PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN ARQUITECTURA
Procesamiento e interpretación de datos
Víctor Hugo Sánchez Sierra
Junio 2018
Contenido Introducción a la estadística .................................................................................................. 3 Conceptos de estadística.................................................................................................... 3 Resumen estadístico .............................................................................................................. 5 Resume gráfico....................................................................................................................... 7 Datos multivariados ........................................................................................................... 7 Diagrama de tallo y hoja .................................................................................................... 8 Diagrama de puntos ........................................................................................................... 9 Histograma ....................................................................................................................... 10 Diagrama de caja.............................................................................................................. 11 Correlación de variables ...................................................................................................... 13 Datos atípicos ................................................................................................................... 15 Recta de los mínimos cuadrados ......................................................................................... 17 Gráfica de residuos y valores ajustados.............................................................................. 19 Datos atípicos y puntos influyentes ................................................................................ 21 Anexo 1................................................................................................................................. 23 Anexo 2..................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
Introducción a la estadística
La estadística (la forma femenina del término alemán Statistik, derivado a su vez del italiano statista, "hombre de Estado") es una rama de las matemáticas y una herramienta que estudia usos y análisis provenientes de una muestra representativa de datos, que busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad. Además, se usa en áreas de negocios o instituciones gubernamentales, ya que su principal objetivo es describir al conjunto de datos obtenidos para la toma de decisiones o bien, para realizar generalizaciones sobre las características observadas. En la actualidad, la estadística es una ciencia que se encarga de estudiar una determinada población por medio de la recolección, recopilación e interpretación de datos. Del mismo modo, también es considerada una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo.
Conceptos de estadística Algunos de los conceptos básicos considerados en la estadística se presentan a continuación:
Población: Conjunto finito o infinito de elementos, denominados individuos, sobre los cuales se realizan observaciones. Ejemplos: todos los habitantes de cierto lugar, todos los ejemplares de una determinada especie animal, todos los microchips que fabrica una empresa, etc.
Muestra: Subconjunto finito de una población. El número de individuos que forman la muestra se denomina tamaño muestral.
Variable o carácter: cada una de las características que pueden observarse en un individuo de la muestra. Ejemplos: en una muestra de una población de seres humanos podemos medir: la altura, la edad, el peso, el sexo, el número de hermanos…; en una muestra de una población de especie de tortugas podemos medir: la anchura del caparazón, la longitud del caparazón, la edad…;
Tipos de variables: Cualitativas (categóricas o alfanuméricas): Pueden tomar valores no cuantificables numéricamente. Se denomina categoría a cada uno de los valores que toma la variable. Cuantitativas (o numéricas): Pueden tomar valores cuantificables numéricamente.
Resumen estadístico Consta del procedimiento mediante el cual se puede obtener las características más evidentes de una muestra y que permiten comprender el patrón de la muestra. El resumen estadístico está compuesto por: 1- Media de la muestra (centro de los datos) Para calcular la mediana de una muestra, ordene los valores del más pequeño al más grande. D esta manera, La mediana es el número de en medio de la recta. La mediana se usa con frecuencia como una medida de tendencia central para muestras que contienen datos atípicos. 2- Moda La moda muestral es el valor que tiene más frecuencia en una muestra. Si algunos valores tienen una frecuencia igual, cada uno representa una moda. 3- Rango El rango es la diferencia entre los valores más grandes y más pequeños en una muestra. 4- Cuartiles Tomando como referencia que mediana divide la muestra a la mitad, son los cuartiles los que dividen a la muestra tanto como sea posible en cuartos. Siendo así, para encontrar el primer cuartil, se debe calcular la muestra en 0.25(n+1). Si la muestra es un entero, entonces el valor de la muestra en esa posición es el primer cuartil. Si no, se debe tomar el promedio de los valores de la muestra de cualquier lado de este valor. El tercer cuartil se calcula de la misma manera, excepto que se usa el valor 0.75(n +1). El segundo cuartil usa el valor 0.5(n 1). Coincidiendo así, con la mediana.
5- Percentiles El p-ésimo percentil de una muestra, para un número p entre 0 y 100, divide a la muestra tanto como sea posible, el p% de los valores de la muestra es menor que el p-ésimo percentil y el (100p)% son mayores.
