DISEÑOS DE SITEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO VALENTINA BORGES PINEDA C.I. 25400978
Contenido
1. Estabilidad en sistemas de control en tiempo discreto .
2. Criterios de estabilidad. 2.1 Criterio de Jury. 2.2 Método de Transformación Bilineal. 2.3 Criterio de Routh.
3. Análisis de la respuesta transitoria y en el error en estado permanente. 3.1 Especificaciones de la respuesta transitoria. 3.1.1 Tiempo de levantamiento. 3.1.2 Sobrepaso Máximo. 3.2 Error en estado permanente. 3.2.1 Escalón Unitario. 3.2.2 Rampa. 3.2.3 Parabólica.
4. Diferencias que existen entre el calculo y dibujo de las trazas del diagrama de Bode en tiempo continuo y tiempo discreto.
1.Estabilidad en sistemas de control en tiemplo discreto El sistema de tiempo discreto presenta al menos una señal en tiempo discreto, es decir, que toma valores en determinados instantes de tiempo.
Podemos determinar la estabilidad a partir de la localización de polos de lazo cerrado en el plano z o las raíces de la ecuación característica.
La computadora digital implementa el controlador discreto y la interfaz con el mundo analógico se hace a través de conversores.
Un componente continuo también forma parte de un sistema de control discreto, y resulta importante para poder calcular su respuesta a señales muestreadas.
2.Criterios de estabilidad Criterio de Jury
Criterios de estabilidad Criterio de Routh
MĂŠtodo de transformaciĂłn Bilineal
2.1 Criterio de Jury
Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica dada por P(z)= 0, se construye una tabla cuyos elementos se basan en los coeficientes de P(z) que es un polinomio en z, como :
La tabla de criterio de Jury es la siguiente:
2.1 Criterio de Jury
Ejemplo; consideremos la siguiente ecuación:
Para aplicar el criterio de Jury, necesitamos tener la ecuación característica en forma de polinomio, por lo que se quitara el denominador de la fracción.
2.1 Criterio de Jury
Una vez colocada en forma de polinomio se aplica el criterio de Jury. La matriz del criterio tendrá un número de filas 2n-3, siendo n el grado de la ecuación característica. En este caso 2n-3=(2*2)-3=1.
0.1353 + 0.5939K
1.1353-1.1353K
1
Ahora se va a comprobar las condiciones del criterio de Jury para comprobar la estabilidad según los valores de K y de la ecuación característica.
Condición A : P(1) > 0
2.1 Criterio de Jury
Condición B: P(-1) > 0
2.1 Criterio de Jury
Condición C: |A2| < A0 Entonces;
Las que nos van a condicionar el valor de K son las inecuaciones 1 y 3, que nos van a limitar el valor de K para que sea estable.
2.2 Método de transformación Bilineal
Este método requiere de la transformación del plano Z a otro plano complejo, el plano W. luego de transformarlo a este plano complejo, se examina la estabilidad con el criterio de Routh.
La transformación bilineal en el plano Z es :
Se remplaza Z en la ecuación característica y luego se multiplica la expresión por ( w – 1 )^n
De ahí se aplica el criterio de la estabilidad de Routh igual que en tiempo continuo.
2.2 Método de transformación Bilineal
Considere la siguiente ecuación característica :
Se sustituye a;
Luego se multiplica la ecuación por
Factorizando nos queda:
en la ecuación característica:
2.2 Método de transformación Bilineal
Luego aplicando producto notable nos queda la ecuación:
Ahora se aplica el criterio de Routh ;
64
48
96
8
B1
0
C1
0
2.2 Método de transformación Bilineal
La tabla nos quedara de la siguiente forma ;
64
48
96
8
42.6
0
8
0
Y como en la primera columna no hay cambios de signos en los coeficientes, se puede asegurar que el sistema es “estable”, debido a que no posee polos positivos o con parte real positiva.
2.3 Criterio de Routh
El criterio permite saber si una ecuación polinómicas posee raíces positivas sin resolverla.
Primero se verifica si no existe algún o algunos coeficientes nulos o negativos en presencia de un coeficiente positivo al menos.
Por ejemplo, sea el polinomio:
Solo le llenan las dos primeras filas, y lo demás se calcula
27
9
27
1
B1
0
C1
0
2.3 Criterio de Routh
La tabla nos quedara de la siguiente forma:
27
9
27
1
8
0
1
0
Y como en la primera columna no hay cambios de signos en los coeficientes, se puede asegurar que el sistema es “estable”, debido a que no posee polos positivos o con parte real positiva.
3. Análisis de la respuesta transitoria y el error en estado permanente
En cualquier sistema de control se requiere una estabilidad relativa y precisión en estado permanente, ya sea en tiempo continuo o discreto.
La respuesta transitoria corresponde aquella parte de la respuesta debida a los polos de lazo cerrado.
La respuesta en estado permanente corresponde aquella parte de la respuesta debida a los polos de la función de entrada de excitación.
3.1 Especificaciones de la respuesta transitoria
Se especifican en términos de cantidades en dominio del tiempo.
Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica.
La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable.
3.1.1 Tiempo de levantamiento ď ľ
Tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas sub-amortiguados de segundo orden, por lo comĂşn se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%.
ď ľ
Para sistemas sobre-amortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.
3.1.2 Sobrepaso máximo Es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo.
También es definido como porcentaje y la ecuación es:
La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.
3.2 Error en estado permanente
El desempeño en estado permanente de un sistema de control estable se juzga en general por el error en estado permanente debido a entradas escalón, rampa y parabólica.
Para un sistema dado por la función de transferencia G(z), el error vendrá dado por:
Para hallar el error en régimen permanente se aplica el th. del valor final:
Error en régimen permanente de un sistema con función de transferencia G(s) en lazo cerrado:
El error en régimen permanente será:
3.2.1 Escalón unitario
Para una función de transferencia G(z) cuya entrada es R(z) y la salida Y(z); el caso común es que la entrada sea un escalón unitario:
Si R(z) es un escalón unitario a lazo cerrado:
Donde Kp es la ganancia estática de bucle abierto de la planta.
Para que el error sea cero Kp debe ser infinita $ polo en z = 1, sistema de tipo 1.
3.2.2 Rampa
En caso de que el error sea una rampa:
Un sistema tipo 0 tiene K v = 0 error infinito.
Un sistema tipo 1 tiene K v distinta de cero y finita error finito.
Un sistema tipo 2 tiene K V infinita error cero.
3.2.3 Parábola En
el caso de que R(z) sea una parábola:
Los
sistemas de tipo 0 y 1 tienen K a = 0, por lo que el error es infinito. Los de tipo 2 tienen K a finita y error finito y los de tipo 3 y superior tienen K a infinita y error cero.
Dado el siguiente sistemas de control a lazo cerrado, encuentre la expresión de error así como la constante de error de aceleración estática Ka
Solución:
Ecuación 1
Donde:
Ecuación 2 Y sustituimos la segunda ecuación en la primera y nos queda:
Dado el siguiente sistemas de control a lazo cerrado, encuentre la expresión de error así como la constante de error de aceleración estática Ka
Así, la expresión de error será:
El error en estado estacionario es el siguiente:
Dado el siguiente sistemas de control a lazo cerrado, encuentre la expresión de error así como la constante de error de aceleración estática Ka
El error de aceleración:
Entonces el error de aceleración estática:
5.Diferencias que existe entre el calculo y dibujo de las trazas del diagrama de bode en tiempo continuo y en tiempo discreto Existen importantes diferencias entre la respuesta frecuencial de un sistema de tiempo continuo y la respuesta frecuencial de un sistema de tiempo discreto:
1. Es periódica de periodo ωs, dado el efecto de bandas repetidas en plano S que se produce en un sistema muestreado. Así, la respuesta frecuencial no debe evaluarse, en el plano Z, debido a que se realizarán múltiples vueltas sobre el círculo de radio unidad en plano Z a medida que aumente la frecuencia de la señal de entrada.
2. Deberá considerarse la relación no lineal existente entre la frecuencia bilineal y la frecuencia real de la señal.
3. Aplicando la transformada bilineal :
5.Diferencias que existe entre el calculo y dibujo de las trazas del diagrama de bode en tiempo continuo y en tiempo discreto
Pueden trazarse mediante métodos asintóticos los diagramas de Bode, que ofrecen la información de la respuesta frecuencial evaluada sobre la banda primaria. Cuando el número de muestras por ciclo sea elevado, el sistema continuo equivalente tendrá un diagrama de Bode similar, sin distorsión, al sistema discreto. Sin embargo, a medida que aumenta la frecuencia de la señal de entrada, el número de muestras por ciclo disminuye, observándose diferencias entre los diagramas de Bode del sistema continuo y del sistema discreto obtenido mediante la transformada bilineal.
A partir del diagrama de Bode, puede trazarse el diagrama polar de un sistema discreto, y de este modo es posible aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist. Debe observarse que la distorsión sufrida en la transformación de frecuencias no es relevante en el diagrama polar, determinándose la estabilidad absoluta y relativa del sistema discreto sin ninguna consideración adicional, es decir, sin necesidad de conocer el número de muestras por ciclo de la señal de salida.
En el margen de fase (MF) y margen de ganancia (MG) en el plano transformado bilineal (W), análogamente a como ocurría en sistemas de tiempo continuo. Si garantizamos frecuencialmente una buena estabilidad relativa, el sistema discreto responderá adecuadamente, con independencia del nº de muestras/ciclo y del nº de muestras/cte. de tiempo.
5.Diferencias que existe entre el calculo y dibujo de las trazas del diagrama de bode en tiempo continuo y en tiempo discreto DIAGRAMA DE BODE TIEMPO CONTINUO
TIEMPO DISCRETO
Las respuestas de frecuencia pueden ser obtenidas en forma aproximada.
Puede realizarse en base al margen de fase MF y el margen de ganancia MG definidos a partir de la respuesta en frecuencia a lazo abierto.