MÉTODOS NUMÉRICOS II
Alumno: Víctor Rubén Pérez Olaya Profesora: Teresa Carrillo Ramírez
Métodos Numéricos II
Pérez Olaya Víctor Rubén
Índice
-
Prólogo…………………………………………… pag. 3 Método del Punto Fijo………………………...… pag. 4 Método de Newton Raphson Multivariable…… pag. 7 Método de Newton Modificado………………… pag. 9 Método de Quasi Newton (Broyden) …..…...... pag. 12 Polinomio de LaGrange……………………....… pag. 17 Diferencias Divididas………………………....… pag. 20 Interpolación de Newton……………………….. pag. 24 Polinomio de Hermite………………………...… pag. 27 Spline cúbicos…………………………………… pag. 32 Mínimos cuadrados…………………………..… pag. 40 Diferenciación Numérica…………………….… pag. 46 Método de Richardson. …………………..…… pag. 52 Método de Integración Numérica (Regla del trapecio, Simpson 1/3, Simpson 3/8)…………………… pag. 53
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Prólogo. Este ebook busca dar a entender al lector algunos de los métodos numéricos más comunes mediante una breve teoría y explicación, junto con un ejercicio que busque aclarar las dudas que puedan presentarse en el método. Se trata de métodos numéricos que permiten resolver sistemas de ecuaciones no lineales (multivariables). Los métodos a ver serán los siguientes: Solución de sistemas no lineales:
Método del Punto Fijo Método de Newton Raphson Multivariable Método de Newton Modificado Método de Quasi Newton (Broyden)
Métodos de Interpolación Polinomial
Polinomio de Lagrange Diferencias Divididas Interpolación de Newton Polinomio de Hermite
Métodos por aproximación Spline cúbicos Mínimos cuadrados Métodos de Diferencicación e Integración Diferenciación Numérica Método de Richardson Método de Integración Numérica (Regla del trapecio, Simpson 1/3, Simpson 3/8)
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SOLUCIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES En este apartado, los métodos que se van a utilizar servirán para dar solución a las ecuaciones algebraicas de la forma f(x)=0 con métodos de solución de sistemas de ecuaciones de la forma Ax=b, para resolver un sistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, de manera general:
Los métodos se adaptan para la solución de ecuaciones algebraicas mediante una sustitución por un problema vectorial que incluye todas las variables.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO Este método busca escribir las ecuaciones del sistema de la forma:
Y a su vez encontrar los valores (x1, x2, …, xn) satisfaciendo las ecuaciones del sistema. Cada ecuación resuelta corresponde a una variable, de tal manera que se obtenga:
Estas ecuaciones se toman como fórmulas recursivas, pues para obtener una estimación se resuelve a partir de una anterior, haciendo que:
Empezamos con los valores iniciales
, en seguida nuevos valores
, y así sucesivamente, buscando que conforme cada iteración los valores se aproximen a la raíz buscada, con
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EJERCICIO: Resolver el siguiente ejercicio con el método de punto fijo multivariable, con sustituciones simultáneas:
Graficamos las funciones
Despejamos la variable x de la primera ecuación, tomando para la primera función -4x, obteniendo , de misma manera se hace con la segunda ecuación, pero despejando y con -5y, obteniendo dando como resultado:
Verificar si el sistema converge con las condiciones en las fórmulas de derivadas parciales, empezando con el vector propuesto = (0 + 0) <1 = (0 + 0.2) <1 Luego evaluamos con el vector . Existe un cambio de signos, lo que asegura que existe en esos intervalos una raíz
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Ejemplo la primera iteración x1=(-(2)2+0+4(2)+2)/4 y1=(-2(2)(0)+5(0)+3)/5 valores de x, valores de y. Para calcular el error utilizamos
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xi
yi
2 1.5 1.5875 1.66746094 1.69900444 1.70282841 1.70016501 1.69839099 1.69792062 1.69794107 1.69801501 1.6980471 1.69805213
0 0.6 0.84 0.9066 0.90191197 0.88897099 0.88346497 0.88265048 0.88301623 0.88329964 0.88338335 0.88338407 0.88337297
Error 0.781024968 0.255453029 0.104063978 0.031889973 0.01349413 0.006116371 0.001952063 0.000595836 0.00028415 0.000111685 3.20999E-05 1.21914E-05
La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente aproximación xi=1.69805213 yi=0.88337297 Con un error de: 1.21914E-05
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Método de Newton-Raphson
Este método para resolver sistemas de ecuaciones no lineales busca linealizar y resolver repetidamente. Usando notación vectorial para escribir el sistema (1) se tiene: F(X) = 0 Definiendo los vectores columna como: F = [f1, f2, …, fn]t X = [x1, x2, …, xn]t Se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden:
Donde xi es el valor inicial de la raíz y xi+1 es el punto en el cual la derivada intersecta al eje.
La forma para varias ecuaciones se deriva en forma idéntica:
Ordenando:
EJERCICIO: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Newton-Raphson.
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Calculamos las derivadas parciales de cada función.
Dados los valores iniciales (2,0,3) y un error de 0.0001 Iteramos el método de Newton-Raphson.
