Apostila estatistica cienc comp by Vinicius Nogueira

NOTAS DE AULA: ESTAT´ISTICA ´ BASICA Curso: Ciˆ encia da Computa¸ c˜ ao

Profs. Fl´ avio Bittencourt/Adriana Dias UNIFAL-MG / ALFENAS 2014

´ SUMARIO LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1 SOMATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1 Indices ou nota¸c˜ ao por ´ındices . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nota¸c˜ ao de somat´ orio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Somat´ orios mais usados na Estat´ıstica . . . . . . . . . 1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ 2 INTRODUC ¸ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ 3 ALGUMAS DEFINIC ¸ OES . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Vari´ avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Vari´ aveis qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Vari´ aveis quantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Vari´ aveis independentes e dependentes . . . . . . . . 3.2 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Popula¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Parˆ ametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Estimativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 AMOSTRAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Importˆ ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 N´ umeros aleat´ orios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Tipos de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Amostragem n˜ ao probabil´ıstica . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Amostragem probabil´ıstica . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Apresenta¸c˜ ao dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Constru¸c˜ ao de tabelas de distribui¸c˜ ao de frequências 5.1.3 Tipos de distribui¸c˜ ao de frequências . . . . . . . . . 5.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Gr´ aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Medidas Estat´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Medidas de Tendência Central . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Medidas Separatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Medidas de Variabilidade (Dispers˜ ao) . . . . . . . . 5.2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 PROBABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Defini¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Experimento determin´ıstico . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Experimento aleat´ orio . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Espa¸co amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5 Evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Probabilidade a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Probabilidade a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Importante saber! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i ii 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 7 8 8 10 10 10 16 18 18 18 20 24 26 26 31 31 31 37 38 41 42 46 47 47 47 47 48 48 48 49 49 50 51 51 52

6.4 Regra do produto e independência de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Independência de três ou mais eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Ensaios de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Exerc´ıcios extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ DE PROBABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 DISTRIBUIC ¸ AO 7.1 Vari´ avel aleat´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Distribui¸c˜ ao de probabilidade ou fun¸caõ de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Média e variˆ ancia de uma vari´ avel aleatória discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Distribui¸c˜ ao binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Distribui¸c˜ ao Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Distribui¸c˜ ao normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 C´ alculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Condi¸co˜es para que uma fun¸c˜ ao seja fun¸cão densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . . 7.3.3 A distribui¸c˜ ao normal: informa¸c˜ oes adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 C´ alculo de probabilidades de vari´ aveis normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5 Distribui¸c˜ ao normal padronizada ou distribui¸cão normal padrão . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ 8 TEORIA DA ESTIMAC ¸ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Distribui¸c˜ ao de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Distribui¸c˜ ao amostral das médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Distribui¸c˜ ao amostral das propor¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Estima¸c˜ ao pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Estima¸c˜ ao intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Intervalo de confian¸ca para a média µ de uma popula¸cão normal com variância populacional σ 2 conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Intervalo de confian¸ca para a média µ de uma popula¸cão normal com variância populacional σ 2 desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Intervalo de confian¸ca para uma propor¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Determina¸c˜ ao do tamanho amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ 9 TEORIA DA DECISAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Erros envolvidos num teste de hip´ otese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Mecˆ anica operacional dos testes de hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Teste de hip´ oteses para uma média de uma popula¸cão normal quando a variância populacional for desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Teste de hip´ oteses para propor¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Teste de hip´ oteses para compara¸c˜ ao das variâncias de duas popula¸cões normais . . . . . . . . . 9.7 Teste de hip´ oteses para duas médias de popula¸cões normais com variâncias populacionais desconhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1 Testes de hip´ oteses para duas médias, sendo σ12 = σ22 = σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.2 Testes de hip´ oteses para duas médias, sendo σ12 6= σ22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10TESTES QUI-QUADRADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1Teste de Aderência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2Teste de Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3Teste de Homogeneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ LINEAR E REGRESSAO ˜ LINEAR SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11CORRELAC ¸ AO 11.1Diagrama de dispers˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 55 55 57 58 59 59 60 61 61 62 63 64 65 66 67 67 67 67 69 71 71 71 72 73 74 74 75 75 75 78 79 80 82 83 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89 90 91 92 93 94 96 98 99 99

11.2Coeficiente de Correla¸c˜ ao Linear . . . . . . . . . 11.2.1Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3Regress˜ ao Linear Simples . . . . . . . . . . . . . 11.3.1Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Tabelas de distribui¸c˜ oes de probabilidade te´oricas

. . . . .

99 102 103 106 108

LISTA DE TABELAS 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

T´ abua de n´ umeros aleat´ orios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Estratifica¸c˜ ao das 500 pessoas em observa¸cão no hospital HS . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Estratifica¸c˜ ao das 500 pessoas em observa¸cão no hospital HS e os respectivos tamanhos dos estratos e tamanhos de amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Estratifica¸c˜ ao das 1000 pessoas em observa¸cão no hospital HS . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Estratifica¸c˜ ao das 1000 pessoas em observa¸cão no hospital HS e os respectivos tamanhos dos estratos e tamanhos de amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 N´ umero de notifica¸c˜ oes de ´ obitos ao SIM, por doen¸cas endócrinas nutricionais e metabólicas. Brasil, 2005 a 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Interna¸c˜ oes por acidente de trˆ ansito segundo a Unidade de Federa¸cão, faixa etária de 25 a 29 anos, nov-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Notifica¸c˜ oes de ´ obitos ao SIM. Brasil, 2011* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Notifica¸c˜ oes de ´ obitos ao SIM. Brasil, 2007 a 2011* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Avalia¸c˜ ao do Congresso de Homeopatia, Alfenas-MG, 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 N´ umero de filhos de 50 casais entrevistados numa fila de um PSF, Cidade Gama, abril-maio de 2010* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 N´ umero de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Valores relativos de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 N´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial, durante 60 dias . . . 32 N´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial, durante 60 dias e o ponto médio das classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 C´ alculos auxiliares: compara¸c˜ ao entre n/2 e f ac e localiza¸cão da classe mediana . . . . . 36 C´ alculos auxiliares: localiza¸c˜ ao da classe do P50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 C´ alculos auxiliares: localiza¸c˜ ao da classe do P25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 C´ alculos auxiliares: localiza¸c˜ ao da classe do P75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Notas dos três alunos em quatro provas de determinada disciplina e suas respectivas médias 45 N´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial, durante 60 dias e c´ alculos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Pacientes com diabetes em Minas Gerais, segundo o sexo, no per´ıodo de janeiro a junho de 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Todas as amostras e médias amostrais de tamanho n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Todas as k amostras de tamanho n e propor¸cões pî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Probabilidades (α) da distribui¸c˜ ao normal padronizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Valores do quantil t segundo os graus de liberdade (gl) e probabilidades α . . . . . . . . . 109 Valores do quantil χ2 segundo os graus de liberdade (gl) e probabilidades α . . . . . . . . 110 Valores do quantil F segundo os graus de liberdade do numerador (v1 ) e graus de liberdade do denominador (v2 ) e probabilidade 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

LISTA DE FIGURAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Classifica¸c˜ ao das vari´ aveis . . . . . . . . . . . . . . Rela¸c˜ ao entre vari´ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . Dados parciais da pesquisa da empresa . . . . . . . Esquematiza¸c˜ ao do processo de amostragem . . . . N˜ ao seria melhor uma amostra? . . . . . . . . . . . Pastas com os nomes das crian¸cas . . . . . . . . . . Esquematiza¸c˜ ao da amostragem por conglomerado Esquematiza¸c˜ ao da amostragem estratificada . . .

. . . . . . . .

N´ umero de notifica¸co ˜es de o ´bitos ao SIM, por doen¸cas end´ ocrinas nutricionais e metab´ olicas. Brasil, 2005 a 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interna¸co ˜es por acidente de trˆ ansito segundo a Unidade de Federa¸ca ˜o, faixa et´ aria de 25 a 29 anos, nov-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notifi¸co ˜es de o ´bitos ao SIM. Brasil, 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notifi¸co ˜es de o ´bitos ao SIM. Brasil, 2007 a 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interna¸co ˜es por acidente de tr˜ ansito segundo a Unidade de Federa¸ca ˜o, faixa et´ aria de 25 a 29 anos, nov-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N´ umero de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010 N´ umero de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010

Tipos de frequências . . . . . . . . . . Rela¸c˜ ao entre média, mediana e moda Equivalência das medidas separatrizes Boxplot: modelo e nomes das partes . . . Boxplot: simetrias . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Boxplot: N´ umero de filhos por casal: Amostra A e Amostra B . . . . . . Distribui¸c˜ oes normais com diferentes valores para µ e σ . . . . . . . Exemplo de P (a < X < b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P (X > 190) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P (Z > 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor tabelado para P (Z > 2): ´ area sob a curva para Z > 2 . . . . . P (−1,6 < Z < 0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P (Z > 0,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P (Z < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P (−1,6 < Z < 0,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P (0 < Z < 1,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ afico dos valores populacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ afico da distribui¸c˜ ao das médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribui¸c˜ ao de probabilidade da popula¸cão e distribui¸cões amostrais Probabilidade da ´ area compreendida entre −1,96 e 1,96 e das caudas Esquematiza¸c˜ ao dos intervalos de confian¸ca para µ e p . . . . . . . . Regi˜ oes cr´ıticas conforme H1 : µ 6= µ0 ; H1 : µ > µ0 e H1 : µ < µ0 . . Regi˜ oes cr´ıticas conforme H1 : p 6= p0 ; H1 : p > p0 e H1 : p < p0 . . . 2 2 Regi˜ ao cr´ıtica conforme H1 : σM > σm . . . . . . . . . . . . . . . . . Regi˜ ao cr´ıtica conforme H1 : µ1 − µ2 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . Regi˜ ao cr´ıtica conforme H1 : µ1 − µ2 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . Regi˜ ao cr´ıtica conforme H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regi˜ ao cr´ıtica conforme H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regi˜ ao cr´ıtica conforme H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto de dados de Íris de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos de relacionamentos entre X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de dispers˜ ao: n´ıvel de colesterol e n´ıvel de triglicer´ıdeos . Gr´ afico das vari´ aveis X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquematiza¸c˜ ao dos erros: ei = yi − yî . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de dispers˜ ao e gr´ afico da equa¸cão ajustada . . . . . . . . . Gr´ aficos referentes ao exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para diferentes n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 6 8 8 12 13 14 27 27 28 28 29 29 30 30 37 38 42 43 43 66 66 67 67 68 68 68 69 69 69 69 72 72 74 76 80 85 87 88 89 91 93 95 96 99 100 101 103 104 105 106

´ 1 SOMATORIO

Estat´ıstica B´ asica

1 1.1

´ SOMATORIO

´ Indices ou nota¸ c˜ ao por ´ındices

O s´ımbolo xi (leia-se x ´ındice i) representa qualquer um dos n valores, x1 , x2 , x3 , . . . , xn assumidos pela vari´ avel X, na amostra ou no conjunto de dados. Evidentemente pode ser usada qualquer outra letra al´em de i. 1.2

Nota¸ c˜ ao de somat´ orio O s´ımbolo

n X

xi ´e usado para representar a soma de todos os valores de xi desde i = 1 at´e

i=1

i = n, ou seja: n X

xi = x1 + x2 + · · · + xn

i=1

Exemplo: Considere a vari´ avel X = {1, 0, −1, 2, 1}, cada valor (ou elemento) de X corresponde, respectivamente, a x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Alguns somat´orios podem ser calculados: 3 X a) xi = x1 + x2 + x3 = 1 + 0 + (−1) = 0 i=1

b) c) d)

5 X i=1 5 X

xi = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 + 0 + (−1) + 2 + 1 = 3 xi = x3 + x4 + x5 = −1 + 2 + 1 = 2

i=3 5 X

xi = x1 + x2 + x5 = 1 + 0 + 1 = 2

i=1 i6=3, 4

1.3

Propriedades Sejam: a, b e k constantes; X e Y vari´aveis e xi e yi os valores que as vari´aveis X e Y assumem,

ent˜ ao: (P1) Somat´ orio de uma constante vezes uma variável é igual à constante vezes o somatório da variável: n X

axi = ax1 + ax2 + ax3 + ... + axn = a

i=1

n X

i=1

(P2) Somat´ orio de uma constante ´e igual ao n´ umero de termos vezes a constante: n X i=1 n X i=a

k = k + k + k + ... + k + k = n · k {z } | (n−1+1 ) vezes

k = k + k + k + . . . + k + k = (n − a + 1) · k | {z } (n−a+1 ) vezes

(P3) Somat´ orio de uma soma ´e igual ` a soma dos somat´orios: n X

(axi ± byi ) = a

i=1

n X

xi ± b

i=1

n X

i=1

(P4) Somat´ orios de um produto de vari´ aveis é igual ao produto dos somatórios destas variáveis: n X m X i=1 j=1

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xi yj =

n X i=1

xi ×

m X

j=1

Profs. Fl´ avio Bittencourt/Adriana Dias

´ 1 SOMATORIO

Estat´ıstica B´ asica

´ importante lembrar que: E n X n X

xi yi 6=

i=1

n X

xi ×

i=1

n X

i=1

xi yi

i=1 n X

n X i=1

!2 xi

n X

x2i

i=1

1.4

Somat´ orios mais usados na Estat´ıstica n X i. Soma simples: xi = x1 + x2 + ... + xn i=1

ii. Soma de quadrados:

n X

x2i = x21 + x22 + ... + x2n

i=1 n X

iii. Quadrado da soma:

!2 xi

= (x1 + x2 + ... + xn )

i=1

iv. Soma de produtos:

n X

xi yi = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn

i=1

v. Produto da soma:

n X i=1

n X

yi = (x1 + x2 + ... + xn ) (y1 + y2 + ... + yn )

i=1

Observa¸ c˜ ao: algumas vezes omite-se os limites do somat´orio, quando isso acontecer deve-se considerar a soma de todos os elementos, desde i = 1 at´e i = n: X

n X

i=1

1.5

Exerc´ıcios

1. Indicar, por meio da nota¸c˜ ao de somat´ orio, cada uma das express˜oes seguintes: a) x21 + x22 + x23 + ... + x210 b) (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + ... + (x8 + y8 ) c) f1 x31 + f2 x32 + f3 x33 + ... + f20 x320 2 d) (y12 − 1)2 + (y22 − 1)2 + . . . + (y12 − 1)2 2 3 e) (x1 − 1) + (x2 − 2) + (x3 − 3) + . . . + (xn − n)n 2. Desenvolver os termos de cada uma das seguintes somas: a) b)

6 X i=1 4 X

xi (yi − 3)2

c) d)

N X i=1 n X

a b

e) f)

i=a

i=1

5 X k=1 3 X

fk xk (xj − a)

j=1

3. As vari´ aveis, X e Y , assumem os valores: x1 = 2; x2 = 4; x3 = −5; x4 = −8 e y1 = −3; y2 = −8; y3 = 10; y4 = 6, respectivamente. Calcular: P P P a) P x d) P x2 g) P xy 2 b) P y e) P y 2P h) (x + y)(x − y) c) xy f) x y 4. Dados os valores das vari´ aveis: X = {2, 4, 4, 3, 2}, Y = {1, 2, 3, 6, 7}, obtenha: 5 4 5 P X X 2 a) xi c) 4xi e) (3xi + 2yi ) b)

i=1 5 X i=1

i=1 5 X

i=1

xi yi

i=1

Profs. Fl´ avio Bittencourt/Adriana Dias

4 X i=2

xi yi +

5 X

yi2

i=1

UNIFAL-MG/Alfenas

˜ 2 INTRODUC ¸ AO

Estat´ıstica B´ asica

5. Na Estat´ıstica usa-se com frequência calcular a média e a variânciaamostral, representadas na forma !2 n n X X  n xi  xi X  1   i=1 i=1 x2i − de somat´ orios por: x ¯ = e s2 =  , respectivamente, sendo n uma  n n − 1  i=1 n   constante que representa o n´ umero de elementos (ou dados, ou observa¸cões) de um conjunto qualquer ou de uma vari´ avel. Considere os valores assumidos por uma variável X qualquer: X = {2, 4, 5, 6, 1, 6}; calcule a média e a variˆ ancia. n X 6. a) Use os valores da vari´ avel X do exerc´ıcio anterior para demonstrar que (xi − x ¯) = 0. i=1

b) Use as propriedades de somat´ orio, lembre-se que x ¯ ´e uma constante, para demonstrar algebricamente n X que (xi − x ¯) = 0. i=1

˜ INTRODUC ¸ AO

A Estat´ıstica como ciência somente se estruturou no século passado, sendo uma ferramenta indispens´ avel na vida moderna. Hoje, cada vez mais pessoas encontram-se expostas a ela em maior ou menor intensidade. ´ a ciência que se ocupa da coleta, da organiza¸cão, da descri¸cão, da análise e da interpreta¸c˜ E ao de dados: a) no plural (estat´ısticas), indica qualquer cole¸cão consistente de dados numéricos reunidos com a finalidade de fornecer informa¸c˜ oes acerca de uma atividade qualquer. Por exemplo, estat´ısticas demográficas referem-se a dados numéricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimônios, desquites etc. b) no singular (estat´ıstica), indica um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classifica¸c˜ ao, a apresenta¸c˜ ao, a análise, a interpreta¸cão de dados e a utiliza¸cão desses dados para a tomada de decis˜ oes. 3 3.1

˜ ALGUMAS DEFINIC ¸ OES

Vari´ avel

´ por meio das variáveis que se As vari´ aveis s˜ ao as caracter´ısticas pesquisadas ou registradas. E torna poss´ıvel descrever o fenˆ omeno. As variáveis são caracter´ısticas que podem ser observadas ou medidas em cada elemento pesquisado (seja por censo ou por amostragem, levantamento ou experimento), sob as mesmas condi¸c˜ oes. Para cada vari´ avel, para cada elemento pesquisado, em um dado momento, há apenas um resultado poss´ıvel. As vari´ aveis podem ser basicamente classificadas de acordo com o seu n´ıvel de mensura¸cão (o quanto de informa¸c˜ ao cada vari´ avel apresenta) e seu n´ıvel de manipula¸cão (como uma variável relaciona-se com as outras no estudo). 3.1.1

Vari´ aveis qualitativas

Também denominadas de vari´ aveis categóricas, são aquelas cujas realiza¸cões são atributos (categorias) do elemento pesquisado, como sexo, grau de instru¸cão, espécie. Estas podem ser nominais ou ordinais. As vari´ aveis nominais podem ser medidas apenas em termos de quais itens pertencem as diferentes categorias, mas n˜ ao pode quantificar nem mesmo ordenar tais categorias. Por exemplo, pode se dizer que dois indiv´ıduos s˜ ao diferentes em termos da variável A (sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles “tem mais” da qualidade representada pela variável. Exemplos t´ıpicos de variáveis nominais s˜ ao: sexo, naturalidade, etnia etc. As vari´ aveis ordinais permitem ordenar os itens medidos em termos de qual tem menos e qual tem mais da qualidade representada pela variável, mas ainda não permitem que se diga “o quanto mais”. Um exemplo t´ıpico de uma vari´ avel ordinal é o status sócio-econômico das fam´ılias residentes em uma localidade: sabe-se que média-alta é mais “alta” do que média, mas não se pode dizer, por exemplo, que é 20% mais alta. A pr´ opria distin¸c˜ ao entre mensura¸cão nominal, ordinal e intervalar representa um bom exemplo de uma vari´ avel ordinal. Pode-se dizer que uma medida nominal provê menos informa¸cão do que uma medida ordinal, mas n˜ ao se pode dizer “quanto menos” ou como esta diferen¸ca se compara ` a UNIFAL-MG/Alfenas

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˜ 3 ALGUMAS DEFINIC ¸ OES

Estat´ıstica B´ asica

diferen¸ca entre mensura¸c˜ ao ordinal e quantitativa. 3.1.2

Vari´ aveis quantitativas

S˜ ao aquelas cujas realiza¸c˜ oes s˜ ao n´ umeros resultantes de contagem ou mensura¸cão, como n´ umero de filhos, n´ umero de visitantes, velocidade em km/h, peso, altura etc. As variáveis quantitativas s˜ ao discretas ou cont´ınuas. As vari´ aveis quantitativas discretas são aquelas que podem assumir apenas alguns valores numéricos que geralmente podem ser listados (n´ umero de filhos, n´ umero de acidentes). As variáveis quantitativas cont´ınuas s˜ ao aquelas que podem assumir qualquer valor em um intervalo (velocidade, peso, altura). Muitos pesquisadores preferem as variáveis quantitativas por acharem que estas contêm mais informa¸c˜ oes do que as qualitativas. Observe os seguintes exemplos: quando a variável distância de uma localidade é descrita em termos de “longe” e “perto”, sabe-se que longe é mais distante que perto, mas n˜ ao se tem idéia de qu˜ ao mais distante; se, contudo, descreve-se a distância de forma numérica, medida em metros, e uma localidade dista de um ponto de referência 600 metros e outra dista 400, não só se sabe que a segunda é mais perto do que a primeira, mas são 200 metros mais perto. ´ importante ressaltar que a forma como a variável está sendo medida definirá o seu n´ıvel de E mensura¸c˜ ao. Por exemplo, a vari´ avel velocidade de um carro; se definirmos velocidade como resultado de uma medi¸c˜ ao por meio de radar resultando em um valor em km/h, trata-se de uma variável quantitativa cont´ınua; se, porém, definirmos a velocidade como resultado de uma medi¸cão em que alguém declara a velocidade como “baixa”, “média” ou “alta”, ela passa ser qualitativa ordinal. Esquematicamente a classifica¸c˜ ao das variáveis segundo o n´ıvel de mensura¸cão pode ser visualizada na Figura 1.

FIGURA 1 Classifica¸c˜ao das vari´aveis 3.1.3

Vari´ aveis independentes e dependentes

Uma outra forma de classificar as variáveis refere-se ao n´ıvel de manipula¸cão: variáveis independentes e dependentes, Figura 2.

FIGURA 2 Rela¸cão entre variáveis As vari´ avies independentes s˜ ao aquelas que são manipuladas, enquanto que as dependentes s˜ ao apenas medidas ou registradas (como manipula¸cão das variáveis independentes). Esta distin¸cão confunde muitas pessoas que dizem que “todas as variáveis dependem de alguma coisa”. Entretanto, uma vez que se esteja acostumado a esta distin¸c˜ ao ela se torna indispensável. 4

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˜ 3 ALGUMAS DEFINIC ¸ OES

Estat´ıstica B´ asica

As vari´ aveis independentes s˜ ao aquelas que podem influenciar os valores das variáveis dependentes. Somente a realiza¸c˜ ao do estudo vai permitir verificar se há realmente tal influência e, somente, poderemos afirmar que a vari´ avel independente é a causa da variável dependente assumir determinado resultado se o estudo for um experimento (pesquisa experimental). Os termos vari´ avel dependente e independente aplicam-se principalmente à pesquisa experimental, onde algumas vari´ aveis s˜ ao manipuladas, e neste sentido são “independentes” dos padrões de rea¸c˜ ao inicial, inten¸c˜ oes e caracter´ısticas das unidades experimentais. Espera-se que outras variáveis sejam “dependentes” da manipula¸c˜ ao ou das condi¸c˜ oes experimentais. Ou seja, elas dependem “do que as unidades experimentais far˜ ao” em resposta. Exemplo: Quando você vai ao restaurante o valor a ser pago é dependente da quantidade de comida. Você pode controlar a quantidade de comida no prato, mas o valor dependerá desta quantidade. Ao se estudar o n´ umero de suic´ıdios ocorridos durante os anos 2007 a 2012 numa determinada cidade, você manipula a vari´ avel ano (2007 a 2012), mas o n´ umero de suic´ıdios será registrado conforme o ano. 3.2

Dados

S˜ ao os valores ou fenˆ omenos obtidos na mensura¸cão ou observa¸cões de alguma variável em estudo. Logo, os dados podem ser qualitativos (nominais ou ordinais) ou quantitativos (discretos ou cont´ınuos) e independentes ou dependentes. Por exemplo, se a variável estudada for sexo de indiv´ıduos que visitam um santu´ ario, os dados s˜ ao, masculino, masculino, feminino, feminino etc. Outro exemplo: considerando que a variável estudada seja n´ umero de filhos de um grupo de 20 casais, as respostas obtidas, 0, 2, 3, 1, 2, 0, ... são os dados, e neste caso, os dados são discretos. Considerando altura dos estudantes desta sala de aula, os dados obtidos são denominados cont´ınuos, pois alguns valores podem ser: 1,59m, 1,75m, 1,80m etc. 3.3

Popula¸ c˜ ao

Os dados s˜ ao coletados para estudar uma ou mais caracter´ısticas de uma popula¸cão de interesse. Popula¸c˜ ao é o conjunto de medidas da(s) caracter´ıstica(s) de interesse em todos os elementos que a(s) apresenta(m). Se, por exemplo, estamos avaliando as opiniões de eleitores sobre os candidatos a presidente, a popula¸c˜ ao da pesquisa seria constitu´ıda pelas opiniões declaradas pelos eleitores em questão. 3.4

Amostra

Uma amostra da popula¸c˜ ao é um subconjunto finito e representativo da popula¸cão. Por exemplo, se a popula¸c˜ ao da pesquisa for constitu´ıda pelas opiniões declaradas pelos eleitores, uma amostra seria parte dessas declara¸c˜ oes. Quer dizer que é necessário amostrar um grupo de eleitores e a partir deles constituir uma amostra das declara¸c˜ oes das suas opiniões. 3.5

Parˆ ametro ´ uma constante que caracteriza uma popula¸cão. São exemplos de parâmetros: E • µ: média populacional • σ 2 : variˆ ancia populacional • σ: desvio padr˜ ao populacional • p: propor¸c˜ ao populacional • etc.

3.6

Estimador

´ uma express˜ E ao alg´ebrica (f´ ormula) utilizada para obter um valor aproximado de um parˆametro. S˜ ao exemplos de estimadores: n X

• x ¯=

i=1

xi : m´edia amostral

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˜ 3 ALGUMAS DEFINIC ¸ OES

Estat´ıstica B´ asica



n X

 n 1  X 2 x − • s =  n − 1  i=1 i  2

• s= • pˆ =

√

!2  xi

i=1

   : variˆancia amostral  

s2 : desvio padr˜ ao amostral

y : propor¸c˜ ao amostral, sendo y o n´ umero de sucessos observados em uma amostra de tamanho n n

• etc. 3.7

Estimativa

´ o valor numérico de um estimador. E ´ determinada usando os dados amostrais. E Se o estimador é x ¯, uma estimativa pode ser x ¯ = 1,72 m. Exemplo: O objetivo de uma pesquisa é conhecer o consumo médio semanal de combust´ıvel de ambulˆ ancias do Hospital HS em um dado ano. Vari´ avel: Consumo semanal de combust´ıvel das ambulâncias do Hospital HS em um dado ano Popula¸c˜ ao: Todos os consumos semanais de combust´ıvel das ambulâncias em um dado ano: N = 52 consumos semanais Parˆ ametro: Consumo médio semanal de combust´ıvel das ambulâncias em um dado ano: µ Amostra (parte da popula¸c˜ ao): algumas semanas, por exemplo, n = 20 consumos semanais n X xi Estimador: x ¯ = i=1 n Estimativa: 60 L de combust´ıvel em média por semana. 3.8

Exerc´ıcios

1. Uma empresa quer conhecer o perfil dos seus 474 funcionários para responder às seguintes perguntas: - Identificar se h´ a predominˆ ancia masculina ou feminina - Mensurar a qualifica¸c˜ ao do pessoal (pelos anos de escolaridade) - Verificar como est´ a o turnover: avaliando as idades, tempo de servi¸co e experiência prévia do pessoal Para tanto disp˜ oe dos seguintes dados, parcialmente apresentados na Figura 3:

FIGURA 3 Dados parciais da pesquisa da empresa De acordo com a planilha, considerando, também, somente os dados apresentados: a) Identificar os n´ıveis de mensura¸c˜ ao das 9 variáveis: - Sexo (SEXO) - Idade em anos completos (IDADE) - Anos de educa¸c˜ ao completos (ANOSEDUC) - Fun¸c˜ ao: servi¸cos gerais, escrit´ orio, gerência (FUNCAO) 6

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4 AMOSTRAGEM

Sal´ ario atual mensal (SALARIOA) Sal´ ario inicial mensal (SALARIOI) Anos de servi¸co (ANOSSERV) Experiˆencia pr´evia em anos (EXPERPR) Nacionalidade (NACIONAL)

b) H´ a interesse em obter sum´ arios descrevendo: - as fun¸c˜ oes exercidas de acordo com o sexo do funcionário - os sal´ arios atuais em fun¸c˜ ao do sexo do funcionário - os sal´ arios atuais em fun¸c˜ ao dos anos de educa¸cão do funcionário Quais s˜ ao as vari´ aveis independentes e dependentes em cada caso? 2. Observando a vari´ avel relacione o tipo de dado que pode ser obtido assinalando com um “X” a respectiva coluna. Dado Qualitativo Quantitativo Nominal Ordinal Discreto Cont´ınuo

Vari´ avel Cor da pele Idade em anos completos Grau de desnutri¸c˜ ao Peso de recém-nascidos em gramas N´ umero de leitos no hospital Classe social (A, B, C, ...) Sexo N´ umero de casos de cˆ ancer de mama N´ umero de homens com enfisema pulmonar Tipagem sangu´ınea Nome de vacinas N´ umero de partos num determinado munic´ıpio Altura de um grupo de pessoas em metros Temperatura corporal em ◦ C Distˆ ancia percorrida por um maratonista em metros N´ umero de bactérias numa placa de petri N´ umero de c´ aries Circunferência cef´ alica em cm

3. A altura de um estudante (em cm) e a sua naturalidade são as variáveis estudadas por um pesquisador. Estas duas vari´ aveis s˜ ao: a) ambas cont´ınuas b) ambas discretas c) quantitativas cont´ınuas d) qualitativas nominais e) quantitativa e qualitativa, respectivamente 4. Quais das declara¸c˜ oes s˜ ao verdadeiras? a) Parˆ ametros descrevem amostras e estimativas descrevem popula¸cões. b) Estimativas descrevem amostras e popula¸cões. c) Parˆ ametros descrevem popula¸c˜ oes e estimativas descrevem amostras. d) Parˆ ametros descrevem amostras e popula¸cões. 4

AMOSTRAGEM

´ a parte da estat´ıstica que estuda os diversos processos de obten¸cão de amostras com o objetivo E de que elas sejam representativas da popula¸cão em estudo. Amostras representativas são aquelas que guardam ou reproduzem as mesmas caracter´ısticas da popula¸cão. Antes de obter amostras é necessário identificar a popula¸c˜ ao em estudo para utilizar a técnica de amostragem adequada. Considerando-se uma popula¸c˜ ao a ser estudada, por meio de técnicas de amostragem, obtém-se uma amostra (ou v´ arias amostras), posteriormente calcula-se as estat´ısticas de interesse para a realiza¸c˜ ao de inferências (aproximar ou concluir) sobre as caracter´ısticas da popula¸cão (parâmetros). A Figura 4 UNIFAL-MG/Alfenas

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Estat´ıstica B´ asica

4 AMOSTRAGEM

esquematiza a obten¸c˜ ao de uma amostra e o uso de alguns estimadores para o cálculo das estimativas que ser˜ ao u ´teis para a realiza¸c˜ ao de inferência de um ou mais parâmetros de interesse.

FIGURA 4 Esquematiza¸c˜ao do processo de amostragem 4.1

Importˆ ancia

Como o interesse maior est´ a na popula¸cão o ideal seria pesquisar toda a popula¸c˜ ao, em suma, realizar um censo (como o IBGE faz periodicamente no Brasil). Contudo, por raz˜ oes econˆ omicas ou práticas (para obter rapidamente a informa¸c˜ ao ou evitar a extin¸c˜ ao ou exaust˜ ao da popula¸c˜ ao) nem sempre é poss´ıvel realizar um censo1 , como exemplifica a Figura 5. Por raz˜ oes econˆ omicas entende-se a limita¸c˜ ao de recursos ou o alto custo; por razões pr´ aticas, entende-se a limita¸c˜ ao de tempo e/ou do acesso a todos os indiv´ıduos da popula¸c˜ ao. Quando este for o caso, é prefer´ıvel conhecer a popula¸cão a partir de uma parte dela (amostra), pois a principal vantagem de se usar amostragem ao invés de censo para pesquisar algo da popula¸c˜ ao é o menor custo e o menor tempo para a opera¸c˜ ao.

FIGURA 5 N˜ao seria melhor uma amostra?

Experiência com amostragem é fato no nosso cotidiano. Quando você verifica o tempero de um prato, n˜ ao ser´ a necess´ ario comer tudo o que tem na panela. Quando você verifica a temperatura do seu corpo, n˜ ao precisa colocar o termˆ ometro em todas as suas partes. Ao verificar a calibragem do pneu do seu carro, você se baseia em apenas um ponto. Ao realizar um exame de sangue o laboratório retira 40 mL, pois é suficiente para os exames de rotina. De acordo com estas situa¸c˜ oes, a amostragem torna-se necessária, entretanto, o uso inadequado de um procedimento de amostragem pode induzir a um viés de interpreta¸cão, como, por exemplo, n˜ ao mexer a sopa antes de tirar uma colher para verificar a temperatura do prato todo. Uma das principais subdivis˜ oes da Estat´ıstica é a Amostragem, que re´ une os métodos necess´ arios para coletar adequadamente amostras representativas e suficientes para que os resultados obtidos possam ser generalizados para a popula¸c˜ ao de interesse. Na prática, nem sempre, a popula¸cão estudada é homogênea. Assim, detalhes no planejamento deverão ser considerados pelo pesquisador para a execu¸c˜ ao de um trabalho de amostragem com sucesso. 4.2

N´ umeros aleat´ orios

Antes de se estudar cada tipo de amostragem, deve-se procurar uma ferramenta que seja viável para a sele¸caõ (ou sorteio) dos indiv´ıduos da popula¸cão em estudo. Procedimentos como papeizinhos enumerados, palitinho, bingo entre outros s˜ ao u ´teis, mas em alguns casos não são funcionais. A ferramenta utilizada pela estat´ıstica é a t´ abua de n´ umeros aleatórios, ou n´ umeros aleatórios gerados por programas computacionais, ou até mesmo gerados pela sua calculadora (fun¸cão random). 1

Fonte: http://rogeriocarpi.wordpress.com/2010/02/10/6-respostas-persuasivas-para-quem-nao-acredita-em-amostragem/. Acesso em: 06 nov. 2014

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Nas planilhas eletrˆ onicas (Excel, LibreOffice Calc) basta digitar em uma célula qualquer o comando = aleat´ orio() e teclar Enter. Na sua calculadora cient´ıfica existe a tecla RAN# que gera um n´ umero aleat´ orio entre 0 e 0,999. Se você multiplicar RAN# pelo tamanho da sua popula¸cão, a calculadora gerar´ a um n´ umero compreendido entre 0 e o tamanho N da sua popula¸cão. Para usar qualquer tipo de dispositivo aleatório deve-se considerar o tamanho N da popula¸c˜ ao da qual se quer selecionar indiv´ıduos e quantos algarismos são necessários para identificar um indiv´ıduo. Por exemplo: se a sua popula¸c˜ ao tiver 10 indiv´ıduos, você poderá identificá-los pelos n´ umeros de 0 a 9, ou por 01, 02, · · · , 10; na primeira situa¸c˜ ao foi utilizado um algarismo para identificar cada indiv´ıduo, na segunda, dois; se tiver 100 indiv´ıduos, você poderá usar dois algarismos (00, 01, 02, · · · , 99) ou três (001, 002, 003, · · · , 100); se tiver 932 indiv´ıduos, três algarismos serão necessários. Existem diversos modelos de t´ abuas de n´ umeros aleatórios e diversas formas de gerar n´ umeros aleat´ orios. O uso de t´ abuas de n´ umeros aleatórios ou a fun¸cão random da calculadora é bastante simples. ´ importante saber quantos algarismos s˜ E ao necessários para se identifica um indiv´ıduo da popula¸cão. Exemplo: Numa popula¸c˜ ao2 de tamanho N = 300 indiv´ıduos, por algum motivo, será obtida uma amostra de tamanho n = 10. Como deverá ser realizada a sele¸cão destes 10 indiv´ıduos? E quais ser˜ ao sorteados? Resolu¸c˜ ao: + Primeiramente deve-se enumerar os indiv´ıduos, por exemplo de 001 a 300. + Considerando a Tabela 2 como uma tabela de n´ umeros aleatórios obtida em um livro (ou por um programa de computador) é necessário: - Decidir qual parte do n´ umero aleatório será adotada, por exemplo, na Tabela 2 cada n´ umero possui 5 d´ıgitos, a popula¸c˜ ao est´ a identificada por 3 d´ıgitos; desses 5 d´ıgitos, quais serão adotados? Os três primeiros? Os três internos? Os três finais? Etc. Adontado uma situa¸cão ela deve ser seguida para quaisquer outros n´ umeros obtidos da tabela; - Escolher ` as “cegas” um n´ umero; - Obter outros n´ umeros sistematicamente, na linha tal qual se lê um livro (da esquerda para a direita), como se lê uma lista de classifica¸cão (de cima para baixo) ou de outra forma; - Considerar apenas os n´ umeros que fizerem parte do intervalo de valores que identificam os indiv´ıduos da popula¸c˜ ao, os demais n´ umeros fora do intervalo deverão ser descartados; - Selecionar tantos indiv´ıduos quanto for o tamanho da amostra. + Da Tabela 2 ` as “cegas” foi escolhido o n´ umero 67824 e que serão considerados somente os 3 primeiros d´ıgitos de cada n´ umero aleat´ orio obtido da leitura realizada da esquerda para à direita. Como 678 n˜ ao é um n´ umero que est´ a no intervalo de 001 a 300 ele será descartado e será, então, observado o pr´ oximo n´ umero, 52681, do qual 526 dever´ a ser adotado, mas que da mesma forma que o n´ umero anterior, dever´ a ser descartado. O mesmo acontece com os n´ umeros 31148 e 83761. Depois, o próximo n´ umero da tabela é o n´ umero 07236 que indentifica o indiv´ıduo de n´ umero 072, pois 072 é um n´ umero do intervalo de 001 a 300. Outros n´ umeros aleat´ orios da sequência são 66537, 70834, 33260, 72583, 31768, 30247, 90313, 77538 que dever˜ ao ser, também, descartados pelo mesmo motivo. Portanto, seguindo o procedimento, os n´ umeros aproveit´ aveis da tabela s˜ ao: 05367, 21768, 09324, 29734, 09525, 29448, 05783, 13143, 05070 os quais identificam os indiv´ıduos 053, 217, 093, 297, 095, 294, 057, 131e 050. Juntamente com 072 estes n´ umeros identificam os n = 10 indiv´ıduos que comporão a amostra.

00071 86770 43287 07386 16458 70834 54121 09525 95267 90400 73045 65401

11404 65621 93998 22667 33362 33260 21768 76354 75464 93614 41818 27959

TABELA 10478 95574 73709 52883 67824 72583 09324 93561 05783 13143 07465 64237

2 T´abua de n´ umeros 24317 60312 93724 49741 00325 78627 05673 74698 52681 31148 31768 30247 79572 29734 63399 84743 98523 48585 58366 05070 32104 56402 63240 53541

aleat´orios 25164 65251 36815 64385 83761 90313 68417 39751 66947 37304 53973 13547

12446 11256 87116 12125 07236 77538 97521 29448 30541 48277 20565 33938

62689 01222 94800 06233 66537 05367 56698 31790 64728 34132 54873 61258

Nota: tabela resumida 2

N ser´ a sempre usado para representar o tamanho da popula¸c˜ ao e n sempre se referir´ a ao tamanho da amostra.

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Caso use a calculadora ou uma planilha eletrˆonica, a ideia ´e a mesma. Entretanto, a tecnologia permite selecionar somente indiv´ıduos dentro do intervalo, facilitando o trabalho do pesquisador. 4.3

Tipos de amostragem

O modo como a amostra ser´ a retirada da popula¸cão é definida pelo tipo de amostragem, podendo ser n˜ ao probabil´ıstica ou probabil´ıstica. Cada qual apresenta suas particularidades e aplica¸cões. 4.3.1

Amostragem n˜ ao probabil´ıstica

Esse tipo de amostragem é usada quando a sele¸cão de indiv´ıduos é justificada ou racional. Os indiv´ıduos ser˜ ao selecionados de modo n˜ ao probabil´ıstico, ou seja, eles não apresentam probabilidade igual a de pertencer ` a amostra. As estat´ısticas observadas na amostra não podem ser generalizadas para a popula¸c˜ ao por n˜ ao ter como estimar o erro amostral, contudo se as caracter´ısticas da popula¸cão acess´ıvel forem semelhantes ` a popula¸c˜ ao em estudo, as estat´ısticas podem ser equivalentes aos de uma amostragem probabil´ıstica, embora n˜ ao haja garantia da sua confiabilidade. Entre as diversas justificativas para o seu uso, destacam-se: i) Inacessibilidade a toda popula¸c˜ ao; ii) A popula¸c˜ ao n˜ ao pode ser enumerada; iii) A popula¸c˜ ao é formada por material cont´ınuo; iv) A escolha da amostra é feita intencionamente. Os tipos de amostragem n˜ ao probabil´ıstica mais comuns são: i) Amostragem a esmo - é utilizada quando há inacessibilidade a toda popula¸cão, quando não é poss´ıvel enumerar todos os indiv´ıduos da popula¸cão ou quando a popula¸cão é formada por material cont´ınuo. Exemplos: a) Num lote com 20.000 ampolas de certo medicamento selecionar aleatoriamente 100 ampolas seria muito trabalhoso, ent˜ ao, simplesmente seleciona-se algumas a esmo. b) Numa f´ abrica em que se produz um certo produto em série, não é poss´ıvel enumerar todos os indiv´ıduos e nem ter acesso a todos, então, neste caso, seleciona-se os que estão sendo produzidos no momento. c) Estudo sobre a qualidade do ar, estudo sobre a qualidade da água, estudo sobre a qualidade do solo, estudo sobre n´ıvel de glicose no sangue etc, são exemplos em que a popula¸cão alvo é formada por material cont´ınuo. ii) Amostragem intencional - o pesquisador escolhe deliberadamente certos elementos para formar a ´ um tipo de amostragem muito usado em estudos qualiamostra baseado num pré-julgamento. E tativos. O risco de se obter uma amostra viciada é muito grande por se basear na preferência do pesquisador. Exemplo: Ao experimentar os efeitos de uma nova droga para o tratamento da AIDS o pesquisador escolhe n = 20 pacientes terminais entre todos os pacientes com a doen¸ca. iii) Amostragem por cotas - é semelhante a uma amostragem estratificada proporcional3 , diferenciando por n˜ ao empregar sorteio na sele¸c˜ ao dos elementos a serem amostrados. Muito empregada nas pesquisas eleitorais em que a popula¸cão é dividida em subgrupos, segundo informa¸cões do IBGE, dos quais seleciona-se uma cota proporcional ao seu tamanho. Os indiv´ıduos que farão parte da amostra s˜ ao selecionados pelos entrevistadores e não de forma aleatória (probabil´ıstica). 4.3.2

Amostragem probabil´ıstica

Uma amostragem probabil´ıstica considera que todos os elementos da popula¸cão têm probabilidade conhecida e n˜ ao nula de pertencer ` a amostra. Ela é aplicável sempre que for poss´ıvel enumerar a popula¸c˜ ao de modo que cada indiv´ıduo tenha a mesma chance de compor uma amostra. A amostragem probab´ıstica pode ser: 3

´ um tipo de amostragem probabil´ıstica E

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Amostragem simples ao acaso (ASA) ´ usada quando a popula¸c˜ E ao é homogênea, podendo ser com ou sem reposi¸cão. Sendo com reposi¸c˜ ao, um indiv´ıduo poder´ a fazer parte da amostra mais de uma vez. E se for sem reposi¸cão, um ind´ıviduo s´ o tem oportunidade de aparecer na amostra apenas uma u ńica vez. Suponha uma popula¸c˜ ao composta pelas caracter´ısticas de interesse de 3 indiv´ıduos A, B e C, da qual se deseja obter uma amostra de tamanho 2. Tem-se, então, N = 3 e n = 2. Portanto, se amostragem for com reposi¸c˜ ao é poss´ıvel obter N n amostras diferentes, ou seja, N n = 32 = 9 amostras diferentes: AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB ou CC. Se a amostragem for sem reposi¸cão é poss´ıvel formar CN, n amostras distintas4 . Por exemplo, na popula¸cão descrita anteriormente obtém-se CN, n = C3, 2 = 3 amostras diferentes: AB, AC ou BC. Para executar uma amostragem simples ao acaso (ASA), deve-se: • Enumerar todos indiv´ıduos da popula¸cão; • Realizar o sorteio; • Coletar as informa¸c˜ oes dos indiv´ıduos amostrados. Exemplo: Uma sala de aula possui 30 alunos. Pretende-se conhecer a idade média da turma. Suponha que a idade (em anos) de cada um seja: 25, 20, 35, 21, 22, 24, 25, 30, 38, 24, 20, 20, 25, 20, 19, 25, 23, 24, 28, 24, 24, 22, 28, 26, 23, 25, 22, 27, 25, 23. Extraia uma amostra aleatória simples de tamanho n = 10 desta popula¸c˜ ao. Solu¸c˜ ao; O primeiramente enumera-se os indiv´ıduos. Os n´ umeros entre parênteses indentificam os alunos, assim: 25(01) , 20(02) , 35(03) , 21(04) , 22(05) , 24(06) , 25(07) , 30(08) , 38(09) , 24(10) , 20(11) , 20(12) , 25(13) , 20(14) , 19(15) , 25(16) , 23(17) , 24(18) , 28(19) , 24(20) , 24(21) , 22(22) , 28(23) , 26(24) , 23(25) , 25(26) , 22(27) , 27(28) , 25(29) , 23(30) . Agora, é realizar o sorteio. Usando a fun¸c˜ ao random da calculadora os n = 10 alunos selecionados foram: 11o , 10o , 5o , 23o , 25o , 10o , 4o , 2o , 1o , 28o . Destes alunos sorteados, obtém-se, respectivamente, as seguintes idades: 20, 24, 22, 28, 23, 24, 21, 20, 25, 27. Portanto a idade média é igual a 23,4 anos. Amostragem sistem´ atica (AS) ´ usada quando a popula¸c˜ E ao é homogênea e possui algum tipo de organiza¸cão, como filas, ruas, ordem alfabética, data de anivers´ ario, data de entrada no hospital etc. A amostragem sistemática é uma adapta¸c˜ ao da amostragem simples ao acaso e é usada quando a popula¸cão u ´til é muito grande e as unidades amostrais n˜ ao podem ser numeradas de forma conveniente ou exequ´ıvel. Para realizar uma amostragem sistemática (AS), segundo [??], deve-se: • Ordenar os elementos da popula¸c˜ ao segundo algum critério. • Determinar o intervalo de amplitude (k), também denominado de passo de amostragem: k=

N n

Sendo: – k: o intervalo de amplitude (é um n´ umero inteiro, quando necessário, deve-se arredondar); – N : o tamanho da popula¸c˜ ao (n´ umero de indiv´ıduos) e – n: o tamanho da amostra. • Usar um dispositivo aleat´ orio para sortear um n´ umero entre 1 e k. Este n´ umero é denominado de in´ıcio casual i e representa o primeiro e u ńico elemento que foi sorteado da popula¸cão. • Determinar os demais elementos (indiv´ıduos) utilizando-se o in´ıcio casual i e o passo de amostragem k conforme o esquema a seguir: i + k, i + 2k, i + 3k, . . . , i + (n − 1)k; 4

CN, n =

N! n!(N − n)!

