Tópicos de Matemática IME - ITA - OLIMPÍADAS Vol. 2 - Versão ISSUU by Editora VestSeller

A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas de Ciências exatas nacionais e internacionais.

Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores autodidatas.

Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo.

Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de problemas aparentemente terríveis fazendo uso de ferramentas elementares como Indução e Teoria dos Números. É de tirar o fôlego a cada página ! Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais uma vez dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e professores em todo Brasil.

Indução Matemática e Teoria Elementar dos Números

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

TÓPICOS DE MATEMÁTICA Olimpíadas – ITA – IME

Volume 02 Indução Matemática e Teoria Elementar dos Números

Carlos A. Gomes José Maria Gomes

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Os autores Carlos A. Gomes O professor Carlos A. Gomes é Bacharel e Mestre em Matemática pela UFRN, na área de probabilidade, além de vários cursos realizados em várias instituições de ensino superior no Brasil, como UFPE, UFPB, IMPA-RJ, é professor do DMATUFRN, além a sua larga experiência em turmas de cursinhos pré-vestibulares nas disciplinas de Física e Matemática tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nível de ensino ,em Natal/RN e João Pessoa/PB, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CEI, Hipócrates Colégio e Curso, Objetivo vestibulares, Anglo vestibulares, entre outras. É membro da SBM Sociedade Brasileira de Matemática, é autor de vários artigos sobre Matemática elementar em publicações especializadas como a RPM e Eureka e nos últimos anos tem se dedicado e se especializado nas olimpíadas de Matemática.

José Maria Gomes O professor José Maria Gomes é Licenciado em Matemática pela UFRN e possui uma larga experiência em turmas de pré-vestibulares tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nível de ensino, em Natal/RN, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CIC, Maristela, entre outras. Nos últimos tempos têm se dedicado as olimpíadas de Matemática, treinando, orientando alunos e elaborando materiais didáticos para este propósito.

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Apresentação Nos últimos anos, tem sido evidente, pelo Brasil afora, o crescimento do número de jovens que almejam conseguir uma vaga nas excepcionais escolas superiores militares do ITA e do IME. Adicionalmente, é fato o enorme crescimento do movimento das olimpíadas de Matemática em todo o mundo e em particular no Brasil. A SBM – Sociedade Brasileira de Matemática organiza desde 1979 a OBM – Olimpíada Brasileira de Matemática e mais recentemente o governo federal lançou a OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, programa que teve na sua última versão a participação de mais de 17 milhões de alunos nos quatro cantos do nosso país. Neste contexto é bastante natural que surja a necessidade da elaboração de materiais escritos na nossa língua portuguesa que sirvam de apoio para a preparação dos alunos para estas competições. Nos últimos anos a revista EUREKA, publicada pela SBM, vem trazendo artigos, provas anteriores e problemas propostos resolvidos. Além disso, foi colocado no ar o excelente site da OBMEP, entre muitos outros, onde são encontrados bancos de questões, livros, provas, enfim, muitos materiais de excelente qualidade que com certeza têm auxiliado muitos alunos nas suas preparações para as competições acima citadas. Assim, vemos que o número de publicações direcionadas para esse tema vem crescendo, apesar de ainda ser muito pequeno no nosso país. Dentro deste panorama, nós autores resolvemos criar a coleção “´TÓPICOS DE MATEMÁTICA – OLIMPÍADAS – ITA  IME” que consiste numa coleção de livros com resumos teóricos que apresentam um nível adequado e muitos problemas resolvidos que foram compilados ao longo de vários anos em revistas, provas, artigos e diversos livros consultados pelos autores. A idéia central do nosso trabalho é produzir uma obra que concentre num só lugar vários problemas clássicos e interessantes e suas respectivas soluções detalhadas, um material precioso ao qual um aluno iniciante de outra forma só teria acesso caso consultasse várias fontes relacionadas. Nossa obra surge, portanto, como uma excelente ferramenta que permite ao aluno iniciante obter um grande salto de conhecimento num curto intervalo de tempo. Nossa coleção se divide em 6 volumes, a saber: Volume 01 – produtos notáveis, fatorações e desigualdades. Volume 02 – indução matemática e teoria elementar dos números. Volume 03 – geometria e trigometria. Volume 04 – funções, equações funcionais, sequências e séries. Volume 05 – combinatória e probabilidade. Volume 06 – números complexos, polinômios e equações algébricas.