Ejemplo
Resumen Estadístico Número de datos Promedio Desviación Estándar Mediana Mínimo Máximo Rango Percentiles 1.0% 5.0% 10.0% 25.0% 50.0% 75.0% 90.0% 95.0% 99.0%
Cuartil 1 Cuartil 2 Cuartil 3
14.25 29.5 44.5
Minutos Radiación (W/m2) 60 60 29.5 855.833 17.4642 46.6379 29.5 865 0 765.0 59.0 918.0 59.0 153.0 0 2.5 5.5 14.5 29.5 44.5 53.5 56.5 59.0
817.25 865 899.5
765.0 771.0 796.5 817.5 865.0 899.0 912.0 915.5 918.0
Resume gráfico
Un resumen gráfico debe permitir que los lectores capten y comprendan rápidamente el principal mensaje de la muestra que se está midiendo, por lo tanto debe ser sencillo de interpretar; mientras que al mismo tiempo, donde se pueden encontrar datos más significativos (el resumen estadístico).
Datos multivariados Los datos para cada elemento que constan de más de un valor se llaman datos multivariados. Cuando cada elemento es un par de valores, se dice que los datos son bivariados. Uno de los resúmenes gráficos más útiles por los datos bivariados numéricos es el diagrama de dispersión. Si los datos constan de pares arreglados (x1, y1), . . . , (xn, yn), entonces un diagrama de dispersión se construye sólo al trazar cada punto en un sistema coordenado bidimensional. Los diagramas de dispersión también se pueden usar para resumir los datos multivariados cuando cada elemento consta de más de dos valores. Simplemente se construirían diagramas de dispersión distintos para cada par de valores. Considerando los datos de la misma muestra del anexo 1. Se presentan los ejemplos gráficos derivados de éstos.
Diagrama de tallo y hoja Una gráfica de tallo y hojas constituye una manera simple de resumir un conjunto de datos estadísticos. Cada elemento de la muestra se divide en dos partes: un tallo, que consta de uno o dos dígitos que están en el extremo izquierdo, y la hoja, que consta del siguiente dígito significativo. Una buena característica de los diagramas de tallo y hojas es que exhiben todos los valores de l a muestra. Se puede reconstruir la muestra totalmente a partir de un diagrama de tallo y hojas, con una excepción importante: el orden con el cual se muestrearon los elementos no se puede determinar.
Ejemplo Diagrama de Tallo y Hoja para Minutos: unidad = 1.0 1|2 representa 12.0
5 0|01234 10 0|56789 15 1|01234 20 1|56789 25 2|01234 30 2|56789 30 3|01234 25 3|56789 20 4|01234 15 4|56789 10 5|01234 5 5|56789
Diagrama de Tallo y Hoja para Radiación: unidad = 10.0 1|2 representa 120.0 4 8 16 26 29 (5) 26 15
7|6667 7|8999 8|00011111 8|2222233333 8|445 8|66777 8|88888889999 9|000001111111111
Diagrama de puntos Un diagrama de puntos es un gráfico que muestra la frecuencia de los datos que se producen a lo largo de una recta numérica. Los diagramas de puntos son una forma fácil y rápida de organizar los datos, y se utilizan mejor cuando se compara menos de 25 números diferentes. Es utilizado para ilustrar un número reducido de datos, la cual permite identificar con facilidad dos características: 1.- La localización de los datos. 2.- La dispersión o variabilidad de los datos. Este diagrama muestra cada uno de los elementos de un conjunto de datos numéricos por encima de una recta numérica (eje horizontal), facilita la ubicación de los espacios vacíos y los agrupamientos en un conjunto de datos, así como la manera en que estos datos se distribuyen a los largo del eje horizontal..
