2010 13 de mayo de 2010 El ministro de Educación de la Nación, Alberto Sileoni, encabezó el pasado viernes 7 de mayo el acto de entrega del Premio Viva Lectura 2010, en el marco de la 36ª Feria Internacional del Libro de Buenos Aires. El Premio Viva Lectura es una iniciativa conjunta del Ministerio de Educación de la Nación, la Organización de Estados Iberoamericanos (OEI) y la Fundación Santillana; y tiene el objetivo de estimular, fomentar y rendir homenaje a las experiencias más destacadas en materia de promoción de la lectura. Más información [+]

Escuela de Educación Curso en Línea en Evaluación de Educativa (VII Edición) El Centro de Altos Estudios Universitarios (CAEU), desde la OEI, abre la I convocatoria 2010 al Curso en línea sobre evaluación educativa con el propósito de contribuir a una educación de calidad para todos los alumnos, objetivo presente prácticamente en todas las metas educativas 2021. El desarrollo del Curso en línea sobre evaluación educativa pone a disposición de los educadores de Iberoamérica modelos de evaluación de los sistemas educativos, de las escuelas y del rendimiento de los alumnos concretando una de las líneas de acción diseñadas para el Programa de mejora de la calidad de la educación de las metas educativas 2021. Más información

Presentación del libro: Los gajes del oficio. Enseñanza. Pedagogía y Formación de Andrea Alliaud y Estanislao Antelo 1 de abril de 2010 Hacer referencia a la enseñanza y profundizar en sus múltiples y variados componentes, no es tarea sencilla. El libro de Estanislao Antelo y Andrea Alliaud remite a esta cuestión, buceando e indagando hasta llegar a encontrar elementos que hasta no hace mucho parecían en desuso. La transmisión, el afecto y el cuidado, así como la dependencia, los modelos y las experiencias escolares y hasta los universales, aparecen rescatados en esta obra desde una visión que parte de la consideración de los problemas educativos del presente. Más información [+] Declaración de la Secretaría General de la OEI ante el Terremoto de Chile Un fuerte terremoto ha causado centenares de víctimas en Chile. A esta gran tragedia humana hay que sumar miles y miles de damnificados, graves daños materiales y un país entero sumido en la desolación. Mientras Haití trata de recuperarse de un seísmo devastador, la naturaleza ha vuelto dejar sus golpes en la comunidad latinoamericana, esta vez, en la región más poblada de Chile. La Secretaría General de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación la Ciencia y la Cultura quiere manifestar al pueblo chileno su más profunda solidaridad y el deseo de poner al servicio de esa comunidad los medios materiales y humanos de que dispone para colaborar en reparación de las consecuencias del desastre. Así mismo, a través de la oficina regional

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OEI - Oficina Regional en Buenos Aires situada en Santiago de Chile, la OEI asume el compromiso de trabajar con el Gobierno del país en la reconstrucción de escuelas y en el cuidado y atención de los niños afectados.

II Congreso Internacional sobre Profesorado Principiante e Inserción Profesional a la Docencia 8 de marzo de 2010 Los días 24, 25 y 26 de febrero del corriente año, se ha desarrollado en la Facultad de Derecho de la Universidad de Buenos Aires el II Congreso Internacional sobre Profesorado Principiante e Inserción Profesional a la Docencia, como continuidad del I Congreso celebrado en el año 2008 en la Ciudad de Sevilla. Más información

VI Seminario Interno Anual - Programa Nacional de Convivencia Escolar 20 de febrero de 2010 Con la presencia del Sr Ministro de Educación de la Nación, profesor Alberto Sileoni, del Director de la OEI de la Oficina Regional Buenos Aires, profesor Darío Pulfer, del Director Nacional de Gestión Privada, Profesor Enrique Martín, del Coordinador del Programa de Convivencia Escolar, Licenciado Fernando Onetto y el equipo del programa como también, de la coordinadora del IDIE, profesora Sandra Rodríguez y de la especialista en educación en valores, licenciada Alicia Tallone, se desarrolló el VI Seminario Interno Anual del Programa Nacional de Convivencia Escolar del Ministerio de Educación de la Nación, en la sede de la OEI, el 17 y 18 de febrero de 2010. Más información

Una Escuela para Todos Hacer Públicas "Buenas Prácticas en Educación Inclusiva"

16 de febrero de 2009 El Ministerio de Educación de la República Argentina y la Organización de Estados Iberoamericanos con el patrocinio de la Fundación MAPFRE realizan la presente convocatoria, con la que se pretende hacer visible el esfuerzo realizado por toda la comunidad educativa (directivos, equipo docente, alumnos, familias, etc), a favor de los alumnos con discapacidad que presentan necesidades de apoyo. En esta etapa se realizará una selección de trabajos para una publicación de experiencias representativas de todas las regiones de la República Argentina. Ver reglamento completo (convocatoria, participación, alcance y categorías, publicación de las experiencias seleccionadas, etc) Ver recomendaciones para la presentación

Álvaro Marchesi, Secretario General de la OEI 2010: el año de la educación en Iberoamérica Tribuna de El País. No podemos dejar pasar esta oportunidad histórica, que contribuiría, en palabras de Gabriel García Márquez, a que las estirpes condenadas a cien años de soledad tuvieran por fin y para siempre una oportunidad sobre la tierra. Más información

2da Convocatoria Internacional de Ensayos y Audiovisuales "Bicentenarios en Acción: Conmemoración, Crisis Económica y Movilización Política en América Latina" 3 de febrero de 2010 Este llamado está orientado a estimular el descubrimiento y la narración de las conmemoraciones de los bicentenarios latinoamericanos. Identificar, analizar y mostrar las actividades bicentenarias es una manera de tomar parte en estas conmemoraciones.

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Dirigida a la comunidad académica y a la sociedad civil, esta 2da Convocatoria Internacional de Ensayos y Audiovisuales "Bicentenarios en Acción: Conmemoración, Crisis Económica y Movilización Política en América Latina" está organizada por una red de ocho instituciones de seis países, y auspiciada por la UNESCO y la Comisión Nacional Argentina de Cooperación con la UNESCO; la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI); y la Secretaría de Cultura de la Presidencia de la Nación, Argentina. Más información [+]

II Congreso internacional sobre profesorado principiante e inserción profesional a la docencia Este Congreso es continuidad del Primero realizado en Sevilla en el año 2008 y se propone como un espacio para avanzar y profundizar en las reflexiones e intercambios que allí han tenido lugar. Hoy contamos con una agenda constituida por la investigación sobre formación y trabajo docente, las prácticas de acompañamiento a docentes noveles y políticas específicas desarrolladas en algunos países. Más información [+]

Presentación SITEAL El pasado 1 de diciembre tuvo lugar en sede Buenos Aires de la OEI la presentación de los resultados del trabajo 2009 del SITEAL. Dicha presentación contó con la presencia y participación de la Secretaria de Educación del Ministerio de Educación de la Nación, Ma. Inés Vollmer quien valoró muy positivamente el aporte realizado desde SITEAL. SITEAL, Sistema de Información de Tendencias Educativas en América Latina es una iniciativa conjunta de la OEI y el IIPE/Unesco Buenos Aires cuyo objetivo es contribuir al un seguimiento del panorama educativo de la región a través de la producción y análisis de información socioeducativa a fin de contribuir al desarrollo y fortalecimiento de las políticas sectoriales que garanticen una educación de calidad para todos. Más información

Convalidación del convenio para la consolidación del Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa, IDIE ARGENTINA – OEI/XUNTA DE GALICIA El 23 de octubre de 2009 se celebró en la sede de la OEI en Buenos Aires, la reunión de convalidación del convenio para la consolidación del Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa, IDIE/OEI Argentina. El acta fue firmada por Alfonso Rueda Valenzuela, Conselleiro de Presidencia, Administraciones Públicas y Justicia y en representación de la Xunta de Galicia y por el Darío Pulfer, Director de la Oficina Regional Buenos Aires y en representación de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. El acto fue presidido por el Ministro de Educación de Argentina, Alberto Sileoni. En la mesa de autoridades, además de las ya nombradas, estuvo presente la Directora Nacional de Gestión Curricular y Formación Docente, Marisa Díaz. Más información

Presidentes de Latinoamérica Ciclo documental con entrevistas exclusivas a los jefes de Estado en ejercicio en la región. Canal Encuentro, el primer canal de televisión del Ministerio de Educación de la Nación y la TV Pública, presentan la serie “Presidentes de Latinoamérica”, un ciclo documental coproducido junto a Suterh y Sadop con

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OEI - Oficina Regional en Buenos Aires entrevistas exclusivas a los jefes de Estado en ejercicio, en las que se destacan los aspectos menos conocidos de sus vidas y sus acciones de gobierno, con una mirada social y humana de cada uno de ellos. Más información

X Encuentro Internacional VIRTUAL EDUCA – ARGENTINA 2009 Educación y Formación en Iberoamérica: diez años de innov@ciones (2000-2009). Universidad Católica Argentina (UCA), Buenos Aires, 9 al 13 de noviembre 2009 Durante los días 9-13 de noviembre 2009 tendrá lugar en Buenos Aires (Argentina) el X Encuentro Internacional anual Virtual Educa, sobre Innov@ción en Educación y Formación. Virtual Educa es un proyecto adscrito a la Cumbre Iberoamericana de Jefes de Estado y de Gobierno [San José de Costa Rica, 2004], cuyo Encuentro anual auspician organizaciones internacionales tales como la Organización de los Estados Americanos (OEA), la Secretaría General Iberoamericana (SEGIB) o la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI). En el Encuentro participan expertos de la práctica totalidad de países de América Latina y el Caribe, presentándose iniciativas, estudios de caso, modelos de buenas prácticas, etc Más información

PREMIO VIVALECTURA 2010 Lanzamiento de VIVALECTURA 2010 en el Ministerio de Educación de la Nación El martes 29 de septiembre se llevó a cabo, en el Salón Luz Vieira del Palacio Sarmiento, el acto de lanzamiento de la convocatoria VIVALECTURA 2010. El mismo estuvo presidido por el Ministro de Educación de la Nación, Alberto Sileoni acompañado por la Secretaria de Educación, María Inés Vollmer, la Directora del Plan Nacional de LECTURA, Margarita Eggers Lan, la Directora Editorial de Santillana Argentina, Herminia Mérega, la Coordinadora del área de Concertación e Innovación de la Oficina Regional Buenos Aires, Sandra Rodríguez y quien presidirá el Jurado de Evaluación, el escritor Luis María Pescetti. Se encontraban presentes autoridades del Ministerio de Educación así como también, ganadores de las ediciones de VIVALECTURA 2007 y 2008. Más información

PREMIO VIVALECTURA 2010 Concurso nacional de experiencias de promoción de la lectura El PREMIO VIVALECTURA es una iniciativa emprendida por el Ministerio de Educación de la Nación y por la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI), y cuenta con la cooperación de la Fundación Santillana. Dicha iniciativa tiene por objeto estimular, fomentar y rendir homenaje a las experiencias más destacadas en materia de promoción de la lectura a nivel nacional. Más información

Convocatoria: Experiencias en Educación Artística, Cultura y Ciudadanía 13 de agosto a 20 de noviembre de 2009 El 13 de agosto, en el Salón “maestro Alfredo Bravo” del Ministerio de Educación de la República Argentina, la Coordinadora Nacional de Educación Artística, Marcela Mardones, y de la Coordinadora del IDIE/OEI, Sandra Rodríguez, realizaron la presentación de la Convocatoria de Experiencias en Educación Artística, Cultura y Ciudadanía, a los referentes jurisdiccionales del área de educación artística.

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La inciativa tiene como objetivo identificar y dar visibilidad a las iniciativas que se están desarrollando en el campo de la educación artística, con especial referencia a aquellas que promueven el conocimiento de las diferentes culturas y la formación de ciudadanos preparados para vivir en sociedades multiculturales. Más información Bases del Concurso

CONCURSO HISTÓRICO, CULTURAL Y LITERARIO ARGENTINA 2009. RUTAS DE LA LIBERTAD Trabajos distinguidos Como resultado de la convocatoria del "Concurso Histórico, Cultural y Literario: Rutas de la Libertad", que en Argentina se centró en el tema: "EL PENSAMIENTO POLÍTICO, SOCIAL Y EDUCATIVO DE MANUEL BELGRANO" el comité de evaluación conformado para la valoración de los trabajos recibidos, ha distinguido dos entre todos los presentados a nivel nacional. Se estimó que los mismos cumplían con todos los requerimientos expuestos en el reglamento. Los alumnos y los trabajos distinguidos son: Sofía Micaela BAZÁN CARBALLO: ASPECTOS Y ANÁLSIIS DE MANUEL BELGRANO, DESDE UN PUNTO DE VISTA EDUCATIVO Y SOCIAL. Escuela Privada Gabriela Mistral, ciudad de La Rioja, Pcia. de la Rioja. Mariela Karina HUERTAS: DESANDANDO LOS CAMINOS DE LA LIBERTAD. Centro de Educación Media Nº 9 "República Dominicana", Gral. Roca, Pcia. de Río Negro. Los alumnos realizarán, como premio por su distinción, un viaje de carácter educativo-cultural por Paraguay y España del 18 de octubre al 1 de noviembre.

II CONGRESO DE EDUCADORES DE JÓVENES Y ADULTOS 7 y 8 de septiembre de 2009. Escuela Nocturna 715 “J.B.Iturraspe”. San Francisco. Córdoba El 7 y 8 de septiembre se llevará a cabo en el Teatrillo Municipal de la ciudad de San Francisco el II CONGRESO DE EDUCADORES DE JÓVENES Y ADULTOS organizado por la Escuela Nocturna 715. El congreso está pensado como espacio de encuentro, reflexión y lugar propicio para compartir experiencias diversas. Las temáticas girarán en torno a cuatro ejes: Estrategias de enseñanza y de aprendizaje; Formación docente específica; Legislación y un bloque Internacional en el cual la OEI y el ICAE tratarán el tema de Educación Permanente y Alfabetización. Los disertantes son destacados especialistas argentinos, mexicanos y uruguayos. Más información

V Congreso Internacional Cultura del Trabajo: Jóvenes y valores. Córdoba, Argentina. 24 y 25 de junio de 2009 9 de julio de 2009 El V Congreso Internacional Cultura del Trabajo: Jóvenes y valores se realizó en la ciudad de Córdoba, Argentina, el 24 y 25 de junio de 2009, organizado por la Fundación Inclusión Social

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Sustentable. Además de participar en las reuniones, la especialista del área de Formación en Valores y para la Ciudadanía del IDIE Argentina, Alicia Tallone, intervino con la ponencia Construcción de autoridad docente. También en el diseño y coordinación del taller homónimo con la participación de numerosos docente y alumnos. El taller temático se desprendió del eje abordado por la mesa y fue estructurado para propiciar la interacción y socialización entre los participantes. Más información

Premios a la Alfabetización Iberoamericana - 2008 26 de junio de 2009 La Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencias y la Cultura (OEI) y la Secretaría General Iberoamericana (SEGIB), con el apoyo de la AECID, convocaron la 1ª edición de los Premios a la Alfabetización Iberoamericana con el objeto de distinguir y difundir experiencias significativas de alfabetización y formación básica de adultos en Iberoamérica. En dicha convocatoria, de un total de 98 postulaciones correspondientes a 14 países de la región, han sido valoradas como premiables 6 experiencias provenientes de: Honduras, Panamá, Colombia, Brasil, Perú y Chile. Más información

V Premio Iberoamericano SM de Literatura Infantil y Juvenil 8 de junio de 2009 La Fundación SM, el Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe(CERLALC), International Board on Books for Young People(IBBY), la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura(OEI) y la Oficina Regional de Educación para América Latina y el Caribe de la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura(OREALC/UNESCO); con la colaboración de la Feria Internacional del Libro de Guadalajara(FIL), convocan al V Premio Iberoamericano SM de Literatura Infantil y Juvenil 2009. Más información

2º Encuentro Internacional de Educación Infantil "Construyendo una buena educación para la infancia" 8 de junio de 2009 Auspicio del Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa (IDIE) - Argentina al 2º Encuentro Internacional de Educación Infantil "Construyendo una buena educación para la infancia" organizado por la Organización Mundial de Educación Preescolar. El Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa (IDIE) - Argentina auspició el 2º Encuentro Internacional de Educación Infantil "Construyendo una buena educación para la infancia" organizado por la Organización Mundial de Educación Preescolar, que tuvo lugar en la Ciudad de Buenos Aires durante los días viernes 24, sábado 25 y domingo 26 de abril de 2009. Más información

Conferencia: ¿Escuela infantil o políticas de infancia? A cargo del Dr. Miguel A. Zabalza 8 de junio de 2009 Realizada en el marco del Ciclo de Formación Planeamiento y gestión de políticas educativas destinado a los Directores de Nivel Inicial de todos los Ministerios de Educación del país y organizado por el Ministerio de Educación Nacional, el Instituto Nacional de Formación Docente y el Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa (IDIE) - Argentina.