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Por fim, gostaríamos de agradecer ao professor Renato Brito, diretor da editora Vestseller, pelo acolhimento do nosso projeto e aproveitar a oportunidade de parabenizá-lo tanto pela iniciativa de publicar novas obras quanto por reeditar obras antigas cujo acesso estava cada vez mais raras para a presente e a futura geração atual de alunos com aptidão natural para Ciências Exatas e aqueles que procuram obter vagas para as respeitadas instituições militares onde se destacam o IME e o ITA. Os leitores que quiserem fazer contato com os autores para críticas, sugestões bem para comunicar alguma errata eventualmente encontrada na presente obra, podem fazê-lo pelo email cgomesmat@yahoo.com.br

Carlos A. Gomes. José Maria Gomes.

Natal/RN, 04 de Maio de 2012

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Prefácio A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas de Ciências exatas nacionais e internacionais. Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo. Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores autodidatas. Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de problemas aparentemente terríveis fazendo uso de ferramentas elementares como Indução e Teoria dos Números. É de tirar o fôlego a cada página! Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais uma vez estar dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e professores em todo Brasil.

Prof. Renato Brito Fortaleza, 09 de Maio de 2012

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Dedicatória Dedicamos este trabalho a dois grandes amigos e colaboradores Os professores Benedito Tadeu V. Freire e Paulo de Sousa Sobrinho (Paulinho)

Carlos A. Gomes José Maria Gomes

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Índice Capítulo 1. Resumo Teórico .............................................................................. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Princípio da Boa Ordenação (PBO)............................................................. 15 Princípio da Indução Finita (PIF) – Primeira Forma ...................................... 15 Segunda Forma do Princípio da Indução Finita............................................ 15 Conjunto dos números naturais................................................................... 16 Conjunto dos números inteiros.................................................................... 16 Divisibilidade ............................................................................................. 16 Propriedades Básicas da Divisão ................................................................ 16 Algoritmo da Divisão................................................................................... 16 O Máximo Divisor Comum (MDC) ............................................................... 16 O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .............................................................. 17 Lema de Bézout ......................................................................................... 17 Números primos ......................................................................................... 17 Teorema fundamental da aritmética ............................................................ 17 Quantidade de divisores naturais de um número inteiro ............................... 18 Equações diofantinas lineares..................................................................... 18 Bases......................................................................................................... 18 Critérios de divisibilidade ............................................................................ 19 Congruências ............................................................................................. 21 A Função de Euler ...................................................................................... 24

Capítulo 2. Questões ......................................................................................... 25 1 2

Questões de Indução.................................................................................. 27 Questões de Teoria Elementar dos Números .............................................. 38

Capítulo 3. Resoluções...................................................................................... 49 1 2

Resoluções das Questões de Indução ........................................................ 51 Resoluções das Questões de Teoria Elementar dos Números ................... 120

Apêndice – Princípio da Boa Ordenação e Indução ...................................... 187 I ― Princípio da Boa Ordenação (PBO)........................................................... 189 II ― Primeira forma do Princípio da Indução Finita............................................ 189 II ― Segundo Princípio da Indução Finita ......................................................... 189 Referências Bibliograficas ............................................................................ 192

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Capítulo 1

Resumo Teórico

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RESUMO TEÓRICO – INDUÇÃO MATEMÁTICA 1. PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO (PBO) Todo subconjunto não vazio de 

(conjunto dos naturais) possui um

elemento mínimo.

2. PRIMEIRA FORMA DO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (PIF) Seja P(n) uma propriedade relativa aos números inteiros. Hipóteses: I. p(n) é verdadeira para n  1 ; II. p(k) ser verdadeira implica que p  k  1 também é verdadeira; Tese: Então p(n) é verdadeira para todo inteiro n  1 . Para aplicarmos a primeira forma do Princípio da Indução Matemática, devemos seguir os passos abaixo: I. Passo inicial verificar se p(n) é verdadeira para n = 1. II. Assumir p(k) verdadeira, hipótese da indução, e provar que p(k + 1) é verdadeira. III. Sendo verificados os itens (I) e (II), concluir que p(n) é válida para

n  1.

3. SEGUNDA FORMA DO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA Seja P(n) uma propriedade relativa aos números inteiros. Hipóteses: III. p(n) é verdadeira para n  1 ; IV. p(n) ser verdadeira para 1 < n < k implica que p k  1 também é verdadeira; Tese: Então p(n) é verdadeira para todo inteiro n  1 .

Capítulo 1 – Questões

TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS 1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS São os números da forma:   1, 2, 3, 4,...