x
Matriz 2 0
Derivadas Parciales 4 0 0 6
6 0
3 1 1 2.56666667 5.13333333 0.33333333
-6 3.91111111
0.16666667 0.32592593 5.01925926
0.42777778
1.95555556 1 1 2.50034708 5.00069417 0.45486239
-3.91111111 3.35044217
0.22743119 0.38099753 4.18863416
0.56865692
1.67522109 1 1 2.4983625 4.99672501 0.48322407
-3.35044217 3.3108109
0.24161203 0.39996588
4.1358029
0.60363445
1 1 4.9980454 0.48342203
-3.3108109 3.3110323
0.24171102 0.40015649 4.13717244
0.60404132
1.65551615
-3.3110323
1.65540545 2.4990227
1
1
Jacobiana 0.2 -0.03333333 0 0.16666667
0.2 0 0.03333333 0.02222222 0.13333333 0.16610842 -0.04318457 0.1613851 0.01409871 0.19864904 0.00762853 0.03886612 0.03974944 0.21246811 0.17191413 -0.05738659 0.16217414 0.02172311 0.23669548 0.01845025 0.04482722 0.05351798 0.24455745 0.17251147 -0.05925562 0.16170785 0.02326273 0.23957246 0.02041666 0.04507921 0.05446304 0.24703177 0.17247402 -0.05923035 0.16166845 0.02326174 0.23949109 0.02042932 0.04506518 0.05444246 0.24702333
Matriz de funciones o ERROR 4 -1 -7 1.416604938 -0.16345679 -1.090864198 0.069865096 -0.047373931 -0.078587414 -0.003713165 -0.000740248 -0.00039266 -3.00405E-05 1.53218E-07 -1.22552E-08
La solución al sistema de ecuaciones es (2.4990227,0.24171102,1.65551615) P á g i n a 8 | 56
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Método de Newton Modificado Consiste en aplicar n (n número de ecuaciones) veces el método de Newton univariable, uno a cada variable y al momento de hacerlo se consideran las demás variables fijas. Se emplea la derivada parcial evaluada en los valores iniciales:
Y así obtener los valores siguientes, y así sucesivamente. Normalmente el método converge si los valores iniciales delas variables son cercanos a la raíz y requiere de sólo 2n funciones por paso. EJERCICIO: Solucionar el siguiente ejercicio con el método de Newton Modificado, con tolerancia 0.0005: f1(x, y, z) = x^2+y^2+z^2=9 f2(x, y, z) = xyz=1 f3(x, y, z) = x+y-z^2=0 Igualamos las ecuaciones a 0:
f1(x, y, z) = x^2+y^2+z^2-9=0 f2(x, y, z) = xyz-1=0 f3(x, y, z) = x+y-z^2=0 Calculamos ahora las derivadas parciales de cada función:
df1/dx = 2x df2/dy = xz df3/dz =-2z Proponemos iniciar con el vector x^0=[2.5,-0.5,-1.5].
(x,y,z) 2.5 -0.5 -1.5
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Sustituimos en la función original y en la derivada parcial, cada elemento de (x,y,z) con su respectiva función: f[xk,yk,zk] Df[x,y,z] -0.25 5 0.875 -3.75 -0.25 3
Y para los siguientes valores de (x, y, z) aplicamos la fórmula respectivamente y obtendremos sus siguientes valores (subrayados en naranja). (x,y,z) 2.5 -0.5 -1.5 2.55 0.26666667 1.41666667
Y proseguimos con el mismo método hasta pasar la tolerancia, para eso nos basaremos en el error del valor más grande del elemento (x, y, z) de ki+1 menos la de ki. La tabla finalmente quedaría así: k
(x,y,z) 0
1
2
3
4
5
f[xk,yk,zk] 2.5 -0.5 -1.5 2.55 -0.26666667 -1.41666667 2.63224401 -0.27681661 -1.51421569 2.57560315 -0.2508916 -1.53487927 2.56540504 -0.25295707 -1.52473423 2.57123165 -0.25565242 -1.52067893
-0.25 0.875 -0.25 -0.41944444 -0.03666667 0.27638889 0.2981851 0.10333153 0.06257826 0.05253258 -0.00816533 -0.03114283 -0.02989521 -0.010543 -0.01236651 -0.01094524 -0.0003945 0.00311482
Df[x,y,z]
Error 5 ------3.75 3 5.1 0.05 -3.6125 2.83333333 5.26448802 0.08224401 -3.98578517 3.02843137 5.15120631 0.05664085 -3.9532399 3.06975855 5.13081008 0.01019811 -3.91156089 3.04946847 5.1424633 0.00582661 -3.91001779 3.04135786
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Pérez Olaya Víctor Rubén 2.57336005 -0.25575331 -1.52170308 2.57274374 -0.25536979 -1.52236894 2.57238784 -0.25531925 -1.52229233
0.00317199 0.00150182 0.00202646 0.00183126 0.00019797 -0.00023324 -0.00025892 -0.00018865 -0.00030536
5.1467201 -3.91588993 3.04340617 5.14548748 -3.91666515 3.04473788 5.14477568 -3.91592629 3.04458467
0.0021284
0.00061631
0.0003559
Solución del sistema de ecuaciones x^8 = [2.57238784, 0.25531925, 1.52229233].
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Método de Quasi-Newton (Broyden) Cuando no es fácil obtener las derivadas parciales, es recomendable usar las aproximaciones por diferencias finitas, lo que genera al Método de Quasi–Newton. Una matriz A de aproximación que se cambia a cada iteración, reemplaza a la matriz Jacobiana. La convergencia cuadrática se pierde y se sustituye por una convergencia superlineal. La desventaja es que este método no corrige el error de redondeo. A partir de una aproximación inicial X (0) a la solución F(X)=0 se calcula la siguiente aproximación por el método de Newton, y en seguida utilizamos el método de la secante, usando:
Como se trata de un sistema no lineal, necesitaremos de la matriz A, pero primero calculamos X(1), por el método de Newton Raphson con:
Para calcular X(2), el método procede como el de Newton-Raphson, pero en este caso implementaremos la matriz A.
Esta es matriz que por consiguiente nos ayudará a determinar X(2):
Y cuyos componentes se obtienen gracias a las evaluaciones previas de X (0) y X (1):
O
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Donde:
Para sacar A (1) se requiere también de la matriz Jacobiana obtenida por el método de Newton, teniendo consigo:
Ahora bien, la inversión de la matriz A(k) en cada iteración es algo complejo, por lo que recurrimos al Teorema de Sherman Morrison. Si A es una matriz no singular y X y Y son vectores, entonces A + XYt es no singular, siempre que
, así en este caso:
Entonces deducimos la fórmula para calcular la inversa de cada matriz en cada iteración.