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OEI - Oficina Regional en Buenos Aires A través del Área Apoyo a la Educación Infantil y a los Derechos de la Infancia del Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa (IDIE) - Argentina se organizó la participación del Dr. Miguel A. Zabalza en el Ciclo de Formación Planeamiento y gestión de políticas educativas destinado a los Directores de Nivel Inicial de todos los Ministerios de Educación del país y organizado por el Ministerio de Educación Nacional, el Instituto Nacional de Formación Docente y el Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa (IDIE) - Argentina. Más información

IDIE Argentina: Conferencia de Eduardo Remedi Allone Procesos de transformación y cambio curricular en la formación docente 19 de noviembre de 2008 El 17 de noviembre, en el marco de las actividades del Área de Formación Docente del IDIE, el especialista en temas de análisis institucional y docencia, compartió interesantes reflexiones con colegas provenientes de distintos ámbitos académicos y de gestión. El IDIE de Argentina es una iniciativa de la OEI con el apoyo de la Xunta de Galicia Más información [+]

Congreso Internacional de la Enseñanza de las Ciencias Naturales y la Matemática 6 de noviembre de 2008 Córdoba, Argentina, 5 y 6 de noviembre de 2008 El primer Congreso Internacional de la Enseñanza de las Ciencias Naturales y la Matemática, fue inaugurado hoy en la ciudad de Córdoba por el ministro de Educación de la Nación, Juan Carlos Tedesco, bajo el lema "Por una alfabetización Científica para todos y entre todos" con la participación de más de 3.500 educadores El evento cuenta con apoyo de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura OEI, que estuvo representada por su director en Buenos Aires Darío Pulfer y de la Agencia Española de Cooperación Internacional para el Desarrollo AECID, El profesor Pulfer destacó la labor iniciada en la OEI en la promoción de que la enseñanza de la ciencias tenga un enfoque CTS (Ciencia, Tecnología y Sociedad) promoviendo la participación ciudadana ante los hechos científicos y tecnológicos. También destacó la labor de la OEI en la promoción de la Década de la Educación por la Sostenibilidad con un equipo de profesionales entre los que se encuentra el profesor Daniel Gil que pronunción la primera Conferencia Magistral: Enfoques actuales de la Enseñanza de las ciencias. La alfabetización científica.. Más información [+]

VivaLectura 2009 20 de octubre de 2008 El jueves 16 de octubre se lanzó en el Ministerio de Educación de Argentina la convocatoria 2009 de VIVA LECTURA, concurso nacional de experiencias de promoción de la lectura, con la presencia del señor Ministro de Educación, Juan Carlos Tedesco y el Director de la Oficina Buenos Aires de la OEI, Darío Pulfer. La OEI tiene a su cargo la coordinación y ejecución del Premio. En esta oportunidad se premiarán proyectos en las categorías de “Escuelas de gestión estatal y de gestión privada” “Sociedad: Institutos de formación docente de gestión estatal y de gestión privada, universidades/facultades, profesionales vinculados a ONG u organizaciones civiles con o sin fines de lucro, y bibliotecas” “Lectura entre docentes” La inscripción es gratuita y se extiende hasta el 15 de diciembre de 2008. Ampliar información e inscribirse [+]

Metas Educativas 2021: la educación que queremos para la generación de los Bicentenarios

http://www.oei.org.ar/[05/02/2011 18:41:07]

OEI - Oficina Regional en Buenos Aires 17 de septiembre de 2008 Se presentan las Metas Educativas 2021 Enrique Iglesias: “Es el proyecto estrella de los Bicentenarios” El pasado mayo, los ministros de Educación reunidos en El Salvador asumieron un importante compromiso que puede tener enormes repercusiones en Iberoamérica: acoger la propuesta “Metas Educativas 2021: la educación que queremos para la generación de los Bicentenarios” y avanzar en la elaboración de sus objetivos, metas y mecanismos de evaluación regional, así como iniciar un proceso de reflexión para dotarle de un fondo estructural y solidario. El pasado mayo, los ministros de Educación reunidos en El Salvador asumieron un importante compromiso que puede tener enormes repercusiones en Iberoamérica: acoger la propuesta "Metas Educativas 2021: la educación que queremos para la generación de los Bicentenarios" y avanzar en la elaboración de sus objetivos, metas y mecanismos de evaluación regional, así como iniciar un proceso de reflexión para dotarle de un fondo estructural y solidario. Más información [+]

Premiación en Argentina: Proyecto JUÉGALA! 19 de septiembre de 2008 Los días 26 y 27 de agosto, se realizó en el Salón Rosario Vera Peñaloza del Ministerio de Educación de Argentina, un encuentro con directivos, docentes y alumnos de las instituciones educativas autoras de los diez proyectos distinguidos en la primera edición del Proyecto "Juégala", en el marco del Programa Iberoamericano de Educación en Valores y Ciudadanía a través del Deporte" que promueve la OEI en conjunto con la Fundación FC Barcelona. Más información [+]

Argentina - I Jornada Nacional de Inclusión Socioeducativa: ’Propuestas de Reingreso y Formación Laboral’ 20 de agosto de 2008 Buenos Aires 6 y 7 de Noviembre de 2008. UNSAM. Universidad Nacional de San Martín OEI Organiza: Observatorio de Prácticas de Inclusión Educativa (OPIE) La problemática de la inclusión educativa y sociolaboral es tema de la agenda pública. El Observatorio de Prácticas de Inclusión Educativa (OPIE), creado en diciembre de 2006, tiene por propósito recuperar los relatos de los actores que implementan acciones tendientes a dar respuesta al problema. Más información [+]

Concurso Histórico - Literario Caminos del MERCOSUR Lagos, salares y culturas en la Ruta del Sol El Ministerio de Educación y Culturas de Bolivia y el Sector Educativo del MERCOSUR con apoyo de la Organización de Estados Iberoamericanos (OEI), presentan "Caminos del MERCOSUR 2008" haciendo partícipes a los centros educativos, del desafío de promover y consolidar una conciencia en beneficio de la integración regional. Podrán participar aquellos estudiantes nacidos exclusivamente en los años 1991 y 1992, que estén cursando en el nivel medio de escolaridad en centros públicos o privados de enseñanza de los países del MERCOSUR (Argentina, Bolivia, Brasil, Chile, Paraguay y Uruguay) y posean buen rendimiento escolar, capacidad de convivencia con jóvenes de diferentes culturas, creencias y religiones y cuenten el apoyo de sus familias. Ampliar información Proyecto y Reglamento Afiche Plegable

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IV Foro Latinoamericano de Educación - Aprender y enseñar ciencias. Desafíos, estrategias y oportunidades 30 de mayo de 2008 Fundación Santillana El lunes 26 de mayo se realizó la apertura del IV Foro Latinoamericano de Educación dedicado a "Aprender y Enseñar Ciencias. Desafíos, Estrategias y Oportunidades" organizado por la Fundación Santillana y auspiciado por la OEI. En el marco de este Foro, el biólogo Diego Golombek, coordinador del encuentro y autor del Documento Básico: Aprender y enseñar ciencias: del laboratorio al aula y viceversa, advirtió que existe "un abismo entre la educación en ciencias en la escuela secundaria y la universidad", un abismo que "repercute en la falta de vocaciones científicas en los estudiantes de nivel medio." El Foro se ha desarrollado durante los días 26, 27 y 28 de mayo y contó con la participación -entre otros especialistas del país y el exterior- del físico británico Jonathan Osborne. Documento base Programa [+]

PREMIO VIVALECTURA 2008 13 de mayo de 2008 Entrega del premio VIVALECTURA 2008 – 9 de mayo 2008 - 34ª Feria Internacional del Libro de Buenos Aires El viernes 9 de mayo en el marco de la 34ª Feria Internacional del Libro de Buenos Aires se hizo entrega de los premios VIVALECTURA 2008, iniciativa emprendida por el Ministerio de Educación de la Nación, la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI) y contó con la cooperación de la Fundación Santillana. Más información [+]

IDIE Argentina – Encuentro con Gisela Wajskop 30 de abril de 2008 En el marco de las actividades de cooperación del IDIE con el Ministerio de Educación Nacional, el Área de Apoyo a la Educación Infantil y a los Derechos de la Infancia organizó una reunión de trabajo de la que participaron la Directora Nacional de Educación Inicial, Prof. Marta Muchiutti y la Lic. Gisela Wajskop, Directora del Instituto de Formación Docente Singularidades de San Pablo, Brasil. Más información [+]

Inauguración del IDIE Argentina – OEI/XUNTA DE GALICIA 23 de abril de 2008 El 14 de abril se realizó la inauguración del IDIE de Argentina en un acto presidido por el Ministro de Educación de Argentina, Juan Carlos Tedesco, el señor Embajador de España, Rafael Estrella junto con el Vice Canciller argentino Victorio Taccetti, el Secretario General de la OEI, Álvaro Marchesi, el Secretario General de Relaciones Exteriores, Julio César Fernández Mato y la Directora General de Cooperación Exterior, Fabiola Sotelo Sotelo del gobierno gallego. Más información [+]

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Sileoni: “Vamos a continuar con el mandato de Kirchner” El ministro de Educación de la Nación, Alberto Sileoni, junto a la ministra de Desarrollo Social, Alicia Kirchner, y al ministro de Trabajo, Empleo y Seguridad Social, Carlos Tomada, lanzaron hoy las “Jornadas Nacionales Juveniles Presidente Néstor Kirchner”.

Construcción de escuelas Becas Finalización de estudios para jóvenes y adultos (FinEs) Cooperación Internacional

Sileoni convocó a la reunión de Paritaria Nacional Docente 2011 El ministro de Educación, Alberto Sileoni convocó a los dirigentes de los cinco gremios docentes con representación en todo el país a la reunión en el marco de la negociación Paritaria Nacional. El encuentro tendrá lugar mañana viernes 4 de febrero, a las 12 hs, en el Palacio Sarmiento, ubicado en Pizzurno 935, Ciudad de Buenos Aires.

Mejora de la enseñanza de las ciencias Promoción de la lectura Educación Sexual Integral Primera infancia Temas transversales

Sileoni, Timerman y Alak encabezaron la conmemoración anual por las víctimas del Holocausto El ministro de Educación de la Nación, Alberto Sileoni, presidió esta tarde el acto por el Día Internacional de Conmemoración Anual en Memoria de las Víctimas del Holocausto, junto a sus pares de Relaciones Exteriores, Comercio Internacional y Culto, Héctor Timerman, y de Justicia y Derechos Humanos, Julio Alak.

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viernes, 04 de febrero de 2011

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04/02/2011 11:30 La presidenta Cristina Fernández encabeza el acto de licitación del gasoducto NEA Lugar:

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Contacte a la Presidenta Si usted desea comunicarse, puede hacerlo por los siguientes medios: Correo Postal: Dirigido a la señora Presidenta de la Nación, Dirección de Documentación Presidencial, Balcarce 24 Cdad. Aut. de Buenos Aires (C.P. 1064). Teléfono: A la Dirección de Documentación: 4344-3600

La Presidenta Cristina Fernández encabezó, en la ciudad de Mar del Plata, la puesta en marcha de la Estación Digital de Transmisión de Televisión Digital Abierta, que permite el acceso a señales como INCAA TV y Canal Encuentro. En el mismo evento, mediante videoconferencia, se inició el segundo tramo del mayor Emisor Submarino de Sudamérica, y se inauguraron la Playa Pública recuperada y la unidad de ANSES "Néstor Kirchner." Leer más...

04/02/11 - La jefa de Estado abrió la licitación para la construcción del Gasoducto Noreste Argentino

La jefa de Estado abrió la licitación para la construcción del Gasoducto Noreste Argentino

viernes, 04 de febrero de 2011

La presidenta Cristina Fernández encabezó el acto de apertura de la licitación del Gasoducto Noreste Argentino (NEA) en el Salón de las Mujeres de la Casa Rosada. Esta licitación abarca la construcción de tres tramos del Gasoducto NEA, que llevará gas a esa región de la Argentina. Allí, la mandataria destacó la importancia de plan energético del gobierno "había reservas de gas para 9 años y ahora se extendieron a 20 años". Leer más...

La Presidenta inauguró la División de Bomberos que funcionará en el ex Club Albariños jueves, 03 de febrero de 2011

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Presidencia de la Nación Argentina - Inicio

La Presidenta de la Nación, Cristina Fernández, inauguró la División Cuartel XI de Bomberos "Albariños", en el predio ubicado en la calle Santander 4936 del barrio de Villa Lugano, al sur de la Ciudad de Buenos Aires. Leer más...

La Presidenta anunció un aumento del 17,33% en las jubilaciones

miércoles, 02 de febrero de 2011

Cristina Fernández anunció hoy un aumento del 17,33 por ciento en las jubilaciones y pensiones a partir del mes de marzo, con lo que la jubilación mínima pasará a ser de $ 1272,33. Leer más...

webmaster@presidencia.gov.ar | (54) 11-4344-3600 | Balcarce 50 - CP 1064 - Ciudad Autónoma de Buenos Aires | Términos de Uso:

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877: Análisis de funciones polinómicas

Introducción al modelo 1 a 1

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Análisis de funciones polinómicas Autores: Sebastián Vera, Rodrigo Weber y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Análisis gráfico y analítico de una función polinómica Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección trabajaremos con funciones polinómicas, con correspondencia entre gráficos y fórmula de la función polinómica. En las actividades los alumnos podrán analizar la correspondencia entre el gráfico de una función polinómica y su fórmula, identificando sus raíces y sus intervalos de crecimiento, decrecimiento, positividad y negatividad.

Objetivos de las actividades. Que los alumnos: Analicen la correspondencia entre gráficos y fórmula de una función polinómica. Interpreten gráficos e identifiquen raíces, conjuntos de positividad y negatividad de una función. Apliquen temas vistos en unidades anteriores (operaciones entre polinomios y factorización) para analizar diferentes funciones polinómicas.

Actividad 1 1) En grupos de dos o tres alumnos, analicen la siguiente situación y respondan las preguntas: En un laboratorio se realizó un estudio para una colonia de microorganismos. Durante los días que duró la investigación no se proporcionaron alimentos y se estableció que la cantidad m (en millones) de microorganismos variaba en función del tiempo t (en días) transcurridos desde que se originó el estudio, según la siguiente expresión: m(t) = -t 2 + 3t +4 a) ¿Cuál o cuáles de los siguientes gráficos describe la variación de la cantidad de microorganismos en función del tiempo (desde que se comenzó con el estudio). Justifiquen su elección y expliquen por qué descartan los otros.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4200[05/02/2011 18:44:00]

877: Análisis de funciones polinómicas

b) ¿Con qué cantidad de microorganismos comenzó el experimento? c) ¿Desaparecen todos los microorganismos en algún momento? Si es así, ¿cuándo? d) ¿En algún instante de tiempo la cantidad de microorganismos es la misma que la cantidad con la que se inició el experimento? En el caso afirmativo, calculen ese tiempo. e) ¿Pueden estimar en qué momento la cantidad de microorganismos es máxima? f) ¿En qué período se estudia el proceso? ¿En qué intervalo se representa la cantidad de microorganismos en este experimento? g) ¿Cuál es el dominio y la imagen de la función m(t)? Distingan entre el dominio natural, es decir el dominio matemático de la fórmula, y el dominio propio de la situación analizada. ¿Es el mismo en cada caso? h) Para repasar y profundizar estos temas ingresen en los siguientes links: Funciones polinómicas Dominio e imagen de una función Análisis completo i) Realicen un resumen de lo analizado en el ítem h) explicando brevemente las siguientes cuestiones: ¿Qué es una función polinómica? ¿Como es su expresión o fórmula matemática? ¿Qué son los ceros o raíces de una función? ¿Cuál es su interpretación gráfica? ¿Qué son los intervalos de crecimiento y decrecimiento? ¿Y los de positividad y negatividad? ¿Cuál es su interpretación grafica?

Actividad 2 1) El siguiente gráfico corresponde a una función polinómica de grado 3.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4200[05/02/2011 18:44:00]

877: Análisis de funciones polinómicas

a) Indiquen cuánto valen las imágenes para los siguientes valores: x = -4, x = -2 y x = 4. ¿Cómo se denominan estos valores? , hallen el valor del coeficiente principal de la función cúbica graficada y escriban su b) Teniendo en cuenta que fórmula. ¿Es la única fórmula posible? Comparen los resultados con sus demás compañeros. 2) Escriban el conjunto de ceros (

) y los conjuntos de positividad y negatividad (

) de una función de grado 3, que

cumpla con las siguientes condiciones en cada caso:

, ,

y ,

a) Con los datos anteriores, realicen un gráfico aproximado de la función en cada caso y comparen los gráficos hechos por sus demás compañeros. ¿Son los mismos? Discutan junto con su docente.

Actividad de cierre 1) Dada la siguiente función polinómica: F(x) = (x + 2) . (x + 5) . (x - 3) a) Indiquen cuáles son sus raíces. ¿Podría tener esta función otras raíces diferentes de las indicadas? Justifiquen su respuesta. b) ¿Puede la función F(x) tomar un valor positivo para un valor x en el intervalo (-2, 3), y un valor negativo para otro x en el mismo intervalo? ¿Por qué? c) Utilicen el programa GeoGebra o Winplot, instalados en sus equipos portátiles, para graficar la función F(x). 2) Marquen la o las opciones correctas en cada caso, y justifiquen su decisión. La función f(x) = x 3 + x 2 verifica que: a) La única raíz real es x = 0 b) La gráfica interseca al eje horizontal en x = -1 c) La gráfica interseca al eje vertical en y = -1 d) Existen dos números reales que son raíces de la función

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Funciones polinómicas, en descartes Funciones polinómicas, en ditutor Raíces de polinomios Polinomios – Factorización

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878: Análisis de funciones racionales

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Análisis de funciones racionales Autor: Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Funciones Racionales, dominio e imagen. Representación de asíntotas verticales y horizontales. Observación de posibles puntos de discontinuidad y valores que no pertenecen al dominio Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Mediante estas actividades los alumnos podrán observar la aplicación de la función racional en la vida real a través de problemas de aplicación. También realizarán diferentes gráficos de funciones para identificar su dominio e imagen.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Analicen situaciones y resuelvan problemas para reconocer y comprender la aplicación de la función racional en la vida cotidiana. Desarrollen estrategias para interpretar la realidad a través de la matemática. Interpreten situaciones problemáticas vinculadas a la función racional.

Actividad 1 1) Visiten la siguiente página en la que podrán conocer más sobre la función racional. A partir de lo leído en la web, redacten un resumen sobre la biografía de María Gaetana Agnesi, y realicen un informe sobre los conceptos teóricos de las funciones racionales. Den tres ejemplos y grafiquen cada uno de ellos con el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles.

Actividad 2 1) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, realicen un gráfico para cada un de las siguientes funciones: a (x) = 1 / x – 1 b (x) = (2 / x + 1) + 3 c (x) = 2x +7 / x + 5 d (x) = (5 / x – 3) - 4 e (x) = 2x2 -2x-4 / x 2 +x-12 f (x) = x 2 -x + 6 / x – 1 g(x) = 2x2 + x- 6 / x 2 +3x+2 2) Ingresen al siguiente link para observar y comprender cómo se analiza una función racional. 3) Para cada una de las funciones del punto 1 hallen: a) dominio e imagen; b) ceros, intervalos de positividad y negatividad;

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878: Análisis de funciones racionales

c) asíntota vertical y asíntota horizontal

Actividad de cierre Dosis de medicamentos: La regla de Young es una fórmula que se usa para modificar las dosis de medicamentos de adultos, a fin de adaptarlas a niños. Si d representa la dosis de un adulto, en miligramos, y t es la edad del niño en años, entonces, la dosis del niño puede representarse, por medio de la siguiente función: F (t) = t . d / t +12

a) Utilicen el programa Geogebra para graficar F(t), para t > 0 y d=100 miligramos. b) ¿El valor de t podría ser negativo? Justifiquen su respuesta. c) Si la dosis del adulto es de 250 miligramos ¿cuánto será la dosis de un niño de 4 años? d) Si un niño de 2 años toma una dosis de medicamentos de 125 miligramos, ¿De cuánto será la dosis de ese mismo medicamento si la quiere tomar un adulto?

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Funciones racionales Ejercicios de funciones racionales Funciones racionales

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798: Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante

Introducción al modelo 1 a 1

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798: Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante d) Con sus palabras, redacten una conclusión en la que expliquen las relaciones y propiedades que existen entre los pares de ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta secante.

Actividad 2 1) Hallen el valor de los ángulos que se especifican en cada figura:

Actividad de cierre 1) Hallen el valor de cada ángulo interior en cada una de las siguientes figuras y justifiquen su respuesta:

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo

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798: Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante Ángulos y rectas paralelas Pares de ángulos formados por una transversal que corta líneas Ángulos y rectas paraleas

Webgrafía recomendada Ángulos formados por una recta y por una transversal Ángulos determinados por rectas paralelas determinadas por una secante

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800: Angulos y circunferencias

Introducción al modelo 1 a 1

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Introducción a las actividades En esta secuencia nos dedicaremos a estudiar los ángulos de una circunferencia, y veremos qué relación hay entre un ángulo central y el inscripto al mismo arco.

y seleccionen la opción compás.

