Equações diferenciais zill 3ª ed volume i by Vitor Silva

TABELA DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE !IJ {f(t)} = F(s)

f(t)

!!J {f(t)} =F(s)

f(t)

1. 2.

I n

- - . num inteiro posll1 vo 5n + 1

20.

e"' senh k 1

21.

e"' cosh k1

122.

s -

r scn kt (s2

23.

24.

11 12

2s3/2

r(a + 1). a > - 1

t cos kt

(s' (s 2

senkt - kt cosk t

sen kl

26.

1 scnh kt

cos k1

27.

sen2 kr

a+I

4k 2 )

s 2 + 2k 2

s(s 2 + 4k

12.

senh k1

2ks

cosh kt

14.

scnh2 k1

b< e ª' - e

a - b

29 .

30.

- cos k1

31.

32.

33 .

k1-scnk1

a sen bt - b sen at

s(s 2 16.

1"e ª'

18.

eª' sen k1

b 2)

34.

35.

(s2

+ a2)(s2 + b 1) 2k 2s

se n kt senhkt

4k 2)

17.

2k 2

cos bt - casar ª 2 _ b2

s(s2 - 4k 2)

cosh2 k1

(s - a)(s - b)

ab(a 2

15.

(s - a)(s - b)

s2 -

+ k2

t cos h k t

ae ª' - be b< a - b

1 s - a

si - k

13.

+ k 2/

(s' + k 2)2

28.

cos2 kl e "'

+ k 2)2

(s2 _ k 2)2

s(s 2

li.

+ k 2)2 k2

2k 3

10.

2ki

sen kt + kt cos kt

25 .

s 7.

sen k1 cos h k1

s 4 + 4k 4 k(s' + 2k 2 )

(s - a) 2

s 4 + 4k 4

_ ___::nc:_!_ _ , n um inteiro positivo

k(s' - 2k 2 )

(s - a)n

+ 1

k (s -

a/+

36.

cosk1 senhki

37.

cos k1 cosh kt

+ 4k 4 s

s 4 + 4k 4

s - a 19.

eª'coskt

s2 -

- 112

6. ,a

-+--- -- - - -

38.

J o(k 1)

TABELA DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE !lJ{f(r) } = F (s)

f(l) 39.

e at - e at

.'i - a ln - s - b

--~

52 + k 2 ln - - -

40 _ 2( 1 - coskr)

4 1.

2(1 - cosh kr)

42 .

sen aJ

s 2 - k:? ln - - , -

43.

arctg (

sen ar cos bt

-e

145.

--e

z1 arcLg -a-b 5-

-a\r;

..jru a

-a~/41

2,,f;?

46.

erfc

47.

48.

eªbeb'i erre( b..[f +

(__!!.__)

-O 'H

- (/ .r;

2..[I

;_ e -a'l•i \jr;-:

aerfc(__E.__) 2..[f

2~) 2,,jr

50.

Õ(I}

5l.

0(1 - to)

52.

eª'J(r)

..[S(..[S + b)

be -a.JS s(..[S + b)

2,,jf

e - slo

F(s - a)

e-ª' F(s)

53. f( r - a) 'Pf(I - a)

w,(r - a)

55. 1<• )(1)

s"F(s) -

_,,,

.«"- f(O) 1

· · - /" - 1)(0)

n dª (- 1) dsª F(s)

56. t"J(r)

J'o f(•)g(t -

- avs

s..[S

49. - e 00 eb'r erfc(b,(T+ ~) +erfc(-ª-)

57.

-a~/41

144.

54.

a +b

2 arctg -

•) d1

F(s)G(s)

TABELA DE INTEGRAIS l.

Judv=mâ&#x20AC;˘- J vdu

J11 11 d11 = -1-u " ... 1 +C.t1'1--I ti+ l

d11 J--;;=lnlul+C

Jeu du =e

Jscn

Jscc 2 u du = tg u + C

Jcos u du = sc n

Jcosec2 u du = -

cOlg" +

1.4

10.

J sec 111 g11du=sccu+C

I cosec u cotg u du = - coscc" + e

12.

Jtgudu = -

13.

Jcotgudu=lnlsenul +C

14.

J~ecu

16.

Jco~ecudu= lnl cosecu-colgul+C

d11 = - cos u +

11.

15.

18.

d11

lnlcosu l +C

= ln lsec li+ tg ui+ e

u J- -, - -.. =se n- 1 -;+e ~ du

J--d_,_,-=J.sec -

1 !!...+e

u~ a

20.

1 111a 1+C -J--,du--a-2 =-ln 2a u+a 11

21.

' 1 1 Jsen-u.dt1=2u-4sen2u.+ e

22.

Jcos-' u riu = 21 u + 41 sen 2u +e

23.

Jtg2u du = Lg

24.

Jcolg2 u du = - co tg u - u + e

25.

Jse n udu = - 3 (2 + sen- u) cosu+C

26.

J cos 3 udu=~{2+cos2 u)senu +C

27.

1 2 Jtg J udu=itg u+lnlcosul+C

28.

1 ' Jcotg2udu =-2cotg-uln lsenul +e

29.

J sec 3 udu=~sccu tgu +~ lnisccu+ tgul+C

30.

Jcosec

31.

1 11-I n - IJ Jscnn udu=--<:cn ucosu+-sen n-2 udu n

n 1 r1 - I n - IJ n-2 32. J cos udu = ;cos u scnu+-n- cos udu

/4 -

u+C

3 u du

= -~cosec u cotgu +~ln k:osecu - cotgul+ C

34.

- 1 nJcotgn u du =;,-:\ cotg

J cotg,1 -2u du

35.

1 n -::2 11 -2 J n-2 Jsec udu=;=-itguscc u+~ sec udu

36.

Jcosec, u du =

37.

n(a - b)u sen(a + b)u e Jsenauseri bu d usc= ---------+

38.

n(a -b)u sen(a +b)u Jcos au cos b"du = -se --+----+e

39.

- b)11 cos(a + b)11 Jsenaucos budu =cos(a - - - - - - - - - - +C

40.

41.

Jucosudu=cosu+usen11 +C

42.

Ju" sen 11 du = - u

43.

2(a-b)

cos u du = u n sen u - n

n m 44. J sen u cos u du =

15.

2(a+b)

u 11

2(a+b)

- 1

n-2 u + n-2 Jcosccn -2 u du

2(a - b)

cotg u cosec

2(a+b)

scn u du = sen u - u cos u +e 11

cos u + 11

Ju" - 1 cos u du

1 sen u du

senr. - 1ucosm+ 1u

n+m

Jscn- 1udu =usen- 1u+ ~ +C

n- 1J n+m

+ - - sen

n- 2

u cos u du =

46.

sc n" + 1u cosm - 1u m - 1 J n m- 2 + - - se n u cos u du n+m n+m

J cos-

udu=ucos

- 1

u+ '11-u"' +C

TABELA DE INTEGRAIS

49. 51.

53.

f ucos udu =-2u-4-cos u~ 4--+C 1 au f"e d11 = 2(tm- l )e +C a f e au scn bu du = -e-""- ( a ..;cn bu - b co... bu) +e 2 -I

- 1

- 1 u ---

011

50.

u +1 Ju tg- 1u du=-2-tg

52.

61.

Jsenh u du = cosh

63.

f u e du = -a1 u e - -a f u 1e du f eªu. cos bu du =_e__ (a cos bu + b scn bu) +e +b2 =ln Hn ui+ C f -u ln1-du u J m u du. m f umln u du = -u'"m-+-ln1-u - - u ln m+ 1 n

n ou

aii

54.

58. - l u

;+C

+ 1

64.

Jcotg u du = ln lscnh ui+ e

65.

f scch2u

66.

67.

Jscchu tghu du =- sech u +e

73.

= tgh u +e

f ~du=~-aln\a+~l+C J __d_u_=lnlu+ ~a 2 +1i21+C

75.

2 2 du- = - -1 ln l .,,/a· +u +a1 +C -f-_/22· u a

""ª

- 1

72.

_ -'Ja ""+ u"" 'Ja ' +u "f-,- -du = - - - - - + lnlu+ 'la"-+u""l+C

74.

-f"22 u -f"12 a f -u- -du - = -'la""+u "'- -\nlu+ 'l a"'+u"" l +C

. ,--;;-----::-

- í22

76.

~ a1 u

2.f22 U 'JO- + u-

-~ J -~ - - d u = 'lu "'- a"" - acos

79.

11- - a -

- la

-+C u

du _(22

-/.22'

81. - - - = ln lu+ 'lu "' - a""l+C

80.

82.

J~ = !!..~u 2 -a 2 +~ Jnlu +~+C ~2

_r:;-:: du

2-'22 u 'lu"'-a""

-/.22'

.,,/,/_a2

- - - d u = - ---+lnlu+ \Ju"'- a L l+C li

"\/" .-a-

'lu L-aL

2-/.22'

---+e

a 'lu L-a"'

2 a u

u-/.22' + -a scn _r:;-::du =-'Ja"--u"' f 'la""-u"' 2 2 2

85.

1~1 u-a

Jcosech2 u du = - cotghu + C Jcosech u cotgh u du = - cosccb u + C

78.

83.

du = scnh" +

68.

' . ., ~ " a2 .., - 2 lnl11 + u--a-l+C J~ du =2u ~ -~ 2-í22 u 2 2-/.22' a 4 Ju 'lu ""-a"'du=g(2u -a )'lu ""-a"--g lnlu+'Ju'-a'l+C

77.

r1 -

60. J1111u 2 -a 2Jdu=ulnlu 2 - a 21-2u +a\n

Jtgh u du = ln cosh u + e

71.

11 -

f cosh

d11

u-2+ e

62.

u + --4-- +

56.

59.

11 ~ e

- 1

= --4- scn

ª2

Jlnu du=u ln u-u +e

n" [(ri+ 1) 11111 - IJ +C u f u "lnudu=---., (n + l f ., , ., f ln(u .-+a-)du=u ln (u-+a )-2u+2lltg

57.

- 1 sen u du

ª2 +b'!.

55.

2u 1 -I

48.

-I U

-+C a

86.

Ju 2 ~du = 8u

- 1u a 2 2 2 ~ 2 scn ;; + C (211 - a ) a - u +

EQUAÇOES DIFERENCIAIS Volume 1

(

EQUAÇOES DIFERENCIAIS Volume 1

Dennis G. Zill Michael R. Cullen

Loyola Marymount University

Tradução Antonio Zumpano, Ph. D. Professor de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais

Revisão Técnica Antonio Pertence Jr. Professor Titular de Matemática da Faculdade de Sabará (MG) Pós-graduado em Educação Matemática pela UNT-BH Membro Efetivo da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM)

•

São Paulo

Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânic o, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil.

z: z. 'º 'º

.>,

(.Q

9 ,.._ -1 ..,.

·:;-. 1-.

/'\J ~ 1

í-

:z 'º <l ~

~~ (.J1

\..V

::y

.lJ

\j\

Produtora editorial: Eugénia Pessotti Editoração e fotolitos em alta resolução:J.A.G

<..1>

Dados de Catalogação na Publicação ~-

·-------

-Zill--, Dennis G. Equações Diferenciais, volume 1 / Dennis G. Zill , Michael R. Cullen; tradução Antonio Zumpano, revisão técnica: Antonio Perten ce Jr. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. Título original: Differential Equations with .Boundary-Value Problems 3rd edition. ISBN: 85-346-1291 -9

2007 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil, uma empresa do grupo Pearson Education Av. Ermano Marchetti, 1435 CEP: 05038-001 - Lapa - São Paulo - SP Fone (11) 2178-8686 Fax (11) 3611-0444 e-mail: vendas@pearsoned.com

AGRADECIMENTOS

evisar um texto requer um trabalho cm equipe que envolve muitas pessoas. Somos especialmente gratos a Barbara Lovenvirth, responsável pelo desenvolvimento editorial, Patty Adams, editor de produção, Carol Reitz, copy editor, Warren e Carol Wright, por sua ajuda na preparação do manuscrito e pela produção do excelente manual de soluções, John Ellison do Grave City College, Grave City, PA, por sua valiosa contribuição para o Capítulo 9, e aos seguintes revisores, por seus conselhos, comentários, críticas e elogios: Linda J. S. Allen, Texas Tech University Stephen Breen, Califomia State University Dean R. Brown, You11gstown State University Kalin N. Godev, Penn State University Thomas G. Kudzma, University of Massachusetts ai Lowell Gilbert N.. Lewis, Michigan Technological University Clarence A. McGuff, Austin Community College Queremos também reconhecer e estender nossa sincera consideração aos seguintes indivíd uos, por terem reservado tempo de seu trabalho para contribuir com os ensaios encontrados nesta edição: Michael Olinick, Department of Mathematics and Computer Science, Middlebury College, Dinâmica Populacional.

John H. Hubbard and Beverly West, Department ofMathematics, Cornell University, Caos . Gilbert N. Lewis, Department of Mathematical and Computer Sciences, Michigan Technological University, O Colapso da Ponte Tacoma Narrows. C. J. Knickerbocker, Department of Mathematics, St. Lawrence University, Modelos para o Impulso Nerval. Ruth Favro, Department of Mathematics and Computer Science, Lawrence Technological University, Onde Está o Dó Médio? D.G.Z. M .R.C.

Sumário XV

Prefácio

Novos Aspectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mudanças Nesta Edição . .... . .. .. . . . .... .. . . .. . ..... . . ... .... . .. . Capítulo 1 Introdução Às Equações Diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . l. l Terminologia e Definições Básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Alguns Modelos Matemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo l Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítu lo 1 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .._J

Capítulo 2

Equacões Diferenciais de Primeira Ordem . . . . . . . . . . .

2.1 Teoria Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variáveis Separáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Eq uações Homogêneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Substituição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Método de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 2 Revisão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 2 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 3

Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

3.1 Trajetórias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Aplicações de Equações Lineares. . ... . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Aplicações de Equações Não-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 3 Revisão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XV XVI 1

2 13 35 36 38

39 44 52 58 60 68 79 84 88 90 92 94

95 102 118 133

XII

Equações Diferenciais Volume /

Capítulo 3 Exercícios de Revisão.................................................................................. 133 ENSAIO: - Dinâmica Populacional.......................................................................... 135 Capítulo 4 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior . . . 14 3 4.1 Teoria Preliminar..................................................................................................... 142 4.1.1 Problema de Valor Inicial............................................................................ 142 4.1.2 Dependência Linear e Independência Linear.................................... 147 4.1.3 Soluções para Equações Lineares............................................................... 152 4.2 Construindo uma Segunda Solução a Partir de uma Solução Conhecida................................................................................................................. 167 4.3 Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes............... 173 4.4 Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Superposição................. 182 4.5 Operadores Diferenciais........................................................................................ 195 4.6 Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Anuladores.......................... 201 4.7 Variação dos Parâmetros....................................................................................... 209 Capítulo 4 Revisão.............................................................................................................. 218 Capítulo 4 Exercícios de Revisão........................................................................................ 219 ENSAIO: Caos.................................................................................................................... 221 Capítulo 5 Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem: Modelos Vibratórios..................................................................................... 225 5.1 Movimento Harmônico Simples.......................................................................... 226 5.2 Movimento Amortecido........................................................................................ 236 5.3 Movimento Forçado............................................................................................... 248 5.4 Circuitos Elétricos e Outros Sistemas Análogos................................................ 260 Capítulo 5 Revisão.............................................................................................................. 266 Capítulo 5 Exercícios de Revisão........................................................................................ 267 ENSAIO: O Colapso da Ponte Tacoma Narrows................................................... 270 Capítulo 6 Equações Diferenciais Com Coeficientes Variáveis, . . , . 274 6.1 Equação de Cauchy-Euler..................................................................................... 275 6.2 Revisão de Séries de Potências: Soluções Por Séries de Potências . . 286 6.3 Soluções em Torno de Pontos Ordinários (Não-Singulares)........................... 297 6.4 Soluções em Torno de Pontos Singulares........................................................... 307 6.4.1 Pontos Singulares Regulares: Método de Frobenuns - Caso 1 . 307 6.4.2 Método de Frobenius Casos I e II........................................................ 318 6.5 Duas Equações Especiais....................................................................................... 330 6.5.1 Solução para a Equação de Bessel........................................................................ 330 6.5.2 Solução para a Equação de Legendre.................................................................. 338 Capítulo 6 Revisão.............................................................................................................. 347 Capítulo 6 Exercícios de Revisão........................................................................................ 348

Vi>lw11c I

.1.iu11wrio

XIII

Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

7 . 1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 .2 Transformada Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Teoremas de Translação e Derivada ele uma Transformada . . . . . . . . 7.4 Transformada de Derivadas. Integrais e Fun ções Periód icas . . . . . . . 7 .5 Ap licações . . . . . . .. .. ... .... .. . ... ... .. ..... . .. . . . . .. . . ............ . . 7 .6 Fun çãoDeltadeDirac. Capítu lo 7 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap ítulo 7 Exe rcfcios de Rei·isiio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

350 362 370 385 39-t 412 ...j. J 9 419

Capítulo 7

Apênd ices

................................................

I Função Gama. . . . . . . . . . . . . . li Transformadas ele Lap lace . . Ili Rev isão ele Determinantes.. IV N úm eros Complexos . . . . . .

...... ...... ...... ......

422

............................ . ..................... ..... ....................... ..... .......................

423 ·125 ...J.28 433

Respostas dos Exercícios Selecionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

439

Índice Analítico

467

Volume 2 Capítulo 8

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares . .. .. . .. . . .

Capítulo 9

Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo 1O

Sistemas Planos Autônomos e Estabilidade. . . . . . . . . . . .

148

Capítulo 1 1

Funções Ortogonais e Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . .

199

Capítulo 12

Problemas de Valores de Contorno em Coordenadas Retangulares . . . . . . ........

242

Problemas de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas ....

292

Capítulo 14

Método da Transformada Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315

Capítulo 15

Métodos Numéricos Para Equações de Derivadas Parciais

347

Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

374

Capítulo 13

PREFÁCIO Es ta terceira ed ição ten ta alcançar um eq uilíbri o e ntre os co nce it os e a apresentação cio material que interessaram aos le itore s elas edi ções anteriores e as muda nças s ign ific a tivas fe ita s para reforçar e modernizar alguns aspcctos do texto. Ac ham os que esse equilíbrio foi alcançado. tornando o texto interessante para u111 público mais a111p lo. Muitas 111uclanças e acréscimos são res ultados de sugestões e co men tár ios ele leitores e revisores. Alé111 disso, essas mudanças fo ram rcitas visa ndo ao público fundamental o estuda nt e que utili La rá o li vro. Por essa raLão. as sol uç ões dr cada exe111pl o foram c uidad,isamc ntc lida s, a fim de torná - la s mais c lara s. O nde ac hamos que poderia ser útil, ac resce ntamos, també111. mais exp li cações ou destacamos pontos crucia is para a seqüê nc ia ela so lu ção. Como a nt es. es te tex to pretende sa ti sfater as necessidades ele um instrutor que almeja mais do que s impl esmente um a introdu ção ao assunto. A lé 111 do mate ria l bás ico de equações diferenciais ordinárias, o livro apresenta um cap íllllo so bre eq uações não -lin ea res e estabilidade e alguns capít ul os sobre equações diferenciais parciais e problemas de va lo res ele co ntorn o. É recomendado para cursos ele um o u dois se mes tres.

N OVOS ASPECTOS Alguns •1-;pect<h no'.'OS. que e-,p.:ramos que l " e-;tud<•ntes achem interess:mtcs e instig,u1kc;, foram <.cresccntaclo-; ao tex to. Ensa ios, escri tos por matc:máticos proeminentes c m sua espcc1ali dad~ fura111 i.icluidos no tina! dus Capítulo., 1.-+ e 5 do volume 1 e 9 e 12 do vu lunic 2. Cada ensaio re fl ete os pensame ntos. c riati vidade e opi niões de seu au tor e te m por finalid ade ilu stra r o mater ial e .postu no cap ítulo precede nte. Esperamos que a inc lu são desses ensai os des pe rte o mteresse d os est udantes, encorajand o-os a ler matemática~ ajuda nd o-os a se consc ientizarcm J~ q ue equações d iferenc iais não são simpl esmen te um a mera co leçi:io sec a de métod os. fa tos e fó rm ulas , mas um ass unto vibra nte com os qu a is as pessoas pode m trabalhar.

XVI

Eq11u1·ric1 f)i/i·l'l'11<·hii.1

Vo/11111<· I

MUDANÇAS NESTA EDIÇÃO Volume 1 A Seção 1.2 trata agora somente do conce ito de uma cquaç;1o di rcrencial como um modelo matemático. O mat e rial sobre a equação diferencia l de uma família de curvas foi suprimido. Uma breve discussão desse conce it o aparece agora na Seção 3.1 (Trajetórias Ortogonais). O método dos cocricicntes indeterminados é um dos tópicos mais controvertidos em um curso de equações dil'erenc iais. Nas três últimas edições. esse tópico fo i abo rd ado usando-se um operador diferencial como uma ajuda para determinar a forma correta de uma so lução em particular. Na preparação desta ed ição, muitos rev iso res apontaram que a abordagem por anu ladores era muito so fi st icada para seus a lun os e solicitaram uma abordagem baseada em regras mais simp les. Outros revi so res, porém, estavam satisfeitos e não desejavam mudança a lguma. Para atender a cada uma dessa s preferências, ambas as abordagens foram apresentadas nesta edição. O instrutor pode agora escolher entre coeficientes indeterminados com base no princípio da superposição para equações diferenciais lineares não -hom ogê ncas (Seção 4.4) ou com base no conceito de anuladores diferenciais (Seção 4.6). Além dis so. nesta edição. a noção de um operador diferencial é agora apresentada em uma seção separada (Seção -1.5). Portanto, observamos que o importante e útil conceito ele operador diferencial deverá ser apresentado de alguma maneira. A revisão de série de potências na Seção 6.2 foi bastante amp li ada. Uma discussão sob re a aritmét ica de séries de potências (adição , multip li cação e divisão de séries) foi também adic ionada. Uma breve discussão sobre determinação do s coeficientes e m uma decomposição de frações parciais e uma nota histórica sobre Oliver Heaviside foram acrescentadas na Seção 7.2. A discussão sobre as propriedades operacionais ela transformada de Laplace foi agora di vidicla em duas seções: Seção 7 .3, Teoremas de Translação e Derivadas de Transformadas: e Seção 7.-1. Transformadas de Derivadas. Integrais e Funçiies Periódicas. Essa separação permite maior clareza e um tratamento mais amplo dos tópicos.

Volume 2 Eliminação Gaussiana, além de eliminação de Gauss-Jordan, é agora discutida na Seção 8.4. A notação para indicar operação nas linhas de uma matriz aumentada foi aprimorada. O Capítulo 9, '·Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias", sofreu uma ampliação significativa e foi parcialmente reescrito. O método de Adams-Bashforth/AdamsMoulton foi adicionado à Seção 9.5 . Seção 9.6, Erros e Estabilidade, e Seção 9 .8. Problemas de Valores de Contorno de Segunda Ordem, são novidades desta edição.

V11/11111e I

l'r<:jiício

XVII

Os programas BASIC. anteriormente no Capítulo 9, foram suprimidos. O Capítu lo 1O, '·Sistemas Autônomos no Plano e Estabilidade", é novidade desta edição. Esses tópicos foram adicionados cm resposta a reações favoráveis de leitores e revisores ela edição anterior. O material dos Capíllllos 1O, 11 e 12 foi ampliado e reorgani zado corno Capítulos 11, 12, 13 e 14 nesta edição. Capítulo 15. ··Métodos Numéricos para Equações Dife renc iai s Parciais", é novidade. Novos problemas, aplicações, ilustrações, observações e notas históricas foram acrescen tadas ao longo cio texto.

Dcnnis G. Zill Michael R. C ullcn

Los 1\11geles

Capítulo

INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.1 [OJ

1.2

Terminologia e Definições Básicas Alg un s Modelos Matemáticos Capítulo l Revisão Capítulo l Exercícios de Revisão

Conceitos Importantes Equações diferenciai s ordinárias Equações diferenciai s parciais Ordem de uma equação Equação linear Equação não-linear

So lu ções Solução trivial Soluções explícitas e tmplícitas Família de soluçlk~s n 11- parümelro~ Solução parltcular Solução singular

Solução geral Modelo matemático

As palavras diferencia/ e equações obviamente sugerem a resolução de algum tipo de equação envolvendo derivadas. Na verdade, a frase anterior contém a história completa sobre o curso que você está pt·estes a iniciar·. Mas antes de começar a resolver qualquer coisa. você tem de conhecer algumas definições e terminologias básicas sobre o assunto. Este é o conteúdo da Seção 1.1. A Seção 1.2. aborda a motivação. Por· que você. um futuro cientista ou engenheiro. precisa estudar este assunto? A resposta é simples: equações diferenciais são o supor-te matemático para muitas áreas da ciência e da engenharia. Pot· isso. na Seção 1.2. examinamos, ainda que brevemente, como as equações diferenciais surgem a partir da tentativa de formular, ou descrever, certos sistemas físicos em termos matemáticos.

Vo/111//c I

Eq1w<,·cJcs Dlj"erc11ciois

1. I

TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS

Cup.

No curso c..le cá lcu lo, você aprende u que, dada uma função y

= /(r),

a derivada

dv = j''(x)

é também, ela mesma. uma função de x e é calculada por regras aprop ri adas. Por exemplo. se y = ex~. cnlão dr

2xe\

dy ou dx = 2ry.

( l)

O problema com o qual nos deparamos neste curso não é: dada uma função r = Jlx), encontre sua derivada. Nosso problema é: dada uma equação como dv/ dx = 2xi·. encontre. de algum modo. uma função y = j\.r) que satisfaça a equação. Em ou tra s palavras, nós queremos resolver equações diferenciais. DEFINIÇÃO 1.1

Equação diferencial

Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes. em relação a uma o u mais variáveis independentes. é chamada de equação diferencial (ED).

Equações diferenciais são c lass ifi cadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade.

Classificação pelo Tipo Se uma eq uação co ntém some nte derivadas urd in ár ias de uma ou mais variáveis dependentes, com re lação a uma única variáve l dependente, ela é chamada de equação diferencial ordinária (EDO). Por exemp lo, dy dt (r - x) dr

+ 4x dy =O

du dv - =r

d.r

d"y - 2 dy + Ó\' = () dx2 dx .

são equações diferenciais ordinárias. Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP) . Por exemplo,

av ax

dll

dll dll + .y -dy ax

a"-11 ax 2

iJ 2 u a1 2

dll

são equações diferenciais parciais.

Classificação pela Ordem A ordem da derivada de maior ordem cm uma equação diferencial é, por definição. a ordem da equação. Por exemp lo , segunda ordem

primeira ordem

+s(dyJ" dx

4y = e'

é uma equação diferencial ordinária de segu nda ordem (ou de ordem doi s). Como a equação difere ncial (y - x) dx + 4x dy = O pode ser escr it a na forma dy 4x dx + y = x dividi nd o-se pe la diferencial dx, trata -se então de uma ordem. A equação

equaç~o

diferenc ial ordimír ia de primeira

é uma equação diferencial parcial de quarta ordem. Embora as equações diferenciais parciais sejam muito importantes. seu estudo demanda um bom conhecimento da teoria de eq uações diferenciais ord in árias. Portanto, na discussão que se seg ue, limitaremos nossa atenção às eq uações diferenciais ordinúrias . Um a equação diferencial ordinária geral de 11-ésima ordem é freqüentemente representada pelo simbolismo

!f.l)

y, -dy ,. . ., dx dx"

O que vem a seguir é um caso especial de (2).

= O.

(2)

Equoçôes Dijúc11ciais

Cap. I

Vo/11111c I

Classificação como Linear ou Não-Linear Uma equação difere ncial é chamada de linea r quando pod e ser escrita na forma

d"y a 11 (x) + dx"

d" - ty

ª" - 1(x) - - -1 +

+ a1(x) dx + ao(x)y

dx"-

g(x).

Obse rve que as eq uações d iferenc ia is lin eares são caracter izadas por duas propri edades :· (i)

(ii)

A variáve l dependente_\' e toda, as suas derivada s são do primeiro gra u ; isto é, a potência de cada termo envo lve ndo _\' é 1. Cada coe fi c iente depende apenas da va ri áve l ind ependente.\'.

Uma equ ação q ue não é lin ear é c hamada de não-linear. As equações

x dv + y dr

y" - 2y' + _\'

d-\ dx 3

r1 d2_\' - dx 2

+ 3x dy + 5y = e' dx

são eq uações diferenciais ord in árias de prim eira. seg und a e terceira o rd ens, respect ivame nte. Por o utro lado. coefic i ~n 1 e

de v

dept!ndl!

potência " 1

~ yy" - 2y'

d3y

dx 3

+ yl

são equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e terceira o rdens . respectivamente.

Soluções Como men c ionado antes. nosso objetivo neste curso é resolver ou encontrar soluções para equações diferenciais.

DEFINIÇÃO 1.2

Solu ção para uma Equação Diferencial

Qualquer função f definida em algum intervalo/, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a eq uação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no int ervalo. Em outras palavras, uma so lução para uma equação diferencial ordinária F(x, y, y', .. .,y< 11 >) =O

ViJ/11111e I

é uma função f 4ue possui pelo menos

/111rvduçüo its Cl/ffaçôrs dif"c rt:•nciois

Cu/'·

derivadas e .rntisfá z a equação; isto é.

F(x.J(x).f'(x), .. .f 1" 1(.r)) =O para todo x no int ervalo /. Propositadamente. deixamos vaga a forma precisa do intervalo /na Definição 1.2. Dependendo cio contexto da discussão. I pode repres e ntar um intervalo aberto (a. b). um in1ervalo fec hado [a, bJ, um intervalo infinito (0, oo) e ass im por diante.

EXEMPLO

Verifique que y = .r 4 / 16 é uma solução para a e4uação não - lin ear

dy = dx

xy1 12

no interva lo (- oo, oo).

Solução Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma so lução é escrever a equação diferencial como dyl dx - xv 112 = O e verificar, após a substituição, se a diferença acima dvl dx - X\' 112 é zero para todo x no intervalo. Usando

!!J'.

x 1;o x ) 4ey -= ( 16

x -'

percebe mos que

dy _ dx

xyl l'.!

•

para todo número real.

EXEMPLO i\ função r

'"'" 0 unn solução para

i.:quação lin~ar

r" - 2r' + 110

intervalo

r- ""·

1 -

oo). Para verificar ISSO. calculamos

r = xe r + e\ e Observe para todo número real.

= te\

+ 2e \.

2y' + y =(.re' + 2e') - l(xe' +e')+ .re'

•

Note que , nos Exemplos 1 e 2, a função constante y = O também satisfaz a equação diferencial dada para todo x real. Uma so lução para uma equação diferencia l que é identicam e nte nula cm um intervalo/ é em geral referida como solução trivial.

Eq11{lçõe.1· Di{ere11ci{lis

Cal'. I

Volume I

Nem toda eq uação difere nc ial que esc revemos possui necessariamente uma so lução.

EXEMPLO

(a) As equações diferenc iais de primeira ordem 2

dy ) + 1 = ( dx

o e Vl 2

+ y2 + 4

não poss ue m so lu ções. Por qu ê? (b) A equação de segu nda o rd em (y") 2 + 10)'1

O possui somente um a sol ução real. Qua l''

• Soluções Explícitas e Implícitas Voc ê deve es tar familiarizado com as noçõ es de funções ex pl ícitas vistas c m seu est udo de cá lcul o . Similarmente , soluções de equações diferenc iais são divididas em exp lícitas ou imp lícitas. Uma so lução para um a equação diferencial ordin ária (2) que pode ser escrita 11<\ forma y = _f(x ) é cham ada de solução explícita. Vimos e m nossa discussão inicial qu e y =e'- é uma so lu ção ex plícita de dyldx = 2xy. Nos Exem pl os 1 e 2, y = x 4 / 16 e y = xe' são so lu ções ex plícitas de dyldx = xy 112 e y" - 2y' + y = O, respectivamcnte. Di zemos qu e uma relação G(x, y) = O é um a solução implícita de um a equação diferencial o rdin ária (2) em um intervalo !, se ela define um a ou mais so luções exp líc itas cm /.

EXEMPLO

Para - 2 < x < 2, a relação x 2 + y 2 - 4 = O é uma so lução implícita para a equação diferencia l

dy dx

= .\' y

Segue, por derivação implícita. que

dy X 2x + 2 dy =O ou ~ = --· y dx dx y

•

A relação x 2 + y 2 - 4 = O no Exemplo 4 define duas funçõe s diferenc iais exp líc itas: y = '14 - X1- e y = - '14 - x 2 no intervalo (-2, 2). Além disso , note que qualquer re lação da

Vo/1111u' I

Cap. 1

lntrod111·üo <h ec111a(·ões t!iferc11ciais

forma .r2 + y 2 - e= O satisfaz, fomw/111 e111e, dyl d.r - .r/ v para qua lqu er constante e. Porém, fica subentendido que a relação deve sempre fazer sent id o no sistema dos núm eros reais; logo. não podemos dizer que .r2 + _v 2 + 1 = O determina uma so lu ção da equação diferencial. Como a distinção entre uma so lução exp lícita e uma so lu ção implícita é intuiti vamente c lara, não nos daremos ao trabalho de dize r sempre: .. aqui temos uma solução exp lícita (implícita)".

Número de Soluções Você deve se acos tumar com o fato de que uma dada equação diferencial geralmente possui um núm ero infinit o de soluções. Por substit ui ção direta, podemos ve rifi car que qu alqu er c urva - isto é . função - da família a um parâmetro y = ce'' , em que e é uma constante arbitrária, satisfaz ( 1). Como indi cado na Figura 1.1, a sol ução trivial é um membro dessa família de so luções. corresponden te a e = O. No Exemp lo 2. também podemos verificar por subst itui ção que y = cxe ·' é uma família de so luções da eq uação diferencial dada.

EXEMPLO

5 c/x + 1 é um a solução da eq uação diferencial de

Para qua lquer valor de e. a função y primeira ordem

dv X

e/~ +

no intervalo (O, =).Temos, dy dx

e ,1,. (x •<A

)

+ -d ( 1) dx

- ex -º-

então dv

cir

+ \'

Variando o parâmetro e. podemos gerar uma infinidade de soluções. Em particular. fazendo • e = O. obtemos uma solução constante y = 1. Veja a Figura 1.2. No Exemp lo 5 . y = c/.r + 1 é uma so lução da equ ação di ferencia l em qua lq uer int ervalo qu e não co nten ha a origem. A função não é d iferenciáve l em x = O. Em algun s casos, qu and o som amos duas solu ções de um a equação diferencial, ob temos um a outra solução .

Cap. 1

Equações D1fere11ciais

Vo/11111t' 1

c >O e> O

e = 0..,.

e= O ,/

c <O

e< O

e +

= -

Figura 1.1

EXEMPLO

Figura 1.2

(a) As fun ções y = Ct cos 4..r e y = c2 sen 4.r. cm que c 1 e c2 são co nsta ntes arbitrárias, são so luções para a equação diferencial y" + 16y =O.

Para y

c 1 cos4x, as derivadas primeira e seg unda são

= - 4c1

sen 4x e y"

l 6c1 cos 4.r,

então

y" + 16y

= -16c 1 cos4x

+ 16(c 1 cos4.r)

l 6c2 sc n 4.r + l 6(c2 scn -h)

= O.

Analogamente, para y = c2 sen 4.r.

_1·" + 16\'

(b) A soma das duas soluções da parte (a ). 1· = c1 co s . +.r para v" + 16y = O.

EXEMPLO

c 2 se n . +.1. tam bém

Você deve ser capaz de verificar que

são todas soluções da equação diferencial linear de segunda ordem y" - y =O.

é uma so lução •

Vo/u111e I

/111rod11çüo tis eq 1tll(Ões difere11c iois

Cap. I

Note que y = c 1e' é urna so lução para qualquer esco lh a de c 1• ma s y =e' + c 1 , c 1 satisfaz a eq uação, pois. para essa famí li a de fun ções. ternos y" - _1· = -c 1•

O. 11ão

O próximo exem pl o mostra que um a so lu ção de urna eq uação diferencial pode ser urna função definida por partes.

EXEMPLO

Qualq uer fun ção da fa míli a a um parâm etro y = c.r~ é um a so lu ção para a equação diferencial

xy' - 4y

= O.

Temos xy' - 4y = x(4cx3 l - 4cx4 = O. A fun ção definida por partes

f-x", l X~,

é também um a so lu ção . Observe que essa fun ção não pode ser o btida a partir de y intermédio de urna única esco lha do parâmetro e. Veja a Figura l .3(b).

ex" por

•

e= 1 l'

= 1,

t"'

c= - 1, x < O e= - 1 ( b)

(a)

Figura 1.3

Mais Terminologia O estudo de equações d iferenciais é semelhante ao cálculo integral. Quando calculamos urna antiderivada ou integral indefinida, utilizamos uma única constante de integração. De maneira aná loga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F(x. y, y') = O. normalmente obtemos uma família de curvas ou funções G(x. y. e) = O. contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da equação diferencial. Na verdade. quando reso lvemos uma equação de n-ésima ordem F(x, y. y' . ... , y 111 l) = O, em que y'" l significa d< 11 >y/dx 11 , esperamo s uma família a n-parâmetros de soluções G(x, y, c 1, ..• , e,,) = O. Uma solução para uma equação diferencial qu e não depe nde de parâmetros arbitrários é chamada de solução particular. Uma maneira de obter um a so lução particul ar é escolher va lores es pecíficos para o(s) parâmetro(s) na família de so lu ções. Por exemplo, é fácil ver que

Equações Di/ere11 ciois

Cu/>. I

Vo/11111e I

y = ce' é uma família a um parâmetro de soluções para a equação ele primeira ordem muito simpl es y' = y . Para e = O, - 2 e 5, obtemos as soluções particulares y = O, y = - 2e' e y Se", respecti vamente. Às vezes, uma equação diferencial possui uma so lução que não pode ser obt ida espec ific ando-se os parâmetros em uma família de soluções. Tal so lu ção é chamada ele solução

singular.

EXEMPLO

Na Seção 2.2, provaremos que um a fam íli a a um parâmetro de so lu ções para v' = xy 112 é dada por y = (x2/4 + c) 2. Quando e =O, a so lu ção particular resultante é y = .r-l / 16. Ne,te caso, a so lução trivial y = O é uma so lução singular para a equação, pois e la não pode se r obtida da família através de um a escolha do parâmetro e. • Se ioda so lu ção para F(x,y,y', ... ,y<"l) =O no intervalo I pod e ser ob tida ele = O por uma escolha apropriada dos e;, i = 1, 2, ... , 11 , dizemo s que a família a n-parâmetros é uma so lu ção geral, ou completa, para a equação diferencial.

G(x, y, Ct, ... ,e,,)

Nota Há duas correntes ele pensamento sobre o conceito de .. so lu ção gera l". Uma definição alterna ti va assegura que uma so lu ção gemi para urna equação diferencial de 11 -ésinw .o rdem é uma família de so luções que contém 11 parâmetros essenciais.* Em o utras palavras, não é necessário que a família contenha todas as so luções para a equação diferencial em algum intervalo. A diferença dessas opiniões consiste na distinção e ntre so luções para equações lineares e para eq ua çõe~ não-lineares. Na resolução de equações diferenciais lin eares, devemos impor restrições relativamente simples aos coeficientes; com essas restrições, podemos assegurar a existênc ia de so lu ção em um intervalo e também que a família ele soluções con tenha realmente todas as possíveis soluções. Outro fato dev e ser mencionado neste momento. Equações não-lineares, com exceção de algumas equações de primeira ordem, são geralmente difíceis ou impossíveis de ser resolvidas em termos de funções elementares, tais como funções algébricas , exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas. Além disso, se acontecer de termos uma família de soluções para uma equação não-linear, não fica óbvio quando essa família consti tui uma "sol ução geral''. Em nível prútico, a designação·· solução geral" é aplicada somente a equações diferenciais lineares.

Não tentaremos responder a este conceito. Mas grosso modo significa: não brinque com as constantes. Certamente, y = x + c1 + c2 representa uma família de soluções para y' = I. Trocando c1 + c2 por e, a famfüa tem esse11ciG1/me111é uma constante: y = x + e. Você pode verificar que y = c1 + ln c2x ~ uma solução para x"y" + .ry' = O no intervalo (0, ~)para qualquer escolha de c1 e c2 > O. Então, c1 e c2 são parâmetros essenciais?

Vo/11111 e 1

Cop. 1

/111roduçúu lis e<111o rões di{erc11 ciais

EXERCÍCIOS

1. 1

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 439 e 3-10. Nos Probkmas 1- 10. clas s ifique as equações d iferencia is dizendo se e las são lineares ou não-lineares. a orde m de cada equação.

tamb~m

1. ( l -

- -1.rr' + 5v = cos r

1 )v"

J. _vy' + 2 \' = l + 5.

.r\.1 -! 1 -

· di '

J4+ Y =

4. x 2 dy + (y - .rr - xc ' )dx = O

+ <--Ir/

.\ 2 \',,

2. r d \. - 2 dy

3y = O

d 2v + 9.1· = sen _1, . dx 2

--,

7 · dx

10. ( 1 - _1· 1 )dx + xdy = O

9. (s..:n x)r'" - (cos 1 )v' = 2

Nos Prob lema s 11 --10, verifique se a função dada é uma so lu ção para a equação difere ncial. (c 1 e Cz são con s iantcs ).

11. 2y' + y = O: y = e - ' 12 13. dy - 2v dx ·

= e .1 ':

= e3x

12. y' + 4y = 32; y = 8 + 10e 1 '

6 6 14. dy dt + 20.v = 24: .\' = 5 - i e- JOr

i:Jx = -{2Ç: dx X

= ({; +

15. y' = 25 + y 2 ; y = 5 tg 5x

16.

17. y' + y = sen .1; y = ~ se n x

18. 2ry dx + (x 2 + 2y) dy

- ~ cos .r

2 l. y = 2.1r' +

r( r') 2;

23. r' - .!_ 1·

25.

c1) 2 , X

= O;

> 0. CJ > 0 + /

= CJ

+ 1Oe-.•

l9. r 2dr + 2ry dx = O; r

1·

= CJ(.1

20 . (r') 1 + .rr' = _r ; ·'

+ ~CJ)

.r ln r ..r > O

dX 2 - X dr - (2 - X)( l - X) ; ln - - = r l -X

27. (./ + v 2) d.r + (x 2 = O; c 1(x +

xy) dy

y) 2 = x e ''11

22. y'

24.

2 -ri)' 1 : y

+ 1

acie

= p(a - bP); P =

26. y' + 2xy

e 10 dl +

l : r =e_,· (

c 1e -

28. y" + y' - l2y = O; y =

cie 3\ + c:_e-·h

29. y - 6y' + l 3y = O: y =

Volume/

C"f'·

Eq11(/ções Difere11ci"is

30.

cos 2.r

31. y" = y; y = cos h x + se nh x 33. y"

= (y') 2 = O;

y = ln lx + cil + c 2

d\, 35. X--::; + 2 dy dx dx-

37.

2 " X)'

32.

O; y

- 4 dy + 4,.

)' "

25y = O; .v = rg r;

O; y =

_1·

CI COS

+ xe

= - cosx ln(secx + rg x)

O; v

x cos( ln x). x

> O

38. y"' - y" + 9y' - 9, = O; y = c1 scn 3x +

39. y'" - 3y" + Jy' - y

O: y

36. x\1" - xy' + 2y

' ' lnx, .1 > O; y = x-+x-

- 3xy' +4y

d.r "!.

34. y" + )'

+ c2x

cos 3x + 4e'

' x >O cix + r 2,\ ln x + 4x -. Nos Problemas 4 1 e 42, verifiq ue se a função ddi ni da por pa rt es é um a so lu ção para a equ ação d ifere ncial dada.

4 1. xy - 2y =O;

V = ,

{-xx ''-- , '

X ~

o o

42. (y')2

9xy;

l º· 1

XJ.

o o

43. Veri fiq ue qu e um a fa míli a a um paràmelro de so luções para y = xy' + (y') 2 é y = ex + c 2 Dele rmi ne um va lo r de k para q ue y = kx 2 seja uma so lução si ng ula r para a eq uação d ifere ncia l.

44. Verifiq ue q ue uma fam ília a um parâmetro de so lu ções para y = xy' + Mostre q ue a re lação x 2

'1 1+ (y')2

é y =ex +

= 1 define uma so lução singular para a equação no in terva lo (- 1, !).

45. Uma família a um parâmetro de soluções para

_I'

1 é \'

l + ce 1·1

l - ce 1 '

Por inspeção, * determine uma solução sin gular pa ra a equação dit'c renc1al.

46. Na página 6 , vimos que y = lf4 intervalo (- 2, 2). Explique por qu e

.r~

e y = -

! -'14~. - 2, x

~ são

so lu ções para dy/d.r = - x/v no

-2 <x< O Ü $ X < 2

Traduzindo, isso significa" faça uma boa est imat iva e veja se funciona".

Volume I

Cap. I

/111rodu1·üo "·' cqt1C1\'ÔC.1 difere11cia1s

não é uma so lu ção para a eq uação diferencial no intervalo. Nos Problemas -1-7 e 48. e nco ntre va lores de

/11

para quê y =

e""

seja uma "o lução para cada equação

<li f erencial.

48. y" + 1O/ + 25y = O

47. y" - 5r' + 6r = O Nos Problemas .\9 e 50. enco ntre valores de diferencial.

49 . .\ \" - \' =

111

para que r =

1 111

se ja uma so lução para cada eq uação

50 . .r 2 / ' + 6rr' + 4r = O \ 2 c y 2 = ,\ J são ambas so luções para

51. Mostre que ,.1

x 2y" - 4xy' + 6y = O As fun ções, c·1.v 1 e uma

c:~y 2 •

co m c 1 e c 2 co nsta ntes arbitrárias. são també m so luçõ..:s? A so ma.

' 'i +

r2 é

so lu ção·~

52. Mostre que _r1

2x + 2 e v2 = - x-12 são ambas so luções ele

As funções. c 1y 1 e c 2y 2, com c 1 e c 2 co nslantes arbitrúrias. são tamb ém so lu ções? A soma Y1 + Y2 t! uma solução?

53. Por inspeção. det ermine, se possível, uma so lução rea l para a eq uação diferencial dada . (a)

1~.:· 1 +

(b)

(e)

1::::·1

~.::

[O] 1.2

lyl = O

+ lyl + 1 =

+ lrl

ALGUNS MODELOS MATEMÁTICOS

Em ciências. engenharia. economia e até mesmo em psicologia, freqüentcmentc desejamos descrever ,iu modelar o comport<.urn:nto Jc algum sistema ou fenómeno em termos matemáticos. Essa descrição começa com (i)

identificando as variáve is que são responsáveis por mudanças do sistema. e

(ii)

um conjunto Je hipóteses razoáveis sobre o sistema.

As hipóteses também incluem algumas leis empíricas que são aplicáveis ao sistema. A estrut ura matemática de todas essas hipóte ses, ou o modelo matemático do s istema, é muitas vezes uma equação difere ncial ou um sistema de equações diferenciais. Esperamos que um mod elo matemático rnzoáve l do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema.

1-1

Equações Diferenciais

Cap. I

Volume I

Um modelo ma1emá1ico de um sistema físico geralmente envolve a variável te mpo. A so lução do modelo reprcsenla enlão o estado do sistema; e m outras palavras. para va lores apropriados do tempo/, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no passado, presente e futuro.

Corpo em Queda Livre A desc rição matemática de um corpo caindo vertica lme nte so b a influência da gravidade leva a uma simp les equação diferencial de segunda ordem. A so lução para essa equação fornece-nos a posição do corpo em relação ao solo.

EXEMPLO É be m conhecido que um objeto cm queda li vre pró ximo à superfíc ie da terra é acelerado a uma taxa constante g. Aceleração é a derivada da velocidade, que , por sua vez. é a deri vada da distâncias. Suponha que uma pedra seja atirada do alto de um edifício, como ilustrado na Fi g ura 1.4. Definindo o se ntido po sitivo para cima, enlão o enunciado matcmálico d 2s dt 2

= -g

é a equação diferencial que governa a trajetória ve rtical do co rpo. O s in a l de s ubtração é usado porque o peso do corpo é uma força direcionada para baixo, o u seja. oposta à direção positiva.

T So

"º ~ra edifício

Figura 1.4

! so lo

Se supusermos ainda que a altura do edifício é s 0 e a velocidade inicia l da pedra. v 0 , então temos de encontrar uma solução para a equação diferencial d2.\. d/2 = - g.

t < l 1.

que também satisfaça as condições iniciais, s(O) = s0 e s'(O) = v 0 . Aqui, 1 = O é o instante em que a pedra deixa o telhado do edifício (tempo inicial) e 11 é o in stan te em que a pedra atinge o solo. Como a pedra é atirada para cima na direção pos itiv a, v0 é naturalmente positivo. Note que essa formulação do problema ignora outras forças, como a resistência do ar atuando sobre o corpo. •

Vo/11111e 1

Cap. 1

/111rod11 r<70 i" NJllll\·6cs difere11ciais

Sistema Massa-Mola Quando a segunda lei de Newton sobre o movimento é combinada com a le i de Hooke, podemos obter uma equação diferencia l que governa o movimento de uma massa atada a uma mola.

EXEMPLO

Para ca lcular o deslocamento vertical x(l) de uma massa atada a uma mola, usamos duas leis empíricas: a seg unda lei de Newton sobre o movimento e a lei de Hooke. A primeira delas di z que a resultante das forças que atuam sobre um sistema em movimento é F = 1110, em que 111 é a massa e a, a aceleração. A lei de Hooke diz que a força restauradora de uma mola esticada é proporcional ao deslocamentos + x: isto é, a força restauradora é k(s + x), em que k > Oé u111a constante. Como mostrado na Figura l .S(b), s é o de s loca111ento da mola quando uma massa é atada em sua extre111idade e o sistema está em posição de equilíbrio (a massa está pendurada na mola e não há movimento). Quando o s iste 111a está em 111ovi111ento, a variável x representa o des locamento da massa em re lação à posição de equilíbrio. No Capítulo 5, provaremos que, quando o sistema está em movimento, a força resultante atuando na massa é s impl esmente F = - k..r. Logo, na ausência de amortecimento ou outras forças ex ternas quaisquer que poderiam estar atuando no sistema, a equação diferencial do movimento vertical cio centro de gravidade da massa é:

c1"x

m - - = - kx d1 2

Aqui, o sinal de subtração indica que a força restauradora da mo la atua em direção oposta ao movimento, isto é, na direção da posição de equi líbrio . Na prática, essa equação diferencial de segunda ordem é escrita da segu inte forma :

emqucw-

(1)

k/111.

t<O

--r

mola sem alongamento

r(/)

---t-x

s __ _ _ _ .i_ TI/

x(l)

posição de equilíbrio

__ J _ '"

(a)

(b)

Figura 1.5

(e)

E<JHll{"Õcs Difere11ci"is

Cup. I

Vo/11111 e I

Unidades Comentaremos os s iste mas de unidades usados para descrever problemas de dinâmica como os ilustrados nos dois últimos exe mplo s. Três sistemas de unidades frcqüentemente empregados são mo st rad os na tabela abaixo. Em cada sistema, a unidade básica de tempo é o seg undo.

Grandeza

Sistema gravitacional inglês

Sistema Internacional (SI) cgs

Força

pou nd ( lb)

newton (N)

dina

Massa

slu g

kilograma (1'.g)

grama (g)

Distância

foot ( ft )

metro (m)

cen tímetro (c m)

Aceleração da gra vidade g

32 ft /s 2

9.8 m/s 2

980 cm/s 1

(aproxi mada mente)

A força grav itaciona l exerc ida pela terra sobre um corpo de ma ss a 111 é chamada de peso W. Na ausência de resistência do ar, a única força que atua sob re um corpo em queda li vre é seu peso. Portanto , pe la seg unda lei de Newton sobre o movimento, temo s que a massa 111 e o peso W estão relacionados por

111g.

Por exe mplo , no s iste ma in g lês, a massa de 1/ 4 slu g corresponde a um peso de 8 lb. Como = W/g, um peso de 64 lb co rrespo nde a uma massa de 64/32 = 2 s lu gs. No s istema cgs, um peso de 2450 dinas tem uma massa de 2450/980 = 2,5 gramas. No sistema SI, um peso de 50 newtons tem uma massa de 50/9,8 = 5,l k il ogramas. Note que

111

1 newton= !05 dinas = 0 ,2247pound

No pró x imo exe mplo. deduziremos a eq uação diferencial qu e descreve o movimento de um pêndulo simples.

Pêndulo Simples Qua lqu er objeto pendurado em movimento pendular é chamado de pêndulo físico. O pêndulo simples é um caso especial de pêndulo físico e consiste em uma haste com Ltma massa atada em uma das extremidades. Para descrever o movimento de um pêndulo simples. desprezaremos qua lqu er força exterior de amortec imento ag ind o sobre o s istema (ta l como a resistência do ar).

Volllm e I

EXEMPLO

Cap. I

111troduçüo às eqll<1("Ões diferen cu11s

Uma massa 111 de peso W está suspe nsa por uma haste de comprimento /. Queremos determinar o ângu lo e. medido a partir da linha vertical, como uma função do temp o / (consideramos 8 > O à direita de OP. e 8 < O à esquerda de OP). Lembre-se de que um arcos de um círculo de raio / está relacionado com o ângulo central através da fórmula s = 18. Logo. a aceleração angu lar é

a Pela seg unda le i de Newton, ternos F = ma = mi

d 2e

--? ·

d1 -

Na Figura 1.6, vemos que a componente tangencial da força devida ao peso W é 111g sen 8. Igualando as duas di ferentes formulações da força tangencial, obtemos,

d 2e

111/ -

2 = - 111g se n e ou -d?e- +

E_ sen

e = O.

(2)

o: ~ :e Figura 1.6

-efi

--?-:--------- ~ W = mg t

mg sen 8 / mg cos (}

Por causa da presença do sen a eq uaç ão diferencial (2) é não-linear. É sabido que essa eq uação não pode ser resolvida em termos de funções e leme ntares. En tão, fazemos mais urna simplificação. Se o deslocamento a ng ul ar () não for muito gran de. poderemos usar a aprox imação () = (}* Daí, (2) pode ser substi tuíd a pela equação diferencial linear <le segunda ordem

Para pequenos valores de(} (em radianos). potências e as de ordem superior podem ser ignoradas na série de Maclaurin , sen (} = (} - 83/3 I + ... , e assim, obtemos sen 8 = 8. Use uma calcu ladora e compare os valores de sen (0,05) e scn (0,005) com 0,05 e 0,005.

Eq1111rües Diferrnciois

Cop. I

Vo/11111e I

c1"e d1 2

+ K I

e o

(3)

Colocando w = gll, (3) possui exatamente a mesma est rutura da equação ( 1) que governa vibrações livres de um peso em uma mola. O fato de urna equação diferenc ia l b<ísica poder descrever div ersos fenôrnenos físicos , ou mesmo soc iais/econômicos, é uma ocorrência comum no estudo de matemática aplicada. O relógio de parede e a balança de criança são exemplos de pêndu los. O deslocamento angular() de um pêndulo simples de comprimento 1 é determin ado pe la equação diferencial não-linear de segunda ordem d 2() / dt 2 + (gl l) se n () = O. Quando o deslocamento do pêndulo não é muito grande. podemos fazer a substitu ição sen () ~ () e assim obter aproximadam ente o valor de O resolvendo a eq uação linear d 2() / dt 2 + (gll) () = O. Veja também as páginas 16 e 17.

Corda Giratória Encontramos de novo a equação ( 1) na análise ela corda giratória.

Cop. I

Vo/11111c I

/111rod11çtiu às eq1wç·iíes difér<·11ciuis

EXEMPLO

Suponha que uma corda de comprimento L, com densidade linear constante igual a p (massa por unidade de comprimento) esteja esticada ao longo do eixo x e fixada nas extremidades .r = O ex = L. Suponha que ela seja então girada em torno desse eixo a uma ve loc idade angular constante igual a w. Isso é análogo a duas pessoas segurando uma corda de pular e rodando-a ele maneira sincronizada. Veja a Figura l .7(a). Queremos encontrar a equação diferencial que determina a forma y(x) ela corda. ou a curva de deflexão em relação à sua posição inicial. Veja a Figura l .7(b). Para isso, cons idere a porção ela corda no intervalo [.r, .r + t..r l. em que t..r é pequeno. Se a magnitude Tela tensão Tatuando tangencial mente à corda for constante ao longo da corda, então a equação diferencial que queremos pode ser obtida igualando duas d ifere ntes formu lações da força resu ltante que atuam na corda no intervalo [.r, .r + Li.ri . Primeiro, vemos na Figura l .7(c) que a força resu ltante vertical é F

= T sen e,

(4)

T sen (} 1.

Quando os ângulos B1 e B2 (medidos em radianos) são pequenos, temos sen fh = tg R2 = r'(r + t..r) e sen B1 = tg (JI = y'(.r). e então (-f) torna-se F = T 1/(.r

(5)

t..r) - y'(.r)I.

Agora, a força resultante é dada também pela segunda lei ele Newton, F = ma. Aqui, a massa ela corda no intervalo é /11 = p t..r; a aceleração cen trípeta ele um ponto girando com velocidade angular w em um círculo de raio r é c1 = rw 2. Com f'..x pequeno, tomamos r = y . Logo, uma outra formu lação da força resu ltante é (6)

em que o sinal de subtração decorre do fato ele que a aceleração aponta na direção oposta à direção positiva _1'- Agora. igualando (5) e (6), temos T[',,Lr

+ 6x)-1''(1)J

= -

v'(.r+t..r)-_1,,(.r) , (p;':;_r)1·or ou T~·---~~-

(7)

ii1 l_

__.,_

11J 1~. .\ O L

(a)

(b)

Figura 1.7

(e}

Equa ções Difcrc11 c iois

Vo/11111 e I

Cap. I

Para óx próximo de zero, [y'(x + 6-x) - y'(x)J/Lix nos dá,

d 2v! d.r 2 , assim a última expressão cm (7)

d 2v

d 2y

T --

- p11/y ou T -".;- + pw-y = O.

dx2

(8)

dx-

Co mo a co rd a es tá fi xa e m x = O e x sat isfaça as co ndi ções de fro nteira y(O)

L, es peramos qu e a so lu ção y(..r) da última equ ação

= O e _y(L) = O.

•

Dividindo a últim a equ ação em (8) por T, ob temos, d2y

dx2

pw2

+ -

y =O,

o que é a ná logo a ( 1) e (3). Se a magnitude T da te nsão não é co nsta nte no int erva lo [O, L], e ntão pode-se mostrar que a equ ação diferencial para a c urv a el e deflexão da co rd a é

!!_ [ T(x) dy] + pw 2y = O. dx

(9)

Circuitos em Série De acordo com a seg und a le i de Kirchhoff, a di fere nça de potencial E(I) e m um c irc uito fechado é igual à soma das vo ltagens no circuito. A Fig ura 1. 8 mostra os símbo los e as fórmul as para as respectivas voltagens (q ueda de te nsão) através ele um indutor, um ca pac itar e um res istor. A corrente e m circuito, após a c have ser fechada, é denotada por i(I); a carga em um ca pac ita r no instante t é denotada por q(t ). As letras L, C e R são cons tantes co nh eci da s co mo indut ância , capacitância e res istênc ia, respecti vamente.

- Hindutor

capac1tor

rcs ilor

l;f

(b)

(e)

(a)

Figura 1.8

EXEMPLO

Considere o circuito s impl es , em série, contendo um indutor, um res istor e um capacitar mostrado na Figura 1.9. Uma equação diferencial de segunda ordem para a carga q(I) em um capacitar pode ser obtida somando as voltagens (queda de tensão):

Volu111e J

/11/ roduçüo lh eqw.1(6es difere11ciais

Cap. I

Figura 1.9

e indu tor

__ L-di __ Ld 2q d1

res1tor

iR =

capac1tor =

d1 2

R~ dr

e igualand o a so ma à diferen ça ele potencial E(1): d 2q dq 1 L+ R- + - q c11 2

c11

E(1).

(10 )

•

No Exe mplo 5, as co ndições iniciais q(O) e q'(O) re prese ntam a carga no capacitar e a corrente nu c ircuito , respectivamente, no tempo 1 = O. Ainda, a diferença el e potencial ou voltagem E(t) é chamada ele fo1·ça eletromotriz, ou fem . Uma fem, bem como a carga e m um capacitor. ca usa a corrent e no c ircuito. A tabela abai xo mo stra as unidades bás icas el e medida usadas na análise de circu ito.

Grandeza

Unidade

Diferença de pote ncial ou fe m Indutância L Capaci tân cia C

vo lt (V)

Rcsist~ncia

Carga q Corrente i

henry

(H)

farad (F) ohm (Q)

coulomb (CJ ampere (A)

Lei de Esfriamento de Newton De acordo com a empírica lei de esfriamento de Newton, a taxa de esfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio amb iente.

Eq1tll(6e< Dijácnciuis

Cup.

Vn/111111' I

Antes de tomar um café, geralmente esperamos um pouco até qu e o liquido esfrie. Uma xíca1·a de café fic a quase intragável se esfriar até chegar à temperatura ambiente. Um a lei empírica de resfriamento atribu íd a a Isaac Newton assegura que a taxa de resfriamento de um corpo e proporc ional à diferença entre a temperatura do co1·po e a temperatura do meio. A frase acima é um a descrição verbal de uma equação diferencial. Veja também a página 107.

EXEMPLO

Suponha que T(t) denote a temperatura de um corpo no in sta nte e e que a temperatura do meio ambiente seja constante, igual a T111 • Se dT! dt representa a ta xa Je variação da temperatura do corpo. então a lei de esfriamento de Newton poderá ser expressa matematicame nte da seg uinte forma:

T - T111 ou

/.:(T - T, 11 ).

(ll)

em que /.: é um a cons tante de propo rcionalidade. Como. por hipót(!s<: o corpo i:st:í csL"iandn, devemos ter T > T111 ; logo, k < O.

Cabo Suspenso Suponha um cabo (ou corda) suspenso sobre a ação de seu próprio peso. A Figural. l O(a) mostra um modelo físico para essa situação : um longo fio de telefone pendurado entre dois postes . Como no Exemplo 4, nos so objetivo no próximo exemplo é determinar a equação diferencial que descreve a forma (curva) de um cabo suspenso.

Volume I

EXE MPLO

Cup . I

/111rod11ç-âo às equações di)i-ren l' i<1is

Vamos exa minar so me nte a porção do cabo entre o po nto mais bai xo P 1 e um ponto arbitnírio P2 . Veja a Fig ura l. IO(b). Três forças es tão agindo no cabo: o peso da porção P 1P'2 e as tensões T 1 e T1 e m P1 e P2, res pec ti vamentc. Se w for a densidade linear (medida, <li gamos. cm N/ m) e s fo r o co mprim e nt o do segme nto P1P2. seu peso será ;i·s.

/'f

cabo

T ,,enB

P, ~T. co>B P,

T ,+-~~r-~~~~~~'

(0. 0)

(x. 0)

(b)

(a)

figura 1.10

Agora, a ten são T2 tem duas compo ne ntes, uma hori zo ntal e outra vert ical (quanti dad es esca la res), T 2 cose e T1 sen e. Como o sis te ma es tá e m equilíbrio, pode mos escrever

Dividindo as duas última s equações, obtemos tg8

Ti ou (12)

Agora, co mo o comp rimento do arco entre os po ntos P 1 e P2 é

dy 1 + ( dx

)2d.1,.

segue de uma <las formas <lo teorema fundamenta l do cálcul o qu e

ds dx

(13)

2-1

Equaçrles Diferenciais

Cap. I

\io/11111<'

Derivando ( 12) com relação a x e usando ( 13 ). temos

d 1v

(14)

dx~

Poderíamos conc luir pela Figura 1.1 O que a forma de um cabo s uspenso é parabólica. Porém. não é esse o caso; um cabo (fio ou corda grossa) suspenso sobre efe ito somen te de se u próprio peso toma a forma de um cosseno hiperbólico. Veja o Problema 12, Exercício 3.3. Lembre-se de qu e a curva cuja forma é o gráfico do cosse no hiperbólico é cham ada de catenária, palavra que vem cio latim cate11u . q ue significa "corrente". Os romanos usavam a catena para prender cac horros. Provavelmente o melhor exemp lo gráfico de um a catenária seja o arco Gateway em St. Louis, Missouri, nos Es ta dos Un id os. Para determinar a forma de um cabo suspenso sob a ação de seu próprio peso, tal como um cabo telefônico suspenso entre dois postes. devemos resolver a equação diferencial não-linear

d2yl dx 2 + (w / T) -.J1 + (dyl dx) 2 = O . Pode-se mostrar que o cabo toma essencialm ente a forma do gráfico de um cosseno hiperbólico. Esse gráfico de um cosseno hiperbólico chama-se catenária. O famoso arco Gateway em St. Louis tem a forma de uma catenária invertida.

Cc1p.

Volume 1

/111rodurc.lo i1.' <'l/1turôes d1fere11cl{/is

Drenagem Através de um Orifício Em hid rod inâm ica, o teorema de To rri celli nos di z 4ue a ve loc idade v de d lu xo de água at ravés de um pequeno o ri fíc io no fund o de um tanqu e cheio até um a altu ra h é igual à ve loc idade que um corpo (neste caso. um a go ta d 'ág ua) adquire em qu eda li vre de um a altu ra h : V=

'5gh,

cm que g é a aceleração dev ida à grav id ade. A última ex pressão é o btida ig ualand o a energ ia c i nética~ 111v 2 à energ ia po tenc ial 111gh c exp li c itando v.

EXE M P LO

Um ta nqu e cheio de ág ua é drenado através de um o rifíc io so bre a inlluênc ia da grav idade. Gostaríamos de calcul ar a altura h da ág ua no tanqu e em q ualquer insta nte de tempo r. Co nside re o ta nqu e mos trado na Fig ura 1. 11 . Se a área do orifício é Ao (e m m 2) e a veloc ida de da ág ua sa indo do tanqu e é v = '12g h (e m m/s), então o vo lume de ág ua qu e sa i do tanque por seg un do é Ao (e m m3 /s) . Logo, se V(r) de nota o vo lume de ág ua no tanq ue no in:,tantc 1. temos

-.J2ih

e/V dl

-Ao ..J2gh.

(15)

cm que o sin al de subtração indi ca qu e V dec resce co m o tempo. No te q ue es tamos ig nora ndo qu alq uer poss ibi lidade de atrito no ori fício, o qu e redu ziria a taxa de vazão da ág ua.

T A., -----~-.-----, -

\Ili Figura 1.11

Agora , suponha que o volume da água no tanque no instante t possa ser escrito como V(I) = A11 ./z, em que A11 . (em m 2 ) é a área da superfície da água (veja a Figura 1.11 ), que não depende da altura h. Daí, dVI dt = Aw(dh/ dt). Substituindo essa última expressão em ( 15), obtemos a equação dife rencial para a altura h da água em fu nção do tempo t:

Eq11oçâes Difere11ciais

Cu/!. I

Volwne I

d/1

Ao. ~ - - v2Rh. A \\ . ,

(16)

•

É interessante observar que ( 16) permanece válida mesmo quando A,.. não é co nstante. Neste caso, devemos expressar a área da superfície da água como uma função de h: r\ 11 = A(/1). Veja o Problema 9 cm Exercícios 1.2 e o Problema l 9 nos Exercícios de Revisão do Capítul o 1.

Deflexão de Vigas Em engenharia, um problema importante é determinar a deflexão estática de uma viga elástica causada por seu peso ou por uma carga externa. Supomos que a viga é homogên ea e tem seções transversais uniformes ao longo de seu comprimento. Seja L o comprimento da viga. Na ausência de carga na viga (incluindo seu peso), a curva ligando os ccntróides de toda s as seções transversais é uma linha reta chamada de eixo de simetria. Veja a Figura l. l 2(a) . Se uma carga for aplicada ii viga em um plano vertical con tendo o eixo de simetria, então, como mostrado na Figura l. l 2(b), a viga sofre uma distorção e a curva ligando os centróides de todas as seções transversais é chamada de curva de deflexão ou curva elástica. No prô x imo exemplo, deduziremos a equação diferencial da curva de deflexão . Essa dedução usa princípios de elasticidade e um conceito do cálculo chamado curvatura. Forças atuando em vigas causam estas distorções. Essa deformação . ou deflexão y(x). é descrita pela equação diferencial de quarta ordem E/ y141 = w(x). Uma viga engastada em uma extremidade e solta na outra é chamada de cantiléver ou viga em balanço. Um trampolim, um braço estendido e uma asa de avião são exemplos comuns de tais vigas; mas mastros de bandeira, arranha-céus e o Washington Monument agem como vigas em balanço. Veja também as páginas 405 , 41 1 e 418.

Vof11111e I

EXEMPLO

Caf'. I

/111rot!11çrio its e<111açries dijáenciuis

A título ele ilu stração, vamos considerar uma viga fixa (engastada) em sua extremidade esquerda e so lt a em sua ex tremidad e direita, como na Figura 1.1 3. Faça coincidir o extre mo esquerdo da viga com o ponto .r = O, e o extre mo elire it o com o ponto .r = L. O e ixo x co in cide com o eixo de sime tria. e a dclkxão y(.r) é medida a partir desse e ixo e considerada positiva se estive r para ba ixo. Em teoria da e lasticidade. mostra-se que o momento de fletor (lktor) M(x) em um ponto x ao longo da viga está re lacionado com a carga por unidade de comprimento ir(.r) arravés da eq uaçã o

d 2M

( 17)

- - , = w(x).

Ainda, o momento defletor (fletor) M(x) é proporciona l à c urvatura k da curva elüstica:

( 18)

M(.r) = Elk,

,:i~r - - -..- - - - ~~~- - - -1"_;;J M

ciho cJc simclria (a)

r(.r)

- - - --- --- - - - - - - - - - - - - e_ - - .!..____f----

·'

curva de dcílexão (b)

Figura 1.12

Figura 1.13

em que E e l são constantes; E é o módulo de e la st icidade de Young racionado com o material ela viga. e l é o momento ele inércia ele uma seção transversal ela viga (em relação a um eixo conhecido corno eixo neutro ou linha neutra). O produto E! é chamado de rigidez dellet»1«1 da viga. Agora, do cálculo, sabemos que a curvatura é dada por

= [ 1 +(y'hVc.

Quando a deflexão y(x) é pequena, a inclinação y' z O e elaí f 1 + (r') 2 J' 12 z equação ( 18) se torna M = Ely''. A segunda derivada desta última expressão é

d 2M

E! d2? y"

dx 2

1. Se k

r". a

(19)

Equações Diferenciais

Cap. I

Volume I

Usando o res ultado obtido e m ( 17 ) para sub stituir d 2MI dx 2 e m ( 19), vemos que a deflexão y(x) satisfaz a equ ação diferencial de quarta ordem Eld 4 y

dx 4

w(x) .

(20)

•

Como veremos mais tarde, é ex tremamente im portante observar qualquer co nd ição de fronteira que aco mpanh a a eq uação diferencial na descrição matemática de um fenômeno físico. Para a viga em balanço do Exemplo 9, além de satisfazer (20), es peramos que a deflexão y(x) sati sfaça as seg uintes co ndições nas ext remid ades da viga: y(O) = O, pois não há deflexão no ex tre mo esquerd o e ngas tado .

y'(O) = O, po is a curva de deflexão é tangente ao e ixo x na ex tre mid ade esquerd a. y"( L ) = O, pois o momento defletor (fleto r) é nul o no ex tremo li vre .

y"'(L) = O, pois a força de espo li ação (cisa lh ame nto) é zero na ex tremidade direita (l ivre) . A fun ção F(x) = dMI dx = El (d 3y! dx 3 ) é c hamada de força de espo li ação (c isa lh ament o).

Crescimento Populacional Nos próx imos exemplos, exa min amos algu ns modelos matemáticos em crescime nto biológico.

E X EM P LO

Parece plausível esperar que a taxa de c resc ime nto de uma popu lação P seja proporcional à população presente naquel e instante. Grosso modo , quanto maior for a popul ação presente, maior ela será no futuro . Logo, o modelo para o crescimento populacional é dado pela equ ação diferencial dP = kP dt '

(21)

em que k é uma constante de propo rcionalidade. Como esperamos que a população c resça, devemos te r dP/ dt > O, e assim k > O. •

---------------E X EM P LO

Na disseminação de uma doença contagiosa, uma virose, por exemplo, é razoável supor que a taxa de disseminação, dxldt, seja proporcional não somente ao número de pessoas, x(t), contaminadas, mas também ao número de pessoas , y(t), que ainda não foram contaminadas, isto é,

Volume I

Cap. I

Int rodução às equações difere 11ciuis

dx dt + kxy,

(22)

em que k é a co nstante de proporcio nalidade usual. Se uma pessoa infectada fo r int rod uzida em uma população de n pessoas, e ntão x e y es ta rão re lac io nados po r x+y= n + I.

(23)

Usa ndo (23) para eliminar y e m (22), ob te mos dx dl

= kx(n + 1 - x).

A co ndição ini cial óbvia qu e aco mpanha a equ ação (24) é x(O)

(24)

•

Equação Logística A eq uação de primei ra orde m não- linea r (24) é um caso es pec ial de uma eq uação mais gera l dP dt

= P(a - bP) ,

a e b constantes,

(25)

conhecida co mo equação logística. Veja Seção 3 .3. A solução dessa eq uação é muito importa nt e em eco log ia, socio log ia e mes mo e m ciências co nt ábeis e admini stração.

Capitalização Contínua É m ui to co mum as in s titui ções fi na nceiras anun c ia re m ca pita li zação di ári a dos ju ros. Poderíamos ter capitalização a cada hora o u mes mo a cada minuto. Não há razão para parar aí, ou sej a, ju ros poderi am ser capitali zados a cada seg undo, a cada meio seg und o, a cada décimo de seg undo, a cada mil ési mo de segundo, e assi m po r di ante. Isto que r di zer qu e os ju ros podem ser capi tali zados co ntinu ame nte.

E X E M P L O

Q uando os juros são cap itali zados co ntinua me nte, a taxa de crescime nt o é pro porcional ao capita l S. isto é, dS = rS d1 •

(26)

em q ue r é taxa anual de juros. Essa desc rição mate máti ca é a náloga ao c rescime nto popu lac io nal do Exemp lo 10. A taxa de crescime nto será grande qu ando o capital presente também for grande. Tradu zindo geometricamente, isso significa que a reta tangente é mais inclin ada quando Sé gra nde. Veja a Figura 1.14.

Equações Diferenciais

Cap. 1

Volume 1

dsl e= e,

m=dt

Figura 1.14

A definição de derivada proporciona uma interessante dedução de (26). Suponha que S(t) seja o capital acumulado depois de t anos, quando a taxa de juros r é anual e es tes são

capitalizados continuamente. Seja h um incremento de tempo. Então, os juros obtidos no espaço de tempo (t + h) - t é a diferença dos montantes acumu lados:

S(t + h) - S(t)

(27)

Como os juros são definidos por taxa x tempo x cap ital , podemos aproximar os juros ganhos no mesmo período por rhS(t) ou rhS(t

h).

Intuitivamente, rhS(t) e rhS(t + h) são colas in fer iores e superiores, respec tivamenle, para os juros reais (27); ou seja,

+ h) - S(t)

rhS(t) ~ S(t

rhS(t

+ h)

S(t

rS(t) ~

Passando ao limite em (28), quando h

rS(t) ~ lim h

h) - S(t) h ~ rS(t + h).

(28)

O, obtemos S(t

__,o

h) - S(t) h ~ rS(t),

e daí segue-se que . S(t + h) - S(t) lim h h

__, o

rS(t) ou

= rS.

•

Volum e I

Cap. I

Introdução às equações diferenciais

EXERCÍCIOS

1.2

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 440. Nos Problemas 1-22, dedu za a cq uação(es) diferencial(is) que descreve a si tu ação física dada. L.

Em certas circu nstâncias, um corpo B de massa m c m queda , como o pára-quedi sla mostrado na Fi gura 1. 15, e ncontra res istência do ar proporcional à sua ve locidade v. Use a segunda lei de Newton para e nco nt rar a equação diferenc ial para a vc l ocidad~ v do corpo e m qualqu er in stante. Lembre- se de que a aceleração é a = dvl dt. Suponha neste caso qu e a di reção posi ti va é para baixo.

Qual é a equação diferencial para a ve loc idade v de um corpo de mas sa /11 cm queda verti cal através de um meio (ta l co mo a água) que oferece uma resistência proporcional ao quadrado da ve loc idade? S upo nh a a direção positiva para baixo.

f."""·

{ 3.

Pela le i da g ra vitação universal de New ton, a ace leração de queda li vre a de um corpo, tal como o saté lit e mostrado na Fig ura l.1 6 cai nd o de um a g ra nde a ltu ra, não é a cons tante g. Em vez disso, a aceleração a é in versa mente proporcional ao quadrado da di stância r e ntre o centro da terra e o corpo: a = kl r 2 , em que k é a consta nte de proporcionalidade. (a)

Use o fato de que na superfície da terra cionalidade k.

= Re

= g para determinar a constante de propor-

(b) Use a segunda lei de Newton e a parle (a) para encontrar uma equação diferencial para a distância r.

(e)

Use a reg ra da cadeia na forma

dv dt

dv dr dr dt

para expressar a equação diferencial da parte (b) como uma eq uação diferencial envo lvendo dvldr.

satélite 9fjn

~,l"

M Figura 1.16

Figura 1.15

(a) Use a parte (b) do Probl ema 3 para e ncontrar a equação diferencial para r se a resistência ao satélite em queda for proporcional à sua veloc idade. (b) Próximo à superfície da terra, use a aproximação R

~ r

da parte (a) se reduz à equação deduzida no Problema 1.

para mostrar que a equação diferencial

Equações Diferenciais

Cap. I

Volume I

5. Um circuito em série contém um resislor e um indutor, co mo mostrado na Figura 1. 17. Determine a eq uação diferencial para a corrente i(t) se a resistência é R, a indutância é L e a diferença de potencial , E(t).

6. Um circuito em série contém um resisior e um capacito r, co mo mostrado na Figura 1. 18. Determine a equação diferencial para a carga q(t) no capacito r se a res istência é R , a capacilância é C e a diferença de potencial, E(1).

L e Figura 1.17

Figura 1.18

Suponha que a ág ua de um tanque es teja sendo drenada por um orifício circul ar de área Ao loca li zado no fundo do Ianque. Foi mostrado experimenlalmenle que, quando o atrito da água no orifício é levado em consideração, o vo lume de água que sai do ianque por segu ndo é ap roximadamente 0,6Ao,fi[ih. Enco ntre a eq uação diferencial para a allu ra h de água cm qualquer in s1an1 e t no tanque cúbi co da f'igura l.1 9. O raio do o rifício mede 2 cm e g = 1O m/s 2.

8. Suponha um Ianqu e na forma de um cilind ro circular relo de raio 2 me aliura 10 m. O tanque está inicialmente cheio de água, e a água vaza por um orifício circul ar de raio l / 2 cm no fundo. Use as informações do Problema 7 para obter a eq uação diferencial para a altu ra h da ág ua em qualquer instante de tempo t. 9. Um tanque de água 1em a forma de um hemi sfério com raio 5 m. A ág ua vaza por um orifício circular de l cm no fund o plano. Use as in formações do Problema 7 para obter a equação diferencia l para a altu ra h da água com relação ao tempo 1. 10. A taxa de deca imento de uma substância rad ioativa é proporcio nal à quantidade A(t) da substância remanescente no instante 1. Determin e a equ ação diferencial para a quantidade A (t). 11. Uma droga é inj etada na corrente sangüínea de um paciente a uma taxa constante de r gramas por segundo. Simultaneamente, a droga é removida a uma laxa proporcional à quantidade x( t ) de droga presente no instante 1. Determine a eq uação diferencial que governa a quantidade x(t). 12. Um projétil atirado de uma arma tem peso w = mg e velocidade v tangente à traj etória de seu movimento . Desprezando a resistência do ar e todas as outras forças exceto seu peso, encontre o sistema de equações diferenciais que descreve o movimento . Veja a Figura 1.20. [Su gestão: Use a segunda lei de Newton na direção x e y.]

Volume 1

Cap. I

Introdução às equações diferenciais

13. Determi ne as eq uações do movimento se o projétil no Problema 12 enco ntrar um a força de retardamento k (de magnitude k) agind o tangenc ialmente à trajetória mas, oposta ao movimento. Veja a Figura 1.21. [Sugestão: k é um múltiplo da veloc id ade, digamos cv. J

Figura 1.20

Figura 1.21

14. Dois reagentes qu ími cos A e B são usados para formar um novo composto quími co C. Supondo que as concentrações de A e B decrescem pela mes ma quantidade de composto C formado , enco ntre a equação diferencial que governa a concentração x(t) do composto C se a taxa a que a reação química ocorre é proporcio nal ao produto das concentrações remanescentes de A e B. 15. Uma curva C no plano reflete os raios de lu z de tal modo que todo raio L paralelo ao eixo y é refletido para um único ponto O. Determine a eq uação diferencial para a função y = f(x) que descreve a forma da curva C. (0 fato de o ângu lo de incidência ser igual ao ângu lo de reflexão é um princípio da ótica.) [Sugestão: a Figura 1.22 mostra que a inclinação da reta tangente em P(x, y) é n/2 - (} e podemos 20. (Por quê?) Não tenha receio de usar as iden tidades trigonométricas. J escrever</>

Figura 1.22

16. Um barril em forma cilíndri ca, co m s metros de diâmetro e w newtons de peso, flutu a na ág ua. O

barril se movimenta para cima e para baixo ao longo de uma linha vertical. Usa ndo a Figura l .23(b), determine a equação diferencial para o deslocamento vertical y(t), supondo a origem no eixo verti cal na superfície da água qu ando o barril está em repou so. Use o princípio de Archirnedes: o impulso da água no barril é igual ao peso da água deslocada. A densidade da água é 1000 kg/ m3 Suponha o sentido pos itivo para bai xo e ignore a resistência da água.

Equações Diferenciais

Cap. 1

Vo lume/

s/2

Q_ ___ _} y{t)

1---

' (a)

--·

(b) Figura 1.23

17. Um foguete é lançado da superfíc ie da terra verticalmente para cima. Depois de esgotado todo o combustível, a massa do foguete é co nstante igual a 111. Use a seg unda le i de Newton para o movimento e o fato de que a força da gravidade é inversame nte proporc ional ao quadrado da di stâ nc ia para e ncontrar a equação difere ncial da di stânc ia y, do centro da terra ao foguete, e m qualquer instante após a queima total do combust íve l. Enuncie condições ini ciais apropriadas (no instante t = 0) associadas co m essa equação difere nc ial. 18. A segunda lei de Newton F = ma pode ser escrita co mo F = dl dt(mv). Quando a massa de um objeto

não é co ns tante, esta última formulação é usada . A massa m(t) de um foguete muda e nqua nt o seu combu stível é cons umido .* Se v( r ) de no ta s ua velocidade no instante r, pode ser mostrado que

dv - mg = m dt

- V dr ,

(29)

em que V é a velocidade de escape dos gases c m relação ao foguete. Use (29) para e nco ntrar a equação difere nc ial de v, supo ndo conhecido que m(t) = m0 - ar e V = - b, em que m0 , a e b são constantes. 19. Uma pessoa P, partindo da origem, move-se na direção positiva do eixo x, puxa ndo um peso ao longo da curva C (chamada tralriz) , como mostrado na Figura 1.24. O peso, ini c ialme nte local izado no eixo y em (O, s), é puxado por uma corda de comprimento s, que é mantida esticada durante todo o movimento . Encontre a equação difere nc ial da trajetó ria do movimento. [Su gestão: A corda fica sempre tange nte a C; considere o ângulo de inclinação() co mo mostrad o na figura.]

20. Suponha uma abertura passando pe lo centro da terra. Um corpo de massa m é atirado na abertura. Denote po rra di stância do centro da terra à massa no in stant e 1. Veja a Figura 1.25. (a) Sejam M a massa da terra e M , a massa da porção da terra limitada por uma esfera de raio r. A força da gravidade atuando em m é F = - kM, mlr2, em que o sinal de subtração indica que a força é uma atração. Use este fato para mostrar que

[Sug estão: Suponha que a terra seja ho mogênca, isto é, a densidade é constante. Use massa = den sidade x volume.]

Estamos supondo que a massa total : massa do veículo + massa do combustível + massa dos gases de escape é constante. Neste caso, m(t) = massa do veículo+ massa do combustível.

Volume 1

Cap. 1

Introdução às equações diferenciais

(b) Use a segun da lei de Newton e o resultado da parte (a) para deduzir a equação diferenc ial d 2r 2 - + w r =O

dc2

em que w 2 = kM/ R3

= g/ R.

(O. s)

Figura 1.24

Figura 1.25

21. Em teoria de aprendi zagem, a taxa à qual um assunto é memorizado é proporc ional à quantidade ai nd a a ser memorizada. Se M denota a quantidade total a ser memorizada e A(t) a quantidade memorizada no insta nte 1, encontre a eq uação diferenc ial para A. 22. No Problema 2 1, suponh a que a quantidade de materi al esquec ida é proporcional à quantidade memo rizada no in stante t. Q ual é a equação diferencial para A quando o esqueci menlo é levado em conta?

Capítulo 1

REVISÃO

Class ifi ca mos um a equ ação dife rencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial ; quanto à ordem ; e quanto à li nearidade: linear ou não-linear . Uma solução para um a equação difere nc ia l é qualquer fun ção sufi c ie nt e mente diferenc iáve l que sati sfaça a equação em a lg um intervalo. Quando reso lvemos um a eq uação diferencial ord inári a de n-ésima ordem, esperamos enco ntrar uma família de so luções a n-parâmetros. Uma solução particular é qualquer solução, não dependente de parâmetros, que satisfaça a equação diferencial. Uma solução singular é qualquer so lução que não pode ser ob tida da família de so luções a n-parâ metros através de escolha dos parâmetros. Quando uma família de soluções a n-parâmetros fornece todas as soluções para uma eq uação diferencial em a lgum intervalo, e la é chamada solução geral, ou

completa.

Equa ções Diferenc iais

Cap. I

Vo lum e I

Na an álise de um problema físico, muitas equações diferenciais podem ser obtidas igual ando du as diferentes formul ações empíri cas da mes ma situação . Por exempl o, uma equação diferencial sobre cinéti ca pode, em geral , ser obtida simpl es mente igualand o a segunda lei de Newt on sobre o movimento com as fo rças res ultantes qu e atu am em um corpo.

Capítulo 1

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 441. Nos Proble mas 1-4, classifiqu e a equação dada qu a nto ao tipo e à orde m . C lass ifiqu e as equ ações di fe re nciai s ordin ári as qu a nto à linearidade. 2. (sen xy)y"' + 4xy' = O

Nos Proble mas 5-8, verifique que a fun ção indi cad a é uma so lução para a equação difere ncia l dada.

5. y' + 2xy = 2 + x 2 + /; )' =

6. x 2y" + xy' + y = O; y =

+ lg X

7. y"' - 2y" - y' + 2y = 6; y = c1ex

+ c2e-x +

c3e 2 r

8. /

c2 4l

cos( ln x)

sen(ln x), x > O - 16y

= O;

= sen 2x

+ cosh 2x

+ 3

Nos Proble mas 9- 16, dete rmine, por inspeção, pelo me nos uma so lução para a equação dife re ncial dada.

9. y = 2x

10.

~= Sy

11. y " = 1

12.

13. y " = y

14.

2y~

15. y " = - y

16.

)' "

17. Determine um int e r va lo, no qua l + (1 - 2x) dx = o.

y2 -

= x2

- x -

- 8

= y

l de fin e um a so lu ção pa ra 2(y - 1) dy

18. Explique por que a equ ação difere ncial

l (~dxJ2 =44 - x

não possui solução real em lx l < 2, ly l > 2. Há o utras regiões do pla no xy e m que a equação não possui solução?

Vol11me 1

Cap. 1

Introdução às eq11ações diferenciais

Jí

19. O tanque cô ni co, mostrado na Figura l .26, derrama água po r um o rifício no fundo. Se a á rea da seção tran sversa l do orifício é l / 4m 2, encontre a equação dife re ncial que representa a altura da água h e m

relação ao te mpo 1. Ig nore a força de atrito do orifício. 20. Um peso de 96 newto ns des liza por um plano inclinado, faze ndo um â ng ul o de 30º co m a hori zonta l. Se o coe fici e nt e de atrito é µ, dete rmine a equação diferencial para a velocidade v(t) do peso no in sta nte 1. Considere o fato de que a fo rça de atrito no sentido oposto ao movime nto é µN. c m que N é a co mpo ne nte no rmal do peso. Veja a Figura l .27.

l/4 m

Figura 1.26

Figura 1.27

Capítulo

EQUAÇOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 [O J 2.6

Teoria Pre lim inar Var iáveis Separáve is Equ ações Ho mogêneas Equ ações Exatas Equ ações Linea res Equações de Bern oulli , Ri catti e C la ira ut

Conceitos Importantes Problema de va lor inicial Condi ção ini cial Ex istência de uma so lu ção Unic idade de uma sol ução Separação de variáveis Função homogênea Equação homogênea Diferencial exata Equação exata Fator de integração Equação linear Solução geral

[O] [O]

2.7 2.8

Sub stituições Método de Picard Capítul o 2 Rev isão Capítul o 2 Exercíc ios de Rev isão

Estamos agora em pos1çao de res o lver algumas equações diferenciais . Começamos com as e quações diferenciais de primeira ordem . Se uma equação diferencial de primei ra ordem puder ser resolvida, veremos que a técnica o u método para resolvê-la depende do tipo da equação de primeira ordem com que estamos lidando. Durante anos , muitos matemáticos se esforçaram para resolver diversos t ipos particulares de equações. Por isso, há vários métodos de solução; o que funciona para um tipo de equação de primeira ordem não se aplica necessariamente a outros tipos de equação. Embora consideremos métodos de solução para sete tipos clássicos de equaçõ es neste capítulo, centralizamos nossa atenção em quatro tipos de equações. Alguns desses quatro tipos são importantes nas aplicações.

Volume I

2.1

Cap. 2

Equações diferenciais de pri111eira ordem

TEORIA PRELIMINAR

Problema de Valor Inicial Estamos interessados em resolver um equação diferencial de primeira ordem* d\I dx = f(x,

sujeita à condição inicial y(xo) = arbitrário. O problema

)'Q,

em que xo é um número no intervalo I e Yo é um número real

Resolva:

1; = J(x, y) (2)

Sujeito a: y(xo) = Yo é chamado de problema de valor in icial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferenci al, definida cm algum intervalo l tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, Yo) determinado a priori. Veja a Figura 2.1.

EXEMPLO

Vimos (páginas 9-10) que y = cex é uma família a um parâmetro de soluções para y' = y no intervalo (- oo, oo) . Se especificarmos, digamos, y(O) = 3, então substituindo x = O, y = 3 na família, obteremos 3 = ce 0 = e. Logo, como mostrado na Figura 2 .2, a funçã o

y /

3e' y = 3e'·'

_;,---

(1, 3)

l+--f--+lx Figura 2.1

Neste texto, supomos que uma equação diferencial F(x, y, y', ... , y (nl) 11 y, y', .. . , y<n - ' l). Há exceções.

y< l = f(x,

Figura 2.2

= O possa ser colocada na forma

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume I

é um a so lução para o problema de va lo r inicial

y' = y,

y(O) = 3.

Se tiv éssemos pedido um solução de y' = y que passasse pe lo ponto ( 1, 3) e m vez de (0, 3), en tão y( l ) = 3 iri a nos dar e= 3e- 1, e daí, y = 3ex- I. O gráfico dessa so lução es tá também indicado na Figura 2 .2 . • A ques tão fundamental s urge quando consideramos um problema de va lor ini c ia l como (2): Existe uma so lução para o problema? Se existe uma sol ução, e la é única? Em outras palavras, a equação diferencial dyl d.x = f(x, y) possui uma solução c uj o g ráfico passa pe lo ponto (xo. Yo)? E será que essa sol ução, se exist ir, é única? Como os próximos exemp los mostrarão, a resposta à seg und a questão é: algumas vezes não.

EXEMPLO

Você deve verificar que cada um a das funções y e a condição inicial no problema

= xy 112 ,

Oe y = x 4 / 16 satisfaça a eq uação dife renc ia l

y(O) =O.

Como ilustrado na Figura 2.3, os g ráficos de ambas as funções passam pe lo ponto (O, 0).

Em gera l, deseja-se saber, antes de cons iderar um problema de valor inic ial, se um a so lução ex iste e , quando ex iste, se é a única so lução para o problema. O segundo teore ma, devido a Picard , * nos dá cond ições suficientes para garantir existência e unicidade de sol uções.

TEOREMA 2.1

Existência de uma Única Solução

Seja Ruma região retangular no plano xy definida por a $ x $ b, e $ y $ d, que contém o ponto (XQ, y0) em seu interior. Se j{x, y) e a fl a y são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial (2) .

Charles Émile Picard (1856-1941) Picard foi um dos proeminentes matemáticos franceses do final do século passado e começo deste século. Fez significativas contribuições nas áreas de equações diferenciais e variável complexa. Em 1899, Picard lecionou na Universidade Clark em Worcester, ; stado de Massachusetts, Estados Unidos.

Vo/111ne /

Cap. 2

Eq ua ções diferenciais de primeira ordem

O res ultado anterior é um dos mai s populares teoremas de exis tência e uni cidade para eq uações diferenciai s de primeira ordem, porque os critérios de cont inuidade de /(x, y) e a f /a y são relativamente fáceis de ser verificados. Em geral, não é possível determin ar um intervalo específico l no qu al uma solução está definida sem realmente resolver a equação • diferencial (veja Problema 16). A geometria do Teorema 2.1 está ilustrada na Figura 2.4. y

y=+--'

(O, O)

y=O

:: ~ :h-""A---~ 7:::

l Vc1o.YJ} ! _J ~_J_ ------- _J__ J_ '

1 X

l-t-1

Figura 2.4

Figura 2.3

EXEMPLO

. 1

d - ~--~-- -- -----~ --~-•R •

Vimos no Exemplo 2 que a equação diferencial dy = xyl /2

dx possui pelo menos duas sol uções cujos gráfico s passam por (0, 0) . As funções f (x, y) = xy l /2 e af = _x_ a y 2Y1 12 são contínuas no semiplano superior definido por y > O. Concluímos do Teorema 2.1 que, dado um ponto qualquer (XQ, y0 ) com y0 > O(por exemplo, (0, 1), existe algum intervalo em torno de xo no qual a equação diferencial dada possui uma única solução y(t) , tal que y(XQ) = YO· •

EXEMPLO

O Teorema 2.1 garante que existe um intervalo co ntendo x = O no qual y solução para o problema de valor inicial do Exemplo l:

y' = y,

3ex é a única

y(O) = 3.

Isso segue-se do fato de que j{x, y) = y e a f/ a y = 1 são co ntínuas em todo o plano xy. Pode • ser mostrado ainda que esse intervalo seja (- oo, oo).

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap. 2

Vol11111e I

Para dy = x2 + y2 dx

observamos que fl.x, y) = x 2 + y 2 e a f/ a y = 2y são co ntínuas em todo o plano xy. Logo, po r qualquer ponto (xo, Yo) passa uma e somente uma solução para a equação diferencial.

Nota (i) Devemos estar cientes da distinção entre a existência de urna so lu ção e poder exibir tal solução. Evidentemente, se encontramos urna solução ex ibindo-a, podemos dizer que ela existe, mas, por outro lado, urna so lução pode existir e não ser possível expressá-la. Pelo Exemplo 5, sabemos que uma solução para o problema dyldx = x 2 + y1, y(O) = l exis te cm algum intervalo em torno de x = Oe é úni ca. Porém, a equação não pode ser resolvid a cm termos de funçõe s elementares ; podemos ex pressa r uma so lução aproximada usa ndo os métodos do Capítulo 9. (ii) As condições enunciadas no Teorema 2.1 são suficie11tes, mas não necessárias. Quando f(x. y) e afia y são contínuas em uma reg ião reta ngular R, seg ue-se sempre que ex iste uma única so lução para (2) quando (xu. Yo) é um ponto interior a R. Porém, se as condições enun ciadas nas hipóteses do teorema não são sa ti sfeitas, então o problema de valor ini cial (2) pode ter ou não so lução, Ler mai s de uma solu ção ou Ler uma única so lu ção . Ainda, a condição de continuidade de af/ a y pode ser enfraquecida um pouco sem alteração da conclusão do teore ma. Este resultado é uma forma mais forte do teorema, mas infelizmente sua ap licabilidade não é tão fácil quanto a do Teorema 2. Na verdade, se não estamos interessados em unicidade, então um famoso teorema elaborado pelo matemático italiano Giuseppe Peano diz que a co ntinuidade de fl.x, y ) em R é suficiente para garantir a existência de pelo meno s um a solução para dyl dx = j(x, y) passando por um ponto (xo , Yo) interior a R .

EXERCÍCIOS

2. 1

As respostas dos exercícios selecionad os estão na página 441. Nos Problemas 1- 10, determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única so lução passando por um ponto (xo. y0 ) na região . 1. dy

=y213

!!:t dx

r!z-y=x dx

( l + y3)y'

= x2

(y - x)y'

= )' +

3. xrjz dx

5. (4 - /)y' 7. (x2 +

= x2

y2)y' =y2

= ..r;y

Volume 1

9. ~ = dx

Cap. 2

Equações d ife renciais de primeira ordem

lO. ddy = (x -

XJ COS V

l )eyl (x - 1)

Nos Pro blemas l l e 12, dete rmine, por in speção, pelo menos du as so luções para o prob lema de valor ini cial dado. 11. y'

= 3/13,

y(O)

12.

d)' x-;;; = 2y.

y(O)

13. Po r inspeção, determine uma so lução para a equação d ife rencial não- linear y' = y 3 q ue sati sfaça

y(O) = O. A so lu ção é ún ica? 14. Por inspeção, enco ntre uma so lu ção para o proble ma de va lor ini cial

li,

y' =ly -

y(O)

Di ga por qu e as condições do Teorema 2. l não são satis fei tas para essa eq uação di fe rencial. Embora não possamos provar, a so lução para esse prob le ma de va lor inicial é única.

lS . Verifique qu e y = ex o:! uma solu ção para a eq uação di fe renc ial xy' = y para todo va lor do parâmetro e. Enco ntre pelo menos d uas so lu ções para o prob lem a de valor ini cial '

xy'

= y,

y(O)

= O.