Haciendo:
Obteniendo como fórmula general de la inversa de la matriz A(k) :
Ahora sí, podemos calcular X(i+1) iteraciones donde i=1
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Ejemplo: Solucionar el siguiente ejercicio con el método de Quasi-Newton, con 5 iteraciones y buscar dos raíces f1(x, y) = 4x^2-3y^2-4x-1=0 f2(x, y) = 2y-cos(x+1) +1
Sacamos las derivadas parciales de cada ecuación con respecto a x y y. f1x=8x-4 f2x=sin(x+1)
f1y=-6y f2y=2
Esto nos crea la matriz Jacobiana. X (0) = [-1,1.5] Evaluamos con los valores de nuestro vector inicial en las derivadas parciales obteniendo: -f1(-1) = -12 -f1(1.5) = -9 -f2(-1) = 0
-f2(1.5) = 2 P á g i n a 14 | 56
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Enseguida sacamos la matriz inversa de esta matriz 2x2 -0.08333333 0
-0.375 0.5
Evaluamos en las funciones principales con los valores del vector inicial X0 obteniendo en f1 y f2 respectivamente 0.25 3
Aplicamos la fórmula de Newton-Raphson para obtener X1. X(k+1) = Xk-[(J)-1][F(Xk)] Evaluando: x(1)=
-1 1.5
x(1)=
-
-0.0890533 0.22984885
-0.9109467 1.270151155
Para la segunda iteración obtenemos deltaX y deltaF. Delta X0= 1.14583 -1.50000
Delta F0= 4.31293 1.14583
De acuerdo a la fórmula de Sherman Morrison sacamos el valor de A inversa. (A (1)) ^-1=
0.02143
0.91933
-0.11224 -0.88663
Ya obtenida la matriz inversa, aplicamos la fórmula iterativa para obtener X(i+1) X(i+1) =X(i)-(Ai) ^-1F(x(i)).
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Entonces X2= -3.76335 4.18795
Y así hasta encontrar la solución más aproximada. k Xk[x,y]
Fk[x,y]
0 -1.00000 0.25000
A^-1
Xk+1
-0.08333 -0.37500 0.14583
1.50000
3.00000
0.00000
0.50000
0
1 0.14583
4.56293
0.02143
0.91933
-3.76335
0.00000
4.14583
-0.11224 -0.88663 4.18795
2 -3.76335 75.33517 4.18795 3 0.34511 0.51675 4 0.49020 0.61450 5 0.63852 0.59137
-0.04789 0.00465
0.34511
-107.64798 -0.05029 -0.06930 0.51675 2.93506
-0.04795 0.00595
0.49020
-0.73026
-0.05033 -0.06842 0.61450
1.71590
-0.10551 -0.02227 0.63852
-1.46973
-0.04135 -0.06402 0.59137
0.37227
-0.11778 -0.02379 0.65734
-1.05192
-0.00114 -0.05903 0.52970
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- INTERPOLACIÓN POLINOMIAL Cuando tenemos datos tabulados en una tabla con sus respectivas funciones, o imágenes de xi, y deseamos encontrar un punto o valor de x que no se encuentra en esa misma tabulación, hacemos el uso de algunos métodos que permiten encontrar las respectivas imágenes de los valores a encontrar de x. Se obtiene una representación explícita de una aproximación a f(x). A partir de la ecuación general de un polinomio, se puede determinar la solución del sistema aplicando métodos numéricos.
Método de LaGrange Este método de interpolación sirve principalmente para determinar los valores de los polinomios de interpolación de grado sucesivamente mayor en un punto particular. Sin embargo, cada elemento de la tabla de interpolación depende del punto que se está evaluando, así que no se encuentra una representación explicita del polinomio que aproxima la función. La fórmula general es la siguiente:
Donde:
Siendo L los coeficientes de LaGrange, los cuales nos permitirán encontrar el polinomio para resolver x.
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Ejercicio: A partir de la tabla de datos obtener una estimación para la presión del soplete cuando este tenga un espesor de 12mm. Espesor
Presión 5 8 10 15 20 25 30 40 50 75 100
1.5 1.5 1.5 2 2.5 2.5 2.5 3 3.5 4 4
Velocidad 20 17 15 12 11.5 10 9.5 8.5 7 5.5 4.5
Para un polinomio con dos puntos sería: P1(x)= ((X-X1) /(X0-X1)) *Y0+((X-X0) /(X1-X0)) Y1 Para eso delimitamos en la tabla los valores de x en los cuales vamos a trabajar. Espesor(Xi) PresiónY(i) Velocidad 5 1.5 20 8 1.5 17 10 1.5 15 15 2 12 20 2.5 11.5 25 2.5 10 30 2.5 9.5
x0=10 y x1=15 Y yi respectivamente entonces sustituimos en P1(X). P1(X)=
1.7
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Ahora para un polinomio de grado dos, igual delimitamos nuestras celdas a trabajar y adecuamos los valores de xi y yi. Espesor
Presión 5 8 10 15 20 25 30
1.5 1.5 1.5 2 2.5 2.5 2.5
Velocidad 20 17 15 12 11.5 10 9.5
Ahora bien calculamos los coeficientes de LaGrange Ln,k y los multiplicamos respectivamente con la imagen de xi, donde x=12 (el valor buscado). L2,0= ((X-15)(X-20))/((10-15)(10-20))= L2,0*F(X0)= L2,1= ((X-10)(X-20))/((15-10)(15-20)) L2,1*F(X1)= L2,2= ((X-10)(X-15))/((20-10)(20-15))= L2,2*F(X2)=
0.48 0.72 0.64 1.28 -0.12 -0.3
Y para el plinomio P2(x) será igual a la suma de cada producto de yi con el coeficiente de LaGrange. P2(X)=
1.7
Para un polinomio de tercer grado repetimos el paso anterior, ahora con cuatro elementos de la tabla. L3,0= L3,0*F(X0) L3,1= L3,1*F(X1) L3,2= L3,2*F(X2) L3,3= L3,3*F(X3)=
((X-10)(X-15)(X-20))/((8-10)(8-15)(8-20)) -0.42857143 ((X-8)(X-15)(X-20))/((10-8)(10-15)(10-15)) 1.44 ((X-8)(X-10)(X-20))/((15-8)(15-10)(15-20)) 0.73142857 ((X-8)(X-10)(X-15))/((20-8)(20-10)(20-15)) -0.1
P3(X)=
1.64285714
=
-0.28571429
=
0.96
=
0.36571429
=
-0.04
Podemos observar que conforme utilizamos más elementos de la tabla la precisión del valor de f(x) es más preciso. P á g i n a 19 | 56
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Diferencias Divididas En este método si se encuentra la representación explícita de un polinomio de interpolación, asimismo sirve para ayudar a aproximar las derivadas y las integrales de función, así como para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales. Para la tabla de diferencias divididas supone que la función f(x) es conocida para varios valores de x. Estos valores no están igualmente espaciados, u obedecen algún orden. (Sin embargo, si están ordenados puede ser ventajoso). Supongamos un polinomio de grado n representado de la sig. Manera:
Con constantes apropiadas a0, a1, …, an. Entonces si evaluamos el polinomio en x0 queda solamente el término constante a0, es decir, a0 = Pn(x0) = f(x0), similarmente cuando evaluamos al polinomio en x1:
Entonces: Ya empezamos entonces a definir las diferencias divididas, la dif. Div. Cero de f, con respecto a xi, se denota por f[xi], y sólo es la evaluación de f en xi.
