RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO – LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOS
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Lógica – Questões Comentadas Tipo de questões: Raciocínio e interpretação. (CESPE) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Com base no texto acima, julgue o item a seguir. Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.
Possibilidades para portar fichas brancas (B) ou pretas (P) 1ª pessoa B(V) B(V) P(F) P(F)
2ª pessoa B( F ) P(V) B(F) P( V )
Tem que achar qual dessas possibilidades que “casam” com as frases. 1ª Opção: Ambos com fichas da mesma cor e ambos falando a verdade. Não condiz com a expressão da primeira pessoa: 2ª opção: Fichas de cores diferentes, com o segundo dizendo a verdade. Não condiz com a expressão do segundo. 3ª opção: Fichas de cores diferentes, ambos mentindo. Não condiz com a expressão do primeiro 4ª opção: Condiz com expressões. Conclusão: Tanto o primeiro quanto o segundo portam fichas pretas. O segundo fala a verdade. R: Certo
(FGV) Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não-políticos. Todos os políticos sempre mentem e todos os não-políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito.
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O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I é realmente um político. Quantos dos 3 nativos são políticos? a. zero
b. um
c. dois
d. NDA
O que o nativo1 poderia ter dito? Se ele for um político, só poderia ter dito que não é um político ou que é um não político. Se ele for um não político, poderia dizer também que não é um político ou que é um não político Se o nativo II fala a verdade, pois exprime uma resposta possível para o nativo I, então este não é político. Agora analisaremos o nativo III Se o nativo I for um político. O nativo III tem que ser um não político, pois tem que falar a verdade sobre a expressão de I. Se o nativo I for um não político. O nativo III tem que ser um político, pois tem que negar a condição do nativo I. Ou seja, A condição do nativo I é contrária a do nativo III, enquanto que o nativo II não é político, pois fala a verdade. Então temos 1 político e 2 não-políticos Resposta: Letra B
(FGV) Alguém afirmou certa feita que Toda pessoa que diz que não bebe não está sendo honesta. Pode-se concluir dessa premissa que: a. Uma pessoa que diz que bebe está sendo honesta. b. Uma pessoa está sendo honesta se diz que bebe.
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c. Não existem pessoas honestas que dizem que não bebem. d. NDA
Colocando em diagramas, teremos que ~H
H
Diz ~B
Alternativa a. Se uma pessoa diz que bebe, pode estar ou não estar sendo honesta. Alternativa b. Mesmo caso da anterior Alternativa c. Dizer que não existem pessoas honestas que dizem que não bebem, ou seja, não há pessoa que seja honesta e que diga que não bebe ao mesmo tempo. Opção correta, pois o conjunto dos que não bebem não chega aos honestos (FGV) O argumento que se segue foi extraído do livro “As aventuras de Huckleberry Finn”, de Mark Twain. Nele, o personagem Huck Finn afirma: - Jim disse que as abelhas não picariam idiotas; mas eu não acreditei nisso, porque eu mesmo já tentei muitas vezes e elas não me picaram. Analisando o argumento, podemos dizer que: a. Uma premissa implícita é que Huck Finn é idiota. b. Uma premissa implícita é que Huck Finn não é idiota. c. A conclusão do argumento é que Jim é idiota. d. A conclusão do argumento é que Huck Finn é inteligente. O personagem está negando a afirmação: as abelhas não picariam idiotas. Quando se nega uma negação, tem-se uma afirmação, pois uma negação elimina a outra. Ou seja, para o personagem: As abelhas picariam idiotas. Como ele disse que elas não o picaram, então é sinal que ele está afirmando que não é idiota.