Luego marquen otro punto (este será el centro de la circunferencia) y presionen Enter para fijar la circunferencia. Así construimos la circunferencia.

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800: Angulos y circunferencias

Ahora queremos construir el ángulo central. Para ello presionen sobre el ícono recta que pasa por dos puntos

Así queda determinado el ángulo central, y así es como tienen que verlo:

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800: Angulos y circunferencias

Para medir el ángulo inscripto repetimos el paso anterior, pero en el siguiente orden: primero el punto B, segundo el punto C y por último el punto A.

Actividad de cierre Hallen el valor de los ángulos inscriptos o semi-inscriptos en cada una de las siguientes figuras:

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Ángulos en la circunferencia, en Wikipedia

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800: Angulos y circunferencias

ﾃ］gulos en la circunferencia, en Vitutor ﾃ］gulos en una circunferencia, en Descartes Circunferencia ﾃ］gulos en la circunferencia, en Roble

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776: Aplicación de derivadas I

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b) Calculen las derivadas de las funciones del ítem anterior para encontrar mínimos, máximos y ceros.

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776: Aplicación de derivadas I

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Aplicación de derivadas Videotutoriales de Geogebra Introducción a las funciones en Geogebra Funciones Geogebra

Webgrafía recomendada Aplicaciones de las derivadas Aplicaciones de la derivada Derivada, en Wikipedia

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879: Aplicaciones de la función cuadrática

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Aplicaciones de la función cuadrática Autor: Fernando Luis Maffuche Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Función cuadrática Nivel: Secundario, ciclo orientado (escuelas técnicas) Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Actividades para descubrir la aplicación de la función cuadrática en situaciones problemáticas de la vida cotidiana. El plan de esta secuencia es que los alumnos se familiaricen con el uso y valor numérico de la función cuadrática, y que descubran la importancia de la aplicación de esta función en el contexto que los rodea.

Objetivos de las actividades Aplicar los conocimientos adquiridos en Matemática a situaciones cotidianas. Investigar y trabajar sobre la vinculación de las ciencias exactas con situaciones problemáticas reales. Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Promover el uso de software aplicativo en las clases de Matemática. Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes.

Objetivos pedagógicos Actividad 1: Aplicación de la función cuadrática Llamamos función cuadrática a toda función de la forma a distinta de cero. El dominio de la función son todos los números reales. Término cuadrático: x 2 Término lineal: x Término independiente: c

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donde los coeficientesa, b y c son números reales, siendo

879: Aplicaciones de la función cuadrática

Gráfico de función cuadrática, llamado parábola. Para empezar, propónganles a sus alumnos que busquen información sobre los conceptos costo y ganancia. Pueden hacerlo en Internet o en otros medios. Luego, propónganles que resuelvan la siguiente situación problemática: 1) Los ingresos mensuales de un empresario de máquinas electromecánicas están dados por la función: , donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes. 2) Observen el gráfico y respondan:

a) ¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? b) Si decimos que la ganancia fue de mil pesos aproximadamente, ¿cuántas máquinas se fabricaron? c) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican cinco máquinas? d) ¿A partir de qué cantidad máquinas se comienza a tener pérdidas?

Actividad 2: Aplicación de distintos programas para graficar y analizar la función cuadrática 1) Luego de responder las preguntas anteriores, grafiquen las siguientes funciones cuadráticas en la carpeta de forma tradicional y verifiquen los gráficos realizados utilizando el programa para graficar funciones y cálculos matemáticos (Graphmática). Tengan en cuenta que el dominio es el conjunto los números reales.

Actividad 3 1) A continuación, les proponemos realizar una tabla indicando los datos del análisis de las funciones anteriores. Para hacerla, pueden utilizar el procesador de textos o la hoja de cálculos, ambos disponibles en sus equipos portátiles. La tabla puede ser similar a la siguiente: Función f (x): x 2 - 4 Raíces o ceros Vértice Intervalo de crecimiento Intervalo de decrecimiento Mínimo Imagen

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879: Aplicaciones de la función cuadrática

Intervalo de positividad Intervalo de negatividad 2) También pueden obtener la fórmula de una función observando su gráfico. Esto es muy sencillo de realizar con el programa para graficar funciones y cálculos matemáticos (Graphmática).

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802: Aproximación de números decimales

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Objetivos de las actividades Redondear un número decimal con parámetros aceptados por la comunidad científica. Operar con números decimales aproximados

Actividad 1 1) Formen grupos de cuatro alumnos. A los integrantes los llamaremos alumno A, alumno B, alumno C y alumno D. Cada grupo tomará una hoja en blanco.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4125[05/02/2011 18:45:08]

802: Aproximación de números decimales

Links de interés y utilidad para el trabajo Redondeo de números Redondeo Fracción decimal Errores en las mediciones

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804: Area de polígonos regulares y no regulares

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Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para construir un hexágono regular. Para ello utilicen el comando polígono regular

y divídanlo en triángulos:

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804: Area de polígonos regulares y no regulares

b) Encuentren el área del siguiente polígono irregular:

Actividad de cierre 1) El área de un polígono irregular se puede obtener triangulando el polígono y sumando el área de esos triángulos.

A = T1 + T2 + T3 + T4

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Polígonos, triángulos, cuadriáteros, perímetros y áreas

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804: Area de polígonos regulares y no regulares Área de polígonos regulares Polígonos, áreas

Webgrafía recomendada Polígono regular Polígono

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806: Area del círculo

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y el perímetro

del polígono, es decir:

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806: Area del círculo

Si consideramos que el perímetro de un círculo es igual a la longitud

; de su circunferencia, podemos decir que:

b) En el centro de un parque que tiene forma circular –600 m de radio– hay una fuente, también de forma circular, cuyo radio es de 7 m de radio. Calculen el área de la zona de paseo.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4129[05/02/2011 18:45:29]

806: Area del círculo Área de un círculo, en Youtube Relación entre circunferencia y diámetro, en Youtube

Webgrafía recomendada Perímetro de un círculo Área de un círculo Polígonos

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808: Areas de rectángulos cuadrados paralelogramos y triángulos

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Introducción a las actividades En esta secuencia los alumnos trabajarán con figuras planas tales como el rectángulo, el cuadrado, el paralelogramo y el triángulo.

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808: Areas de rectángulos cuadrados paralelogramos y triángulos

Actividad de cierre 1) Utilizando la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles calculen el área sombreada de cada figura:

2) Inventen y redacten una situación el la que necesiten calcular el área de las siguientes figuras: triángulo y rectángulo; paralelogramo; trapecio; pentágono regular.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Cómo calcular el área de un polígono Fórmula del área de un triángulo Área del cuadrado Áreal del rectángulo

Webgrafía recomendada Algunas ideas para enseñar geometría Perímetros y áreas de los polígonos Anexo: figuras geométricas Paralelogramo Superficie y área

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778: Asíntotas de una función

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778: Asíntotas de una función

Actividad 2 1) Utilizando el programa Winplot o el programa Geogebra, grafiquen las siguientes funciones y escriban las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de cada una:

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Asíntotas Asíntotas, en Matemática Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función Asíntotas, en Vitutor Asíntota, en Wikipedia

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880: Composición de funciones

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Composición de funciones Autor: Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Concepto y composición de funciones Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Se pretende que el alumno a partir de la investigación, de ejercicios prácticos y por medio de problemas logre los conocimientos básicos de la composición de funciones y logre interpretar la aplicación y su utilidad de este tema con otras ciencias.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Investiguen y conozcan el concepto y la definición de composición de funciones. Resuelvan composiciones con distintas funciones. Verifiquen la validez del resultado teniendo en cuenta el contexto del problema.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Como los números, las funciones también se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Las funciones, además, se pueden componer. 1) Visiten los siguientes links para comprender el concepto de composición entre dos funciones: Composición de funciones y función recíproca Familias de funciones, tipos y operaciones a) A partir de lo analizado inventen dos funciones f(x) y g(x) (distintas a las trabajadas en los links ) y encuentren: La función g compuesta con f (g º f). La función f compuesta con g (f º g) b) Las funciones obtenidas g º f y f º g, ¿representan la misma función? Justifiquen su respuesta y discutan junto con el docente. c) Utilicen el programa Geogebra instalado en sus equipos portátiles para graficar –en un solo eje cartesiano– las funciones g(x) y f(x), y las funciones compuestas halladas anteriormente f º g y g º f. d) Calculen el dominio de todas las funciones anteriores.

Actividad 2

1) Dadas las funciones f (x)= 2x + 3, a) Calcular: f º g, g º f, f º h, h º f, g º h, h º g y h º h.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4203[05/02/2011 18:46:01]

y h (x)= x 2 +1.

880: Composición de funciones b) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen las siguientes funciones: f(x), g(x), f º g y g º f f(x), h(x), f º h y h º f g(x) , h(x), g º h y h º g h(x) y h º h

y hallen las funciones 2) Sean caso de existir, las ecuaciones de las asíntotas de cada composición.

3) Dadas las funciones

, el dominio de ambas composiciones y, en

hallen el valor de a para que

Actividad de cierre a) La relación funcional entre grados Celsius y grados Kelvin es lineal. Sabiendo que

y que

encuentren la función f que da la temperatura en grados Celsius conocida la misma en grados Kelvin. b) La función

expresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius. Encuentren la expresión de la temperatura en grados Fahrenheit en función de la temperatura en grados Kelvin. ¿Es lineal?

c) La función expresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius. Encuentren la función que permite, dada una temperatura en grados Fahrenheit, obtener la misma en grados Celsius.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Función compuesta, composición de funciones Composición de funciones. Función recíproca o inversa. Ejercicios Función matemática, en Wikipedia

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881: Concepto e interpretación gráfica del límite de una función en un punto

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Concepto e interpretación gráfica del límite de una función en un punto Autor: Rodrigo Weber, Sebastián Vera, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Límite de una función Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Objetivos de las actividades Comprender el concepto de limite de una función, ya sea analítica o gráficamente. Resolver ejercicios que involucren el límite de una función.

Objetivos pedagógicos Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo. Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades La idea de límite de una función está relacionada con los valores que toma la función en lugares cercanos a un punto que haya despertado nuestro interés. De ahora en más cuando se diga “límite de una función en algún punto”, se deberá entender que interesa saber el comportamiento de la misma en una zona muy cercana al punto.

Actividad 1 1) Supongamos que tenemos esta función: describe la posición, en kilómetros, de un móvil en función del tiempo transcurrido (x = tiempo en horas). Y queremos saber: a) ¿En qué posición estaba el móvil a las dos horas de haber partido? Para hacerlo, utilicen algunos de los programas graficadores (Winplot o Geogebra) instalados en para graficar la función. b) Ahora la pregunta es: ¿a qué posición se acerca el móvil si el tiempo transcurrido tiende a ser de 2 horas? Para analizar esta pregunta, tomen valores cercanos a x=2. Elaboren una tabla de valores (x; f(x)). Para hacerla, pueden utilizar el procesador de textos y para realizar los cálculos utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles. c)¿Hay algún cambio con respecto a lo que se preguntó en el ítem a? Discutan y analicen las respuestas de otros compañeros.

Actividad 2

Ahora supongamos que tenemos la siguiente función

y nos preguntamos:

1) ¿Qué le sucede a la función cuando x=2? ¿Existe f(2)? Si es así, ¿cuánto vale? 2) Grafiquen la función. Para ello, utilicen uno de los graficadores disponibles en sus equipos portátiles.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4204[05/02/2011 18:46:12]

881: Concepto e interpretación gráfica del límite de una función en un punto 3) ¿A qué valor fijo del eje y se acercan los valores de f cuando los valores de x tienden a x=2? Para analizar esta pregunta, tomen valores cercanos a x=2. Elaboren una tabla de valores (x; f(x)). Para hacerla, pueden utilizar el procesador de textos y para realizar los cálculos utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles. 4) Discutan con sus compañeros y el docente lo analizado en el ítem anterior. Luego saquen conclusiones sobre lo realizado en esta actividad.

Actividad de cierre Para profundizar, analicen y discutan junto con el docente el concepto y la definición de límite de una función. Desarrollen una demostración para exponer en clase. Para ello, recomendamos que observen el video Límites: explicación con ejemplos y, si es necesario, busquen en Internet otros links que les sean útiles para desarrollar este tema.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Límite de una función Análisis matemático – Límites Concepto de límite Definición de limite Límites: explicación con ejemplos

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810: Congruencia entre triángulos

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Datos para la construcción de triángulos Dos ángulos Un lado y los ángulos adyacentes a ese lado Dos lados Tres lados Dos lados y el ángulo comprendido.

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¿El triángulo construido es único?

810: Congruencia entre triángulos 4) Entre todos debatan la siguiente pregunta: ¿cuáles son los criterios que permiten verificar que dos triángulos son congruentes?

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Primer caso de congruencia de triángulos Segundo caso de congruencia de triángulos Tercer caso de congruencia de triángulos

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882: Cónicas parte I

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Cónicas, parte I Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Cónicas Nivel: Secundario, ciclo orientado (escuelas técnicas) Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se muestra cómo las cónicas nos rodean e intervienen en nuestras vidas, y se proponen actividades muy variadas.

Objetivos de las actividades Promover la búsqueda y la selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, como así también la evaluación, la validación y la discusión. Promover el intercambio de diversas estrategias entre pares, el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Objetivos pedagógicos Actividad 1: Cónicas por todas partes Indíquenles a sus alumnos que van a ver una presentación realizada por la Universidad de Zaragoza, y dos videos cortos del programa español Más por menos, y que luego deberán responder un cuestionario y realizar otras actividades sobre la base de lo que vieron. La presentación de la Universidad de Zaragoza es un archivo PowerPoint con 69 diapositivas y una voz en off. Se titula Rodeados por las cónicas. Deberán hacer clic en el siguiente vínculo, guardar el archivo en el servidor y hacer que cada alumno lo guarde en su equipo portátil mediante un pendrive. De ser posible, proyecten la presentación en una pantalla para que todos puedan verla al mismo tiempo. Para ver los videos del programa Más por menos (escritos y presentados por Antonio Pérez), hagan clic sobre los siguientes vínculos: Primera parte (duración 8:21) Segunda parte (duración 6:04) Una vez visto el material, indíquenles a sus alumnos que se agrupen de a dos para responder el siguiente cuestionario en un procesador de textos, y que luego lo guarden con sus nombres en el servidor. 1. ¿Qué relación hay entre las cónicas, el sistema planetario y las órbitas de los cometas? 2. ¿Cómo se relacionan las cónicas con los relojes de sol? 3. ¿Qué ejemplos de cónicas pueden verse en la cocina o en el comedor de una casa? 4. ¿Pueden dar ejemplos de cómo se aprovechan las cónicas en usos medicinales y en el deporte? 5. ¿Qué forma tienen las antenas satelitales, los faros de los automóviles y las linternas? ¿Por qué tienen esa forma? ¿Cómo se utiliza esa propiedad en un receptor parabólico para producir energía eléctrica?

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4205[05/02/2011 18:46:33]

882: Cónicas parte I 6. ¿Qué cónica interviene en los sistemas de navegación? ¿Para qué se utiliza el sistema LORAN? 7. ¿Qué forma tienen las torres de enfriamiento de una central térmica? ¿Por qué tienen esa forma? 8. ¿Qué cónica interviene en la repulsión de dos cargas eléctricas de igual signo?

Cierre de la actividad 1 1) A continuación verán el enunciado de la Primera Ley de Kepler y un applet con la órbita que describe cada planeta, y también la del cometa Halley. Para ello hagan clic en el siguiente vínculo .

Actividad 2: Las cónicas en la arquitectura y la escultura Pídanles a sus alumnos que se agrupen de a dos (si el número de alumnos es impar, que se forme un grupo de tres). Pueden guiarlos y permitir que discutan e intercambien opiniones entre ellos. Recursos de trabajo: Impress (programa para manipular diapositivas) y un pendrive (cualquier dispositivo de almacenamiento portátil) por alumno. 1. Busquen en Internet, o en otras fuentes, información e imágenes de obras de arquitectura y escultura que presenten cónicas en su diseño. Entre muchos otros, pueden ver estos ejemplos: Iglesia La Esperanza de María en la Resurrección del Señor, de México. The Priory Chapel, de Saint Louis. James S. McDonnell Planetarium, de Saint Louis. Librería Nacional de Kazan, capital de la República de Tatarstan, Rusia. Catedral de Brasilia. Estructura en el Parque Zabeel, en Dubai (Mishascape arquitectos). La nueva torre de control del aeropuerto de Barcelona. Teatro Nacional de Pekín, diseñado por Paul Andreu. Casa Elipse Natural, en Tokio, Japón, diseñada por el arquitecto Masaki Endoh. Ellipse 1501 House, diseñada por Antonino Cardillo. Escultura Cloud Gate de Anish Kapoor en el Parque del Milenio de Chicago, USA (se pueden ver fotografías haciendo clic aquí). Parroquia Santa María de Betania, en la calle Medrano, barrio de Almagro, Ciudad Autónoma de Buenos Aires. 1. Elijan los que más les gusten y elaboren una presentación con diapositivas, utilizando el programa para manipular diapositivas, disponible en sus equipos portátiles. Incluyan imágenes y mencionen qué cónicas están presentes en cada caso. Pueden agregar “efectos especiales” como movimientos y sonidos. Consulten con su docente si hay una cantidad máxima de diapositivas por presentación. 2. Guarden la presentación con sus nombres en sus equipos portátiles y en el servidor.

Cierre de la actividad 2 1) Cada alumno utilizará un pendrive para guardar en su equipo portátil las presentaciones de los otros grupos, así podrán compartir las producciones de todos. De ser posible, proyecten las presentaciones en una pantalla para verlas en conjunto.

Actividad 3: Cónicas con luces y sombras Pídanles a sus alumnos que se agrupen de a tres o cuatro. Pueden guiarlos y permitir que discutan e intercambien opiniones y estrategias entre ellos. Materiales necesarios para el trabajo: Un velador cuya pantalla tenga forma de cono truncado. Una linterna. Una esfera. Cámara de fotos. 1) Lean esta nota publicada en el blog Pseudópodo Cónicas en el hotel, por Pseudópodo Este verano dormí una noche en un hotel y me encontré esto:

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4205[05/02/2011 18:46:33]

882: Cónicas parte I

Había visto infinidad de veces la sombra que proyecta la tulipa de una lámpara sobre la pared, pero nunca se me había ocurrido que esa sombra tiene una forma matemática muy sencilla y elegante: es una hipérbola. En efecto, la abertura de la tulipa, al tener forma circular, define junto con el filamento de la bombilla un cono de luz. Cuando la lámpara está vertical, su eje es paralelo al de la pared. Y la intersección de un cono con un plano paralelo a su eje, como demostró Apolonio de Perga, es una hipérbola. Apolonio demostró también que variando la inclinación del plano obtenemos otras curvas, que reciben el nombre de secciones cónicas: la parábola, cuando inclinamos el plano hasta que queda paralelo a la generatriz del cono, y la elipse, cuando lo inclinamos más aún (un caso particular es la circunferencia, cuando el plano es perpendicular al eje del cono). En el hotel no podía inclinar la pared, pero sí la lámpara. Estos son mis intentos de conseguir una parábola y una elipse:

Lo que no entiendo es cómo pudo Apolonio hacer su descubrimiento sin bombilla, lámpara, ni hotel. Eso demuestra que era un genio. 2) Organícense para reproducir la experiencia con un velador sobre la pared. Saquen fotos que muestren cada una de las cónicas logradas y guárdenlas en sus equipos portátiles. 3) Iluminen una esfera con una linterna de modo que la sombra tenga forma de circunferencia, elipse, parábola e hipérbola, como se ve en estas imágenes extraídas de la presentación Rodeados por las cónicas.