Note que como nos livros de Análise Real, optamos por não considerar o zero como natural.

2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS São os números da forma:   2,  1, 0, 1, 2, ...

3. DIVISIBILIDADE Dados dois inteiros a e b, dizemos que a divide b (ou que b é divisível por a) quando existe um inteiro c tal que b  a  c .

4. PROPRIEDADES BÁSICAS DA DIVISÃO Se a, b e c são números inteiros, valem as seguintes propriedades: (1) Se a  0, então a divide a e a divide 0. (2) Para qualquer a, 1 divide a. (3) Se a divide b e a divide c, então a divide bm + cn, para todo m e n inteiros. (4) Se a divide b e b divide c, então a divide c. (5) Se a > 0 e b > 0, a divide b e b divide a, então a = b. (6) Se a > 0, b > 0 e a divide b, então a  b. É comum fazer uso da seguinte notação para dizer que um inteiro a divide o inteiro b: a | b . Se a não divide b, notamos a†b.

5. ALGORITMO DA DIVISÃO Dados dois números inteiros n e d, com d > 0, existem dois números inteiros q e r tais que n = q.d + r, com 0  r < d. Além disso, os números q e r são únicos, para cada par de números n e d dados.

6. O MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC). O Máximo Divisor Comum de dois inteiros a e b, que notaremos por mdc  a, b  , é um inteiro d maior do que 0, tal que: I. d divide a e d divide b (Isto é, d é um divisor comum);

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II. se existe um inteiro c maior do que 0, tal que c | a e c | b, então, c  d (isto é, d é o maior divisor comum).

7. O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Chamamos m de Mínimo Múltiplo Comum de a e b, e notamos por m  MMC  a, b  se e somente se: I. m é um inteiro positivo; II. a | m e b | m (ou seja, m é um múltiplo comum de a e b); III. Se n é um múltiplo de a e b, então n ≥ m (m é o menor múltiplo comum). Pode-se demonstrar que, para quaisquer números naturais a e b, vale a relação: mdc  a, b   mmc  a, b   a  b

8. LEMA DE BÉZOUT Se a e b são inteiros não nulos tais que mdc(a, b) = d, então existem inteiros x e y tais que ax  by  d. . Observação: 1) Quando mdc(a, b) = 1, os números a e b são chamados de primos entre si, relativamente primos ou ainda de co-primos. Pode-se demonstrar que inteiros a e b não nulos são relativamente primos se, e somente se, existem x e y inteiros tais que ax + by = 1. 2) Se um número primo p divide o produto de dois números naturais a.b, então p divide a ou p divide b (Lema de Euclides).

9. NÚMEROS PRIMOS Um número natural p é primo quando p  1 e os únicos divisores naturais de p são o 1 e o próprio p. Segundo um teorema bastante antigo (devido a Euclides), existem infinitos números primos.

10. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA O Teorema Fundamental da Aritmética coloca em evidência o papel dos números primos na estrutura dos inteiros. Ele nos assegura que um número natural sempre pode ser expresso como um produto de números primos de modo único, a menos da ordem desses fatores primos.

Capítulo 1 – Questões

11. QUANTIDADE DE DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO INTEIRO a

Se n é um número inteiro maior do que 1 e n  p1 1  p2 2 ... pk k , onde p1, p 2,....., pk

são números primos com

p1  p 2  ....  pk

então pode-se

demonstrar que a quantidade de divisores naturais de n é igual a Q n   a1  1   a 2  1   a 3  1  ...   a k  1 . 3

Por exemplo, 200  2  5 , portanto, número de divisores naturais de 200 é: Q(200) = (3 + 1).(2 + 1) = 43 = 12

12. EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES Denomina-se equações diofantinas as equações com coeficientes inteiros e com uma ou mais incógnitas a serem procuradas no conjunto dos números inteiros. As mais simples são as equações diofantinas lineares: ax  by  c, com a, b, c constantes e a, b, c   .