O, X<

Observe que a função defini da por panes y = {

satisfaz a condição y(O)

= O.

X~ Ü

Ela é uma so lução para o pro bl ema de valor ini cial?

16 . (a) Considere a equação di fe rencial

~ dx

= l + /.

Determine uma região do plano xy tal qu e a eq uação tenh a uma úni ca solução passando por um po nto (xo. Yo) da reg ião. (b) Formalme nte, mostre q ue y = tg x sati sfaz a eq uação dife rencial e a co ndição ini cial y(O) = O.

(e) Explique po r que y = tg x não é uma so lução para o pro bl ema de valor ini cial dv d; =l

o y-,

y(O)= O,

no intervalo (- 2, 2). (d) Ex pli q ue po r q ue y = tg x é uma so lução para o pro blema de va lor inic ia l da parte (c) no intervalo (- l , l ). Nos Pro blemas 17-20, verifi que se o Teorema 2. l garante uni cidade de so lução para a eq uação diferencial y' = ~. passando pelo ponto dado. 17. (l, 4)

18. (5, 3)

19. (2 , - 3)

20. (- l , l)

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume I

2.2

VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

Nota ao estudante: Na resolução para uma equação diferencial, você terá freqüentemente que utilizar, digamos, integração por partes, frações parciais ou possivelmente uma substituição. Será proveitoso gastar alguns minutos de seu tempo na revisão de algumas técnicas de integração.

Começamos nosso estudo da metodologi a de resolução de equações de primeira ordem com a mai s simples de todas as eq uações. Se g(x) é uma função cbntínua dada, então a equação de primeira ordem

Ex dx

= g(x)

(1)

pod• ser resolvida por integração. A solução para (1) é

y = ---------- --- - -

Jg(x) dx + e.

----

- - - - -- - - - -- -- -

EXEMPLO Resolva

(a) É1- = l +e 2x dx

(b)

= senx.

Solução Como ilustrado acima, ambas as equações podem ser reso lvidas por integração. (a) y =

J (1 +

(b) y =

J senxd.x =

e2x) dx = x

+ ~ e2x +

-cosx +e

•

A eq uação ( l), bem como seu método de resol ução, é apenas um caso especial do seguinte: DEFINIÇÃO 2.1

Equação Separável

Uma equação diferencial da forma ~ - g(x)

dx - h(y)

é chamada separável ou tem variáveis separáveis.

Observe que uma equação separável pode ser escrita como h(y)

= g(x) .

É imediato que (2) se reduz a (l) quando h(y) = 1. Agora, se y = j(x) denota uma solução para (2), temos

(2)

Vo/11111e I

Cap. 2

Equações dife rencia is de primeira o rdem

h (f(x))f(x) = g(x),

logo,

J Mas dy

h (f(x ) )f (x) dx =

g(x) dx

(3)

= f(x) dx, ass im (3) é o mes mo qu e

h (y) dy =

(4)

+ e.

g(x) dx

Método de Sol ução A eq uação (4) indi ca o procedimento na reso lução para equ ações dife renciais separáve is. Uma fa míl ia a um parâmetro de so luções , em geral parada implic itame nte, é obtida integra nd o ambos os lados de h (y) dy = g(x) dx.

Nota pois,

Não há necess idade de usar du as co nstantes na integração de um a equ ação separáve l

h (y)dy

c1 =

Jh (y) dy = Jg(x ) dx +

g(x)dx

c2 -

Jg(x ) dx +

c1 =

em que e é co mpl etame nte arb itrári a. Em vári as instâncias, no decorrer dos capítu los seg uintes, não hes itare mos em indexar constantes de uma maneira que possa ser mais co nvenie nte para uma dada equação . Po r e xempl o, múltiplos de constantes o u combinações de co nstantes podem ser trocados por um a única co nstante.

EX EMPLO

Resolva

( 1 + x) dy - y dx = O.

Solução

Di vidindo por ( 1 + x)y, podemos escrever, dy/ y

dx/ ( 1

x) , da qual se seg ue que

f ~= f ~. )'

) +X

lnlyl = lnll + xl + c 1

e lnll +xl +c , elnll + xl X

li + xlé =' ±e'°'( 1

e c'

1•

li +xl = 1 +x, x 2:- I li +xl= - ( 1 +x) , x < -1

'Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume I

Trocando± ec' por e , temos, y = c( l + x).

Solução Alternativa Como cada integral resulta em um logaritmo, uma escolha co nveniente para a constante de integração seria lnlcl em vez de e: lnlyl = lnl 1 + xl + lnlcl lnlyl = lnlc( l + x)I

y = c( l + x)

assim,

Mesmo que as integrais indefinidas não sejam todas logarítmicas, ainda pode ser vantajoso usar lnl cl. Porém, nenhuma reg ra pode ser dada. •

E XEMPLO

Resolva o problema de valor inicial dy dx

Solução

y(4)

De y dy = - x dx, obtemos

Jydy=-J xdx

f =-~

+c1.

Essa solução pode ser escrita como x 2 + y2 = c 2, trocando as constantes 2c 1 por c 2• A solução representa uma família de círculos concêntricos. Agora, quando x = 4, y = 3 temos 16 + 9 = 25 = c 2 . Logo, o problema de valor inicial determina x 2 + y2 = 25. Em vista do Teorema 2.1 , podemos concluir que este é o único • círculo da família que passa pelo ponto (4, 3). Veja a Figura 2.5. y

Figura 2.5

Volume I

EXEMP L O

Equações diferenciais de primeira ordem

4 xe - " sen x dx - y dy = O.

Resolva

Solução

Cap. 2

Depois de multiplicar por e", obtemos

x sen x dx = yeY dy. A integração por partes e m ambos os lados da equação res ulta em

-xcosx + senx =yeY -:_,..-eY +e.

EXEMPLO

5 xi dx + (y 2 + 2)e- 3x dy = O. ·

Resolva

Solução

• (5)

Multip licando a equação dada por e 3x e dividindo por y 4 , obtemos 1 y2 + 2 xe· x dx + - - - dy = O ou xe 3x dx + (y- 2 + 2y-~) dy = O.

(6)

Usando integração por partes no primeiro termo, temos

_!_xe3x _ _!_e 3x _ y-1 3 9

-32 y -

3 = CJ .

A família a um parâmetro de soluções pode também ser escrita como 3

9 y

6 + e, y3

e x(3x - 1) = - + em que a constante 9c 1 foi trocada por e.

(7)

•

Doi s pontos devem se r mencionados neste instante. Primeiro, a menos que seja importante ou conveniente, não há neces sidade de tentar resolver y como função de x em uma expressão que representa uma família de soluções. A equação (7) mo stra que essa tarefa pode apresentar prob lemas que vão além da enfadonha manipulação de símbo los. Como eonseqüência, é freqüente o caso em que o intervalo no qual uma solução é vá lida não é aparente. Segundo, deve-se estar atento à separação de variável para ter certeza de que os divisores não são nulos. Uma solução constante pode facilmente ser esquecida no embaralhamento do processo de reso lução para o problema. No Exemplo 5, observe que y = O é uma so lução para (5), mas não pertence ao conjunto de soluções definido em (7).

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap. 2

Volume I

Resolva o problema de valor inicial !Í..2'.. = y 2 - 4, dx

Solução

y(O) = - 2.

Colocamos a eq uação na forma

_!/;L_ y2 - 4

= dx

(8)

e usamo s frações parciais no lado esquerdo. Temos

[ ---=i__ y+2 assim

Logo,

_J_ ] dy

= dx

y-2

(9)

1 1 -4lnly + 21+ 4lnly - 2l=x + c 1.

y - 2 y + 2

= 4x

(10)

+ c2

y - 2 4 - - = cex y + 2 '

em que trocamos 4c 1 por c2 e éi por e. Finalmente, resolvendo y na última equação, obtemos 1 + ce 4 x y = 2---

(11)

ce 4x

A substituição x = O, y = - 2 acarreta o seguinte dilema

-2 - 1+ e

=1+

1+ e 2-1 - e

e ou - 1

Examinaremos a equação diferencial mais cuidadosamenle. O fato é: a equação d}' dx = (y + 2)(y - 2)

é satisfeita por duas funções constantes, a saber, y = - 2 e y = 2. Inspecionando as equações (8), (9) e (10), vemos que as soluções y = - 2 e y = 2 não foram consideradas (pois anulariam o denominador). Mas é interessa nte observar que a solução y = 2 pode ser subseqüentemente recuperada fazendo e = O em ( 11 ). Porém nenhum valor de e nos dará a solução y = - 2. Esta última função constante é a única solução para o problema de valor inicial. Veja a Figura 2.6 . •

Volume 1

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

Se, no Exemplo 6, tivéssemos usado lnlcl como a constante de integração, então a expressão da família a um parâmetro de soluções seria e

e4x

y = 2- - - . e -

(12)

e4x

Figura 2.6 X

Note que ( 12) se reduz a y = - 2 quando e = O, mas agora nenhum valor de e nos dará a solução constante y = 2. Quando uma solução para um problema de valor inicial pode ser obtida escolhendo um parâmetro particular em uma família a um parâmetro de soluções para uma eq uação diferen cial de primeira ordem, os estudantes (e os professores) naturalmente se contentam com isso. Na Seção 2.1, vimos porém que uma solu ção para um prob lema de va lor inicial pode não ser única. Por exemplo, o problema !!:1.

= xyt 12 '

y (O) = O'

(13)

possui pelo menos duas soluções, a saber, y = O e y = x 4 /16 . Estamos agora em posição de reso lver a equação. Separando as variáveis

e integrando temos

2y 11 2 =

y = (

Quando x = O, y = O, então necessariamente e = O. Logo, y = x 4 / 16. A solução y = O foi desconsiderada quando dividimos por y 112 . Ainda, o problema de valor inicial (13) possui infinitas soluções, pois, para cada escolha do parâmetro a <': O, a função definida por partes X

< a

X<': a

Equações Diferencia is

Cap. 2

Volume /

sati sfaz o pro blema de va lor ini cia l. Vej a a Figura 2.7 y

a>O /

I 1 I

(O, O)

I 1

Figura 2. 7

I X

Nota Vimos em algun s exe mpl os que a co nstante na fa míli a a um parâ me tro de so luções para uma equação difere nc ia l de prime ira orde m pode ser trocada quand o co nve ni e nte. També m, pode fa c ilm enl e aco nt ece r qu e du as manei ras di stintas de reso lução levem a respos tas difere nt es. Po r exe mplo, por separação de va ri áve is, pode mos mos trar que arc tgx + arc lgy = e o u arc tgx + arctgy = arctgc ou

~ l - xy

= e.

são famíli as a um parâmetro de so lu ções para ( l +y2 ) dx + ( l + x 2 ) dy = O. Q uando você es ti ve r es tuda nd o as próx im as seções, tenh a e m mente o fa to de que fa mílias de so luções podem ser eq ui va lentes no seg uint e sentido: uma fa míli a pode ser ob tida de outra po r uma troca de constante ou po r manipul ação al gébrica e tri go no métri ca.

EXERCÍCIOS

2 .2

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 44 l.

Nos Probl emas 1-40, reso lva a equação di fe rencial dada por separação de variáve l. l.

t!:1 = sen dx

= (x + l )2

3. dx + e 3x dy =O

4. dx - x2 dy

.1- = x + 6 5. (x + l ) !'dx

7. xy' =4y

8 t!z+2xy= O

9· dx =

dx 2 2 11. --~ dy -

[ +X

e"'!'.1-=2x dx

· dx

lQ. t!x dx -- ~ X

12.

dx = l + 2y2 ,dy y sen x

Volume 1

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

-dy =e l< + 2r. dx

15. (4y + yx 2 ) dy = (2x + x/) dx = O

16. ( l + x 2 +

17 . 2y(x+ · l)dy=xdx

18. x 2_r2 dy = (y + l) dx

19. y ln x dy =

(y+

- x-

l )

dy = ( 2y + 3 ) 20 · dx 4x + 5

dS = kS 2 1. dr 23.

+ x 2/)dy = / dx

22. !!_Q = k(Q - 70) dl

dP = p _ p 2 dl

24. dN + N = Nte 1 + dt

25. scc2x dy + cosec y dx = O

26. se n 3x dx + 2y cos3 3x dy = O

27. e-' sen 2x dx + cosx(e 2>' - y) dy = O

28. secxdy = xcotgydx

= (l

30. I dy X dx

x2) - 112( 1

/ J 112

32. 7 dy - .!. - 2x - dx y - y 33 .

t!.1. _ xy

+ 3x - y - 3 dx - xy - 2r + 4y - 8

t!.1.

34 _

x"1'!7 dx = dy

(e x

e - x)

dy = dx

+ 2y - X - 2 dx - xy - 3y + x - 3

36. sec y

35 . dx = sen x(cos 2y - coS-y)

37.

t!.1. _ X)'

1; + sen(x -

38. y(4 -

)'2

40. (x

X 2)

y) = sen(x + y)

1/ 2 dy = ( 4

+ -&') t!.1.

= y

+ y-' ) 112 dx

-.Jv·

Nos Proble mas 41 -48 , resolva a equação diferencial dada suje ita à condição ini c ial indicada. 41. (e - y + l) sen xdx

= (l

+ cosx)dy,

42. (l + x~)dy + x( l + 4/) dx = O, y(l) = O

y( O) =O

43. y dy = 4x(y2

45.

~ = 4(x 2 +

+ l) 112 dx, y(O) = [),

X (

~) =

[

47. x 2y' = y - xy, y(- l) = - l

44.

t!.1.

46.

dy = l dx ·x 2 - L

+ Iy = )' y( l) = 3 '

l -

y(2) = 2

48. y' + 2y = 1, y(O) = 1_ 2

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume l

Nos Problemas 49 e 50, encontre uma solução pa ra a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.

49 ~ - y 2 · dx

= -9 (b) (O, 3)

(a) (O, O)

50.

!!2.. dx

= y

- y

(a) (O, 1)

{b) (O. O)

(e) (

±. ±)

SI. Encontre uma solução sing ular para a equação do Problema 37. 52. Encontre uma so lução singular para a equação do Problema 39. A uma pequena mudan ça (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, freqüe nt e mente corresponde uma mudança radical na solução para uma equação difere ncial. Nos Probl e mas 53-56, compare as soluções dos problemas de valor inicial dado s. 53.

~ dx

!!.l = (y

ss. dx

!!.l

= (y - 1) 2, y(O) = ?

- l t + 0,01. y(O)

54. dx = (y -

56.

dv d; = (y

l t, y(O) = 1.0 1 ?

l t - 0,01, y(O)

Uma equação diferencial da forma dy/ dx = fiax + by + e), b -.: O, pode sempre ser reduzida a uma eq uação co m variáveis separáve is por meio da substi tuição u = ax + by + e. Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

57. dy = (x + y + 1)2 dx 59.

!!.l dx

= tg2 (x + y)

61. dv = 2 + ..fy _ 2x + 3 dx

2.3

58. 60.

!!.l dx

-x - y X

+ y

= sen(x + y)

dy 62. dx = 1 + e)'

- X+ 5

EQUAÇÕES HOMOGÉNEAS

Antes de considerar o conceito de equação diferencial homogênea de primeira ordem e seu método de solução, precisamos primeiro examinar de perto a natureza de uma função homogênea. Começamos com a definição deste conceito.

Volume l

DEFINIÇÃO 2.2

Cop. 2

Equoções diferenciais de primeira ordem

Função Homogênea

Se uma função f sati sfaz

f(tx,

ty)

= t''.f(x,

(1)

para algum número real n, então dizemos que fé uma função homogênea de grau n.

EXEMPLO (a)

fix.

= x2

3xy +

fi 1x. 1y) = (1x) 2 - 3(1x)(1y)

5(1y) 2

A função e! homogênea de grau doi s. (b)

fix, y) =

~x2 + y2

A função é homogênea de grau 2/3. (e)

fix. y) = x 3

fi 1x, ty) = 13

y3 +

+ l 13y 3

+ l

°f'

13fix, y)

pois 13./(x, y) = 13x 3 + 13y3 + 13. A função não é homogênea . (d)

fix. y)

= -7X

-Y

fi1x, ly) = _!!._ 21y

+ 4

= 2:.. 2y

= 1ºflx, y)

A função é homogênea de grau zero.

•

Como as partes (c) e (d) do Exemplo 1 mostram , um a constante adic ionada à função destrói a homogeneidade, a menos que a função seja homogênea de grau zero. Ainda, muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada termo.

Equações Diferencia is

EXEMPLO

Cap. 2

Volume 1

r (""g;,1\1 3} 4 grau

(a) f(x,y) =

dx/-x('/ grau

g1au

gr.lU-t

A fun ção é homogênea de grau quatro. (. grau

(b) f(x,y) = x'-y.

~graus dif..:r..:ntt:~

g.mu [ .,.

•

A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes.

Sef(x, y) for uma função homogénea de grau f(x. y) = x''.f(' •

11,

note que poderemos escrever

e f(x. y) =

y"lU. ,J

(2)

em que f( 1, yl x) e f(xly, 1) são ambas homo géneas de grau zero.

EXEMPLO

y2 é homogénea de grau dois.

Vemos que/(x, y) = x 2 + 3xy + f(x, y) =

f(x, y)

x2 [ 1 + 3 (: ) + (:

= y2 [

+ 3(

~) +

JJ = l]

Logo,

x 2f ( 1, : )

= if

U•

•

Uma equação diferencial homogénea de primeira ordem é definida cm termos das funções homogéneas. DEFINIÇÃO 2.3

Equação Homogênea

Uma equação diferencial da fonna

M(x, y)dx

+ N(x, y)dy =O

(3)

é chamada de homogênea se ambos os coeficientes Me N são funções homogêneas do mesmo grau .

Em outras palavras, M(x, y) d.x + N(x, y) dy = O é homogênea se M(tx, ty)

= t"M(x,

y) e N(tx, ty)

= t"N(x,

y).

Volume 1

Cap. 2

Equarões diferencia is de primeira ordem

Método de Solução Uma equ ação diferenc ial homogênea M(x, y) dx + N(x, y) dy = O pode ser resolvida por meio de uma substituição al gé brica . Especificamente, a s ub stitui ção y = ttx ou x = vy, em que tt e v são as nov as va ri áve is independe ntes, transformará a equação em uma equação diferencial de primeira ordem separá vel. Para ver isso, seja y = ttx; e ntão, sua diferencial dy = u dx + x dtt. Substituind o em (3), temos

M(x, ux)dx + N(x. ux)[ucfr + xdtt ] = O. Agora , pe la propriedade de homogeneid ade dada em (2), pode mos escrever

x"M( l , u) dx + x"N( l , u)[u dx + xdu] = O [M(l, u) + uN(l, u) ]dx + xN( l, u)du = O,

ass im,

N(l. u) du

--~-~---

M(l, u)

+ uN(I , 11)

= O.

A fórmu la acima não deve ser memorizada. O melhor é repetir o processo semp re que for necessário. A prov a que a su bstitui ção x = vy em (3) tam bém leva a um a equação se paráv.e l é deixada co mo exercíc io. Veja o Problema 45.

EXEMPLO Reso lva

4 (x 2 +

y2) dx +

(x 2 - xy) dy = O.

Solução Tanto M(x, y) quanto N(x, y) são homogêneas de grau dois. Se fi zermos y = ux, segue-se que (x 2 + u 2x 2 ) dx + (x 2 -

tix 2 )[

x 2( 1 + u )ll\: +

u dx + xdu] =O

x\ r-

u)du =O

1 - u dx - - du +-=O 1+ U X [ - 1

+ -2- ] du + -dx =O · X 1+ U

Depois de integrar a última linha, obtemos

- u + 2 lnl l + ui+ lnlxl = lnlcl -: + 2 lnl 1 + ;

+ lnlxl = lnlcl.

Equações Diferen cia is

Cap. 2

Volume I

Usando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a solução precedente como

lnl ;/)2 1 (x

= ;.

A definição de um logaritmo implica

•

(x + y)2 = cxe vl x

EXEMPLO

5 (2 {ry

Resolva

y) dx - x dy = O.

Solução Os coeficientes M(x, y) e N(x, y) são homogêneos de grau um. Se y

ux, a equação

diferencial torna-se, depois de simplificada,

2 - 2u. l / 2

+ d.x = O. X

A integral do primeiro termo pode ser calculada substituindo t

+ dx =O.

dt l -

u 112. O resultado é,

)

Integrando, temos lnlt - 11 + lnlxl = lnlcl

ln 1

lnlcl

1 1 + lnlxl

-!;;: -

t = u 112 e u = y/x

•

Você poderia perguntar agora: quando a substituição x = vy deve ser usada? Embora ela possa ser usada em qualquer equação diferencial homogênea, na prática tentamos x = vy quando a função M(x, y) é mais simples que N(x, y). Para reso lver (x 2+y2) dx + (x 2 - xy) dy = O, por exemplo, sabemos que não há diferença significativa entre Me N; logo, y = ux ou x = vy pode ser usada. Também pode acontecer que, depoi s de fazer uma substituição, encontremos integrais que são difíceis ou impossíveis de serem calculadas; uma outra substituição pode resultar em problemas mais fáceis .

Volume J

EX EMPLO

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

2.x 3y dx + (x 4 + y4l dy = O.

Resolva

Solução Cada coeficiente é uma função homogênea de grau quatro. Como o coeficiente de dx é um pouco mais simples que o coeficiente de dy, tentamos x = vy. Depois de substituir, simp lificamos a equação 2v\ 4 fv dy + y dv] + (v 4y4 + y 4 ) dy 2v 3 dv

para

+ <!1.. = O. Y

3v 4 + l

A integração acarreta

i em que e

ln(3v 4 + 1) + lnlyl = lnlc 11 ou 3.r4y2 +

= e?. Se a sub stituição y = ux tivesse sido usada, então dx

equ~ão.

u. 4

Ll )

+ 1

+ 3u.

du =O.

Você deve pensar agora em como calcular a integral do seg undo tenno da última • Uma equação diferencial homogênea pode sempre ser expressa na forma alternativa

dy = dx

p(l)· X

Para ver isso , supon ha que escrevamos a equação M(x, y) dx + N(x, y) dy = O como dy/dx = f(x, y), em que f(x, y) = _ M(x, y). N(x, y)

A função f(x, y) deve ser necessariamente homogênea de grau zero quando Me N são homogêneas de grau n. De (2), segue-se que x"M(

1,;) M( 1,;)

f(x, y)

xnN( L,

N ( L, ; )

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume 1

A última razão é uma função da forma F(ylx). Deixamos como exercício a demonstração de que uma equação diferencial homogênea pode também ser escrita como dyl dx = G(x/ y). Veja o Prob lema 4 7.

EXEMPLO

Resolva o problema de valor inicial x

Solução

rf1.. = y +

xeyl x.

y( 1) = 1.

Escrevendo a equação na forma

dy = ,)'_ + xeYlx <ÍX

vemos que a função da direita da igualdade é homogênea de grau zero. Pela forma dessa função, somos induzidos a usar u = y/x. Depois de derivar y ux pela regra do produto e subst ituir, obtemos

u + x du dx

+ e" ou e- "du

= dx · X

Integrando e substituindo u = y/x, temo s

-e- "+ e= lnlxl +e= lnlxl.

-e - yl x

Como y = 1 quando x de valor inicial é

1, temos - e- 1 + e

2.3

1 -

= O ou c = e- 1• Logo, a solução para o problema

•

e - yl x = lnlxl.

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 442. Nos Prob lemas l-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. 1. x3 + /

xy-xy

(x + 8y)2

2xy2 -

y4/x

..Jx

+ y(4x + 3y)

+ --.fx4 + y4

2 2

\lolum e 1

Cap. 2

Eq11af;ões diferenciais d e prim eira o rdem

5. cos-x + y

6. sen - -

7. ln x 2

2 ln y

+ )'

ln x 3

--3

ln y 10. (x

+ y + 1)2

Nos Problemas 11-30. resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apro priada. ll. (x - y) dx + x dy = O

13.

12. (x + y) dx + x dy = O

dx + ( y - 2x) dy = Ü

14. ydx = 2(x + y)dy

15. e/+ yx)dx - x 2dy =o 17.

gy_

16. ci

= )' - X y +X

18.

19. - y dx + (x +

{ry°) dy = O

20.

2 l. 2x 2y dx = (3x 3 + y 3 ) dy 23.

24.

dx - Wy 25. y - =X+ 4ye dy

27. ()' ,+

cotg~ )dx -

29. (x 2 + xy -

y2) dx

tj1._ = dx X

+ 3y 3x + y

~ c/x - y = ~ [ + )'-

22. (x 4 + /)dx - 2x 1y dy = O

= )'_ + ~ X )'

gy_

+ yx)dx + x 2dy = o

!!.r dx

)'_ X

y2 +

26. (x 2e-yl x + /) dx = xy dy

gy_

= )'_ ln l

xdy =O

28.

- xy dy = O

30. (x 2 + xy - 3/)dx - (x 2 + 2ry )dy =O

Nos Probl emas 3 l -44 , resolva a equação diferencial dada suje ita à co ndi ção ini cial indi cada. 2!!.r 3 3 3 l. xr d X = y - x, y( I) = 2 • ?

gy_

32. (x 2 + 2/ ) dx = xy dy, y( - 1) =

33. 2, - dx = 3xy + y-, y( I) = -2

34. xydx - x 2dy = y.,,// + / dy. y(O) =

35. (x + yey/ x ) dx - xey/x dy = O, y( l ) = o

36. y dx + (ycosf - x )dy = O, y(O) = 2

37. cl + 3xy) dx = (4x 2 + xy) dy, y(l) = 1

38.

39. (x+

&xy)dx+x-y=x !!:1. -l/2 312 y,

y(I)= 1

41. / dx + (x 2 + xy + /) dy = O, y(O) = l

y3 dx

= 2x 3dy - 2x 2y dx, y( l) =

40. ydx + x(lnx - ln y - l)dy =O, y( l) = e 42.

(-./x + 1;)2dx

dy, y( l) = o

Equações Diferenciais

43. (x +

-V/ -

xy) dy = dx

Cap. 2

y. y(-'-2 )

Volume 1

dy }" .- dx X

= 1

44. -

= cos h -XV ,

y( 1)

45. Suponha que M(x. y) dx + N(x, y) dy = O seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = vy transforma a eq uação em uma com variáveis separáveis. 46. Suponha que M(x, y) dx + N(x, y) dy = O seja uma equação homogê nca. Mostre que a substituição x = r cos 8, y = r scn 8 leva a uma eq uação separáve l. 47. Suponha que M(x. y)dx + N(x, y)dy =O seja uma equação homogênca. Mostre que a equação pode ser escrita na form a alternativa dyl clr = G(x. y). 48. Sejaf(x, y) uma fun ção homogênea de grau

Mo stre que

af af x - + y - = nf ax ay

2.4

EQUAÇÕES EXATAS

Embora a equação

ydx +X dy = Ü seja separável e homogên ea, podemos ver que e la é também equivalente à diferencial do produto de x e y; isto é

ydx + x dy = d(xy) =O. Por integração, obtemos imediatamente a so lução implícita xy = e. Você deve se lembrar do cálculo que, se z = J(x, y) é uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano xy, então sua diferencial total é

(1)

af af - d x + -dy =O. ax . ay

(2)

Agora, se f(x, y)

+ - dy ay

dz = - d x

e, segue-se de ( 1) que

Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x, y) = e podemos gerar uma equação diferencial de primeira ordem, ca lculando a diferencial total.

EXEMPLO

Se x 2 - 5xy + y 3 = e, então por (2)

Volume l

(2x - Sy)dx

(-Sx

Cap. 2

Equa ções diferenc iais de primeira ordem

+ 3y 2 )dy =O ou

•

dy = Sy - 2x dx - Sx + 3y 2 ·

Para no ssos propósitos, é mai s impo rt ante inve rter o problem a, is to é, dada um a equação como

!!1_ dx

Sy - 2x

+ 3y 2

- Sx

•

(3)

podemos ide ntifi ca r a eq uação co mo. sendo equiv a le nte a o d(x- - Sxy

' yº) = O? ·

Note q ue a equação (3) não é sepa ráve l nem ho mogênea.

DEFINIÇÃO 2.4

Equação Exata

Uma expressão diferenci al M (x, y)dx + N(x. y)dy

é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma funçãoflx, y). Uma equação diferenc ial da forma M(x, y)dx + N(x, y) dy =O é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.

EXEMPLO

A equação x 2y 3dx + x 3y 2 dy = O é exata, pois

d{}x3y3) =ix2y3 dx + x3y2 dy .

•

O teorema seguinte é um tes te para um a diferenc ial exata.

TEOREMA 2.2

Critério para uma Dife.rencial Exata

.Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivada~ parciais contínuas em uma região reiangular R definida por a < x < b, e < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que M(x, y)dx

+ N(x, y)dy

seja uma diferencial exata é iJM iJy

iJN iJ X

(4)

Equações Dife renciais

Cap. 2

Volume I

Prova de que a Cond ição é Necessári a

Para simpli ficar, supon ha qu e

M (x, y) e N(x, y) tenh am deri vadas parciais de primeira ord em co ntínu as em todo pl ano (x, y). Agora , se a ex pressão M (x, y) dx + N (x, y) dy é exa ta, existe algum a fun ção f tal que M (x, y)dx

+ N(x, y)dy = -

ax dx

+ -dy

para todo (x, y) cm R . Logo , M(x, y) = af

N (x, y)

=ti aY

ªª~ :y(:~)= ª:.Yx =:x(:~)= ~~· =

A igualdade das derivadas parc iais mistas é uma co nseqü ência da co ntinui dade das deri vadas O parciais de primeira ord em de M (x, y ) e N(x, y). A prova de que a co nd ição do Teo rema 2.2 é sufic iente co nsiste em mostrar que ex iste uma fun ção f tal qu e ajla x = M (x, y) e apa x = N(x. y). A co nstru ção de ta l fu nção na verdade re fl ete um procedimento bás ico na resolução para equ ações exa tas.

Método de Solução Dada a equ ação M (x, y) dx

N (x, y ) dy = O

(5)

mostre primeiro qu e

Depois suponh a que

= M (x, y )

daí podemos encontrar f integrando M (x, y) com re lação a x, co nsidera ndo y constante . Escrevemos, j(x , y) =

J M (x,

y) dx

g(y ),

(6)

em que a funç ão arbitrária g ( y ) é a constante de integração. Agora, deri vando (6) com relação a y e supondo a jla y = N(x, y ):

a f = ay a J M (x, y) dx + g,(y ) = N(x , y ). ay

Volum e /

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

ay ª I M(x,

Assim,

g (y) = N(x. y) -

y) dx.

(7)

Finalmente, integre (7) co m relação a y e substitua o resultado em (6). A solução para a eq uação éf(x, y) = e.

Nota

Algumas observações são necessárias. Primeira, é importante perceber que a expressão y) J M(x, y) dx em (7) indepe ndc de X, pois

N(x, y) -

ca /()

: x [ N(x, y) - : y

M(x, y) dx] =

~~ -

: y (:x

=~ _ a

M(x, y) dx)

M = O.

Segunda , poderíamos també m co meça r o proced ime nt o ac ima com a s upos ição de que af / a y = N(x, y). Depois, integrando N com relação a y e deriv ando o resu ltado, enco ntramos o análogo de (6) e (7), qu e seria, respec tiv amente, f(x, y)

= J N(x,

y) dy

+ h(x) e h'(x)

= M(x,

y) - : x

J N(x,

y)dy .

Em qua lquer caso, nenhuma dessas fórmula s deve ser memorizada. Ainda, para verificar se uma equação é exata ou não, asseg ure-se de que ela seja da forma (5). Freqüentemente, uma eq uação diferencial é esc rita na forma G(x, y) d.x = H(x, y) dy. Neste caso, escreva a equ ação na forma G(x, y)dx - H (x, y)dy =O e aí id e ntifique M(x, y) = G(x, y) e N(x, y) = - H(x, y) .

- - - - - - - - - - - - - - - -- - - -· - - - - - EXEMPLO Resolva

Solução

3 2xydx

+ (x 2

l)dy =O.

Co m M(x, y) = 2xy e N(x, y) = x 2 - l , temos

aM aY

2x = -

Logo, a equ ação é exata e, pelo Teorema 2.2, ex iste uma fun ção f(x, y ), tal que

-aaJx = 2xy

af ay = x-

e -

- 1.

Da primeira dessas equações, obtemos, depoi s de integrar, f(x, y) = x 2y

+ g(y).

Cap. 2

Equações Diferenciais

Volume I

Derivando a última expressão com relação a y e igualando o resultado a N(x, y), temos

af = aJ

2 X

+ g (y)

= X-?

g'(y) = - 1 e g(y) = - y .

Segue-se que

A constante de integração não precisa ser incluída, pois a solução éf(x, y ) = e. Algumas curvas da família x 2y - y = e são mostradas na Figura 2.8.

Figura 2.8

Nota A solução para a equação não éf(x, y) = x 2y - y. Antes, a solução éf(x, y) = e ou fl.x, y) = O, se uma constante é usada na integração de g'(y). Observe que a equação poderia • também ser resolvida por separação de variáveis.

EXEMPLO Resolva

4 (e 2>' - ycos xy)dx

+ (2xe 2Y - xcosxy + 2y)dy =O.

Solução A equação não é nem separável nem homogênea, mas exata, pois

- - = 2e 21

xysenxy -cosxy = - - .

Logo, existe uma funçãof{x, y) tal que M(x, y) =

haf

e N(x, y) =

af a-y·

Agora, para variar, começaremos supondo a j/a y = N(x, y);

af ay

isto é,

f(x, y)

= 2xe 2Y - xcosxy

= 2x J e 2Ydy-xJ

+ 2y

cosxydy

+ 2.

J ydy.

Volume 1

Cap. 2

Equações dife renciais de p rimeira ordem

Lemb re-se : a razão de podermos tirar o x de frente do símbo lo de integral é que , na integração em re lação a y, x é co nsiderado co mo uma co nstante. Seg ue-se que fl.x, y) = xe 2Y - se n xy + y 2 + h(x)

af · e 2"· - ycosxy + h'(x ) =e-· ?,. - ycosxy, a-;= ass im

h'(x)

e h(x)

= e.

Logo, uma fam ília a um parâmetro de soluções é dada por xe 2Y - sen xy + y 2 + e

---------EXEMPLO 5

--- -------

Resolva o prob lema de valor inicial (cosx sen x- xy2)d.x + y(l - x 2 ) dy =O, y(O) = 2.

Solução

A equ ação é exata, pois

-=-2xy=-· ay ax

af =y( I - x2)

Agora,

y2 f(x, y) = 2( 1 - x 2 ) + h(x )

a-;= - xy

+ h'(x) = cosx sen x - xy 2.

A última equ ação implica h'(x ) = cosx sen x h(x) = -

Logo, ou

)'2

J (cosx)(-sen x dx) (1 -

2 X

) -

2 COS

- ~cos2x.

2 X= C J

•

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume J

em que 2c 1 foi trocado por e . A condição inicial y = 2 quando x = O demanda que 4(1) - cos2(0) = e, ou seja, e = 3. Portanto, a so lução para o problema é

• Fator de Integração Algumas vezes, é possível converter uma equação diferenci al não exata em uma equação exata multiplicando-a por uma função µ(x, y) chamada fator de integração. Porém, a equação exala resultante µM(x , y) dx + µN(x. y) dy = O

pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou gan hos de soluções.

EXEMPLO Resolva

1 (x + y) dx + x ln x dy = O, usando µ(x, y) = - em (O, oo). X

Solução Sejam M(x, y) =X+ y e N(x, y) =X lnx. Daí, a Mia y = l e aN /ax = 1 + lnx. A equação não é exata. Porém, se multiplicarmos a equação por µ(x, y) = l lx, obtemos

+ ;)dx + lnxdy =O.

Segue-se desta última forma que escrevemos as identificações: M(x, y) = 1

+ l, N(x, y) = lnx, a M = - = a N · ay

Portanto, a segunda equação diferencial é exata . Logo, af -ax =1+

V L

= M(x,

f(x, y) = x + ylnx + g(y) af

-ay = 0 + assim

lnx + g (y)

= ln x

g'(y) = O e g(y) = e.

Então,/(x, y) = x + y ln x + e. Verifica-se facilmen te que x+ylnx+c=O

é uma solução para ambas as equações em (0, oo).

•

Vo lume 1

Cap. 2

Equações difere ncia is de primeira ordem

EXERCÍCIOS

2.4

As respostas dos exercícios selecionados etão na página 442 e 443. Nos Probl emas 1-24, verifiqu e se a equ ação dada é exata. Se fo r, reso lva. 1. (2x- l )dx+(3y+7) dy= O

2. (2r - y) dx - (x + 6y) dy = O

3. (5x + 4y) dx +(4x - 8y3) dy = O

4. (sen y - ysen x) dx + (cosx + xcosy

- y)dy

5. (2/x - 3)dx + (2yx 2 + 4 )dy =O

6. (2y -

.!.x + cos3x)rjy_ + L dx x1

- 4x 3

+ 3y sen 3x = O 7. (x 9.

+ y )(x - y)dx +

x(x - 2y) dy =O

8. (1 + ln x + ; }/x=( l - ln x)dy

ci -

10. (x 3 + /) dx + 3x/dy = O

/sen x - x)dx + (3x/ +2ycosx)dy=O

11. (y ln y - e-xy)dx +

+x ln y )dy = O

2r x2 12. -)' dx - 2 dy =

13.

dy dx

= 2xe

15. ( l -

- y +

6 2

14. (3x 2y + eY) dx + (x 3 + xe» - 2y) dy = O

y )dx + ( l -

)dy = Ü

16. (eY + 2xy cosh x )y' + xy 2 senh x

+ /cos h x =O 23

17. (X y

dx )? - - - -) - + X y- = Ü 1 + 9x 2 dy

18. (5y - 2x)y' - 2y

19. (tg x - sen x sc n y) dx + cos x cos y dy = O

21. ( l - 2x

dy 3 - 2y) dx = 4x + 4xy

20. (3xcos3x+se n 3x-3)dx + (2y+5 ) dy =O 22. (2ysen xcosx - y + 2/ex/ )dx

= (x 23. (4x\·- l 5x 2 - y)dx + (x 4 +3/-x)dy = O

24.

' dy - sen2x - 4xyexy-)

(.!.x + J_ _ _ l ' _ )dx + (ye» + - x-)dy = O x2 x 2 + / x 2 + y2

Nos Proble mas 25-30, resolva a equação diferencial dada suje ita à condição inicial indi cada. 25. (x + y )2 dx + (2xy + x 2 - 1) dy

27. (4y

+ 2x -

5) dx

= Ü, y(- 1)=2

(6y

= O,

+ 4x -

y( 1)

1) dy

26. (ex+y ) dx + (2 + x + yeY) dy = O, y(O) = 28. ( 3/

- x

)rjy_ +~= O, dx

2y4

y( l ) = 1

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume 1

29. (/cosx - )x 2y - 2x)dx + (2ysenx - x 3

30. ( - -1-2 [ + y

2xy)~ddX = y(y

+ cosx -

+ sen x), y(O) = l

+ lny)dy =O, y(O) =e

Nos Problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.

31. (y 3 +

kx/ - 2x) dx

+ (3x/ + 20x 2y3) dy

32. (2x - y sen xy + ky 4 ) dx - (20xy3

+ x scn xy) dy = O 33. (2xy 2 + yex) dx + (2x 2y ·+ kex -

l) dy = O

34. (6xy 3 + cosy)dx + (kx 2/

xscn y)dy =O

35. Determine uma função M(x, y) para que a seguinte equação diferencial seja exata:

M(x, y) dx + ( xe xy + 2xy + :;:1 ) dy

= O.

36. Determine uma função N(x, y) para que a seguinte equação diferencial seja exata:

(

yl l \-1 12

~)dx X

+ N(x, y)dy =O.

+ y

Nos Problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verifica ndo que a função indicada µ(x, y) seja um fator de integração . 37. 6xy dx + (4y + 9x 2) dy =O, µ(x, y)

= y2

39. ( - xysenx + 2ycosx)dx + 2rcosxdy

= O,

µ(x, y)

= xy

38. -/dx+(x 2 +xy)dy =O, µ(x, y) = l lx 2y

40. y(x + y + l) dx + (x + 2y)dy = O, µ(x, y) = ex

41. (2/ + 3x) dx + 2xy dy = O,

µ(x, y) = x

42. (x 2 + 2xy - /) dx + (y 2 + 2xy - x 2) dy = o, µ(x, y) = (x

y)- 2

43. Mostre que qualquer equação diferencial separável de primeira ordem na forma h(y) dy - g(x) dx = O é também exata.

2.5

EQUAÇÕES LINEARES

No Capítu lo 1, definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como, a 11(x)

~ dx"

+ an _ 1(x) ~ + ... + a1(x) ~ d + ao(x)y dx"-1

= g(x).

Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem.

Volume I

DEFINIÇÃO 2.5

Cap. 2

Equações diferenciais de prime ira ordem

Equação Linear

Uma equação diferencial da forma a 1(x)

* +

ao(x)y = g(x)

é chamada de equação linear.

Dividindo pelo coeficiente

7x +

a, (x), obtemos uma forma mais útil de uma: equação linear: (1)

P(x)y = ft..x) .

Procuramo s uma so lução para ( l ) em um intervalo l no qual as funçõ es P(x) ef(x) são co ntínu as . Na discussão a seg uir, supomo s tac itamente que ( l) poss ui uma solução.

Fator de Integração Usando diferenciais, podemos escrever a equação (1) como dy

[P(x)y - ftx)] d.x = O

(2)

Equações lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre encontrar uma função µ(x) em que ~t(x) dy

µ(x) [P(x)y - ft..x)] dx = O

(3)

é uma equação diferencial exata. Pelo Teorema 2.2, o lado esquerdo da equação (3) é uma diferencial exata se

a µ(x) a; ou

a µ(x)[P(x)y ay

- ftx)]

(4)

dµ

dx = µP(x).

Esta é uma equação separável em que podemos determinar µ(x ). Temos dµ = P(x ) d.x µ

assim

lnlµl =

JP(x) dx

(5)

µ(x) =

ef P(x) d.x.

(6)

Eq11aç·ões Diferenciais

Cap. 2

Volume I

A fun ção µ(x) definida em (6) é um fator de integração para a equação lin ear. Note que não precisamos usar uma co nstante de integração em (5), poi s (3) não se altera se a multiplicarmos por uma constante. Ainda, µ(x) ~ O para todo x em /. e é contínua e diferenciável.

É interessante observar que a eq uação (3) é ainda uma eq uação diferencial exata mesmo quando fi.x) = O. Na verdade, fi.x) não dese mpenha papel algum na determinação de µ(x), pois vemos de (4) que (a la y)µ (x)flx) =O. Logo, ambas

ef P(x)dxdy + ef P(i)d'[P(x)y

-f(x)Jdx

e são diferenciais exalas. Agora, esc rev emos (3) na forma

ef l'(x)dxdy + ef l'(l)dxp(x)ydx = ef l'(t)dxf(x)dx e verificamos que podemos esc revê- la como d

1ef P(x)d.\ ·]

f'lr)thf(x) dx.

Integrando a ú ltim a equação. temos

ef ou

y =

P(x)

"'y

Jef

/'(t)

"'J(x) dx +

e-JP(x)dx J ef P(x)d'J(x)dx + ce-JP(.1)tü

(7)

Em outras palavras, se ( 1) tiver uma solução, ela deverá ser da forma (7). Reciprocamente, é imediato que (7) constitui uma família a um parâmetro de soluções para a equação ( 1).

Resumo do Método Nenhum esforço deve ser feito para memorizar a fórmula dada cm (7). O procedimento deve ser repetido sempre, logo, por conveniência, resumimos os res ultados.

(i)

Resolvendo uma Equação Linear de Primeira Ordem Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma ( 1); isto é, faça o coeficiente de dy/ dxümçidyçi ç"

(ii)

Identifique P(x) e encontre o fator de integração

(iii)

P(x)dx_ Multiplique a equação obtida em (i) pelo fator de integração:

ef P(x)dx~

P(x)ef P(x)dxy =

ef P(x)dxfi.x).

Vo lume I

(iv)

Cup. 2

t:quuções difere nciais de primeira ordem

O lado esquerdo da equ ação em (iii ) é a derivada do produt o do fator de integração e a vari ável dependente y; isto é,

[e f P(r)dxy ] = ef P(x)dxf(x )7Ç)ç R ).é

Integre ambos os lados da equação encontrada em (iv).

(v)

EXEMPLO Reso lva

Solução

Esc reva a equ ação co mo

(8) di vidindo po r x. Co mo P(x)

- 4/x, o fa tor de integração é e- 4

J dxl x

e - 4 1n lrl

elnx

" = x_,.

Aqui , usa mos a identid ade bás ica b 10 1lbN = N, N > O. Ago ra , mu ltipli ca mos (8) por es te termo (9)

(10)

e obtemos Segue-se da integ ração po r partes que

•

EXEMP L O Reso lva

Solução

<!1_ dx

3y = O.

A equação já es tá na fo rma ( 1). Logo, o fa tor de integração é ef (- 3)dx = e - 3x

Você deve calcular muitas vezes as deri vadas indicadas para fi car convencido de que todas as equações, tais como (8), (9) e ( 10), são formalmente equivalentes.

Equações Dife re11cia is

Cap. 2

Volume J

_ ,, dv 3 - 3r O e · d , - e · y=

Port ant o,

•

ass im,

Solução Geral Por hipótese, P(x) e f (x ) são co nt ínu as em um in te rva lo I e xo é um po nto desse interva lo . Então, seg ue-se do Teo rema 2.1 q ue ex iste um a úni ca solução para o proble ma de val or ini cial.

= f (x ),

+ P(x)y

y(xo)

= YO ·

( li )

Mas vimos antes qu e ( 1) poss ui uma fa míli a de so lu ções e qu e toda solu ção para a equ ação no interval o / tem a forma (7) . Logo, o bter a solução para ( 11 ) é um a simpl es qu estão de enco ntrar um va lor apropri ado de e em (7). Co nseqüentemente, es tamos certos em chamar (7) de solução geral da equ ação di fe rencial. Você deve se lembrar de qu e em vá ri as ocasiões enco ntram os solu ções sin g ul ares para equações não- linea res . Isso não pode aco ntecer no caso de um a equ ação linear em que P(x ) ef(x) são contínu as.

EXEMPLO

Enco ntre a solução geral para (x2 + 9) dy + "Y = O. 7 dx dy

Solução Escrevemos

A fun ção P (x) = xl(x 2 + 9) é co ntínu a em (-

ef xdxl(x2 +

assim

= el /2

oo,

=).

+ __x_Y = 9 X~

+ 9

O fa tor de integ ração para a equ ação é

f 2x dxl(x2 + 9) = el /2 ln (x2 + 9) = {;L+9

~!!i_ + dx

y = Q

;x [~y]

~y =c.

Volum e I

Cap. 2

Equações difere11ciais de primeira ordem

- - - - - - - ·Portanto, a so lução gera l no intervalo é

EXEMPLO

~x2 + 9

•

Resolva o problema de va lor inicial

+ 2xy =

Solução

y(O) = - 3.

As funçõe s P(x) = 2x ef(x) = x são contínuas em (- 00,00). O fator de integração é

assim d 2 2 - [ex y ] = xex

ex y =

J xex2 dx

21 ex2 +

Portanto, a so lu ção geral para a equação diferencial é

l 2 Y = -2 + ce- x . A condição y(O) = - 3 corresponde a e = - 7 / 2, logo a so lução para o problema de valor inicial no intervalo é

•

Veja a Fig ura 2.9, na próxima página .

-EXEMPLO

Resolva o prob lema de valor inicial

=2x ' X ~+)• dx

y( l )-0 - .

Solução Escreva a equação na forma dv 1 . :::L+-y= 2 . dx X ._!:;/

- - - - - --

Eq uações Difere nc ia is

Cap . 2

Vo lum e /

e obse rve qu e P(x ) = l l x é contínua em qu alquer interva lo que não contenha a origem. Tend o em vi sta a co nd ição ini cial, reso lv emos o pro blema no intervalo (O, oo ).

O fat or de integ ração é e lnlrl =X

d dx [xy ]

e daí imp lica

xy =.e

A so lução ge ral para a equ ação é

(12)

)' = X+ X

Mas, y( I )

O impl ica e = - 1. Logo, o btemos y=

Q < X < oo.

(13)

Co nsiderada como um a famíli a a um pa râmetro de curv as, o g ráfico de ( 12) está representado na Fig ura 2. 10. A solução ( 13) para o problema de val o r inicial é indicada pela • porção ac in ze ntada do gráfi co.

(O, - 3) Figura 2.9

EXEMPLO

Figura 2.10

Resolva o problema de va lor inicial y(- 2)

Vo/11111e 1

Cal'· 2

Equaç(}es d1fe re 11 c iais de primeira ordem

Solução

Esta eq uação diferencial não é sepa ráve l, ho mogênea, exa l<t ou linea r na va ri áve l y. Poré m, se in verterm os as variáve is, lere mos dx dy

=X +

dx dy -

= _y-.

Esta última equ ação é lin ear em x. ass im o fa tor de integração co rrespo nde lll e é e-Y Lo go.

Integ rando duas vezes por partes , ob te mos

e- Yx = - y2e - Y - 2ye - y x = - y2 - 2y - 2 + ceY Quando x = - 2, y

O, encontramos e = O e daí X

= -

y2 -

•

2y - 2.

O próximo exemplo ilustra uma maneira de resolver ( 1) qu a nd o a função fé descon -

tínu a.

EXEMPLO

Encontre um a so lu ção co ntínu a sa ti sfazendo [, Ü S X S dy dx + y = f(x) , em que f(x) = { O, X> 1

e a co ndição inic ia l y(O) = O.

Solução Pe la Figura 2. l I , ve mos que fé descontínua cm x = 1. Co nseqüentemente, reso lvemos o proble ma e m dua s pa rtes. Para O s x s 1, temos

!!1.

+ y dx d - [exy ] dx

y Como y(O)

O, de vemos ter c 1 = - l , portanto

y = 1 - e-x, Os x s l.

l + c 1e - x.

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volu me /

dy dx + y =O,

Para x > 1, temos

o que impli ca

Logo. podemo s escrever

X > 1' Agora, para y ser uma fun ção co ntínu a, certame nte devemos ter li mx ...., 1• y(x) = y(t). Para isso, c2e - 1 = 1 - e- 1, o u seja, c 2 = e - 1. Como mo stra a Figura 2. 12, a fun ção Ü ~X~ 1 X

> 1

•

é contínua, mas não di fere nc iável em x = 1. y

Figura 2. 11

Figura 2. 12

Nota A fórmula (7), representando a solução geral para (1 ), consiste na so ma de duas solu ções. Definimos Y = Yc + Yr·

( 14 )

em que Yc = ce - f P(x )dx e Yp = e- f P(x)dx

Jef P(x)dxf(x)dx.

A fun ção Yc é a so lu ção gera l para y' + P(x)y = O, e Yp é um a so lução particular para y' + P(x)y = f(x). Como veremos no Capítulo 4, a pro priedade ad itiva de soluções ( 14) pa ra formar uma solução é uma propriedade intrínseca de equações lineares de qualquer ordem.

Volurne I

Cap. 2

Equações difere11ciais de prim eira ordem

2.5 EXERCÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados começam na página 4-B. Nos Problemas 1-40, encontre a so lução geral para a equação diferencia l dada. Especifique um intervalo no qual a so lu ção ge ral é definida.

dv 1. d:r = :iy

2. dr + 2v = O dx ·

3. 3 0:. + l 2v = 4 dx

S. dy + y = e3x dx

r/\' X 6. d~ = y + e

3x\·

dv + 2v = 3 dx

x ~

8. y' + 2ry 0

to. y'

= 2y

= x3 + x2 + 5

ll. (x + 4/)dy + 2ydx =O

l2. dx dy

t3.

14. (! + x 2 )dy + (xy + x 3 + x)dx =O

xdy = (xscnx - y)dx

=X+)'

t dv \ 1S. ( l + e") d:r + e· y = O

16. (l -

17. cosx 0:. dx + yscnx =

18. dy + v cotg x = 2 cos x

l9.

0:. dx

+ 4y =

= ex

25. y dx + (xy + 2r - ye>) dy = O

(3x

29. y dx - 4(.r +

= e- 3 '

l )y

dy =

dy 1 - e- 2x 31. dx + y = -.;.--_-,

e +e

dx = Jx-y

)

+ x2

22. xy' + (1 + x)y = e-x sen 2t

23. cos2.rsen x dy + (.v ~os 3 x - 1) dx

27. xddy

3 dy

20. (l + x)y' - xy

21. x 2y' + x(x + 2)y

24. (1 - cosx)dy + (2ysenx - tgx)dx =O

26. (x2 + x)dy =(x5 + 3xy + 3y)dx ,8 ~ . (x + l) = dy dx + (x + 2)y = 2re - ·'

30. xy' + 2y 32.

0:. dx

= e-'

+ ln x

= senh x

Equações Diferenciais

Cap. 2

\!o/11111e I

33. ydx + (x + 2r/ - 2y)dy =0

34. y dx = (re ,. - 21) cfr

dr 35. d() r sec () = cos 8

36.

37. (x +

, dr 2r-;;; = 5-

dP dt

+ 2rP = P + 41 - 2 dy

38. (.e - l ) dx + 2y = (x + 1)-

8y - 4xy

39. y' = ( 10 - y) cosh x

40. dx

= (3e'

- 2r) dy

Nos Pro bl emas 4 1-54, reso lva a equ ação dife rencial dada sujeit a à co ndi ção in ic ial in dicada . 42. y' = 2y + x(eJx - e2.'), y(O) = 2

41. r!.x_ + 5y = 20. y( O) = 2 dx

0 = io 43. L di+ Ri =e E; L, R e E co nstantes, i()

Q = 5x 4 Q Q(O) = -7 ,6. ddx '

45. y' + (tg x)y = cos2x, y(O) = - 1 47.

dT dr =k( T -

dx o ( _ 4 4 .y dy - x = 2y-, y 1) =)

50); k uma constante, T(O) = 200

48. xdy + (xy + 2y - 2e - ')dx =O, y( I ) =O

49. (x + 1) r!.x_ + y = ln r y( I ) = 10 dx ·'

50. xy' + y = e,., y( I ) = 2

SI. x(x - 2)y' + 2_v = O, y(3) = 6

52. sen x r!.x_ + (cos x )y = O, y ( - .'.'.. ) = dx 2

53.

r!.1-= dx

_ I _ , y(5) = )' -

? r!.154. coS-x + y = 1. y(O) = - 3

Nos Proble mas 55-58, enco ntre uma so lução contínua sati sfaze ndo cada equação di fe rencial e a condi ção inicial dada. dy l, 55. dx + 2y -- j(x), j(x) -- { O,

56.

~+y

= j(x), j(x) = { _ : :

57. rjJ_ dx + 2ry -- j(x), j(x) -- {X, O, 58. ( 1 + x 2 )

r!.1dx

+ 2ry =

0 S

$ 3

0 S

y(O) =O

y(O) = 1

OSx< X

j(x), j(x) =

y(O) = 2

' {X-x.

0 S X< ~ l

y(O) =O

Cap. 2

Volume l

[O]

Equações diferenciais de primeira ordem

2.6 EQUAÇÕES DE BERNOULLI, RICATTI E CLAIRAUT*

Nesta seção, não es tudarem9s nenhum tipo particular para equação diferencial. Consideraremos três equações clássicas que podem ser transformada s em equações já estudadas nas seções anteriores .

Equação de Bernoulli A equação diferencial

+ P(x)y = f{x)y 11 ,

(1)

e m que n é um número real qualqu e r, é chamada de equação de Bernoulli. Para n a equação ( 1) é 1i near em y. Agora, se y # O, ( l) pode ser eseri ta como ySe fizermos w = y 1

- ", 11

O, n

dy dx

+ P(x)y 1

= J(x).

= l,

(2)

l , então

dw __ ( l dx

) _ n !ir dx

11 )'

Com essa substituição, (2) tran sforma-se na equação linear

dw dx

+ (1 - n)P(x)w = (1 - n}f\x).

Resolvendo (3) e depoi s fazendo y 1 -

(3)

= w, obtemos uma solução para ( 1).

Jacques Bernoulli (1654-1705) Os Bernoullis foram uma fanu1ia suíça de acadêmicos cujas contribuições à matemática, fisica, astronomia e história datam do século XVI ao século XX. Jacques. o primeiro dos dois filhos do patriarca homônimo Jacques Bernoulli, deu várias contribuições ao cálculo e à probabilidade. Originalmente, a segunda das duas divisões principais do cálculo era chamada de calculus summatorius. Em 1696, por sugestão de Jacques Bernoulli (filho), este nome foi mudado para calculus integra/is, como é conhecido atualmente. Jacob Francesco Ricatti (1676-1754) filósofo.

Um conde italiano, Ricatti foi também matemático e

Alex Claude Clairaut (17 13-1765) Nascido em Paris em 1713, Clairaut foi uma criança prodígio que escreveu seu primeiro livro sobre matemática aos li anos. Foi um dos primeiros a descobrir soluções singulares para equações diferenciais. Como muitos matemáticos de sua é'poea, Clairaut foi também físico e astrônomo.

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap . 2

\lolum e I

-dy + -1 y = xy 2

Resolva

Solução Em (l) , identificamos P(x) = 1/x ,f(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variável w = y- 1 nos dá dll'

1 - w = -x. X

O fator de integração para essa equação linear cm, digamos , (O, oo) é e - f dxl x

= e-l nlxl = e'"td - 1 = x d ---- -

_,,.,,,,...-

(

. . - [x - lw] = - 1. ' .. dx

assim

Integrando essa última forma , obtemos

x - 1w = - x + e ou w = - x 2 + ex. Como w = y -

então y = 1/ w ou

•

y = -x2 +ex

Para IZ > O, note que a solução trivial y = O é uma solução para ( l ). No Exemp lo 1, y = O é uma solução singular para a equação dada.

Equação de Ricatti A equação diferencial não-linear

= P(x)

Q(x)y

R(x)y 2

(4)

é chamada de eq uação de Ricatti. Se y 1 é uma so lução particu lar para (4), então as substituições dv dy1 du y = YI + u e =... = + dx dx dx em (4) produzem a seguinte equação diferencial para u:

dx - (Q + 2y,R)u = Ru -.

(S)

Corno (5) é urna equação de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida à equação linear

Vo lu me I

Cap. 2

Equações d ifere nciais de primeira ordem

(6)

dx + (Q + 2y 1R )w = - R

através da substitui ção w = u-

1•

Vej a os Pro bl emas 25 e 26 .

Co mo o Exe mpl o 2 mos tra, em muitos casos, uma so lu ção para uma equ ação de Ri catt i não pode ser ex pressa em termos de fun ções elementares.

E XEM P L O

!!:1-

Reso lva

= 2 - 2xy

)'2

Solução Verifi ca-se fa cilmente que y 1 = 2x é uma solução parti cul ar para um a equ ação. Em (4), faze mos as identifi cações P(x) = 2, Q(x) = - 2x e R(x ) = 1. Reso lvemos então a equ ação li near (6): -I .

ddx w + (- 2x + 4x ) w = - 1 o u dw dx + 2x w O fator de integração para essa últim a equ ação é ex-. ass im

dx [e·' w] = - ex .

Ago ra , a integ ra l J·· e 12 dt não pode ser ex pressa em term os de fun ções elementares.* Po rtant o, escreve mos 2

e 1 dt + e o u

ass im

e1 dt + e,

e -

e 1'- dt

Uma solução para a equação é então y

•

Equação de Clairaut Co mo exercício você deverá mos trar qu e um a solução para a equ ação de C lairaut y = xy' + .ft.y')

(7)

Quando uma integral fflx) dx não pode ser resolvida em termos de fun ções elementares, ela é normalmente escrita como ( Jtt) dt , em que xo é uma constante. Quando uma condição inicial é especificada, é imperati vo que essa forma seja usada.

Cap. 2

Eq11ar;ões Dife renc iais

Vol11me I

é a fam ília de relas y = ex + f( c). em que e é uma constante arbitrária. Veja o Problema 29 . Ainda. (7) pode também possuir uma solução em forma paramétrica: X

= -F(t),

= f(t)

(8)

- l{(t).

Essa última so lução é singular, poi s, sef"(t) 7' O, ela não pode ser obtida da família de soluções y = ex + f(c).

EXEMPLO

3 y = xy '

Resolva

+ 21 (~')' '-" -.

Solução Primeiro, fazemo s a identificação fly') = (l/2)(y') 2, o que implica .f(t) Segue-se da di scus são precedente que uma família de soluções é

(1/2)1 2 .

y = ex+ _!_ c 2 2

O gráfico dessa família é mostrado na Figura 2.1 3. Como F(t) = t, uma so luçã.o singular é obtida de (8): X

= - l,

= ~ t2

t X 1

= - ~ t 2.

Depois de el imin ar o parâmetro, vemos que esta última solução é a mesma qu e )' = _ _!_x2 2 .

Percebemos facilmente que esta função não faz parle da família (9) . Veja a Figura 2.14. y

y X

y =- -X ' 2

/ Figura 2.13

Figura 2.14

Volum e 1

Cop. 2

Eq11aç6es dife renciais de primeira ordem

EXERCÍCIOS

2.6

As respos tas dos exercícios selecionados estão nas páginas 443 e 444. Nos Probl e mas 1-6, reso lva a equ ação de Bernoulli dada . l =---, y-

dr +y dx

t!1. = y(xy3 dx

5. x2 dy + / dx

dy .t 2. - -y =ey 2 dx 1)

= xy

dr · dx

( 1 + x)y

,,..~-

6. 3( 1 +

)

= xy 2

t!1. = 2.xy(y 3 dx ·

Nos Problemas 7- 10, resolva a equação diferencial dada sujeita à co ndi ção inicial indi cada. d

· 7. x 2 ~ - 2.xy = 3/, y( I) = -2 dx

8. y

- ?

9. xy( I + xy-)z = 1, y( l) =O

10. 2

1/1

0:.

- dx

+ y ) / ?-

1, y(O)

0:_ = l'__ - ?X ' y(I) = 1 dx

Nos Problemas 11-16, reso lva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma so lução co nh ec ida para a eq uação.

!!.I

11. 0:. dx = - 2 - y + y 2 , y 1 = 2

dy 13. dx

= - x2

1 -

; y

+ y ' YI

dy 2r ? X 2 X 15. dx = e + ( 1 + _e )y + y , y 1 = - e

0:.

17. Resolva dx = 6 + 5y + y-.

12. dx = l - x - y + xy-, y1 = l

!!.I = 2.x-?

14. dx

16.

+ ; )' - 2y-,

0:.dX = sec2x

18. Resolva 0:. dx

)'I

- (tgx)y + /, )' t

= tgx

+ 6y + y 2 .

Nos Problema s 19-24, resolva a equação de C lairaut dada . Ob ten ha uma solu ção sing ular. 19. y = xy' + 1 - ln y

20.

)' = xy'

+ (y')-2

21.

)' -

dy - ( 0:_ )

23. xy' - )'

= eY

22. y = (x + 4)y' + (y') 2 24.

)' -

X)'

= ln y

25. Mostre qu e, se )' 1 fo r uma so lução para (4). então a sub stitui ção y = y1 + "em (4) impli ca (5).

26. Mostre que (5) se reduz a (6) por meio da substituição

w = " - 1•

27. Quando R(x) = - 1, a eq uação de Ricatti pode ser escrita como y' + y2 - Q(x)y - P(x) = O. Mostre que a subs tituição y = 1v' / w concju z à eq uação linear de seg unda o rde m w" - Q(x}w' - P(w)w = O (Quando Q e P são també m constantes, não é difícil reso lver equações deste tipo.)

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume 1

28. Uma definição alternati va para a eq uação de Clairaut é qualquer equação na forma F(y - xy', y') = O. (a) Mostre que uma família de soluções para a última equação é F(y - ex, e) = O.

(b) Use o res ultado da parte (a) para reso lver (xy' - y)º = (y') 1 + 5.

29. Mostre que y = ex + fle ), em que e é uma constante arbitrária, é uma solu ção para (7). 30, Mostre qu e (8) é uma so lução para (7). [Su gestão: Deri ve ambos os lados de (7) co m relação a x e considere dois casos. Use diferenciação paramétrica para mostrar

i!:1.. dx

= dyldt = 1 dxl dt '

J"(t) te. O.

Note que, como a inclinação de y = ex +fie) é constante, a so lu ção singular não pode ser obtida desta família.]

[O]

2.7 SUBSTITUIÇÕES

Nas seções precedentes, vimos que em certas situações uma equação diferencial podia ser transformada, por meio de uma substituição, em uma forma em que era possível resolvê-la por, um método padrão. Uma equação pode parecer diferente de todas as que vimos e estudamos, mas mudando a variável , talvez um problema aparentemente difícil possa ser facilmente resolvido. Embora não haja uma regra geral que indique qual substituição deve ser feita, um axioma prático é o seguinte: tente alguma coisa' Algumas vezes custa caro ser engenhoso.

EXEMPLO A equação diferencial y(I

+ 2xy)dx + x(l - 2.xy)dy =O

não é separável, homogênea, exata, linear ou Bernoulli. Porém, se olharmos bem a equação, podemos ser impelidos a tentar a substituição u = 2xy ou y = u

Como

xdu - udx

2x2

Cop. 2

Volume I

Equaçnes diferenciais de primeira ordem

a eq uação se torna depois de simplificada,

2u 2 d.x + (1 - 11)xd11

Percebemos que a última equação é separável, e daí,

2 dx +

~du =O

Ll 2

2 lnlxl - u-

implica

1 -

lnl11I = e

1 e+2.xy X

em que ec foi trocada por c 1. Podemos também trocar 2c 1 por

se desejarmos.

•

Note que a equação diferencial do Exemplo 1 pos sui a so lução trivial y = O, mas essa função não está inc luída na família a um parâmetro de soluções.

EX EMPLO

2 2.xy dy + 2y 2 = 3.x - 6. dx

Resolva

Solução

A presença do termo 2y ~ nos impele a tentar u = y-, pois 1

2 dy ydx.

du dx

Agora

x - + 2u

tem a forma linear

du dx

+l u

3x - 6 = 3 - 6

assim, multiplicar pelo fator de integração e f<2 l x) "' =

x 2u

=x 3

3x 2

[rui = 3x

+ e ou x 2y2

e 1" x' = x 2 acarreta

= x3

3x 2 + e.

•

Equações Diferencia is

EXEMPLO

Cap. 2

Reso lva

Solução

Volume I

Seja

dy dx - y

XJe >·h. )'

= y/x. A equação diferenci al pode ser simplificada para ue- " du= dx.

Integrand o por partes e troca nd o - e por c 1, temos -ue - u

e - u = x +e li

Substituímos então

+ 1 = (c1 -

x)e".

= y/x e simplifica mos: y

•

x = x(c1 - x)e-"1x.

Algumas equ ações diferenciais de ordem mais alta podem ser reduzidas a eq uações de primeira ordem por sub stituição.

EXEMPLO

4 y" = 2x(y')2.

Resolva

Solução

Faça u = y'; então, du/ dx = y" e a eq uação' se torna separáve l. Temos,

= 2xll 2

ou du u2

- u - 1 =x2

= 2xdx

cr.

A constante de integração é esc rita como cf por co nveni ência. A razão ficará óbvia nas próximas etapas. Como u- 1 = lly', seg ue-se que

dy dx

x2 +

f dy =

y + c2=

o u dy

dx -=- x2

f - dx2 +

- __!__ CJ

tg- 1 ..:!__ CJ

•

Volume J

Cap. 2

Equações diferen ciais d e primeira ordem

2. 7 EXERC ÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados estão na página 444. Nos Problemas l -26. resolva a equação diferencial dada usan do um a s ubs titui ção apro priada. l

xeiy dy + ely dx

2. y' + y 1n y = ye-'

3. ydx + (l + ye')dy = O

4. (2 + e -

rir)

~ ) dy

d.x + 2 ( 1 -

= O

6. dx +X+ y+ 7. 2yy' + x 2 + y2 +

=Ü

8. y = y + x(y + l )2 + ·1

9. 2x csc 2y ~ = 2x - ln(tg y)

) dy

10. X- dx + 2xy = x y - + 12. xe"y' - 2eY = x 2

13. y + l = e -

(x • y)

sen x

dx dy

14. seny se nh xdx + cosycos h xdy = O

15. y - + 2 tln x = xe

16. x sen y dx + cosy

17. y" + (y') 2 + l = O

18 . . xy"

= -x-e·

+ x(y' )2

19. xy" = y' + (y') 3

+ (y') 2

21. xy - xy" - (y" )3

22. y" = l

23. xy" - y = O

24. y" + (tg x)y' = O

25. y" + 2y(y') 3 = o

26.

[ Su gestão: Faça u

= y'

para que y

y2y'' ,,

= y

du dy dx

= dx = dy

du dy

11 ·

27. No cá lc ul o, a c ur vatura de uma curva de equ ação y = j(x) é definida pe lo número K =

-~y'_' __ [ l + (y')2 ]3/ 2

De te rmine uma função para a qual K = 1. [Sugestão: Po r simplicida de, ignore constantes de int egração. Ta mbé m considere uma s ubstitui ção trigo no mé tri ca. ]

Cap. 2

Eq uações Diferenciais

Vo ltlme I

[O]

2.8 MÉTODO DE PICARD

O prob lema de va lo r inicial

= f(x,

y),

y(xo)

= Yo,

(1)

co nsiderad o na Seção 2. 1 pode ser escrito de ou tra manei ra. Sej a f um a fun ção co ntínu a em um a reg ião q ue co ntém o po nto (xo, Yo). Integrando am bos os lados da equ ação d iferencial em re lação a x, o btemos y(x) = e

j(r, y(t)) dt.

Agora,

y(xo)

j(r. y(t)) dr

impli ca e = yo. Logo,

y(x) = Yo

J' f(t, y( t )) d t.

(2)

Recip roca mente, se co meça rmos co m (2), podemos obter ( 1). Em o utras palavras, a eq uação integ ral (2) e o pro blema de va lor in ic ial ( 1) são equi va lentes . Tentaremos agora reso lver (2) por um método de aproximações sucessivas . Sej a Yo(x ) uma fu nção co ntínua arb itrá ri a. Como j(x, Yo(x)) é um a fun ção co nhecida, de pendendo apenas de x, ela pode ser in tegrada. Co m y(t ) no lugar de Yo(t ), o lado direito de (2) defin e uma o utra fun ção, que esc revemos co mo Y1(x) = Yo

f( t, Yo(t)) dt.

Espera-se qu e es ta nova fun ção es teja mais próx ima da so lução . Quand o re petimos o procedi mento, uma outra função é defin ida por Y2(x) = Yo +

f(t, Y1(t)) dt.

-'o

Dessa maneira, obtemos uma seqü ência de fun ções, y 1(x), Y2(x), y3(x), . . . cuj o n-és imo termo é definid o pe la relação Y11(x ) = Yo

f(t, J 11 - 1(t))dt,

= 1, 2,

3,. . .

(3)

Na aplicação de (3), é uma práti ca co mu m escolher Yo(x ) = Yo co mo fun ção inicial. O uso repetitivo da fó rmul a (3) é co nhecid o co mo método iterativo de Picard .

Volume /

EXEMPLO

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

Considere o problema

y' = y - 1,

y(O) = 2.

Use o método de Picard para encontrar as aproximações Y1, Y2· y3, y4 .

Solução torna-se

Seidentificarmosxo

= 0.yo(x) = 2eft.t,

y,, _ 1(1))

= y,,

_ 1(1) - 1,aequação(3)

Yn(X) = 2

+Ia

l)dt,

Ó'n - 1(1) -

1, 2, 3,.

Integrando esta última expressão, temos

2 +X X

Y2(x)

2 + f0

y3(x)

2 +

(1 + t) dt

fax ( l x2

2 + x +

~ )dt

+ x3

2+x+-+--2 2 X 3

y4 (x)

2 +

fax ( l x2

+ -

+ t +

~+2:

3 Jdt

2x3

2x3x4

•

+ --- + -----

Por indução, pode-se mostrar que o 11-ésimo termo da seqüência de funções é

y,,(x)

1+ k

~I.

Desta última forma, vemos que o limite de Yn(x) quando /1 ~ oo é y(x) = l + ex. Surpreendentemente, verificamos que a função é uma solução exata do problema de valor inicial dado. V:ocê não deve se deixar enganar pela relativa facilidade com que as iterações foram obtidas neste exemplo. Em gera l, a iteração envo lvida no processo de gerar cada Yn(x) pode facilmente se to rn ar muito complicada. Também não é ·sempre aparente que a seqüência

Equações Dife renciais

Cap. 2

Vo lume I

{y,,(x )} co nverge pa ra um a simpl es e explíc ita fun ção. Po ré m é necessá ri o pe rgu nta r: o método de Pica rd é um me io prá ti co de reso lver uma equ ação de pr ime ira o rd e m y' = f(x, y) s uj eita a y(xo) - y0 ? Na maioria dos casos, a res pos ta é não . De ve mos perguntar aind a, co m o esp ír ito ele um cienti sta o u enge nheiro : para qu e se rve es te método? A res posta não é de todo favoráve l: o método de iteração de Picard é uma ferra me nta teó ri ca usada e m co nside rações de existência e uni cid ade ele solu ções para equ ações di fere nc iais. Sob certas co ndi ções em f(x, y), pode-se mos trar qu e, qu and o 11 ---t oo, a seq üê neia (y,,(x)} definid a po r (3) co nve rge para uma fu nção y(x) qu e sati sfaz a equ ação integ ral (2) e portanto o problema de va lor ini cial ( 1). Na ve rdade, o mé todo de aprox im ações sucess ivas ele Piea rd é q ue é usado na pro va do teo rema de Pica rd na Seção 2. 1. Po ré m, a prova do Teore ma 2. 1 usa co nceitos avançados de cálcul o e não será aprese ntada aqui . Nosso pro pós ito ao int roduzir esse tópi co é dar uma idéia do potencial do procedime nto e obter pe lo menos um a leve fa miliarid ade co m um a técnica iterativa. No Capítul o 9, co nsiderare mos o utros métodos de solu ções apro ximadas pa ra equ ações diferenc iais qu e ta mbé m utili za m iteração.

EXERCÍCIOS

2 .8

As respostas dos exc1·cícios selecionados estão na página 444. Nos Problemas l -6, use o método de Picard para e ncontrar y 1, y 2 , y 3, {y11 (x)} qu ando n ~ =.

y~.

Determine o li mite da seqüência

+ y, y(O) = l

y' = - y, y(O) = l

y' = 2xy, y(O)

y' + /

(a )

Use o método de Picard para enco ntrar y1, y2. y3 do pro bl ema

(b )

Resolva o problema de va lor in ic ial da parte (a) por um dos métodos deste capítu lo.

= O, y(O) = O

y' + 2xy =

y' = 2ex - y, y(O) = l

y(O)

y' = l + /. y(O) = O

(e) Compare os res ultados da parte (a) e (b). 8.

No método de Picard , a escolha inic ia l yo(x) yo não é necessári a. Refaça o Problema 3 co m (a ) yo(x) = k uma constante e k 7' 1, e (b) yo(x) = x.

Capítu lo 2

REVISÃO

Um problema de valor inicial consiste em e ncontrar um a solução para

!1:1. dx --

f(x, y ), y(xo) = Yo.

Vo lume I

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

em um interva lo l co ntendo x 0 . S e f( x, y) e a fia y são co ntínu as em um a reg ião retangul ar do pl ano xy co m (xo. Yo) em se u interi or, ent ão é ga rantido qu e ex iste um interva lo cm to rn o de x 0 no qu al o probl ema ap resenta um a úni ca solução. O método de sol_ução para a equação di ferenc ial de primeira o rd em depende de uma class ifi cação apropriada da equ ação . Nós res umimos cinco casos. Uma equ ação é separável se puder ser colocada na fo rm a h (y) dy so lu ção decorre da integração de ambos os lados da equ ação.

= g(x) dx.

Se M (x, y) e N(x, y ) são fun ções homogêneas de mes mo grau, ent ão M (x, y) dx

+ N(x, y ) dy = O pode ser tran sfo rm ada em uma equação separá vel através da substitui ção y = ux ou x = vy. A escolha da sub stitui ção de pende da simplicidade de cada coefi ciente.

A e qu ação dife re nc ia l M (x, y) dx + N (x, y) dy = O se r á exata se a fo rm a + N(x, y) dy fo r um a di fe rencial exa ta. Qu ando M (x, y) e N(x, y ) são co ntínuas e poss uem deri vadas parciais contínu as , a M I a y = a NI a x é um a co ndi ção necessá ri a e sufi ciente para que M(x, y ) dx + N(x, y ) dy sej a exata. lsso signifi ca qu e ex iste al gum a fun ção f(x, y) tal que M(x, y) = apa X e N(x, y) = afl a y. o método de solu ção para um a equ ação exata co meça pela integ ração de uma dessas ex pressões. M (x, y ) dx

Se uma equ ação de primei ra o rd em puder ser colocada na fo rm a dy/ dx + P(x )y = f(x ), di zemos que ela é linear na vari ável y . Reso lvemos a equação encontrando primeiro o fator de

integração, ef P(x ) dx, multiplicando ambos os lados da equ ação por esse fa tor e de pois integrando ambos os lados de

;X [ef P(x) dxy ] = ef P(x) dxf(x ). Equação de Bernoulli é dyl dx + P(x )y = f (x)y'\ em qu e n é qu alquer número real. Quando n ~ O e n ~ 1, a equação de Berno ulli pode ser tra nsform ada em uma equ ação linea r atra vés da sub stitui ção w = y 1 - n_ Em certas circun stâncias, uma equação diferenc ial pode se r reduzid a a uma fo rma fa mili ar através de um a substituição apropri ada , ou mudança, de variável. C laro que j á sabemos qu e esse é o procedimento para reso lver um a eq uação ho mogênea o u de Bern o ulli . Em um contex to geral, nenhuma regra de sub stituição pode ser dada. Co nvertendo um problema de va lor inicial em uma equ ação integ ral equi va lente, o

método de iteração de Picard é um a maneira de o bter um a aprox imação da solução para o problema.

Equações Difere11 ciais

Capítulo 2

Cap. 2

Volume I

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 444 e 445. Reso lva os Problemas 1-4 se m consullar o texto. Complete o es paço cm branco o u responda verdadeiro/fal so.

A eq uação diferencial y' = 1/(25 - x 2 po ss ui uma úni ca so lu ção passa ndo pelo pon10 (xo. yo) na(s) região(ões) definida(s) por _ _ _ _ _ _ __

O problema de valor inicial xy'

O problema de va lor inicial y' = y 112 , y(O) po nlos da rela y = O - - - - - - - -

= 3y, y(O) = O, possui a so lução y = x 3 e _ _ _ _ _ _ __

= O,

não possui so lução, poi s a pa y é desco nlínua nos

Ex isle um inte rvalo cenlrado e m 2 no qual a única solu ção para o problema de va lo r inicial

y' = (y - t ) 3 ,y(2) = l ,éy = I _ _ _ _ _ __ 5.

Sem resolver, class ifique cada uma das seg uintes equações como: separável, ho mogênea, exala, linear, Bernoulli , Ricatti o u C lairaul. (a)

t!1_ = _ I dx

)' -

ZJ +

(e) ( d (e)

!!x. -

dy - _ _ l_ (d ) dx - x(x - y)

2y = 2x d

dy ? ([) dx = 4 + Sy + y-

y- + y

dx - x2

(h)

(g) y dx = (y - x/) dy

= 2x

(i) xyy' + / (k) y dx

(m)

!!x. = ~ c/x

!!x. clt

= ye:cly -

(j) 2xyy' +

=Ü

+ l + 1

= 2x2

(1)

(x 2 +~}1x=(3- ln x 2 ) dy

(n)

l'... dy + e2.' 1

= O

+ /

x 2 dx

(o) y = xy' + (y' - 3) 2

(p) y'

Reso lva (y 2 + 1) dx = y sec 2x dy.

Resolva

Reso lvay(ln x - ln y)dx

Resolva xyy' =

l dy

- = - suJeitoay(l) = l. x dx ln y

= (x ln x

- xlny - y)dy.

3/ + x 2 suje ito a y(- l)

= 2.

+ sy2 = 3x 4

2xy

\fo/11111e I

, 1I_

10. Resolva (6x + 1))'- dx + 3x- + .n d X

l l. Resolva ye · -d + xe y

n·

Cap. 2

Eq uações diferenciais de primeira ordem

2y = O.

= l 2y- sujeito a y(O)

- 1.

12. Resolva x d.v + (xy + y - x 2 - 2x) dx = O. dv = 2x - 8xy suj eito a y(O) = - 1. 13. Resolva (X-' + 4) J;;

14. Resolva (2r + y)y' = 1. 15. Resolva x dy + 4v = x 4y2 sujeito a y( l ) = l. d.r •

16. Resolva - xy' + y = (y' + 1)2 suj eito a y(O) = O.

Nos Problemas 17 e 18, resolva a equação difere nci al dada por meio de uma substitui ção. 3 1 17. ~ +xysec-:;-=0

18. y" =

X -

19. Use o método de Pi card para enco ntrar aproximações y1 e Y1 para y' = x 2 +

y2, y(O)

= 1.

20. Resolva y' + 2y = 4 , y(O) = 3 por um dos métodos usuai s. Resolva o mes mo problema pe lo método de Pi card e co mpare os res ultados.

Capítulo

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 3.1 3.2

Trajetóri as Ortogonais Aplicações de Equações Lineares

3.3

Aplicações de Equações Não-lineares Capítulo 3 Re visão Capítulo 3 Exercícios de Revisão Ensaio : Dinâmi ca Populacional

Conceitos Importantes Trajetórias ortogonais Cresc imento e decrescimento exponenciai s Meia-v ida Cronologia do carbono Termo transitório Termo estacio nário Equação log ísti ca Reações químicas Veloc idade de escape

Seção 1.2, vimos que uma equação diferencial usada para descrever o comportamento de alguns sistemas reais, sejam físicos , sociológicos ou mesmo económicos, é chamada de modelo matemático. Modelos matemáticos para fenómenos como decrescimento rad ioativo , crescimento populacional , reações químicas, resfriamento de corpos, velocidade de um corpo em queda, taxa de memorização ou corrente em um circuito em série são fre qüentemente equações diferenciais de primeira ordem. Neste capítulo, preocupamo-nos com a r esolução para algumas equações diferenciais lineares e não-lineares que aparecem freqüentemente nas aplicações.

Vo lume 1

3. 1

Cap. 3

Aplicações de equações diferencia is de prime ira orde m

TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS

Equação Diferencial de uma Família de Curvas No fin al da Seção 1. l ex pressa mos a ex pectati va, o u melho r, a es perança de que um a di fe re ncial ordin ári a de n-és ima o rdem levasse a uma fa míli a a n-parâmetros de so lu ções. Por outro lado, sup onh a que in vertamos o problema: Começando co m um a fa míli a a 11-pa râmetros de curvas, será que podemos enco ntrar uma equ ação diferencial de n-és ima ordem assoc iada a essa famíli a? Na maiori a das vezes a res pos ta é si m. Na di sc ussão que seg ue, estamos interessados em enco nt rar a equ ação diferencial dyl dx = f(x , y) de um a fa míli a a ri -parâ metros de cur vas.

EXEMP L O

Enco ntre a equ ação diferencial da fa mília

Solução

Deriva ndo, temos

dy = 3c 1x 2 dx · Podemos eliminar o parâmetro c 1 da equação usando c 1 = y!x 3 obtido da primeira equação:

!!J.. dx

= 3(L x3

dy = 3 l. dx X

•

Curvas Ortogonais Lembre-se, do nosso es tud o de geometri a analítica, de q ue du as retas L 1 e Li não paralelas aos eixos coordenados são perpendicul ares se, e so mente se, seus respec ti vos coefi c ientes ang ul ares sa tis fi ze rem a re lação, min12 = - 1. Po r essa razão, os g rá fi cos de y = (- l/2)x + 1 e y = 2x + 4 são obvi amente perpendi culares. Duas curvas '(!,e rr,, são ortogonais em um ponto se, e so ment e se, suas retas tangentes T 1 e T2 fore m perpendicul ares no pont o de interseção. Veja a Figura 3.1. Exceto no caso em qu e T 1 e T2 são parale las aos eixos coo rdenados, isso s ig nifica que os coefi cien tes angul ares das tangentes são negati vos in versos um do outro .

EXEMPLO

Mos tre que as curva s <e, e <e, definid as por, y = x 3 e x 2 + 3y 2 ponto(s) de interseção.

4 são ortogo nais no(s)

Equações Diferenciais

Volume 1

Cap. 3

Solução Na Figura 3.2, vemos que os pontos de interseção dos gráficos são ( 1, 1) e (- 1, - 1). Agora, a inclinação da rela tangente a y = x 3 em qualquer ponto é dy/ dx = 3x 2. Logo. dv dx

:::.L

d" dx

:::.L

X :;::

I X :

- 1

Usamos derivação implícita para obter dy/dx na segunda curva:

d\I = 2x + 6y :::.L dx

dy - -~ 3y dx -

~~ 1(1. 1) = ~ 1(- 1.- 1) = -t-

e portanto

Então, em (1, !) e cm (- ! , - 1), temos

)~,

X (

•

= - 1.

8 fácil mostrar que qualquer curva '&,da família y = c 1x 3, c 1 ~ O é ortogonal a cada curva '&, da família x 2 + 3y2 = c2, c 2 > O. Pelo Exemplo 1, sabemos que a eq uação diferencial da primeira família é dy - 3 L. X dx Derivação implícita de x 2 + 3y2 = c2 conduz exatamente à mesma eq uação diferencial de 2 = 4 no Exemplo 2, ou seja, x2 +

dx = - 3y.

Logo, no ponto (x, y) em cada curva,

(:il.1 (:ií.1 dx

Figura 3.1

r:,

l'.t

(3yx )(-~) 3y = -1.

Figura.3.2 ·

Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações diferenc iais de prim eira ordem

Como as inclinações das retas tan ge ntes são nega ti vas in versas, as c urvas ortogona lme nte.

re, e

~,se

interceptam

Es ta di sc ussão leva à seg uinte defini ção. DEFINIÇÃO 3.1

Trajetórias Ortogonais

Quando todas as curvas de um a fa mília G(x, y, c 1) = O interceptam ortogo nalmente todas as curvas de outra fa mília H(x, y, c 2) = O, então dizemos qu e as fa míli as são trajetórias ortogonais uma da outra.

Em outras palav ras, uma traj etóri a o rtogo nal é uma c urva que intercepta toda a c urva de um a famíl ia e m ângul o reto.

EXEMPLO

(a ) O g ráfico de y = (- 1/2)x + 1 é uma traj etóri a ortogo nal de y = 2x + c 1. As fa míli as y = (-1 /2) x + c 2 e y = 2r + c 1 são traj etóri as o rtogo nais.

(b) O gráfi co de y = 4x 3 é uma trajetó ri a o rtogo nal de x 2 + 3y2 x 2 + 3y 2 = c2 são traj e tóri as ortogo nais.

= c2 . As

(e) A Fig ura 3.3 mos tra a fa míli a de retas y = c 1x e a fa míl ia x 2 + concêntricos. Essas fa míli as são traje tóri as o rtogo nais .

fa míli as y

= c 1x 3 e

= c 2 de c írc ul os •

Traj etóri as ortogonais oco rre m naturalmente na co nstru ção de mapas meteo rol óg icos e no es tudo de eletricidade e mag ne ti smo . Por exempl o, em um ca mp o elé trico e m vo lta de dois corpos de ca rgas o postas, as linhas de fo rça são pe rpendi c ul ares às c urvas eqüipo tenciais (isto é, curvas ao longo das qu ais o potencial é constante.) As linhas de fo rça estão indicadas na Fi gura 3.4 po r linh as po ntilh adas . y

Figura 3.3

Figura 3.4

Eq11ações Difere11 ciais

Cap. 3

Volume l

Método Geral Para encontrar as trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, prime iro encontramos a equação diferencial dy = JCx, y) dx

que descreve a família. A equação diferencial da família ortogonal é então dy - -=-.!__ dx - JCx, y)

--------EXEMPLO

Encontre as trajetórias ortogonais da família de hipérboles, CJ

y = -. X

Solução

A derivada de y

c 1/x é

Trocando c 1 por c 1 = xy temos a equação diferencial da família dada: dy = -l. dx X A equação diferencial da família ortogonal é portanto dy dx

-1

(- y/x)

Resolvemos esta última equação por separação de variáveis: ydy = xdx

J y dy

J xdx

em que substituímos 2cí por c2. Vemos que esta solução representa uma outra família de hipérboles. O gráfico de ambas, para vários valores de c 1 e c2, está representado na Figura

3.5.

•

Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

Figura 3.5

EXEMPLO

Enco ntre as trajetórias ortogonais de C JX

y =

Solução

Pe la reg ra do quociente, calculamos dy dx

( 1 + x) 2

dy dx

x( l + x)

pois c 1 = y( I = x)lx. A equação diferencial da s trajetórias ortogo nais é portanto dy=_x(l+x) dx y

Novamente, por separação de variáveis , temos: y dy = -x( l + x)dx

J y dy = - J (x ou

+ x 2 ) dx

3y2 + 3x 2 + 2r 3

c2.

•

Curvas em Coordenadas Polares

Vimos no cálculo que, para um gráfico de uma equação polar r =

f (8),

r dr = tg1/J,

em que 1/J é o ângulo positivo anti-horário entre a reta radial e a reta tangente. Veja a Figura 3.6. Deixamos como exercício mostrar que duas curvas polares r = f 1(8) e r = f2(8) sãq ortogonais em um ponto de interseção se, e somente se, (tg1/J1)'l',(tg1/J2)'6', = - 1.

(1)

100

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume 1

Veja o Problema 42 . Figura 3.6

reta tangente -

EXEMPLO

--- -- - - --

- - --

---

Encontre as trajetórias ortogonais de r = c 1(1 - sen8).

Solução

Para a curva dada, podemos escrever dr d8

= - e,

assim

r dr

cose

sen

- r cos

l - sen

e e

= - __c_o_s_e_ = tg 1/Ji.

Logo, por ( 1), a equação diferencial das trajetórias ortogonais é de r dr

cose 1 - sen

e = tgljJ?.-

Separando as variáveis, obtemos

assim

dr r

1 - scn cos e

lnlrl

lnlsec

lnlc2( l Portanto,

r = c2( l

e d8

= (sec e - tg 8) d8

tg 81 + lnlcos 81

+ ln c2

+ sen 8)1.

+ sen 8).

3. 1 EXERCÍCIOS As respostas dos exe rcícios selecionados estão nas páginas 445 e 446.

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

•

Vo/11me 1

Cap. 3

Aplicações d e eq uações diferenciais de primeira o rdem

2. 3x + 4y =

= c 1.1

4. .\' =

3. y = c ix 5. cix

cie -

9. y

c ix

12. r =

13. 2x2 + y 2 = 4cix 15. y

+ 3x 2y =

16. y

1 +X

19. 4y +x + 1 + c ie

22. y

23. se nhy = c ix

24. y

= 2c ix = c ix 3

20. y

21. r = - · ln c ix

25.

l - c ix

18. )'

---2

1 3

ix - +-c-

14. X + y

17. r

cix". a e b constantes

10. /'

1 + c ix

11. y

Ci ) 2

(X -

6. 2x 2 +

101

y l/ 3 = Ci

ln (tgx + c 1)

= e 1 se n x

26. xª + yª = c 1,

a T- 2

27. Encontre as curvas das traj etórias ortogonais de x + y = c 1e» que passa m por (0, 5). 28. Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de 3xy2 = 2 + 3c1x qu e passa m por (O, 10) .

Nos Problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas. 29. r = 2c1cos 8

30. r = c 1(l + cos IJ)

31. r 2 = c 1 sen 21J

32. r =

33. r = Ci sec

+cose

34. r = c ie o

35. Uma família de curvas que intercepta uma dada família de curvas com um â ngulo espec ífico constant e a T- n / 2 é chamada de família isogonal. As duas famílias são chamadas de trajetórias isogonais uma da outra . Se dyl dx = fi.x, y ) é a equação dife rencial da família dada, mos tre qu e a equ ação diferencial da famíli a isogo nal é ~

f(x , y) ± tg a

dx - l +f(x, y) tga

102

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

Nos Problemas 36-38, use os resultados do Problema 35 para encontrar a família isogonal que intercepta a família a um parâmetro y = c 1x, com o ângu lo dado . 36. a

= 45 º

37. a= 60 º

38.

a = 30º

Uma família de curvas pode ser a uto-ortogonal uma vez que um membro das trajetóri as on ogonai s é também um membro da família original. Nos Problemas 39 e 40, mostre que a família de curvas é auto-ortogonal. 39. parábolas

= c 1(2x + c 1) 2

40. cônicas confocais

_x__ +L= Ci + 1 Ct

41. Verifique que as trajetórias ortogo nai s da família de curvas dada pelas equações paramétricas, x = c 1e 1 cos 1, y = c 1 e 1 sen t são x = c2 e

- 1

cos 1, y = c 2e

- l

sen 1.

[Sugestão: dy/ dx = (dyldt)/(dxldt).]

42. Mostre que duas curvas polares r somente se,

3 .2

= /1(8) e r = h(8) são ortogonais em um ponto de interseção se, e

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES LINEARES

Crescimento e Decrescimento O problema de valor inicial

dx = kx, dt

x(to) = xo.

(1)

em que k é uma cons tante de proporcionalidade, oco rre em muitas teorias físicas envo lvendo crescimento ou decrescimento. Por exemplo, e m biologia, é freqüentement e observado que a taxa de crescimento de certas bactérias é proporcional ao número de bactérias presentes no dado instante. Durante um curto intervalo de tempo , a população de pequenos animais, tai s como roedores, pode ser prevista com alto grau de precisão pela so lu ção para ( 1). E m física, um problema de valor inicial como ( l) proporciona um modelo para o cálculo aproximado da quantidade remanescente de uma subs tânci a que está sendo desintegrada através de radioat ividade. A eq uação diferencial em ( l ) pode ainda determinar a temperatura de um corpo em resfriamento. Em química, a quantidade remanescente de uma substância dura nte certas reações também pode ser descrita por (l). A constante de proporcionalidade k em (l) é positiva ou negativa e pode ser determi nada pela solução para o problema usando um valor subseqüente de x em um instante 11 > 10.

Vo/11111e I

Cap. J

Aplicações de equações diferenciais de primeira o rdem

JOJ

EXEMPLO Em uma cu ltura, há inicialmente No bactérias. Uma hora depoi s, e = l, o número de bactérias passa a ser (3 /2)No. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique .

Solução

Primeiro, re solvemos a equação diferencial

dN = kN dt

(2)

sujeita a N(O) = No. Então, usamo s a condição empírica N(l) consta nte de proporcionalidade k.

(3/2)No para determinar a

Agora, (2) é separável e linear. Quando colocada na forma

dN - kN =O dt ' vemos, por inspeção , que o fator de integração é epor esse termo, obtemos imediatament e

ki.

Multiplicando ambos os lados da equação

Integrando ambos os lados dessa última equação, temos

e - krN =e Emt

O, concluímos que No

ce 0 = e; assim, N(t) = Noek 1. Em t

23 No logo, k

N(t) = cek 1.

= Noe

e =

l , temos

ln(3 / 2) = 0,4055 com quatro casas dec imais. A expressão para N(t) é portanto

N(t) = Noe0.40551. Para encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias seja triplicado. reso lvemos 3No = Noe0 ,40551. Segue-se des sa equação que 0,40551 = ln 3 e daí 1

Veja a Figura 3.7.

ln 3 = 0 4055

2,71 horas.

•

Nota Podemos escrever a função N(t) obtida no Exemplo 1 em uma forma alternativa. Pela lei dos expoentes,

104

Equaçries Dife renciais

Cap. 3

N(t)

\lo/11111e I

= No(ek)r = No

pois ek = 312. Essa última so lução proporcio na um método co nveniente de calc ular N(t) para va lores inteiros pequenos de t. Ela também mos1ra claramente a influência da observação experimental subseqlient e em t = 1 na solu ção durante todo o tempo. Notamos também que o número aluai de bactérias presentes no instante t = O não afeta o tempo de tripli cação. Como mos trado na Figura 3.8, a funç ão expo nenc ial ekr c resce com o tempo qu and o k > O, e decresce qu ando k < O. Logo, problemas que descrevem crescimentos, co mo população, bac téria o u mes mo capital, são ca rac teri zado s por um valor positivo de k; por outro lado, problemas envolvendo decrescimento, como desintegração radi oa tiva, co nduzem a um valor negativo de k. y

\) 1

e", k > O crcsc ime n lo

'-.._

e .k<O 1 =2.7 1

Figura 3.7

decresci rn cnto

Figura 3.8

Qualquer fenômeno que tenha como modelo a equação diferencial dx/ dt = kx possui crescimento (k > O) ou decrescimento (k < O) exponencial. O crescimento da popul ação P d e bacté rias , insetos ou mesmo de seres humanos pode ser previsto durante pequenos períodos de tempo pela so lu ção exponencial P(t ) = cek' . O estudo de substâncias que se desintegram pela radioatividade levou à descoberta da cronologia do carbono, que é um m eio de datar fósseis ou m es mo uma múmi a. Veja também o ensaio no final do Capítulo 3.