Las dif. Div. Restantes se definen inductivamente, la primera dif. Div. Con respecto a xi, y xi+1, se denota por f[xi, xi+1], entonces:
Y así hasta las (k-1) dif. Div.
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Cuando calculamos la k-ésima derivada, obtenemos la última con:
De esta manera, el polinomio de interpolación toma la forma
O
Ahora así queda la tabla
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EJERCICIO: Determinar la velocidad del material cuando su espesor sea igual a 28mm. Espesor 5 8 10 15 20 25 30 40 50 75 100
Velocidad F[0] 20 17 15 12 11.5 10 9.5 8.5 7 5.5 4.5
Con la definición de la tabla de dif. Div. Determinaremos hasta f[4] para tener un polinomio de cuarto grado. Espesor 5 8 10 15 20 25 30 40 50 75 100
Velocidad F[0] F[1] 20 17 15 12 11.5 10 9.5 8.5 7 5.5 4.5
F[2] F[3] F[4] -1 0 0.00571429 -1 0.05714286 -0.00059524 -0.6 0.05 -0.00466667 -0.1 -0.02 0.00266667 -0.3 0.02 -0.001 -0.1 0 -0.0001 -0.1 -0.0025 0.0001127 -0.15 0.00257143 -3.619E-05 -0.06 0.0004 -0.04
-0.00042063 -0.0002395 0.00036667 -0.00014667 0.00003 4.254E-06 -2.127E-06
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A partir de xi=15 utilizaremos la tabla porque el dato está centrado de una mejor manera, a un polinomio de cuarto grado Espesor 5 8 10 15 20 25 30 40 50 75 100
Velocidad F[0] F[1] 20 17 15 12 11.5 10 9.5 8.5 7 5.5 4.5
F[2] -1 0 -1 0.05714286 -0.6 0.05 -0.1 -0.02 -0.3 0.02 -0.1 0 -0.1 -0.0025 -0.15 0.00257143 -0.06 0.0004 -0.04
F[3] F[4] 0.00571429 -0.00042063 -0.00059524 -0.0002395 -0.00466667 0.00036667 0.00266667 -0.00014667 -0.001 0.00003 -0.0001 4.254E-06 0.0001127 -2.127E-06 -3.619E-05
Ahora bien, crearemos los polinomios, ejemplo: P2(X=28mm) =12+(-0.1) (X-15) +(-0.02) *(X-15) *(X-20)
o
P3(X=28mm) = 12+(-0.1) (X-15) +(-0.02) *(X-15) *(X-20) +(0.00266667) (X-15) (X20) (X-25) P1(x)
P2(x) 10.7
Error
Null
P3(x) 8.62 -2.08
P4(X) 9.452 9.54352 0.832 0.09152
El error que usamos es el del término siguiente, o sea, por ejemplo: E1=P2(X)-P1(X). Conforme nuestro polinomio sea de grado mayor, la precisión del resultado aumenta de igual manera.
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Fórmulas de interpolación de Newton Es un método que si tiene los datos ordenados e igualmente espaciados tiene una mejor precisión.
FÓRMULA PROGRESIVA DE NEWTON Si tenemos las características antes mencionadas de datos ordenados e igualmente espaciados, la fórmula de diferencias divididas se puede simplificar aún más. Se introduce h=xi+1-xi, y x=x0+sh, la diferencia (x-xi) puede verse como: x-xi=(s-i)h y s como (x-x0)/h Así que la fórmula de diferencias divididas se transforma de esto:
A esto:
Se construye el polinomio usando la notación de diferencia progresiva (), así obtenemos la primera, segunda, y a la infinísima diferencia
, ya con esto determinamos la fórmula general final del polinomio de las diferencias progresivas:
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Ejercicio: La siguiente tabla proporciona las presiones de vapor a diferentes temperaturas para el 1-3 butadieno. Obtener una estimación para 58° y 83° -Para 58° ocuparemos las diferencias progresivas. xi - T(°F) 50 60 70 80 90 100
f(xi) - P(l/plg2) 24.94 30.11 36.05 42.74 50.57 59.3
Determinamos s, siendo (x-x0) /h y h=10. S=0.8 Hacemos las diferencias hasta ∆^4f(xi) xi - T(°F) 50 60 70 80 90 100
f(xi) ∆f(xi) ∆^2f(xi) P(l/plg2) 24.94 5.17 30.11 5.94 36.05 6.69 42.74 7.83 50.57 8.73 59.3
∆^3f(xi) 0.77 0.75 1.14 0.9
-0.02 0.39 -0.24
∆^4f(xi) 0.41 -0.63
Formamos los polinomios de grado 2, 3 y 4. Ejemplo: P3(58°)=24.94+0.8(5.17)+(0.8(0.8-1)(0.77)/2)+(0.8(0.8-1)(0.8-2)(-0.02)/6)
p2(x)
p3(x) 29.0144
p4(x) 29.01376
29.006544
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FÓRMULAS REGRESIVAS DE NEWTON Si ahora bien, ordenamos los puntos de la tabla descendentemente xn, xn-1, …,x0. La fórmula entonces quedaría:
Pn(x)= f[xn]+ Usamos espacios iguales ahora con: x=xn + sh y x= xi+(s+n-i)h Entonces finalmente la fórmula de diferencias regresivas quedaría:
EJERCICIO: Retomaremos el ejercicio anterior, pero ahora calcularemos 83° pues es el valor más cercano a los últimos datos. Ocuparemos los últimos datos de cada columna, es decir: xi - T(°F)
f(xi) - P(l/plg2) 50 60 70 80 90 100
∆f(xi) 24.94 30.11 36.05 42.74 50.57 59.3
5.17 5.94 6.69 7.83 8.73
∆^2f(xi) ∆^3f(xi) ∆^4f(xi) 0.77 -0.02 0.41 0.75 0.39 -0.63 1.14 -0.24 0.9
S=(x-xn) /h y h=10 S=-1.7 Ahora bien, el polinomio de tercer grado sería igual a P3(x)=59.3+(-1.7) (8.73) +(-1.7) (-1.7+1) *(0.9) /2+(-1.7) (-1.7+1) (-1.7+2) (-0.24) /6 Entonces los polinomios quedarían. p2(x)