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882: Cónicas parte I

4) Saquen fotos de cada uno de los 4 momentos y guárdenlas en sus equipos portátiles.

Cierre de la actividad 3 Cada grupo elegirá sus mejores fotos, las imprimirá y entre todos armarán una cartelera para exponerlas. Pueden ponerle como título Cónicas con luces y sombras, u otro que les parezca adecuado.

Actividad de cierre final: Concurso de fotografía Indíquenles a sus alumnos que van a organizar un concurso de fotografía en las que podrán verse imágenes de cónicas. El propósito es que puedan tener una mirada diferente y atenta después de haber trabajado con este recurso, y que logren descubrir en su entorno imágenes que responden a modelos matemáticos. Para ello, deberán organizarse para establecer y redactar las bases del concurso. En este sentido, sugiéranles que mencionen: 1. Objetivo del concurso (por ejemplo, que los participantes logren captar en sus fotografías la presencia de las cónicas en su entorno natural). 2. Cantidad de fotografías que puede presentar cada concursante (en color o en blanco y negro), el formato (puede ser libre, sin restricciones de tamaño o resolución) y que cada fotografía debe tener un título que haga referencia al concepto o noción matemática que está presente. Que se establezca cuántas de las fotografías presentadas por cada concursante deben contener imágenes de cónicas, si es que deciden ampliar el criterio e incluir imágenes relacionadas con otros conceptos matemáticos). 3. Quiénes pueden participar del concurso (podría ser que se invite a alumnos de otros cursos, a docentes y personal no docente, a familiares, etcétera). 4. El plazo (indicar hasta qué fecha se recibirán los trabajos). 5. Cómo estará conformado el jurado y en qué fecha deberá expedirse. 6. Los premios (por ejemplo, puede haber 1.º, 2.º y 3.er puesto, y dos menciones especiales; también se pueden premiar por un lado las fotografías en blanco y negro, y por otro, las de color). 7. La exposición (se podría organizar una cartelera con las fotografías premiadas impresas y, además, una cartelera virtual alojada en el servidor de la escuela que podría contener todas las fotografías que concursaron).

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Ejemplos del concurso de fotografía matemática organizado por la Fundación Com-Partida, de Uruguay, y una entrevista a Pilar Moreno, profesora de Matemática de secundaria, que utiliza la fotografía como recurso. Concurso de Fotografía Matemática Fotografía Matemática IX Concurso de Fotografía Matemática. Universidad Antonio de Nebrija Matemáticas por doquier Exposición IV concurso de fotografía “Matemáticas a la vista” 1er Concurso de fotografía matemática

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882: C贸nicas parte I

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883: Cónicas parte II

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Cónicas, parte II Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Cónicas Nivel: Secundario, ciclo orientado (escuelas técnicas) Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se abordarán los siguientes aspectos: las cónicas como lugar geométrico y la construcción de cónicas mediante recursos “caseros”.

Objetivos de las actividades Promover la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares. Promover el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Objetivos pedagógicos Actividad 1: El método del jardinero 1) La elipse En grupos de a cuatro, organícense para producir una filmación del procedimiento que se utiliza para construir una elipse, aplicando el método del jardinero, que pudieron ver en la parte I. Cada uno tendrá una tarea.

Integrante 2: filmará todo el procedimiento. Integrante 3: irá relatando los pasos de la construcción y explicará por qué se construye de esa manera, indicando qué propiedad geométrica se cumple. Integrante 4: sacará fotos que muestren el procedimiento seguido. 2) La parábola

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883: Cónicas parte II Repitan la experiencia, pero esta vez para construir una parábola con un procedimiento similar al método del jardinero. Para ello necesitarán una placa de madera o similar (donde trazarán la curva), regla, escuadra, piolín, dos chinches y un marcador, y disponerlos como muestra la imagen.

3) La hipérbola Vuelvan a realizar la experiencia, pero esta vez para construir una hipérbola (primero una rama y después la otra). Para ello precisarán una placa de madera o similar (donde trazarán la curva), regla, piolín, dos chinches y un marcador, y disponerlos como se ve en la siguiente imagen.

Actividad de cierre de la actividad 1 Presentación de las filmaciones y de las fotos por parte de cada grupo.

Actividad 2: Plegados 1) Construyan una elipse, una parábola y una hipérbola mediante plegados de una hoja de papel, de modo que las cónicas queden como envolventes de una familia de rectas. Las siguientes imágenes pueden servir de ayuda. Elipse

Parábola

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883: Cónicas parte II

Se marca el punto F que será el foco. El borde inferior de la hoja jugará como directriz de la parábola. Hay que plegar ese borde haciéndolo coincidir con el punto F de todas las maneras posibles. Hipérbola

Sitios de interés y utilidad para el trabajo Las cónicas, simulaciones Construcción de una elipse, video en inglés Construcción de una parábola, video en inglés Trazado de una elipse con el método del jardinero y sus elementos principales, por Julio Ríos Trazado de una elipse con el método del jardinero y algunas de sus propiedades, por el Dr. Manuel Álvarez Construcción de la elipse con el método del jardinero, realizada con el programa GeoGebra Applets de cónicas

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884: Cónicas parte III

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Cónicas, parte III Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Cónicas Nivel: Secundario, ciclo orientado (escuelas técnicas) Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se abordarán los siguientes aspectos: las cónicas como secciones del cono y el uso del programa Winplot como herramienta.

Objetivos pedagógicos Secciones del cono con Winplot Pídanles a sus alumnos que se agrupen de a dos (si el número de alumnos es impar, que se forme un grupo de tres). Explíquenles que van a utilizar la aplicación Winplot para construir diferentes secciones del cono y que, para ello, deberán leer y seguir las indicaciones que se proponen a continuación, a manera de tutorial. Las actividades que deberán realizar están destacadas.

Actividad 1: Generación del plano de corte Realicen un plano con el que después cortarán un cono, y así podrán generar secciones cónicas.

En la ventana que se abre, observarán los tres ejes que describen el espacio tridimensional. En el menú Ecua (ecuaciones) de esa ventana, elijan la opción Plano.

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884: Cónicas parte III

En la ventana que aparece, hay que establecer los parámetros del plano.

Nota para el docente: Antes de comenzar con la ecuación del cono, si al docente le parece adecuado, podría aprovechar para explicar y experimentar con Winplot qué papel juega el vector dirección (a, b, c), y uno de los puntos del plano (k, m, n) en el gráfico obtenido. De esta manera, se propiciaría que los alumnos introduzcan valores adecuados para esos parámetros cuando busquen determinados planos de corte.

Actividad 2: Generación del cono Ahora es el turno de la ecuación del cono. Dada su simetría, conviene utilizar coordenadas cilíndricas, y así obtener un cono cuyo eje coincida con el eje z. Para eso, en el menú Ecua, seleccionen la opción Cilíndrica.

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884: C贸nicas parte III

Jueguen con esas teclas y podr谩n observar vistas similares a estas, entre otras:

Vista superior

Vista inferior

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884: Cónicas parte III

Actividad 3: Generación de otras secciones cónicas Ahora van a generar otras secciones cónicas. Para ello, será necesario inclinar el plano de corte de diferentes maneras. Eso se logra cambiando los parámetros a, b y c.

Actividad 4: Generación de otra superficie cónica Sabemos que para obtener una hipérbola como sección, será necesario contar con ambas superficies cónicas. Para lograrlo, basta con generar otro cono de ecuación z = –r, de la siguiente manera: en la ventana inventario, se selecciona la ecuación del cono z = r, se hace clic en el botón dupl (duplicar), y en la ventana que se abre se cambia r por –r.

Por ejemplo, las siguientes son un par de vistas obtenidas a partir de los parámetros: plano {[1,1,1];(0,0,1)}, z = r y z = –r.

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884: Cónicas parte III

Actividad de cierre Una vez que se hayan familiarizado con las diferentes situaciones, guarden en el servidor una presentación de cada una de las cuatro cónicas, indicando en cada caso los valores de los parámetros y el nombre de la sección cónica que se generó con ellos (no vale emplear ninguno de los ejemplos mostrados aquí).

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885: Cónicas parte IV

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Cónicas, parte IV Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Cónicas Nivel: Secundario, ciclo orientado (escuelas técnicas) Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se abordarán los siguientes aspectos: las cónicas como lugar geométrico y el uso de la aplicación GeoGebra como herramienta.

Objetivos pedagógicos Actividad 1: Trazado de la parábola a partir de su directriz y su foco 1) Abran la aplicación GeoGebra y realicen los siguientes pasos para trazar una parábola a partir de su directriz y su foco: a) Tracen una recta cualquiera, que será la directriz de la parábola, y luego un punto que no le pertenezca, que será el foco. Nómbrenlos de esa manera. b) Como la distancia de cada punto de la parábola a la directriz se mide con una perpendicular, marquen un punto P en la directriz, y tracen una perpendicular a ella que pase por P. Ese punto P se puede mover a lo largo de la directriz (pruébenlo). c) Ahora van a buscar un punto de modo que al moverse deje la traza de una parábola. Para pertenecer a ella, ya saben cuáles son las dos condiciones que debe reunir ese punto: estar a igual distancia del foco y de P, sea cual fuere la ubicación de P en la directriz; por lo tanto, ¿en qué recta estará el punto en cuestión? Discútanlo y tracen esa recta. d) Marquen el punto de intersección entre la recta que trazaron en el ítem anterior y la perpendicular a la directriz. LlámenloC. e) Muevan P. ¿Cuál es el punto que describe una parábola al moverse? Compruébenlo haciendo que muestre su rastro. f) ¿Qué sucede si cambian de lugar el foco? ¿Y si cambian la posición de la directriz? Pruébenlo. g) Guarden la construcción añadiendo una breve síntesis de los pasos que siguieron para hacerla.

Actividad 2: Trazado de la elipse como lugar geométrico 1) Sigan estos pasos con la aplicación GeoGebra para trazar una elipse entendida como lugar geométrico. 2) Decidan cuál será la longitud del eje de la elipse que contiene los focos; marquen con un punto A uno de sus extremos y con la herramienta tracen un segmento de esa longitud (por ejemplo, 8 cm). De esa manera, podrán mover el extremo A, pero el eje conservará la longitud que establecieron.

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885: Cónicas parte IV 3) Ubiquen uno de los focos en algún punto del segmento y llámenlo F. El otro foco es el simétrico de F con respecto al punto medio del segmento; entonces, para ubicarlo, obtengan el punto medio del segmento con la herramienta con la herramienta

, y luego el simétrico de F

. Así habrá quedado marcado F’.

4) Sabemos que la elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Esto significa que, en el ejemplo con el eje de 8 cm, si un punto está a 3 cm de F, para pertenecer a la elipse, debe estar a 8 cm - 3 cm = 5 cm de F’; en cambio, si está a 6 cm de F, debe estar a 2 cm de F’, y así con cada uno.

En el primer caso, para ubicar un punto que esté a 3 cm de F y a 5 cm de F’, basta con buscar la intersección de dos circunferencias, como se ve a continuación:

Los dos puntos rojos cumplen la condición, y por lo tanto pertenecen a la elipse que se quiere trazar. Entonces, hay que conseguir trazar dos radios cuya suma sea constante (en el ejemplo, sus longitudes tienen que sumar siempre 8 cm) y que se puedan modificar al moverse. En GeoGebra eso se consigue usando la herramienta deslizador

. Esta

herramienta permite modificar el valor de un número. Coloquen un deslizador llamado R1 y, para seguir con el ejemplo, hagan que varíe de 0 a 8 (o de 0 al valor que hayan tomado como longitud del eje). Ese será el radio de una de las circunferencias. 5) Tracen una circunferencia con centro en F y radio R1. Observen cómo varía su radio al mover el punto del deslizador. 6) Ahora, tracen la otra circunferencia con centro en F’. Para que se cumpla que la suma de los dos radios sea 8, el radio de esta debe ser 8 - R1. 7) Marquen la intersección de ambas circunferencias y hagan que los dos puntos, donde se cortan, muestren el rastro. 8) Muevan el punto del deslizador y observen: ¿se va trazando la elipse? ¿Qué pasa si cambian la posición de F? ¿Y si modifican la inclinación del eje que contiene los focos? (Para “embellecer” la construcción, pueden hacer que solo sean visibles los focos y los radios, y si lo prefieren, pueden hacer que junto a cada radio se vea su medida). 9) Hagan las modificaciones necesarias para que la longitud del eje que contiene los focos sea el doble y forme un ángulo de 45º con respecto a la horizontal. 10) Guarden la construcción añadiendo una breve síntesis de los pasos que siguieron para hacerla.

Actividad 3: Trazado de la hipérbola como lugar geométrico 1) Realicen estos pasos con la aplicación GeoGebra, para trazar una hipérbola entendida como lugar geométrico. 2) Marquen dos puntos –que serán los focos de la hipérbola– y llámenlos F y F’. 3) Sabemos que la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, cuya diferencia de distancias a los focos es constante. Decidan cuál será esa diferencia (por ejemplo, 2 cm). Esto significa que, en el caso de tomar 2 cm como diferencia, si un punto está a 5 cm de F, para pertenecer a la hipérbola, su distancia a F’ debe ser 5 cm - 2 cm = 3 cm; o bien 5 cm + 2 cm = 7 cm, como muestra la primera imagen. En cambio, si un punto de la hipérbola está a 6 cm de F, debe encontrarse a 4 cm o a 8 cm de F’ (como se ve en la segunda imagen), y así con los demás.

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885: Cónicas parte IV

Los puntos verdes pertenecen a la hipérbola que se quiere trazar, uno a cada rama en cada caso. Se puede trabajar de manera similar a como se hizo para trazar la elipse, pero con tres circunferencias en juego, como muestra esta imagen referida al primer ejemplo de los dos de arriba:

Esta vez, ya que las ramas de la hipérbola continúan en forma indefinida, en lugar de utilizar un deslizador, se usará una semirrecta con un punto que se mueva libremente sobre ella simulando un “deslizador”. Dibujen una semirrecta auxiliar y llamen O a su origen. Marquen un nuevo punto (Z) sobre ella (prueben que ese punto se puede deslizar libremente sobre la semirrecta). 4) Utilicen la herramienta que se muestra abajo para tomar la distancia desde O hasta Z.

5) Tracen una circunferencia con centro en F y radio distancia OZ. Observen cómo varía su radio al mover el punto Z. 6) Tracen una circunferencia con centro en F’ y radio distancia OZ + 2, y otra de radio distancia OZ - 2 (si es que tomaron 2 cm como diferencia; en el caso contrario, sumen y resten a la distancia OZ el valor que asignaron). Marquen las intersecciones de la primera circunferencia con cada una de las otras dos, pinten los 4 puntos con verde y activen su rastro.

8) Hagan las modificaciones que sean necesarias para que los focos estén sobre una vertical a 20 cm uno del otro, y de modo que la diferencia entre las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a los focos sea de 3 cm. 9) Guarden la construcción añadiendo una breve síntesis de los pasos que siguieron para hacerla.

Actividad 4: Las envolventes Realicen estos pasos con la aplicación GeoGebra para investigar envolventes de familias de rectas. Averigüen cuál es el lugar geométrico de las mediatrices de un segmento en los siguientes casos: 1) Cuando uno de sus extremos (P) se mueve sobre una recta.

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885: Cónicas parte IV

Para ello, tracen una recta, marquen un nuevo punto P en ella (prueben que P se pueda mover sobre la recta), marquen otro punto C que no pertenezca a la recta, tracen el segmento PC y su mediatriz, activen el rastro de la mediatriz y muevan el punto P. ¿Qué cónica se genera? 2) Cuando uno de sus extremos: P, se mueve sobre una circunferencia. Para ello, tracen una circunferencia, marquen un nuevo punto P en ella (prueben que P se puede mover sobre la circunferencia), marquen otro punto C que sea interior a la circunferencia, tracen el segmento PC y su mediatriz, activen el rastro de la mediatriz y muevan el punto P. ¿Qué cónica se genera? Modifiquen la ubicación del punto C de modo que sea exterior a la circunferencia y muevan el punto P. ¿Qué cónica se genera ahora? 3) Repitan los pasos 1 y 2 cambiando la mediatriz por una perpendicular al segmento en el punto P, y estudien los resultados. 4) Guarden los archivos de GeoGebra, peguen todas las imágenes con las respuestas en un archivo de algún procesador de textos y agreguen un análisis de los resultados obtenidos.

Bibliografía / Webgrafía recomendada Webs interactivas de matemática Estudio de las cónicas Cónicas y otras curvas Otros ejemplos para observar y analizar (Ver Tangencial) Radiofaros. Localización 1 Radiofaros. Localización 2 Las secciones cónicas

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780: Continuidad

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780: Continuidad límite de esa función en ese punto. La función

es discontinua en x = 2.

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886: Derivada de funciones compuestas y regla de la cadena

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Derivada de funciones compuestas y regla de la cadena Autor: Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección analizaremos cómo se derivan las funciones compuestas. En las actividades los alumnos aplicarán la regla de la cadena para derivar diferentes funciones compuestas. También podrán trabajar con algunas aplicaciones de las derivadas compuestas, al resolver situaciones de la vida real.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Comprendan la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. Analicen y comprendan por medio de problemas matemáticos las derivadas compuestas. Investiguen en distintas páginas de Internet para comprender el concepto de la regla de la cadena.

Actividad 1 1) Una bebida se saca de la heladera a una temperatura de 8 ºC, y se deja en una habitación en la que temperatura es de 22 ºC. Según la ley de enfriamiento de Newton (calentamiento sería en este caso el término apropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempo de acuerdo con la expresión:

T (t) = 25 – A . e -k.t con

A y k constantes y el t medido en minutos.

Para determinar la expresión anterior es necesario comprender cómo se deriva una función compuesta; para ello aplicaremos lo que se conoce como regla de la cadena. 2) Ingresen en los siguientes links, en los cuales se analizan cómo se aplica esta regla para derivar funciones compuestas: Cadena La regla de la cadena 3) A partir de lo observado, respondan las siguientes preguntas: a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 ºC, calculen el valor de las constantes A y k. b) Utilicen el programa GeoGebra para realizar un gráfico de la función T (t); para t ≥ 0 .Y encuentren la expresión de la rapidez instantánea de calentamiento de la bebida. c) Encuentren el instante en que esa rapidez es máxima y el instante en que es la mitad de la máxima. d) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora?