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Sendo i + k o segundo elemento, i + 2k o terceiro elemento e assim até o i + (n − 1)k o n-ésimo elemento. Logo, os elementos que fazem parte da amostra são: i, i + k, i + 2k, i + 3k, . . . , i + (n − 1)k; • Coletar as informa¸c˜ oes dos indiv´ıduos amostrados. Exemplo: Suponha que em um hospital há 80 crian¸cas diagnosticadas com câncer e que por algum motivo deseja-se uma amostra de tamanho5 n = 10 para tra¸car o perfil dessas crian¸cas [??]. Quais crian¸cas ser˜ ao selecionadas? Solu¸c˜ ao: Considerando que as crian¸cas estejam ordenadas de alguma forma, como por exemplo, por ordem alfabética agrupadas em pastas, como a Figura 6.

FIGURA 6 Pastas com os nomes das crian¸cas Caber´ a, agora, calcular o intervalo de amplitude (passo de amostragem): k=

N 80 = =8 n 10

Sorteia-se um n´ umero entre 1 e k = 8 para determinar o in´ıcio casual. Suponha que foi sorteado o n´ umero 1, ent˜ ao os elementos amostrados s˜ao: i + 5k = 1 + 5 × 8 = 41

i=1 i+k =1+8=9 i + 2k = 1 + 2 × 8 = 17 i + 3k = 1 + 3 × 8 = 25 i + 4k = 1 + 4 × 8 = 33

i + 6k = 1 + 6 × 8 = 49 i + 7k = 1 + 7 × 8 = 57 i + 8k = 1 + 8 × 8 = 65 i + 9k = 1 + 9 × 8 = 73

Se, por acaso, o n´ umero sorteado entre 1 e k = 8 fosse igual a 3, teria i = 3 e as crian¸cas amostradas seriam: 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59, 67, 75 . Amostragem por conglomerado (AC) ´ usada quando a popula¸c˜ E ao pode ser agrupada em subconjuntos ou conglomerados heterogˆeneos que possui a caracter´ıstica da popula¸c˜ao em estudo. Esses agrupamentos normalmente consistem de 5

Este tamanho de amostra n˜ ao foi determinado, portanto n˜ ao ´ e poss´ıvel a generaliza¸ca õ dos resultados para a popula¸ca õ de crian¸cas, serve apenas para ilustra¸ca õ

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unidades como regi˜ oes, cidades, partes do censo, de onde é selecionada uma amostra simples ao acaso. O objetivo principal é facilitar a coleta de informa¸cão dos elementos da amostra. Para realizar uma amostragem por conglomerado é necessário: • Dividir a popula¸c˜ ao em conglomerados (heterogêneos dentro e homogêneos entre si); • Sortear os conglomerados a serem estudados por meio de uma ASA; • Coletar informa¸c˜ oes de todos os indiv´ıduos que compõem o conglomerado ou selecionar alguns indiv´ıduos por meio de outras técnicas de amostragem dentro de cada conglomerado de acordo com o tamanho da amostra necess´ ario. Na Figura 7 é apresentada uma popula¸cão de tamanho N composta por M conglomerados da qual s˜ ao selecionados m conglomerados para avaliar os n indiv´ıduos que deverão ser amostrados6 .

FIGURA 7 Esquematiza¸cão da amostragem por conglomerado Uma amostragem por conglomerado é indicada quando: não se possui uma lista contendo todos os nomes dos elementos da popula¸c˜ ao; existe grande heterogeneidade entre os elementos da popula¸cão; é preciso fazer entrevistas ou observa¸c˜ oes em grandes áreas geográficas e o custo para a obten¸cão dos dados cresce com o aumento da distˆ ancia entre os elementos. Exemplo: Um pesquisador quer identificar os principais fatores causadores de estresse no trânsito em adultos das cidades de Minas Gerais com mais de 100.000 habitantes. Popula¸c˜ ao: N adultos das cidades de Minas Gerais com mais de 100.000 habitantes; Conglomerados: M cidades com mais de 100.000 habitantes; Amostra de conglomerados: m cidades selecionadas; Amostra de elementos: n adultos das m cidades da amostra de conglomerados. Amostragem estratificada (AE) ´ usada quando a popula¸c˜ E ao é heterogênea, mas pode ser agrupada em grupos menores ho´ uma adapta¸cão da amostragem simples ao acaso, diferenciando, mogêneos denominados de estratos. E apenas, por ter subgrupos mutuamente exclusivos, os estratos, de onde são extra´ıdas amostras aleatórias. Tem por objetivo: melhorar a representatividade da amostra quando os elementos da popula¸cão são heterogêneos, porém, podem ser agrupados em subpopula¸cões (estratos) contendo elementos homogêneos. Os estratos podem ser: sexo, idade, n´ıvel socioeconômico, região etc. Para realizar uma amostragem estratificada é importante seguir os procedimentos: • Dividir a popula¸c˜ ao em k estratos (homogêneos dentro e heterogêneos entre si); • Enumerar os indiv´ıduos dentro de cada estrato; • Obter de cada estrato de tamanho Ni , com i = 1, 2, . . . , k, amostras de tamanho ni das quais os indiv´ıduos ser˜ ao sorteados por meio de uma ASA; • Coletar as informa¸c˜ oes dos indiv´ıduos selecionados de cada amostra. 6

Ser´ a considerado, para simplificar, que no conglomerado sorteado todos os seus elementos ser˜ ao estudados

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Na Figura 8 est´ a representada uma popula¸cão dividida em k estratos da qual se observa que em cada estrato de tamanho Ni foram obtidas, respectivamente, amostras de tamanho ni . Além disso nota-se que a soma dos tamanhos de cada estrato é igual ao tamanho da popula¸cão e que a soma dos tamanhos de cada amostra obtida do seu respectivo estrato é igual ao tamanho da amostra a ser pesquisada.

FIGURA 8 Esquematiza¸cão da amostragem estratificada De acordo com as caracter´ısticas dos estratos, a amostragem estratificada pode ser: Amostragem estratificada uniforme Quando os k estratos tiverem tamanhos iguais ou próximos, as amostras de cada estrato podem possuir mesmos tamanhos. Neste caso o tamanho de cada amostra a ser obtida de cada estrato da popula¸c˜ ao é calculada por: n ni = k Em que: ni : é o tamanho de cada estrato, i = 1, 2, . . . , k; k P n: é o tamanho da amostra, sendo que ni = n; i=1

k: é o n´ umero de estratos desta popula¸c˜ ao. Exemplo: No hospital HS est˜ ao em observa¸cão 500 pessoas de 0 a 40 anos. Por algum motivo dividiu-se a popula¸c˜ ao em k = 5 estratos, ou seja, 5 categorias de idades. Posteriormente, contou-se quantas pessoas faziam parte de cada estrato (idade). Foi definido7 que o tamanho da amostra n a ser obtida é igual a 50. A divis˜ ao dos estratos e o n´ umero de pessoas por estrato é apresentado na Tabela 3. TABELA 3 Estratifica¸c˜ ao das 500 pessoas em observa¸cão no hospital HS Estratos (Idades) N´ umero de indiv´ıduos 00 ` 02 100 02 ` 05 98 05 ` 10 104 10 ` 20 102 20 ` 40 96 Total 500

Calcule o tamanho da amostra a ser obtida em cada estrato. Solu¸c˜ ao: Como cada estrato apresenta tamanho muito pr´oximo, optou-se por uma amostra estratificada uniforme sendo que o tamanho de cada amostra a ser obtida de cada estrato ´e igual a: ni = 7

n 50 = = 10 k 5

O c´ alculo para determinar o tamanho da amostra ser´ a apresentado na Se¸c˜ ao 8.4.4

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Desta forma, a divis˜ ao dos estratos, o n´ umero de pessoas por estrato e o tamanho da amostra a ser obtida em cada estrato podem ser visualizados na Tabela 4.

TABELA 4 Estratifica¸c˜ ao das 500 pessoas em observa¸c˜ao no hospital HS e os respectivos tamanhos dos estratos e tamanhos de amostras Estratos (Idades) N´ umero de indiv´ıduos Tamanho da amostra 00 ` 02 100 10 02 ` 05 98 10 05 ` 10 104 10 10 ` 20 102 10 20 ` 40 96 10 Total 500 50

Deve-se observar que a soma dos tamanhos de cada estrato é igual ao tamanho da popula¸c˜ ao em estudo e que a soma das amostras obtidas de cada estrato é igual ao tamanho da amostra de interesse. Amostragem estratificada proporcional Nesta amostragem estratificada, do estrato i deve-se obter uma quantidade (amostra) ni de elementos que é proporcional ao tamanho Ni de cada estrato da popula¸cão de tamanho N . O tamanho ni de cada estrato é determinado por: Ni ·n ni = N Em que: ni : é o tamanho da amostra a ser obtida no estrato i Ni : é o tamanho do estrato i; N : é o tamanho da popula¸c˜ ao; n: é o tamanho da amostra. Exemplo: Em um hospital est˜ ao em observa¸cão 1000 pessoas de 0 a 40 anos. Por algum motivo dividiu-se a popula¸c˜ ao em k = 5 estratos, ou seja, 5 categorias de idades. Posteriormente, contou-se quantas pessoas faziam parte de cada estrato (idade). Foi definido que o tamanho da amostra n a ser obtida é igual a 50. A divis˜ ao dos estratos e o n´ umero de pessoas por estrato podem ser observados na Tabela 5. TABELA 5 Estratifica¸c˜ ao das 1000 pessoas em observa¸cão no hospital HS Estratos (Idades) N´ umero de indiv´ıduos 00 ` 02 500 02 ` 05 320 05 ` 10 100 10 ` 20 50 20 ` 40 30 Total 1000

Determine o tamanho das amostras a serem obtidas em cada estrato da popula¸c˜ao em estudo. Solu¸c˜ ao: Para obter o tamanho das amostras a serem retiradas de cada estrato deve-se calcular: • Para o estrato 1: n1 =

N1 500 ·n= · 50 = 25 N 1000

• Para o estrato 2: n2 =

N2 320 ·n= · 50 = 16 N 1000

• Para o estrato 3: n3 =

N3 100 ·n= · 50 = 5 N 1000

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• Para o estrato 4: n4 =

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N4 50 ·n= · 50 = 2,5 N 1000

N5 30 ·n= · 50 = 1,5 N 1000 Organizando os resultados obtidos na Tabela 6, observa-se que foi arredondado para cima o tamanho da amostra do estrato 4 e que foi truncado o valor obtido para o tamanho da amostra do estrato 5. Tal opera¸c˜ ao foi realizada a fim de que a soma dos tamanhos das amostras retiradas dos estratos fosse igual a n = 50. • Para o estrato 5: n5 =

TABELA 6 Estratifica¸c˜ ao das 1000 pessoas em observa¸c˜ao no hospital HS e os respectivos tamanhos dos estratos e tamanhos de amostras Estratos (Idades) N´ umero de indiv´ıduos Tamanho da amostra 00 ` 02 500 25 02 ` 05 320 16 05 ` 10 100 05 10 ` 20 50 03 20 ` 40 30 01 Total 1000 50

Novamente, nota-se que a soma dos tamanhos de cada estrato é igual ao tamanho da popula¸c˜ ao e que a soma dos tamanhos das amostras obtidas dos estratos é igual ao tamanho da amostra a ser estudada. Amostragem estratificada ´ otima Em uma amostragem estratificada ótima além do tamanho de cada estrato é considerada, também, a variabilidade dos dados do estrato para determinar o tamanho da amostra a ser obtida nos mesmos. Com isso consegue-se otimizar a obten¸cão de informa¸cões sobre a popula¸cão, pois naquele estrato em que houver menor varia¸c˜ ao ela poderá influenciar na obten¸cão de uma menor quantidade de elementos amostrados. Assim, o tamanho de cada amostra a ser retirada do seu respectivo estrato é calculado por: Ni σ i n k P Ni σ i

ni =

i=1

Sendo: ni : é o tamanho da amostra a ser obtida no estrato i Ni : é o tamanho do estrato i; n: é o tamanho da amostra; k: é o n´ umero de estratos; σi : é o desvio padr˜ ao populacional do estrato i. Cr´ıtica: Necessidade de conhecer o desvio padr˜ ao populacional em cada estrato para a variável estratificadora, o que em geral n˜ ao poss´ıvel. Usa-se, ent˜ ao, estimá-lo por meio de uma amostra piloto encontrando, assim, o desvio padr˜ ao amostral8 que é usado para estimar o desvio padrão populacional. Quando a vari´ avel em estudo é qualitativa não existe o desvio padrão populacional. 4.4

Exerc´ıcios

1. Observe a figura ao lado. Responda: o que tem isto a ver com amostragem? Se tem algo, qual amostragem poderia ser realizada pelo marido para n˜ ao escutar uma bronca da sua esposa? Justifique.

O c´ alculo do desvio padr˜ ao amostral ser´ a visto na Se¸c˜ ao 5.2.5

Profs. Fl´ avio Bittencourt/Adriana Dias

UNIFAL-MG/Alfenas

Estat´ıstica B´ asica

4 AMOSTRAGEM

2. Um cientista pretende observar o comportamento dos 67 primatas de uma reserva, para isso ele quer estudar 10 deles. Ent˜ ao, ele cria uma estrutura amostral atribuindo a esses primatas os n´ umeros 01, 02, . . ., 67, e obtém a seguinte sequência de n´ umeros gerada por computador: 39126 49648 81754 09284 10219 23109 31157 00890 12782 16922 74448 63933 69134 38845 77315 13332 25819 91862 19203 12864 20783 68735 09460 63677 52029 Se ele utiliza os dois primeiros n´ umeros de cada n´ umero aleatório (come¸cando, assim, com 39, 49, 81, 09, . . .), quais primatas ser˜ ao selecionados? 3. Os 35 alunos de uma determinada sala de aula possuem as seguintes idades em anos: 25, 20, 35, 21, 22, 22, 24, 25, 30, 38, 24, 20, 20, 25, 20, 19, 25, 23, 20, 24, 28, 24, 24, 22, 28, 26, 23, 25, 22, 27, 25, 23, 28, 27, 22. Com o objetivo de estimar a idade média, como você extrairia uma amostra simples ao acaso, de tamanho n = 10 desta popula¸c˜ ao? Determine a idade média da turma. Dê todos os detalhes. 4. Os 60 pacientes de um médico apresentam os n´ıveis de glicose em jejum em mg/dL: 62 58 62 69 58 70 66 78 77 64 68 78 59 54 77 73 78 80 74 71 60 79 78 73 77 60 81 75 64 66 63 66 62 84 81 78 78 77 78 76 75 71 75 74 68 87 78 76 79 67 66 77 76 72 80 78 76 64 75 79 Sorteie 10 pacientes, sem reposi¸c˜ ao, desse conjunto. Use a tábua de n´ umeros aleatórios abaixo, adote pares de n´ umeros, como se lê um livro, come¸cando por 70, 89, 18, 88, 21, 97, 45, ... 70891 88821 97452 20353 06361 70990 18735 56086 26943 40213 23032 58781 27620 97239 15102 86483 01587 05547 41280 00572 18550 32127 48564 58748 19827 45549 06723 64692 55592 31574 11217 32794 63345 61088 01293 93914 32518 61105 56574 50105 11601 04533 53473 74240 32640 16851 23814 38439 03748 67555 03404 91598 66248 13918 92221 19450 11166 20498 99753 86323 46310 05831 65045 77398 a) Quais foram os pacientes sorteados? b) Quais s˜ ao os valores de glicemia de cada indiv´ıduo amostrado? 5. Se os 35 alunos do exerc´ıcio 3 estivessem organizados em 5 filas de 7 alunos cada, qual seria a técnica de amostragem mais indicada? Selecione uma amostra de tamanho n = 10 e determine a idade média da turma dando todos os detalhes. 6. Uma empresa tem 3.414 empregados repartidos nos seguintes setores: Setores No de funcionários Administrativo 314 Transporte 948 Oper´ arios 1.451 Outros 701 Deseja-se selecionar uma amostra de tamanho n = 50 de funcionários para uma entrevista. Qual o tipo de amostragem é recomendado para esta situa¸cão? Justifique e apresente todos os passos para selecionar os 50 funcion´ arios. 7. Uma ind´ ustria de cosmésticos possui 100 funcionários dos quais 70 trabalham exclusivamente dentro da f´ abrica e 30 ora trabalham dentro, ora trabalham fora. As idades dos 100 funcionários são apresentadas na ordem de como foram coletadas (lê-se segundo as linhas, tal como se lê um livro) de modo que as setenta primeiras idades s˜ ao dos funcion´ arios que trabalham exclusivamente dentro da ind´ ustria e as trinta u ´ltimas daqueles que trabalham ora dentro, ora fora da ind´ ustria. 33 35 35 34 34 33 36 39 40 39 UNIFAL-MG/Alfenas

38 34 33 35 34 32 36 40 41 40

34 30 33 34 36 34 33 40 45 41

34 37 34 33 35 35 34 42 41 40

34 36 31 31 34 37 33 39 40 40

31 33 32 35 33 35 32 38 39 42

36 34 36 35 32 35 31 40 41 39

35 34 33 35 38 30 37 40 41 39

Profs. Fl´ avio Bittencourt/Adriana Dias

32 32 29 37 34 35 35 40 40 38

37 39 36 32 33 34 34 40 42 40 17

5 ESTAT´ ISTICA DESCRITIVA

Estat´ıstica B´ asica

a) Qual é a popula¸c˜ ao em estudo? b) Qual é a vari´ avel em estudo e sua classifica¸cão? c) Uma amostra, de dez indiv´ıduos foi retirada da popula¸cão de cem, com aux´ılio dos n´ umeros aleatórios. A seguir, foi calculada a idade média da amostra das dez idades. Que valor você acha que foi obtido para essa média? d) Suponha agora que se pensasse em fazer amostragem estratificada. Em sua opinião, seria razoável, no caso? Caso afirmativo, indique como você procederia, ainda utilizando os n´ umeros aleatórios. Suponha que o tamanho da amostra continue sendo igual a dez. e) Suponha agora que tivesse sido utilizada amostragem estratificada uniforme, num total ainda de dez idades, e que tivessem sido obtidos, no primeiro e no segundo estratos, respectivamente, x ¯1 = 33,8 e x ¯2 = 40,2. Em quanto você estimaria a idade média da popula¸cão de cem idades? 8. A Reitoria da UNIFAL-MG quer aplicar um questionário à comunidade acadêmica (servidores, alunos e professores) para avaliar a opini˜ ao sobre a modifica¸cão do calendário acadêmico durante a Copa. Disp˜ oe de um cadastro com 107 servidores, 525 alunos e 214 professores. Deseja-se amostrar 100 pessoas. Qual o tipo de amostragem você utilizaria e quantos indiv´ıduos de cada categoria seriam avaliados? 9. Deseja-se selecionar uma amostra de domic´ılios da cidade de Alfenas. Um total de 5 ruas com caracter´ısticas pr´ oximas compor˜ ao as subdivis˜ oes da popula¸cão em estudo. No quadro abaixo, A1 representa o primeiro domic´ılio da Rua A, A2 o segundo, e assim por diante. Ruas A B C D E

Domic´ılios A1 A2 A3 A4 A5 A6 . . . A56 B1 B2 B3 B4 B5 B6 . . . B85 C1 C2 C3 C4 C5 C6 . . . C48 D1 D2 D3 D4 D5 D6 . . . D108 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 . . . E209

Inicialmente foram sorteadas duas ruas (B e D) e depois foram selecionados todos os domic´ılios de cada rua. Identifique o tipo de amostragem realizada.

ESTAT´ ISTICA DESCRITIVA

A estat´ıstica descritiva é a ´ area da estat´ıstica que aplica várias técnicas para a organiza¸cão, a apresenta¸c˜ ao e a descri¸c˜ ao de um conjunto de dados. O objetivo é a descri¸cão dos dados ao invés de usar os dados em aprendizado sobre a popula¸cão. As principais caracter´ısticas do conjunto de dados é apresentada por meio de tabelas, de gr´ aficos e de métodos numéricos. Neste cap´ıtulo ser˜ ao vistos alguns exemplos de tabelas e de gráficos que poderão representar, objetivamente, as informa¸c˜ oes e caracter´ısticas de uma variável e, posteriormente, os métodos numéricos que podem representar uma amostra: medidas de posi¸cão, medidas separatrizes e medidas de variabilidade. 5.1

Apresenta¸ c˜ ao dos dados

5.1.1

Tabelas

A tabela é uma ferramenta bastante eficiente de mostrar o comportamento da(s) variável(is), facilita a compreens˜ ao e a interpreta¸c˜ ao dos dados. O seu objetivo é fornecer uma ideia mais precisa e possibilitar uma inspe¸c˜ ao mais rigorosa aos dados. Uma tabela é composta basicamente por: • cabe¸calho • corpo • rodapé O t´ıtulo aparece sempre na parte superior da tabela devendo sempre conter informa¸cões que respondam ` as perguntas relacionadas ao fenômeno estudado: • o que est´ a representando? • onde ocorreu? • quando ocorreu? 18

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5 ESTAT´ ISTICA DESCRITIVA

Estat´ıstica B´ asica

O cabe¸calho indica a natureza do conte´ udo de cada coluna, por exemplo, o nome da variável independente e o nome da vari´ avel dependente. O corpo é representado por colunas e subcolunas dentro das quais serão registrados os dados e/ou informa¸c˜ oes. O rodapé é um espa¸co na parte inferior da tabela utilizado para inserir notas e/ou fonte dos dados. Em muitos casos é dispens´ avel. Embora existam diversas classifica¸cões para as tabelas, neste material as tabelas serão consideradas como distribui¸ c˜ ao de frequˆ encias. Uma distribui¸cão de frequência é um agrupamento dos dados em classes de modo a contabilizar o n´ umero de ocorrências em cada classe. O n´ umero de ocorrências de cada classe recebe o nome de frequência absoluta. O objetivo da tabela de distribui¸cão de frequências ´ usada, também para discriminar a é fornecer uma boa visualiza¸c˜ ao do comportamento dos dados. E distribui¸c˜ ao de probabilidade de uma amostra (ou popula¸cão). S˜ ao exemplos de distribui¸c˜ ao de frequências:

S´ erie temporal ´ a série em que Também conhecida como série cronológica, série evolutiva ou série histórica. E os dados s˜ ao observados de acordo com o tempo em que ocorrem, permanecendo constantes o local e o fenˆ omeno.

TABELA 8 N´ umero de notifica¸c˜ oes de ´ obitos ao SIM, por doen¸cas end´ocrinas nutricionais e metab´olicas. Brasil, 2005 a 2011 Ano 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

N´ umero de o ´bitos 53.983 58.904 61.860 64.631 66.984 70.276 73.929

Fonte: SIM-CGIAE/SVS/MS. Dispon´ıvel em: http://www.datasus.gov.br

S´ erie geogr´ afica ´ a série em que os Também chamada de série de localiza¸cão, série regional ou série territorial. E dados s˜ ao observados de acordo com a localidade em que ocorreram, permanecendo constantes a época e o fenˆ omeno. Exemplo:

TABELA 9 Interna¸c˜ oes por acidente de trˆ ansito segundo a Unidade de Federa¸c˜ao, faixa et´aria de 25 a 29 anos, nov-2013 Regi˜ ao Sudeste Nordeste Centro-Oeste Sul Norte

N´ umero de interna¸co ˜es 144 94 10 9 4

Fonte: Minist´ erio da Sa´ ude. Dispon´ıvel em: http://www.datasus.gov.br

S´ erie espec´ıfica ou categ´ orica ´ a série em que os dados s˜ E ao agrupados de acordo com categorias ou espécies, permanecendo constantes a época e o local. Exemplo: UNIFAL-MG/Alfenas

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5 ESTAT´ ISTICA DESCRITIVA

Estat´ıstica B´ asica

TABELA 10 Notifica¸c˜oes de ´obitos ao SIM. Brasil, 2011* Causa Algumas doen¸cas infecciosas e parasit´ arias Neoplasias (tumores) Doen¸cas do sangue Doen¸cas end´ ocrinas nutricionais e metab´ olicas Transtornos mentais e comportamentais Doen¸cas do sistema nervoso Doen¸cas do olho e anexos Doen¸cas do ouvido e da ap´ ofise mast´ oide

N´ umero de o ´bitos 49.175 184.384 6.344 73.929 13.725 26.948 23 150

Fonte: SIM-CGIAE/SVS/MS. Dispon´ıvel em: http://www.datasus.gov.br * Informa¸co ˜es parciais

S´ erie de dupla entrada ou tabela de contigˆ encia ´ a série que é constitu´ıda da conjuga¸cão ou jun¸cão de uma ou mais séries. E ´ u E ´til para mostrar dois ou mais tipos de vari´ aveis em rela¸cão a um item. Deve ser lida na vertical e na horizontal simultaneamente para que as linhas e as colunas sejam relacionadas.

TABELA 11 Notifica¸co˜es de ´obitos ao SIM. Brasil, 2007 a 2011* Causa Algumas doen¸cas infecciosas e parasit´ arias Neoplasias (tumores) Doen¸cas do sangue Doen¸cas end´ ocrinas nutricionais e metab´ olicas Transtornos mentais e comportamentais Doen¸cas do sistema nervoso Doen¸cas do olho e anexos Doen¸cas do ouvido e da ap´ ofise mast´ oide

2007 45.945 161.491 5.719 61.860 10.948 20.413 26 118

Ano 2009 47.010 172.256 6.011 66.984 11.861 23.018 23 125

2008 47.295 167.677 5.825 64.631 11.852 21.609 39 125

2010 48.823 178.990 6.284 70.276 12.759 25.303 31 125

2011 49.175 184.384 6.344 73.929 13.725 26.948 23 150

Fonte: SIM-CGIAE/SVS/MS. Dispon´ıvel em: http://www.datasus.gov.br * Informa¸co ˜es parciais

5.1.2

Constru¸ c˜ ao de tabelas de distribui¸ c˜ ao de frequˆ encias

Quando a vari´ avel for qualitativa A constru¸c˜ ao consiste na organiza¸cão dos dados com as suas respectivas frequências absolutas. A primeira coluna da tabela conter´ a informa¸cões a respeito da variável (os dados observados) e na segunda coluna ser´ a apresentada as frequências com que aparecem os dados. Exemplo: O Congresso de Homeopatia, realizado na cidade de Alfenas-MG em 2014, usou um question´ ario para perguntar aos participantes como eles avaliam a organiza¸cão, a recep¸cão, os temas das palestras, o coffee break, os minicursos e os anais. Cada variável foi avaliada de acordo com uma escala que varia de excelente (E), ´ otimo (O), bom (B), médio (M) e fraco (F). Confeccione uma tabela para representar as respostas dos dados coletados sobre a organiza¸cão de 30 participantes que participaram da pesquisa:

B O E

B F F

O B B

E O M

M E F

M O B

F M M

F M O

O B E

B B B

Os dados coletados podem ser organizados conforme ´e apresentado na Tabela 12. 20

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Estat´ıstica B´ asica

TABELA 12 Avalia¸c˜ ao do Congresso de Homeopatia, Alfenas-MG, 2014 Escala N´ umero de Participantes Excelente 4 ´ Otimo 6 Bom 9 M´edio 6 Fraco 5 Total 30

Quando a vari´ avel for quantitativa discreta A distribui¸c˜ ao de frequência para dados discretos é uma série que possui uma coluna para as classes e outra coluna para as frequências. As classes (1a coluna da tabela) são formadas por n´ umeros inteiros, n˜ ao possuem divis˜ oes, representam o valor observado na variável estudada. As frequências representam o n´ umero de vezes que o valor da classe aparece no conjunto de dados. Porém, quando se tem uma vari´ avel quantitativa discreta que apresenta muitas observa¸cões, levando a um n´ umero grande de classes, é mais racional realizar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. Exemplo: Numa fila de um PSF da cidade Gama foram entrevistados 50 casais durante os meses abril e maio de 2010 (dados fict´ıcios). O objetivo da pesquisa era descobrir o n´ umero de filhos por casal. O resultado da pesquisa est´ a apresentado abaixo, sendo os dados dispostos conforme foram coletados (dados brutos), da esquerda para à direira, seguindo-se pelas linhas como se lê um texto. 2 6 1 3 3

3 1 4 1 0

0 1 1 3 4

2 4 3 5 1

1 0 1 7 2

1 1 7 1 2

1 5 6 3 1

3 6 2 1 2

2 0 0 1 3

5 2 1 0 2

Os dados como s˜ ao apresentados anteriormente são denominados de dados brutos, ou seja, s˜ ao aqueles que n˜ ao foram numericamente organizados, estão na forma como foram coletados. Para iniciar a tabula¸c˜ ao é necess´ ario ordenar os dados, em ordem crescente ou decrescente. Os dados ordenados s˜ ao chamados de rol. Assim, para os dados anteriores: 0 1 1 2 4

0 1 1 3 4

0 1 2 3 5

0 1 2 3 6

1 1 2 3 6

1 1 2 3 7

1 1 2 4 7

Por ter poucas categorias e n˜ ao ter valores diversos pode-se agrupar os dados de acordo com a frequˆencia, conforme ´e apresentado na Tabela 13:

TABELA 13 N´ umero de filhos de 50 casais entrevistados numa fila de um PSF, Cidade Gama, abril-maio de 2010* N´ umero de Filhos N´ umero de Casais 0 6 1 16 2 9 3 8 4 3 5 3 6 3 7 2 Total 50 * Dados fict´ıcios

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Estat´ıstica B´ asica

Quando a vari´ avel for quantitativa cont´ınua Numa distribui¸c˜ ao de frequência para dados cont´ınuos as classes (1a coluna da tabela) s˜ ao formadas por intervalos de valores agrupados definidos de alguma forma. As frequências representam o n´ umero de valores que est˜ ao compreendidos em cada intervalo (classe). A constru¸cão desta tabela não é padronizada, a maioria das vezes fica mais a cargo do pesquisador (pela experiência) do que por meio de algoritmos. Também pode acontecer de a variável estudada ser discreta, mas o n´ umero de valores observados ser muito grande ou estes valores apresentarem muito diversos. Para este caso as classes formadas por intervalos evitar´ a tabelas com grande extensão, a não interpreta¸cão dos valores do fenômeno e, também, classes com valores nulos. N˜ ao existe uma regra u ńica para constru¸cão da tabela de distribui¸cão de frequência, mas é importante que a distribui¸c˜ ao conte com um n´ umero adequado de classes. Se o n´ umero de classes for excessivamente pequeno acarretar´ a perda de detalhe e pouca informa¸cão se poderá extrair da tabela. Por outro lado, se for utilizado um n´ umero excessivo de classes, haverá alguma classe com frequência nula ou muito pequena, n˜ ao atingindo o objetivo da classifica¸cão que é tornar o conjunto de dados supervision´ aveis. Procedimentos que ser˜ ao adotados para constru¸cão de uma tabela de distribui¸cão de frequências para vari´ aveis quantitaticas cont´ınuas9 : • Ordenar os valores • Determinar o n´ umero de classes10 k: a) k entre 5 e 20 classes, conforme a familiaridade do pesquisador com os dados; √ umero de dados11 . b) k = n quando n ≤ 100 e k = 5 × log n quando n > 100, sendo n o n´ c) k = 1 + 3,222 × log n, em que n representa o n´ umero de dados; • Determinar o intervalo das classes c: Se adotar as duas u ´ltimas maneiras de determinar k, c é dado por: c=

A k−1

Em que: c: é o intervalo ou amplitude da classe; A: amplitude total, dada pela diferen¸ca entre a maior e menor observa¸cões; k: n´ umero de classes. • Determinar o limite inferior da primeira classe LI1 : LI1 = menor observa¸cão −

c 2

• Determinar o limite superior da primeira classe LS1 : LS1 = LI1 + c • Determinar os demais limites inferiores e superiores das outras classes at´e a classe k: LI2 = LS1

LS2 = LI2 + c

LI3 = LS2

LS3 = LI3 + c

LI4 = LS3

LS4 = LI4 + c

.. . LIk = LSk−1

.. . LSk = LIk + c

9 E tamb´ em para a quantitativa discreta quando apresentar muitos valores ou valores dispersos 10 N˜ ao existe um consenso sobre como determinar o n´ umero de classes e o intervalo das classes 11 Esta ser´ a a f´ ormula adotada em todas as situa¸co ˜es

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5 ESTAT´ ISTICA DESCRITIVA

Estat´ıstica B´ asica

As frequências representam os valores contidos nos intervalos determinados pelos limites inferiores e superiores de cada classe de modo que sejam ≥ LIi e < LSi . Nesse material as classes ser˜ ao definidas por LIi ` LSi . Exemplo: Considere a vari´ avel quantitativa discreta “N´ umero de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010”. Observe que a variável é discreta, mas por conter valores diversos as classes ser˜ ao compostas por intervalos de valores. 8 18 38 11 10 44 28 19 12 9

24 15 79 17 6 17 41 7 40 16

46 30 15 9 92 9 42 28 25 31

13 24 62 35 16 30 35 23 7 30

38 20 23 23 15 26 35 29 32

54 8 13 22 23 18 42 29 34

44 24 62 37 37 37 71 58 22

20 18 18 36 36 43 50 77 7

17 9 8 8 8 14 52 72 44

14 10 22 13 13 9 17 34 15

Os dados anteriores s˜ ao brutos. Portanto, é necessário ordená-los (rol) de alguma forma. Assim: 6 9 13 16 20 24 30 37 44 72

6 9 13 17 20 24 31 37 44 77

7 9 14 17 22 25 32 38 46 79

7 9 14 17 22 26 34 38 50 92

7 10 14 17 22 28 34 40 52

8 10 15 18 23 28 34 41 54

8 11 15 18 23 29 35 42 58

8 12 15 18 23 29 35 42 62

8 13 15 18 23 30 35 43 62

9 13 16 19 24 30 36 44 71

Agora, calcula-se o n´ umero de classes: √ k = 94 = 9,69 ≈ 10 Como k representa o n´ umero de classes, logo tem que ser um valor inteiro, assim será adotado k = 10, mas poderia ser k = 9. Como k = 10 sabe-se que a tabela de distribui¸cão de frequências terá 10 classes, ou seja, 10 intervalos de valores. O tamanho de cada intervalo, amplitiude da classe, é dado por c, assim: c=

A 92 − 6 = = 9,56 k−1 10 − 1

Como os valores (dados) s˜ ao n´ umeros inteiros não justifica trabalhar com casas decimais, podendo ser adotado c = 10 desde de que ao final da constru¸cão da tabela se observe que todos os valores foram agrupados nas k = 10 classes. O pr´ oximo c´ alculo é a determina¸cão dos limites de cada classe. O limite inferior da primeira classe LI1 é determinado por: c LI1 = menor observa¸cão − 2 Logo, 10 LI1 = 6 − =1 2 O limite superior da primeira classe LS1 é calculado por: LS1 = LI1 + c LS1 = 1 + 10 = 11 Os demais limites até a 10a classe, são:

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Estat´ıstica B´ asica

Classe a

3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a

Limite inferior LI2 = LS1 LI2 = 11 LI3 = LS2 LI3 = 21 LI4 = LS3 LI4 = 31 LI5 = LS4 LI5 = 41 LI6 = LS5 LI6 = 51 LI7 = LS6 LI7 = 61 LI8 = LS7 LI8 = 71 LI9 = LS8 LI9 = 81 LI9 = LS8 LI9 = 91

Limite superior LS2 = LI2 + c LS2 = 11 + 10 = 21 LS3 = LI3 + c LS3 = 21 + 10 = 31 LS4 = LI4 + c LS4 = 31 + 10 = 41 LS5 = LI5 + c LS5 = 41 + 10 = 51 LS6 = LI6 + c LS6 = 51 + 10 = 61 LS7 = LI7 + c LS7 = 61 + 10 = 71 LS8 = LI8 + c LS8 = 71 + 10 = 81 LS9 = LI9 + c LS9 = 81 + 10 = 91 LS9 = LI9 + c LS9 = 91 + 10 = 101

Ap´ os realizar todas as opera¸c˜ oes, monta-se a tabela de distribui¸cão de frequências sendo a primeira coluna composta pelas classes e a segunda coluna composta pelas frequências (n´ umero de valores contidos no intervalo determinado nas classes). O resultado de toda esta opera¸cão é apresentado na Tabela 15. TABELA 15 N´ umero de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010 N´ umero de atendimentos 1 ` 11 11 ` 21 21 ` 31 31 ` 41 41 ` 51 51 ` 61 61 ` 71 71 ` 81 81 ` 91 91 ` 101 Total

N´ umero de dias 16 25 19 15 09 03 02 04 00 01 94

Fonte: Dados fict´ıcios

5.1.3

Tipos de distribui¸ c˜ ao de frequˆ encias

A tabela de distribui¸c˜ ao de frequências constru´ıda anteriormente é denominada de tabela de distribui¸c˜ ao de frequências simples absolutas. Além dessa classifica¸cão, as tabelas de distribui¸cão de frequências, podem ser:    Simples Absolutas   Relativas     Absolutas   Tipos de frequências  Crescentes   Relativas Acumuladas   Absolutas       Decrescentes Relativas Distribui¸ c˜ ao de frequˆ encias simples a) Frequˆ encia simples absoluta: é o n´ umero de repeti¸cões de um valor individual ou de uma classe de valores da vari´ avel estudada. Exemplo: Na Tabela 15 cada frequência f i, i = 1, . . . , 9, representa o n´ umero de valores que est˜ ao em cada classe. 24

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b) Frequˆ encia simples relativa: representa a propor¸cão de observa¸cões de um valor individual ou de uma classe em rela¸c˜ ao ao n´ umero total de observa¸cões. Para calcular a frequência relativa ´ basta dividir a frequência absoluta da classe ou do valor individual pelo n´ umero total de observa¸cões. E um valor importante para compara¸c˜ oes. fi f ri = n Em que: f ri : frequência simples relativa da classe i, i = 1, . . . , k; fi : frequência simples absoluta da classe i, i = 1, . . . , k; n: n´ umero de observa¸c˜ oes. Exemplo: Com os dados obtidos na Tabela 15 tem-se a seguinte tabela de distribui¸cão de frequências relativas:

TABELA 16 Valores relativos de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010 N´ umero de atendimentos N´ umero de dias 1 ` 11 0,1702 11 ` 21 0,2660 21 ` 31 0,2021 31 ` 41 0,1596 41 ` 51 0,0957 51 ` 61 0,0319 61 ` 71 0,0213 71 ` 81 0,0426 81 ` 91 0,0000 91 ` 101 0,0106 Total 1,0000 Fonte: Dados fict´ıcios

Cada frequˆencia relativa foi calculada por: f r1 = f r2 = f r3 = f r4 = f r5 =

16 94 25 94 19 94 15 94 09 94

= 0,1702 = 0,2660 = 0,2021 = 0,1596 = 0,0957

03 = 0,0319 94 02 = 0,0213 f r7 = 94 04 = 0,0426 f r8 = 94 00 f r9 = = 0,0000 94 01 f r10 = = 0,0106 94 f r6 =

Para expressar os resultados em termos percentuais, multiplica-se o quociente obtido por 100: f pi = f ri × 100% Importante: para fins de an´ alises matemáticas todas as observa¸cões contidas num intervalo de classe ser˜ ao consideradas iguais ao ponto médio da classe. Essa hipótese é a hipótese tabular básica (HTB). O ponto médio da classe i é dado por: LIi + LSi X¯i = 2 Em que: X¯i : é o ponto médio da classe i; LIi e LSi : s˜ ao, respectivamente, o limite inferior e superior da classe i. UNIFAL-MG/Alfenas

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Distribui¸ c˜ ao de frequˆ encias acumuladas a) Frequˆ encias acumuladas crescentes absolutas: também denominada de distribui¸c˜ ao ´ de frequência absoluta acumulada abaixo de. E a frequência total de todos os valores inferiores ao limite superior de um dado intervalo de classe. b) Frequˆ encias acumuladas decrescentes absolutas: também denominada de frequência ´ a frequência total de todos os valores superiores ao limite inferior de absoluta acumulada acima de. E um dado intervalo de classe. As frequências relativas em cada caso são obtidas por meio da divisão de cada frequência acumulada pelo total de observa¸c˜ oes. 5.1.4

Exerc´ıcios

1. No Pronto Socorro Santa Casa (2012), foi contabilizado o n´ umero de pessoas que foram atendidas na emergência por acidente de carro em 20 grupos de 100 pessoas cada. Os dados obtidos foram: 9, 10, 10, 8, 12, 11, 8, 11, 7, 9, 10, 10, 9, 11, 9, 10, 10, 10, 9, 10. Construa uma tabela de distribui¸cão de frequências. 2. Dez alunos da UNIFAL-MG/Alfenas (2014/1) foram selecionados e se submeteram a um exame de sangue apresentando os seguintes valores de glicemia em mg/dL: 80, 60, 68, 79, 62, 76, 70, 78, 78, 77. Monte uma tabela de distribui¸c˜ ao de frequências. 3. Foi realizada uma pesquisa a qual tinha por objetivo conhecer a altura dos estudantes do sexo masculino (em metros) da Faculdade X, 2010. Os dados são os apresentados abaixo: 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,71 1,71 1,71

1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72

1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,73 1,73 1,73 1,73

1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,74 1,74 1,74 1,74 1,74

1,74 1,74 1,74 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75

1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75

1,76 1,76 1,76 1,76 1,76 1,76 1,76 1,76 1,77 1,77

1,77 1,77 1,77 1,77 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78

1,78 1,78 1,78 1,78 1,78 1,79 1,79 1,79 1,79 1,79

1,79 1,79 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80

1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80

1,80 1,80 1,82 1,82 1,82 1,82 1,83 1,83 1,83 1,83

1,83 1,83 1,83 1,84 1,84 1,84 1,85 1,85 1,85 1,85

1,85 1,85 1,85 1,86 1,87 1,90 1,90 1,90 1,90 1,90

1,95 2,00

Monte uma tabela com a distribui¸c˜ ao de frequˆencias absolutas, relativas e percentuais. 5.1.5