As soluções de uma equação diofantina desse tipo são dois inteiros x 0 , y0 , tais que ax 0  by 0  c. O nome dessas equações é em homenagem a Diofanto, que iniciou estudos no sentido de resolvê-las e que tomamos conhecimento através de Os Elementos, de Euclides. Diofanto viveu em Alexandria por volta de 250 depois de Cristo. Pode-se demonstrar que: Se x0, y0 é uma solução particular da equação diofantina ax + by = c, então todas as soluções desta equação são dadas por: b a x  x 0    t e y  y 0    t , com t um número inteiro.  d d

13. BASES Dados os números naturais m e a, com a > 1, existe uma expansão do número m na base a. Isto é, existem inteiros não negativos cn, cn-1,..., c2, c1, c0 , todos menores do que a, univocamente determinados, tais que:

m  cnan  c n  1an  1  ...  c 3 a3  c 2 a 2  c1a  c 0

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m  cn  an  cn  1  an  1  ...  c 3  a3  c 2  a2  c1  a  c 0 A expansão acima é chamada a expansão do número m relativo à base a e (c0 c1 c2... cn) (a) é a representação de m na base a.

14. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Olhando somente para os números na base 10, existem vários critérios de divisibilidade, isto é, vários testes que permitem saber se um número natural é divisível por outro sem efetuar a divisão. Esse estudo será mais completo com a noção de congruência. Como esse conceito não é normalmente estudado no Ensino Médio, pretendemos adiantar alguns critérios de divisibilidade que possam ser provados facilmente sem o uso de congruências. Assim, a seguir vamos estudar os critérios de divisibilidade mais comuns. a) Divisibilidade por 2 Um número natural K é divisível por 2 se, e só se, na sua representação na base 10, seu algarismo das unidades é divisível por 2. Ou seja, um número natural K é divisível por 2 se, e somente se, na sua representação na base 10, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. b) Divisibilidade por 3 Um número natural K é divisível por 3 se, e somente se, na sua representação na base 10, a soma de seus dígitos for um número divisível por 3. c) Divisibilidade por 4 Um número natural K é divisível por 4 se, e somente se, na sua representação na base 10, o número formado pelos dois últimos dígitos forma um número divisível por 4. d) Divisibilidade por 5 Um número natural K é divisível por 5 se, e só se, na sua representação na base 10, o dígito das unidades for 0 ou 5. e) Divisibilidade por 6 Um número natural K é divisível por 6 se, e somente se, na sua representação na base 10, for divisível simultaneamente por 2 e por 3.

Capítulo 1 – Questões

f) Divisibilidade por 7 Antes de enunciar o critério de divisibilidade por 7, vamos fazer algumas considerações. Seja K um número natural, cuja representação na base 10 é: K  c n 10 n  c n  110n  1  ...  c 3 10 3  c 210 2  c 110  c 0

com cn, cn-1, ..., c3, c2, c1, c0 inteiros não negativos, todos menores que 10. Agora, olhemos para a representação decimal de K como sendo a soma de duas parcelas:



K  10 c n10n  1  c n  110n  2  ...  c 3 10 2  c 2 10  c1



 c0

n 1  cn  110n  2  ...  c 3 102  c 210  c1 , podeChamando M  cn  110

mos escrever K como sendo K  10M  c 0 . Enunciamos a seguir o teste de divisibilidade por 7: Um número natural K  10M  c 0 é divisível por 7 se, e somente se, o número natural M  5c 0 for divisível por 7. Provemos a ida: de fato, se K  10M  c 0 for divisível por 7, então, 5K  5 10M  c 0  também é divisível por 7. Mas, podemos escrever: 5K  5 10M  c 0   50M  5c 0  49M  M  5c 0 .

Portanto, M  5c 0  5K  49M é um múltiplo de 7, por se tratar de uma diferença entre dois múltiplos de 7. Provemos a volta: se M + 5.c0 for um múltiplo de 7, então, 10  M  5c 0  é um múltiplo de 7. Mas, 10 M  5c 0   10M  50c 0  49c 0  10M  c 0   49c 0  K. Portanto, K  10 M  5c 0   49c 0 é um múltiplo de 7, por ser a diferença entre dois múltiplos de 7.

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g) Divisibilidade por 8 Um número natural K é divisível por 8 se, e somente se, na sua representação na base 10, o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por 8. h) Divisibilidade por 9 Um número natural K é divisível por 9 se, e somente se, na sua representação na base 10, a soma de seus dígitos for um número divisível por 9. i) Divisibilidade por 10 Um número natural K é divisível por 10 se, e somente se, na sua representação na base 10, é divisível simultaneamente por 2 e por 5. Também podemos dizer que um número natural K é divisível por 10 se, e somente se, na sua representação na base 10, o algarismo das unidades for zero. j) Divisibilidade por 11 Um número natural K é divisível por 11 se, e somente se, na sua representação na base 10, a soma de seus dígitos nas posições pares menos a soma dos dígitos nas posições ímpares é um número divisível por 11.