Volume l

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

/05

Meia-Vida Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial Ao se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro e lemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é. Por exemplo, a meia-vida do ultra-radioativo rádio, Ra -226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em radôni o, Rn-222. O isótopo de urânio mais comum, U-238 , tem uma meia-v ida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em ch umbo, Pb-206. ---------------- -

EXEMPLO

Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043 % da quantidade inicial Ao de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.

Solução Denote por A(t) a quantidade de plutô ni o remanescente no instante t. Como no Exemplo l, a solução para o problema de valor inicial

= kA ,

A(O) = Ao,

A(t) = A 0ek 1.

Se 0,043% dos átomos de Ao se desintegrou, en tão 99,957% da substância permaneceu. Para calcular k, usamos 0,99957Ao = A(l 5); isto é,

0,99957A 0 = A0e t Sk_ Resolvendo, 15k = ln (0,99957), ou k =

ln (0,99957) 15 = - 0,00002867. A(t) = Aoe- 0.00002867 1_

Logo,

Agora, a meia-vida é o tempo t no qual A(t) = A 0!2. Calculando o valor de t nessa equação, temos

Ao + Aoe- o,00002s611 ou _!_ = e - 0,000028671

- 0,00002867 t = ln ( ln 2

t = 0,0000 2867

= - ln 2

24, 180 anos.

•

106

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

Cronologia do C arbo no Por volta de l 950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a id ade c.le fósseis usando o carbono radioativo. A teo ria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a quantidade c.le C-14 para ca rbono ordinário na atmosfera parece ser uma constante e, como co nseqüência, a proporção da quantidade de isótopo presen te cm todos os organismos vivos é a me sma propo rção da quantidade na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa. Logo. comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fóssil com a razão constante encontrada na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca de 5.600 anos. Por esse trabalho, Libby ganhou o Prêmi o Nobel de quími ca em 1960. O método de Libby tem sido usado para datar mobílias de madeira nos túmulo s egípcios e os pergaminhos do Mar Morto.

EXEMPLO

Um osso fossilizado co ntém l / 1.000 da quantidade original do C- 14. Determine a idade do fó ss il.

Solução O ponto de início é novamente A(t) = Aoek'. Para determinar o valor de k, usamos o fato de que Ao/2 = A(5.600), ou Aol2=Aoe 5 ·600 k. Temos então 5 .60(}'( = ln (

= - ln 2

ln 2 k = - 5.600 = - 0,00012378 .

A(t) = Aoe- o.000 1231u

Logo, Quando A(t) = Ao/1000, temo s

~ = A 1.000

assim

e - 0.000123181

- 0,000123781 = ln (

l.~OO) =

- ln l.000

ln l.000 t = O,OOOl 2378 ~ 55.800anos.

•

O resultado do Exemplo 3 está no limite de precisão deste método. A téc ni ca do carbono 14 é limitada a meia-vidas do isótopo, ou seja, cerca de 50.000 anos. Uma razão é que a análise química necessária para obter uma medida acurada do C-14 remanescen te se torna muito sofisticada além do ponto Aoll.000. Também, essa aná lise exige a destruição de uma grande quantidade de amostra do espécimen. Se essa medida fosse feita indiretamen te, baseada

Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações dife renciais de p rimeira ordem

107

na radi oa tivid ade real do espécimen, seri a muit o di fíc il di stin guir a radi ação do fóss il e da radiação no rm al de fund o. Atu almente, o uso de um acelerado r de part íc ulas tem poss ibilitado aos cienti stas separar o C- 14 do estável C- 12 diretamente. Cal cul ando o va lo r preciso da razão de C- 14 e C- 12, a precisão desse método pode se r es tendid a a 70.000- 100 .000 anos. Outras téc ni cas isotópicas , co mo potáss io 40 e argô ni o 40, podem fo rnece r datas de vá ri os milhões de anos. M étodos não- iso tópicos, baseados no uso de amin oácidos , algum as vezes também são possíve is. Resfriamento A lei de resfri amento de Newto n di z q ue a taxa de variação de temperatu ra T(t ) de um corpo em res friamento é proporcio nal à diferença entre a temperatu ra do corpo e a temperatu ra co nstante Tm do meio ambi ente. isto é,

dT = k (T - T ) dt Ili '

(3)

em que k é uma constante de propo rc io nalidade .

EXEMPLO

Quando um bolo é retirado do fo rno, sua tempera tu ra é de 300º F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200º F. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele fo i colocado fo r de exatamente 70º F?

Solução Em (3), fa zemos a identificação Tm = 70. Devemos então reso lver o problem a de valor in icial dT dt

k(T - 70),

T(O) = 300,

e determin ar o val or de k para que T(3) = 200. A equ ação (4) é linear e separável. Separand o as va ri áveis, temos

_!II_ - k d t T - 70

lnl T - 701

kt + c 1

T = 70 + c2ek 1•

Quando l = O, T = 300; assim 300 = 70 + c 2 e c 2 = 230. Logo, T = 70 + 230 ek1•

(4)

108

Equações Diferenciais

De T(3)

Cap. 3

Volume I

200, encon tramos e3k =

ll 23

k = l1nll = -0 190 18 3 23 ' .

T(t) = 70 + 230e - 0.190181.

Então,

(5)

Notamos que (5) não fornece nenhuma solução finita para T(t) = 70 pois lim1 - t oo T(t) = 70. Intuitivamente, esperamos que o bolo atinja a temperatura de seu meio ambiente após um longo período de tempo. O que é um longo período de tempo? C laro que não devemos ficar perturbados com o fato de o modelo (4) não ser tão fiel à nossa intuição física. As partes (a) e (b) da Figura 3 .9 mostram c laramente que o bolo estará aproximadamente em sua temperatura ambiente de 70º F em cerca de meia hora. • T

300 150

T = 70 15

T(t) 75º 74º 73º 72º 71º 70.5º

t(minutos) 20.l 21.3 22.8 24.9 28.6 32.3 (b)

(a)

Figura 3.9

Circuitos em Série Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor (L(di/ d1)) e da queda de tensão no resistor (iR) é igual à voltagem (E(t)) no circu ito. Veja a Figura 3 .1 O. Logo, obtemos a equação diferencial linear para a corrente i(t),

L di dt + R'1 = E, (t),

(6)

em que L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente é algumas vezes chamada de resposta do sistema . A queda de potencial em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)IC, em que q é a carga no capacitor. Então, para o circuito em série mostrado na Figura 3 . 11, a segunda lei de Kirchhoff nos dá E(t)

(7)

Volum e 1

Cap. 3

Aplicações de equações diferen ciais de primeira ordem

109

t, -

R L

Circuito em Série R-C

C ircui to em Série L-R

Figura 3.11

Figura 3. 10

Mas a corren te i e a carga q estão re lacionadas por i = dq/ dt, logo, (7) torna-se a equação diferencial lin ear

dn 1 R=- + -q = E(t) .

EXEMPLO

(8)

Uma bateria de 12 vo lts é conectada a um ci rcuito em série no qual a indutância é de 1/ 2 henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corren te i se a corrente inicial é zero.

Solução

De (6), vemo s que devemos reso lver

.!_ di + IOi 2 d1

= 12

sujeita a i(O) = O. Primeiro, multiplicamos a equação diferencial por 2 e tiramos o fator de integração e 201 . Obtemos então

.!!__ dr

[e20r i]

= 2 4e201

e201i

= 24 e201 20

i =

Agora, i(O)

O implica O

§.5 +

ce- 201

615 + e. ou e = - 615. Logo, a resposta é i(t) =

•

§. - §. e-201 5

Por (7) da Seção 2.5, podemos escrever uma so lução geral para (6): i(t) =

e-(RI L)1

--L-

e(RI L)1E(t)dt

ce- (RI L)1.

Em particular, quando E(t) = Eo é uma constante, (9) torna-se

(9)

110

Equações Diferencia is

Cap. J

Volume I

i(t) =

~o+

ce - (Rl l)1.

(10)

Note que, quando t ~ oo, o segundo termo da equação (10) se aproxima de zero. Tal termo é usualmente chamado de termo transitório; qualquer termo remanescente faz parte do estado estacionário da so lução. Neste caso, E0 !R também é chamado de corrente estacionária. Após um longo período de tempo, a corrente no circu ito é praticamente governada apen as pela lei de Ohm (E= iR).

Problemas de Misturas Na mistura de dois fluido s, muitas vezes temos de lidar com equações diferen ciai s lineares de primeira ordem. No próx imo exemplo, consideramos a mistura de duas soluções salinas com diferentes concentrações.

EXEMPLO

Inicialmente, 50 gramas de sal são di sso lvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução bem mi sturada é então drenada na mes ma taxa. Veja a Figura 3.12. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer in stante. Quantos gramas de sal estão presentes após 50 minutos? E depois de um longo tempo?

constante Figura 3.12 3001.

')··. ,,"·i Solução Seja A(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante desse tipo, a taxa de variação de A(I) é dada por dA = (

taxa de entradade sal

J- (

taxa de saída de sal

= Ri _ Ri.

Agora, a taxa pela qual o sal entra no tanque é, em gramas por minuto, Ri = (3 l/min) x (2g/I) = 6 g/min,

Para problemas

(11)

Vo/llm e /

Cap. 3

Aplicações de eqllações diferenciais de primeira ordem

f//

e a taxa pela qual o sa l sa i é A l/g ) = IOo A l/ mm. . R2 = (3 l/min) x ( 300

Com isso, a equação ( l I) torna-se (12) a qual devemos resolver sujeita à condição A(O) = 50. Como o fator de integração é

!!_

e 11 100,

[et/ IOOA]

= 6e1/ IOO

600e 11 100

assim A

Quando t

podemos escrever (12) como

0,A

600 +

ce11 100_

(13)

50, logo encontramos e = - 550. Finalmente, obtemos

ºº·

A(t) = 600 - 550e - ' 1 1

(14)

Em t = 50, encontramos, A(50) = 266,41 gramas. Também, quando t ~ oo, podemos ver em (14) e na Figura 3.13 que A ~ 600. Claro que esperávamos isso; durante um longo período de tempo, a quantidade de sal na solução deve ser

•

(3001)(2 g/I) = 600 g.

No Exemplo 6, supomos que a taxa na qual a solução entrava era a mesma taxa na qual a solução saía. Porém, isso pode não ser o caso; a solução salina pode ser drenada a uma taxa maior ou menor do que a taxa de bombeamento. A equação diferencial resultante nesta última situação é linear com um coeficiente variável. A

A = 600

t(minutos)

500

50 100 150 200 300 400

(a)

A(g) 266.41 397.67 477.27 525.57 572.62 589.93 - - -( b)

Figura 3.13

112

Equações DifereHciais

EXEMPLO

Cap. 3

Vo/11111e I

Se a solução do Exemplo 6 for drenada a uma taxa de 2 litros por minuto , então a so lução se acumula a uma taxa de (3 - 2) l/ min = Depoi s de portanto

l/min.

minuto s há 300 + r litros de so lu ção no tanque. A taxa na qual o sal é drenado é

R? = (2 l/min) x ( A g/l ) = ~ g/min. (300 + t) 300 + t A equação ( 11) então torna -se dA dt

6-~ 300 +

ou dA+~=ó. dt 300 + (

Encontrando o fator de integração e resolvendo a última equação, obtemos A(t) = 2(300 +' 1) + c(300 + 1)- 2 .

A condição inicial A(O)

= 50 acarreta e = - 4,95

x l 0 7 , assim

A(I) = 2(300 + 1) - (4,95 X 107 )(300 + 1) - 2 .

•

Nota Considere a equação diferencial do Exemplo l que descreve o crescimento de bactéria. A solução N(1) = NoeOAOSSi do problema de valor inicial dN/dr = kN, N(to) = No 5t é evidentemente uma função contínua. Mas , no exemplo, estamos falando sobre uma população de bactérias, e o bom senso dita que N toma apenas valores inteiros positivos. Ainda, a população não cresce necessariamente de maneira contínua, isto é, cada seg undo, cada milésimo de segundo e assim por diante, como previsto pela função N(i) = N 0 4 551 , dev~m existir intervalos de tempo (1 1, 12 ] em que não há crescimento algum. Talvez, então, o gráfico mostrado na Figura 3. l 4(a) seja uma descrição mais reali sta de N que o gráfico dado por uma função exponencial. O ponto é, em muitas circunstâncias, que um modelo matemático descreve um sistema apenas em termo s aproximados. Freqüentemente, é mais conveniente e acurado usar uma função contínua para descrever um fenômcno discreto . Porém, para alguns propósitos, estaremos satisfeito s se nosso modelo descrever o sistema acuradamente quando visto macroscopicamente, como na Figura 3. l4(b) e (c), em vez de microscopicamente.

eº· º

Vo lum e 1

Ca1>. 3

Aplicações de equações dife renciais de p rime ira o rde m N

N, e" ~

11J

,.,.-

11 (a)

(b)

(e)

Figura 3. 14

3.2

EXERC ÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 446. l. Sabe-se que a popul ação de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcio nal ao número de

pessoas prese ntes em qualquer in stante. Se a população dupli cou cm 5 anos. qu ando e la triplicará? Quando quadrupli cará? 2. Suponha que a população da comunidade do Problema 1 sej a 10.000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qu al será a popul ação cm 10 anos? )/ A pop ulação de uma cidade cresce a uma taxa proporc ional à população em qualque r tempo. Sua J pop ulação ini cial de 500 hab itantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a po pul ação e m 30 anos?

4. A população de bactéri as em uma cultu ra cresce a uma taxa proporciona l ao número de bactéri as presentes e m qu alquer te mpo. Após 3 horas, observa-se que há 400 bacté ri as prese ntes. Após 1O horas, ex istem 2000 bactérias presentes. Qu al era o número inici al de bactéri as'> 5. O isótopo radioati vo de chum bo, Pb-2 09, decresce a uma taxa proporcional à qu antidade presente em qualq uer te mpo. Sua meia-v ida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está prese nte ini cialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 6. Ini cial mente, hav ia 100 mili gramas de uma sub stância radioati va presente. Após 6 horas, a massa di min uiu 3%. Se a taxa de decresc imento é proporcio nal à quantidade de substância presente em qualquer tempo, encontre a quantidade remanescente após 24 horas. 7. Det<!rmine a meia-v ida da substâ ncia radi oati va descrita no Probl ema 6. 8. Mostre qu e a me ia-v ida de uma sub stância radioati va no caso geral é

114

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume l

9. Quando um raio de lu z ve rtica l passa a tra vés de uma s ubs tânc ia tran sparent e, a taxa na qual sua intensidade f decresce é propo rc io nal a / (1), cm que t representa a espess ura do meio (em me tros) . No mar, a inte nsidade a 3 me tros abaixo da superfíci e é 25% da intensidade ini c ia l l o do raio incident e. Qual é a inten sidade do raio a 15 metros abaixo da s upe rfíc ie? IO. Quando a capita li zação é fe ita de ma neira co ntínua, a quantidade de dinheiro S aume nta a uma taxa proporc io nal à quantidade presente c m qualquer te mpo: dSI dt = rS, em que ré a taxa an ual de juros (veja (26) da Seção l .2).

(a) E nco ntre a quantidade de dinheiro acumulad o no final de 5 anos , quando $5.000 são depositados em uma poupança co m taxa anual de juros de 5,75% e ca pitali zação co ntínua. (b) Em qu a nto s a nos a so ma inic ial depositada duplicará?

(e)

Use uma calc ul adora e co mpare o número ob tido na parte (a) com o valor 5(4)

= 5 ººº( 1 + º·º175

Esse valor representa a quantidade ac umulada quando a capita li zação é trimestra l.

ll. Em um pedaço de made ira queimada, o u carvão, verifi cou-se que 85,5% do C- 14 tinha se desintegrado. Use a informação do Exemplo 3 para determinar a idade aproximada da madeira. (Foi precisamente este dado que a rqueolog is tas usaram para d atar pinturas pré-histórica s em uma caverna cm Lasca ux, França.) 12. Um termô me tro é re tirado de dentro de uma sa la e colocado do lado de fora, c m que a temperat ura é de 5ºC. Após 1 minuto, o tc rmômetro marcava 20ºC; após 5 minutos, lOºC. Qual a temperatura da sala? 13. Um tcrmômetro é removido de uma sa la , em que a temperatura é de 70º F, e co locado do lado de fora, e m que a te mperatura é de IOº F. Após 0,5 minuto, o te rmô me tro marcava 50ºF. Qual será atemperatura marcada no tc rmô me tro no in stante t = 1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar l 5º F?

14. A fórmula (3) ta mbé m é válida q ua ndo o corpo absorve calo r do meio ambie nte. Se uma pequena barra de metal , c uja te mperatura ini c ia l é de 20 ºC, é co locada em um vasilhame de água em ebul ição, quanto tempo levará para a te mperatu ra da barra atingir 90ºC se é fato conhecido que sua temperatura aumenta 2º em 1 segundo? Quanto tempo levará para a te mperatura da barra chegar a 98 º C? 15. Uma força e le tromatri z (fcm) de 30 volt s é aplicada a um circuito e m série L-R no qual a indutância é de 0,5 he nry e a resistência, 50 o hm s. Encontre a corrente i(I ) se i(O ) = O. Determine a corrente quando t ~ ~. 16. Resolva a equ ação (6) s upo ndo E( t ) = Eo sen wt e i(O) = io. 17. Uma força c letromoti va de 100 volts é ap licada a um c irc uito R-C e m série no qu al a resis tência é d e 200 o hms e a capac itâ nc ia, 10- 4 farad. Encontre a carga q(t) no capaci tor se q(O) = O. Encontre a corrente i(t). 18. Uma força e lctromatriz (fem) de 200 volts é aplicada a um circuito R- C em série no qual a resistência é 1000 o hms e a capacitância, 5 x 10- 6 farad. Encontre a carga q(t) no capaeitor se i(O) = 0,4. Determine a carga quando t ~ ~.

Volume l

Cap. 3

Aplicações de equações dife ren ciais de primeira ordem

11 5

19. Uma força e lclromalri z. E(t) = {

120,

$ 20

> 20

é ap li cada a um c ircuilo L-R em série no qual a indutância é de 20 he nrys e a re sis1ê ncia, 2 ohms. Encontre a co rre nle i(t) se i(O) O.

20. S upon ha que um circuito R-C e m sé ri e lenha uma res istê ncia variável. Se a resistê nc ia no in stante t é dada por R = k1 + k11, c m que k1 > O e k1 > O são co nsta ntes. cn1ão (8) !orna-se (k1 + k11) Mos Ire que, se E(I)

q = E(t).

Eo e q(O) = q0 • então

q(t) =EoC+ (qo - EoC) ( - -1-

k1 + k1t

)l/Ck, -

21. Um tanque contém 200 litros de fluido no qual são dissolvidos 30 g de sal. Uma so lução salina contendo l g de sal por lil ro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura é drenada à mes ma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal A(I) no tanque em qualquer instante.

22. Resolva o Problema 21 s upondo bombeamento de ág ua pura no Ianque. 23. Um ta nque contém 500 litros de água pura. Uma so lução salina contendo 2 g de sal por litro é bombeada para dentro do ta nque a um a taxa de 5 litros por minuto. A mi stura é drenada à mes ma taxa. Encontre a quanlidade de gramas de sal A(t) no tanqu e e m qualquer in stante.

24. Resolva o Problema 23 s upondo qu e a so lução seja dre nada a uma taxa de 10 litros por minuto. Quando o tanque estará vazio? 25 . Um tanque está parcialmente che io com 100 litros de fluido nos quais LO g de sa l são di ssolvidos. Uma so lu ção sa lina contendo 0,5 g de sal por litro é bombeada para de ntro do ta nque a uma taxa de 6 litros por minuto . A mi stura é então drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque após 30 minutos. 26. Uma bebida contendo 6% de álcool por litro é bombeada em um tone l que inicialmente contém 400 litros de bebida com 3% de álcoo l. A taxa de bombeamenlo é de 3 litros por minuto , enquanto o líquido misturado é dre nado a uma 1axa de 4 litros po r minuto . Enconlrc quantos litros de á lcool A(I) há no tanqu e em qualquer in stante. Qual é a porcentagcm d e á lcoo l no tanque após 60 minutos? Quando o tanque estará vazio?

Aplicações Diversas 27. A eq uação diferencial para a velocidade proporcional à velocidade in stantânea é

v de uma massa em queda m s uj ei ta à resi stênc ia do ar

md.!:!_ = mg - kv ,

11 6

Equa ções Dife renciais

Cap. 3

Vo lum e I

e m que k é uma constante de proporcionalidade pos iti va. (a) Reso lva a equ ação suje ita à condi ção ini cia l v(O)

= v0.

(b) Dete rmine a velocidade lim ite, ou terminal, da massa. (e) Se a di stâncias es tá relac ionada co m a veloc idade através da igualdade dsl dr expressão ex plícita pa ras, supondo que s(O) = s0 .

v, enco ntre urna

Sob certas circunstâncias, um corpo movendo-se através do ar encontra uma resistência que é proporcional à sua velocidade v. Em geral , a resistê ncia do ar é diretamente proporcional a uma potência positiva da velocidade do corpo - quanto mais rapidamente o corpo se move, maior a resistência. Para corpos movendo-se em alta velocidade, tais como projéteis ou pára-que distas em queda livre, a resistência do ar é freqüentemente tida como proporcional a v 2 . Veja també m o Problema 8, página 134. 28. A taxa na qual uma droga é di sseminada na corrente sanguínea é dada pela equação diferencial em que A e B são constantes pos iti vas. A fun ção X (t ) descreve a co ncentração de droga na corre nte sanguínea em relação ao tempo t . Encontre o valor limite de X quando r --7 ~. Quand o a conce ntração atinge a metade desse va lor limite? Su po nha que X(O) = O. 29. Um marcapasso, como mostrado na Figura 3.1 5, co nsiste em uma bateria, um capacitor e o coração co mo res istor. Qu ando a chave S está em P, o capacitor é carregado; quando S es tá em Q, o capacitor é descarregado, e nviando um impulso elétri co ao coração. Du rante esse tempo, a vo lt agem E apli cada ao coração é dada por

em que R e C são constantes. Determine E (t ) se E(t 1) = E0 . (É cl aro que a chave é aberta e fechada periodi camente para simular o batimento cardíaco natu ral. )

Volum e l

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

f 17

JO. Suponha uma cé lula s uspe nsa em uma so lu ção contendo um so l vente de co nce ntração co nstante e,. Suponha ainda que a célula tenha vo lume constante V e que a área de sua superfície permeável também seja co nstante igual a A. Pela lei de Fick , a taxa de variação de sua massa m é diretamente proporcional à área A e à diferença C 5 - C(t). em que C(t) é a concentração do solvente dentro da célula no in stante e. Encontre C(1) sem = VC(t) e C(O) = Co. Veja a Figura 3.16.

f ~

- ~ '-.

Figura 3.15

~7( oncetração

q11

con~tração e,

moléculas de soluto passando através da membrana ~ celular Figura 3.16

31. Em um modelo de variação populacional P(t) de uma co munidade, é suposto que dP

di=d/-d/' c m que dB/ dt e dD/ dt são as taxas de nascimento e óbito, rcspectivamente . (a)

Reso lva para P(1) se dB dD dt = k1P e dr = k1P.

(b) Analise os casos k 1 > k1 , k 1 32. A equação diferencial dP dt = (k

cos t)P,

em qu e k é uma cons tante positi va, é freqüentcmcnt e usada como um modelo de uma população sujeita à tlutuaçõcs sazonais. Encontre P(I) e faça um gráfico da solução. Suponha P(O) P0 .

33. Em coordenadas polares, o momento angular de um corpo em movimento de massa m é definido por L = mr\dO/d t). Suponha que as coordenadas do corpo sejam (ri. 01) e (rz, 0 2) nos instantes 1 = a e t = b, a< b, respectivamente. Se L é constante, mostre que a área A varrida por ré A = L(b - a)/2m. Quando o sol é colocado na origem, isso prova a segunda lei de Kepler sobre movimento planetário.*

Johannes Kepler formulou e publicou em 1609 três leis sobre o movimento planetário. A primeira, e provavelmente a mais famosa, diz que um planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, com o Sol em um dos focos. A segunda diz que o raio vetor ligando o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.

/1 8

Eq11ações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

Figura 3.17

34. Quando o esquec imento é levado em conta. a taxa de memorização de uma pessoa é dada por

em que k 1 > O, k~ > O, A(t) é a quantidade de material m~m o rizada no instante 1, M é a quantidade total a ser memorizada e M - A é a quantidade resta nte a ser memorizada. Encontre A(t) e esboce um gráfico da so lução. Suponha A(O) = O. Calc ul e o valor limit e de A quando t -7 ~ e interprete o resultado.

3.3

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO- LI N EA RES

Vimos que , se uma população Pé desc rita por dP = kP

k > O,

(1)

então P(t) apresenta .um crescimento exponencial não limitado. Em muitas circunstâncias, essa equação diferencial proporciona um model o irreal de crescimento de uma população, isto é, o que se observa de fato difere substancialmente do prev isto pela equação. Por volta de 1840, o matemático-biólogo P. F. Yerhulst preocupou-se com as formulações matemáticas para previsão de populações humanas de vários países. Uma das equações estudadas por ele foi

dP dt

P(a - bP) ,

(2)

em que a e b são constantes posi tivas. A eq uação (2) fico u conhecida como a equação logística, e sua solução é chamada de função logística (seu gráfico é naturalmente chamado de uma curva logística). A equação ( 1) não representa um modelo acurado para crescimento populacional quando esta é muito grande. Condições de superpopulação com as consequentes deteriorações do meio ambiente, tais como poluição e excessiva e competitiva demanda por alimento e combustível, podem ter um efeito inibidor no crescimento populacional. Se a, a > O, é uma taxa

Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

119

média de nascimento, vamos supor que a taxa média de óbito seja proporcional à população P(t) no instante t. Logo, se (li P)(dP / dt) é a taxa de crescimento por indivíduo em um a população, então J__ dP = ( taxa média ) - (taxa média ) = a _ bP. P dt de nascimento de óbito

(3)

em que b é uma constante positiva de proporcionalidade. Multiplicando (3) por P, obtemos imediatamente (2). Como veremos, a solução para (2) é limitada quando I ~ N. Se escrevermos (2) como dP/ dt = aP - bP 2 , o termo - bP 2 , b > O, pode ser interpretado como um·· inibidor" ou "competidor". Ainda , na maioria das aplicações, a constante positiva a é muito maior que a constante b. Curvas logísticas são modelos bem acurados para previsão de crescimento populacional, em um espaço limitado, de certos tipos de bactérias, protozoários, pulgas d ' água (Daphnia) e moscas das frutas (Drosophila). Já vimos a equação (2) na forma dx/ dt = kx(n + l - x), k > O. Essa equação diferencial proporciona um modelo razoável para descrever a disseminação de uma epidemia trazida inicialmente pela introdução de um in divíduo infectado em uma população estática. A solução x(t) representa o número de indivíduos infcctados em qualquer tempo t (veja Exemplo 11, Seção 1.2). Sociólogos e mesmo analistas financeiros têm usado este último modelo para estudar a propagação de informações e o impacto de anúncios em certos centros populacionais.

Solução Um método para resolver a equação (2) é a separação de variável.* Usando frações parciais. podemos escrever __ d_P__ = dt P(a - bP)

[ l /a + P

__/?_!!!_] dP =

a - bP

.!_ lnlPI - .!_ lnla - bP1 = t + e a a ln , _ P_ , = at + ac a - bP __P__ =e era 1 a - bP

(4)

Na forma (dP/dt) - aP = - bP 2, devemos considerar a equação logística como um caso especial da equação de Bernoulli (veja Seção 2.6).

120

Eq11ações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

Segue-se da última equação que

ac 1e" 1

P(t)

ac 1

+ bc 1eª 1

(5)

bc1 +e- ar.

Agora, se for dada uma condição inicial P(O) = Po, Po 7' a/b, * a equação (4) implica c 1 = Po / (a - bPo). Substituindo esse valor em (5) e simplificando, obtemos P(t) =

aP0 bPo+ (a -bPo)e-ª 1

(6)

Gráficos de P(t) A forma básica do gráfico da função logística P(t) pode ser obtida sem muito esforço. Embora a variável t represente usualmente o tempo e raramente nos preocupemos com exemplos em t < O, será interessante incluir esse intervalo na elaboração dos vários gráficos de P . A partir de (6), vemos que, P(t)

aPo a = - quando t bPo b

~ oo

e P(t)

O quando t

Agora, derivando (2) pela le i do produto, obtemos d 2P = P(-b dP) +(a - bP) dP ~2 dt ~ =

dP -;J; (a

- 2bP)

= P(a - bP)(a - 2bP) = 2b 2 P ( p -

~ )( p

- ;b }

(7)

No cálcu lo, vimos que os pontos em que d 2 P! dt 2 = O são os possíveis pontos de inílexão, mas P = O e P = a/b podem obviamente ser desca rtados. Logo, P = a/2b é o único va lor poss ível no qual a concavidade do gráfico pode mudar. Para O < P < a/2b, seg ue-se de (7) que P" > O e a/2b < P <alb implica P" < O. Portanto, o gráfico passa de convexo para côncavo no ponto correspondente a P = a/2b . Quando o valor inicial sat isfaz O < Po < a/2b, o gráfico de P(t) assume a forma de um S, como podemos ver na Figura 3. l8(a). Para a/2b < Po < a/b, o gráfico é ainda em forma de S, mas o ponto de inflexão ocorre cm um valor negativo de t, como mostrado na Figura 3. l 8(b).

Note que P = alb é uma solução singular para a equação (2).

Volume I

Cap. J

Aplicações de equações diferen ciais de primeira ordem

121

Se Po < a/ b, a equação (7) mostra que P" > O para todo t no domínio de P(r) no qual p > O. Quando P < O, a equação (7) implica P" < O. Porém, P = O não é um ponto de inflexão , pois, quando a - bPo < O, uma inspeção de (6) revela um a as s íntota vertica l em

t = - _!_ln ( a

bPo )· bPo - a

O gráfico de P(t) nes te caso é mostrado na Figura 3. 19. p

----- ------------- - - alb

------------- alb !'_,___ ________ a/2b

---- -- -- -· ----------- a/2b P,

(b)

(a)

Figura 3. 18 p

: '-.. P,

- ------- ~- --

' ''

---- alb Figura 3. 19

\ <

1 = -.!.1n(~) a bP, - a

EXEMPLO Suponha que um es tud ante in fectado com um vírus da gripe retorne a um a fac uld ade isolada no campus onde se e ncon tram 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vírus se espa lh a é proporcional não somente à q uantid ade x de a lun os in fectados , mas também à quantidade de alu nos não infectados, determine o número de alun os infectados após 6 dias se ainda é observado que depo is de 4 dias x(4) = 50.

Solução Supondo que ninguém saia do camp us enq uan to durar a ep idemia , devemos resolver o problema de va lor ini cia l

dx dt

kx( I OOO - x),

x(O)

122

Volum e I

Cap. J

Equações Diferenciais

Fazendo as identificações a = 1.OO<lk e b = k, conclu ímos imediatamente de (6) que l.OOQ/c

1.000 l + 999e- l.OOOkt

x(t) = - - - - - - -

k + 999ke-

l.OOOkt

(8)

Agora, usando a informação x(4) = 50, determinamos k através da equação

o __ 50 = _ _1_.o_o_ 1 + 999e- 4000k 19

- 1

k = 4 _000 ln 999 = 0,0009906.

Encontramos

1.000

x(t) = - - - - - + 999e- 0,99061

Logo, (8) torna-se

1.000 x(6) = - - - - 5 -9- 3-6 = 276estudantes .

Finalmente

+ 999e- ·

•

Valores adici onais de x(t) são dados na tabela da Figura 3.20.

X X =

t(dias)

x(número de infectados)

4 5 6 7 8 9 10

50 (observado) 124 276 507 735 882 953

1000

500

(a)

( b)

Figura 3.20

Curvas de Gompertz Uma modificação da eq uação logísti ca é

dP dt

= P(a - b lnP) ,

(9)

em que a e b são constantes. Mostra-se facilmente por separação de variável (veja Problema 5) que uma solução para (9) é P(l) =

eªl be- ce

- b•

(10)

Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações dife renciais de primeira ordem

123

em que e é uma co nstante arbitrária. Notamos que, se b > O, P ~ eª 1", quando 1 ~ oo. enquanto para b < O, e > O, P ~ O, quando 1 ~ 00 . O gráfico da função ( 10), chamado curva de Gompertz, é muito semelhante ao gráfi co da funç ão logístic a. A Figura 3.21 mostra du as poss ibilidades para o gráfico de P(1). Funções tais co mo (10) são enco ntrad as, por exe mpl o, nos estudo s de cresc iment o ou decrescimento de certas populações, no cresc imento de tumores, em previsões atuariai s e no es tudo de cresci ment o de rend a na ve nda de um produto co mercial. p

p alb

alb

e P,

e b < O, e> O P,

~> 0,c > O /

Figura 3.21

Reações Químicas A desintegração de uma sub stân cia radioativa, governada pela equação(!) da seção precede nte, é chamada de reação de primeira ordem. Em química, poucas reações seguem a mesma lei empíri ca: Se as moléculas de uma sub stância A se decompõem em moléculas menores, é uma suposição natural que a taxa na qual essa decomposição ocorre seja proporcional à qu antidade da primeira substânci a que não tenh a se submetido à co nversão; isto é, se X(t) é a quantidade de substância A remanescente em qualquer tempo, então dX = kX

em que k é negati vo, pois X é decrescen te. Um exemplo de uma reação química de primeira ordem é a conversão de t-cloreto butílico em 1-álcoo l butílico:

Somente a concentração do 1-cloreto butílico controla a taxa de reação. Agora, na reação

para cada molécul a de cloreto metílico, uma molécula de hidróxido de sódio é consumida, formando assim uma molécula de álcool metílico e uma mol écula de cloreto de sódio. Neste caso, a taxa na qual a reação se processa é proporcional ao produto das concentrações remanescentes de CH3CI e de NaOH. Se X denota a quantidade de CH30H formad a e a e p são as

124

Equações Diferenciais

Cap. 3

\folume 1

quantidades dadas dos dois primeiros compostos químicos A e B, então as quantidades instantâneas não convertidas em C são a. - X e p - X, respectivamente. Portanto, a taxa de formação de é dada por

dX di

= k(a. - X)(p - X),

(11)

em que k é uma constante de proporcionalidade. A reação descrita pela equação ( 11 ) é chamada de segunda ordem.

EXEMPLO

Um composto C é formado quando dois compostos químicos A e B são comb in ados. A reação resultante entre os dois compostos é tal que, para cada grama de A, 4 gramas de B são usados. É observado que 30 gramas do composto C são formados em 10 minutos. Determine a quantidade de C em qualquer instante se a taxa da reação é proporcional às quantidades de A e B remanescentes e se inicialmente havia 50 gramas de A e 32 gramas de B. Qual a quantidade do composto C que estará presente após 15 minutos? Interprete a solução quando t -? oo .

Solução

Seja X(t) a quantidade em gramas do composto C, presente em qualquer instante. Claramente, X(O) = O e X(lO) = 30.

Agora, por exemplo, se houver 2 gramas do composto C, teremos usado, digamos, a gramas de A e b gramas de B, de tal forma que

a + b

= 4a.

Portanto, devemos usar a = 21 5 = 2( l / 5) g do composto A e b caso geral , para X g de C devemos usar

X 5

-g de A

4 5X g

8/ 5

2(4/ 5) g de B. No

de B.

As quantidades de A e B remanescentes em qualquer instante são então 50 - !S_ 5

32 -

±x 5 '

respecti vamente. Agora, sabemo s que a taxa na qual o composto C é formado satisfaz

oc (

50 -

~ ) ( 32 - ~X}

Para simplificar, fatoramos 115 do primeiro termo e 4/5 do segundo, e daí introduzimos a constante de proporcionalidade:

dX dt

k(250 - X)(40 - X).

Volume I

Ca p. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

125

Separando as variáveis e usando frações parciais, podemos escrever ____ d_ X_ _ _ = k d1 (250 - X)(40 - X)

1/ 2 10 dX + 1/ 210 dX = kdt 250 - X 40 - X ln 1 250 - X 40 - X

= 2 1Okt + e 1

250 - X = coe 2 10" . 40 - X -

(12)

Quando t = O, X = O; logo , seg ue-se que c2 = 25/ 4. Usando X = 30 em 1 = LO, encontramos 210k

=w1 ln 88 25

= 0 , 1258.

Com essa informação, reso lvemos ( 12) explicitando X: 1 _ e-0. 12581 X(t) = 1000

(13)

11 - · 25 - 4e - 0 · _) 8'

O compo rtamento de X como uma função do tempo é ilustrado na Figura 3.22. É c laro, pelo acompanhamento da tabela e pela equação (13), que X ~ 40 quando t ~ oo. Isso s ignifica qu e há 40 gramas de composto formado, deixando

50 -

±(40)

32 -

1(40) =

= 42 gramas de A

•

O grama de 8.

X ---- -;_--.= -- - - - X = 40

t(minutos)

X(gramas)

10 15

30 (medido)

34.78 37.25 38.54 39.22 39.59

20 25 10 20 30

(a)

---- ---(b)

Figura 3.22

126

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume 1

Lei de Ação das Massas O exemplo precedente pode ser general izado da seg uinte maneira. Suponha que a gramas de substância A são combinadas com b gramas de substância B. Se há M partes de A e N partes de B formadas na combinação, então as quantidades de substâncias A e B remanescen tes e m qualquer instante são, respectivamente, a - ___!!__X M+N

Assim,

dX dl

[

b - __ N_X. M+N

a - M M. + NX ][ b - M N+ NX ] .

(14)

Procedendo como antes, se fatorarmos Ml(M + N) no primeiro tem10 e Nl(M + N) no segundo, a equação diferencial resu ltante é a mesma de ( 11 ): dX

dl a=

em que

= k(a - X)(/3 - X),

a(M + N)

(15)

f3 = b(M + N) .

Os químicos se referem às reações desc ritas pe la equação ( 15) como a lei de ação das massas. Quando a ~ {3, pode-se mostrar facilmente (veja Problema 9) que um a solução para ( 15) é

-1 - ln

a-{3

a -

1--X 1=

{3 -X

kt +e.

(16)

Quando supomos a condição inicial natural X(O) = O, a equação ( 16) conduz à seguinte so lução exp lícita

X(l) =

af3[1- e<a-/J)k1] f3 - ae<a - íJík1 .

(17)

Sem perda de generalid ade, podemos supor em ( 17) que f3 > a ou a - f3 < O. Como X(t) é uma função crescente, esperamos k > O, e então segue-se imediatamente de ( 17) que X ~ a quando t

oo.

Velocidade de Escape No Exemplo l da Seção 1.2, vimos que a equação diferencial de um objeto em queda de massa m próximo à superfície da terra é dada por m

d s d/l

. ·r· d 2s = - mg ou sunph 1que d/l = - g,

Volume I

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

Cap. 3

127

em que s representa a distância da superfície da terra ao objeto e a direção positiva é considerada para cima. Em outras palavras, essencialmente, está sendo considerado aqui que a distância s ao objeto é pequena quando comparada com o raio da terra R; posto de outra maneira, a distânci a y do centro da terra ao objeto é aproximadamente a mesma que R. Se, por outro lado, a distância y a um objeto, tal como um foguete ou uma sonda espacial, for grande se comparada com R, então combinamos a segunda lei de Newton sobre o movimento e sua lei universal de gravitação para deduzir uma equação diferencial na variável y. A solução dessa equação diferencial pode ser usada para determinar a velocidade mínima, chamada velocidade de escape, necessária para um foguete se livrar da atração gravitacional da terra.

EXEMPLO

Um foguete é lançado verticalmente, como mostrado na Figura 3.23. Se considerarmos a direção positiva para cima e se a resistência do ar for ignorada, então a equação diferencial do movimento depois de esgotado o combustível é

i!..l_

= - k mM ou

m dt 2

i!..l_

= - kM ,

dt 2

(18)

em que k é uma constante de proporcionalidade, y é a distância do centro da terra ao foguete, M, a massa da terra e 1n, a massa do foguete. Para determinar a constante k, usamos o seguinte fato: quando y = R, mM

k - - = mg ou k

PR =-=M

Logo, a última equação em (18) torna-se

(19)

Figura 3.23 Uma bola ou um foguete lançado diretamente para cima voltará à terra sob a influência da gravidade, a menos que seja lançado com uma velocidade suficientemente grande. A equação diferencial de segunda ordem mcry/dt2 = - kMm/y2 pode ser usada para determinar a assim chamada "velocidade de escape" que um objeto necessita para se livrar da atração gravitacional de um corpo celeste tal como a terra. A velocidade de escape independe da massa do objeto, assim a velocidade de escape na superficie da terra para uma bola é a mesma que para um foguete.

128

Equações Diferenciais

Cap. 3

Vo /11111e I

Embora isso não sej a uma eq uação de primeira o rd em, se esc revermos a ace le ração co mo d 2y d1 -

dv dt

dv dy dy d t

dv dy

~=-=--=v-,

então ( 19) torna -se uma equ ação de prim e ira orde m e m v; isto é, dv

vdy

R2 y-

= -g--o·

Es ta última equação pode se r reso lvid a po r separação de va ri áveis. De

f v dv = - gR f y 2

2dy obte mos v 2 = g R 2

(20)

Se supomo s qu e a veloc id ade é v = v0 qu ando o co mbu stív e l acabar e qu e y ~ R nesse mome nt o, podemos obte r o valor (apro ximado) de e. De (20), e ncontram os e = - gR + vo 21 2. Substituindo esse va lo r e m (20) e multipli ca ndo a equ ação res ultante po r 2, o btemos, 2 R2 ? v = 2g - - 2gR + v 0- .

(21)

•

Você pode a rg ume ntar qu e, no Exempl o 3, não reso lve mos rea lm ente a equação o rig inal em y. Na verdade, a so lução (2 1) nos forn ece muita informação . Agora que fi zemos a parte mai s difíc il , de ixa mo s co mo exercíc io de te rm inar a ve loc id ade de escape da terra. Vej a o Problema 11 .

3. 3

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 447 e 448. 1. O número de supermercados C( t ) no país qu e estão usand o um sistema co mput adori zado é desc rit o

pelo problema de valor inicial

= C( l - 0,0005C),

C(O) = 1,

cm que t > O. Quantos supermercados estarão usando sistemas computadori zados qu ando l = 1O? Quantas companhi as estarão adotando esse novo procediment o depois de um longo período de tempo? 2. O número de pessoas N(t) em uma comunidade que são ex postas a um anúncio em particul ar é dado pela equação logística. Inici almente N(O ) = 500, e é observado que N( I) = 1000. Está prev isto que o número máximo de pessoas na co munidade que verão o anúncio será 50 .000. Detertninc N(t ) em qualquer tempo. 3. A população P(t) de uma grande cidade é descrita pelo problema de valor ini cial

Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações difere nciais de primeira ordem

= P(l0-

1 -

10-

7 P),

P(O)

/ 29

= 5000,

em quer é med ido em meses. Qual é o va lor limite da população'' Quando a população será ig ual à metade desse valor limite? 4. Encontre uma so lu ção para a eq uação logística modificada .

~ = P(a

- bP)( I - cp - \

a, b, c

> O.

5. (a) Reso lva a eq uação (9): (b) Determine o va lor de c na equação ( 10) se P(O) = /'o. 6. Supondo O < Po < eª 1 h e a > O, use a eq uação (9) para enco ntrar a ordenada do ponto de inflexão

de uma curva de Gompertz. 7. Dois compos tos químicos A e B são combin ados para fo rmar um terceiro co mposto C. A taxa ou

velocidade da reação é proporcional à quantidade in stantânea de A e B não co nvertida em C. Inicialmente, há 40 gramas de A e 50 gramas de B, e para cada gra ma de B, 2 gramas de A são usados. É observado que 1O gramas de C são formados em 5 minutos. Quanto é fo rmado em 20 minutos? Qual é a quant id ade limite de C após um longo período de tempo? Qua l é a quanlidade remanescent e de A e B depois de um longo período de te mpo? 8. Reso lva o Prob lema 7 se l 00 gramas de A estão presentes ini c ia lm ente. Quando temos a metade do composto C fo rmada ? 9. Obte nha uma solu ção para a eq uação

dX dt = k(a

- X)(/3 - X)

que governa as reações de segu nd a ordem nos dois casos: a

f3 e a = {3.

10. Em uma reação química de terceira ordem, a quantidade de gramas X de um composto obt ido pela comb inação de três outros co mpostos é governada pela eq uação

dX dt = k(a Resolva essa equação supo nd o

- X)(/3 - X)(y - X)

ll. (a) Use a equação (2 1) para mostrar que a velocidade de escape do fogue te é dada por v0 = [Suges rão: faça y -7 ~em (2 1) e suponha v > O para todo 1.J

'12gR.

(b) O resultado da parte (a) é vá lido para qualquer corpo no sis tema so lar. Use os va lores g = 9,8 m/s e R = 6350 km para mostrar que a ve locidade de escape da terra é de aprox im adamente v 0 = 11,2 km/s. (e)

Encontre a ve loc idade de escape da lu a se a aceleração da gravi dade é igual a O, 165 g e R = 1738km.

130

Equações Diferen ciais

Cap. 3

Volum e 1

Outras Aplicações 12. No Exemplo 7 da Seção l. 2. vimos que a equ ação diferencial que descreve a forma de um fio de densidade linear co nstante w suspenso sob a ação do próprio peso é

em que T 1 é a tensão horizontal no fio e m seu ponto mais baixo. Usa ndo a substitu ição p reso lva essa equação sujeita à condi ção inicial y(O) = l , y'(O) = O.

dyldx,

13. Uma equação se melhante a do Problema 12 é

Neste caso, a equação surge no es tudo da forma do ca minh o que um perseguidor, correndo a uma veloc id ade v 2 , deve percorrer para interceptar uma presa corre ndo a uma ve loc id ade 1• 1. Use a mesma substitui ção do Problema 12 e a condi ção inicial y(I) = O, y'(I) =O para resolver a eq uação. Considere os dois casos v 1 = V2 e v 1 7' V2. 14. De acordo com a lei de Stcfan sobre radiação, a taxa de variação da temperatura de um corpo com temperatura abso luta T é

dT dt

cm que T m é a temperatu ra absoluta do meio ambiente. Encontre uma so lução para essa equação diferencial. Pode ser mostrado que, quando T - Tm é pequena e m comparação a Tm , essa equação particular é aproxi mad a pe la lei de resfriamento de Newton [Equação (3), Seção 3.2J. 15. A altura h da água que está íluindo através de um orifício no fundo de um tanque cilíndrico é dada por dh Ao _r= - - '42gh, dt A.,.

g = 32m/s,

em que A.,. e Ao são as áreas das seções tran sversais da água e do orifício, respectivamente (veja Exemplo 8, Seção 1.2). Resolva a equação se a altura ini cia l da água era 20 m, A.,. = 50 m2 e Ao = 1/ 4 m2. Quando o ianqu e estará vazio? 16. A equação diferencial não- linear

dr ) 2 =2µ - + 2/i ( -dt '

em que µ e h são constantes não- negativas, aparece no estud o do problema de dois corpos em mecânica celeste. Aqui, a variável r representa a distância entre as duas massas. Resolva a eq uação nos doi s casos: h = O e h > O. 17. Reso lva a equação diferencial da tratriz

Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

.\1,,..-------,s~ - y~

13 J

(veja Problema 19, Exercícios l.2) . Suponha que o po nto inic ial no eixo dos y seja (O, l O) e compri mcnto da corda seja s = l O m.

18. Um corpo de massa m caindo através de um meio viscoso encontra uma força de res istê ncia pro porcional ao quadrado de sua velocidade instantânea. Nessa situação a equação diferencial para a velocidade v (1) é

dv mdt

= mg

_ kv2,

em que k é uma constante positi va de proporcionalidade. Resolva a equação sujeita a v(O) é a velocidade limite do corpo em qued a?

v0 . Qual

19. A equação diferencial X

dx dx )2 + 2y( -dy dv

=X,

e m que x = x(y), ocorre no estudo de ótica. A equação descreve o tipo de curva plana que refletirá todo raio de luz incidente para o mesmo ponto (veja Proble ma 15, Exercícios l .2). Mostre que a curva é uma parábola. [Sugestão: use a substituição w = x 2 e reexamine a Seção 2.6.J 20. Resolva a equação do Problema 19 com a ajuda da fórmula quadrática. 21. As equações de Lotka e Yolterra*

dy dt

= y(a

- ~x)

dx d1 = x(-y + Õy),

A.J. Lotka (1880-1949) Lotka, nascido na Áustria, foi um biomatemático americano. Vito Volterra (1860- 1940) Nascido em Ancona, Itália, Vito Volterra mostrou desde cedo aptidão para a matemática. Estudou cálculo por conta própria e investigou problemas em gravitação quando ainda estava com 12 anos. Apesar dos problemas financeiros, Volterra rapidamente obteve proeminência como cientista e matemático. Foi também ativista político e indicado para senador do reino da Itália em 1905. Volterra interessou-se pelas aplicações da matemática à ecologia em meados dos anos 20, e formulou esse siste ma de equações diferenciais em uma tentativa de explicar as variações na população de peixes no Mediterrâneo como resultado de interações predador-presa. (Lotka, trabalhando independentemente, chegou ao mesmo sistema de equações e publicou o resultado em 1925 em seu texto Elements of Physical Biology.) Através de sua pesquisa de modelos matemáticos de populações, Volterra estabeleceu a base para um can1po da matemática conhecido como equações integrais. Um homem de princípios, Volterra recusou-se a assinar um juramento de lealdade ao regime fascista de Benito Mussolini e, conseqüentemente, renunciou à sua cadeira de matemática na Universidade de Roma e a todas as participações em sociedades científicas italianas.

132

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

em que a, /3. y e l5 são co nstan tes pos iti vas, ocorrem na análi se do equilíbri o bi ológ ico de duas espécies de anim ais. ta is como predador e presa (por exe mplo, raposas e coelho s). Aqui , x( r) e y( r ) denotam as populações das dua s espécies no tempo r. Embora não ex ista nenhuma solução ex plícita para esse sistema, so luções podem ser encontradas relacionando as duas populações cm qualquer tempo. Di vida a primei ra equação pela seg und a e reso lva a equação diferencial não-linear de primeira ordem re sultante . 22. Um probl ema clássico cm cá lcul o das variações é enco nt rar a forma de uma curva '75 tal que, uma conta , sob a influência da gravidade, escorregue de A(O , 0) a B(x1 , y 1) cm te mpo mínimo. Veja a Figura 3 .24. Pode se r mo s trado qu e a e qu ação diferen c ia l para a forma d o ca minho é y[ l + (y') 2J = k, em qu e k é uma constant e . Primeiro, resolva para dx cm termos de y e dy, e então use a sub stitui ção y = k sen2 (J para obter a forma paramétrica da solu ção. A curva '7f será uma cicl óide. A(O, O) X

Figura 3.24

'\.,conta

r"'---~

~ B(x,, y,)

mg )'

23. O problema de valor ini cial qu e descreve o movimento de um pêndulo simpl es co m ve loci dade inicial > oé zero e ângul o ini c ial

d 2(J

dt 2

ecoi

s_ sen (J = O

e0,

I 1

(a) Obtenha a equação de prime ira ordem d8 2 2 ( - ) = !:K (cos (J - cos 80) . dr l [Sugestão: multiplique a equ ação dada por 2d8/ dt.]

(b) Use a equação da parte (a) para mostrar que o período de movimento é

T = 2-

tº

{2[

-\J g · O

..Jcos 8 - cos 80

Volume I

Capítulo 3

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

/ JJ

REVISÃO

Se toda curva e m uma família a um parâmetro de c urvas G(x, y, c 1) = O é o rto go nal a toda c urva em um a seg unda família a um parâmetro H(x, y, c2) = O, di ze mos que as duas famílias são trajetó r ias ortogonais. Duas curvas são ortogonais se sua s retas tan gentes são perpendi culares no ponto de interseção. Quando dada uma família, enco ntramos s ua eq uação difere ncial dyldx = f(x, y) derivando a equação G(x, y, c 1) = O e eliminando o parâmetro c 1. A equação diferencia l da seg unda família ortogo nal é então dyl dx = - 1/ f(x, y). Reso lve mos essa última equ ação pelos mé todo s do Capítulo 2. Na a nálise mate máti ca de crescimento popu lacional, dec resc ime nto radioativo ou mi sturas químicas, freqü entemente encontramos equações diferen ciai s lineares, tai s como

dx =a + bx d! ou não-lineares, tais como

dx dt

= x(a - bx) e

dx dt

= k(a - x)( I-' - x).

Você deve ser capaz de reso lv er essas eq uações sem hes itação. Não é um a boa id éia simpl esmente memorizar soluções para equações diferenciais.

Capítulo 3

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As r es postas dos exercícios selecionados estão na pági na 448. l.

Encon tre as traj etórias ortogonais da família de curvas y(x 3 + c1) = 3.

Encon tre a trajetóri a o rt ogo nal da família y = 4x + 1 + cie 4 ' que passa pelo po nto (0, 0).

Encontre as traj etó rias ortogo nai s da família de parábolas convexas co m vértices cm ( 1, 2).

Mos tre que. se uma po pul ação cresce a um a taxa proporcional ao número de pessoas presentes c m qualquer tempo, então o tempo de duplicação da população é T = (ln 2)/k, c m qu e k é a tax a positiva de crescimento. Essa é a conhec ida lei de Malth us .

Em março de 1976, a po pul ação mundial era de 4 bi lhões. Uma rev ista prev iu que, com uma taxa de cresc imento anual méd ia de 1,8%, a população mundi al seria de 8 bilhõcs em 45 anos. Co mo esse va lor pode ser co mparado com o prev isto pelo modelo que diz que a taxa de cresci menl o é proporcional à população em qualquer tempo?

Ar contendo 0,06% de dióxido de carbono é bombeado em um sa lão cujo vo lume é de 8000 m 3. A taxa na qual o ar é bombeado é de 2000 cm3/ min, e o ar circulante é então bombeado para fora a uma mesma taxa. Se ha via inicialmente uma concentração de 0,2% de dióxido de carbono, determine a quantidade subseqü ente no salão em qualquer in stante . Qual será a concentração em 1O minutos? Q ual é a co ncentração estacionária (ou de equilíbrio) de dióxido de carbono?

/ 34

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

As populações de duas espécies de animais são descritas pelo siste ma não-lin ear de equações diferenciais de primeira o rdem

Resolva o s istema obtendo x e y e m termos de 8.

Um projétil é atirado verti ca lmente no ar com uma ve locidade inicial de vo ml s. Supondo que a res istência do ar é proporcional ao quadrado da ve locidade in stantânea, o movimento é descrito pelo par de equações diferenciais: m dv = - mg - kv 2 , dt

k > O,

eixo dos y positivo para cima, origem no so lo de forma que v = v0 em y m

, = mg - kv-,

k > O,

eixo dos y positivo para baixo, o rigem na altu ra máx ima de forma que v = O cm y = h. A primeira e segu nda equações descrevem o movimento do projétil subindo e descendo. respecti vamente . (a) Determine a velocidade limite ou term inal do projétil em queda. Compare essa velocidade terminal com a ob tida no Problema 27 nos Exercícios 3.2.

(b) Prove que a velocidade de impacto v; do projéti l é menor que a velocidade inicial v0 . Pode também ser mostrado que o tempo 11 necessário para atingir sua altura máxima h é menor que o tempo 12 que ele leva para cair dessa altura. Veja a Figura 3.25.

Figura 3.25 X

9. Considere a lei de resfriamento de Newton, dT/d1 = k(T - Tm), k < O. em que a temperatura do meio ambiente Tm varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja Ti e que a temperatura inicial do meio ambiente seja T2 e Tm = T2 + B(T1 - n, em que B > O é uma constante. (a) Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante (b) Qual é o valor limite da temperatura quando

(e)

Qual é o valor limite de T,,, quando

1 ---? ~?

lO. Um circuito em série L-R possui um indutor variável com a indutância definida por

t o :o; -TO,

(

t < 10 10

Encontre a corrente i(I) se a resistência é de 0,2 ohm, a voltagem é E(1) gráfico de i(I).

4 e i(O )

O. Esboce o

Volume I

Ensaio

Dinâmica populacio11a/

I 35

ENSAIO Dinâmica Populacional

Michael Ol inick

Departamento de Matemática e Ciência da Computação Universidade de Middlebury

fato de que a ecologia é essencialmente um assunto matemático é cada vez mais aceito", escreve Evelyn C. Pielou[2]. " Ecologistas em toda parte estão tentando formular e resolver seus problemas por raciocínio matemático." Historicamente, o primeiro e talvez mais importante ramo da ecologia matemática é a investigação da dinâmica populacional: como populações crescem e decrescem. Equações diferenciais de primeira ordem têm sido uma ferramenta crucial nesse estudo. Muitos tentam modelar o crescimento populacional começando com a suposição de que a taxa de crescimento populacional depende do tamanho da população. Se P representa a população no instante t, então todos os modelos têm a forma

= f(P),

em que fé alguma função da quantidade de habitantes P. Como f deve ser escolhida? A figura central na história da população é Thomas Robert Malthus (1766-1834). Malthus graduou-se em matemática na Universidade de Cambridge, ordenou-se pastor da Igreja da Inglaterra e foi professor de história e economia política. Em um trabalho seminal, An Essay on the Principie of Population [3], Malthus argumentou que a forma apropriada paraj(P), pelo menos quando a popu lação fosse pequena, deveria ser um múltiplo constante de P, isto é, dP = rP dt '

em que ré uma constante. Como temos visto, esse modelo conduz ao crescimento exponencial, pois a solução para a equação diferencial é

136

Equações Diferenciais

Volume I

Uma característica do crescimento exponencial é tempo de duplicação constante: leva exatamente a mesma quantidade de tempo, (ln 2)/ r, para a população se duplicar de Po para 2P0 , independentemente do tamanho inicial P0 . Uma outra maneira de examinar o crescimento exponencial é verificar a população em unidades sucessi vas de tempo: P(O), P(l), P(2), P(3), ... , P(k), P(k

Como P(k)

Poerk

1),

Po(er) ' , essas populações formam uma seqüência geométrica

com termo inicial a = Po e razão constante e = er Mallhu s, de fato, começa seu famoso ensaio com a observação: ·'Olhando a natureza, ficamos perplexo s com o prodigioso poder de crescimento das plantas e animais ... quer eles aumentem devagar ou rapidamente, sua tendência natural é crescer em uma razão geométrica, isto é, por multipli cação; e seja qual for a taxa de crescimento durante qualquer período, se nenhum obstáculo lhes for imposto, eles prosseguirão em uma progressão geométrica". Depois de exam inar cuidadosamente dado s coletados durante os primeiros censos do s Estados Unidos e compará -los com outros países , Malthus conclui que "o crescimento natural de populações" foi de natureza exponencial com um tempo de duplicação de 25 anos para os humanos . Como esse modelo assegura que não há limite para o número de indivíduos nessa população, fica claro qu e o modelo exponencial não é um quadro completamente realístico . O modelo exponencial pode ser realístico para crescimento de algumas populações durante um intervalo de tempo relativamente curto . A população dos Estados Unidos, durante o período de 1790 a 1860, aumentou exponencialmente, com um a taxa anual de crescimento em torno de 3%.

É instrutivo examinar o real censo nos Estados Unidos, comparando esses dados com os dados de um modelo exponencial de crescimento. Na Tabela E. l , mostramos a população real e a população prevista em milhões. A coluna "erro" mostra a diferença entre o número real e o número previsto . A coluna final, "% erro", é calculada pela razão entre o erro e a população real. " A população real" são os dados colhidos pelo U.S. Census Bureau. A '· população prevista" é gerada pela equação P(t) = 3,929 eO.ü'.'.96551_ Pela tabela, vemos que o modelo de crescimento exponencial representa os dados reai s do censo acuradamente para o período de 70 anos, começando em 1790; o maior erro é menor que 2%. '· Realidade" e previsão do modelo começam a divergir cm 1870; o modelo não tinh a como prever a guerra civil, que durou de 1861a1 865 e na qu al morreram mais de meio milhão de jovens americanos. Finalizamos a tabela em 1890. A discrepância entre a população real e a população prevista torna-se enorme no século XX, atingindo um impress ionante erro de 495% em 1990! Uma das conseqüências que podemos deduzir desse modelo é que, se a população dos Estados Unidos tivesse continuado a crescer na mesma taxa da primeira metade do século XIX, teríamos hoje uma nação seis vezes mais populosa. Va le a pena pensar nisso quando você estiver parado em um congestionamento ou na fila de um supermercado!

Vo/11me I

Ensaio

Dinâmica pop11/ac iona/

137

TABELA E.1 Ano

População Real

Pop ulação Prevista

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890

3,929 5,308 7,24 9,638 12.866 17 ,069 23,192 31,433 38,558 50, 156 62,948

3,929 5,285 7, li o 9,564 12.866 17,307 23,282 31,319 42,131 56,675 76,240

Erro

------

0,000 0,023 0,130 0,074 0,000 0,238 0,090 0,114 3,573 6,519 13,292

% Erro

0,00 0,43 1,80 0,76 0,00 - 1,40 - 0,39 0,36 - 9,27 - 13 ,00 - 21., 12

----

Há várias generalizações desse modelo. No mode lo de crescimento logístico, desen volvido primeiramente pelo matemático belga Pierre-Franco is Yerhulst ( 1804-1849), supomos que r não é constante, mas uma variável que decresce de forma linear simples quando a população cresce. Com isso, podemos representar r como a - bP, em que a e b são constantes positivas . Isso conduz ao modelo dP/dt = (a bP)P, o qual possui uma solução da forma P(t)

K 1 + ed -

(1/

Embora Yerhulst tenha tentado testar seu modelo em populações reais, frustrou-se com as informações imprecisas dos censos disponíveis na década de 1840, quando empreendeu seus estudos. Como os dados populacionais existentes na época eram inadequados para formar um teste efetivo do modelo logístico, o trabalho de Verhulst ficou esquecido por aproximadamente 80 anos. Foi redescoberto independentemente por dois cientistas americanos que trabalhavam na Universidade Johns Hopkins, Raymond Pearl e Lowell J. Reed. Em 1920, Pearl e Reed examinaram a proximidade da curva de crescimento populacional do s Estados Un idos com curva logística. Usando dados dos censos de 1790, 1850 e 191 O para encontrar valores para K, de a, verificaram que a equação logística p ( l) = ----,19.....,7..,...,2.,--7_4..,.-,-,-,l + eJ.896 - 0,03 Ir correspondia à imagem da população atual para um período de 120 anos, começando cm 1790. De fato , o modelo logístico nos fornece um excelente retrato das variações populacionais dos Estados Unidos de 1790 a 1950. A Tabela E.2 mostra a comparação entre as previsões desse modelo logístico e os dados do censo dos Estados Unidos.

138

Equações Diferenciais

\lo /um e I

TABELA E.2

Ano

1790 1800 18 10 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 19 10 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Popul ação Prev ista

População Censo

3,929 5,336 7,228 9,757 13, 109 17,506 23 , 192 30,4 12 39,372 50, 177 62,769 76,870 9 1,972 107 ,395 122,398 136,3 18 148 ,678 159,230 167 ,944 174,94 1 180,437

3.929 5,308 7,240 9,638 12,866 17 ,069 23, 192 31 ,433 38 ,558 50, 156 62,948 75,996 91,972 105 ,7 11 122,775 131 ,669 150,697 179,323 203, 185 226,546 248,7 10

Erro

Er ro

0,000 0,028 - 0,012 0, 119 0,243 0,437 0,000 - l. 02 1 0,8 14 0,02 1 - 0, 179 0,874 0,000 1,684 - 0,377 4,649 - 2,0 19 - 20,093 - 35 ,24 1 - 51 ,605 - 68,273

0,00 0,5 3 - 0, 17 1,23 1,89 2,56 0,00 - 3,25 2, 11 0,04 - 0,28 1, 15 0,00 1,59 - 0,3 1 3,5 3 - 1,34 - 11 ,20 - 17 ,34 - 22,78 - 27,45

Temos uma excelente concordância entre as previsões do modelo e a população observada entre 1790 e 1950. O maior erro fo i de cerca de 3,5 %. Enqu anto o modelo prevê um nivelamento populacional que deveri a continu ar depo is da metade do séc ul o, os dados reais mostram o •· baby boom" dos anos 50, que aumentou a popul ação em quase 30 milhões em 1O anos. É impress ionante que um modelo re lati vamente si mples co mo o logístico possa fo rnecer res ultados tão ac urados co mo esses po r um período de 160 anos . A curva logística particul ar calcul ada por Pearl e Reed poderia ter sido dedu zida em 19 1 l , quand o os resultado s do censo de 19 10 fora m pu blicados. S ua equação poderi a te r sido usada po r 40 anos para fo rnece r projeções precisas de populações que teria m sido úte is em planos govern ame ntais. Co mo tem crescido a po pul ação dos Estados Uni dos na seg un da metade do sécu lo XX? Pode um simples modelo ex plicar as vari ações observadas e fo rnecer-nos uma razoável previsão para o futu ro próximo? Q uando as populações se tornam grandes, freqüe ntemen te observamos um retardament9 na taxa de crescimento. Vári as razões para isso têm sido dadas, e a principal é a co mpetição por recursos limitados.

Volume I

Ensaio

Dinâmica populacional

J39

Vamos olhar para a mais simples suposição matemática que podemos fazer: a taxa de crescimento é inversamente proporcional à população. Nosso modelo matemático é expresso pela equação

b p com P(O)

d1 em que b é uma constante positiva

A equação diferencial é facilmente resolvida por separação de variável e integração. Obtemos P(l) = '12b1 + Pi .

Se b for positivo, esse modelo prevê que a população continuará crescendo indefinidamente. Se a população é observada em um tempo anterior determinar o valor do parâmetro b como

11 como

sendo P 1, então podemos

b Como um teste para esse modelo simples, observaremos os dado s do censo dos Estados Unidos. Fazendo t = O corresponder com o dado de 1950 de 150,697 milhões e 1 = 1, com o censo de 1960 de l 79,323 milhões , obtemos um valor de 4723,58 para b. Com isso, nosso modelo tem a forma P(1) = '19447, 161

+ (150,697) 2

em que cada unidade de tempo t representa 10 anos. Com esses valores, podemos comparar as previsões do modelo com as melhores estimativas do censo dos anos 1970, 1980 e 1990: TABELA E.3 Ano

- ---· - - - 1970 1980 1990

População Atual

População Prevista

% Erro

203,302 226,505 248,71 o

203,970 225,945 245,964

0,33 0,24 1, 10

(Aqui, ambas, atual e prevista, são dadas em milhões; o erro percentual é obtido comparando o valor absoluto da diferença entre valores atuais e previstos com o número de habitantes atuais.) Observamos que esse simples modelo surpreendentemente fornece resultados acurados pelo menos para um conjunto de dados reais. Nosso valor em t = O corresponde aos dados

140

Equações Diferenciais

Volume 1

do censo do dia 12 de abril de 1950. O U.S. Ccnsus Bureau faz projeções populacionais para o primeiro dia de julho . Uma projeção recente para 1º de julho do ano 2000 é de 268,266 milhões . Usando o valor correspondente para t de 5,025 , nosso mode lo prevê um a popu lação de 264,9 18 milhões. A diferença é de cerca de 1,25%. Modelos mais acurados de crescimento populacional pod em ser obtidos refinando os mode los logísti cos de várias maneiras difere ntes. A fun ção f(P) - que é quadrática no mod elo logís tico - pode ser trocada por um polinômio de gra u mais a lto de tal forma que efeitos de maio r ordem no tamanho da população possa m ser incluídos na taxa de cresc ime nto. Fatores adicionais podem ser acrescidos à equação diferencial para incorporar o conceito de que a taxa de variação da população é fun ção não só da popul ação, mas també m do tempo; isto é, você pode estudar modelos da forma

= f(P, t) .

Devemos observar qu e o modelo de Gompertz também pode ser visto como uma generalização do modelo exponencial dP/dt = rP, com a constante r sendo substituída por uma variável r(t) , que decresce a uma ta xa percentual constante, isto é,

= ar,

em que a é uma constante negativ a. Isso nos dá r como roeª', e o modelo de Gompertz toma a forma

roe

Generalizações do modelo de Gompertz incluem abordagens em que r(t) é um polinômio em t de grau fixo. Demógrafos usam cada vez mai s sofisticados e complexos modelos matemáticos de caráter determinístico e probabilístico para estudar variações no crescimento populacional no passado e fazer projeções sobre o futuro . Embora haja muita s abordagens diferentes para a criação de tais modelos, na maioria das vezes são extensões ou generalizações de uma equação diferencial não-linear de primeira ordem .

REFERÊNCIAS 1.

Pearl, Raymond e Lowell Reed. "On the Rate of Growth of Lh e United States Population Since 1790 and lts Mathematical Representation. " Proceedings of the Nacional Academy of Sciences 6 ( 1920): 275-288.

Pielou, E. C. An lntroduction to Mathematical Ecology, 2• ed. Nova York: Wiley, 1977.

Malthus, Thomas R. An Essay 011 the Principie of Population anda Summary View ofthe Principie of Population. Baltimore: Penguin, 1970.

Capítulo

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR 4.1 4.2 4.3 4.4

Teoria Pre liminar Co nstruindo uma Seg unda Solução a Partir de um a Solução Conhecida Eq uações Lin eare s Hom ogêneas com Coefici e ntes Cons ta ntes Coeficie ntes Inde te rmin ados Abordagem por Superpos ição

Conceitos Importantes Problema de valor ini cial Condições iniciais Prob lema de va lor de co ntorno Condições de co ntorno Dependê ncia linear Indepen dência linear Wro nskiano Equação homogênea Equação não- homogênea Princípio de superposição Conjunto fundamental de so lu ções Solução geral Solução completa Solução parti cular Função co mplementar Redução de ordem Equação aux il iar Equação característi ca Fórmula de Eu ler Coeficientes indeterminados Operador diferencial Operador anulador Variação dos parâmetros

4.5 4.6 4.7

Operadores Dife re nciai s Coe fi c ientes Ind e te rminad os Abordagem por Anulador Variação do s Parâmetros Capítulo 4 Rev isão Capítulo 4 Capítul o 4 Exercícios de Rev isão E nsa io: Caos

Examinarem.os agora soluções para equações diferenciais de ordem dois ou maior. Embora possamos resolver algumas equações não-lineares de primeira ordem através de técnicas consideradas no Capítulo 2, equações não-lineares de ordem maior geralmente resistem à solução. Isso não significa que uma equação não-linear não tenha solução, mas sim que não existem regras ou métodos pelos quais sua solução possa ser exibida em termos de funções elementares ou outros tipos. Como uma conseqüência, na tentativa de resolver equações de ordem maior, devemos deter-nos às equações lineares. Começamos este capítulo primeiramente examinando a teoria subjacente às equações lineares. Como fizemos na Seção 2.5, colocamos condições na equação diferencial sob as quais podemos obter sua solução geral. Lembramos que uma solução geral contém todas as soluções para a equação em algum intervalo. No restante do capítulo, desenvolvemos métodos para obter uma solução geral para uma equação linear com coeficientes constantes. Veremos que nossa habilidade para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem com coeficientes constantes depende de nossa . habilidade para resolver uma equação polinomial de grau n. O método de solução para equações lineares com coeficientes não-constantes será visto no Capítulo 6.

141

Cap. 4

Volume 1

142

Equações Diferen ciais

4.1

TEORIA PRELIMINAR

Começamos a discussão sobre equações diferenciais de ordem maior, como fizemos com equações de primeira ordem, com a noção de um prob lema de va lor inicial. Porém , concentramos nossa atenção nas equações diferenciais lineares .

4. 1. 1 Problemas de valor inicial e de valor de contorno Problema de valor inicial Para uma equação diferencial de n-ésima ordem, o problema . d"y d 11 - 1y dy Resolva. a,,(x) +a,, _ 1(x) - - - + ... + a1(x)-d + ao(x)y = g(x) dx" dx" - l X Sujeita a: y(x0 )

= Yo,

y'(x0 )

= YÓ, .. . ,y<

11 -

ll(xo)

= Yo<"

- t)

(l)

em que y0 , YÓ, ... , y0<11 - 1) são constantes arbitrárias, é chamado de um p roblema de valor inicial. Os valores específicos y(xo) = Yo . y'(xo) =YÓ , ... , y< 11 - 1>(xo) =ycf 11 - I) são chamados de cond ições iniciais. Procuramos uma solução em algum intervalo l contendo xa. No caso de uma equação linear de segunda ordem, uma solução para o problema de valor inicial

a2(x)~

+a,(x)

d~ +

ao(x)y =g(x),

y(xo) = Yo. y'(xo) = yó,

é uma função que satisfaça a equação diferencia l em l cujo gráfico passa pelo ponto (xo. Yo) com inclinação igual a YÓ· Veja a Figura 4.1. O próximo teorema nos fornece condições suficientes para a existência de uma única solução para ( 1).

soluções da ED

~ ~ . .

; m = y', Figura 4.I

:~i . ..(x,,y,) '

f+-- J ---+!

Vo lume I

TEOREMA 4.1

Cap. 4

Equações diferenciais /i 11 eares de orde111 superior

143

Existência de uma Única Solução

Sejam a11 (x), a 11 _ 1(x), ... , a 1(x), ao(x) e g(x) contínuas e m um intervalo I com a 11 (x) # O para todo x neste intervalo. Se x = xo é algum po nto deste intervalo, então ex iste uma única solução y(x) para 0 problema de valor ini cial ( l ) neste intervalo.

EXEMPLO

Você deve verificar que a fun ção y = 3eh + e- 2-' - 3x é uma solução para o prob lema de valor inici<ú

y" - 4y = 12x,

y(O) = 4, y'(O) = 1.

Agora, a equ ação d ife rencia l é linear, os coefi c ie ntes, bem co mo g(x) = l 2x, são co nt ínu os e a?(X) = 1 ~ O e m qu a lqu er in terva lo co nte ndo x = O. Co nc luím os a parti r do Teo re ma 4. 1 que a _fun ção dada é a úni ca so lução.

EXEMPLO

•

O prob lema de va lor ini c ia l 3y'" + 5y" - y' + 7y = O,

y( l ) = O,

y'( l ) = O,

y" ( I ) =O,

poss ui a so lução tri vial y = O. Co mo a eq uação de te rceira ordem é linea r com coeficie ntes co nstantes, segue-se qu e tod as as cond ições do Teo re ma 4. 1 são sa ti sfe itas . Logo, y = O é a única so lu ção e m qu alque r inte rva lo con te ndo x = 1. •

EXEMPLO A fun ção y =

±se n

3 4x é um a so lução para o probl em a de va lor ini c ial y"

+ 16y = O, y(O) =O, y'(O) = l.

Seg ue-se do Teo rema 4. 1 qu e, cm q ualqu er intervalo contendo x = O, a so lu ção é ú ni ca.

•

No Teo rema 4. 1, a continuidade de a;(x ), i = O, l , 2, .. . , 11 e a hi pótese a,,(x) ~ O pa ra todo x em! são ambas importantes. Especificamente, se a,,(x) = O para algum x no intervalo, então a so lução para um problema de valor inicia l linear pode não ser úni ca ou nem mesmo ex istir.

EXEMPLO

Verifique que a fun ção y = cx 2 + x + 3 é uma so lução para o probl e ma de valor ini c ial

x 2y" - 2xy' + 2y = 6,

y(O) = 3,

/(O) = 1,

144

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

no intervalo (- oo, oo) para qua lquer escolh a do parâmetro e.

Solução

Corno y'

= 2cx +

1 e y"

= 2c, segue-se que

x 2y" - 2xy' + 2y = x 2(2c) - 2x(2cx + l) + 2(cx 2 + x + 3) = 2cx 2 - 4cx 2 - 2x + 2cx 2 + 2x + 6 = 6.

Ainda,

y(O) = c(0) 2 + O + 3 = 3

y'(O) = 2c(Oj + 1 = 1.

•

Embora a equação diferencial do Exemplo 4 seja linear e os coeficientes e g(x) = 6 sejam con tínuos em toda a reta , as dificuldades óbv ias são que a 2(x) = x 2 se anul a cm x = O e que condições iniciais são impostas também no ponto x = O.

Problema de Valor de Contorno Um outro tipo de prob lema consiste em resolver uma equação diferencial de o rdem dois o u maior na qual a variáve l dependen te y ou suas derivadas são especificadas em pontas difere111es. Um problema como

d 2y dy Resolva: a2(x) - , + a1(x) d- + ao(x}y =g(x) dxX Suje ita a: y(a) = Yo,

y(b) = Yt

é chamado de problema de valor de contorno. Os va lores especificados y(a) = y 0 e y(b) = y 1 são chamados de condições de contorno ou de fronteira. Uma solução para o problema em questão é uma função que satisfaça a equação diferencial em algum interva lo /, co ntendo a e b, cujo gráfico passa pelos pontos (a, Yo) e (b, y 1). Veja a Figura 4.2

Figura 4.2

Volume I

EXEMPLO

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

/.J5

Você deve verificar que, no intervalo (O, oo), a função y = 3x 1 - 6x + 3 satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno do problema de valor de contorno

x\" -

2xy' + 2y = 6,

y(l) =O,

y(2) = 3.

•

Para uma equação diferencial de segunda ordem, outras condições de contorno podem ser y'(a)

= YÓ,

y(a) = Yo.

y'(a) = YÓ,

y(b)

= y,;

y'(b) = YÍ; y'(b) = YÍ,

em que yo, yó, y 1 e YÍ denotam cons tantes arbitrárias. Estes três pares de condições são casos especiais das condições gerais de contorno

a ,y(a) + /31/(a) = 'Y1 ª2Y(b) + f32Y'(b) = 'Y2·

Os próximos exemplos mostram que, mesmo quando as condições do Teorema 4.1 são satisfeitas, um problema de valor de contorno pode ter (i)

várias soluções (como mostrado na Figura 4.2),

(ii)

uma única solução, ou

(iii)

nenhuma solução.

EXEMPLO

No Exemplo 6 da Seção 1.1, vimos que uma família a dois parâmetros de soluções para a equação diferencia l y" + l 6y = O é

y = c1 cos 4x + c2 sen 4x. Suponha agora que queiramos determinar aquela sol ução para a equação que também satisfaça as condições de contorno y(O)

= O,

Observe que a primeira condição

O = cl cos O + c2 sen O 1

146

EqLtações Diferencia is

implica c 1

Cap. 4

VoLLtme 1

c 2 se n 4x. Mas, quando x = n /2, temos

O; assim, y

sen 27t.

Como sen 2n = O, esta última condição é satisfeita com qualquer escolha de c2 . Segue-se então que uma so lução para o problema

y" + 16y

y(O)

é a família a um parâmetro y = c2 sen 4x.

Como a Figura 4.3 mostra, há uma infinidade de funções sati sfazendo a equação di fe rencial cujos gráficos passam pelos pontos (O, 0) e (n/2, 0). Se as condições de contorno fossem y(O) = O e y (n/8 ) = O, então necessariamente deveriam ser ambas nulas. Logo, y = O seria uma solução para esse novo problema de valor de contorno. De fato , como veremos mai s tarde nesta seção, ela é a única solução.

c 1 e c2

Figura 4.3

EXEMPLO

O problema de valor de contorno

y" + 16y = O, não possui solução na família y

= c 1 cos

y(O) = O,

4x + c2 sen 4x . Como o Exemplo 6, a co ndi ção

y(O) = O ainda implica c 1 = O. Logo, y = c2 scn 4x e, quando x = n/2, obtemos a co ntradição i= ~X 0=0 .

•

Problemas de valor de contorno são frcqüentemente encontrados nas aplicações de equações diferenciais parciais.

\lolt1111e I

Cap. -1

Equações difere11ciais lineares de ordem st1perior

147

4. 1.2 Dependência Linear e Independência Linear Os dois próximos conceitos são básicos para o estudo de equações difere nc iai s lin ea res.

DEFINIÇÃO 4.1

Dependê ncia Linear

Dizemos que um co njunto de funções f 1(x),f2 (x), ... , f,,(x) é linearmente dependente em um intervalo l se existem consta ntes c 1, ci. ... , e,, não todas nulas, tai s que

cif1(x) + c2f2(x) + .. . + c,J,,(x) = O para todo x no interva lo.

DEFINIÇÃO 4.2

Independência Linear

Dizemos que um conjunto de funções / 1(x),f2(x), ...,f,,(x) é linearmente independente em um intervalo l se ele não é linearmente depende nte no intervalo.

Em outras palavras, um conjunto de funções é linea rmente independente em um intervalo se as únicas co nsta ntes para as quais

+ c,,f,,(x) = O, para todo x no interva lo, são c 1 = c2 = .. . e,, = O.

É fácil de entender essas definições no caso de duas funções/1(x) efi(x). Se as funções são linearmente dependentes em um intervalo, então ex istem constantes c 1 e c2, que não são ambas nulas, tai s que, para todo x no intervalo, cJ1(x) + c2f2(x) Portanto, se supom os c 1

O, segue-se que /1(x) =

_-=:

fi(x);

isto é, se duas ji111ções são linearmente dependentes , então uma é simplesmente uma constante múltipla da outra . Reciprocamente, se/1(x) = c2f2(x) para alguma constante e, então (- 1) x f1(x)

+ c2f2(x) =O

para todo x em algum intervalo. Logo, as funçõe s são linearmente dependentes, pois pelo menos uma das constan tes (a saber c 1 = - l) não é nula. Co ncluímos que duas funções são linearmente independentes quando nenhuma delas é múltipla da outra em um intervalo.

148

Equações Diferenciais

EXEMPLO As funções /1(x)

Cap. 4

Volume 1

= se n 2x

e fi(x )

= senx

cosx são linearmente dependentes no intervalo

(-oo, oo), pois

e 1 sen 2x + c2 sen x cos x = O

1/ 2 e c2 = - 1. (Lembre-se da identidade trigonométrica

é satisfeita para todo x real se c 1 sen 2x = 2 sen x cosx.)

•

------EXEMPLO

As funções f1(x) = x e h(x) = lxl são linearmente independentes no intervalo (- 00 , oo). Inspecionando a Figura 4.4, convencemo- nos de que nenhuma função é múltipla da outra. Logo, para • ter c J 1(x) + c7f2(x) = O para todo x real, devemos escolher c 1 = Oe c 2 = O. y

(a)

(b)

Figura 4.4

Na consideração de dependência linear ou independência linear, o intervalo no qual as funções são definidas é importante. As funções f 1(x) = x e f2(x) = lxl do Exemplo 9 são linearmente dependentes no intervalo (O, oo), pois

é satisfeita se, por exemplo, c 1 = 1 e c2 = - 1.

EXEMPLO

As funções/1(x) = cos 2x,f2(x) no intervalo (- 7t/2, 7t/2), pois

= sen 2x,J3(x) = sec 2x,J4 (x) = tg 2x são linearmente dependentes

c1 cos2 x + c2 sen2 x + c3 sec2x + c4 tg2 x = O, quando c 1 = c2

= !, c3 = -

l, c4

!. Observamos que cos2x + se n2x

=l e 1 +

tg2x

= sec2x.

•

Volume I

Cnp. 4

Equações diferenciais linea res de ordem superior

J-1 9

Dizemos que um conjunto de fun çõesf1(x), fz(x), ... , J,,(x) é linea rmente depend e nte em um intervalo se pelo menos uma função pode se r ex pressa co mo um a combinação linear d as outras funções.

--------

EXEMPLO

------

As fun ções f1(x) = i"":r + 5, fz(x) = f"":r + Sx, h(x) = x - l , /4(x) = x 2 são linearmente dependentes no interval o (0, = ), poi sfl pod e ser escrita co mo uma combinação lin ea r de/1..(1 e/~. Observe que fz(x) = l

para todo

f1(x) + 5

h (x) + O

/4(x)

•

no instante (O, oo).

Wronskiano O seg uinl e teorema proporci o na condição suficiente para a independência linear de 11 funções em um intervalo. Supomos qu e cada função seja difere nciáve l pelo me nos n - 1 vezes .

TEOREMA 4.2

Critério para Independência Linear de Funções

Suponha quef1(x),f2(x), ... ,f,,(x ) sejam diferenciávei s pelo menos n - 1 vezes . Se o determinante

Í2

Ín

!í

1,;

for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo/, então as funçõesf1(x), fi(x), ... ,f,,(x) serão linearmente independentes no intervalo. O determinante do teore ma precedente é de notado por W(f1(x), fz(x), .. ,f,,(x))

e é chamado o Wronskiano* das funçõe s.

Josef Maria Hoene Wronski (1778-1853) Nascido na Polônia e educado na Alemanha, Wronski passou a maior parte de sua vida na França. Mais um filósofo do que um matemático, ele acreditou que a verdade absoluta pode,ria ser alcançada através da .matemática. Sua única contribuição digna de nota à matemática foi o determinante acima. Sempre um excêntrico, eventualmente tinha crises de insanidade.

150

Equações Diferenciais

- - - - - - - - -- - -

Cap. 4

Volume I

Demonstração Provamos o Teorema 4 .2 por con tradi ção no caso em que n = 2. Supon ha que W(f1 (xo), fl(xo)) O para um xo fixado no intervalo l e que, f1(x) e fi(x) sejam linearmente dependentes no intervalo. O fato de que as funções são linearmente depe ndentes significa que existem constan tes c 1 e c 2, não ambas nulas, para as qua is

para todo x em /. Derivando essa combi nação, Lemos

Obtemos então um sistema de equações lineares

(2) cif ( (x) + c2fi. (x) = O. Mas a dependência linear def1 eh implica que (2) possui uma so lu ção não trivial para cada x no intervalo. Logo,

f1(x)

fi(x)

f( (x)

fi. (x)

W(f1(x) , h(x)) =

para todo x em /. * Isso contradiz a suposição de que W(f1(xo), fi(xo)) .,t O. Concluímos que / 1 e são linearmente independentes. O

COROLÁRIO Se f 1(x),fi(x), .. .fn(x) possuem pelo menos n - l derivadas e são linearmente dependentes em /, então

W<J1(x).f2(x), ... fn(x))= O para todo x no intervalo

E X E M P L O

As funções fi(x) = sen 2x e fi(x) = 1 - cos 2x são linearmente dependentes em (- oo, oo). (Por quê?) Pelo corolário precedente, W(sen2x, - cos 2x) = O para todo número real. Para ver isso, fazemos o seguinte cá lcul o: W(sen2x, 1 - cos 2x) =

sen2x 1 - cos 2x 2 senx cosx 2 sen 2x

Veja o Apêndice lll para obter uma revisão sobre determinantes.

Volume I

Cap. 4

Eq uações diferenciais lin eares de ordem superiur

15 1

= 2 se n2x sen 2x - 2 se n x cos x

+ 2 se n x cos x cos 2~ sen 2x[2 se n2x -

+ cos 2x J

sen 2x[2 se n2x -

+ cos 2x - se n2x ]

se n 2x(sen 2x + cos 2x - I] = O Aqui. usa mo s as identidad es tri go nométri cas sen 2x e sen2x + cos2x = 1.

E X E M P L O

= 2 se n x

cosx, cos 2r

= cos 2x

- sertx •

Paraf1(x) = e 1111 x, h(x) = e 1112·\ m1 7' mz,

W(e"'i-', emlx) =

e"'ix

n11em 1.x

e"'2x 1 = (m2 - m1)e<"'1

+ m 2)x

ni2en"':!.x

para todo valor rea l de x. Logo, f 1 eh são linearmen te independentes em qualqu er interv a lo do • eixo x.

E X E M P L O

Se a e f3 são números reais, f3 7' O, então Y I = eªx cosf3x e Y2 = eªx senf3x são linearmente independentes em qualqu er intervalo do e ixo x, po is

W(eªx cos {3x, cru se n{Jx)

= 1-

eax cos {3x eªx sen {3x {3eax sen f3x + aeax cos {3x {3eªx cos {3x + aeªx sen {3x

= {3e 2ax (coi2{3x + se n2{3x) = {3e 2ªx 7' O.

Observe qu e, qu and o a = O, cos{Jx e se n{Jx, f3 qualquer intervalo do eixo x.

E X E M P LO

O, são também linearmente inde pendentes em •

As fun ções f 1(x) = e·<, fi(x) = x<!< e fJ(x) = x 2ex são linea rm ente independentes em qualquer intervalo do eixo x , poi s

152

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume/

ex xex W(ex, xex, x 2ex) =

x 1ex

ex xex + e' xex

2e3x

x 2ex + 2xex

+ 2ex

x 2e-'

+ 4xe-' + 2e-'

não se anula em ponto algum.

E X E M P L O

•

No Exemplo 9, vimos quef1(x) = x ef2(x) = lxl são linearmente independentes em (-oo, oo) ; porém, não podemos calcular o Wronskiano, pois h não é diferenciável em x = O. • Deixamos como exercício mostrar que um conjunto de funções f 1(x), fz(x), ... ,J,,(x) pode ser linearmente independente em algum intervalo, mesmo que o Wronskiano seja nulo. Veja o Problema 30. Em outras palavras , se W(f1(x ),f2(x), ... J;,(x) = O para todo x em um intervalo, isso não implica necessariamente que as funções sejam linearmente dependentes.

4. 1.3 Soluções para Equações Lineares Equações Homogêneas Uma equação diferencial de n-és ima ordem da forma d"y

a 11 (x) -

dx"

+ a 11

1(x)

d" -

dx" -

--- +

+ a i(x)

:i; + ao(x)y = O

(3)

é chamada homogênea, enquanto d"y + a 11 a 11(x) dx"

d" - 1 y dy 1(x) - - - + ... + a1(x) dx + ao(x)y = g(x), dx" - 1

(4)

com g(x) não identicamente zero, é chamada de não-homogênea. A palavra homogênea neste contexto não se refere aos coeficientes como sendo funções homogêneas. Veja a Seção 2.3.

EXEMPLO (a) A equação

17 2y" + 3y' - Sy = O

é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea. (b) A equação

x 3y"' - 2xy"

+ Sy' + 6y =

e-'

Vo/11111e l

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

153

é uma equação diferencia l ordinária linear de terceira ordem não-homogênea. Veremos na última parte desta seção, e também nas seções subseqlientes deste capítulo, que, P,ara resolv_er uma eq uação não-homogênea (4), devemos primeiro resolver a . equação homogenea associada (3) . Nota Para evi tar repetições desnecessárias no decorrer deste texto, faremos sempre as seguintes suposições importantes com relação às equações lineares (3) e (4) . Em algum intervalo/,

os coeficientes a;(x), i = O, 1, . . . , n , são contínuos; a função g(x) é con tínu a; e a,,(x)

O para todo x no intervalo.

Princípio de Superposição No próximo teorema, vemos que a soma, ou superposição, de dua s ou mai s so luções para uma equação diferencia l linear homogênea é também uma solução. TEOREMA 4.3

Princípio da Superposição - Equações Hornogêneas

Sej am y 1, y 2, ... , Yk soluções para a equação diferencial linear de n-ésima ordem homogênea (3) em um intervalo /. Então, a combinação linear

y = C1Y1(x)

+ C2)'z(X) + ... + Ck)'k(x),

em que os e;, i = l, 2, ... , k, são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.

Demonstração

Provaremos o caso n = k = 2. Sejam y 1(x) e Y2(x) soluções para a2(x)y"

a1(x)y'

ao(x)y = O.

Se definirmos y = c1Y 1(x) + C2)'2(x), então a2(x)[c1y1"

+ C2.Yi' l + a1(x)[c1YÍ + c2Yi l + ao(x)lc 1Y1 + C2J2I

= c1[a2(x)y('

a 1(x)yí

ao(x)y1]

Ct X Ü

+ ci[a2(x)y:[' + a1(x)yi + ao(x)Y2]

+ C2

X Ü

COROLÁRIOS (A) Um múltiplo y = c 1y 1(x) de uma solução y 1(x) para uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução. (B)

1,Jma equação diferencial linear homogênea sempre possui a solução trivial y = O

154

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

O princípio da superposição definido por (5) e seu caso especial dado no Corolário (A) são propriedades que equações diferenciais não-lineares, em geral, não possuem. Veja os Problemas 3le32.

E X E M P L O

18 y 1 = x 2 e y 2 = x 2 ln x

As funções

são ambas soluções para a equação homogênea de terceira ordem x 3y"' - 2xy' + 4y = O

no intervalo (O, oo). Pelo princípio da superposição, a combinação linear y = c 1x 2 + c2x 2 lnx

•

é também uma solução para a equação no intervalo.

E X E M P L O As funções

YI = ex,

19 e 2'

e )'3 =

e 3x

satisfazem a equação homogênea

~ - 6 ~ + 11 ~ -

6y =

em (- oo, oo). Pelo Teorema 4.3, uma outra solução é y = c,ex + c2e2x + c3e 3x.

E X EM P LO

•

A função y = x 2 é uma solução para a equação linear homogênea x 2y" - 3xy' + 4y = O

em (O, oo). Portanto, y = cx 2 é também uma solução . Para vários valores de e, vemos que y = 3x 2 , y = ex 2, y = O, ... são todas soluções para a equação no intervalo. • Soluções Linearmente Independentes

Estamos interessados em determinar quando n soluções Yi. y2 , ... , Yn para a equação diferencial homogênea ('3) são linearmente independentes. Surpreendentemente, o Wronskiano não nulo de um conjunto de ri soluções em um intervalo I é necessário e suficiente para a independência linear.

Volume l

TEOREMA 4.4

Cap. 4

Equações diferenciais Linea res de ordem superior

J55

Critério para Independência Linear de Soluções

Sejam y 1, y2, ..• , Yn n soluções para a equação diferencial linear bomogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo l. Então, o conjunto de soluções é linearmente independente em I se e somente se para todo x no intervalo.

Demonstração Provemos o Teorema 4.4 no caso n = 2. Primeiro, se W(y 1, y 2) *O para todo x em /, segue-se imediatamen te do Teorema 4.2 que y 1 e Y2 são linearmente indepen dentes. Agora, devemos mostrar que, se YI e Y2 são soluções linearmente independentes para um a equação diferencial linear homogênea de segu nd a ordem, então W(y1, Y2) # O para todo x em /. Para ver isso, vamos supor que YI e Y2 sejam linearmente independentes e que exista um ponto xo em I para o qual W(y 1(xo). Y2(xo)) = O. Logo, existem c 1 e c2, não nulas, tais que

Se definirmos

c1Y1(xo) + c2Y2(xo)

c 1YÍ (xo) + c2Yi (xo)

(6)

y(x) = c1Y1(x) + C2Y2(x),

então, em vista de (6), y(x) satisfaz também y(xo) =

y'(xo) = O.

(7)

Mas a função identicamente nula satisfaz a eq uação diferencial e as condições iniciais (7). Portanto, pelo Teorema 4. 1, ela é a única solução. Em outras palavras, y = O, ou seja,

para todo x em / . Isso contradiz a suposição de que y 1 e y 2 são linearmente independentes no intervalo . O Da discussão acima, concluímos que , quando y 1, y 2, . . , y11 são n so luções para (3) em um intervalo/, o wronskiano é identicamente nulo ou nunca se anula no intervalo.

PEFINIÇÃO 4.3

Conjunto Fundamental de Soluções

Qualquer conjunto y 1, y2, .. . , Yn de n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-és.ima ordem (3) em um intervalo l é chamado de conjunto fundamental de soluções no intervalo.

156

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

TEOREMA4.5 Sejam y 1, y 2, ... , Yn n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo !. Então, toda solução Y(x) para (3) é ,uma combinação linear das n soluções independentes y 1, y2, . ·.. , Yn• ou seja, podemos encontrar constantes C 1, C2, .. . , Cn, tais que

Demonstração Provamos o caso n = 2. Seja Y uma solução e sejam y 1, y 2 duas soluções linearmente independentes para az(x)y"

+ a,(x)y' + ao(x)y = O

em um intervalo I. Suponha que x = t seja um ponto desse intervalo para o qual W(y, (t), yz(t)) te O. Suponha também que os valores de Y(t}e Y'(t) sejam dados por Y'(t) = kz.

Y(t) = ki.

Se examinarmos agora o sistema de equações C1Y1(t) + C2Y2(t) = k1 C1YÍ (t) + C2Y:i (t) = k1.

segue-se que podemos determinar C 1 e C2 de maneira única, desde que o determinante dos coeficientes satisfaça Yt(I)

1YÍ (t)

yz(t)

YÍ (t)

11'

O .

Mas esse determinante é simplesmente o wronskiano calculado no ponto x hipótese, W te O. Definindo então a função,

e, por

observamos que: (i)

G(x) satisfaz a equação diferencial, pois ela é a superposição de duas soluções yl e y2.

(ii)

G(x) satisfaz as condições iniciais G(t) = C 1y 1(t) + C2Y2(t) = k, G'(t)

(iii)

= C1YÍ (t)

C2Yí (t)

= kz .

Y(x) .satisfaz a mesma equação linear e as mesmas condições iniciais.

Volume 1

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

157

Como a solução para esse problema linear de valor inicial é única (Teorema 4.1 ), temos Y(x) = G(x), ou

D A questão básica de existência de um conjunto fundamental para uma equação linear é respondida no próximo teorema. T EOREMA 4.6

Existência de um Conjunto Fundamental

Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo/. A prova deste resultado segue-se do Teorema 4.1 . A justificativa do Teorema 4.6 no caso especial de equações de segunda ordem é derivada como exercício. Como mostramos que qualquer solução para (3) é obtida por uma combinação linear de funções em um conjunto fundamental de soluções, podemos dar a seguinte definição. DEFINIÇÃO 4.4 Solução Geral ~ Equações Homogêneas Sejam y 1, y2, . .. , y 11 n sol uções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo /. A solução geral para a equação no intervalo é definidayor

y = C1Y1(x) + C2)'2(x) + ... + CnJn(X), em que os e;, i

= 1,

2, ... , n são constantes arbitrárias.