Gr´ aficos

A representa¸c˜ ao gr´ afica é outro recurso que tem por objetivo dar uma ideia, a mais imediata poss´ıvel, do comportamento dos dados, proporcionando maior facilidade na compreensão, para chegar a conclus˜ oes sobre o comportamento do fenˆ omeno em estudo. Um gr´ afico deve ter, dentre outras, as seguintes caracter´ısticas: . Clareza: possibilita a leitura e interpreta¸cões correta dos valores do fenômeno; / Simplicidade: possibilita a an´ alise r´ apida do fenômeno observado. Evita-se perder com particularidades sem importˆ ancia; 0 Veracidade: indispens´ avel, pois, se o gr´ afico não representar uma realidade, perde sua finalidade. Classifica¸c˜ ao quanto ` a forma: a) Diagramas: gr´ aficos geométricos dispostos em duas dimensões. São mais usados na representa¸cão de séries estat´ısticas. b) Cartogramas: é a representa¸c˜ ao sobre uma carta geográfica, sendo muito usado na Geografia, História e Demografia. c) Estereogramas: representam volumes e são apresentados em três dimensões. d) Pictogramas: a representa¸c˜ ao gr´ afica que consta de figuras representativas do fenômeno. Desperta logo a aten¸caõ do p´ ublico. Classifica¸c˜ ao quanto ao objetivo: a) Gr´ aficos de informa¸c˜ ao - o objetivo é proporcionar uma visualiza¸cão rápida e clara da intensidade das categorias ou dos valores relativos ao fenˆ omeno. São gráficos tipicamente expositivos, devendo ser o mais completo poss´ıvel, dispensando coment´ arios explicativos. Caracter´ısticas: - deve conter t´ıtulo; - as legendas podem ser omitidas, desde que as informa¸cões presentes possibilitem a interpreta¸cão do gr´ afico. b) Gr´ aficos de an´ alise - estes gr´ aficos fornecem informa¸cões importantes na fase de análise dos dados, 26

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sendo também informativos. Os gr´ aficos de análise, geralmente, vêm acompanhados de uma tabela e um texto onde se destacam os pontos principais revelados pelo gráfico ou pela tabela. S˜ ao v´ arias as op¸c˜ oes de representa¸cão gráfica, dentre as quais pode-se citar: os gráficos de colunas, de linhas, de barras etc. Gr´ afico em linha Os gr´ aficos lineares s˜ ao usados frequentemente para a representa¸cão de séries temporais. Para constru´ı-lo, basta marcar os pontos e uni-los por meio de segmentos de reta, formando uma poligonal. Considerando os dados apresentados na Tabela 8, pode-se representá-los graficamente segundo a Figura 9:

80000

Número de óbitos

75000 70000 65000 60000 55000 50000 2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

Anos

FIGURA 9 Número de notifica¸co˜es de o´bitos ao SIM, por doen¸cas endócrinas nutricionais e metabólicas. Brasil, 2005 a 2011

Gr´ afico em colunas Os gr´ aficos em colunas tornam poss´ıveis as compara¸cões das grandezas, representando-as por meio de retˆ angulos de mesma base e alturas proporcionais às respectivas grandezas. Estes gráficos s˜ ao mais utilizados, quando as inscri¸c˜ oes a serem inseridas sob os retângulos forem curtas. As orienta¸c˜ oes para constru¸c˜ ao de um gráfico em colunas são: a) os retˆ angulos s´ o diferem no comprimento, e não na base, a qual é atribu´ıda; b) os retˆ angulos devem ser separados por espa¸cos, um dos outros, sendo estes todos iguais, mas n˜ ao devem ser menores do que a metade da base dos retângulos; c) os retˆ angulos devem ser desenhados, observando-se a ordem de grandeza, para facilitar a leitura e a an´ alise comparativa dos valores. Entretanto, se a série representada for temporal, os dados a serem dispostos no eixo horizontal devem ser colocados em ordem crescente de tempo. Observa¸ c˜ ao: O espa¸co entre as colunas pode variar de 1/3 a 2/3 do tamanho da base da coluna. As informa¸c˜ oes apresentadas na Tabela 9 podem ser visulizadas na Figura 10: 160 Número de internações

140 120 100 80 60 40 20 0 Sudeste

Nordeste

Centro-Oeste

Sul

Norte

Regiões

FIGURA 10 Interna¸co˜es por acidente de trânsito segundo a Unidade de Federa¸caõ, faixa etária de 25 a 29 anos, nov-2013

Gr´ afico em barras Os gr´ aficos em barras têm a mesma finalidade que os gráficos em colunas, sendo prefer´ıveis estes, quando as inscri¸c˜ oes a serem inseridas forem longas. São mais usados para representar séries espec´ıficas, UNIFAL-MG/Alfenas

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com uma u ńica diferen¸ca que é a posi¸c˜ ao em que estão dispostos os retângulos, na horizontal. As alturas dos retˆ angulos s˜ ao iguais e arbitr´ arias e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados. As barras devem ser separadas uma das outras pelo mesmo espa¸co de forma que as inscri¸cões identifiquem as diferentes barras. O espa¸co entre as barras pode ser a metade (1/2) ou dois ter¸cos (2/3) de suas larguras. As barras devem ser colocadas em ordem de grandeza de forma decrescente para facilitar a compara¸c˜ ao dos valores. A categoria “outros” (quando existir) é representada na barra inferior, mesmo que o seu comprimento exceda o de alguma outra. Os dados da Tabela 10 s˜ ao apresentados graficamente como pode ser visualizado na Figura 11:

Neoplasias (tumores) Doenças endócrinas nutricionais e metabólicas Algumas doenças infecciosas e parasitárias Doenças do sistema nervoso Transtornos mentais e comportamentais Doenças do sangue Doenças do ouvido e da apófise mastóide Doenças do olho e anexos 0

40000

80000

120000

160000

200000

Número de óbitos

FIGURA 11 Notifi¸co˜es de o´bitos ao SIM. Brasil, 2011

Gr´ afico em colunas compostas Este tipo de gr´ afico é apropriado para comparar diversas quantidades agrupadas. Este gráfico consiste em colunas duplas ou superpostas e dispostas sem espa¸co entre si. Ele proporciona economia de espa¸co, sendo mais indicado quando a série apresenta um n´ umero significativo de categorias. Para exemplificar, ser´ a constru´ıdo um gráfico com os dados apresentados pela Tabela 11, apresentado na Figura 12

160000

120000

80000

40000

0 2007

2008

2009

2010

2011

Algumas doenças infecciosas e parasitárias

Neoplasias (tumores)

Doenças do sangue

Doenças endócrinas nutricionais e metabólicas

Transtornos mentais e comportamentais

Doenças do sistema nervoso

Doenças do olho e anexos

Doenças do ouvido e da apófise mastóide

FIGURA 12 Notifi¸co˜es de o´bitos ao SIM. Brasil, 2007 a 2011 28

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Gr´ afico em setores ´ a representa¸c˜ E ao gr´ afica de uma série estat´ıstica em um c´ırculo de raio qualquer, por meio de setores com ˆ angulos centrais proporcionais às ocorrências. Para constru´ı-lo, parte-se do princ´ıpio de que o n´ umero total de valores observados corresponde ao total de graus de uma circunferência: 360o . A area do c´ırculo ser´ ´ a est˜ ao dividida em setores proporcionais aos valores da série. Essa divisão se faz por meio de uma regra de três simples. Com o aux´ılio de um transferidor, efetua-se a marca¸cão dos ângulos correspondentes a cada divis˜ ao. ´ utilizado quando se pretende comparar cada valor da série com o total. O gráfico em setores E representa valores absolutos ou porcentagens complementares. As séries geográficas, espec´ıficas e as categorias em n´ıvel nominal s˜ ao mais representadas em gráficos de setores, desde que não apresentem muitas parcelas (no m´ aximo sete). Os dados da Tabela 9 também podem ser representados por meio do gráfico de setores (Figura 13): 10; 4%

9; 3%

4; 2%

94; 36%

Sudeste

Nordeste

Centro-Oeste

Sul

Norte 144; 55%

FIGURA 13 Interna¸co˜es por acidente de trãnsito segundo a Unidade de Federa¸caõ, faixa etária de 25 a 29 anos, nov-2013

Histograma e pol´ıgono de frequˆ encias HISTOGRAMA S˜ ao gr´ aficos de superf´ıcies utilizados para representar distribui¸cões de frequências das vari´ aveis quantitativas cont´ınuas (classes formadas por intervalos). O histograma é composto por retângulos (denominados células), cada um deles representando o intervalo das classes. A largura da base de cada célula deve ser proporcional ` a amplitude do intervalo da classe que ela representa e a área de cada célula deve ser proporcional ` a frequência da mesma classe. Se todas as classes tiverem igual amplitude, ent˜ ao as alturas dos retˆ angulos ser˜ ao proporcionais às frequências das classes que eles representam. Exemplo: A Tabela 15 é uma tabela de distribui¸cão de frequências, o histograma referente a ela est´ a representado na Figura 14:

FIGURA 14 N´umero de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010 UNIFAL-MG/Alfenas

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ˆ POLÍGONO DE FREQUENCIAS ´ o gr´ E afico obtido ao se ligar, por meio de segmentos de retas, os pontos correspondentes aos pontos médios das classes com suas respectivas frequências. No in´ıcio e no fim do gráfico ligamos os pontos nas extremidades dos retˆ angulos para o gráfico não ficar “voando”. Exemplo: O histograma apresentado na Figura 14 e o respectivo pol´ıgono de frequências pode ser visualizado na Figura 15:

FIGURA 15 N´umero de pacientes atendidos na Cl´ınica RX de segunda a sexta, durante 94 dias, jan-mai, 2010

Tipos de curvas de frequˆ encias Curvas de frequˆencia aparecem, na pr´atica, sob diversas formas caracter´ısticas, como as indicadas na Figura 16:

FIGURA 16 Tipos de frequências a) Curvas de frequência simétrica ou em forma de sino: caracterizam-se pelo fato das observa¸cões equidistantes do ponto central m´ aximo ter a mesma frequência. Um exemplo importante é a curva normal, Figura 16a. b) Curvas assimétricas: nestas a cauda da curva de um lado da ordenada máxima é mais longa do que do outro. Se o ramo mais alongado fica a` direita, a curva é dita assimétrica à direita, ou assimétrica positiva, exemplo a Figura 16b1. Enquanto que, se ocorre o inverso, diz-se que a curva é assimétrica ` a esquerda, ou assimétrica negativa, Figura 16b2. c) Curva em forma de J, ou em J invertido: o ponto de ordenada máxima ocorre em uma das extremidades, Figuras 16c1 e c2, respectivamente. d) Curva em forma de U: a curva possui ordenadas máximas em ambas as extremidades: Figura 16d. e) Curva de frequência bimodal: nesta curva há dois máximos (duas modas), Figura 16e. f) Curva de frequência multimodal: têm mais de dois máximos, Figura 16f. 30

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Estat´ıstica B´ asica

5.1.6

Exerc´ıcios

1. Para dos dados dos dez alunos do exerc´ıcios da se¸cão 5.1.4 construa o histograma e o pol´ıgono de frequência para os dados percentuais. 2. Para os dados de altura dos estudantes do sexo masculino (em metros) da Faculdade X, 2010, apresentados no exerc´ıcio da se¸c˜ ao 5.1.4, confeccione: a) histograma b) pol´ıgono de frequência

5.2

Medidas Estat´ısticas

5.2.1

Medidas de Tendˆ encia Central

As estat´ısticas que caracterizam os valores médios são chamados de medidas de tendência central. Entre as principais medidas de tendência central destacam-se a média aritmética, a moda e a mediana. M´ edia ´ um conceito, sem d´ A mais importante medida de loca¸cão é a média aritmética. E uvida, bastante familiar. Por exemplo, a altura média de um grupo de estudantes, ou a temperatura média em uma cidade em determinado dia, ou a nota média de uma turma de 30 alunos. A média aritmética de um conjunto de n observa¸cões x1 , x2 , . . . , xn é o quociente da divisão da ´ denotada por x soma dos valores dessas observa¸c˜ oes por n (n´ umero de observa¸cões). E ¯ (leia-se x barra): n X

x ¯=

i=1

xi =

x1 + x2 + ... + xn n

Em que: xi : indica a observa¸c˜ ao de ordem i, i = 1, 2, 3, . . . , n. Exemplo: dados os pesos, em quilos, de 10 rec´em-nascidos: 3,3; 3,1; 2,8; 2,7; 2,9; 3,1; 3,2; 3,0; 3,5; 3,4 o peso m´edio ser´ a: x ¯=

31,0 3,3 + 3,1 + 2,8 + 2,7 + 2,9 + 3,1 + 3,2 + 3,0 + 3,5 + 3,4 = = 3,1 kg 10 10

M´ edia Ponderada Em algumas situa¸c˜ oes, os n´ umeros que se quer sintetizar têm graus de importância diferentes. Estes graus de importˆ ancia s˜ ao considerados na hora de calcular a média e recebem o nome de pesos. A média ponderada dos n´ umeros x1 , x2 , . . . , xn , com pesos p1 , p2 , ..., pn , representada por x ¯p , é definida como: n X xi pi x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn i=1 x ¯p = P = n p1 + p2 + ... + pn pi i=1

A média aritmética pode ser considerada como uma média ponderada em que os pesos são todos iguais a 1. Exemplo 1: A nota final do sistema acadêmico é calculada por meio de uma média ponderada dada por: n X N otai × P esoi M axi i=1 Mf inal = × 10 n X P esoi i=1

Em que: Mf inal : é a média final do aluno na disciplina; N otai : é a nota atribu´ıda para cada avalia¸cão i da disciplina; UNIFAL-MG/Alfenas

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M axi : é o valor m´ aximo da avalia¸c˜ ao i; P esoi : é a pondera¸c˜ ao (peso) da nota da avalia¸cão i. Considere um professor de certa disciplina, ele aplica 3 provas de valores 30, 40 e 50, cujos pesos s˜ ao 1, 2 e 3, respectivamente. Um aluno obteve 20 (em 30), 10 (em 40) e 40 (em 50). Qual é a média final calculada pelo sistema acadêmico? Resolu¸c˜ ao: 3 X N otai

Mf inal

i=1

M axi 3 X

× P esoi

10 40 20 ×1+ ×2+ ×3 40 50 × 10 = 30 × 10 1+2+3

P esoi

i=1

Mf inal

2 1 4 20 + 15 + 72 117 + + ×3 3,9 39 3 2 5 30 × 10 = × 10 = 30 × 10 = × 10 = = 6,5 6 6 6 6 6

Exemplo 2: Considere 5 provas aplicadas as quais possuem os seguintes pesos, respectivamente: 1, 2, 3, 4 e 5. Um determinado aluno conseguiu as seguintes notas ordenadas: 40, 50, 80, 90 e 20. A sua m´edia ´e calculada por: 5 P

x ¯p =

pi xi

i=1 5 P

= pi

p1 x1 + p2 x2 + ... + p5 x5 1 · 40 + 2 · 50 + 3 · 80 + 4 · 90 + 5 · 20 = 56 pontos = p1 + p2 + ... + p5 1+2+3+4+5

i=1

Exemplo 3: Suponha que se queira determinar a m´edia de n´ umero de filhos por casal dos dados apresentados na Tabela 13. 8 P

x ¯p =

pi xi

i=1 8 P

= pi

6 · 0 + 16 · 1 + 9 · 2 + 8 · 3 + 3 · 4 + 3 · 5 + 3 · 6 + 2 · 7 = 2,34 filhos 6 + 16 + 9 + 8 + 3 + 3 + 3 + 2

i=1

Para calcular a média quando os dados estiverem agrupados (tabela de distribui¸cão de frequências) e se as classes forem formadas por intervalos é necessário calcular o ponto médio X¯i de cada LIi + LSi classe. Lembre-se que o ponto médio é calculado por X¯i = . As frequências fi funcionam como 2 ¯ pesos e os pontos médios Xi ’s representam os valores que a variável assume (hipótese tabular básica). Considere um experimento em que durante 60 dias anotou-se o n´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial. Os resultados são os apresentados a seguir. Calcule a média de cartas entregues no condom´ınio.

TABELA 17 N´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial, durante 60 dias N´ umero de cartas entregues por dia N´ umero de dias 20 ` 30 05 30 ` 40 09 40 ` 50 20 50 ` 60 18 60 ` 70 08 Total 60

A Tabela 18 ir´ a apresentar mais uma coluna referente aos pontos m´edios das classes para facilitar os c´ alculos: 32

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TABELA 18 N´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial, durante 60 dias e o ponto m´edio das classes N´ umero de cartas entregues por dia Ponto m´edio X¯i das classes N´ umero de dias fi 20 ` 30 25 05 30 ` 40 35 09 40 ` 50 45 20 50 ` 60 55 18 60 ` 70 65 08 Total 60

Assim, o n´ umero m´edio de cartas entregues diariamente ´e dado por: k X

x ¯

5 X

fi × X¯i

i=1 k X

i=1

5 X

f1 · X¯1 + f2 · X¯2 + f3 · X¯3 + f4 · X¯4 + f5 · X¯5 f1 + f2 + f3 + f4 + f5

i=1

x ¯

fi × X¯i

25 · 5 + 35 · 9 + 45 · 20 + 55 · 18 + 65 · 8 = 47,5 cartas 5 + 9 + 20 + 18 + 8

Propriedade da m´ edia Dentre outras: • A soma algébrica dos desvios de um conjunto de valores em rela¸cão à média aritmética é zero: n X

(xi − x ¯) = 0

i=1

• A soma algébrica dos quadrados dos desvios de um conjunto de valores em rela¸cão à média aritmética é m´ınima: n X 2 (xi − x ¯) D= i=1

Vantagens do emprego da m´ edia • Como se faz uso de todos os dados para o seu cálculo é determinada com precisão matemática; ´ determinada quando somente o valor total e o n´ • E umero de elementos forem conhecidos. Desvantagens do emprego da m´ edia • N˜ ao pode ser empregada para dados qualitativos; ´ influenciada por valores extremos, podendo, em alguns casos, não representar a série; • E • Em distribui¸c˜ oes de frequências em que o limite inferior da primeira classe e/ou o limite superior da u ´ltima classe n˜ ao forem definidos, a média não poderá ser calculada. Moda Como o pr´ oprio nome indica, é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de valores. Em outras palavras, é o valor que está na moda. As distribui¸c˜ oes que apresentam uma moda u ńica são chamadas de unimodais; quando apresentam duas modas, bimodais e mais de duas modas, multimodais. Existem ainda distribui¸cões que n˜ ao apresentam nenhuma moda: s˜ ao chamadas de amodais. Exemplo: Calcule a moda dos seguintes conjuntos de dados: a) 39; 52; 40; 45; 46; 55; 48; 40; 43; 47; 44 mo = 40 UNIFAL-MG/Alfenas

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b) 24; 12; 14; 24; 11; 18; 19; 14; 18; 32; 24; 22; 24; 18; 36; 18; 12; 24; 20; 34 mo = 24 c) 1, 1, 2, 2, 3, 3 mo = @ (n˜ ao tem moda) d) 100, 121, 202, 1022, 1500 mo = @ (n˜ ao tem moda)

Moda para dados agrupados Quando os dados est˜ ao agrupados em distribui¸cões de frequências em que as classes não s˜ ao formadas por intervalos, n˜ ao existe uma fórmula matemática para o cálculo da moda, ficando pois, a cargo do pesquisador identificar o elemento que apresentar o maior n´ umero de ocorrências. Esse valor ser´ a o valor modal. Por exemplo, na Tabela 12 a moda é Bom e na Tabela 13 a moda é 1 filho. Para dados agrupados em distribui¸cão de frequências cujas classes são formadas por intervalos, o método mais empregado para o c´ alculo da moda é o método de Czuber, cuja fórmula é definida por: ∆1 Cmo mo = LImo + ∆1 + ∆ 2 Em que: LImo : limite inferior da classe modal; ∆1 : diferen¸ca entre a frequência absoluta da classe modal e a classe anterior; ∆2 : diferen¸ca entre a frequência absoluta da classe modal e a classe posterior; Cmo : amplitude da classe modal. Exemplo: Durante 60 dias anotou-se o n´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial. Os resultados foram apresentados na Tabela 17. Calcule o valor mais frequente, ou seja, o n´ umero modal de cartas entregues. Solu¸c˜ ao: A classe de maior frequência é a 3a classe. O limite inferior da classe modal é igual 40 A diferen¸ca entre a frequência absoluta da classe modal e a classe anterior é: 20 − 9 = 11 A diferen¸ca entre a frequência absoluta da classe modal e a classe posterior é: 20 − 18 = 2 A amplitude da classe modal é: 50 − 40 = 10 Substituindo estes valores na f´ ormula abaixo, ∆1 11 mo = LImo + Cmo = 40 + 10 = 48,46 cartas ∆1 + ∆ 2 11 + 2 Vantagens do emprego da moda ´ de uso pr´ • E atico. Exemplificando: os empregados geralmente adotam a referência modal de salário, ou seja, o sal´ ario recebido por muitos outros empregados. Também, carros e roupas são produzidos tomando como referência o tamanho modal; • A moda geralmente é um valor verdadeiro e, por conseguinte, pode mostrar-se mais real e coerente. Desvantagens do emprego da moda • N˜ ao inclui todos os valores de uma distribui¸cão; • Mostra-se ineficiente quando a distribui¸cão é largamente dispersa. Mediana Sejam x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn os n valores ordenados de uma variável qualquer. A mediana é o valor que centra a distribui¸c˜ ao do conjunto de valores, ou seja, que divide este conjunto de valores ordenados em duas partes de frequências iguais. Ap´ os ordenados os dados, para encontrar a mediana primeiro determina a sua posi¸cão, depois busca-se o valor correspondente. 34

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Para dados n˜ ao agrupados, a mediana é calculada por:  N´ umero ´ımpar de dados : x( n+1 )   2  md = x( n ) + x( n +1)   2 2  N´ umero par de dados : 2 Em que: x( n+1 ) : é o elemento (valor) que ocupa a n+1 esima posi¸cão no conjunto ordenado dos dados; 2 -´ 2 x( n ) : é o elemento (valor) que ocupa a n2 -ésima posi¸cão no conjunto ordenado dos dados; 2 x( n +1) : é o elemento (valor) que ocupa a n2 + 1 -ésima posi¸cão no conjunto ordenado dos dados. 2 Exemplo: Calcule a mediana dos seguintes conjuntos de dados: a) 39; 52; 40; 45; 46; 55; 48; 40; 43; 47; 44 1o ) Ordene os dados: 39; 40; 40; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 52; 55 2o ) Como h´ a n´ umero ´ımpar de dados, a mediana corresponde ao valor: x( n+1 ) = x( 11+1 ) = x(6) 2 2 O n´ umero correspondente a x6 é o 45. Logo a md = 45. b) 2,4; 1,2; 1,4; 2,4; 1,1; 1,8; 1,9; 1,4; 1,8; 3,2; 2,4; 2,2; 2,4; 1,8; 3,6; 1,8; 1,2; 2,4; 2,0; 3,4 1o ) Ordene os dados: 1,1; 1,2; 1,2; 1,4; 1,4; 1,8; 1,8; 1,8; 1,8; 1,9; 2,0; 2,2; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 3,2; 3,4; 3,6 2o ) Como h´ a n´ umero par de dados, a mediana corresponde ao valor da média entre os valores centrais: x( n ) + x( n +1) 2

x( 20 ) + x( 20 +1) 2

x(10) + x(11) 1,9 + 2,0 = = 1,95 2 2

Logo a md = 1,95. Para dados agrupados numa tabela de distribui¸cão de frequências em que as classes são formadas por intervalos, a mediana é calculada por: n − FA md = LImd + 2 Cmd Fmd Em que: LImd : limite inferior da classe mediana; FA : frequência acumulada das classes anteriores à classe mediana; Fmd : frequência absoluta da classe mediana; Cmd : amplitude da classe mediana. Para localizar a classe mediana faz-se a conta12 n · 0,50, independentemente de n ser par ou ´ımpar. Depois, compara-se o valor de n · 0,50 com os valores da frequência absoluta acumulada crescente (f ac) até a classe em que a frequência acumulada seja maior ou igual a n · 0,50, quando isto acontecer, esta é a classe mediana. A f ac é calculada em cada classe acumulando-se as frequências anteriores até chegar a u ´ltima classe. Exemplo: Considerando os dados apresentados na Tabela 17, calcule a mediana. Solu¸c˜ ao: k=5 P n = 60, pois fi = 60 i=1

A classe mediana ser´ a obtida considerando n · 0,50 = 60 · 0,50 = 30. Assim, fazendo alguns cálculos preliminares, que podem ser realizados mentalmente, chega-se à conclusão qual é a classe mediana.

´ o mesmo que n/2 E

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TABELA 19 C´ alculos auxiliares: compara¸cão entre n/2 e f ac e localiza¸cão da classe mediana N´ umero de cartas N´ umero de Frequência absoluta acuCompara¸cão n · 0,50 entregues por dia dias fi mulada crescente (f ac) e f ac 20 ` 30 05 05 5 é maior ou igual a 30? Não! 30 ` 40 09 14 14 é maior ou igual a 30? Não! 40 ` 50 20 34 34 é maior ou igual a 30? Sim! 50 ` 60 18 52 60 ` 70 08 60 Total 60

Na terceira classe a resposta foi sim, logo esta é classe mediana cujo limite inferior é 40. A frequência absoluta da classe mediana é: 20 A frequência acumulada das classes anteriores à classe mediana (1a e 2a classes) é: 5 + 9 = 14. A amplitude da classe mediana é: 50 − 40 = 10. Substituindo estes valores na f´ ormula abaixo, 60 n 2 − FA 2 − 14 Cmd = 40 + 10 = 48 cartas md = LImd + Fmd 20 Vantagens do emprego da mediana • N˜ ao depende de todos os valores do conjunto de dados, podendo mesmo não se alterar com a modifica¸c˜ ao; • N˜ ao é influenciada por valores extremos do conjunto de dados; ´ utilizada nos casos de distribui¸c˜ • E oes assimétricas. Desvantagens do emprego da mediana • Quando h´ a valores repetidos, a interpreta¸cão do valor mediano não é tão simples. • Inadequacidade da sua express˜ ao para o manejo matemático. Propriedades da m´ edia, moda e mediana Sejam X e Y duas vari´ aveis e k uma constante qualquer. • Se X = Y ± k, ent˜ ao: x ¯ = y¯ ± k

mo(x) = mo(y) ± k

md(x) = md(y) ± k

mo(x) = mo(y) · k

md(x) = md(y) · k

• Se X = Y · k, ent˜ ao: x ¯ = y¯ · k

Rela¸ c˜ ao entre m´ edia, moda e mediana A melhor medida de tendência central de um conjunto de dados depende frequentemente do modo pelo qual os valores est˜ ao distribu´ıdos: Se s˜ ao simétricos e unimodais: a média, a mediana e a moda deveriam ser aproximadamente as mesmas (Figura 17a). Se s˜ ao simétricos e bimodais: a média e a mediana seriam, mais uma vez, aproximadamente as mesmas. Nesse caso a média e a mediana estariam entre os dois picos e seria, portanto, uma medida improv´ avel de ocorrer. Indica que os seus dados possuem dois subgrupos distintos que diferem na caracter´ıstica medida; nessa situa¸c˜ ao seria melhor adotar as duas modas ou tratar os dois subgrupos separadamente. Exemplo: Figura 16e. Se n˜ ao s˜ ao simétricos: a mediana, frequentemente, é a melhor medida de tendência central (Figuras 17b e 17c). 36

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FIGURA 17 Rela¸c˜ao entre m´edia, mediana e moda 5.2.2

Exerc´ıcios

1. O desvio em rela¸c˜ ao ` a média é dado pela diferen¸ca da observa¸cão i pela média artimética das obser´ calculado por: di = xi − x va¸c˜ oes. E ¯. O desvio em rela¸cão à média não é o mesmo que desvio padrão. Ele indica o quanto o valor est´ a afastado da média dos dados. Considere o peso em kg de 6 pessoas obesas: 184; 193; 204; 204; 196; 207. a) Calcule a média. b) Qual foi o desvio da 2a pessoa em rela¸c˜ ao à média? n P c) Mostre que a soma dos desvios em rela¸cão à média é nula, ou seja, (xi − x ¯) = 0. i=1

d) Transforme os dados em libras (1 kg = 2,2 lb). Encontre a média em libras, qual é a rela¸cão com a média do item a? e) Adicione 20 kg a cada dado e encontre a média. Qual é a rela¸cão com a média do item a? 2. Por engano, um professor omitiu uma nota no conjunto de notas de 10 alunos. Se as nove notas restantes s˜ ao 48, 71, 79, 95, 45, 57, 75, 83, 97 e a média das 10 notas é 72, qual o valor da nota omitida? 3. Determine a moda dos seguintes conjuntos de dados: a) 5 5 5 3 1 5 1 4 3 5 b) 1 2 2 2 3 4 5 6 6 6 7 9 c) 1 2 3 6 7 8 9 10 d) 5 5 6 6 9 9 10 10 4. Calcule a mediana dos tempos de sobrevivência (em anos após a posse) dos cinco primeiros presidentes americanos: 10, 26, 29, 28, 15. 5. Os valores a seguir s˜ ao os pagamentos (em dólares) feitos aos executantes de um concerto de rock: 500, 600, 800, 50.000, 1.000, 500. Calcule a mediana. 6. Calcule a mediana dos dados: 11,46 10,50 10,33 10,16 10,11 9,90 9,78 9,12 8,80 8,13 12,05 11,14 10,40 10,23 10,13 9,95 9,80 9,30 8,97 8,23 12,14 10,31 10,46 11,29 10,15 9,35 9,86 10,00 9,05 8,60 7. Considere os dados da Tabela 13, reapresentados abaixo: No de filhos 0 1 2 3 4 5 6 7 No de casais 6 16 9 8 3 3 3 2 Calcule a média, a moda e a mediana. 8. Um professor mediu o tempo (em minutos) gasto pelos estudantes de sua disciplina para conclu´ırem um trabalho no laborat´ orio. Com os dados obtidos construiu-se o histograma ao lado: a) Que porcentagem de alunos fica entre meia hora e uma hora e meia no laborat´ orio? b) Qual é a média, a moda e a mediana do tempo gasto no laborat´ orio? c) Localize no gr´ afico as medidas: média, moda e mediana. 9. Considere os conjuntos de dados a seguir. Calcule as medidas de tendência central e indique justificando qual é a mais apropriada. a) 1; 23; 25; 26; 27; 23; 29; 30 b) 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 50 c) 1; 1; 2; 3; 4; 1; 2; 6; 5; 8; 3; 4; 5; 6; 7 d) 1; 101; 104; 106; 111; 108; 109; 200 UNIFAL-MG/Alfenas

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5.2.3

Medidas Separatrizes

Ao calcular a mediana viu-se que é poss´ıvel determinar um ponto na escala de medida abaixo do qual est´ a localizada a metade (ou 50%) ou acima do qual está localizada a outra metade das observa¸cões. Outras medidas, assim como a mediana, que dividem o conjunto de observa¸cões em partes iguais s˜ ao denominadas de medidas separatrizes: quartil, decil e percentil. O quartil divide o conjunto de observa¸cões em quatro partes iguais; o decil em dez partes e o percentil em cem partes iguais. Uma rela¸cão entre estas quatro medidas separatrizes pode ser visualizada na Figura 18.

FIGURA 18 Equivalência das medidas separatrizes Como se observa, o quartil é cada um dos três valores (Q1 , Q2 e Q3 ) que dividem o conjunto de observa¸c˜ oes em quatro partes iguais. O primeiro quartil corresponde ao 25o percentil, o segundo ` a mediana e o terceiro ao 75o percentil. Também se nota que o decil é cada um dos 9 pontos (D1 , D2 , . . ., D9 ) que dividem o conjunto de observa¸c˜ oes em 10 partes iguais. O quinto decil corresponde à mediana e ao 50o percentil. Visualiza-se que o percentil corresponde a cada um dos 99 pontos (P1 , P2 , . . ., P99 ) que dividem o conjunto de observa¸c˜ oes em 100 partes iguais. Para calcular qualquer medida separatriz será necessário transform´ a-la em percentil, isto porque é adotado apenas fórmulas que se baseiam nos percentis. C´ alculo das medidas separatrizes A forma de calcular as medidas separatrizes será a apresentada por [??]. Para o cálculo destas medidas é sempre necess´ ario ordenar os dados em ordem crescente, como foi feito para calcular a mediana, depois encontra-se a posi¸c˜ ao que ocupa a medida separatriz e, finalmente, localiza o respectivo valor no conjunto de dados. Sendo n o n´ umero de dados e Pr o r-ésimo percentil de interesse, a posi¸cão em que se localiza n·r , entretanto: este percentil é dada por 100 n·r / Se é um inteiro, o r-ésimo percentil dos dados é a média dos valores que ocupam a 100 nr nr esima e ( 100 + 1)-ésima posi¸c˜ oes. 100 -´ n·r n˜ ao for inteiro, o r-ésimo percentil será o valor que ocupa a (j + 1)-ésima posi¸cão, / Se 100 nr no qual j é o maior inteiro menor que o quociente 100 . Exemplo 1: Considere os n = 13 valores já ordenados: 2,15; 2,25; 2,30; 2,60; 2,68; 2,75; 2,82; 2,85; 3,00; 3,38; 3,50; 4,02; 4,05 A mediana corresponde ao 50o percentil, assim a posi¸cão que a mediana se localiza é: n·r 13 · 50 = = 6,5, note que 6,5 n˜ ao é um n´ umero inteiro, assim, a mediana se localizará na posi¸c˜ ao 100 100 a (6 + 1) = 7, ou seja, 7 posi¸c˜ ao, cujo valor é 2,82. Então, P50 = Q2 = md = 2,82. Conclui-se que 7 das observa¸c˜ oes s˜ ao menores ou iguais a 2,82 e 7 são maiores ou iguais a 2,82. O 1o quartil corresponde ao 25o percentil, a sua posi¸cão é encontrada por: n·r 13 · 25 = = 3,25, note que 3,25 n˜ ao é um n´ umero inteiro, assim, o 1o quartil estará em (3 + 1) = 4, 100 100 ou seja, 4a posi¸c˜ ao, que corresponde ao valor 2,60. Então, P25 = Q1 = 2,60. O 3o quartil ou 75o percentil é localizado na: n·r 13 · 75 = = 9,75, que também n˜ ao é inteiro, assim, o 3o quartil estará em (9 + 1) = 10, ou seja, 100 100 10a posi¸c˜ ao, cujo valor é 3,38. Ent˜ ao, P75 = Q3 = 3,38. O conjunto de dados e as respectivas medidas calculadas são apresentados a seguir: 2,15; 2,25; 2,30; 2,60; 2,68; 2,75; 2,82; 2,85; 3,00; 3,38; 3,50; 4,02; 4,05 Exemplo 2: Considere os n = 12 valores j´ a ordenados: 38

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2,15; 2,25; 2,30; 2,60; 2,68; 2,75; 2,82; 2,85; 3,00; 3,38; 3,50; 4,02 A mediana (50o percentil) est´ a em: n·r 12 · 50 = = 6 que é inteiro, portanto, a mediana será a média entre os valores que ocupam a 100 100 12 · 50 2,75 + 2,82 12 · 50 = 6a e a + 1 = 7a posi¸c˜ oes, sendo, portanto, igual a = 2,785. 100 10 2 o o O 1 quartil que corresponde ao 25 percentil está em: n·r 12 · 25 = = 3 que é inteiro, portanto, o 1o quartil será a média entre os valores que ocupam a 100 100 12 · 25 12 · 25 2,30 + 2,60 = 3a e a + 1 = 4a posi¸c˜ oes, sendo, assim, igual a = 2,45. 100 10 2 O 3o quartil (75o percentil) é: 12 · 75 n·r = = 9 que é inteiro, portanto, o 3o quartil será a média entre os valores que se localizam na 100 100 12 · 75 12 · 75 3,00 + 3,38 = 9a e na + 1 = 10a posi¸c˜ oes, cujo valor é igual = 3,19. 100 10 2 o o o Os 1 , 2 e 3 quartis dos dados estão entre os valores destacados: 2,15; 2,25; 2,30; 2,60; 2,68; 2,75; 2,82; 2,85; 3,00; 3,38; 3,50; 4,02 Sendo iguais a:

2,45; 1o ,

2,785;

3,19

2o (mediana) e

3o quartis, respectivamente.

C´ alculo das medidas separatrizes para dados agrupados Para dados agrupados em tabelas de distribui¸cão de frequências, o cálculo das medidas separatrizes pode ser realizado por: Ir − FAr Pr = LIr + Cr Fr Em que: r: ordem do percentil; Pr : valor do percentil de ordem r; r

k P

i=1

k: n´ umero de classes; Ir : posi¸c˜ ao do percentil de ordem r dado por: Ir = 100 fi : frequência absoluta das classes i = 1, 2, . . . , k; LIr : limite inferior da classe percentil de ordem r; FAr : frequência absoluta acumulada imediatamente anterior à classe percentil de ordem r; Fr : frequência simples da classe percentil de ordem r; Cr : amplitude da classe percentil de ordem r. Exemplo: Considere os dados apresentados na Tabela 17, determinar a mediana, o 1o quartil, o o 3 quartil do n´ umero de cartas. Solu¸c˜ ao: A mediana corresponde ao 50o percentil e pode ser calculada por: I50 − FA50 P50 = LI50 + C50 F50 Em que: P50 : ?; 50 I50 : posi¸c˜ ao do percentil de ordem 50: I50 =

5 P i=1

100

fi =

50 × (5 + 9 + 20 + 18 + 8) = 30a posi¸c˜ao 100

Localizada a posi¸c˜ ao do percentil, adota-se o mesmo procedimento efetuado para encontrar a mediana. Como I50 est´ a na 30a posi¸c˜ ao, na tabela calcula-se a f ac e vai-se comparando: UNIFAL-MG/Alfenas

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TABELA 20 C´ alculos auxiliares: localiza¸c˜ao N´ umero de cartas N´ umero de Frequˆencia absoluta acuentregues por dia dias fi mulada crescente f ac 20 ` 30 05 05 30 ` 40 09 14 40 ` 50 20 34 50 ` 60 18 52 60 ` 70 08 60 Total 60

da classe do P50 Compara¸cão I50 e f ac 5 é maior ou igual a 30? Não! 14 é maior ou igual a 30? Não! 34 é maior ou igual a 30? Sim!

Portanto, LI50 = 40, porque o valor que ocupa a 30a posi¸c˜ao est´a na 3a classe; FA50 = 14; F50 = 20; C50 = 10; 30 − 14 × 10 = 48 cartas. fazendo as devidas substitui¸c˜ oes, chega-se a: P50 = 40 + 20 H

O 1o quartil corresponde ao 25o percentil: I25 − FA25 C25 P25 = LI25 + F25 Em que: P25 : ?; 25

5 P

25 × (5 + 9 + 20 + 18 + 8) = 15a posi¸c˜ao. 100 100 Localizada a posi¸c˜ ao do percentil, adota-se o mesmo procedimento efetuado para encontrar a mediana. Como I25 est´ a na 15a posi¸c˜ ao, na tabela calcula-se a f ac e vai-se comparando: i=1

I25 : posi¸c˜ ao do percentil de ordem 25: I25 =

TABELA 21 C´ alculos auxiliares: localiza¸c˜ao N´ umero de cartas N´ umero de Frequˆencia absoluta acuentregues por dia dias fi mulada crescente f ac 20 ` 30 05 05 30 ` 40 09 14 40 ` 50 20 34 50 ` 60 18 52 60 ` 70 08 60 Total 60

da classe do P25 Compara¸cão I50 e f ac 5 é maior ou igual a 15? Não! 14 é maior ou igual a 15? Não! 34 é maior ou igual a 15? Sim!

Portanto, LI25 = 40, porque o valor que ocupa a 15a posi¸c˜ao est´a na 3a classe; FA25 = 14; F25 = 20; C25 = 10; 15 − 14 fazendo as devidas substitui¸c˜ oes, chega-se a: P25 = 40 + × 10 = 40,5 cartas. 20 H

O 3o quartil corresponde ao 75o percentil: I75 − FA75 P75 = LI75 + C75 F75 Em que: P75 : ?; 75 I75 : posi¸c˜ ao do percentil de ordem 75: I75 = 40

5 P i=1

100

fi =

75 × (5 + 9 + 20 + 18 + 8) = 45a posi¸c˜ao. 100

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Localizada a posi¸c˜ ao do percentil, adota-se o mesmo procedimento efetuado para encontrar a mediana. Como I75 est´ a na 45a posi¸c˜ ao, na tabela calcula-se a f ac e vai-se comparando: TABELA 22 C´ alculos auxiliares: localiza¸c˜ao N´ umero de cartas N´ umero de Frequˆencia absoluta acuentregues por dia dias fi mulada crescente f ac 20 ` 30 05 05 30 ` 40 09 14 40 ` 50 20 34 50 ` 60 18 52 60 ` 70 08 60 Total 60

da classe do P75 Compara¸cão I50 e f ac 5 é maior ou igual a 45? Não! 14 é maior ou igual a 45? Não! 34 é maior ou igual a 45? Não! 52 é maior ou igual a 45? Sim!

Portanto, LI75 = 50, porque o valor que ocupa a 45a posi¸c˜ao est´a na 4a classe; FA75 = 34; F75 = 18; C75 = 10; 45 − 34 fazendo as devidas substitui¸c˜ oes, chega-se a: P75 = 50 + × 10 = 56,1 cartas. 18 H 5.2.4

Exerc´ıcios

1. Encontre para os dados da Tabela 15, a mediana, o 1o quartil e o 3o quartil. 2. Para os dados abaixo, encontre a mediana, o 1o quartil, o 3o quartil, o 10o percentil e o 95o percentil a) 5 5 5 3 1 5 1 4 3 5 b) 1 2 2 2 3 4 5 6 6 6 7 9 c) 1 2 3 6 7 8 9 10 d) 5 5 6 6 9 9 10 10 e) 500 600 800 50.000 1.000 500 f) 8,13 8,23 8,60 8,80 8,97 9,05 9,12 9,30 9,35 9,78 9,80 9,86 9,90 9,95 10,00 10,11 10,13 10,15 10,16 10,23 10,31 10,33 10,40 10,46 10,50 11,14 11,29 11,46 12,05 12,14 Medidas separatrizes: como o R e o Excel calculam Outras formas de calcular as medidas separatrizes podem ser encontradas na literatura e em programas de computador como no R e no Excel. Nestes programs estas medidas s˜ ao calculadas considerando: p Pj = (n − 1) + 1 100 Em que: Pj : é a posi¸c˜ ao do percentil de interesse, sendo j = 1, 2, 3, . . . , 25, . . . , 50, . . . , 75, . . . , 99; p: é o percentil desejado; n: é o n´ umero de elementos (n´ umero de dados);

1. Primeiro monta-se as posi¸cões dos valores: 14 · · · · · · · · · · · · · · · 26,3 13,25 · · · · · · · · · · · · · · · x 13 · · · · · · · · · · · · · · · 26,2 Em que x é o valor do 1o quartil. 2. Calcula-se a varia¸cão entre 13 e 14: 14 · · · · · · · · · · · · · · · 26,3 − 13 · · · · · · · · · · · · · · · 26,2 1 · · · · · · · · · · · · · · · 0,1

Exemplo: Calcule o 1o quartil, considere n = 50 e que o 13o dado ´e igual a 26,2 e o 14o dado ´e 26,3.

3. Agora, calcula-se a varia¸cão entre 13,25 e 14: 25 (50 − 1) + 1 = 13,25 P25 = 100 Sabe-se que o 1o quartil est´ a entre o 13o e 14o dados. O valor do 1o quartil é calculado por interpola¸cão linear.

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14 · · · · · · · · · · · · · · · 26,3 − 13,25 · · · · · · · · · · · · x 0,75 · · · · · · · · · · · · 26,3 − x

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4. Por regra de trˆes calcula-se o valor do 1o quartil considerando os resultados do item 2 e 3.