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886: Derivada de funciones compuestas y regla de la cadena e) Expliquen con sus palabras para qué sirve la regla de la cadena. Intenten explicar cómo se aplicó esta regla para determinar la velocidad de cambio de temperatura en la bebida. f) Escriban dos o tres ejemplos de funciones compuestas y hallen sus derivadas aplicando la regla de la cadena. Junto con el docente y sus compañeros, discutan los ejemplos propuestos.

Actividad 2 1) Calculen la derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena: a) f (x) = ln (x 2 + 3x + 1) b) f (x) = ln (sen (3x 2 + 3)) c) f (x) = e -(5x + 1) d) f (x) = cos (2x 3 – 5) e) f (x) = 1 / ln (x + 1) f) f (x) = ln ((x - 1) / (x + 1)) 2) Hallen la derivada de cada función y evalúenla cuando x = 0 a) f (x) = e (x + 1) b) f (x) = sen (cos (3x 4 + 8)) c) f (x) = ln (3x 2 + 9 / 5x – 5) d) f (x) = e sen (2x + 7)

Actividad de cierre Problemas de aplicación: 1) Una empresa textil produce tejidos de algodón. El costo de fabricación (en miles de pesos) depende de la cantidad de tela fabricada (metros cuadrados) según la siguiente función: C (x) = 20.000 + 20 .ln (1 + 0,5x), donde C es el costo de fabricación, que depende de la cantidad de tela fabricada, y x representa la cantidad de tela en metros cuadrados. a) Calculen la derivada de la función de C (x) y su valor en: x = 20.000 m 2 , 40.000 m2 , 60.000 m2 para observar cómo varía su costo a medida que se produce más tela. (Nota: en economía, se llama función de costos marginales a la derivada de la función de costos). b) Si la empresa produce 20.000 m2 de tela, ¿cuánto le costaría producir un m2 adicional? Comparen este resultado con el valor del costo marginal para x = 20.000. 2) La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función: V (t) = ln (4x 2 – 16). Donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comenzó el estudio (t = 0). a) Indiquen los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece o decrece.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Derivadas: regla de la cadena 11 - Derivadas: Regla de la cadena La derivada y sus aplicaciones Regla de la cadena

Webgrafía recomendada Regla de la cadena, Wikipedia Regla de la cadena, PDF

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887: Derivada de funciones y reglas de derivación

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Derivada de funciones y reglas de derivación Autores: Sebastián Vera, Javier Peña, Daniel Brizuela, Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Reglas de derivación. Derivada del producto de una constante por una función. Derivada de la suma y resta de dos funciones. Derivada de un producto de dos funciones. Derivada de un cociente de dos funciones. Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección desarrollaremos las reglas de derivadas para distintas funciones derivables. Además, se pretende que el alumno reconozca y comprenda la diferencia de derivar una función por definición o por medio de dichas reglas, para así estudiar su utilidad.

Objetivo de las actividades En estas actividades introduciremos las reglas de derivación mediante una serie de videos que explican cómo se obtienen, con la idea de entender el porqué de su aparición (suma, resta, multiplicación y división de funciones derivables). Por otro lado, se intentará relacionar e interpretar la utilidad de derivadas por medio de un problema usando las reglas de derivación.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Desarrollo de la actividad 1) Junto con el docente, analicen los siguientes videos Derivadas: Demostraciones 1 y 2 Derivadas: Demostraciones 3 y 4 Reglas de las derivadas 2) Utilizando el procesador de textos que tienen en sus equipos portátiles, realicen las siguientes consignas. a) Redacten de forma clara el concepto de derivadas que nos brinda el video y saquen conclusiones de lo analizado en los tres videos. b) ¿Cuál es la derivada de una constante? ¿Por qué? 3) Realicen un apartado para mostrar la diferencia que hay entre derivar por medio de las reglas y hacerlo por definición de derivadas. Para ello, construyan una tabla de dos columnas: en la primera escriban la demostración de cada propiedad; en la segunda, las reglas de derivación de cada propiedad acompañada de ejemplos (pueden ser de ejercicios de libros, páginas o videos que estén en Internet). 4) Investiguen en Internet, si tienen acceso, o en otras fuentes, quiénes desarrollaron las herramientas del cálculo para derivar. ¿Para qué las necesitaban?

Actividad 2 El desplazamiento de un móvil a lo largo de una recta viene dado por la siguiente función: S(t)= 3t – t 2 (en el instante t=0 el punto se

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887: Derivada de funciones y reglas de derivación encuentra en el origen). 1) Hallen la velocidad del movimiento del móvil para los instantes t=1 y t=2. a) Grafiquen la función S(t) y su derivada. Para ello pueden utilizar el programa graficador (Geogebra), que se encuentra en sus equipos portátiles, y si tienen acceso a Internet, pueden utilizar este tutorial que los ayudará a graficar. 2) Encuentren la relación gráfica entre la pendiente de la recta tangente y ambos gráficos usando las herramientas que les brinda el programa graficador.

Actividad 3 1) Aplicando las propiedades analizadas en la actividad 1, deriven las siguientes funciones. Como ayuda, pueden utilizar la tabla de derivadas construida por ustedes.

2) Utilizando el programa graficador, verifiquen las derivadas calculadas en el punto anterior. Para ello, grafiquen cada función y su correspondiente derivada. Si tienen acceso a Internet, pueden utilizar este tutorial que los ayudará a comprender cómo se grafica y se obtiene la derivada de una función.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Derivadas: introducción y definición Derivada Reglas de derivadas Reglas de derivación

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888: Derivada segunda de una función

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Derivada segunda de una función Autores: Rodrigo Weber y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, derivada segunda, puntos de inflexión Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección trabajaremos con el concepto de derivada segunda y el análisis completo de funciones, dentro del marco de la resolución de problemas y de la modelización de situaciones reales relacionadas a la matemática.

Objetivo de las actividades Que los alumnos: Analicen y comprendan el concepto de la derivada segunda. Analicen situaciones y resuelvan problemas para comprender la utilidad de la derivada segunda de una función. Interpreten la noción de derivadas y el estudio completo de una función, ya sea analítica como gráficamente por medio de ejercicios de aplicación.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f’ (cuyo dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de f). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f’, y da lugar a otra función f’’ cuyo dominio consiste en todos los puntos x tales que f’ es derivable en x. A esto se le da el nombre de derivada segunda, y su notación es f’’. 1) Visiten los siguientes links para comprender y profundizar más sobre el tema: Derivada - Wikipedia, la enciclopedia libre Derivadas, aplicaciones, optimización a) A partir de lo visto en los links anteriores, encuentren la derivada primera y derivada segunda de las siguientes funciones. f (x) = 2x2 - x + 1 f (x) = x 3 + 2x2 - x + 1 f (x) = (x + 1) 2 x2 + 1 f (x)= (x - 2) 3 c) Utilizando el programa Geogebra instalado en sus equipos portátiles grafiquen cada función y sus derivadas primera y segunda, en un mismo sistema de ejes cartesianos.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4211[05/02/2011 18:47:49]

888: Derivada segunda de una función d) Analicen y clasifiquen los intervalos de crecimiento y decrecimiento, mínimos, máximos y ceros de cada función del punto anterior.

Actividad 2 1) Analicen y resuelvan las siguientes situaciones problemáticas: a) Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x) = -0,002x2 + 0,8x - 5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte una cierta cantidad x. Determinar teniendo en cuenta que disponemos de $500. Entonces, si disponemos de $500 para invertir. Respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuándo aumenta y cuándo disminuye la rentabilidad? b) ¿Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible? c) ¿Cuál será el valor de dicha rentabilidad? e x, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallen: a) ¿En qué momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calculen dicha velocidad? b) ¿En qué períodos ganó velocidad y en cuáles redujo? ¿Se detuvo alguna vez? 3) La cantidad de agua recogida durante 2002 (en millones de litros), en un pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión:

Respondan: a) ¿En qué período de tiempo aumentó la cantidad de agua recogida? b) ¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? c) ¿Cuál fue esa cantidad máxima?

Actividad de cierre La aplicación de la primera y de la segunda derivada son de gran utilidad para el análisis completo de las funciones en general, y ayudan a obtener un gráfico exacto de dicha función, con máximos, mínimos, crecimiento, decrecimiento, ceros, etcétera. 1) Visiten los siguientes links para comprender cómo se aplica este análisis: Análisis de funciones Criterio de la segunda derivada a) A partir de lo visto en las páginas anteriores, analicen por completo las siguientes funciones:

a) f (x) = x 2 - 5x + 7 x -2

b) f (x) = - 2x2 - 3x + 1 c) f (x) = x 4 - 2x2 d) f (x) =; x + 4 x -2 2) Hallen: a) Dominio y puntos de cortes con los ejes coordenados. b) Asíntotas (si es que existen) c) Primera y segunda derivada. d) Puntos críticos. e) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. f) Valores extremos. g) Concavidad. h) Puntos de inflexión. i) Gráfico de la función (utilizando Geogebra).

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Derivadas Funciones en varias Variables y diferenciación

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888: Derivada segunda de una función Derivadas primera y segunda de una función Derivada de una función Derivada - Wikipedia, la enciclopedia libre Índice de la unidad didáctica Análisis de funciones

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889: Derivadas

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Derivadas Autor: Sebastián Vera, Javier Peña, Daniel Brizuela y Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Derivadas por definición Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta sección caracterizaremos aquellas funciones cuyo gráfico es suave. Esto es, aquellas funciones cuyo gráfico no tenga picos o vértices (ejemplo de una función cuyo grafico tiene un pico en x=0 es la función módulo). Desde un punto de vista geométrico, ser suave en un punto significa que es posible graficar una recta tangente al gráfico de la función en dicho punto. Las funciones suaves son las que llamaremos derivables. Para comprender mejor este concepto, observaremos los videos presentados a continuación. 1) Derivadas 2) Concepto de derivadas

Objetivos de las actividades Introducir en el concepto de derivada usando su definición. Interpretar gráficamente la definición de derivada. Determinar gráficamente en qué puntos no es derivable una función. Relacionar e interpretar situaciones problemáticas asociadas a derivadas en un punto para comprender el uso de la herramienta matemática. Integrar y relacionar continuidad de una función con derivadas en un punto.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Para las funciones dadas: i. f(x)= 2x-7 en (2;-3) ii. f(x)= x 2 en (2;4) iii. f(x)=(x+2) 1/2 en (2;2) a) Utilicen la definición de derivada para hallar el valor de la pendiente de las rectas tangentes a las gráficas de cada curva en los puntos que se indican. b) Hallen la ecuación de la recta tangente. c) Grafiquen las curvas y las rectas tangentes. Pueden graficarlas, desde su equipo portátil, utilizando el programa generador de gráficos (Winplot), que tienen instalados en sus equipos portátiles, para poder representar las funciones en el eje de coordenadas. d) Estimen el valor de las funciones en x=2+1/13 utilizando la ecuación de la recta tangente.

Actividad 2 En cada gráfico:

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889: Derivadas a) Determinen los puntos donde la función no es derivable. Expliquen por qué. b) Determinen los intervalos donde f’(x)>0.

Actividad de cierre Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se les pide que: a) verifiquen que la población es función continua del tiempo; b) grafiquen la función utilizando el programa generador de gráficos (Winplot), que tienen instalado en sus equipos portátiles, y verifiquen el resultado del punto anterior; c) calculen la tasa de variación media de la población en los intervalos [0,2] y [0,4]. d) calculen la tasa de variación instantánea en t=4.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Derivadas (Youtube) Derivada (Wikipedia) Winplot

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812: Divisibilidad

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Objetivos de las actividades Reconocer múltiplos y divisores. Utilización de números primos y compuestos. Saber calcular el m. c. m. y m. c. d. para la resolución de problemas.

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812: Divisibilidad 148 y 156 -600 y 1000 7) En grupos de cuatro o cinco y utilizando el procesador de textos disponible en los equipos portátiles, realicen la siguiente tabla y completen con una cruz según corresponda (usen criterios de divisibilidad): … es múltiplo de … n.º

210 450 777 2520

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo M. C. D. M. C. M. Múltiplo de un número Divisores de múltiplos naturales

Webgrafía La enseñanza de la divisibilidad Divisibilidad

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890: Divisibilidad y factores de un polinomio

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Divisibilidad y factores de un polinomio Autores: Sebastián Vera, Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Divisibilidad entre polinomios. Factores de un polinomio. Teorema de Ruffini y teorema del resto Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos sobre la división entre polinomios y la obtención de factores también entre polinomios. En la primera actividad se propone que los alumnos retomen el algoritmo de la división para encontrar otras formas de escritura de algunos polinomios y reconozcan que un polinomio se puede escribir como producto de otros de menor grado. En la segunda actividad se busca formalizar el concepto de factorización de polinomios mediante la división exacta. En la actividad de cierre los alumnos trabajarán con el Teorema de Ruffini y el Teorema del Resto.

Objetivos de las actividades Reconocer las relaciones involucradas entre los polinomios que intervienen en el algoritmo tradicional de división. Abordar la noción de expresión polinómica equivalente. Abordar las posibilidades de expresión de un polinomio como producto de otros. Aplicar y analizar el Teorema de Ruffini y el Teorema del Resto para analizar diferentes situaciones.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 La división es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). Por ejemplo: si queremos resolver 10 : 3, aplicando el algoritmo de la división tenemos:

Este algoritmo nos permite expresar el número 10 de la siguiente forma: 10 = 3 • 3 + 1 1) Realicen las siguientes divisiones y escriban el dividendo aplicando el algoritmo de la división: a) 15 : 4 = b) 100 : 31 = c) 120 : 4 = d) 1280 : 2 =

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890: Divisibilidad y factores de un polinomio 2) El algoritmo de la división se puede aplicar cuando tenemos que dividir dos polinomios. Completen el siguiente cuadro dividiendo los polinomios que figuran en el mismo: Polinomio dividendo

Polinomio divisor

Polinomio cociente

Polinomio resto

P(X)

C(X)

Q(X)

R(X)

x2 - 1

x +1

x 3 - 2x + 1

x 4 -3x + 2

x -1

3) Utilizando el algoritmo de división, escriban de otra forma los polinomios de la primera columna (polinomios dividendos). Empleen las calculadoras científicas instaladas en sus equipos portátiles para realizar los cálculos. 4) Completen el siguiente cuadro. Coloquen en los espacios en blanco los polinomios correspondientes: Polinomio dividendo

Polinomio divisor

Polinomio cociente

Polinomio resto

x -3

x2 - 2

x 2 + 2

x2 - x

-3

x 2 - 4x + 3

5) ¿Que relación observan entre el grado del polinomio dividendo y el grado de los demás polinomios? 6) ¿En qué casos fue posible escribir al polinomio como producto de otros dos? ¿Qué relación peden observar con lo realizado en el ítem 1? 7) Investiguen en Internet o en otras fuentes especializadas qué significa “factores de un polinomio”. Una vez leída la información, relaciónenla con lo obtenido en el ítem anterior.

Actividad 2 1) Indiquen si cada afirmación es verdadera o falsa y justifiquen su respuesta. a) (x - 1) es un factor de (x 3 + 2x - 3). b) (x 4 + 3x2 - 4) se escribe como producto de (x + 1) por algún otro polinomio. c) (x 2 + 3x - 1) es factor de (x 3 + 3x2 - x). d) El resto de dividir (x 4 - 16) por (x - 2) es cero. 2) Relacionen los polinomios de la columna izquierda con los de la columna de derecha, de modo que estos resulten factores de los primeros. Justifiquen su elección.

2) ¿Existe un polinomio k(x) tal que: 6x6 - 9x4 + 10x 2 - 15 = k(x) (2x 2 - 3)? 3) Completen con otro polinomio la línea punteada de manera que se cumpla la siguiente igualdad para todo valor de x: 2x 3 - 18x 2 + x - 9 = (2x 2 + 1) ________________ ¿Se podrá utilizar otro polinomio en vez del elegido? Comparen sus resultados con los demás compañeros. 4) Discutan junto con el docente sobre las ventajas y aplicaciones de expresar un polinomio como producto de dos o más polinomios.

Actividad de cierre En la división de polinomios el divisor puede ser un binomio de primer grado de la forma (x - a) o (x + a). Siendo a un número entero, por ejemplo (x+3) o (x - 3); (x+5) o (x - 5); (x +100) o (x-100) etc. Cuando tenemos este tipo de divisores, la división puede

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4213[05/02/2011 18:48:21]

890: Divisibilidad y factores de un polinomio hacerse de la misma forma que lo hicieron en las actividades anteriores o aplicando el Teorema de Ruffini. 1) Ingresen a los siguientes links para comprender cómo funciona este método: Regla de Ruffini Regla de Ruffini, en vitutor 2) Luego de visitar los links, realicen la siguiente actividad: dividan los polinomios presentados a continuación aplicando el Teorema de Ruffini y verifiquen los resultados utilizando el algoritmo de división. a) (x 3 - 5x - 1) : (x - 3) = b) (x 6 - 1) : (x + 1) = c) (x 4 - 2x3 + x 2 + x - 1) : (x - 1) = 3) Para cada una de las divisiones anteriores, observen qué sucede si reemplazan la variable x de cada uno de los polinomios dividendos por el número que anula al polinomio divisor. Por ejemplo, el número que anula al polinomio divisor (x - 3) es 3, porque si reemplazamos la x por el número 3 obtendremos el siguiente polinomio: (3 - 3) = 0. Comparen los resultados obtenidos con los restos que obtuvieron al aplicar el Teorema de Ruffini. 4) El ejercicio realizado en el ítem 3 es la aplicación del Teorema del Resto. Este teorema les permite averiguar el resto de la división de un polinomio P(x) entre otro de la forma x - a o x + a sin necesidad de efectuar la división. Ingresen a los siguientes links para profundizar sobre la aplicación de este teorema y discutan lo analizado junto con su docente: Teorema del Resto Formas de factorizar un polinomio

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Expresiones algebraicas Definición y ejemplos de polinomios Teorema del resto Algoritmo de la división Regla de Ruffini Teorema del Resto

Webgrafía recomendada División (matemática), en Wikipedia Raíces de polinomios Matemática polimodal Regla de Ruffini

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814: Ecuación de la circunferencia

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Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos la ecuación de la circunferencia teniendo en cuenta su centro y su radio.

Centro

Radio

(0; 0)

Ecuación

5) Escriban la ecuación de la circunferencia que figura a la izquierda de la pantalla, debajo del título objetos dependientes. a) ¿Cómo será la ecuación de la circunferencia si el radio es 5?

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4137[05/02/2011 18:48:33]

814: Ecuación de la circunferencia

Centro

Radio

(0;3)

(0;-3)

(4;0)

(-4;0)

Ecuación

, y hagan clic sobre la opción

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814: Ecuación de la circunferencia

b) ¿A qué distancia está cada uno de los puntos del centro de ambas circunferencias? ¿Por qué?