Ejemplo
Gráfico de Radiación (W/m2) vs Minutos
920
Radiación (W/m2)
880
840
800
760 0
10
20
30
40
50
60
Minutos
Histograma El l histograma es aquella representación gráfica de estadísticas de diferentes tipos. La utilidad del histograma tiene que ver con la posibilidad de establecer de manera visual, ordenada y fácilmente comprensible todos los datos numéricos estadísticos que pueden tornarse difíciles de entender. Hay muchos tipos de histogramas y cada uno se ajusta a diferentes necesidades como también a diferentes tipos de información. Su función es exponer gráficamente números, variables y cifras de modo que los resultados se visualicen más clara y ordenadamente. El histograma es siempre una representación en barras y por eso es importante no confundirlo con otro tipo de gráficos como las tortas. Se estima que por el tipo de información brindada y por la manera en que ésta es dispuesta, los histogramas son de especial utilidad y eficacia para las ciencias sociales ya que permiten comparar datos sociales como los resultados de un censo, la cantidad de mujeres y/o hombres en una comunidad, el nivel de analfabetismo o mortandad infantil, etc. Para un histograma existen dos tipos de informaciones básicas (que pueden ser complementados o no de acuerdo a la complejidad del diseño): la frecuencia de los valores y los valores en sí. Normalmente, las frecuencias son representadas en el eje vertical mientras que en el horizontal se representan los valores de cada una de las variables (que aparecen en el histograma como barras bi o tridimensionales). Existen diferentes tipos de histogramas. Los histogramas de barras simples son los más comunes y utilizados. También están los histogramas de barras compuestas que permiten introducir
información sobre dos variables. Luego están los histogramas de barras agrupadas según información y por último el polígono de frecuencias y la ojiva porcentual, ambos sistemas utilizados normalmente por expertos. Trabajar con histogramas es muy simple y seguramente proveerá con una mejor comprensión de diferente tipo de datos e información.
Ejemplo
Histograma
10
frecuencia
8
6
4
2
0 750
780
810
840 Radiación (W/m2)
870
900
930
Diagrama de caja Los diagramas de Caja ó Caja y Bigotes, son una presentación visual que describe varias características importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersión y simetría. Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de los datos, sobre un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente. Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más largos muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relación con los cuartiles primero y tercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana). Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mínimo y máximo de la variable. Las lineas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. Estos bigotes tienen
tienen un límite de prolongación, de modo que cualquier dato o caso que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente.
Ejemplo Gráfico de Caja y Bigotes
760
800
840 Radiación (W/m2)
880
920
Correlación de variables
Procedimiento para determinar la naturaleza de la relación entre dos cantidades (variables). Cuando en los experimentos se generan datos bivariados; un conjunto de pares ordenados (x1, y1), . . . , (xn, yn). Al graficar los pares ordenados que se generan en un experimento científico se encontrarán, aproximadamente, a lo largo de una línea recta. En estos casos, los datos son útiles para calcular la ecuación de una recta. Misma que se puede utilizar con varios propósitos: • Grado de relación • Nivel de influencia de la variable independiente en la dependiente. • Pronosticar comportamiento de la variable dependiente. • Hacer inferencias respecto de la relación entre ambas variables. Si los puntos tienden a inclinarse hacia arriba y a la derecha, lo que existe una asociación positiva entre las dos variables. Si la pendiente es casi constante en toda la gráfica, esto indica que los puntos están agrupados alrededor de una línea recta. Finalmente, la línea sobrepuesta sobre la gráfica representa una recta especial conocida como recta de mínimos cuadrados. El grado en que los puntos en un diagrama similar tienden a agruparse alrededor de una recta refleja la fuerza de la relación lineal entre x y y. La impresión visual de una gráfica de puntos puede ser engañosa respecto de lo anterior, debido al cambio de escala de los ejes, lo que puede hacer que el agrupamiento parezca más junto o más disperso. En consecuencia, se define el coeficiente de correlación, que es una medida numérica de la fuerza de la relación lineal entre dos variables.
Este coeficiente se denota con la literal r. Sean (x1, y1), . . . , (xn, yn) los n puntos del diagrama de dispersión. Para calcular la correlación, primero se deducen las medias y las desviaciones estándar de las x y de las y, que se representan mediante x y, Sx Sy Después se convierte cada x y cada y a las unidades estándar; en otras palabras, se calculan los puntajes z:
El coeficiente de correlación representa el promedio de los productos de los puntajes z, excepto que se divide entre n-1 en lugar de n:
En principio, el coeficiente de correlación se puede calcular para cualquier conjunto de puntos. Éstos, en muchos casos, constituyen una muestra aleatoria de una población de puntos. En dichos casos el coeficiente de correlación con frecuencia se llama correlación muestral, y es una estimación de la correlación poblacional. Es un hecho matemático que el coeficiente de correlación se encuentra siempre entre 1 y -l. Valores positivos del coeficiente de correlación indican que la recta de mínimos cuadrados tiene pendiente positiva, ello significa que valores mayores de una variable están asociados con valores mayores que los demás. (Directamente proporcional). Por el contrario, valores negativos del coeficiente de correlación indican que la recta de mínimos cuadrados tiene pendiente negativa, lo anterior muestra que valores mayores de una variable están relacionados con valores menores que los demás. (Inversamente proporcional) Los valores del coeficiente de correlación cercanos a l o a -1 indican fuerte relación lineal; asimismo, valores cercanos a 0 indican débil relación lineal. El coeficiente de correlación es igual a 1 (o a -1) sólo cuando los puntos en el diagrama de dispersión están exactamente sobre una recta de pendiente positiva (o negativa); en otras palabras,cuando hay una relación lineal perfecta. Siempre que r ≠0, se dice que x y y están correlacionados. Si r = 0, se dice que x y y no están correlacionados.