1 0,75

0,1 26,3 − x

Como, x = 26,225, P25 = Q1 = 26,225. 5.2.5

Medidas de Variabilidade (Dispers˜ ao)

As medidas de tendência central fornecem informa¸cões valiosas mas, em geral, não são suficientes para descrever e discriminar diferentes conjuntos de dados. As medidas de variabilidade (ou dispersão) permitem visualizar a maneira como os dados se comportam (ou se concentram) em torno do valor central. A variabilidade pode ser medida pelas estat´ısticas: amplitude total, distância interquart´ılica, variância, desvio padr˜ ao e coeficiente de varia¸c˜ ao. Amplitude total A amplitude total, A, de um conjunto de valores é a diferen¸ca entre o maior e o menor valor da vari´ avel: A = maior valor − menor valor Como depende apenas dos valores extremos seu uso se torna muito limitado, mas é bastante empregada em controle estat´ıstico da qualidade. Intervalo interquartil ´ uma medida que n˜ E ao é influenciada por serva¸cões (valores discrepantes) que estão acima de ´ a diferen¸ca entre o terceiro e o Q3 +1,5·IQR ou abaixo Q1 −1,5·IQR, denominadas valores extremos. E primeiro quartil de um conjunto de dados: de pontos extremos (outliers). Um Boxplot com as descri¸cões e as localiIQR = Q3 − Q1 za¸cões de cada item que o compõe é apresentado na Figura 20. Lembre-se que este é um exemplo para Em que: ilustra¸cão de modo que na prática pode-se enconIQR: é o intervalo interquartil; trar varia¸cões. Q3 : é o 3o quartil; Q1 : é o 1o quartil. Na maioria das situa¸c˜ oes o IQR é apresentado em um gr´ afico, juntamente com a mediana. O gr´ afico é denominado diagrama de caixa e bigodes (Box and Whisker Plot) ou, simplesmente Boxplot, neste s˜ ao representadas cinco medidas (estat´ısticas): m´ınimo (menor valor), quartil inferior (1o quartil), mediana, quartil superior (3o quartil), máximo (maior valor). Pode-se visualizar neste gráfico informa¸c˜ oes sobre a distribui¸c˜ ao dos dados: posi¸cão, dispers˜ ao, assimetria, caudas e valores discrepantes (outliers). A posi¸c˜ ao central dos valores é dada pela mediana e a dispers˜ ao pela amplitude interquart´ılica. As posi¸c˜ oes relativas da mediana e dos quartis e o formato dos bigodes d˜ ao uma no¸c˜ ao da simetria e do tamanho das caudas da distribui¸cão. São dois bigodes e eles correspondem ` a maior observa¸c˜ ao menor que Q3 + 1,5 · IQR e ` a menor observa¸cão maior que Q1 − 1,5 · IQR. Dependendo da disperFIGURA 19 Boxplot: modelo e nomes das partes s˜ ao dos dados, neste gr´ afico, podem aparecer obPara confeccionar o Boxplot é necessário calcular algumas estat´ısticas (estat´ısticas de ordem), como: primeiro quartil, segundo quartil (mediana), terceiro quartil, limite da cerca inferior e limite da cerca superior. Siga os passos: * Ordene os dados em ordem crescente; * Calcule a mediana, o primeiro e terceiro quartis (Q1 e Q3 ); 42

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* Trace um eixo vertical (ou horizontal) e marque neste eixo uma escala adequada e de fácil leitura; * Seguindo a escala do eixo, forme um retângulo em que a extremidade inferior esteja representando o valor de Q1 e a extremidade superior, Q3 ; * Neste retˆ angulo, represente também a mediana (e/ou a média); * Calcule o valor das cercas inferior e superior: Limite inferior: Q1 − 1,5(Q3 − Q1 ); Limite superior: Q3 + 1,5(Q3 − Q1 ); Estes limites (cercas) n˜ ao s˜ ao representados no gráfico, apenas servem de orienta¸cão (linha imaginária) para inserir a localiza¸c˜ ao das hastes (bigodes) do Boxplot e dos valores extremos; * Desenhe a haste (bigode) inferior com uma linha paralela à base do retângulo localizando a menor observa¸c˜ ao maior que o valor obtido por Q1 − 1,5(Q3 − Q1 ); * Desenhe a haste (bigode) superior com uma linha paralela à base do retângulo localizando a maior observa¸c˜ ao menor que o valor obtido por Q3 + 1,5(Q3 − Q1 ); * Registre com pontos ou pequenos c´ırculos os valores que são menores que Q1 − 1,5(Q3 − Q1 ) ou maiores que Q3 + 1,5(Q3 − Q1 ). Estes são os valores extremos (outliers); * Registre no gr´ afico o t´ıtulo e a identifica¸cão dos eixos. Quando a distribui¸c˜ ao dos dados é simétrica, a linha que representa a mediana localiza-se no centro ou bem pr´ oxima do centro do retângulo e os bigodes distam semelhantemente das extremidades do retˆ angulo. Quando a distribui¸c˜ ao dos dados é assimétrica ` a direita, a linha que representa a mediana estar´ a mais pr´ oxima de Q1 do que de Q3 . E quando a distribui¸c˜ ao dos dados é assimétrica à esquerda, a linha que representa a mediana estará mais pr´ oxima de Q3 do que de Q1 .

FIGURA 20 Boxplot: simetrias

O box plot também pode ser confeccionado na posi¸cão horizontal, também, pode ser utilizado ´ uma na compara¸c˜ ao de dois ou mais conjuntos de dados e na compara¸cão com outras ferramentas. E ferramenta explorat´ oria de an´ alise de dados, sendo u ´til quando se trabalha com conjuntos limitados de dados em que outras ferramentas como o histograma, por exemplo, pode não ser adequadamente empregado. Exemplo: Duas amostras A e B foram obtidas de uma popula¸cão cuja variável de interesse é: n´ umero de filhos por casal. A amostra A forneceu os seguintes valores: 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 7, 9. A amostra B: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 7, 9. Algumas estat´ısticas das duas amostras e o Boxplot dos dados (Figura 21): nA = 11 AA = 9 nB = 14 AB = 9 x ¯A = 3 Q1A = 1 x ¯B = 3 Q1B = 2 mdB = 3 Q3B = 3 mdA = 3 Q3A = 4 moB = 3 IQRB = 1 moA = 3 IQRA = 3 minA = 0 minB = 0 maxA = 9 maxB = 9

FIGURA 21 Boxplot: N´umero de filhos por casal: Amostra A e Amostra B UNIFAL-MG/Alfenas

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Embora as medidas de tendência central das duas amostras sejam iguais e a amplitude também, pode-se visualizar que os dados obtidos nas duas amostras apresentam dispersão, assimetria, caudas e valores discrepantes diferentes, conforme pôde ser visualizado na Figura 21. Variˆ ancia amostral ´ uma medida que expressa o desvio quadrático médio do conjunto de dados, e o resultado é o E quadrado da unidade de medida dos dados: n P

s2 =

(xi − x ¯)

i=1

n−1

Mede a variabilidade absoluta de um conjunto de observa¸cões. A variância compara a variabilidade entre conjuntos numéricos, que possuam a mesma m´ edia e a mesma unidade de medida. A pr´ oxima vers˜ ao é mais f´ acil de ser calculada, portanto é a mais usada:  n 2  P xi  n  X 1   x2i − i=1 s2 =   n − 1  i=1 n  Muitas calculadoras têm fun¸c˜ oes prontas para o cálculo de variâncias, e por isso é raro ter que realizar todos os c´ alculos manualmente. Quando os dados est˜ ao agrupados em tabelas de distribui¸cão de frequências a fórmula da variancia é um pouco modificada, apenas para ficar mais fácil a opera¸cão: ˆ  !2  k X  fi X¯i  k X  1 2   i=1 2 s = k fi X¯i −   k   X X i=1   f −1 f i

i=1

Em que: k X fi = n i=1

fi : é a frequência da classe i = 1, 2, · · · , k; X¯i : é o ponto médio da classe i. Desvio padr˜ ao amostral Como medida de dispers˜ ao, a variância tem a desvantagem de apresentar o resultado igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Por exemplo, se os dados estão em metros, a variância é dada em metros ao quadrado. O desvio padr˜ ao definido como a raiz quadrada positiva da variância têm as mesmas aplica¸cões da variˆ ancia e tem a mesma unidade de medida dos dados: √ s = s2 Coeficiente de varia¸ c˜ ao amostral Trata-se de uma medida relativa de dispersão, u ´til para a compara¸cão do grau de concentra¸c˜ ao em torno da média de dados distintos. Sua fórmula matemática é definida por: cv =

s · 100% x ¯

Geralmente é expressa em porcentagem (isto é, adimensional). Assim, a quantidade cv, é um n´ umero abstrato, ou seja, independe das unidades em que foram medidas os dados. Ele representa o desvio padr˜ ao que seria obtido se a média fosse igual a 100. A vantagem do coeficiente de varia¸cão é que 44

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se pode comparar a variabilidade dos dados de diferentes vari´ aveis. Se as médias ou as unidades de medidas s˜ ao diferentes, a compara¸c˜ ao deve ser realizada pelo cv. Na pr´ atica, considera-se uma distribui¸cão com baixa dispersão quando o coeficiente de varia¸c˜ ao for menor ou igual a 10%; média dispers˜ ao quando o coeficiente de varia¸cão for maior que 10% e menor o igual a 20% e alta dispers˜ ao quando for superior a 20%. Exemplos Exemplo 1: Suponhamos que as notas de João, José e Maria em quatro provas de uma determinada disciplina sejam as apresentadas abaixo: TABELA 23 Notas dos três alunos em quatro provas de determinada disciplina e suas respectivas médias Notas obtidas nas disciplinas Alunos Média 1 2 3 4 Jo˜ ao 5 5 5 5 5 José 10 5 5 0 5 Maria 10 10 0 0 5 Observa-se que todos os alunos obtiveram média igual a 5, mas as notas variam de aluno para aluno. Apresentam variabilidades diferentes em torno da média 5. As notas de João não apresentam variabilidade. As notas de José variaram mais do que as de João, mas variaram menos do que as da Maria. Maria é a que apresenta maior variabilidade em torno da média. Neste conjunto de notas é fácil perceber a variabilidade das notas em torno da média, mas quando o conjunto de dados apresenta muitas observa¸c˜ oes é dif´ıcil visualizar esta dispers˜ ao. Calculando as variˆ ancias amostrais para cada aluno pode-se observar a variabilidade, mas agora quantativamente. Para o c´ alculo das variˆ ancias das notas dos alunos usa-se:  n 2  P xi  n  X 1   i=1 2 2 x − s =   n − 1  i=1 i n  Organizando os dados e realizando cálculos preliminares, ou seja, as somas das notas e a soma dos quadrados das notas, obtém-se: Jo˜ ao xi 5 5 5 P 5 xi = 20

s2 =

1 4−1

Jos´e

x2i 25 25 25 P 225 xi = 100

ao Jo˜ 100 −

202 4

s2 =

1 4−1

Jos´e 2

150 −

Maria

x2i 100 25 25 P 20 xi = 150

xi 10 5 5 P 0 xi = 20

20 4

= 16,6667

x2i 100 100 0 P 20 xi = 200

xi 10 10 0 P 0 xi = 20

s2 =

1 4−1

Maria2 200 − 204 = 33,3333

As variˆ ancias amostrais das notas do João, do José e da Maria são, respectivamente, 0; 16,6667 e 33,3333 pontos2 . Como o interesse é verificar a variabilidade dos dados, é conveniente usar uma medida estat´ıstica na mesma unidade de medida dos dados. Para situa¸cões aplicadas como essa a melhor medida é o desvio padr˜ ao amostral: Jo˜ √ ao s= 0=0

√

Jos´e 16,6667 = 4,08

√

Maria 33,3333 = 5,77

O desvio padr˜ ao amostral é uma medida que está na mesma unidade de medida dos dados e, consequentemente, da média. O desvio padrão ao lado da média exerce um papel importante nas UNIFAL-MG/Alfenas

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inferências feitas sobre a média populacional. A variância amostral desempenha um papel importante nos métodos estat´ısticos usados para chegar a inferências sobre a variância populacional. Em geral a variˆ ancia é considerada mais na teoria inferencial, enquanto o desvio padrão amostral é mais usado em aplica¸c˜ oes. Por u ´ltimo, o coeficiente de varia¸cão para as notas dos alunos: Jo˜ ao 0 cv = · 100 = 0% 5

Jos´e 4,08 cv = · 100 = 81,6% 5

Maria 5,77 cv = · 100 = 115,4% 5

Em termos relativos diz-se que a dispersão das notas de João foi de 0%, as de José de 81,6% e as da Maria foi de 115,4% em torno da média. Exemplo 2: Adotando os dados da Tabela 17, n´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial, durante 60 dias, calcule a variância. Os c´ alculos preliminares s˜ ao apresentados a seguir. Assim como para calcular a média, para a variˆ ancia também é necess´ ario calcular o ponto médio das classes e mais alguns cálculos complementares: TABELA 24 N´ umero de cartas entregues, diariamente, em um edif´ıcio residencial, durante 60 dias e c´ alculos preliminares 2 2 No de cartas/dia X¯i X¯i No de dias, fi fi · X¯i fi · X¯i 20 ` 30 25 625 05 125 3125 30 ` 40 35 1225 09 315 11025 40 ` 50 45 2025 20 900 40500 50 ` 60 55 3025 18 990 54450 60 ` 70 65 4225 08 520 33800 Total 60 2850 142900 Assim, fazendo  as respectivas substitui¸c˜ oes nos somatórios, obtém-se: !2  k X  k " # fi X¯i  2   X 1 1 (2850) 2   i=1 2 ¯ s = k fi Xi − 142900 − = 127,5424 cartas2 .  = k   60 − 1 60 X X i=1  f −1 f i

i=1

Como pode ser de interesse uma medida de variabilidade na mesma unidade de medida dos dados, ao é utilizado, logo: √ o desvio √ padr˜ s = s2 = 127,5424 = 11,2935 cartas. Para calcular o coeficiente de varia¸cão, basta realizar a opera¸cão: s 11,2635 cv = · 100% = × 100% = 23,71% x ¯ 47,5 Propriedades da variˆ ancia - V (·) e do desvio padr˜ ao - DP (·) Sejam X e Y duas vari´ aveis e k uma constante qualquer. • Se X = Y ± k, ent˜ ao: V (X) = V (Y )

DP (X) = DP (Y )

• Se X = Y · k, ent˜ ao: V (X) = V (Y ) · k 2 5.2.6

DP (X) = DP (Y ) · k

Exerc´ıcios

1. Os dados apresentados a seguir referem-se às varia¸cões de pesos corporais em 20 alunos em kg: 18,77 17,76 17,44 17,19 18,47 19,17 17,90 17,51 18,62 16,99 18,47 21,65 21,71 17,93 19,14 18,40 19,38 17,37 19,37 18,30. a) Calcule a variˆ ancia, o desvio padr˜ ao e coeficiente de varia¸cão dos dados acima. b) Agrupe os dados dos pesos numa tabela de distribui¸cão de frequências. 46

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c) Qual é a porcentagem de alunos com peso superior a 19 kg? Use a tabela e os dados. d) Acima de qual peso est˜ ao 50% dos alunos? Use a tabela e os dados. e) Qual a porcentagem de alunos com peso corporal inferior a 17 kg? Use os dados e a tabela. f) Obtenha os pesos que deixam 25% dos alunos acima do mesmo e 25% abaixo. Use os dados e a tabela. g) Calcule a variˆ ancia, o desvio padr˜ ao e o coeficiente de varia¸cão dos dados tabelados e compare com os valores obtidos no item a e discuta os resultados obtidos. h) Fa¸ca o boxplot dos dados. 2. A tabela abaixo mostra o n´ umero anual de dias de licen¸ca médica usados por enfermeiras em um grande hospital urbano em 2003. As enfermeiras são listadas por tempo de casa (anos de servi¸co), isto é, a enfermeira n´ umero 1 tem menos tempo de casa, enquanto a enfermeira n´ umero 21 tem o maior tempo de casa. N´ umero da enfermeira 1 2 3 4 5 6 7

Dias de licen¸ca 2 9 1 0 5 4 6

N´ umero da enfermeira 8 9 10 11 12 13 14

Dias de licen¸ca 7 8 8 3 6 7 8

N´ umero da enfermeira 15 16 17 18 19 20 21

Dias de licen¸ca 9 2 8 9 6 8 5

Fa¸ca o que se pede: a) Considere que xi representa o n´ umero de dias de licen¸ca m´edica por ano usados pela enfermeira de n´ umero i, onde o ´ındice i ´e o n´ umero da enfermeira. Determine cada um dos itens a seguir: 10 n n 10 X X X X i) x3 , x9 , x21 ii) xi iii) xi iv) xi v) x2i i=1

i=11

i=1

b) Suponha que cada enfermeira usasse exatamente dois dias a mais do que aparece na tabela. Use a nota¸c˜ ao de somat´ orio para expressar novamente a soma em (a) iv de modo a refletir os dois dias de licen¸ca adicionais usados por cada enfermeira. c) Use os dados de licen¸ca por ano das enfermeiras para calcular: i) a média, a moda e mediana ii) a variˆ ancia, o desvio padr˜ ao e coeficiente de varia¸cão. 3. Um pesquisador mediu, durante 10 dias, às 9:00, a temperatura em graus Celsius do freezer de seu laborat´ orio encontrando os seguintes valores: −10, −2, 0, 1, −3, −2, 0, −3, −1 e 1. Calcule a média, a variˆ ancia e o desvio padr˜ ao, apresentando a unidade de medida. 6

PROBABILIDADE

Anteriormente foi estudado como as estat´ısticas descritivas podem ser usadas para organizar, descrever e apresentar um conjunto de dados. Entretanto, pode-se querer investigar como a informa¸c˜ ao contida na amostra pode ser usada para inferir sobre alguma caracter´ıstica da popula¸cão da qual foi obtida. Antes de se fazer isto, é necess´ ario a exposi¸cão de alguns conceitos básicos e o estudo sobre probabilidades. 6.1 6.1.1

Defini¸ c˜ oes Experimento

´ qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observa¸c˜oes. Pode ser determin´ıstico e E aleat´ orio (probabil´ıstico). 6.1.2

Experimento determin´ıstico

´ um tipo de experimento que permite, sob determinadas condi¸cões, conhecer o resultado sem E mesmo ter que realiz´ a-lo. Preservando todas condi¸cões impostas em um experimento, se o repetir chega-se ao mesmo resultado (ou conclus˜ ao) n˜ ao importando o n´ umero de vezes que seja reproduzido. Exemplos: observar um corpo em queda livre, realizar uma rea¸cão qu´ımica, observar o movimento de um m´ ovel, observar a temperatura de ebuli¸cão da água etc. UNIFAL-MG/Alfenas

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6.1.3

Experimento aleat´ orio ´ E qualquer experiência ou ensaio cujo resultado é imprevis´ıvel por depender exclusivamente do acaso. Embora n˜ ao se tenha certeza qual resultado irá ocorrer, em geral, pode-se descrever todos os poss´ıveis resultados. Exemplos: lan¸camento de uma moeda, lan¸camento de um dado, sorteio de uma bola de uma urna contendo bolas enumeradas de 1 a 10 etc. 6.1.4

Espa¸ co amostral

O espa¸co amostral é definido como o conjunto de todos os resultados poss´ıveis de um ensaio (experimento) aleat´ orio, ser´ a utilizada a letra grega ômega (Ω) para identificá-lo. O s´ımbolo n(Ω) representa o n´ umero de elementos deste conjunto. Exemplos: 1. Um experimento consiste em lan¸car uma moeda e observar a face voltada para cima Considerando K para o resultado “cara” e C para “coroa”, então: Ω1 = {K, C} =⇒ n (Ω1 ) = 2 2. Seja um experimento em que é lan¸cado um dado comum. Considerando cada face: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 como um poss´ıvel resultado, ent˜ ao: Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} =⇒ n (Ω2 ) = 6 3. Uma pessoa deseja sortear uma bola de uma urna que contém 10 bolas enumeradas, então: Ω3 = {b1 , b2 , . . . , b10 } =⇒ n (Ω3 ) = 10 4. Ao lan¸car dois dados simultaneamente, considerando o par ordenado (a, b) sendo a e b as faces do 1o e 2o dado, respectivamente, o espa¸co amostral é:   (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)        (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)        (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) =⇒ n (Ω4 ) = 36 Ω4 = (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)        (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)        (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 5. Uma moeda é lan¸cada até que o resultado “cara” (K) ocorra pela primeira vez. Observa-se em qual lan¸camento este fato ocorre. Ω5 = {1, 2, 3, 4, . . .} =⇒ n (Ω5 ) =? 6. Lan¸car uma moeda duas vezes e observar o n´ umero de caras. Ω6 = {0, 1, 2} =⇒ n (Ω6 ) = 4 7. Escolher um n´ umero no conjunto N. Observa¸ c˜ ao: Um espa¸co amostral é finito se n (Ω) = n ∈ N∗ . 6.1.5

Evento

Qualquer subconjunto de um espa¸co amostral representa um evento. A forma¸c˜ao de um evento est´ a ligada ao experimento e consequentemente ao espa¸co amostral. Os eventos ser˜ ao representados pelas letras mai´ usculas do nosso alfabeto e se A for um evento, o n´ umero de elementos de A ser´ a simbolizado por n(A). Exemplo: Considere um experimento que consiste em jogar um dado e observar a face voltada para cima. O espa¸co amostral j´ a foi definido em Ω2 . Alguns eventos Ai podem ser obtidos: • ocorrer a face 5, A1 = {5} =⇒ n (A1 ) = 1; 48

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6 PROBABILIDADE

• ocorrer n´ umero par, A2 = {2, 4, 6} =⇒ n(A2 ) = 3; • ocorrer um n´ umero menor do que 7, A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} =⇒ n (A3 ) = 6 = n (Ω) =⇒ A3 = Ω; • ocorrer um n´ umero maior ou igual a 7, A4 = ∅ =⇒ n (A4 ) = 0; Observa¸ c˜ ao: Note que se n(Ω) = n, ent˜ ao Ω terá 2n subconjuntos (também denominado de conjunto n das partes) e, portanto, 2 eventos. Entre eles estão o ∅ (evento imposs´ıvel) e o próprio Ω (evento certo). Opera¸ c˜ oes sobre eventos Como na teoria de conjuntos, diversas opera¸cões podem ser aplicadas aos eventos. Estas opera¸c˜ oes permitem que se combine eventos para formar novos eventos, como a interseç c˜ ao, a uni˜ ao e o complemento de evento(s). A interseçc˜ ao de dois eventos A e B, representada por A ∩ B, é definida como o evento “tanto A como B”, ou seja A e B ocorrem simultaneamente. Se A ∩ B = ∅, os eventos são chamados mutuamente exclusivos ou disjuntos. A uni˜ ao de dois eventos A e B, representada por A ∪ B, é o evento “ou A ou B ou ambos A e B”. ¯ é o evento “não A”. Este evento O complementar de um evento A, indicado por AC ou A, ocorrer´ a se, e somente se, A n˜ ao ocorrer. Exemplo: Considere um experimento aleatório em que uma moeda é lan¸cada duas vezes e as faces voltadas para cima s˜ ao observadas. O espa¸co amostral é: Ω = {(K,K) , (K,C) , (C,K) , (C,C)} Considere os eventos: A: ocorrência de cara no primeiro lan¸camento e coroa no segundo: A = {(K,C)}; B: ocorrência de duas caras: B = {(K,K)}. Então: A interseçc˜ ao de A e B é a ocorrência de duas caras e a ocorrência de cara no primeiro lance e coroa no segundo. A∩B =∅ A uni˜ ao de A e B é a ocorrência de duas caras ou a ocorrência de cara no primeiro lance e coroa no segundo. A ∪ B = {(K,K) , (K,C)} O complemento de A é a n˜ ao ocorrência de cara no primeiro lance e coroa no segundo. AC = {(K,K) , (C,K) , (C,C)} O complementar de B é a n˜ ao ocorrência de duas caras. B C = {(K,C) , (C,K) , (C,C)} 6.2

Probabilidade

´ um valor associado a cada resultado (evento) poss´ıvel. Pode ser uma probabilidade a priori E ou a posteriori. 6.2.1

Probabilidade a priori ´ dada pela raz˜ E ao entre o n´ umero de maneiras que um determinado evento ocorre e o n´ umero de eventos simples diferentes (n´ umero de elementos) do espa¸co amostral. A probabilidade de um evento A qualquer ocorrer no espa¸co amostral Ω ´e denotada por: P (A) =

n(A) n(Ω)

Em que: P (A) é a probabilidade de ocorrer o evento A; n(A) é o n´ umero de elementos ou o n´ umero de maneiras que ocorre o evento A e n(Ω) é o n´ umero de elementos do espa¸co amostral Ω. Exemplo 1: Considere um experimento que consiste em lan¸car um dado. Calcule as probabilidades para cada evento apresentado: UNIFAL-MG/Alfenas

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6 PROBABILIDADE

Solu¸c˜ ao: Considerando as faces do dado, o espa¸co amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e tem 6 elementos, ou seja, n (Ω) = 6. a) Seja o evento A1 ocorrer o n´ umero 5, então: A1 = {5} =⇒ n (A1 ) = 1. Logo, a probabilidade de A1 é: P (A1 ) =

1 n(A1 ) = n(Ω) 6

b) Considere o evento A2 ocorrer um n´ umero par, assim: A2 = {2, 4, 6} =⇒ n(A2 ) = 3. Portanto a probabilidade de A2 ´e: n(A2 ) 3 1 P (A2 ) = = = n(Ω) 6 2 c) Seja o evento A3 ocorrer um n´ umero menor do que 7: A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω =⇒ n (A3 ) = n (Ω) = 6. A probabilidade de ocorrer A3 ´e: P (A3 ) =

n(A3 ) 6 = =1 n(Ω) 6

d) Considerando um evento A4 ocorrer um n´ umero maior ou igual a 7: A4 = ∅ ⇒ n (A4 ) = 0. Portanto, a probabilidade de A4 ´e: 0 n(A4 ) = =0 P (A4 ) = n(Ω) 6 6.2.2

Probabilidade a posteriori

Considere um experimento aleat´ orio com espa¸co amostral finito Ω = {a1 , a2 , . . . , ak }. Suponha que o experimento seja repetido N vezes, nas mesmas condi¸cões. Seja ni o n´ umero de vezes que ocorre o evento elementar ai . Definindo a frequência relativa do evento {ai } como sendo o n´ umero fi tal que: ni fi = , ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}, ent˜ ao: N ni 1. 0 ≤ fi ≤ 1, ∀i, pois 0 ≤ ≤ 1; N n2 nk n1 + n2 + . . . + nk N n1 + + ... + = = = 1; 2. f1 + f2 + ... + fk = 1, pois N N N N N 3. Se A é um evento de Ω, (A 6= 0), a frequência relativa do evento A, (fA ), é o n´ umero de vezes que X X ni = fi . ocorre A, dividido por N . Isto implica que fA = N ai ∈A

ai ∈A

Se um experimento é repetido N vezes sob as mesmas condi¸cões e se o evento A ocorre ni vezes, ent˜ ao, conforme N aumenta, a raz˜ ao ni /N se aproxima de um limite fixado, que é a probabilidade de A. A probabilidade a posteriori é definida pelas frequências relativas da tabela de distribui¸cão de frequências. Ou seja, ni P (A) = fi = N Exemplo: Considere a Tabela 25 em que é mostrado o n´ umero de pessoas diabéticas no per´ıodo de janeiro a junho de 2009 em Minas Gerais. TABELA 25 Pacientes com diabetes em Minas Gerais, segundo o sexo, no per´ıodo de janeiro a junho de 2009 Sexo N´ umero de pacientes Masculino 2.878 Feminino 4.970 Total 7.848 Fonte: http://hiperdia.datasus.gov.br/

Se uma pessoa com diabetes foi escolhida ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja do sexo masculino? Seja A o evento a pessoa com diabetes ´e do sexo masculino, ent˜ao: P (A) = fi = 50

ni 2.878 = = 0,3667 = 36,67% N 7.848

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6.2.3

6 PROBABILIDADE

Importante saber!

1. Se A ´e um evento de Ω (ou seja, A ⊂ Ω)=⇒ P (A) ≥ 0. 2. P (Ω) = 1; Observa¸c˜ ao: se Ω = {a1 ,a2 ,a3 , . . . , an } e cada evento elementar {ai } est´a associado a uma proban X bilidade pi . Ent˜ ao, pi = p1 + p2 + . . . + pn = 1. i=1

3. P (∅) = 0 4. Se AC é o evento complementar de A, então P AC = 1 − P (A). 5. Se A1 , A2 , . . . , An s˜ ao eventos pertencentes a Ω, isto é, tem interse¸cão nula, Ai ∩ Aj = ∅, ! disjuntos n n [ X com i 6= j, ent˜ ao P Ai = P (Ai ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An ). i=1

i=1

6. Se A e B s˜ ao dois eventos de um espa¸co amostral e não são eventos disjuntos, ou seja, a interse¸c˜ ao n˜ ao é o conjunto vazio, A ∩ B 6= ∅, então, ao se calcular a probabilidade da união é necessário considerar a interse¸c˜ ao, ou seja, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). 7. 0 ≤ P (A) ≤ 1, a probabilidade de ocorrer o evento A é um n´ umero entre 0 e 1. 6.3

Probabilidade condicional

Recebe o nome de probabilidade condicional aquela que envolve pelo menos dois eventos e que a ocorrência de um depende da ocorrência do outro. Geralmente diz-se probabilidade de A dado B ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A sabendo que o evento B tenha ocorrido. Esta probabilidade é calculada por: n(A ∩ B) P (A ∩ B) = , P (B) > 0 P (A|B) = P (B) n(B) ´ importante destacar que P (A|B) 6= P (B|A). Pois, P (B|A) = P (A ∩ B) . E P (A) Exemplo 1: Um grupo de mo¸cas é classificado de acordo com a cor dos olhos e dos cabelos de cada mo¸ca, segundo a tabela a seguir: Cor dos olhos Azuis Castanhos Loiro 18 8 Castanho 9 9 Ruivo 4 2 Suponha que você esteja em um programa de televisão e que o apresentador lhe pe¸ca para sortear uma dessas mo¸cas para conversar com você. Determine: a) Supondo que o apresentador do programa lhe diga que a mo¸ca sorteada tem cabelos castanhos, ent˜ ao qual é probabilidade de que ela tenha olhos castanhos? Solu¸c˜ ao: foi dada uma condi¸c˜ ao. Em outras palavras, você já sabe que aconteceu de a mo¸ca sorteada ter cabelos castanhos. Neste caso pode-se considerar os eventos: B: o evento a mo¸ca sorteada tem cabelos castanhos e A: o evento a mo¸ca sorteada ter olhos castanhos. Sabe-se que o espa¸co amostral é composto por todas as mo¸cas, totalizando 50 mo¸cas. Assim, o evento B tem 9 mo¸cas e o evento A tem 19 mo¸cas. A probabilidade procurada é uma probabilidade condicional de A ocorrer dado que B já tenha ocorrido. Pelos dados n(A ∩ B), que representa o n´ umero de mo¸cas que tem cabelos castanhos e olhos castanhos, é igual a 9. Portanto, n(A ∩ B) 9 1 P (A ∩ B) = = = P (A|B) = P (B) n(B) 18 2 Cor dos cabelos

b) Agora, o apresentador lhe disse que a garota que você sorteou tem cabelos ruivos. Qual a probabilidade de que ela tenha olhos azuis? Solu¸c˜ ao: Sabe-se que a mo¸ca sorteada tem cabelos ruivos. Considerando B o evento a mo¸ca sorteada ter cabelos ruivos e A o evento a mo¸ca sorteada ter olhos azuis. O espa¸co amostral é composto por todas as 50 mo¸cas. Assim, o evento B tem 6 mo¸cas e o evento A tem 31 mo¸cas. A probabilidade procurada é UNIFAL-MG/Alfenas

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uma probabilidade condicional de A ocorrer dado que B j´a tenha ocorrido. O evento n(A ∩ B) n´ umero de mo¸cas que tem cabelos ruivos e olhos azuis tem 4 elementos. Portanto, P (A|B) =

n(A ∩ B) 4 2 P (A ∩ B) = = = P (B) n(B) 6 3

Exemplo 2: Considere o espa¸co amostral Ω e os eventos A e B: Ω = {1, 2, 3, . . . , 20} A = {5, 10, 15, 20} B = {9, 10, 11, . . . ,20} Observe que a probabilidade de A dado B ´e igual a: P (A|B) =

P (A ∩ B) 3/20 1 = = . P (B) 12/20 4

E a probabilidade de B dado A ´e igual a: P (B|A) = 6.3.1

P (A ∩ B) 3/20 3 = = . P (A) 4/20 4

Exerc´ıcios

1. Use D para identificar os experimentos determin´ısticos e P para identificar os experimentos probabil´ısticos. ( ) Soltar uma pedra do alto de um edif´ıcio e observá-la cair em dire¸cão ao solo. ´ todo aquele cujos resultados n˜ ( )E ao podem ser previstos antes da execu¸cão do mesmo. ( ) Observar o movimento de um ve´ıculo e determinar a distância percorrida. ( ) Injetar um medicamento experimental em ratos e observar a rea¸cão dos mesmos. ( ) Lan¸car duas moedas e observar o n´ umero de caras obtido. 2. H´ a uma gaveta com meias das seguintes cores: 1 branca, 2 amarelas e 3 rosas. Duas meias s˜ ao retiradas. a) Descreva o espa¸co amostral deste experimento considerando amostragem com reposi¸cão; b) Descreva o espa¸co amostral deste experimento considerando amostragem sem reposi¸cão. 3. Defina o espa¸co amostral (Ω) para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: a) Nascimento de 3 filhos. b) Lan¸camento de um dado e uma moeda. c) Sele¸c˜ ao de duas pessoas num grupo três (A, B, C), com reposi¸cão. d) Idem, sem reposi¸c˜ ao. e) Sele¸c˜ ao de duas pessoas num grupo três (A, B, C), mas as duas pessoas são selecionadas simultaneamente. 4. Uma moeda e um dado s˜ ao lan¸cados. Seja Ω os pares ordenados formados por cara ou coroa e um dos seis n´ umeros do dado. Descreva os eventos: a) A: ocorre cara; b) B: ocorre um n´ umero impar; c) C: ocorre o n´ umero 3; d) A ∪ B; e) B ∩ C; f) A ∩ C; g) AC ; h) C C . 5. Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. Sorteando-se uma bola, qual a probabilidade dela ser vermelha? 6. De um baralho de 52 cartas, uma é extra´ıda ao acaso. Qual a probabilidade de ocorrer cada um dos eventos abaixo? a) ocorre dama de copas; b) ocorre dama; c) ocorre carta de naipe paus; d) ocorre dama ou rei ou valete; e) ocorre uma carta que n˜ ao é um rei. 7. Suponha que estamos interessados em determinar a probabilidade de uma mulher que engravidou ter 52

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um menino. Em um pa´ıs foram registrados 4.065.014 nascimentos, dos quais 2.081.287 foram meninos e 1.983.727 foram meninas. Ent˜ ao a probabilidade de que uma mulher aleatoriamente selecionada desse a luz a um menino é? 8. Selecionado aleatoriamente um estudante da UNIFAL-MG, considere os seguintes eventos: A: o aluno possui cart˜ ao de crédito Visa; B: o aluno possui cart˜ ao de crédito MasterCard. Suponha que P (A) = 0,5, P (B) = 0,4 e P (A ∩ B) = 0,25. a) Calcule a probabilidade de que o indiv´ıduo selecionado tenha pelo menos um dos dois tipos de cart˜ ao (ou seja, a probabilidade do evento A ∪ B)? b) Qual é probabilidade do indiv´ıduo selecionado não possuir nenhum dos dois tipos de cartão? 9. Suponha que P (A|B) = 0,8, P (A) = 0,5 e P (B) = 0,2. Determine P (B|A). 10. Suponha o cruzamento de duas cobaias heterozigotas, Cc × Cc. Suponha que o gene C é dominante para a cor de pelo branca e que seja letal quando o indiv´ıduo resulta homozigoto. Ainda, a cor preta é determinada pelo alelo c. Considere, adicionalmente, os seguintes eventos: B: o indiv´ıduo é branco; P : o indiv´ıduo é preto; V : o indiv´ıduo nasce vivo; M : o indiv´ıduo nasce morto. Calcule as probabilidades e descreva o seu significado: f) P (V |B) g) P (P |V ) h) P (B|M ) i) P (V |P ) j) P (P |M )

a) P (P ) b) P (B) c) P (P ∪ V ) d) P (P ∩ M ) e) P (B|V ) 6.4

Regra do produto e independˆ encia de eventos

A regra do produto pode ser utilizada quando o experimento envolve repeti¸cões. Assim, podese tratar cada repeti¸c˜ ao como um evento e portanto, ao invés de trabalhar com análise combinatória, ´ importante observar a calcula-se a probabilidade de cada evento e posteriormente efetua-se o produto. E dependência entre os eventos, o que ser´ a discutido a seguir. Uma consequência da probabilidade condicional é a seguinte: P (A|B) =

P (A ∩ B) =⇒ P (A ∩ B) = P (B) · P (A|B) P (B)

P (B|A) =

P (A ∩ B) =⇒ P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) P (A)

Ou seja, a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B é dada pelo produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do segundo dado o primeiro. Em algumas situa¸c˜ oes podem ocorrer: P (A|B) = P (A) Consequentemente, P (B|A) = P (B) Quando isto acontece os eventos A e B são independentes. Dois ou mais eventos são independentes se a ocorrência de um deles n˜ ao afeta a probabilidade do outro. Se dois ou mais eventos não s˜ ao independentes, diz-se dependentes. • Se os eventos s˜ ao independentes, então P (A ∩ B) = P (A) · P (B), ou seja, a probabilidade de ocorrerem os 2 eventos é igual ao produto de suas probabilidades individuais; • Se os eventos s˜ ao dependentes, ent˜ ao P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) = P (B) · P (A|B), ou seja, a probabilidade de ocorrerm os 2 eventos é igual ao produto da probabilidade de um pela probabilidade condional do outro. ¯ A¯ e B e A¯ e B ¯ também são independentes. Se A e B s˜ ao independentes, ent˜ ao: A e B, Exemplo 1: Considere o lan¸camento de uma moeda e de um dado simultaneamente; o resultado obtido no lan¸camento da moeda n˜ ao afeta o do dado; portanto considerando cada lan¸camento ou da moeda ou do dado como um evento, estes podem ser considerados como eventos independentes. Por UNIFAL-MG/Alfenas

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outro lado, considerando, uma urna contendo cinco bolas vermelhas e duas azuis, em que são retiradas duas bolas, sem reposi¸ c˜ ao, o resultado obtido na segunda extra¸cão dependerá do resultado observado na primeira extra¸c˜ ao; adotando cada extra¸cão como um evento, nota-se que os eventos são dependentes. Exemplo 2: Uma firma produz um lote de 50 agulhas, das quais 6 são defeituosas. Escolheramse aleatoriamente e testaram-se duas agulhas do lote. Determine a probabilidade de ambas serem boas, se as agulhas foram selecionadas: a) com reposi¸cão e b) sem reposi¸cão. Solu¸c˜ ao: Como neste experimento h´ a repeti¸c˜ ao, pois retira-se uma agulha e em seguida outra pode-se considerar que cada retirada representa um evento. Assim, seja A o evento sair uma agulha boa na primeira retirada e seja B o evento sair uma agulha boa na segunda retirada. a) Considerando um experimento em que uma agulha é selecionada e recolocada antes de fazer a segunda sele¸c˜ ao, tem-se um experimento com reposi¸cão. Neste caso a probabilidade de que ambas as agulhas sejam boas pode ser calculada por: P (A ∩ B) = P (A) · P (B) =

44 44 · = 0,774 50 50

Pois os eventos s˜ ao independentes, uma vez que os eventos A e B ocorrem de forma independente. b) Considerando um experimento em que uma agulha é selecionada e não é recolocada antes de fazer a segunda sele¸c˜ ao, tem-se um experimento sem reposi¸cão. Neste caso a probabilidade de que ambas as agulhas sejam boas pode ser calculada por: P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) =

44 43 · = 0,772 50 49

Pois os eventos s˜ ao dependentes, uma vez que o evento B depende do acontecimento de A. Exemplo 3: Considere um baralho com 52 cartas. Um experimento consiste em retirar duas cartas ao acaso e sem reposi¸c˜ ao. Qual é a probabilidade: a) das duas cartas extra´ıdas serem ouros? Solu¸c˜ ao: O baralho comum possui 52 cartas, as quais são divididas em 4 naipes com 13 cartas. Ou seja, ♦, ♥, ♣, ♠ (ouros, copas, paus, espadas, respectivamente) que possuem as cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K. Portanto, considerando cada retirada com um evento, tem-se: A = {sair uma carta de ouros na primeira retirada} B = {sair uma carta de ouros na segunda retirada} Portanto, a probabilidade de qua as duas cartas sejam de ouros é dada por: P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) =

13 12 1 · = 52 51 17

b) de uma ser dama e a outra ser rei, nesta ordem? Considerando os eventos: A = {sair uma dama na primeira retirada} B = {sair um rei na segunda retirada} Tem-se: 4 4 4 · = P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) = 52 51 663 c) de uma ser dama e a outra ser rei? Considerando os eventos: A = {sair uma dama} B = {sair um rei} Note que agora a ordem n˜ ao importa, portanto pode sair uma dama na primeira retirada e o rei na segunda ou um rei na primeira retirada e a dama na segunda. Como h´a dois resultados de interesse, ´e necess´ ario somar as suas probabilidades. Assim,

P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) =

4 4 4 · = 52 51 663

P (B ∩ A) = P (B) · P (A|B) =

4 4 4 · = 52 51 663

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Portanto, a probabilidade de uma ser dama e a outra ser rei ´e: 4 4 8 + = 663 663 663 6.5

Independˆ encia de trˆ es ou mais eventos

Quando dois eventos Ai e Aj , ∀i, j com i 6= j, são independentes a probabilidade de ocorrerem os 2 eventos é igual ao produto de suas probabilidades individuais, assim: P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai ) · P (Aj ) Para três ou mais eventos independentes a probabilidade da ocorrência deles é, também, igual ao produto de suas probabilidades individuais. Portanto, P (Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = P (Ai ) · P (Aj ) · P (Ak ) , ∀i, j, k com i 6= j 6= k Genericamente, P

n \ i=1

! Ai

n Y

P (Ai ) = P (A1 ) · P (A2 ) · . . . · P (An )

i=1

Exemplo: Considere o lan¸camento de uma moeda 5 vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer nos três primeiros lances a face cara e nos dois u ´ltimos a face coroa? Solu¸c˜ ao: Considerando cada lan¸camento como um evento, temos A1 , A2 , A3 , A4 , A5 cinco eventos correspondendo, respectivamente, ao resultado cara nos três primeiros lan¸camentos e os dois resultados coroa. Assim, ! 5 5 Y \ 1 1 1 1 1 1 P (Ai ) =P (A1 ) · P (A2 ) · P (A3 ) · P (A4 ) · P (A5 ) = · · · · = Ai = P 2 2 2 2 2 32 i=1 i=1 6.6

Ensaios de Bernoulli

Anteriormente foi apresentado que quando dois ou mais eventos são independentes, calcula-se a probabilidade de ocorrerem estes eventos pelo produto das probabilidades de cada qual. Entretanto, é necess´ ario considerar a ordem do acontecimento desses eventos. Em alguns casos o objetivo poderia ser o de calcular a probabilidade em que o evento de interesse aconte¸ca a qualquer momento em n tentativas. Portanto, há necessidade de considerar todas as formas de acontecer este evento nas n tentativas. Se for considerado um experimento em que para cada tentativa (repeti¸cão) há duas respostas poss´ıveis, as quais ser˜ ao denominadas por sucesso e fracasso, e independˆ encia, este experimento recebe o nome de ensaios de Bernoulli. O sucesso e fracasso s´ o servem para designar os resultados, não tem o mesmo significado que na linguagem cotidiana. A probabilidade do sucesso será identificada por p e a do fracasso por q. Como ocorre o evento (sucesso) com probabilidade p ou o seu complementar (fracasso) com probabilidade q, ent˜ ao q = 1 − p. Exemplo 1: Uma moeda é lan¸cada 5 vezes. Cada lan¸camento (repeti¸cão independente) é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: cara ou coroa. Pode-se chamar de sucesso o resultado cara 1 1 e de fracasso o resultado coroa. Em cada ensaio, p = e q = . 2 2 Exemplo 2: Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extra´ıda, observada sua cor e reposta na urna; este procedimento é repetido 8 vezes. Cada extra¸cão (repeti¸cão independente) é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca (não vermelha). O sucesso corresponde ao resultado bola vermelha e fracasso o resultado bola branca (complementar). Em 4 2 6 3 cada caso p = = eq= = . 10 5 10 5 Exemplo 3: Uma urna contém 4 bolas vermelhas, 6 brancas e 2 azuis. Uma bola é extra´ıda, observada sua cor e reposta na urna; este procedimento é repetido 10 vezes. Cada extra¸cão é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer, se relacionar o sucesso ao resultado bola vermelha, o fracasso ser´ a 4 1 8 2 o resultado n˜ ao bola vermelha. Em cada caso p = = eq= = . 12 3 12 3 UNIFAL-MG/Alfenas

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Exemplo 4: Um dado é lan¸cado 100 vezes. Considere os dois resultados: sair o n´ umero “5” ou sair um n´ umero diferente de “5”. Considerando o sucesso o resultado sair o “5”, então o fracasso será o 1 5 resultado n˜ ao sair o “5”. Em cada ensaio p = e q = . 6 6 H

Considere os eventos do experimento citado no exemplo 1 em que uma moeda ´e lan¸cada 5 vezes: 1 A1 : ocorre cara no 1o lan¸camento, P (A1 ) = ; 2 1 o A2 : ocorre cara no 2 lan¸camento, P (A2 ) = ; 2 1 o A3 : ocorre cara no 3 lan¸camento, P (A3 ) = ; 2 1 A4 : ocorre cara no 4o lan¸camento, P (A4 ) = ; 2 1 A5 : ocorre cara no 5o lan¸camento, P (A5 ) = . 2 Ent˜ ao o evento A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ A5 corresponde ao evento sair cara nos 5 lan¸camentos. Como os eventos s˜ ao independentes, P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ) = p · p · p · p · p = p5 · q 0 =

1 1 1 1 1 × × × × = 2 2 2 2 2

5 1 1 = . 2 32

Se o interesse é calcular a probabilidade de obterem duas caras e em seguida três coroas (nesta C C C ordem), ent˜ ao o evento de interesse corresponde a: A1 ∩ A2 ∩ AC 3 ∩ A4 ∩ A5 . Sendo que Ai corresponde ao evento complementar de Ai . Logo, a probabilidade de ocorrer este evento é: C C P A1 ∩ A2 ∩ AC = p · p · q · q · q = p2 · q 3 3 ∩ A4 ∩ A5 1 1 1 1 1 = × × × × 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 . · = = 2 2 32 Neste experimento em qualquer qu´ıntupla ordenada a probabilidade sempre será H

1 . 32

Agora, supondo que o interesse seja o de calcular a probabilidade de obter duas caras nos 5 lan¸camentos, h´ a 10 diferentes maneiras de acontecer este resultado, pois o sucesso é obter duas caras nestes 5 lan¸camentos, n˜ ao importando em qual momento ocorrerá. Portanto, as maneiras de acontecerem duas caras em cinco lan¸camentos é apresentada a seguir, considerando que Ai , com i = 1, 2, 3, 4, 5, o evento sair cara no lan¸camento i e AC i o seu complementar: C C À A 1 ∩ A 2 ∩ AC 3 ∩ A4 ∩ A5 ;

C C Å AC 1 ∩ A 2 ∩ A3 ∩ A 4 ∩ A5 ;

C C Á A 1 ∩ AC 2 ∩ A 3 ∩ A4 ∩ A5 ;

C C Æ AC 1 ∩ A 2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A 5 ;

C C Â A 1 ∩ AC 2 ∩ A3 ∩ A 4 ∩ A5 ;

C C Ç AC 1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ;

C C Ã A 1 ∩ AC 2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A 5 ;

C C È AC 1 ∩ A2 ∩ A 3 ∩ A4 ∩ A 5 ;

C C Ä AC 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A4 ∩ A5 ;

C C É AC 1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A 4 ∩ A 5 .