Lembre-se de que a solução geral, como definida na Seção 1.1, é também chamada de solução completa para a equação diferencial.

------------------ -- E X EM P LO

----

---

A equação de segunda ordem y" - 9y = O possui duas soluções YI = e3x Como

W(e3x, e-

3x) =

e Y2 = e-

1 1

e3x

3e3x

3x.

e-3x 1 - 3e-

1 1

-6 te.

para todo valor de x, y 1 e Y2 formam um conjunto fundamental de soluções em (- oo, oo). A solução geral para a equação diferencial no intervalo é

•

158

Equações Diferenciais

E X EM P LO

Cap. 4

Volume I

Você deve verificar que a função y = 4 senh 3x - 5e - 3x também sat isfaz a equ ação diferencia l do Exemplo 21. Escol hendo c 1 = 2, c2 = - 7 na so lu ção gera l y = c 1e 3x + c2e - 3x, obtemos

y = 2e3x - 7e - 3x = 2e3x - 2e - 3x - se - 3x = 4(

e3x_e-3x) - se - 3x 2

•

= 4 senh 3x - se - 3x.

--------E X EM P LO

As fun ções YI = ex, Y2 = e 2 r e y3 = e 3x satisfazem a equação de terceira ordem

d 3y d 2y dv - 6+ 11 3 dx dx 2 dx

=- -

Co mo

W(ex, e2r, e3x) =

6y = O.

e2r

e3x

2e2r

3e3x

4e2r

9e 3x

2e6x cF. O

para todo valor real de x, YI> Y2 e y3 formam um conjunto fundamental de soluções em (- oo, =). Concluímos que

é a so lução gera l para a equação di fere ncia l no intervalo.

•

Equações Não-homogêneas Vo ltamos agora nossa ate nção para a definição de so lução geral para um a equação linear

não-homogênea. Qualquer função Yp· independente de parâmetros, que sati sfaça (4) é chamada de solução particular para a equação (algumas vezes é chamada de integral particular).

E X EM P LO

(a) Uma solução particular para y"

+ 9y

= 27

Volum e I

é Yr

Cap. 4

= 3 pois y;' = O e O+

9yP

Equações diferenciais linea res de ordem superior

159

= 9(3) = 27.

(b) Yp = x- x é uma solução particular para

x 2 y" + 2xy' - Sy

4x 3 + 6x

. Yp' = 3x 2 - l , Yp" = 6x, e pois

x2y1; ' + 2ry1;

Syp = x 2<6x) + 2x(3x2 - 1) -8

(x3 -

x) = 4x3 + 6x .

•

TEOREMA4.7 Sejam y 1, Y2· ... , Yn soluções para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo I e seja Yp qualquer solução para a equação não-homogênea (4) no mesmo intervalo. Então,

y = C1Y1(x)

C2Y2(x) + ... + Ck:Yk(x)

+ Yp(x)

é também uma solução para a equação não-homogênea no intervalo para quaisquer constantes c1. c2, . . . , ck.

Podemos agora provar o análogo do Teorema 4.5 para as equações diferenciais nãohomogêneas .

TEOREMA4.8 Seja Yp uma dada solução para a equação diferencial linear não-homogênea de n-ésima ordem (4) em um intervalo I e sejam {Yi. y 2 , ... , Yn} um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada (3) no intervalo. Então, para qualquer solução Y(x) de (4) em /, podemos encontrar constantes C" C2, . .. , e. tais que

Demonstração

Provamos o caso n = 2. Suponha que Y e Yr sejam ambas soluções

para a2(x)y "

a1(x)y'

ao(x)y = g(x).

Se definirmos uma função u por u(x) = Y(x) - Yp(x), então a2(x)u" + a1(x)u' + ao(x)u

= a2(x)[Y" -

y;'J +

a1(x)[Y' -

y;J +

ao(x)[Y -

Yrl

= a2(x)Y" + a1(x)Y' + ao(x)Y- [a2(x)y/' + a1(x)y/ + ao(x)yp] = g(x) - g(x) = O.

160

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

Portanto, em vista da Definição 4.4 e do Teorema 4.5 , podemos escrev

Y(x) - Yp(x) = C1Y1(x) + C2Y2(x)

Y(x) = C 1Y1(x) + C2Y2(x) + Yp(x).

Logo, chegamos à última definição desta seção.

DEFINIÇÃO 4.5

Solução Geral - Equações Não-homogêneas

Seja Yp uma dada solução para-a equáção diferencial linear não-homogênea de ·n-ésima ordem (4) em um intervalo l e seja

+ C2Y2(x) + ··· + CnYn(x)

Yc = C1Y1(x)

a solução geral para a equação homogênea associada (3) no intervalo. A solução geral para a equàção não-homogênea no intervalo é definida por

y = CJY1(x) + C2Y2(x) + ... + CnY,,(x) + Yp(x) = yc(x)

+ Yp(x).

Função Complementar

Na Definição 4.5, a combinação linear Yc(x) = C1Y1(x)

+ C2Y2(x) + ... + CnYn(x),

que é a solução geral para (3), é chamada de função complementar para a equação (4). Em outras palavras, a solução geral para uma equação diferencial linear não-homogênea é · y = função complementar + qualquer solução particular.

E X EM P LO

Por substituição~ ve~ificamos ~acilmente que a função Yp = lar para a equaçao nao-homogenea d 2v

d 3v =._L_

dx3

6 =._L_ + li ~ - 6y = 3x dx2 dx .

~ x é uma solução particu(8)

Para escrever a solução geral para (8), devemos também ser capazes de resolver a equação homogênea associada <f.3v d 2v .L_L3 - 6 =._L_2

+ 11

dv =dx

6y =

\folume 1

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem supe rior

161

Mas no Exemp lo 23 vimos que a so lução geral para essa última equação no intervalo (- oo, oo) era

Portanto , a so lução gera l para (8) no intervalo é li 12 -

•

2 x.

Outro Princípio de Superposição O últim o teorema dessa discussão será útil na Seção 4.4, quando considerarmos um método para encontrar soluções particul ares para equações não-homogêneas.

TEOREMA 4.9

Princípio de Superposição - Equações Não-homogêneas

Sejam Ypl> Yp 2, ... , Ypk k soluções particulares para a equação diferencial linear de n-ésima ordem (4) em um intervalo/, correspondendo a k funções distintas g " g 2, ... , gk. Isto é, suponha que Ypi seja uma solução particular para a equação diferencial correspondente

em que i '5 l , 2, ... , k. Então, Yp = Yp1(x}

+ Yp2(x) + ... +

Ypk(x)

é uma solução particular para an(x)y(n) + ªn - 1(x)y<11

•'

= g1(x)

g1(x)

- l) + ... + a1(x)y' + ao(x)y + ... + gk(x).

Deixamos a prova desse resultado q uando k = 2 como exercício. Veja o Problema 50.

E X EM P LO

Você deve verificar que Yrl

= -4x 2

é uma solução particular para

3y'

+ 4y

Yp2

= e2x

é uma solução particular para

3y'

+ 4y

= 2e2x

Yp3 = xex

é uma sol ução particular para

3y'

+ 4y

= 2xex

16x 2

Segue-se do Teorema 4.9 que a superpos ição de Ypl• Yp2 e Yp3•

+ 24x - 8

162

Equações Diferenciais

Cap. 4

Y = Ypl

Volume l

Yp2

Yp3 =

-4x 2 + e2.x + xex,

é uma solução para y" - 3y' + 4y

= - l6x 2 '

+ 24x - 8 + 2e2x + 2xex - ex

-------

g1(x)

,,_____.,

•

gJ(x)

Antes de realmente começarmos a resolver equações diferenciais homogêneas e nãohomogêneas, precisamos ainda da teoria ad icional apresentada na próxima seção. Nota Um sistema físico que varia com o tempo e cujo modelo matemático é uma equação diferencial linear a11 (t)y< 11 > + a11

1(1)y< 11

+ ... + a1(t)y'

+ao(t)y = g(t)

é chamado de sistema linear. Os valores das variáveis y(t), y'(t), ... , y< 11 - 1l(1) em um tempo específico to descrevem o estado do sistema. A fun ção g é chamada de função aplicada, função de força ou função de excitação. Uma solução y(t) para a equação diferencial é chamada de saída ou resposta do sistema. A dependência da resposta à função ap licada é ilustrada na Fi gura 4.5.

função aplicada

sistema

saída ou resposta

Figura 4.5

Para que um 's istema físico seja um sistema linear, é necessário que o princípio de superposição (Teorema 4.9) seja válido no sistema; isto é, a resposta do sistema a uma superposição de ap licações é uma superposição de respostas.

4. 1

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecio nados estão nas páginas 448 a 450. (4.1.l]

Sabe-sequey

= c1ex +

c2e -x

é uma fanu1ia a dois parâmetros de soluções para y" - y = O no intervalo (- ~. membro dessa farru1ia satisfazendo as condições iniciais y(O) = O, y'(O) = 1.

~) .

Encontre um

Vo lume 1

Cap. 4

Equações dife renciais lin ea res de ordem superio r

163

2. Encontre uma so lução para a eq uação d ifere ncia l do Pro bl ema 1 sati sfazendo as condi ções de conto rno y(O) = O, y( l ) = 1. 3. Sabe-se que y = c 1eü + c2e - x

é uma fa míli a a do is pa râ metros de so lu ções pa ra y" - 3y' - 4y = O no inter va lo (- oo, oo). Enco ntre um membro dessa fa míli a q ue sati sfaça as co nd ições ini cia is y(O) y = e1

4. Sabe-se que

cos x +

l . y'(O) = 2.

sen x

é uma famíli a a três parâmetros de so luções para y"' + y' = O no interva lo (- oo, oo). Encontre um membro dessa fa míli a q ue sa ti sfaça as co ndições ini c iai s y(n ) = O. y' (n ) = 2, y" (n) = - l .

y = c 1x + c:ix ln x

S. Sabe-se que

é uma famíli a a do is parâmetros de so luções para x 2y" - xy' + y = O no intervalo (-oo, oo). Encontre um memb ro dessa famíli a que sati sfaça as co ndições in ic iais y( l ) 3, y'( l ) = - l.

6. Sabe-se que

)' =

C2X 2

é uma fa míli a a dois parâmetros de so luções para xy" - y' = O no intervalo (- oo, oo ). Mostre que não ex istem constantes c 1 e c2 para q ue um membro dessa fa míl ia saü sfaça as cond ições ini cia is y(O) = O, y'(O) = l . Ex pliq ue po r que isso não constituí uma vio lação do Teorema 4. 1.

7. Encontre do is membros da fa mília de sol uções para xy" - y'= O dada no Problema 6, que sati sfaçam as condições inic iais y(O) = O, y'(O) = O.

= Odada no Problema 6, que sati sfaça as condições de contorno y(O) = l , y'( l ) = 6. O Teorema 4 . l garante q ue esta so lução é única?

8. Encontre um me mbro da fa mília de so luções para xy" - y'

9. Sabe-se qu e é uma famfli a a do is parâmetros de so luções para y" - 2y' + 2y = O no intervalo (- oo, oo). Encontre, se ex istir, um me mbro dessa famíl ia que sati sfaça as condi ções (a) y(O) = l ,

y' (O ) = O

(b ) y(O) = l , y(n ) = - l

(e) y( O) = l ,

y( n /2) = l

(d ) y(O)

= O,

y(n ) = O.

)' = CtXZ + C2X~ + 3

1O. Sabe-se qu e

+ 8y = 24 no int erva lo (- oo, oo) . Enco ntre , se ex istir, um me mbro dess a fa míli a qu e saü sfaça as co ndi ções

é uma famíli a a do is parâmetros de so luções para x 2y" - 5xy'

(a) y(- 1) = O,

y( l ) = 4

y( l )

(b) y(O) = l , y( l )= 2

(d ) y(O) = 3,

Nos Probl e mas l l e 12, encontre um interva lo em torno de x tenha uma única solução . 11. (x - 2)y"

+ 3y = x ;

12. y" + (tg x )y

= e';

y(O) = O, y'(O) = 1 y(O)

= 1,

y'(O) =

y(2) = IS.

= O no qual o proble ma de valo r ini cial dado

Volume I

Cap. 4

Equações Diferenciais

164

13. Sabe-se que y = c1 cos Àx + c2 sen Àx é uma família de soluções para a equação diferencial y" + À.2y = O. Determine os valores de parâmetro À para os quais o problema de valor de contorno y" + À2y =O,

y(O) = O,

y(7t)

= O,

possua soluções não triviais. 14. Determine os valores do parâmetro À para os quais o problema de valor de contorno

y(O) = O,

y(5) = O,

possua soluções não triviais. Veja o Problema 13.

(4.1.2] Nos Problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em (-~. ~) .

15. f1(x)

= X,

f2(x)

16. J i(x)

= O,

17. f1(x) = 5,

= x 2,

f3(x)

= 4x

f2(x) =X,

f3(x)

f2(x) = cos2 ,

f3(x)

= sen2x

f3(x)

= cos2 x

18. fi(x)

= cos 2x,

f2(x)

19. f1(x)

= x,

f2(x) = X - l ,

20. f1(x) = 2 + X, 21. f1(x)

= 1 + X,

22. f1(~) = ex,

Jz(x)

=2 +

ÍJ(X) =X

lxl,

fz(x) =X, Jz(x) = e

- 3x 2

-x

f3(x)

= x2

f3(x)

= senh x

Nos Problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.

24. [ +X, x 3 ; (-~, ~) 25. senx, coscx; (O, 7t)

26. tgx, cotgx; (O, 7t/2) 28. x, x ln x, x 2 ln x; (0, ~)

29. Observe que, para as funçõesf1(x)

=2 1

Isso implica que as funções X

= O?

f 1 e fz

e f2(x)

!1 (O)

- 2

(b) Mostre que W (f1 (x),

fz(O) = O.

são linearmente dependentes em qualquer intervalo contendo

= xlxt são linearmente independentes em (- ~. = O para todo número real.

30. (a) Mostre graficamente que J1(x) = x 2 e fz(x) (x))

= ex,

~).

Vo/11111e 1

Cap. 4

Eq11ações diferenciais linea res de o rdem rnperior

165

[4.1.3) 31. (a) Verifique que y valo (O,=).

= l /x é uma solu ção para a equação difere nci al não- linear y" = 2y 3 no inter-

(b ) Mostre que um múltiplo y = e/ x não é uma solução para a equação quando e # O,± 1.

32. (a) Ve rifiqu e qu e y 1 = l e y 2 = ln x são so lu ções para a eq uação diferencial não- lin ear y" + (y') 2 = O no interval o (O,=).

+ y 2 é uma so lução para a equação? c 1y 1 + Ci)'z, c 1 e c 2 constantes arbitrárias, é uma so lução para a equação?

(b) y 1

Nos Problemas 33-40, verifique que as funções dadas fo rmam um conjunto fundamental de solu ções para a equação diferencial no interval o indi cado. Forme a solução geral.

33. y" - y' - l2y = O; e- Jx, e 4", (- =, =) 34. y" - 4y = O; cosh 2r, senh 2x, (- =, =)

35. y " - 2y' + 5y = O; e" cos 2x, e" sen 2x, (- =, =) 36. 4y" - 4y' + y

= O;

e"12, xe"12 , (- =, =)

37. x 2y" - 6xy' + l2y = O; x 3, x 4 , (0, =)

38. x 2y" + xy' + y

= O;

cos(ln x), sen(ln x) , (O, =)

39. x 3y"' + 6x 2y" + 4xy' - 4y = O; x , x- 2 x - 2 ln x, (0, =)

40.

y<4 l +

y" =O; l , x, cosx, sen x, (-=, =)

Nos Problemas 41-44, verifique que a dada fanulia a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não-homogênea no intervalo indicado.

41. y" - 1y' + lOy = 24e" y

= cie2x +

c2e 5"

6e". (- =, = )

42. y" - y = sec x y = c 1 cosx + czsen x + x sen x + (cosx) ln(cosx), (-n/2, n / 2)

43. y" - 4y' + 4y y

= cie 2 '

= 2e2x

44. 2x 2y" + 5xy' + y

)' = CJX

+ 4x - 12

+ cixe2x + x 2e 2' + x - 2, (- =, = )

-112

C2X

= x2 - 1

- x

l 2 + lS X

6l X,

45. (a) Ver ifique que y 1 = x 3 e y2 = lxl 3 são linearmente independentes da equação diferencial x 2y" - 4xy' + 6y ,= O em (- =, =).

166

Equações Dife rencia is

Ca p. 4

Volume 1

(b) Mostre q ue W(y 1, y 2 ) = O para todo número real. (e)

O res ultado da parte (b) viola o Teore ma 4.4?

(d) Verifiqu e qu e Y1 = x 3 e Y2 = x 2 são também so luções lin earmente independentes para a equ ação diferencia l no interva lo (- oo, oo). (e) Encontre uma solu ção para a equação que sati sfaça y(O) = O, y'(O) = O. (f)

Pelo princípi o da superpos ição a mbas as co mbinações lineares

são so luções para a equação di fe rencial. Qual delas é a so lução geral para a equação d iferencial em (- oo, oo)? 46. Considere a equação diferencia l de segund a ordem (9)

em que a 2(x), a 1(x) e a0(x) são contínuas e m um intervalo 1 e a 2(x ) ot- O para todo x no interva lo. Pelo Teorema 4. 1, ex iste so mente uma solução y 1 para a equação que sati sfaça y(xo) = l e y'(x0 ) = O, em que x 0 é um ponto de / . Da mes ma fonna, ex iste uma única solução y 2 para a equação que satisfaça y(x0 ) = O e y'(x0 ) = l. Mostre que y 1 e y 2 fo rm am um conjunto fundamental de so luções para a equação diferencia l no intervalo /. 47. Sej am y 1 e y2 duas soluções para (9). (a) Se W(yi. y 2 ) é o Wronski ano de y 1 e y 2, mostre que

(b) Dedu za a fórmula de Abel *

em que e é uma constante.

Niels Henrik Abel (1802-1829) Abel foi um bálhante matemático norueguês cuja morte trágica aos 26 anos, devida à tubercul9se, representou uma perda inestimável para a matemática. Seu grande feito ioi a solução para um problema que confundiu os matemáticos por séculos: ele mos.Irou que uma equação polinomial geral para quinta ordem não pode ser resolvida algebricamente -isto é, em .:!~nno~ '!:e. r3?icais. Çon~rânC? de ,t\pel; o~ Eyarl,ste . Galo~, ~ntãg provou que .eçi impossível reso.lver quâlquer equação geral para grau maíoc que q~o algebricamente. Galois é outra figura trágica na história da matemática; ativista P.<>Ütico, foj morto em um duelo aos 22 anos deidade.

(e)

Equações diferenciais lineares de ordem superio r

Cap. 4

Volume 1

167

Usando uma forma allernativa da fórmula de Abel

-r

= ce

la,(t)la,(r)ldr

'º

para x 0 e m / , mostre que

(d) Mostre que, se W(x0 ) = O, então W = O para todo x em / , e nquanto, se W(x0) ct O, e ntão W ct O para todo x no intervalo. Nos Problemas 48 e 49, use os resultados do Problema 47. 48. Se)'! e

)'2

são duas soluções para {l - x 2 )y" - 2xy' +

em (- 1, 1), mostre que W(y1 , )'2)

= c/( l

11(11

+ l)y

x\ em que eé uma constante.

49. No Capítulo 6, veremos que as soluções y 1 e y2 para xy" + y' + xy = O, O < x < infinitas. Suponha que considerei.nos as condições iniciais

Y1(xo)

= k1 ,

YÍ (xo)

= k2

Y2(XQ)

= k3,

YÍ (xo)

= k4

são séries

para x0 > O. Mostre que

50. Suponha que um modelo matemático de um sistema linear seja dado por

d d2 a 2(1) ~ + a 1(t) ~d + ao(t) y = E(t)

Se y 1 é uma resposta do sistema a uma aplicação E 1(1) e y 2 é uma resposta do mesmo sistema a uma aplicação E2(1), mostre que, y 1 + y 2 é uma resposta do sistema à aplicação E 1(t) + E2(t).

4.2

CONSTRULNDO UMA SEGUNDA SOLUÇÃO A PARTIR DE UMA SOLUÇÃO CONHECIDA

Redução de Ordem Um dos fatos mais interessantes e importantes no estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem é que podemos construir uma segunda solução a partir de uma solução conhecida. Suponha que y 1(x) seja uma solução não trivial para a equação

168

Cap. 4

Equações Diferenciais

a2(x)y"

Volume 1

a1(x)y'

ao(x)y =

(1)

Supomos, como fizemos na seção precedente, que os coeficientes em (1) são contínuos e a 2(x) 7' O para todo x em um intervalo !. O processo que usaremos para encontrar uma segunda solução y 2 (x) consiste em reduzir a ordem da equação ( 1), transformando-a em uma equação de primeira ordem. Por exemplo, verifica-se facilmente que Yl = ex satisfaz a equação diferencial y" - y = O. Se tentarmos determinar uma solução da forma y = u(x)ex então

y" - y

assim

Como ex 7' O, esta última equação implica que u" + 2u' = O. Se fizermos w = u', então a equação acima será uma equação linear de primeira O. Usando o fator de integração e2x, podemos escrever, ordem em w, w' + 2w

Logo, CJ

assim,

y = u(x)ex = -2e

-X

c2e

Escolhendo c2 = O e c 1 = - 2, obtemos a segunda solução Y2 = e-x. Como W(e X, e-x) 7' O para todo x, as soluções são linearmente independentes em (- oo, oo), portanto a expressão para y é de fato a solução geral para a equação dada.

EXEMPLO

Sabendo-se que y 1 = x 3 é uma solução para x 2y" - 6y trar uma segunda solução no intervalo (O, oo).

Solução Defina y = u(x)x 3 em que

O, use redução de ordem para encon-

Volume 1

Cap. 4

Equações diferenciais lin eares de ordem superior

169

desde qu e u(x) seja uma solução para x 5 u" + 6x 4 u' =O ou u"

Se w

+~u' X

=O.

= u', obtemos uma equação linear de primeira ordem w' +

~w X

=O ,

a qual poss ui o fator de integração e 6 f dxlx = e 61 " x = x 6 . Agora,

!!:_ [x 6 w) dx

implica x 6w

= e,.

' e,

w = u = -

Portanto,

Y = u(x)x 3 = _ __:_i_ + Sx 2

C?x 3.

•

Escolhendo c2 = O e c 1 = - 5, obtemos a segunda solução Y2 = l/x 2.

Caso Geral Dividindo a equação (1) por az(x), esta toma a forma padrão y" + P(x)y' + Q(x)y = O,

(2)

em que P(x ) e Q(x) são contínuas em algum intervalo!. Vamos supor ainda que y 1(x) seja uma solução conhecida para (2) em l e que y 1(x) e# O para todo x no intervalo. Se definirmos y = u(x)y 1(x ), segue-se que y' = uy í + y 1u' y" = uy í' + 2yí u' + y,u" y " + Py' + Qy

= u[yí'

+ Pyí + Qyi] + y,u" + (2yí + Pyi)u'

= O.

Isso implica que devemos ter Yiu" + (2yí + Py1)u'

= O

Y1w' + (2yí + Pyi)w = O,

(3)

170

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

em que sub st ituímos w = u '. Observe q ue a equação (3) é linea r e se parável. Apli cando esta última técni ca, obtemos

dw YÍ -+2-dx+Pdx= O YI

lnlwl+ 21nly1I= lnlwyil= -

Pdx + e

J Pdx + e e- J Pdx

w = u'

e-f Integrando novamente

P d.x

--2- dx + C2,

e,- - - .

e portanto

-JP(x)dx

Escolhendo

= Oe c 1

u(x)y,(x) = C1Y 1(x)

J e y 21(x)

dx+ C2J1(x) .

1, concluímos que uma segunda so lução para a equação (2) é

= Yi(x)

e- J P(x)d.x 2

Yi(x)

(4)

dx .

É um bom exercício de derivação começar com a fórmula (4) e verificar que a equação (2) é satisfeita. Agora, Y i(x) e Y2(x) são linearmente independentes, pois

-f f _e_

Pd.x

2-dx

W(yi(x), Y2(x)) =

e- J Pdx YÍ - - - + YÍ YI

e- f Pdx

e- J P dx dx

é diferente de zero em qualquer intervalo em que y 1(x) seja diferente de zero.*

Uma maneira alternativa é: se Y2 = u(x)y 1, então W(y1 , Y2) = u'(yi)2 1' O, pois, y1 1' O para todo = O, então u' =constante.

x em algum intervalo. Seu'

Volume I

EXEMPLO

Cap. 4

Equações diferen ciais lineares de ordem superior

17 1

A função Y 1 = x 2 é uma solução para x 2y" - 3xy' + 4y = O. Encontre a solução geral no intervalo (0, 00 ). Solução

Como a equação pode ser escrita na forma alternativa

3 y ' +?y= 4 y " - -x

Y2 = x 2

obtemos de (4)

= x2 A solu ção gera l em (0,

00 )

é dada por y =

y =

EXEMPLO

J dxlx

~ e''tM. = e1n..-' = x1 \

J _e_x4_ dx J dx = x 2 ln x. X

C1)'1 C 1X 2

+ +

Cl)'z ;

isto é,

•

czx 2 ln X.

-rx

_ ? ,, , 2 1 Pode ser ven.f.1ca do que y 1 = sen x e, uma so 1uçao para x-y + xy + (x - 4 )y = O em (O, 7t). Encontre uma segunda solução. x

Solução

Primeiro, ponha a equação na forma y"

= ;- y' + ( 1 -

4~2 }

= O.

Então, de (4) temos ~

J cosec2x

se:Jxx

sen x cos x ,,[; (-cotgx) = - ,,[; ·

e- f<bh = e,,,,_, = x -11

Como a equação diferencial é homogênea, podemos desconsiderar o sinal negativo e obter a • segunda solução Y2 = (cos x)/,,f;_

172

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume l

Observe que y 1(x) e Y2(x) no Exemplo 3 são soluções linearmente independentes da equação diferencial dada no intervalo maior (O, oo).

Observação Deduzimos e ilustramos como usar (4) porque você verá essa fórmu la novamente na Seção 6.1. Usamos (4) simplesmente para economizar tempo na obtenção do resultado desejado. Seu professor irá dizer-lhe se você deve memorizar (4) ou se deve saber os primeiros princípios de redução de ordem.

4.2 EXERCÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados estão na página 450. Nos Problemas l-30 , encontre uma segunda solução para cada equação diferen cial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) co mo ensinada. Suponha um intervalo apropriado. l. y"

+ 5y' = O; y1 =

3. y" - 4y' + 4y

= O;

2. y" - y' YI =e 2x

= O;

4. y" + 2/ + y = O;

YI = xe

5. y" + 16y = O; y1 = cos 4x

6. y" + 9y = O; y1 = sen 3x

7. y" - y = O; y1 = coshx

8. y" - 25y = 0; YI = e 5' 10. 6y" + y' - y

9. 9y" - 12y ' + 4y = O; y1 = e 2 </ 3

= O;

-X

y1 - e'13

11. x 2y" - 7xy' + 16y = O; Y I = x 4

12. x 2y" + 2xy' - 6y = 0;

13. xy" + y' =O; y1 = ln x

14. 4x 2y" + y = O; x 112 lnx

15. (1-2x-x 2 )y"+2(l+x)y'-2y=O;y1=x+l

16. ( l -x 2 )y"-2xy'=O; y1 = 1

17. x 2y" - xy' + 2y = O; y 1 = xsen(ln x)

18. x 2y" - 3xy' + 5y =O; y1 = x 2 cos(ln x)

19. (1 + 2x)y" + 4xy' - 4y = O; y1 =

20. (l + x)y" + xy' - y

e - 2x

YI =

= O;

21. x 2y" - xy' + y = O; y1 = x

22. x 2y" - 20y = 0; YI = x- 4

23. x 2y" - 5xy' + 9y = O; y1 = x 3 ln x

24. x 2y" + xy' + y = O; y1 = cos(ln x)

25. x 2y" - 4xy' + 6y = O; YI = x 2 + x 3

26. x 2y" - 7xy' - 20y = 0;

27. (3x + l)y" - (9x + 6)y' + 9y = O; 29. y" - 3(tg x)y' = O; y1 = l

= e 3"

28. xy" - (x + l )y' + y = O;

= x 10 YI

30. xy" - (2 + x)y' = O; YI = l

Nos Problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y 1(x) é uma solução para a equação homogênea associada. Determine uma segunda solução para a equação homogênea e uma solução particular da equação não-homogênea.

Volume l

31. y" - 4y

= 2;

33. y" - 3y' + 2y

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

= e -2.x

= 5e 3';

173

32. y" + y' = I; YI = I

y 1 = e-'

34. y" - 4y' + 3y = x; y1 = ex

35. Verifique por substituição direta que a fórmula (4) satisfaz a equação (2).

4.3

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES

Vimos que a equação linear de primeira ordem dy/ dx + ay = O, em que a é uma constante, possui a sol ução exponencial y = c 1e-ax em (-oo, oo). Portanto, é natural procurar determinar se soluções exponenciais existem em (- oo, "") para equações de ordem maior como ªnY(n) + ªn -

1/11

+ ... + ª'lY" + ª1Y' + ªoY = O,

(1)

em que os a;, i = O, l, .. ., n são constantes. O fato surpreendente é que todas as soluções para ( J) são funções exponenciais ou construídas a partir de funções exponenciais. Começamos considerando o caso especial da equação de segunda ordem ay" + by' + cy = O.

(2)

Equação Auxiliar Se tentarmos uma solução da forma y (2) torna-se am 2 emx + bmemx

= enu, então y ' = me"zx e y" = m 2e'nx; assim a equação

+ cenu

= O ou emx(am 2

+ bm + e)

= O.

Como e 11ix nunca se anu la para valores reais de x, então a única maneira de fazer essa função exponencial satisfazer a equação diferencial é escolher m de tal forma que ele seja raiz da equação quadrática

am 2 + bm +e= O

(3)

Essa última equação é chamada de equação auxiliar ou equação característica da equação diferencial (2). Consideramos três casos, a saber: as soluções para a equação auxiliar correspondem a raízes reais distintas, raízes reais iguais e raízes complexas conjugadas. CASO 1 Raízes Reais Distintas Com a hipótese de que a equação auxiliar (3) possui duas raízes reais distintas m 1 e m2, encontramos duas soluções

Vimos que essas funções são linearmente independentes em (- oo, oo) (veja Exemplo 13, Seção 1.4) e portanto formam um conjunto fundamental. Segue-se que a solução geral para (2) nesse intervalo é

174

Equações Dife renciais

Cap. 4

Vo lume l

(4)

CASO li

Raízes Reais Iguais Qua ndo m 1 = m 2, o bte m os some nte uma sol ução ex po ne nc ia l y 1 = emix. Po ré m , seg ue-se ime di a ta me nte d a d is cuss ão d a Seção 4.2 que uma seg unda so lu ção é -

Y2 - e

m1x

-(bla~t

(5)

-::z;n;x e i d.x ·

M as, d a fo rma qua drá ti ca, te m os que m 1 = - b/2a, po is a única m a ne ira de ler = m2 é te r b 2 4ac = O. Em v is ta do fato de que 2m 1 = - bla, (5 ) to rn a-se

A so lu ção gera l para (2) é e ntão

(6) CASO Ili

Raízes Complexas Conjugadas po de m os escrever m 1 =a

+ i/3

Se m 1 e m 2 são co mpl exas, e ntão

e m2 =a -

if3,

e m que a e f3 > O são re ai s e i 2 = - 1. Form a lme nte, nã o há dife re nça e ntre este caso e o Caso 1, e m que

Po ré m , na prati ca, prefe rimo s traba lha r c o m funções reai s em ve z de ex po nenc iais compl e xas . Para este fim , usa mo s a fó rmula de Euler:*

e;e = cos e + i sen e,

Leonhard Euler (1707-1783) Um homem com uma memória prodigiosa e um poder de concentração fenomenal , Euler teve interesses universais; foi teólogo, físico, astrônomo, lingüista, psicólogo, conhecedor dos clássicos e, principalmente matemático. Euler foi considerado um verdadeiro gênio do século. Em matemática, fez contribuições permanentes para a álgebra, trigonometria, geometria analítica, cálculo, cálculo das variações, equações diferenciais, variável complexa, teoria dos números e topologia. Sua produção matemática parece não ter sido afetada pelos 13 filhos ou pela cegueira que o acometeu em seus 17 últimos anos de vida. Euler escreveu mais de 700 trabalhos e 32 livros sobre matemática e foi responsável pela introdução de muitos símbolos (tais como e, 7t e i = H) e notações que ainda são usadas (como/V;), E, sen x ecos x). Euler nasceu em Basiléia, Suíça, em 15 de abril de 1707 e morreu de derrame cei:ebral em São . Petersburgo em 18 de setembro de·1783, quanpo trabalhava na corti: ct;i. imperatriz russa Catarina, .ª .. . .., . Grande. Veja o Apêndice N para obter uma revisão sob;e ll\ÍffillíOS com~lexos e uma dedução da fórmula dé Euler.

Volume l

e m que

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

175

e é qualquer número rea l. Segue-se desta fórmula que eif3x

= cosf3x +

= cosf3x

i senf3x e e- if3x

- i sen{Jx,

(7)

em que usamos cos (-{3x) = cosf3x e sen (-{3x) = - sen{Jx. Note que somando e depois subtraindo as duas equações em (7), obtemos , respectivamente, eif3x

+ e- if3x

= 2cos{3x

e eif3x - e- if3x

= 2isen{3x.

Como y = C 1e(a +if3~r + C2e(a - ; 13~, é uma so lução para (2) para qualquer escolha das cons tantes C1 e C2, fazendo C1 = C2 = l e C1 = l, C2 = - 1, temos , nesta ordem, duas so luções: YI =e<ª + if3~< +e <ª - i f3~< e Y2 =e<ª + if3M - e<ª - if3i r_

Mas,

Yi = eª x(eif3x + e- if3x) = 2eªx cos {3x

Y2 = eª x(eif3x - e- if3x) = 2ieª x sen{Jx.

Portanto, pelo Corolário (A) e o Teorema 4 .3, os dois últimos resultado s mostram que as funções érx cosf3x e eª x sen{3x são soluções para (2). Ai nd a, do Exemplo 14 da Seção 4.1, temos que W(eªx cosf3x, eª x sen{3x), = {3e 2ax 7:- O, f3 > O, e daí podemos concl uir que as duas funções formam um conj unto fundamental de soluções para a equação diferencial em (- oo, oo). Pelo princípio de superposição, a solução geral é

(8) EXEMPLO

Resolva as seguintes equações diferenciais

(a) 2y" - Sy' - 3y = O (b) y" - lOy' - 25y = O (e) y"

+ y' + y

Solução

(a)

= O

2m 2 - 5m - 3

= (2m

+ l )(m - 3)

= -±•

(b) m2 -

lOm + 25

= (m

- 5) 2

=O m1

= m2 = S

176

Cap. 4

Equações Diferenciais

Volume 1

(e) m 2 + m + 1 = O

• EXEMPLO

Resolva o problema de valor inicial y" - 4y'

+ 13y =O,

y(O) = - 1,

y'(O) = 2.

Solução As raízes da equação auxiliar m 2 - 4m + 13 = O são m 1 = 2 + 3i e m2 = 2 - 3i. Logo, y

= e2x(c 1 cos 3x +

c2 sen 3x).

A condição y(O) = - 1 implica e 0(c1

- l =

cos O + c2 sen O) =

CJ,

assim podemos escrever

y =

e2x(- cos 3x

+ c2 sen 3x).

Derivando essa última expressão e usando y'(O) = 2, obtemos

y' =

e2x(3

sen 3x + 3c2 cos 3x) + 2e2x(- cos 3x + c2 sen 3x)

2 = 3c2 - 2 e c2 = 4/3. Portanto,

y =

EXEMPLO As duas equações

e2x ( -

cos 3x +

sen 3x}

•

3 (9)

(10) '

Volume l

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

177

são encontradas freqüentemente no estudo de matemática aplicada. Para a primeira equação diferencial, a equação auxi liar m 2 + k 2 = O tem raízes m 1 = ki e m2 = - ki. Segue-se de (8) que a solução geral para (9) é y=

c 1 coskx

sen kx.

(11)

A equação diferencial (LO) tem a equação auxiliar m 2 k. Daí, a solução geral é

O, cujas raízes são

= k e m2 = -

y = c 1ekx + c 2e- kx. Note que, se escolhermos

(12)

1/ 2 em (12), então

e kx

y =

+ e - kx

= cosh kx

é também uma solução para ( 10). Ainda, se e 1 = 1/ 2 e

c2 = -

'12, então ( 12) torna-se

ekx - e- kx

y =

= senh kx .

Como cosh kx e senh kx são linearmente independentes em qualquer intervalo do eixo x, elas form am um conjunto fundamental. Logo, uma forma alternativa para a solução geral para (LO) é (13)

•

Equações de Ordem Superior No caso geral, para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem ªnY(n)

em que os ai, i de grau n

ªn - tY(n - I)

+ ··· +

ª2.Y"

ªtY'

ªoY

= O.

(14)

O, 1, ... , n, são constantes reais, devemos resolver uma eq uação polinomial

(1 5)

Se todas as raízes de (15) são reais e distintas, então a solução geral para (14) é (16) É um pouco mais difícil resumir os análogos dos Casos II e III porque as raízes de uma equação auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer com várias combinações. Por exemplo, uma equação de grau cinco pode ter cinco raízes reais distintas, ou três raízes reais distintas e duas complexas, ou uma raiz real e quatro complexas, ou cinco raízes reais e iguais, ou cinco raízes

178

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume l

reais, mas duas delas iguais etc. Quando m 1 é uma raiz de multiplicidade k de uma equação auxiliar de grau n (isto é, k raízes são iguais a m 1), pode ser mostrado que as soluções linearmen te independentes são

e a solução geral tem de conter a combinação linear

Por último, devemos lembrar que, quando os coeficientes são reais, raízes complexas de uma equação auxiliar sempre aparecem em pares conjugados. Logo, por exemplo, uma equação polinomial cúbica pode ter no máximo duas raízes complexas.

------EXEMPLO

4 y"' + 3y" - 4y

Reso lva

Solução

Por inspeção, verificamos que m 3 + 3m 2 - 4

é raiz de m1

l. Agora, se dividirmos m 3 + 3m 2 - 4 por m - 1, encontramos m 3 + 3m 2

4 = (m - l)(m 2 + 4m + 4) = (m - l)(m + 2) 2 ,

logo, as outras raízes são m2 = m3 = - 2. A solução geral é portanto y = c iex

+ cze -

+ c:ixe-2x.

•

É claro que a maior dificuldade na resolução para equações com coeficientes constantes é encontrar as raízes das equações auxiliares de grau maior que dois. Como ilustrado no Exemplo 4, uma maneira de resolver uma equação é "adivinhar" uma raiz m 1. Se tivermos encontrado uma raiz m 1, então sabemos pelo teorema de fatoração quem - m 1 é um fator do polinômio. Dividindo o polinômio por m - m 1, obtemos a fatoração (m - m 1)Q(m). Tentamosentão encontrar as raízes do quociente Q(m). A técnica algébrica de divisão sintética é também muito útil para encontrar raízes racionais de eq uações polinomiais. Especificamente, se m 1 = pi q é uma raiz racional (p e q inteiros primos entre si) de uma equação auxi li ar

a,,m" + ... + a1m + ao =O com coeficientes inteiros, então pé um fator de ao e q é um fator de a,,. Logo, para determinar se uma equação polinomial possui raízes racionais, precisamos examinar somente as razões entre cada fator de ao e cada fator de a,,. Dessa maneira, construímos uma lista de todas as possíveis raízes racionais da equação. Testamos cada um desses números por divisão sintética. Se o resto é zero, o número m 1 testado é uma raiz da equação, assim, m - m 1 é um fator do polinômio. O próximo exemplo ilustra esse método.

Volume I

E X EMPLO

Cap. 4

179

Resolva Solução

Equações diferenciais lineares de ordem superior

3y"' + Sy" + lOy' - 4y

3m 3 + 5m 2 + lOm - 4

A equação auxiliar é

Os fatores de

-4 e a,,

3 são p:±l , ±2,±4 e

q:±l,±3,

respectivamente. Portanto, as possíveis raízes racionais da equação auxiliar são

!!_. -1 q"

l -2 2 -4 4 _ _!_ , _!_ , -~. ~. '

_±, ±. 3 3

Testando cada um desses números por divisão sintética, encontramos coefic ientes da equação auxiliar

-4

resto

Conseqüentemente, m 1 = 1/3 é uma raiz. Ainda, você deve verificar que ela é a única raiz racional. Os números 3, 6 e 12 na divisão acima são os coeficientes do quociente. Logo , a equação auxiliar pode ser escrita como

-t

)c3m 2 + 6m + 12) =O

(3m - l)(m 2 + 2m + 4) =O.

Resolvendo m2 + 2m + 4 = O pela fórmula quadrática, encontramos as raízes complexas m2

1 +

f3i e m 3 = -

f3i.

l -

Portanto, a solução geral para a equação diferencial é

• EXEMPLO

ód.x4

Resolva Solução

2Ó d.x2

=o .

A equação auxiliar

m4 + 2m 2 + 1

(m2

+ 1)2

180

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

possui raízes m1 = m3 = i e m 2 = m4 = - i. Logo, pelo Caso III, a solução é

y = C1ei x + C2e - ix + C}Xeix + C,p:e- ix. Pela fórmula de Euler, C1eix + C2e - ix pode ser reescrito como

e 1 cos x +

sen x

após uma troca de constantes. Analogamente, x(C3eix + C4 e - ix) pode ser expresso como + c4 sen x). Então, a solução geral é

x(c3 cos x

y =

cos

sen

C3 X

cos

C4X

sen

•

O Exemplo 6 ilustra um caso especial quando a equação auxiliar possui raízes complexas repetidas. No caso geral, se m 1 = a + i/3 é uma raiz complexa de multiplicidade k de uma equação auxiliar com coeficientes reais, então seu conjugado m2 = a - i/3 é também uma raiz de multiplicidade k. A partir das 2k soluções complexas

e<ª+ ifJ>x, xe<ª + ifJ><, x 2e<ª + ;pµ, ... , xk - 1e<ª + i{Jµ e<ª - if3µ, xe<ª - ifJµ, x 2e(a - if3>', .. ., xk - Je(a - ifJir concluímos, com a ajuda da fórmula de Euler, que a solução geral para a equação diferencial correspondente tem então de conter uma combinação linear das 2k soluções reais linearmente independentes

eax cosf3x, xeªx, cosf3x, x 2eax cosf3x, ... , xk - 1eª x cosf3x eax senf3x, xeax, senf3x, x 2eax senf3x, ... , xk - 1eax senf3x No Exemplo 6, temos k = 2, a = O e f3 = 1.

4. 3

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 450 e 451. Nos Problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. 1. 4y" + y' =o

2. 2y" - Sy' =O

3. y " - 36y =o

4. y " - 8y =o

5. y" + 9y =o

6. 3y" + y =o

7. y " -y - 6y =o

8. y " - 3y' + 2y =o

d2 d 9. !:..]'. + g!!l: + 16y =o dx2 dx

11. y" + 3y' - Sy = O

d2 d 10. !:..]'. - 10 !!l'. + 25y = o dx2 dx

12. y" + 4y' - y =o

Volume I

13. 12y" - 5y - 2y

14. 8y" + 2y' - )' = o

18. 2y" + 2y' + )'

20. 4y'" + 4y" + y' =

19. y'" - 4y" - 5y' = o 21. y"' - y =

22. y"' + 5y" =

23. y"' - 5y" + 3y' + 9y

-l

29. t:!....I. + dx 4

d.x 3

o =o

28. y"' - 6y" + l 2y' - 8y

~ =o dx 2

32.

33.

!!....x.

26. y"' + y" - 4y =

27. y"' + 3y" + 3y' + y =

24. y'" + 3y" - 4y' - l 2y =

25. y"' + y" - 2y =

o =o

16. 2y" - 3y' + 4y =

15. y" - 4y' + 5y = o

17. 3/' + 2y' + )' =

181

Equações diferenciais lineares de o rdem superio r

Cap. 4

!!....x. d.x 4

~ dx 2

- l 8y

- 16 .'d.x.!.l:: = o ó.5 d.x

Nos Problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. 37. y" + l6y =O,

y(O) = 2,

y'(O) = -2

3JI. y" + 6y' + 5y = O,

y(O) = O,

41. 2y" - 2y' + y = O,

y(O) = - 1,

43. y" + y' + 2y = O, 45. y" - 3y' + 2y = O, 47. y"' + 12y" + 36y' = 1,

y ' (O) = 3 y'(O) = O

y(O) = y'(O) = O y'(l) =

y(I) = O,

= O,

y(O)

= O,

y'(O)

38. y" - y = O, y(O) = y'(O) = 1 40. y" - 8y' + l7y =O,

42. y" - 2y' + y = O,

y(O) = 4, y'(O) = - l y(O) = 5,

44. 4y" - 4y' - 3y = O, 46. y" + y = O,

y'(O) = 10

y(O) = 1,

y(n/3) = O,

y'(O) = 5

y'(n /3) = 2

48. y"' + 2y" - 5y' - 6y = O, y(O)

y"(O) = - 7

= y'(O) = O,

y"(O) = l

49. y"' - 8y = O,

y(O) = O,

y'(O)

= - l , y"(O) = O d d2 d3 d4 51. ~ - 3~ +3 ~ - ~=O y(O) = y'(O) • dx dx2 dx3 dx4 = O,

y"(O) = y"'(O) = l

50.

= O,

y(O) = 2,

y'(O) = 3,

y"(O)

= 4, y'"(O) = 5 d4 52. ~ - y =O y(O) = y'(O) = y"(O) • dx4 =O,

y"'(O) = 1

I 82

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

Nos Problemas 53-56, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. 53. y" - IOy' + 25y= O, 55. y" + y = O,

y(O) = 1,

y'(O) = O,

y' (

54. y" + 4y = O,

y(I) =O

y(n ) = O

56. y" - y = O, y(O ) = l, y'( 1) = O

= 2

57. As raízes de urna equação auxiliar são correspondente? 58. As raízes de urna equação auxiliar são correspondente?

y (O) = O,

m1 =

m 2 = m 3 = - 5.

m1 = - ~. m2 =

Qua l é a equação diferencial

3 + i, m 3 = 3 - i . Qual é a equação auxiliar

•

Nos Problemas 59 e 60, encontre a solução geral para a equação dada, em que y 1 é urna solução conhecida. 59. y'" - 9y" + 25y' - 17y =O; YI

=e'

60. y"' + 6y" + y' - 34y =O;

YI = e- 4x cos x

Nos Problemas 61-64, determin e urna equação diferencial lin ear hornogênea com coeficientes co nstantes que tenham a solução dada. 62. 10 cos 4x, -5 sen 4x 63. 3, 2t, -

64. 8 senh 3x, 12 cosh 3x

e ?x

65. Use as identidades

para resolver a equação diferencial

d4 ~4

, dx

= y = o.

[Sugestão: Escreva a equação auxiliar m4 + 1 =0 corno (m 2 + 1)2 - 2m 2 ·=O . Veja o que acontece quando você fatora.]

4.4

COEFICIENTES INDETERMINADOS - ABORDAGEM POR SUPERPOSIÇÃO

Para o professor Nesta seção, o método dos coeficientes indeterminados é desenvolvido do ponto de vista do princípio de superposição para equações diferenciais não-homogêneas (Teorema 4.9). Na Seção 4.6, uma abordagem inteiramente diferente desse método será apresentada, utilizando o cõõceito de operadores diferenciais anuladores. Faça sua escolha.

Para obter a solução geral para uma eq uação diferencial linear não-homogênea temos que fazer duas coisas: (i)

Encontrar a fu nção complementar Yc·

Volume 1

(ii)

Cap. 4

Equações diferenciais Lineares de o rdem superior

183

Encontrar qualquer solução particular Yp da equação não-homogênea .

. Lembre-se da discussão da Seção 4. 1 de que uma solução particular é qualquer função , independente de parâmetros, que satisfaz a equação diferencial identicamente. A solução geral para uma equação não-homogênea em um intervalo é então y = y,. + Yp· Como na Seção 4.3 começamos com equações de segunda ordem, agora veremos o caso de equações não-homogêneas da forma ay" + by' + cy = g(x),

(1)

em que a, b e e são constantes. Embora o método dos coeficientes indeterminados apresentado nesta seção não se limite a equações de segunda ordem, ele se limita a equações lineares ·não-homogêneas que têm. coeficientes constantes, e em quê g(x) é uma constante k, uma função polinomial , uma função exponencial eªx, senf3x, cosf3x, ou somas e produtos dessas funções. Nota Para ser preciso, g(x) = k (constante) é uma função polinomial. Como uma função constante não é provavelmente a primeira coisa que vem em mente quando você pensa em uma função polinomial, continuaremos, para enfatizar, usando a redundância, " função constante, polinomial, ... " O que segue são exemplos de tipos de funções aplicadas g(x) que são apropriadas para essa discussão: g(x) = 10

g(x) = x 2 - Sx

+ 8e- 4x

g(x)

!Sx - 6

g(x)

sen 3x - Sx cos 2x

g(x)

ex cos x - (3x 2 -

l)e - x

Ou seja, g(x) é uma combinação linear de funções do tipo

k (constante),

x",

x"eªX, x"eªx cos f3x

e x 11eªx sen f3x,

em que n é um inteiro não negativo e a e f3 são números reais. O método dos coeficientes indeterminados não se aplica a equações da forma ( 1) quando, por exemplo, g(x) = ln x,

g(x)

= -X1 ,

g(x)

= tg

g(x) = sen- 1x.

Equações diferenciais com esses tipos de funções aplicadas serão consideradas na Seção 4.7 .

184

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

O conjunto de funções que consiste em co nstantes, polinômios, exponenciais eªx, senos, co-senos, tem a notável propriedade: derivadas de suas somas e produtos são ainda somas e produtos de constantes, polinômios, exponenciais eªx, senos e co-senos. Como a combinação linear das derivadas ay;' + by; + cyp tem de ser identicamente igual a g(x), parece razoáve l supor então que Yp tem a mesma forma que g(x). Essa suposição poderia ser mais bem caracterizada como uma boa conjectura. Os dois próximos exemplos ilustram o método básico.

EXEMPLO

1 y" + 4y' - 2y

Resolva

2x 2 - 3x + 6.

(2)

Solução Primeiramente, resolvemos a equação homogênea associada y" + 4y' - 2y = O. Pela fórmula quadrática deduzimos que as raízes da equação auxiliar m2 + 4m - 2 = O são m1 = - 2 - % e m2 = - 2 + %. Então, a função complementar é

Passo l.

Yc = c1e -< 2 + .[(;~, + c2e <- 2 + .[(;µ _

Passo 2. Agora, como a função aplicada g(x) é um polinômio quadrático, vamos supor uma solução particular que tenha também a forma de um polinômio quadrático: Yp = Ax 2 + Bx + C. Devemos determinar coeficientes específicos A, B e C para os quais Yp seja uma solução particular para (2). Substituindo Yp e as derivadas

= 2Ax + B

y;'

na equação diferencial (2) obtemos, y1;' + 4y; - 2yp = 2A + 8Ax + 48 - 2Ax 2 - 2Bx - 2C = 2x 2 - 3x + 6.

Como a última equação é supostamente uma identidade, os coeficientes de potências iguais de x devem ser iguais:

ou seja,

-2A = 2 8A-2B=-3

2A + 48 - 2C = 6.

Volume I

Cap. 4

Equações diferenciais Lin ea res de ordem superior

Resolvendo esse sistema de equações obtemos os valores A · urna solução particular é Yp = - x 2 - l2 Passo 3.

-1,8

185

- 5/2 e C = - 9. Logo,

A solução geral para a equação dada é: Y = Yc + Yp = c ,e - <2

EXEMPLO

./6)x + c2e<- 2 +

-16~< -

x2 -

- 9.

••

Encontre uma solução particular para y" - y' + y = 2 sen 3x.

Solução Um palpite natural para urna solução particular seria A sen 3x. Mas, corno derivações sucessivas de sen 3x produzem sen 3x ecos 3x, somos persuadidos a procurar uma solução particular que inclua ambos os termos Yp = A cos 3x + 8 sen 3x. Derivando Yp e substituindo os resultados na equação diferencial, obtemos, depois de reagrupar,

y;' - y;

+ Yp = (- 8A - 38) cos 3x + (3A - 88) sen 3x = 2 sen 3x

ou igual 1

l-8A -38lcos 3x +

~ 1 1 ~ sen 3x =Ocos 3x + 2 sen 3x.

Do sistema resultante de equações -8A - 38 =O 3A - 88 = 2

obtemos A

6/73 e 8

- 16/73. Uma solução particular para a equação é

6 16 YP = 73 cos 3x - 73 sen 3x. Como mencionamos, a forma que escolhemos para a solução particular Yp é plausível; não é uma adivinhação às cegas. Essa escolha deve levar em consideração não somente e tipo de funções que formam g(x), mas também, como veremos no Exemplo 4, as funções que formam a função complementar Yc· •

/86

Equações Diferenciais

EXEMPLO Resolva

Cap. 4

Volume I

3 y" - 2y' - 3y = 4x - 5 + 6xe 2 '.

(3)

Solução Passo 1. Primeiramente, a solução para a equação homogênea assoc iada y" - 2y' - 3y = O é Yc = c,e-x + c2e3x Passo 2. Agora, a presença de 4x - 5 em g(x) sugere que a solução particular tenha um polinômio linear. Ainda, como a derivada do produto xeà produz 2xe2t e e 2 \ supomos também que a solução particular inclua ambas, xeà e eh_ Em outras palavras, g é a so ma de dois tipos de funções básicas: g(x) = g 1(x) + 82(x) = polinomial + exponenciais..

De maneira correspondente, o princípio da superposição para equações não-homogêneas (Teorema 4.9) sugere que procuremos uma solução particular Yp = Yp1

Yp 2•

em que Ypl = Ax + B e Yp2 = Cxe à + Deà. Substituindo, Yp = Ax

+ B + Cxe 2 ' + De 2 '

na equação (3) e agrupando os termos, temos, y;' - 2y; - 3yp = - 3Ax - 2A - 38 - 3Cxe2t + (2C - 3D)e2t = 4x - 5 + 6xe2t. (4)

Desta identidade, obtemos um sistema de quatro equações e quatro incógnitas: -3A = 4 -2A - 38 = -5 -3C = 6 2C - 3D =O. A última equação deste sistema resulta do fato do coeficiente de e 2 ' do membro direito de (4) ser zero. Resolvendo, encontramos A = - 4/3, B = 23/9, C = - 2 e D = -4/3. Conseqüentemente,

Passo 3.

A solução geral para a equação é y = cie- x + c2e

- -4 x + -23 -

, 3

•

Volume I

Equações diferenciais lineares de ordem superior

Cap. 4

187

Em vista do princípio da superposição (Teorema 4.9), podemos também solucionar o Exemplo 3, dividindo-o em dois problemas mais simples. Você deve verificar que substituindo

Ypi = Ax + B

= Cxe 2 < +

Ypl

acarreta Ypl = - (4/3)x + 23/9 e portanto Yp = Yp l + Yp2·

De 2 < Yp2

y" - 2y' - 3y = 4x - 5

y" - 2y' - 3y

= - (2x

= 6xe 2'

+ 4/3)e2t. Uma solução particular para (3) é

O próximo exemplo mostra que algumas vezes a escolha "óbvia" para a forma de y1, não é a escolha correta.

EXEMP L O

Encontre uma solução particular para

y" - 5y' + 4y

= 8ex.

Solução A derivação de ex não produz novas funções. Logo, procedendo como antes , podemos simplesmente supor uma so lução particular da forma

Yp = Aex. Mas, neste caso, a subslituição dessa expressão na equação diferencial conduz à afirmação contraditória

e, portanto, concluímos que fizemos a escolha errada para y,,. A dificuldade aqui fica clara depois de examinarmos a função complementar Yc = c 1ex + c2e 4x. Observe que nossa escolha Aex já se encontra presente em Yc· Isso significa que e' é uma solução para a equação diferencial homogênea associada, e um múltiplo Aex quando substituído na equação diferencial necessariamente anula esta identicamente.

Qual deve ser então a forma de y,,? Examinando o Caso II da Seção 4.3, veremos se podemos encontrar uma solução particular da forma

Usando y1;'

5y/, + 4yp = Axe' + 2Ae' - 5Axe-' - 5Ae' + 4Axe' = 8ex

ou Desta última equação, vemos que o valor de A é agora determinado por A = - 8/3. Portanto,

tem de ser uma solução particular para a equação dada.

•

188

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume l

A diferença nos procedimentos usados nos Exemplos 1-3 e no Exemplo 4 sugere que consideremos dois casos. O primeiro deles reflete a situação dos Exemplos 1-3. CASO 1 Nenhuma função da suposta solução particular é urna solução para a equação diferencial hornogênea associada.

Na tabela seguinte, ilustramos alguns exemplos específicos de g(x) em ( l) juntamente com a forma correspondente da solução particular. Estamos, evidentemente, tomando por garantia que nenhuma função da suposta solução particular Yp faça parte da função complementar Yc · Tentativas para Soluções Particulares Forma

g(x) l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

1 (qualquer constante)

d_ e_y ~p_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Sx + 7

A Ax + 8

3x 2 - 2

Ax 2

+ Bx + C + Bx 2 + Cx + D A cos 4x + 8 sen 4x A cos 4x + 8 sen 4x

-x+ sen 4x cos 4x e5x

Ax 3

(9x - 2)e 5x x2e5x

(Ax + B)e 5x (Ax 2 + Bx + C)e 5x Ae Jx cos 4x + Be 3' sen 4x (Ax 2 + Bx + C) cos 4x + (Dx 2 + Ex + F) sen 4x (Ax + B)e 3x cos 4x + (Cx + D)e3x sen 4x

Ae5x

e 3x sen 4x 5x 2 sen 4x xe 3x cos 4x

'·''

EXEMPLO

Determine a forma de uma solução particular para (a) y"- 8y'+ 2Sy

Solução

= Sx 3e - x

-7e - x

(b) y"+ 4y

cos x.

(a) Podemos escrever g(x) = (Sx 3 - 7)e - x.

Usando o número 9 da tabela como modelo, escolhemos uma solução particular da forma Yp = (Ax 3 + Bx 2 + Cx + D)e-x.

Note que não há duplicação entre os termos em Yp e os termos na função complementar + c2 sen 3x).

Yc = e4x(c1 cos 3x

Volume I

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

189

(b) A função g(x) = x cos x é semelhante à entrada 11 na tabela, exceto, é claro, pelo uso de um polinômio linear em vez de quadrát ico ecos x e sen x em vez de cos 4x e sen 4x na forma de Yp: Yp = (Ax

+ B) cos x + (Cx + D) sen x.

Observe novamente que não há duplicação ,de termos entre Yp e Yc = c1 cos 2x + c2 sen 2x. • Se g(x) consiste na soma de, digamos, m termos do tipo listado na tabela, então (como no Exemp lo 3) a supos ição para uma solução particular Yp consiste na soma das formas escolhidas Ypi• Yp 2, ... , Ypm correspondente a esses termos: Yp = Yp1

Yp2

+ ·· · +

Ypm·

Posto de um outro modo:

A forma de Yp é uma combinação linear de todas as funções linearmente independentes que são geradas por repetidas derivações g(x).

EXEMPLO

Determine a forma de uma solução particular para

y" - 9y' + 14y = 3x 2

5 sen 2x + 7xe 6x

Solução Ypi = Ax 2

Correspondendo a 3x 2, esco lhemos :

yp 2 =

Correspondendo a - 5 sen 2x esco lhemos: Correspondendo a 7xe6x esco lhemos :

yp 3 =

+ Bx + C

D cos 2x + E sen 2x

(Fx + G)e 6x

A escolha para a so lu ção part icular é portanto Yp

= Ypi +

Yp 2

Yp 3

= Ax 2 +

Bx + C + D cos 2x + E sen 2x + (Fx + G)e 6x .

Nenhum termo dessa esco lha duplica um termo em Yc = c 1e2x + c2e ?x

•

CASO li Uma função na solução particular escolhida é também uma solução para a equação diferencial homogênea associada. O próximo exemp lo é semelhante ao Exemp lo 4.

ÍÉX EM

P LO

Encontre uma solução particular para

y" - 2y' + y = ex.

/90

Equações Diferenciais

Cap. 4

Vo lume I

Solução A fun ção complementar é Yc = c 1ex + c2 xex. Como no Exemplo 4, a escolh a Yp = Aex não funciona, pois é evidente a partir de Yc que ex é um a solução para a equação homogénea associada y " - 2y' + y = O. Ainda, não seremos capazes de encontrar uma solução particu lar da forma Yp = Axex, pois o termo xexé também parte de Yc· Tentamos então Yp = Ax2ex. Substituindo na equação diferencial dada, ob temos

2Aex = ex e daí A

1/2.

Logo, uma so lução particular é

• Suponha novame nte que g(x) co nsista de m termo s do tipo dado na tabe la e supon ha ainda que a suposição usual para uma solução particular sej a Yp = Yp1

+ Yp2 + · · · + Ypm•

em que os Ypi• i = 1, 2, m, são as formas de sol uções particu lares tentadas correspondentes a esses termos. Sob a c ircunstância descrita no Caso II, podemos fo rmular a seguinte regra

geral: Se alg uma Ypi conl ém termos que duplicam termos em Yco então, esta Yp i tem de ser multiplicada por x", em que n é o menor inteiro positivo que elimina essa dup licação. - - - -·- - - - - - -

EXEMPLO

Reso lva o problema de valor inicial y"+ y = 4x + 10 sen x,

Solução

y(n )

= O,

y'(n)

= 2.

A solução da eq uação homogé nea associada y "+ y = O é Yc = c 1 cos x

sen x.

Agora, como g(x) é a soma de um polinômi o linear e uma função seno , nossa escolh a normal para Yp das entradas 2 e 5 da tabela de tentativas de soluções seria a soma de Ypi = Ax + B e Yp2 = e cos X + D sen x: Yp = Ax

+ B +

cos

+ D sen

(5)

Mas há uma óbvia duplicação dos termos cos x e sen x nesta forma escolhi da e dois termos na função complementar. Essa duplicação pode ser eliminada simplesmente multiplicando Ypi por x. Em vez de (5) usamos agora · Yp = Ax

+ B + Cx cos x + Dx sen x.

(6)

Volume l

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

191

Derivando essa expressão e substituindo os resultados na equação diferencial, te mos

y" + Yp = Ax + B - 2C sen x + 2D cos x = 4x + l O sen x e daí,

A= 4

B=O - 2C = 10

2D =O. As soluções do sistema são imediatas: A obtemos

= 4,

O, C

=-5

e D

O. Portanto, de (6)

Yp = 4x - 5x cos x . A solução geral da eq uação dada é

y = Yc + Yp = c1 cos x + c2 sen x + 4x - 5x cos x. Agora, aplicamos as condições iniciais prescritas à solução geral para a equação. Primeiro, y(rr) = c 1 cos 7t + c2 sen 7t + 4rr - 5rr cos 7t = O implica c 1 = 9rr pois cos 7t = - l e sen 7t = O. Prosseguindo, da derivada

y' = - 9rr sen x +

c2 co

y'(rr) = - 9rr sen 7t + c2 cos

x + 4 + 5x sen x - 5 c_os x 7t

+ 4 + 5rr sen 7t

5 cos

= 2

encontramos c2 = 7. A solução para o problema de valor inicial é então

y = 9rrcosx + 7 senx + 4x - 5xcos x.

EXEMPLO Resolva

Solução

•

9 y" - 6y' + 9y

6x 2 + 2 - 12e 3x.

A função complementar é

e baseado nas entradas 3 e 7 da tabela, a escolha us ual para uma solução particular seria Yp = Ax2 + Bx + C + De 3x.

Inspecionando essas funções, vemos que um termo em Yp2 coincide com um termo de Yc· Se multiplicarmos Yp 2 por x, notamos que o termo xe 3x é ainda parte de Yc· Mas multiplicando Yp2 por x 2, eliminamos todas as duplicações. Logo, a forma eficaz de uma solução partiéular é

192

Equações Diferen ciais

Cap. 4

Volum e 1

Yp = Ax 2 + Bx + C + Dx 2e 3x

Derivando esta última forma, substituindo na equação diferencial e ag rupando os termos, obtemos, 9Ax 2 + (- 124 + 9B)x + 24 - 68 + 9C + 2De 3x 6x 2 + 2 - 12e 3x

Segue-se desta identidade que A Y = Yc + Yp é

= 2/ 3, B = 8/ 9,

= 2/ 3 e

8x + 2 Y = c,e 3x + c2xe3x + l3 x 2 + 9 3

= - 6. Logo,

6x2e 3x_

a so lução geral

•

Equações de Ordem Superior O método dos coeficientes indetermin ados dado aq ui não é restrito a eq uações de segunda ordem; mas pode ser usado com equações de ordem superior a,,y<11 > + a 11

1) +

11 -

... +

a1y'

aoy = g(x)

com coeficientes constantes. Só é necessário que g(x) consista nos tipos próprios de funções discutidas acima.

E X E M P LO

10 y"' + y" = ex cos x.

Resolva

Solução As raízes da equação característica m 3 + m 2 = O são m 1 = m2 = O e m3 = - 1. Então, a solução complementar para a equação é Yc = c 1 + c2x + c3e - x. Com g(x) = ex cos x vemos na entrada 10 da tabela de tentativas de soluções particulares que devemos escolher Yp = Aex cos x + 8ex sen x.

Como não há nenhuma função em Yp que coincida com funções da solução complementar, procedemos da maneira usual. De

y;" + y;'

= (-24 + 4B)ex cos x + (-4A - 2B)ex sen x = ex cos x

-24 + 48 = 1

obtemos

-4A - 28 =O.

Desse sistema, determinamos A Yp

1110 e 8 }

=-toe

115. Logo, uma solução particular é

cos x +

}

sen x.

Volume 1

Cap. 4

Equações diferenciais lin eares de ordem superior

193

A solução geral para a equação é

-'y = Yc + Yp = C1 I'

E X EM P LO

C2X

C3e -x -

_l_ex cos x +.!_ex sen x . 10 5

•

Determine a forma de uma solu ção particular para y(4) + y'" =

- e- x.

Solução Comparando a função complementar

com nossa escolha normal para uma solução particular Yp = A + Be -x,

~~ vemos que as duplicações entre Yc e Yp são eliminadas quando Ypi é multiplicada por x 3 e Ypi é multiplicada por x. Logo, a escolha correta para uma sol ução partic ul ar é ' Yp = A.x 3 + Bxe- x.

4.4

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 45 l. Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados .

= 15

l. y" + 3y' + 2y = 6

2. 4y"+ 9y

3. y" - l Oy' + 25y = 30x + 3

4. y" + y' - 6y = 2x

±y " + y' + y

7. y" + 3y

= x 2 - 2x

= - 48x 2 e 3x

±y

= 3

+ ex/2

13. y" + 4y = 3 sen 2x 15. y" + y

= 2x

8. 4y" - 4y' - 3y

10. y" + 2y '

9. y" - y = - 3

11. y" - y' +

6. y" - 8y' + 20y = lOOx 2

sen x

= cos

= 2x +

26xex

5 - e-

12. y" - 16y = 2e 4 x 14. y" + 4y = (x 2 - 3) sen 2x 16. y" - 5y'

= 2x 3

4x 2

194

Equuções Diferenciais

17. y" - 2y' + 5y

= e"

Volume 1

Cap. 4

18. y" - 2y' + 2y

cos 2x

= e 2 '(cos

x - 3 sen x)

19. y" + 2y' + y = sen x + 3 cos 2x

20. y" + 2y' - 24y = 16 - (x + 2)e 4"

21. y"' - 6y" = 3 -

22. y'" - 2y"

COS X

23. y'" - Jy" + 3y' - )' =

24. y'" - y" - 4y' + 4y = 5 - e" + e 2 '

4e"

X -

- 4y' + 8y = 6xe 2 '

26. y< 4 > - y" = 4x + 2u - '

25. / 4 l + 2y" + y = (x - 1)2

Nos Problemas 27 e 28, use uma ide ntidade trigono métrica co mo auxílio para e ncontra r uma solu ção particula r para a equação diferencial dada . 27. y" + y = 8 sen2x

28. y

+ y = sen x cos 2x

Nos Probl e mas 29-40, resolva a equação diferencia l dada sujei ta às condições ini cia is indi cadas. 29. y

" + 4y =

- 2.

(11:) 11: ) = 8 = 21 ' y '( 8

30. 2y" + 3y' - 2y = l4x 2 =O,

31. 5y" + y' = - 6x,

y(O) = O,

4",

37. y"+y=cosx-sen2x, 38. y" - 2y' - 3y = 2 cos2x,

y(Í)=o, y(O) =

-t •

y(O) = 2,

y'(O) = 12

x(O) = O,

x'(O) = O

y'( Í ) =o y'(O) = O

5 1 5-' 2 " + y= ' 2 - 24 e+ X 40e 39 · Y "' - y , y (0) =1·y '(0) =1·Y "(O) 40 . y"' + Sy = 2x - 5 + Se - 2.<,

y(O)

y'(O) = 5

d 2x 2 x'(O) = O 36. - 2 + w x = Fo cos "(l, dt

x(O) = O,

y(O)

y'(O) =O

y(O) = - 3, y'(O) = 1 34. y" - y = cosh x ,

d 2x 2 35. - , +w x = Fo sen wt, dt-

4x - 11 ,

32. y" + 4y' + 4y = (3 + x)e-2.<,

y ' (O) = - 10

= 2,

33. y" + 4y' + 5y = 35e-

y(O) = -5,

y'(O) = 3,

=-29

y"(O) = -4

Nos Proble mas 41 e 42, reso lva a equação difere ncial dada sujeita às condições de contorno indicadas . 41. y" + y = x 2 + 1,

y(O) = 5,

42. y" - 2y' + 2y = 2x - 2,

y(I) = O

y(O) = O,

y(n) = n

43. Na prática, a função aplicada g(x) é freqüentemente descontínua. Resolva o problema de valor inicial y"

= g(x),

y(O) = 1,

y'(O)

= 2,

Voli11n e I

Cap. 4

g(x) = {

em que

Equações diferenciais lin eares de ordem superior

sen x.

O S x S rr/2

x > rr/ 2

195

[Sugestão: Resolva o problema nos dois intervalo s e então encontre uma so lução de tal forma que y e y' sejam contínuas em x = rr/ 2.]

4.5

OPERADORES DI FERENCIAIS

Em cálculo, usamos freqüentemente a letra maiús cula D para denotar derivação; isto é,

dy = Dy. dx O símbolo D é chamado de operador diferencial: ele transforma uma função diferenciável em outra função ; por exemplo,

D(e 4 x)

= 4e 4 x,

D(Sx 3

6x 2)

l5x 2 - 12x, D(co s 2x)

2 sen 2x .

O operador diferencial D também poss ui uma propriedade de linearidade; D operando em uma combinação linear de duas funções diferenciáveis é o mesmo que a combinação linear de D operando nas funções individualmente. Em símbolos, isso significa

D {afi:x) + bg(x) } = a Dfi:x) + b Dg(x),

(1)

em que a e b são constantes. Por causa da igualdade (l), dizemos que D é um operador diferencial linear.

Derivadas de Ordem Superior Derivadas de ordem superior podem ser expressas em termos de D de uma maneira natural :

-d

(d.1dx )= ~ ddx2 = D(Dy) = D 2

e no caso geral

d" dx"

-2'. = D "y

em que y representa uma função suficientemente diferenciável. Expressões polinomiais envolvendo D, tais como

D + 3,

D 2 + 3D - 4,

5D 3

6D 2 + 4D + 9

são também operadores diferenciais lineares .

Equações Diferenciais Qualquer equação diferencial linear pode ser expressa em termos de D. Por exemplo, uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes ay'' + by' + cy = g(x) pode ser escrita como

196

Equações Diferenciais

aD 2y

Cap. 4

+ bDy + cy

Volume 1

= g(x)

ou (aD 2 + bD + c)y

= g(x).

Se definirmos L = aD 2 + bD + e, então a última equação pode ser escrita de maneira compacta como L(y)

g(x).

O operador L = aD 2 + bD + e é chamado de operador diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

EXEMPLO

A equação diferencial y" + y' + 2y = 5x - 3 pode ser escrita como

•

(D 2 + D + 2)y = 5x - 3

Um operador diferencial linear de n-ésima ordem L

= a,,D n +

a,, _ iD" - 1 + .. . + a,D + ao

com coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinômio característico a,,m" + a11 _ 1m" - 1 + .. . + a1m + ao também se fatora.* Por exemplo, se tratamos D como uma quantidade algébrica, então D 2 + 5D + 6 pode ser fatorado como (D + 2) (D + 3) ou como (D + 3) (D + 2). Em outras palavras, para uma função y = fl.x) duas vezes diferenciável (D 2

+ 5D + 6)y = (D + 2)(D + 3)y = (D + 3)(D + 2)y.

Para ver por que isso funciona assim, seja w = (D + 3)y = y' + 3y, então (D

+ 2)w

= Dw +

= (y" +

3y') + (2y' + 6y)

= y" +

5y'

+ 6y

= y" +

5y'

+ 6y.

Analogamente, se colocarmos w = (D + 2)y = y' + 2y, então (D

+ 3)w

= Dw +

= (y" '+

2y') + (3y' + 6y)

Isso ilustra uma propriedade geral:

Fatore_s de um operador diferencial linear com coeficientes constantes comutam .

Se desejarmos usar números complexos, então um operador diferencial com coeficientes constantes pode ser sempre fatorado. Estamos, porém, primeiramente preocupados em escrever equações diferenciais em forma de operador com coeficientes reais. ·

Volume I

EXE MPLO

Cap. 4

Equações difere nciais lineares de ordem superior

197

(a) O operado r D 2 - 1 pode ser escrita como (D + l)(D - 1) (b) O operador D 2

EXEMPLO

+ D + 2 do Exemplo

l)(D + 1).

(D -

1 não se fatora com número s reais.

•

A eq uação diferencial y" + 4y' + 4y = O pode ser escrita como (D 2 + 4D + 4)y = O ou

(D + 2)(D + 2)y = O ou

(D + 2)2y = O.

•

Operador Anulador Se L é um operador diferencial com coeficientes constantes e y = j(x) é uma funç ão suficientemente diferenciável, tal que L(y) = O,

então dizemos que L é um anu lador da função. Por exemp lo, se y = k (uma co nstante), então Dk = O. Ainda, D 2x = O, D 3x 2 = O e ass im por diante.

o operador diferencial on anula cada uma das funções 1,x,x2 , ... ,nn-l.

(2)

Como conseqüência imediata de (2) e do fato de que a derivação pode ser feita termo a termo, um polinômio CQ

CtX

+ ... +

C11

JX 11

é anulado por um operador qu e anula a maior potência de x.

EXEMPLO

Encontre um operador diferencial que anula 1 - 5x 2 + 8x 3.

Solução Por (2), sabemos que D 4x 3 = O, e daí segue-se qu e

D4(1 - 5x 2 + 8x 3 ) = O.

•

Nota As funções que são anuladas por um operador diferencial linear de n-ésima ordem L são simplesmente aquelas que podem ser obtidas a partir da solução geral para a equação diferencial homogênea L(y) = O.

198

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

O operador diferencial (D - a)" anula cada uma das funções

eax, xeax, x2eax, ... , X' - leax.

(3)

Para ver isso, note que a equação auxiliar da equação homogênea (D - a )"y = O é (m - a)" =O. Como a é uma raiz de multiplicidade 11, a solução geral é

(4) EXEMPLO

Encontre um operador anulador para (a) esx

(b) 4e 2 ' - 6xe 2x

Solução (a) Por (3), com a = 5 e n = l, vemos que (D - 5)e 5x = O. (b) Por (3) e (4), com a = 2 e n = 2, vemos que (D - 2) 2 (4e 2 ' - 6xeà) = O.

•

Quando a e f3 são números reais , a fórmula quadrática mostra que [m 2 - 2am + (a 2 + {3 2)]" = Opossui raízes complexas a + if3, a - i{J, ambas de multiplicidade n. Da discussão do final da Seção 4.3, temos o próximo resultado . O operador diferencial (D 2

2aD + (a 2

+ {3 2 )ranula cada uma das funções

eax, cos {3x, xeax cos {3x, x2eax cos {3x ... , x" - 1eax cos {3x, eax, sen {3x, xeax sen {3x, x2eax sen {3x ... , x" - 1eax sen f3x.

EXEMPLO

(5)

Por(5),coma = -1 , {3 = 2en = !, vemos que (D 2 + 2D + 5)e - x cos 2x = O e

(D 2 + 2D + 5)e- x sen 2x = O.

•

Como y 1(x) = e- x cos 2x e Y2(x) = e- x sen 2x são duas funções linearmente independentes na solução geral para (D 2 + 2D + 5)y = O, o operador linear D 2 + 2D + 5 também anula qualquer combinação linear dessas funções , tal como 5e - x cos 2x - 9e -x sen 2x.

E X E .MP LO

Por (5), com a = O, f3 = l e n = 2, vemos que o operador diferencial (D 2 + 1)2 ou D 4 + 2D 2 + l anula cos x, x cos x, sen x e x sen x. Ainda, (D 2 + 1)2 anula qualquer combinação linear dessas funções. •

Volume I

Quando a

Oen

Cap . ./

Equações diferenciais linea res de ordem rnperior

199

l , um caso es pecial de (5) é

(D2 + {3 2)

cos {3x = O. sen {3x

(6)

Estamo s interessados em anuladores da so ma de duas ou mai s funç ões. Como vimos nos Exemplos 4-7, se L é um operador diferencial linear tal que L(y1) = O e L(y2) = O, então L anula a combinação linear C1Y1(x) + C2J2(x). Isso é uma conseqüência direta do Teorema 4 .3. Vamos supor agora que L1 e Li são operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que, L1 anula Y 1(x) e li anula Y2(x), mas L1(J2) # O e L2(J1) # O. Então, o produto dos operadores diferenciais L1L2 anula a soma c 1y 1(x) + Cz.Y 2(x). Podemos facilmente demonstrar isso usando linearidade e o fato de que Lili = Lili: L1li(J1 + Y2) = L1li(J1) + L1L2(J2) lil 1(J 1)

+ L 1li(J2)

li[L1(J1)]

EXEMPLO

+ L1[L2(J2)]

(7)

Encontre um operador diferencial que anula 7 - x + 6 sen 3x.

Solução

Por (2) e (6) temos, respectivamente, D 2(7 - x) = O e

(D 2

+ 9) sen 3x = O.

Segue-se de (7) que o operador D 2(D 2 + 9) anula a combinação linear dada.

EXEMPLO

•

Encontre um operador diferencial que anula e- 3x + xex

Solução

Por (3), (D + 3)e- 3x = O e

(D - 1) 2xex =O.

Logo, o produto dos dois operadores (D + 3)(D - 1)2an ula a combinação linear dada.

•

Observação O operador diferencial que anula uma função não é único. Por exemplo, sabemos q ue D - 5 anula e 5x, mas também os operadores diferenciais de ordem superior, como (D - 5)(D + l) e (D - 5)D 2, anulam essa função. (Verifique isso.) Quando procuramos um anulador diferencial para uma função y = j(x), queremos o operador de menor ordem possível que faça este trabalho.

200

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

EXERCÍCIOS

4.5

As respostas dso exercícios selecionados estão na página 45 l.

Nos Problemas 1-6, a equação diferencial é dada na forma L(y) = g(x), em que L é um operador diferencial com coeficientes constantes. l.

2. 4 ~ + Sy dx

4. y"' - 2y"

+ 7y' - 6y

= 4x

6. /

+ 5y = 9 sen x

3. 3y" - 5y' + y

5. y"' - 4y" + 5y'

4> -

+ 3

1 - senx

2y" + y = e-Jx + e 2 '

Nos Probl emas 7-16, se poss ível, fatore o operador diferencial dado. 7. 9D 2 9.

D2 -

8. D 2

4D - 12

10.

2D 2 -

5 3D - 2

11. DJ + IOD 2 + 25D

12. D 3 + 4D

13. D J + 2D 2

14. D 3 + 4D 2 + 3D

13D + 10

15. D 4 + 8D

16. D 4

8D 2 + 16

Nos Problemas 17-20, verifique que o operador diferencial dado anula a fun ção indicada. 17. D 4 ; y = IOx 3

19. (D - 2)(D + 5); y = 4e 2 '

18. 2D - l ; y = 4exl2

20. D 2 + 64; y

= 2 cos 8x

- 5 sen 8x

Nos Problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada. 21.

+ 6x - 2x 3

22. x 3(1 - 5x)

23.

+ 7e2t

24. x + 3xe6x

25. cos 2x

26. 1 + senx

27. 13x + 9x 2 - sen4x

28. 8x-senx+ 10 cos 5x

29. e - x + 2xex -

30. (2 - e") 2

x2ex

31. 3 + e" cos 2x

32. e - x senx - eà cosx

Nos Problemas 33-4.0 encontre funções linearmente independentes que são anu ladas pelo operador diferencial dado.

33. D 5

34, D 2 + 4D

35. (D - 6)(2D + 3)

36. D 2

9D - 36

Volume I

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

38. D 2 - 6D + 10

37. D 2 + 5 39. D 3

4.6

201

40. D 2(D - S)(D - 7)

LOD 2 + 25D

COEFICIENTES INDETERMINADOS - ABORDAGEM POR ANULADORES

Para obter a solução geral para uma equação diferencial linear não-homogênea devemos fazer duas coisas: (i) Encontrar a função complementar Yc· (ii) Encontrar uma solução particular Yp para a equação não-homogênea.

Lembre-se da discussão da Seção 4.1 de que uma solução particular é qualquer função, independente de constantes, que satisfaça a equação diferencial identicamente. A solução geral para uma equação não-homogênea em um intervalo é então y = Yc + Yp·

ªn -

Se L denota um operador diferencial linear da forma anDn + 1on - 1 + ... + a1D +ao, então uma equação diferencial linear não-homogênea pode ser escrita simplesmente como L(y) = g(x)

(1)

O método dos coeficientes indeterminados apresentado nesta seção limita-se a equações lineares não-homogêneas que têm coeficientes constantes, e em que g(x) é uma constante k, uma função polinomial, uma função exponencial eªx, sen/Jx, cos{Jx ou somas e produtos finitos dessas funções.

Nota Precisamente, g(x) = k, (uma constante) é uma função polinomial. Como uma função constante não é provavelmente a primeira coisa que lhe vem à mente quando você pensa em funções polinomiais, para enfatizar, continuamos a usar a redundância " funções constantes, polinomiais, ... " O que segue são alguns exemplos de tipos de funções ap licadas g(xi° que são apropriados para essa discussão: g(x) = 10 g(x) = x 2 - 5x g(x)

15x - 6 + 8e 4x

g(x)

sen 3x - 5x cos 2x

g(x) = ex cosx - (3x 2 - l)e- x

202

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

e assim por diante. Em outras palavras , g(x) é uma combinação linear de funções da forma k (co nsta nte), x 111 , x"'eax, x 111eax cos{J,

x 111 eax se n{Jx,

em que m é um inteiro não negativo e a e f3 são números reais. O método dos coeficientes indeterminados não se aplica a equações da forma ( l) quando, por exemplo, g(x) = ln x,

g(x) = ~'

g(x) = tg x,

g(x) = sen- 1x .

Equações diferenciais com este último tipo de função aplicada serão consideradas na Seção 4.7. Como vimos na Seção 4.5, uma combinação linear de funções do tipo k, x 111 , x 111 é'-', x"'eªx cos{Jx e x"'eªx sen{Jx é precisamente o tipo de função que pode ser anulada por um

operador Li (de menor ordem) consistindo em um produto de operadores tai s como Dn, (D - a)" e (D 2 - 2aD + a 2 + f3 2 Aplicando L 1 a ambos os membros de ( l ), obtemos

(2)

Resolvendo a equação homogê11ea de ordem maior L 1L(y) = O, podemos descobrir a forma de uma so lução particular Yp para a equação não-homogênea original L(y) = g(x). Os vários exemplos seguintes ilustram o método. A solução geral para cada equação está definida no intervalo (- oo, oo).

EXEMPLO Resolva

rf2 2 + 3 !!l = dx dx

2y = 4x 2

(3)

Solução Passo 1.

Primeiramente reso lvemos a equação homogênea d 2y

dx2

dy = 2y dx

+ 3-

Da equação auxiliar m 2 + 3m + 2 = (m + l)(m + 2) assim a função complementar é

= O, encontramos m 1 = -

1 e m1

- 2,

Passo 2. Em vista de (2) da Seção 4.5, (3) pode se tornar homogênea se derivarmos três vezes cada lado da equação. Em outras palavras, D\D 2 + 3D + 2)y = 4D 3x 2 = O,

(4)

Volume /

desde que D 3x2 =

Cap. 4

Equações diferenciais linea res de ordem superior

203

A eq uação auxiliar de (4), m 3(m 2 + 3m + 2) = O ou

m\m

+ l)(m + 2)

tem raízes O, O, O, - 1 e - 2. Logo, sua solução geral é

y =

+ czx + c3x2 + c4e- x + c5e- 2x

(5)

Os dois últimos termos em (5) constituem a função compleme1ltar da equação original (3). Podemos então argumentar que uma solução particular Yp de (3) deve também satisfazer a equação (4) . Isso significa que os termos remanescentes em (5) devem ser a estrutura básica de y,,: Yp = A + 8x + Cx 2,

(6)

em que, por conveniência, trocamos c 1, c2 e c3 por A, 8 e C, res pectivamente. Para (6) ser uma solução particular para (3), é necessário encontrar coeficientes específicos A, 8 e C. Derivando (6), temos

8 + 2Cx,

y;'

2C,

e substituindo em (3), obtemos y;' + 3y; + 2y,, = 2C + 38 + 6Cx + 2A + 28x + 2Cx 2 = 4x 2 .

Como a última equação deve ser uma identidade, os coeficientes das potências iguais de x devem ser iguais: igual

Isto é, 2C = 4

(7)

28 + 6C =O

2A + 38 + 2C = O. Resolvendo (7), temos A

Passo 3.

= 7, 8 = - 6 e C = 2. Logo, Yp

7 - 6x

+ 2x 2 .

A solução geral para (3) é y = Yc + Yp ou

y = Cte - x + c2e - 2x + 7 - 6x + 2x 2.

•

204

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap. 4

Volume J

2 y" - 3y' = 8e 3x + 4 sen x.

Resolva

(8)

Solução Passo 1. A equação auxiliar para a equação homogênea y" - 3y' Yc =

= O é m(m

- 3)

= O, assim

+ c2e3x_

Passo 2. Agora, como (D - 3)e 3x = O e (D 2 + 1) sen x = O, aplicamos o operador diferencial (D - 3)(D 2 + 1) a ambos os lados de (8): (D - 3)(D 2 + l)(D 2 - 3D)y = O

(9)

A equação aux iliar de (9) é (m - 3)(m 2

Logo,

+ l)(m 2

m(m - 3)2 (m 2

3m) = O ou

c1+c2e 3x

+ c3xe 3x +

+ l) = O.

cos x + c5 sen x.

(10)

Depois, excluindo a combinação linear dos dois primeiros termos que corresponde a Yc, chegamos à forma de Yp : Yp = Axe 3X + B cos

sen

Substituindo Yp em (8) e simplificando, temos

y;' - 3y;

= 3Ae 3x + (-B - 3C) cos x + (3B - C) sen x

= 8e 3x

+ 4 sen x.

Igualando os coeficientes, obtemos 3A = 8 -B - 3C =O

3B -

Assim, A = 8/3, B = 615, C = - 2/5 e, conseqüentemente,

y = -ª_ xe 3x + §. cos x - ~ sen x p 3 5 5 . Passo 3.

A solução geral para (8) é, portanto, 3

y = e 1 + c2e x +

38 xe 3x

cos x -

sen x.

•

Volum e 1

EXEMPLO

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

205

3 y' + 8y = 5x + 2e-x.

Resolva

(11)

Solução Por (2) e (3) da Seção 4.5, sabemos que D 2x = O e (D + 1)e vamente. Então, ap licamos D 2(D + l) a ( l l ):

= O, respecti-

D2(D + l)(D 2 + 8)y = O. Verificamos que y

cos 2"2x +

sen 2"2x j +

c.x

cse-x

Yp = A + Bx + Ce - x.

ass im Substituindo Yp em ( 11 ), temos

y;' + Byp = 8A + 8Bx + 9Ce- x = 5x + 2e- x. Isso implica A = O, B = 5/ 8 e C = 2/ 9, assim, a solução gera l para ( 11) é

y = c 1 cos2{'2x + c2 sen2{'2x +

EXEMPLO

íx

+ %e - x

•

4 y" + y =

Resolva

X COS X -

COS X.

(12)

Solução No Exemp lo 7 da Seção 4.5, vimos que x cos x e cos x são anulados pelo operador (D 2 + 1)2. Logo,

Como i e - i são ambas raízes complexas de multiplicidade 3 da equação auxi li ar da última equação diferencial, concluímos que y =

\ c1 cos x

sen x

CJ x

cos x +

C4 sen

x + c5 x 2 cos x + C6 x 2 sen x.

Substituímos

Yp = Ax cos x + Bx sen x + Cx 2 cos x + Ex 2 sen x em (12) e simplificamos :

y;' + Yp = 4Ex cosx -

4Cx senx + (28 + 2C)cosx + (-2A + 2E) senx =

X COS X -

COS X.

206

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

Igualando os coeficientes, obtemos as eq uações

-4C =O 28 + 2C = - l

-2A + 2E =O,

das quais encontramos E

l / 4, C

= O, B = -

l /2 e A

l i4. Logo, a solução geral para ( 12) é

y = e 1 cos x + c2 sen x + _!_ x cos x - _!_ x sen x + _!_ x 2 sen x _ 4 2 4

EXEMPLO

•

Determine a forma de uma solução particular para y" - 2y' + y = l0e - 2x cosx

Sol ução

A função complementar para a equação dada é Yc Agora, por (5) da Seção 4 .5, com a

= - 2, /3 =

(13)

= c 1ex +

len

czxex

l , sabemos que

(D 2 + 4D + 5)e- 2x cos x = O.

Aplicando o o:ierador D 2 + 4D + 5 a (13), temos (D 2 + 4D + 5)(D 2 - 2D + 1)y = O.

(14)

Como as raízes da equação auxiliar de (14) são - 2 - i, -2 + i, 1 e 1, y =

c1eX + cixeX

+ C)e- 2x cos x + c4 e-2tsen x.

Logo, uma solução particular para ( 13) pode ser encontrada com a forma Yp = Ae - 2 • cos x + Be- 2x sen x.

EXEMPLO

•

Determine a forma de uma solução particular para y"' - 4y" + 4y' = 5x 2 - 6x + 4x 2e2x + 3e 5x .

(15)

Volume J

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

207

Solução Observe que D\5x 2 - 6x) = O, (D - 2) 3x 2 e 2 < = O,

(D - 5)e 5x

Portanto, D\D - 2) 3(D - 5) aplicado a (15) resulta D 3(D - 2) 3 (D - 5)(D 3 - 4D 2 + 4D)y

D 4(D - 2) 5(D - 5)y

As raízes da equação aux iliar para a última equação diferencial são O, O, O, O, 2, 2, 2, 2, 2 e 5. Logo, (16)

y =

Como a combinação linear c 1 + c5e 2 < + Cf,Xe2r pode ser vista como a função complementar de (l 5), os outros termos em ( 16) fornecem a forma de uma solução particular para a eq uação diferencial:

• Resumo do Método Para sua conveniência, o método dos coeficientes indeterminados está aqui resumido:

·'

Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Anuladores A equação diferencial L(y) = g(x) tem coeficientes constantes e a função consiste em somas e piodutos finitos de constantes, funções polinomiais, funções exponenciais e=, senos e co-senos. 1

_(i)

Encontre a solução complementar Yc para a equação homogênea L(y) = O.

(ii)

Opere em ambos os lados da equação não-homogênea L(y) diferencial L 1, que anula a função g(x) ..

= g(x)

com um operador

(iii)

Enc.ontre a solução geral para a equação diferencial homogênea de maior ordem L 1Uy) = O.

(iv)

Desconsidere todos os termos da solução encontrada em (iii) que estão duplicados na solução complementar Yc e_ncontrada em (i) .. Forme uma combinação linear Yp dos termos restantes. Essa é a forma de uma solução particular para L(y) = g(x).

(v)

Substitua_yp encontrada em (iv) na equ~ção J.1..y) = g(x). Agrupe os coeficientes das funções em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de ·equações para os coeficienfes indeterminados em y~.

(vi)

Com a so1ução particular encqntrada em (v), forme a solução geral y equação diferencial dada.

= Yc + Yp

para a

208

4 .6

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 452. Nos Problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coefic ientes indeterminados. L. y" - 9y = 54

2. 2y" - 7y' + 5y = - 29

3. y" + y ' = 3

4. y" + 2y" + y' = 10

5. y" + 4y' + 4y = 2x + 6

6. y" + 3y' = 4x - 5

7. y'" + y" = 8x 2

8. y" - 2y' + y

12. y" + 6y' + 8y = 3e-

11: y" - 2y' - 3y = 4ex - 9

+ 4x

= 5e 6x

10. y" + 2y' + 2y

9. y" - y - l2y = e 4x

13. y" + 25y

= x3

+ 2x

14. y" + 4y = 4 cos x + 3 sen x - 8

sen x

15. y" + 6y' + 9y = -xe 4x

16. y"+ 3y' - IOy = x(ex + 1)

17. y" - y = x 2ex + 5

18. y" + 2y' + y = x 2e - '

19. y" - 2y' + 5y = ex sen x

20. y" + y' +

21. y" + 25y = 20 sen 5x

22. y" + y = 4 cos x - sen x

23. y" + y' + y = x sen x

24. y" + 4y = cos2 x

25. y" + 8y"

= - 6x 2

= e-'{sen 3x - cos 3x)

26. y"' - y" + y' - y = xex - e-x + 7

+ 9x + 2

27. y"' - 3y" + 3y' - y = ex - x + 16 29. /

±y

28. 2y"' - 3y" - 3y' + 2y =(ex+ e-x) 2

- 2y"' + y" = ex +

30. / 4l - 4y"'

3L. 16/4 l - y = ex12

= 5x 2

- e2x

32. / 4 l - 5y" +4y = 2coshx - 6

Nos Problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. 33. y" - 64y

35. y" - 5y'

16, y(O) -

2, y(O)

l, y'(O)

= O,

y'(O)

34. y" + y'

= X,

)'(O)

36. y" + 5y' - 6y

l, y'(O)

LOeix, y(O)

= l , y'(O) = 1

37. y" + y = &- cos 2x - 4 sen x, y(n /2) = - !, y'(n/2) = O

38. y"' - 2y" + y' = xex + 5, y(O) = 2, y'(O) = 2, y"(O) = - 1

Volume l

39. y" - 4y' + Sy

= x 3,

y(O)

Cap. 4

= 2.

Equações diferenciais lineares de ordem superior

y'(O)

209

40. y<-1l - y"' = x + e-', y(O) = O, y'(O) = O, y"(O) = O. y'"(O) = O

Nos Problemas 41 e 42, determin e a forma de uma solução particular para a equação diferencial dada. 42. y" + y'

41. y" - y = e'{2 + 3x cos 2x) 43. Mostre que o operador (xD -

1)(D + 4) é diferente do operador (D

- e - x + x 2 sen x

+ 4 )(xD

1).

44. Prove que a equação diferencial

a,,y<n) + a,, -

1Y(11

+ ... + ª1Y' + ªoY = k,

k uma constante, a0 cct O, tem co mo solução particuiar a função Yp = kl a0 .

4.7

VARIAÇÃO DOS PARÂMETR0S

Revisão de Equações Lineares de Primeira Ordem No Capítulo 2, vimos que a solução geral para a equação diferencial linear de primeira ordem

(1)

P(x)y = j(x),

em que P(x) ej(x) são contínuas em um intervalo/, é y

= e- f P(x)d.x f e f P(x)d.xf(x) dx

Agora, (2) tem a forma y = Yc + Yp• em que Yc = cie dy dx

Yp = e-

+ c ie- f P(x)dx

(2)

f P(x)dx é uma solução para

+ P(x)y = O

J P(x)dx f e f P(x)dx f(x) dx

(3)

(4)

é uma solução particular para (1). Para motivar um método adicional para resolver equações lineares não -homogêneas de ordem superior, vamos novamente deduzir (4), agora por um método conhecido como variação dos parâmetros. O procedimento básico é essencialmente aquele usado na Seção 4.2. Suponha que y 1 seja uma solução conhecida para (3); isto é, dy , dx + P(x)y , = O.

210

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

Provamos na Seção 2 .5 que y 1 =e - f l'(x)dx é uma solução e, como a equação diferencial é linear sua so lu ção geral é y = c 1y 1(x). Variação dos parâmetros consiste em encontrar uma função u 1 tal que

seja uma so lução particular para (1). Em outras palavras, trocamos o parâmetro c 1 por uma variável li\. Subs tituindo Yp = L11Y1 e m ( 1}, obtemos d dx [111 y iJ dy1

li\

d; +

u 1[

dy1

--;J; +

+ P(x)u1Y1

= f(x)

du1 dx + P(x)u1 Y1 = f(x)

P(x)y1

]

du1

+ YI dx = f(x)

du 1

h.J; =

assim

J(x) .

Separando as variáveis, encontramos =

Jf(x)

dx,

Y1(x)

segue-se então que Y = it1Y1 = YI

f(x) dx. Y1(x)

Pela definição de y 1, vemos que o último resultado é idêntico a (4).