p3(x) 44.9945
p4(x) 44.98022
44.9680374
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Método de Hermite Un polinomio puede ajustarse también a las derivadas de los puntos. Los polinomios de Hermite se ajustan a los valores de la función y de sus derivadas. Son una generalización de los polinomios de Taylor y los polinomios de LaGrange. Sean x0, x1, …, xn, n+1 números distintos en [a,b], y mi un entero no-negativo asociado a xi para i=0,1, ..,n. Sean:
El polinomio P de menor grado osculante es el que se aproxima a f.
Si son distintos, el único polinomio de menor grado que coincide con f y f’ en x0, … , xn es un polinomio de grado, a lo más de 2n+1.
Donde:
Ln,j denota el coeficiente polinomial de LaGrange de grado n. El término del error:
a< <b
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Ejercicio:
Un automóvil realiza un recorrido por una carretera recta y se cronometra su recorrido en varios puntos, los cuales se muestran en la sig. Tabla t=10
Anotamos los valores en una tabla sin tomar los primerizos, pues para un polinomio de 3er grado solo necesitamos los 3 últimos renglones (en este caso)
Sacamos los coeficientes de LaGrange, de tal forma que
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Al simplificar las ecuaciones generales de cada coeficiente, podemos sacar la derivada delos mismos, permitiendo obtener L’n,j
En nuestra tabla tenemos entonces
Enseguida calculamos obtenemos
y
con la fórmula anterior dada, y
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Ya con todos los elementos necesarios para el polinomio de Hermite, lo único que resta es hacer la sumatoria final
H5(X=10)=768.6
Otra alternativa al polinomio de Hermite se basa en el método de diferencias divididas. Primero se define una nueva sucesión z0, z1, …, z2n+1 por z2i = z2i+1=xi por cad i=0,1, ..., n no puede ser definida por la relación básica
, pero si se usa a sustitución de antes tendremos
Se usan los valores de las derivadas, en lugar de las primeras diferencias divididas.
La consiguiente se sacan de manera habitual. P á g i n a 30 | 56
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Ejemplo: Retomaremos el ejercicio anterior
Tomamos los valores de f(x) y f’(x) de la siguiente manera (subrayado en azul)
Los datos en blanco se hacen con la operación de diferencias divididas de manera normal. Sacamos las siguientes diferencias
P(x)= 385+(x-5)(80)+(x-5)^2(0)+(x-5)^2(x-8)(-0.66667)+(x-5)^2(x8)^2(0.113333)+(x-5)^2(x-8)^2(x-13)(-0.0186617) P(10)= 768.6
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- Métodos para Ajuste de Curvas Son métodos que buscan crear polinomios en n intervalos, buscando un ajuste lo más precisos para representar la trayectoria descrita por varios puntos de la tabla
Spline Cúbico Este método nos permite nuevamente ajustar un polinomio a un conjunto de datos a través de una curva suave. Se dice cúbico porque se forman polinomios de tercer grado gi(x), cada polinomio estará determinado por intervalos desde xi hasta xi+1.
La aproximación mediante splines (trazadores) cúbicos se aplica a n pares ordenados de datos. Se buscan n-1 curvas que conecten los puntos 1y 2,2 y 3, …, (n-1). Además es necesario que las dos curvas que conectan los puntos (k-1) y k, y los puntos k y (k+1) tengan la misma pendiente en el punto k. Así, el ajuste de la curva resultante es continuo y suave.
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Un polinomio cúbico generalmente satisface las condiciones para el ajuste de curvas. En los puntos extremos del conjunto de datos sobre los que la imagen de x, se ajusta con splines cúbicos, no hay un polinomio de unión, es decir la pendiente y curvatura no están restringidos ahí. La ecuación de un polinomio cúbico es la siguiente:
Para obtener cada elemento del polinomio tenemos las siguientes fórmulas:
Y
Para los elementos de Si es necesario calcularlo de forma matricial. Además de que los extremos (S0 y Sn) son arbitarios. Hay cuatro alternativas para estos dos últimos:
Por otro lado, los splines internos, se calculan a partir de la siguiente ecuación: P á g i n a 33 | 56
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Y así, S1, S2, …, Sn-1 son las incógnitas y se calculan de manera matricial.
Donde hn es la diferencia de xi, es decir, hn=xi+1-xi y f[xn-1,xn] son la primera diferencia de xi,xi+1 y yi+1,yi Finalmente concluimos que hay n+1 incógnitas y n-1 ecuaciones, para hacer el sistema cuadrado eliminamos S0 y Sn, es decir, h0 y hn-1. Ya obtenidos los valores de Si, sacamos los coeficientes ai, bi, ci y di para las cúbicas en cada intervalo.