Webgrafía recomendada Ecuación de la circunferencia

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816: Ejes cartesianos y lectura de gráficos

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816: Ejes cartesianos y lectura de gráficos

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4139[05/02/2011 18:48:44]

816: Ejes cartesianos y lectura de gráficos

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Localización de coordenadas con valores enteros Coordenadas cartesianas

Webgrafía recomendada Coordenadas cartesianas Videotutoriales de GeoGebra

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818: El caleidoscopio y las simetrías

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Introducción a las actividades Actividades para descubrir imágenes simétricas y movimientos en el interior del caleidoscopio.

Objetivos pedagógicos

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818: El caleidoscopio y las simetrías conseguir distintos tipos de efectos. El caleidoscopio moderno fue inventado en 1816 por el físico escocés David Brewster. Materiales necesarios: 3 espejos de forma rectangular (aproximadamente de 4 cm x 20 cm); cinta adhesiva; papelitos de distintos colores o lentejuelas; 1 hoja de papel de calcar n.º 3; 1 hoja canson n.º 5 de color oscuro. Procedimiento:

3) Peguen el triángulo de papel de calcar en una de las bases. Por el extremo abierto, coloquen las lentejuelas o papelitos de distintos colores, como se ve en la imagen.

4) Realicen un orificio en el centro del triángulo de cartulina que pegaron en la otra base. Vean la imagen siguiente.

5) Orienten el caleidoscopio hacia una fuente de luz, muévanlo lentamente, observen por el orificio y… ¡a asombrarse!

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818: El caleidoscopio y las simetrías

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820: Expresiones algebraicas

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822: Expresiones decimales finitas y periódicas

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Actividad 1 Sabemos que toda fracción puede escribirse como un número decimal, para ello solo hay que dividir el numerador por el denominador de dicha fracción. Por ejemplo:

(Compruébenlo haciendo la división entre el numerador y el denominador.)

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822: Expresiones decimales finitas y periódicas

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Números decimales Números decimales, en Descartes Decimales Matemática 2, unidad 1 – Números decimales

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4145[05/02/2011 18:49:16]

822: Expresiones decimales finitas y peri贸dicas

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4145[05/02/2011 18:49:16]

824: Fracciones y expresiones decimales

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2) Junto con su docente discutan las siguientes cuestiones: a) ¿En qué se diferencian las expresiones decimales obtenidas en cada fracción?

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824: Fracciones y expresiones decimales

Actividad 2 1) Construyan la siguiente tabla en el programa de hojas de cálculos, instalado en sus equipos portátiles, y completen las filas que faltan:

Fracción

Significado

Resultado

19 : 90

0,21111…

17 : 10

1,7

10 : 33

0,3030…

Notación

Tipo de expresión decimal

periódica mixta

1,7

exacta

periódica pura

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824: Fracciones y expresiones decimales

Webgrafía recomendada Números decimales, un poco de historia

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782: Función cuadrática en el básquet

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http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4105[05/02/2011 18:49:37]

782: Función cuadrática en el básquet la trayectoria en función de ellos.

, que se

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Efdeportes

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784: Función exponencial

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http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4107[05/02/2011 18:49:48]

784: Función exponencial b) ¿Cuántas se sumarán durante la primera hora, a partir de los 64 ejemplares? ¿Y en la segunda hora? ¿Y en la tercera? c) Encuentren una expresión que permita calcular, sabiendo el tiempo medido en minutos, qué cantidad de ejemplares (bacterias) se tendrán, o viceversa. d) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que haya 22.768 ejemplares? e) Representen gráficamente con el programa Geogebra la expresión hallada en el ítem c.

0 hs.

1 hs.

2 hs.

3 hs.

4 hs.

5 hs.

6 hs.

7 hs.

8 hs.

9 hs.

10 hs.

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891: Función exponencial parte

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Función exponencial, parte 2 Autora: María Laura Latorre Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Función exponencial Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará con algunas aplicaciones de la función exponencial: interés compuesto (actividad 1) y un modelo de crecimiento (actividad 2).

Objetivos pedagógicos Requisitos previos para realizar las actividades Conocer el comportamiento de la función exponencial y tener ideas básicas sobre el uso del programa Geogebra.

Actividad 1 Se trabajará con un problema de interés compuesto tomado del Programa para la Evalución Internacional de Alumnos (PISA) para alumnos de 15 años. No se plantea para evaluar su resolución, se lo propone para interpretar la fórmula de la función que da el capital acumulado.

Para los alumnos Problema: se depositan $1.000 en la caja de ahorros de un banco. La cuenta tiene dos opciones: obtener un interés anual del 4% u obtener de manera inmediata un incremento de $10 en lo depositado y un interés anual del 3%. El archivo que se bajaron, de Geogebra, muestra la función que da el capital acumulado con una de las opciones anteriores. 1) Busquen la fórmula de la función g para la otra opción y graficar. 2) Indiquen cuál es más conveniente en

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4214[05/02/2011 18:49:58]

Para responder las preguntas anteriores pueden trabajar con este archivo y seguir los pasos que se indican o buscar otros recursos de Geogebra que permitan encontrar las respuestas: Interés compuesto. En la barra de Entrada ingresen la fórmula de la función pedida usando el comando función (se escribe su fórmula y el intervalo en el que se graficará): función [fórmula, 0, 10].

891: Función exponencial parte estos dos momentos: al cabo de un año y al cabo de 2 años. Hagan clic en el botón

Zoom de

Acercamiento, coloquen el puntero en algún punto de la función f y hagan clic dos o tres veces. Hagan clic en la casilla de control:

Años.

Se verá un segmento graduado que facilita la lectura de los años indicados en el eje x. 3) Después de visualizar gráficamente qué ocurre al cabo de un año, pueden buscar los valores para x = 1 en cada función.

En barra de Entrada pueden ingresar cada uno de estos puntos: (1, f(1)) y (1, g(1)). Clic en Vista, Vista Algebraica y observen las coordenadas de los puntos ingresados.

4) Después de visualizar gráficamente

Pueden trazar el segmento que tiene sus

qué ocurre al cabo de dos años, pueden

extremos en los puntos (2, f(2)) y (2, g(2)).

calcular la diferencia entre el valor que se obtiene con una opción y el que se obtiene con la otra.

Hagan clic en sus Propiedades, tilden Muestra Rótulo y clic en Valor, y observen su longitud.

Finalmente, les pueden proponer a sus alumnos que relacionen los parámetros analizados en la secuencia “Función exponencial, parte 1” con la fórmula que da el capital acumulado al cabo de x años a una tasa de interés anual r (tanto por uno): C = C 0 (1 + r/n)^(nx), siendo C 0 el capital inicial y n el número de períodos anuales en los que se abonan los intereses (bimestral, trimestral…). Para trabajar con el interés puede ser útil el siguiente sitio: Matemática financiera (hacer clic en Glosario y Simulador).

Actividad 2 Se trabajará con la fórmula matemática del modelo de crecimiento de Von Bertalanffy. Para los alumnos Abran el siguiente archivo: Talla Se han graficado dos funciones (f y g) que permiten estudiar el crecimiento en función del tiempo de dos especies de peces. 1) Indiquen cuál es la longitud máxima aproximada que alcanza cada especie. 2) Indiquen cuál es el tiempo de vida estimado en cada caso. Hagan clic en Vista, Vista Algebraica y analicen las fórmulas de las funciones. Grafiquen otra función cuya fórmula tenga la misma forma que las de f y g, y que cumpla estas condiciones: La longitud máxima aproximada de 40 cm. El tiempo de vida estimado de 2 años. La constante que multiplica el exponente igual a -3.

Sitios de interés y de utilidad para el trabajo El modelo de crecimiento de von Bertalanffy Período de semidesintegración Radiactividad Datación por carbono 14

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786: Función inversa

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Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará sobre la aplicación de la función inversa.

Actividad 2 a) Dadas las siguientes funciones, calculen la función inversa y hallen su dominio.

b) Graficar con Winplot cada funcion y su inversa en un mismo sistema de ejes cartesianos.

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786: Función inversa

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Funciones inversas, ejercicio, en YouTube Fución inversa, en YouTube Función recíproca, en Wikipedia Función inversa Función inversa

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788: Función trigonométrica

Introducción al modelo 1 a 1

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788: Función trigonométrica c) f(x) = sen (4x + p), tiene por ángulo de fase a p. d) f(x) = cos(2x + 2p), tiene por ángulo de fase a 2p. e) f(x) = cos(x - 6), está desplazada 6 unidades hacia abajo. 2) El péndulo de un reloj se mueve periódicamente y se separa 5 cm de la vertical. La ecuación que describe el movimiento es: S(t)= 5 sen 4 pt, esta ecuación representa la distancia de la pesa a la vertical, en función del tiempo (t).

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Introducción trigonometría Apuntes de trigonometría

Webgrafía recomendada Función seno Función trigonométrica, en Wikipedia Trigonometría, en monografias.com

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790: Funciones polinómicas

Introducción al modelo 1 a 1

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790: Funciones polinómicas demás grupos. d) Utilicen el programa Geogebra para realizar un gráfico que muestre la dependencia del volumen de la caja en función de la longitud del lado del cuadrado cortado.

= -1,

-2 y

2. Dar el conjunto de positividad y el de negatividad de la función graficada.

b) Tal que tenga al menos dos raíces en el intervalo (1,4) y

. Dar el conjunto de positividad y el de negatividad de la función

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Factorización de polinomios Teorema del factor Funciones polinómicas Introducción a las funciones en Geogebra Funciones Geogebra

Bibliografía / Webgrafía recomendada Polinomios Kaczor, P. y otros. Matemática I Polimodal. Santillana. Buenos Aires, 1999.

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790: Funciones polin贸micas

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826: Homotecia

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Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan homotecias de razones positivas y negativas. Compongan movimientos rígidos.

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826: Homotecia

Actividad 3 1) Dibujen la siguiente figura en el programa GeoGebra:

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826: Homotecia

a) Aplíquenle: Una homotecia con centro O y una razón de 3/2. Una homotecia con centro O y una razón de -5/2.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Homotecia y semejanza 2 Homotecias Animaciones en GeoGebra: Ejemplo 5 (Homotecia) Homotecia y propiedades con GeoGebra

Webgrafía recomendada Homotecia Homotecia 1 Homotecias

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892: Identidades trigonométricas

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Inicio - Matemática / Ciclo orientado PDF

Identidades trigonométricas Autor: Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Identidades trigonométricas Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En las siguientes actividades se pretende comprender el concepto de identidades trigonométricas mediante el análisis de las razones trigonométricas.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan, analicen e interpretar las razones trigonométricas y verifiquen su existencia. Interpreten la noción de identidades trigonométricas y que las resuelvan analíticamente.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Las identidades trigonométricas son igualdades en las cuales aparecen razones trigonométricas y resultan verdaderas para cualquier valor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. a) Visiten el siguiente link para refrescar sus conocimientos sobre las razones trigonométricas que se cumplían en un triangulo rectángulo: Razones trigonométricas de ángulos agudos b) Podemos relacionar las razones trigonométricas a través de igualdades, llamadas identidades trigonométricas. Visiten los siguientes links para conocer cómo se obtienen estas identidades: Identidades trigonométricas Teorema de Tales c) Demuestren que las siguientes igualdades son válidas tomando como valor del ángulo beta 30º y 45º. Utilicen la calculadora científica instalada en los equipos portátiles para verificar los cálculos que realicen. ● tg 2 β - sen2 β = sen2 β sec2 β cosec 2 β ● (1 - cos2 β) . (1 + tg 2 β ) . cotg β = tg β ● Sec 2 β = (sec 2 - 1) . cosec 2 β ● 1 + tg 2 β = sec2 β

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892: Identidades trigonométricas

● 1 + cotg2 β = cosec 2 β

Actividad 2 1) Verifiquen las siguientes igualdades entre las identidades trigonométricas:

● (cotg β - cosec β) . (1 + cos β) = - sen β ● Sec 2 β = (sec 2 - 1) . cosec 2 β ● Cos β . (tg β + 1) = sen β + cos β ● Sec 2 β = (sec 2 β - 1) . cosec 2 β ● Sec 2 β = (sec 2 β - 1) . cosec 2 β 2) Elijan las expresiones que resultan identidades trigonométricas. Justifiquen su respuesta:

a) cos2 β = 1 - sen2 β b) Sen β + cos β = tg β c) Tg β . cotg β = 1 d) Sen β = 1 - cosec β e) Cos β = 1 sec β

Actividad de cierre 1) Vean el siguiente video: Trigonometría a) Luego, expliquen con sus palabras qué razones trigonométricas usó el matemático griego Eratóstenes para calcular la circunferencia de la Tierra hace aproximadamente 22 siglos. b) Mencionen en qué otros casos se pueden aplicar estas razones y muestren algunos ejemplos de aplicación.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Apuntes de trigonometría Resumen de identidades trigonométricas Ejercicios de identidades trigonométricas Identidades de trigonometría Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales Identidades trigonométricas

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893: Introducción a las funciones homográficas

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Introducción a las funciones homográficas Autor: Rodrigo Weber Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: estudio de funciones homográficas. Dominio e imagen de la función. Obtención de las fórmulas de las asíntotas horizontales y verticales Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En estas actividades se pretende explorar la función homográfica desde varios puntos, desde su expresión general y sus aplicaciones hasta por problemas relacionados con la vida cotidiana y, además, analizar su gráfica utilizando el programa Geogebra.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Reconozcan por distintas vías los usos de la función homográfica. Analicen analítica y gráficamente la función homográfica. Interpreten situaciones problemáticas vinculadas a la función homográfica. Utilicen funciones para modelizar fenómenos del mundo real.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Analicen la siguiente situación: Juan Alberto Fatiga inauguro un local de colchones de muy buena calidad, y para tener un control de las ventas, le pidió a un amigo matemático y economista que le confeccione una fórmula matemática que le sirva para poder estimar la demanda de colchones que podría tener por mes. Es decir, para saber cuántos colchones podría vender en función de su precio. La fórmula es: D = Demanda de colchones p = Precio de un colchón D (p) = 100 - 2

1+p a) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen la función D(p). b) ¿Cuál es el dominio de esta función? c) Observen el gráfico: ¿qué pasa con el sentido económico de la demanda de colchones Juan Alberto? Discutan junto con el docente sobre la validez que tendría el grafico en la vida real. ¿Qué condiciones deberían tener en cuenta para que el grafico se corresponda con nuestro problema? d) La función D(p) corresponde a un tipo de funciones denominadas homográficas o racionales. Para saber más sobre ellas visiten el

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893: Introducción a las funciones homográficas siguiente link. e) A partir de lo visto en el link anterior, expliquen con sus palabras qué es una función homográfica y cuál es su expresión general. f) Si observamos el gráfico realizado en el ítem a, ¿qué pasa con el precio del producto? ¿Y con la cantidad de artículos que se venden? g) ¿Qué sucede cuando el precio es igual a 49? h) ¿Cuál debe ser el dominio de nuestra función para que coincida con la función de demanda D(p)? Grafiquen con Geogebra.

Actividad 2 1) ¿Cómo se relacionan el desempleo y los salarios? Cuando se quiere entender fenómenos tan complejos como las relaciones económicas en una sociedad, muchas veces se recurre a la ayuda de la matemática para crear un modelo teórico que refleje de alguna manera la realidad. Un trabajo de investigación realizado en 1958 por el economista neocelandés A. W. H. Phillips (1914-1975) encontró una relación entre el desempleo y los sueldos, y a su vez propuso una función matemática para explicar este proceso: Y = -1,4 x + 8,2

x Donde Y es el porcentaje de aumento o reducción del sueldo y x es la tasa de desempleo. a) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, realicen un gráfico con de la función anterior. b) A partir del gráfico realizado, discutan junto con el docente las siguientes cuestiones: ¿Qué ocurriría si el desempleo fuera nulo? ¿Qué significa que la tasa de variación de los salarios sea negativa? ¿Cuál es la interpretación de la asíntota horizontal de la función? ¿Tiene sentido que el valor de x sea negativo? c) Los coeficientes de esta función racional varían con las características de cada país. Suponiendo que el nuestro sea: Y = -2 + 6/x Utilizando el programa Geogebra, realicen el gráfico de la función. ¿Cuál es la asíntota horizontal? ¿Cuál es la tasa natural de desempleo?

Actividad de cierre 1) En una sodería llamada Sodomax están tratando de minimizar los tiempos de producción, y observaron que uno de los grifos con un caudal de 15 litros por minuto tardó 16 horas en llenar un depósito. Por lo tanto, la idea es tratar de averiguar cuánto habría tardado si el caudal hubiera sido mayor o menor, es decir, si los litros de líquido superan los 15 litros o son inferiores a ellos. a) Si el caudal es mayor, ¿tardará más o menos en llenar el depósito? b) Con los datos del problema, hallen el volumen del depósito. c) Hallen una expresión que permita calcular el tiempo que demorará en llenarse el depósito con cualquier caudal que se nos ocurra. d) Utilizando el programa Geogebra, realicen un gráfico con la expresión hallada en el ítem c. e) Averigüen cuánto habría tardado si el caudal hubiera sido de 10, 20, 25 o 30 litros. 2) En grupos de tres o cuatro alumnos, investiguen en diferentes páginas de Internet sobre la aplicación de funciones homográficas en diferentes áreas de las Ciencias exactas (Física, Biología, Química, entre otras). Con la información obtenida, elaboren una presentación en Impress. Para comenzar la investigación, pueden visitar estos sitios: Ley de Boyle Mariotte Ley de Ohm

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Función de proporcionalidad inversa Proporcionalidad, regla de tres simple y compuesta Ley de Ohm y dependencia de la resistencia con las dimensiones del conductor ¿Proporcionalidad o regla de tres? Función homográfica

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893: Introducci贸n a las funciones homogr谩ficas

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828: Lenguaje simbólico y regularidades numéricas

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El siguiente del cuadrado de un número

El doble de un número

n+1

La tercera parte de un número

n2 + 1

El siguiente de un número

n:3

Actividad 2

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828: Lenguaje simbólico y regularidades numéricas 1) Observen la siguiente tabla y respondan:

4) Completen la siguiente tabla:

n n+3

B (5n) 2 2

n+4

n + 3 + 4n - 1

25n2

(6n - 4) - (n - 4)

5n + 2

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Expresiones algebraicas: polinomios Lenguaje algebraico Lenguaje algebraico y ecuaciones

Bibliografía / Webgrafía recomendada Expresiones algebraicas Álgebra

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828: Lenguaje simb贸lico y regularidades num茅ricas

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894: Logaritmos y cambio de base

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Logaritmos y cambio de base Autores: Weber Rodrigo, Javier Peña y Daniel Brizuela Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Aplicación de cambio de base para resolver operaciones con logaritmos en diferentes bases Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos con la propiedad de cambio de base de los logaritmos. En la primera actividad se propone que los alumnos investiguen la utilidad de los logaritmos a lo largo de la historia. En la segunda actividad formalizaremos el concepto de cambio de base destacando su utilidad y aplicaciones. En la actividad de cierre trabajaremos con la propiedad de cambio de bas, aplicándola en ejercicios matemáticos.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Interpreten la historia de la matemática y la relacionen con los logaritmos. Desarrollen el concepto y las aplicaciones de cambio de base a través de investigaciones. Apliquen en distintos casos el cambio de base para asimilar el concepto. Utilicen el cambio de base para operar con los logaritmos en distintas bases.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 En el siglo IX, en Arabia, se escribieron los primeros libros sobre el juego de ajedrez. Uno de los autores de estos libros fue Al-Adlí. Su obra titulada El libro del ajedrez narra la célebre leyenda de los granos de trigo, en la cual se le atribuye la invención del ajedrez a un campesino llamado Sissa Ben Dahir. 1) Visiten la siguiente página web. Lean cuál es la relación que se da entre la leyenda de los granos de trigo y los logaritmos. a) A partir de lo leído, expliquen brevemente qué sucedió con los granos de trigo y cómo se puede relacionar el cálculo propuesto con los logaritmos. b) Expliquen con sus palabras qué significa calcular el logaritmo de un número. Den por lo menos cinco ejemplos. 2) ¿Qué bases utiliza la calculadora para calcular el logaritmo de un número? ¿Qué diferencias hay entre esas bases? Utilicen la calculadora científica, instalada en sus equipos portátiles, para mostrar algunos ejemplos de aplicación.