Equações de Segunda Ordem Para adaptar o procedimento preceden te a equações d iferenciais lineares de segunda ordem a2(x)y"

+ a1(x)y' + ao(x)y = g(x),

(S}

colocamos (5) na forma padrão y" + P(x)y' + Q(x)y = f(x)

(6)

dividindo por a2(x) . Aqui, supomos que P(x), Q(x) e f(x) são con tínu as em algum intervalo /. A eq uação (6) é análoga a (1). Como sabemos, quando P(x) e Q(x) são constantes, não temos nenhuma dificuldade em escrever Yc·

Volume l

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

2/ /

Suponha que YI e Y2 formem um conjunto fundamental de soluções em / da forma homogênea associada (6); isto é,

Yí' + P(x)yÍ + Q(x)y1 = O e Yí' + P(x)yí + Q(x)y2 Agora, perguntamos: podemos encontrar duas funções

tt 1 e

u 2 tais que

seja uma solução particular para (6)? Note que nossa s uposição para y1, é a mes ma que + C2J'2, mas substituímos e, e c2 pelos·· parâmetros variáveis" u1 e u2. Como queremos determinar duas funções desconhecidas, a razão nos diz que precisamos de duas equações. Como na discussão introdutória que resultou na descoberta de (4), uma dessas equações resulta u1Y1 + 1tzY2 na equação diferencial dada (6). A outra equação que impoda substituição Yp mos é

Yc = C1)'1

(7) Essa equação é uma suposição que fazemos para simplificar a primeira derivada e, conseqüentemente, a segunda derivada de Yp· Usando a regra do produto para derivar y1,, obtemos

(8)

ass im Continuando, encontramos Substituindo esses resultados em (6), temos

y;' + Py; + Qy,, + U1Yí' + YÍ uí + UzYí' + YÍ ui + PutYÍ + PuzYí + Qu1Y1 + Qu2Y2 = u, (yí' + Pyí + Qyi] + 112 [yí' + Pyí + Qyz] + Y Í uí + YÍ uí = f(x).

Em outras palavras, u 1 e u 2 têm de ser funções que também satisfaçam a condição (9)

As equações (7) e (9) constituem um sistema linear de equações para determinar as de ri vadas Pela regra de Cramer, * a solução para

uí e uí.

Veja o Apêndice Ili para obter uma revisão sobre a regra de Cramer.

212

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

y (u( + yiui =J(x) · pode ser expressa cm termo s de determinantes:

(10) em que

O y( J(x)

1 YI

(11)

O determinante W é o Wron skiano de )'J e >'2· Pela independência linear de )'J e Y2 em /, sabemos que W(x) ~ O para todo x no intervalo.

Resumo do Método Em geral, não é uma boa idéia memorizar fórmulas em vez de entender o processo. Porém, o procedimento precedente é muito longo e complicado de usar cada vez que queremos resolver uma equação diferencial. Neste caso, é mais eficiente simplesmente usar as fórmu las de (10). Então, para resolver azy" + a1/ + CIO)' = g(x), primeiro encontre a função complementar Yc = C1Y1 + C2Y2 e então calcule o Wronskiano

Dividindo por a2, colocamos a equação na forma y" + Py' + Qy = J(x) para determinar J(x). Encontramos u1 e u2 integrando u( = W1 /We ui = W2/W, em que W 1 e W2 estão definidos em ( 11). Uma solução particular é Yp = u 1y 1 + u2Y2· A solução gera l para a equação é portanto Y = Yc + Yp·

EXEMPLO Resolva

1 y" - 4y' + 4y = (x + l)e 2x

Solução Como a equação auxiliar é m 2

Identificando y 1

4m + 4 = (m - 2) 2 = O, temos

e2x e Y2 = xe2x, calculamos o Wronskiano 2x2x W( e , xe )

= 1 2ee 2x2x

xe 2x 2x

2xe

2x 1

Volume I

Cap. 4

Equações difere11ciais lin ea res de ordem rnperiar

2 J3

Co mo a equação difere nci al dada já es tá na forma (6) (islo é, o coeficienlc de y" é I ). iden tificamos f(x) = (x + 1)e 2x Por ( 11 ), obtemos

O + 1)e2x

2e 2r

e2r

:e 2x

2xeLr

= -(x + l)xe4'

e2r

= (x + 1)e4r

? · I

(x + 1)e -'

e então, por ( 10), (x

+ 1)xe 4 r e

Segue-se que

J. \

\ 1-l(\1.61'

Í 111

= -x- -

1 ) · J,,I ) b 1 .i! '] ... x3 x2

= -

+ l)e 4'

--e~x--

Uz =

= x

+X .

Port anto,

•

Logo,

EXEM PL O

2 4y" + 36y = cosec 3x.

Reso lva

Solução

Prime iro. co loca mos a equação na forma padrão (6), dividindo por 4:

)' " + 9)' = 41 Como as raízes da equação auxiliar m 2 + 9 tar é

Yc = Usando y 1

= cos

3x, y 2

= sen

3x ej(x)

COS

3X.

= O são m 1 = 3i e m2 = -

3í, a função complemen -

cos 3x + c2 se n 3x.

= (1/4)

W( cos 3x, sen 3x ) =

cosec 3x, e ncontramos

cos 3x - 3 sen 3x

sen 3x 3 cos 3x

= 3

214

Eq11ações Diferenciais

Cap. 4

Val11m e 1

cosec3~

scn 3x 3 cos 3x

cos 3x 1

±coscc 3x

- 3 sen 3x

= _ _!_

1 cos 3x

4 se n 3x .

Integrando, W1

uí = W = - 12

1 cos 3x

12 sen 3x

obtemos

1 12x

111 = -

1 e 112 - 36 lnlsen 3xl.

Então, uma sol ução particu lar é Yp = -

l 12 x

1 cos 3x + 36 (se n 3x) lnlsen 3xl.

A so lução gera l para a equação é

= Yc +

= e 1 cos 3x +

scn 3x -

1 12 x cos 3x

+ 36 (sen 3x) lnlsen 3xl.

(12)

•

A equação (12) repre se nta a so lução gera l para a equação dife re nci al no intervalo (0, rr/ 6).

Constantes de Integração Quando calculamos as integrais indefin idas ocorre porque Y = Yc

+ Yp = =

EXEMPLO

C1)'1 (c 1

uí e ui,

não prec isa mos introdu zir constantes. Isso

(u1

+ a1)Y1 +

(c2

+ b1)Y2 +

C2)'2

a1)Y1

(112 1t1Y1

+ b1)Y2 +

112)'2

3 y"

Resolva

Solução A equação auxiliar m 2

1 -y=:;·

l = O tem raízes m 1 = - 1 e m 2 = l. Portanto

Volume l

Cup. 4

Equarões diferenciais lineares de ordem superior

215

-2

11(

e - x( llx) ui

-2 e -x(l / x)

= -1

u2 = -

-2

J' dt t 1 f -2 ~ dt - r !!____

.\"{)

"º

É sabido q ue as integrais que definem u1 e 112 não podem ser expressas em termos de funções elementares. Então, esc revemos

Yp =

21 e x

J 'e - rd

t -

- x J' e' d

assim

• No Exemplo 3, podemos integrar em qua lquer intervalo xa

t ~ x que não contenha

a origem .

Equações de Ordem Superior O método que acabamos de examinar para equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem pode ser generali zado para equações lineares de n-ésima ordem que tenham sido colocadas na for ma yM + P,, _ 1(x)y< 11 Se y = lar é

C1Y 1

C2)'2

+ ... + P1(x)y' + Po(x)y = f(x).

(13)

+ ... + c,,y11 é a função complementar de ( 13), então uma solução particuYp = u 1(x)y1(x) + uz(x)yz(x) +

un(x)y 11 (x),

em que os uf, k = l , 2 , . . . , n são determinados pelas n equações

216

Equações Dife renciais

Cap. 4

Volume I

Y 1t1( + y( u( +

YÍ u( +

y,,u,; =O

y,; u,;= O

v~'

1)u,;. =

f(x).

As primeiras /1 - 1 equ ações do siste ma , co mo e m (7), são supo sições feitas para simplifi ca r as primeiras /1 - 1 deri vadas de Yp· A última equação do sistema result a da sub stituição da 11-és im a derivada de Yp e as derivada s de ordem meno r si mplifi cadas em ( 13) . Nes te caso, a regra de Cramer nos dá

uí, =

k = l, 2, .. ., n,

e m que W é o Wron ski ano de y 1, y 2, .. ., y,, e Wk é o determinante obtido substituind o a k- és ima co luna do Wron ski a no pela coluna

o o o f(x). Quand o n = 2, obte mos ( 10) e ( 11 ).

Observação (i) A variação do s parâmetros tem uma vantagem sobre o método dos coefic ientes indeterminado s. Ela sempre produz uma so luç ão parti cular Yp· desde que a equação homogênea associada possa ser reso lvida. O presente método não se limita a um a funçãof(x) que seja combinação linear dos quatro tipos de funçõ es listadas na página 183 . Ainda, a variação do s parâmetros se aplica a equações diferen c ia is com coefi c ientes variávei s. Nos probl e ma s que seg ue m , não hesi te em s implifi ca r a forma de Yp · Depe nd e ndo de co mo as antiderivadas deu( e ui forem encontradas. você pode não obter a mesma Yp dada na seção de r espos tas . P o r exemplo, no Probl e ma 3, Yp = (senx -xcosx)/2 e Yp = (senx)/ 4 - (xcosx)/2 são res postas válidas. Em qualquer caso, a so lu ção gera l y = Yc + Yp pode ser simplificada , o u seja, y = c 1 cosx + c2 sen x - (x cosx)/2. Por quê? (ii) Nos Problemas 25 -28, pede-se para reso lve r os probl emas de va lo r inicial. Certifique-se de aplicar as condições iniciai s à so lução geral y = Yc + Yp · Estudantes freqüenteme nte co mete m o erro de aplicar as co ndições iniciai s so me nte à função co mplementa r Yc· pois e la é a parte da so lução que contém as constantes. Faça uma revi são do Exemp lo 8 da Seção 4.4 para o correto procedimento .

Vo lum e I

Cap . 4

Eq uações dife rencia is lin ea res de o rdem superio r

2 17

EXERCÍCIOS

4. 7

As r espostas dos exercícios selecio n ados estão nas páginas 452 e 453. Nos Probl e mas 1-24 , resolva cada equação di fere ncia l pe lo mé tod o da va ri ação d os parâm etros. De fin a um in tervalo no qua l a solução gera l seja válid a. 1. y

)' "

+y= secx

2. y

+ )'

= tgx

= sc n x

4. y

+ y

= sec .x

+ y

6. y " +y

y " +y= cos2 x

7. y " -y= cosh x

)' " -

= e 2\/x =

11. y " + 3y + 2y 13.

)' "

17.

)' " -

2y + y

19. 3y " - 6y

21.

)' "'

= sen e

+ 3y + 2y

IS . y " - 2y +y

+ )'

l /( l + e') \

= e- ·'/( I

x2 )

= e-' ln x

+ 30y

)' "

10.

)' "

- 9y

= 9x/e 3' = e 3'!( 1 +

L2. y "

3y + 2y

14. y

2y +y= ex arctgx

16.

2y + 2y

22. y'" + 4y

= e3'

24.

)' "'

e')

= e\ secx = e- 10.11x2

25y

= exl 2 { 1 7

20. 4y " - 4y + )'

= tgx

tg.l

= senh 2x

18. y " + IOy +

= e" tg 3x

23. y "' - 2y " - y' · + 2y

= sec

= sec 2x

6y " =

~\'"-

Nos Prob le mas 25-28, resolva cada equação difere nc ia l pe lo mé todo d a va riação dos pa râ metros, s uj e ita à condi ção ini cial y(O) = 1, y'(O) = O. 25. 4y" - y = xex12

26. 2y" + y' - } =

27. y" + 2y' - 8y = 2e-2x - e-x

28. y" - 4y' + 4y = ( l 2x 2

+ 1 -

6x )e 1 '

29. Sabendo que )' I = x e )'2 = x ln x formam um conjunt o fun da menta l de so lu ções para x\•" - xy' + y = O e m (O, = ).encontre a solução geral para

x 2y" - xy'

+ y = 4x ln x.

30. Sabendo que )' t = x 2 e )'2 = x 3 fo rma m um conjunto fund a me ntal de soluções para x 2y" - 4.ly' + 6y = Oem (O, =),encontre a solução geral para

x\" -

4xy' + 6y =

.!.X ·

31. Sabe ndo qu e y 1 = x- 112 cos x e )'2 = x- 112 sen x fo rm am um co njunto fundam ental de soluções para x 2y" + xy' + (x 2 - :J- Jy = O em (O, =),encontre a solução geral para

2 18

Eq uações Diferenc ia is

Cap. 4

Volu m e I

, , ' ( , 4l)

x -y + xy + x- -

y = x ·V,- .

32. Sabend o q ue y 1 = cos(ln x) e y2 = sen(ln x) são so luções linearmente independentes para x 2y " + xy' + y = Oem (O , = ): (a) Enco ntre uma solu ção parti cul ar para x\ .·" + xy' + y

sec(ln x).

(b) Dê a solução gera l para a equação e defi na um intervalo c m qu e esta seja vá li da. [Su ges rão: Não é (O, = ). Por qu ê? [

33. (a) Use o método dos coe fi cientes ind etermin ados para enco nt rar uma so lu ção parti cular para y " + 2y' + y = 4x 2

(b) Use o método da variação dos pa râmetros para encontrar uma so lução parti cul ar para -X

y" + 2y ' + y = _e- . X

(e)

Use o princípi o de superposição (Teorema 4.9) para encontrar uma so lução part icular para y " + 2y' + y = 4x 2

3 + _e - · X

34. Use o método delineado no Pro blema 33 para encontrar uma so lução particul ar para

y" + y = 2x - e 3"' + cotgx .

Capítulo 4

REVISÃO

Res umimos os res ultados importantes des te capítul o para equações diferenciais lineares de segunda ordem . A equ ação a2(x)y"

+ a1(x)y' +

ao(x )y

(1 )

é homogênea, enqu anto a2(x )y"

a ,(x)y'

ao(x)y = g(x ),

(2)

g(x) não identicamente nul a é não-homogênea . Na co nsideração de equações lineares ( 1) e (2), supomos que a2(x ), a1 (x), ao(x ) e g(x) são contínu as em um intervalo l e que a2(x) 7' O para todo

x no intervalo . Sob essas hipóteses, exi ste uma única solução para (2) qu e sati sfaça a condição inicial y(xo ) = Yo, y'(xo) = yó, em que xo é um ponto em!. O Wronsls:iano de duas fun ções di fe renciáve is f1(x) efz(x) é o determin ante

Cap. 4

Volume /

Equações diferenciais lineares de ordem superior

2 19

_ ,f,(x) h(x) 1

<Ji(x), h(x)) -

fí(x) fi(x).

Quando W ,t O em pelo menos um ponto no inte rvalo, as funções são linearmente independentes no intervalo. Se as funções são linearmente dependentes no intervalo, então W = O para todo x no intervalo. Na reso lução da equação homogênea (l), queremos soluções linearmente independentes. Uma condição necessária e suficiente para duas soluções y 1 e J2 serem linearmente inde pe ndentes em I é W(y ,, Y2) ,t O para todo x em /. Dizemos que YI e Y2 formam um conjunto fundamental em I quando elas são soluções linearmente independentes de ( l ) no intervalo. Para quaisquer duas soluções y 1 e y 2 , o princípio de superposição diz que a combinação linear c 1y 1 + C2J2 é também uma solução para ( 1). Quando y 1 e Y2 formam um conjunto fundame ntal. a função y = c1Y1 + C2J2 é chamada de solução geral para ( l ). A solução geral para (2) é y = Yc + Yp· em que yc é a função complementar, ou solução geral. para ( 1) e Yp é qualquer solução particular para (2). Para resolver (l) no caso ay" + by' + cy = O, a, b e e constantes, primeiro reso lvemos a equação auxiliar am 2 + bm + c = O. Há três formas de solução geral, dependendo das três possibilidades das raízes da equação auxiliar. Solução Geral

Raízes

= c 1em1x

2. m1 e 1112: reais mas 1111 = 1112

}' = c1em1x + cixenqx

c2em2x

3. 1111 e 1112: complexas y

•• ••

l. 1111e1112: reais e distintas

1111 = a + i{J, 1112 = a - i{J

•• ••

= eª"'(c 1 cos f3x

sen {Jx)

·1 1

Para resolver uma equação diferencial não-homogênea, usamos o u o método dos coeficientes indeterminados, ou o método da variação dos parâmetros, para encontrar uma solução particular Yp· O primeiro procedimento limita-se a equações diferenciais ay" + by' + cy = g(x), em que a, b e e são constantes e g(x) é uma constante, um polinômio, eª x, cos f3x, sen {3x, ou somas e produtos finitos dessas funções.

Capítulo 4

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 453. Responda aos Problemas 1-10 sem cons ultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso. Em alguns casos, pode haver mais de uma resposta correta. L A única solução para y" + x 2y = O, y(O) = O, y'(O)

= O é _ _ __

2. Se duas funções diferenciáveis f1(x) e fz(x) são linearmente independentes cm um intervalo, então W(f1(x),f2(x)) i' O para pelo menos um ponto do intervalo. _ _ _ __

1 1 1

220

Equações Diferenciais

Cap. 4

\lolume I

3. Duas fun ções /1(x) e f2(x) são linearme nt e in de pendentes e m um interval o se uma não é múlt ipl a da out ra. _ _ _ __

4. As fun ções f1(x) = x 2.J1(x) = 1 - x 1 e /J(x) = 2 + x 2 são linearme nte _ _ _ __

no interva lo

(-~. ~).

5 . As fun ções/1(x) = x 2 ef2(x) = x 1x 1 são lin earme nte indepe nde ntes no int ervalo _ _ _ _ _ , mas elas são lin earm ent e dependent es no inte rvalo _ _ _ __

6. Duas so luções y 1 e y2 de y" + y' + y = O são linea rmente de pe nde ntes se W(y1, y2) = O para 10do valor rea l de x. _ _ _ __

7. U m múltipl o de um a so lu ção para um a equação di fe renc ia l é ta mb é m um a so lu ção. _ _ __

8. Um conjunto fund a me ntal de duas so luções pa ra (x - 2)y" + y = O ex iste e m qualquer inte rva lo que não conte nha o ponto _ _ _ __

9. No método dos coefi cientes indeterminados, a fo rma da so lução particular Yp para y" - y = 1 +

10. Um operado r di fe re ncial que a nula e 2'(x + se n x) é _ _ _ __ Nos Prob le mas 11 e 12, e nco ntre uma seg unda so lução para a equ ação difere ncial se y 1(x) é uma dada so lu ção. 11. y" + 4y

= 0.

= cos 2x

12. xy"- 2(x + l )y'+ (x +2)y =0. )'!=e"'

Nos Pro bl e mas 13- 18, e ncontre a solu ção gera l para cada eq uação di fere ncial. 13. y " - 2y' - 2y = 15. y'"

14. 2y" + 2y' + 3y

+ LOy'' + 25y' = O

16. 2y"'+ 9y"+ 12y' + Sy =O

17. 3y'" + IOy" + ISy' + 4y =O

d" d3 d2 d 18. 2 ~ + 3 .!!..l'. + 2 .!!..l'. + 6 ~ - 4y = ~

Nos Proble mas 19-22, reso lva cada equação di fere ncial pe lo métod o dos coefi cie ntes indeterminados. 19. y"- 3y'+ Sy = 4x 3

21. y'" - 5y" + 6y = 2 scn x + 8

20. y" - 2y' + y = x 2e-' 22. y"' - y" = 6

Nos Pro bl emas 23 e 24, reso lva a eq uação di fere ncia l dada suj eita às co nd ições in dicadas.

23. y" - 2y' + 2y = O, y(n/2) = O, y(it) = - 1

24. y" - y = x + sen x, y(O) = 2, y'(O) = 3

Nos Pro bl e mas 25 e 26, resolva cada equ ação di fere ncial pelo mé todo da variação dos parâ metros.

25. y" - 2y ' + 2y = er tgx Nos Pro bl e mas 27 e 28, reso lva a equação di fe re ncial dada suj eita às condi ções indi cadas. 27. (2D 3 -

l3D 2 + 24D - 9)y = 36, y(O) i= -4, y'(O)

28. y" + y

= sec\,

y(O) = l , y'(O) = ~

= O,

y''(O)

Volum e I

Ensaio

Caos

22 1

ENSAIO

Caos

John H. Hubbard Departame nto de Matemática Comei/ Unive rsity

ma his tó ri a fa mosa de fi cção c ie ntífi ca co nt a q ue um po líti co, após ter ga nho uma e leição, reali zo u uma viage m cm uma máquin a do te mp o de vo lt a à era dos dinossa uro s. Enqu a nto es tava Já, to mo u todo o cuid ado para não perturbar nad a. Mes mo ass im, e le pi so u se m qu erer e m um a fo lha de grama e a ento rtou. Qu and o vo lt ou ao se u te mpo, desco briu qu e nes te mundo modificado e le tinh a perdi do a e le ição . Is to é o qu e os matemáti cos tê m em me nte qu and o di zem qu e um s iste ma aprese nt a caos: mín imas variações na co ndição ini cial de um siste m a pode m dec isiv amente afeta r o res ul tado . Esta mos faland o do efe ito bo rbo leta. O bater das asas de um a bo rboleta no Japão pode ter um e fei to dec isivo no te mpo, um mês depo is, nos Es tados Unidos? A maio ri a das pessoas co nsiderari a essa qu estão absurd a, ridíc ul a, sem pensar du as vezes . Mas e u acho qu e é uma ques tão re levante, se o interv a lo de te mpo fo r de pe lo menos se is meses, e pro ponh o aqui dar a lgumas razões qu antitati vas para minh as conc lusões. Uma ju stific ati va para o e feito borbo leta não é de m a ne ira a lg um a óbvia . Não te mos uma máq uin a do te mpo di spo nível; não podemos vo ltar no te mpo seis semanas, pegar um a borbo leta (sem perturb ar nada, qu a lqu er q ue seja o signi ficado di sto) e e ntão reto rn ar e observa r as conseqüênc ias. Prec isa mos to mar o utro ca minho. Para ajudá- lo a aco mpanhar a idé ia, desc revere i um " mode lo lúdi co" que mos tra claramente o "efeito borbo leta", através do qu a l as idé ias qu e serão apresentadas podem ser entendi das. Co nside re o s istema (pura me nte mate mático) no qu a l, a cada tiqu e do re lóg io, um ângul o é dobrad o . Um estado do siste ma é um ângulo, e e le evo lui do brando seu va lor a cada instante. Em símb olos, você pode desc rever o sistema co mo um a seqüê nc ia de âng ul os

em que 80 é o estado inicia l d o siste ma e 811 + 1 = 28 11 •

222

Equações Dife re11 ciais

Vo lu me I

Esse sistema re prese nta o compo rtamento do efeito bo rboleta. Se 80 for perturbado por um bilio nés imo de uma volta, então o es tado após 30 tiqu es do relógio é co mpletamente desco nhecido. Na verdade, a incerteza em nosso conhecimento sobre o es tado do sistema dobra a cada tiqu e; após 30 tiqu es, nossa incerteza é agora de 230

1.000.000.000 ' Ou sej a, mai s de uma vo lta; nada mais sabemo s. O exempl o acima traz uma noção-chave em todas as descri ções de caos: ent ropi a. Isso é essencialmente a taxa de di ssipação de in fo rm ação . Há vá ri as maneiras de descreve r essa taxa co m preci são, e elas têm vári os no mes (por exempl o, exponencial de Lyapunov), mas, para o propósito des te texto , vo u me co ntentar co m o tempo de duplicação: o tempo necessá rio para uma pequena incerteza se duplicar. Co mo faríamos para es tim ar esse temp o no sistema form ado pelos fato res meteo rol ógicos? É claro qu e não podemos '"escolh er dois es tados iniciai s separados um do o utro po r um épsilo n e medir a tax a em que di vergem" , mas podemos fazer algum a coisa parecida co m isso. Podemos verifi car épocas passad as co m co ndi ções meteoro lógicas semelh antes. Então podemos ver qu anto tempo levo u para um a mud ança dessas co ndi ções. Isso te m sido fe ito. proporcionando o cálcul o de um tempo de dupli cação de dois di as e meio. Você também pode ir ao departamento de meteorol ogia de um grande ins titu to ele pesqui sa (po r exe mpl o, o In stitut ele Météo rolo gie de l'uni versité de Paris -VI) e pergu ntar qu al é o tempo de duplicação calculado po r suas melho res simul ações computacionais. Você obte rá o mes mo valor. A próxim a ques tão co m qu e devemo s nos de parar é: o qu e co rrespo nde ao nú mero um bili onés imo acima? Qual propo rção do sistema (a atmo sfera) representa nosso di stúrbio (um a borboleta) ? Um a maneira (talvez co ntestável) de estim ar isso é simplesmente medir a razão das massas. O peso de uma borboleta grande é cerca de 1 g rama, e a massa da atmosfera pesa 5 x 102 1 gram as. A pressão atmos féri ca é de aprox imadamente l kg/c m 2 , ou sej a, há 1 kg de ar ac ima de todo centímetro qu adrad o da terra. A área de um a esfera de raio r é 47t r 2 , e o ra io da terra é de cerca de 6000 km. Então, o peso da massa atm osféri ca é 1000 x 4 x 7t x (6 x 108)2 gramas. Logo, um a bo rb oleta não é um bilio nés imo do tamanh o do sistema; e la é prec isa men te mil -bi lh ão- bili o nés imo . Co mo 5 x 102 1 é aprox imadamente 2 72 , deve levar cerca de 72 períodos de duplicação para os efeitos de uma única borboleta indu zirem perturbações em uma escala global.

Vo/11111 e 1

E11saio

Caos

223

Uma conseqüência dessa análise é que previsões do tempo para períodos longos são completamente impossíveis. É inconcebível que alguém possa saber o estado da atmosfera como conseqüência do efeito de uma borboleta, ou mesmo em uma escala mil bilhões de vezes maior. Perturbações dessa escala decisivamente afetam a atmosfera em um mês. Físicos, químicos, astrônomos e matemáticos estão mostrando agora que uma enorme quantidade de sistemas apresentam "caos", no sentido de que estão se expandindo e têm um tempo de duplicação para erros. Um exemplo foi dado pelo meteorologista E. Lorenz, cuja descoberta pode ter sido o começo dessa linha inteira de pensamentos. Em 1961, ele estava realizando uma simulação meteorológica. Os computadores da época eram primitivos, por isso os dados tinham de ser drasticamente simplificados, para tornar possível o trabalho computacional. Ele observou vários comportamentos a partir de seu modelo, aparentemente bem satisfatórios, até o dia em que decidiu examinar alguma coisa que ele já tinha computado durante um período de tempo mais longo. Ele registrou o que pensou ser as condições iniciais originais, foi tomar uma xícara de café e quando voltou percebeu que seu novo tempo não estava de acordo com a previsão anterior de seu modelo. Ele notou que regi strara as condições iniciais com menos decimais que as condições iniciais da simulação anterior; e isso causara a discrepância. Após simplificar ainda mais seu modelo, Lorenz descobriu que o seguinte sistema de equações diferenciais exibia o mesmo tipo caótico de comportamento: x'

IO(y - x)

28x - y -

z'=3 z +xy. Trabalhos posteriores nessas equações e outras em R3 mostraram que comportamento caótico e atratores fractais são comuns. A presença de caos tem um efeito devastador sobre as previsões, mas algumas vezes é útil; às vezes, o caos pode ser controlado. A NASA não é capaz de construir foguetes com combustível suficiente para alcançar grandes distâncias. Então, eles fizeram com que o foguete tocasse delicadamente em Vênus, roubando dele um pouco da energia potencial necessária para alcançar a fantástica velocidade requerida. Apenas uma pequena variação na trajetória pode provocar uma grande variação na velocidade do foguete, e trajetória é um projeto factível. Mas imagine como isso dificulta previsões para longas trajetórias como órbitas de cometas, por exemplo. A presença de caos também tem consequências filosóficas, como, por exemplo, o conflito entre determinismo e contingência. Como o ser humano pode ser livre se o universo é completamente governado por leis determinísticas?

224

Eq11aç6e.1· Diferencia is

Vo/11me 1

Se as equações ex ibem caos, então segue-se que você não pode saber se são determinísti cas, não impo rt a o tempo que observe o sistema . Se você fosse observar uma seqüênci a de ângul os, cada um com 15 decimais, nunca poderia saber se está observ ando uma seqüência de duplicações exatas de um âng ul o o u o mes mo sistema perturbado em um a esca la menor qu e 10- 15 (tal co mo erro de arredo ndamento ) Analogamente. se o cé rebro não es ti vesse segu indo exatamente as leis da física, mas se enco ntrasse perturbado (por forças esp irituais, liberdade, deus) em um a escala imensuráve l, sem afetar drasticamente o sistema (eu du vido que alguém reaj a da mes ma forma co m eletrod os em se u cé rebro), ent ão, embora você nunca so ubesse, em talvez 4 seg und os, poderia decisivamente alterar todas as decisões. Precisamente, seria necessário o conhecimento sobre o tempo de dupli cação do cé re bro. A introspecção me di z que isso deve ser talvez O, 1 seg undo , o tempo de uma co mpreensão elementar. Talvez, algum di a, os ne urologis tas cheg uem a uma estimativ a mais confiável. Se isso for acurado, então 4 seg und os serão 40 tem pos de duplicação, e 240 "' 10 12 é apro ximadamente o número de neurô ni os do cérebro. Pessoalmente, não acho que haja um deus atrapalhand o as leis fís icas em meu cérebro, mas isso não é possível saber. O caos nos impede de saber tais coisas . De modo mais gera l, em bora e u tenha a seg urança que você poderia esperar de um cienti sta, acho que o mundo é esse ncialmente inco mpreensível, co m toda so rte de pequ enos eve ntos tendo enormes co nseqü ências sem nen huma espera nça de pre visão ou entendimento. Se você ac ha abs urda a idéia de que suas menores ações provavelmente influenciam todo o mund o futuro, pense no seg uinte fato: a menor variação no co mportam ento sex ual de qualquer pessoa no ano 800 d.C., teria certam ent e afetado o mundo de vá ri as maneiras inca lculáv eis.

Cap ítulo

A PLI CAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM: MODELOS VIB RATÓRIOS 5.1 5.2 5.3

5.4

Movimento Harmônico Simples Movimento Amortecido Movimento Forçado

Circuitos Elétricos e Outros Sistemas Análogos Capítulo 5 Revisão Capítulo 5 Exercícios de Revisão Ensaio: Ponte Tacoma Colapso de Pontes Suspensas

Conceitos Importantes Movimento livre Movimento hannôni co simples Movimento livre sem amortecimento Período Freqüência Equações do movimento Amplitude Ângulo de fase Movimento livre amortecido Superamortecimento Amortecimento crítico Subamortecimento Movimento forçado Termo transitório Solução transitória Solução do estado estacionário Resso nância pura Ressonância Curva de resso nância Vibrações elétricas Circuito superamortecido Circuito criticamente amortecido Circuito subamortecido Corrente do estado estacionário Reatância Impedância Deslocamento extremo

Uma

única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para muitos fenômenos diferentes. A equação diferencial linear de segunda ordem ay" + by' + cy = f(t) aparece na análise de problemas na física, engenharia, química e biologia. Neste capítulo, nosso foco principal é na aplicação: o movimento de uma massa atada a uma mola. Veremos o significado de cada termo da equação acima no contexto do sistema vibratório. Veremos também que a matemática de um circuito em série é idêntica à do sistema vibratório massamola; somente a terminologia e a interpretação física dos termos da equação são diferentes. Nosso propósito, é claro, não é estudar todas as aplicações possíveis, mas sim fami liarizá-lo com os procedimentos matemáticos comuns a esses problemas.

225

226

Equações Diferencia is

Cap. 5

Volume I

5.1

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

Lei de Hooke Suponha, como na Figura 5.1 (b), uma massa m 1 atada a ·uma mola flexível suspensa por um suporte rígido. Quando m1 é substituída por uma massa diferente m2. o alongamento da mola será obviamente diferente. suporte rígido

em repouso (a)

{b)

(e)

Figura 5.1

Pela lei de Hooke, * a mola exerce uma força restauradora F oposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s. Simplesmente enunciada F = ks, em que k é unia constante de proporcionalidade. Embora massas com pesos diferentes distendam a mola com alongamentos diferentes, a mola é caracterizada pelo número k. Por exemplo, se uma massa pesando 1O kg provoca uma distensão de 2 cm em uma mola, então 98 = 2k implica

k = 49 N/c m

Necessariamente então uma massa pesando 8 kg provoca uma distensão na mesma mola de l,6cm.

Robert Hooke (1635 - 1703) Físico e inventor inglês, Hooke publicou essa lei em 1658. A idéia de atar uma mola a um volante de relógio, causando movimento oscilatório que permite a um relógio marcar unidades de tempo, é atribuída a Hooke. O conceito da mola de equilíbrio levou à invenção do relógio de bolso por Christian Huygens em 1674. Hooke acusou Huygens de ter roubado sua invenção. lrritável e controvertido, Hooke acusou muitos colegas seus, especialmente Isaac Newton, de plagiadores.

Volume J

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem. ..

22 7

Segunda Lei de Newton Apó s uma massa m ser atada a uma mola. ela provoca uma distensão s na mola e atinge sua posição de equi líbri o na qual o peso W é igual à força restauradora ks. Lembre-se, da Seção 1.2, de que o peso é definido por W = mg

em que a massa é medida em quilogramas e g = 9,8 m/s 2. Como indicado na Figura 5.2(b), a condição de equilíbrio é mg = ks, ou mg - ks = O. Se a massa estiver des locada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio e for solta, a força resultante nesse caso de dinâmica é dada pela segunda lei de Newton F = ma, em que a é a aceleração d 2x! dt 2 . Supondo que não haja forças de retardamento agindo sobre o s istema e supondo que a massa vibre sem influência de outras forças externas - movimento livre -, podemos igualar F à força resultante do peso e da força restauradora:

d 2x m= - k(s + x) + mg dt 2 - kx + mg - ks = - kx .

...__,,._., ~

(1)

O sinal de subtração em ( 1) indica que a força restauradora da mola age em direção oposta ao movimento. Ainda , adotaremos como convenção que deslocamentos medidos abaixo da posição de equilíbrio são positivos. Veja a Figura 5.3 .

movimento (a)

(b) Figura 5.2

(e)

228

Equações Diferenciais

Cap. 5

Vo lume I

Figura S.3

Equação Diferencial do Movimento Livre Sem Amortecimento Di vidindo (1) pela massa m, obte mos a equ ação d iferencial de segunda o rde m d 2x dt 2

d 2x

? - + arx

(2)

=O,

(3)

+ -x= m

dt 2

em qu e w2 = klm. Dize mos q ue a equ ação (3) desc reve um mo vimento harmônico simples, o u movimento livre sem amortecimento . Há duas co ndições iniciais óbvias associadas a (3):

x(O) = a,

x'(O) = (3,

(4)

representando o des locame nto ini cial e a velocida de in ic ial, res pec ti va me nte. Po r exemplo, se a > O, f3 < O, a massa parte de um po nto aba ixo da pos ição de equil íbri o co m velocidade ini cial diri gida para cima. Se a < O. f3 = O, a massa é solta a partir do repouso de um ponto la l unidades acima da pos ição de equilíbrio, e ass im po r di ante .

Solução e Equação de Movimento Para reso lver a equ ação (3), nota mos q ue as solu ções para a eq uação auxi li ar números co mplexos

m 1 = wi,

111 2

+ w2

O são

= -wi .

Então, de (8) da Seção 4.3, e nco ntramos a so lu ção gera l para (3) x(t ) = c 1 cos Wl

c2 sen w1.

(5)

O período de vi brações li vres desc rito em (5) é T = 2n/w, e a freqüência é f = 1/ T = wlm. * Por exemplo, para x(l) = 2 cos 31 - 4 sen 31, o período é 2n/3 e a freqüência, 3/2n. O primeiro

Às vezes o número w é chamado de freqüência circular de vibrações . Para movimento Livre se m amortecimento, os números 2it/w e w/27t são também conhecidos como período natural efreqüência na'tural, respectivamente.

Vo/11111e /

Ca11. 5

Aplicações de equações diferenciais de segunda o rdem ...

229

número signi fica qu e o gráfico de x(t) se repe te a cada 2n/ 3 unidades; o último número s ignifica que há 3 ciclos de g ráfico e m cada unidad es, o u de man e ira equi va le nte, a massa está suj e ita a 3/ 2Jr vibrações co mpletas po r unid ade de te mpo . Ainda pode ser mo strad o que o pe ríodo mlw é o inte rva lo de tempo e ntre doi s máximos s ucess ivo s de x(t). Lembre-se de que um máx im o de x(I) é um deslocame nto pos itiv o correspondente à di stância má xima a tingida pel a massa a baixo da pos ição de equilíbrio, enquanto um mínimo de x(t) é um des loca me nto negativo correspondente à a ltura máxima atingida pe la massa acima da pos ição de equilíbrio . Iremos no s referi r a cada caso co mo um deslocamento extremo da massa. Fina lm e nte, quando as condições iniciai s (4) são usadas pa ra determinar as co nsta nt es c 1 e c2 e m (5), di ze mos qu e a so lu ção particu lar res ult a nte é a equação de movimento .

EXEMPLO Resolva e int e rpre te o probl e ma de valor inicial

d 2x

d1-

+ 16x =O,

10,

x(O)

x'(O) = O.

Solução

O problema é equival e nte a puxar um a massa a tad a a um a mo la para baixo 10 unid ades abaixo da po sição de equilíbri o, seg urand o-a a té t = O, e e ntão so ltá -la a partir do repo u>o. Aplicando as condições ini c iai s à so lução x(1) =

cos 41

x(O) = 1 =

obtemos de forma que

C1 X

+ 1

c2 se n 41

c2 X

10, e então x(t)

dx dt

10 cos 41 + c2 sen 41

= - 40

sen 41 + 4c2 cos 41

x'(O) = O =4c2 x 1. A última eq uação impli ca que c2 = O; portanto, a equ ação de mo vime nto é x(t) = 1O cos 41. A so lu ção mo s tra c laram e nt e que , uma vez qu e o s is te ma seja co lo cado e m movimento, e le pe rmanece em movimento com a massa osci lando para frente e para trá s 1O unidades em cada lado da pos ição de eq uilíbri o x = O. Como mos trado na Figura 5.4(b), o período de osc ilação é m / 4 = n / 2 seg undos.

230

Equações Diferenciais

Cap. 5

Volume I

massa abaixo da posição de equilíbrio

- 10

x=O-- t- ----10

_L____ _

- 10 massa acima da posição de equilíbrio (b)

(a)

Fígura 5.4

E X E M P L O

Uma massa pesando 2 kg distende uma mola em 6 cm. No instante 1 = O, a massa é solta de um ponto a 8 cm abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de 25 cm/s. Determine a função x(I) que descreve o movimento livre subseqüente. Solução

Pela

lei

Hooke, 2x9,8=k6,

que

implica k=3,27N/cm. Logo,

2(d 2x! dt 2 ) = - 3,27x. O deslocamento inicial e a velocidade inicial são x(O) = 8 e x'(O) = - 25,

respectivamente. 1 d 2x 16 d12

- - = -4x

d 2x + 64x =O. dt 2

O sinal de negativo na última condição indica a direção negativa da velocidade inicial, ou seja, para cima. Então, w 2 = l ,64 ou w = 1,28, e a solução geral para a equação diferencial é x(I) = c1 cos 81 + c2 sen

4 -3·

(6)

Aplicando as condições iniciais em (6), obtemos x(O) =

x(t) =

32 cos

x'(I) = _ X ' (O)

= e,

xl + c2 x O, (e, = t) 81

+ c2 sen 81

.!.§. sen 81 + 8c2 cos 81 3

4 = - 3 16 = - 3

o + 8c2

1, ( c2 = -

Volume 1

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem

231

Portanto, a equação de movimento é x(t)

Nota

; cos 8t - -}; sen 8t

(7)

•

A distinção entre mas sa e peso é frequ ente mente obscura. Portanto, fala-se em

movimento de uma massa em uma mola e também em movimento de um peso em uma mola.

Forma Alternativa de x(t) Quando e ~ O e c2 ~ O, a amplitude A das vib rações livres não é óbvia a partir da equação (5). Por exemp lo, embora a mas sa no Exemplo 2 es teja inicialmente deslocada 8 cm abaixo da posição de eq uilíbri o, a amplitude das vibrações é um número maior que 8. Logo, é conveniente converter uma so lução na forma (5) em uma forma mai s s imples. = A sen (wt + <P ),

x(t) em que

A =

~cT +

(8)

e </> é um ângulo de fase definido por

sen </> = cos<jJ -

tg <P = - ·

(9)

Para verificar isso, desenvolvemos (8) usando a fórmu la de adição da função seno:

A sen wt cos </> + A cos wt sen </>

= (A sen </>) cos wt

+(A cos <P) sen wt.

Segue-se da Figura 5.5 que, se</> é definido por senrj> =

~cT +

= -

cos </>

~cT +

= -;;

então ( l O) torna-se CJ

AA coswt + AA senwt = c 1 cos wt + c2 sen wt= x(t).

zJ ·I

Figura 5.5

(10)

232

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap. 5

Volume 1

Em vista da discussão anterior, podemos escrever a solução (7) do Exemplo 2

x(t ) = 3cos 1 -

6 sen81

de maneira alternat1vax(1) =A sen(81 + </>).

A amplitude é dada por 2l,08cm. Devemos ter um pouco de cuidado no cálculo do ângulo de fase</> definido por (9) . Neste caso , tg</> = -0,41 , e uma ca lculadora daria </> = - 0,39 radiano.* Mas esse ângu lo está no quarto quadrante e portanto contradiz o fato de sen </> > O eco s</> < O. Logo, devemos obter um ângulo</> no segundo quadrante cuja tangente seja -0,41. Para isso,</> = n - 0,39 = 2,75 radianos. Temos então x(c) = 21,08 sen(l,281 + 2,75)

(11)

•

A fom1a (8) é muito prática, pois a partir dela é muito fácil encontrar os valores de tempo para os quais o gráfico de x(I) corta o eixo t (a reta x = 0). Observe que sen(w1 + </>) = Oquando wt + </> =

nJT.,

em que n é um inteiro não negativo.

EXEMPLO

Para o movimento descrito por x(I) = (fil/ 6) sen(8t + 1,816), encontre o primeiro valor de t para o qual a massa passa pela posição de equilíbrio indo para baixo.

Solução Os va lores 11, 12, 13, . . . , para os quais sen(81 + 1,816) = O são determinados por 8t1 + 1,816 = n,

812+1 ,816 = 2n,

813 + 1,816 = 3n, ...

Encontramos 11 = 0,166, 12 = 0,558, t3 = 0,951, .. ., respectivamente. quando 1

A Figura 5.6 mostra que a massa passa por x = O, indo para baixo pela primeira vez •

= 12 = 0,558 segundo.

A imagem da tangente inversa é - rr/ 2 < tg - 1x < rr/2.

Volume l

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem..

233

x = ~ sen (81+1.816)

filt6 Figura 5.6

-fil/6 l--rr/4-1

5. 1 EXERCÍCIOS As respostas dos exe rcícios selecionados estão na página 453. Nos Problemas 1 e 2, descreva uma possível interpretação física para o problema de valor inicial dado.

4 1. 32 X " + 3X =

x(O) = - 3, x'(O) = - 2

'-·

1 " T6X +

4X=

x(O) = 0,7, x'(O) =O

Nos Problemas 3-8, escreva na fo rma (8) a sol ução para o problema de valor inicial dado .

3. x" + 25x =O x(O) = - 2, x'(O) = 10

5. x" + 2x =O x(O) = - 1, x'(O) = - 2../2 7. 0,l.x" + IOx =O x(O) = 1, x'(O) =

4. .!.x" + 8x =O 2 x(O) = 1, x'(O) = -2 1

6. 4x " = lfu = x(O) = 4, x'(O)

o 16

8. x"+x=O x(O) = - 4, x'(O) = 3

9. O período das oscil ações livres sem amortecimento de uma massa presa a uma mola é de .rr/4 segundo. Se a constante da mola é 16N/m, qual é o peso da massa? 10. Uma mola está presa ao teto. Quando uma massa de 30 kg é atada à mola, esta distende-se em

12 cm. A massa é removida e uma pessoa segura a extremidade da mola e começa a balançar para cima e para baixo com um período de 1 segundo. Q ual o peso dessa pessoa?

li. Um peso de L/8 kg é atado a uma mola cuj a constante de e lasticidade é 16 N/m. Qual o período do movimento harmônico simpl es? 12. Uma massa de 20 kg é atada a uma mola. Se a frequência do movimento harmônico simples é de 2/;r vibrações por segundo, qual a constante de elasticidade k? Qual a frequência do movimento harmônico simples se a massa origi nal for substituída por uma massa de 80 kg?

234

Equações Diferenciais

Cap. 5

Volume I

13. Urna massa de 750 gramas, atada a urna mola, pro voca nesta uma di stensão de l/3 m. Enco ntre a equação de movimento se o peso for solto a partir do repou so de um ponto 0,25 rn acima da posição de equilíbrio. 14. Determine a equação de movimento se o peso do Problema 13 for solto a partir da posição de equilíbrio com uma ve locidade inicial para baixo de 2 rn/s. 15. Um peso de 625 gramallistende urna mola em 0,5 rn. O peso é solto a partir do repouso 0,5 m abaixo

da posição de equi líbrio. (a) Encontre a posição do peso nos in stantes

= n / l2, n /8, n/6, n / 4, 9n/ 32 segu ndos.

t = 3n/ l6? Qual a direção da velocidade nesse instante, o u seja, o peso está descendo ou subindo?

(b) Qual é a velocidade do peso quando

(e) Quando o peso passa pela pos ição de equilíbrio? 16. Urna força de 400 newtons di stende uma mo la em 2 m. Uma massa de 50 kg é atada à mola e so lta na posição de equilíbrio com uma veloc idade de l O rn/s para cima. Encontre a equação de movimento. 17. Uma o utra mola de constante e lástica 20N/ m é suspen sa no mesmo suporte rígido, mas paralela ao

sistema mas sa mole do Problema l6. Uma massa de 20 kg é atada à segunda mola e ambas são soltas a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade de 10 m/s para cima. (a) Qual massa apresenta maior ampli tude de mov imento ? (b) Qual massa está se movendo mai s rápido cm t = n / 4? E em

= n / 2?

(e) Quando as duas massas estão na mesma posição? Onde elas estão nes se instante? Em qual direção elas estão se movendo ? 18. Um peso de 2 kg di stende uma mola em 2 cm. Determine a amplitude e o período de movimento se o

peso for so lto l cm acima da posição de equ ilíbri o com uma velocidade inicial de 2 cm/s para cima. Quantas vibrações completas o peso terá completado no final do 4n segundos? 19. Um peso 0 ,5 kg atado a urna mola está em movimento harmônico simp les . Determine a equ ação de

movimento se a constante da mola for 1 N/ m e o peso for solto 0,5 m abaixo da posição de equi líbrio com urna velocidade de 1,5 m/s para baixo. Expresse a solução na forma (8).

20. Urna massa de lO kg distende urna mola em 25 cm. Essa massa é substituída por uma massa de 30 kg , a qual é solta 30 cm acima da posição de equilíbrio com urna velocidade de 20 crn/s para baixo. Expresse a so lução na forma (8). Quando a massa atinge a posição abaixo da posição de equi líbrio que é numericamente metade da amplitude? 21. Um peso de 2 kg atado a urna mola provoca urna di stensão de 0,32 m na mesma. A massa é solta de

uma posição 2/3 m acima da posição de equ ilíbri o com urna velocidade de 5 rn/s para baixo. (a) Encontre a equação de movimento. (b) Qual é a amplitude e o período do movimento ?

(e) Quantas vibrações completas o peso terá completado ao final de 3n segundos?

(d) Quando o peso passa pela posição de equilíbrio se dirigindo para baixo pela segunda vez? (e) Quando o peso atinge seu deslocamento máximo (extremo) em cada lado da posição de equilíbrio?

(0 Qual a posição do peso no instante

= 3 segu ndos?

Volum e l

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de segu11da ordem..

(g) Qual é sua ve locidade instantânea em

235

= 3 segundos?

(h) Qual é a aceleração no in stante t = 3 seg undos?

(i)

Qual é a velocidade no instante em que o peso passa pela posição de eq uilíbri o?

Ul Quando o peso está 5/ 12 m abaixo da posição de eq uilíbrio? (k) Quando o peso está 5/ 12 m abaixo da posição de equilíbrio se dirigindo para cima ·•

22. Uma massa de 1 kg é suspensa por um a mola de constante característica 9 N/ m. lni cialmentl!, a massa parte de um ponto 1 m ac ima da pos ição de eq uilíbrio com uma velocidade de -./3 m/s para c ima. Calcule os in stantes nos quais a massa está se dirigindo para baixo com velocidade de 3 m/s. 23. Sob certas circunstâncias, quando duas molas paralelas, com constantes kt e k1. suportam um único peso W, a constante de elasticidade efetiva do sistema é dada por k = 4klk/ (k1 + k1).* Um peso de 625 gramas distende uma mola em 0,5 111 e uma o utra mola em 1/6 m. As molas estão presas a um suporte rígido comum e uma chapa metálica é atada às duas molas si multanea mente . Co mo mostrado na Figura 5.7, um peso de 625 gramas é atado ao centro da chapa . Determine a constante de elas ti cid ade e fetiva do sistema. Encontre a equação de movimento se o peso for so lto a partir da posição de equilíbrio co m uma ve locidade inicial de 2m/s para baixo.

Figura 5.7

24. Um certo peso di stende uma mola em 1/3 m e uma outra mola e m 0,5 m. As duas mo las são atadas a um suporte rígido comum da mesma maneira que no Problema 23 e na Figura 5.7 . O peso é então substituído por um outro peso de 250 gramas e o sistema é posto em movimento. Se o período de movimento é ;ir/ 15 seg undo, determine o valor numérico do primeiro peso. 25. Sexo e vo são a pos ição ini cial e a velocidade inicial , respectivamente, de um peso em mov imento harmônico simples, mostre que a amplitude das vibrações é

Se as duas molas têm o mesmo comprimento natural e a chapa é mantida horizontalmente, de forma que as duas molas tenham sempre o mesmo comprimento, então a constante de elasticidade efetiva é simplesmente k = kt + k1.

236

Equações Diferenciais

Cap. 5

Volume 1

26. Mostre que qualquer combinação linear x(t) = c 1 cos wt + C2 sen wt pode também ser escrita na forma x(t) = A cos(wt

sen </>

+ </>), em que A =

= -E] '

cos </>

'1d + d

=~·

27. Expresse a solução para o Problema 3 na forma de função co-seno dada no Problema 26. 28. Mostre que, quando um peso atado a uma mola apresenta movimento harmônico simples, o valor máximo da velocidade (isto é, IV(t)I) ocorre quando o peso está passando pela posição de equilíbrio. 29. Um peso atado a uma mola apresenta movimento harmônico simples. Mostre que a aceleração máxima do peso ocorre em um ponto de deslocamento extremo e tem magnitude 4n2A / T2, em que A é a amplitude e T, o período das vibrações livres. 30. Use (8) para provar que o intervalo de tempo entre dois máximos sucessivos de x(I) é 2n/w.

5.2

MOVIMENTO AMORTECIDO

A discussão sobre movimento harmônico livre é um tanto irrealista, pois o movimento descrito pela equação (2) da Seção 5.1 supõe que não haja força de retardamento agindo sobre a massa móve l. A menos que a massa esteja suspensa em um vácuo perfeito, haverá pelo menos uma força de resistência devida ao meio ambiente. Por exemplo, como mostra a Figura 5.8, a massa m poderia estar suspensa em um meio viscoso ou conectada a um dispositivo de amortecimento.

(a)

(b)

Figura 5.8

Vo/11111e 1

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem ..

237

Equação Diferencial de Movimento com Amortecimento

Em mecânica, forças de amortecimento agi nd o em um corpo são consideradas como se nd o proporcionais a um a potência da ve loc idade. Em parti cu lar, vamos supor em nossa discussão subseq üente que essa fo rça seja proporcional a dx/ dt. * Quando não há outras forças agindo sobre o sistema, seg ue-se da segu nda lei de Newton que

d 2x

r11 -

d1-

= - kx -

f3 -d.x d ,

(1)

em que f3 é uma constante de amortecimento positiva e o si nal de subtração indica que a força de amortecimento atua em direção oposta ao movimento. Dividindo ( 1) pela massa m, temos a eq uação diferencial de movimento li vre amo rtecido : 2 /3 dx -d x + - + -k x

(2)

2 ? -d x + 2l -dx + w-x

(3)

dtz

dt 2

m dt

Fazemos as seg uintes identificações na eq uação (3) k = -,

(4)

2Àm

O símbolo 2À é usado somente por conveniência algébrica, pois a equação auxi li ar é + w2 = Oe as raízes correspo ndentes são, portanto, m12 =-À

--J..1. 2 - w 2 ,

m 2 =-À -

--J..1. 2 - w2 .

Podemos agora distinguir três casos possíveis, dependendo do si nal de .l 2 - w 2. Como cada solução contém o fator de amo rtecimento e-Ài, À > O, o deslocamento da massa torna-se desprezível após um longo período de Jempo.

CASO l .l 2 - w 2 > O. Nessa situação, dizemos que o sistema é superamortecido, pois o coeficiente de amortecimento f3 é grande quando comparado com a co nstan te de elasticidade k. A sol ução para (3) correspondente é

(S)

Essa equação representa um movimento suave sem oscilações. A Figura 5.9 mostra dois gráficos possíveis de x(t). Em muitos casos, corno em problemas de hidrodinâmica, a força de amortecimento é proporcional a ' (dxldt) 2 .

238

Equações Diferenciais

Cap. 5

Volume 1

(a)

(b)

Figura 5.9 - w 2 = O. Dizemos que o sistema é criticamente amortecido, pois qualquer decréscimo na força de amortecimento resulta em um movimento oscilatório. A so lução gera l para (3) é

CASO li À. 2

(6)

Alguns gráficos de movimento típico estão representados na Figura 5.10. Note que o movimento é muito semelhante ao de um sistema superamortecido. É evi dente, a partir da equação (6), que a massa pode passar pela posição de equilíbrio no máximo uma vez.*

(a)

{b)

Figura 5.10

CASO Ili l 2 - w 2 < O.

Neste caso, o sistema é dito subamortecido, pois o coeficiente de amortecimento é pequeno se comparado à constante de elasticidade. As raízes m 1 e m 2 são complexas:

portanto a solução geral para a equação (3) é x(t)

= e-Â.1(~1 cosl/w 2 -

l 2 t + c 2 senl/w 2 - l 2 t).

(7)

Como mostrado na Figura 5. l l, o movimento descrito por (7) é oscilatório; mas, por causa do fator e-À.e, a amplitude de vibração ~ O quando t ~ oo.

Uma análise das derivadas de (5) e (6) mostra que essas funções podem ter em caso extremo um ponto mínimo local ou máximo local em t > O.

Volum e 1

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de seg unda ordem...

xl l

EXEMPLO

239

FiguraS . 11

Verifica-se facilmente que a solução para o problema de valor inicial

d 2x + 5 dx + 4x = O dt 2 dt '

x(t) =

x(O) = 1,

~e- 1 3

x'(O) = l ,

~e- 41 3

(8)

O problema pode ser interpretado como um movimento superamortecido de uma massa em uma mola. A massa parte de uma posição 1 unidade abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 1 m/ s para baixo. Para esboçar o gráfico de x(t) , encontramos o va lor de t no qual a função atinge um ponto extremo, isto é, o valor do tempo em que a derivada primeira (ve locid ade) é zero. Derivando (8), obtemos

x'(t) assim x'(t) = O implica

e31 = .ª- ou t 5

= l3 1n _ª-5 = O' 157.

Pelo teste da derivada prime ira, bem como pela no ssa intuição físic a, concluímos que x(O, 157) = 1,069 m é realmente um máximo . Em outras palavras, a massa atinge um deslo camento extremo de 1,069 m abaixo da posição de equilíbrio. Devemos verificar também se o gráfico cruza o eixo t, isto é, se a massa passa pela posição de equilíbrio. Isso não pode acontecer neste caso, pois a equação x(t) = O, ou e 31 = 2/ 5, tem a solução, fisicamente irrelevante, t = (1/3) ln (2/ 5) = - 0 ,305. O gráfico de x(t) e uma tabela com dados pertinentes são mo strados na Figura 5.12.

•

240

Equações Diferenciais

Cap. 5

Volum e I

X(l)

2 _,,

1,5 2 2.5 3

0,601 0,3 70 0,225 0,137 083

5 _,

x=-e - -e 3 3

1 1

(b)

(a) Figura 5.12

EXEMPLO

Um peso de 0,25 kg é atado a uma mola com constante de elas ticidade igual a 4 N/ cm. Supondo que uma força de amortecimento ig ual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o peso parte da posição de equ ilíbrio com velocidade de 3 m/ s para cima.

Solução Pela lei de Hooke, temos 8 = k(2),

k = 4 kg/ m

e de m = Wlg , 8 1 m = 32 = 4 kg. A equação diferencial de movimento é 2x 4 d12

-1 -d

= - 4x

dx d 2x + 8 dx + - 2ou l 6x dt dt2 dl

= O.

(9)

As condições iniciais são x(O) = O,

x'(O) = - 3.

A equação auxiliar para (9) é m2

+ 8m + l6 =

+ 4) 2

= O,

assim m 1 = m 2 = - 4. Portanto, o sistema é criticamente amortecido e (10) A condição inicial x(O) = O imediatamente demanda que c 1 = O, enquanto x'(O) = - 3 implica 3. Logo, a equação de movimento é

c2 = -

x(t)

= - 3te- 41 .

(11)

Volume l

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de seg unda o rdem..

241

Para esboçar o gráfico de x(t), procedemos como no Exemplo 1 x(t) = -3(-4te - 41 + e- 4 ')

= -3e - 41 (1 Obviamente, x'(t)

- 41).

= O quando t = 1/4. O deslocamento extremo correspondente é

t(_!_)= - 3(_!_)e=-0276m 4 4 , . 1

Como mostrado na Figura 5 13, o peso atinge uma altura de 0,276 m acima da posição de equilíbrio. • X

= 114

Figura 5.13

altura máxima acima da posição de equilíbrio

EXEMPLO

Um peso de 0,5 kg é atado a uma mola de l,5 m de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de 2,48 m. Se o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2 m acima da posição de equilíbrio, encontre o deslocamento x(t) se é sabido ainda que o meio ambiente oferece resistência numericamente igual à velocidade instantânea.

Solução O alongamento da mola depois que o peso é atado é 2,48 - 1,5 = 0,98 m. Segue-se então da lei de Hooke que 0,5 x 9,8 = k(0,98), assim k = 5 N/ m. 16

m = 32 =

Ainda,

2l kg.

A equação diferencial é dada por d 2x dx dx l d 2x - - = -5x ou + 2 - + 10x = O. 2 dt2 dr dt2 dt

Essa última equação é resolvida sujeita às condições x(O) = -2,

x'(O) = O.

(12)

242

Equaçôe.1· Diferenciais

Cap. 5

Vol ume I

Prosseguind o, temos q ue as raízes de m 2 + 2m + 10 = O são m 1 Então, eo nclu ímos qu e o s istema é suba mortec ido e

- 1

+ 3i e m2 = - 1 - 3i. ( 13)

x(O) = - 2 = c 1

Ago ra,

x'(t)

e - 1(6 sen 31 + 3c2 cos 31) - e -

x ' (O)

O = 3c2 + 2.

1( -

2 cos 31 + c2 sen 31)

ass im c2 = - 2/3 . Fina lme nte, obtemos x(I ) = e - '(-2cos31-%se n 31}

( 14)

• Forma Alternativa de Solução De um a mane ira idê nti ca ao proced im e nto usado na Seção 5. 1, podemos escrever qualquer so lu ção

na fo rm a altern ativ a

x(t) em que A =

= Ae-,\ 1 sen(°'1w2

- Ã2 t

+ <f>),

(15)

'1 d + d e o ângul o de fase</> é determ inado pe las equ ações t o<j>

CJ = -. c2

O coefi ciente Ae- "' é algumas vezes cha mado de amplitude de amortecimento de vibrações . Co mo ( 15) não é um a fun ção peri ódi ca, o número 2.nJVw 2 - À2 é cha mado de quasi período e ...fw 2 - ..1. 2 /2n é a quasi freqüência . O quasi pe ríodo é o inte rva lo de te mpo entre dois máx imos co nsecuti vos de x(t ). Para es boçar o g ráfi co de uma eq uação tal co mo ( 15), ca lcul a mos prime iro as interseções 11 , tz, .. . , tk; is to é, para a lgum int e iro n deve mos reso lver

...fw2

- À2

t +

</>

= rur.

Vo lu me I

Ca p. 5

1l plicações de equações dife renciais de segunda ordem ..

243

ex plic itando t. Seg ue-se qu e 1m - </>

( 16)

..Jw2 _ À. 2 · Ainda, observamos q ue lx(t )I :S: Ae- À1, po is, lse ncVw 2 - À. 2 1 + <f>)I :::; 1. O gráfi co de ( 15) toca os g rá fi cos de ±Ae- À1 nos va lo res 11~

ti*, .. ., 1{

... para os q ua is

se ncVw 2 - À. 2 1+</>)=± 1. Isso significa que

'1w 2 -

À 2 1 + </> te m ele se r um m últiplo ím pa r ele :rr./ 2,

(211 + 1).n/ 2 -

</>

(17)

'1wl _ À.l

Por exemplo , para esboça r o grá fi co de x(t) = e - O,St sen(21 - n / 3), ca lc ul amos as interseções co m o eixo 1 pos iti vo, reso lve ndo lT.

211 - -

3 =o '

21 2 -

= n,

2 13 -

= 2n, .. . ,

o que implica, res pecti va me nte,

13 =

Note qu e, mes mo x(t ) não se ndo pe ri ódica, a di fe rença e ntre du as raízes co nsec utiv as é tk _ 1 = n / 2 unid ades, o u me tade cio quasi período de 2n/ 2 = n seg un dos. També m, sen(21 - n / 3) = ± l nasso lu çõespa r a

1k -

n, 211 * - -n = 3

212

13 =

n = -5n , 3 2

17n

]2'···

Ver ifi ca mos fa c ilm e nt e qu eacl ife r ençae ntr eosva loress ucess ivos 1/ é ta mbé m n / 2* O gráfi co de x(t ) es tá esboçado na Figura 5.1 4.

Notamos que os val ores de t para os quais o gráfico de x(t ) toca os gráfi cos exponenciais não são os valores para os quai s a função atinge seus extremos locais.

244

Equações Diferenciais

Cap. 5

Volume 1

"<:~~rr -1 sen r /3) ',

',__ __________

x = e-<>.••

(21-

Figura 5.14

- e -o.51

- 1

EXEMPLO

Usando ( 15), podemos escrever a so lução para o problema de valor inicial

d 2x.

dt 2

+ 2-

+ 1Ox = O,

do Exemplo 3 na forma x(t) = Ae-

x(O) = - 2,

x'(O) = O,

sen(3t + </>).

De (14), c 1 = - 2, c 2 = -2/3. Assim

A=-~=.?_{j() .\J '+ -t- Q 3 -2

tg </> = - - = 3 e tg- (3) = 1,249 radianos. -2/ 3 Mas como sen </> < O e cos </> < O, escolhemos </> no terceiro quadrante, ou seja, </> = :n: + 1,249 = 4,391 radianos. Logo, x(t) =

füe- 1 sen(3t + 4,391).

O gráfico dessa função es tá esboçado na Figura 5.15 . Os valores de tk e dados na tabela são as interseções e os pontos nos quai s o gráfico de x(t) toca os gráficos de ± (2/3 )füe- 1, respecti vamente. Nesse exemplo, o quasi período é 2.n/ 3, portanto a diferença entre os sucessivos t k (e os sucessivos 1k *)é :n:/ 3 unid ades. •

\10 /11 111e I

Cap. 5

Aplicações de equações dife renciais de seg unda o rde m..

245

}{ !Õ _, \--e " 3

~"'.:---- -- .,_ ,._ ___ _

!_,-----·-------.,:/- 2"'10 -- e

-} /

ri.

x@__

0.63 1 l , 154 0,665 2 1,678 2. 202 - 0.233 3 2,725 3,249 0,082 ..:!.____1.~ 1_ 12 _ _4~.2_9_6_ _-_ o~ ·º2~ 9~ (h )

(a )

Figura 5. 15

5.2

EXERCÍCIOS

As res postas dos exer cícios selecionados estão na página 454. Nos Proble mas 1 e 2. dê uma possível interpretação física para o problema de va lor inic ia l dado .

+ ?r' 1. J_x,, 16 - + -r = O

·" 2. .!.§. 17 ,\ +

x(O) = O. x'(O) = - 1,5

' +

?- -1. --

x(O) = - 2, x ' (O) = l

Nos Problemas 3-6, as fi guras dadas representam o gráfi co de uma equ ação de mov ime nto para uma massa em uma mola. O sistema massa-mola é amortec ido. Use o gráfi co para determinar: (a) se o des locame nto ini cial da massa está ac im a ou abai xo da pos ição de equilíbri o; e (b) se a massa parte do repouso, diri gindo-se para baixo ou para cima.

4. .\

Figura 5.16

Figura 5.1 7

246

Equações Diferenciais

Cap. 5

Vo lum e 1

5. X

1 1

Figura 5.18

Figura 5.19

7 . Um peso de 125 g é atado a u ma mo la de co nstante e lástica igua l a 2 N/m. O me io o ferece um a res istê nc ia ao mov im ent o do peso numeri came nte igual à veloc idade in stantâ nea. Se o peso parte de um po nto l m ac ima da pos ição de equilíbri o com uma ve locidade de 8 m/s para baixo. determine o instante c m que o peso passa pe la pos ição de equilíbrio . Ca lc ul e o ins tante no qua l o peso atin ge seu des locame nto ex tre mo e m re lação à posição de equilíbrio. Qu a l é a posição do peso nesse instante? 8. Uma mo la de 4 c m d e co mprime nto passa a medir 8 c m após um peso de 0 .5 kg ser atado a e la. O me io no qu al o peso se move o fe rece uma res is1ê nc ia nume ri camenle igua l a Yz vezes a ve loc idade insta ntâ nea. Enco ntre a equ ação do mov imento se o peso fo r so lto na pos ição de eq uil íbr io co m um a ve loc idade de 5 c m/s para bai xo. Encontre o insta nte c m q ue o peso atinge seu deslocamen to ex tre mo e m re lação à pos ição de equilíbrio. Qua l é a pos ição do peso nesse in sta nte? 9. Uma massa de l kg é a tad a a uma mol a c uja cons tante de e lasti cidade é 16 N/m e o sistema inte iro é e ntão s ubme rso e m um líquido que oferece uma força de a mortecime nto numeri camente igual a LO vezes a veloc idade in sta ntâ nea. Determine as equações de movi mento se (a) o peso pa rte do repo uso de um po nto a l m aba ixo da pos ição de equilíbrio; e

(b) o peso pan e de um po nto l m a ba ixo da posição de equilíbrio com uma ve loc idade de 12 m/s pa ra c ima. 10. Nas pa rtes (a ) e (b) do Proble ma 9, ve rifiqu e se o peso passa pe la pos ição de equil íb ri o. Em cada caso, calcule o in sta nte no qu al o peso atinge seu des loca me nto extre mo e m relação à pos ição de eq uil íb ri o. Qua l a pos ição ci o peso nesse in sta nte?

ll. Uma força de 2 N di ste nde uma mo la e m l m. Um peso de 0 ,2 kg é alado à mo la e o sistema é e ntão ime rso e m um meio que o fe rece uma fo rça de a mortec ime nto numeri came nte igual a 0,4 vez a veloc idade insta ntânea. (a)

Encontre a equ ação de mov ime nto se o peso é solto a partir do repouso l m acima da pos ição de equilíbri o.

(b) Ex presse a equ ação de mov imento na form a dada c m ( 15). (e)

Qua ndo o peso c ruza pe la prime ira vez a pos ição de equilíbri o se dirig indo para ci ma?

12. Qua ndo um peso de 10 N é atado a uma mola de 5 c m de comprime nto, es ta di stende-se e passa a ter 7 c m de comprime nto. O peso de LO N é re mov ido e s ubstituído por um outro de 8 N. O siste ma é , e ntão inte irame nte imerso em um meio que oferece uma resistênc ia numericame nte ig ual à veloc id ade in stantâ nea .

Volttme I

(a)

Cap. 5

A plicações de equações dife renciais de seg unda a rdem..

2-U

Encontre a equação de mov ime nto se o peso é so lto 0,5 c m aba ixo d a pos ição de equilíbri o com ve loc idade de 1 c m.Is para ba ixo.

(b) Expresse a equação de mov ime nto na fo rm a d ada e m ( 15).

(e) Ca lcule os in stantes nos qua is o peso passa pe la pos ição de equi líbri o se diri g indo para ba ixo. (d) Esboce o grá fi co da equação de mov ime nto.

13. Um peso de 3 12,5 g é atado a um a mo la cuj a co nstante de e las ti c idade vale 5 N/m . O peso está acoplado a um di spos iti vo de a mo rtec imento qu e oferece urna res istê nc ia ig ual a fJ ({J > O) vezes a veloc id ade instant ânea. De termin e os valores d a co nstant e de a mo rtec ime nto fJ para os quai s o mov im e nto subseqüe ntc sej a (a) s upc ramortecido , (b) critica me nte amo rtec ido e (c) s uba morlec ido. 14. Um peso de 0,75 é alado a uma mola c uj a co nstante e lás tica va le 6 N/ m . O mov ime nt o sub seqüe ntc es tá suje ito a uma fo rça de resistê nc ia nume ri ca mente ig ua l a fJ ({J > 0) vezes a ve loc idade in stantânea . Se o peso parte da pos ição de equilíbri o com ve loc idade de 2 m/s para cim a, mostre que. se fJ > 3-fl, a equ ação de mov ime nt o é

-3

x(I) =~e

-2{3113

se nh

2 · ~? 3 vn~ - 18 1.

JS. Uma massa de 40 g di ste nde um a mo la e m 1O c m . U m dis pos iti vo de amortecime nto impõe uma res istênc ia ao mov imento nume ri came nte ig ua l a 560 vezes a veloc idade insta nt â nea. Encontre a equação de mov ime nto se a massa parle da pos ição de equilíbri o co m uma velocidade de 2 c m/s para bai xo . 16. Enco ntre

a equação de mo vime nto para a massa do Pro blema 15 se a co nstante de a mo rtec ime nt o for

duplicada.

17. Uma massa de l kg é atada a uma mo la cuj a co nstant e de e las tic idade vale 9 N/ rn. O me io o ferece uma res istênc ia ao mov imento nume ricame nte ig ual a 6 vezes a velocid ade insta ntâ nea. A massa parte de um ponto locali zado a 2/3 m ac ima da posição de equ ilíbrio com uma ve loc idade vo m/s para bai xo. Dete rmin e os valores devo para que a m assa passe pe la pos ição de equilíbri o. 18. O quasi período de um subamo rtecirne nto, vibra ndo uma m assa de l kg e m uma mo la, é :rr/2 segundos. Se a consta nte de e lastic idade da mo la é 25 N/ m , e ncontre a constante de a mortec ime nto {J. 19. No caso de mov ime nt o s u ba rno rt ec id o~ mos tre qu e o inter va lo de te mpo e nt re do is máx imos sucessivos da equ ação de mov ime nt o é 2:rr/ w2 - À2.

20. Use ( 16) para mos trar que, e m (15), o inte rva lo de te mpo e ntre d uas interseções sucess ivas co m o e ixo t é metade do quasi pe ríodo. 21. Use ( 17) para mostra r que o interva lo de tempo e ntre do is valores sucess ivos de 1 nos quais o g rá fi co de ( 15) toca os g rá fi cos de ±Ae_;., é me tade do quasi período.

22. Use a equ ação ( 17) para mostrar que o grá fi co de x(I ) = Ae_;., sen(-/w 2 - À2 1 + </>) intercepta o e ixo 1 exatame nte no va lor médi o dos insta ntes nos qua is o grá fi co de x(l ) toca os grá fi co s de ±A e_,,_ Os valores de t para os quai s x(t) atinge um máx imo ou um mínimo não estão no meio dos pontos c m que o g r á fi co d e x(t ) int e rce pta o e ix o 1. Ve rifique e s ta última afirmaç ão a na li sando a fun ção x(l) = e- 1 ser(/ + :rr/4 ).

248

Equações Diferenciais

Cop. 5

Volu me I

23. No caso de mov ime nt o suba mort ec ido, mostre que a razão entre os dois máx imos (ou mínimos) co nsec uti vos X11 e Xn + 2 é a co nstante

x,, 2.JrÀ./~ --=e + 2

XII

O nú mero ó = ln(x,/x,, +

= 2:TrÀl -Jw 2

À2 é chamado de decremento logarítmi co.

24. O decreme nto logarítmi co de finid o no Prob lema 23 é um indicador da taxa e m que o mov imento está sendo amortec ido.

(a ) Descreva o mov imento de um sistema subamortecido se ó for um número pos iti vo muito pequeno. (b) Calc ule o dec re mento logarítmi co do mov imento descrito no Probl ema 12.

5.3

MOVIMENTO FORÇADO

Com Amorteciment o Co nsid erare mos agora uma fo rça exte rna./(1) ag indo e m um sistema vibrató ri o massa- mo la. Por exempl o, / (1) pode ri a ser um a fo rça ca usa nd o um mov ime nto oscilatóri o verti cal no suporte da mo la. Vej a a Figura 5.20. A inclu são de j(t) na fo rmul ação da seg und a lei de New ton nos dá a equ ação di fe rencial de movimento forçado

-· --.

----- - -- - -~ --------- --

L.:--=-;=--.: l Figura 5.20

d 2x = - kx d 1-

, d 2x

dx m dt

dx /3+ fi t ), dt

.f(t)

(1)

--+--+-x = --· d t2

d 2x ,., , dx ? + LA + w-x = F(l ), dt 2

(2) (3)

\lolume I

Cap. 5

A plicações de equações difere 11 ciais de seg unda o rdem..

249

em que F(l) = f( t )/111 e, co mo na seção precede nte, U = /31m, = k/ 111 . Para reso lver essa equação não- homogênea, pode mos usar o método dos coefi c ientes ind e termin ados ou a vari ação de parâ metros.

EXEMPLO

Interprete e reso lva o probl e ma de va lo r ini c ia l

1 d 2x dx 1 -5 - , + 1,2d + 2x = 5 cos4t , x(O) = -2 , x'(O) =O. d1/ Solução

(4)

O probl e m a re prese nt a um s is te ma v ibrant e qu e co ns is te e m um a massa

(m = 1/5 kg) atada a uma mola (k = 2 N/ m) . A massa pa rte do repo uso 1/2 metro aba ixo da

posição de equilíbri o. O movimento é amortec ido (j3 = 1.2) e es tá so b a ação de um a fo rça extern a peri ódi ca ( T = n /2 seg und os ). Intuiti va mente, es peramos q ue, mes mo co m a mo rteci mento, o siste ma pe rm aneça em mov imento e nqu anto a fo rça ex tern a es ti ver atu a nd o. Prime ira mente, multipli ca mos (4) po r 5 e reso lve mos a equ ação homogênea

d 2x d + 6~ + lOx =O dt2

pelos métodos us uais. Co mo m 1 = - 3 + i, m 2 = - 3 - i, seg ue-se que Xc(t ) = e- 31(c 1 cos t

c2 sen 1).

Usa nd o o método dos coeficie ntes indetermin ados, tentamos uma so lução parti c ular da fo rm a + 8 sen 41. Agora,

xp(t) = A cos 41

x1; = - 4A sen 41

+ 48 cos 4t

x1;' = - 16A cos 4t - 168 sen 4t

então x1;'

6x1;

+ l Oxl' = - l 6A cos 4t -

168 sen 41 - 24A se n 4t

+ 248 cos 41 + 1OA cos 41 + 108 sen 41 (- 6A + 248 ) cos 41 + (- 24A - 68 ) se n 41 25 cos 41. O siste ma de equ ações res ultantes -6A + 248 = 25 -24A - 68 = O

250

Equações Diferenciais

implica A

Cap. 5

Volume 1

- 25/ 102 e B = 50/ 51. Segue-se então que x(t) = e- 31(c 1 cos1 + c 2 senl ) -

1 ~2 cos41

50 + 51 sen4t .

(5)

Fazendo t = O, na equação acima obtemos c 1 = 38/ 5 l. Derivando a expressão t mos c2 = - 86/ 51. Portanto, a equação de movimento é 50 25 ) - IÜ2cos41 86 38 . + Slsen41 -Slsenl x(t) =e - 31( Slcost

= O, encontra(6)

• Termos Transitórios (Transientes) e Estacionários Note que a função complementar Cc(l)

86 sen t ) SI cos t - SI e - 31(38

no Exemplo 1 possui a propriedade lim Xc(I) = O. Como xc(t) se torna desprezível (ou seja, ~ O) quando t ~ oo, dizemos que ele é um termo transitório (transiente) ou uma solução transitória (transiente). Logo, após um longo período de tempo, os deslocamentos do peso no problema precedente são descritos aproximadamente pela solução particular xp(t). Esta última função é também chamada de solução estacionária, ou solução do estado estacionário. Quando Fé uma função periódica, tal como F(t) = Fo sen y t ou F(t) = Focos yt, a solução geral para (3) consiste em

x{t) = transie11te + estado estacionário.

EXEMPLO

A solução para o problema de valor inicial d 2x

dt2

+2-

+ 2x = 4 cos t + 2 sen 1, x(O) = O, x'(O)

é facilmente encontrada, ou seja, x =Xc

+ xp = e- 1 sent + 2senl. [ transicnte [[ estacionária [

A Figura 5.21 mostra que o efeito do termo transitório na solução é, neste caso, • insignificante após t > àt.

Volum e I

Ca p. 5

Aplicações de equa çõe.<diferenciais de seg unda ordem ..

25 1

2 ~ ~ es tacionária x1,

/. ---.----Y -2

/..

n/2 \

3n/2

tran siente x

(a)

(b )

Figura 5.21

Sem Amortecimento Com uma força externa agindo e sem ne nhum amo rtecime nto, não há termo tran s itório na so lu ção para um prob lema. Ainda, veremos que a atuação de um a força extern a periódica de freqüênc ia próxima, ou igua l, à freqü ê ncia de vibrações li vres não amortecidas pode ca usar severos danos a um sistema mecânico oscilatório.

EXEMPLO

Reso lv a o problema de va lor inicial

d 2x J + w -x + Fo sen yr, dt 2

x(O)

O, x'(O)

(7)

em qu e Fo é um a co nstante.

Solução A funç ão comp lementar é Xc(t) = c 1 cos wt + particular, supomos xp(t) = A cos yt + B sen y t, ass im

se n wt . Para obter uma so lu ção

x; = -Ay sen y t + By cos yt x1;' = - Ay 2 cos y t - By 2 sen yt x1;' + w 2x" = A(w 2 - y2) cos yt + B(w 2 - y2) sen yt

= Fo sen yt.

Segue-se que A(w 2 -

y 2)

O, B(w 2 - y 2l = Fo e então

A = O,

Portanto,

Fo w2 _

xp(t) = w 2

y2 (y

* w).

Fo 2 sen yt . - y

252

Equações Diferenciais

Cap. 5

Volume 1

Substituind o as co ndi ções ini cia is dadas na so lu ção gera l Fo x(r) = c 1 cos wc + c2 se n wc + - , - - , sen yr w- - y-

obtemos c 1 = O e c2 = -yFolw (w 2 - y 2). Logo. a so lução é Fo

x(r) = w(w

- y )

(-y sen w1 + w sen yr),

y ,: w.

(8)

•

Ressonância Pura Embora a equ ação (8) não esteja definida para y = w, é inte ressa nt e obse rva r qu e seu limite quando y -t w pode ser obtido ap li ca ndo a regra de L' Hôpital. Isso é a mes ma co isa que sinto ni zar a freqüência da fo rça ex tern a (y/ 2.rr) co m a freqüê nc ia de vibrações li vres (w/2.rr). Intuiti vamente, es peramos que após a lg um tempo possamos aume ntar substanc ialmente a ampli tude de vibração. * Para y = w, definimos a so lução por x(l) = lim Fo

- y sen wc + w sc n yr

~-------~

w(w2 - y2)

Y -> w

d dy (-y sen w r

Fo lim

+ w sen y1)

d , ? - (w"' - wy-) dy

y-> w

. - se n wt + wt cos yc Fo l1m -2wy y -> w - sen wc + wt cos wt Fo = - - - - - - - - - 2w 2

Fo 2w 2

se n

Wl -

?,, .. l

cos wr.

(9)

Como esperado, os deslocamentos se tornam grandes quando t -t oo; na verdade, lx(1 11 )I -t oo quando 111 = nn/w, n = 1, 2, . . O fenômeno que acaba mos de desc rever é conhecido co mo ressonância pura . O grá fi co representado na Figura 5.22 mostra um movimento típi co neste caso. Observamos , portanto , que não é necessá rio usar um pro cesso de limite e m (8) para obter a so lu ção quando y = w. Alternativamente, a equa ção (9) pode ser obtida reso lvendo o probl e ma de va lor inici a l

Isso pode ser observado quando empurramos uma criança em uma balança.

Vo lume I

Cap. 5

cPx d1 +

Aplicações de equações difere ncia is de seg1111da ordem..

w-x = Fo scn w t ,

253

x(O) = O, x'(O) = O,

diretamente pe los métodos co nv enc iona is. X

Figura 5.22 '-,' -.!__

---,,- ,j

Curva de Ressonância No caso de vibrações subamo rtec idas, a so lução ge ral para a equ ação dife re nc ia l

d 2x dx 1 + orx = Fo sen yt 0 + 2À d1dl

( 10)

é x(t) = A e-A' sen(..../w 2 em qu e A =

A2 t + </J ) +

...J(w2 _

y2)2

+ 4À.2y2

sen(y1

+ 8 ),

( ll )

'1Cf+Cf e os âng ul os de fase <P e 8 são, res pecti va mcnte, de finid os po r cos <P =

EXEMPLO

Anal isando a equação ( 11 ), vemos qu e Xc(l ) é tra ns ie nte qu ando há amo rtec im ento , e então, após um longo período de tempo, a so lução fi ca próx im a da so lu ção es tac io ná ri a x,,(1) = g(y ) scn(yt

+ 8 ),

em q ue de finim os

(12)

254

Equações Diferen ciais

Cap. 5

Volume l

Embora a amplitude de Xp seja limi tada, podemos ver facilmente que as oscilações máximas ocorrerão quando y 1 = externa for

'1w 2 -

2À 2 (veja o Problema 11 ). Logo, quando a freqüênci a da força

2). 2 1 2.Jc, dizemos que o sistema está em

= 4, m =

No caso específico, k

1, Fo

ressonância.

= 2, g (y) torna-se (13)

A Figura S .23(a) mostra o gráfico de ( 13) para vários valores do coeficiente de amortecimento {3. Essa família de gráficos é chamada de curva de ressonância do sistema . Observe o comportamento das ampl itudes g(y) quando f3 -7 O, isto é, quando o sistema se aproxima da ressonância pura. • g(y)

= 0,25 ~

= 0,50 = 0,75

~= I ~=2

y y= 2

g(yi)

l,41

0,58

l,87

l ,03

0,75

l,93

l,36

0,50

l ,97

2,02

0,25

l ,99

4,01

(a)

(b)

Figura 5.23

Observação Se um sistema mecânico fosse realmente descrito por uma funç ão tal como em (9) desta seção, ele necessariamente seria danificado. Grandes oscilações de um peso em uma mola certamente forçaria a mola além de sua elas ti cidade limite. Poderíamos argumentar também que o modelo ressonante apresen tado na Figura 5.22 é comp letamente irreal , pois ignora qualquer efeito retardador de forças de amo rtecimento semp re presentes. Embora a ressonância pura nunca possa ocorrer quando qualquer amortecimento é levado em conta, grandes amplitudes de vibração, igualmente destrutivas , podem acontecer (embora limitadas quando t -7 oo) . Se você já teve a oportunidade de ver a asa de um av ião voando, provavelmente observou que ela não é totalmente rígida. Uma pequena flexibilidade não é somente tolerada,

Volume 1

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem..

255

mas também necessária para qu e ela não quebre. Em 1959 e em 1960, dois aviões co merciai s caíram em conseqüência de um modelo relativamente no vo de propul são, ilu strando os efeitos destrutivo s de grandes oscilações mecânicas. O aspecto singular desses desas tres foi que ambos aconteceram quando os aviões já estavam em pleno vôo horizontal, que é o período mais seguro de qualquer vôo. Sabe-se bem que um avião fica mais vulneráve l a um acidente durante a decolagem e durante a aterrissagem. Então, ter doi s aviões simples mente caindo do céu não foi so mente uma tragédia , mas um fato embaraçoso para as indústrias do ramo e um desafiador problema para os engenheiros de aerodinâmica. Em um desastre desse tipo , suspeita-se imediatamente de alguma falha estrutural. Apó s uma oste nsiva perícia téc nica, o problema foi locali zado em cada caso. Verificaram que, quando cada avião ultrapasso u uma velocidade crítica de aproximadamente 400 mph, uma hélice e um motor começaram a trepidar, causando uma força giroscópica que não podia ser absorvid a pela caixa do motor. Essa força vibratória externa foi então transferida para a asa, que já apresentava um movimento oscilatório. Esse fato em si não é perigoso, pois as asas de um avião são projetadas para suportar forças excessivas e incomuns. Mas, infelizmente, após um curto período de tempo, durante o qual o motor trepidou rapidamente, a freqüênci a de força tran smi tida diminuiu para um ponto no qual se aproximou e finalmente coincidiu com a freq üência máx ima de vibração da asa (cerca de 3 ciclos por segundo). A resso nância res ultante finalmente efetuou o qu e os engenheiros de tes te não co nseg uiram fazer, ou seja, as amplitudes de vibração da asa se tornaram grandes o suficiente para quebrar a as a. Vej a a Figura 5.24.

oscilação normal

Figura 5.24

grande osc ilação

O problema foi reso lvido em duas etapas. Todos os modelos desse av ião em particular foram obrigados a voar a velocidades bem abaixo de 400 mph até que cada aero na ve pudesse ser reparada com um sub stancial fortalecimento da caixa do motor. Uma caixa de motor mai s forta lecida mo strou- se capaz de oferecer efeito amortecedor suficiente para prevenir o crítico fenômeno de ressonância, mes mo no caso de um a eventual trepidação sub seqüente do motor. *

Para obter um fascinante relatório sobre a investigação, veja Robert J. Serling, Loud and Clear (New York: Deli , 1970), Capítulo 5.

256

Equações Dife re11 ciais

Cap. 5

\lo/11111 e I

No final de 1959 e começo de 1960, ocorreram os dois acidentes citados anteriormente com aviões comerciais envolvendo o popular Lockheed Electra. um novo modelo com quatro motores de propulsão a jato. O Braniff Flight 54 2 caiu pe rto de Buffalo, no estado do Texas, em setembro de 1959 e o Northwest Flight 71 O caiu pe rto de Tell City, no estado de Indiana, em março de 1960. Em ambos os casos uma asa se separou do avião quando este estava na altitude de cruzeiro . Esses acidentes ilustram os efeitos destrutivos de grandes oscilações mecânicas ou resson ância .

Você deve sa ber qu e os soldados geralmente não passam marchando sobre uma ponte. A ra zão di sso é simpl es mente ev itar qu alquer possibilidade de resso nância. Vibrações acústi cas podem ser tão des truti vas qu anto grandes osc il ações mecâ ni cas. Em comerci ais de te levi são, ca nto res de j azz têm des truído um simples cálice de vinh o. Veja a Fi gura 5.25. Sons emitid os por orgãos e fl autins são capazes de qu ebrar janelas. Ergueu, pois, o povo o grito de g uerra e fi zeram ressoar as trompas. Logo que o so m da trompa chego u aos o uvidos da multid ão, levant o u-se enorme clamor e a muralh as caíram sobre si mes mas .. . Josué 6:20 Será qu e o poder da resso nânc ia ac ústi ca causo u o des moronamento das muralhas de Jeri có? Essa é a suposição de algun s es tudi osos co ntempo râneos. Porém, o fen ômeno de ressonância nem sempre é destruti vo. Por exempl o, é a ressonância de um circuito elétri co que permite que um rádi o sej a sintoni zado em uma estação específi ca.

Figura 5.25

Volume I

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de seg1111da ordem..

257

EXERCÍCIOS

5.3

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 454 e 455. I. Urna massa de 0,5 kg é atada a urna mola que tem constante de e las ti cidade igual a 6 N/rn. A massa parte do repouso 2 rn abaixo da posição de equi líb rio e o movimento sub seqüen1 e es tá suj eito a uma força de amortec imento ig ual à metade da velocidade in stantânea . Encontre a equação de mo vimento se o peso sofre a ação de uma força ex terna igual aj(r) = 1O cos 3t. 2. Uma massa de 1 kg é atada a uma mo la cuja co nstante vale 5 N/m. A massa é so lta 1 cm abaixo da posição de equilíbrio co m uma velocidade de 5 cm/s para baixo. O movimento subscqüente tem lugar em um meio que oferece uma força de amortecimento numericament e igual a duas vezes a veloc idade instantânea. (a)

Encontre a equação de movimento se a massa so fre a ação de uma força ex terna igual a j(r) = 12 cos 21 + 3 sc n 21.

(b) Esboce os grá fi cos das so lu ções tran siente e estacionária no 1111.:s mo e ixo coord<: nado. (e)

Esboce o grá fi co da equação de mo vimento.

3. Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja co nstante é 16 N/m. Uma força externa igual a j(1) = 8 sen 41 age no s istema a partir de l = O. Encontre a equação de moviment os<: o meio oferece uma força de amortec imento numerica mente igual a 8 vezes a ve locidade in stantânea.

4. No Prob le ma 3. determine a equação de mov imento se a força ex terna for/(1) o deslocamento quando 1 ~ =.

=e- '

sen 41. Analise

5. Uma massa de 2 kg é atada a uma mola cuja constante vale 32 N/ m. Uma força igual aj(1) = 68e - 2r cos 41 atua no sistema a partir de 1 = O. Encontre a equação de movimento na ausência de atrito.

6. No Problema 5, escreva a equação de movimento na forma x(I) =A sen(w1 + <P) + Be Qual é a amplitude de vibrações após um longo período de tempo?

se n (4t + 0) .

7. Uma massa m é atada a uma mola cuja constante vale k. Após a massa atingir a posição de equilíbrio, seu suporte começa a osc il ar verticalmente em relação a uma linha horizontal L de acordo com uma fórmu la h(t). O va lor de h representa a distân cia em metros medida a partir de L. Veja a Figura 5.26. Determine a eq uação diferencial de movimento se todo o sistema mo ve-se através de um meio que oferece uma força de amortec imento numeri ca mente igual af3(dxldr). suporte

L -------.}h(1) _J

Figura S.26

258

Eq uações Diferenriais

Vo/11 m e 1

Cap. 5

8. Reso lv a a equação diferencial do problema precedente se a mola di stende-se 4 cm com um peso de 0.5 kg, e f3 = 2, h(t) = 5 cos t, x(O) = x'(O) = O. 9. Uma massa de 100 g é atada a uma mola de co nstante elástica 0,016 N/cm. Após a massa atingir o equilíbri o, se u suporte osc ila de acordo com a fórmula h(t} = sen 81, em que h represe nta o des locamento a partir da posição de equilíbrio. Veja o Problema 7 e a Fi gura 5.26. (a) Na ausê nci a de amortec imento , determine a equ ação de mov imento se a massa parte do repouso na pos ição de equilíbrio. (b) Quando a massa passa pela posição de equ ilíbrio? (e) Quando a massa atinge seus deslocamentos ex tremos? (d) Quais são os desloca mentos máxi mo e mínimo? (e)

Esboce o gráfico da eq uação de movimento .

10. Mostre que a solução gera l para a eq uação ( 10) é dada por ( 11 ).

ll. (a) Prove que g(y) dado em ( 13) do Exemplo 4 possui um va lor máx imo em y 1 [S11ges1ão: Derive e m relação a y. ] (b} Qual é o valor máx imo de g(y) em resso nância? l2. (a) Se k = 3 N/ m e 111 = 1 kg, use a in formação do Exemplo 4 para mostrar que o sis tema é subamo rtccido quando o coefi ciente de amortecimento f3 sati sfaz O < f3 < 2../3, mas a resso nância pode ocorrer somente se O < f3 < %. (b) Construa a curva de ressonância do sistema quando Fo = 3. 13. Uma massa de 0,5 kg é suspensa por uma mola cuja constant e é 6 N/ m. O sistema é colocado em mov ime nto e m um meio que oferece um a fo rça de amortecimento numerica mente igual a duas vezes a velocidade in stantânea. Encontre a so lu ção para o es tad o estac ionário se uma força ex te rn a fl.t) = 40 se n 21 age no sistema a partir de 1 = O. Escreva essa solução na forma de um múltiplo de sen(2t + 0). l4. Verifiqu e que o sistema mecânico descrito no Problema 13 está em ressonância. Mostre q ue a amplitude da solução estacionária é o valor máxi mo de g(y) descrito no Problema 11 . lS. (a) Mostre que a solução para o probl ema de valor inicial

d2x dt 2

é (b) Calcule

+ G}x

x(1)

= F0

cos y t ,

_!L_ 1

w- - y-

x(O)

= O,

x'(O)

= O,

(cos y1 - cos w1).

(cos yt - cos w t ).

l6. Compare o resultado obtido na parte (b) do Problema 15 com a solução obtida usando variação dos parâmetros quando a força externa for Fo cos wt.

Vol11111e 1

Cap . 5

Aplicações de equações d iferenc ia is de seg unda o rde 111...

259

Nos Proble mas l 7 e 18. resolva o pro bl e ma de valo r ini c ial dado. d 2x 17. + 4x d t2

= -5sen

d 2x LS. + 9x d t2

= 5 sen

19. (a)

21 + 3cos 21,

31,

= 2,

x(O)

x'(O)

Mostre que x(t ) dado na parte (a) do Pro ble ma 15 pode ser escrito na fo rma x( t ) =

I (y

(b) Se de finirm os t:

-2~

- y

2 sen

2 (y

- w)t sen

2 (y

+ w)t.

- w), mostre que, qu ando t: fo r peque no, uma so lução a prox imada será

•·(t , ) -- !.9_ 2t:y sen t:t se n yt. Qua ndo i: é pequ e no, a freqüê nc ia y/2.Jt da fo rça ex tern a é próx ima à freqii ê nc ia w/2.Jt das vibrações li vres. Quando isso ocorre, o mov ime nto é igua l ao ind icado na F ig ura 5.27. O sc il ações d esse tipo são chamadas de batime ntos e se deve m ao fato de qu e a freqüê nc ia de sen t:t é muito peque na em re lação à freqü ênc ia de sen yt. As cur vas pontilhadas, o u e nvoltóri as, do grá fi co d e x(t) são o btidas a p artir dos g rá fi cos de± (F 0/ 2 i:y) sen t: t. Use um computador co m vários va lores de F 0, t: e y para verifi car o grá fi co da Fi g ura 5.27.

Figura 5.27

(e)

Ca lcul e

lim l: --7

2ey sen

t:t

sen y t.

20. Mostre que a so lu ção para o prob le ma de valo r ini c ia l

d 2x -

dt 5

+ hr

LO cos 7 1,

x(O)

= O,

x'(O)

= O,

é x(t ) - 6 sen t sen 61. Use um co mputador para o bte r o grá fi co de x(t ).

260

Equações Diferenciais

Cap. 5

Vo/11111e I

5.4

CIRCUITOS ELÉTRICOS E OUT ROS SISTEMAS ANÁLOGOS

Ci rcuit o s em Séri e L-R- C Co mo menc io nado na introdução des te ca pítul o , vári os sistem as físicos podem ser descrit os por um a equ ação dife re nc ia l lin ea r de seg un da o rd em se me lhant e à equa ção di fe re nc ia l de mov imento fo rça do co m amortecime nto : d2r m- ' dt2

dx dt

+ {3- + kx = fl. t ).

(1)

Se i(t) denota a corrente em um circuito elétrico em série L-R-C mos trado na Fi gura 5.28(a). então a qu eda de vo ltage m atra vés do indutor, res istor e capac ito r é igual à apresentada na Figura 5.28(b). Pe la segund a le i de Kircho ff, a so ma dessas vo ltagens é igual à vo ltagem E(t) impressa no c irc uito, isto é, L di dt

+ Ri + _!_ q = E(t).

(2)

Mas a carga q(t ) no capaci tor es tá re lac io nada co m a corrente i(I) por i = dql d 1, e então (2) torn a-se a equ ação diferencia l linear de seg un da ordem

d 2a

L :=_i 2 dr

;--1-=-_,risoouo · 1E(1l )

', ,./

-----<

do 1 + R ::::i + -q d1

Indutor

Resi.swr

Indu tâ nc ia L: hc nrys (h) queda de vo ltagem: l <!J. dt

Resistência R: ohms (11) queda de vo ltagem: iR

(a)

(3)

E(t ).

Capacitor Capacitânc ia C: fa rads (1) queda de vo ltagem: l q

i -

(b)

Figura 5.28

A nome nc latura usada na a ná li se de circuitos é seme lh ante à no mencl atura empregada para descrever um s istema massa- mola. Se E(t) = O, as vibrações elétricas do c ircuito são dit as li vres. Co mo a equ ação auxili ar para (3) é Lm2 + Rm + l /C = O, haverá três fo rmas de so lução quando R ~ O, depe nde ndo do valor do descriminante R 2 - 4LIC. Di zemos que o c irc uito é

0/11111e I

Cap. 5

Aplicações de equações diferenc iais de seg unda o rdem..