Datos atípicos Los datos atípicos pueden distorsionar el coeficiente de correlación enormemente, en especial con conjuntos pequeños de datos. Algunos datos atípicos los ocasionan errores en el registro de datos o fallas en la secuencia del protocolo experimental. Estos datos atípicos se pueden corregir o eliminar adecuadamente.
Ejemplo Regresión Simple - Radiación (W/m2) vs. Minutos Variable dependiente: Radiación (W/m2) Variable independiente: Minutos Lineal: Y = a + b*X
Coeficientes Mínimos Cuadrados Parámetro Estimado Intercepto 778.643 Pendiente 2.61662
Estándar Error 2.39692 0.0700697
Estadístico T Valor-P 324.851 0.0000 37.3431 0.0000
Análisis de Varianza Fuente Suma de Cuadrados Modelo 123206. Residuo 5124.37 Total (Corr.) 128330.
Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P 1 123206. 1394.50 0.0000 58 88.3511 59
Coeficiente de Correlación = 0.979831 R-cuadrada = 96.0069 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 95.938 porciento
Error estándar del est. = 9.39953 Error absoluto medio = 7.09556 Estadístico Durbin-Watson = 0.168724 (P=0.0000) Autocorrelación de residuos en retraso 1 = 0.836378
Residuos Atípicos Predicciones Fila X Y Y Residuos 58 57.0 905.0 927.79 -22.7903 59 58.0 910.0 930.407 -20.4069 60 59.0 908.0 933.023 -25.0235
Residuos Studentizados -2.62 -2.32 -2.93
Recta de los mínimos cuadrados
Cuando dos variables tienen una relación lineal, el diagrama de dispersión tiende a estar agrupado alrededor de la recta de mínimos cuadrados:
En la ecuación yi se llama variable dependiente, xi se conoce como variable independiente, β0 y β1 son los coeficientes de regresión, y εi se denomina error. Si no hubiera error en la medición, los puntos se encontrarían en una línea recta con pendiente β1 e intercepto β0. Debido al error de medición, β0 y β1 no se pueden determinar exactamente, pero se pueden estimar cuando se calcula la recta de mínimos cuadrados. La recta de mínimos cuadrados es la que ajusta “mejor” los datos. Para cada punto de datos (xi, yi) la distancia vertical al punto en la recta de mínimos cuadrados es, llamada valor ajustado.
Consideraciones a tomar en la recta de los mínimos cuadrados: • Los residuos no son lo mismo que los errores • No haga una extrapolación fuera del rango de los datos • No usar la recta de mínimos cuadrados cuando los datos no sean lineales
Ejemplo Regresión Simple - Radiación (W/m2) vs. Minutos Variable dependiente: Radiación (W/m2) Variable independiente: Minutos Lineal: Y = a + b*X
Coeficientes
Mínimos Cuadrados Parámetro Estimado Intercepto 778.643 Pendiente 2.61662
Estándar Error 2.39692 0.0700697
Estadístico T Valor-P 324.851 0.0000 37.3431 0.0000
Ordinary Least Squares Regression: Minutos-Radiación (W/m2) Slope a: Intercept b:
2.6166 Std. error a: t: 37.343 p (slope): 778.64 Std. error b:
95% bootstrapped confidence intervals (N=1999): Slope a: Intercept b:
(2.4465, 2.7755) (773.84, 783.22)
Correlation: r: r2: t: p (uncorr.): Permutation p:
0.97983 0.96007 37.343 2.9169E-42 0.0001
0.07007 2.9169E-42 2.3969
Gráfica de residuos y valores ajustados
El mejor diagnóstico para la regresión de mínimos cuadrados es una gráfica de residuos ei contra valores ajustados yi en ocasiones llamada gráfica de residuos. Cuando el modelo lineal es válido, la gráfica no indicará un patrón importante. Por otra parte, si no hay curva en la gráfica, y la dispersión vertical de los puntos no debe variar demasiado de la dispersión horizontal de la gráfica, excepto quizás cerca de los bordes. Estas condiciones no existe razón para dudar de los supuestos del modelo lineal. Cuando la dispersión vertical en un diagrama de dispersión no varía demasiado, se dice que el diagrama de dispersión es homoscedástico. Lo contrario de homoscedástico es heteroscedástico. Una gráfica de residuos que se ve bien no prueba por sí misma que el modelo lineal es adecuado, porque los supuestos del modelo lineal pueden fallar de otras maneras. Por otra parte, una gráfica de residuos con un defecto serio indica claramente que el modelo lineal es inadecuado.