15.CONGRUÊNCIAS Se a, b e m são três números inteiros com m > 0, dizemos que a é côngruo a b módulo m se m | a  b. Simbolicamente, escrevemos: a  b(mod m)  a – b = mk, sendo k um número inteiro. Uma propriedade muito útil, que decorre imediatamente da definição de congruência, é a seguinte: Teorema Dizer que a  b (mod m) é equivalente a dizer que a e b deixam o mesmo resto na divisão por n. Propriedades básicas das congruências Se a, b, c e d são inteiros quaisquer e m é um inteiro maior do que 0, são verdadeiras as seguintes propriedades: I. a  a (mod m) (Reflexiva) II. Se a  b (mod m), então b  a (mod m) (Simétrica)

Capítulo 1 – Questões III. Se a  b (mod m) e b  c (mod m), então, a  c (mod m) (Transitiva) IV. Se a  b (mod m) e c  d (mod m), então, a + c  b + d(mod m) (Adição) V. Se a  b (mod m) e c  d (mod m), então, a  c  b  d (mod m) (Subtração) VI. Se a  b (mod m) e c é um inteiro, então, a  c  bc (multiplicação) VII. Se a  b (mod m) e c  d (mod m), então, ac  bd (mod m) (Produto) k

VIII. Se a  b (mod m) e k é um inteiro positivo, então, a  b (mod m) (Potênciação) IX. Se a + c  b + c (mod m), então, a  b (mod m) (Cancelamento para a adição)

Resolução de uma Congruência Linear Teorema A congruência linear ax  b (mod m) admite solução se, e somente se, d divide b, onde d = MDC(a, m). Além disso, se d divide b, então, a congruência admite d soluções mutuamente incongruentes módulo n. Além disso, se xo é uma solução (particular) da congruência axo  b (mod m), então as outras d soluções (incongruentes entre si módulo m) são: x o ,x o 

m m m ,x o  2 , ...,x o   d  1 d d d

Adicionalmente, qualquer outra solução x da congruência linear ax  b (mod m) será congruente módulo m a exatamente um dos números acima. Exemplo resolvido: Resolva a congruência linear 3x  1mod10  . Resolução: Nesse caso mdc(3, 10) = 1. Ora, como 1|2, segue que a congruência linear 3x  1mod10  possui solução única módulo 10 (lembre-se que a quantidade de soluções distintas é sempre igual a d, que no caso é igual a 1). Assim se xo for uma solução então qualquer outra solução x será tal que x  x o mod10  . No caso da congruência 3x  1mod10  , note que x = 3 é uma solução, pois 3.(3)  1 = 10, que é divisível por 10.

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QUESTÕES I. Indução n(n  1) . 2

Demonstrar que a soma dos n primeiros números naturais é igual a

Demonstrar que a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é igual a

n(n  1)  (2n  1) . 6

O produto 123...n indica-se com n! (Lê-se fatorial de n). Convém memorizar que 1! = 1, 2! = 2, 3!= 6, 4! = 24 e 5! = 120. Calcule a soma abaixo:

Sn  1 1!  2  2!  3  3!  .......  n  n! 4)

Demonstrar que a soma dos cubos de três números consecutivos quaisquer é sempre divisível por 9.

Demonstrar que a soma An  11n 2  122n1 é divisível por 133, qualquer que seja o número inteiro n > 0.

Mostre que n2  3n  4 é um número inteiro para todo inteiro n.

Demonstrar que, se U0  2, U1  3 e Uk 1  3Uk  2Uk 1 para todo número natural k, então Un  2n  1.. 1 1 1 1 n    ...   ,  n  1, n   1 3 3  5 5  7 (2n  1)  (2n  1) 2n  1

Demonstrar que

Para n  5, n   , mostre que 2n  n2

10) Demonstrar que

1 1 1 13   ...   para todo n natural, n > 1. n 1 n 1 2n 24

11) Mostre que 2 | (n2  n),  n  . 12) Demonstrar que Sn  12  2 2  3 2  4 2  ...  ( 1)n1  n 2  ( 1)n1

n(n  1) 2

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41) Demonstre que  1  1  1 (1 1)   1   1   ...  1   n  1, n  . 2 3     n

42) Mostre que 2n  n  1, n  .

43) Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é Sn  (n  2)  180º. 44) Mostre que 8 | (3 2n  1), n  . 2

45) Mostre que 2  5  8  ...  (2  3n) 

n  1  (4  3n) 2

n  0, n inteiro.

