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George Boole George Boole (2 de noviembre de 1815 8 de diciembre de 1864) fue un matemático y filósofo británico. Como inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en el que desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Se podría decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipular operaciones lógicas. El trabajo de Boole fue ampliado y perfeccionado por William Stanley Jevons, Augustus De Morgan, Charles Sanders Peirce y William Ernest Johnson. Este trabajo fue resumido porErnst Schröder, Louis Couturat, y Clarence Irving Lewis. El trabajo de Boole (así como el de su descendencia intelectual) fue relativamente oscuro, excepto entre los lógicos. En ese momento parecía no tener usos prácticos. Sin embargo, aproximadamente setenta años después de la muerte de Boole, Claude Shannon asistió a una clase de filosofía en la Universidad de Michigan que le introdujo en los estudios de Boole. Shannon reconoció que el trabajo de Boole podía ser la base de los mecanismos y procesos en el mundo real y que por lo tanto era de gran relevancia. En 1937 Shannon se dedicó a escribir una tesis de maestría en el Instituto de
Tecnología de Massachusetts, en la que demostró cómo el álgebra de Boole puede optimizar el diseño de los sistemas electromecánicos de relés, entonces se utilizaban en conmutadores de enrutamiento de teléfono. También demostró que los circuitos con relés podrían resolver problemas de álgebra booleana. El empleo de las propiedades de los interruptores eléctricos a la lógica de proceso es el concepto básico que subyace en todos los sistemas electrónicos modernos en los equipos digitales. Shestakov Victor, de la Universidad Estatal de Moscú (19071987), propuso una teoría de los interruptores eléctricos basados en la lógica booleana, incluso antes de que Claude Shannon en 1935, en el testimonio de los lógicos y los matemáticos soviéticos Sofia Yanovskaya, Gaaze-Rapoport,Dobrushin, Lupanov, Dmitri Medvédev, y Uspensky, a pesar de que presentaron sus tesis académicas en el mismo año de 1938[ aclaración necesaria ]. Pero la primera publicación de los resultados Shestakov tuvo lugar sólo en 1941 (en ruso). Por lo tanto, el álgebra de Boole se convirtió en el fundamento de la práctica de circuitos digitales de diseño, y Boole, a través de Shannon y Shestakov, en la base teórica para la era digital. El cráter de Boole en la Luna lleva dicho nombre en su honor.
Circuitos Lógicos Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más entradas y exactamente una salida. En cada instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un valor en su salida, 0 o 1. Los valores 0 y 1 pueden representar ciertas situaciones físicas como, por ejemplo, un voltaje nulo y no nulo en un conductor. Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos circuitos elementales Denominados compuertas lógicas, entre las cuales diferenciaremos: Compuertas lógicas básicas: OR, AND, NOT. Compuertas lógicas derivadas: NOR, NAND. Los circuitos lógicos se forman combinando compuertas lógicas. La salida de un circuito lógico se obtiene combinando las tablas correspondientes a sus compuertas Componentes. Es fácil notar que las tablas correspondientes a las compuertas OR, AND y NOT son respectivamente idénticas a las tablas de verdad de la disyunción, la conjunción y la negación en la lógica de enunciados, donde sólo se ha cambiado V y F por 0 y 1. Por lo tanto, los circuitos lógicos, de los cuales tales compuertas son elementos, forman un álgebra de Boole al igual que los enunciados de la lógica de enunciados.
Aquí tenemos un ejemplo resuelto de la sección recursos del curso de Estructuras Discretas de la Universidad Fermín Toro. Polinomio: P (xyz) = wx + (x’’ + z’)´ + (yz’)´w´
U
Expresiones Booleanas
na expresión booleana es una
sucesión de símbolos que incluye 0,1, algunas variables y las operaciones booleanas. Las expresiones booleanas 0 y 1 pueden verse como expresiones en cualquier número de variables.
Forma normal disyuntiva. Una expresión booleana está en forma normal disyuntiva en n variables x1, x2,... xn, si la expresión es una suma de términos del tipo E1 (x1) x E2( x2) x ... x En(xn), donde Ei(xi) = xi o xi’ para i = 1, 2,..., n, y ningún par de términos son idénticos. Además se dice que 0 y 1 están en F.N.D en una variable para todo n ³ 0. Toda expresión booleana que no contiene constantes es igual a una función en forma normal disyuntiva. Cualquier expresión booleana puede colocarse en forma normal disyuntiva en más de una forma. Basta cambiar el número de variables. Si a cada una de las n variables de una expresión booleana en la F.N.D se le asigna el valor 0 o 1 de una forma arbitraria pero fija, entonces exactamente un término de la F.N.D completa tendrá el valor 1, todos los demás términos tendrán el valor 0. En el siguiente ejercicio extraído de la sección de recursos del curso Estructuras Discretas podemos ver la aplicación del teorema de la Forma Normal Disyuntiva enumerada en paso:
Paso 1: Construir la tabla lógica de la expresión: X 1 1 1 1 0 0 0 0
Y 1 0 1 0 0 1 1 0
Z 1 1 0 0 1 1 0 0
(X+Y’)Z’ 0 0 1 1 0 0 0 1
Paso 2: Tomando en cuentas las líneas R donde la salida sea igual a 1, procederemos a escribir la variable como se presenta si su valor para la línea es igual a 1 y en caso contrario escribir su complemento, he ir sumando cada expresión de línea resultante como se muestra a continuación: Rspta: (xyz’)+(xy’z’)+(x’y’z’) Observación: Nótese que para la primera línea con valor de salida igual a 1 la expresión es: (xyz’) debido a que la única variable con valor 0 es Z por esta razón se escribe su complemento.
Algebras Booleanas Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y comple mento. Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Álgebra de Boole aplicada a la informática Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce enfalse (falso) o true (verdadero), respectivamente. Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos
normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano. El 0 lógico El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0". El 1 lógico En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico). En el siguiente ejercicio extraido de la seccion de recursos vemos aplucadas el algebra de Boole: Demostrar si los siguientes polinomios son equivalentes: P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’) Q (w, x, y, z) = x + z’ + y Sol: wx + (x’’ + z’) + (y + z’)= wx+(x+z’)+(y+z’)
(ley de involucion) = wx+(x+y)+(z’+z)
(ley comutativa)
=wx+(x+y)+z’
(ley de indepotencia)
=(wx+x)+y+z’
(ley asociativa)
=(x+xw)+z’+y (ley asociativa dos veces) =x+z’+y
(leyes de absorcion)