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Ejercicio: Para el spline cúbico, lo que necesitamos son una serie de pasos ordenados para crear los polinomios que nos van a dar el ajuste de curvas mejor adecuados en los intervalos de xi. Ejercicio:
1.- Ordenar los datos ascendentemente.
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2.- Calcular la distancia entre cada par de puntos de hi, donde hi=(xi+1-xi).
3.- Construir el sistema de ecuaciones para los nodos internos.
4.- Calcular el vector independiente, mediante el cálculo de las primeras diferencias divididas. b=6[f (xn-1, xn)-fx (xn-2, xn-1)].
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Entonces el vector independiente:
5.- Aplicar alguna de las condiciones a los extremos S0 y Sn, con valor de 0.
6.-Resolver el sistema tridiagonal.
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7.- Calculamos los trazadores cúbicos, con las siguientes fórmulas: ai= (S(i+1)-Si)/(6*hi) bi= Si/2 ci= ((Y(i+1)-Yi)/hi)-((S(i+1)+2*Si)/6)*hi di= Yi
8.- Construir el polinomio y graficarlo. P á g i n a 38 | 56
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En cambio, con un ajuste por splines cúbicos, los polinomios resultantes también pasan por los puntos, pero al ser polinomios cúbicos en pequeños intervalos las oscilaciones son mínimas.
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Mínimos Cuadrados Este método es otra alternativa de ajuste de curvas que de manera general busca encontrar un polinomio que trace una curva y se adapte a los datos de la tabla. Hay varias opciones para poder realizar este ajuste: Sea el i-ésimo valor de la recta de aproximación, y yi el i-ésimo valor dado para y. El problema es encontrar los valores de a0 y a1 que minimicen.
Este problema se conoce como MINIMAX, el cual le da demasiado valor relativo a un pequeño elemento de datos que contiene un gran error. Otra alternativa para encontrar la mejor aproximación lineal implica hallar los valores de a0 y a1 que minimicen.
Esta cantidad se llama DESVIACIÓN ABSOLUTA. Para minimizar una función de dos variables se igualan a cero sus derivadas parciales y se hace un sistema de ecuaciones con las ecuaciones resultantes. Para esta alternativa se necesita hallar ao y a1 de tal manera que:
Lo malo de este procedimiento es que el valor absoluto no es derivable en cero, y no necesariamente se pueden obtener las soluciones de este par de ecuaciones. Promedia el error en varios puntos sin dar suficiente valor relativo a un punto que está muy alejado de la aproximación. Por consiguiente, este método de MÍNIMOS CUADRADOS requiere determinar la mejor línea de aproximación, cuando el erro es la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de y en la línea aproximada y de los valores de y dados. Por tanto, hay que encontrar las constante a0 Y a1, que reduzcan al mínimo el error de mínimos cuadrados:
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Concede mayor relativo al punto que está alejado del resto de los datos pero no permite que ese punto domine la aproximación.
El método de mínimos cuadrados es el procedimiento más adecuado para determinar las mejores aproximaciones lineales. Para eso hay que minimizar el error total.
Con respecto a a0 y a1. Para que haya un mínimo debemos considerar:
Estas ecuaciones se simplifican en las ecuaciones normales.
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La solución de este sistema de ecuaciones es:
Ejercicio:
Empezamos calculando xi
yi
xi^2
xi^3
xi^4 xi^5 xi^6 xiyi
xi^2*yi
xi^3*yi xi^4*yi
xi^5*yi xi^6*yi
Así, obtenemos:
xi
yi 0 1 2 3 5 7 10 15 20
xi^2 92 85 80 75 67 60 54 45 40
0 1 4 9 25 49 100 225 400
xi^3 0 1 8 27 125 343 1000 3375 8000
xi^4
xi^5 xi^6 0 0 0 1 1 1 16 32 64 81 243 729 625 3125 15625 2401 16807 117649 10000 100000 1000000 50625 759375 11390625 160000 3200000 64000000
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xiyi
xi^2*yi 0 85 160 225 335 420 540 675 800
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xi^3*yi
0 85 320 675 1675 2940 5400 10125 16000
0 85 640 2025 8375 20580 54000 151875 320000
xi^4*yi
xi^5*yi xi^6*yi 0 0 0 85 85 85 1280 2560 5120 6075 18225 54675 41875 209375 1046875 144060 1008420 7058940 540000 5400000 54000000 2278125 34171875 512578125 6400000 128000000 2560000000
Después obtenemos la sumatoria de cada columna: xi
yi 0 1 2 3 5 7 10 15 20 63
xi^2 92 85 80 75 67 60 54 45 40 598
xiyi
xi^3
0 0 1 1 4 8 9 27 25 125 49 343 100 1000 225 3375 400 8000 813 12879
xi^2*yi 0 85 160 225 335 420 540 675 800 3240
xi^4
0 85 320 675 1675 2940 5400 10125 16000 37220
xi^5
0 0 1 1 16 32 81 243 625 3125 2401 16807 10000 100000 50625 759375 160000 3200000 223749 4079583
xi^3*yi 0 85 640 2025 8375 20580 54000 151875 320000 557580
xi^6 0 1 64 729 15625 117649 1000000 11390625 64000000 76524693
xi^4*yi
xi^5*yi xi^6*yi 0 0 0 85 85 85 1280 2560 5120 6075 18225 54675 41875 209375 1046875 144060 1008420 7058940 540000 5400000 54000000 2278125 34171875 512578125 6400000 128000000 2560000000 9411500 168810540 3134743820
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Ahora creamos las matrices para obtener los coeficientes del polinomio lineal, cuadrado y cúbico.