46) Demonstre que

20  21  2 2  ...  2n 1  2n  1,

n  

47) Para n  0, mostre que an  2n3  3n2  n é um número divisível por 6.

48) Mostre que o número de diagonais de um polígono convexo de n lados vale

(n  3)  n 2 49) Para n  0 , mostre an  7n  1 é um número divisível por 6.

50) Para n  0 , mostre que an  24n  1 é um número divisível por 15.

51) Para n  0, n   , mostre que an  7n  2 é um número divisível por 3.

52) No longínquo país do Esquisitistão, a moeda local é o “esquisitis”. Nesse país, um banco tem uma quantidade ilimitada de cédulas de 3 e 5 esquisitis. Prove que o banco pode pagar uma quantidade qualquer (inteira) de esquisitis, maior do que 7.

Capítulo 2 – Questões

87) Encontre todas as funções f :      tal que f(x)  f(y)  2xy  f(xy) 

f(xy) f(x  y)

onde   é o conjunto dos racionais positivos. 88) Mostre que

m! (m  1)! (m  1)! (m  n  1)!   ...   0 1! n! n!(m  1)

onde m, n = 0, 1, 2,...

89) Dispomos de k cores para colorir os vértices de um polígono convexo de n lados. Sabendo que vértices adjacentes não podem ter a mesma cor, mostre que o número de maneiras para se efetuar esta tarefa é igual a:

k  1n   k  1   1n n

 n   n   n  1  n  n1 i n b, 90) Sabendo que       , mostre que (a  b)   a  i   i  1  i  1   i i 0



para n  0 e  a, b   91) Prove que todo número natural pode ser representado como a soma de diversas potências de 2. 92) Desenham-se n círculos num plano  de acordo com o seguinte procedimento: todos os círculos cortam-se sempre em dois pontos e três círculos não passam nunca pelo mesmo ponto. Mostre que os círculos dividem o plano  2

em (n – n + 2) regiões, incluindo a que é exterior a todos os círculos.

93) Seja x 

1  y para n > 0, com n   mostre que: x 1

x n 1  x

n 1

 1   n 1 1   y x n   x  n  n 1   x   x 

94) Para n ≥ 10, com n  , mostre que 2n  n3 . 95) Para n  7, com n  , mostre que n!  3n.

Capítulo 2 – Questões

II. Teoria Elementar Dos Números

n 01) Mostre que se p é primo, então p |   , onde 0  k  p. k  02) Um conjunto A contém 1989 números tais que a soma de quaisquer 10 deles é sempre positiva. Mostre que a soma de todos estes números é positiva. 2

03) Seja n um número natural. Prove que a divisão de n por 6 nunca deixa resto 2. 04) Ache o menor múltiplo (positivo) de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4. 05) O resto da divisão do inteiro n por 20 é 8. Qual o resto da divisão de n por 5?

06) Qual o quociente e o resto da divisão euclidiana de 78 por 5 ?

07) Encontre o número de divisores positivos do número: 5

K = (2005) + 5(2005) + 10(2005) + 10(2005) + 5(2005) + 1.

08)

a 2121212121210 é a forma irredutível da fração . Qual o valor de a  b ? b 1121212121211

09) Determine inteiros positivos m e n tais que

m  n  2009

10) O produto de quatro inteiros consecutivos é 7920. Achar os inteiros. 11) Qual é o maior inteiro positivo n para o qual (n + 10) divide (n3 + 100) ? 12) Os quadrados de dois números inteiros consecutivos diferem por 1997. Quanto é a soma desses dois inteiros? 13) Em um conjunto de dez números inteiros positivos, não necessariamente distintos, são realizadas as seguintes operações: retira-se o primeiro número e somam-se os nove restantes; retira-se o segundo e somam-se os nove restantes; e segue-se desta maneira até retirar o décimo número e somar os nove restantes. Dessa maneira, obtém-se somente nove resultados distintos, que são: 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 96. Achar os dez números iniciais.