Sabe-se que cada evento (qu´ıntupla ordenada) a probabilidade relacionada ´e igual a 10 qu´ıntuplas (eventos distintos) a probabilidade ´e: 10 ×

1 e sendo 32

1 10 5 = = 32 32 16

Com conhecimento b´ asico em an´ alise combinatória não é necessário discriminar as maneiras de ocorrer os sucessos, ou seja, descrever todas as diferentes formas como feito anteriormente, pois o que se interessa é calcular o n´ umero de maneiras que ocorre duas caras nos 5 lan¸camentos. Para esta situa¸c˜ ao 56

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tem-se 5 lan¸camentos em que h´ a 2 sucessos e 3 fracassos, ou seja 5 elementos dos quais h´a 1 elemento que repete 2 vezes e 1 um elemento que repete 3 vezes e a melhor forma de calcular isto ´e por meio da permuta¸c˜ ao de 5 elementos em que 1 elemento repete 2 vezes e outro repete 3 vezes: P52,3 =

5! = 10 2! × 3!

Considerando x sucessos de interesse e n−x fracassos num experimento com n repeti¸cões, ent˜ ao o n´ umero de maneiras de ocorrer x sucessos (e n − x fracassos) é: n! n Pnx,n−x = = = Cn,x x x! (n − x)! Como pode se deduzir dos exemplos anterios a probabilidade de cada énupla ordenada de x sucessos e n − x fracassos é: p × p × . . . × p × q × q × . . . × q = px × q n−x | {z } | {z } x vezes

(n−x) vezes

pois, qualquer énupla ordenada deste tipo é a interse¸cão de x sucesso(s) e de n − x fracasso(s), ou seja, C x n−x P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ax ∩ AC . x+1 ∩ . . . ∩ An ) = p × q Portanto, se o interesse é calcular a probabilidade de ocorrer(em) x sucesso(s) em n tentativas de uma en´ upla ordenada basta realizar o cálculo: P (x) = Cn,x × px × q n−x Em que: x: representa o n´ umero de sucessos de interesse; n: representa o n´ umero de repeti¸c˜ oes do experimento; p: representa a probabilidade de ocorrer um sucesso (ou seja, o evento); q: representa a probabilidade de ocorrer um fracasso ou q = 1 − p (não ocorrer o evento). 6.6.1

Exerc´ıcios

1. Considere um baralho com 52 cartas numeradas, 13 para cada um dos naipes (ouros, copas, espadas e paus). Seja o experimento em que se retira uma carta aleatoriamente, observando seu naipe, n´ umero e/ou cor (vermelha ou preta). Considere os seguintes eventos e calcule o que se pede: A = {a carta retirada é ´ as}; V = {a carta retirada é vermelha} e E = {a carta retirada é de espada}. a) P (A), P (V ) e P (E). ¯ P (V¯ ) e P (E). ¯ b) P (A), c) P (A ∩ V ), P (A ∩ E) e P (V ∩ E). c) P (A ∪ V ), P (A ∪ E) e P (V ∪ E). d) P (A|V ) . Os eventos A e V s˜ ao independentes? e) P (V |E). Os eventos V e E s˜ ao independentes? 2. Suponha que estamos interessados em determinar a probabilidade de uma mulher que engravidou ter um menino. Em um pa´ıs foram registrados 4.065.014 nascimentos, dos quais 2.081.287 foram meninos e 1.983.727 foram meninas. Se desta popula¸cão escolhermos 3 mulheres e supormos que haja independência entre o sexo das crian¸cas nascidas, qual é a probabilidade de que as três crian¸cas sejam meninas? 3. Suponha que você retire de um baralho, aleatoriamente, duas cartas do seguinte modo: retira uma, observa seu naipe, n´ umero e cor, e a coloca de volta. Em seguida, retira a segunda carta, observa seu naipe, n´ umero e cor, e a coloca de volta. Sejam os eventos: A1 = {a primeira carta retirada é um ´ as} e A2 = {a segunda carta retirada é um ás}. a) Sem fazer c´ alculos, você acha que os eventos A1 e A2 são independentes? Ou seja, você acha que o fato da primeira carta retirada ter sido um ás altera a probabilidade de que a segunda carta seja um ás? b) Ent˜ ao, qual é o valor de P (A2 |A1 )? c) Qual é a probabilidade das duas cartas retiradas serem ases? Ou seja, calcule P (A1 ∩ A2 ). 4. Numa determinada cidade a probabilidade de nascer um menino, P (M ), é igual a duas vezes a probabilidade de nascer uma menina, P (F ). Considerando cinco mães grávidas nesta cidade, determinar UNIFAL-MG/Alfenas

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a probabilidade: a) de que n˜ ao nas¸ca menina. b) de que nas¸cam 1, 2 ou 3 meninas. c) de que nas¸cam mais de duas meninas. 5. Suponha que foram selecionados cinco indiv´ıduos da popula¸cão de pacientes picados com agulha infectada com hepatite B. Sabendo que a probabilidade de que um indiv´ıduo desenvolva a doen¸ca é 30%, calcule: a) A probabilidade de que pelo menos três indiv´ıduos desenvolvam a hepatite B. b) A probabilidade de que no m´ aximo um paciente desenvolva a doen¸ca. 6.6.2

Exerc´ıcios extras

1. Lan¸camos dois dados “honestos”. Qual a probabilidade de se obter uma soma de pontos não inferior a 10? 2. Dois dados, um verde e um vermelho são lan¸cados. Seja Ω o conjunto dos pares (a, b) em que a representa o n´ umero do dado verde e b do dado vermelho. Descreva os eventos: a) A: ocorre 3 no dado verde; b) B: ocorrem n´ umeros iguais nos dois dados; c) C: ocorre n´ umero 2 em ao menos um dado; d) D: ocorrem n´ umeros cuja soma é 7; e) E: ocorrem n´ umeros cuja soma é menor que 7. 3. Um n´ umero é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros. De 1 a 20. Qual a probabilidade de o n´ umero escolhido: a) ser par; b) ser ´ımpar; c) ser primo; d) quadrado perfeito. 4. Sejam A, B e C três eventos: A = {1,2,3,4,5}; B = {4,5,6,7}; C = {5,9} e Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Calcule as probabilidade para os eventos A, B e C. a) nenhum dos três eventos ocorre b) pelo menos um dos três ocorre c) somente A ocorre (B e C n˜ ao ocorrem) d) exatamente um dos eventos ocorre e) A e B ocorrem, mas C n˜ ao ocorre f) os três eventos ocorrem g) exatamente dois dos eventos ocorrem h) pelo menos dois eventos ocorrem i) no m´ aximo dois eventos ocorrem j) no m´ aximo um evento ocorre 5. Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso na urna. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser: a) branca b) vermelha c) azul. 6. Considere dois eventos A: u ´lcera péptica e B: estresse constante. Qual o significado de P (A|B)? Explique claramente a diferen¸ca entre P (A|B) e P (B|A). 7. Um dado é lan¸cado e o n´ umero da face de cima é observado. a) se o resultado obtido for par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a 5? b) se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade de ele ser par? c) se o resultado obtido for ´ımpar, qual a probabilidade de ele ser menor que 3? d) se o resultado obtido for menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ´ımpar? 8. Considere dois eventos, A ={atirador A acerta o alvo} e B ={atirador B acerta o alvo}. Se os atiradores A e B atiram simultaneamente em um alvo, com P (A) = 0,51 e P (B) = 0,32, pede-se: a) Qual é a probabilidade do alvo ser atingido quando os eventos A e B são independentes? b) Qual é a probabilidade do alvo ser atingido quando os eventos A e B são mutuamente exclusivos? 9. Um pesquisador querendo testar a germina¸cão das ervilhas (amarelas e verdes) plantou 500 sementes obtendo os resultados apresentados a seguir: 58

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Cor Total Amarela Verde Sim 25 40 65 N˜ ao 225 210 435 Total 250 250 500 Sejam os eventos: A: a ervilha plantada germina; B: a ervilha ´e amarela e C: a ervilha ´e verde. Pede-se descrever e determinar as probabilidades: Germina¸c˜ ao

e) P (A ∩ C) f) P (A|B) g) P (C|A) h) P (C|B)

a) P (A) b) P (B) c) P (C) d) P (A ∩ B)

10. Uma experiência consiste em retirar, sucessivamente, 3 cartas de um baralho comum bem embaralhado. Sejam A a ocorrência de um “rei” na primeira retirada; B a ocorrência de um “rei” na segunda e C a de um “rei” na terceira. Exponha em palavras, o significado de cada um dos seguintes s´ımbolos: ¯ ¯ ; a) P (A ∩ B); d) P C|(A ∩ B) ¯ B ¯ e C; ¯ b) P (A ∪ B); e) A, ¯ ¯ ∩ C). f) P (A ∩ B ∪ B c) A¯ + B; 11. Um dado ser´ a lan¸cado 5 vezes. a) Qual a probabilidade que saia a face 1 nos 5 lan¸camentos? b) Qual a probabilidade que a mesma face (qualquer uma) apare¸ca nos 5 lan¸camentos? 12. No cruzamento de ervilhas amarelas homozigotas (AA) com ervilhas verdes homozigotas (aa) ocorrem ervilhas amarelas heterozigotas (Aa). Se estas ervilhas forem cruzadas entre si, ocorrem ervilhas amarelas e verdes, na propor¸c˜ ao de três para uma. Suponha que foram pegas, ao acaso, três ervilhas resultantes do cruzamento de ervilhas amarelas heterozigotas. Qual a probabilidade de as três serem verdes? 13. No cruzamento de pais hemof´ılicos (aa) com pais não hemof´ılicos (AA) ocorrem filhos não hemof´ılicos (Aa). Se estes filhos forem cruzados com outros filhos (Aa), ocorrem netos hemof´ılicos e não hemof´ılicos. Suponha que foram pegos, ao acaso, três netos resultantes destes cruzamentos. Qual a probabilidade de: (nota: os hemof´ılicos s˜ ao do tipo aa) a) os três serem hemof´ılicos b) os três serem n˜ ao hemof´ılicos c) o primeiro ser hemof´ılico e os outros dois não d) nenhum ser hemof´ılico. 1 14. A probabilidade de que um certo aluno resolva um problema é P (A) = a de que outro aluno resolva 2 1 1 é P (B) = e de que um terceiro resolva é P (C) = . Supondo independência, qual é a probabilidade 3 4 de que: a) os três resolvam o problema; b) ao menos um resolva o problema; c) o primeiro aluno resolva e os demais n˜ ao. 15. Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar s˜ ao indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98. a) Qual é a probabilidade de que um pacote não seja indenizado? b) Se o produtor vender 1.000 pacotes, em quantos pacotes se espera indenizar? 7 7.1

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Vari´ avel aleat´ oria

Uma vari´ avel aleat´ oria (va) é uma variável qualquer que associa a cada evento do espa¸co amostral um n´ umero real (ou uma série de n´ umeros). Como cada evento de um espa¸co amostral está associado a uma probabilidade, cada um dos poss´ıveis valores da variável aleatória também estará. O conjunto de valores que pode assumir uma variável aleatória é denominada dom´ınio da vari´ avel aleat´ oria. As vari´ aveis aleat´ o rias serão representadas por letras mai´ usculas: X, Y, Z e os valores  x1 , x2 , x3 , . . . y1 , y2 , y3 , . . . que assumem por letras min´ usculas:  z1 , z2 , z3 , . . . Alguns s´ımbolos ser˜ ao usados para representar a probabilidade de uma variável aleatória: UNIFAL-MG/Alfenas

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• P (X = xi ) ou simplesmente P (X = x) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma o valor x; • P (X ≤ x) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor menor ou igual a x; • P (xi ≤ X ≤ xj ) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor maior ou igual a xi e menor ou igual a xj ; • P (X ≥ x) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor maior ou igual a x; • P (X > x) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor maior a x; • P (X < x) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor menor a x; • P (xi < X < xj ) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor maior do que xi e menor do que xj . Nota: por conven¸c˜ ao as vari´ aveis aleatórias são sempre quantitativas mesmo referindo-se a atributos ou categorias (vari´ aveis qualitativas). Exemplo: X = n´ıvel de escolaridade: nenhum, primário, secund´ ario, superior, usa-se X = 0, 1, 2, 3, respectivamente. Sendo quantitativas elas podem ser discretas ou cont´ınuas. Exemplo 1: Considere um experimento em que consiste em extrair duas bolas sem reposi¸cão de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 vermelhas. O espa¸co amostral13 relacionado a este experimento é: Ω = {(B, B), (B, V ), (V, B), (V, V )} Em que: B representa a bola branca e V representa a bola vermelha. Se considerar que o interesse agora fosse o n´ umero de bolas vermelhas obtidas, sem reposi¸cão, nesse experimento, pode-se ent˜ ao relacionar uma variável aleatória X: n´ umero de bolas vermelhas obtidas nas duas extra¸c˜ oes, sem reposi¸c˜ ao aos eventos do espa¸co amostral deste experimento. Assim: X = {0, 1, 2} e os valores entre as chaves representam o dom´ınio da variável X, quais sejam: • 0 bola vermelha - (B, B); • 1 bola vermelha - (B, V ) ou (V, B); • 2 bolas vermelhas - (V, V ). Exemplo 2: Um pesquisador selecionou três mães. Um experimento consiste em observar o sexo do bebê. Utilizando f para representar o sexo feminino e m para representar o sexo masculino, tem-se o espa¸co amostral: Ω = {(m, m, m), (f, m, m), (m, f, m), (m, m, f ), (f, f, m), (f, m, f ), (m, f, f ), (f, f, f )} Considerando a vari´ avel Y : n´ umero de bebês do sexo feminino, então Y = {0, 1, 2, 3}, sendo que os valores entre chaves representam o dom´ınio da variável Y . Tais valores significam que podem nascer 0, 1, 2 ou 3 bebês do sexo feminino, ou seja: • 0 bebê do sexo feminino - (m, m, m); • 1 bebê do sexo feminino - (f, m, m) ou (m, f, m) ou (m, m, f ); • 2 bebês do sexo feminino - (f, f, m) ou (f, m, f ) ou (m, f, f ); • 3 bebês do sexo feminino - (f, f, f ). 7.2

Distribui¸ c˜ ao de probabilidade ou fun¸ c˜ ao de probabilidade

Uma distribui¸c˜ ao de probabilidade é uma fun¸cão que relaciona os valores que assume uma vari´ avel aleat´ oria discreta e suas respectivas probabilidades de ocorrência. f : x → P (X = x) 13

Este espa¸co amostral n˜ ao ´ e equiprov´ avel, isto ´ e, a probabilidade de ocorrˆ encia de ao menos um evento ´ e diferente dos demais.

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Estat´ıstica B´ asica

A distribui¸c˜ ao de probabilidade pode ser representada na forma de uma tabela, na forma de uma fun¸c˜ ao (f´ ormula matem´ atica), ou na forma de um gráfico. E está relacionada a uma variável aleatória discreta. Exemplo 1: No exemplo 1 anterior tinha-se como variável aleatória X: n´ umero de bolas vermelhas obtidas na duas extra¸c˜ oes, sem reposi¸c˜ ao e, portanto, X = {0, 1, 2} representava o n´ umero de bolas vermelhas que podem ser observadas nas duas extra¸cões. As probabilidades de ocorrência dos eventos podem ser calculadas pela regra do produto, da´ı: • P (B, B) =

1 2 1 · = ; 5 4 10

• P (B, V ) =

2 3 3 · = ; 5 4 10

• P (V, B) =

3 2 3 · = ; 5 4 10

• P (V, V ) =

3 3 2 · = . 5 4 10

Portanto, as probabilidades relacionadas ` a vari´avel X s˜ao: • P (X = 0) =

1 ; 10

• P (X = 1) =

3 3 6 3 + = = ; 10 10 10 5

• P (X = 2) =

3 . 10

A distribui¸c˜ ao de probabilidade da vari´avel X ´e apresentada a seguir: X

0 1 10

P (X = x)

1 3 5

2 3 10

Exemplo 2: Considerando o exemplo 2 anterior, na variável Y : n´ umero de bebês do sexo feminino, observou-se que Y = {0, 1, 2, 3}. Naquele espa¸co amostral a cada evento a probabilidade de 1 ocorrência era igual a . Entranto, é necessário observar que para Y = 0 há um evento, para Y = 1 h´ a 8 três eventos, para Y = 2 h´ a três eventos e para Y = 3 há um evento. Considerando isto, a distribui¸c˜ ao de probabilidade da vari´ avel aleat´ oria Y é: Y P (Y = y) 7.2.1

0 1 8

1 3 8

2 3 8

3 1 8

Propriedades

1. P (X = xi ) ≥ 0; 2.

n X

P (X = xi ) = 1

i=1

7.2.2

M´ edia e variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria discreta n X 1. M´edia de uma v. a. discreta X: µX = xi · P (X = xi ); i=1

2 2. Variˆ ancia de uma v. a. discreta X: σX =

n X 2 xi · P (X = xi ) − µ2X . i=1

Exemplo 1: Calcular a média e a variância da variável aleatória Y : n´ umero de bebês do sexo feminino. UNIFAL-MG/Alfenas

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Estat´ıstica B´ asica

Solu¸c˜ ao:

µY

n X

yi · P (Y = yi ) = y1 · P (Y = y1 ) + y2 · P (Y = y2 ) + y3 · P (Y = y3 )

i=1

0 · 1/8 + 1 · 3/8 + 2 · 3/8 + 3 · 1/8 = 3/2 = 1,5 bebˆes do sexo feminino n X 2 = yi · P (Y = yi ) − µ2Y =

σY2

i=1

= y12 · P (Y = y1 ) + y22 · P (Y = y2 ) + y32 · P (Y = y3 ) − µ2Y = 02 · 1/8 + 12 · 3/8 + 22 · 3/8 + 32 · 1/8 − (1,5)2 = 3/4 = 0,75 (bebˆes do sexo feminino)2 7.2.3

Distribui¸ c˜ ao binomial ´ E a distribui¸c˜ ao de probabilidade relacionada aos ensaios de Bernoulli. Lembre-se que para ser um ensaio de Bernoulli um experimento tem que possuir as seguintes caracter´ısticas: • Acontecer n repeti¸c˜ oes independentes; • Apresentar apenas dois resultados poss´ıveis (sucesso e fracasso) em cada repeti¸cão. Por se tratar de uma distribui¸c˜ ao de probabilidade teórica pode-se representá-la por meio de uma tabela e, o mais comum, por meio de uma fórmula denominada fun¸cão de probabilidade: P (X = x) = Cn,x · px · q n−x Em que: • x = 0, 1, . . . , n; • Cn,x =

n! ; x!(n − x)!

• n: é o n´ umero de repeti¸c˜ oes no experimento; • x: é o n´ umero de sucessos de interesse; • p: é a probabilidade de ocorrer um sucesso; • q: é a probabilidade de ocorrer o fracasso - q = 1 − p. A vari´ avel aleat´ oria X: n´ umero de sucessos em n repeti¸c˜ oes de um experimento de Bernoulli possui distribui¸c˜ ao binomial, cuja nota¸c˜ ao é X ∼ Bin(n, p) e apresenta: • média: µX = n · p; 2 • variˆ ancia: σX = n · p · q.

Exemplo 1: Considere a vari´ avel X: n´ umero de meninas nascidas em 3 nascimentos. Assim, X ∼ Bin(n = 3, p = 1/2). Calcule a probabilidade de nascer, pelo menos 1 mulher. Solu¸c˜ ao: P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) Por outro lado, P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) P (X ≥ 1) = 1 − C3,0 · 0,50 · (0,5)3 P (X ≥ 1) = 1 − 1/8 = 7/8 = 0,875. Exemplo 2: Sabendo que a probabilidade de um estudante obter aprova¸cão em certo teste de estat´ıstica é igual a 0,80, considerando um grupo de 5 estudantes, determine a probabilidade de que: a) Nenhum seja aprovado. b) Apenas um seja aprovado. c) Ao menos um seja aprovado. d) No m´ aximo dois sejam aprovados. e) O n´ umero médio e a variˆ ancia dos aprovados. Solu¸c˜ ao: 62

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Estat´ıstica B´ asica

Considerando a vari´ avel X: n´ umero de estudantes aprovados em certo teste de estat´ıstica, ent˜ao X ∼ Bin(n = 5, p = 0,80). Assim, a) P (X = 0) = C5,0 · 0,800 · (0,20)5 = 0,00032 = 0,032% b) P (X = 1) = C5,1 · 0,801 · (0,20)4 = 0,0064 = 0,64% c) P (X ≥ 1)

d) P (X = 2)

1 − P (X < 1)

1 − P (X = 0)

1 − 0,00032 = 0,9997 = 99,97%

= C5,2 · 0,802 · (0,20)3 = 0,0512 = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =

0,00032 + 0,0064 + 0,0512 = 0,0579 = 5,79%

e) M´edia: µX = n · p = 5 · 0,80 = 4 aprovados 2 Variˆ ancia: σX = n · p · q = 5 · 0,80 · 0,20 = 0,8 aprovados2 . 7.2.4

Distribui¸ c˜ ao Poisson

Trata-se do caso limite da distribui¸cão binomial quando o n´ umero de provas n tende para o infinito (muito grande) e a probabilidade p de ocorrer um sucesso em cada prova é vizinha de zero (muito pr´ oxima de zero). Em essência, a distribui¸cão de Poisson é a distribui¸cão binomial adequada para eventos independentes e raros, ocorrendo em um per´ıodo praticamente infinito de intervalos. Em geral a variável aleat´ oria é n´ umero de elementos (ou indiv´ıduos) que ocorrem em um intervalo de tempo, ou em uma superf´ıcie, ou em volume determinado. A fun¸c˜ ao de probabilidade para uma variável X ∼ P oisson(λ) é: P (X = x) =

λx · e−λ , x = 0,1, · · · x!

Em que: • λ: é n´ umero médio de elementos que ocorrem no intervalo (ou superf´ıcie ou volume); • e = 2,718281 . . . (n´ umero neperiano); • x: n´ umero de ocorrência ou sucessos. A vari´ avel aleat´ oria X: n´ umero de elementos (ou indiv´ıduos) que ocorrem em um intervalo de tempo, ou em uma superf´ıcie, ou em volume determinado possui: • média: µX = n · p = λ; 2 = λ. • variˆ ancia: σX

Exemplo 1: Em um determinado pa´ıs, o n´ umero médio mensal de suic´ıdios é 2,75. Assumindo que o n´ umero de suic´ıdios segue uma distribui¸cão de Poisson, determine: a) Qual é a probabilidade de que nenhum suic´ıdio seja registrado durante determinado mês? b) Qual é a probabilidade de que no m´ aximo quatro suic´ıdios sejam registrados? c) Qual é a probabilidade de que seis ou mais suic´ıdios sejam registrados? Solu¸c˜ ao: Considerando a vari´ avel X: n´ umero de suic´ıdios em um determinado pa´ıs, então, X ∼ P oisson(λ = 2,75). Assim: 2,750 · e−2,75 = 0,0639 a) P (X = 0) = 0! b) P (X ≤ 4) =

4 X 2,75x · e−2,75 x=0 0

x! −2,75

2,75 · e 2,751 · e−2,75 2,752 · e−2,75 2,753 · e−2,75 2,754 · e−2,75 + + + + 0! 1! 2! 3! 4! P (X ≤ 4) = 00639 + 0,1758 + 0,2417 + 0,2216 + 0,1523 = 0,8554

P (X ≤ 4) =

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Estat´ıstica B´ asica

c) P (X ≥ 6) = 1 −

5 X 2,75x · e−2,75

x! x=0 P (X ≥ 6) = 1 − [P (X ≤ 4) + P (X = 5)] 2,755 · e−2,75 P (X ≥ 6) = 1 − 0,8554 + 5! P (X ≥ 6) = 1 − [0,8554 + 0,0838] = 1 − 0,9392 = 0,0608 Exemplo 2: Seja X uma vari´ avel aleatória que representa o n´ umero de bebês em um grupo de 2.000 que morre antes de atingir o primeiro aniversário. Nos EUA, esta probabilidade é 0,0085. a) Qual é o n´ umero médio de bebês que morre em um grupo desse tamanho? b) Qual a probabilidade de que no m´ aximo cinco bebês dentre 2.000 morram em seus primeiros anos de vida? Solu¸c˜ ao: a) O n´ umero médio é representado por λ = µ = n · p = 2.000 × 0,0085 = 17 b) P (X ≤ 5) =

5 X 17x · e−17 x=0 0 −17

17 · e 171 · e−17 172 · e−17 173 · e−17 174 · e−17 175 · e−17 + + + + + 0! 1! 2! 3! 4! 5! P (X ≤ 5) = 4,1 × 10−08 + 7,0 × 10−07 + 5,9 × 10−06 + 3,3 × 10−05 + 0,0001 + 0,0004 = 0,0006 P (X ≤ 5) =

7.2.5

Exerc´ıcios

0) Determine para cada experimento a variável de interesse e os valores que a variável pode assumir: a) Uma urna contém 12 bolas, sendo 3 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Retira-se duas bolas aleatoriamente desta urna sem reposi¸c˜ ao. Solu¸c˜ ao: Uma vari´ avel de interesse pode ser X: n´ umero de bolas vermelhas extra´ıdas sem reposi¸c˜ ao de uma urna contendo 12 bolas Os valores que a vari´ avel X assume: 0, 1, 2, ou seja, X = {0, 1, 2}. b) Uma urna contém 12 bolas, sendo 3 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Retira-se três bolas aleatoriamente desta urna sem reposi¸c˜ ao. c) Uma urna contém 12 bolas, sendo 3 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Retira-se duas bolas aleatoriamente desta urna com reposi¸c˜ ao. d) Em uma maternidade h´ a 4 m˜ aes em trabalho de parto e observa-se o sexo dos nascidos. 1) Considerando três m˜ aes em trabalho de parto e que um pesquisador não conhece o sexo dos bebês: a) Determinar a distribui¸c˜ ao de probabilidades do n´ umero X de meninos nascidos. b) P (1 ≤ X ≤ 3). c) P (X > 2). n X d) Mostre que P (X = x) = 1. x=0

2) Numa determinada cidade a probabilidade de nascer um menino, P (M ), é igual a duas vezes a probabilidade de nascer uma menina, P (F ). Considerando cinco mães grávidas nesta cidade: a) Determinar a distribui¸c˜ ao de probabilidades do n´ umero X de meninas nascidas. b) P (1 ≤ X ≤ 3). c) P (X > 2). n X d) Mostre que P (X = x) = 1. x=0

3) Determinar a probabilidade de, em dois lances de um par de dados honestos,obter-se um total de 11 pontos: a) uma vez; b) duas vezes. (R: a)17/162; b)1/324.) 4) Suponha que haja em média 2 suic´ıdios por ano numa popula¸cão de 50 000. Em uma cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: a) 0; b) 1; c) 2; d) 2 ou mais suic´ıdios. (R: a)0,0183; b)0,0732; c)0,1464; d)0,9085.) 5) O n´ umero de casos de tétano registrado nos Estados Unidos durante um u ńico mês, em 1989, tem uma distribui¸c˜ ao de Poisson com parˆ ametro λ = 4,5. a) Qual é a probabilidade de que exatamente um caso de tétano seja registrado durante um determinado mês? b) Qual o n´ umero médio de casos de tétano registrado no per´ıodo de um mês? Qual é o desvio padrão? 64

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6) Num teste de 5 quest˜ oes do tipo “classificar a senten¸ca como verdadeira ou falsa” qual a probabilidade de um candidato que responde a todas ao acaso: a) acertar somente a primeira questão? b) acertar somente uma das quest˜ oes? c) acertar todas as questões? 7) Um vendedor de ap´ olice de seguros vende a 5 homens, todos da mesma idade e de boa sa´ ude. De acordo com as tabelas atuariais, a probabilidade de um homem, dessa idade particular, estar vivo daqui a 30 anos é de 2/3. Determinar a probabilidade de estarem ainda vivos daqui a 30 anos: a) todos os 5 homens; b) apenas 2; c) pelo menos 1 homem. (R: a)32/243; b)40/243; c)242/243.) 8) A média do n´ umero de acidentes por mês em certa interse¸cão é três. Qual é a probabilidade de que, em qualquer mês dado, (a) quatro acidentes ocorram nessa interse¸cão? e (b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro acidentes ocorram em um dado mês na interse¸cão? 9) Suponha que a média do n´ umero de peixes que rompem uma barreira seja de 5 por minuto. Qual é a probabilidade de que 10 peixes ultrapassam a barreira durante o primeiro minuto? 10) Uma prova é composta por 10 testes de m´ ultipla escolha. Cada teste contém 5 alternativas, das quais uma, e apenas uma, é correta. Qual a probabilidade de que um candidato, respondendo todas ao acaso, acerte apenas uma quest˜ ao? 11) Seja X uma vari´ avel aleat´ oria que representa o n´ umero de bebês em um grupo de 2000 que morre antes de atingir o primeiro anivers´ ario. Nos Estados Unidos, a probabilidade de que uma crian¸ca morra durante o primeiro ano de vida é 0,0085. a) Qual é o n´ umero médio de bebês que morre em um grupo desse tamanho? b) Qual a probabilidade de que no m´ aximo cinco bebês dentre 2000 morram em seus primeiros anos de vida? c) Qual a probabilidade de que entre 15 e 20 bebês morram em seus primeiros anos de vida? 12) Ana vai de ˆ onibus onde trabalha todos os dias. Ela sabe que, em média, passam 3 ônibus para l´ a no intervalo de meia hora. Hoje é dia de uma cirurgia e ela não pode se atrasar. Sabendo que a variável X é o n´ umero de ˆ onibus que vai para o seu trabalho no intervalo de meia hora e que segue distribui¸c˜ ao Poisson, encontre a probabilidade: a) de Ana n˜ ao chegar a tempo. b) de Ana chegar a tempo. 13) A s´ındrome de Aspen afeta 1 em cada 1.000 indiv´ıduos. Numa popula¸cão de 2.500 indiv´ıduos, determine a probabilidade de encontrar: a) menos de 2 indiv´ıduos com a s´ındrome. b) mais de um indiv´ıduo com a s´ındrome. 14) Suponha que foram selecionados cinco indiv´ıduos da popula¸cão de pacientes picados com agulha infectada com hepatite B. Sabendo que a probabilidade de que um indiv´ıduo desenvolva a doen¸ca é 30%, calcule: a) A probabilidade de que pelo menos três indiv´ıduos desenvolvam a hepatite B. b) A probabilidade de que no m´ aximo um paciente desenvolva a doen¸ca. 15) A probabilidade de Jo˜ aozinho ganhar um jogo de xadrez contra Mariazinha é 1/3. Qual a probabilidade de Jo˜ aozinho ganhar ao menos 1 jogo em um total de 3 jogos? 16) Quais s˜ ao as probabilidades de obterem-se 9 pontos, em seis lances de um par de dados: a) duas vezes; b) pelo menos 2 vezes. (R: a)61.440/531.441; b)72.689/531.441.) 7.3

Distribui¸ c˜ ao normal

Na se¸c˜ ao sobre probabilidade pˆ ode-se notar que os experimentos estudados estão relacionados ` vari´ a aveis qualitativas e vari´ aveis quantitativas discretas. Por exemplo, no lan¸camento de um dado os valores observados s˜ ao discretos; no lan¸camento de uma moeda os resultados observados são qualitativos nominais (cara ou coroa); na extra¸c˜ ao de bolas de uma urna, a variável é qualitativa nominal e assim por diante. Nas situa¸c˜ oes anteriores bastava associar o n´ umero de elementos de interesse com o n´ umero de elementos do espa¸co amostral para encontrar a probabilidade procurada. Por outro lado, quando a caracter´ıstica a ser observada (evento de interesse) se tratar de uma variável cont´ınua (dados antropométricos, por exemplo) para calcular as probabilidades desejadas é necessário adotar um modelo matemático para estimar as solu¸c˜ oes. A curva normal, também denominada de distribui¸cão normal, é uma fun¸cão matemática muito utilizada porque a maioria dos experimentos pode ser modelado por esta fun¸cão. A sua fórmula é dada por: −(x−µ)2 1 − ∞ < x < +∞ f (x) = √ e 2σ2 , σ 2π UNIFAL-MG/Alfenas

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Em que: • µ representa a média da distribui¸c˜ ao; • σ representa o desvio padr˜ ao da distribui¸cão; • π e e s˜ ao constantes irracionais, sendo π = 3,1415 . . . e e = 2,7182 . . .; • x é o valor assumido pela vari´ avel X. Na Figura 22 est˜ ao representadas curvas normais com diferentes valores de µ e σ nas quais pode-se observar: (a) curvas normais com diferentes valores de µ e valores iguais de σ; (b) curvas normais com mesmo valor de µ e diferentes valores de σ e (c) diferentes µ e σ.

FIGURA 22 Distribui¸c˜ oes normais com diferentes valores para µ e σ 7.3.1

C´ alculo de probabilidades

Por se tratar de uma distribui¸c˜ ao densidade de probabilidade, ou seja, de uma distribui¸c˜ ao de probabilidade de uma vari´ avel cont´ınua, o cálculo das probabilidades será realizado calculando-se a ´ area compreendida entre intervalos de valores. A área é a probabilidade e altura é a densidade de probabilidade. Pelo c´ alculo diferencial e integral a área sob uma curva limitada por dois valores a e b, sendo a < b , de x é determinada pela integral definida por estes valores: Z

f (x) dx a

Por se tratar de ´ areas, n˜ ao h´ a sentido calcular a área formada por f (a), ou seja x = a, pois neste ponto forma-se apenas uma semirreta de x = a até f (x), por defini¸cão uma semirreta não tem espessura, s´ o comprimento, logo P (X = a) = 0. Considerando a e b, sendo a < b , valores de uma variável X, tem-se: Z b • P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = f (x) dx representa a a

probabilidade de x ser um valor entre a e b, ou a ´area sob a curva limitada por a e b;

FIGURA 23 Exemplo de P (a < X < b) +∞

Z • P (X ≥ a) = P (X > a) =

f (x) dx representa a probabilidade de x ser um valor maior do que a

a, ou a ´ area sob a curva limitada por a e +∞; Z a • P (X ≤ a) = P (x < a) = f (x) dx representa a probabilidade de x ser um valor menor do a, −∞

ou a ´ area sob a curva limitada por −∞ e a. 66

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7.3.2

Condi¸ c˜ oes para que uma fun¸ c˜ ao seja fun¸ c˜ ao densidade de probabilidade

1. f (x) ≥ 0; Z +∞ 2. f (x) dx = 1. −∞

7.3.3

A distribui¸ c˜ ao normal: informa¸ c˜ oes adicionais

A distribui¸c˜ ao normal é a mais importante distribui¸cão de probabilidade cont´ınua. Quando uma vari´ avel se distribui segundo uma distribui¸cão normal usa-se expressar em s´ımbolos como X ∼ N (µ, σ), cuja leitura é: X segue distribui¸c˜ ao normal com média µ e desvio padrão σ. A distribui¸c˜ ao normal apresenta algumas caracter´ısticas (MUITO IMPORTANTE ISSO!) que devem ser lembradas constantemente: • a curva possui a forma de sino;

• ´e uma curva sim´etrica em µ;

FIGURA 24 Curva normal

• a´ area sob a curva ´e igual a 1. 7.3.4

C´ alculo de probabilidades de vari´ aveis normais

Suponha que X: altura de estudantes de uma universidade segue distribui¸c˜ ao normal com m´edia 170 cm e desvio padr˜ ao 10 cm. Se selecionar um aluno ao acaso qual ´e a probabilidade de que ele tenha mais de 190 cm? Como X ∼ N (µ = 170, σ = 10) e observando todo o conte´ udo anterior, deduz-se que a probabilidade pode ser representada Z ∞ e calculada Z ∞ por: −(x−µ)2 1 √ e 2σ2 dx P (X > 190) = f (x)dx = 190 190 σ 2π Graficamente corresponde a ´ area representada na Figura 25. Como este c´ alculo dif´ıcil de ser realizado manualmente, novos conceitos ser˜ ao necess´ arios.

FIGURA 25 P (X > 190)

7.3.5

Distribui¸ c˜ ao normal padronizada ou distribui¸ c˜ ao normal padr˜ ao ´ E uma distribui¸c˜ ao de probabilidade que apresenta as mesmas caracter´ısticas de uma distribui¸c˜ ao normal qualquer, sendo a caracter´ıstica mais importante a de apresentar média µ = 0 e desvio padr˜ ao σ = 1. Todas as distribui¸c˜ oes de probabilidades normais com média µ e desvio padrão σ quaisquer podem ser transformadas em uma distribui¸c˜ ao normal padronizada. A vantagem é que com isto a probabilidade pode ser consultada em uma tabela ao invés de se ter que calcular manualmente. A transforma¸c˜ ao da vari´ avel X ∼ N (µ, σ), em uma variável Z, Z ∼ N (µ = 0, σ = 1), sendo Z denominada de vari´ avel normal padronizada com média zero e desvio padrão 1, dada por: z=

x−µ ; σ

Z ∼ N (0,1)

Sendo: • z: valor da vari´ avel Z; • x: valor da vari´ avel X a ser padronizado; • µ: m´edia da vari´ avel normal X; UNIFAL-MG/Alfenas

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• σ: desvio padr˜ ao da vari´ avel X. Voltando ao problema de calcular a probabilidade de P (X > 190), sendo X ∼ N (µ = 170, σ = 10), basta realizar o c´ alculo: z=

190 − 170 x−µ = =2 σ 10

Tem-se que P (X > 190) = P (Z > 2) e da´ı a área correspondente na distribui¸c˜ ao normal padronizada é apresentada pela Figura 26: Esta ´ area, ou melhor, probabilidade, pode ser encontrada na tabela que relaciona os valores da distribui¸c˜ ao Z, normal padronizada, com os respectivos valores FIGURA 26 P (Z > 2) das probabilidades Z > z, ou seja P (Z > z). Diferentes tabelas para a distribui¸c˜ ao normal padronizada podem ser encontradas na literatura, mas todas apresentam mesmos valores de probabilidades, diferindo somente na forma de encontrar uma determinada probabilidade (´ area). Utilizando uma tabela que apresenta P (Z > z), ou seja, a probabilidade acumulada à direita de Z = z, ent˜ ao P (Z > 2) pode ser encontrada facilmente como ilustra a Figura 27:

FIGURA 27 Valor tabelado para P (Z > 2): ´area sob a curva para Z > 2 Portanto, P (Z > 2) = 0,0228 ou 2,28% Exemplo 1: Continuando com os mesmos dados: X ∼ N (170,10), obtenha: P (154 < X < 171). Solu¸c˜ ao: Primeiramente ´e necess´ ario padronizar os valores da vari´ avel X: 171 − 170 154 − 170 z1 = = −1,6 e z2 = = 0,1 10 10 Logo, P (154 < X < 171) = P (−1,6 < Z < 0,1). Portanto, P (−1,6 < Z < 0,1) = 0,5 − P (Z < −1,6) + 0,5 − P (Z > 0,1) P (−1,6 < Z < 0,1) = 1 − [P (Z > 1,6) + P (Z > 0,1)] P (−1,6 < Z < 0,1) = 1 − [0,0548 + 0,4602] 68

FIGURA 28 P (−1,6 < Z < 0,1)

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P (−1,6 < Z < 0,1) = 0,4850 Se havia 80 alunos, qual o n´ umero esperado de alunos com altura entre 154 cm e 171 cm? Solu¸c˜ ao: Para saber qual o n´ umero esperado de alunos com altura entre 154 cm e 171 cm basta fazer: 80 × 0,4850 = 38,8 alunos. Exemplo 2: Suponha que o consumo diário de cacha¸ca pelos alcoólatras de certa cidade seja normalmente distribu´ıdo com média 320 mL e desvio padrão 50 mL. Selecionando ao acaso um alcoólatra desta cidade, determine a probabilidade de que ele tenha consumo diário: a) maior que 330 mL: P (X > 330). Solu¸c˜ ao: tem-se X: consumo di´ ario de cacha¸ca pelos alco´ olatras de certa cidade, X ∼ N (320; 50). 330 − 320 Assim, z = = 0,2 50 Logo, P (X > 330) = P (Z > 0,2) Portanto, P (Z > 0,2) = 0,4207 ou 42,07%.