-----------------------

superamortecido

se R 2

criticamente amortecido

se R 2 - 4L/C =0.

subamortecido

se R 2

261

4UC > O.

4UC < O.

Em cada um desses três casos, a solução geral para (3) con tém o fator e - Rin 1.. portanto q(t) ~ Oquand o 1 ~ 00 • No caso subamortec id o, quando q(O) = qo. a ca rga no capacitor osci la quando ele dec resce; em o utras palavras, o capaci tor é ca rregado e descarregado qu ando t ~ oo. Quand o E(t) = O e R = O, dizemos que o circ uito é não-amortecido. e as vibrações elétricas não se aproximam de zero quando t aumenta de maneira ilimitada; a res pos ta do circuito é harmônica simples .

EXEMPLO Considere um circuito e m séri e L-C no qual E(t) = O. Determine a carga q(r) no capacito r para r > Ose a ca rga ini cial é qo e se ini cialme nte não há corrent e circulando no circu ito.

So lução

Em um circuit o L-C, não há resisto r, ass im, de (3), obtemos d2

d1-

L ~ + - q =O. As condi ções ini ciais são q(O) = q0 e i(O) = O. Como q'(t) = i(t) , a últim a co ndi ção é simpl esmente q'(O) = O. A so lução gera l para a equação diferencial é q(t)

= c 1 cos

1 _r;-;:; t + 'I LC

1 sen _r;-;:; I. 'ILC

Agora, as condições iniciais impli cam c 1 = qo e c2 = O. Logo, q( 1) = q0 cos

1 r;-;:; t.

'I LC

•

No Exempl o 1, se qui se rmos e nco ntrar a co rrente no circui to, usa mo s i(t) = c/(1): .( )

EXEMPLO

qo 1 = - {iE se n {iE t.

Encontre a carga q(t) no capac itor em um circ uito em série L-R-C quand o L. = 0,25 henry, R = LO ohms, C = 0,001 farad , E(t) = O, q(O) = qo co ulombs e i(O) O.

Solução

Como l/C ±q"

= 1000, a equação (3) torna-se + IOq' + IOOOq =O ou q" + 40q' + 4000q = O.

262

Equações Diferencia is

Cap. 5

Volume I

Resolvendo essa equação homogênea da maneira usual , verificamos que o c ircuito é subamortecido e

Aplicando as condições iniciais, enco ntramos c 1 = qo e c2 = qo/3 . Logo, a solução é dada por q(t) = q0 e- 2º' ( cos 601

±sen 601 }

•

A solução do Exemp lo 2 pode ser escrita como um a única função seno usando o método discutido na Seção 5.2. De ( 15) daquela seção, obtemos q(t) = -qo..JIO e- -' 0' sen(60t + 1,249). 3-

Quando há um a vo ltagem impressa no ci rcuito, as vibrações elétricas são dilas forçadas. Note no Exemplo 1 que as vibrações elétri cas livres são harmônicas simples com período 2..rc/(11'1LC) = 2..rc'1LC e freqüência l /(2.rc'1LC). Se uma voltagem periódica E(t) com a mesma frequência fosse impressa no circuito, o sistema estaria em ressonância. No caso em que R ~ O, a função compleme nt ar qc(t) de (3) é chamada de solução transi ente. Se E(t) for periódica o u uma constante, então a solu ção particular C/p(l) de (3) é uma solução estacionária ou so lução do estado es tacionári o. -------

EXEMPLO

Encontre a solução es tacio nária C/p(I) e a corrente estacionária (ou corrente do estado estacionário) em um circ uito em série L-R -C quando a voltagem impressa for E(t) = Eo sen yt.

Solução

A solução estacionári a qp(t) é uma solução particular para a equação diferencial

í!:L

i!9._

L dt 2 + R dt +

= Eo sen yt.

Usando o método do s coeficien tes indeterminados, supomos uma solução particular da forma CJp(t) = A sen y1 + 8 cos y t.

Substituindo (4) na eq uação diferencial , simp lifica ndo e igualando os coeficientes, obtemo s Eo(Ly -

l /Cy)

= -----------~ 2L

-y [ L2y2 - - +--+ e c2y2 e

EoR -y [ L 22' y - -2L +

1-?

c-r2

+ R 2]

(4)

Vol11111e I

Cap. 5

Aplicarões de equações diferenciais de seg unda ordem.. .

263

É convenie nte expressar A e B em termos de alguns símbolos novos. Se X= Ly-__!_ , então X 2 = L 2y 2 - 2 l + - 1-. cy e c2y2

Se Z = Portanto, A

_1 1

~x-

, + R 2 , . então Z 2 = l 2y2 - -2L + -1- + R-.

= EoRl(-yZ\

EoX/(-yZ 2 ) e B

c2y2

A carga estacionária é então

EoX

EoR

yz2

q () = - - - sen yt - - - cos yt. P1

Agora, a corrente estacionária é dada por ip(t) =

~(~

ip(I) =

q; (1):

sen yt -

cos yt}

(5)

•

As quantidades X = Ly - l/Cy e Z = '1x 2 + R 2 definidas no Exemplo 3 são chamadas respectivamente de reatância e impedância do circuito. A reatância e a impedância são medidas em ohms.

Torção de um Cabo A equação diferencial que governa o movimento de rotação de um peso atado à ponta de um cabo elástico é

d2 e + ede- +

dt2

ke = T(t).

(6)

Na Figura 5.29. a função 8(t) representa a torção do peso em função do tempo.

Figura 5.29 /

Comparando as equações (3) e (6) com (1), vemos que, com exceção da terminologia, não há abso lutamente nenhuma diferença entre a matemática de molas vibrantes, circuitos em série e torções osci latórias. A tabela seguinte apresenta uma comparação das partes análogas desses três tipos de sistema.

264

Equações Difere nciais

Cap. 5

Vo /11m e I

Elé trico (em sé rie)

Mec ânico

-111

(massa)

f3 (a morteciment o) k

Torção

---

(indutância)

(res istência)

e (amortec imento)

(consta nte elástica)

l/C

(capac it ância recíproca chamada e lastância)

(fo rça extern a)

E( r)

(vo ltagem impressa)

T( t )

f(I)

(momento de in érc ia) (constan1 c d ás ti ca) (Iorque)

Pêndulo Simples No Exempl o 3 da Seção 1.2, vimos que o des locamento ang ul ar descrito pela equação não- li near de seg unda ordem

d 2e + s.. sen dt2

e de

um pêndul o simp les é

e = o,

em que 1 é o comprimento da has te do pêndul o . Para pequ enas osc il ações, sen e a equação diferencial res ul tante

eé sub stituíd o por (7)

mostra qu e o pêndul o apresenta movim ento harmõni co simp les. Uma an álise da solução (7) mos tra qu e o períod o de pequ e nas osc il ações é dado pe la fó rmu la famili ar da fí s ica T = 2n{f1i.

5.4

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 455 e 456. Nos Proble mas l e 2, encontre a carga no capacitor e a corrente no circui to em séri e L-C dado. Suponh a = O e i(O) = O.

q(O)

= [6l farad,

1. L

= 1 henry,

2- L

= 5 henrys, C = 0,0 l farad,

E(t)

= 60 vo lt s

E(t)

= 201 volts

Nos Problemas 3 e 4 , sem reso lver (3), determine se o circuito em série L-R- C dado é superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. 3. L

= 3 henrys, R

4. L

1 henry, R

= 10 ohms, C = 0,1 farad

= 20 ohms, C = 0,0 1 farad

Volume I

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de seg unda ordem..

265

5. Encontre a carga no capacitar em um circuito em série L-R-C no in stante t = 0,01 seg undo quando L = 0,05 he nry, R = 2 ohms. C = 0,01 farad, E(t) = O volt, q(O) = 5 coulombs e i(O) = O ampere. Determine o primeiro in sta nte no qual a ca rga do capacitar é zero. 6. Encontre a carga no capacitar em um circuito em séri e L-R-C quando L = 1/4 henry, R = 20 ohms, C = 1/300 farad, E(t) = O volt, q(O) = 4 coulomb e i(O) = O ampere. A carga no capacitar se anula em algum instante ? Nos Problemas 7 e 8, encontre a carga no capacitar e a corrente no circuito em série L-R-C dado. Calcule a carga máxima no capacitar. 7. L = 5/3 he nry s, R = 10 ohms, C = 1/30 farad, E(1) amperes. 8. L = l henry, R amperes.

100 ohms , C = 0,0004 farad , E(1)

300 volts, q(O)

= O coulomb,

30 volts, q(O)

i(O)

O coulomb e i(O)

9. Encontre a carga e a corrente do estado estacionário em um c ircuito e m série L-R-C quando L = henry, R = 2 ohms, C = 0 ,25 farad e E(t) = 50 cos 1.

10. Mostre que a amplitude da corrente estacionária no circuito e m sé ri e L-R-C do Exemplo 3 é dada po r Eo/Z, em qu e Zé a impedância do circuito. 11. Mostre que a corrente estacionária em um circuito e m série L-R-C quando L = 1/2 henry, R = 20 ohms, C = 0,001 farad e E(I) = 100 sen 601 volts é dada por ip(t) = (4, 160) se n (601 - 0,588). [S ugestão: Use o Problema 1O. J 12. Encontre a corrente estacionária em um circuito em série L-R -C quando L ohms, C = 0,001 farad e E(t) = l 00 sen 601 + 200 cos 401.

1/2 henry, R

1/2 henry, R 10 ohms, 13. Encontre a carga no capacitar em um circuito cm série L-R-C quando L C = 0,01 farad, E(1) = 150 volts, q(O) = 1 coulomb e i(O) = O ampere. Qual é a carga no capacitar após um longo período de tempo?

14. Mostre que se L, R, C e Eo são constantes, e ntão a amplitude da corrente do estado estacionário do Exemplo 3 é máxima quando y = t /fle. Qual é a amplitude máxima? 15. Mostre que se L, R, Eo e y são constantes, e ntão a amplitude da corrente do estado estacionário do Exemplo 3 é máxima quando a capacitância for C = l! Ly2. 16. Encontre a carga no capacitar e a corrente em um circuito em série L-C quando L = O, I henry, C = O, I farad E(t) = 100 sen y 1 volts, q(O) = O coulomb e i(O) = O ampere. 17. Encontre a carga no capacitar e a corrente em um circuito em série L-C quando E(t) q(O)

Eo cos yt,

= qo e i(O) = i o amperes.

18. No Problema 17 , encontre a corrente quando o circuito está cm resso nância .

19. Encontre a equação de movime nto que descreve peque nos des locamentos 9(1) de um pê ndulo simples de comprimento igual a 2 m solto no instante t = O com um deslocamento de 1/2 rad à direita do eixo vertical e velocidade angular de 2../3 m/ min para a direita. Calcule a amplitude, o período e a freqüência do movimento.

20. No Problema 19, em qual instante de tempo o pêndulo pas sa pela posição de equilíbrio ? Quando o pêndulo atinge seu deslocament.o angular extremo em cada lado da posição de equilíbrio?

266

Equações Diferenciais

Capítulo 5

Cap. 5

\lolume l

REVISÃO

Quando uma mas sa é atada a uma mo la, esta se distende até atingir uma posição em que a força restauradora ks da mola se iguala ao peso mg. Qualquer movimento subseqüente é então medido x unidades acima ou abaixo da posição de equilíbrio. Quando a massa está acima da posição de equi líbrio, ado tamos a convenção de que x < O; quando a ma ssa está abaixo da posição de equilíbrio, tomamo s x > O. A equação diferencial de movim ento é obtida igualando-a a seg unda lei de Newton F = ma = m(d 2x! dt 2 ) com a força res ultante que age na massa no instante/. Distinguimos três casos . CASO 1 A equação

d 2x

111 -

dt 2

= - kx

( 1)

em que w 2 kl m, descreve o mov imento na ausência de qualquer força de amo rtec imento e também qualquer força externa. A solução para ( 1) é x(t) = e 1 cos wt + c2 sen wt e dizemos, neste caso, que a massa está em movimento hannônico simples. As constantes e 1 e c2 são detenninadas pela posição inicial x(O) e pela ve locidade inicial x'(O) da massa. CASO li torna-se

Quando uma força de amortec imento es tá presente, a equação diferencial

d 2x dx 2 + w2x m-=-kx-/3- ou ddt2x + 2À dx dt dt2 dt

= 0'

(2)

em que /3 > O, 2À = /3 1 m e w 2 = k/m. Dizemos que o movimento resultante é superamortecido , criticamente amortecido ou subamortecido de acordo com ). 2 - w 2 > O, ).2 - w 2 = O, ). 2 - w 2 < O. As respectivas soluções para (2) são então

em que

= - À; e

x(t) = e- À'(c1 cos

...Jw 2

- ). 2 t + c2 sen

..Jw 2

- ). 2 t).

Em cada caso, a força de amortecimento é responsável pela diminuição do deslocamento, tornando-o desprezível após um longo período de tempo, isto é, x - t O quando t - t

Volume I

Cap. 5

Aplicações de equações difere nciais de seg unda ordem. ..

267

O mo vime nto desc rito nos Casos 1 e li é chamado de movi m ento li vre.

CASO Ili

Quando um a fo rça exte rna age no sis tema, a eq uação diferencia l torn a-se

d 2x dx d 2x dx ? m - = -kx - {J- + f(t) ou + 2).- + w-x + F(t) , dt 2 dt dt2 dt em qu e À e w 2 são definid os no Caso III. A so lução para a equação não- ho mogênca éx(l)

= Xc

(3)

Xp-

Como a função complementar Xc co nté m sempre o fator e - Àt, ela será tra nsiente (o u tran s itó ria ); isto é, Xc ~ O quando t ~ 00 • Se F(t) for peri ó dica, e ntão xp será uma so lução estacionária (o u so lução do estado estacionário). Na ausência de uma força de amortecimento, uma força periódica impressa pode causar grandes amp litudes de vibrações. Se a preferênci a pela força ex terna for igual à freq liê ncia w / 2.n das vibrações livres, di zemos que o sistema está em estado de ressonância pura. Nesse caso, as amp litudes de vibrações tornam-se ilimitadas quando t ~ oo . Na presença de um a força de amortecimento, amplitudes de movimento osc il atório são sempre limitadas. Porém, amplitudes grandes e potencialmente destrutivas podem oco n-er. Qu and o um c ircuito e m série co ntendo um indutor, res istor e capacitar es tá sob a ação de um a força e le tromoti va E(t), a equação diferencia l resultante para a ca rga q(t) o u a corrente i(1) é muito semelha nte à equação (3). Logo, a análi se de tai s circuitos é a mesma descrita acima.

Capítulo 5

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As respostas d os exercícios se lecionados estão na página 456. Resolva os Problemas 1- 9 se m consultar o texto. Complete os espaços ou respo nd a verd ade iro/falso. 1. Se um peso de 1O kg di stende uma mola em 2,5 cm, um peso de 32 kg irá distendê- la em _ _

cm.

2. O período do movimento harmônico simples de um peso de 8 kg atado a uma mola cuja co nstante vale segundos. 6,25 N/ m é 3. A equação diferencial de um peso em uma mola é x" + 16x = O. Se o peso for solto e m r = O será 1 m ac ima da posição de eq uilíbri o co m uma ve loc idade de 3 m/s para bai xo, a a mplitude das vibrações será _ _ _ _ _ m.

4. Ressonância pura não pode acontecer na presença de uma fo rça de amortec imento _ _ __ _ 5. Na presença de amortecimento, os des locamentos de um peso em uma mola irão aproximar-se sempre de zero qua ndo r ~ oo. _ _ _ __ 6. Um peso em uma mola cuj o movi me nto é criticamente amortecido pode passar pe la posição de equi líbrio duas vezes. 7. Em amortecimento crítico, qualquer aumento do amortecimento resultará cm um sistema _ _ _ .

268

Equações Diferenciais

Cap. 5

Volume I

8. Quando um movimento harmôni co crítico é descrito por x cp é quando x(O} = - 112 e x'(O) = l .

(-.1212) sen(2t + $). o ângulo de fa se

9. Uma massa de 0,5 kg atada a uma mola apresenta movimento harmôni co simples. Se a freqüência das oscilações for 3/2.n vibrações/seg undo, a constante da mol a será _ _ _ __ 10. Um peso de 1.5 kg di stende uma mola em 2 cm. O peso parte de um ponto 25 cm abai xo da posição de equilíbrio co m uma ve locidade de l m/s para cima. (a) Encontre a equ ação que descreve o movimento harmônico simpl es res ultante . (b) Qual é a amplitude , o período, e a freqüência do movimento ? (e) Quando o peso retorna ao ponto localizado 25 cm abaixo da posição de equilíbrio? (d) Quando o peso passa pela posição de equilíbrio se dirigindo para cima? E se diri gi ndo para

baixo? (e) Qual é a velocidade do peso no instante t (f)

3.n:I 16 segundos?

Quando a velocidade é zero?

11. Uma mola de constante elásti ca igual a 2 N/m tem uma de suas ex tremidades fi xa e um peso de 0,25 kg é atado à o utra ex tremidade. O sistema está sobre uma mesa qu e oferece uma força de atrito igu al a 3/2 vez a velocidade instantânea. Inicialmente, o peso é deslocado 1/3 m acima da posição de equilíbrio e então so lto a partir do repou so. Encontre a equação de movi mento se o mo vimento se dá ao longo de uma reta hori zontal qu e é tida como eixo x. 12. Um peso de 16 kg di stende uma mola em 6 cm. O peso move-se em um meio que oferece uma força

de amortecimento igual a f3 vezes a velocidade instantânea. Determine os valores de f3 para os quais o sistema apresentará movimento osc ilatório. 13. Uma mola com co nstante k = 2 está imersa em um líquido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 4 vezes a velocidade instantânea. Se uma massa m é suspensa pela mola, determine os valores de m para os quai s o movimento livre subseqüente não é oscilatório. 14. O movimento vertical de um peso atado a uma mola é descrito pelo problema de valor inicial 2

.!.. ~ + 4 dt1

= O,

dx + x dt

x(O)

= 4,

x'(O)

= 2.

Determine o deslocamento vertical máximo. 15. Um peso de O, 125 kg é atado a uma mola cuja co nstante vale (8/3) N/m. Uma força periódica igual a j(t) = cos yt + sen y t atua no sistema a partir do instante t = O. Na ausência de amortecimento, para qual valor de y o sistema estará e m ressonância pura ? d . d 1 ,. ? 16. Encontre uma so 1uçao part1cu 1ar para dt 2 + u.. dtX + orx = A , em que A e, uma f orça constante. A

17. Um peso de O, 125 kg é suspenso por uma mola cuja constante vale 3 N/ m. O sistema inteiro é imerso em um fluido que oferece uma forç a de amortecimento numericamente igual à velocidade in stan tânea. Começando em t = O, uma força externa igual a j(t) = e- 1 age no sistema. Determine a equação de movimento se o peso parte do repouso 2 m abaixo da posição de equilíbrio.

Volume l

Cap. 5

Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem. ..

269

18. (a) Duas molas são atadas c m série , como mos trad o na Fi gura 5.30. Ignorando a massa das molas, mostre qu e a constante elástica efetiva k é dada por ll k = l/ k 1 + llk 2 . (b) Um peso de W newtons di stend e uma mola cm 1/2 m e di stende uma outra em ~ m. As duas

molas são atadas co mo na Fi gura 5.30 e o peso W é então atado na mola dup la. Supondo o movimento li vre e sem força de amortecimento , determine a equação de movimento se o peso é solto de um ponto loca lizado 1 m abaixo da posição de equilíbrio co m uma velocidade de (2/3) m/s para bai xo. (e) Mostre qu e a velocidade máxima do peso é (2/3)"3g+l. 19. Um circuito em séri e co ntém uma indut ância L = 1 henry, uma capacitânc ia C = 10- 4 farad e uma forç a eletromotriz E(r) = 100 scn 50i vo lt s. Ini cialmente, a carga q e a co rrent e i são nul as. (a) Enco ntre a equação para a carga em relação ao tempo. (b) Encontre a equação para a corrente cm relação ao tempo. (c)

Enco ntre os in stantes para os quai s a carga no capac itar é nula .

20. Mostre que a corrente i(t) em um circuito em séri e L-R-C sati sfaz a equação diferenc ial d 2i di 1. L -:; + R- + - 1 = E' (i), didi e em que E'(1) denota a derivada de E(t) .

Figura 5.30

270

Equa ções Diferenciais

Volume l

ENSAIO

O Colapso da Ponte Tacoma Narrows

Gilber t N . Lewis

Departamento de Matemática e Ciência da Computação Michigan Technological University

omo pode ser visto na equação (9) e na Figura 5.22 da Seção 5.3, as oscilações no caso de ressonância tornam-se muito grandes após um certo período de tempo. Em um sistema físico, isso seria catastrófico, pois o aumento contínuo das amplitudes de oscilação quebrariam o sistema. Dois exemplos históricos disso já foram dados (as asas de um av ião e soldados marchando sobre uma ponte). Nesses exemplos. forças periódicas com freqüência igual à freqüência natural das estruturas foram impressas na direção da s vibrações, ocasionando a destruição das estruturas por ressonância. Outro exemplo usado até recentemente para ilustrar o fenômeno de ressonância é o colapso da ponte Tacoma Narrows no estado de Washington. A ponte foi aberta ao tráfego no verão de 1940. Grandes oscilações da pista foram logo observadas, sempre qu ando havia vento. A ponte passou a ser chamada de" Galloping Gertie" (ponte galopante) e tornou-se uma atração turística. As pessoas gostavam de observar as vibrações e mesmo dirigir através da ponte em uma excitante montanha-russa. Finalmente, em 7 de novembro de 1940, toda a estrutura do vão foi fragmentada pelas grandes vibrações e houve o colapso. Veja a Figura 5.31.

Figura 5. 3 1

Durante 50 anos, a ressonância foi responsabilizada pelo colapso. Pensava-se que, quando o vento soprava horizontalmente, formavam-se vórtices de vento alternados de baixo para cima e de cima para baixo, criando então uma força vertical· periódica que agia na mesma direção da vibração da ponte. Veja a Figura 5.32. Ainda, supunham que a freqüência dessa força

Vo l w 11 c 1

E11saio

O colapso da ponte Ta coma Narrmvs

271

peri ódica e ra exatamente ig ual à fre qliê ncia natural da ponte, ocasionando ent ão g rande ampli tude de vibrações (vej a a equ ação (9)) e causando a queda ponte. Essa ex plicação fo i (ta lvez erro nea me nte) atri buída ao notóri o enge nheiro von Karman. Em sua autobi og rafia, ele ex pli co u qu e o colapso da ponte fo i realme nte dev ido aos vó rti ces de von Karma n [4]. Porém, em um relatóri o téc ni co enviado à " Federal Works Agency", ele e seus co-a utores co nclu íram qu e " é po uco provável que resso nância dev id o a vórtices altern ados tenha dese mpenh ado um papel importante nas osci lações de pontes suspensas" ( I ]. In fe li zme nte, a resso nância permaneceu firm e co mo um a ex plicação na literatura pop ul ar e matemáti ca. Resso nância é um fe nôme no linear (note a eq uação diferencial linea r (7) da Seção 5.3). Além do mais, é inteirame nte dependente da co incidência da freq li ência na tural da po nte co m a freqliê ncia de algum a fo rça ex terna peri ódica. Ainda, a resso nâ nci a requ er abso luta ausência de a mortec imento no sistema (À = O na equação (3) da Seção 5.3) . Não é de surp reender, po rtanto, qu e a resso nância não te nha sido o fa tor domin ante no colapso da Po nte Taco ma Narrows .

Figura 5.32

Se não fo i resso nância, então qu al é a exp li cação? Uma pesquisa recente fo rnece u um a explicação alternativa para o colapso da ponte. Lazer e McKenn a (vej a (3 ] para ob ter uma boa recapitulação do artigo) arg umentam q ue efeitos não- lineares, e não ressonância linear, fo ram os principais fatores que provocaram grandes osc il ações da ponte [2]. Não há dú vida de que o vento através da pista propo rcionou a força externa que ca usou o mov ime nto. Essa fo rça poderi a mes mo se de ver parcialme nte aos vó rtices, co mo vo n Karman sugeriu . Poré m, interações não- lineares entre a ponte e as forças ex ternas são causas mais prová veis para o colapso.

272

Equações Diferenciais

Volume J

Compare a estrutura reforçada da ponte Tacoma nessa fotografia, mostrando a ponte reconstruída, com a estrutura delicada de 1940, bem visível nas fotografias da página 270 .

Na teoria linear, os cabos agem como uma mola elástica. Assim, o modelo matemático leva à equação diferencial linear (3), ou à equação (7) da Seção 5.3, se não há presença de amortecimento. Este último caso, em que há ressonância, é a única situação possível na teoria linear, em que pequenas forças externas poderiam causar grandes amp litudes de vibrações. Como mencionamos antes, esse cenário é pouco provável. Por outro lado, efeitos não-lineares podem causar grandes amplitudes de vibrações com forças de pequenas amplitudes. Podem também explicar a transição de oscilações unidimensionais para oscilações transversais (torção), as quai s foram as principais responsáveis pelo colapso da ponte. A idéia básica no modelo de Lazer-McKenna é a seg uinte. Quando os cabos verticais estão sob tensão (o peso da ponte está puxando-os para baixo), eles agem como uma mola elástica, e neste caso a equação diferencial é linear. Porém, quando forças externas provocam oscilações na ponte (ventos e possivelmente tremores de terra), os cabos não estarão sempre sob tensão, e haverá somente a gravidade atuando. Em outras palavras, o termo da lei de Hooke, (klm)x na equação (2) da Seção 5.3, não estará presente. Essa transição de um tipo de equação diferencial linear para outro é uma fonte de não-linearidade. Outras fontes de não-linearidade em

Volume 1

Ensaio

O colapso da ponte Tacoma Narro11·s

273

po ntes suspensas devem ser incl uídas no modelo não- linea r e não-s imétrico ou inte rações dos cabos verti cais co m os cabos princip ais o u co m as torres de supo rte. Essa não- linearidade é combinada pelo fa to de qu e cabos di fere ntes pode m es tar sob tensão em instantes di fe rentes. O res ul tado dessa não- linearidade, argumentam Lazer e McKenn a, podem ser oscil ações de gra ndes amp litudes so b moderadas fo rças externas . Um outro aspecto das eq uações não- linea res é a imprev isibi lidade. Isso pode ex plicar, por exemplo, por qu e a· po nte ex perimento u oscil ações de grande amplitud e sob a ação de peq uenos ve ntos e fi co u perfeitamente es tável sob a ação de fo rtes ventos. Co mo Lazer e Mc Kenn a obse rvara m, a teo ri a não- linear de pontes suspensas ainda não fo i co mpl etamente desenvo lvida. Porém, simulações numéri cas do modelo es tão de aco rdo com as observações . Parece qu e essa abordagem pro porcionará ex plicações mais precisas para o colapso da Po nte Taco ma Narrows.

REFERÊNCIAS l.

Amann , O. H., T. von Karma n. e G. B . Woodruff. Th e Fai lure of the Tacoma Na rrows Bridge. Federal Works Agency, 194 1.

Lazer, A. C., e P. J . Mc Ke nna. " Large-Am pli1ude Periodic Osc ill atio ns in Su spension Brid ges: So me New Conncc tions w ith Nonlin ear A nalys is." S!AM Review 32 (Dez. 1990): 5 37-578.

Peterson, l. " Rock and Ro ll Bridge." Scie11ce News 137 ( 199 1): 344-346 .

von Karman, T. Th e Wi11d a11d Beyond, Theodore von Ka n na n, Pio11ner in Aviation and Pathfi nder in Space. Boston: Littl e, Brown, 1967 .

Cap ítulo

EQUAÇOES DIFERENCIAIS COM COEFICIENTES VARIÁVEIS 6.1 6.2 6.3

Eq uação de Ca uchy-Eul er Rev isão de Séri es de Potências; So lu ções por Séri es de Potências. So lu ções em Torno de Pontos Ordinári os (não-s in gulares)

Conceitos Im portantes Equação de Cauchy-Eul er Equação auxil iar Séries de potências So luções por séries de potênci as Relação de recorrência Ponto ordinário Ponto singul ar Ponto singul ar reg ul ar (s in gularidade regul ar) Po nto singular irreg ul ar (s in gularidade irreg ul ar) Método de Frobeniu s Equação indi ciai Raízes indi ciais Equ ação de Besse l Equ ação de Bcssel para métrica Funções de Bcsscl Equação de Legendre Polinõmi os de Legendre

6.4 6.5

So luções em To rn o de Pontos S in gul ares Duas Eq uações Es peciais Capítul o 6 Rev isão Capítulo 6 Exercícios de Revisão

A té

agora temos reso lvido equações d iferenc ia is li neares de ordem dois ou mais alta somente quando estas possuem coeficie ntes constantes. Em aplicações, equações lin eares de ordem superior com coeficientes não-constantes (variáveis) são igualmente impo rtantes, se não mais . Por exemplo, se quisermos encon trar a tempe ratura ou o potencial u na região compree nd ida entre duas esferas concêntricas, como most rad o na figura, então sob certas ci rcunstâncias temos de resolve r a equação dife re ncial.

Continua

274

Volw11r I

Cap. 6

Equações dife re11ciais com coeficie111es variáveis

Continuação em que a variável r > Orepresentaadistânciaradial m ed id aa parti rd ocen t rodasesferas. Equações diferenciais com coeficientes variáveistaiscom o

(1 - x 2 )y" - 2xy' + n(n + l)y = O. y" - 2xy' + 2ny

ocorrem em aplicações como problema de potencial, distribuição de temperatura e fenõmeno vibratório, para mecânica quântica. Equações com coeficientes variáveis não podem ser resolvidas com a mesma facilidade com que resolvemos equações diferenciais com coeficientes constantes. Na verdade, não podemos esperar que a solução, mesmo de uma equação simples como y" - 2xy

= O,

possa ser expressa em

termos de funções elementares construídas com potências de x, senos, co-senos, logaritmos e exponenciais. O melhor que podemos fazer em relação à equação y" - 2xy = O é encontrar uma solução na forma de uma série infinita. Porém, há um tipo de equação diferencial com coeficientes variáveis, chamada equação de Cauchy-Euler, cuja solução geral pode sempre ser escrita em termos de funções elementares. Começamos este capítulo com essa equação.

6. 1

EQUAÇÃO DE CAUCHY-EULER

Qualquer equação diferencial da forma

d 11 _ l x" a 11 x"~+a 11 dx"

d 11 - 1v =---..L+ .. . + I dx" -

ll(l)' d llJX ::L+ X

X , g ()

2 75

276

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume J

cm que a 11 , a 11 _ 1, ••• , a 0 são co nstantes, é chamada de equação de Ca uchy-Eu ler, *ou equação eqüidimensional. A caracterís ti ca des se tipo de eq uação diferenc ial é que o g rau de cada coeficiente monomial coi ncide com a ordem de de ri vação:

d" -

dx"

dx" - Y

a,,x"~ +a,, - 1x" - I _ __ .> +

Somente para efeit os de disc us são, co nce ntraremos no ssa atenção na reso lu ção para a equação homogênea de seg und a o rd em d2 d a x 2----2 + bx dy.x + cy = O. dx 2 A so lução para equações de o rdem superior é análoga. A ind a, pode mos reso lver a eq uação não-ho mogênea

i!x

a.x 2 dx1 + bx !!x Jy + cy = g(x) ,..,. pelo método da variação dos parâm etros, uma vez dete rminada a fun ção co mpl e me nt ar Yc(x).

Nota O coeficiente de d 2yl dx 2 é zero pa ra x = O. Então, para ga rantir que os resultados fundam enta is do Teorema 4.1 possam ser ap licados à eq uação de Cauc hy-Eul er, devemos encontrar a so lução geral no interva lo (O, oo) . Soluções no interva lo (- oo, O) podem se r ob tidas substituindo t = -x na equação diferencial.

Método de Soluções

Tentaremos uma solução da forma y xm, em que m deve ser determinado. A primei ra e a segunda derivadas são, respectivamente,

:!l_ = m.x'" dx

m(m - l)xm - 2 .

Augustin - Louis Cauchy (1789 - 1857) Nascido em plena revolução francesa, Cauchy foi destinado a iniciar uma revolução própria - em matemática. Por suas contribuições originais, mas especialmente pelo esforço em elucidar confusões matemáticas e sua incessante busca por definições satisfatórias e provas rigorosas de teoremas, Cauchy é freqüentemente chamado de" o pai da análise moderna". Um escritor prolífico, Cauchy produziu cerca de 800 artigos em astronomia, física e matemática. Foi ele quem desenvolveu o conceito de convergência de uma série infinita e a teoria de funções complexas. A mesma mente que era sempre aberta e questionadora em ciência e matemática, era estreita e conservadora em muitas outras áreas. Franco e arrogante, Cauchy era impetuoso em relação a questões religiosas e políticas. Sua posição' nesses assuntos freqüentemente o indispunham com seus colegas.

Volwne I

Cap. 6

Equaçcles diferenciais com coejicie11 te.1· l'[lriáveis

2 77

Conseqüentemente, a equação diferencial torna-se

d 2)'

ar 2 -

dt 2

dv + cy = ax2 x m(111 - l).x 111 dx

bx ~

bx X

mx'" - 1 +

cx 111

= am(m - 1)x 111 + bmx 111 + cx 111

111

l ) + bm + e).

(am(m -

Logo, y = x será uma solução para a eq uação diferencial quando m for uma so lu ção para a equação auxiliar. 111

am(m - 1) + bm + e = O ou am 2 + (b - a)m + e = O.

(1)

Há três casos distintos a serem considerados, dependendo das raízes dessa equação quadrát ica, a saber: raízes reais e distintas, reais e iguais o u comp lexas. No último caso, as raízes são conjugadas. CASO 1 Raízes Reais e Distintas Então,

Sejam rn 1 e m2 as raízes reais de ( 1) com

m 1 7' m2.

YI = xmi

= xm~

formam um conjun to fundame ntal de soluções, e a solu ção ge ral é (2)

EXEMPLO Resolva

Solução Em vez de sim plesmente memorizar a eq uação ( 1), é preferível supor que y = x 111 seja a solução para e ntender a origem e a diferença entre essa nova forma de eq uação aux iliar e a obtida no Capítulo 4. Derivando duas vezes dy = inx'" - 1

d2y

dx2

m(m -

l)x"' - -?

e substituindo na equação diferencial: 2d2y

x -

dx 2

- 2x -

- 4y = x 2

X m(m -

1)x 111

2 -

= xm(m(m - 1) - 2111 - 4) = xm(m 2 - 3m - 4) = O

X mx 111

1 -

4x 111

·218

111 2

Equações Diferenciais

3m - 4

Cap. 6

Volume 1

O. Agora , (m + 1)(m - 4) = O implica m 1

- 1 em2

4. Logo,

• CASO li Raízes Reais e Iguais

Se as raízes de ( l ) são iguais, isto é, m 1 Ili ? , então obtemos so mente um a solução, a saber, y = x 1111 • Quando as raízes da eq uação quadrática am 2 + (b - a)m + e = O são iguais, o discriminante dos coeficientes é neces sariamente nulo . Segue-se dessa fórmula quadrática que a raiz é

= - (b - a)/2a.

Agora, podemos construir uma segunda solução Y2 usando (4) da Seção 4.2. Prim eiro, escrevemos a equação de Cauchy-Euler na forma r/ 2" b dy + -e y - O :::.....L..+-dx2 ax dx ax2 -

e fazemo s a identificação P(x ) = blax. Logo,

= xmi

xmi

e - J(bla l )d;r (xmi)2

e -(bl a) ln x x2m 1

dx ~e-<.w" 11 "' = e"'•""'"- x_,,.·I

= x"''

X-

b/a X x(b - a)/a

= x 1111 J ~ = x"''

ln x.

A solução geraléportanto (3)

EXEMP L O

2 ?

Resolva

4x 2 d-y

dx2

&xEl dx

+ y = O.

Volume I

Solução

Cap. 6

Equações diferencia is com coeficientes variáveis

2 79

A substitui ção y = xm implica d2 dx2

d dx

4x 2 ~ + 8x~ + y = x"'(4m(m - l ) + 8111 + 1) = x 111 (4111 2 + 4m + 1) =O quando 4m 2 + 4m + 1 = O ou (2m + 1)2 = O. Co mo m 1 = - 1/ 2, a so lu ção gera l é y = c 1x -

11 2

•

+ c2x- 112 ln x.

Para equ ações de ord em superi or, se m 1 for uma raiz de multipli cidade k, e nt ão po de ser mos trado que

são k soluções lin earm ente indepe ndentes. A solução geral para a equ ação dife re ncial deve portanto co nter um a co mb inação linea r dessas k solu ções.

CASO Ili Raízes Complexas Conjugadas m1 = a +

í/3,

m2 =

Se as ra ízes de ( 1) são co mpl exas

a - i/3,

e m qu ea e/3 >O são rea is, então uma so lu ção é

y = C1xª + i/3 + Cyª + i/3_ Mas, co mo no caso de eq uações com coefi cientes co nstant es, qu ando as ra ízes da equ aç ão a uxiliar são co mplexas, quere mos escre ver a solução e m termos de fu nções reais so mente. Nota mos a identidade xi/3

= (e l"

x)i/3

= ei/3

ln ·\

a qu al, pela fó rmula de Euler, é o mes mo q ue xi/3 = cos(/3 ln x ) + i sen(/3 ln x).

Analoga mente, te mos x - i/3 = cos(/3 ln x) - i sen(/3 ln x).

So ma nd o e s ubs tituindo os do is últimos res ultados, temos, res pec ti va me nte, xi/3 + x - i/3

= 2 cos(/3

ln x)

e xi/3 - x - i{J = 2i sen(/3 ln x).

C o mo y = C 1x'1 + i/3 + C2x'1 - if3 é uma solução de ax 2y" + bxy' + cy qualquer va lor das co nstantes C 1 e C2, vemos que YI = xª(xi/3 + x - i/3),

(C1 = C2

= O para

280

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume I

1, C2 = - 1)

ou Y1 = 2xª(cos(j3 ln x)) Y2 = 2ixª (se n(j3 ln x))

são também solu ções. Como W(X' cos(j3 ln x), X' sen(j3 ln x)) = (3x 2a - 1 ~ O, (3 > O, no interva lo (O, oo), conc luímos que )' 1

= xª

cos(j3 ln x)

e Y2

= xª

sen(j3 ln x)

constitui um co njunto fundamental de sol uções para a equação diferencial. Logo, a so lução ge ral é y = xª[c1 cos(j3 ln x)

EXEMPLO

sen(j3 ln x)].

(4)

Reso lva o problema de valor inicial d2 ' dx 2

d}'

x 2 -> + 3x- + 3y =O, y( l) dx

1, y'(l )

= -5 .

Solução Temos

2~ + 3x.::::L ~ + 3y = x 111 ( m(m

x dx 2

1) + 3m + 3) = x 111 (m

+ 2m + 3) =O

quando m 2 + 2m + 3 = O. Pela fórmula quadrática, encontramos m1 = - 1 + f2i e m2 = - 1 - f2i. Se fizermos as identifi cações a = - l e (3 = f2, veremos po r (4) que a solução para a eq uação diferencial é y = x - 1[c1 cos(f2 ln x) +

sen(f2 ln x) ].

Usa nd o as condições y( l ) = 1, y ' ( I) = -5 na solução ac ima, enco ntram os c 1 - 2f2. Logo, a so lu ção para o problema de valor inicial é

1 e

c2 =

y = x- 1[cos(.v2 ln x) - 2f2 sen(f2 ln x)]. O grá fi co dessa solução, obtid o com a ajuda de um co mputador, es tá representad o na Figura 6.1 .

•

Volume I

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficientes variáveis

281

Figura 6.1

EXEMPLO

Resolva a eq uação de Cauehy-Eu ler de terceira ordem

x 3!!:!.x_ + 5x 2 d 2y + 7x dy + Sy = O. dx3 dx2 dx Solução

As três primeiras derivadas de y = xm são d}' = rnx" dx

d 2)' - = m(m ' dx2 ·

l)x"' -

!!:!.x_ dx 3 -

m(rn - 1)(m - 2)x 111

portanto a eq uação diferencial dada torna-se

= x3rn(tn - 1)(n1 - 2)x 111 - 3 + 5x 2m(m - J )x"' - 2

+ 7xml" -

= x"'(m(m -

Sx"' l)(m - 2)

5m(m - 1)

+ 7rn + 8)

= x"'(m 3 + 2111 2 + 4m + 8).

Nesse caso, vemos que y = x"' será uma solução para a equação diferencial sem for uma raiz da equação cúbica m 3 + 2m 2 + 4m + 8 = O

+ 2)(m 2 + 4) = -0.

282

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume I

As raízes são: m 1 = - 2, m2 = 2i, m 3 = - 2i. Logo, a so lução gera l é 2

y = c 1x -

EXEMPLO

•

cos(2 ln x) + c3 sen(2 ln x).

Reso lva a eq uação não- ho mogênea

x 2y" - 3xy' + 3y = 2x 4ex.

Solução

A sub stitui ção y = x 111 conduz à equação auxiliar

1) - 3111 + 3 = O ou

m(m -

Yc = c1x +

Logo,

t11)'1

(m -

1)(m - 3)

c2x3.

Antes de usarmos a variação dos parâmetro s pa ra e nco ntrar um a so lução parti cu lar + t12)'2, lembramos que as fórmulas uí = Wi lw e uí =W2/W, em qu e W1 =

O Y2 I f(x) YÍ '

W? =

)'1

YÍ f(x)

I ·

e W é o Wron skiano de y 1 e Y2> foram deduzidas supo ndo-se que a eq uação diferencial tenha si do co locada na forma espec ia l y" + P(x)y' + Q(x)y = f(x). Po rtanto, dividimos a equação dada por x 2, e na equação

y" fazemos a identificação f(x)

3x 2

I= 2x3

~ y' + -1._ y X

= 2x2ex

2x 2ex Agora, co m Y1 = x, Y2 = x 3 e

W? =

1 X

enco ntramos

A integral da última fun ção é imed iata , mas no caso de resultados são

Logo,

uí, integramos por partes duas vezes. Os

Yp = LIJYI + Ll2Y2 = (-x 2e 2 +

2xe' - 2ex )x + exx 3

Volume 1

Fin alme nte, te mos

Cap. 6

Y = Yc

Equações diferenciais com coejicie11 1es 1•ariáveis

283

•

+ Yp

Método Alternativo de Solução Qualq ue r equ ação di fere nc ial de Ca uc hy-E ule r pode se r redu zida a um a equ ação co m coefi c ie ntes co nsta nt es po r me io da sub stitui ção x = e'. O próx imo exe mpl o ilustra esse método.

EXEMPLO

Reso lva

Solução

= e' o u t = ln

Co m a su bstitui ção x

!!l _ CÍ.X -

rf!y_ d.x2

dy dt d t dx -

= _l_ iL x dx = _l_ (

x, te mos qu e ~regra da cadeiaj

_!_!!l X

( dy ) + !!l (- _l dt dt x2

~da cade ia e do prodütO]

4-2 _!_ ) + dy (- _l J= _l ( 4-2 d t2 x dt x2 x2 dt 2

dy ) dt

Substituindo na equação di fe re nc ial dada e simplifica nd o, obte mos

Co mo essa últim a eq uação tem coefi c ientes, sua equ ação a ux ili ar é m 2 - 2m + 1 (m - 1)2 = O. Logo, obte mos Yc = c1e' + czte 1.

= O,

Pe lo mé todo dos coefi c ie ntes ind eterminados, te ntamos um a so lução particul ar na form a Yr = A + 8 1. Essa s upos ição co ndu z a - 28 + A + Bt = t, ass im A = 2 e B = 1. Us and o y = Yc + Yp· obtemo s

daí a so lu ção gera l para a equ ação di ferenc ial orig in a l no inte rva lo (O, oo) é

y = c 1x + c2x ln x + 2 + ln x .

•

284

Equações Diferencia is

Cap. 6

Volllme I

6. 1 EXERCÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados estão na página 456. Nos Problemas 1-22, reso lva a equação diferencial dada.

1. x 2y" - 2y

2. 4x 2y" + y

3. xy" + y =O

x\"

4. xy" - y = O

+ y ' + 4y

6. x\" + 5xy' + 3y = O

7. x 2y" - 3xy' - 2y = O

8. x 2y" + 3xy - 4y = O

9. 25x 2y" + 25xy + y = O

10. 4x 2y" + -lxy - y = O

ll. x\•" + 5xy' + 4y

12. x\·" + 8xy' + 6y = O

13. x 2y" - xy' + 2y = O 15. 3x 2y"

+ 6xy' + y

= O

17. x 3y'" - 6y = O

19.

3 d\·

:::..-L -

dx3

év

:::..-L

dx2

14.

x\-" -

16.

2r 2y"

7xy' + 4 ly = O

+ xy + y = O

18. x 3y"' + xy - y = O -

3 d3 ) d \. d 20. x -1:'. - 2x- ~ + 4x-1'. - 4y = O d.x3 dx 2 dx

dv lx=- + 8y = o dx

4 d~ 3 d3 ' ? d 2" dv 22. x ~ + 6x ~ + 9X- ~ + 3x =- + y

dx 4

d.x 3

dx2

Nos Probl emas 23-26, reso lva a equação diferencial dada suj eita às condições ini ciais indi cadas.

23. x 2 y" + 3xy' = O, y( I ) = O, y'( I) = 4 24. x 2 y" - 5xy' + 8y = O, y(2) = 32, 25. x 2 y" + xy' + y = O,

y( I ) = ! ,

26. x 2 y " - 3xy' + 4y =O,

y( I)

y'(2) = O

y'( I ) = 2

= 5,

y'( I) = 3

Nos Problemas 27 e 28, resolva a equação diferencial dada suj eita às co ndi ções ini ciai s indicadas. [Sugestão: Faça t = - x.] 27. 4x 2 y" + y = O,

y(- 1)

= 2,

y'(- 1) = 4

28. x 2 y" - 4xy' + 6y = O. y(- 2)

= 8,

y'(- 2)

Resolva os Problemas 29-34, usando variação dos parâmetros.

29. xy" + y' 31. 2x 2y"

+ 5xy' + y

30. xy" - 4y' = x 4 = x2 - x

32.

x\·"

lxy' + 2y =

Vo lume 1

Cap. 6

Equações dife rencia is com coeficientes variáveis

33. x\•" - xy' + y = 2.x

34.

x\" -

2ry' + 2y = x 3 ln

d 2y

36. x 2y" - 4xy'

+ 1Ox dx + 8)· = x-

+ 6y = ln x 2

37. x 2y" - 3xy' + 13y = 4 + 3x

38. 2r 2y" - 3xy' - 3y

39. x 1y" + 9xy' - 2.0y = 51x 3

40.

' Ó 3x 2 x · dx3 dX-

+ ln

= e'.

Nos Proble mas 35-40, reso lva a equ ação dife re ncial dada fazend o a substitui ção x - "" clt 2 3 :>.

285

1 + 2.x + x 1

~ dx

41. Conside re du as es feras co ncêntri cas de raios r = a e r = b, a < b , co mo mostrado na Fi gura 6.2.. A te mperatu ra 11 (r ) na reg ião compreendida e ntre as es fe ras é de te rminada pe lo probl e ma de va lo r de fro nte ira d 1u 2 d u __ O r d r 2 + dr ,

cm que 11 0 e

11 1

u(a) = " O•

11(b ) = "t ·

são co nstant es. Reso lva essa equ ação.

42. A tem peratura no a nel circ ul a r mostrado na Fi g ura 6.3 <! dete rm inada pelo pro bl e ma de va lo r de fron teira d 211 du _ 0 r d r2 + dr - '

c m q ue u 0 e

11 1 são

u(a)

"o·

u(b) =

11 1•

constant es. Mostre que u (r )

l'-0 ln(rlb) - 11 1 ln(r/a) = ~----~-- ln(alb)

Figura 6.2

Figura 6.3

Nos Proble mas 43-45, reso lva a equ ação difere ncial dada . 43. (x -

1) 2 ~ - 2.(x - 1)--1'. - 4y = O [Su gestão: F aça t = x - I] . dx 2 dx

44. (3x + 4) 2y"

+ 10(3x + 4)y' + 9y = O

45 . (x + 2.)\·"

+ 2.)y' + y = O

286

Equações Diferenciais

Cap. 6

Vo lume I

6.2

REVISÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS: SOLUÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIAS

Revisão de Séries de Potências Muitas equações diferenciais co m coeficientes va ri áve is não podem ser reso lvidas em termos de funções elementares. Uma téc ni ca padrão para resolver equ ações di fe renciais lineares de ordem superi or co m coefi cient es vari áveis é tentar enco nt rar um a so lução na fo rm a de um a séri e infin ita. Frcqüentemcnte, a solução pode se r enco ntrada na fo rm a de um a sé rie de potências. Por ca usa disso, é importante li star algun s dos fa tos mais importantes so bre séri es de potências. Porém, para uma revisão mais pro fund a dos co nceitos de séri es infin itas, você deve co nsul tar um tex to de cálcul o. Definição de uma Série de Potências infinita na form a

Uma séri e de po tências em x - a é uma série

Cn(X -

a)"-

" =o Uma série co mo essa é também co nhecida co mo uma série de potências centrad a em a . Por exemp lo, (- 1)n + ',L.., 11;::;

11 2

é uma séri e de potências em x; a série é cent rada em zero. Convergência Para um valor es pecífico de x, uma séri e de potências é uma séri e de co nstantes. Se a séri e é igual a uma co nstante real finit a para o x dado, então di zemos que a série con verge em x. Se a sé ri e não co nverge cm x, dize mos qu e ela di verge em x. Intervalo de Convergência Toda séri e de potências tem um inter va lo d e con ve rgência . O interva lo de co nvergência é o co njunto de todos os núm ero s para os quais a séri e converge. Raio de Convergência Todo intervalo de co nvergência tem um raio d e con vergência 0 C11 m(x - a )", temos somente três possibilidades:

R. Para um a séri e de potências :E~=

(i) A sé rie con verge so me nte no seu centro a. Nesse caso, R = O. (ii) A série converge para todo x que satisfaça lx - a i < R, em qu e R > O. A série diverge para lx - a i > R . (iii) A série converge para todo x . Nesse caso, escreve mos R

= oo.

Vo lume I

Cap. 6

Equações d iferen ciais com coeficientes variáveis

287

Convergência em um ponto extremo Le mbre-se: a des ig uald ade do va lo r abso luto lx - ai < R é equ iva lente a - R < x - a < R, o u a - R < x < a + R. Se uma sé ri e de potências co nverge para lx - ai < R, em qu e R > O, e la pode o u não co nve rgir nos po ntos ex tremos do interva lo a - R < x < a + R. A Fig ura 6.4 mos tra q uat ro poss íve is interva los de co nve rgência. R

r--"----.

l a

(a)

[a - R, a+ R] A série converge nos dois pontos ex tremos

(b)

(a - R,a+R) A série d iverge nos dois pontos ex tremos

r--"----.

a (e)

[a - R, a+ R) A série converge em a - R, diverge em a+ R.

(d)

(a - R, a+ RJ A série di verge em a - R, converge em a + R.

Figura 6.4

Convergência Absoluta Em seu intervalo de co nvergência, um a série de potências converge absolutamente . Em outras palavras, para x no interva lo de co nvergência, a séri e de valo res absolutos L~ = 0 lcnl l(x - a)nl converge. Determinação do Intervalo de Convergência A co nv ergência de uma séri e de po tências pode freqü entemente ser determinada pelo teste da razão 1e,,+ e -I 1 lx - ai = L.

. l11n n

~ oo

A séri e será co nvergente se L < l. Po r esse tes te, vemos que o rai o de co nvergência é dado por

( 1)

R = lim li

desde que esse limite ex ista .

288

Equações Dife rencia is

Cap. 6

Volu me I

Uma Série de Potências Representa uma Função

Um a sé ri e de potê nc ias rep re-

ent a uma fun ção

" =

cuj o dom íni o é o inte rva lo de convergênc ia da séri e. Se a sé ri e ti ver raio de co nve rgênc ia R > O, então a fu nção f será co ntínu a, diferenc iável e integ rável no interva lo (a - R. a + R). A in da, fl.x) e f(x) dx podem ser ca lcul adas po r de ri vação e integração termo a te rmo:

L, 11

j(x) dx = C +

CQ(X -

a) +

(x - a) 2 CJ

(x - a) 3

+ ..

nc,,(x - at -

e+ L, 11 ;

e,,

(x - a)" + 11

+ 1

Embora o ra io de co nvergênc ia dessas duas séries seja R, o interva lo de co nvergê nc ia pode se r difere nte. Pode-se perder a convergê nc ia c m um pon to ex tre mo na deri vação termo a te rmo e pode -se obter convergênc ia em um po nto ex tremo na int egração te rmo a term o .

Séries Que São Identicamente Nulas Se :E~= 0 c,,(x - a t = O, R > O para todo x no interva lo de co nvergê ncia, então e,, = O para todo 11. Analiticidade em um Ponto Vemos nos c urso de cá lcul o qu e fun ções como ex, cos x e ln(x - l ) pode m ser re presentadas por séries de po tênc ias (desen vo lvimento e m séri e de Tay lor o u Mac la urin ). Di zemos que a funç ão fé analítica no ponto a qu ando e la pode ser representada por um a série de potê nc ias e m (x '-- a) co m um ra io de co nvergênc ia pos iti vo. A noção de analíti cid ade em um po nto será importante nas Seções 6.3 e 6.4.

Aritmética de uma Série de Potências Sé ri es de potênc ias podem ser combin adas através das operações de ad ição, mu ltipli cação e d iv isão. Os procedimentos para uma séri e de po tências são se me lh antes à mane ira pe la qua l so mamos, multipli ca mos ou di vidimos do is po linô mi os ; isto é, soma mos coefi c ientes das mes mas potências de x, multipli ca mos te rmo a termo e usa mos a pro pri edade dis tributi va para ag ru par termos de mes ma potência . Por exempl o, se a séri e de potê nc ias f(x) = ~ = 0 c,,x" e g(x) = :E~= 0 b,/', fore m ambas co nve rgentes para lxl < R, então

fl.x)

+ g(x) = li

(e,,

+ b,,)x"

Vo lume I

Cap. 6

Eq uações diferenc iais com coeficientes variáveis

289

EXEMPLO Encon tre o intervalo de co nve rgê ncia da séri e de potências =

(x - 3)"

I n = O Solução

2"11

A séri e es tá ce ntrada em 3. Por ( 1), o ra io de convergência é li m

2" + 1(n

+ 1)

2"n

= 2.

A série converge absolutamente para Lr - 31 < 2 ou 1 < x < 5. No ponto ex tremo x = 1, verifica mos qu e a séri e de co nstantes E;;" = 1((- 1)11 /11) é co nvergente pelo critério de Leibni z (série alternada). No pont o extremo x = 5, verifica mos que a sé ri e E;;" = 1 ( l / 11) é a séri e harmô nica divergente. Logo, o interva lo de co nvergência é [ 1, 5). •

EXEMPLO

Encont re os qu atro primeiros term os de um a séri e de potências em x para ex cos x. Solução

As sé ri es de Mac laurin para ex ecos x são, res pecti va mente, r

e· = l +

x3 + 6

x4 + 24 +

COS X

= J -

2 +

24 +

Mul tiplicando term o a term o e ag rupando os termos de mes ma potência, obtemos 2

ex cos x = ( l + x + x2 + x: +

= l +( l)x+(-i+t

+ .. . ) ( J _ x; +

)x2+(- ~ + ~ )x3+ ( 214

_ .. . )

-i+214 )x4+ ..

= l +x-3-6+

•

No Exemplo 2, o intervalo de co nvergência das séri es de Mac laurin das du as fun ções ex ecos x é (- oo, oo ) . Co nseqü entemente, o interva lo de conve rgê ncia da sé ri e de potências para ex cosxé também (-oo, oo).

EXEMPLO

Enco ntre os qu atro primeiros termos de uma série de potências em x para sec x.

290

Equações Diferenciais

Solução temos

Cap. 6

Volume I

Usaremos a série de Maclaurin de cos x dada no Exemplo 2. Como sec x

COS X

1 -

l / cos x.

1 --+ 24 - 720 + ... -) -

Sx 4

5x 6

24-48+ 6Ix 6 720

Logo,

sec x = l

5x 4

+ 2 + 24 +

6 Lx 6

720 +

O intervalo de convergência dessa série é (- n / 2, n/ 2) . Por quê?

(2)

•

O procedimento ilustrado nos Exemplos 2 e 3 são obviamente enfadonhos. Problemas desse tipo podem ser resolvidos através de um sistema algébrico computacional (SAC) ou (CAS)* como o Matemática. Quando você digita o comando: " Séries [Sec[x], {x, O, 8} ]"e '·enter", o Matemática imediatamente fornece o resultado obtido em (2).

EXEMPLO Escreva

r;;; = 1 211c,,x"

r:;; = 0

6c,,x" -

1 como

uma única série.

Solução Para somar essas séries, é necessário que os índices de adição comecem com o mesmo número e que as potências de x em cada série estejam "em fase" , isto é, se uma série começa com um múltiplo de, digamos, x à primeira potência. então a outra série deve começar também com a mesma potência. Escrevendo

N.T.: Sigla em inglês: Computer Algebra Systcm.

Volume 1

Cap. 6

Equações diferenciais com caeficie11tcs l'a riá1 ·eis

série começando com x para n = 2

série começando co m x

29 1

2cn,,x" - 1 +

L 6c,,x" + 1

2 x 1 x c 1xº +

n =O

n= I

li =

211c,,x" - 1 +

6c,,x" + 1,

(3)

11 = 0

temos ambas as séries do lado direito começando com x 1• Para obter a mes ma indexação, deve mos analisar os ex poentes de x; fazemos k = 11 - 1 na primeira sé ri e e ao me smo te mpo k = 11 + l na segunda série. Com isso, o lado direito de (3) torn a-se

(4) k = 1

k = 1

Lembre-se de que o índice de somatório é uma " vari áve l muda" . O fato de que k = 11 - 1 em um caso e k = 11 + 1 em outro não deve causar nenhuma confusão se você tiver em mente que o importante é o valor do índice. Em ambos os casos, k te m valores sucessivos 1, 2, 3 . . .. para n = 2, 3, 4, ... (pois k = n - 1) e 11 = O, 1. 2, .. . (po is k = 11 + 1). Estamos agora prontos para so mar as séries em (4) termo a termo:

L ll ::::;

2nc,.,x 11 1

n =

6cwr" +

2c1

[2(k + l)ck + 1 + 6q _ i]x k.

(5)

k = 1

Se você não estiver convencido, então escreva alguns termos em ambos os lados de (5).

•

Solução para uma Equação Diferencial e m Sé rie s de Potências 2

Vimos na Seção l. l que a fun ção y = ex é uma solução explícita para a equação diferencial linear de primeira ordem dy dx - 2xy = O.

(6)

Substituindo x por x 2 na série de Maclaurin para e·\ podemos escrever a solu ção para (6) como oo

x2n

y= I-;i-· = o li

Essa última série converge para todo s os valores reais de x. Em outras palavras, conhecendo previamente a solução, é possível encontrar uma série infinita que seja solução para a equação diferencial.

292

Equações Dife rencia is

Cap. 6

Vo lume l

Tentaremos ago ra obter um a solução em serie de potências para a equ ação (6) diretamente; o método é semelhante à técni ca dos coefi cientes indeterminados.

EXEMPLO

Enco ntre uma solu ção para dy/ dx - 2xy = O na fo rma de uma séri e de potências em x.

Solução Tentamos uma so lução para a equ ação dada na fo rma

(7)

CnXn,

n = O

propo mos a seguinte qu es tão: podemos dete rm inar coefi cientes e,, tais qu e a séri e de potências co nvirj a pa ra um a fun ção que sati sfaça (6)? Fo rmalmente,* deri vamos (7) termo a term o e o btemos

!!:1-

nc,,x" -

li =

nc,,x" 1

No te qu e, co mo o primeiro term o na prime ira se n e (co rres po nd end o a n = O) é ze ro , co meça mos o so mató ri o co m 11 1. Usa nd o o último res ultado e supo ndo (7 ), enco nt ra mos

2x y =

nc,,x" -

Q= 1

(8)

2,,c,r-x11 +

Gostaríamos de so mar as du as séri es em (8). Co m essa fin alidade, escrevemos

-dy - 2xy = 1 x c 1xo + dx

e então procedemos co mo no Exe mpl o 4, faze ndo k seg und a. O lado direito de (8) torn a-se

+ l )ck

nc,,x" 2

n -

(9)

2,,c,,x" +

1 na primeira séri e e k

+ 1 na

+ 1xk

k = 1

Depois, so mamos as sé ri es term o a termo. Segue-se qu e

- 2xy = e, +

[(k + l)ck + 1 - 2ck _ 1]xk

k = 1

No momento, não conhecemos o intervalo de convergência.

(10)

Volu me I

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficien tes va riáve is

293

Então, para term os ( 1O) identi ca mente nul o, é necessá ri o que os coe fi c ie ntes sati s fa ça m c 1 = O e (k

+ l)ck + 1 - 2ck _ 1 = O,

k = 1, 2, 3, ....

( 11 )

A equação ( 11 ) propo rc iona um a relação de recorrência que determina ck. Como k + 1 -te O para todos os va lores de k, podemos esc rever ( 11 ) co mo 2ck - 1 Ck+ I

(12)

=~ ·

Iterando essa última fórmula , te mos 2

k = 1.

c2 =

2 co

= co

2 c3 = 3c1

k = 3,

q =

4 c2

k = 4,

5CJ

2 = 6q

k = 6,

k = 7,

cs = SC6

7cs

2 co

= 21 co

l = 3 X 2 ! CO

31 co

4 X 3!

= 4! co

e assim por diante. Logo, a partir da supos ição ori gina l (7), e ncontramos

Y = li

c,,x 11 = co + c1x + czx 2 + c3x 3 + c4x 4 + c.sx 5 + ...

o co

+ O + cox 2 + O ~ ! cox~ + O + 1

= e{ 1 + x 2 + -2' x4 + -31x6 + ... . .

]

~ 1co-t 6 + =

L li =

Como a iteração de ( 12) deixa

~~w.

co co mpl etamente

O + .. .

X2H 1

(13)

indeterminado, encontramos de fato a so lução

•

294

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume 1

A equação diferencial do Exemp lo 5, como a equação diferenci a l do exemplo segu inte, pode ser faci lme nte reso lvida pelos métodos a nteri ores. O propósito desses dois exemp los é preparar você para as técnicas empregadas nas Seções 6.3 e 6.4.

EXEMPLO

Encon tre so luções para 4y" + y = O na forma de série de potências em x.

Solução

nc,,x" n

ll Cwt

n(n - 1)c,,x" - 2

I ;;' = o c,,x" e ntão,

n(n - 1)c,,x" - 2.

= 1

11 ::;;;

Substituindo as ex pressões para y" e y' na equação diferencial, obtemos

4y" + y =

4n(n - 1)c,,x" - 2 +

n = 2

c,,x".

n = O

ambas as séries começam com xº 1

Fazendok = n - 2 na primeira série e k = n na seg unda, ternos (após trocarmos, por sua vez, n = k + 2 e n = k)

L k

[4(k

+ 2)(k + l h

+ 2

= Ü

q jxk = O.

Dessa última identidade, concl uím os que 4(k - 2)(k ou

Ck + 2

l )q + 2

-Ck

= ------4(k + 2)(k + 1)

k =O, 1, 2, .. .

Volume I

Cap. 6

Equações diferenciais com coefíciel//es variáveis

295

Da iteração dessa relação de reco rrência, segue-se q ue -co C2

= 4

= - 22

-c 1 ---4

Có

= 4

- - - -1 -

- c2 co 4 X 3 = 24 X 4! ___ c_1 _

-c3

4 - 24

- C4

51 CQ

-c5

e ass im po r di ante. Essa iteração de ixa coe c 1 arbi trári os . Da supos ição o ri gi nal, temos que )' =

+ C(X + C2X 2 + CJXJ + C4J:" 4 + Cy\'.S + C()XG + C7X 7 + ...

co 2 e1 3 co 4 e1 5 co 6 e1 7 = co+c 1x - - - - x - - - - x +---x +---x - - - - x - - - - x + 22 x2 ! 22 x3 ! 24 x4! 24 x5! 26 x6 1 26 x 7' ··· ou

y = co [ 1 -

22~2!x2 + 24~4!x4 - 26~6lx6 + ... ]

1 x 3 + - -l - x 5 - - -l - x.7 + ... ] + c 1 [ x - - ?-4 6

é a solu ção geral. Quando as séri es são escritas com notação de so mató ri o,

Y1(x)

~ (- 1/

(X )2k

= co L, (2k)' 2 k =O

e Yi(x)

= 2c 1 L

(- 1)k

(2k +

! )!

(X )2k + 2

k =O

o tes te da razão pode se r ap li cado para mos tr ar q ue a mbas as sé ri es co nverge m pa ra todo Você ta mb é m deve reco nh ecer as sé ri es de M ac lauri n como y 1(x) = cocos(x/2) e Y2(x) = 2c 1sen(x/2). •

296

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volum e I

6.2 EXERCÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 456 e 457. Nos Problemas 1- 1O, encontre o intervalo de co nvergência das séries de potências dadas.

1. n

(-!)"

" X

:=: 1

I -(x - -33)"-

_ :i.

li =

8. "' L.., k

- -k- , (x 1

(k + 2t

4) k

kdi

Nos Problemas l 1-20, encontre os quatro primeiros termos de uma série de potências em x para a fun ção dada. Calcule a série à mão ou use um SAC co mo ensinado. 11. en sen x

l2. e -x cosx

13. se n x cosx

14. e' ln( l - x)

(

16.

(

17. tgx

18.

- -1--x -

19.

20.

15.

X -

S -

x2 x4 x6 L -2+3-4+

• l - 22 + 3 - 46+ ...

e' + e

( l -2+3-4+

-r

Nos Problemas 21-30, reso lva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então co mpare os res ultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = L;;' = 0 cnxn . 21. y' + y

22. y' = 2y

23. y' - x 2y = O 25. ( 1 - x)y' - y

24. y' + x 3y = O

26. (1 + x)y'- 2y =O

Vo lum e l

27. y" + y = 29. y"

6.3

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficientes variáve is

28. y" - )' =

= y'

297

30. 2y" + y' =

SOLUÇÕES EM TORNO DE PONTOS ORDINÁRIOS (NÃO-SINGULARES)

Suponha que a equ ação difere ncial lin ear de seg unda ordem a2(x)y" + a1(x)y' + ao(x)y = O

(1)

y" + P(x)y' + Q(x)y = O

(2)

seja escrita da seguinte forma,

Definimos. DEFINIÇÃO 6.1

Pontos Singulares e Ordinários

Dizemos que um ponto x 0 é um ponto ordinário ou não-singul ar da equação diferencial (l) se P(x) e Q(x) são analíticas* em x0 . Um ponto que não é um ordinário é considerado como um ponto singular da equação.

EXEMPLO

Todo ponto x é um po nto ordin ário da equação y"

+ (ex)y' + (sen x)y

= O.

Em particular, x = O é um ponto ordin ári o, pois x3

sen x = x -

5! -

•

convergem para todo va lor de x.

EXEMPLO

A equação diferencial xy" + (sen x)y = O possui um ponto o rdin ário em x = O, pois pode ser mostrado que Q(x) = (sen x)lx tem o desenvolvimento em série de potê nc ias x2

Q(x) = l -

Veja as páginas 287-288.

5J - 71

298

Equações Diferenciais

Ca p. 6

Volume 1

•

q ue co nverge pa ra todos os va lores de x .

EXEMPLO

O po nto x = O é um po nto s ing ular da eq uação y" + (ln x)y ser desenvo lvido e m séri e de potê nc ias centrada e m x = O.

O porqu e

Q(x)

ln x não pode

•

Coeficientes Polinomiais Ire mos nos preocupar prin c ipa lme nte co m o caso em qu e ( 1) te m coefic ientes polinomia is. Co mo co nscqü ê nc ia d a De fini ção 6. 1, o bserv amos que, qu and o a2(x), a 1(.r) e ao(x) são po lin ômios sem fato res com uns, um po nto x = xo é (i) um po nto ordin ári o se a2(xo) te. O o u

(ii) um po nto sing ular se a2(xo) = O.

EXEMPLO

(a) Os pontos singul ares da equ ação (x 2 - 1)y" + 2.xy' + 6y = O são as ra ízes de r 2 x = ± l. Todos os outros pontos são ordi nários. (b)

O ou

Pontos singul ares não são necessari amente números rea is. As raízes de x 2 + 1 = O, a saber, x = ± i, são po ntos singul ares da equ ação (x 2 + 1)y" + xy' - y = O. Todos os out ros pontos, reais ou • co mpl exos, são po ntos ordin ári os.

EXEMPLO

A equ ação de Cauc hy-Euler ax 2y" + bxy' + cy = O, em qu e a, b e e são co nstant es, te m um • po nto s in gular em x = O. Todos os o utro s pontos, reai s ou co mpl ex os, são ordin ários . Para nossos propós itos, po ntos ordinários e po ntos sing ul ares serão fin itos. É poss íve l que uma equ ação difere nc ial tenh a, di ga mos, um ponto s ing ular no infinito. (Veja o Prob lema 40, Exerc íci os 6.4.) Enunc iamos o seg uinte teo re ma so bre ex istê nc ia de so lu ções em séri e de potênc ias sem de monstração .

Vo lume I

TEOREMA 6.1

Cap. 6

Eq uações diferencia is com cueficie1Ztes variáveis

299

Existência de Soluções em Série de Potências

Se x = x0 for um ponto ordinári o da equação diferencial (2), pode mos se mpre enco ntrar duas solu ções linearme nte independentes na fo rma de série de potências centrada em x0 :

I li =

A série co nve rge para uma solução em lx singul ar mais próx imo (real ou complexo).

C11(X -

xor.

o xol <

R, cm que R é a di stância do ponto x0 ao ponto

Um a so lução pa ra uma equ ação di fe re nc ia l na for ma d ad a c m (3) é urn a so lução em to m o do po nt o ordin á ri o xo, o u c m um a vi zinhança d o po nto xo. A di stâ nc ia R dad a no Teore m a 6.1 é o val o r mínim o d o rai o d e co nve rgênc ia . Urna equação di fe re nc ia l pode te r um po nto sing ular e aind a um a so lu ção válida pa ra to d o x; po r exe mpl o, a e qu ação dife re nc ia l pode te r co mo so lução um polin ô rni o. Pa ra reso lver uma e qu ação linear ele seg und a o rd e m co rn o e m (2), e nco ntra mos du as sequ ê nc ia s ele coe fici e ntes e,, pa ra termos du as sé ri es de po tê nc ias di s tinta s y 1(x) e Y2(x) , ambas desen vo lv id as e m to rn o ci o mes mo po nt o o rd iná ri o x 0 . O procedim e nto usa d o para reso lver urn a equação de segunda orde m é o mes mo d o Exemplo 6 d a Seção 6.2; is to é, s up o mos um a so lu ção na form a de série de po tê ncia s y = = 0 c,,(x - x'd) e e ntão d e te rmin a m os os coefi c ie nt es. A so lução geral pa ra a e qu ação dife re nc ial é y = C 1y 1(x) + C2Y2(x); ele fato, po d e ser m os trado qu e C1 = coe C2 = c 1, e m que coe Ct são a rbitrá rios .

r:;:

Nota Por uma ques tão de simpli c ida d e, s upo m os que um po nto ordin á ri o estej a sempre loca li zad o na o rigem x = O, po is, caso contrári o, a s ubstituiçã o t = x - xo tradu z o valor x = xo para t = O.

EXEMPLO

y" - 2xy = O.

Reso lva

Solução Ve mos que x = O é um po nto o rdiná ri o da equação . C o m o não há po mos sin g ulares, o Teore ma 6.1 garante duas so luções na form a de série de po tê nc ias y = L:;;' = 0 c,,x" co n vergente em 1.xl < oo . Escreve mos

li =

nc,,x" -

y" 11

= l

n(n

nc;,x" -

ti =

- l )c,,x" -

I n

n(n -

1)c,,x" - 2,

300

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume l

em que usamos o fatc d:: que o primeiro termo de cada série, correspondendo a n respectivamente, é zero. Portanto, y"

2xy =

l)c,,x" - 2

n(n -

2 x l c2xº

2xy

= 2c2 + L,

=n +

2c~" +

n =0

ambas as séries começa m com x

- 2 na primeira série e k

n(n - l)c,,x" - 2

= 3

2c,,x" +

n =O

n = 2

Fazendo k

1 na segunda, temos

(k + 2)(k +

+ 2xk

k = 1

2c2

[(k + 2)(k + l)ck + 2 - 2ck _ 1J.i:k =O.

k = 1

Assim, 2c2 = O e

2)(k

+ 1)ck

+ 2 - 2ck _ 1 = O.

A última expressão é o mesmo que q +

A iteração nos dá

Oen

k = 1, 2, 3, ...

+ 2)(k + 1) C3

=~ 3

X 2

1 --4 X3

2c 2 C5 = - - - = 5 X4

o 22

2c3 C6

--7X6

X 2

2c4

Volume I

Cap. 6

301

Equações diferenciais com co<fícientes variá1•cis

2c 5 8 X 7

= -- = 0

2c7

2 co

cio

= IOX9 =

CI I

3 ci

2cg 11

e assim por diante. Deve fi car claro que coe c1 são

co + C1X + c2x 2 + c3x 3 + C.1X.i + c5x 5 + C(Yl'. 6 + qx 7 + cgx 8

2 ? = co + cix +O+ --cox 3 +---e x 4 + O+

3x2

4x3

22 23 c 1x 7 +0+ 7x6x4x3 9x8x6x5x3x2

23 C1XI O+ 0 + l0 x9x7x6x4x3 2 3x2

= e [ l + - - x3 +

6x5x3x2

+c1[l +-2-x4+

4X3

x6 +

7 X 6 x4 X 3

6x5x3x2

cox 9

?3 -

9x8x6x5x3x2

x7+

cox 6

x9 +

. ..

]

23 x'º+ ···]· • 10 x9 X 7 X 6 x4 X 3

Embora o padrão dos coeficientes no Exemplo 6 seja claro, algumas vezes é útil escrever as soluções co m a notação de somató ri o. Usando as propriedades do fatorial, podemos escrever

Yi(x) = co [ 1

. ; 2k [ L,

7 ... (3k - 2)] }k x· (3k) 1

/.. = 1

)'?(X)

= Ci

L,~

2k[2 X 5 X 8 ... (3k - l )] (3k - l)'

3k + I

l .

k = 1

Nessa forma, o teste da razão pode ser usado para mostra r que cada séri e converge para todo lxl < oo real.

Vo lume I

Cap. 6

Equações Diferenciais

302

EXEMPLO

(x 2 + 1)y" + xy' - y = O.

Resolva

Solução Como os pontos singulares são x = ± i, uma solução e m série de potências será convergente pelo menos para lxl < 1.* Supondo, y = r;;; = 0 c,,x" te mos

(x2 + 1) ll

11( 1!

L n(n 11

- 1)c,,xn -

L n(n -

1)c,,x n +

= 2

L nc,,x" -

+x fl

L n c,,x"

L, f1

c,,xn

l)cnX" - 2

c,,x"

2czxº - coxº + 6cy: + e 1X

L 11(11 -

e JX + fl

1)C11X 11

----....---..

n(n

l )cnXn - 2

n= 4

[k(k -

L, fl

c,iJC" =2

= li

----....---..

ik=n-2 1

L, 11CnX n= 2 k=n

----....---.. 1

l )q + (k + 2)(k + l)ck + 2 + kq - ck]xk

k = 2

[(k + l )(k - l )ck + (k + 2)(k + l)ck + 2] xk =O.

k = 2

O módulo ou magnitude do número complexo x então lxl =

~ Veja Apêndice ! V.

= i é lxl =

l. Se x

+ bi for um ponto singular,

Volume I

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficientes variáveis

303

Logo,

C3 = Ü (k + l)(k - l)ck + (k + 2)(k + l)ck + 2 = O

ou após dividir por (k + 2)(k + 1),

C3 = Ü 1- k

k = 2, 3, 4, ...

ck + 2 = - - q,

+ 2

Iteração dessa últim a fórmu la proporc ion a

1 1 1 C4 = - -C2 = - --Co = ---Co 4 2x4 222! C5

= - -25

cg = -

S C6

=Ü

3 x5 / = - 2 X 4 X 6 X 8 CQ = -

6 9

C9 = - -c7 = Ü

7 3x5x7 l x3x5x7 CJ0=-10cs=2x4x6x8x l0 co= 25 51

e assim por diante. Portanto,

y =

+ C1X + c2x 2 + CJXJ + C4X 4 + CSXS + C6X 6 + C7X? + CgXg + ...

_ C1X + CQ [ 1 + .!. X 2 _ _?I _ 2

2-21

l X3 ?

2-3!

6 _ 1 X3 X 5

4 2 4!

1 X 3 X5 X7 S 2 5!

10 _

•• •

]

304

Equações Dife renciais

Cap. 6

volume 1

As soluções são

+ ~x2 +

L (- l)" -

3 X 5 (2n - 3) J r" 211 11!

[ X

lxl< 1

= 2

• - - - -- - -EXEMPLO

Se procuramos um a so lução y = I:~ =

c,,x''

para a equação

y" - ( 1 + x)y = O, obtemos c2 = co/2 e a re lação de reco rrência

Ck Ck + l

Ck - 1

= 1,

= (k + 1)(k + 2) '

2, 3, ....

Para s implificar a iteração, podemos primeiro escolher co i' O, c 1 = O; isso produz uma so lução. A outra solução é obtida esco lhendo c0 = O, c 1 i' O. Com a primeira esco lha, encontramos c2 =

2 co

+ co

+e,

= 3)(4 = 2 C3

Cs =

4X5

= 6CQ

= 2 X 3

= 4

CQ X

1 4 = 24

[

5 ~ +

e assim por diante. Daí, uma so lução é

Analogamente, se escolhemos c0 = O, en tão

c 1 + c0

= ~ = 2 c2

c1 X

=Gel 1

C4=~=3X4=12C 1

1 = 30 CQ

Volume 1

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficie11tes variáveis

C3 + Cz

CS =

4X5

= 2

CJ 3X 4

305

1 5 = 120 CJ

e ass im por d iante. Logo, uma outra solução é [ 4 1 5 + ]. 1 3 y 2(x) = c 1 [ x + 6x + T2x + lWx

•

Cada séri e co nverge para todos os valores de x.

Coeficient es Não-polinomiais O próxi mo exemplo ilustra como encontrar um a solução, e m série de potências, para um a equação di ferencial em to rn o de um ponto o rdin ário quando seus coeficie ntes não são polinômios . Nesse exempl o, vemo s um a ap licação de multiplicação de du as séries de potências que foi di scutida na Seção 6.2.

EXEMPLO

y" + (cos x)y = O.

Reso lva

Solução Como cos x pondo então y = :E:;'=

+ 41 -

+ ... , vemos que x

. , .

= O e um ponto ord mano.

Su-

c,,.x", temos

y" + (cosx)y =

~ n(n -

l)c 11x 11

+ ( l

- 21

+ 4! - · · ·

J I~

e,/'

n = O

= (2c2 + 6c3 + l 2c4x 2 + 20csx 3 + ... )

+ (

1 - x2

- .. }co

= 2c2 + CQ + (6c3 + CJ )X+ ( l 2q + C3

Como devemos ter a última linh a identicamente nula, e ntão

2c2 +

= O

6c3 + Cj = Ü 1 l 2c4 + c2 - 2 co= O 1

20cs + c3 - 2e 1

+ c 1x + c2x 2 + CJX 3 + ... )

-t

2ÜC5 + C3

-t

CJ}} + .. ..

306

Eq 11ações Diferenciais

Cap. 6

Volume l

e ass im po r d iante. Co mo coe c 1 são arbitrári as, e nco ntramos y 1(x)

11+ = co [ l -2x-

l 4- ... ]

T2x

= c 1[ x

Y2(x)

13 I s]

-6x + 30 x- - .. . .

Co mo a equação di fe re ncia l não tem pontos s ing ul ares, ambas as sé ri es co nvergem para todos os val ores de x . •

6.3

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão página 457. Nos Pro bl e mas 1- 14, para cada equ ação di fe rencia l, encontre du as so luções em série de potências linearmente independentes em torno do po nto ordi nário x = O. 1. y " = xy

2. y " + x 2y = O

3. y " - 2.xy + y = o

4. y " - xy' + 2y =O

5. y " + x 2y ' +X)' = o

6. y " - 2xy + 2y =o

7. (x - l )y " + y = o

8. (x + 2)y " +X)' - y = o

9. (x2 - l )y" + 4xy' + 2y = o

10. (x 2 + l )y " - 6xy = O

11. (x2 + 2)y " + 3xy - y = o

12. (x2 + l )y " + xy - y =o

13. y " - (x + l )y -y=O

14.

" - xy

2)y =O

Nos Problemas 15- 18, use o método de série de potências para resolver a equ ação d iferencial dada suj eita às condições ini ciais indi cadas.

15. (x - l )y" - xy' + y = -2, y'(O) = 6

= O,

16. (x + l )y" - (2 - x)y' + y =O,

y(O)

17. y" - 2xy' + 8y = O, y(O) = 3,

= 2, y'(O) = O

y'(O)

y(O)

18. (x 2 + l )y" + 2.xy' = O,

y(O) = O,

y'(O) = 1

Nos Problemas 19-22, use o procedimento ilu strado no Exemplo 9 para encontrar du as soluções, em série de potências, para a eq uação dife rencia l dada em torn o do po nto ordi nári o x = O. 19. y" + (sen x)y = O

20. xy" + (sen x)y = O [Sugestão: Veja Exemplo 2.]

21. y" + e - -'y = O

22. y" + e-'y' - y = O

Nos Prob lemas 23 e 24, use o método de série de po tê ncias para reso lver a equação não-homogê nea . 23. y" - xy

24. y" - 4xy' - 4y = e'

Vo lt1111e I

Cap. 6

Eqt1ações d ife renciais com coeficientes va riáveis

307

25. A equação diferencia l y" - 2ry + 2ny = O é co nhec ida como eq uação d e Hermi te .* Qu ando 11 <! O é um inteiro, a eq uação de He rmite aprese nta uma so lução po lino mial. Os po lin ô mi os de Hcnni te têm alg uma importância no estudo de mecâni ca quântica. Obtenha as solu ções polino mi ais corres pondentes a n = l e " = 2. 26. Na análise de urna co lun a fin a e uni fo rme de altu ra L que se c urva sob a ação do próprio peso, enco nt ramos o seguinte proble ma de valor de contorno: 8

óg

+ E! (L - x'j(J

= O,

8(0)

= O,

(}'( L )

= O.

Aqui , E é o método de Yo un g, I é o mo mento de inércia da seção transversal, ó, a de nsidade linear, x a di stância medida ao longo da colun a e 8(x), a de fl exão angular da coluna cm relação à vertica l e m um po nto P(x). Vej a a Figura 6.5. Obtenh a uma so lução em série de po tências para a equação diferencial que sati sfaça a condi ção (}'( L ) = O. Por conveniê ncia, defin a J. 2 = ógl/El e faça a muda nça de vari áve l t = L - x.

·: ~ (}

P(x)

Figu ra 6.5

6.4

SOLUÇÕES EM TORNO DE PONTOS SINGULARES

6.4. 1 Pontos Singulares Regulares: Método de Frobenius - Caso I Vimos na seção precedente qu e não há prob lema alg um para e ncontra r um a so lução e m séri e de po tências para ( 1)

em to rno de um po nto o rdin ário x = xo. Porém, se x = xo fo r um ponto sin gular, nem se mpre é possível e nco ntrar uma solução na fo rm a de um a série de potências . Mas pode mos te ntar encontrar uma solução na fo rma y = L;;' = 0 c,,(x - xo)" + ', e m que r é uma co nstante a ser determin ada .

•

Denominação dada em homenagem ao matemático francês Cha rles Hermite ( 1822- 190 1).

308

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volum e l

Pontos Singulares Regulares e Irregulares Pontos singul ares são c lassificados como reg ulares ou irregulares. Para definir esse conceito, co locamos novamente ( 1) na forma padrão y"

DEFINIÇÃO 6.2

P(x)y'

(2)

Q(x)y = O.

Pontos Singulares Regulares e Irregulares

Dizemos que um ponto singular x = x 0 da equação (l) é um ponto singular regular (ou si ngularidade regular) se (x - x 0)P(x) e (x - x0 )2Q(x) são analíticas em x 0. Um ponto singuiar que não é regular é chamado de ponto singular irregular (ou singularidade irregular) da equação.

Coeficientes Polinomiais No caso em que os coeficientes de ( 1) são polinomiai s se m fatores com un s, a Definição 6.2 é equivalente ao seguinte. Seja a2(xo) = O. Reduza a1(x)/ a2(x) e a a(x)/ a2(x) aos menores termos para formar P(x ) e Q(x), res pectivamente. Se o fator (x - xa) aparecer no denominador de P(x) com multiplicidade menor ou ig ual a 1 e no denominador de Q(x) com multiplicidade menor ou igual a 2, então x = xo será um ponto singular regular.

EXEMPLO Os pontos x = - 2 ex = 2 são singulares da equação (x 2 - 4)2y"

(x - 2)y'

Dividindo a equação por (x 2 - 4) 2 = (x - 2)2(x P(x) =

(x - 2)(x

+ 2) 2

= O.

+ 2) 2 , encontramos Q(x)

Agora testamos P(x) e Q(x) em cada ponto singular. Para que x = - 2 seja uma singulari dade regular, a multiplicidade do fator x + 2 no denominador de P(x) tem de ser menor ou igual a 1 e no denominador de Q(x), menor ou igual a 2. Inspecionando P(x) e Q(x), vemos que a primeira condição não é satisfeita. Concluímos então que x = - 2 é um ponto singular irregular. Para que x = 2 seja uma singularidade regular, a multiplicidade do fator x - 2 no denominador de P(x) tem de ser no máximo 1 e no denominador de Q(x), no máximo 2. Verificamos que essas condições são satisfeitas. Logo, x = 2 é uma singu laridade regular. •

\fo/um e I

EXEMPLO Tanto x

Cap. 6

Equações diferenciais com coefici e11tes 1·ariâveis

309

= O quanto x = -

1 são pontos s ing ul ares da eq uação diferenc ial x 2(x + 1)2y" + (x 2 -

P(x) =

Inspecionando

X -

-=-? _ __

x-(x + 1)

1)y' + 2y = O. Q(x)

X+

1)2

vemos que x = O é uma s in g ul arid ade irregu lar, poi s a multipli cidade do fator (x - 0) no denominado r de P(x) é 2. Note, porém, que x = - 1 é um a s ingul arid ade regular.

EXEMPLO

(a) x = 1 ex = - 1 são pontos s in gul ares reg ul ares de

= O.

( 1 - x 2 )y" - 2xy' + 30y (b) x

O é um ponto s in gular irregular de

x 3y" pois

2xy' + Sy = O

Q(x)

(e) x = O é um po nto sin g ular reg ul ar de

xy" pois

P(x) = -

2xy' + 5y = O

2 e

•

Q(x) = - . X

0) 2

Na parte (e) do Exemplo 3 no te qu e (x - 0) e (x nem mesmo aparecem nos denominadores de P(x) e Q(x), respec tiv amente. Lembre-se: esses fa tores pode m aparece r no máximo dessa man e ira. Para um ponto sin gular x = xo. qualqu er potê nc ia não negativa de (x - xo) menor que um (a saber, zero) e potência não nega tiva menor qu e dois (a sa ber, zero e um) nos denominadores de P(x) e Q(x), respectivamente, implica m xo um po nto si ng ul ar reg ul ar. Ai nda, le mbre-se de que pontos si ng ul a re s podem se r núm eros comp lexos . Deve ficar c laro que x = 3i e x = - 3i são si ng ul arid ades reg ulares da eq uação (x 2 + 9)y" - 3xy' + (l - x)y = O, pois

-3x

P (x) = - - - - - (x - 3i)(x + 3i)

[ -

Q(x)

(x - 3i)(x

+ 3i)

J 10

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap. 6

Volume I

Podemos mostrar, a partir da discussão sobre a equação de Cauchy-Eu ler feita na Seção 6.1, que y 1 = x 2 e y2 = x 2 ln x são soluções para a equação x 2 y" - 3xy' + 4y = O no intervalo (O, 00 ). Se o procedimento do Teorema 6.1 fosse seguido, isto é, se tentássemos encon trar uma solução na forma de uma série de potências centrada na singularidade regular x = O, obteríamos so mente a solução y 1 = x 2. O fato de não obtermos a segunda solu ção não é surpresa, visto que ln x não possui desenvolvimento em série de Tay lor em uma vizinha nça de zero. •

EXEMPLO

A equação diferencial 6x 2y" + Sxy' + (x2 - 1)y = O tem um ponto singular regular em x = O, mas não possui solução alguma em série de potências. Pelo procedimento que consideraremos agora, pode se r mostrado , porém, que existem duas soluções em série na forma

y li

CnX"

+ 1/ 2

c,,x" -

1/ 3

n = O

•

Método de Frobenius Para resolver uma eq uação diferencial como (l) em torno de uma sing ularidade regular, em pregamos o seguinte teorema devido a Frobenius. * TEOREMA 6.2

Teorema de Frobenius

Se x = x0 for um ponto singular da equação l , então existe pelo menos uma solução em série na forma

Y = (x -

Xo>' L,

Cn(x - x 0)" =

n = O

Cn(X - x 0)n + r,

n=O

em que o número ré uma constan te a ser determinada. A série convergirá pelo menos em algum intervalo O < x - x 0 < R.

Observe as palavras " pelo menos" no Teorema 6.2. fs so significa que, em contraste com o Teorema 6.1, não podemos garantir duas solu ções na forma indicada. O método de Frobenius cons iste em identificar uma singularidade regular x 0 , substituir y dado em (3) na equação diferencial e determinar o expoente r e os coeficien tes c11 •

Ferdinand Georg Frobenius (1848-1917) Embora a idéia básica desse método já aparecesse com Euler tempos antes, o matemático alemão Ferdinand Frobenius foi o primeiro a provar o resultado, publicado cm 1878. Frobenius deu muitas contribuições na área de análise, mas seu nome aparece mais nos textos de álgebra abstrata do que nos textos de equações diferenciais. Suas contribuições mais significativas em matemática foram em teoria de grupo.

Vo lume I

Cap. 6

Equações dife renciais com coeficie11tes variá 1·eis

3 11

Co mo na seção precede nte, por q uestão de simplicidade, va mos sempre supo r xo = O.

EXEMPLO

Co mo x = O é uma sing ul aridade regu lar da equação diferenc ial 3xy" + y' - y = O,

(4)

tentamos uma solu ção na fo rma

Ago ra,

3xy" + y' - y = 3

r )(n

+ r )CnXn

+ r- 1

da í

;;;

(n + r )(n

n =

+r-

1)cnx" + r -

l )cnx" + r - 2

"=o

(n + r)cnx'' + r -

n =O

L ll

Cn.i' + r

n =O

(n + r)(3n + 3r - 2)c11 xn + r - 1

c,,x" + ,.

,, = o 2)cox- 1 +

(n + r)(3n + 3r - 2)c 11 x 11

,, = 1

-I

c,,xn]

n = O '--,,..--"

k = n-1

[(k+ , . lK3k

3,+ l )c,., -

[T~?J

c,Jr']

J 12

Equações Diferenciais

Ca p. 6

Volume 1

r(3r - 2)co =O

o que implica

(k + r + l )(3k + 3r + 1)ck + Co mo não se gan ha nada fazendo

1 -

= O,

co = O, deve mos e nt ão

= O.

l , 2, . .

ter

r (3r - 2) = O

Ck +

(5)

(6)

= ---------(k + r + l )(3k + 3r + 1)

k =

º·

1, 2. ... .

(7)

Os do is va lores de r qu e sati sfa zem (6) , r1 = 2/3 e r 1 = O, qu and o sub stituíd os em (7) , fornecem duas diferente s re lações de recorrênci a: 2

Ck + 1

r2 =O,

ck + 1

r1 = e

Itera ndo (8), tem os

(3k + 5)(k + 1)

k =

º· 1, 2,

(8)

k =

º·

(9)

(k + 1)(3k + 1)

=~ 5X

[

8 X2

215 X 8

= -- = ---

C1 CQ = ---= ----

1l X3

3!5x8x ll

C3 C4 =

C11

14 X 4 = 415 X 8 X [ [ X 14

n.!5

X [ [ ..

(3n

enq uan to a iteração de (9) proporc iona:

c 1 =~

co 1 = -c = --

= 3 X7 = 3![ X4 X7

1, 2, .. ..

2x4 c2

2! l x4

+ 2)

1, 2, 3, ...•

\lo/11111e l

Ca p. 6

Equações diferenciais com coefícienles variái •eis

3 13

C3 4

e,., =

4!1x4x7xl0

X )Ü

n!I x 4 x 7 .. (3n + 2)

1, 2, 3, .

Portanto, obtemos duas so luções em série

C()X2/3 [ 1 +

n!5

11 ... (3n

n = 1

coxº

[~ i

li ;::

(10)

( li)

i x" . n!I x 4 x7 ... (3n - 2) 1

Pelo teste da razão , pode ser demon strado que ( 10) e ( 11) convergem para todos os va lores d e x. Ainda, deve ficar claro a partir da forma de (LO) e ( 11) que nenhuma série é múltipla uma da outra, portanto Y1(x) e Y2(x) são linearmente inde pendentes. Logo, pelo princípi o de s uperposição

[

x2/3

Cz[ 1 +

~~ 1n!5 X 8 X 11 ... (311 + 2) 1

n!l x 4 x 7 ... (3n - 2)

n = 1

x" + 2/ 3

x"] •

lxl <

oo.

é outra so lu ção para (4). Em qualquer intervalo que não contenha a origem, essa combinação representa a so lução geral para a equação diferencial. • Embora o Exemplo 6 ilustre o procedimento geral do método de Frobenius, devemo s alertar que nem sempre seremos capazes de enco ntrar duas so luções tão facilmente, ou mesmo encontrar duas so luções em séries infinitas consistindo inteiramente de potênci as de x.

Equação Indiciai A equação (6) é chamada de equação indiciai do problema, e os valores r 1 = 2/ 3e r2 = O são chamados de raízes indiciais, ou expoentes, da singularidade. Se x = O for uma singu laridade regular de (1), então as funções xP(x) e x 2 Q(x) obtidas de (2) são analíticas em zero, isto é, os desenvolvimentos

314

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume I

xP(x) = Po + P1X + P2X2 + ...

(12)

são válidos em intervalos que têm raios de convergência positivos. Após substituir y em ( 1) ou (2) e simplificar, a equação indiciai é uma equação quadrática em r que resulta da identificação do coeficiente da menor potência de x a zero. Deixamos como exercício mostrar que a equação indiciai geral é r (r -

1) + por + qo = O

(13)

Veja o Problema 38. Resolvemos então essa última equação e substituímos os doi s valores do expoente encontrados em uma relação de recorrência como (7). O Teorema 6.2 garante que pelo menos uma solução na forma dessa série pode ser encontrada.

EXEMP L O

A equação diferencial xy"

+ 3y' -

y = O

(14)

possui uma singularidade regular em x = O. Pelo método de Frobenius, temos

xy" + 3y' - y = " [ ' ( " 2k0"- '

',~o

((k H

+ IXk

+ 3)c.,,

_,,µ•]

= O

e a equação indiciai e os expoentes são r (r + 2) = O e r 1 = O, r2 = - 2, respectivamente. Como (k + r + l)(k + r + 3)q + 1 - q

segue-se que, quando ,., = O,

(k + l)(k + 3) c1

= -3!_ 1X3

c1 2c0 Cl = 2 X 4 = 2 !4 !

_ _s___ _ CJ -

2c0 3 X 5 - 3 15 !

k = O, 1, 2, ... ,

(15)

Volume 1

Equações diferenciais com coeficientes variáveis

Cap. 6

315

2c0 c3 4 X 6 - 4!6!

2c0

e,,

rzl(11

l , 2, 3, . ...

+ 2)!

Logo, uma solução em série é

2)!

n'(n + 2)!

x"]

Lxl <

oo.

(16)

n = O

Agora, quando r 2

- 2, ( 15) torna-se (k - 1)(k

+ l )ck

+ 1 -

ck =

(17)

mas note que não dividimos imediatamente por (k - l)(k + l ), pois esse termo se anu la para k = l. Porém, usamos a relação de recorrência ( 17) para os k = O e k = 1:

- l x lei - co = O e A última equação implica

= Oe a anterior implica co = O. Continuando, encontramos

Ck + l = (k -

e daí,

O x 2cz - c 1 = O.

l )(k + l) ,

l x3 2x4

2c2 2!4!

2cz

C3 e~

k = 2, 3, 4,

= _3_X_5 = -3-15-!

(n -

2)!n!

2, 3, 4, ... .

316

Equações Diferenciais

Cap. 6

Logo,

Volume l

(n - 2) !n

x".

(18)

" ::;: 2

Porém, uma inspeção detalhada de (18) revela que Y2 é simplesmente um múltiplo de ( 16). Para ver isso, faça k = n - 2 em ( 18). Concluímos que o método de Frobenius no s dá somente uma so lução em série para (14). •

Casos de Raízes Indiciais Quando usamos o método de Frobenius, normalmente distinguimos três casos que correspondem à natureza das raízes indic iais. Para exemplificar, suponha que r1 e r 2 sejam duas raízes reais da equação indiciai e que r 1 seja a maior delas.

CASO 1 Raízes Que Não Diferem por um Inteiro Se r 1 e r 2 são raízes d istintas e não diferem por um inteiro, então existem duas soluções linearmente independentes para a equação ( 1) na forma

CnXll

+ '1,

º·

(19a)

*o.