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Proposições Lógicas e Conectivos (Breve teoria) Valorações de proposições: V ou F
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Lembre que toda proposição deve ser uma afirmação. A lógica tradicional não trabalha com proposições interrogativas. Tabela Verdade: Como a valoração sempre será V ou F. Para saber o número de linhas da tabela verdade, usa-se a fórmula 2 n , onde n é o número de proposições. Exemplo: se tivermos A e B, n=2, a tabela terá 4 linhas. Se tivermos A,B,C e D, n=4, então a tabela terá 16 linhas. Conectivos: Negação ( ¬ ) Para negar uma proposição, se ela for V vira F; se F vira V. Verifica-se a negação quando aparece elemento negativo: não, é falso que... Exemplo: Dada a proposição A, então sua negação(contradição) será ¬ A
A A V V F F
B V F V F
~A F F V V
¬A
~B F V F V
Conjunção ( ∧ ) Só será verdadeira, se ambas forem verdadeiras. Está relacionada com a intersecção de conjuntos. Verifica-se a conjunção quando aparece elemento aditivo: e, mas, contudo... Exemplo: Dadas as proposições A e B, então a conjunção será A ∧ B A B A∧B
A V V F F
B V F V F
Observe que : A ∧ B= B ∧ A (São equivalentes)
A∧B V F F F
Disjunção Inclusiva ( ∨ ) Será verdadeira se uma ou outra proposição for verdadeira; ou seja, só será falsa se ambas forem falsas. Está relacionada com a união de conjuntos. Verifica-se a conjunção quando aparece elemento alternativo: .... ou .... Exemplo: Dadas as proposições A e B, então a disjunção será A ∨ B
A B
Observe que : A ∨ B= B ∨ A (São equivalentes)
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A∨ B
A V V F F
B V F V F
A∨B V V V F
Disjunção Exclusiva ( ∨ ) Será falsa quando ambos falsos e também quando ambos verdadeiros. Pois não há intersecção entre os conjuntos. Verifica-se a conjunção quando aparece elemento alternativo: ou.... ou .... É excludente, ou acontece uma coisa A ou outra B. Se A acontece, B não acontece e vice-versa. Não pode ambos acontecerem ou ambos não acontecerem.
A
A V V F F
B V F V F
B
A∨B F V V F
Implicação ( → ) Só será falsa se uma proposição verdadeira implicar uma falsa. Disso conclui-se que sempre que a primeira proposição for falsa, a implicação será verdadeira. Em conjuntos, a primeira proposição está contida na segunda, ou seja, a segunda contém a primeira. Verifica-se a implicação quando aparecem: se... então; Se A,B; A implica B; A é suficiente para B; B é necessária para A... (sempre que pudermos substituir o conectivo da frase por se...então) A primeira proposição é condição suficiente, a segunda é condição necessária Exemplo: Dadas as proposições A e B, então a implicação será A → B Observe que : A → B é diferente de B → A
B A A
B
A→B
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V V F F
V F V F
V F V V
Se a condição suficiente é Falsa, a implicação é verdadeira Se a condição necessária é Verdadeira, a implicação é verdadeira.
Vale salientar para um detalhe importante na implicação. Se afirmamos a condição suficiente, afirmamos a necessária. Se negamos a necessária, negamos a suficiente. As outras possibilidades acarretam argumentos inválidos, pois nada podemos afirmar Se negamos condição suficiente, nada podemos afirmar sobre a necessária Se afirmamos condição necessária, nada podemos afirmar sobre a suficiente. Dupla implicação ( ↔ ) Será verdadeira sempre que ambas proposições forem idênticas. Por isso também é chamada de identidade. Falso com Falso = Verdadeiro ; verdadeiro com verdadeiro = verdadeiro; falso nos outros casos. Em diagrama de conjuntos é representado como dois conjuntos idênticos. Verifica-se a identidade quando aparecem: A se e somente se B; A é idêntico a B... A e B são condições necessária e suficiente. Exemplo: Dadas as proposições A e B, então a identidade será A ↔ B A ↔B
Observe que : A ↔ B= B ↔ A (São equivalentes)
A V V F F
B V F V F
A ↔B V F F V
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(FGV) Considere o seguinte argumento: “ Se a companhia K. Bide for capaz de comprar matéria-prima a um preço favorável, u se as vendas aumentarem, então a K. Bide não sofrerá perdas. Se houver falta de material, a K.
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Bide não será capaz de comprar matéria-prima a um preço favorável. No momento, não há falta de materiais. Logo, a K.Bide não sofrerá perdas”. a. Trata-se de um argumento válido, apesar da existência de uma premissa discutível. b. Trata-se de um argumento válido, com todas as premissas verdadeiras. c. Trata-se de um argumento não válido d. NDA A: A companhia K. Bide é capaz de comprar matéria-prima a um preço favorável B: As vendas aumentam C: A companhia sofrerá perdas. D: Haverá falta de material
( A ∨ B ) →~ C ; D →~ A; ~ D f ~ C Na última premissa negou-se a condição suficiente, ou seja, ~D... sabe-se que Se D, então ~A , mas como se nega a condição suficiente, nada se pode afirmar sobre a negação ou não da necessária. Argumento inválido.