FIGURA 29 P (Z > 0,2) b) inferior a 370 mL: P (X < 370) 370 − 320 Solu¸c˜ ao: z = = 1,0 50 Assim: P (X < 370) = P (Z < 1,0) Portanto, P (Z < 1,0) = 1 − P (Z > 1) = 1 − 0,1587 = 0,8413 ou 84,13%

FIGURA 30 P (Z < 1) c) entre 240 e 330 mL: P (240 < X < 330). 240 − 320 330 − 320 Solu¸c˜ ao: z1 = = −1,6 e z2 = = 0,2 50 50 Assim: P (240 < X < 330) = P (−1,6 < Z < 0,2) P (−1,6 < Z < 0,2) = 0,5 − P (Z < −1,6) + 0,5 − P (Z > 0,2) P (−1,6 < Z < 0,2) = 1 − [P (Z > 1,6) + P (Z > 0,2)] P (−1,6 < Z < 0,2) = 1 − [0,0548 + 0,4207] = 0,5245 ou 52,45% FIGURA 31 P (−1,6 < Z < 0,2)

d) entre 320 e 380 mL: P (320 < X < 380) 320 − 320 380 − 320 = 0 e z2 = = 1,2 Solu¸c˜ ao: z1 = 50 50 Assim: P (320 < X < 380) = P (0 < Z < 1,2) Logo, P (0 < Z < 1,2) = [P (Z > 0) − P (Z > 1,2)] P (0 < Z < 1,2) = [0,50 − 0,1151] = 0,3849 ou 38,49%

7.3.6

Exerc´ıcios

FIGURA 32 P (0 < Z < 1,2)

0) Observando a vari´ avel relacione assinalando com um “X” a sua classifica¸c˜ao. UNIFAL-MG/Alfenas

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Classifica¸c˜ao Qualitativa Quantitativa Nominal Ordinal Discreta Cont´ınua

Vari´ avel Cor da pele Idade em anos Grau de desnutri¸c˜ ao Peso de recém-nascidos N´ umero de leitos no hospital Classe social (A, B, C, ...) Sexo N´ umero de casos de cˆ ancer de mama N´ umero de homens com enfisema pulmonar Tipagem sangu´ınea Nome de vacinas N´ umero de partos num determinado munic´ıpio Altura de um grupo de pessoas Temperatura corporal Distˆ ancia percorrida por um maratonista N´ umero de bactérias numa placa de petri N´ umero de c´ aries Circunferência cef´ alica

1) Uma empresa usa anualmente milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acesas continuamente, dia e noite. A vida de uma lˆ ampada pode ser considerada uma variável aleatória normal, com média de 50 dias e desvio padr˜ ao de 15 dias. Em 1o de janeiro, a companhia instalou 8000 lâmpadas novas. Aproximadamente quantas dever˜ ao ser substitu´ıdas até 1o de fevereiro? 2) Suponha que X seja distribu´ıda, normalmente, com uma média de 10 e um desvio padrão de 2. Determine o seguinte: a) P (X < 13) b) P (X > 9) c) P (6 < X < 14) d) P (2 < X < 4) 3) Dentre as mulheres dos Estados Unidos de 18 a 74 anos, a pressão sangu´ınea diastólica é normalmente distribu´ıda com média µ = 77 mm Hg e desvio padrão σ = 11,6 mm Hg. a) Qual é a probabilidade de que uma mulher selecionada aleatoriamente tenha pressão sangu´ınea diast´ olica menor que 60 mm Hg? b) Qual a probabilidade de que ela tenha pressão sangu´ınea diastólica maior do que 90 mm Hg? c) Qual a probabilidade de que ela tenha pressão sangu´ınea diastólica entre 60 e 90 mm Hg? 4) Suponha que o tempo de coagula¸c˜ ao em seres humanos seja uma variável aleatória com distribui¸c˜ ao normal, sendo a média igual a 7 minutos e desvio padrão 1 minuto. Em um exame hematológico qualquer, determine a probabilidade de que um indiv´ıduo apresente tempo de coagula¸cão: a) entre 8 e 9 minutos. b) mais de 7 minutos e 45 segundos. 5) A quantidade de ´ agua destilada produzida por certa máquina tem distribui¸cão normal com valor médio de 64 on¸cas e desvio padr˜ ao de 0,78 on¸ca. Qual o volume x do recipiente que assegurará que ocorra transbordamento em apenas 0,5% das vezes? Ou seja, qual o valor de x tal que P (X > x) = 0,005? 6) A vida u ´til de centr´ıfugas é de 1,5 ano, com desvio padrão de 0,3 ano. Se os defeitos distribuemse normalmente, que percentagem das centr´ıfugas vendidas necessitará de conserto antes de expirar o per´ıodo de garantia de um ano, ou seja P (X < 1)? 7) Considerando Z uma vari´ avel aleat´ oria normal padronizada, ou seja Z ∼ (µ = 0, σ = 1). Fa¸ca ilustra¸c˜ oes e calcule as probabilidades: a) P (0 < Z < 1) b) P (Z < 1,37) c) P (Z > −1,23) 8) Determine o valor de z nas situa¸c˜ oes seguintes: a) P (Z > z) = 0,004 b) P (Z > z) = 0,025 c) P (Z > z) = 0,03 d) P (Z > z) = 0,04 e) P (Z > z) = 0,05 f) P (Z > z) = 0,15 70

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Estat´ıstica B´ asica

9) Determinar a ´ area limitada pela curva normal em cada um dos casos. a) Entre z = 0 e z = 1,2 b) Entre z = −0,68 e z = 0 c) Entre z = −0,46 e z = 2,21 d) Entre z = 0,81 e z = 1,94 ` esquerda de z = −0,6 e) A ` direita de z = −1,28 f) A ` direita de z = 2,05 e ` g) A a esquerda de z = −1,44 10) Determinar os valores de z, os quais se referem às áreas limitadas pela curva normal, em cada um dos casos: a) a ´ area entre 0 e z é 0,3770; b) a área à esquerda de z é 0,8621; c) a área entre −1,5 e z é 0,0217. (Resp: a)1,16; b)1,09; c)−1,35) 11) Considere uma vari´ avel aleat´ oria X ∼ N (40,15). Encontre as probabilidades: a) P (X < 43) b) P (X > 46) c) P (38 ≤ X ≤ 42) d) P (X < 30) e) Qual é o valor de X que tem 80% de ´ area acima dele? 8 8.1

˜ TEORIA DA ESTIMAC ¸ AO

Introdu¸ c˜ ao

Ao estudar técnicas de amostragem foi poss´ıvel notar que de uma popula¸cão de tamanho N pode-se obter amostras de tamanho n com diferentes elementos. Exemplo: Considere uma popula¸cão composta por N = 6 indiv´ıduos: A, B, C, D, E e F cujos valores da vari´ avel de interesse X s˜ ao: 2, 3, 6, 8, 11 e 18, respectivamente. Suponha que serão realizados 2 sorteios de tamanho n = 2 por diferentes pesquisadores. Um pesquisador poderá sortear os indiv´ıduos A e E, cujos valores s˜ ao: 2 e 11. O outro poderá sortear C e E, com valores 6 e 11. Como pˆ ode ser observado, mesmo que as amostras possuam o mesmo tamanho, n = 2, os elementos de uma amostra n˜ ao s˜ ao necessariamente iguais aos da outra amostra, de tal maneira que as estimativas da média, variˆ ancia, propor¸c˜ ao etc obtidas em cada uma das amostras podem ser diferentes entre elas e em rela¸c˜ ao aos parˆ ametros da popula¸cão. Mas por que trabalhar com amostras? O principal objetivo é extrair informa¸cões sobre os parˆ ametros desconhecidos da popula¸c˜ ao. Suponha, por exemplo, que se quer chegar a uma conclus˜ ao sobre a propor¸c˜ ao de eleitores que votar˜ ao em um candidato para a presidência. Seria inadequado e imposs´ıvel coletar informa¸c˜ oes de todos os eleitores para calcular o parâmetro p que representa a propor¸c˜ ao populacional; ao invés disso, uma amostra aleatória de eleitores é selecionada e a propor¸cão pˆ de eleitores que votar˜ ao no candidato é calculada; esse valor pˆ é usado para fazer uma inferência relacionada com a verdadeira propor¸c˜ ao p. 8.2

Distribui¸ c˜ ao de amostragem

Considerando todas as amostras poss´ıveis de tamanho n (com ou sem reposi¸cão) que podem ser extra´ıdas de uma popula¸c˜ ao de tamanho N , para cada uma destas amostras pode-se calcular a média, o desvio padr˜ ao, a propor¸c˜ ao etc, que ir´ a variar (ou não) de amostra para amostra. Desse modo, obtém-se uma distribui¸c˜ ao da grandeza que é denominada de distribui¸cão amostral ou distribui¸cão de amostragem. Se, por exemplo, a grandeza estat´ıstica particular adotada for a média da amostra, a distribui¸c˜ ao é denominada distribui¸c˜ ao amostral das médias. Por conseguinte, pode-se ter a distribui¸cão das variâncias, das propor¸c˜ oes etc. Dessas distribui¸c˜ oes amostrais, pode-se obter a média, a variância, a propor¸cão etc. Em consequência disso, pode-se falar em desvio padrão ou média da distribui¸cão amostral, seja ela das médias, ou das variˆ ancias, ou das propor¸c˜ oes etc. Mas qual é o objetivo de se obter a distribui¸cão de amostragem de uma popula¸cão? A distribui¸c˜ ao amostral faz a liga¸c˜ ao entre a estat´ıstica descritiva e a inferência estat´ıstica. Conhecendo-se a distribui¸c˜ ao amostral de um parˆ ametro (seja média, desvio padrão, propor¸cão etc) e usando a inferência estat´ıstica pode-se obter conclus˜ oes sobre o parâmetro populacional desconhecido usando as informa¸cões da amostra. A distribui¸c˜ ao amostral de uma estat´ıstica (média, desvio padrão, propor¸cão etc) é feita considerando-se todas as amostras poss´ıveis de tamanho n obtidas de uma popula¸cão e as estimativas da estaUNIFAL-MG/Alfenas

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˜ 8 TEORIA DA ESTIMAC ¸ AO

Estat´ıstica B´ asica

t´ıstica adotada. Portanto, s˜ ao v´ arias as distribui¸cões amostrais, sendo que serão abordadas apenas a das médias e a das propor¸c˜ oes. 8.2.1

Distribui¸ c˜ ao amostral das m´ edias

Considere uma popula¸c˜ ao composta por 3 indiv´ıduos: A, B e C cuja medida da vari´avel de interesse X apresenta os seguintes valores: 1, 2 e 3. a) Determine µ e σ 2 (parˆ ametros populacionais). N 3 X X xi xi 1+2+3 6 i=1 i=1 µ= = = = =2 N 3 3 3  1 σ = N 2

N X

N X  x2i −    i=1

!2  xi

i=1



  3  1 X   x2i − =   3   i=1

3 X

!2  xi

i=1

  1 62 2  14 − = =  3 3 3 

Obs.: Ser˜ ao usados µ e σ 2 pois os dados s˜ ao oriundos de uma popula¸cão, são parâmetros populacionais. b) Fa¸ca o histograma dos valores populacionais X = {1, 2, 3}.

FIGURA 33 Gráfico dos valores populacionais c) Apresente todas as amostras de tamanho n = 2 que podem ser obtidas com reposi¸cão, determine a média de cada valor da vari´ avel em cada amostra.

Amostra (A, A) (A, B) (A, C) (B, A) (B, B)

TABELA 26 Todas as amostras e m´edias amostrais de tamanho n = 2 Valores amostrados M´edia Amostra Valores amostrados (1, 1) 1,0 (B, C) (2, 3) (1, 2) 1,5 (C, A) (3, 1) (1, 3) 2,0 (C, B) (3, 2) (2, 1) 1,5 (C, C) (3, 3) (2, 2) 2,0

M´edia 2,5 2,0 2,5 3,0

d) Fa¸ca o gr´ afico da distribui¸c˜ ao das m´edias.

FIGURA 34 Gráfico da distribui¸cão das médias 72

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σ e) Verifique que µX¯ = µ e σX¯ = √ para (c), ou seja que a médias das médias é igual à média populacional n e que o erro padr˜ ao da média é igual ` a raz˜ ao entre o desvio padrão populacional e a raiz do tamanho da amostra. ¯ é denominada distribui¸c˜ X ao amostral da média e para este caso NX¯ = 9. ario calcular a média das médias da tabela anterior. A média das Para verificar que µX¯ = µ é necess´ médias, µX¯ , é: 9 X X¯i 1,0 + 1,5 × 2 + 2,0 × 3 + 2,5 × 2 + 3,0 µX¯ = i=1 = = 2 que é igual a µ = 2 9 9 2 A variˆ ancia das médias σX¯ é dada por:  !2  NX ¯ X N ¯ X¯i  X X  1 182 1 1 2   i=1 2 ¯ X − = σX 39 − = =   i ¯  9 NX¯  i=1 NX¯ 9 3   r

Assim, σX¯

σ = √ =⇒ n

2 1 3 = √ 3 2

σ Como pˆ ode ser observado, µX¯ = µ e σX¯ = √ . Esta rela¸c˜ao nos remete ao Teorema do Limite n Central. 8.2.2

Teorema do Limite Central

Desde que a distribui¸c˜ ao da popula¸cão original tenha média µ e desvio padrão σ, a distribui¸c˜ ao amostral das médias calculadas para amostras de tamanho n tem três propriedades importantes: • A média da distribui¸c˜ ao amostral das médias µX¯ é idêntica à média µ da popula¸cão: µX¯ = µ. σ • O desvio padr˜ ao da distribui¸c˜ ao amostral das médias σX¯ é igual à √ . Essa estat´ıstica é conhecida n como erro padr˜ ao da média.

• Com a condi¸c˜ ao de que n seja suficientemente grande, a forma da distribui¸cão amostral é aproximadamente normal. ` medida que n aumenta, o histograma da distribui¸cão das médias amostrais vai se tornando A mais concentrado em torno da média populacional. Também, quando n for suficientemente grande a distribui¸c˜ ao das médias vai se aproximando da distribui¸cão normal independente da distribui¸cão original da popula¸c˜ ao. Essa situa¸c˜ ao é conhecida como teorema do limite central. Note que, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribui¸cão das médias amostrais tende para uma distribui¸cão normal ¯ −µ σ X com média µ e desvio padr˜ ao √ . Assim, a distribui¸cão de Z dada por Z = σ é aproximadamente n √ n normal com média 0 e variˆ ancia 1. Este resultado é extremamente importante, pois implica que muitas distribui¸cões amostrais podem ser modeladas pela curva normal, mesmo quando a popula¸cão de origem não é de forma alguma normal. Qual é o tamanho n da amostra para que a curva normal seja um modelo apto para determinada distribui¸c˜ ao amostral? Como sugere a Figura 35 em geral o teorema do limite central produz distribui¸cões ¯ mesmo quando os tamanhos amostrais sejam modestos. aproximadamente normais para X Uma ilustra¸c˜ ao do teorema do limite central pode ser visualizada na Figura 35 em que s˜ ao consideradas 3 popula¸c˜ oes com diferentes distribui¸cões de probabilidades das quais foram obtidas todas as amostras de tamanho n = 5, 10 e 30. UNIFAL-MG/Alfenas

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FIGURA 35 Distribui¸c˜ ao de probabilidade da popula¸c˜ao e distribui¸c˜oes amostrais para diferentes n 8.2.3

Distribui¸ c˜ ao amostral das propor¸ c˜ oes

Admita que uma popula¸c˜ ao possua uma caracter´ıstica dicotômica, como vivo/morto, com dor/sem dor, sim/n˜ ao, 0/1 etc. Geralmente ao resultado de interesse dessa caracter´ıstica dicotômica da-se o nome de “sucesso” e ao outro de “fracasso”. Considere que a propor¸cão de sucesso na popula¸c˜ ao é p e que a propor¸c˜ ao de fracasso é q = 1 − p e a propor¸cão de sucessos na amostra é pˆ e a propor¸cão de fracassos na amostra é qˆ = 1 − pˆ. Se em uma popula¸cão de tamanho N for extra´ıda todas as amostras de tamanho n e para cada amostra for determinado a propor¸cão pˆ de sucessos, tem-se: TABELA 27 Todas as k amostras de tamanho n e propor¸cões pî Amostra Tamanho Estimador 1 n pˆ1 = nn1 2 n pˆ2 = nn2 3 n pˆ3 = nn3 .. .. .. . . . k n pˆk = nnk Nota: ni representa o n´ umero de sucessos observados na amostra i

Fazendo a distribui¸c˜ ao de pˆ tem-se a distribui¸cão amostral das propor¸cões, cuja média e erro padr˜ ao de pˆ s˜ ao: r p(1 − p) µpˆ = p e σpˆ = n 8.2.4

Exerc´ıcios

1) Considere uma popula¸c˜ ao composta por 6 indiv´ıduos: A, B, C, D, E e F cuja medida da variável de interesse X apresenta os seguintes valores: 2, 3, 6, 8, 11 e 18. a) Determine µ e σ 2 . b) Apresente todas as amostras de tamanho n = 2 que podem ser obtidas com reposi¸cão, determine a média de cada valor da vari´ avel de cada amostra. σ c) Verifique que µX¯ = µ e σX¯ = √ para (b). n 2) Considere uma popula¸c˜ ao em que p = 0,10. Se extra´ırem amostras de tamanhos n = 5 e n = 50, qual é o erro padr˜ ao de pˆ para as duas distribui¸cões amostrais? 74

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3) Entre os adultos nos Estados Unidos, a distribui¸cão de n´ıveis de albumina (um tipo de prote´ına) no fluido cerebroespinhal é aproximadamente simétrica apresentando média µ = 29,5mg/100mL e desvio padr˜ ao σ = 9,25 mg/100mL. Suponha que você selecione amostras repetidas de tamanho 20 dessa popula¸c˜ ao e calcule a média para cada amostra. a) Se você selecionasse todas as amostras aleatórias de tamanho 20, qual seria a média das médias das amostras? b) Qual a probabilidade de que a quantidade média de albumina das amostras de tamanho 20 seja maior x ¯−µ que 33 mg/100mL? Use: z = σ √ n 4) Seja X ∼ N (µ = 80, σ 2 = 26). Dessa popula¸cão retiramos uma amostra de n = 25. Calcular: ¯ > 83) a) P (X ¯ ≤ 82) b) P (X ¯ − 2σX¯ ≤ µ ≤ X ¯ + 2σX¯ c) P X 5) Sabe-se que o peso de adultos possui média de 65 kg e desvio padrão de 10 kg. Num elevador est´ a escrito que ele suporta uma carga m´ axima de 560 kg ou 8 pessoas. Qual é a probabilidade de que o elevador tenha o seu limite ultrapassado por esse n´ umero de pessoas? A especifica¸cão do n´ umero de pessoas est´ a correta? 6) Considere uma popula¸c˜ ao de respostas de três indiv´ıduos a respeito de uma pesquisa do tipo dicotômica, cujos valores s˜ ao 0, 1 e 0. Apresente todas as amostras de tamanho n = 2 que podemrser obtidas com p(1 − p) . reposi¸c˜ ao, determine o estimador pˆ de cada amostra. Verifique que µpˆ = p e que σpˆ = n 8.3

Estima¸ c˜ ao pontual

Este método de estima¸c˜ ao fornece um valor de estimativa para o parâmetro de interesse. Os estimadores mais comuns s˜ ao: x ¯, s2 , pˆ. O problema é que duas amostras diferentes muito pouco provavelmente fornecer˜ ao a mesma estimativa para o parâmetro de interesse. Portanto, a estima¸cão pontual n˜ ao transmite o grau de incerteza envolvido sobre a afirma¸cão de quão perto está a estimativa do valor do parˆ ametro. Por exemplo, n˜ ao se pode afirmar quão perto x ¯ está de µ em nenhuma situa¸cão. 8.4

Estima¸ c˜ ao intervalar

A estima¸c˜ ao intervalar ou estima¸c˜ao por intervalo fornece um intervalo de valores razo´avel no qual se presume que contenha o parˆ ametro de interesse com certo grau de confian¸ca. 8.4.1

Intervalo de confian¸ ca para a m´ edia µ de uma popula¸ c˜ ao normal com variˆ ancia populacional σ 2 conhecida

Quando se estudou a distribui¸c˜ ao normal viu-se que quando X ∼ N (µ, σ) ´e poss´ıvel transformar X na vari´ avel Z ∼ N (µ = 0, σ = 1) por meio de: Z=

x−µ σ

. Pelo teorema do limite central a` medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribui¸c˜ ao σ das médias amostrais tende para uma distribui¸cão normal com média µ e desvio padrão √ , ou seja, n σ ¯ ∼ N µ, √ , e, consequentemente, a transforma¸cão da variável X ¯ em Z faz-se por: X n Z=

¯ −µ X σ √ n

. Para uma vari´ avel aleat´ oria normal padronizada, 95% das observa¸cões se encontram entre −1,96 e 1,96. Ou seja, a probabilidade de que Z assuma um valor entre −1,96 e 1,96 é: P (−1,96 < Z < 1,96) = 0,95 A probabilidade acima pode ser representada na Figura 36, sendo mostradas, também, as áreas UNIFAL-MG/Alfenas

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das caudas da curva.

FIGURA 36 Probabilidade da a´rea compreendida entre −1,96 e 1,96 e das caudas Substituindo Z por

¯ −µ X pode-se escrever: σ √ n   ¯ X −µ   P −1,96 < σ < 1,96 = 0,95 √ n

Na express˜ ao acima, pode-se manipular a desigualdade dentro dos parênteses sem alterar a σ afirma¸c˜ ao da probabilidade. Assim, multiplicando, os três termos da desigualdade por √ , que é o erro n padr˜ ao da média, tem-se: σ ¯ − µ < 1,96 · √σ P −1,96 · √ < X = 0,95 n n ¯ obtém-se: E por conseguinte subtraindo cada termo por X, σ ¯ < −µ < 1,96 · √σ − X ¯ = 0,95 P −1,96 · √ − X n n Por fim, multiplicando por −1 e rearranjando os termos dentro dos parênteses, chega-se a: σ σ ¯ ¯ = 0,95 P X − 1,96 · √ < µ < X + 1,96 · √ n n ¯ n˜ O intervalo de confian¸ca é uma interpreta¸cão dessa afirma¸cão probabil´ıstica. Note que X ao est´ a mais no centro da desigualdade e portanto a afirma¸cão da probabilidade se refere a µ. As quantidades σ σ ao denominados limites de confian¸ca de 95% para a média da popula¸cão. −1,96 · √ e 1,96 · √ s˜ n n Se x ¯ é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma popula¸cão com variância conhecida σ 2 , um intervalo de confian¸ca (IC) de 95% para µ é dado por: σ σ IC95% (µ) = x ¯ − 1,96 · √ , x ¯ + 1,96 · √ n n Genericamente um intervalo de confian¸ca para µ pode ser representado por: σ σ IC1−α (µ) = x ¯ − zα/2 · √ , x ¯ + zα/2 · √ n n Em que: • 1 − α é o n´ıvel de confian¸ca ou grau de confian¸ca ou coeficiente de confian¸ca; • α é o n´ıvel de significˆ ancia; • zα/2 é o valor de z que limita uma área de α/2 na extremidade superior da distribui¸cão normal padr˜ ao e −zα/2 é o valor de z que limita uma área de α/2 na extremidade inferior da distribui¸cão14 . Este intervalo significa que se forem retiradas muitas amostras de tamanho n de uma popula¸cão, 1 − α intervalos de confian¸ca ir˜ ao incluir o valor do parâmetro µ. Por exemplo, se observar 100 amostras 14 z α/2 corresponde a um valor de z de modo que P (Z > zα/2 ) = α/2 e −zα/2 corresponde a um valor de z tal que P (Z < −zα/2 ) = α/2. Dado α/2 busca-se na tabela o valor de z, ou seja de zα/2 .

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de tamanho n, se 1−α = 0,95 e para cada uma dessas 100 amostras for calculado o intervalo de confian¸ca, aproximadamente 95 intervalos incluir˜ ao µ. Exemplo: As distribui¸c˜ oes das pressões sangu´ıneas sistólicas e diastólicas para mulheres diabéticas entre 30 e 34 anos têm médias desconhecidas. Entretanto, seus desvios padrão são σs = 11,8 mmg Hg e σd = 9,1 mmg Hg, respectivamente. a) Uma amostra aleat´ oria de dez mulheres é selecionada dessa popula¸cão. A pressão sangu´ınea sistólica média para a amostra é x ¯ = 130 mmg Hg. Calcule um intervalo de confian¸ca de 95% para µs , a verdadeira press˜ ao sangu´ınea sist´ olica média. Resolu¸c˜ ao: σ σ ¯ + zα/2 · √ IC1−α (µ) = x ¯ − zα/2 · √ , x n n 11,8 11,8 IC95% (µ) = 130 − 1,96 · √ , 130 + 1,96 · √ 10 10 IC95% (µ) = [122,69, 137,31] H

b) Interprete esse intervalo de confian¸ca. Resolu¸c˜ ao: Pode-se afirmar com 95% de confian¸ca que a verdadeira média da pressão sangu´ınea sistólica para mulheres diabéticas entre 30 e 34 anos é um valor entre 122,69 e 137,31 mmg Hg.

c) A press˜ ao sangu´ınea diast´ olica média para a amostra de tamanho 10 é x ¯ = 84 mmg Hg. Encontre um intervalo de confian¸ca de 90% para µd , a verdadeira pressão sangu´ınea diastólica média da popula¸cão. Resolu¸c˜ ao: σ σ √ √ IC1−α (µ) = x ¯ − zα/2 · ,x ¯ + zα/2 · n n 9,1 9,1 IC90% (µ) = 84 − 1,64 · √ , 84 + 1,64 · √ 10 10 IC90% (µ) = [79,28, 88,72] H

d) Calcule um intervalo de confian¸ca com 99% para µd . Resolu¸c˜ ao: σ σ IC1−α (µ) = x ¯ − zα/2 · √ , x ¯ + zα/2 · √ n n 9,1 9,1 IC99% (µ) = 84 − 2,57 · √ , 84 + 2,57 · √ 10 10 IC99% (µ) = [76,60, 91,40] H

e) Como o intervalo de confian¸ca de 99% se compara ao intervalo de 90%? Resolu¸c˜ ao: Quanto maior o n´ıvel de confian¸ca com que o intervalo inclui a verdadeira média populacional, maior é o valor do escore z, maior é a margem de erro e mais amplo é o intervalo de confian¸ca. H UNIFAL-MG/Alfenas

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8.4.2

Intervalo de confian¸ ca para a m´ edia µ de uma popula¸ c˜ ao normal com variˆ ancia populacional σ 2 desconhecida x ¯−µ A vari´ avel Z = σ tem distribui¸cão normal. Quando a variância populacional σ 2 não é √ n x ¯−µ 2 conhecida, deve-se usar s , estimador de σ 2 . Consequentemente deve-se adotar a variável T = s √ n para substituir a vari´ avel Z. A vari´ avel T possui distribui¸c˜ ao t de Student com n´ıvel de significância α e com (n − 1) graus de liberdade: ¯ −µ X T = ∼ t(α, n−1) s √ n Quando n é grande, s2 se aproxima bastante de σ 2 , fazendo com que a variável T se aproxime da vari´ avel Z. Por outro lado, quando n é pequeno, isso não ocorre. Tal qual a normal padronizada a distribui¸cão t de Student é unimodal, simétrica em zero, tem a forma de sino e ´ area sob a curva é igual a 1. A distribui¸cão t tem uma propriedade denominada graus de liberdade que medem o volume de informa¸cão dispon´ıvel nos dados que podem ser usados para estimar σ 2 , por este motivo medem a confiabilidade de s2 como um estimador de σ 2 . Portanto, para cada poss´ıvel valor de graus de liberdade h´ a uma diferente distribui¸cão t. Por exemplo, considerando os casos abaixo, pode-se observar que em cada situa¸cão, t(α, n−1) apresenta um valor diferente de t tabelado. a) t(0,01; 20) = 2,528 b) t(0,025; 20) = 2,086 c) t(0,05; 20) = 1,725 d) t(0,01; 14) = 2,624 e) t(0,025; 14) = 2,145 f) t(0,05; 14) = 1,761 Semelhantemente, a probabilidade de que µ esteja contida num intervalo com 1−α de confian¸ca quando a variˆ ancia populacional é desconhecida é dado por: s s P x ¯ − t(α/2, n−1) · √ < µ < x ¯ + t(α/2, n−1) · √ =1−α n n Sendo adotada a seguinte nota¸c˜ ao em forma de intervalo de confian¸ca: s s IC1−α (µ) = x ¯ − t(α/2, n−1) · √ , x ¯ + t(α/2, n−1) · √ n n Em que: • 1 − α é o n´ıvel de confian¸ca ou grau de confian¸ca ou coeficiente de confian¸ca; • α é o n´ıvel de significˆ ancia; • t(α/2, n−1) é o valor que limita uma ´ area de α/2 na extremidade superior da distribui¸cão t de Student e −t(α/2, n−1) é o valor que limita uma área de α/2 na extremidade inferior da distribui¸cão; • (n − 1) representa os graus de liberdade da distribui¸cão t. Exemplo: As distribui¸c˜ oes das pressões sangu´ıneas sistólicas e diastólicas para mulheres diabéticas entre 30 e 34 anos têm médias desconhecidas. a) Uma amostra aleat´ oria de dez mulheres é selecionada dessa popula¸cão. A pressão sangu´ınea sistólica média para a amostra é x ¯ = 130 mmg Hg com desvio padrão s = 11,8 mmg Hg. Calcule um intervalo de confian¸ca de 95% para µs , a verdadeira pressão sangu´ınea sistólica média. Resolu¸c˜ ao: s s ¯ + t(α/2, n−1) · √ IC1−α (µ) = x ¯ − t(α/2, n−1) · √ , x n n 78

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11,8 11,8 IC95% (µ) = 130 − 2,262 · √ , 130 + 2,262 · √ 10 10 IC95% (µ) = [121,56, 138,44] H

c) A press˜ ao sangu´ınea diast´ olica média para a amostra de tamanho 10 é x ¯ = 84 mmg Hg apresentando desvio padr˜ ao s = 9,1 mmg Hg. Encontre um intervalo de confian¸ca de 90% para µd , a verdadeira press˜ ao sangu´ınea diast´ olica média da popula¸c˜ ao. Resolu¸c˜ ao: s s √ √ ,x ¯ + t(α/2, n−1) · IC1−α (µ) = x ¯ − t(α/2, n−1) · n n 9,1 9,1 IC90% (µ) = 84 − 1,833 · √ , 84 + 1,833 · √ 10 10 IC90% (µ) = [78,73, 89,27] H

d) Calcule um intervalo de confian¸ca com 99% para µd . Resolu¸c˜ ao: s s IC1−α (µ) = x ¯ − t(α/2, n−1) · √ , x ¯ + t(α/2, n−1) · √ n n 9,1 9,1 IC99% (µ) = 84 − 3,250 · √ , 84 + 3,250 · √ 10 10 IC99% (µ) = [74,65, 93,35] H

e) Como o intervalo de confian¸ca de 99% se compara ao intervalo de 90%? Resolu¸c˜ ao: Quanto maior o n´ıvel de confian¸ca com que o intervalo inclui a verdadeira média populacional, maior é o valor do t(α/2, n−1) , maior é a margem de erro e mais amplo é o intervalo de confian¸ca. H 8.4.3

Intervalo de confian¸ ca para uma propor¸ c˜ ao r p(1 − p) Anteriormente foi visto que µpˆ = p e σpˆ = . Considere n P (−zα/2 < Z < zα/2 ) = 1 − α

onde: Z=r

Pˆ − p

. p(1 − p) n Substituindo Z e realizando algumas opera¸cões algébricas, obtém-se: ! r r p(1 − p) p(1 − p) P Pˆ − zα/2 · < p < Pˆ + zα/2 · =1−α n n UNIFAL-MG/Alfenas

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pˆ =

Como o parˆ ametro p ´e desconhecido, considerando n grande, substitui-se o p sob o radical por y , podendo escrever: n ! r r pˆ(1 − pˆ) pˆ(1 − pˆ) ˆ ˆ ≈1−α P P − zα/2 · < p < P + zα/2 · n n

Assim, para uma amostra aleat´ oria particular de tamanho n, a propor¸cão amostral pˆ é calculada e o seguinte intervalo de confian¸ca aproximado para p é obtido: # " r r pˆ(1 − pˆ) pˆ(1 − pˆ) IC1−α (p) = pˆ − z α2 · ; pˆ + z α2 · n n Em que: y • pˆ = : é a propor¸c˜ ao amostrada sendo y o n´ umero de sucessos observados numa amostra de n tamanho n; Exemplo: Deseja-se avaliar a aceita¸cão de um novo produto no mercado. Efetuou-se uma amostragem com n = 664 pessoas e 200 pessoas afirmaram que passariam a usar regularmente o produto. Construa um intervalo de 99% de confian¸ca para p: a propor¸cão de futuros consumidores desse produto. Interprete o resultado. Resolu¸c˜ ao: Pelos dados informados, tem-se: 200 y = 0,3012; zα/2 = z0,005 = 2,57 pˆ = = n 664 " # r r pˆ(1 − pˆ) pˆ(1 − pˆ) IC1−α (p) = pˆ − zα/2 · ; pˆ + zα/2 · n n "

IC99% (p) = 0,3012 − 2,57 ·

0,3012(1 − 0,3012) ; 0,3012 + 2,57 · 664

0,3012(1 − 0,3012) 664

IC99% (p) = [0,2554; 0,3470] Pode-se afirmar com 99% de confian¸ca que a verdadeira propor¸c˜ao de consumidores desse produto ´e um valor entre 0,2554 e 0,3470 (ou seja, entre 25,54% e 34,70%). H 8.4.4

Determina¸ c˜ ao do tamanho amostral

Em muitos casos antes de se fazer uma pesquisa não se tem ideia de qual é o tamanho da amostra necess´ ario para estimar uma média, uma propor¸cão etc que lhe assegurará trabalhar com uma certa margem de erro de estima¸c˜ ao. Para calcular o tamanho amostral15 define-se qual é o erro de estima¸cão E e o n´ıvel de confian¸ca (1−α) que se quer trabalhar. O n´ıvel de confian¸ca é a probabilidade de que o valor estimado do parâmetro esteja correto. O erro de estima¸c˜ ao corresponde à diferen¸ca entre a média amostral e a verdadeira média da popula¸c˜ ao (ou entre a propor¸c˜ ao amostral e propor¸cão verdadeira). Os intervalos de confian¸ca estudados s˜ ao centrados em suas respectivas estimativas, sendo os limites inferior e superior definidos por diferen¸ca e soma entre a estimativa e o erro de estima¸cão. A esquematiza¸cão dos intervalos de confian¸ca est´ a apresentada na Figura 37.

FIGURA 37 Esquematiza¸c˜ao dos intervalos de confian¸ca para µ e p 15

H´ a v´ arias maneiras para calcular o tamanho de uma amostra.

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De acordo com a Figura 37 pode-se verificar que os respectivos erros de estima¸cão são: σ • E = zα/2 · √ - para média quando a variância populacional é conhecida; n s • E = t( α , n−1) √ - para média quando a variância populacional é desconhecida; 2 n r • E = zα/2 ·

pˆ(1 − pˆ) - para propor¸c˜ ao. n

A partir de opera¸c˜ oes matem´ aticas simples obtém-se uma fórmula para calcular n para cada situa¸c˜ ao: 2 zα/2 · σ2 - quando o objetivo é determinar o tamanho da amostra para calcular o intervalo de • n= E2 confian¸ca para média quando a variˆ ancia populacional é conhecida;

t2(α/2; n0 −1) · s20 - quando o objetivo é determinar o tamanho da amostra para calcular o intervalo • n= E2 de confian¸ca para média quando a variância populacional é desconhecida; 2 zα/2 · pˆ(1 − pˆ) • n= - quando o objetivo é determinar o tamanho da amostra para calcular o intervalo E2 de confian¸ca para propor¸c˜ ao. Neste caso se tem a ideia de pˆ obtida por meio de uma amostra piloto ou observada em uma pesquisa similar. Quando não se tem conhecimento de pˆ adota-se pˆ = 0,5 que fornece n m´ aximo, pois pˆ(1 − pˆ) ≤ 0,25.

Em que: E: erro desejado definido pelo pesquisador; zα/2 : valor tabelado da normal; σ 2 : variância populacional; s20 : variˆ ancia da amostra piloto; n0 − 1: graus de liberdade da amostra piloto e pˆ: propor¸cão amostral. Pode-se ver que E é inversamente proporcional a n. Logo, quanto maior o tamanho da amostra ´ importante menor ser´ a o valor de E (largura menor) e, portanto, maior será a precisão na estima¸cão. E destacar que precis˜ ao é diferente de confian¸ca. Exemplo 1: De uma pesquisa passada sabe-se que o desvio padrão da altura de crian¸cas da 5a série (6o ano) é de 5 cm. Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo 150 ± 0,98 cm tenha 95% de confian¸ca? Resolu¸c˜ ao: Tem-se: E = 0,98 e zα/2 = z0,025 = 1,96, assim: 2 zα/2 · σ2 1,962 · 52 = = 100 crian¸cas. n= 2 E 0,982 H I H Exemplo 2: Em um estudo para a determina¸cão do perfil dos veteranos de um colégio a caracter´ıstica de maior interesse tem s0 = 0,3, obtida em uma amostra piloto de tamanho n0 = 20. Qual deve ser o tamanho da amostra para que se tenha 95% de confian¸ca de que o erro E = x ¯ − µ da estimativa de µ correspondente a essa caracter´ıstica n˜ ao supere 0,05? Resolu¸c˜ ao: Tem-se: n = 20; t(α/2, n−1) = t(0,025; 19) = 2,093; s = 0,3, assim: t2( α ;ν) · s20 2,0932 · 0,32 n= 2 2 = = 157,7 ⇒ 158 estudantes. E 0,052 H I H Exemplo 3: Numa pesquisa epidemiológica deseja-se estimar, com 90% de confian¸ca, o parâmetro populacional: p = propor¸c˜ ao de pessoas infectadas, com erro amostral máximo de 1%. Qual deve ser o tamanho de uma amostra aleat´ oria simples supondo que, na popula¸cão em estudo, não existam mais que 20% de indiv´ıduos infectados? Resolu¸c˜ ao: y Tem-se pˆ = = 20% = 0,20; zα/2 = z0,05 = 1,64. n 2 zα/2 · pˆ(1 − pˆ) 1,642 · 0,2(1 − 0,2) n= = = 4303,6 ⇒ 4304 pessoas. 2 E 0,012 H I H UNIFAL-MG/Alfenas

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˜ 8 TEORIA DA ESTIMAC ¸ AO

Estat´ıstica B´ asica

Exemplo 4: Com o objetivo de avaliar a preferência do eleitor na véspera de uma elei¸cão para a prefeitura de um munic´ıpio, planeja-se um levantamento por amostragem aleatória simples. Considere que seja admiss´ıvel um erro amostral de até 2%, com 95% de confian¸ca, para as estimativas dos percentuais dos v´ arios candidatos. Quantos eleitores devem ser consultados? Resolu¸c˜ ao: Tem-se: pˆ =?, portanto pˆ = 0,5; zα/2 = z0,025 = 1,96 2 zα/2 · pˆ(1 − pˆ) 1,962 · 0,5(1 − 0,5) = = 2401 eleitores. n= 2 E 0,022 H I H 8.4.5

Exerc´ıcios

1. Uma amostra aleat´ oria de 8 barras de cereais da marca PAF apresentou os seguintes conte´ udos de gordura saturada, em gramas: 0,6

0,7

0,3

0,4

0,5

0,4

0,2

Sabe-se que essa vari´ avel é normalmente distribu´ıda com desvio padrão σ = 0,15 gramas. a) Construa e interprete os ICs a 95% e a 99% para o teor médio verdadeiro de gordura saturada. b) Quais os comprimentos dos dois intervalos? Qual é maior? Isso era esperado? c) Suponha que no item (a) o desvio padrão não é conhecido. Como você construiria o IC a 95% de confian¸ca para µ? Qual é este intervalo? 2. Os resultados abaixo referem-se ` a tens˜ ao de ruptura de uma amostra de n = 10 implantes mamários fabricados com gel de silicone. Tens˜ ao média amostral de ruptura = 70,58 MPa Desvio padr˜ ao amostral = 5,59 MPa a) Obtenha um intervalo de confian¸ca a 99% para média populacional da tensão de ruptura desses implantes. b) Obtenha o IC para a média supondo que o valor da média amostral foi obtido com base em 20 implantes e o interprete. c) O que ocorre com o comprimento do IC quando o tamanho amostral aumenta, mantendo-se o n´ıvel de confian¸ca constante? d) Qual foi o erro de estima¸c˜ ao do IC obtido na letra (b)? 3. Um fornecedor da FIAT deseja obter informa¸cões sobre o tempo durante o qual os proprietários de autom´ oveis desejam conserv´ a-los. Uma amostra de 22 proprietários de carros acusou x ¯ = 7,01 anos e s = 3,74 anos. Determine um intervalo de 95% de confian¸ca para a média populacional e interprete-o. 4. Uma m´ aquina autom´ atica de refrescos é regulada de modo que a quantidade suprida de cada vez tenha distribui¸c˜ ao aproximadamente normal com desvio padrão de 1,3 dL. Determinar um intervalo de 90% de confian¸ca para a quantidade média de todos os refrescos servidos, sabendo que uma amostra de 30 copos de refresco acusou conte´ udo médio de 21,0 dL. 5. Um pesquisador est´ a estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condi¸cões. Ele sabe que essa vari´ avel é normalmente distribu´ıda com desvio padrão de duas unidades. Utilizando os valores 4,9; 7,0; 8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,0; 5,7; 6,2 unidades, obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine: (a) o intervalo de confian¸ca para a resistência média com um coeficiente de confian¸ca de 90% e 95%; (b) qual o tamanho da amostra necess´ ario para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, n˜ ao seja superior a 0,01 unidade com confian¸ca 90%? 6. Um pesquisador est´ a estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condi¸cões. Ele sabe que essa vari´ avel é normalmente distribu´ıda. Utilizando os valores 4,9; 7,0; 8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,0; 5,7; 6,2 unidades, obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de confian¸ca para a resistência média com um coeficiente de confian¸ca de 90%. Qual deverá ser o tamanho da amostra com 1 − α = 95% para que se tenha um erro menor do 0,5 unidade? 7. Um centro de pesquisas de opini˜ ao realizou uma pesquisa para avaliar a inten¸cão de votos dos eleitores de uma determinada cidade. Foram entrevistados 380 eleitores, selecionados aleatoriamente e constatouse que 180 pretendem votar num determinado candidato. a) Determine um intervalo de confian¸ca de 90% para p: propor¸cão de eleitores votantes no determinado candidato e interprete o resultado. b) Determine um intervalo de confian¸ca de 95% para p: propor¸cão de eleitores votantes no determinado candidato e interprete o resultado. c) Qual intervalo é maior? Por quê? 82

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˜ 9 TEORIA DA DECISAO

Estat´ıstica B´ asica

8. Uma rep´ orter da revista Byte deseja fazer uma pesquisa para estimar a verdadeira propor¸cão de todos os universit´ arios que têm computador pessoal, e quer ter 95% de confian¸ca de que seus resultados tenham uma margem de erro de 4%. Quantos universitários devem ser pesquisados quando: a) H´ a uma estimativa de p, obtida em estudo anterior, que revele uma porcentagem de 27%. b) N˜ ao h´ a informa¸c˜ oes anteriores sobre o valor de p. 9 9.1

˜ TEORIA DA DECISAO

Introdu¸ c˜ ao

Sobre a teoria de estima¸c˜ ao o assunto abordado fora o de encontrar uma estimativa para um parˆ ametro em estudo. Tal estimativa permitia fazer uma afirma¸cão sobre o parâmetro desconhecido considerando um determinado n´ıvel de confian¸ca. Entretanto, na maioria das situa¸cões o pesquisador não tem por objetivo estimar um parâmetro, mas decidir entre duas alega¸c˜ oes contradit´ orias sobre o parâmetro. A estas duas afirma¸cões contraditórias d´ a-se o nome de hip´ otese nula (H0 ) e hip´ otese alternativa (H1 ). O objetivo de um teste de hip´ oteses é basicamente a escolha entre estas duas afirma¸cões, que s˜ ao concorrentes, mutuamente exclusivas e que podem considerar um ou mais parâmetros da popula¸c˜ ao ou, ainda, sobre a forma de uma distribui¸c˜ ao de probabilidade. O teste de hipóteses nada mais é que um método para tomada de decis˜ ao [????]. A hip´ otese nula (H0 ) é a alega¸c˜ ao inicialmente assumida como verdadeira. Sempre será definida como uma express˜ ao de igualdade. Considere, por exemplo, θ como um parâmetro de interesse, a hipótese nula ter´ a a forma H0 : θ = θ0 , em que θ0 é um valor especificado do parâmetro. O parˆ ametro é uma caracter´ıstica da popula¸cão, assim, θ poderia ser: • µ: média populacional; • p: propor¸c˜ ao populacional; • σ 2 : variˆ ancia populacional, entre outros. Por outro lado, a hip´ otese alternativa (H1 ) é a afirma¸cão contraditória de H0 . Estabelecer H0 e H1 depende exclusivamente da natureza do problema em estudo. Por conven¸cão, os s´ımbolos =, ≥ e ≤ est˜ ao associados a H0 e os s´ımbolos 6=, < e >, estão associados a H1 . Ao se realizar um teste de hip´ oteses, a hipótese nula será rejeitada em favor da hipótese alternativa somente se a evidência da amostra sugerir que H0 seja falsa através do valor da estat´ıstica de teste que assumir´ a um valor na regi˜ ao cr´ıtica. Caso contrário, ou seja, se a amostra não contradisser fortemente H0 , continua-se a acreditar na verdade da hipótese nula; neste caso o valor da estat´ıstica de teste n˜ ao assumir´ a um valor na regi˜ ao cr´ıtica. Pode-se achar que sendo a hip´ otese alternativa rejeitada, aceita-se a hipótese nula. Não, não é assim que funciona. Em um teste de hip´ oteses a lógica é estabelecer o nulo como condi¸cão que precisa ser invalidada. Portanto, a conclus˜ ao ` a qual se chega quando a estat´ıstica de teste não está na regi˜ ao cr´ıtica é que o nulo n˜ ao foi invalidado. Assim, pela linguagem formal do teste de hipóteses, a conclusão é: “rejeita-se a hip´ otese nula” ou “ n˜ ao se rejeita a hipótese nula”. Alternativamente, pode-se declarar que o “teste foi estatisticamente significativo” ou “não foi estatisticamente significativo”. A regi˜ ao cr´ıtica é uma regi˜ ao definida na cauda da curva da distribui¸cão de probabilidade inerente ao teste de hip´ otese, a sua posi¸caõ e o tamanho da região não são arbitrários. O “tamanho” dessa regi˜ ao é simbolizado por α (lê-se: alfa), geralmente são usados 0,05 ou 0,01, mas podendo ser definido outros valores, se desejado. 9.2