(19b)

n = O

L, li =

EXEMPLO

Resolva

Solução

h11X11 + r1,

(20)

2xy" +(I + x)y' + y =O.

y =

c,,x" + ',

2xy" + (1 + x)y' + y = 2

então

(n+ r)(n + r- l)c"x 11 +r -

11 = 0

li =

L, 11

(n + r)c,,x" + r +

n = O

L, li =

(n + r)c 11 x 11 +r -

c 11 x 11 +,.

(n + r)(2n + 2r - 1)c,,x" + r - 1 +

(n + r + l )c11 x 11 + r

n = O

Volume I

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficien tes variáve is

= xr[r(2r - l)cox- 1 + fl

(n + r)(2n+ 2r - l )c,,x" - 1

li ;

-1

+ l)c,,x" ] = O,

=li

l)cox- 1 +

k ;

[(k + r + 1)(2k + 2r + l )ck + 1

+ (k + <+ 1)<.Jx'

= O,

r (2r - 1) = O

o que implica (k + r + l)(2k + 2r + 1)ck + r1

=li

o k

Para

+ (k +

+ l)q

( 21 )

= O,

1/2, podemos dividir por k + 3/ 2 em (22) e ob ter -q

2(k + 1) =

= C}

-co 2X 1

-=-s_ 2X 3

= (- l)"co e,,

Portanto, temos

3 17

2 11 11 '

--=-::L 23 X

n = 1, 2, 3,

= O,

1, 2,

(22)

3 18

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume J

= CQ

(- 1)"

,L_, ll

2"11!

+ 1/ 2

(23)

a qual converge para x 2': O. Na forma em que está, a série não tem s ignificado para x < O por causa da presença dex 112. Agora , para r2 = O, (22) torna-se -ck Ck+ 1 = - - 2k + 1

-co C1 -

-c2 = -5- =

C11

-co l x3x5

- -c3 -

- l x3x5x7

Concluímos que uma segunda so lu ção para (20) é

Y2 =

co [

1+ 11

n = l, 2, 3, ....

\ X 3 X 5 X 7 ... (2n - [)

(- l)" L~ l----'-----'---) x" 1 X 3 X 5 X 7 ... (211 - 1 ;

No intervalo (O, oo), a so lução geral éy = C1Y1(x) + C2Y2(x).

l ,

lxl < oo.

•

6.4.2 Método de Frobenius Casos li e Ili Quando as raízes da equação indiciai diferem por um inteiro, podemos ou não ser capazes de encontrar duas so luções para ( l ) na forma (3). Se não , então uma solução correspondendo à menor raiz contém um termo logarítmico.

319

Equações diferenciais com coeficientes variáveis

Cap. 6

Volume I

Quando os expoentes são iguais, urna segunda solução sempre contém um logaritmo. Essa última situação é análoga às soluções para a equação diferencial de Cauchy-Euler quando as raízes da equação auxi liar são iguais. Ternos os dois próximos casos.

CASO li Raízes Que Diferem por um Inteiro Positivo Se r 1 - r2 = N, em que N é um inteiro positivo, então existem duas soluções linearmente independentes para a equação ( 1) na forma

YI = li

C11X

+ ' 1,

co "' o

(25a)

=o (25b)

Y2 fl

em que C é uma constante que pode ser zero.

CASO Ili Raízes Indiciais Iguais Se r 1 = r 2 , há sempre duas soluções linearmente independentes para a equação ( l) na forma

C11Xn

+ '1, CQ "'

(26a)

n = O

Y2 = Y1(x)lnx +

L li =

EXEMPLO

9 xy" + (x - 6)y' - 3y = O.

Resolva

Solução

A suposição y

~ L.., '1

xy"+ (x - 6)y' - 3y

L (n + r)(n + r fl

(26b)

bo "'O.

b,,x" + ' 1,

1)c11 x 11 +' -

(27)

eli x" + ' conduz a

L (n + r)c x

n =O

+ ' - 1+ /l

L (n + r)c x 11

+' - 3

L c,,x

li =

Volume I

Cap. 6

Equações Diferenciais

320

= xr[ r (r - 7)cox- 1 +

+ r)(n + r - 7)cnxn - 1 +

x'[

r (r - 7)cox- 1 +

L, li =

- 3)c,,x"]

11 = 0

n= l

11-

=li

[(k + r + l)(k + r - 6)ck + 1 + (k + r - 3)ck lxk ] = O. 1

Logo, r (r - 7) = O, assim ri = 7, r1 = O, r1 - r 2 = 7 e (k + r +

1 )(k

r - 6)ck + 1

+ (k +

r - 3)ck =

k =O, 1, 2,

(28)

Para a menor raiz r 2 = O. (28) torna -se (k

+ 1)(k - 6)Ck

+ 1

+ (k -

3)ck = O.

(29)

Como k - 6 = O quando k = 6, não dividimos por esse termo até k > 6. Encontramos 1 x (-6)c 1 + (-3)co =O 2 X (-5)c2 + (-2)c1 = Ü 3 x (- 4 )c3 + (- 1)c2 = O

4 5

X (-

J )C4 +

X (-

2}c5

Ü X C3 = Ü )

+ ]

X C4 = Ü

implica e~= l \ = c6 =O, mas c0 e c 1 podem ser esco lhidos arb itrariamente

6 x (- 1)c6 + 2 x c5 = O 7 x Oc7

3 x c6

Logo, (30)

e para k 2': 7 -(k - 3)ck (k Cg =

+ 1)(k - 6)

- 4

g;)C7

\1ol11111e 1

Cap. 6

- 6

(- 1)11 + 14

32 /

-4x5x6 X 9 X 10 C?

318

CIO = IQX3Cg =

Equações diferenciais com coeficien tes \'ariáveis

6 ... (n - 4)

(n-7)!8x9x 10 ...

C7,

8, 9, 10, .... (31)

Se escolhermos c7 = O eco 1' O, obtemos a solução polinomial YI =

1 X-? co [ 1 - 21X + 10

1 X 3]' IW

(32)

mas, quando c 7 1' O eco = O, segue-se que uma seg unda solução, embora em série infinita, é 7

;

y?=C7X+ [

;

=c7 [ x+L,

!)" + 14 X 5 X 6 . .. (n - 4) X (n - 7)'8 x 9 x 1O ... n

J)k 4 X5 X6 ... (k

k !8

J 0 ... (k

+ 3) k x + 7)

"l 7],

lxl < oo.

(33)

k = 1

Finalmente, a solução geral para (27) no intervalo (O, oo) é Y = C1Y 1(x) + Czyz(x) ] [ 1 - - x 3 + C2 120

; ( - l )k 4 x5x 6 ... (k+3)k+?] + L, X . k!8x9xl0 ... (k+7) k = 1

• É interessante observar que, no Exemplo 9, a maior raiz r 1 7 não foi usada. Se a tivéssemos usado, teríamo s obtido uma solução em série da seg uinte forma*

Observe que (33) e (34) começam com a potência x 7 . No Caso ll, é sempre uma boa idéia trabalhar primeiro com a menor raiz.

322

Equações Difere11ciais

Cap. 6

Volume I

y =

C11X"

(34)

+ 1,

n = O

em que e,, é definido por (28) com r 1 = 7:

+ 4)

- (k Ck + 1

= (k + 8)(k + i)

k =O, 1, 2, . . . .

Ck ,

A iteração dessa última relação de recorrência produziria então so mente uma solução, a saber, a solução dada por (33) (com co no lugar de c7). Quando as raízes da equação indiciai diferem por um inteiro positivo, a segunda solução pode conter um logaritmo. Na prática, isso é algo que não sabemos previamente, mas é determinado após termos encontrado as raízes indiciais e cuidadosamente examinado a relação de recorrência que defin e os coeficientes e,, . Como mostra o próximo exemplo, é apenas uma questão de sorte encontrar duas so luções envolvendo somente potências de x. Por outro lado, se não for possível encontrar um a segunda solução em forma de série, podemos sempre usar o fato de que

-J

Y2 = Y1(x)

P(x) dx

J _e, - - dx y,-(x)

é também uma solução para a equação y" + P(x)y' + Q(x)y solução conhecida (veja Seção 4.2) .

E X EM P LO

(35)

O, sempre quando YI for uma

10 xy" + 3y' - y =

Encontre a solução geral para

Solução Vimos no Exemplo 7 que o método de Frobenius proporciona so mente uma solução para essa equação, a saber,

YI li

n !(n + 2)!

(36)

De (35), obtemos uma seg unda solução:

-J

(J/ x) dx

= Y1(x)

Y1 (x)

= Y1(x)

JÍ x

Volume l

Cap. 6

= Y i (x)

Equações difere11ciais com coefi cientes variáveis

oo ),

7 + 36

+ _!_x3

X-

+ ..

J x13 [

2 . + 4.1 l .2 1 - 3x

= Yi(x)

J [ -x13

- - 2 1 + - 1 - - 19 + ... ] dx

3x-

J[ - -2x-l 1

Y2 = -41 Y1(x) l n x

Logo, no intervalo (O,

J ?

= Y i (x)

= Y1(x)

~ e levando ao quad.rado]

J 3[

323

]

19 .3 + ... ] dx

270 .i

270

2 1 19 + - + - ln x - - - x + ... ] 3x 4 270

+ Y1(x) [- ~ + -

2x-

- -- x +

270

· ·}

(37)

a solu ção geral é

y = C1)'1(x) + C2 [ -41 )'1(x) ln

x + Y 1 (x)(-~ 2x-

+ _l_ 3x

em q ue y 1(x) é defini da por (36).

J.2..x 270

+ ...

J]·

(38)

•

Procedimento Alternativo Há vários procedimentos alternati vos para lidar co m a fó rmul a (35) q uando o método de Frobenius não proporciona uma segunda so lução em série. Embora o próximo exemplo seja enfadonho, ele é canôni co, direto. A idéia bás ica é supor uma solução na fo rma (25b) ou (26b) e determinar os coefi cientes bn em termos dos coefi cientes c11 que defi nem a so lução conhecida Y1(x).

E X EM P LO

A menor das d uas ra ízes indi ciais pa ra a equ ação xy" + 3y' - y supomos agora uma segund a so lução Y2 = YI ln X

em que

I n =

+ "L, b ,,x 11 li = o 2

n ! (n

+ 2)!

-2 ,

X".

O é r 2 = - 2. De (25 b),

(39)

(40)

324

Equações Diferenciais

Ca p. 6

Volume l

Derivando (39), obtemos

Yi =

~: + YÍ

ln x +

li =

(n - 2)b,,xn - 3

2 ' + - YI + YI" l11

Y2" = - 7YI

+ ~ L,

(11 -

2)(11 - 3)b,1 ,•, 11

ass im

xyi' + 3yf. - Y2

ln x[ xyí' + 3yí - Y1] + 2yí + 2~ 1 +

(11 - 2)(n - 3)b,,x" - 3

n = O

zero

= 2)'1

2y1

+ --:;:-- + li

(11 - 2)11bnx" - 3 -

(41)

b,,x" - -,

n = O

em que combinamos os dois primeiros somatórios e usamos o fato de que xyí' + 3yí - y l = O. Derivando (40), podemos escrever (4 1) como

L 11=0

4n x" - 1 + n !(n + 2) !

= 0(-2)box-

n ! (n + 2) !

n =O

+(-bo-b1)x-+

4(n+l) n ! (n

11 = 0

= - (bo+b 1)x - 2 +

I [ k=O

x" - 1 +

4(k k ! (k

+ 2) !

=li

n =O

n- 1

(n - 2)nb,,x" - 3 -

bnxn - 2

n =O

~ L. (n - 2)nb,,x 11 - 3 n=2

I, b,,x" - 2 n= I

k =11-2

+ t ) +k(k + 2)bk+ 2 - bk+ I] x k - 1. + 2) !

(42)

Volume l

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficientes variáveis

325

Igual ando (42) a zero, verificamos que b1 = -bo e 4(k + l) + k(k + 2)bk + k!(k+2)!

---~

Quando k

= O em (43), temos 2

2 -

bk +

+ O x 2b2 - b1

para k = O, l, 2, ....

= O,

= O, assim b 1 =

(43)

2, bo = - 2 e b2 é arbitrário.

Reescrevendo (43) como bk +

4(k + 1)

k 1 (k + 2) 1 k(k + 2)

k(k + 2)

(44)

e desenvolvendo para k = l, 2, ... , temos

b3=3-9 b4 =

8 b3

1 1 - 32 = 24 b2

288

e assim por diante. Portanto, podemos finalmente escrever Yl = Y1 lnx+ box- 2 + b1x- 1 + b2 + b3x + = YI ln

X -

2x- 2 + 2x- 1 + b2 + (

~ )x +

(45)

•

em que b2 é arbitrário.

Soluções Eq uivalentes Você deve estar agora perguntando se (37) e (45) são realmente equivalentes. Se escolhermos C2 = 4 em (38), então yo = y 1 lnx + -

)'!

(-2.

= YI ln X + ( l +

1 .

- Y I 11 X -

135

~X + ~4 x2 + 3~0 x3

? - 2 LX

+-ª._ - 2ª._x + ... )

2x-

+ ... ) (- _:2 +

:X -

13385 X + ... )

29 - _!2_ + 36 108 X +

que é precisamente o que teríamos obtido de (45) se tivéssemos escolhido b2 = 29/36. O próximo exemplo ilustra o caso em que as raízes indiciais são iguais.

(46)

326

Equações Diferenciais

E X EM P LO

Cap. 6

Volum e 1

Encontre a solução geral para xy" + y' - 4y = O.

(47)

Solução Tentamos uma solução da forma y = I ;;' = 0 c,,x" + ' . Temos então

xy" + y' - 4y

(n + r)(n + r - l)c 11 x 11 + ' - 1 +

n =O

li =

(n + r)c,,x 11 +' - 1 - 4

C11 X

n=O

n= O

x'[ r cox2

(n + r) c x 2

1 -4

n= I

I cx"] 11

n =O

~---~----

Assim r 2

=li -

O e as raízes indiciais são iguais:

(k + r + 1)2ck +

= li

= O. Ainda, temos k =O, 1, 2, ....

4q = O,

(48)

É claro que a raiz r 1 = O proporcionará somente uma sol ução correspondendo aos coeficientes definidos pela iteração de

O resultado é

+ 1)2 '

I, li =

k =O, l , 2, ... .

(49)

lxl <

- - 2 xn, (n ! )

Para obter a segunda solução linearmente independente, faça co = 1 em (49) e então use (35): Y2 = Y1(x)

e-f (l l x)dx 2

Y 1 (x)

dx = Y1(x)

+ 4x + 4x2 + 196 x3

--·r

Volume I

Cap. 6

= Y1(x)

= Y1(x) = Y1(x) = Y1(x)

Equações diferenciais com coeficientes variáveis

+ Sx + 24x 2 + _!.§.x 3 + ... 9

f f[ f[

;l [ 1 - Sx

327

]

3 ] + 40x-? - -1472 9 -x + .. . dx

? ;1 - 8 + 40x - -1472 9 -x- + ...

]

1472 3 + ... ]· ln x - Sx + 20x 2 - ----;:p/x

(50)

Logo, no intervalo (O, oo), a solução gera l para (47) é Y = C1Y1(x) + C2[Y1(x)lnx + Y1(x{-sx + 20x 2 -

1 ~~ 2x 3 +

em que Y1(x) é definido por (49).

...

(51)

•

Como no Caso [[, podemos também determinar Y2(x) no Exemplo 11 diretamente a partir da suposição (26b) .

Observações (i) Não consideramos propositalmente duas outras complicações na resolução para uma equação diferencial como ( 1) em torno de um ponto xo em que a2(xo) = O. Quando usamos (3), é bem possível que as raízes da equação indicia! sejam complexas. Quando os expoentes r 1 e r2 são complexos, a relação r 1 > r2 não tem sentido e deve ser substituída por Re(r1) > Re(r2) (por exemplo, se r = a + i/3, então Re(r) = a). Em particular, quando a equação indicia! tem coeficientes re a is , as raízes complexas são sempre conjugadas r1 = a + i/3, r2 = a - i/3, e r1 - r2 = z; /3 nunca será um inteiro. Logo, para xo = O, haverá sempre duas soluções

I 11 = 0

C11X" + ri

b"xn +

r1.

n =O

lnfeli zmente, ambas as soluções têm valores complexos para todo x real. Essa última dificuldade pode ser superada com o princípio de su perposição . Como uma combinação de soluções é também uma solução para a equação diferencial, podemos formar combinações apropriadas de y 1(x) e y 2(x) para obtermos soluções reais (veja o Caso III da solução para a equação de Cauchy-Euler). (ii) Se x = O for um ponto singular irregular, devemos notar que talvez não sejamos capazes de encontrar solução alguma na forma serial y = L;;' = 0 c11 x 11 + '.

328

Equações Diferen ciais

Cap. 6

Volum e I

(i ii) No estudo ava nçado de eq uações diferenciais é importante examinar a natureza de um

ponto singu lar no oo . Dizemos que uma equ ação diferen cial possui um po nto sing ular no oo se, depois de fazermos a substitui ção z = l / x, a equação res ultante ti ver uma sin gul arid ade em z = O. Po r exemplo , a eq uação diferencial y" + xy = O não possui po ntos singul ares '· finitos". Porém, pela regra de cadeia, a su bstitui ção z = 1/ x transforma a equação e m 2

d zs ~ + dz 2

2 74 ~

d E2:' +y=

o·

(Verifique isso.) Uma inspeção em P(z) = 2/z e Q(z) = 1/z 5 mos tra que z = O é um pon to sin gul ar irregular da eq uação. Logo, oo é um ponto sin g ul ar irreg ular. Veja o Proble ma 40 .

EXERCÍCIOS

6.4

As respostas dos exercícios selecionados estão nas pági nas 457 a 459.

[6.4.1) Nos Problemas 1- 1O, determine os pontos singul ares de cada eq uação diferencial. Class ifiqu e cada ponto si ngu lar como regular ou irregular.

l. x 3y" + 4x\' + 3y

2. xy" - (x +

3. (x 2 - 9) 2y" + (x + 3)y' + 2y 5. (x 3 + 4x)y" - 2xy' + 6y

l , + -----.-y l 4. y - -y

9. x 3 (x 2 - 25)(x - 2)2y" + 3x(x - 2)y' + 7(x + 5)y =O

[)~

(x -

7. (x 2 + x - 6)y" + (x + 3)y' + (x - 2)y

3f 2y =O =o

6. x 2(x - 5) 2y" + 4xy' + (x 2 - 25)y

8. x(x 2 + l)\•" + y

10. (x 3 - 2x 2 - 3x)2y" -i- x(x - 3) 2y' - (x + l)y

Nos Problemas l l -22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter du as soluções seri ais linearmente independentes em torno do ponto sin gular regular x 0 = O. Encontre a solução geral em (O, ~).

11. 2xy" - y' + 2y 13.

4xy+2y+y " l ,

=o =

15. 3xy" + (2 - x)y' - y 17. 2ty

- (3

12. 2xy" + 5y' + xy

+ 2x)y' + y

14. 2x 2y" - xy' + (x 2 + l )y

=O =o

16.

, ,, X-)'

(

X -

92} = o

18. xy 2, ,, (X' +xy+

- 94} = o

Volume I

Cap. 6

Equaçõe s diferenc iais com coeficien tes variávei s

20. 2x 2y" + 3xy' + (2x - 1)y = O

19. 9.1 \ " + 9x 2y' + 2y = O

22 . x(x - 2).r" + y' - 2y = O

l )y'- y =O

21. 2..1\"- x(x -

329

[6.4. 2] po r um inteiro. Use o método de Frobeniu s Nos Problem as 23-34, mostre que as raízes indi ciais diferem torno da sing ul arid ade reg ul ar x 0 = O. cm es ndent indepe nte linearme para obter duas soluções seri ais ~). (O, em l Encontre a sol ução gera 23. xy" + 2_v' -

25. x(.1 -

X)'

1 )y" +

=Ü

24. x 2y" + xy' + ( x 2

3y' - 2y = O

26. y" +

y' - 2y

= O

27. xy"+ ( 1 - x)y'- y =O

28. xy" + y

29. xy" + y' + y = O

30. xy" - xy' + y = O

31. x\"+ x(x - l )y'+ y =O

32. xy" + y' - 4xy = O

33. xv" + (x - 1)y' - 2y = O

34. xy" - y' + x 3y = O

irreg ul ar de cada equação . Em cada caso Nos Prob lemas 35 e 36, note que x 0 = O é um a sin gul aridade ção. lu so uma forneceu s Frobeniu de verifi q ue se o método 35. x 3y" + y

36. x 2y" - y'

+ y = O

37. Reso lva a eq uação de Ca uchy-Eul er x 2y" + 3xy' - 8y

pelo método de Frobeniu s (2) para mostrar que ( 13) é a equ ação indi cia i 38. Se x = O é uma sing ul aridade reg ul ar, use ( 12) em s. beniu Fro de método pelo tida ob s de 39. Use ( 13) para encontra r a equação indi ciai e os expoente y X 2"

(53x 2)' +X

)' -

1 = o. )Y

2 O tem um a sing ul aridade no in fi nito. [S ugestão: 40. (a ) Mostre q ue a equação diferenc ial x y" - 4y = Veja pág ina 328. J

ar o u irreg ul ar. (b) C lassifi que o po nt o singul ar no infini to co mo regul

JJO

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume 1

6.5

DUAS EQUAÇÕES ESPECIAIS

As duas equações x 2y"

o o

+ xy' + (x 2 - v 2 )y

(1 - x 2 )y" - 2xy' + n(n + l)y

(1) (2)

ocorrem freqücntemente cm estudos avançados de matemática aplicada, física e engenharia. Elas são chamadas de eq uação de Bessel e equação de Legend re, respect ivamente. * Na resolução para ( l), vamos supor v ~ O; enquanto em (2) consideraremos somente o caso em que n é um inteiro não negativo. Como procuramos soluções seriais (na forma de série infin ita) de cada equação em torno de x = O, observamos que a origem é um ponto singular regu lar da equação de Bessel e um ponto ordinário da equação de Legendre.

6.5.1

Solução para a Equação de Bessel

Suponhamos que y = L:;;' =

0 c11 x 11 + ',

L, c

então

+ r)(n + r - l)x" +,. + L, c11 (n + r)x"

+ r+

L, c x' +,. + 2 11

n =O

L, fl

CnXn

co( r 2 - r + r - v 2 )x' + x'

L, '1 ;;;

c11 [(n

+ r)(n + r - 1)

Friedrich Wilhelm Bessel ( l 784-1846) Bessel foi um astrônomo alemão que em 1838 mediu pela primeira vez a distância da estrela 61 Cygni. Em 1840, ele previu a existência de uma massa planetária além da órbita de Urano. O planeta Netuno foi descoberto seis anos depois. Bessel foi também o primeiro a calcular a órbita do cometa Halley. Embora Bessel tenha certamente estudado a equação (1) em seu trabalho sobre movimento planetário, a equação diferencial e sua solução foram provavelmente descobertas por Daniel Bernoulli em sua pesquisa sobre determinação dos deslocamentos de uma corrente oscilatória. Adrien Marie Legendre (1752-1833) Matemático francês, Legendre é mais conhecido por gastar quase 40 anos de sua vida estudando e calculando integrais elípticas. Porém, as particulares soluções polinomiais da equação que leva seu nome foram encontradas em seus estudos sobre gravitação.

Equações dife renciais com coeficientes 1•a riáveis

Cap. 6

Volume I

+ (11 + r) - 1•2 ]x" + xr

331

c,,x" + 2

11=0

n= 1

r2 -

Em (3), vemos que a equação indiciai é r 2 = - v. Quando r1 = v, (3) torna-se

x'·

11 =

x'I ( +

O. portanto as raízes indiciais são r 1

c,,11(11 + 2v)x 11 + x"

c11 x 11 + 2

11 = 0

2o•)c 0x+

"~'

k=n-2

=x,.[(I +2v)c1x +

'""(" + 2' )x" +

"~º 1

c,,x" . , ]

k=11

[(k+2)(k+2+2v)ck+2

+ ck]xk+l ]

=O.

k=O Logo, pelo argumento us ua l, podemos escrever

( 1 + 2v)c 1 = O (k + 2)(k + 2 + 2v)q + 2

+ Ck

-q

q + 2 =

(k + 2)(k + 2 + 2v)

A escol ha c 1 = O em (4) implica c3 = c5 = c7 = mos, após fazer k + 2 = 2n, 11 = 1, 2, 3, .. ., que

= Ü

k = O, 1. 2, .. ..

(4)

= O. Daí, para k = O.

2, 4, .. . , encontra-

(5)

Logo,

c2 = - 22 x C4

= -

C6 = -

x 1 ( 1 + v) C2

2 2 X 2(2 + v)

X 3(3

24 x 1 x 2(1 + v)(2 + v)

26 x 1 x 2 x 3( 1 + v)(2 + v)(3 + v)