Actividad 2 En la actividad anterior analizaron las bases con las que trabaja una calculadora. Ahora, respondan: 1) ¿Será posible calcular los siguientes logaritmos utilizando la calculadora? ● Log 2 154 ● Log 3 123,58

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894: Logaritmos y cambio de base ● Log 7 1.203,58 Existe una propiedad de los logaritmos que nos permite transformar un logaritmo dado en cierta base en otro logaritmo expresado en una base que nos resulte más simple para llegar a su solución, por ejemplo, aquellas que aparecen en las calculadoras científicas (el ln o el log en base 10). Esta propiedad se denomina cambio de base. 2) Para comprender cómo se aplica la propiedad cambio de base, ingresen al siguiente link. 3) Apliquen lo analizado en el ítem anterior para calcular los logaritmos dados en el ítem 1. Para ello, utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles. 4) Analicen la demostración de esta propiedad junto con su docente y desarróllenla en sus carpetas.

Actividad de cierre 1) Resuelvan los siguientes logaritmos: Sabiendo que log 25 = 1,397940, calcular ln 25. Sabiendo que log 2 8 = 3, calcular log 16 8 Sabiendo que log 3 27 = 3, calcular log 9 27 Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log 7 2 Sabiendo que log 3 = 0,477121 ,Calcular log 3 10 2) Apliquen un cambio de base que resulte conveniente para obtener los siguientes logaritmos con la calculadora que tienen instalada en sus equipos portátiles, y anoten los valores redondeados al milésimo. a) log 2 18= b) log 3 100= c) log 0,1 25= d) log 7 63= e) log 2 20=

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Logaritmos Logaritmos, por Silvia Sokolovsky Funciones exponencial y logarítmica Enciclopedia de logaritmos - Ecuaciones exponenciales

Webgrafía recomendada Logaritmo, en Wikipedia

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792: Logaritmos y propiedades

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http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4115[05/02/2011 18:51:35]

792: Logaritmos y propiedades d) Expresen el número 6 como un logaritmo en base 2. e) Expresen el número 2 como un logaritmo en base 12. 2) Completen la siguiente tabla: n

1/16

log2 n

1/2

-2

-3

log1/2 n

4) Demuestren las siguientes propiedades:

Webgrafía recomendada Definición de logaritmo Logaritmo, en Wikipedia

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830: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo

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http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4153[05/02/2011 18:51:46]

830: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo f) A veces la mediatriz de un segmento pasa por el punto medio del segmento. g) No es posible trazar la bisectriz de un ángulo de 231º.

Actividad 3 1) Si se sabe que la semirrecta QS es bisectriz y la amplitud de los ángulos PQS Y SQR son los que aparecen indicados en cada caso, hallen para ambos casos la amplitud del ángulo PQR.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo

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830: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo Mediatriz de un segmento Cómo trazar la bisectriz de un ángulo Determinación del punto medio de un segmento

Webgrafía recomendada Bisectriz Mediatriz

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832: Medición y clasificación de ángulos

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Ejemplo: el ángulo a es BAC; y el ángulo θ es BCD

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832: Medición y clasificación de ángulos

a) Nombren los siguientes ángulos:

12:20

10:25

9:00

2:50

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832: Medición y clasificación de ángulos Ángulos opuestos – vértice Ángulos opuestos por el vértice 2) Ingresen al siguiente link, y resuelvan los siguientes ejercicios:

a) Si el ángulo alfa mide 32º, ¿cuánto mide el ángulo beta? b) Si el ángulo AEB mide 62º, ¿cuánto mide DEC?

c) Hallen el valor del ángulo BOD. Ángulos consecutivos: son aquellos que comparten el mismo vértice y uno de sus lados.

Cuando dos ángulos consecutivos forman uno llano (su suma es igual a 180º) se llaman adyacentes. 3) Encuentren los ángulos: consecutivos, los no consecutivos y los adyacentes.

4) Resuelvan:

NKJ es ángulo llano Hallen el valor del ángulo MKL

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El ángulo COA mide 180º

POQ + QOR = 180º

El ángulo COB=70º

Determinen el valor de POQ

Hallen el valor de BOA

si ROQ=95º

832: Medición y clasificación de ángulos

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832: Medición y clasificación de ángulos

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Los ángulos Ángulos opuestos por el vértice Medir un ángulo usando el transportador Medida de ángulos Juegos de orientación y topografía

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834: Mediciones de superficies

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834: Mediciones de superficies

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Medidas de superficie, en YouTube Sistema métrico decimal, en YouTube Área de superficie, en YouTube Unidades de superficies

Webgrafía recomendada Superficie Unidades Unidades y superficies Áreas de figuras planas

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834: Mediciones de superficies

Sistema mĂŠtrico decimal y proporcionalidad

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836: Medidas y pasajes de unidades

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Introducción a las actividades En esta sección los alumnos estimarán y medirán cantidades de diferentes magnitudes, y aprenderán a realizar pasajes de unidades de una misma magnitud.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: Conozcan el concepto de magnitud. Sepan realizar conversiones de unidades. Estimen la incertidumbre en magnitudes determinadas indirectamente.

Lápiz

Goma

Regla

Medida del ancho Medida del largo Medida del alto

a) Ahora elijan dos objetos de referencia, por ejemplo una cartuchera y una goma, y comparen el peso de cada una con una carpeta,

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836: Medidas y pasajes de unidades con una mochila y con una lapicera. b) Armen una tabla similar a la anterior para anotar los resultados obtenidos.

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836: Medidas y pasajes de unidades

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838: Métodos analíticos y gráficos para la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas

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Actividad 2 1) El resultado de un sistema de ecuaciones es X = 1 e Y = -3. Determinen a cuál de los siguientes sistemas pertenece este resultado:

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838: Métodos analíticos y gráficos para la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas b) Utilicen el programa del Geogebra para graficar la recta de cada ecuación y verifiquen el resultado obtenido. 2) Escriban otro sistema de ecuaciones que tenga la misma solución del problema anterior. ¿Cuántos puede haber?

Actividad 3 1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para graficar cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:

Actividad de cierre 1) Hallen los lados del triángulo ABC con los datos que se indican a continuación:

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840: Notación científica

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Actividad 2 1) Resuelvan las siguientes potencias de base 10. Cuando sea necesario, utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles.

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840: Notación científica 10 2 = 10 3 = 10 4 = 10 12 = 10 22 = 2) ¿A qué conclusiones pueden llegar sobre la relación que existe entre la cantidad de ceros que tiene el resultado y el exponente de la potencia calculada? 3) Ingresen al siguiente link y observen cómo se pueden escribir algunas unidades de masa utilizando potencias de base 10.

Ejemplo

Cantidad expresada en notación tradicional 12.500.000

Cantidad expresada en notación científica 1,25 x 10 7

Ejemplo

Cantidad expresada en notación tradicional 0,0000000125

Cantidad expresada en notación científica 1,25 x 10 -8

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840: Notación científica en notación científica, mientras que otras sí, pero de todos modos existen distintas formas de mostrarlos. Realicen diferentes pruebas y saquen conclusiones sobre las calculadoras que utilizaron. 2) Copien los siguientes ejemplos y resuélvanlos usando diferentes calculadoras: a) 328.000 x 423.000 = b) 328.000 x 423.000 = c) 1,25 x 52.500.000 = d) 1,25 : 52.500.000 = 0,0006981 = f) 0,0000654 : 0,000056981 = Nota: no confundan el punto de separación de mil, con la coma de un número decimal.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo ¿Qué es la notación científica? Problemas resueltos: notación científica Notación científica, cifras negativas

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895: Números complejos

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Números complejos Autores: Daniel Brizuela y Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Conjunto de números complejos Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Los números complejos surgen como necesidad de resolver un problema hasta aquí sin solución: la raíz de índice par de un número negativo. Este nuevo conjunto numérico permite resolver cuestiones prácticas que antes no tenían solución o tenían tratamientos complejos. A lo largo de esta secuencia los alumnos trabajarán con diferentes propuestas que los acercarán a comprender la necesidad de crear un nuevo conjunto numérico.

Objetivos de las actividades Que los alumnos: infieran la lógica de la construcción de los campos numéricos en general y el campo de los números complejos en particular; comprendan el concepto de unidad imaginaria; comprendan el concepto de número complejo.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Si tenemos una calculadora que solo resuelve operaciones en el campo de los números naturales (N): a) ¿Cuáles de las siguientes operaciones se podrían realizar? 8+2= 2-8= 8-2= 8:2= 2:8= b) ¿Por qué hay operaciones que no se pueden hacer con la calculadora? ¿Cómo podríamos resolver este problema? c) Ahora, si tenemos otro tipo de calculadora que permite la resolución de operaciones en el conjunto de los números enteros (Z), ¿podrían resolver todas las operaciones dadas en el ítem a? Indiquen cuáles no se podrían resolver y justifiquen su respuesta. d) Y si la calculadora solo pudiese resolver operaciones en el campo de los números racionales (Q), ¿qué impedimento operativo tendría? 2) Propongan una operación matemática que no se pueda resolver con la calculadora que resuelve operaciones en el campo de los números racionales. Justifiquen su respuesta y discutan las actividades realizadas con el docente. Para reforzar lo trabajado hasta aquí, observen y analicen el siguiente video: Conjunto numérico

Actividad 2

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4218[05/02/2011 18:52:52]

895: Números complejos Ahora bien, por suerte nuestras calculadoras actuales operan en el conjunto de los números reales (R). Realicen operaciones matemáticas con la calculadora provista en sus computadoras portátiles. 1) ¿Existe alguna operación matemática que no pueda resolverse con nuestra calculadora? Traten de calcular las siguientes raíces y saquen una conclusión sobre ese tipo de operaciones. i) √1= ii) √-1= iii) 3 √-1= iv) 4 √-1= 2) En grupos de dos o tres alumnos, investiguen en Internet, manuales o enciclopedias la forma en que la matemática ha resuelto este problema. 3) Utilizando el procesador de textos instalado en sus equipos portátiles y con la información obtenida en la investigación, redacten un resumen en el que respondan las siguientes cuestiones: a) ¿Quién o quiénes fueron los primeros matemáticos que trabajaron con el problema de calcular raíces cuadradas de números negativos? b) ¿En qué otras situaciones o aplicaciones aparece este problema? c) ¿Cómo resolvieron este problema?

Actividad 3 En la actividad anterior trabajaron con un problema que llevó muchos años de trabajo y que condujo a crear un nuevo conjunto numérico: el conjunto de números complejos. Este nuevo conjunto nos permite calcular cualquier raíz de índice par de radicando , la idea es escribir el radicando en producto de dos o más factores negativo. Por ejemplo, si queremos calcular la siguiente raíz: numéricos, y luego aplicar la propiedad distributiva de la radicación respecto de la multiplicación. =

= 2 i

1) Siguiendo la misma idea, completen el siguiente cuadro: Raíz a resolver

Factores del radicando

Propiedad distributiva

Resultado

Para profundizar sobre este tema, visiten los siguientes links: Números complejos Números complejos, en Escolared

Actividad de cierre 1) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen la parábola que resulta de la siguiente función cuadrática: f(x) = x2 - 2x + 2 a) ¿La parábola obtenida corta al eje de las x? ¿Qué sucede con las raíces? b) Calculen las raíces igualando la función a cero: 0 = x 2 - 2x + 2 y aplicando la fórmula resolvente para la ecuación de segundo grado. ¿Qué conclusión pueden extraer? c) ¿Qué particularidad tienen las raíces complejas halladas en el ítem anterior? Discútanlo junto con el docente. d) Investiguen en Internet cuáles son las distintas formas de representar los números complejos. Escriban un ejemplo y muestren al menos tres formas de expresar este número.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Números complejos, en Wikipedia Números complejos, en Escolared

Webgrafía recomendada Números complejos

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895: NĂşmeros complejos Complejo

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896: Números complejos números imaginarios

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Números complejos, números imaginarios Autor: Fernando Luis Maffuche Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Números complejos Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades Los números imaginarios surgieron al intentar encontrar las soluciones a las ecuaciones del tipo

El propósito de esta actividad es que los alumnos interpreten la importancia de conocer el conjunto numérico: números complejos. Que descubran que con ellos se pueden resolver situaciones que con otros conjuntos numéricos no es posible. A la vez, que investiguen también sus aplicaciones en las distintas áreas.

Objetivos de las actividades Brindar información a través de nuevas tecnologías. Investigar y trabajar sobre el conjunto numérico: números complejos, con el propósito de estimular la reflexión crítica. Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Promover el uso de distintos programas en el área de la Matemática. Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación. Relacionar temas de formación general con las distintas áreas del conocimiento.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Resuelvan las siguientes ecuaciones:

2) Luego, respondan las preguntas que están a continuación: a) ¿Las ecuaciones anteriores tienen solución en el conjunto de los números reales? ¿Por qué? b) ¿Se les ocurre alguna solución para las ecuaciones anteriores? c) Si intentan resolver la raíz cuadrada de menos uno con la calculadora, ¿qué ocurre? Para resolver las ecuaciones que se presentan a continuación, deben conocer el conjunto de los números complejos, también llamados imaginarios. 3) Donde la definición inicial es:

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4219[05/02/2011 18:53:03]

896: Números complejos números imaginarios Los matemáticos italianos Gerolamo Cardano y Rafael Bombelli se encontraron con el problema que presentamos en los casos anteriores. Entonces Bombelli optó por la definición:

Ahora podrán resolver las ecuaciones anteriores de manera correcta.

Actividad 2 , siendo a la parte real, y b, la imaginaria.

Una forma de expresar un número complejo es la binómica: Estos números se pueden representar en el plano cartesiano:

En el gráfico anterior se representó el número imaginario:

Siempre la primera componente se representa en el eje x, y la segunda, en el eje y. 1) A continuación, representen los siguientes números complejos:

2) Pueden imprimir un plano cartesiano, utilizando el software Graphmática, para facilitar el trabajo.

Actividad 3 Este conjunto numérico también se utiliza en el área eléctrica, por ejemplo, en el tema impedancia. La impedancia es lo que se opone al paso de la corriente alterna. Se mide en Ohm. Posee una componente resistiva (R) y una componente reactiva (X). Z = R + jX 1) Investiguen cómo se suman los números complejos en forma binómica, para poder saber cuál es el resultado de la asociación de impedancias, presentada a continuación:

2) Para finalizar, les proponemos que investiguen en Internet o en otras fuentes, cómo se expresan los números complejos en forma polar o trigonométrica. Luego grafiquen los siguientes números complejos en papel de calcar, utilizando la misma escala: Za = 4 + 3i y Zb = 5 . (Cos 37° + i.Sen 37°). 3) Superpongan ambos gráficos y respondan: a) ¿Cómo son los gráficos? b) ¿A qué conclusión pueden llegar?

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842: Números enteros

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Juan

-2

Distancia de cada uno a la piedra

Actividad 2 1) Utilizando el programa graficador oculten la recta vertical, y sobre la recta que queda ubiquen los siguientes números: A=-4; B=+3; C=0; D=-1 y E=2.

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842: Números enteros 2) Mirando la recta numérica, ordenen los números del ítem anterior de menor a mayor. 3) En la misma recta del ítem 1, ubiquen los siguientes números: (A-2); (B+4) y (2+D). 4) Hallen el valor de –A, -C y –E.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Ordenación y comparación de números enteros Los números enteros -1 Los números enteros Los números enteros (M2R)

Webgrafía recomendada Número entero Los números enteros Ejercicios y problemas de números enteros

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844: Números irracionales

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844: Números irracionales Demostración 1 Demostración 2 Demostración 3

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo El número de oro Tres irracionales famosos Historia de los números irracionales

Webgrafía recomendada La divina proporción Raíz cuadrada de 2 Número áureo

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846: Números irracionales y operaciones

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b) Ubiquen los cortes obtenidos de cada hoja uno encima del otro (imagen 3). Imagen 3

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846: Números irracionales y operaciones

2+√2 1

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846: Números irracionales y operaciones

100 √27 3) Indiquen qué operaciones pueden efectuarse entre los siguientes pares de números de manera tal que el resultado sea un número racional.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Los números irracionales en la realidad Formato de papel Números reales, ejercicios Números irracionales

Webgrafía recomendada Representación de números irracionales Operaciones con números reales

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848: Números Primos

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848: Números Primos 3) Debajo o al costado de las columnas, anoten los números capicúas.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Tabla de números primos ¿Qué son los números primos y por qué les interesan a los matemáticos? Números primos

Webgrafía recomendada ¿Qué son los números primos? Número primo

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4171[05/02/2011 18:53:46]

850: Números racionales positivos

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850: Números racionales positivos

4)Encuentren los números que deben ir donde aparece el signo ? para que las fracciones resulten equivalentes.

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850: Números racionales positivos dos meses después deberá pagar un tercio de la mitad que quedó sin abonar; y a los 6 meses abonará el resto, cuyo valor asciende a $600. Calculen el total que deberá pagar por la computadora.

Webgrafía recomendada Número racional Fracción Fracción irreductible

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852: Operaciones básicas con fracciones

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Actividad 2 1) Resuelvan los siguientes cálculos. Cuando sea posible, simplifiquen el resultado. Verifiquen los resultados con la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles.

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852: Operaciones básicas con fracciones

2) En cada recuadro en blanco, escriban el signo que corresponda (+, -, ¸, x) para que las igualdades sean ciertas:

de metro. ¿Qué distancia recorre con 1.000 pasos? ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer

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852: Operaciones básicas con fracciones

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Aprender fracciones Matemáticas en el antiguo Egipto: el papiro de Rhind

Webgrafía recomendada Operaciones básicas El papiro de Rhind

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854: Operaciones con números naturales

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854: Operaciones con números naturales

Objetivos de las actividades Operar con números naturales. Conocer las propiedades de los números naturales. Resolver distintas operaciones con números naturales.