Resolvemos la matriz Ax=b, respectivamente: matriz 2x2 a0= a1=
84.24551971 -2.543010753
Entonces el polinomio lineal quedaría: P2(x)= (-2.543010753) *X+84.24551971 Evaluamos con el nuevo polinomio junto con el error (yi-Pn(x)) ^2 P2(x) 84.24552 81.70251 79.1595 76.61649 71.53047 66.44445 58.81542 46.10037 33.38532
Error 60.1319601 10.8734403 0.70644025 2.61303992 20.5251584 41.5309358 23.1882698 1.21081414 43.7539915
Enseguida con la matriz 3x3 matriz 3x3 a0= a1= a2=
90.06834532 -5.047457627 0.12961211
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P3(x)= (0.12961211*X^2) -(5.047457627*X) +90.06834532
P3(x) 90.06835 85.150502 80.491878 76.092478 68.07135 61.087118 52.55495 43.51915 40.96395
Error 3.73127172 0.02265085 0.24194397 1.19350818 1.14779082 1.18182555 2.0881695 2.19291672 0.9291996
Y por último una matriz de 4x4 para una precisión aún más acertada matriz 4*4 a0= a1= a2= a3=
91.47686833 -6.294326241 0.305867665 -0.006006006
P4(x)=(-0.006006006*X^3)+(0.305867665*X^2)-(6.294326241*X)+91.47686833 P4(x)
Error 91.47687 85.482398 80.063602 75.184422 66.90067 60.342662 53.11037 45.59847 39.85747
0.273665 0.23270783 0.00404521 0.03401147 0.00986645 0.11741725 0.79144154 0.35816634 0.0203148
El polinomio de cuarto grado da una mejor aproximación o un mejor ajuste entre todos los puntos de la tabla, pues el error es menor a comparación del polinomio cuadrado y lineal.
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- Métodos de Diferenciación e Integración Numérica Cómo su nombre lo dice, se trata de métodos que mejoran la precisión al valor exacto de la derivada, o anti derivada de una función f(x).
Diferenciación Numérica Una tabla de diferencias divididas se puede usar para estimar los valores de las derivadas. Recordemos que el polinomio de interpolación de grado n que satisface en los puntos p1, …, pn es en termino de diferencias divididas.
Si Pn(x) representa una buena aproximación de f(x), también se podría obtener un polinomio que aproxime la derivada f’(x), diferenciando el polinomio Pn(x).
El error de aproximación de f’(x), cuando x=xi es:
Cuando los datos están igualmente espaciados, el polinomio queda escrito en términos de s=(x-xi) /h:
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Entonces para aproximar la derivada con respecto de x y s:
Con un error:
DIFERENCIA PROGRESIVA Si el valor de x que deseamos derivar se encuentra en los valores tabulados, la fórmula se puede simplificar de manera significativa en x = xi, s=0, y
Si se emplea un polinomio lineal se tiene
Con dos términos
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Generalizando
DIFERENCIA CENTRADA Suponiendo que se utiliza un polinomio de 2° grado que emplea los valores tabulados, pero evaluado para f’(xi+1) usando s=1, entonces la fórmula general anterior se vuelve
De manera general
Estas fórmulas se emplean para estimar la derivada cuando la función es conocida. EJERCICIO 1: Determinar l’(1.2) y comparar la respuesta con el resultado exacto a partir de l(t)=(10e^(t/10))*sen(2t). T
l(t) 1 1.1 1.2 1.3 1.4
8.2277 7.2428 5.9908 4.526 2.9122
Ponemos como renglón principal el dato a buscar (1.2) y calculamos las diferencias, con h=0.1. P á g i n a 48 | 56
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T
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l(t) 1 1.1 1.2 1.3 1.4
delta(fi) 8.2277 7.2428 5.9908 4.526 2.9122
delta^2(fi)
-1.4648 -1.6138
dif. Progresiva
-0.149
-13.903
dif. Centrada
-13.584
Verificamos la respuesta derivando la fórmula principal. d/dt= 10((e^(t/10))*(1/10)sen(2t)+cos(2t)*2e^(t/10)) Y evaluando con t=1.2 obtenemos F’(1.2)=-15.8665992 dif. Progresiva
dif. Centrada
-13.903 1.96359924
-13.584 2.28259924 Error
Concluimos que la diferencia progresiva tiene una mejor aproximación. EJERCICIO 2: Sea la función f(x)=4sen(x)+(cos(x-3) /sqrt(1+x)) Estimar la derivada para x=1.5 con h=0.1,0.05,0.025 empleando las fórmulas de segundo grado progresivas y centradas. h= x
0.1 f 1.4 1.5 1.6 1.7
h= x
3.9229 4.0347 4.1037 4.1294 0.05 f
1.45 1.5 1.55 1.6 h= x
delta fi
delta fi 3.9841 4.0347 4.0745 4.1037 0.025
f
0.069 0.0257
0.0398 0.0292
delta fi
delta^2fi -0.0433
delta^2fi -0.0106
delta^2fi
dif. Progresiva dif. Centrada 0.9065 0.001628
1 0.095128 Error
dif. Progresiva dif. Centrada 0.902 -0.002872
0.904 -0.000872 Error
dif. Progresiva dif. Centrada
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Métodos Numéricos II 1.475 1.5 1.525 1.55
4.0107 4.0347 4.056 4.0745
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0.0213 0.0185
-0.0028
0.908 0.003128
0.906 0.001128 Error
f’(x)= 4cos(x)+(-2sen(x-3) (x+1)-cos(x-3)) /2(x+1) ^(5/2) f’ (1.5) =0.904872 Concluimos que el error es menor en las diferencias centradas cuanto h es más pequeño, pero cuando es grande las diferencias progresivas tienen una aproximación más acertada.