Erros envolvidos num teste de hip´ otese

Como a tomada de decis˜ ao sobre a não rejei¸cão ou rejei¸cão de uma hipótese está lan¸cada apenas na informa¸c˜ ao dos dados amostrais, h´ a sempre a possibilidade de se tomar a decisão errada. Então, ao realizar um teste de hip´ otese, dois tipos de erros podem ser cometidos: • Erro tipo I: rejeitar H0 quando ela é verdadeira; • Erro tipo II: n˜ ao rejeitar H0 quando ela é falsa. O quadro abaixo resume a natureza dos erros envolvidos no processo de decisão através do teste de hip´ oteses. UNIFAL-MG/Alfenas

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Estat´ıstica B´ asica

Realidade Decis˜ ao Rejei¸c˜ ao de H0 N˜ ao rejei¸c˜ ao de H0

H0 verdadeira Erro tipo I Decis˜ao correta

H0 Falsa Decis˜ao correta Erro tipo II

A probabilidade de se cometer o erro tipo I é denotada por α e é chamada de n´ıvel de significância do teste. A probabilidade de ocorrência do erro tipo II é denotada por β (lê-se: beta). Para que um teste de hip´ oteses seja considerado bom deve-se ter uma pequena probabilidade de rejeitar H0 se esta for verdadeira, mas também, uma grande probabilidade de rejeitá-la se ela for a falsa. Ser˜ ao abordados testes em que apenas o erro tipo I é controlado (testes de significância), isto devido a que o controle do erro tipo II precisa de técnicas mais avan¸cadas. Na literatura os valores para α s˜ ao fixados em 5% e 1% s˜ ao “pequenos o bastante” para a ocorrência do erro tipo I. Mas, por outro lado, estes valores n˜ ao s˜ ao suficientemente pequenos para a ocorrência do erro tipo II. Teoricamente o erro tipo II pode ser minimizado por adotar uma série de a¸cões como: a escolha do teste adequado e a determina¸c˜ ao do tamanho de uma amostra ideal para que o teste tenha o maior poder poss´ıvel desde que n˜ ao aumente o custo da pesquisa. Exemplo (Extra´ıdo de: [??]): Uma empresa especializada na fabrica¸cão de paraquedas afirma que o ´ındice de falha de seu principal paraquedas não é mais do que 1% (ou seja, menor ou igual a 1%). Você realiza um teste de hip´ otese para determinar se a afirma¸cão da empresa é falsa. Quando ocorrer´ a um erro tipo I ou tipo II? Qual é o mais sério? Solu¸c˜ ao: H0 : p ≤ 1% As hip´ oteses em teste s˜ ao: . H1 : p > 1% Um erro tipo I ocorrer´ a se a real propor¸cão de falha de seu principal paraquedas for menor ou igual a 1%, mas você decide rejeitar H0 . Um erro tipo II ocorrerá se a real propor¸cão de falha for superior a 1%, mas você n˜ ao rejeita H0 . Com um erro tipo I você poderá causar um pânico nos saltadores de paraquedas, mas na verdade a real propor¸cão está dentro do limite especificado. Por outro lado, um erro tipo II você permitir´ a que os saltadores de paraquedas continuem a saltar. Um erro tipo II pode resultar em mais saltadores feridos ou até mortos. 9.3

Mecˆ anica operacional dos testes de hip´ oteses Para a execu¸c˜ ao de um teste de hip´oteses seguir os passos abaixo:

1. Formular as hip´ oteses H0 e H1 segundo a natureza do problema em estudo; 2. Especificar o n´ıvel de significˆ ancia; 3. Estabelecer a estat´ıstica (z, t, χ2 ou F ) e calcular o seu valor que definirá a decisão considerando H0 verdadeira; 4. Fazer o desenho da distribui¸c˜ ao de probabilidade do teste, estabelecer a região cr´ıtica e concluir, observando se o valor da estat´ıstica pertence ou não à região cr´ıtica. 9.4

Teste de hip´ oteses para uma m´ edia de uma popula¸ c˜ ao normal quando a variˆ ancia populacional for desconhecida

Neste teste de hip´ oteses ser´ a considerado o caso em que µ seja igual a um determinado valor µ0 (média hipotética da popula¸c˜ ao), sendo a variância populacional σ 2 desconhecida. Conforme descrito na se¸c˜ ao 9.3 para a execu¸cão de um teste de hipóteses é necessário seguir 4 passos. O primeiro é a formula¸ ao das hipóteses as quais podem ter três formas, , conforme o problema c˜ H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 em estudo: , e . H1 : µ 6= µ0 H1 : µ > µ 0 H1 : µ < µ 0 O segundo passo é a especifica¸c˜ ao de α, geralmente apresentado nos enunciados. x ¯ − µ0 usando os valores obtidos da s √ n amostra e µ0 , considerando tc ∼ t com ν = n − 1 graus de liberdade (gl) sob H0 . O terceiro passo é a obten¸c˜ ao do valor da estat´ıstica tc =

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Estat´ıstica B´ asica

O quarto e u ´ltimo passo é a conclusão de acordo com o(s) valor(es) da região(ões) cr´ıtica(s). Se o valor da estat´ıstica pertencer ` a regi˜ ao cr´ıtica, rejeita-se H0 no n´ıvel de significância especificado, caso contr´ ario, n˜ ao se rejeita H0 . Conforme a hip´ otese formulada obtêm-se as seguintes regiões cr´ıticas:

FIGURA 38 Regi˜ oes cr´ıticas conforme H1 : µ 6= µ0 ; H1 : µ > µ0 e H1 : µ < µ0 Sendo que o ttab quando H1 : µ 6= µ0 deve ser consultado na tabela da distribui¸cão t considerando −ttab = −t( α2 ; n−1) e ttab = t( α2 ; n−1) . Enquanto que para H1 : µ > µ0 e H1 : µ < µ0 , ttab será t(α; n−1) e −t(α; n−1) , respectivamente. Exemplo: Doze frascos de medicamento de certa marca acusam os seguintes conte´ udos médios em decilitros: 10,2 9,7 10,1 10,3 10,1 9,8 9,9 10,4 10,3 9,8 10,4 10,2 O fabricante afirma que o contéudo médio dos frascos é de 10 dL. Admitindo normalidade na distribui¸c˜ ao dos conte´ udos, teste a hip´ otese do fabricante ao n´ıvel de 5% de significância. Solu¸c˜ ao: Dados: µ0 = 10 12 X

10,2 + . . . + 10,2 = 10,1 12 ! 2 12 X  12 xi  X  1   x2i − i=1 s2 =   = 0,06   12 − 1 i=1 12  

x ¯=

= 

s = 0,2449 n = 12 α α = 0,05 =⇒ = 0,025 2 −ttab = −t( α2 ; n−1) = −t0,025; 11) = −2,201 e ttab = t(0,025; 11) = 2,201

1 ao das hip´ oteses: - Formula¸c˜ H0 : µ = 10 H1 : µ 6= 10 2 - Especificar α: α = 0,05 3 - Calcular o valor da estat´ıstica: 10,1 − 10 x ¯ − µ0 tc = = = 1,4145 s 0,2449 √ √ n 12 4 - Conclus˜ ao: Conforme o desenho, nota-se que o valor da estat´ıstica tc = 1,4145 pertence ` a regi˜ ao de n˜ao rejei¸c˜ ao de H0 . Portanto, conclui-se que n˜ ao se rejeita H0 ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia ou seja, n˜ ao h´a motivos para duvidar sobre a afirma¸c˜ ao do fabricante. 9.4.1

Exerc´ıcios

1. Um fabricante de termˆ ometro garante que a vida u ´til média de certo tipo de termômetro é de no m´ınimo 10 anos. a) Determine a hip´ otese nula e a alternativa. b) Determine quando um erro tipo I ou II ocorre para um teste de hipótese da afirma¸cão. UNIFAL-MG/Alfenas

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c) Determine se o teste de hip´ otese é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. Explique. d) Como você deve interpretar uma decis˜ ao que rejeita a hipótese nula? e) Como você deve interpretar uma decis˜ ao que não rejeita a hipótese nula? 2. Um fabricante de “sucos de caixinha” afirma que a quantidade média de sódio em seus produtos é menor do que 9,0 mg. a) Determine a hip´ otese nula e a alternativa. b) Determine quando um erro tipo I ou II ocorre para um teste de hipótese da afirma¸cão. c) Determine se o teste de hip´ otese é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. Explique. d) Como você deve interpretar uma decis˜ ao que rejeita a hipótese nula? e) Como você deve interpretar uma decis˜ ao que não rejeita a hipótese nula? 3. Uma f´ abrica anuncia que o ´ındice de nicotina dos cigarros da marca Charuto apresenta-se abaixo de 26 mg por cigarro. Um laborat´ orio realiza 10 análises do ´ındice obtendo: 26, 24, 23, 22, 28, 25, 27, 26, 28, 24. Sabe-se que o ´ındice de nicotina dos cigarros desta marca se distribui normalmente. Pode-se aceitar a afirma¸c˜ ao do fabricante, ao n´ıvel de 5%? 4. Um fabricante de lajotas de cerˆ amica introduz um novo material em sua fabrica¸cão e acredita que aumentar´ a a resistência média, que é de 206 kg. A resitência das lajotas tem distribui¸cão normal. Retirase uma amostra de 30 lajotas, obtendo-se x ¯ = 210 kg e s = 12 kg. Ao n´ıvel de 10%, pode o fabricante aceitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado? 5. Um certo tipo de rato apresenta, nos três primeiros meses de vida, um ganho médio de peso de 58 g. Uma amostra de 10 ratos foi alimentada desde o nascimento até a idade de 3 meses com uma ra¸c˜ ao especial, e o ganho de peso de cada rato foi: 55, 58, 60, 62, 65, 67, 54, 64, 62 e 68. Há razões para crer, ao n´ıvel de 5%, que a ra¸c˜ ao especial aumenta o peso nos 3 primeiros meses de vida? 6. Suponha que um estudo em determinada região mostra que a ingestão diária média de calorias em adultos é de 2.400 kcal. Considere que um grupo de 25 adultos desta popula¸cão apresentou um consumo médio de 3.000 kcal, com um desvio padr˜ ao de 1.250 kcal. Para testar se o consumo calórico deste grupo é diferente do padr˜ ao de consumo da popula¸cão, use α = 5% e conclua. 7. Considere o conjunto de dados formado pelas notas de 60 alunos que estudaram estat´ıstica básica: 23 45 77 87 98

12 54 60 77 67

90 87 88 86 65

90 99 97 76 77

32 45 64 75 77

70 60 66 71 72

29 34 33 45 90

88 71 56 44 78

89 87 62 66 56

54 88 94 87 54

68 88 81 78 45

28 73 77 86 79

Sorteie 10 alunos, sem reposi¸c˜ ao, desse conjunto. Use a tábua de n´ umeros aleatórios abaixo e inicie seu sorteio considerando os dois primeiros algarismos de cada conjunto de cinco algarismos (come¸cando, assim, por 70, 88, 97, 20, 06, ...). Lembre-se de enumerar a popula¸cão. 70891 26943 01587 19827 63345 11601 03748 11166

88821 40213 05547 45549 61088 04533 67555 20498

97452 23032 41280 06723 01293 53473 03404 99753

20353 58781 00572 64692 93914 74240 91598 86323

06361 27620 18550 55592 32518 32640 66248 46310

70990 97239 32127 31574 61105 16851 13918 05831

18735 15102 48564 11217 56574 23814 92221 65045

56086 86483 58748 32794 50105 38439 19450 77398

a) Quais alunos foram sorteados? b) Apresente as notas correspondentes aos alunos sorteados. c) Calcule a média das notas amostradas. d) Calcule a variˆ ancia das notas amostradas. e) Calcule um intervalo de confian¸ca de 95% para a média populacional e interprete o resultado. f) O professor da disciplina afirmou que a nota média dos seus alunos é superior a 68,25. Teste com base na média encontrada da amostra e ao n´ıvel de 2,5% de significância a afirma¸cão do professor e conclua. 9.5

Teste de hip´ oteses para propor¸ c˜ oes

Em alguns casos o interesse é testar uma propor¸cão populacional p igual a uma propor¸cão p0 . Os passos a serem seguidos para a realiza¸cão deste teste de hipóteses são: 86

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Estat´ıstica B´ asica

tipo:

Primeiro passo: Formular as hip´oteses segundo a natureza do problema. Elas podem ser do H0 : p = p0 H0 : p = p0 H0 : p = p0 , e H1 : p 6= p0 H1 : p > p0 H1 : p < p0

Segundo passo: Especificar α que geralmente é informado no enunciado. pˆ − p0 , que sob H0 , zc ∼ N (0, 1). Terceiro passo: Calcular o valor da estat´ıstica zc = r p0 · (1 − p0 ) n Quarto passo: Concluir de acordo com o(s) valor(es) da região(ões) cr´ıtica(s). Se o valor da estat´ıstica pertencer ` a regi˜ ao cr´ıtica, rejeita-se H0 no n´ıvel de significância especificado, caso contrário, n˜ ao se rejeita H0 . Conforme a hip´ otese formulada obtêm-se as seguintes regiões cr´ıticas:

FIGURA 39 Regi˜ oes cr´ıticas conforme H1 : p 6= p0 ; H1 : p > p0 e H1 : p < p0 Sendo que ztab quando H1 : p 6= p0 dever ser consultado na tabela da distribui¸cão normal padronizada Z considerando −ztab = −zα/2 e ztab = zα/2 . Para as outras hip´ oteses, H1 : p > p0 e H1 : p < p0 , os valores de ztab são respectivamente, zα e −zα . Exemplo: Um comprador, ao receber de um fornecedor um grande lote de pe¸cas, decidiu inspecionar 200 delas. Decidiu, também, que o lote será rejeitado se ficar convencido, ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia, de que a propor¸c˜ ao de pe¸cas defeituosas no lote for superior a 4%. Qual será sua decis˜ ao (rejeitar ou n˜ ao o lote) se na amostra foram encontradas onze pe¸cas defeituosas? Solu¸c˜ ao: Dados: n = 200 α = 0,05 ztab = zα = z0,05 = 1,65

p0 = 4% = 0,04 11 y = 0,055 pˆ = = n 200 1 ao das hip´ oteses: - Formula¸c˜ H0 : p = 0,04 H1 : p > 0,04 2 - Especificar α: α = 0,05 3 - Calcular o valor da estat´ıstica: pˆ − p0 0,055 − 0,04 =r = 1,0825 zc = r p0 · (1 − p0 ) 0,04 · (1 − 0,04) n 200 4 - Conclus˜ ao: Conforme o desenho, nota-se que o valor da estat´ıstica zc = 1,0825 pertence ` a regi˜ ao de n˜ao rejei¸c˜ ao de H0 . Portanto, conclui-se que n˜ ao se rejeita H0 ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia ou seja, n˜ ao h´a motivos para rejeitar o lote de pe¸cas. 9.5.1

Exerc´ıcios

1. Suponha que um alergista deseja testar a hipótese de que pelo menos 30% das pessoas são alérgicas a medicamentos ` a base de sulfa. Explique como o alergista poderia cometer: a) um erro tipo I. b) um erro tipo II. UNIFAL-MG/Alfenas

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Estat´ıstica B´ asica

2. A reitoria de uma universidade acredita que a propor¸cão de alunos que ocasional ou frequentemente chegam atrasados ` as aulas é de 55%. a) Determine a hip´ otese nula e a alternativa. b) Determine quando um erro tipo I ou II ocorre para um teste de hipótese da afirma¸cão. c) Determine se o teste de hip´ otese é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. Explique. d) Como você deve interpretar uma decis˜ ao que rejeita a hipótese nula? e) Como você deve interpretar uma decis˜ ao que não rejeita a hipótese nula? 3. Sabe-se por experiência que 5% da produ¸cão de um determinado artigo é defeituosa. Um novo empregado é contratado. Ele produz 600 pe¸cas do artigo com 82 defeituosas. Ao n´ıvel de 15%, verificar se o novo empregado produz pe¸cas com maior ´ındice de defeitos que o existente. 4. Em uma experiência sobre percep¸c˜ ao extrassensorial (PES), um indiv´ıduo A, em uma sala isolada, é solicitado a declarar a cor vermelha ou preta (em n´ umeros iguais) de cartas tiradas ao acaso de um baralho de 50 cartas, por outro indiv´ıduo B, posicionado em outra sala. Se A identifica corretamente 32 cartas, esse resultado é significativo ao n´ıvel de 5% para indicar que A tem PES? 5. Um candidato a deputado estadual afirma que terá 60% dos votos dos eleitores de uma cidade. Um instituto de pesquisa colhe uma amostra de 300 eleitores dessa cidade, encontrando 160 que votarão no candidato. Esse resultado mostra que a afirma¸cão do candidato é verdadeira, ao n´ıvel de 5%? 6. Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é 90% eficaz na cura de uma alergia, em determinado per´ıodo. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. Testar ao n´ıvel de 1% se a pretens˜ ao do fabricante é leg´ıtima. 7. Um levantamento efetuado em um bairro de uma cidade mostrou que 25 indiv´ıduos adultos de um total de 80 eram tabagistas habituais. Considerando que a prevalência de tabagismo na popula¸cão adulta seja de 20%, teste a hip´ otese de que a prevalência de tabagismo neste bairro seja diferente da prevalência da popula¸c˜ ao em geral, a um n´ıvel de 5%. 9.6

Teste de hip´ oteses para compara¸ c˜ ao das variˆ ancias de duas popula¸ c˜ oes normais

Alguns testes de hip´ oteses exigem que seja verificado as variâncias dos dois grupos a serem testados. Um destes é o teste de hip´ oteses para compara¸cão de duas médias de duas popula¸cões normais. O teste mais comumente usado pelos pesquisadores é o teste F máximo ou teste de Hartley. s˜ ao similares aos dos testes já apresentados. Entretanto, a hipótese mais Os procedimentos 2 2 = σm H0 : σM 2 2 e a maior variância populacional e σm é a menor variância usual é 2 2 . Em que σM ´ H1 : σM > σm populacional. O segundo passo: é especificar o n´ıvel de significância α, normalmente fornecido 2 no enunciado. s2m sM s2M ÷ 2 = , pois, sob H0 , Terceiro passo: Calcular o valor da estat´ıstica Fc = 2 σM σm s2m 2 2 tem-se σM = σm e Fc ∼ F(nM −1; nm −1)gl . Em que: sM , sm , nM e nm representam, respectivamente, a maior e a menor variˆ ancia amostral e o tamanho da amostra de onde veio a maior e menor variância. Quarto passo: Concluir de acordo com o valor da região cr´ıtica. Se o valor da estat´ıstica pertencer ` a regi˜ ao cr´ıtica, rejeita-se H0 no n´ıvel de significância especificado, caso contrário, não se rejeita H0 . Rejeitando H0 significa que h´ a heterocedasticidade (heterogeneidade de variâncias). Conforme a hip´ otese formulada obtém-se a seguinte região cr´ıtica:

2 2 FIGURA 40 Regi˜ao cr´ıtica conforme H1 : σM > σm

Sendo que o Ftab = F(α; nM −1; nm −1) é obtido na tabela da distribui¸cão F com graus de liberdade nM − 1 = ν1 e nm − 1 = ν2 representando os graus de liberdade do numerador e do denominador, respectivamente. Exemplo: Dadas duas amostras extra´ıdas de popula¸cões normais independentes: n1 = 10; x ¯1 = 73; s1 = 5,9 88

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n2 = 13; x ¯2 = 57; s2 = 5,0 Testar a homogeneidade de variˆ ancias no n´ıvel de 5% de significância. Solu¸c˜ ao: 1 c˜ ao das hip´ oteses: - Formula¸ 2 2 H0 : σ M = σm 2 2 H1 : σ M > σm 2 - Especificar α: α = 0,05 3 - Calcular o valor da estat´ıstica: s2 (5,9)2 s2 s2 2 2 = M = = 1,3924, pois sob H0 tem-se σM = σm . Fc = M ÷ m 2 2 2 σM σm sm (5,0)2 4 - Conclus˜ ao: Conforme o desenho, nota-se que o valor da estat´ıstica Fc = 1,3924 pertence ` a regi˜ ao de não rejei¸c˜ ao de H0 . O valor Ftab = F(α; nM −1; nm −1) = F(0,05; 10−1; 13−1) = F(0,05; 9; 12) = 2,80 é obtido na tabela F considerando α = 0,05 e o n´ umero obtido na interse¸c˜ ao dos graus de liberdade do numerador da fra¸c˜ ao e o n´ umero dos graus de liberdade do denominador, ou seja, 9 e 12 gl. Portanto, conclui-se que n˜ ao se rejeita H0 ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia ou seja, as variâncias podem ser consideradas homogêneas. 9.7

Teste de hip´ oteses para duas m´ edias de popula¸ c˜ oes normais com variˆ ancias populacionais desconhecidas

Este teste de hip´ otese tem por objetivo comparar duas médias de popula¸cões normais, ou seja, o interesse deste teste é verificar µ1 − µ2 considerando x ¯1 − x ¯2 . Existem duas situa¸cões que devem ser consideradas: as variˆ ancias populacionais são ou não são homogêneas. 9.7.1

Testes de hip´ oteses para duas m´ edias, sendo σ12 = σ22 = σ 2

Primeiro passo: ser´ a considerada apenas um tipo de situa¸cão, em que µ1 − µ2 6= 0. O valor 0 é o valor a ser testado, poderia haver interesse em outros valores. H0 : µ1 − µ2 = 0 Neste caso as hip´ oteses s˜ ao: . H1 : µ1 − µ2 6= 0 O segundo passo: é especificar o n´ıvel de significância α, normalmente fornecido no enunciado. x ¯1 − x ¯2 − 0 Terceiro passo: Calcular o valor da estat´ıstica tc = s , 1 1 s2p · + n1 n2 2 2 (n1 − 1) · s1 + (n2 − 1) · s2 , em que sob H0 , tc ∼ t com ν = n1 + n2 − 2 gl. sendo s2p = n1 + n2 − 2 Quarto passo: Concluir de acordo com o valor da região cr´ıtica. Se o valor da estat´ıstica pertencer ` a regi˜ ao cr´ıtica, rejeita-se H0 no n´ıvel de significância especificado, caso contrário, não se rejeita H0 . Conforme a hip´ otese formulada obtém-se a seguinte região cr´ıtica:

FIGURA 41 Regi˜ao cr´ıtica conforme H1 : µ1 − µ2 6= 0 Onde os valores −ttab e ttab devem ser consultados na tabela da distribui¸c˜ao t, sendo considerados −ttab = −t(α/2; n1 +n2 −2) e ttab = t(α/2; n1 +n2 −2) . UNIFAL-MG/Alfenas

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Exemplo: Considere um experimento em que dois grupos de ratos (fˆemeas) foram alimentados com dietas apresentando alto e baixo conte´ udos de prote´ına. Os dados abaixo apresentam os dois grupos, dando o peso em gramas para cada rato entre o 28o e o 84o dia de vida. Alto 123 104 161 113

cont. prote´ına 134 146 119 124 107 83 129 97

Baixo cont. prote´ına 70 118 101 85 107 132 94

Teste ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia se os dois grupos tratados apresentam médias iguais nos pesos, considerando que j´ a foi realizado o teste F m´ aximo e não foi significativo para heterogeneidade de variâncias. Solu¸c˜ ao: Dados: Adotando o ´ındice 1 para os ratos que foram alimentados com alto conte´ udo de prote´ına e 2 para os ratos com baixo conte´ udo de prote´ına, tem-se: n1 = 12 x¯1 = 120 s21 = 457,4545 n2 = 7 x¯2 = 101 s22 = 425,3333 α = 0,05

ttab = t(α/2; n1 +n2 −2) = t(0,025; 12+7−2) −t(0,025; 17)=−2,110 t(0,025; 17)=2,110 (12 − 1) · 457,4545 + (7 − 1) · 425,3333 s2p = 12 + 7 − 2 s2p = 446,1176

1 - Formula¸c˜ ao das hip´ oteses: H0 : µ1 − µ2 = 0 H1 : µ1 − µ2 6= 0 2 - Especificar α: α = 0,05 3 - Calcular o valor da estat´ıstica: x ¯1 − x ¯2 − 0 120 − 101 − 0 tc = s = 1,891 =s 1 1 1 1 2 sp · 446,1176 · + + n1 n2 12 7 4 - Conclus˜ ao: Conforme o desenho, nota-se que o valor da estat´ıstica tc = 1,891 pertence ` a regi˜ ao de não rejei¸c˜ ao de H0 . Conclui-se que n˜ ao se rejeita H0 ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia ou seja, as médias não são estatisticamente diferentes. 9.7.2

Testes de hip´ oteses para duas m´ edias, sendo σ12 6= σ22

Como anteriormente, somente a situa¸cão em que µ1 − µ2 6= 0 será considerada. H0 : µ1 − µ2 = 0 O primeiro passo é a formula¸c˜ ao da hipótese: . H1 : µ1 − µ2 6= 0 O segundo passo: é especificar o n´ıvel de significância α, normalmente fornecido no enunciado. x ¯1 − x ¯2 − 0 Terceiro passo: Calcular o valor da estat´ıstica tc = s , em que sob H0 , tc ∼ t com s21 s22 + n1 n2 2 2 2 s1 s + 2 n1 n2 ν gl. Sendo ν = 2 2 2 . s21 s2 n1 n2 + n1 − 1 n2 − 1 Quarto passo: Concluir de acordo com o valor da região cr´ıtica. Se o valor da estat´ıstica pertencer ` a regi˜ ao cr´ıtica, rejeita-se H0 no n´ıvel de significância especificado, caso contrário, não se rejeita H0 . 90

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Estat´ıstica B´ asica

Conforme a hip´ otese formulada obt´em-se a seguinte regi˜ao cr´ıtica:

FIGURA 42 Região cr´ıtica conforme H1 : µ1 − µ2 6= 0 Onde os valores −ttab e ttab devem ser consultados na tabela da distribui¸cão t, sendo considerados −ttab = −t(α/2; ν) e ttab = t(α/2; ν) . Exemplo: Os dados abaixo se referem aos pesos, em gramas, de ratos machos da ra¸ca Wistar com 15 dias de idade, segundo a condi¸c˜ ao normal e submetidos à extirpa¸cão do timo (timectomiza¸cão) aos 4 dias de idade. Verificar se nas duas situa¸cões o ganho médio de peso destes animais é igual, usando α = 5% (h´ a heterocedasticidade). Condi¸c˜ ao normal Timectomizado

40,3 20,9

41,0 21,3

39,6 23,6

33,0 22,2

31,0 21,9

Solu¸c˜ ao: Dados: Adotando o ´ındice 1 para os ratos que est˜ ao na condi¸c˜ao normal e 2 para os ratos que foram timectomizados, tem-se: n1 = 5 x¯1 = 36,98 s21 = 21,412 n2 = 5 x¯2 = 21,98 s22 = 1,077 α = 0,05

2 s21 s2 + 2 n1 n2 ν = 2 2 2 2 s1 s2 n1 n2 + n1 − 1 n2 − 1

2 21,412 1,077 + 5 5 ν= 2 2 1,077 21,412 5 5 + 5−1 5−1 ν = 4,40 ⇒ 4 gl ttab = t(α/2; ν) = t(0,025; 4) −t(0,025; 4)=−2,776 t(0,025; 4)=2,776

1 - Formula¸c˜ ao das hip´ oteses: H0 : µ1 − µ2 = 0 H1 : µ1 − µ2 6= 0 2 - Especificar α: α = 0,05 3 - Calcular o valor da estat´ıstica: x ¯1 − x ¯2 − 0 36,98 − 21,98 − 0 tc = s = s = 7,073 21,412 1,077 s21 s22 + + 5 5 n1 n2 4 - Conclus˜ ao: Conforme o desenho, nota-se que o valor dos apresentando maior média de peso o primeiro da estat´ıstica tc = 7,073 pertence ` a regi˜ ao de rejei- grupo. ¸c˜ ao de H0 . Conclui-se que rejeita-se H0 ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia ou seja, as médias são estatisticamente diferentes. Assim, o peso médios dos ratos em condi¸c˜ ao normal difere dos timectomiza9.7.3

Exerc´ıcios

Mesmo afirmando que h´ a homocedasticidade ou heterocedasticidade (variâncias homogêneas ou variâncias heterogêneas) realize o teste F m´ aximo. UNIFAL-MG/Alfenas

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Introdu¸c˜ ao ` a Bioestat´ıstica

10 TESTES QUI-QUADRADO

1. Em um teste de hip´ otese de que mulheres sorriem para outras mais do que os homens o fazem entre si, mulheres e homens foram filmados enquanto conversavam, anotando-se o n´ umero de sorrisos de cada sexo. Com os seguintes n´ umeros de sorrisos em cinco minutos de conversa, teste a hipótese nula de que não h´ a diferen¸ca entre os sexos quanto ao n´ umero de sorrisos (α = 0,05). Após realizar um teste para verificar as variˆ ancias (teste de homogeneidade) concluiu-se que as variâncias dos grupos podem ser consideradas iguais. Homens Mulheres 8 15 11 19 13 13 4 11 2 18 2. Considerando que as variˆ ancias dos dois grupos testados não são iguais, no n´ıvel de 5% de significância, teste a afirma¸c˜ ao de que a quantidade média de alcatrão em cigarros com filtro é a mesma que a quantidade média de alcatr˜ ao em cigarros sem filtro. (Todas as medidas são em miligramas e os dados são da Federal Trade Commission.) Quantidade de alcatrão (mg) Com filtro Sem filtro n1 = 21 n2 = 8 x ¯1 = 13,3 x ¯2 = 24,0 s1 = 3,7 s2 = 1,7 3. De duas popula¸c˜ oes X normais X1 e X ao os apresentados a seguir: 2 foram retiradas amostras e os dados s˜ X Popula¸c˜ ao 1: n1 = 6; xi = 36,3; x2i = 223,55 X X Popula¸c˜ ao 2: n2 = 9; xi = 76,9; x2i = 665,81 Testar ao n´ıvel de 2,0% de significˆ ancia que a média da primeira popula¸cão é igual à segunda. Ap´ os realizar o teste de variˆ ancias elas podem ser consideradas iguais. 4. Para verificar a eficência de um cartaz na estimula¸cão à compra de determinado produto, 7 pares de lojas foram formados, cada par tendo as mesmas caracter´ısticas quanto à localiza¸cão, ao tamanho e ao volume geral das vendas. Isso feito, o cartaz foi colocado numa das lojas do par, não o sendo em sua correspondente, tendo o processo sido repetido para os 7 pares. Abaixo aparecem as vendas semanais do produto durante a experimenta¸c˜ ao, expressas em média de observa¸cão conduzida por dois meses. Analise os dados e conclua, a 5%, sobre o potencial do cartaz na indu¸cão à compra do produto. Admita normalidade e heterocedasticidade (variˆ ancias diferentes) entre os grupos. Par 1 2 3 4 5 6 7 Com cartaz 16 24 18 14 26 17 29 Sem cartaz 13 18 14 16 19 12 18 5. As amostras aleat´ orias seguintes, s˜ ao medidas da capacidade de gerar calor (em milhões de calorias por tonelada) de amostras de carv˜ ao de duas minas. Ao n´ıvel de 5% de significância, teste se a diferen¸ca entre as médias das duas popula¸c˜ oes é significativa. Admite-se normalidade dos dados e heterogeneidade de variˆ ancias (heterocedasticidade, variˆ ancias diferentes). Mina 1 9.400 8.230 8.380 7.860 7.930 Mina 2 7.510 7.690 7.720 8.070 7.660 10

TESTES QUI-QUADRADO

Os três testes que envolvem a distribui¸cão Qui-quadrado que serão estudados neste material s˜ ao: • Teste de aderência; • Teste de homogeneidade; • Teste de independência. Em todos os testes Qui-quadrado o que muda é só a hipótese envolvida no problema, basicamente, para os três tipos de testes de hip´ oteses, a estat´ıstica é: 92

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Introdu¸c˜ ao ` a Bioestat´ıstica

10 TESTES QUI-QUADRADO

χ2c =

n X (Oi − Ei )2 i=1

Sendo, sob H0 , χ2c ∼ χν em que ν s˜ ao os graus de liberdade da distribui¸c˜ao de probabilidade Qui-quadrado. 10.1

Teste de Aderˆ encia

Testa a hip´ otese da amostra ser proveniente de uma distribui¸cão de probabilidade definida em H0 . Ou seja, testa a hip´ otese de que uma distribui¸cão de frequências observadas se ajusta (ou adere) a uma determinada distribui¸c˜ ao de probabilidade definida em H0 . Como já estudado anteriormente o teste de hip´ oteses deve passar por quatro etapas. A primeira é a formula¸c˜ ao das hipóteses: H0 : Ajusta ` a distribui¸c˜ ao de probabilidade definida . H1 : N˜ ao ajusta ` a distribui¸c˜ ao de probabilidade definida A segunda é a especifica¸c˜ ao de α. A terceira é a obten¸c˜ ao do valor da estat´ıstica do teste:

χ2c =

k X (Oi − Ei )2 i=1

Sendo considerado sob H0 que χ2c ∼ χ2(k−1 gl) . Em que: Oi : representa as frequências observadas; Ei : representa as frequências esperadas; Ei = n × pi , onde n é o tamanho da amostra e pi é a probabilidade afirmada da i-ésima categoria; k: representa o n´ umero de categorias ou resultados diferentes. E, por u ´ltimo, decidir de acordo com o valor da região cr´ıtica. Se o valor da estat´ıstica pertencer a regi˜ ` ao cr´ıtica, rejeita-se H0 no n´ıvel de significância especificado, caso contrário, não se rejeita H0 . Conforme as hip´ oteses formuladas obtêm-se a seguinte região cr´ıtica:

FIGURA 43 Região cr´ıtica conforme H1 Sendo que χ2tab = χ2(α; k−1 gl) . Para a realiza¸c˜ ao deste teste tem-se que levar em conta que as frequências observadas devem ser obtidas por meio de uma amostra aleatória e que cada frequência esperada deva ser maior ou igual a 5. Exemplo: Uma pesquisa feita junto a 320 fam´ılias de 5 filhos cada revelou a distribui¸cão a seguir. Tais resultados se ajustam ` a distribui¸c˜ ao binomial com parâmetros n = 5 e p = 0,5? Usar α = 5%. N´ umero de meninas N´ umero de fam´ılias

0 18

1 56

2 110

3 88

4 40

5 8

Solu¸c˜ ao: Considerando X: a vari´ avel aleat´ oria nascimento de meninas, que segue a distribui¸cão binomial com parˆ ametros n = 5 e p = 0,5, a distribui¸c˜ ao das frequências esperadas para X é: X pi = P (X = x) UNIFAL-MG/Alfenas

0 0,03125

1 0,15625

2 0,3125

3 0,3125

4 0,15625

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5 0,03125 93

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10 TESTES QUI-QUADRADO

As frequˆencias esperadas podem ser calculadas por Ei = n × pi : E1 = 320 × 0,03125 = 10 E2 = 320 × 0,15625 = 50 E3 = 320 × 0,31250 = 100 E4 = 320 × 0,31250 = 100 E5 = 320 × 0,15625 = 50 E6 = 320 × 0,03125 = 10 Da´ı, tem-se: N´ umero de meninas No de fam´ılias observadas No de fam´ılias esperadas

0 18 10

1 56 50

2 110 100

3 88 100

4 40 50

5 8 10

As hip´ oteses em teste s˜ ao: H0 : Igualdade de nascimentos =⇒ Ajusta à distribui¸cão binomial . H1 : N˜ ao igualdade de nascimentos =⇒ Não se ajusta a` distribui¸cão binomial O n´ıvel de significˆ ancia é α = 5%.

A estat´ıstica do teste ´e: k 6 2 X X (O (Oi − Ei )2 i − Ei ) χ2c = = Ei Ei i=1 i=1 χ2c =

(18 − 10)2 (56 − 50)2 (110 − 100)2 (88 − 100)2 (40 − 50)2 (8 − 10)2 + + + + + = 11,96 10 50 100 100 50 10

O valor do Qui-quadrado tabelado foi encontrado baseando-se em χ2(α; k−1) = χ2(5%; 6−1) = χ2(5%; 5) = 11,070. Conforme o desenho, nota-se que o valor da estat´ıstica χ2c = 11,96 pertence à região de rejei¸c˜ ao de H0 . Conclui-se que se rejeita H0 ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia ou seja, h´ a motivos para afirmar que a distribui¸c˜ ao observada n˜ ao se adere à distribui¸c˜ ao binomial. 10.2

Teste de Independˆ encia

Ao estudar probabilidade foi visto que se dois eventos são independentes a ocorrência de um evento n˜ ao afeta a ocorrência do outro. Por exemplo, o lan¸camento de dados e moedas são independentes, ou experimentos com repeti¸c˜ ao e reposi¸c˜ ao. Este teste de hip´ oteses testa se a distribui¸cão conjunta é o produto das distribui¸cões marginais, o que s´ o ocorre quando existe independência entre as variáveis aleatórias. Neste caso as duas vari´ aveis aleatórias (de uma mesma popula¸cão) são organizadas numa tabela de dupla entrada (tabela de contingência). Os valores esperados são obtidos pela razão do produto dos valores marginais e o tamanho da amostra. As quatro etapas para a realiza¸caõ do teste é: As hip´ o teses em teste s˜ ao: H0 : H´ a independência entre as vari´ aveis . H1 : N˜ ao h´ a independência entre as variáveis Especificar α. Obter a estat´ıstica do teste é: χ2c =

r×c X (Oi − Ei )2 i=1

Sendo considerado sob H0 que χ2c ∼ χ2[(r−1)(c−1) gl] Em que: Oi : representa as frequˆencias observadas; Ei = Er,c : representa as frequˆencias esperadas; 94

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10 TESTES QUI-QUADRADO

(Soma da linha r) × (Soma da coluna c) Er,c = Tamanho da amostra r e c: representam o n´ umero de linhas e colunas da tabela, respectivamente, excetuando-se os totais. E, por u ´ltimo, decidir de acordo com o valor da região cr´ıtica. Se o valor da estat´ıstica pertencer a regi˜ ` ao cr´ıtica, rejeita-se H0 no n´ıvel de significância especificado, caso contrário, não se rejeita H0 . Conforme as hip´ oteses formuladas obtém-se a seguinte região cr´ıtica:

FIGURA 44 Regi˜ao cr´ıtica conforme H1 Sendo que χ2tab = χ2(α; [(r−1)(c−1)] gl) .

Exemplo: Os dados a seguir representam os resultados em pontos obtidos por estudantes em Estat´ıstica e C´ alculo I. Testar a hip´ otese de que os resultados em Estat´ıstica s˜ao independentes dos resultados obtidos em C´ alculo, ao n´ıvel de 2,5% de significˆancia. C´ alculo I 0≤n<5 5≤n<7 7 ≤ n ≤ 10 Total

0≤n<5 75 29 15 119

Estat´ıstica 5 ≤ n < 7 7 ≤ n ≤ 10 35 13 120 32 70 46 225 91

Total 123 181 131 435

Solu¸c˜ ao: Inicialmente, calcula-se as frequˆencias esperadas, sendo: (Soma da linha r) × (Soma da coluna c) Er,c = Tamanho da amostra (123) × (119) (181) × (91) E1,1 = = 33,6483 = 37,8644 E2,3 = 435 435 (123) × (225) (131) × (119) E1,2 = E3,1 = = 63,6207 = 35,8368 435 435 (123) × (91) (131) × (225) E1,3 = = 25,7310 E3,2 = = 67,7586 435 435 (181) × (119) (131) × (91) E2,1 = = 49,5149 E3,3 = = 27,4046 435 435 (181) × (225) E2,2 = = 93,6207 435 Assim, C´ alculo I 0≤n<5 5≤n<7 7 ≤ n ≤ 10 Total

0≤n<5 75(33,6483) 29(49,5149) 15(35,8368) 119

Estat´ıstica 5≤n<7 35(63,6207) 120(93,6207) 70(67,7586) 225

7 ≤ n ≤ 10 13(25,7310) 32(37,8644) 46(27,4046) 91

Total 123 181 131 435

Os valores entre parˆ enteses representam as frequˆ encias esperadas

As hip´ oteses em teste s˜ ao: H0 : As vari´ aveis s˜ ao independentes . H1 : As vari´ aveis s˜ ao n˜ ao independentes O n´ıvel de significˆ ancia ´e α = 2,5%.