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4177[05/02/2011 18:54:18]

854: Operaciones con números naturales

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Una breve historia del ábaco Números naturales Conjuntos numéricos Suma de números naturales

Webgrafía recomendada Número natural ¿Qué es un número? Números

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897: Operaciones con números reales

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Operaciones con números reales Autores: Daniel Brizuela, Javier Peña y Sebastián Vera Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Operaciones matemáticas Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Introducción a las actividades La resolución de ejercicios matemáticos nos ofrece diferentes posibilidades de técnicas, de caminos para alcanzar el resultado. Tal vez, lo más simple sea tomar una calculadora y realizar el cálculo sin necesidad de preguntarme si el resultado es correcto. En la presente actividad, trabajaremos con expresiones matemáticas en la que intervienen números reales. Encontraremos entonces, números enteros, decimales y/o fraccionarios y números irracionales. El objetivo es desarrollar estrategias de resolución con expresiones exactas.

Objetivo de las actividades Reflexionar sobre el trabajo desde el concepto de la exactitud.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 Operar en el campo de los números reales significa trabajar con exactitud, con expresiones que indiquen con precisión el número que interviene en una operación, en especial los números irracionales que derivan de la expresión de raíz (√). Cuando el número esté expresado en este modo: √2; √5; 2√7; etc., lo denominaremos número radical. Aprender a trabajar con estas expresiones significa trabajar con exactitud. Es nuestra intención avanzar en este concepto. Por este motivo no convertimos estas expresiones en números decimales, ya que de ese modo estaríamos trabajando con aproximaciones que son números inexactos. 1) Resuelvan las siguientes operaciones. Para hacerlo, utilicen la calculadora científica que está instalada en sus equipos portátiles. a) 6 √3 + 4 √3 - 7 √3 = b) ½ √5 - ¾ √5 + 2 / 3 √5 = c) 0,4 √13 - 1,6 √13 + 2,24 √5 = 2) Comparen los resultados obtenidos con los demás compañeros. ¿Todos obtuvieron los mismos resultados?

Actividad 2 1) Analicen los resultados de las siguientes operaciones:

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4220[05/02/2011 18:54:28]

897: Operaciones con números reales

2) Utilicen la calculadora disponible en sus equipos portátiles para verificar el resultado. 3) ¿A qué conclusiones pueden arribar sobre la suma y resta de radicales semejantes? 4) Aplicando las conclusiones obtenidas en el punto anterior, resuelvan las siguientes operaciones con radicales semejantes, pero ahora sin utilizar la calculadora. a) 6√3 + 4√3 - 7√3 = b) ½√5 - ¾ √5 + 2 / 3 √5 = c) 0,4√13 - 1,6√13 + 2,24√5 = d) -2√3 + 5√3 - 6√3 = e) 10√343 - 1/3√7 - ½√63 = 5) Verifiquen los resultados obtenidos utilizando la calculadora. Vemos que sumar y restar es posible empleando propiedades precisas de las operaciones con números reales. También podríamos multiplicar y dividir en el campo de la exactitud, retomando propiedades ya conocidas. Para ello recordamos propiedad distributiva en la radicación:

A partir de propiedades conocidas, podemos operar sin dificultad con números radicales. La condición que se cumple en estos casos es que mantienen el mismo índice. Entonces, si leemos en forma inversa estos ejemplos, estamos multiplicando o dividiendo con radicales.

En este sentido, aplicando otra propiedad de la multiplicación, la propiedad conmutativa (“el orden de los factores no altera el producto”), podremos resolver operaciones más complejas: 3 √3 5 √6 = 3 . 5 √3 √6 = 15 √18 Asimismo, respetando propiedades de la división: 8 √10 : 2 √2 = 8 : 2 √10 : √2 = 4 √5 Esta base teórica funciona como disparador para profundizar la resolución de ejercicios con números radicales.

Actividad 3 1) A través de Internet, enciclopedias o manuales, investiguen sobre las operaciones con radicales y sus propiedades. Una vez obtenida la información, elaboren una tabla en el procesador de textos disponible en sus equipos portátiles. Complétenla mostrando ejemplos de operaciones con radicales e indicando las propiedades utilizadas en cada operación. 2) A partir de lo investigado, traten de pensar alguna situación o problema de la vida cotidiana en el que tengamos que operar con radicales. Describan y redacten la situación y muestren la o las operaciones que intervendrían para resolver el problema. 3) Comparen su propuesta con la de algún compañero.

Actividad de cierre

‫ח‬

Otro número real (irracional) con el cual podemos trabajar el tema de la exactitud es el famoso número pi ( ). 1) Calculen, como ejemplo, cuánto vale el perímetro de una circunferencia con un diámetro de 2 cm. Recuerden que el perímetro de una circunferencia está dado por la siguiente expresión:

perímetro = diámetro · ‫ח‬

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4220[05/02/2011 18:54:28]

897: Operaciones con números reales a) Comparen los resultados obtenidos con los demás compañeros b) Si queremos trabajar con exactitud, ¿cómo quedará expresado el resultado? 2) Calculen el valor exacto de la medida en centímetros del “ecuador” de una pelota de fútbol de 21,8 cm de diámetro. a) Ahora trabajen con una pelota cuyo radio mide 1 cm más que la anterior y hallen el valor exacto de la diferencia entre las medidas de los dos “ecuadores”.

Links de interés y utilidad para el trabajo Curso de matemáticas Radicales (números irracionales) Operaciones con radicales El número pi

Webgrafía recomendada Número irracional El número pi

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4220[05/02/2011 18:54:28]

856: Planteo de ecuaciones de primer grado con una incógnita

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http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4179[05/02/2011 18:54:39]

856: Planteo de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Actividad 2 1) Para cada una de las siguientes ecuaciones redacten un problema que se ajuste a los datos:

5) Luego de leer la información proporcionada y de ver los videos, escriban un resumen de la biografía de Fermat y expliquen qué sucedió a lo largo de la historia con esta ecuación.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Valor numérico de una expresión algebraica Pierre Fermat

Webgrafía recomendada

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4179[05/02/2011 18:54:39]

856: Planteo de ecuaciones de primer grado con una inc贸gnita Ecuaciones

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858: Propiedades de las potencias

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Objetivos de las actividades Utilizar las propiedades en la resolución de situaciones problemáticas. Entender el uso de las propiedades para facilitar las operaciones.

Actividad 2 a) Reunidos en parejas, construyan una tabla en el programa Writer y completen los valores de cada rectángulo. Escriban los resultados como una sola potencia. Rectángulo

Área

Base

13 6

13 2 m

2 3

Altura

95 m 12 7

97 m 12 2 m2

m2 4 5

10 9 m 10 9

10 7 10 3 m

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4181[05/02/2011 18:54:50]

858: Propiedades de las potencias

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Propiedades de la potenciación (parte I) Propiedades de la potenciación (parte II)

Webgrafía Potenciación

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860: Puntos notables de un triángulo

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http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4183[05/02/2011 18:55:01]

860: Puntos notables de un triángulo 2) Grafiquen un triángulo cualquiera, para hacerlo utilicen la opción “polígono”. Luego, construyan la bisectriz de cada uno de los ángulos del triángulo. ¿Las tres bisectrices obtenidas se cortan en el mismo punto? a) Sobre el triángulo anterior, construyan una circunferencia, para hacerlo utilicen la opción “Circunferencia dados tres puntos”, tengan en cuenta que esos tres puntos son los vértices del triángulo inicial. Luego, junto con el docente discutan las siguientes preguntas: ¿A qué distancia se encuentran los vértices del triángulo del punto intersección de las tres bisectrices? ¿Qué nombre recibe ese punto? 3) Visiten el siguiente link. Realicen el ejercicio que ahí se plantea para cambiar los vértices del triángulo y observar cómo varía la posición del punto que se produce por la intersección de las bisectrices. 4) A partir de lo visto en el link anterior, redacten una conclusión que explique cómo se llama el punto de intersección que se obtiene al trazar las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo y cuál es su propiedad.

b) Si se quiere colocar un poste de luz en un punto que esté a igual distancia de las calles que rodean la plaza. El gráfico que representa la situación es el siguiente:

¿Dónde debe estar ubicado el supermercado? ¿Qué concepto geométrico podrían aplicar? ¿Por qué?

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4183[05/02/2011 18:55:01]

860: Puntos notables de un triángulo

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Geometría, conceptos previos

Webgrafía recomendada Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4183[05/02/2011 18:55:01]

862: Puntos rectas y planos

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Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos los conceptos de punto, recta y plano e introduciremos el concepto de recta paralela y perpendicular.

Objetivo de las actividades Reconocer a la geometría como parte de la condición humana. Saber diferenciar los distintos conceptos geométricos. Interpretar y reconocer figuras en el plano.

c) ¿Cómo se llama este tipo de recta?

d)¿Qué nombre se le da a esta semirrecta?

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4185[05/02/2011 18:55:11]

862: Puntos rectas y planos

e) En geometría punto y recta son dos términos primitivos, ¿cuál es el otro?

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Geogebra – Manual Rectas perpendiculares y paralelas

Webgrafía recomendada Punto, recta y plano Punto, Recta, Plano

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4185[05/02/2011 18:55:11]

794: Raíces de un polinomio

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ancho

largo

área

Asiento

Respaldo

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4117[05/02/2011 18:55:22]

794: Raíces de un polinomio siguientes links para profundizar sobre este tema: Factorización de un polinomio Factorizar polinomios Polinomios (les recomendamos bajar el programa de edición DescartesWeb 2.0, que les permitirá trabajar con las actividades interactivas). d) A partir de lo visto en los links anteriores, discutan junto con el docente las siguientes cuestiones: ¿Qué relación existe entre las raíces de un polinomio y su expresión factorizada? Si tuvieran que elegir algunos de los siguientes polinomios para hallar sus raíces, ¿cuáles serían y por qué? f(x) = (x - 5) (x - 2) (x + 1) g(x) = x 4 + x 2 - 2 h(x) = x 2 - 81 j(x) = x 2 + 4x + 10 (x) = x 2 ● (x - 5) Indiquen cuáles son las raíces de los polinomios elegidos.

Actividad 2 1) Completar los espacios en blanco del siguiente cuadro: Polinomio desarrollado P(x) = 3x5 - 9x4

Expresión factorizada

Raíces x =0y x =

P(x) = 3x4 · (x - 3)

Q(x) =

P(x) = (x - 5) · (x + 2)

T(x) = x 2 - 25

T(x) =

R(x) =

R(x) = (x + 2)2 · (x 1)

de modo que:

sea factor de ese polinomio.

3) Encontrar un polinomio

de modo que:

sea uno de sus factores y 1 sea una de sus raíces.

4) Encontrar un polinomio

de grado 4, de modo que:

las raíces de

sea uno de sus factores y 1 sea una de sus raíces. Indicar todas

Polinomio factorizado

desarrollado

Grado del

Raíces

raíces reales 3

f(x) = x 3 - 4x g(x) =

g(x) = x 2 (x - 8)

h(x) = x 2 + 8x + 4

h(x) =

1 x = 8x = 1x = 1

r(x) = x 3 - 8x2 + x - 8 Q(x) =

Cantidad de

polinomio

Q(x) = (x - 2) · (x - 4) ·

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794: Raíces de un polinomio (x - 4) T (x) = x 3 + x 2 + x + 1

T(x) =

P(x) =

P(x) = (2x2 + 1) · (x -

x = -1

3) a) Miren el cuadro y discutan junto con el docente si existe alguna relación entre el grado del polinomio y la cantidad de raíces que posee.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Polinomios Teorema del resto Factorización de polinomios

Webgrafía recomendada Polinomio, en Wikipedia Polinomios, en aulamatematica Polinomios, en Álgebra universitaria

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4117[05/02/2011 18:55:22]

796: Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

Introducción al modelo 1 a 1

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P(x 0 )

¿Es raíz de P(X)?

1 -1 1/2 -1/2 1/3 -1/3 1/4

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796: Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

-1/4 1/6 -1/6 1/12 -1/12

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Factorización de polinomios Teorema del factor ¿Qué dice Gauss? Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 1/5

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796: Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 2/5 Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 4/5 Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 5/5

Bibliografía / Webgrafía recomendada Kaczor, P. y otros: Matemática I Polimodal. Ediciones Santillana, Buenos Aires, 1999. Raíces de polinomios Teorema de la raíz racional

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864: Sistema de numeración

Introducción al modelo 1 a 1

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6) Trabajen en equipos de 3 o 4 personas. Confeccionen una tabla. Para ello, utilicen el procesador de textos que se encuentra

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864: Sistema de numeración disponible en sus equipos portátiles.

Cantidad

Número decimal

Número romano

Número egipcio

Número maya

Días que tiene un año Edad de uno de ustedes Número de alumnos en el aula Año en que vivimos

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866: Sistema sexagesimal de ángulos

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866: Sistema sexagesimal de ángulos 125º 19´04” 15º 4) Visiten el siguiente link en el cual se explica cómo se opera con ángulos utilizando el sistema sexagesimal: 5) Planteen una operación de suma, una de resta, una de multiplicación y otra de división que involucren ángulos medidos mediante el sistema sexagesimal y resuélvanlas.

3) ¿Cuánto mide un ángulo cuya amplitud vale

20° 10´ 42”

30° 51’ 80° 10’

Actividad de cierre

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b+a

170° 06’ 15”

2.a - b

2.(a +b )

866: Sistema sexagesimal de ángulos Una aplicación interesante del uso del sistema sexagesimal de medición de ángulos, es la localización geográfica de un lugar en la superficie de la Tierra. 1) Visiten el siguiente link para comprender cómo se aplica el sistema sexagesimal. a) Luego, redacten un resumen de lo analizado explicando cómo se utiliza este sistema para localizar un país, una isla o una montaña en el mundo. b) Utilizando el sistema sexagesimal, den la ubicación geográfica de tres capitales de provincias argentinas, indicando su latitud y longitud. 2) Investiguen en Internet o en otras fuentes otras aplicaciones del sistema sexagesimal. Discutan lo investigado junto a los demás compañeros y el docente.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Historia del sistema sexagesimal Sistema sexagesimal, en Wikipedia Operaciones con ángulos Medición de ángulos

Webgrafía recomendada Medición de ángulos Medida de ángulos

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868: Suma de los ángulos interiores de un polígono

Introducción al modelo 1 a 1

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1) En grupo de dos o tres alumnos utilicen el programa Geogebra, para graficar los siguientes puntos A = (2, 4) B = (4, 5) C = (5, 1) D = (2,0) E = (1, 2)

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868: Suma de los ángulos interiores de un polígono

Nombre del triángulo

Valor de cada ángulo interno

Suma de los tres ángulos internos

4) En una hoja de cálculo, realicen la siguiente tabla y completen las celdas vacías:

Nombre del polígono

n.º de lados

n.º de diagonales

Cuadrilátero

Pentágono

Cantidad de triángulos que forman las diagonales 2

Suma de ángulos interiores de cada triángulo 180º

Suma total de los ángulos interiores

360º

Hexágono Heptágono Octágono

Actividad de cierre Generalmente, las pelotas de fútbol son similares a la que se ve en la imagen. Están compuestas por figuras negras, rodeadas de otras blancas.

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868: Suma de los ángulos interiores de un polígono

Webgrafía recomendada Polígonos Polígonos y círculos Descubrir la geometría Ángulos interiores – polígonos Ángulos de un polígono Polígonos regulares y polígonos regulares estrellados

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870: Título Resolución de inecuaciones

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http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=4193[05/02/2011 18:56:23]

870: Título Resolución de inecuaciones

II) Indiquen cual de las siguientes desigualdades son solución de la siguiente inecuación: -28 + 3x < 40 + 5x -20 A) x > -24 B) x < -24 C) x > 24 D) x > -48 E) x < -48

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872: Triángulos elementos y clasificación

Introducción al modelo 1 a 1

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Introducción a las actividades En esta secuencia los alumnos, podrán comprender la propiedad triangular y expresar su enunciado, así como aprender a graficar triángulos.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 1) Junto con el docente, analicen los siguientes videos. En ellos se analizan los elementos de un triángulo: Triángulos 1 Elementos del triángulo

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872: Triángulos elementos y clasificación a) Con los segmentos formen los triángulos indicados a continuación. En un documento de texto copien cada uno e indiquen cuando hayan podido formar un triángulo: 1) 10 cm; 5 cm; 5 cm 2) 10 cm; 7 cm; 5 cm, 3) 7 cm; 5 cm; 5 cm 4) 14 cm; 7 cm; 5 cm 5) 5 cm; 5 cm; 5 cm 4) A partir de los resultados de la experiencia anterior discutan las siguientes cuestiones: a) ¿En qué casos pudieron formar un triángulo? ¿Y en cuáles no? b) Para poder construir un triángulo, se debe cumplir una propiedad. ¿Cuál? Miren el siguiente video en el cual se profundiza este tema: c) En base a lo visto en el video expliquen con sus palabras qué relación tienen que cumplir tres segmentos para formar un triángulo. d) Verifiquen la relación anterior para los triángulos armados en el ítem 3. e) Sin dibujar los triángulos, escriban la medida de tres segmentos que puedan formar un triángulo y tres segmentos que no puedan formar un triángulo. Justifiquen su propuesta.

lado a=3 cm

lado b=4 cm

lado c=5cm

lado BC=6 cm

áng. B=40º

áng. C=70º

lado AB=10 cm

áng. A=110º

lado AC=4cm

lado AC=7cm

áng. C=30º

lado AB=9cm

b) Completen la tabla con los datos obtenidos en el ejercicio anterior:

Medida de sus ángulos Triángulo

áng. A

áng. B

Medida de sus lados áng. C

lado a

lado b

lado c

1 2 3 4

para ubicar los puntos abajo indicados y formar los distintos triángulos:

A = (1;1)

B = (1,3)

C = (3,1)

D = (-1;-1)

E = (1;-2)

F = (0;-2)

G = (0;6)

H = (2;7)

I = (-2;7)

J = (-4;4)

K = (-5;0)

L = (-3;0)

M = (0;-3)

N = (0;-5)

O = (8;-3)

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872: Triángulos elementos y clasificación

Clasificación Según sus ángulos

Según sus lados

Triángulo ABC Triángulo DEF Triángulo GHI Triángulo JKL Triángulo MNO

Webgrafía recomendada Elementos de los triángulos Elementos del triángulo

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874: Triángulos rectángulos y relación pitagórica.

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Introducción a las actividades En esta secuencia trabajaremos la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo, más conocida como Teorema de Pitágoras.

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874: Triángulos rectángulos y relación pitagórica.

Cateto A

Cateto B

Hipotenusa

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874: Triángulos rectángulos y relación pitagórica. El joven estudia las dos posibilidades y con la ayuda de su brújula dibuja el siguiente mapa:

¿Cual será el camino más corto para llegar al campamento? ¿Por qué?

Webgrafía recomendada Teorema de Pitágoras, en Wikipedia

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876: Ubicación de números irracionales en la recta numérica

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876: Ubicación de números irracionales en la recta numérica

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo Pi T

Webgrafía recomendada Sector matemática Disfruta las matemáticas Matemáticas Ejercicios de matemáticas Número irracional Raíz cuadrada de 2

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