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EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
Se puede mejorar la exactitud de las estimaciones de las derivadas a partir de tablas de valores igualmente espaciados. Es equivalente a usar fórmulas basadas en polinomios de grado superior sin encontrar la fórmula explícitamente. Este método se explicará con un ejercicio Sea f(x)=lnx/(sin x^2+sqrt(1-(e^x)) la función que define las ondas emitidas por el elemento químico Seaborgio (Sb). Tiempo 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
Emisión (f(x)) 0.7107 0.9204 0.9892 0.8509 0.6512 0.4986 0.4055 0.3587 0.3491
Estimar el valor de f(2.4) y f’(2.4), con la fórmula de diferencias centradas con h=0.1 y h=0.2. -
Con h=0.1
f’ (2.4) = (0.4986-0.8509) / (2*0.1) = -1.7615 =-1.7615+k1(0.1) ^2 El error exacto es entonces la aproximación más una cantidad proporcional a h^2(k1 es la cantidad de proporcionalidad) -
Con h=0.2
f’ (2.4) = (0.4055-0.9892) / (2*0.2) = -1.45925 =-1.45925+k2(0.2) ^2 -
Con h=0.4
f’ (2.4) = (0.3491-0.7107) / (2*0.4) = -0.452 Los valores k1 y k2 no son iguales, ya que cada uno implica el valor del error, además de que dependen del intervalo
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-
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Primera extrapolación
Se va a requerir la combinación de las estimaciones de h=0.1 y h=0.2, con la de h=0.2 y h=0.4
h=0.1-h=0.2, f’ (2.4) = -1.7615 + (1/((0.2/0.1)^2)-1)*(-1.7615 – ( -1.45925))
= -1.86225
h=0.2-h=0.4, f’ (2.4) = -0.145925 + (1/((0.4/0.2)^2)-1)*(-0.145925 – ( -0.452))
= -1.795 Con las extrapolaciones obtenidas, 1 y 2 respectivamente podemos sacar una segunda extrapolación ocupando los valores obtenidos en la sección anterior
1ra y 2nda extrapolación, f’ (2.4) = -1.86225 + (1/(2^4)-1) * (-1.86225 – ( 1.795))
= -1.86673333 Ahora bien, para obtener las extrapolaciones para la segunda derivada se procede de la misma forma, empleando la fórmula:
f’’ (xi) = (fi+1 - 2fi + fi-1) /h2 Con la misma tabla determinamos la segunda derivada: h
f'' (2.4) 0.1 0.2 0.4
Extrap. 1er orden Extrap. 2ndo orden 4.71 5.510833333 5.639416667 2.3075 3.582083333 -1.51625
Este método nos ayudó a encontrar el valor más preciso de la primera y segunda derivada dónde x=2.4
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
La estrategia de desarrollo de fórmulas de integración numérica es similar a las de diferenciación numérica. Se hace pasar un polinomio a través de puntos definidos. Entonces se integra esta aproximación polinomial a la función. Nos permite integrar una función conocida sólo como una tabla de valores. Cuando los valores están igualmente espaciados. Empezamos con las fórmulas progresivas de newton.
La fórmula de aquí se obtenga puede no ser muy exacta porque el polinomio no es idéntico a f(x). La expresión del error
Existen varias maneras de emplear la fórmula general. El intervalo de integración a, b puede coincidir con el rango de ajuste del polinomio, x0, xn. Se obtienen las fórmulas de Newton-Cotes, se trata de un conjunto de reglas de integración correspondientes a los grados del polinomio de interpolación (1,2,3). Si el grado del polinomio es de orden superior, los errores de redondeo e irregularidades locales pueden causar problemas.
Regla del trapecio (basada en un polinomio lineal) La primera de las fórmulas está basada en aproximar f(x) sobre (x0, xn) mediante una línea recta. El área bajo la curva en cada subintervalo es aproximada por el trapecio formado al sustituir la curva por su secante. Los intervalos no tienen que ser igual de anchos, pero la fórmula es más simple si esto sucede. Sea h la constante deltax. Dado que el área de un trapecio es el promedio de la altura y las bases, para cada subintervalo se tiene:
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Y para [a,b] subdividiendo en n intervalos de tamaño h.
Y un error local, es decir en cada subintervalo:
Y un error global:
Regla de Simpson 1/3 (basada en un polinomio cuadrático) La fórmula de segundo grado de Newton-Cotes integra un polinomio cuadrático sobre dos intervalos del mismo ancho, para cada subintervalo:
La cual tiene un error local de O(h5).
La fórmula compuesta se aplica a una subdivisión del intervalo de integración en n paneles (n par).
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Y un error global:
cambia a O(h4) porque hablamos de un número de subintervalos par. Este método se puede aplicar a valores tabulados cuando no se conoce la función.
Regla de Simpson 3/8 (Basada en un polinomio cúbico) Iniciamos la ecuación con:
Se aplica a un conjunto de subintervalos, cuyo valor para n es múltiplo de 3.
Con un término del error:
Es menos eficiente que Simpson 1/3. Sin embargo, se emplea cuando se tienen una tabla de valores con n impar, ya que se combinan las dos reglas.
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EJERCICIO: El cuerpo de revolución que se muestra en la figura se obtiene de girar la curva dada por Y= 1 + (x/2) ^2; 0<=x<=2 Entorno al eje x. Calcular el volumen f(x) = pi(1+(x/2) ^2) ^2; 0<=x<=2 Buscamos un número de subintervalos que soporte los 3 métodos, en este caso k=13, e intervalos=k-1, es decir, doce secciones particionado todo estará.
k
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Sumatoria Resultado Error
0 0.16666667 0.33333333 0.5 0.66666667 0.83333333 1 1.16666667 1.33333333 1.5 1.66666667 1.83333333 2
f(x) Trapecio Simpson 1/3 Simpson 3/8 3.141592654 3.141592654 3.141592654 3.141592654 3.185377389 6.370754778 12.74150956 9.556132167 3.318549647 6.637099294 6.637099294 9.955648941 3.546563581 7.093127163 14.18625433 7.093127163 3.878509449 7.757018898 7.757018898 11.63552835 4.327113608 8.654227216 17.30845443 12.98134082 4.908738521 9.817477042 9.817477042 9.817477042 5.643382752 11.2867655 22.57353101 16.93014826 6.554680968 13.10936194 13.10936194 19.66404291 7.669903939 15.33980788 30.67961576 15.33980788 9.019958537 18.03991707 18.03991707 27.05987561 10.63938774 21.27877547 42.55755094 31.91816321 12.56637061 12.56637061 12.56637061 12.56637061 141.0922955 211.1157535 187.6592556 11.75769129 11.72865297 11.72870348 0.029078724 4.04042E-05 9.09056E-05
Evaluando, la integral exacta es igual a 11.72861257 Como podemos observar es el método de Simpson 1/3 que nos dio la aproximación más exacta al volumen de este sólido de revolución.
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