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10 TESTES QUI-QUADRADO

A estat´ıstica do teste ´e: r×c 9 2 X X (O (Oi − Ei )2 i − Ei ) 2 χc = = Ei Ei i=1 i=1 (75 − 33,6483)2 (35 − 63,6207)2 (46 − 27,4046)2 + + ··· + = 111,6413 33,6483 63,6207 27,4046 O valor do Qui-quadrado tabelado obtido ´e: χ2c =

χ2[α; (r−1)(c−1)] = χ2[2,5%; (3−1)(3−1) gl] = χ2(2,5%; 4 gl) = 11,143

Conforme o desenho, nota-se que o valor da estat´ıstica χ2c = 111,641 pertence ` a regi˜ao de rejei¸c˜ ao de H0 . Portanto, rejeita-se H0 ao n´ıvel de 2,5% de significˆ ancia, ou seja, h´ a motivos para afirmar que as vari´ aveis n˜ ao s˜ ao independentes. 10.3

Teste de Homogeneidade

Este teste é usado pada determinar se várias propor¸cões são iguais quando amostras são tiradas de popula¸c˜ oes diferentes. Embora o teste seja semelhante ao teste de independência, aqui o interesse é o de verificar as propor¸c˜ oes, ou seja, se o comportamento de cada célula é “o mesmo”. Não se est´ a verificando as vari´ aveis (teste de independência) e sim as propor¸cões (valores das células). Conforme anteriormente descrito, as etapas para a realiza¸cão do teste é semelhante às demais: As hip´ o teses em teste s˜ ao: H0 : As propor¸c˜ oes s˜ ao iguais . H1 : No m´ınimo uma das propor¸c˜ oes é diferente das outras Especificar α. Obter a estat´ıstica do teste é: χ2c =

r×c X (Oi − Ei )2 i=1

Sendo considerado sob H0 que χ2c ∼ χ2[(r−1)(c−1) gl] Em que: Oi : representa as frequências observadas; Ei = Er,c : representa as frequências esperadas; (Soma da linha r) × (Soma da coluna c) Er,c = Tamanho da amostra r e c: representam o n´ umero de linhas e colunas da tabela, respectivamente, excetuando-se os totais. E, por u ´ltimo, decidir de acordo com o valor da região cr´ıtica. Se o valor da estat´ıstica pertencer a regi˜ ` ao cr´ıtica, rejeita-se H0 no n´ıvel de significância especificado, caso contrário, não se rejeita H0 . Conforme as hip´ oteses formuladas obtém-se a seguinte região cr´ıtica:

FIGURA 45 Regi˜ao cr´ıtica conforme H1 Sendo que χ2tab = χ2(α; [(r−1)(c−1)] gl) . 96

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Introdu¸c˜ ao ` a Bioestat´ıstica

10 TESTES QUI-QUADRADO

Exemplo: O sexo de um pesquisador tem influˆencia nas respostas dadas por homens a uma pesquisa, ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia? Os dados a seguir foram coletados considerando uma amostra de 1.200 homens. Categorias Homens que concordam Homens que discordam Total

Sexo do entrevistador Homem Mulher 560 308 240 92 800 400

Total 868 332 1200

Solu¸c˜ ao: Inicialmente, calcula-se as frequˆencias esperadas, sendo: (Soma da linha r) × (Soma da coluna c) Er,c = Tamanho da amostra (868) × (800) = 578,6667 1200 (868) × (400) = = 289,3333 1200

(332) × (800) = 221,3333 1200 (332) × (400) = = 110,6667 1200

E1,1 =

E2,1 =

E1,2

E2,2

Assim, Categorias Homens que concordam Homens que discordam Total

Sexo do entrevistador Homem Mulher 560(578,6667) 308(289,3333) 240(221,3333) 92(110,6667) 800 400

Total 868 332 1200

As hip´ oteses em teste s˜ ao:  oes de respostas concordo/discordo são as mesmas tanto para os  H0 : As propor¸c˜ entrevistados por homens como para os entrevistados por mulheres .  H1 : No m´ınimo uma das propor¸c˜ oes de resposta é diferente das outras O n´ıvel de significˆ ancia é α = 5%. A estat´ıstica do teste é: r×c 4 2 X X (O (Oi − Ei )2 i − Ei ) χ2c = = Ei Ei i=1 i=1 (560 − 578,6667)2 (308 − 289,3333)2 (240 − 221,3333)2 (92 − 110,6667)2 + + + = 6,5264 578,6667 289,3333 221,3333 110,6667 O valor do Qui-quadrado tabelado foi encontrado baseando-se em

χ2c =

χ2[α; (r−1)(c−1)] = χ2[5%; (2−1)(2−1)] = χ2(5%; 1) = 3,841 Conforme o desenho, nota-se que o valor da estat´ıstica χ2c = 6,5264 pertence ` a regi˜ ao de rejei¸c˜ ao de H0 . Portanto, rejeita-se H0 ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia, ou seja, h´ a motivos para afirmar que no m´ınimo uma das propor¸c˜ oes de resposta é diferente das outras. Observa¸ c˜ ao: Todos estes testes podem ser realizados desde que o n´ umero de observa¸cões em cada casela (célula) da tabela seja maior ou igual a 5 e a frequência esperada também. Caso não seja atendida esta condi¸c˜ ao, em cada classe deve ser utilizada a corre¸cão de Yates. UNIFAL-MG/Alfenas

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Introdu¸c˜ ao ` a Bioestat´ıstica

10.3.1

10 TESTES QUI-QUADRADO

Exerc´ıcios

1. Para verificar se um dado ´e honesto lan¸cou-se-o 1200 vezes anotando quantas vezes cada face ocorreu: Face Ocorrˆencia

1 180

2 207

3 191

4 203

5 210

6 209

Total 1200

Pergunta-se: existem raz˜ oes para duvidar da honestidade do dado? Teste ao n´ıvel de 5% de significância. 2. Um pesquisador conseguiu uma série de dados dos u ´ltimos 120 anos com o registro do n´ umero de ocorrência de uma doen¸ca rara. Os dados obtidos foram: N´ umero de ocorrências (xi ) N´ umero de anos (fi )

0 55

1 40

2 17

3 5

4 2

5 1

a) Estime o n´ umero médio de ocorrências/ano. b) Calcule para cada valor da vari´ avel aleatória X, as probabilidades associadas. Suponha que X possua distribui¸c˜ ao de Poisson e que a média amostral é o estimador do parâmetro λ da distribui¸cão Poisson. c) Calcule a frequência esperada (em n´ umero de anos) para cada valor de X. d) Compare os resultados esperados com os observados. Com base nesta compara¸cão, você pode afirmar que a distribui¸c˜ ao de Poisson é adequada para explicar a ocorrência desta doen¸ca na região de estudo? Justifique, usando α = 5%. 3. Muitas pessoas acreditam que, quando um cavalo inicia uma corrida, tem mais chance de ganhar se sua posi¸c˜ ao na linha de partida est´ a mais pr´ oxima do limite interno da pista. A posi¸cão 1 está mais próxima do limite interno, seguida pela posi¸c˜ ao 2, e assim por diante. Os dados a seguir relaciona o n´ umero de vit´ orias de cavalos nas diferentes posi¸c˜ oes de partida. Teste a afirma¸cão de que as probabilidades de vit´ oria n˜ ao s˜ ao as mesmas para as diferentes posi¸cões de partida ao n´ıvel de 5% de significância. Considere ao a probabilidade de ganhar é a mesma. P (X = x) = 18 , ou seja, em cada posi¸c˜

N´ umero de vit´ orias

1 29

2 19

Posi¸c˜ao de partida 3 4 5 6 7 18 25 17 10 15

8 11

4. Os dados seguintes vêm de um estudo concebido para investigar problemas de bebida entre os estudantes universit´ arios. Em 1983, foi perguntado a um grupo quem já dirigiu um automóvel depois de beber. Em 1987, depois de atingida a idade legal para o consumo de bebidas alcoólicas, foi feito o mesmo questionamento a outro grupo universit´ ario. Dirigia enquanto bebia Sim N˜ ao Total

Ano 1983 1987 1.250 991 1.387 1.666 2.637 2.657

Total 2.241 3.053 5.294

a) Qual teste qui-quadrado ser´ a usado: aderência, homogeneidade, independência? b) Use o teste qui-quadrado e α = 0,05 para avaliar a hipótese nula de que as propor¸cões de estudantes da popula¸c˜ ao que dirigia enquanto bebia s˜ ao as mesmas nos dois anos. 5. Uma empresa embala certo produto em latas de três tamanhos diferentes, cada uma utilizando uma linha de produ¸c˜ ao distinta. A maioria das latas atende às especifica¸cões, mas um engenheiro de controle de qualidade identificou as seguintes raz˜ oes para não-conformidade: mancha na lata, rachadura na lata, localiza¸c˜ ao impr´ opria da aba de abrir, falta da aba de abrir e outros. Uma amostra de unidades em n˜ ao-conformidade é selecionada de cada uma das três linhas, e cada unidade é classificada de acordo com a raz˜ ao para n˜ ao-conformidade, resultando na seguinte tabela de dados de contingiência: Linhas de produ¸c˜ ao 1 2 3 Total

Mancha 34 23 32 89

Raz˜ oes para a n˜ao-conformidade Rachadura Localiza¸c˜ao Faltando 65 17 21 52 25 19 28 16 14 145 58 54

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Outros 13 6 10 29

Tamanho da amostra 150 125 100 375

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˜ LINEAR E REGRESSAO ˜ LINEAR SIMPLES 11 CORRELAC ¸ AO

Estat´ıstica B´ asica

Os dados sugerem que as propor¸c˜ oes que caem em várias categorias de não-conformidade não são as mesmas para as três linhas? Use α = 0,05. 6. Os dados a seguir resultaram de um experimento para o estudo dos efeitos da remo¸cão das folhas na habilidade da fruta de um determinado tipo de amadurecer: Tratamento Controle Duas folhas removidas Quatro folhas removidas Seis folhas removidas Oito folhas removidas

N´ umero de frutas maduras 141 28 25 24 20

N´ umero de frutas abortadas 206 69 73 78 82

Os dados sugerem que a chance do amadurecimento da fruta é afetada pelo n´ umero de folhas removidas? Enuncie e teste as hip´ oteses apropriadas no n´ıvel de 0,01. 7. Um estudo de acidentes de autom´ ovel e motoristas que usam telefone celular selecionados aleatoriamente acusou os seguintes dados amostrais. Com o n´ıvel de 0,05 de significância, teste a afirma¸cão de que a ocorrência de acidentes é independente do uso de telefone celular. Com base nesses resultados, parece que a utiliza¸c˜ ao de celulares afeta a seguran¸ca da dire¸cão? Use α = 5%

Usa telefone celular N˜ ao usa o telefone celular

11 11.1

Com acidente no ano passado 23 46

Sem acidente no ano passado 282 407

˜ LINEAR E REGRESSAO ˜ LINEAR SIMPLES CORRELAC ¸ AO

Diagrama de dispers˜ ao

´ um gr´ E afico u ´til para examinar o relacionamento entre duas variáveis quantitativas, sendo formado por pontos (pares ordenados) observados nas variáveis quantitativas X (abscissas) e Y (ordenadas) em um plano coordenado. Exemplo: O diagrama de dispersão apresentado na Figura 46 foi confeccionado a partir de um conjunto de dados obtido de 50 amostras das três espécies de ´ıris16 (Iris setosa, Iris virginica e Iris versicolor), resultante de uma pesquisa realizada por Edgar Anderson na qual Ronald Fisher desenvolveu um modelo discriminante linear para distinguir cada espécie. FIGURA 46 Conjunto de dados de Íris de Fisher

Com base no diagrama de dispersão acima apresentado, pode-se observar que conforme o comprimento da pétala aumenta, a largura tende a aumentar. Este gr´ afico é importante também para se observar o comportamento das variáveis X e Y , por exemplo, se existe ou n˜ ao um comportamento aproximadamente linear, quadrático, c´ ubico, exponencial, log´ıstico etc. 11.2

Coeficiente de Correla¸ c˜ ao Linear Conforme o diagrama dispers˜ ao dos pares de pontos das vari´aveis X e Y , a correla¸c˜ao se classifica

em: 16

http://en.wikipedia.org/wiki/Iris flower data set. Acesso em: 24 jul. 2014

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˜ LINEAR E REGRESSAO ˜ LINEAR SIMPLES 11 CORRELAC ¸ AO

Estat´ıstica B´ asica

a) correla¸ c˜ ao positiva

b) correla¸ ca ˜o fortemente positiva

c) correla¸ ca ˜o negativa

d) correla¸ ca ˜o fortemente negativa

e) correla¸ ca ˜o nula

f) correla¸ ca ˜o nula

FIGURA 47 Tipos de relacionamentos entre X e Y As Figuras 47a e 47b mostram que as variáveis apresentam uma correla¸cão positiva, isto significa que valores altos de uma vari´ avel est˜ ao associados a valores altos da outra variável. Já nas Figuras 47c e 47d as vari´ aveis apresentam correla¸c˜ ao negativa indicando que valores altos de uma variável est˜ ao associados a valores baixos da outra vari´ avel. O pen´ ultimo e o u ´ltimo gr´ afico (Figuras 47e e 47f) exemplificam casos em que a correla¸c˜ ao linear é nula. O u ´ltimo gr´ afico ilustra uma dispersão na qual X e Y estão intimamente ligados, mas a rela¸c˜ ao n˜ ao é linear. Isto acontece porque o coeficiente de correla¸cão só é uma medida u ´til da for¸ca da rela¸c˜ ao entre duas vari´ aveis quando elas estão relacionadas linearmente. O fato de que duas vari´ aveis estejam correlacionadas não implica uma rela¸cão de causalidade (causa e efeito) entre as vari´ aveis, quer dizer, que a variável X cause Y ou vice-versa. Por outro lado, o fato da correla¸c˜ ao ser igual a zero n˜ ao implica que as variáveis não estão correlacionadas, elas podem n˜ ao possuir um comportamento linear, como a Figura 47f. Observar um diagrama de dispersão para interpretar a correla¸cão entre variáveis é importante porém é subjetivo. Um observador poderá achar que as duas variáveis possuem uma rela¸cão linear, enquanto outro n˜ ao acharia ser t˜ ao linear. Portanto, uma forma mais precisa de se medir a correla¸c˜ ao linear entre duas vari´ aveis é por meio de um valor numérico quantificando esta rela¸cão. O coeficiente de correla¸c˜ ao linear é uma técnica estat´ıstica empregada para medir a associa¸c˜ ao (rela¸c˜ ao, correla¸c˜ ao) entre duas vari´ aveis. Ele quantifica o grau de associa¸cão entre duas variáveis aleat´ orias, desde que a rela¸c˜ ao seja linear, em uma escala absoluta variando no intervalo [−1, 1]. A utiliza¸c˜ ao do coeficiente de correla¸c˜ ao como medida da rela¸cão ente variáveis apresenta algumas vantagens, entre as quais se destaca o fato de este coeficiente ser adimensional, ou seja, não depender da unidade de medida das vari´ aveis aleat´ orias. O coeficiente de correla¸c˜ ao linear é obtido pela Fórmula 1: n X n X

r = v u u u u n uX 2 u xi − u u i=1 t

xi yi −

i=1

n X

i=1

(1)

n X

!2   xi

i=1

 n  X  yi2 −     i=1

n X

!2  yi

i=1

     

Conforme o valor obtido no intervalo [−1, 1], a correla¸cão r é classificada como [??]: • fraca quando 0 ≤ |r| ≤ 0,5; • forte se 0,8 ≤ |r| ≤ 1; • moderada, caso contr´ ario. Enquanto que para [??], a intensidade do relacionamento de coeficientes de correla¸cão positivos e negativos pode ser categorizada da seguinte forma: 100

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˜ LINEAR E REGRESSAO ˜ LINEAR SIMPLES 11 CORRELAC ¸ AO

Estat´ıstica B´ asica

Perfeita

−1

+1 −0,9

+0,9 −0,8

Forte

+0,8 −0,7

+0,7 −0,6

+0,6 −0,5

Moderada

+0,5 −0,4

+0,4 −0,3

+0,3 −0,2

Fraca

+0,2 −0,1

Zero (nula)

+0,1 0

Este coeficiente de correla¸c˜ ao é também conhecido como r de Pearson e o seu nome completo ´ um teste paramétrico, portanto para o seu cálculo é coeficiente de correla¸c˜ ao momento produto. E é necess´ ario que os dados sejam provenientes de uma popula¸cão normalmente distribu´ıda. Se houver motivos para crer que essa condi¸c˜ ao n˜ ao fora atendida deve-se usar o equivalente não paramétrico do r de Pearson, chamado de ρ de Spearman [??]. Em an´ alise de regress˜ ao usa-se elevar o r de Pearson ao quadrado para se ter uma medida da variˆ ancia explicada, expressa em porcentagem, o que é válido somente em modelo de regressão linear simples. O r2 varia de 0 a 1, quanto maior o seu valor, mais explicativo é o modelo, ou seja, melhor ele se ajusta aos valores observados. Por exemplo, se o r2 de um modelo é 0,8932, significa que 89,32% da varia¸c˜ ao da vari´ avel dependente consegue ser explicada pelo modelo ajustado. Exemplo 1: Em um estudo conduzido na Itália, 10 pacientes com hipertrigliceridemia foram colocados sob dieta de baixas gorduras e altos carboidratos. Antes de iniciá-la, as medidas de colesterol e de triglicer´ıdeos foram registradas para cada indiv´ıduo. Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N´ıvel de Colesterol (mmol/L) 5,12 6,18 6,77 6,65 6,36 5,90 5,48 6,02 10,34 8,51

N´ıvel de Triglicer´ıdeos (mmol/L) 2,30 2,54 2,95 3,77 4,18 5,31 5,53 8,83 9,48 14,20

a) Construa um gr´ afico de dispers˜ ao para esses dados. b) H´ a alguma evidˆencia de uma rela¸c˜ ao linear entre os n´ıveis de colesterol e de triglicer´ıdeos antes da dieta? c) Calcule o coeficiente de correla¸c˜ ao r. Solu¸c˜ ao: a)

FIGURA 48 Diagrama de dispers˜ao: n´ıvel de colesterol e n´ıvel de triglicer´ıdeos

´ dif´ıcil afirmar. Por´em, parece haver uma rela¸c˜ao linear moderada. b) E c) UNIFAL-MG/Alfenas

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101

˜ LINEAR E REGRESSAO ˜ LINEAR SIMPLES 11 CORRELAC ¸ AO

Estat´ıstica B´ asica

Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Somas

xi 5,12 6,18 6,77 6,65 6,36 5,90 5,48 6,02 10,34 8,51 10 X

10 X

xi = 76,33

i=1

r = v u u u u n uX 2 u xi − u ui=1 t

yi = 59,09

i=1

n X n X

x2i 26,21 38,19 45,83 44,22 40,45 34,81 30,03 36,24 106,92 72,42

yi 2,30 2,54 2,95 3,77 4,18 5,31 5,53 8,83 9,48 14,20

xi yi −

i=1

10 X

xi yi 11,78 15,70 19,97 25,07 26,58 31,33 30,30 53,16 98,02 120,84

yi = 480,3857

i=1

10 X

xi yi = 432,7552

i=1

!2   xi

xi = 475,3283

i=1

i=1 n X

n X

10 X

yi2 5,29 6,45 8,70 14,21 17,47 28,20 30,58 77,97 89,87 201,64

 n  X  2 yi −    i=1

76,33 × 59,09 432,7552 − 10 = v ! ! = 0,6497 !2  u n 2 u X 76,33 (59,09)2 t 475,3283 − 480,3857 − yi   10 10 i=1    n 

De posse do valor obtido, r = 0,6497, e observando a classifica¸cão de [??] e [??], conclue-se que h´ a uma correla¸c˜ ao moderada. Exemplo 2: O diagrama de dispersão mostra que as variáveis possuem uma correla¸c˜ ao de: a)+1,00 b)−1,00 c)+0,70 // d)−0,70 e) n˜ ao tem correla¸c˜ ao

11.2.1

Exerc´ıcios

1. O n´ umero de horas que 12 estudantes passam on-line durante o fim de semana e a nota de cada estudante na prova de estat´ıstica na segunda-feira seguinte s˜ao: Horas gastas on-line Nota

0 96

1 85

2 82

3 74

3 95

5 68

5 76

5 84

6 58

7 65

7 75

10 50

Fa¸ca o diagrama de dispers˜ ao, calcule o coeficiente de correla¸cão e decida sobre o tipo de correla¸cão e o que isto significa na pr´ atica. 2. Uma pesquisa tinha por objetivo relacionar os salários mensais (em milhares de R$) recebidos por executivos homens e mulheres que exerciam a mesma fun¸cão. Observou-se os seguintes dados: Mulheres Homens

13,2 14,8

19,3 21,5

18,5 16,4

20,1 23,5

14,8 13,5

14,0 17,8

19,5 18,9

Fa¸ca o diagrama de dispers˜ ao, calcule o coeficiente de correla¸cão e interprete-o. 3. Algumas pessoas acreditam que o comprimento da linha da vida de sua mão pode ser usado para predizer a longevidade. Um estudo foi realizado e os autores refutam esta cren¸ca com o estudo de cad´ averes. Em termos de correla¸c˜ ao entre as variáveis o que eles encontraram? 4. Tempo gasto trabalhando com m´ aquinas agr´ıcolas e audi¸cão ruim tem uma correla¸cão negativa. O que você deve concluir? a) Pessoas com audi¸c˜ ao ruim têm maior probabilidade de passar longas horas trabalhando com máquinas agr´ıcolas. b) Trabalhar por longas horas pode causar danos à audi¸cão. c) Um tipo espec´ıfico de personalidade pode ter maior probabilidade de ter audi¸cão ruim e de trabalhar longas horas em m´ aquinas agr´ıcolas. d) Qualquer uma das alternativas, pois correla¸cão não significa causalidade. e) Nada se pode afirmar, pois n˜ ao existe correla¸cão negativa. 102

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Estat´ıstica B´ asica

11.3

˜ LINEAR E REGRESSAO ˜ LINEAR SIMPLES 11 CORRELAC ¸ AO

Regress˜ ao Linear Simples

Muitas vezes ao observar um diagrama de dispersão tem-se uma ideia de que as variáveis X e Y possuem um comportamento conhecido, podendo ser linear, quadrático, c´ ubico, exponencial, logar´ıtmico, log´ıstico etc. Em uma situa¸c˜ ao de modelagem t´ıpica, um cientista deseja obter uma rela¸cão matemática entre duas vari´ aveis X e Y usando um conjunto de n pares ordenados de medi¸cões (x1 ,y1 ), (x2 ,y2 ), (x3 ,y3 ), · · · (xn ,yn )

(2)

que estabelecem uma rela¸c˜ ao entre valores correspondentes das variáveis. Dois fenômenos podem ser distinguidos: os fenˆ omenos determin´ısticos, em que cada valor de X determina um valor de Y , e os fenˆ omenos probabil´ısticos, em que n˜ ao é determinado de maneira u ńica o valor de Y associado a um valor espec´ıfico de X. Por exemplo, se Y é a quantidade de alongamento que uma for¸ca X provoca em uma mola, ent˜ ao cada valor de X determina um u ńico Y e, portanto, constitui um modelo determin´ıstico. Por outro lado, se Y é o peso de uma pessoa cuja altura é X, então Y não está determinado de maneira u ńica por X, j´ a que pessoas com mesma altura podem ter pesos diferentes. Mas, mesmo assim, existe uma rela¸c˜ ao entre peso e altura, que faz com seja mais provável que uma pessoa alta pese mais, portanto, isso é um fenˆ omeno probabil´ıstico. Em um modelo determin´ıstico, a variável Y é uma fun¸cão da variável X, e o objetivo é encontrar uma f´ ormula y = f (x) que melhor descreva os dados. Uma maneira de modelar um conjunto de dados determin´ısticos é procurar uma fun¸cão f , denominada fun¸cão fun¸ c˜ ao interpoladora, cujo gr´ afico passe por todos os pontos de dados. Embora as fun¸cões interpoladoras sejam apropriadas em certas situa¸c˜ oes, elas n˜ ao d˜ ao conta de maneira adequada dos erros de medi¸cão. Por exemplo, suponha que foram levantados os seguintes dados referentes às variáveis X e Y e confeccionado o gráfico apresentado na Figura 49(a). Em tais dados pode ser ajustado um polinômio de grau dez cujo gráfico passa por todos os pares de pontos como mostra a Figura 49(b). Contudo um modelo polinomial não consegue transmitir a rela¸c˜ ao de linearidade subjacente aos dados. Uma abordagem melhor é procurar uma equa¸cão linear y = ax + b cujo gr´ afico descreve melhor a rela¸cão linear dos dados, mesmo que esse gráfico não passe por todos ou por qualquer um dos pontos de dados como está representado na Figura 49(c).

a) Diagrama de dispers˜ ao

b) Polinˆ omio de grau dez ajustado

c) Reta de regress˜ ao ajustada

FIGURA 49 Gráfico das variáveis X e Y A obten¸c˜ ao do gr´ afico da Figura 49(c) é feita por meio de técnicas estat´ısticas chamada de an´ alise de regress˜ ao. A an´ alise de regressão consiste na realiza¸cão de cálculos que permitem determinar a existência de uma rela¸c˜ ao funcional entre uma variável dependente com uma ou mais variáveis independentes. Ou seja, consiste na obten¸cão de uma equa¸cão que tenta explicar a varia¸cão da vari´ avel dependente pela varia¸c˜ ao dos n´ıveis da(s) variável(is) independente(s). As variáveis dependentes e independentes s˜ ao classificadas como quantitativas. Ao se escolher um modelo para descrever o comportamento de variáveis, ele deve ser coerente com o que acontece na pr´ atica. Para isso, deve-se considerar no momento de se escolher o modelo: • O modelo selecionado est´ a condizente tanto no grau como no aspecto da curva para representar em termos pr´ aticos o fenˆ omeno em estudo? • O modelo contém apenas as vari´ aveis que são relevantes para explicar o fenômeno? O Método dos M´ınimos Quadrados é utilizado para a obten¸cão de um modelo matemático (equa¸c˜ ao) que melhor se ajuste aos dados, ou seja, que determine a melhor rela¸cão funcional entre as vari´ aveis. Este método se baseia na obten¸cão de uma equa¸cão estimada de tal forma que as distâncias UNIFAL-MG/Alfenas

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103

Estat´ıstica B´ asica

˜ LINEAR E REGRESSAO ˜ LINEAR SIMPLES 11 CORRELAC ¸ AO

entre os pontos do diagrama e os pontos da curva do modelo matemático, em geral, sejam as menores poss´ıveis. Resumindo: com este método a soma de quadrados das distâncias entre os pontos do diagrama e dos respectivos pontos na curva da equa¸cão estimada é minimizada, obtendo-se, desta forma, uma rela¸c˜ ao funcional entre X e Y , para o modelo escolhido, com um m´ınimo de erro poss´ıvel. O erro (também denominado res´ıduo) ei corresponde à diferen¸ca entre um valor observado yi e o valor estimado yî obtido a partir da equa¸cão estimada: ei = yi − yî . Para uma melhor compreens˜ ao observe a Figura 50.

FIGURA 50 Esquematiza¸cão dos erros: ei = yi − yî Note que para cada ponto observado existe um ponto estimado, portanto há tanto erros quanto pares de pontos. Embora existam diversos modelos, este material apenas abordará o modelo (3) que é conhecido como modelo de regress˜ ao linear simples: yi = β0 + β1 xi + ei

(3)

Em que: • yi : é o valor observado para a vari´ avel dependente Y no i-ésimo n´ıvel da variável independente X; • β0 : é a constante de regress˜ ao. Representa o intercepto da reta com o eixo-y; • β1 : coeficiente de regress˜ ao. Representa a varia¸cão de Y em fun¸cão da varia¸cão de uma unidade da vari´ avel X; • xi : é o i-ésimo n´ıvel da vari´ avel independente, i = 1,2,3, · · · ,n; • ei : é o erro associado ` a distˆ ancia entre o valor observado yi e o correspondente ponto na curva do modelo proposto para o mesmo n´ıvel i de X. Este modelo é denominado modelo estat´ıstico por considerar um erro associado a cada observa¸c˜ ao, diferentemente do modelo matem´ atico. A regress˜ ao linear simples tem por objetivo encontrar valores (estimativas βˆ0 e βˆ1 ) dos parˆ ametros do Modelo (3) os quais minimizam a distância entre os pontos (valores observados) do diagrama de dispers˜ ao e a curva a ser ajustada. Por meio do método dos m´ınimos quadrados, as estimativas dos parˆ ametros do modelo linear é obtido por: βˆ0 = y¯ − βˆ1 x ¯ n P

βˆ1 =

yi xi −

n P

i=1

x2i −

i=1

n P

(4)

n P

2 xi

SP Dxy SQDx

(5)

i=1

Na pr´ atica, determina-se βˆ1 em primeiro lugar e depois βˆ0 . A estimativa do coeficiente de regress˜ ao βˆ1 mede o quanto muda na variável dependente Yˆ por uma mudan¸ca unitária na variável 104

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independente X. Os valores (estimativas dos parâmetros) obtidos pelo método dos m´ınimos quadrados s˜ ao os melhores valores que podem ser usados para descrever a rela¸cão entre as duas variáveis. Exemplo 1: Sejam os dados a seguir: x y

4 10

7 16

10 20

12 24

17 30

Admitindo que as vari´ aveis X e Y est˜ ao relacionadas de acordo com o modelo yi = β0 + β1 xi + ei , determine as estimativas dos parˆ ametros da equa¸cão de regressão linear e trace o gráfico. Solu¸c˜ ao 5 P

n = 5;

5 P

xi = 50;

i=1

i=1 5 P

5 P

βˆ1 =

xi yi −

i=1

x2i −

yi = 100;

i=1

5 P i=1

yi2 = 2232;

5 P

xi yi = 1150

i=1

5 P

i=1

5 P

x2i = 598;

5 P

150 = 1,5306 98

100 50 βˆ0 = y¯ − βˆ1 x ¯= − 1,5306 × = 4,6940 5 5

i=1

Assim, a equa¸c˜ ao obtida é: yî = 4,6940 + 1,5306xi O gr´ afico é o apresentado a seguir:

FIGURA 51 Diagrama de dispersão e gráfico da equa¸cão ajustada Exemplo 2: Uma empresa que fabrica medicamentos realizou um levantamento do custo total de um seus produtos (Y ), expresso em R$ 1.000,00, em fun¸cão do n´ umero total de medicamentos (X) produzidos, expresso em unidades, durante cinco meses, com o objetivo de montar uma regressão linear simples entre essas vari´ aveis, obteve-se os somatórios: X X X X X x = 440 y = 120 xy = 12.300 x2 = 49.450 y 2 = 3.200 Nessas condi¸c˜ oes, pede-se: a) a reta que melhor ajuste a esses dados. b) o valor do coeficiente de correla¸c˜ ao linear. c) o valor mais prov´ avel dos custos fixos. d) o valor predito do custo vari´ avel para uma produ¸cão de 500 unidades. e) o valor predito do custo total para uma produ¸cão de 500 unidades. Solu¸c˜ ao: a) yˆ = 9,7264 + 0,1622x b) r = 0,9390 c) O valor mais prov´ avel dos custos fixos é dado por βˆ0 , portanto, 9,7264 × 1.000 = R$ 9.726,40. d) O custo vari´ avel é dado por βˆ1 , portanto, 0,1622 × 500 × 1.000 = R$ 81.100,00. e) O custo total é dado pelo modelo completo, portanto, (9,7264 + 0,1622 × 500) × 1.000 = R$ 90.826,40.

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Exemplo 3: Nos 11 anos anteriores à aprova¸c˜ ao do Ato Federal de Seguran¸ca e Sa´ ude das Minas de Carv˜ ao de 1969, as taxas de fatalidade para os mineiros no subsolo pouco variavam. Depois da sua implementa¸c˜ ao, no entanto, as taxas de fatalidade diminu´ıram rapidamente até 1979. As taxas para os anos de 1970 até 1981 s˜ ao fornecidas a seguir; para fins computacionais, os anos foram convertidos para uma escala que se inicia em 1.

Ano Calend´ ario

Ano

1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Taxa de fatalidade por 1000 empregados 2,419 1,732 1,361 1,108 0,996 0,952 0,904 0,792 0,701 0,890 0,799 1,084

a) Construa um gr´ afico de dispers˜ ao da taxa de fatalidade versus o tempo. O que este gráfico sugere sobre a rela¸caõ entre as vari´ aveis? b) Para modelar a tendência nas taxas de fatalidade, ajuste a linha de regressão de m´ınimos quadrados Yˆ = βˆ0 + βˆ1 X, onde X representa o tempo (ano). c) Transforme a vari´ avel explicativa X para ln X. Crie um gráfico de dispersão da taxa de fatalidade versus o logaritmo natural do tempo (ano). d) Ajuste o modelo de m´ınimos quadrados Yˆ = βˆ0 + βˆ1 ln X e) Calcule o quadrado do coeficiente de correla¸cão (r2 ), também denominado de coeficiente de determina¸c˜ ao, e sugira qual modelo é mais indicado para descrever as variáveis. Solu¸c˜ ao: Os gr´ aficos referentes a cada situa¸c˜ ao se encontram na Figura 52. Em: (a) não se observa tendência linear; (b) o modelo ajustado é yˆ = 1,8056 − 0,1017x; (d) o modelo ajustado é yˆ = 2,1352 − 0,5946x∗ , em que x∗ = ln(x); (e) O coeficiente de determina¸cão para o modelo da letra (b) é 55,90% e para o modelo (d) é 59,64%, logo o u ´ltimo modelo é o mais indicado. O valor do seu r2 significa que 59,64% da varia¸c˜ ao da vari´ avel dependente (Ano) consegue ser explicada pelo modelo ajustado.

a) Diagrama de dispers˜ ao: Ano versus Taxa de fatalidade

b) Modelo ajustado: yˆ = 1,8056 − 0,1017x

c) Diagrama de dispers˜ ao: Ano versus logaritmo da Taxa de fatalidade

d) Modelo ajustado: yˆ = 2,1352 − 0,5946x∗

FIGURA 52 Gr´aficos referentes ao exerc´ıcio 11.3.1

Exerc´ıcios

1. Ajustar a equa¸c˜ ao de regress˜ ao linear aos dados amostrais apresentados abaixo e confeccionar o diagrama de dispers˜ ao com gr´ afico da equa¸c˜ao ajustada. Temperatura (C◦ ) Comprimento (mm)

10 1003

15 1005

20 1010

25 1011

30 1014

2. Para o seguinte conjunto de valores de x e y obtenha a equa¸c˜ao de regress˜ao estimada. 106

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x y

2 10,3

4 18,2

6 25,1

8 35,6

10 43,0

12 50,0

14 59,1

16 67,8

18 75,2

20 85,0

3. Frutos de pepino s˜ ao utilizados para a produ¸cão de pickles e estes são preservados em uma solu¸c˜ ao salina com 2 a 3% de s´ odio. Os dados abaixo mostram a redu¸cão na firmeza (variável Y medida em libras) de pickles estocados por um per´ıodo de 0 a 52 semanas (X) em solu¸cão salina. Semanas (X) Firmeza (Y )

0 19,8

4 16,5

14 12,8

32 8,1

32 7,5

a) Fa¸ca o diagrama de dispers˜ ao. A disposi¸cão dos dados apresenta um comportamento linear? A correla¸c˜ ao entre as vari´ aveis é positiva, negativa ou nula? b) Calcule o coeficiente de correla¸c˜ ao e interprete-o. c) Encontre a equa¸c˜ ao de regress˜ ao e apresente o gráfico com os pontos observados e a reta encontrada. d) Calcule o coeficiente de determina¸c˜ ao e interprete-o. e) Calcule o valor dos erros para cada ponto e verifique se a soma deles é zero. 4. Dadas as situa¸c˜ oes abaixo que correspondem uma lista de situa¸cões de pesquisa, indique para cada uma delas se o apropriado é proceder uma análise de regressão ou uma de correla¸cão. Justifique sua indica¸c˜ ao. a) O n´ıvel de HDL (colesterol) se relaciona com o n´ umero de horas de prática de exerc´ıcios f´ısicos? b) Qual é a varia¸c˜ ao da demanda de certo produto em fun¸cão de seu pre¸co de venda? c) O valor do aluguel est´ a associado ` a distˆ ancia da universidade? d) Qual é o valor do custo de produ¸c˜ ao de certo produto conforme o volume produzido?

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12 Tabelas de distribui¸ c˜ oes de probabilidade te´ oricas

Tabelas de distribui¸ c˜ oes de probabilidade te´ oricas

Distribui¸ca˜o normal padronizada para P (Z > z)

z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 5,0

108

TABELA 28 Probabilidades (α) da distribui¸c˜ao normal Segunda decimal de Z 0 1 2 3 4 5 6 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

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padronizada 7 0,4721 0,4325 0,3936 0,3557 0,3192 0,2843 0,2514 0,2206 0,1922 0,1660 0,1423 0,1210 0,1020 0,0853 0,0708 0,0582 0,0475 0,0384 0,0307 0,0244 0,0192 0,0150 0,0116 0,0089 0,0068 0,0051 0,0038 0,0028 0,0021 0,0015 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000

8 0,4681 0,4286 0,3897 0,3520 0,3156 0,2810 0,2483 0,2177 0,1894 0,1635 0,1401 0,1190 0,1003 0,0838 0,0694 0,0571 0,0465 0,0375 0,0301 0,0239 0,0188 0,0146 0,0113 0,0087 0,0066 0,0049 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010 0,0002 0,0000 0,0000

9 0,4641 0,4247 0,3859 0,3483 0,3121 0,2776 0,2451 0,2148 0,1867 0,1611 0,1379 0,1170 0,0985 0,0823 0,0681 0,0559 0,0455 0,0367 0,0294 0,0233 0,0183 0,0143 0,0110 0,0084 0,0064 0,0048 0,0036 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010 0,0002 0,0000 0,0000

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Distribui¸ca˜o t de Student para P (T > t) = α

TABELA 29 Valores do quantil t segundo os graus de liberdade (gl) e probabilidades α ´ Area na cauda superior (α) gl 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005 1 1,000 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6 2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60 3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92 4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869 6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408 8 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041 9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587 10 11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437 12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318 13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221 14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140 15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015 17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965 18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922 19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883 20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850 21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819 22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792 23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,768 24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745 25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725 26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707 27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690 28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674 29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659 30 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646 35 0,682 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 2,996 3,340 3,591 40 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551 45 0,680 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 2,952 3,281 3,520 50 0,679 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496

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12 Tabelas de distribui¸ c˜ oes de probabilidade te´ oricas

Distribui¸ca˜o χ2 para P (χ2 > χ2c ) = α

TABELA 30 Valores do quantil χ2 segundo os graus de liberdade (gl) e probabilidades α ´ Area na cauda superior (α) gl 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 1 0,455 1,323 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 1,386 2,773 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 2 3 2,366 4,108 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 3,357 5,385 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 4 5 4,351 6,626 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750 5,348 7,841 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 6 7 6,346 9,037 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 7,344 10,219 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 8 9 8,343 11,389 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 10 9,342 12,549 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 11 10,341 13,701 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 12 11,340 14,845 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 13 12,340 15,984 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 14 13,339 17,117 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 15 14,339 18,245 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 16 15,338 19,369 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 17 16,338 20,489 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 18 17,338 21,605 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 19 18,338 22,718 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 20 19,337 23,828 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 21 20,337 24,935 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 22 21,337 26,039 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 23 22,337 27,141 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 24 23,337 28,241 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559 25 24,337 29,339 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 26 25,336 30,435 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 27 26,336 31,528 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 28 27,336 32,620 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 29 28,336 33,711 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336 30 29,336 34,800 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 40 39,335 45,616 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 50 49,335 56,334 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 60 59,335 66,981 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 120 119,334 130,055 140,233 146,567 152,211 158,950 163,648 240 239,334 254,392 268,471 277,138 284,802 293,888 300,182 480 479,334 500,519 520,111 532,075 542,599 555,006 563,561

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Profs. Fl´ avio Bittencourt/Adriana Dias

UNIFAL-MG/Alfenas

Estat´ıstica B´ asica

12 Tabelas de distribui¸ c˜ oes de probabilidade te´ oricas

Distribui¸ca˜o F para P (F > Fc ) = 5%

TABELA 31 Valores do quantil F segundo os graus de liberdade do numerador (v1 ) e graus de liberdade do denominador (v2 ) e probabilidade 5% v1 v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 120 240 480 960

1 161,448 18,513 10,128 7,709 6,608 5,987 5,591 5,318 5,117 4,965 4,844 4,747 4,667 4,600 4,543 4,494 4,451 4,414 4,381 4,351 4,325 4,301 4,279 4,260 4,242 4,225 4,210 4,196 4,183 4,171 4,085 4,034 4,001 3,920 3,880 3,861 3,851

2 199,500 19,000 9,552 6,944 5,786 5,143 4,737 4,459 4,256 4,103 3,982 3,885 3,806 3,739 3,682 3,634 3,592 3,555 3,522 3,493 3,467 3,443 3,422 3,403 3,385 3,369 3,354 3,340 3,328 3,316 3,232 3,183 3,150 3,072 3,033 3,015 3,005

UNIFAL-MG/Alfenas

3 215,707 19,164 9,277 6,591 5,409 4,757 4,347 4,066 3,863 3,708 3,587 3,490 3,411 3,344 3,287 3,239 3,197 3,160 3,127 3,098 3,072 3,049 3,028 3,009 2,991 2,975 2,960 2,947 2,934 2,922 2,839 2,790 2,758 2,680 2,642 2,623 2,614

4 224,583 19,247 9,117 6,388 5,192 4,534 4,120 3,838 3,633 3,478 3,357 3,259 3,179 3,112 3,056 3,007 2,965 2,928 2,895 2,866 2,840 2,817 2,796 2,776 2,759 2,743 2,728 2,714 2,701 2,690 2,606 2,557 2,525 2,447 2,409 2,391 2,381

5 230,162 19,296 9,013 6,256 5,050 4,387 3,972 3,687 3,482 3,326 3,204 3,106 3,025 2,958 2,901 2,852 2,810 2,773 2,740 2,711 2,685 2,661 2,640 2,621 2,603 2,587 2,572 2,558 2,545 2,534 2,449 2,400 2,368 2,290 2,252 2,233 2,223

6 233,986 19,330 8,941 6,163 4,950 4,284 3,866 3,581 3,374 3,217 3,095 2,996 2,915 2,848 2,790 2,741 2,699 2,661 2,628 2,599 2,573 2,549 2,528 2,508 2,490 2,474 2,459 2,445 2,432 2,421 2,336 2,286 2,254 2,175 2,136 2,117 2,108

7 236,768 19,353 8,887 6,094 4,876 4,207 3,787 3,500 3,293 3,135 3,012 2,913 2,832 2,764 2,707 2,657 2,614 2,577 2,544 2,514 2,488 2,464 2,442 2,423 2,405 2,388 2,373 2,359 2,346 2,334 2,249 2,199 2,167 2,087 2,048 2,029 2,019

Profs. Fl´ avio Bittencourt/Adriana Dias

8 238,883 19,371 8,845 6,041 4,818 4,147 3,726 3,438 3,230 3,072 2,948 2,849 2,767 2,699 2,641 2,591 2,548 2,510 2,477 2,447 2,420 2,397 2,375 2,355 2,337 2,321 2,305 2,291 2,278 2,266 2,180 2,130 2,097 2,016 1,977 1,958 1,948

9 240,543 19,385 8,812 5,999 4,772 4,099 3,677 3,388 3,179 3,020 2,896 2,796 2,714 2,646 2,588 2,538 2,494 2,456 2,423 2,393 2,366 2,342 2,320 2,300 2,282 2,265 2,250 2,236 2,223 2,211 2,124 2,073 2,040 1,959 1,919 1,899 1,890

10 241,882 19,396 8,786 5,964 4,735 4,060 3,637 3,347 3,137 2,978 2,854 2,753 2,671 2,602 2,544 2,494 2,450 2,412 2,378 2,348 2,321 2,297 2,275 2,255 2,236 2,220 2,204 2,190 2,177 2,165 2,077 2,026 1,993 1,910 1,870 1,850 1,841 Continua...

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Estat´ıstica B´ asica

12 Tabelas de distribui¸ c˜ oes de probabilidade te´ oricas

... continua¸c˜ ao v1 v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 120 240 480 960

112

11 242,983 19,405 8,763 5,936 4,704 4,027 3,603 3,313 3,102 2,943 2,818 2,717 2,635 2,565 2,507 2,456 2,413 2,374 2,340 2,310 2,283 2,259 2,236 2,216 2,198 2,181 2,166 2,151 2,138 2,126 2,038 1,986 1,952 1,869 1,829 1,809 1,799

12 243,906 19,413 8,745 5,912 4,678 4,000 3,575 3,284 3,073 2,913 2,788 2,687 2,604 2,534 2,475 2,425 2,381 2,342 2,308 2,278 2,250 2,226 2,204 2,183 2,165 2,148 2,132 2,118 2,104 2,092 2,003 1,952 1,917 1,834 1,793 1,772 1,762

13 244,690 19,419 8,729 5,891 4,655 3,976 3,550 3,259 3,048 2,887 2,761 2,660 2,577 2,507 2,448 2,397 2,353 2,314 2,280 2,250 2,222 2,198 2,175 2,155 2,136 2,119 2,103 2,089 2,075 2,063 1,974 1,921 1,887 1,803 1,761 1,741 1,730

14 245,364 19,424 8,715 5,873 4,636 3,956 3,529 3,237 3,025 2,865 2,739 2,637 2,554 2,484 2,424 2,373 2,329 2,290 2,256 2,225 2,197 2,173 2,150 2,130 2,111 2,094 2,078 2,064 2,050 2,037 1,948 1,895 1,860 1,775 1,733 1,712 1,702

15 245,950 19,429 8,703 5,858 4,619 3,938 3,511 3,218 3,006 2,845 2,719 2,617 2,533 2,463 2,403 2,352 2,308 2,269 2,234 2,203 2,176 2,151 2,128 2,108 2,089 2,072 2,056 2,041 2,027 2,015 1,924 1,871 1,836 1,750 1,708 1,687 1,677

20 248,013 19,446 8,660 5,803 4,558 3,874 3,445 3,150 2,936 2,774 2,646 2,544 2,459 2,388 2,328 2,276 2,230 2,191 2,155 2,124 2,096 2,071 2,048 2,027 2,007 1,990 1,974 1,959 1,945 1,932 1,839 1,784 1,748 1,659 1,614 1,592 1,581

30 250,095 19,462 8,617 5,746 4,496 3,808 3,376 3,079 2,864 2,700 2,570 2,466 2,380 2,308 2,247 2,194 2,148 2,107 2,071 2,039 2,010 1,984 1,961 1,939 1,919 1,901 1,884 1,869 1,854 1,841 1,744 1,687 1,649 1,554 1,507 1,483 1,471

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40 251,143 19,471 8,594 5,717 4,464 3,774 3,340 3,043 2,826 2,661 2,531 2,426 2,339 2,266 2,204 2,151 2,104 2,063 2,026 1,994 1,965 1,938 1,914 1,892 1,872 1,853 1,836 1,820 1,806 1,792 1,693 1,634 1,594 1,495 1,445 1,420 1,407

60 252,196 19,479 8,572 5,688 4,431 3,740 3,304 3,005 2,787 2,621 2,490 2,384 2,297 2,223 2,160 2,106 2,058 2,017 1,980 1,946 1,916 1,889 1,865 1,842 1,822 1,803 1,785 1,769 1,754 1,740 1,637 1,576 1,534 1,429 1,375 1,347 1,332

120 253,253 19,487 8,549 5,658 4,398 3,705 3,267 2,967 2,748 2,580 2,448 2,341 2,252 2,178 2,114 2,059 2,011 1,968 1,930 1,896 1,866 1,838 1,813 1,790 1,768 1,749 1,731 1,714 1,698 1,683 1,577 1,511 1,467 1,352 1,290 1,256 1,239

UNIFAL-MG/Alfenas

ˆ ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [1] GONCALVES, ¸ M. E. Gerˆ encia de sa´ ude: estat´ıstica aplicada. Rio de Janeiro, RJ: Funda¸c˜ ao CECIERJ, 2010. 168 p. [2]

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