Ejemplo
Donde se aprecia un modelo ajustado, ello porque la mayoría de los datos coinciden sobre la línea de tendencia.
Si se ajusta el modelo línea:
Se determina que la gráfica de residuos es heteroscedástica, o presenta una tendencia o patrón, a veces se puede arreglar el problema elevando x, y, o ambos a una potencia. En general, sustituir una variable con una función de la misma se llama transformación de la variable. Específicamente, elevar una variable a una potenciase llama transformación potencia. Hay un fuerte patrón en la gráfica de residuos, lo que indica que el modelo lineal no es adecuado. Consideraciones sobre la transformación de variables: Es importante recordar que las transformaciones de las potencias no siempre funcionan. • A veces ninguna de las gráficas de residuos parece buena, no importa qué transformaciones se prueben. • Las gráficas de residuos con pocos puntos son difíciles de interpretar • Cuando solamente hay algunos puntos en una gráfica de residuos, es difícil determinar si se satisfacen los supuestos del modelo lineal. A veces tal gráfica parecerá heteroscedástica o presentar un patrón, pero con una inspección cercana se encontrará que esta impresión visual la causa la colocación de sólo uno o dos puntos. • En ocasiones es difícil determinar si tal gráfica contiene un dato atípico. • Cuando uno se enfrenta a una gráfica de residuos dispersa difícil de interpretar es razonable ajustar un modelo lineal, pero considerando los resultados con cautela, en el entendido de que no se ha establecido la propiedad del modelo.
Ejemplo
Gráfico de Residuos Radiación (W /m2) = 778.643 + 2.61662*Minutos
Rediduo Estudentizado
3 2 1 0 -1 -2 -3 0
10
20
30 Minutos
40
50
60
Datos atípicos y puntos influyentes A veces al transformar las variables se eliminarán los datos atípicos cambiándolos de lugar más cerca de la mayor parte de los datos. Cuando las transformaciones no ayudan, y cuando no hay justificación para eliminar los datos atípicos, un enfoque conveniente es ajustar la recta para todo el conjunto de datos, y eliminar cada dato atípico en turno, ajustando la recta al conjunto de datos con un dato atípico eliminado. Si ninguno de los datos atípicos eliminados hace una notable diferencia a la recta de mínimos cuadrados o a las desviaciones estándar estimadas de la pendiente y del intercepto, entonces utilice el ajuste con los datos atípicos incluidos
Ejemplo
Grรกfico del Modelo Ajustado Radiaciรณn (W /m2) = 778.643 + 2.61662*Minutos
Radiaciรณn (W/m2)
920
880
840
800
760 0
10
20
30 Minutos
40
50
60
Anexo 1.
Muestra de valores de radiación (W/m2) entre las 10:00 y 10:59 horas, del día 9 de abril del 2018 en la Ciudad de México Fecha 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018
Hora 10:00 10:01 10:02 10:03 10:04 10:05 10:06 10:07 10:08 10:09 10:10 10:11 10:12 10:13 10:14 10:15 10:16 10:17 10:18 10:19 10:20 10:21 10:22 10:23 10:24 10:25 10:26 10:27 10:28 10:29 10:30 10:31 10:32
Minuto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
W/m2 765 765 768 774 786 796 798 797 800 802 808 812 814 815 817 818 821 824 829 832 829 831 832 826 832 837 843 845 852 862 868 875 877
09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018 09/04/2018
10:33 10:34 10:35 10:36 10:37 10:38 10:39 10:40 10:41 10:42 10:43 10:44 10:45 10:46 10:47 10:48 10:49 10:50 10:51 10:52 10:53 10:54 10:55 10:56 10:57 10:58 10:59
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
880 879 882 884 887 888 883 889 890 892 894 901 900 898 904 914 912 916 917 918 915 912 911 911 905 910 908
Bibliografía
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