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56) Mostre que nenhum número da sequência 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... é um quadrado perfeito. 57) Prove que o número 111...11222...225 é um quadrado perfeito.      1997

1998

58) Determine inteiros positivos x, y e z tais que x 

1 1 y z



10 . 7

59) Os números 21989 e 51989 escritos na forma decimal são colocados lado a lado. Qual a quantidade total de dígitos que são escritos ? 60) Os números 1, 1/2, 1/3, ...., 1/19, 1/20 são escritos no quadro negro. Apague quaisquer dois desses números a e b e escreva o novo número a + b + ab. Que número aparecerá no quadro negro depois de 19 dessas operações? 61)

1 2  2 1 2 4 1 4  2 Mostre que m  n  m  mn  n  m  mn  n  4







56 1 5 6 1 e n  2 2 , mostre que m 4  n4  3 4  45 . 4

Tomando m  3

Mostre que 34  45

pode ser escrito como o produto de dois inteiros

maiores que 10 2002 . 62) Prove que a fração

21n  4 é irredutível, para todo número natural n. 14n  3

63) Uma empresa de transporte tem um contrato para levar 844 geladeiras. A empresa possui dois tipos de caminhão: um tem capacidade para transportar 28 geladeiras e o outro tem capacidade para transportar 34. Se cada caminhão é enviado com carga máxima e retorna vazio, liste todas as maneiras possíveis de transportar as geladeiras. 64) Demonstre que 270  370 é divisível por 13. 65) Encontre os pares de números naturais (x, y) tais que:

1!  2!  3!  ...  x!  y 2

Capítulo 2 – Questões

85) Num país distante, os números são escritos na base r e a moeda local é o potiguar, abreviada Poti. Um homem comprou um boi por 440 potis. Para efetuar a compra, ele deu ao vendedor uma cédula de 1000 potis e recebeu de troco 340 potis. Qual é o valor da base r? 86) (O adivinho indiscreto) Convide um colega para dizer, dentre os 6 cartões abaixo, de 32 números cada, em quais deles está a sua idade. Imediatamente você advinha à idade dele. Onde está o segredo? 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

2 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63

3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34

4 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63

5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36

8 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63

9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40

16 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48

32 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

87) Escreva a sequência crescente de todos os números inteiros começando por 10 e terminando por 99 para formar o número inteiro K  101112131411516...979899 . Qual é a maior potência de 3 que divide K? 88) Considere a sequência de números inteiros dada por 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, na qual o n-ésimo número inteiro positivo aparece n vezes.Qual é o termo de ordem 2007? 89) Uma senhora transportava um cesto de ovos. Assustada por um cavalo que galopava perto dela deixa cair o cesto e todos os ovos se partem. Quando lhe perguntaram quantos ovos tivera o cesto, respondeu dizendo que é muito fraca em aritmética, mas lembra-se de ter contado os ovos de dois em dois, de três em três, de quatro em quatro e de cinco em cinco, e tivera sobra de 1, 2, 3, e 4 ovos, respectivamente. Ache a menor quantidade de ovos que o cesto inicialmente poderia ter. 90) O mágico senta-se numa cadeira, de costas voltadas para a audiência. Alguém pensa num número natural qualquer não superior a 105. Divide o número por 3 e diz o resto da divisão ao mágico. Em seguida, divide o número inicialmente pensado por 5 e fala o resto da divisão ao mágico. E, finalmente, divide o número pensado por 7 e diz o resto. O mágico, conhecendo apenas os três restos, advinha o número pensado. Qual é o truque?

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RESOLUÇÕES: I. Resoluções: Indução 1)

Demonstrar que a soma dos n primeiros números naturais é igual a

n(n  1) . 2

Resolução Indiquemos por Sn a soma procurada Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n 1º)

Para n = 1 a hipótese é válida porque S1  1 

2º)

Suponhamos que Sk  1  2  3  ...  k 

(1 1)  1 2

k(k  1) 2

Demonstraremos que Sk 1  1  2  3  ...  k  (k  1) 

(k  1)  (k  1) 2

De fato: Sk 1  Sk  (k  1) 

k  (k  1) (k  1)  (k  1) .  (k  1)  2 2

Demonstrar que a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é igual a

n(n  1)  (2n  1) . 6

Resolução Seja a S2(n)  12  22  32  42...  n2. 1.(1  1).(2.1  1) 6

1º)

S 2 (1)  12 

2º)

Admitamos n = k. Suponhamos que S 2 (k) 

Devemos mostrar que n  k  1  S2  k  1 

 k  1k  2 2k  3

S2 (k  1)  12  2 2  3 2  ...  k 2  (k  1) 2  k(k  1)  (2k  1)  (k  1)  6 k  k  1 2k  1  6  k  1 (k  1)  (k  2)  (2k  3)   6 6  S 2 (k)  (k  1) 2 

k(k  1)  (2k  1) 6

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30) Demonstrar que  n   cos x  2cos 2x  3cos3x  ...  ncosnx 