(FGV) Considere o seguinte argumento: “Se os métodos de trabalho forem anti-econômicos, então eles não serão socialmente desejáveis. Se os métodos forem enfadonhos, então serão prejudiciais à iniciativa. Se forem prejudiciais à iniciativa, então serão anti-econômicos. Se os métodos de trabalho forem meramente mecânicos, então serão enfadonhos. Portanto, se os métodos de trabalho forem meramente mecânicos, então não serão socialmente desejáveis.” a. Trata-se de um argumento válido. b. Trata-se de um argumento não-válido, em razão da existência de premissas falsas. c. Trata-se de um argumento não-válido, em razão da falsidade da conclusão. d. NDA A: Métodos de trabalho anti-econômicos B: Métodos de trabalho socialmente desejáveis C: Métodos de trabalho enfadonhos D: Métodos de trabalho prejudiciais à iniciativa E: Métodos de trabalho meramente mecânicos
A →~ B; C → D; D → A; E → C f E →~ B Analisando por diagramas que é o método mais rápido Ordenando as premissas em uma ordem melhor
Se E, então C Se C, então D Se D, então A Se A, então ~B Ora, é E, logo é ~B A conclusão deriva das premissas, é argumento válido. Afirmou-se a condição suficiente, afirma-se tudo.
E C D
A
~B
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(CESPE)Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso.
O diagrama que expressa esta situação é o seguinte.
Antônio é bonito
Maria é Alta
Certo, pois o argumento é válido. Como Maria é alta, então pode-se concluir que José foi aprovado no concurso, pois se uma coisa ou outra acontecesse, ele seria aprovado. R: Certo
José será aprovado (CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo.
A apresentação em diagrama de conjuntos deste problema é a seguinte
Célia tem um bom currículo Ela conseguirá um emprego
Existe a possibilidade de Célia conseguir um emprego sem possuir um bom currículo, então a conclusão não é válida. R: Errado (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” A expressão X + Y é positiva. O valor de 4 + 3 = 7 . Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto?
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Para ser uma proposição, deve ser passível de ser julgada como verdadeira ou falsa. A suposta proposição “a frase dentro destas aspas é uma mentira” não possibilita tal julgamento, conforme explicitado no texto. A segunda que diz a expressão X + Y é positiva é uma sentença aberta e para ser passível de julgamento deve determinar os intervalos de X e Y que são variáveis. Como não determina, não possibilita o julgamento. A terceira e quarta frases possibilitam julgamentos, então são proposições. A última é uma frase interrogativa e, conforme também ao texto, verifica-se que não possibilita o julgamento de verdadeira ou falsa. Há somente duas proposições R: Errado (CESPE) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x, tem-se que x 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 2
A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto
5 3 1 5, ,3, ,2, . 2 2 2 2
1 1 1 1 É válida para quase todos os valores, com exceção de , pois = que é menor que 2 4 2 2 R: Errado
(CESPE) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
Ser divisíveis por 2 e 3, os números devem ser divisíveis pelos dois números ao mesmo tempo, o que não ocorre com nenhum elemento do conjunto. R: Errado (CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por v, então obtém-se a forma PvQ, lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P ∨ Q, lida como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses conceitos, julgue os próximos itens. Considere as seguintes proposições: P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”
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Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”. A primeira avaliação que se faz quando se trata de “ou” é se vem a ser inclusivo ou exclusivo. Quando for exclusivo, uma opção exclui a outro e quando é inclusivo, é porque é possível uma condição existir ao mesmo tempo da outra. No caso acima, é possível que Mara ganhe dinheiro mesmo sem trabalhar, por exemplo, se for aposentada, p. ex. Então não posso afirmar que Mara não ganha dinheiro se não trabalha, pois é possível ganhar dinheiro sem estar trabalhando. Resp: E (CESPE) A proposição simbólica (P ∧ Q) ∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.
Fazendo a tabela verdade para três proposições, teremos um número de linhas de P V V V V F F F F
Q V V F F V V F F
R V F V F V F V F
(P ∧ Q) V V F F F F F F
2 3 = 8linhas (PvQ) ∨ R V V V F V F V F
Teremos 5 avaliações verdade, Resp: E (CESPE) O quadro abaixo pode ser completamente preenchido com algarismos de 1 a 6, de modo que cada linha e cada coluna tenham sempre algarismos diferentes. 1
3 5 1
5
6
6
1 5
4 3
2
2 2
4
4 2
3
Primeiro passo é avaliar em cada quadrícula com numeração se não há números repetidos na respectiva linha ou coluna. Depois disso é dar prosseguimento ao preenchimento do painel a partir de quadrados vazios onde existem a maior quantidade de números diferentes na linha e coluna do mesmo. Segue preenchimento.
1
6
4
5
3
2
3
2
5
6
4
1
2
1
6
3
5
4
5
4
3
1
2
6
6
3
2
4
1
5
4
5
1
2
6
3
Como há a possibilidade do preenchimento.... Resp: C
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(CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. As proposições lógicas são passíveis de julgamento, ou seja, de que digamos verdadeiro ou falso a elas. A única que não é possível é a número II. Resp: C