(n  1)  cosnx  ncos(n  1) x  1 n 4sen2 2

Resolução 1º)

A proposição é válida para n = 1, uma vez que 2cos x  cos 2x  1 2cos x  2cos 2 x cos x(1  cos x)    cos x x x x 4sen2 4sen2 2sen2 2 2 2

2º)

Suponha verdadeira para n = k cos x  2cos 2x  ...  k coskx 

(k  1)  coskx  k cos(k  1) x  1 x 4 sen 2 2

Então, para n = k + 1, temos: cos x  2cos 2x  ...  k coskx  (k  1) coskx  x 



(k  1)  coskx  k cos(k  1) x  1 2(k  1)  cos(k  1)x  (1  cos x)   x x 4 sen2 4 sen2 2 2

(k  2)  cos x(k  1)x  (k  1)cosk x 2(k  1) cosx cos(k  1)x  1   x x 4 sen2 4 sen2 2 2

(k  2)  cos(k  1)x  (k  1)  cos k x (k  1)  cos(k  2)x  coskx   1   x x 4sen2 4sen 2 2 2



(k  2)  cos(k  1)x  (k  1)  cos(k  1)x  1 x 4 sen2 2

31) Demonstrar que (para valores de x em que a expressão está definida) 1 x 1 x 1 x 1 x tg  tg  ...  tg  cot g  cot gx n n n 2 2 22 22 2 2 2 2n

120

Capítulo 3 – Resoluções

II. Resoluções Teoria elementar dos números  n 01) Mostre que se p é primo, então p |   , onde 0  k  p. k

Resolução:

 p  p  p  1  ...  p  k  1 Inicialmente lembremos que    k! k 

e então

p  p  1  ...

p ...  p  k  1    k! Note que claramente p divide o primeiro membro (pois p é um k  p dos fatores do primeiro membro). Como   k! é igual ao primeiro membro, segue k

p que p divide   k! . Finalmente note que p não divide k!, pois se dividisse, p k  deveria dividir k ou k-1 ou 1, o que não pode ocorrer pois 0  k  p. . Assim p deve p necessariamente dividir   , com 0  k  p. k 

02) Um conjunto A contém 1989 números tais que a soma de quaisquer 10 deles é sempre positiva. Mostre que a soma de todos estes números é positiva. Resolução: De fato, arrume os 1989 números dados numa lista não decrescente x1  x 2  ...  x1989 . Ora, sabemos que x1  x 2  ...  x 10  0, pois a soma de

quaisquer dez números da lista é sempre positiva. Como x10  x 9  ...  x1 segue que x 10  x 10  ...  x10  x 1  x 2  ...  x 10  0  10x10  0  x10  0  10parcelas

Ora,

como

0  x10  x11  x12  ...  x 1989 ,

segue que

x1989  0 e portanto x11  x12  ...  x1989  0.  x 1  x 2  ...  x 10  0 Assim,   x 1  x 2  ...  x 1989  0  x 11  x12  ...  x1989  0

x11  0, x12  0,...,

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40) Qual o algarismo das unidades do número 7

139

7100  ?

Resolução: Vamos inicialmente investigar o algarismo das unidades das primeiras potências de 7. Vejamos: 71  7

7 2  49

7 3  343

75  16807

7 6  117649

...

7 4  2401

Se prosseguirmos com as potências de 7 veremos que há uma repetição dos algarismos das unidades, sempre na mesma ordem 7 , 9, 3 e 1. Note que o algarismo das unidades de 7n , com n natural é 7 quando o resto da divisão de n por 4 é 1; é igual a 9 se o resto da divisão de n por 4 é igual a 2; é igual a 3 se o resto da divisão de n por 4 é 3 e é 1 se o resto da divisão de n por 4 é igual a 0. Diante disso, o algarismo das unidades de 7100 é igual a 1, visto que o resto da divisão

100

por

igual

Assim

7100  4q  1

então

7100   74q1  74q.7 . Como 4q é múltiplo de 4 segue que o algarismo das

unidades de 7 4q é 1, que multiplicado por 7, faz com que o algarismo das unidades de 7

7100  seja o 7.

41) Ache os dois últimos algarismos de 9

99  ?

Resolução: Neste caso vamos trabalhar com congruências módulo 100. Assim como na questão anterior vamos começar investigando as primeiras potências de 9. Vejamos: 91  9

9 2  81

9 3  729

9 5  59049

9 6  531441

...

9 4  6561

Indução Matemática e Teoria Elementar dos Números