332

Equações Difere11cia is

Cap. 6

Volume I

~~~~~~~~~~~~

2 211 11 ! (!

v)(2

v) ... (n

= 1, 2, 3, .. ..

(6)

É um a prática padrão escolher pra co um valor específico, a saber, co =

2vr(l + v)

em que r(l + v) é a fun ção Gama . Veja o Apêndice I. Como essa última função poss ui a conveniente propriedade r(l + a) = a r(a ), podemos redu zir o produto indicado no denom inador de (6) a um termo. Por exemplo,

í(I +V+ 1) = (1

(1 +

v) r(I

+ 2) = (2 + v) r (2 + v) = (2

+ v)( l +

(l + v) .

Com isso, pode mo s escrever (6) como

C211

2 2n +

(- !)" "n ! ( 1 + v)(2 + v) ... (n + v)

(- l)" 22 " +

' 11

! r (1 +

n =O, l, 2, ... .

+ n)

r (1 +

Segue-se que uma solução é

= 1l

+ v

c 2,,.x-

I li =

1)" ( n ! r (1 + V + n)

2 " + v

Se v <". O, a série converge pelo meno s no intervalo (0, ao).

Funções de Bessel de Primeira Espécie A seguinte solução serial é usualmente de notada por J11 (x):

J,,(x) =

(-1)"

1 ~ 0 n!r(l+v+n)

(XJ211+v 2

(7)

Volum e l

Cop. 6

Equações diferenciais com coeficientes variá1•eis

333

Ainda, para o seguinte expoente ri = - v, obtemos, exatamente da mesma maneira,

L vCxl

n) (:!_2 J2" - ' :L -! r-(1(-1)" -+11

(8)

"=o

As funções l v(x) e L .. (x) são chamadas de funções de Bessel de primeira espécie de ordem v e - v, respectivame nte. Dependendo do valor de v, (8) pode conter potências negativas de x e então converge em (O, oo ). * Agora, devemos ter algum cuidado ao escrever a so lu ção geral para ( l ). Quando

v = O, é óbvio que (7) e (8) são iguais. Se v > O e r 1 - r 2 = v - (- v) = 2v não é um inteiro, seg ue-se do Caso Ida Seção 6.4 que lv(x) e L v(x) são sol uções linearmente indepe nde ntes de ( l ) em (O, 00 ), e daí a so lu ção gera l no intervalo é y = c 1l v(x) + czf_ v(x) . Ma s também sabemos do Caso li da Seção 6.4 que, quando r 1 - r 2 = 2v é um inteiro, uma segu nda so lu ção serial para (l) p ode exist ir. Nesse seg und o caso, di stinguimos duas possibilidades. Quando v = m = inteiro positivo, J _ ,,,(x) definida por (8) e J,,,(x) não são soluções lin ea rmente independentes. Pode ser mostrado que L,,, é um múltiplo de lm (veja Propriedade (i) na página 335). Ainda, r 1 - r2 = 2v pode ser um inteiro quando v for metade de um inteiro ímpar. Pode ser mostrado nesse último caso que l v(x ) e f _ v(x) são linearmente independentes. Em outras palavras, a so lução gera l para (1) em (O, = )é

y = CtÍv(x) + cif_ v(x),

v 7' inteiro.

(9)

Os gráficos de y = lo(x) e y = 1 1(x) estão representados na Figura 6.6. Observe que os gráficos de lo e 1 1 lembram gráficos amortecidos de co-seno e seno, re spectivamente. ** y

Figura 6.6 X

EXEMPLO Encon tre a solução gera l para a eq uação

x 2y" + xy' + ( x 2 -

±}·= O

em (O, oo).

Trocando x por lxl, as séries dadas em (7) e (8) convergem em O < lxl < oo. , As funções de Bessel pertencem a uma classe de funções chamadas " quase periódicas".

Cap. 6

Equações Diferenciais

334

Volume 1

Solução Verificamos que v2 = 1/4, ou seja, v = l /2. De (9), concluímos que a solução geral para a equação é

• Funções de Bessel de Segunda Espécie Se v

inteiro, a função definida pe la combinação linear cos vnfv(x) - f_ v(x) Y,,(x) = - - - - - - - sen vn

( 10)

e a função l v(x) são soluções linearmente independentes de ( 1). Logo, uma outra forma para a solução geral de ( 1) é y = c1lv(x) + c2Yv(x), desde que v i' inteiro. Quando v ~ m, m um inteiro, (10) poss ui a forma indelerminada 0/0. Porém, pode ser mostrado pela regra de L'Hôpital, que limv __, m Yv(x) existe. Ainda, a função Y,,,(x) = lim

Y,.(x)

\'~111

e J111 (x) são soluções linearmente independentes de x 2y" + xy' + (x 2 - m 2)y = O. Portanto, para qualquer valor de v, a solução geral para ( 1) em (0,oo) pode ser escrita como ( 11) Yv(x) é algumas vezes chamada de função de Neumann; * mais comumente, Yv(x) é chamada de função de Bessel de segunda espécie de ordem v. A Figura 6.7 mostra os gráficos de Yo(x) e Y 1(x). y 0,4

Figura 6.7 X

EXEMPLO

Encontre a solução geral para a equação

x 2y" + xy' + (x 2 em

9)y = O

(O, =). A função em (10) é também denotada por Nv(x) em homenagem ao matemático alemão C. Neumann (1832- 1925), que investigou suas propriedades.

Volume I

Solução Vemos que

v =

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficientes variáveis

335

3. Segue-se de (l l) que a so lução geral para a equação diferencial é

• Equação de Besse l Param é t rica Trocando x por À.x em ( 1) e usa ndo a regra de cadeia, obtemos uma forma alternativa da equação de Bessel conhecida como equação de Bessel paramétrica : (12)

A solução geral para ( 12) é (13)

Propriedades Listamos abaixo algumas propriedades útei s das funções de Bessel de ordem m, m (i)

1- m(x) = (- 1)"'1,,,(x)

(ii)

1,,,(-x) = (- 1t' l,,,(x)

(iii)

1111(0) =

= O, 1, 2, ... :

O, m>O

(iv)

lo(O) = 1

(v)

lim x _,o',

Ym(x) = -

Note que a Propriedade (ii) indica que lm(X) é uma função par se 111 for um inteiro par e uma função ímpar se 111 for um inteiro ímpar. Os gráficos de Yo(x) e Y1 (x) na Figura 6.7 ilustram a Propriedade (v): Ym(x) é ilimitada na origem. Esse fato não é óbvio a partir de ( 10). Pode ser mostrado por ( 10) ou pelos métodos da Seção 6.4 que, para x > O.

Yo(x) =

i i J(XJ2k n2 lo(x) [ y + ln lX] - n2 k~I= (-l)k( (k !)2 l + l + ... + k l '

em que y = 0,57721566 ... é a constante de Euler-Mascheroni. Observe que, por causa da presença do termo logarítmico, Y0 (x) é descon tívo em x = O.

336

Eq llações Dife renciais

Cap. 6

\!olume I

Valores Numéricos de Jo(x) e J1(x) Valores fun cionais de l o(x) e 1 1(x) para algun s va lores selecionados de x são dados na Tabe la 6. l . Os zeros dessas du as fun ções, a saber, os va lores de x para os qu ais l o(x) = O e 1 1(x) = O, são ipportantes em algum as aplicações de eq uações diferenciais parc iai s. Valores numéri cos de l o( r ) d r são também importantes.*

Tabela 6.1 X

o 1 2 2,405 3 3,832 4 5 5,520 6 7 7,0 16 8 8,654 9 10 10, 173 li

11 ,792 12 13 13,323 14 14,93 1

- - --

Valores Numéricos de Jo e J1 Jo (x )

-----

1,0000 0,7652 0,2239 0,0000 - 0,2601 - 0,4028 - 0,397 1 - 0, 1776 0,0000 0, 1506 0,3001 0,3001 0, 1717 0,0000 - 0,0903 - 0,2459 - 0,2497 -0, 171 2 0,0000 0,0477 0,2069 0,2 184 0, 17 11 0,0000

J 1(x) -----

º·ºººº

0,440 1 0,5767 0,5 19 1 0,339 1 0,0000 0.0660 0.3276 0,3403 0,2767 0,0047 0,0000 0,2346 0,27 15 0,2453 0,0435 0,0000 0, 1768 0,2325 0,2234 0,0703 0,0000 0, 1334 0,2065

-- - - -

Relação de Recorrência Fórmul as de reco rrência que relac ionam fun ções de Bessel de diferentes ordens são importantes em aplicações e também têm importância teórica. No próx imo exempl o, dedu ziremos uma relação de recorrência diferencial.

Veja Handbook of Ma1hem111ical Funclions, editado por Milton Abramowitz e Irene A. Stegun (New York: Dover Publications, 1972).

Volum e 1

EXEMPLO

Cap. 6

Equações difere11 ciais com coeficientes variá1 ·eis

337

Dedu za da fó rmul a xl'.,(x)

Solução

vlv(x) - xl,. + 1 (x).

Segue-se de (7) que

(xJ" +"

(- 1)"(211+1')

xJ .. (x) = "

L...

11'

í(l +

1•

n=O

(- [)"

v , ~on'í ( I vJ,(x)

+ v + n)

(X f" 2)

+ v

1~0 n'í( l

(!_ )" x" ----'---'-----(11 + + (- l)" I )! í(I

1' -

i )'"

+ v + n)

(X 'f''

n= I

= vJ .. (x) - x "

_L_,

k=O

(- l)k k

1Í

(2 +

k=11-l

+ k)

(X-

+ J

•

= vlv(x) - xlv + 1(x).

xJ;

O resultado do Exempl o 3 pode ser escrito em uma fo rma alternativa. Dividindo (x) - vl ,.(x) = -xlv + 1(x) por x, obtemos 1; (x) - ~Jv(x) = - 1.,+ 1(x). X

Essa última expressão é uma equação diferencial linear de primeira ordem em l v(x) . Multiplicando ambo s os lados da igualdade pelo fator de integração x- v, temos (14)

Deixamos co mo exercício ded uzi r uma fó rmula se melhante: (15)

(Veja o Problema 20.) Quando v = metade de um inteiro ímpar, l v(x) pode ser ex presso em termos de sen x, cos x e potências de x. Tais funções de Bessel são cha madas funções de Bessel esféricas .

338

Equações Difere11ciais

EXEMPLO

Cap. 6

Volume 1

Encontre uma expressão alternativa para l1 12 (x). Use o fato de quer ( ~ ) = fn.

Solução

Com v = 112, obtemos de (7) (-!)"

l1 12 <xl =

n !

r <1 +

(xJ• +l/2.

I + n) 2

11 = 0

Agora, em vista da propriedade r ( 1

t) ~ r (t ) r( l) l r(l)

r(1+

11 = 1,

1 +

11 =

= 2,

= 3,

No caso geral,

Logo,

+ a) = a í (a), concluímos

l~ 22

( 1 +

+ n

l 112(x) =

(2n + 1) ! = 22n + 1 n l {;"_

(-l)" + l )! {;"

1 (2n

n - On.

)

(x'f" +~

2211+ \n!

- r2 ; <- 1r ,,, + , -\J ~ ,L, (211 + 1) ! X - . 11 =0

Como a série na última linha é a série de Maclaurin de sen x, mostramos que

l1 ; ?(x) = -\J - ~ senx.

•

6.5.2 Solução para a Equação de Legendre Como x = O é um ponto ordinário da equação (2), tentamos uma solução na forma Y = 4 = o ck xk. Portanto,

Volume I

Cap. 6

Equações difere11ciais com coeficientes variá 1•eis

J39

(l-x 2 )y"-2xj+n(n+ l )y = (l-x 2 ) 2, qk(k- l )xk - 2 -2 2, ckkx•+ 11(11 + 1) 2, qxk k =O

k =O

k =2

k= 2

k= I

k =O

k =2

k= 4

j=k

- 2 2, ckkxk + n(n + l) 2, ckxk k =2

k=2

[n(n + l)co + 2c2] + [(n -

+ 2, [() + 2)(j + l )cj

+ 2

j = 2

impl icaquc 11(11

(n -

+ l)co + 2c2 = O

l )(n + 2)c1 + 6c3 = O

(j + 2 )() + l )cj + 2 + (11 - ))(n + j + l )cj = O ou

c2 = -

= -

+ l)

11(n

2! (n -

l )(n + 2)

l)(n + 2)c1 + 6c3]x

+ (n - j)(n + j + l )cj]xj = O

340

Eqttações Diferenciais

Cap. 6

Cj + 2 = -

Vol11m e I

(n - j)(n + j + 1)

(j + 2)(j + l)

j = 2, 3, 4, ... .

e·

(16)

Expandindo ( 16), obte mos

+ 3)

(n - 2)(11 C4

= -

+ 4)

(n - 3)(n C5 = -

C7 = -

(n - 3)(11 -

1)(11 + 2)(11 + 4) 51

(11 - 4)(n - 2)11(11

= -

6 X 5

c3 =

+ 5)

(n - 4)(n

+ l)(n + 3)

(n - 2)11(11

+ 1)(11 + 3)(n + 5) co 6!

+ 6)

(n - 5)(n

7 X6

(11 - 5)(11 - 3)(11 - l)(n + 2)(n + 4)(11 + 6) c1

e ass im por diante. Então, pelo men os e m lxl < l ,obtemosd ua sso lu ções linearmentei nd epen de ntes dada s em série de potências YI

(x) =

CQ [

n(11

+ l)

(n - 2)11(11

_ (11 - 4)(n - 2)n(n

Y2(x) -

[ Ct

1)(11 + 2) 3

_ (n -

+ 1)(11 + 3) X

7l)(n + 3)(n + 5)

_ (n - 5)(n - 3)(11 -

(n - 3)(n -

1)(n

+ .. .]

(l 7)

+ 2)(n + 4)

5 X

l~~n + 2)(11 + 4)(11 +

6) x 7

+ ..

.J.

Note que, se 11 for um inteiro par, a primeira série é finita, enquanto Y2(x) é uma série infinita. Por exe mpl o, se 11 = 4 , então 4

X5 2

Y1(x) = co[ 1 - 2 ' x +

X4 41X5 X7 x 4] = co[ 1 -

4].

IOx + 3x

Analogamente, quando n for um inteiro ímpar, a série para Y2(x) termin a com x"; isto é, quando n for um inteiro não nega tivo, obtemos uma solução polinomial de grau 11 da eq uação de Legendre. Como qualquer múltiplo de uma solução para a equação de Legendre é também uma solução, é tradicional escolher valores específicos para coe ci.dependendo do inteiro positivo 11, se n for par ou ímpar, respectivame nte. Para 11 = O, escolhemos co = 1 e para n = 2, 4, 6, .. .,

Volu111e 1

Cap. 6

Equações diferenciais com coeficientes va riáveis

/ ?

c0 =(- I)" -

enqu ant o que para

= (-1)

Por exemplo, quando

1. escolhemos c 1

(

3 . .. (ll -

1 e para 1)/ 1 -

4 ... n

34 J

= 3, 5, 7,

l x3 ...

-------

4 . ..

(11 -

= 4, temos

Y1(x) = (-1) 41 2

~: ?

8 - sr+

.!.8

1 -

35 sx

+ 3}

IOx 2

x4 ]

(35x 4 - 30x 2 + 3).

Polinômios de Legend r e Esses polinômios são chamados de polinômios de Legend re e são denotados por P11 (x). Através das séries para y 1(x) e Y2(x) e pelas escolhas de coe c 1, encontramos os polinômios de Legendre, ou seja, Pi(x) = x ,

Po(x) = 1, Pi(x) =

P4(x)

21 (3x 2

= S1 (35x 4

1), 2

- 30x + 3),

P3(x)

= 21 (Sx 3

Ps(x)

= 81 (63x~-

Lembre-se de que, Po(x). Pi (x), P2(x), P3(x) , diferenciais

(18)

- 3x), - 70x

+ lSx).

são soluções particulares para as equações

n = O,

(1 - x 2 )y" - 2xy' = O

n = 1,

(1 - x 2 )y" - 2xy' + 2y = O

n = 2,

(1 - x 2 )y" - 2xy' + 6y = O

n = 3,

(1 - x 2 )y" - 2xy'

(19)

+ 12y =O

Os gráficos dos quatro primeiros polinômios de Legcndre no intervalo - 1 $ x $ estão representados na Figura 6.8.

342

Equações Diferenciais

Cap. 6

Volume I

Figura 6. 8 1x

Propriedades As seg uintes propriedades dos polinô mios de Legendre podem ser facilmente verificadas a partir de (18) e da Fi g ura 6.8: (i) (ii) (iii) (iv)

(v)

= (- l) Pn(x) Pn(l) = 1 P11(- 1) = (- l) P,,(O) = O, n = 1, P,( (0) = O, n = O, Pn(-x)

3, 5, ... 2, 4,

A propri edade (i) implica que P11 (x) é uma função par ou ímpar, de pendendo se 11 é par ou ímpar.

Relação de Recorrência Rel ações de recorrência que relacionam polinômios de Legendre de diferentes gra us são muito importantes em alguns aspeetos de suas aplicações. Reduziremos uma dessas relações usando a fórmula

(1 - 2xt

12 )- 112 =

L P (x )1"-

(20)

" =0

A função da esquerda é chamada de função geradora do s polinômios de Legendre. Sua dedução segue-se do teorema binomial e iremo s deixá-la como exercício. (Veja o Problema 43.) Derivando ambos os lados de (20) em relação a

(1 - 2xt

t 2 )- 312(x - 1) =

L nP (x)1 11

n=O

e daí, após mu ltiplicarmos por 1 - 2xt + t 2 , temo s

11 -

obtemos 1

L nP,,(x)t 11 n= 1

Volum e /

Cap. 6

(x - 1)( 1 - 2.x t

Equações d ife renciais com coeficientes variáveis

L nP (x)1" -

( 1 + 2x1 + 12 )

12)- 1/2

(x - 1)

( 1 - 2.xt + 12 )

P,,(x)t"

n=O

J4J

nP,,(x)111

(21 )

= 1

Multiplicam os termo a termo e reesc reve mos (2 1) co mo

L x P (x)t L P (x)t 11 -

=Ü

+ 1-

L nP,,(x)t" - 1 + 2x L nP,,(x)t" - L nP,,(x)t" + 1 = O n= I

=Ü

x+x 2 t

11 :::: !

n =2

- L 11P (x) t 11

li =

11 -

x P11 (x)t 11 - t -

P11 (x)111 + 1 -x-2 (

3x 2 - 1 2

L nP,,(x)t"- L nP (x)1

1 +2x 21+2x

= 1

11 =

+ I

=O.

n= l

Observando os ca ncelamentos a propriados, sim plifica ndo e troca ndo os ín dices de so ma, co ncluímos

L [- (k +

L)Pk + 1(x )

(2k

l )xPk(x ) - kPk _ 1(x)] l k =

k =2

Ig ualando o coeficie nte de l k a zero, conseguimos a seguinte relação (k

l)Pk + 1(x ) - (2k

l)xPk(x)

kPk _ 1(x)

=O,

k = 2, 3, 4, ....

(22)

Essa fórmul a é válida também quando k = 1. Em ( 18), li stamos os seis primeiros polin ômi os de Legendre. Se, di ga mos, qui sermos enco ntrar P6(x ), pode mos usar (22) com k = 5. Essa relação ex pressa e ntão PG(x) c m termos de qu antidades conhecidas P4(x ) e P5(x ). (Vej a o Pro blema 45.)

6. 5

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 459 e 460. [6.5.1] Nos Problemas l -8, e ncontre a solução geral para a equação diferenc ial dada em (O,

~).

344

l. x 2y " + y' + ( x 2 -

5. xy" + y ' +X)' =

Volume 1

~} =O

3. 4x\ " + 4xy' + (4x 2 - 25)y

Cap. 6

Eq 11ações Diferenciais

2. x 2y" + xy' + (x 2 -

1)y = O

4. L6x 2y"+ l 6xy'+ ( 16x 2 6. .!:'._ dx

x\ " + xy' + (9x 2 - 4)y = O

lxy'

(x - i2 } · = O

8. x 2y" + xy' + 112 v(x)

9. Use a mudança de variável y = x -

l )y = O

( 36x 2

~} =

para encontrar a so lu ção geral para a equ ação

x 2y"+ 2ry'+.l. 2x 2y =O,

X> O.

10. Verifiq ue que a equação diferencial

xy" + (1 - 2n)y' + xy

Ü.

= O

Ü.

possui a so lu ção particular y = x" J,,(x).

U. Verifique que a eq uação diferencial xy" + ( 1

+ 2n)y' + xy

poss ui a so lu ção particular y = x - " J,,(x). 12. Verifique q ue a eq uação diferencial

x2y" +

possui a so lução particular y =

(À.2x2 - v2 + ~ } = O,

--./xJ.,(À.x), em que À.

X> Ü.

> O.

Nos Problemas 13- 18, use os resultados dos Problemas 10, 11 e 12 para enco nt rar uma solução parti cular para a equação diferencial dada em (O, ~). 13. y" +)'=o

14. xy " -y'+xy=O

15. xy" + 3y' + xy = O

16. 4x 2y"

17. x 2y" + (x 2 - 2)y = O

18. xy " - Sy' +X)'= o

+ ( 16x 2 + l )y = o

Nos Problemas 19-22, dedu za a relação de recorrência dada. 19. xJ,: (x)

= - vl .,(x)

+ xJ,. - 1(x)

I' l' d 20. dx [x J,, (x)] = x J., -

22.

21,; (x)

= J., -

1 (x)

1(x) - J,. + 1 (x)

[Sugestão : 2n + v = 2(n + v) - v. J 1

2 l. 2vl .,(x) = xl ., + 1 (x) + X J.,

1 (x)

Volume I

Cap. 6

Equações difere nciais com coeficie111es variáve is

345

Nos Problemas 23-26, use ( 14) o u ( 15) para ob ter os res ul tados ped idos.

23.

25.

26.

fo f f

x rlo(r ) dr= xl 1(x)

24.

l ó (x)

x"lo(x) dx = x" l 1(x) + (11 - 1)x" - 1l o(x) - (11 - 1)2

= l - 1(.r) = - J i(x)

x" - 2 l o(x) dx

x 3 l o(x) dx = x 3 11(x) + 2x 2l o(x) - -hl 1(x) + e

27. Proceda co mo no Exempl o 4 e ex presse l - 112(.r) em lermos de cosx e uma potência de x.

Nos Prob lemas 28-33, use a relação de recorrência dada no Pro bl ema 2 1 e os resultados obtidos no Problema 27 e no Exempl o 4 para ex pressar a fun ção de Bcssel pedid a em le rmos de scn x, cos x e potências de x.

28. 1J12(x)

29. l -312 (x)

30. l 512 (x)

31. l -s12 (x)

32. h12(x)

33. .l- 112 (x)

34. Mostre que i - •·1.,(ix). i 2 = - 1é um a função rea l. A fun ção d cfi n id a por ! .,(x) = ;- ''J,.(ix) é chamada

de fun çã o de Bessel modifi cada de primeira espécie de orde m v.

35. Encontre a so lução geral para a eq uação diferencial x 1y" + xy' - (x 2 + v2)y = O,

x > O,

int eiro.

[Sugestão: i 2 .r 2 = -x 2 .J

36. Se y 1 = l o(x) fo r uma so lução para a equação de Bessel de ordem zero, verifique qu e uma o utra solução é Y2 = l o(x) ln x

4 -

3x 4 l tx 6 128 + 13,824 = -

37. Use (8) co m v = m, em q ue 111 é um int eiro pos iti vo, e o fa to de que l/r (N) = O, c m que N é um inte iro negati vo , para mostrar que l _ ,,,(x) = (- 1)"'1,,,(x).

38. Use (7) com v = m, em q uem é um inteiro não negati vo, para mostrar q ue l m(-x) = (- 1)"' 1,,,(x).

346

Equações Difere nciais

Cap. 6

Vo lume 1

[6.5.2] 39. (a ) Use as so lu ções ex pl íc itas y 1(x) e y 2 (x) da equação de Legend re e c:sco lhas apropri adas de c0 e c 1 para encontrar os polinômios de Lege ndre P6(x) e P7 (x). (b) Escreva as equ ações diferenciais ex plíc it as para as qu ais P6(x) e P7 (x) são soluções partic ul ares.

40. Mos tre que a eq uação de Legendre pode se r escrita na fo rm a alternati va

º11. ] +

( 1 - x - ) dx

11(11

+ 1)y = O.

41. Mostre qu e a equação

d7 sene q

+ cos e EI + n(11 + l )(sen 0)y = O d0

pode ser tr a nsform a da naeq uaçãode Legendr ea tr a vés d asub stitu içãox

= cos 0.

42. Os polinômi os de Lege ndre podem ser esc ritos como ln/2 1

P,,(x)

(- 1)(211 -2k)!

k = O 2"k

em que 11

= O,

· ·12 ] é o 3, 4 e 5

maior

int eiro

Xn - 2k

(n - k) 1 (IL - 2k) I

menor ou

igua l a 11/ 2.

Verifi que esse

fa to

para

43. Use a série binomi al para mostrar fo rmalmente que ( l - 2xt

12) - 1/2

= "L.,

p nX ( )I ".

"=o 44. Use o Problema 43 para mostrar que P,,( 1)

1 e P,,(- 1)

= (- l )"-

45. Use a relação de recorrê ncia (22) e Po(x) = l, P 1(x) = x para os próx imos cinco po linô mi os de Legendre. 46. Os polinômi os de Legendre são gerados pela fó r mula d e Rodrigues * P,,(x)

=----ex--

I )".

2"11 ! dx"

Verifique isso para n = O, 1, 2 e 3. 1

47. Use ex pli cita mente os polin ô mi os de Legendre Po(x), P 1(x), P2(x) e P3(x) para ca lcu larJ P;, (x) dx, n = O, 1, 2 e 3. Genera lize o res ultado. -1

Olinde Rodrigues ( 1794- 1851) Rodrigues era um banqueiro francês e um matemático amador. Em matemática, ele é lembrado somente pela descoberta dessa fórmula em 181 6. Em política, é reconhecido como investidor financeiro e discípulo de Count de Saint-Simon, o fund ador do socialismo francês .

Volum e I

Cap. 6

Eq11ações diferenciais com coefi cie11tes 1·a rilí1•eis

347

48. Use explicitamente os polinômios de Lcgendre Po(x), P1(x), para /1 ct m. Generalize o resultado.

P2(x)

e P 3(x) para calcular J -1

P,,(x)P,,,(x) dx

= x é solução para a equação de Legendre quando n = 1, ( 1 - x 1 )y" - 2xy' + 2y Mostre que uma seg unda solu ção linearmente independente no intervalo - 1 < x < 1 é

49. Sabemos que )'I

(l+X) [ -

Y2 = -X ln - -

Capítulo 6

= O.

REVISÃO

A característica marca nt e de uma equação de Cauchy-Euler é que, mes mo sendo uma equação diferencial com coefici entes vari áve is, e la pode ser resolvida em termo s de fun ções elementares . Uma equação de Cauchy-Euler de segunda ordem é qualquer equação diferencial da forma ax2y" + bxy' + cy = g(x), em que a, b e e são constantes . Para reso lver a equação homogênea, tentamos uma so lu ção da forma y = x 111 , e isso por sua vez conduz a uma equação auxiliar algébrica am(m - 1) + bm + e = O. Se as raízes forem reais di stintas, reais ig uais ou complexas, as so luções gera is no inter va lo (O, oo) serão , res pec ti vamente,

y = xª [c 1 cos(j3 ln x) + c2 sen(./3 ln x)].

Dizemos que x = O é um ponto ordinário da equação diferencial linear de seg unda ordem a2(x)y" + a,(x)y ' +ao(x)y = O quando a 2(0) °I' O e a2(x), a1(x) e ao(x) forem polinôrnios sem fatores comuns. Toda sol ução tem a forma de uma série de potências em x, y = L,;' = 0 c,,x"Para encontrar os coeficientes e,,, substituímos a solução formal em série na equação diferencial e, depoi s de manipulações algébricas aprop ri adas, determinamos uma relação de recorrência igualando a zero o coeficiente de x'. A iteração da relação de recorrência proporciona doi s conjuntos distinto s de coeficientes, um co njunto contendo o coeficiente arbitrário coe o outro contendo c 1. Usando cada conjunto de coeficientes , formamos dua s soluções linearmente independentes Y1(x) e Y2(x). Uma solução é válida pelo menos em um intervalo definido por lxl R, em que R é a distância da origem ao ponto singular mai s próximo da equação. Se a2(0) = O, então x = O é um ponto singular. Os ponto s singulares são classificados cm regulares e irregulares. Para determinar se x = O é um ponto singular regular, examinamos os denomi nadores das funçõ es rac ionais P e Q que resultam quando a equação é colocada na forma y" + P(x )y' + Q(x)y = O. Sempre supomos a 1(x)l a2(x) e ao(x)la2(x) na forma reduzida. Se x aparece no denominador de P(x) com expoente menor ou igual a 1 e no denominador de Q(x ) com expoente menor ou igual a 2, então x = O é um ponto singular regular. Em torno do ponto singular regular x = O, o método de Frobenius garante que existe pelo menos uma solução serial y = :E;;"= 0 c,,x" + '. O expoente ré uma raiz de uma equação indiciai quadrática. Quando as raízes indiciais r1 'e r2(r1 > r2) sati sfazem r1 - r2 °I' um inteiro, então podemos sempre

348

Equações Diferencia is

Cap. 6

Volume 1

e ncontrar dua s so luções seri ais lin earmente independe ntes. Quando r 1 - r 1 =um inteiro, e ntão pode mos ou não enco ntrar duas so lu ções. ma s quando r 1 = r1. podemo s e ncontrar so mente um a so lução serial y = :E;;' = o c11 x 11 + ' . A equação de Bessel :l-y" + xy' + (x 2 - y2 )y = Oapresenta uma sin gul aridad e reg ular c m x = O, que por sua vez é um ponto ordin ário da equação de Legendre. Essa última equação poss ui uma so lu ção polin o mi a l quando n é um inte iro não-nega tivo.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

Capítulo 6

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 460 e 461 Nos Proble mas 1-4, reso lva a eq uação de Ca uchy-Eul e r dada.

1. 6x\,'' + 5xy' - y = O

2. 2r\"' + 19x 2y"+ 39xy' + 9y

3. x 2y" - 4xy' + 6y = 2r.J +x 2

4. x\" - xy' + y = x 3

5. Especifique os po ntos ordiná ri os de (x 3

S)y" -

2.rr' + y = O.

6. Especi fiqu e os po ntos sin gulares de (x.J - l 6)y" + 2y = O. Nos Proble mas 7- 10, espec ifiqu e as si ng ul a ridades regulares e irreg ula res da eq uação diferen c ia l dada.

7. (x 3 - l0x 2 + 25x)y" + y' = O 9. x 2 (x 2 - 9)2 y" - (x 2 - 9)y' + xy = O

8. (x 3 - l0x 2 + 25x)y" + y = O 10. x(x 2 + 1)3y"+ y' - 8xy = O

Nos Problemas 11 e 12, especifique um iote rva lo e m torno de x = O para o qu al uma solução e m série de potências da equ ação diferenc ial dada co nve rg irá.

11. y" - xy' + 6y

12. (x 2 - 4)y" - 2xy' + 9y = O

Nos Proble mas 13-16. para cada equação di ferencia l, e nc ontre duas so luções em série de potê nc ias e m torno do ponto o rdinário x = O.

13. y" + xy =O

14. y" - 4y=

15. (x - l )y" + 3y = O

16. y" - x 1 y' + xy = O

Nos Proble mas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada eq uação.

17. 2r2y" xy' - (x + l )y 19. x( l - x )y" - 2y' + y 21. xy " - (2< -

18. 2 ry" + y' + y

l)y' + (x - l )y

20. x 2 y" - xy' + (x 2 + l) y

22.

x 2 y"

x 2 y'

+ (x 2 - 2)y = O

23. Sem consultar a Seção 6.5, use o método de Frobenius para obter uma solução para a equação de Bessel xy" + y' + xy = O.

Capítulo

TRANSFORMADA DE LAPLACE 7.1 7.2 7.3 7.4

Transformada de Lapl ace Transformada Inversa Teo remas de Translação e Derivada de uma Transformada Transformada de Deri vada s, Integrais e Funções Peri ódi cas.

Conceitos Importantes Operação linear Transformada de Laplace Transformada linear Co ntinui dade por partes Ordem exponencial Transformada de Laplace in versa Primeiro teorema de tran slação Função degrau unitária Segundo teorema de tran slação Convolução Teorema da convo lu ção Equação integra l de Vo lterra Equação íntegro-diferencial Impul so unitário Função delta de Dirac

(01

7.5 7.6

Aplicações Função Delta de Dirac Ca pítul o 7 Revi são Ca pítulo 7 Exercícios de Revisão

Neste capítulo, estudaremos a definição e as propriedades de uma integral conhecida como transformada de Laplace. Veremos na Seção 7.5 que , quando a transformada de Laplace é aplicada a uma equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes an

d"v :::....L.

dy"

+ an -

d" -

~ + dt" -

+ aoy = g(t),

a equação diferencial é transformada em uma equação algébrica que envolve as condições iniciais y(O), y'(O), y"(O), ... , y<n - 1\ 0). Como conseqüência dessa propriedade, a transformada de Laplace é muito conveniente para encontrarmos a solução para certos tipos de problemas de valor inicial. Lembre-se de que, em sistemas físicos tais como um sistema massa-mola ou um circuito elétrico em série, o lado direito das equações d 2x

m -

dt2

+ (J -

+ kx = f(t)

E(t) Continua

349

350

Equações Dife rencia is

Cap. 7

Vo lume J

Concinuação

são fun ções que representam uma força e xte rna f( t ) o u uma voltagem impressa E(t ). No Capítulo 5, reso lvemos problemas nos quais as fun ções f e E eram contínuas. Porém , funções contínuas por partes não são incomuns . Por exemplo, a voltagem impressa em um circuito pode ser

,----------,

ou E(t)

Nesse caso, resolver a equação diferencial do circuito é difícil, mas não impossível. A transformada de Laplace fornece uma ajuda inestimável na resolução de pro ble mas como esses .

7. I

TRANSFORMADA DE LAPLACE

E m cá lcul o, você ap re nde u que de ri vação e integração tran sfo rma m uma fun ção em ou tra. Por exe mpl o, a fun ção f<.x) = x 2 é transfo rm ada e m uma fun ção lin ea r, e m uma família de po linô mi os c úbi cos e e m um a constante através das operações de deri vação, integração indefinid a e integração de finid a:

.!!:._ dx

2x,

dx -

3 + e,

Volume J

Transfo rmada de Laplace

Cap. 7

35 1

Ainda, essas três operações possue m a propriedade de linearidade. Isso signifi ca que, pa ra qua isq uer consta ntes a e fJ,

d d dx [af(x) + {Jg(x)] = a dxfl.x) +

J [afl.x) + {Jg(x)] dx

= a

Jfl.x) dx + fJ J g(x) dx

[afl.x) + {Jg(x) ] dx = a

J fl.x) dx + fJ J

g(x) dx

(1)

fJ dx g(x)

desde que ex ista m as de ri vadas e as integrais. Se fl.x, y) fo r uma fun ção de duas variáveis, e ntão uma integra l defin ida de f c m re lação a uma das variáveis defi ne uma fu nção na outra variável. Po r exemplo, te mos que 2 2 1 2.xy dx = 3y2, em que y fo i considerada como constante no processo de integração. Analogame nte, K(s, 1)/(1) d 1 tran sforma uma função fl.t ) e m uma função da uma integral de finida ta l como vari ável s. Estamos particularmente inte ressados c m transformadas integrais desse último tipo , no qua l o inte rva lo de integração é [O, oo).

Definição Básica Sef(t ) estiver definid a para t

O, então a integral imprópria

fo~ K(s, t )f(t ) dt é de finida por um limite

J~ K(s, o

t)fl.t ) dt =

li m b --> ~

fo K(s, t )fl.t) d1.

Se esse limite ex iste, dizemos que a integral existe ou é convergente; se o limite não ex iste, dizemos que a integra l não ex iste ou é divergente . O limite em q uestão ex isti rá somente para certos valores da variável s . A esco lha k (s, t) = e - 51 fo rnece uma transformada integral espec ia lme nte importante.

352

Eq11ações Diferenciais

Cap. 7

Volume 1

DEFINIÇÃO 7. 1 Transformada de Laplace Seja fuma função definida por t

O, Então a integral

(2) é chamada de transformada de Laplace * de J, desde que a integral conviija. Quando a integral imprópria (2) converge, o res ultado é uma função de s. Na di scussão geral, utilizaremo s letra s minú sc ula s para denotar a função a ser transformada e a letra maiúscula correspondente servem para denotar s ua transformada de Laplace; por exemp lo,

st (g(t)) = G(s),

.91 (/tt)) = F(s),

.91(y(t)) = Y(s).

EXEMPLO Calcule

.21{ 1 }.

Solução

lim b _,

~1b s o

-e-sb + lim - -- - -

s desde que s > O. Em outras palavras, quando s > O, o expoente - sb é negativo e e- sb ~O quando b ~ oo. Quando s < O, a integral é divergente. •

notação

O uso da notação de limite torna-se um pouco enfadonho , por isso adotaremos a _, ~ ( ) lt . Por exemplo,

lõ como abreviação de limb

Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827) Um notório matemático, ffsico e astrônomo, Laplace foi chamado por alguns de seus contemporâneos de "o Newton da França". Embora Laplace tenha usado a transformada integral (2) em seu trabalho sobre teoria das probabilidades, é mais provável que a integral tenha sido descoberta por Euler. Publicações importantes de Laplace foram os tratados Mécanique Céleste e Théorie Analytique des Probabilités. Nascido de uma farru1ia pobre, Laplace se tomou amigo de Napoleão, mas foi elevado à aristocracia por Luís XVIII após a Restauração.

Volume 1

.${!} =

J ~e- s1dt

-e- si s

Cap. 7

Transformada de Laplace

= l, s

s >

353

ficando sub tendido que no limite superior e - si~ O quando t ~ oo paras > O.

[IJ ,

uma Transformada Linear

Para uma so ma de funções , pode mos escrever

quando ambas as integrais convergem. Segue-se e ntão que

..'Z'{af(t) + f3g(t)) = a..'Z'{f(t)) + /3..'Z'{g(t)) = aF(s)

+ f3G(s) .

(3)

Por ca usa da propriedade dada em (3), .$é um a transformada linear. ou operador linear .

Condições Suficientes para a Existência de 9J {f(t)} A integral que define a transformada de Laplace não converge necessariamente. Por exemplo, nem $ {1/t }, nem $ {e 1 1 } existem. As seguintes condições garantem a existência da transformada: fé co ntínua por partes em [O, oo) e fé de ordem exponencial para 1 > T. Lembre-se de que uma função f é contínua por partes em (0, oo) se, em qualquer intervalo O ~ a ~ t ~ b, há apenas um número finito de descontinuidade e toda descontinuidade é de primeira espécie, ou seja, existem os limites laterais. Veja a Figura 7.1. O conceito de ordem exponencial é definido da seguinte maneira. ·

DEFINIÇÃO 7.2

Ordem Exponencial

Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existem números e, M > O e T > O tais que !flt)I :<> Mec 1 para todo t > T.

Se, por exemplo, f for uma funcão crescente, então a condição acima simp lesmente diz que o gráfico de f no intervalo (T, oo) não cresce mais rapidamente que o gráfico da função exponencial Mec 1 , em que c é uma constante pos iti va. Veja a Figura 7.2 . As funçõesftt) = t, ftt) = e - i e JZt) = 2 cos 1 são toda s de ordem exponencial para t > O, pois temo s, respccti vamente,

lt 1-S: e 1,

le - 1 1<S: e 1

12 cos t I ~ 2e 1•

354

Volume 1

Cap. 7

Equações Diferenciais

/(1)

00: :

' '

:':

•

......____

t, b

Figura 7.1

Figura 7.2

Uma comparação dos gráficos no interva lo (O, oo) é fei ta na Figura 7.3 /(1)

/(1)

2e'

(b)

(a)

(e)

Figura 7.3

Uma função tal comofl.1) = e ' 2 não é de ordem exponencial, pois, como mostrado na Figura 7.4, seu gráfico cresce mais rapidamente do que qualquer potência linear de e. Todo polinómio é de ordem exponencial visto que, para e > O,

11 11 1$ Me cr

- t" 1 $ M

l e Cl

para t > T

Figura 7.4

TEOREMA 7.1

Condições Suficientes de Existência

Seja j{t) uma função contínua por partes no intervalo (0, oo) e de ordem exponencial para t > T então, sua transformada de Laplace existe para todos s > c.

Vo/ 11111e 1

Prova

9'{!(1)} =

Cap. 7

Trwofo rmada de Laplace

355

J ~e-"' 1 /(1) dl o

Je-

j(1)dt +

J~e -·"J(t) dl = 11

+ 12.

A integ ral 11 ex iste po rq ue pode ser esc rita como uma so ma de integra is e m interva los nos q uais

e- -'1 j(t ) é co ntínu a. Agora,

~ J ~e- si j(t)I dt ~

l/21

J ~e - si e ci dt

T M

: - (.1· - c )1

-M

-e -

C) I

c)T M _e _- (s_- _ _

s - e

para s > e.

Isso implica que a in tegra l /2 co nve rge para todos > e. Logo, a transfo rmada ex iste para todo s > e. [] Nes te capítulo, trabalhare mos so me nte com fun ções de orde m ex ponenc ial e co ntínuas por partes. Observamos porém qu e essas co ndi ções são sufi cientes, mas não necessári as, para a ex istência da transformada. A fun ção j(t ) = L- 112 não é co nt ínu a po r partes no interva lo [O, oo), mas sua transfo rmada de Laplace ex iste. Veja o Pro ble ma 44 .

EXEMPLO Calcul e

Solução

!ll (t }. Pela Defin ição 7. l , temos

Integrando po r partes e usa nd o o fato de q ue li n\ _,~ t e - si res ultado do Exe mpl o 1, obte mos

!ll(t } =

-te-s1 1 ~ s

+ J_ s

fo:-s1dt

_!_ .W{l}

O, s > O, ju nta me nte co m o

•

356

Cap. 7

Equações Diferenciais

EXEMPLO Calcule

Solução

Volume 1

fb'{e- 31 }. Pela definição 7 . 1, temos .!l?{e -31} = J : - s1e - 31dt

o =

J:-(s + 3)1 dt o

-e -(s

+ 3) r I ~

s + 3

o s > - 3.

O res ultado segue-se do fato de q ue li m, __,~e -

EXEMPLO Calcule

Solução

O para s + 3 > O ou s > - 3.

(s + 3)i

f8 { sen 21 }.

Pela Definição 7. 1 e a integração por partes, temos

J : - si

.!l?{sen 2t }

sen 21 dt

- e - si

sen 21

s =

~ J~e s

COS

l ~o

s s2

e-s1

s >

COS

2t d t

transfonnada de Laplace de sen 21

I ~ -~ J '~e-s1

4 2 = ? - - f8 { sen 21 },

21 dt,

= l[-e-s1 cos2t

sen 21d1 ]

li m e-sr cos 21 = O, s > O

-->~

•

Vo/11me I

Agora calculamo s

Cap. 7

Transforma da de Laplace

9"{sen 21 }: [ l +

s~ ]

'1' { scn 21 }

2 J

1' { sen 21 } = s 2

EXEM P LO Calcule

357

s > O.

+ 4,

•

$ {31 - 5 sen 21 }.

Pelos Exem plos 2 e 4 e pela propriedad e de linearidade da transforma da de Lap lace, escrever podemos

Solução

.'1'{31 - 5 sen 21} = 39'{t} - 59'{sen 21 } 2=3XJ_ _-5x-s2 + 4 s2 -7s 2 + 12 s2(s2 + 4) ,

EXEM P LO Calcule

Solução

•

s > O.

(a) !B{te - 21 } e (b) ${t 2e - 21 }. (a) Pela Defi nição 7. 1 e integração por partes, temos !B{ te -21} =

J=e- st (te -21) d1 o

J~e

- (s + 2)1

- /e - (-<+2)11 =

s+2 - e - (s +

:)1

(s + 2)l (s + 2) 2 '

s+2

+ --

e -(;-+ 2)1

s > -2

s > -2.

358

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume l

(b) Novamente, a integração por partes implica !l!{t 2e - 2r} =

- t 2se -+(.1·2+ 2)r

~o + -2-

J~te - (s + 2)1d1 o

s + 2

s > -2

_L[

= _ 2_ .9J(te - 21} = s + 2

s + 2

Calcule !li (j(t) } para

]

~ pela parte (a)j

•

s > -2.

= (s + 2) 3 '

EXEMPLO

(s + 2) 2

7 J(t)

l ~

< 3

Solução Essa funç ão contínua por partes está representada na Figura 7 .5. Como fé definida por duas expressões, sua transformada é expressa como a soma de duas integrais:

e - 5 1j(t)dt +

e - S((O)d t

e - 5 'J(t)d t

e-S/(2) dt

= - 2e - s1

s 2e - 3s =--, s

I~ 3

>o.

•

En unciamos a genera li zação de alguns dos exemplos acima nos próximos teoremas. Daqui para frente, não faremos mais referência às restrições de s; fica entendido que s pertence a um intervalo que garante a conve rgência da transformada de Laplace apropriada.

Cap. 7

Volume I

Transform ada de Laplace

359

Figura 7.5

Transformadas de Algumas Funções Básicas

TEOREM A 7.2 (a) !l1 { l} =

.!. s

"= (e)

$ {e at}

l, 2, 3, ...

= _l_ s - a k

{d) !l?{sen kt}

(e) !l/{cos kt}

= __s _ s2

(f)

!l?{senh kt}

+ k2 k

s_ (g) !l?{cosh kt} = _ _ s2 -

o por A parte (b) do Teorema 7.2 pode ser justificad a da seg uinte maneira: integraçã na partes proporcio

!li {t") =

= -

e - "1"d1

l - srt 11 1 ~ + -n -e o s s

= - oe s Tl

=e - srt 11

Jd t

360

Equações Diferenciais

.qJ{ t"} =

ou Agora, 9J{ 1

Cap. 7

!:!. s

\lolume 1

9J{ t 11

1 },

l , 2, 3, ...

l/s, assim, por iteração, seg ue-se qu e

.!.s

9J{t } =

2. s2

2{ 1 } =

21{t 2 }

2 21 {1 } s

9J{t3} =

= ~(~) = ll s s s3

9J{ t 2} =

ls (~) = ll. s s4

Embora uma prova rigorosa requeira indução matemática, parece razoáve l concluir, a partir desses resultados, a fórmula geral 21 {1"} =

!:!.

9J{t n -

l } =

!:!.[ (n

-n l)!] =

~. s"+I

As justificativas para as partes (f) e (g) do Teorema 7 .2 serão deixadas para você. Veja os Problemas 33 e 34.

EXEMPLO Calcule 21 {se n2t

Solução Com a ajuda de uma identidade trigonométrica, linearidade e das partes (a) e (e) do Teorema 7 .2, obtemos 2

$ {sen t } = $

{

l - cos 21 } = 1 $ { l } 2 2

{cos 2t }

1 l l s = - x - - - x - -2 s 2 s 2 + 4

2 = s(s 2

+ 4).

7. 1 EXERCÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 460 e 461.

Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1 para calcular !l?{flt) }.

•

Cap. 7

Volume I

1. fi1) = { - l , 1, 3, j(t )

1 ~

2. j(t) = { 4, O,

< 1

4. j(t) = { 21 + 1,

= { 1, o $ 1 ~

Transformada de Laplace

5 _ j(I) = { sen t,

潞路

< l

OSt<n

j(e) =

< 2

潞路

1 ~ Jl

o$ 1 ~

1 ~ l

{O,cos

O$ l,

t ~

< n/2

n/ 2

JL Figura 7.6

Figura 7.7 10.

Figura 7.8

Figura 7.9

ll.j(1 )=e'+ 7

12. j(1) = e-21 - 5

13. j(1) = ee 4 '

14. j(1) = t 2 e 3 '

15. fi1) = e_, sen 1

16. j(I) = e' cos t

17. fie)= e

18. fit) = t sen e

COSI

Nos Problemas 19-42, use o Teorema 7.2 para calcular !li(f(e) ). 15

19. fie ) = 21 4

20. fi..1) =

21. f(t ) = 41 - 10

22. f(t) = 71 + 3

23. f(e)

= e2

25. f(e) =

= -41 2 +

+ 61 - 3

24. j(e)

+ 1) 3

26. fit) = (21 - 1)3

27. f(t) = l + e 4 '

28. fit) =

29. j(t) = ( l + e 2') 2

30. fil)

t2 -

= (e'

161 + 9

e- 9' + 5 - e-') 2

361

362

Equações Diferenciais

31. j(t)

= 41 2 -

33. j(t)

= senh

35. fit)

=e'

37. fit)

= sen 21 cos 21

39. j(t)

= cos 1 cos 21

40. fit)

= sen 1 sen 21

41. fi1)

= sen 1 cos 21

Cap. 7

Volume I

32. fi t ) = cos 51 + sen 21

5 se n 31

34. fi 1)

36. fi 1) = e-' cosh t

senh1

42. fi1) = se n3 1

= cosh

38. /(1) = cos2 1 [Sugestão: Examine cos(11 ± 12) .J

[Sugestão : Examine sen(11 ± 12). j

[Sugestão: sen3 t = sen 1 se n2 1.}

43. A função gama é defi nid a pela integral y(a) =

J ~a - e- d1 , 1

a> O.

y(a + 1)

Veja o Apêndice 1. Mostre que $ (1 ª} = -----a+\· a > - l. s Nos Problemas 44-46, use o resultado do Problema 43 para calcular $ {/\t) ). 44. fi1) = 1- 112 46. fi1)

45. /(1)

= 1 112

= 1 312

47. Mostre que a funçãofit)

l / 12 não possui transformada de Laplace. 1

[

Sugetão: 2j f(I)\ =

Joe -

e -"/(1)d1.Useadefiniçãode

f (t)d1+ f 1

integral imprópria para mostrar que

1 e -s1 f(1) dt não existe] 0

48. Mostre que, se as funções/e g forem de ordem exponencial para t > T, então o produto/g também será de ordem ex ponencial para t > T.

7.2

TRANSFORMADA INVERSA

Na seção precedente, estávamos trabalhando com o problema de encontrar a transformada de uma da função, isto é, transformar uma função fl.t) em outra função F(s) por meio da integral. Denotamos isso simbolicamente por !IJ {fl.t)} = F(s). Agora, trabalharemos com o problema inverso, ou seja, dada uma função F(s), tentaremos encontrar uma função fl.t) cuja transformada de Laplace seja F(s) . Dizemos então que fl.t) é a transformada de Laplace inversa de F(s) e escrevemos

Volume /

Cap. 7

Transformada de Laplace

363

ft.t) = I r 1 {F(s) } O análogo do Teorema 7.2 para a transformada inversa é o seguinte:

TEOREMA 7.3 {a) dl

{b)

{e)

(d)

Algumas Transformadas Inversas

=.!lJ- IU}

1 n= g;- l{~}· sn + 1

=gr 1{_1 } s - a sen kt = {-k } s + $-

{e) cos kt =

{--,.-}o

$- 1

senh kt = !Ir 1{

{g) cosh kt

g;- 1 ,

=1, 2, 3, ...

eªt

(f)

= $- 1{

~ } s - k s

+ k2

}

uma Transformada Linear

A tran sformada de Laplace inversa é uma transformada linear;* isto é, para constantes a e /J, Ir 1{aF(s) + /JG(s)} = a !r 1{F(s)} +

/3Ir 1{G(s) },

em que F e G são as transformadas de algumas funçõesf e g. A transformada de Laplace inversa de uma função F(s) pode não ser única. Veja os Problemas 35 e 36. Para nossos propósitos, isso não é tão ruim quanto parece. Se f 1 eh são contínuas por partes em [O, oo) e de ordem exponencial , então, se 2i lf1(I)} = 2i lf2(t)}, pode-se mostrar que f 1 eh são essencialmente iguais; isto é, elas podem ser diferentes somente nos pontos de descontinuidade.

A transformada de Laplace inversa é na verdade uma outra integral. Porém, o cálculo dessas integrais demanda o uso de variáveis complexas, o que está além do escopo deste texto.

364

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume I

EXEMPLO Calcule

2T 1{ 515 } .

Solução Para usarmos a parte (b) do Teorema 7 .3, verificamos que n = 4 e então multiplicamos e dividimos por 4!. Segue-se que

g; '{J_} 1.g; '{i!_} =

EXEMPLO

•

2 Calcule 2T '{

+ 64

Solução Ao verificar que k 2 = 64, multiplicamos e dividimos por 8 e usamos a parte (d) do Teorema 7.3: 2T '{

EXEMPLO

= .!_ 2T '{ 2 8 8 sen 81 . s 2 +1 64 } -- .!_ 8 s + 64 }

3 Calcule 2T '{

Solução

•

3~ + 5 } . + 7

Essa fração pode ser escrita como uma soma de duas frações 3s + 5

s 2 +7=s 2 +7+s 2 +7· Pela linearidade da transformada inversa e por (e) e (d) do Teorema 7.3, temos

2T '{ -- } 3s +5 } - 32T '{ -2 s - } + - 5 2T '{ -2-ff s2 + 7 s + 7 -.f7 s + 7 3 cos -.ff1 +

.J,

sen

-.ff1.

•

Frações Parciais O uso de frações parciais é muito importante para encontrar a transformada de Laplace inversa. Faremos aqui uma revisão de três casos básicos dessa teoria. Por exemplo, os denominadores de

Volume l

(i) F(s) = - - - -- - (s - 1)(s + 2)(s + 4)

Cap. 7

Transformada de Laplace

s + l

(ii) F(s) =

2 s (s

... ) ( Ili

+ 2)3

F( ) s=

365

3s - 2 3 2 s (s + 4)

contêm, respectivamente, somente fatores lineares distintos, fatores lineares repetidos e um fator quadráti co irredutível.*

EXEMPLO

sr 1{

Cal cule

Solução

1 } (s-l)(s+2)(s+4) ·

Existem únicas constantes A, B e C tais que - - -- - - -(s -

l)(s + 2)(s + 4)

= -

A -

s -

+- s

+ 2

C + 4

+ -s

A(s + 2)(s + 4) + B(s (s -

l)(s + 4) + C(s - l)(s + 2) l)(s + 2)(s + 4)

Como os denominadores são idênticos, os numeradores são idênticos: 1 = A(s + 2)(s + 4) + B(s - l)(s + 4) + C(s - l)(s + 2). Comparando os coeficientes das potências de s em ambos os lados da igualdade, sabemos que essa última equação é equ ivalente a um sistema de três equações e três incógnitas A, B e C. Porém, podemos determinar essas incógnitas através de substituições. Colocando s = 1, s = - 2 e s = - 4, os zeros do denominador (s - 1)(s + 2)(s + 4), obtemos = A(3)(5),

A = 1/ 15,

= 8(- 3)(2),

B = - 1/6,

= C(- 5)(- 2),

e= 11 10.

Então, podemos escrever

l/ 15

1/ 6

- - - - - -- = - - -(s - l) (s + 2) (s + 4) s-1 s+2

l/ 10 + -s+4

e assim, pela parle (c) do Teorema 7.3, 9T

1{(s -

l } - J_ 9T l)(s + 2)(s + 4) - 15

1{ s -

_ l } - _!_ 9T l 6

Irredutível significa que o fator quadrático não possui raízes reais.

1{-' } s + 2

gr l{ _l+ } s

366

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume 1

• EXEMPLO

5 ! f '{

Calcule

s + 1 } s 2 (s + 2) 3

Solução Suponha s+

---- = - + ~ + - - + ---+ --s 2(s + 2)3 s s s + 2 (s + 2)2 (s + 2)3 assim, s

+ 1 = As(s + 2)3 + B(s + 2)3 + Cs 2(s + 2) 2 + Ds 2 (s + 2) + Es 2 .

Fazendo s = O e s = - 2, concluímos que B = l/8 e E = - 1/ 4, respectivamente. Igualando os coeficientes de s 4, s 3 e s, obtemos

O=A+C O = 6A + B + 4C + D 1 = 8A

128,

assim A = - 1/16, C = 1/16 e D = O. Daí, por (a), (b) e (c) do Teorema 7.3,

.<r '{

s + 1 } s 2 (s + 2) 3

= -

= .<r '{- 1/16 + 1/8 + 11 16 - ~} s 7 s + 2 (s + 2) 3

i'6 .<r'H} +

1 -- - 16

g-t1

i.<r'{M +

,'6 .<r'{s

~ 2}-i .<r'k: 2)

1 - 21 T6e - g-t1 2e-21 .

Aqui, usamos também o resu ltado do Exemplo 6 da Seção 7 .1.

EXEMPLO Calcule

Solução

3s - 2 } s 3 (s 2 + 4) ·

Suponha 3s - 2 A B C Ds + E ----=-+-+-+--s\s2 - 4) s s2 s3 s2 + 4

•

Volume l

Cap. 7

Tran sfo rmada de Laplace

367

assim, 3s - 2 = As 2(s 2 +4)+ Bs(s 2 + 4) + C(s 2 + 4) + (Ds + E)s 3. Fazendo s = O, vemos imediatamente que C = - 1/ 2. Agora, os coeficient es de s 4 , s 3, s 2 e s são, respectivamente, O = A + D , O = B + E, O = 4A + C. 3 = 48, Segue-se então que B =314, E = - 3/ 4, A = 1/8 e D = - 1/ 8. Logo, por (a), (b), (e) e (d) do Teorema 7.3, temo s Sir

3s - 2 s 3 (s 2

+ 4)

} - Sir 1{118 3/ 4 - ----::J 1/ 2 + -~---s/ 8 - 3/4} - + --::2 s s s s2 + 4 =

i l{~ } + % I{?} - ±srr I{?}

.!_ +

Sir

Sfr

l4 t

- .!_ 1 2 - .!_ cos 21 -

•

l8 sen 21 .

Nem toda função de s é transformada de Laplace de alguma função contínua por partes de ordem exponencial. TEOREMA 7.4 Comportamento de F(s) quando s ~ oo Sejaj(t) contínua por partes em [O, ~)e de ordem exponencial para t > T; então . .Jim 9T 1{ftt)} = O. s

.- '

---->~

Prova Como ft.t) é contínua por partes em O tada nesse intervalo:

~ t ~

T, ela é necessariamente limi-

!f{t)I ~ M1 =Mieº'·

Ainda,

!f(t )1 ~ M i e yt

para t > T. Se M denota o máximo de {M 1, M2}} e e denota o máximo de {O, y}, entã o l.!li {fl:t) }I

~ J:o

51!/\t)I

J:-st ec dt o X

368

Volume I

Cap. 7

Equações Diferenciais

=-M paras > e. Como s -t

EXEMPLO

oo,

e-(s - c)1 1 ~ s -

M s - e

temos 12i'{/(r) }I -t O e daí !C{/(t)} -t O.

As fun ções F 1 (s) = s 2 e Fi(s) = sl(s + 1) não são transformadas de Laplace de nenhuma função contínua por partes de ordem exponencial, pois

quando s -t

oo.

Dizemos que ! r 1 {F 1(s)} e !Ir 1 {F2(s) } não existem.

•

Observação Há uma outra maneira de determinar os coeficientes em uma decomposição em frações parciais no caso especial quando !C{/(t)} = F(s) for um quociente de polinômios P(s)IQ(s) em que Q(s) é um produto de fatores lineares distintos:

Vamos ilustrar isso com um exemplo específi co. Da teoria de frações parciais, sabemos que ex istem únicas constantes A, B e C tais que C B A s 2 + 4s - 1 =--+--+--· s+3 s-2 s-1 (s-l)(s-2)(s+3)

(1)

Multiplicamos ambos os lados dessa última expressão por, digamos, s - L Simplificamos e então fazemos s = !. Como os coeficientes de B e C são nulos, obtemos s2

+ 4s - 1 + 3)

(s - 2)(s

s= 1

=A ou A = - !.

Agora, para obter B e C repetimos o processo com os fatores s - 2 e s + 3, respectivamente: s2 (s -

4s - 1

l) ~(s + 3) s

s 2 + 4s - l (s - 1) (s - 2)

fui2]

-B

= 2 -

s= 3

ou B = _!_!_ 5 ou

e= _ _!_. 5

Você deve verificar por outros meios que

s 2 + 4s - 1 (s - !) (s - 2) (s

+ 3)

-L/ 5 11/5 -1 = - - + - - + -- . s + 3 s - 2 s - L

Volume 1

Cap. 7

Transfo rmada de Laplace

369

Esse processo é uma versão simplificada de um resultado conhecido como teorema de Heaviside. *

7.2 EXERCÍCIOS As res postas dos exercícios selecionados estão na página 462. Nos Problemas 1-34 , use o Teorema 7.3 para encontrar a tran sformada inversa pedida.

$ 1{~}

1{ s3 I{ (s: 1))} 1{1 1 1 } $1{ _ 11} $1{ s $1{4s"2+l _!_ _ 48}

7. $

9. 11.

13.

?--+-s-

s - 2

4s +

5 } 2 + 49 4s

}

$ 1{~}

§l{U-?r} 1{ 1{ $1{ 1 } $1{ T+l6 !Os } $1{ 4s"2+l l }

6. $

(s: 2) 2 }

8. $

-4 +63 + -1 - } s s s + 8

10. 12.

14.

5s - 2

Oliver Heaviside (1850-1925) Muitos résultados que apresentamos neste capítulo foram imaginados e delineados pelo engenheiro eletrônico inglês Oliver Heaviside em seu tratado Electromagnetic Theory de 1899. Heaviside usou originalmente aransformada de Laplace como meio para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes provenientes de sua investigação de problemas relacionados com linbas de transmissão: Como muitos de seus resultados carecem de prova formal, o cálculo operacional de Heaviside, como veio a ser chamado o procedimento, inicialmente foi visto com êlesprezo pelos matemáticos. Heáviside, por sua vez, chiµnava es~a "instituição" matemática de "estúpida". Quando Heaviside, usando seus métodos simbólicos, foi capaz de obter respostas para problemas que os matemáticos não conseguiam resolver, o desprezo transformou-se em censura e seus artigos não foram maiS publicados em periódicos matemáticos. Heaviside foi também o descobridor de ll!D3 camada de máxima densiaÍide de elétrons, na atmosfera chllJl'.lada de C3II).ada deHeaviside, que reflete ondas de $li.o de volta para a terra. Viveu os últimos anos de sua vida .reclw t;,n;i pobreza, esquecido pela comunidacJe científica Morreu em uma casa . , ,. sêm,aquecimento er_n ~925 \ ,. n• Como é de sua natureza, os matemáticos ~e apossaram de suas idéias, deram a elas um sólido fun<ianí'énto mat~matico e então generalizaÍn-nas' dentro de uma teoria abstiata

Cap. 7

Equações Diferenciais

370

IS. gT 1{

1 } Tl6

-6} 17. 9T 1{2s ~ s + 9

19.

_q;- 1{~} s- + 3s

21. 9T '{

23. _q;- 1{

25. g; I{ 27. _q;- 1{

s } s 2 + 2s - 3 0.9s } (s - O, l )(s + 0,2)

(s - 2(s - 3)(s - 6)

}

2s+4 } (s - 2)(s- + 4s + 3)

Volume 1

16.

g; ' {~} s - 25

18.

_q;-1{~} s- + 2

20.

g; '{~} s - 4s

22. g; I{

? 1 } s- + s - 20

24.

s - 3 (s - -f3)(s +

f3)

}

26. _q;-l{

2 s +1 } s(s - l)(s + l)(s - 2)

28. g;I{

s+ l } (s 2 - 4s)(s + 5)

29. 9T '{ 1 } S- (s + 4)

30. 9T

31. g; 1{

s } (s 2 + 4)(s + 2)

32. _q;-1{_ 4 I } s - 9

33. 9T '{

1 } (s 2 + l)(s 2 + 4)

34.

S -

l s2(s2

g; '~ l (s 2

+ 1)}

6s+3 } + l)(s 2 + 4)

A transformada de Laplace inversa pode não ser única. Nos Problemas 35 e 36, calcu le $(j{t) }.

35. fi.t) =

I, t ;::: O, 1 3, t = 1

4, 1

7.3

1, t

36. fi.t) = { e ' 1,

t ;::: O, t 1

TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO E DERIVADA DE UMA TRANSFORMADA

Não é conveniente usar a Definição 7 .1 cada vez que quisermos encontrar a transformada de Laplace de uma função .f{t). Por exemplo, a integração por partes envolvida no cálculo de, digamos, ${e 1t 2 sen 3t} é extremamente trabalhosa. Na discussão que segue, apresentamos vários teoremas que facilitam o cálculo de transformadas. Isso nos possibilita construir uma lista mais extensiva de transformadas sem a necessidade de usar a definição da transformada de

Volume 1

Cap. 7

Transformada de Laplace

371

Laplace. Embora tabelas extensivas possam ser construídas, (veja o Apêndice II), não deixa de ser interessante saber as transformadas de Laplace de funçõ es básicas tai s como t ", eª', sen kt, cos kt, senh kte cosh kt. TEOREMA 7 .S

Primeiro Teorema de Transl ação

Se a é um número real, então em que F(s)

= 21 (f{t)

Prova

!IJ{eaifl.t)} = F(s - a), }

A prova é imediata, pois pela Definição 7.1,

!íf {eª '/(1)} =

s:-s

eª'J(1) dt

;-(s-a)'J(t)dt

= F(s

- a) .

O gráfico de F(S - a) é o gráfico de F(s) deslocado sobre o eixos para a direita, se a> O, e para esquerda, se a< O. Veja a Figura 7. IO F

(s - 2) F(s)

F(s - a)

s = a.' a > O

deslocamento sobre o eixos

Algumas vezes é útil usar o simbolismo

em que s

s - a significa que substituímos sem F(s) por s - a.

EXEMPLO Calcule Solução

1 (a) $ {e 51 1 3 } e

(b) !íf {e -

Os resultados seguem-se do Teorema 7.5

21 cos4t }.

372

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume /

(a ) ${e5't3} = $ {t 3 }s-+s - 5

-li J s

s ...., s - s

(s - 5)4

(b ) .Q? {e - 2' cos 4t } = $ {cos 4t }s __,

s+2

s 1 = s 2 + 16 s....,

s +2

~a= -

2então

s-a =s-(-2) = s + 2 J

•

s + 2 = (s + 2) 2 + 16

Forma Inversa do Primeiro Teorema de Translação A forma inversa do Teorema 7.5 pode ser escrita (1) em que ftt) = !T 1{F(s) }.

EXEMPLO

2 g;

Calcule

1{ s 2

+ 6s + 11

}

Solução

g; 1{ s2 +

:.ç +

l I } = !T 1{ (s + _ g; -

= g; =

I{ 1{

I{ g;l{

~2 + 2 } ~completando o quadrado!

s + 3 - 3 } (s

+ 3)2 + 2

S + 3 3 } + 3)2 + 2 - (s + 3)2 + 2

s + 3 } _ 3 + 3)2 + 2

_s s2 + 2

1x-->s+3

g; I{

} - _]_

1 (s

}

+ 3)2 + 2

g;l{ _:!I_I s2 +2

x-->s+3

}

Volume l

EXEMPLO

Cap. 7

Tran sfo rmada de Laplace

373

Calcule

I{ (s

.QT

3+ s- + 2s1 -

}

Solução Comp letando o quadrado no segundo denominador e usa ndo a linearidade, temos 2T

1{ _

I + I } _ 2T (s - 1)3 s 2 + 2s - 8 -

I + 1 } (s - 1)3 (s + 1)2 - 9

_ _l_ 2T -2!

2! } + .!_ 2T (s- 1)3 3

l + -

.!.2 e 11 2 + .!.3 e - 1 senh 31 .

3 } (s+L) 2 -9

gr- 1{ _ 39 s2 -

} s--+ s -

•

Fu nção Degrau Unitário Em engenharia, encontramos freqü entemente funç ões qu e podem representar uma dualidade como "estar ligado" ou "estar desligado" . Por exemplo, uma força externa agindo sobre um sistema mecânico ou uma voltagem impressa em um circuito pode ser desligada após um período de tempo. É então conveniente definir uma função especial chamada de função degrau unitá rio.

DEFINIÇÃO 7.3

Função Degrau Unitário

A função <et(t - a) é definida por d/t(t - a)

= { o, 1,

O ~

;i:

t <a a.

Observe que definimos Olt(t - a) somente para t maior ou igual a zero. Isso é suficiente para o estudo da transformada de Laplace. Em um sentido mais amplo, Olt(1 - a) = O para t <a .

E X EM P LO \ 4 Esboce o gráfico de

(a)

Olt(t)

(b)

Olt(t - 2).

374

Equações Diferencia is

Solução

(a) "lt(I) = 1,

Cap. 7

Volume 1

o ::;

2) = {O,l,

(b) Olt{I -

/~o

< 2

t ~ 2.

Os respectivos gráficos estão representados na Fig ura 7 .11

!===,

•

1-+---t-----+2

(a)

{b)

Figura 7.11

Quando multiplicada por uma outra função definida para t ~ O, a função degra u unitário cancela uma porção do gráfico da função. Por exemplo, a Figura 7. 12 ilustra o gráfico de sen 1, t ~ O, quando multiplicada por Olt(t - 2it): f(.t) = sen t OZt(t - 2.n) = {

O, sen t,

t ~ 2.n.

Figura 7.10 1t

A função degrau unitário pode também ser usada para escrever funçõ es definidas por partes em uma forma compacta. Por exemplo, a função definida por partes /(1) =

g(t),

(2)

h(I),

pode ser escrita como /(1) = g(t) - g(t) OZt(t - a)

h(I) 0Zt(1 - a).

Para verificar isso, usamos a definição de Olt(t - a):

f( 1) =

g(I) - g(I) X 0

g(I) - g(I) X l

+ h(I) X 1,

h(t) X 0,

O~ 1

(3)

Cap. 7

Volume l

Analogamente, uma função do tipo

f(t) =

O$ t <a

g(t)

a$ 1

Transformada de Laplace

< b

375

(4)

pode ser escrita f(1) = g(1)[ "lt(1 - a) - :Jlt(t - b)].

EXEMPLO

(5)

A voltagem em um circuito é dada por E(t) =

201,

o $ / < 5

1 ~ 5.

Esboce o gráfi co de E(t). Expresse E(t) em termos de funçõe s degrau unitário.

Solução O gráfico dessa função definida por partes está representado na Figura 7.13 . Agora, de (2) e (3) com g(t) = 201 e h(t) = O, obtemos E(t) = 201 - 20t "lt(t - 5) . E(t)

100 Figura 7.1 3

EXEMPLO

Considere a função y = f(I) definida por f(t) = 13 . Compare os gráficos de (a) fi.t) = 1 3,

(b) fi.t) = 1 3,

(e) fi.t - 2), t

º·

(d) fi.t - 2) 'ft(t - 20), t

Solução

Os respectivos gráficos estão esboçados na Figura 7 .14

•

376

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume I

f(t - 2) <u(t -2

f(t)=r ', 1> 0

(a)

(e)

(b)

(d)

•

Figura 7. 14

Se a > O, então o gráfico de y = f(1 - a) é o gráfico de y =f(t), t ;?: O, trans ladado para a direita em a unidades. Porém, quando f(t - a) é multiplicada por uma função degrau unitário "li(t - a) da maneira ilustrada na parte (d) do Exemplo 6, então o gráfico da função

(6)

y = f(t - a) q/,(t - a)

coincide com o gráfico de y = f(t - a) para t a Figura 7.15.

;?:

O, mas é identicamente nulo para O ~ t < a. Veja

f(t)

(a) f(t), t ~

(b) j(t - a) <u(t - a)

deslocamento sobre o eixo t

Figura 7.15

Vimos no Teorema 7.5 que multiplicar a função .f{1) por uma exponencial resulta em uma translação da transformada F(s). No próximo teorema, veremos que, quando F(s) é multiplicada por uma função exponencial apropriada, a transformada inversa desse produto é a função transladada (6). Esse resultado é conhecido como segundo teorema de translação.

TEOREMA 7.6 Segundo Teorema de Translação Se a for uma constante positiva, então em que F(s)

= ${f(t) }

· ${/(f - a) 11/b(t - · a) } = e -as F(s),

Volume 1

Prova

Transformada de Laplace

Cap. 7

377

Da Definição 7. l , temos

$ <fl.t - a ) 15/,f,(t - a)}=

fo a J

: - s'.ftt - a) 15/,f,(t - a)dt oo

Je - '/(t -

e - 5 '.ftt - a) 6/t(t - a)dt +

...___,...

a) ú/t(t - a)dt ,,,_____

um para

zero para o$ 1<0

t "?. a

Agora, seja v = t - a, dv = dt; então !J] {j(_t

- a) 15/,f,(t - a) } =

Jo: -s(v

fo:

= e - as

EXEMPLO Calcule Solução

+ ª>J<v) dv

- svftv) dv = e - as $ (.ftt) }.

7 $ {(t - 2) 3 15/,f,(t - 2) }.

Como a = 2, segue-se do Teorema 7.6 que $((t - 2) 3 15/,f,(t - 2)} = e - 2.s $ (t 3 }

-2.s

3! -

= i._e - 2s s4

•

A transformada de Laplace da função degrau unitário pode ser encontrada através da Definição 7.1 ou do Teorema 7.6. Fazendo ftt) = l no Teorema 7.6, então ftt - a) = l, F(s) = $ { l } = l / s, e daí $ {15/,f,(t - a))

(7)

378

Cap. 7

Equações Diferencia is

EXEMPLO

Volume I

Encontre a tran sformada de Laplace da função mostrada na Figura 7.16.

Solução

Com a ajuda da função degrau unitário, podemos escrever f{I) = 2 - 3 "lt(I - 2)

+ OZt(t - 3).

Usando a linearidade e o resultado (7), encontramos !ZJ{/(1)} = ${2 } - 32J(Cllt(I - 2)} + .Qi{"lt(I - 3)}

2 s

e -2s

e-3s

•

=--3--+--·

EXEMPLO

Calcule

Solução

.Q?{sen t OZt{I - ln)}. Como a = ln, temos pelo Teorema 7 .6 .'li{sen

OZt(t - ln)}= .Q?{sen(t - ln) "lt(t - ln)}

~ sen t tem período 21tl

= e-ms {sent}. e-àcs

•

=s2+1·

EXEMPLO

Encontre a transformada de Laplace da função mostrada na Figura 7 .17 .

Solução A equação dessa reta é y = 21 - 3. Para cancelar esse gráfico no intervalo O ~ 1 < l, multiplicamos por (21 - 3) OZt(t - 1). O Teorema 7.6 não pode ser aplicado imediatamente no cálculo de ${(21 - 3) "lt(t - l) }, pois a função a ser transformada não está na forma f{t - a) OZt(t- a). Escrevemos então 21- 3 em termos de t - l, 21 - 3 = 2(1 - l) - l.

Agora estamos prontos para usar o segundo teorema de translação: $ {(21 -

3) <U(t - 1)}

= ${(2(1

- 1) - l) OZt{I - l)}

= e - s .Q? {21 - 1 }

•

Cap. 7

Volum e I

Transformada de Laplace

3 79

f(t)

(3, 3)

'' '

- 1

(1 , -1)

Figura 7.16

Figura 7.17

Forma Inversa do Segundo Teorema de Translação A forma inversa do Teorema 7.6 é f(t - a) ólt(t - a)=

em que a> Oef(t) =

EXEMPLO

[/Ç

1{e-asF(s) },

(8)

gr 1{F(s)}.

1 1 gr 1{ e - rr:s/ 2}. s2 + 9

Calcule

Solução Verificamos que a =

%e f(t)

= SlT 1{ 52

1{ [ SlT 1{ -e - rrs/ - 2 } - -SIT

- 3 = =

9 } ='

} 1 --+ 1 -

-j sen 3t. Logo, por (8) :n: J lllt ( t - 2

n/2

~ Jlllt( t - ~ J

sen 3 ( t -

l3 cos 31 iJJi .. l t

- ::.

2 .

•

Se F(s) = !li{/{t) }, então, derivando sob o si nal de integração (teorema de Leibniz), temos !!_F(s) = !!_ ds

J ~e - 5 'lJ..t)dt 0

380

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume I

J=aas o

= -

[e -"''.fit)]dr

fo:-stlj{t)dl

= - .${1./{1) };

d .${1./{1)} = - - .${./{/) }. ds

assim, Analogamente,

.${12./{1)} = .${1

1./{I)} = -

1s .${1./{I)}

d .${./{t)} ) = -d2 ${./{L) }. = - -d ( - -'-

ds2

Os dois resultados precedentes sugerem a fórmula geral para ${ tnj{t) }. TEOREMA 7.7

Derivadas de Transformadas Para n = l, 2, 3, ... , ..21{t".flt)}

EXEMPLO

= (-1)" ~ ds"

em que F(s) = ${f(t) }.

F(s),

Calcule (a) ${te 3' }, (b) $ {t sen kt }, (e) .${12 sen kt} e (d) ${ te - ' cos t }.

Solução

Usaremos os resultados (c), (d) e (e) do Teorema 7.2.

(a) Observe nesse primeiro exemplo que podemos usar também o primeiro teorema de translação. Para aplicar o Teorema 7.7, verificamos que n = 1 e./{I) = e 31 :

${te 3' } =_.E__ .${e3'} =_.E__ ( 1-) = __l _ . ds ds s - 3 (s - 3)2 d (b) ${t sen kl} = - ds .$ {sen kt } = -

! ( 2: 2) 5

2ks

Volume I

Cap. 7

Transfo rmada de Lapla ce

381

(e) Fazendo n = 2 no Teorema 7.7, essa transfo rmada pode ser escrita como d2

.${12 sen kl} = - 2 .${sen kt} ds

e daí, calculando as duas derivadas, obtemos o resultado. Alternativamente, podemos usar·o resu ltado obtido na parte (b). Como 1 2 sen kt = t(t sen kt), então d

.${12 sen k1} = - d s .!l{t se n kt} d (

= - ds

(s2

2ks ) + k 2)2 ·

~ pela parte (b) j

Derivando e simplificando, temos .${t 2

(d)

.$ (le - 1 cos1 }

ds d

.$ {e -

sen k1}

1 cos

= - ds .$ { cos 1 }s

= -

(s :

1)2 -

6ks 2 - 2k 3

(s2

+ k 2)3

t } primeiro teorema de translação

__, s + i

~/ + l )

•

1 [(s + 1)2 + 1]2 (s

7.3

EXERCÍCIOS

As res postas dos exercícios selecionados estão nas páginas 462 e 463. Nos Problemas 1-44, encontre F(s) ou/(t) como indicado . 1. $ (te 101}

2. .'B(te - 61}

3. $ {t3e - 21}

4. $( 1 1oe - 11}

5. .!8 (e 1sen 3t}

6. $ {e - 21 cos 4t }

7. $ {e 51 senh 3t }

8. ${

9. $ (t(e 1 + e 21 ) 2 }

co;~

10. ${e21 (1 - 1)2}

Equações Diferenciais

382

l l. .!li {e- 1 sen2t}

Cap. 7

Volume 1

12. .!li {e 1 cos2 3t }

13. .!l!- '{

1 } (s + 2)

14. .!li- 1 { _ 1 } (s - 1)4

15. !8 '{

1 } s2-6s+IO

16. .!li- 1{

17. .!li- 1{

s 1 + 4s + 5

19. !8 '{

s } (s + l) 2

21. .!li- 1{

2s-1} s\s + 1)

}

1 } s 2 + 2s + 5

18 .

- 1{ 2s + 5 } .!li s 2 + 6s + 34

20.

_p- 1{~} (s - 2)

2 22. .!li- '{ (s + 1) } (s + 2)4

23. .!li {(t - 1) "16(1 - 1)}

24 . .!li {e 2 -

25. .!li {t "l6(t - 2)}

26 . $ ((31 + 1) "lt(t - 3)}

27. .!li {cos 21 "l6(t - n)}

28 . .!li{ sen t "16( t -

29. .!li {(t - 1) e 1

1 6lt(t - 1) }

3h}

31. !C '{e:

33.

!& '{~} s2 + 1

35. .!li- 1{ 37. .!li {t

e -s

}

s(s + l)

COS

2t}

30. .!li {te 1 -

úli{t - 2)}

"l6(t - 5) }

{

-h,t }

32.

.!li- 1 (1 + e s + 2

34.

.!li- 1{ _se_ _} -m/2 s2 + 4

36. .!li- 1{

%)}

e -h s 2(s - 1)

}

38 . .!li {t senh 3t}

39. .!li {t 2 senht}

40. .!li {t 2 cos t }

41. .!li {te 11 sen 6t }

42. .!li {te- 31 cos 3t}

43. .!li- 1{

44.

s } (s 2 + 1)2

s+I } - 1{ .!li (s 2 + 2s + 2)2

Nos Problemas 45-50, identifique o gráfico das funções de (a)-{O. O gráfico de }{1) está representado na Figura 7 .18. (a) /(1) - f(t) "lt(t - a)

(b) f(t - b) "16(1 - b)

(e) f(t) "l6(t - a)

(d) f(t) - f(t) "l6(t - b)

Volume 1

Transformada de Laplace

Cap. 7

(0 /(1 - a) r1/b(t - a) - f(t - a) 6lt(t - b)

(e) /(1) r1/b(I - a) - /(1) r1/b(I - b)

f(t)

Figura 7.18

45.

46. /(1)

/(1)

(\ a

Figura 7. 19 47.

'' ''

Figura 7.20

48. /(1)

/(1)

~ ' '

'' '

Figura 7.21 49.

Figura 7.22

50. f(I)

f(t)

Figura 7.23

Figura 7.24

383

384

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume l

Nos Problemas 5 1-58, escreva cada função em termos de funções degrau unitário . Enco ntre a transformada de Laplace da função dada.

51. /(1)

52. f(t) =

54. f( t )

4 $ 1< 5

31t

lº

:;: : ;

o$ 1 < 2

= { I,

0$1 < 4

o $ 1 <2

o$/<

53. f(c) = { 0;

55. f(t)

o$ 1 < 3

2, - 2,

sen t,

o$ 1 < 21t

56. f( c) = { sen e,

1 ~

31t 2

1> -

21t

58.

57.

f(t) ,...-

3 f(t)

e---''

,- - - ,

e---''

'' ' a b pulso retangular

'' '

2 3 função escada

Figura 7.23

Figura 7.24

Nos Problemas 59 e 60, esboce o gráfico da função dada. 59. /(1)

:ri{

sl2 -

es~s}

z- 1{_?_ - 3e -s + 5e - 2s}

60. f(t) =

Nos Problemas 6 1-64, use o Teorema 7.7 com n = f(t) = -

.!. 1

{.E._F(s)} ds

para encontrar a transformada de Laplace inversa dada. 61.

z- 1 {1n~} s + l

63.

I{ 21t - -12s} tg

62. !C-

ln < + 1 } s- + 4

-1{ 1

64 • !C

-1-;4}

-; - cotg

Volume J

7.4

Cap. 7

Transformada de Laplace

385

TRANSFORMADA DE DERIVADAS, INTEGRAIS E FUNÇÕES PERIÓDICAS

Nosso objetivo é usar a transformada de Laplace para resolver certos tipos de equações diferenciais. Para isso, precisamos calcular quantidades co mo flJ (dy/ dt } e flJ (d 2y! dt 2 }. Por exemplo, se f' for contínua para t ;:: O, então a integração por partes proporciona !IJ{f'(t)} =

fo~e- -'1 J'(/)

= -J(O) + sf!J(j(t)}

f!J{j'(t)} = sF(s) - .f{O) .

Aqui, estamos supondo que e - 5 'i(t) ~ Oquando t ~ f/J{f"(t)} =

oo.

(1)

Analogamente,

f ~e- 51 J"(t)dt o

'l''(t)

I~ o

sJo~e- 5 'l''(t)dt

= -f'(O) + sf/J{f'(t)} = s [sF(s) - f(O)] - f'(O) f!J {j"(t)} = s 2F(s) - s.f{O) - f'(O).

(2)

Os resultados em ( 1) e (2) são casos especiais do próximo teorema, que fornece a transformada de Laplace da n-ésima derivada def. A prova será omitida. TEOREMA 7.8 Transformada de uma Derivada Se ft.t), f'(t), ... , fn - 1l(1) forem contínuas em [O, oo), de ordem exponencial, e se contínua por partes em [O, oo ), então JB{fnl(t)}

emqueF(s) = ${/{t)}.

= snF(s)

- sn - 1.1{0) - sn - 2/'(0) - ... - fn - 1)(0),

fn>(t) for

386

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume l

EXEMPLO Observe que a soma kt cos kt + sen kt é a derivada de t sen kt. Então, .$ (kt cos kt

+ sen kt }

2{ ;

1 (t

sen kt)}

= s .$ {t sen kt }

~---p_o_r_l_~ ~ pel o teorema 7.7j

• Convolução Se as funçõ es/ e g forem contínuas por partes em [O, oo), então a convolução de/ e g, denotada por f * g, é dada pela integral f* g = rf(r)g(t - r) dr.

Deixamos como exercício mostrar que ;Jtr)g(t - r) dr = ;fi.t - r)g(r) dr; isto é, f*g = g*f

Veja o Problema 29. Isso significa que a convolução de duas funções é comutativa.

EXEMPLO

A convolução de fi.t) = e' e g(t) = sen t é

sen t =

J er 1

sen(t - r) dr

(3)

l = 2(-sen t - cos t +e') .

(4)

• É possível calcular a transformada de Laplace da convolução de duas funções, como em (3), sem precisar resolver a integral como fizemos em (4). O resultado que segue é conhecido como teorema de convolução.

Volume l

Teorema de Convolução Sejamf(t) e g(t) funções contínuas por partes em [O,

Cap. 7

Transformada de Lapla ce

387

TEOREMA 7.9

9J{f

Prova

~)e

de ordem exponencial; então,

* g} = 9J {f(t) }${g(t)} = F(s)G(s).

Seja F(s) = 9J{f(t)} =

f ~e - 5 'f(r)dr o

G(s)

= 9J{g(t) } = f ~e - sf3g(j)) d,B. o

Procedendo formalmente, temos F(s)G(s) =

Fixando 'te fazendo t

= r + ,B,

(f0~e - srftr)dr) (f0~e - sf3g(j))d,B)

fo~fo~e-s(r

fttr)dr f ~e - s(r o o

+ f3lj(r)g(/))drdf3

+{3)

g(/))d,B.

= d ,B, temos que

F(s)G(s) =

foflr)dr f~e( - 51g(t

- r)dt.

No plano t r, estamos integrando sobre a região sombreada da Figura 7.27 . Como f e g são contínuas por partes em [O, oo) e de ordem exponencial, podemos inverter a ordem de integração: 't=t

t: 'ta

Figura 7.27

t: O a t

388

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume l

F(s)G(s) =

J ~e - 51 dt

f flr)g(t - r)dr.

Quando g(t) = l e G(s) = l / s, o teorema da convolução implica que a transformada de Laplace da integral de uma função fé (5)

EXEMPLO

..21{

Calcule

(e'

sen(t - r) dr} .

Solução Com fit) = e 1 e g(t) = sen t, o teorema da convolução diz que a transformada de Laplace da convolução de f e g é o produto de suas transformadas:

..21{

(e'

sen(t - r )dr} = .21{e1 } x .21{sen t} 1

=--x-2--= s - 1 s + 1 (s - l)(s 2 -

•

Forma Inversa do Teorema da Convolução O teorema da convolução é algumas vezes útil no cálculo da transformada de Laplace inversa de um produto de duas tran sformadas. Pelo Teorema 7.9, temos

(6) EXEMPLO Calcule

.!.r i{ "

(s -

}

l )(s + 4) ·

Volume 1

Solução

Cap. 7

Transformada de Laplace

389

Podemos usar frações parciais, mas verificamos que 1 F(5) = - 5 - l

l G(5) = - - .

+ 4

logo, Conseqüentemente, por (6) obtemos 9T

1 } = J'.f(r)g(I - r)dr = J'ere - 4 (i (5 - 1)(5 + 4) o o

Jo e Sr

r)dr

= e - 41

l =e - 41 -e

Sr \/

• E X E M PLO

Calcule

1 F(s) = G(s) = - 52 + k 2

Solução Seja

k k 2 } = _!_ ./(!) = g(t) = k1 9T 1 { 52 + k sen kt .

assim

Nesse caso, podemos concluir de (6) que 9T

1{ 2 1 22} = ~ (5 + k ) k

r o

sen k r sen k(t - r) dr.

Agora, temos as seguintes igualdades trigonométricas cos(A

+ B) = cos A cos B - sen A sen B

cos(A - B) = cos A cos B

+ sen

A sen B.

(7)

39V

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volum e l

Subtraindo a primeira da seg unda, obtemos a identidade sen A sen B =

[cos(A - B) - cos(A + B)].

Faze ndo A = k r e B = k(t - r), podemos calcular a integral em (7):

.Qr

1{ 2 1 22} = ~ (s + k ) 2k

r o

[cos k(2r - t) - cos kt l dr

= 2kl 2 [ 2lk sen k(2r - t) - r cos kt ] ;

sen kt - kt cos kt 2k 3

•

Transformada de uma Função Periód ica Se uma funç ão f periódica tem período T, T > O, então sua transfo rmada de Laplace pode ser obtida por uma integração sobre o intervalo [O, T ]. TEOREMA 7 .1 O Transformada de uma Função Periódica Sejafi:t) contínua por partes em (0, oo) e de ordem exponenqial. Se f(t) for periódica de período T, então T

9J{j{t)}

1 -sT

1 - e

e -s'ft.t ) d t.

Prova Escreva a tran sfo rmada de Laplace como duas integrais: 21 {/(t)} =

T e -s'J(t)dt+

e -s'f(t)dt.

Quando fazemos t = u + T, a última integral em (9) toma-se

f ~e-s'J(t)

= ~e-s(u

+ T)f(u

+ T)du

= e-sT ~e-s''f(u) du = e-sT 21 {/(t) }. O

Logo, a igualdade (9) é T

21 {/(t)} =

Jo e-s'ft.t) dt + e -sT 21{/(t) }.

(9)

Volume 1

Cap. 7

Transformada de Laplace

391

Explicitando $ (j(I) } na equação acima, obtemos o resultado:

$ (f(1)}

EXEMPLO

[ -sT JTe- .1(1) dl. 5

l - e

Encontre a transformada de Laplace da função periódica representada pelo gráfico da Figura 7.28

Solução

No intervalo O

$ 1

< 2, a função pode ser definida por f(t) = {

e fora do intervalo por f(1 + 2) obter P (f(t)}

= f(t).

Como T

t < l

$ 1

= 2,

< 2

usamos (8) e integração por partes para

( 10)

l [ e -s - --+ - e - 2s s

(li)

1 ----~?~s l - e -

+ l)e -s

- (s

s 2 (1

2e -s1(1)dt

•

- e -2s )

f(t)

Figura 7.28

O resultado em (11) do Exemplo 6 pode ser obtido sem calcular a integral se fizermos uso do segundo teorema de translação. Se definirmos

g(I)

= { O,

0$t < t ::'.'. 1,

392

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume 1

então f(t) = g(t) no intervalo [O, T], em que T = 2. Mas podemos expressa r g em termos de funções degrau unitário como g(t) = 1 - t ó/,t.(t -

t - (t - l) ólt(t - l) - 61.t(r - 1) .

Com isso, (LO) pode ser esc rita como !l! {f(t)} = 1 - e - 2s !l! (g(t)} l e- 2 s !l!( t - (t - 1) ó/,t.(t - 1) - ólt(t - 1)}

Verifica-se facilmente que a ex pressão entre colchetes é idêntica a ( l I ) .

7.4

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 463 e 464. l. Use o resultado (dl dt)e' =e' e (1) desta seção para calcular $(e 1

2. Use o resultado (d/ dt) cos2 t = -sen 21 e (1) desta seção para calcular $ (cos2 r }. Nos Problemas 3 e 4, suponha que uma função y(t) tenha a propriedade y(O) = 1 e y (O) = - 1. Encontre a transformada de Laplace da expressão dada. 3. y" + 3y'

4. y" - 4y' + Sy

Nos Problemas 5 e 6, suponha que uma função tenha a propriedade y(O) = 2 e y'(O) = 3. Encontre a transformada de Laplace de y(t), supondo que a fun ção y(t) satisfaça a igualdade indicada. 5. y" - 2y' + y

6. y" + y = 1

Nos Problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral. 7. !l? {(e'dr}

9. $ {

11. $

f>-

{f:

r cos r dr }

re 1

r dr}

8. $ { ( cosrdr}

10. $ { ( r sen r dr }

12. $ { ( sen r cos(t - r) dr }

Volume 1

13. $ { t (

Cap. 7

Transformada de Laplace

393

sen r d r }

15. $ (1 * /)}

16. .'l' { 1

17. $ (1 2 * I~}

18. !&{1 2

19 . .P {e- 1 *e'

Nos Problemas 21 e 22, suponha !tfunção dada.

1{F(s)}

=/(1).

21. - 1 -F(s)

•

sen t}

Encontre a tran sformada de Laplace inversa da

22. -

s + 5

te'}

•

20. ${e 2'

COSI}

e - 21 }

5-F(s)

s2 + 4

Nos Problemas 23-28, use (6) para encontrar f(t). 23.

$-1{s(s ~ !)}

25. gr

24. 21- 1{

1 s(s 2

}

+ 1)

26.

+ 1)l(s - 2)}

27.

28. 21-

(s 2

+ 5)2

}

29. Prove a propriedade comutati va da convolução f * g = g * f 30. Prove a propriedade distributiva da convolução/* (g + h) = f* g + f* h .

Nos Problemas 3 1-38, use o Teorema 7. 10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. 32.

31.

/(1) .------,

a: -1

2a:

....-

j(t)

...-----,

.''

.. ''

função meandro

onda quadrada

Figura 7.29

Figura 7.30

394

Cap. 7

Equações Diferenciais

Volume l

34.

33. /(1)

/(1)

função dente de serra

onda triangular

Figura 7.31

Figura 7.32

36.

35.

27t

7.5

211)

47t

onda senoidal semi-retificada

Figura 7.33

Figura 7.34 38. /(1) = cos 1

37. /(1) = sen 1 /(1

37t

onda senoida l retificada

= /(1)

f(l + 2Jr) = /(1)

APLICAÇÕES

Como .2? (y (n)(t) }, n > l depende de y(t) e de suas n - 1 derivadas no ponto t = O, a transformada de Laplace é apropriada para problemas lineares de valor inicial com coeficientes constantes. Esse tipo de equação diferencial pode ser reduzida a uma equação algébrica na função transformada Y(s). Para ver isso, cons idere o problema de valor inicial a,.

dt 11

y(O)

+ a,. _

= Yo,

d" - 1y 1 --dt 11 - 1

y'(O)

+ ... +

= y', ... , y (n

ª 1 dt

1)(0)

+ ªoY = g(t)

= YÓ" -

1),

em que a;, i = O, 1, ... , n e Yo. lo . ... , yJ" - I) são constantes. Pela propriedade de linearidade da transformada de Laplace, podemos escrever,

ªn

.21

+a,, - .21 {~} + ... + ªº .2?{y } {!!.!2} dt" dt" 1

Pelo Teorema 7.8, ( 1) toma-se a11 [s"Y(s) - s" -

1 y(O)

- ... -

y< 11

1l(O)]

.21{g(t)}.

(1)

a,, _

1 [s"

1 Y(s)

- s" -

2y(O)

- .. . -

Transformada de Laplace

Cap. 7

Volume l

+ ... + aoY(s) = G(s)

2 \0) ]

11 -

395

ou [an s

+ a,, - 1s -

+ ... + aoJY(s) = +

em que Y(s) = ${y(t)} e G(s) da transformada inversa

ª" [s n

- 1

ª" -

[

(11 - 1)

yo + ... Yo

(11 - 2) ]

li -

Yo + ... + Yo

= ${g(t) }. Explicitando

+ .. . G(s),

(2)

Y(s) em (2), encontramos y(t) através

y(t) = 9T 1{ Y(s)}.

O procedimento está esquematizado na Figura 7.35. Observe que esse método incorpora as condições iniciais prescritas diretamente na solução. Portanto, não há necessidade de operações separadas para determinar constantes na solução geral da equação diferencial. equação

Figura 7.35

EXEMPLO Resolva

Ex_ dt

3y =

e 21

y(O) = !.

Solução Calculamos primeiramente a transformada de cada membro da equação diferencial dada:

${ ~} - 3${y} = ${e 21 }. Daí, ${dyl dt} = sY(s) - y(O) = sY(s) - 1e ${e 21 Resolvendo

sY(s) -

} = ll(s -

1 1 - 3Y(s) = - -

s - 2

2).

396

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume l

Y(s) =

obtemos

s - 1 (s - 2)(s - 3)

Usando frações parciais: s - l A B -----=--+--, (s - 2)(s - 3) s - 2 s - 3

o que implica

s -

l = A(s - 3) + B(s - 2).

Fazendo s = 2 e s = 3 na última equação, concluímos que A Conseqüentemente, Y(s) =

y(t) =

- l

leB

= 2, respectivamente.

--+-s - 2 s - 3

-2-l{_l_} 22- 1{_!_}· +

s - 2

s - 3

Pela parte (c) do Teorema 7.3 , segue-se que y(t) = -e21

EXEMPLO

•

+ 2e31_

Resolva y" - 6y' + 9y

= t 2e 31,

Solução

2 {y"} - 62 {y '} + 92{y} = 2 {t 2e31}

y(O)

= 2,

rY(s) - sy(O) - y(O) - 6[sY(s) - y(O)]

y'(O)

+ 9Y(s)

= 6.

2 (s - 3)

Usando as condições iniciais e simplificando, temos (s 2 - 6s

9)Y(s) = 2s - 6

(s - 3) 2 Y(s) = 2(s - 3)

2 (s - 3)

2 2 + --s - 3 (s - 3)5

Y(s) = - -

Cap. 7

Volume I

y(t) =

assim,

Transformada de Laplace

397

2g;l{_J_} l g; l{_4_!_} · +

s - 3

(s - 3)5

Pelo primeiro teorema de translação, concluímos que

g;l{4!1

}=t4e3'_

sss-->s - 3

•

Portanto,

-------------------------E XEM PLO Resolva

y" + 4y' + 6y = 1 + e- 1,

Solução

- - - - -- -

3 y(O) =O,

y'(O) =O.

2?{y" }+ 4.Q?{y' }+ 6.Q?{y} = ..'F{l }+ .Q?(e- 1

}

51 Y(s) - sy(O) - y'(O) + 4[5Y(5) - y(O)] + 6Y(s) = _!_ + - 1 s s + 1 ?

(s-

+ 45 + 6)Y(s)

2s + 1 s(5 + 1)

= ---

2s + Y( 5) = 5(s + l)(s 2 + 45 + 6) Por frações parciais 25 + 1

s(s + 1)(5 2 + 45 + 6) =

~ + :;-+] +

Cs + D 5 2 + 4s + 6 '

o que implica 2s + 1 = A(s + l)(s 2 + 45 + 6) + Bs(5 1 + 4s + 6) + (C5 + D)s(5 + 1). Fazendo 5 = O e s = - 1, concluímos, respectivamente, que A Igualando os coeficientes de s 3 e s, obtemos A+B+C=O IOA + 68 + D = 2,

daí segue-se que C = - 112 e D = - 5/3 . Logo, Y(s) = 116 + ~ + -5/2 - 513 5 5 + 1 5 2 + 4s + 6

= 1/6

e B = 1/3.

398

Cap. 7

Equações Diferenciais

Volume l

l/6 = --

1/6 = --

1/3

(- l /2)(s + 2) - 2/3

1/3

+ -- + -------s + l (s + 2) 2 + 2 s + 2

+ - - - - ----,-s + l 2 (s + 2) 2 + 2

2 3 (s

2) 2

Finalmente, pelas partes (a) e (c) do Teorema 7.3 e pelo primeiro teorema de translação concluímos y(i) =.!.!ri{.!.}+.!. 6 s 3

2 3{2 g;

1 6

J{ (s

. 'lf -1{_1_}. 'lf -1{(s +s 2)+ 2+ 2 } s + 1 2 _!_

+ 2) 2 + 2

l - 1+ - -l e 3 2

= - + - e

EXEMPLO

}

r;;-:{f cos -v2t - - e 3

r;;-" sen v2 1.

•

Resolva

+ 16x = cos 41,

x(O)

= O,

x'(O)

= 1.

Solução Lembre-se de que o problema de valor inicial pode descrever o movimento forçado, sem amortecimento e ressonante de uma massa em uma mola. A massa parte com velocidade inicial de l unidade de comprimento por segundo para baixo a partir da posição de equilíbrio. Transformando a equação, temos

(s 2 + 16)X(s) = x(s) - __s__ +

+ s 2 + 16

- s 2 + 16 (s 2 + 16) Com a ajuda da parte (d) do Teorema 7.3 e do Teorema 7.7, encontramos x(t) = -l flr

J{ -2 -4 -} + -1 [{; J{ s

+ 16

8s } (s 2 + 16)2

•

= .!. sen 41 + .!. t sen 41. 4

E X E M .P LO Resolva

5 x" + l6x = j(I),

x(O) =

x'(O) = l,

Volum e I

em qu e

f(t) = {

Cap. 7

cos 41,

t <

Transformada de Laplace

399

.7r

Solução A funçãoflt) pode ser interpretada como uma força externa agindo sobre um sistema mecânico por um curto período de tempo e que depois é removida. Veja a Figura 7.36. Embora esse problema possa ser resolvido pelos métodos co nvencionais, o procedimento não é definitivamente conveniente quandoflt) é definida por partes. Com a ajuda de (2) e (3) da Seção 7.3 e da periodicidade do co-seno, podemos reesc reve r f em termos da função degrau unitário como flt) = cos 4t - cos 41 Jlt(I - .ir) = cos 41 - cos 4 (t - n) ólt(1 - .ir).

O segundo teorema de translação proporciona ffi' (x"} + 162l (x} = ffi' (flt)} s 2X(s) - sx(O) - x'(O)

(s 2

16X(s) = __ s_ - __ s _ e -:n:s s2 + 16 s 2 + 16

+ l6)X(s)

= 1

s - - - -s - e - :n:s + -s 2 + 16 s 2 + 16'

+ - -5- (s 2 + 16)2

X(s) = - - - s 2 + 16

_ _s_ _ e - :n:' (s 2 + 16)2

Pela parte (b) do Exemplo 12 da Seção 7.3 (co m k = 4), juntamente com (8) desta seção, obtemos x(t) =

2 - '{ s 2 : 16} +

_ _!_ .!l' '{

(s-

sen 41 +

16)2

2 - '{ (s 2 !s 16)2

}

e-:n:s}

t sen 41 -

(1 - .ir) sen 4(t - .ir) últ(t - .ir).

A solução encontrada é a mesma que

x(t) =

_!_ sen 4t + _!_ 1 sen 41,

o~ 1

2 + 8

.7r

sen 41,

.7r

Observe no gráfico de x(t) na Figura 7.37 que a amplitude de vibração se torna estacionária tão logo a força é retirada.

400

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume 1

x(t)

f(t)

-1

- 1

Figura 7.36

EXEMPLO

•

Figura 7.37

6 y" + 2y

Resolva em que

+ y = f(t) ,

x(O) = O,

f(t) = "lt(t - 1) - 2"lt(t - 2)

y'(O) =

+ "lt(t - 3).

Solução Pelo segundo teorema de translação e algumas simplificações, a transformada da equação diferencial é e-s e -2s e -3s (s + 1)2 Y(s) = - 2 -- + --

e-s

Y(s) =

s(s

- 2 1)2

e s(s

- 3s

- 2s

1)2

+ _.:..e_ _ s(s + 1)2

Com a ajuda de frações parciais, a última equação torna-se Y(s) =

[_!_ - _l_ + 1 s

l (s

+ [ -; - ~ -

2[_!_ - _l_ + l

Je -s -

+ 1)2 (s

l ] + 1)2 e

1 (s

?Je-2s

+ 1)-

Novamente, usando a forma inversa do segundo teorema de translação, encontramos y(t) = [l - e - Ct-l)_(l-l)e - (t - l)J "lt(t- J)-2[l-e -(r- 2 >-(1-2)e-C1 - 2 >] 02t(1-2)

+ (J

-e - (1 -

3)_(1-3)e -C1- 3)] "lt(t-3).

•

Equação Integral de Volterra O teorema da convol ução é útil para resolver outros tipos de equações em que uma função não conhecida aparece sob um sinal de integração. No próximo exemplo, resolveremos uma equação integral de Volterra.

Volume 1

/f..t) = g(t)

Cap. 7

Transformada de Laplace

401

+ J'/f..r) h(t - r) dr o

para/f..1). As funções g(I) eh(t) são conhecidas. - - - - - - - - --

EXEMPLO

7 1

JT..1) = 31 2 - e -

Resolva

1 -

J JT..r)e

1 -

'd r

para .f{t) .

Solução

Segue-se do Teorema 7.9 que .P{f(I)} = 3${1 2 }- $ {e- 1 } - ${/í..1 )} ${e 1

F(s) = 3 x -

}

l 1 - - - - F(s) x - s + 1 s - 1

1 - _ l_ ( 1 + -s - -1) F(s) = _.§._ s3 s + 1

- - F(s) = - -s - l s3 s + l F(s) =

6(s -

s - l - ---

s(s

6 6 l 2 =---+---- . s3 s4 s s + 1

<=i

frações parciais

Portanto, .f{I} =

3ff 1 {:~ } - ff 1 {:~} + ff 1 {~} - 2ff'{s ~ I}

= 3et 2 - 1 3 + 1 - 2e -

•

Circuitos em Série Em um circuito em série, a seg unda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão em um indutor, resistor e capacitar é igual à voltagem impressa E(t). Sabemos que a queda de tensão ' do m . d utor atraves

di ' do res1stor . dt • atraves = R 1"(t ) ,

402

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume 1

edocapacitor =

i(r)dr,

em que i(I), é a corrente e L, R e C são constantes. Veja a Seção 1.2. Segue-se que a corrente em um circuito como o representado na Figura 7 .38, satisfaz a equação íntegro-diferencial

~!+Ri+~ (i(r)dr = E(t).

(3)

-- --------------EXEMPLO

Determine a corrente i(t) em um circuito em série L-R-C quando L = O, 1 henry, R = 20 ohms, C = 1o- 3 farad, i(O) = O e a voltagem impressa E(1) é como a dada na Figura 7.39.

Solução

Como a voltagem está desligada para

1 ~

1, podemos escrever

E(1) = 1201 - 1201 0Zt(1 - 1) .

(4)

Mas, para usarmos o segundo teorema de translação, devemos reescrever (4) como E(1) = 1201 - 120(1 - 1) 0Zt(1 - 1) - 120 0Zt(1 - 1).

A equação (3) então torna-se 0, 1 ddi + 20i + 103 ri(r) dr= 1201 - 120(1 - 1) lllb(I - 1) - 120 "k\I - 1).

(5)

Agora, pelo Teorema 7 .9, 2J

{I i(r)dr I

}

/(s) = - 5- ,

em que /(s) = I/J{ i(I) }. Logo, a transformada da equação (5) é O,lsl(s)

1 + 20/(s) + 103 -l(s) = 120 [ 21 - 2e-s - -1 e -s ] s

ou, após multiplicar por !Os,

(s + 100)2 /(s) = 1200[ ~ -

/(s) = 1200[

~e -s l

s(s + 100)2

- e-s ]

s(s + 100)2

e- s -

(s + 100)2 e

-s ] ·

Volume I

Cap. 7

1201

120

.JOJ

E(1)

Tran sf o rmada d e Laplace

J e Figu ra 7. 39

Figura 7.38

Usando frações parciais, podemos escrevei l (s) = 1200 [ 1110.000 _ 1110.000 _ 11100 _ 11 10.000 e - s s s + 100 (s + 100)2 s

- ÇJ

1110.000 - s l / 100 - s 1 + s+ 100 e + (s+ 100)2 e - (s+ 100)2 e . · Empregando a forma inversa do segundo teorema de translação, obtemos i(t)

= _l_[l 25

- lii.t(t -

l)] -_l_[e - 1001 -

e l00(1 -

ll'U(t - l)]

- l2te - 1001 - 1188(1 - l)e - lOO(i - l) 02t(t - 1).

EXEMPLO

•

A equação diferencia l para a corrente i(t) em um circuito em série L-R é L

~; +

(6)

Ri = E(t).

Determi ne a corrente i(t) quando i(O) = O e E(t) é a função representada na Figura 7.40. E(t)

:-i '

Figura 7.40

Solução A transformada de Lap lace da equação é Lsl(s) + Rl(s) = !B{E(t) }.

Como E(t) é periódica com período T = 2, usamos (8) da Seção 7.4:

(7)

404

Cap. 7

Equações Diferenciais

Volume I

9-i{E(t) }

---=- J - e - 2s

e - '1J(t)dt

/' ç:i 1 -

s( l + e -

e" =( I +e')( ! - e' ) 1

Portanto, de (7) concluímos que l/ L /(s) = - - - - - - s(s + RI L)(I + e- 5 )

(8)

Para encontrar a transformada de Laplace inversa dessa função, usamos primeiramente uma série geométrica. Lembre-se de que, para Lxl < l,

[ +

l - x + x 2 - x 3 + ....

Substituindo x por e - ', s > O, temos, 1

+ e- s

=l -e - s+e-2•-e - 3s + ....

Escrevendo ----s(s + RI L)

LIR LIR - -- - - - s + RI L s

(8) torna-se

J(s) =

l(.!. R

l J(l - e - s + e - 2s -

s + RI L

e-3s + .. . )

Empregando a forma inversa do segundo teorema de translação em cada termo de ambas as séries, obtemos i(t) =

(l - Olb(t - l) + Cilb(t - 2) - Cilb(I - 3) + ... )

Volume /

Cap. 7

Transformada de Laplace

405

- i<e - R1/ L_e - R(1 - l )IL 0Zt(t- l)+ e - R(1-2)/ L 6lt(t-2)-e - R(1 -3 )/ L OZt(t-3)+ ... )

ou de ma ne ira eq ui valente i(t) = _!_(l - e-Rt/ L) R

+ _!_

°"'

R L,.,

•

(- l t(l - e - R(1 - n)I L)ó/t(t - n).

n= I

Para interpretar a so lução do Exemplo 9, vamos supor, apenas para iluslrar, que R = 1, L = 1 e O :::; t < 4. Nesse caso, i(t)= l - e-1- (1- e 1 -

1) 6lt(t -

! ) + (1- e-<1- 2

6lt(t - 2)- (1- e-<i - 3

6lt(t - 3);

em o utras palavras, l - ei(t) =

-e-1

o:::;

e - <1 - I>,

l _ e - 1 + e - (1 -

t < 1

1 :::; t < 2 1) _ e -

(1 - 2>,

2:::; t < 3

- e-1 + e-<1 - 1) _ e-<1 - 2) + e - <1 - 3>,

3:::; t < 4.

O gráfico de i(t) no interv al o [O, 4] está representado na Figura 7.41 .

Figura 7.41

Vigas No Exemplo 9 da Seção 1.2, vimos que a deflexão estática y(x) de uma viga uniforme de comprimento L s uportando uma carga w(x) por unid ade de comprimento sati sfaz a eq uação de quarta ordem

El ~ = w(x), dx 4

(9)

em que E é o módulo de elasticidade de Young e I é um momento de inércia de uma seção transversa l da viga. Para aplicar a transformad a de Laplace à equação (9), supomos que w(x) e y(x) estão definidos em (O, =)e não só em (O, L). Note també m que o próximo exemplo é mais um problema de valor de contorno do que um problema de valor inicial.

406

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap. 7

Volume 1

1 0

Uma viga de comprimento L está fixa em ambos os extremos (engastada). Veja a Figura 7 .42. Nesse caso, a deflexão y(x) satisfaz (9) e as condições

y(O) = O,

y(L) = O,

y'(O) = O

y'(L) = O.

As duas primeiras condições indicam que não há deflexão vertical nas extremidades; as outras duas significam que a linha de deflexão é horizontal nos extremos. Encontre a deflex ão da viga quando uma carga constante wO está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento, isto é, quando w(x) = wo, O < x < L.

J:_~l_ """" ~ ~~~~;

Figura 7.42

Solução

A transformada de Laplace da equação (9) é El(s 4 Y(s) - s 3y(O) - s 2y'(O) - sy"(O) - y"'(O)) = wo

s 4 Y(s) - sy"(O) - y"'(O) = ~ · Eis

Se c1 = y"(O) e c2 = y"'(O), então c1

Y(s) = s3

e conseqüentemente

= .:_i_ y () X 21

= Pelas condições dadas , y(L)

ar i{li_} + s 3

.;v

e, 2 + 6

E!s 5

,-- i{ll_} s 4

.z;-

+ 24E/

4 X

= O e y'(L) = O, a última equação conduz ao sistema

c 1L+2L

Resolvendo, encontramos c1

wo 3 + 6 E I L =0.

= woL 21 12El e c2 = - woLl2El . Logo, a deflexão é dada por

woL 2 2 y(x) = 24El x -

woL 3 12EI x

+ 24E/ x = 24El x (x - L) ·

•

Volume 1

Cap. 7

Transformada de Laplace

407

EXERCÍCIOS

7.5

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 464 e 465. Uma tabela das transformadas de a lgumas funções básicas aparece no Apêndice ll. Nos Problemas 1-26, use a tran sformada de Laplace para resolver a equação difere nc ial dada suj ei ta às condi ções iniciais indi cadas. Quando apro priado, escreva f e m termos de funções degrau unitá ri o. dy l. d 1

y = 1,

y(O) = O

= e- 41 ,

3. y' + 4y

= 1,

y(O)

5. y" + 5y' + 4y = O,

y(O)

y'(O} = O

l2. y" + 16y = 1,

y(O)

y'(O) = 4

=O,

y(O) = l,

y'(O) = 2

y'(O) = - 1

13. y"-y'=e 1 cos1, = O,

14. y" - 2y' = e 1 senh l,

y(O}

= O,

y'(O) = O

IS. 2y"' + 3y" - 3y' - 2y = e- 1, = O.

y'(O) = O,

17. y< 4 l_ y =O,

19. y' + y

= fi.1),

º·5,

21. y' + 2y

y"(O) = 1

y(O} = 1,

y"(O) = - 1,

= O,

= {

1 3,

LO. y" - 2y' + 5y = 1 + t ,

y(O)

y'(O) = O

= 1,

y(O)

y'(O) = -3

= 1,

y'(O) = 1

ll. y" + y = sen 1,

y(O) = O

8. y" - 4y' + 4y =

y(O)

9. y" - 4y' + 4y = 13 e 21 ,

y(O) = - 1

6. y" - 6y' + 13y = O,

y(O)

=O,

7. y" - 6y' + 9y = t ,

= O,

+ 2y =

4. y' - y = sen t ,

y'(O) =O

= O,

y'(O)

y"'(O) = O

e m que fl..1) 1

t ;:: 1

= fl.t),

em que fl..t)

O'.>t<

1 ;:: 1

y(O) = O

y(O)

l6. y'"

y'(O) = O

+ 2y" - y' - 2y = sen 31 ,

= O.

y'(O} = O,

18. y C4 l _ y = = O,

= fl. t} ,

l, -1,

t;:: l

y'(O)

y"'(O) = O

e m que fl..t)

o$1 <

y(O)

y"(O) = l

y(O) = O,

y"(O) = O,

20. y' + y = {

y(O)

y(O) = O

22. y" + 4y = fl.t) , e m que fl..1) = { 1, O $ t < l 1 ;:: l

º·

y(O) = O,

y'(O) = - 1

408

Cap. 7

Eqt1ações Diferencia is

23. y" + 4y = sen t "lt(t - 2Jt),

= !,

Volt1me 1

24. y" - 5y'

y(O)

y'(O) = O

=O,

25. ;:::fl.t), em quefl.1)

1~:

= iJ/l,(t -

!),

y(O)

y'(O) = 1

.7l'

.7l'$t<2Jt t

+ 6y

y(O)

= O,

y'(O)

2: 2Jt

26. y" + 4y' + 3y = l - 6lt(t - 2) - 6lt(t - 4) + 6lt(t - 6); y(O) = O,

y'(O) = O

Nos Problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. 27. y" + 2y' + y = O, = 2,

28. y" - 9y' + 20y = 1,

y'(O)

y(l) = 2

y'(l) =

=O,

y(O)

Nos Problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. (

29. fl.t) +

(

J (t -

J sen rfi.t -

30. fl.t) = 21 - 4

r)j{r)dr = t (

31. fl.t) =te'+

J rfi.t -

r)dr

(

r)dr

32. f{t)

J f{r)

cos(t - r) dr

= 4e _ , + sen t

(

33. j{t)

(

J fl.r)dr = l

34. fl.t) =cos i+

(

35. fl.t) = l + t -

37. y'(t)

~ J f{r

(

- 1)3j{r)dr

36. t - 2j{t) =

(er - e-r)f(t - r)dr

38. !!1. dt + 6y(t) +

1 - sen t

- J y(r)dr,

e - rfl.t - r)dr

y(O)

+ 9

J y(r) dr = 1, o

y(O) = O

39. Use a equação (3) para determinar a corrente i(t) em um circuito em série L-R-C quando L = 0,005henry, R = 1 ohm, C = 0,02farad, E(t) = 100[1 - <Vt(t - !)] volts e i(O) =O.

40. Resolva o Problema 39 quando E(I)

= 100 [1

- (1 - l) "lt(t - 1)] .

41. Lembre-se de que a equação diferencial para a carga q(t) em um capacitor em um circuito em série R - C é R

da 1 = +dt e

= E(t) ·

Volume I

Cap. 7

Tran sfo rmada de Laplace

409

em que E(t ) é a voltagem impressa. Veja a Seção 3.2. Use a tran sformada de Laplace para determinar a carga q(t) quando q(O) = O e E(t) = Eoe - kt, k > O. Considere dois casos : k to liRC e k = L/ RC.

42. Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuit o em série R-C se q(O ) = %· R = LO ohm s, C = O, 1 farad e E(t) é a voltagem dada na Figura 7.43. 43. Use a transformada de Lapl ace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se q(O) = O, R = 2,5 ohms, C = 0,08 farad e E(t) é a vol tagem dada na Figura 7.44. E(t)

E(t)

.---'' 30 t ,5

Figura 7.43

Figura 7.44

44. Use a transformada de Laplace para determinar a carga q(t) no capacitor em um circuito em série R-C quando q(O) = O, R = 50 ohms, C = 0.01 farad e E(t) é a voltagem dada na Figura 7.45.

45. Use a transformada para determinar a co rre nt e i(t) em um ci rcuito e m sé rie L-R qu a ndo i(O) = O, L = 1 henry, R = LO ohms e E(t) é a voltagem dada na Figura 7.46. E(t)

E(t)

sen t, O::; t < 3n/2

31'

-1

Figura 7.45

Figura 7.46

46. Resolva a equação (6) sujeita a i(O) Veja o Probl ema 3 1, Exercício 7.4.]

= O,

em queE(t ) é a voltagem dada na Figura 7.47. [Sugestão:

47. Resolva a equação (6) sujeita a i(O) = O, em que E(t) é a voltagem dada na Figura 7.48. Especifique a solução para O ::; 1 < 2. [Sugestão: Veja o Problema 33, Exercício 7.4] E(t)

.--. '

,..-

' '

1: 2: 3: 4: -1

'' - - ''

' - - '' '

Figura 7.47

E(t:i 1

~ ~ ~ ~

~ Figura 7.48

410

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume l

48. Lembre-se de que a eq uação diferencia l para a carga instantânea q(t) no capaci tar em um circuito em

série L-C- R é dada por d2 d + R !!!J.. + -1 q = E(t). dt 2 dr e

( 10)

L !!__!L

Veja a Seção 5.4. Use a transformada de Laplace para determinar q(t) quando L = l henry, R = 20 ohms, C = 0,005 farad, E( t) = 150 volts, t > O, e q(O) = O, i(O) = O. Qual é a corrente i(t)? Qual é a carga q(t) se a mes ma voltagem constante es ti ver desli gada em t ;:>: 2? 49. Determine a carga q(t) e a corrente i(t) cm um circu it o em série no qual L = l henry, R = 20 ohms, C = 0,01 farad, E(t) = 120 sen 101 volts, q(O) = O e i(O) = O. Qual é a corrente estacionária?

50. Considere a bateria de voltagem constante Eo que carrega o capac itor representada na Figura 7.49. Se di vidirmos por L e definirmos À = R/ 2L e w 2 = l/LC, então ( 10) torna-se d2

~ +

<!!J.. > Eo c11 + w -q = T.

Use a transformada de Laplace para mostrar que a so lução dessa equação, suj eita a q(O) = O e i(O) = O, é

q(l)

À=

À< w .

51. Use a transformada de Laplace para determinar a carga q(t) no capacitor em um circuito em série L-C quando q(O ) = O, i(O) = O e E(t) = Eoe - k' , k > O.

52. Um peso de 4 kg distende uma mola em 2 cm. O peso é solto na posição de equilíbrio a partir do repou so. Deterrnine a eq uação de movimento se urna força externa j(t) = sen t age sobre o sistema durante O ::; t < 2n: e então é removida. Ignore qualqu er amortecimento. [Sugestão: Escreva a força externa impressa em termos de funç ão degrau unitário .]

53. Um peso de 4 kg distende uma mola em 2 cm. O peso é solto a partir do repou so a 18 cm acima da posição de equilíbrio. O movimento resultante tem lugar em um meio que oferece urna força de amortecimento numericamente igual a 7 /8 da velocidade instantânea do corpo. Use a transformada de Laplace para determinar a equação de movimento.

Cap. 7

Volume l

Transformada de Laplace

411

54. Um peso de 1 kg é atado a uma mola de constante elástica k = 4,5 N/m. Começando em / = O, uma força igual afi.1) = 4 sen 31 + 2 cos31 age so br e o s iste ma . Supondo que não haja força de amortecimento presente, use a transformada de Laplace para encontrar a equação de movimento se o peso é solto a partir do repou so na posição de equilíbrio. 55. Para uma viga engastada em seu extremo esquerdo (x = O) e sol ta em se u extremo direi to (x = L), a deflexão y(x) satisfaz (9) e y(O) = O,

y'(O)

= O.

y"(L) = O,

y'"(L) = O.

(li)

As duas primeiras condições significam que a deflexão e a inclinação são nulas cm x = O. As duas outras condições dizem que o momento fletor e a força de cisalhamento são nulos em x = L. Use a transformada de Laplace para resolver a equação (9) sujeita a (11) quando uma carga constante w0 está uniformemente distribuída ao longo da viga. Veja a Figura 7 .50. Encontre a deflexão do ponto médio da viga. Encontre a deflexão máxima da viga. 56. Resolva o Problema 55 quando a carga é dada por

w(x)

0 <

w0 ,

L /3 < x < 2L/3

2L/3 <X< L.

< L/3

Escreva w(x) em termos de fun ções degrau unitário. 57. Resolva o Problema 55 quando a carga é dada por w(x)

= { wo. O,

O <x<l/2 l /2<x< l.

58. A deflexão estática y(x) de uma viga que está engonçada em ambos os extremos, satisfaz a equação diferencial (9) e as condições

y(O) = O,

y"(O) = O,

y(l) = O,

y"(L)

= O.

(12)

Use a transformada de Laplace para resolver (9) sujeita a (12) quando w(x) = w0, O < x < L. Veja a Figura 7 .51. Nos Problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7 .7 para encontrar uma solução para a equação dada.

59. ty" - y' =

12 ,

60. ty" + 2ty' + 2y = O,

y(O) =O

y(O} = O

61. Neste problema, mostramos como a convolução pode ser usada para encontrar uma solução para um problema de valor inicial do tipo ay" + by' + cy = g(1),

y(O) = O,

y'(O) = O.

(a) Mostre que a solução y 1(t) para o problema de valor inicial ay" + by' + cy = O,

Y1(1} =

!r '{

y(O) = O,

y'(O) = l,

2 a }. a + bs + e

( 13)

412

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume I

/ (b) Use o resultado da parte (a) para mostrar que a solução y 2(1) para o problema de valor inicial (13)

é dada por Y2(I)

= -;;

* Y1·

62. Use o procedimento exposto no Problema 6 1 para encontrar uma solução para o prob lema de valor ini cial y" + y

= sec

y(O)

= O.

y'(O)

= O.

w, ~ X

l -

i+---L-

Figura 7.50

[O] 7.6

Figura 7.51

FUNÇÃO DELTA DE DIRAC

Impulso Unitário Sistemas mecânicos estão freqüentemente sujeitos a ações de forças ex ternas (ou força eletromotriz no caso de um circuito elétrico) de grande amplitude que agem somente por um curto período de tempo. Por exemplo, uma massa em uma mola que sofre a ação de uma martelada, uma bola de futebol quando chutada, as cordas de um piano quando atingidas pelo martelo de feltro, uma bola de tênis quando atingida pela raquete etc ... . A função

O, 2a

O :5 t < to - a to - a :5 t < t0 t 2: to

(1)

+ a,

a > O, to > O, representada na Figura 7.52(a), pode servir como um modelo matemático de tais forças. Para um pequeno valor de a, Õa(t - to) é essencialmente uma função constante de grande magnitude que age somente por um curto período de tempo. O comportamento de Õa(t - to) quando a -7 O é ilustrado na Figura 7.52(b). A função Õa(t - to) é chamada de impulso unitário, poi s apresenta a seg uinte propriedade

fo~oa(t

- to) dt = l.

Vo lume I

Cap. 7

Transfo rmada de Laplace

,.., ''

'' ,........,

l 2a

r, comportamento de Ó0 quando a--tO (b)

Figura 7.52 A força impulsiva que ocorre durante a colisão de dois objetos é uma força de grande magnitude e aproximadamente constante que atua no sistema por um curto período de tempo . Uma raquete batendo em uma bola de tênis imprime uma tremenda força a esta, mas a raquete esteve em contato físico com a bola somente por uma fração de segundos. Situações análogas são: boliche, golfe, um chute em uma bola de futebol, colisões atómicas , pingue-pongue, beisebol etc.

413

414

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volum e I

Função Delta de Dirac Na prática, é conveniente trabalhar co m outro tipo de impulso unitário, uma "função" mu ito próx ima de Oa(t - to) e definida pelo limite

(2)

0(1 - to) = lim oa(l - to). a --> O

A última expressão, que não é de maneira alguma uma função, pode ser caracteri zada por duas

propriedades (i) o(t - to)

= { O,

1 = 10

* t0'

JO, 00

(ii)

0(1 - 10 ) dt = l.

A expressão o(t - to) é chamada de função delta de Dirac. * É possível obter a transformada de Laplace da função del ta de Dirac supondo formalmente que .'li (o(t - to)} = lim .!l!{oa(l - to)}. a --> O

TEOREMA 7.11

Para

Transformada da Função Delta de Dirac

> O, .!l!{o(t - to)} = e -sfo.

(3)

Prova Podemos escrever oa(t - to) em termos da função degrau unitário em virtude de (4) e (5) da Seção 7.3: 1 Oa(t - lo)= 20 ["lt(t - (to - a)) - "lt(t - (to+ a))].

Pela linearidade e (7) da Seção 7 .3, a transformada de Laplace dessa última expressão é l [ e - s(to 2! {oa(t - to) } = 2a s

e - s(t0

+a) ]

Paul Adrian Maurice Dirac (1902-1984) A função delta foi uma invenção do físico inglês contemporâneo'P. A. M. Dirac.-Juntamente com Max Planck, Werner Heisenberg, Erwin Schrõdinger and Albert Einstein, Dirac foi um dos fundadores, entre 1900 e 1930, de uma nova maneira de descrever· o comportamento dos átomos, moléculas e partículas elementares chamada mecânica quântica. Por seu trabalho pioneiro nesse campo, Dirac e Schrõdinger dividiram em 1933 o prêmio Nobel de física. A função delta de Dirac foi usada extensivamente em seu tratado clássico de 1932, The Principies of Quantum Mechanics.

Volume I

e - sto (

.9J {Õ a(l - to) } =

Cap. 7

Como (4) tem a forma indeterminada O/O quando a

!B{Õ(t - lo)} =a l'.:1 0 !B{Õa(t - lo)}=

e sa

Transformada de Laplace

~sa

sa )

415

(4)

O, aplicamos a regra de L'Hôpital:

-7

e-stoa 1~J e'"' ~s: - sa )=

e - sro.

Agora , quando to = O, parece plausível concluir de (3) que !B{Õ(t)} = 1. O último resultado enfatiza o fato de que 0(1) não é o tipo usual de função que temos considerado, pois pelo Teorema 7.4, a seg uinte propriedade deveria ser verd adeira, a saber, $ {/{1) } -7 Oquando s -7

E X EMPL O

1 y" + y = 4ó(1 - 2ir)

Resolva sujeito a

(a) y(O) = 1,

y'(O) = O,

(b) y(O) = O,

y'(O) = O.

Os doi s problemas de valor inicial podem servir como modelo para descrever o movimento de uma massa em uma mola movendo-se em um meio com amortecimento desprezível. No instante t = 2ir a massa recebe um sopro brusco. Em (a), a mas sa parte do repou so l unidade abaixo da posição de equilíbrio. Em (b), a massa está em repouso na posição de equilíbrio .

Solução

(a) A transformada de Laplace da equação diferencial é s 2 Y(s) - s

+ s

Y(s) = 4e-2.irs

Y(s) = - 2 - s + 1

4e-2.irs

+ -2-- . s

+ 1

Utilizando a forma inversa do segundo teorema de tran slação, encontramos

y(t ) = cos 1 + 4 sen(I - 2ir)"U(I - 2ir): Como sen(I - 2ir) = sen 1, a solução pode ser escrita como

y(t)

cos I,

Ü:5:1<2ir

cos t + 4 sen 1,

l ;:::

2ir.

(5)

Na Figura 7.53, vemos pelo gráfico de (5) que a massa exibe movimento harmônico simples até o instante t = 2ir. A influência do impulso unitário aumenta a amplitude de vibração para quando t > 2ir.

416

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume 1

(b) Nesse caso, a transformada da equação é simplesmente

4e - 2n:s

Y(s) = - s2

y(t) = 4 sen (t - 2.n)"lt(t - 2Jr)

e assim

O ~t<'.2.7t

(6)

2.n.

O gráfico de (6) na Figura 7.54 mostra, como esperado, que a massa não se move até o instante t = 2Jr. y

- 1

-1

Figura 7.53

•

Figura 7.54

Observação Se ó(t - to) fosse uma função no sentido usual , então a propriedade (i) da página 414 implicaria J;ó(t - to)dt =O em vez de J;ó(t - to)dt = 1. Como a função delta de Dirac não se comporta como uma função ordinária, encontrou inicialmente severas restriçõespor parte dos matemáticos, embora seu uso produzisse resultados corretos. Porém, nos anos 40, a controversa função de Dirac foi formalizada de maneira rigorosa pelo matemático francês Laurent Schwartz em seu livro La Théorie de Distribution, e isso, por sua vez, gerou um ramo inteiramente novo da matemática conhecido como teoria das distribuições, ou fun ções generalizadas. Na teoria moderna de funções generalizadas, (2) não é aceitável como definição de Ó(t - to) e também não se fala de uma função cujo valor é oo ou zero. Embora essa teoria esteja muito além do nível deste texto, para nossos propósitos é suficiente dizer que a função delta de Dirac é definida em termos de seu efeito ou de sua ação em outras funções. Para ver isso, suponha que f seja uma função contín ua em [O, oo). Então, pelo teorema do valor médio para integrais, segue-se que

/Ct)óaU - to) dt =

f'o 10

l ) ªª f(t) ( 2a dt

l = 2a (2a.f{c)) = .f{c) ,

em que e é um número pertencente ao intervalo to - a < t < to + a. Quando a toriamente e ~ to, assim

O, obriga-

Volume l

flt)o (t - to) dt = lim a-->0

fo~

implica

Cap. 7

Transformada de Laplace

flt)o 0 (t - to) dt =

417

lim j(c) a-->0

f(t )o (t - t0 ) dt = ft.to)

(7)

Embora usemos a definição intuitiva (2) para concluir (7), o resultado é válido e pode ser obtido por meios rigoroso s. O resultado em (7) pode ser usado como definição de o(t - to). É conhecido co mo propriedade de separação, pois o(t - to) tem o efeito de separar o valor ft.to) dos valores de f. Note que a propriedade (ii) na página 414 é co nsistente com (7) quando j(t) = 1, O ~ t < oo. A operação integral (7) que associa um número f(to) a uma função f induz a noção de funcional linear. Paramos por aqui e sugerimos ao leitor curioso que consulte um texto avançado.*

EXERCÍCIOS

7. 6

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 465. Nos Problemas l - 12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. 1. y'- 3y = Ó(I - 2),

3. y" + y = Ó(t - 2.ir), =O,

ó(r -

ó(

1 -

=O,

3; }

y'(O) = O

y(O)

y'(O) = l

9. y" + 4y' + 5y = Ó(t - 2.ir), y(O) = O,

y'(O) =O

11. y" + 4y' + l3y = ó(t - .ir) + Ó(t - 3.rr) ,

y(O) = 2 y(O)

y'(O) = O

6. y" + y = ó(t - 2.ir) + Ó(t - 4.rr),

y(O) =O,

7. y " + 2y' = ó(t - l) , =O,

2. y' + y = Ó(t - l) ,

4. y" + l6y = Ó(t - 2.ir),

y(O)

y'(O) = l

5. y" + y =

y(O) = O

= 1,

y'(O) =O

8. y" - 2y' = 1 + Ó(t - 2), =O,

y(O)

y'(O) = l

10. y" + 2y' + y = Ó(t - l) , y(O) =O, y(O) = l,

y'(O) =O

y'(O) = O

Veja See M. J. Lighthill, lntroduction to Fourier Analysis and Generalized Functions (New York: Cambridge University Press, 1958).

418

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume 1

12. y" - 1y' + 6y = e 1 + ó(c - 2) + ó(r - 4),

y(O) =O,

y'(O) =O

13. Uma viga uniforme de co mprimento L es tá sujei ta a uma carga concentrada wo no ponto x = L/ 2. A viga está engastada no seu lado esq uerdo e li vre no extre mo direito. Use a transformada de Lap lace para determinar a defl exão y(x) a partir da eq uação EJ

em que

y(O) =O,

B = woo( t}

y'(O) =O,

x -

y"(L) = O

y'"(L) = O.

14. Reso lva a eq uação diferencial do Problema l 3 sujeita a y(O) = O, y'(O) = O, y(L) = O, y ' (L) = O. Nesse caso, a viga está engastada em ambos os extremos. Vej a a Figura 7.55.

l-.

Figura 7.55

15. Use (7) para obter (3).

16. Use (7) para calcular

17. Use a transformada de Laplace e (7) para resolver

y" + 2y' + 2y = cos t ó(t - 3n) sujeita a y(O) = 1 e y'(O) = - 1. 18. Para enfatizar a natureza não usual da fun ção delta de Dirac, mostre que a" solução" para o problema de valor inicial y" + w 2y = ó (t ), y(O) = O, y '(O) = O não satisfaz a condição inic ial y'(O) = O. 19. Resolva o problema de valo r inicial L !!.!_ + Ri = o(c) , dt

i(O) = O,

em que L e R são constantes. A solução satisfaz a condição em t = O? 20. Se ó'(I - to) é a derivada da fun ção delta de Dirac, então sabemos que 21 {0'(1 - to)} to ~ O. Use esse resultado para resolver y' + 5y = o'(t) suj ei ta a y(O) = O.

Volume l

Cap. 7

Transformada de Laplace

419

REVISÃO

Capítulo 7

A transformada de Laplace da funç ãoj(t), t ;::: O, é definida pela integra l

J ~e - 51j(t)dt

SIJ{f(t )} =

= F(s) .

O parâmetro s é usualmente restrito, de maneira que gara nta a co nvergê ncia da integral. Quando ela é aplicada a uma eq uação diferencial co m coeficientes co nstantes co mo ay" + by' + cy = g(t), resulta em uma equação algébrica a[s 2 Y(s) - sy(O) - y'(O)]

+ b[sY(s) - y(O) ] + cY(s) = G(s),

a qual depende das condições iniciais y(O) e y'(O). Quando esses valores são conhecidos, então determinamos y(1) calculando y(t) = flF 1 {Y(s) }.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

Capítulo 7

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 465 e 466. Nos Proble mas l e 2, use a definição da tran sformada de Laplace para calcu lar JlJ (j(i) }.

1. j(1) = { 1,

0$l< 1;::: 1

2. j(t)

O, l,

O$ 1 < l 2 $ 1 < 4

t;::: 4

Nos Problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. 3. Se/não for contínua por partes em [O, 4. A funçãoj(I) = (e

~),então

JlJ (j(1)} não existirá.

não é de ordem exponencial.

5. F(s) = s 2/(s 2 + 4) não é a transformada de Laplace de uma função contínua por partes e de o rdem exponencial.

6. Se JlJ (j(1)} 7. JlJ {e -7'}

= F(s)

9. JlJ {sen 21 }

11. JlJ (1 sen 21 } 13.

.$- 1{~} =

15.

.$-1{

l } ~-

e JlJ (g(1)}

= G(s) ,

então

.$- 1

{F(s)G(s)}

= j(t)g(t).

8. JlJ {le - 71}

10. JlJ {e - 3' sen 21 }

12. JlJ {sen 21 ófb(t - .n)}

.$-1{_1}= 16. $- 1{ = 7=-5

14.

3s - l l

}

420

19.

Equações Diferenciais

Cap. 7

Volume l

-1{s+:n: -s} = s + n ~e

21. ${e - 5' } ex iste para s > 22. Se .$ lf(t) } = F(s) então .$(te 81[(1) } = 23. Se .$lf(t)} = F(s) e k >O, então $(eª(' - k)f(t - k) "lt(t - k)} =

24. 1

Nos Problemas 25-28, (a) expresse f em termos de função degrau unitário, (b) calcule$ {f(t) } e (e) calcule $(e'Jr..t) }. 25.

26.

fl'lk

j(t) y = sen t, n $ t $ 3n

\ 1

-1

Figura 7.56 27.

Figura 7.57 28.

f(t)

fl~

(3, 3) 2

1 2 3

Figura 7.58

Figura 7.59

Nos Problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a eq uação dada.

29. y" - 2y' + y =O,

=e',

y(O)

y'(O) = 5

31. y" - 4y' + 6y = 30 l!{t(t - n),

y(O) = O,

y'(O) = O

30. y" - 8y' + 20y = te'.

=O,

y(O)

y'(O) =O

32. y" + 6y' + 5y = t - t li{t(t - 2),

y(O) = l,

y'(O) = O

Vohtme I

Cap. 7

Transformada de Laplace

421

33. y' - 5y = j{t), em que f{t)

1 ~

l - 2

34. f{t)

e- 3rf{I - r)dr

y(O) = l.

J 1

35. y' (1) = cos 1

f{r)f(1 - r) dr = 61 3

36.

+ r y(r)

COS(I -

r)dr,

y(O) = l

o 37. A corre nte i(1) em um circu ito em série R-C pode ser determinada a parür da equação integral

Ri=~f

i(r)dr=E(1),

em que

~(1)

E(t) = 2(1-

é a voll age m impressa. Determine i (1) quando R = 10 ohms, C = 0,5 farad e 1).

38. Um ci rcuit o em série contém um indutor, um resistor e um capaci tor para os quais L = 1/ 2 henry, R = l O ohms e C = 0,01 farad , respectivamente. A vo ltagem E(1)

= { 10,

º·

1 ~

< 5

é apl icada ao circuito. Determine a carga instantânea q(1) no capacitor para 1 > O se q(O) = O e q'(O) =O.

39. Uma viga em balanço (cantiléver) uniforme de co mprimento l está engastada em seu ex tremo esquerdo (x = O) e li vre e m seu extremo direito. Encontre a defl exão y(x) se a carga por unidade de comprimento é dada por w(x)

= L2wo [ 2L -

+ (x

2l ) 61.t ( x

2l ) ] .

40. Quando uma viga uniforme é suportada por uma fundação elástica, a eq uação diferencial para sua deflexão y(x) é

D dx4

w(x)

+ 4ª y = EI '

em que a é uma co nstante. No caso em que a = l, encontre a deflexão y(x) de uma viga elasticamente suportada de comprimento JT. que está engastada em concreto em ambos os extremos quando a carga concentrada w0 é aplicada em x = n / 2. [Sugestão: Use a tabela de transformadas de Laplace no Apêndice li.]

APÊNDICES Função Gama II Transformadas de Laplace III Revisão de Determinantes IV Números Comp lexos

Conceitos Importantes Função gama Fatorial generalizado Menores Cofator Regra de Cramer Número complexo Parte real Parte imaginária Conjugado Módulo Fórmula polar Argumento

422

Volume 1

Apêndices

423

FUNÇÃO GAMA A definição de Euler para função gama* é 1(x)

J ~x - 1e- dt.

(l)

A convergência da integral requer x - 1 > - 1, ou x > O. A relação de recorrência (2)

1(x+ l)=x1(x),

que vimos na Seção 6.5 pode ser obtida a partir de ( 1) através da integração por partes. Temos, quando x = 1,

e então por (2), temos

1(2)

11(1)

1(3)

21(2) = 2

1(4) = 31(3) = 3

e assim por diante. Dessa maneira, vemos que, quando n é um inteiro positivo, 1(n

1) = n !

Por essa razão, a função gama é freqüentemente chamada de fatorial generalizado. Embora a forma integral (1) não convirja para x < O, pode ser mostrado através de definições alternativas que a função gama é definida para todos os valores reais e complexos, exceto x = - n, n = O, 1, 2, .... Como conseqüência, (2) é na verdade válido para x n. Considerada como uma função de variável real x, o gráfico de 1(x) é como mostrado na Figura A. I. Observe que os inteiros não-positivos correspondem às assíntotas verticais do gráfico.

Nos Problemas 27-33 dos Exercícios 6.5, utilizamos o fato de que 1(~) = ,/;;, Esse resultado pode ser deduzido de ( 1) fazendo x = 1/2: (3)

Essa função foi definida por Euler em seu texto Institutiones calculi integralis publicado em 1768.

424

--·

Equações Difere11 ciais

Volume I

í(x) 1

•

Figura A.I

' ' ' '

íl Quando substituímos t = u 2, (3) pode ser escrita como

Mas

e - u du =

- 2

d v,

e daí

Usando coordenadas polares u

fo Jo oo

cos (}, v

sen O, podemos calcular a integral dupla:

fo Jo rc/ 2

e-<u 2 + v 2 >dudv

e-' 2 rdrd(}

= 1r:.

Logo

.E X. EM P LO Calcule Solução

Portanto

1 r(- 112).

Segue-se de (2) que, com x = - 1/2,

•

Volum e 1

Apêndices

Apêndice 1 EXERCÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados estão na página 466. l. Calcule

(a) r(S)

(b) r(7)

(e)

rc- 312)

2. Use (l) e o fato de que r(6/ 5) = 0,92 para calcular

fo:

5e -x' dx. [Sugestão: Faça t = x 5.J

4e-x 3 dx.

3 . Use(l)eofatodequer(S/3) = 0,89 paracalcularf :

4. Calcule 0 x 3 ( ln

rc- s12)

(d)

dx. [Sugestão: Faça t = - ln x.] 1

5. Use o fato de que r(x) >

IX -

- I dt para mostrar que r(x) é ilimitada quando

6. Use (l) para deduzir (2) quando x > O.

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

li f(t)

!IJ (f(t)} =F(s) 1

2. s2

sº

t-1 / 2

1/ 2

n um inteiro positivo

+ 1

~ ../li 2s ]/2

rca

tª

sª

sen kt

+ 1) +

k s2

+ k

cos kt

·a > - 1

~ o+.

425

Equações Diferenciais

426

Volume I

${{(1)} = F(s )

/(1)

sen 2 kt

10.

cos2 kt

1 1.

eº'

12.

senh kt

2k 2 5(5 2 + 4k 2 ) 5 2+2k2 5(s 2 + 4k 2 )

5 - a k 52 - k 2

13.

cosh kt 52 + k 2

14.

senh2 kt

2k 2 5(s 2 - 4k 2)

15.

cosh2 kt

5 2 -2k 2 s(5 2 - 4k 2 )

16.

te o[

17.

t ne at

18.

eª' senkt

~ n!

n um inteiro positivo (5 - a)" + 1 ' k (s - a) 2 + k 2

19.

eª'coskt

s - a (s - aJ2 + k 2

20.

eºcsenkt

k (s - a )2 - k 2

21.

eª' cosh kt

5 - a (s - a)2 - k 2

22.

t senkt

2k5 (s 2 + k

23.

t cos kt

2)2

52 - k 2 (s2 + k 2)2

24.

sen kt + kt cos kt

2ks2 (s2 + k 2)2

Volume 1

'lJ {f(t)} = F(s)

f(t)

25.

sen kt - kt cos kt

2k 3 (s 2 + k 2)2

26 .

t senh kt

2k5 (s 2 _ k 2)2

27.

t cosh kt

52 + k 2 (5 2 _ k 2)2

e at

28. Q -

29.

e bt

ÂŞ' Q -

30.

31.

(s - a)(s - b)

be bt (s - a)(5 - b)

k2 2 s(s +k 2 )

- cos kt

kt - 5enkt

s2(s2 + k 2)

32.

33. 34.

a sen b t - b sen a t ab(a

- b )

cos bt - cos at 02_ b2 sen kt senh kt

(s2 + a2)(s2 + b2) 5 (s 2 + a2)(s2 + b2) 2k 25 s 4 + 4k 4

35.

sen kt cosh kt

k(s 2 + 2k 2) s 4 + 4k 4

36.

coskt senhkt

k(s 2 - 2k 2) 5 4 + 4k 4

37.

co5 kt cosh kt

s3 5 4 + 4k 4

38.

}o(kt)

~ e bt _ e at

39.

5 - a ln - 5 - b

ApĂŞndices

42 7

428

Equações Diferencia is

Volume l

·- - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - J(t)

__:::....:_:__

40.

41.

__________________!fi {f(t)} = F(s) s2 + k 2 1n - - -

2(1 - coskt) t

2(1 - coshkt)

s2 - k 2 ln - - -

42.

43.

sen at

sen at cos bt

a+b

2 arctg e

- o

---rs-

45.

2~ J

erfc (

47.

2{re-/1 41 2 b '

48.

e obe

49.

- e ob e b

aerfc( 2 ~ J

erfc( b vt 2 '

erfc ( b

+ 2

vt +

°vt) 2

°vt) + erfc ( 2°vt)

- o .JS

- o -IS

s {;

-rsc-rs + b) be - o .JS s ({;+ b)

ó(t)

51.

ó(r - to)

e - sto

52.

e 01 fit)

F(s - a)

53.

f(t - a) <Pt(t - o)

54.

<Pb(t - a)

55.

/(n)(t)

s"F(s) - s(n - l)f(O) -

56.

t"f(t)

- os

(- 1)"

.i:_ F(s) ds"

F(s)G(s)

fii")g(t - •)d•

- o .JS

50.

57.

a-b

2 arctg -

44.

46.

. . . - f (n - l)(O)

Volum e 1

Ili

Apêndices

429

REVISÃO DE DETERMINANTES

O determinante de uma matriz A 2 x 2 é definido por a11

a 12

ª21

a22

')<....

=a11a22 -

ª12ª21·

Meno res e Cofatores Para uma matriz A n x n, seja aij a entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna. O menor Mij associado a aij é o determinante da matriz (n - 1) x (n - 1) obtida eliminando-se a i-ésima linha e aj-ésima coluna da matriz. O cofator C ;j associado a aij é um assinalado, especificamente Cii = (-l)i +iM;J -

EXEMPLO

Os cofatores da matriz 3 x 3

[: ::l

são C11

= (=

C21

= (= {-

1) 1 + 1M11

; 1

= -9

1) 2 + 1M 2 1

l)I ~

C12

= (-

1) 1 + 2M1 2

= (-

l)I :

C22

~ 1 = 23

C31 = (- 1) 3 + 1M 3 1

=\~ ~\ =-2

= (-

; 1

(1)

= (-

C13

1) 2 + 2M 22

C23

~ 1 = -1

l)I ~

= (= (-

C32 = (- 1) 3 + 2M32

= (-

1) 1 + 3M 13

; 1

L) 2 + 3M 23

l)I ~

~ 1 = -6

C33 = (- 1) 3 + 3M 33

~ ~

Cálculo do Determinante por Cofatores Pode ser provado que um determinante pode ser calculado em termos de cofatores:

=o.

•

430

Equações Diferenciais

Volume I

Multiplique as entradas aij em qualquer linha (ou coluna) pelo seu respectivo cofator C ij e some as n parcelas.

Com isso, um determinante* 3 x 3 pode ser calculado através de três determinantes 2 x 2, um determin ante 4 x 4 através de quatro determinantes 3 x 3, e assim por diante.

EXEMPLO

Calcule o determinante da matriz em ( 1).

Solução

Desenvolvendo pela primeira linha, temos

2 3 5

~ ~ 1 + 4(- 1)1 ~ 1 + 7 1 : ~I

Alternativamente, podemos calcul ar o dete rminan te, di gamos, desenvolvendo pela segu nd a coluna:

4 2 5

7 3 3

•

Observamos que, se um determinante poss ui uma linha (ou colun a) contendo vários zeros como entrada, então a sabedoria nos diz que devemos calculá-lo desenvolvendo por essa linha (ou coluna).

Regra de Cramer Determinantes são algumas vezes úteis na resolução de sistemas algébricos de lineares com 11 incógnitas: a1 JXJ a21XJ

+ +

a12x2 a22X2

+ ··· + + ·· · +

ªJ,,Xn =

equações

ª2nX11 = b2

(2)

Embora um determinante de uma matriz numérica seja um número, algumas vezes é conveniente nos referirmos a ele como se fosse uma fom1ação em quadro.

Vo/11111 e I

Apêndices

431

Seja A a matriz dos coeficientes de (2) e seja

ª"

ª1 2

a21

ª 22

·· ·

ªln ª2n

det A

se k-ésima coluna j, a 11

a 12

ª1. k - 1

ª1 . k + 1

a 111

ª 21

ª 22

...

ª 2. k - 1

• b2

ª 2. k + 1

ª 211

ªn2

···

ª" · k -

1·

em que Ak é a matriz A com sua k-ésima coluna substituída por

então (2) possui a única solução detA1

detA2

xi = det A ' xz = det A '

desde que det A

detAn detA

X=--n

(3)

* O. Esse método de resolução é conhecido como regra de Cramer. *

Essa regra foi assim chamada em homenagem a Gabriel Cramer ( 1704-1752), um matemático suíço que primeiro publicou esse resultado em 1750.

432

Equações Diferenciais

EXE M PLO

Vol11me I

Resolva o sistema

3x + 2y + z = 7 X

+ 3z = 3

5x + 4y - 2z = l

pela regra de Crarner.

Solução

A solução requer o cálculo de quatro determinantes 3 det A

1 - l

4 -2

det A 1 =

13,

= - 39,

4 -2 3 = 78,

det A 3 =

-2

3 - 1

det A1

- 1

= 52.

Logo, por (3) ternos x

det A1 det A

3•

det A ? y = det A- = 6 ·

det A3 z =---=4 det A

•

Sistemas Homogê neos Se b; = O, i = l, 2, . . . , n, dizemos que o sistema (2) é homogêneo. Se pelo menos um dos b; for diferente de zero, o sistema é não -homogêneo. Agora, se det A ,;; O, (3) implica que a única solução para um sistema hornogêneo é x 1 = O, x2 = O, ... , Xn = O. Se det A = O, então um sistema homogêneo com n equações lineares e /1 incógnitas possui infinitas soluções. Essas soluções podem ser encontradas resolvendo o sistema por eliminação . Se det A = O, então um sistema não-hornogêneo pode ter ou infinitas soluções ou nenhuma solução.

Apêndice Ili

EXERCÍCIOS

As respostas dos exer cícios selecionados estão na página 466. Nos Problemas 1-8, calcule o determinante. l.

2 -1

4 6 5 2 -3

-2 9

6 8

3 4

Vo lume 1

9 4

-6 l

o o o o 3 o

o o

o 3 o o o o

- l

o o

-1

2e 21

cos

4e21

- sen e

3e 31

-e

- 1

9e 31

-1

8 1 40

e 31

8 9

Apêndices

sen e l

cos l -sen t -cos

Nos Prob le mas 9- 12, use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações dado.

2x + y = l

10.

3x + 2y = -2 li.

X+

2y +

12.

= 8

4x + 3y + 2z -x

2r - 2y + 2z = 7 X -

5x + 4y = - l IOx - 6y = 5

4y + 3z = 1

3x + 2y +

13. Dado o sistema

x-y+2z=O 2x+y-

z=O

4x - y + 3z =O.

(a)

Se A denota a matri z dos coefic ientes, mostre que dct A

(b) Mostre que o sistema poss ui infin itas solu ções.

(e) Explique o signi ficado geo métrico do sistema. 14. Dado o sistema

Seja A a matriz dos coefi cientes. (a) Exp lique o significado geométrico de det A to O. (b) Explique o signifi cado geo métrico de det A = O.

= 8

+ 2z = 12

= O.

= 3

433

434

Eq«ações Diferenciais

Volume I

NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo é uma expressão da forma z = a

bi,

em que

i 2 = - 1.

Os números reai s a e b são chamad os de parte real e parte imaginária de z, res pectivamente. Na prática, o símbolo i é escrito i = "-!. O número = a - bié chamado de o conj ugado de z.

EXEMPLO

Pelas propriedades dos radicais, temo s "-2S =

EXEMPLO

f25 '1/-1

•

= Si.

Os conj ugados do s núm eros complexos 3 + 2i respectivamente.

z2 =

z 1 = 4 + Si e z2 = 3 - 2i são z 1 = 4 + Si e

•

Soma, Diferença e Produto A soma, diferença e produto de dois números complexos definidos como:

(i)

z1 + z2 = (ai + a2) + (b1 + b2)i

(ii)

ZI - Z2 = (ai - a2)

(iii)

z1z2 = (a1a2 - b1b2)

a1 +

b1i

e z2 = a2 + b2i são

+ (b1 - b2)i + (a1b2 + b1a2)i .

Em ou tras palavras, para somar ou subtrair doi s números complexos, nós simplesmente somamos ou subtraímos as correspondentes partes reai s e imaginárias. Para multiplica r do is números complexos, usamos a lei di stributiva e o fato de que i 2 = - 1

EXEMPLO Se

z1 = 4 + Si

3 z2

- 2i,

então

+ 3) + (S + (-2))i = 7 + 3i

z1 +

= (4

z1 -

= (4 - 3) + (S - (- 2))i = 1 + 7i

Volume I

Apêndices

435

z1z2 = (4 + 5i)(3 - 2i) = (4 + 5i)3 + (4 + 5i)(-2i) = 12 + l5i - 8i - l0i 2 = (12 + 10) + (15 - 8)i = 22 + 7i.

O produto de um número complexo z = a número real

z = a2 + b

+ bipelo seu conjugadoz 2.

•

= a - bi é o

(1)

Quociente O quociente de dois números complexos z 1 e z2 é obtido multiplicando-se o numerador e o denominador de z1/z2 pelo conjungado do denominador z2 e usando ( 1). O próximo exemplo ilustra esse procedimento .

EXEMPLO

4 ~ = 4 +Si z2 3 - 2i

4 + 5i 3 + 2i = 3 - 2i 3 + 2i 12 + l5i + 8i + lOi 2

9+ 4

•

Interpretação Geométrica Olhando a e b como coordenadas de um ponto (a, b) no plano, podemos interpretar um número complexo z = a + bicomo um vetor começando na origem e terminando em (a, b), (veja a Figura A.2). O comprimento do vetor é chamado de módulo de z e é escrito como r ou lzl. Pelo teorema de Pitágoras, temos que r = lzl = --J a 2 + b 2 .

436

Equações Diferenciais

Vo lum e I

• (a, b ) Oll

: =a+ bi

Figura A.2

8 X

Pela Figura A.2, vemos que o ângu lo(} que o vetor faz com o eixo x positivo satisfaz a

cos (}

sen (}.

Logo,

z = r cos (} + ir sen (}

z = r( cos (} + i sen fJ).

(2)

A última forma é chamada de forma polar do número complexo z. O ângulo (}é chamado de argumento de z.

Fórmula de Euler ex=

A série de potências

X" n!

L, n = O

converge para todo número real ou comp lexo. Se fizermos X = ifJ, (} um número real, en tão (ifJ)"

(3)

n! i6(}6

i?(J ?

+~+71+

Agora, i 2 = - 1, i 3 = - i, i 4 = 1, i 5 parte real e parte imaginária: ei8 = (

i e assim por diante. Logo, (3) pode ser separada em

~~ + ~: - :~ + ... J+ i ( (} - ~~ + ~~ - ~~

+ .. . }

(4)

Mas, lembramos que cos (} =

L, (- l)" (2n) ! n =O

e 2n

sen (}

(- l)"

= L, li =

(2n

()211 + ' ,

1) !

em que cada série converge para todo número real(} . Portanto, (4) pode ser escrita como

e iB = cos (} + i sen fJ .

(5)

Volume I

Apêndices

437

Esse último resu ltado é co nhecido como fórmula de Euler. Note que , em vista de (5) , a forma polar (2) de um número complexo pode ser ex pressa de maneira co mpac ta:

z EXE MPLO

= rei() _

(6)

Encontre a forma po lar (6) dez = l - i.

Solução

O gráfico do número complexo está represe ntado na Figura A.3. Como a b = - l, o módulo de z é r

= -/12 +

(-1)2

fi .

Figura A.3 r

"( 1. - 1) ou

z=1-

Como mostra a Figura A.3, tg () = - l e daí podemos tomar como argumento de

ângulo

() = - n:/ 4. Logo, a forma polar do número é

• Apêndice IV

EXERCÍCIOS

As respostas dosexercícios selecio nados estão na página 466. Nos Problemas 1- 10. sejam

+ z2

- i e z2

+ 3i. Faça a operação indicada. 2. 4z1 + Z2

3. 2z1 - 3z2

5. (z1) 2

6. z 1(i + z2)

7. z 1/z2

8. z2/z1

ZIZ2

10. z1/ i

9. l /z2

Nos Problemas 11 -20, escreva o número complexo dado na forma polar (6).

11. z

12.

= -4i

438

Equações Diferenciais

13.

z = i2

15.

Vo lume I

14.

z = 6i 5

16.

z =-E - E ;

17. z=6 +6 € i

18.

= - 10{3 + lüi

19. z = i(l - € i)

20.

= - 7 + 7i

= 2

+ 2i

Nos Pro bl emas 2 1-22, expresse o número co mpl exo dado na fo rma 21.

z =Se - ;"

22.

a + bi .

= 2e i7n / 4

23. Prove o teorema de DeMoivrc: * Para qu alquer intei ro pos iti vo n , [r (cos 8

+ i sen

8)]"

= r " [cos

+ i sen

118] .

24. Use o teorema de DeMoivre do Proble ma 23 para calcular ( 1 + i) 1º.

25. Use a fórmula de Euler para mostrar que ei8

e - iO

cos 8 = - -2- -

sen 8

jf)

- i{j

- e 2i

Esse teorema foi assim chamado em homenagem ao matemático fran cês Abraham DeMoivre (1 6671754).

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SELECIONADOS EXERCÍCIOS 1. 1, p. 11-13

25.

!!_ 2 - X = dt 1 - X

linear. segunda ordem

não-linear. primeira ordem

linear, quarta ordem

não- linear. segunda o rde m

linear. terceira ordem

1 ] dX - 1 [ 2 - X + -;-::-; dt =

dX = (2 - X )( 1 - X ) . . dt s11nphficando.

27.

A d ife re ncial de c 1 = xe>'lx/(x + y)1 é ((x + y)2 [xe'1'(xdy - yd.x/x 2) + e>'12 dx ] -xey/x2(x + y)(dx + dy) )/(x + y)4 = O.

13.

- 2y -

e Jx

Multiplicando po r - x 2(x + y) 3e - ' 1' e s implifica ndo O. temos (x 2 + y)2 dx + (x 2 - xy) dy

= (3e 3x + 20e 2.<)

- 2(e Jx + 1Oe 2x) -

e Jx

= O

29. 15.

y' - 25 - y 2 = 25 sec2 5x - 25(1 + t g2 5x)

y" - 6y' + l 3y = Se 3' cos 2x - l 2e 3' scn 2x

+ 12e 3' sen 2x - 18e 3' cos 2x + 13e 3' cos 2x= O

= 25 sec2 5x - 25 sec2 5x = O 17.

y' + y - sen x = ~ cos x +

i scn x

- IOe -x + ~ sen - ~ cos x + IOe -

19.

2 1.

sen x

yx 2 = 1 implica d(yx2) = O ou 2yxd.x + x 2 dy = O

+ (c(/4))

=y2-y2=0

y y' -

.!. y X

33.

y" + (y} = - __1__2 + --~-2 = (x + c1)

(x +c 1)

d.x-

23.

y" = cosh x + scnh x = y

-2 -3 dv d l ,, 35. x "--";- + 2 =-dx = x(2ci,x ) + 2(-cµ )=O

y - 2xy' - y(y')2 = y - 2x .:_i_ - y .!i.. 4y2 2y y 2 - (c1x

3 1.

1 + ln x - ln x - 1 = O

37.

2y"

- 3xy' + 4y

= x 2 (5 + 2 1n x) - 3x(3x + 2r ln x)

+ 4(x 2 + x 2 lnx) = 9x 2 - 9x 2 + 6x 2 ln x - 6x 2 ln x = O 3y" + 3y' - y 39. y"' = x 2ex + 6xex + 6ex - 3x2ex - 12.:cex

+ 6e' + 3ie' + 6xe' - x2e'

=O 439

440

4 1.

Equarões Diferenciais

\lolume l

Para x < O,

13.

para x ;;, O,

y - xy' - (y'J2

= ex

+ e2

x(c) - e 2

45.

)' = - 1

47.

m=2

49.

= - mg - lei <Í_1_

Usandotg r/> tg O =

dy ·

i_ <Í_1_ V dr

=~·

tg ( ~

- ()

)= ~ ·

tg r/> = tg 20

m = 3

2 tg

o e·

= 1 - tg2

..g

-2-

obtemos x 51.

15.

l ±

m = -

= - mg - k

dx = - lcl-

= O:

k = - 1/ 4

my" ::;:: - m g - k sen

=-kxi.~ V

xy' - 2y = x(2x) - 2(x 2) = O.

43.

mx" = - k cos

xy' - 2y = x( - 2<) - 2(- x 2) = O:

(-dd~., )2 + -

<!!_ dy = ,t .

Para y::;:: x 2, x 2y" - 4xy' + 6y = x 2(x) - 4x(2x) + 6x 2

17.

=8x 2 -8x 2 =0; para y = x

Combinando a segunda lei de Newton co m sua lei de gravitação, obtemos

x 2y" - 4xy' + 6y x 2(6x) - 4x(3x 2 ) + 6x 3 = l 2x 3 - 12< 3 = O: , sim; sim

cm qu e M é a massa da terra e k1, uma cons tante de proporcionalidade . Dividindo por m , lemos

53.

(a)

y =

(b)

nenhuma solução real;

(e)

y = l ou y = - 1

em que k = k1M. A constan te k é gR 2, em que Ré o raio da terra. Isso segue-se do fato de que na superfície da terra y = R. Logo,

EXERCÍCIOS 1.2, p. 31-35 1.

?+~v =g dt

k1M = gR 2 o u

(a)

k = gR 2;

(b)

d1r dt 2

(e)

L <!_!_ + Ri = E(t) dt

L diz = _ _!!__ ..fh dt 750

dh dt

em que yu é a distância do foguete à superfície da terra no instante em que o combust ível se extinguiu

y'(O) = \Ili

1 30-.fh(tO - h)

1!!.+kx = r dt . •

y(O) = R + yo,

v~ - ~=0 dr ,.2

li.

Se a queima total de combustível ocorre cm t então

~ = O· ,. 2

k = gR 2.

é a veloc idade coirespondente nesse instante. 19.

dA 21. . d/ = k(M - A),

k > O

Volume I

Exercícios de Revisão,

Capítulo 1 p. 36-37 1.

ord inária . primeira ordem, não-li near

parc ial. segunda ordem.

y = x2

11. 13.

)' = y

x-'

=O,

17.

X < Ü ou X> 1

19.

di=-16i<'

y = cosx.

../2i

li.

- 3+3rlnlxl =xy3+cx

13.

- 3e

15.

2 + }' 2 = c(4 +

17.

19.

21.

S = ce*'

23.

- -p = c e ' 1- P

25.

4 cos y = 2x + scn 2x + e

27.

- 2 cos x +

29.

(e ... + 1r 2 + 2(e y + 1r 1 = e

(y + 1r 1 + ln ly + 11 = .!..1n 2

I - 312

semipl ano definido por y > O o u y < O

semiplano definido por x > O ou x < O

31.

as regiões defi nidas por )' > 2, y < - 2, ou - 2 < y < 2

33.

qualquer região que não contenha (O, O)

9. o plano xy todo li. 13.

y =Ü

2>'=2e 3x+c

lnr -

.!.. x 3

+ ye - Y + e - Y = e

17.

sim

19.

não

EX ERC ÍCIOS 2.2, p. 50-52 1.

y=-icos5x+c

3. y =

(y+3J ·= cie y - x

35.

- cotg y = cos x + c

37 . .

y=scn (~+c)

39.

-y- 1 = cg - I (e') + e

41.

( 1 + cosx)( I

43.

45.

47.

xy=e - (l+lh)

49.

(a)

I 6x y = 3----=..!!..__ ; 1 + e6x

(b)

y = 3;

(e)

y = 3 _-_-_e~~ 2+e6x - Z

+e')=

2r 2 +

= tg(4y - )ir/4)

te - + e

,...__

y=x+5 1n lx+ ll +c

!...2_l_ 1 + e X -

y - 5 ln ly + 31= x - 5 ln lx + 41 + e

ún ica so lução é y =O.

15. y = O, y = x. Não, a fun ção dada não é diferen ciáve l em x = O.

' P = _c_e_ 1 + ce 1

e~·

+ 2y + lnl y l+

ou - X -1' 4

= x3

Há algu m intervalo em torn o de x = O no qual a

X 1)

= x - ln lx+ ll +c

= sen x

EXERCÍCIOS 2. 1, p. 42-43

= ex·'

y =o.

15.

Respostas dos exercícios selecionados

fu - 2

44 1

442

Equações Diferenciais

Volume l

M(xly. 1) dx + N(xly. 1) dy =O.

51.

y =

53.

y =

Com v = xl y. seg ue-se que 1

M(v , l )(vdy + ydv) + N(v. l )dy =O

55.

y =

57.

y = - x - 1 + tg(x + e)

59.

2y - 2x + sen 2(x + y) = e

61.

4(y - 2< + 3) = (x +

[v M( v. 1) + N(v. l ) ) dy + yM(v. l )dv =O

47 .

,.)2

lÍ_l +

lÍ_l __ M(x, y) _

dx -

EXERCÍCIOS 2.3, p. 58-60 l.

homogênea de gra u 3

hom ogê nea de grau 2

não-homogênea

homogê nea de gra u O

ho mogênea de grau - 2

M(v. 1) dv = O. vM(v. 1) + N(v. 1)

N(x. y) - -

y"M (xly , 1) /'N (xly, 1)

= _ M(xly, 1) = G(xly) N(xly, 1)

EXERCÍCIOS 2.4, p. 67-68 + %y 2 + ?y :;;;

X2 -

%x 2

x 2y 2 - 3x + 4y

não exata, mas é homogênea

+ 4xy -2y" =e

ll.

x lnlxl + y =ex

13.

(x - y) ln lx - yl = y + c(x - y)

15.

x + y ln lxl = cy

17.

ln(x 2 + y 2 ) + 2 tg- 1(y/x) =e

19.

4x = y( ln lyl - c) 2

ll.

não exa ta

21.

13.

xy - 2re..i: + 2e.c - 2x 3

23.

(ylx) 2 = 2 ln lxl +

15.

x + y + xy - 3 ln lx)l = e

25.

e 2xly

17.

x3y 3 -

27.

x cos(ylx) = e

19.

- ln lcos xl + cos x sc n y = e

29.

y + x

31.

y 3 + 3x 3 ln lxl = 8x 3

23.

x 4y - 5x 3

33.

35.

ln lxl = e°ylx - 1

37.

4x lnlylxl +x ln x+y-x=O

39.

3x 312 ln x + 3x 112y + 2y 312 = 5x 312

29.

y 2 sen x - x 3y - x 2 + y ln y - y = O

41.

(x + y) ln lyl + x = O

31.

k = 10

43.

ln lyl = -2( 1 - xly)

33.

k = 1

45.

Pela homogeneidade, a equação pode ser escrita como

35.

M(x, y) = ye'Y + y 2 - (ylx 2 ) + h(x)

= c(xJ + yJ)2

= 8 ln lyl +

e e

9. xy 3 + yn cos x - ~x 2 =e

tg- 13x =e

cx 2e>·h

xy + y 3 = e

4x(x + y)2

112

..f2

M(x, y) = 6xy 3

37.

27.

aM/ay = 18xy2 = (JN/(Jx

=e 2xy2

M(x. y) = - r 2y 2 scn x +

39.

o< X

y = e- )x + E e- Jx.

N(x. y) = -ly 3 + 9x 1y 1

solução é 3x 2y 3 + y 4

443

Respostas dos exercícios selecionados

Volume I

= 2y 6 + cy 4 ,

29.

31.

y:;;;

e-.t· ln(ex +

< )' < ~

+ ce - l",

e-x)

< x <

cos x e- / + E 33. .r = .!. • y y

N(x. y) = 2x 2y cos x

O<y <~

aM/(Jy = - 2x 2y sen x + 4xy cos x = aNl ax

41.

37. y =

M(x, y) = 2xy 2 + 3x 1 N(x, y) = 2x 2y JM/(Jy = 4xy = JNl (Jx

soluçãoéx 2y 2 43.

+ x

t (x + 2)-

= ce 5x.

< x <

y = ~ + ce - 4x.

y =

±e

+ ce - \

-.rJ

y== lO +ce-scnhx.

43.

i(t) = EIR + (io - EIR)e -Rt!L.

y=x- 1 Jn x+cx- 1,

47.

T(I) = 50 + 150e'',- ~ <

49.

(x+ l )y =x ln x-x+2 1.

SI.

y=~·

53.

±)' + 8/y,

!'" _,-,,

57.

!' ' _;

0 < .x <oo y

±ce 6

2 +

< ~ O <x<~

< ~ Ü <;X$

l )e - ix.

2<x<~

55. y=

< x < oo

< x <

y = ) + ce

-~ <

(2e+2)e

X ~

Ü <;X

- x2

+ E • O<x<oo

y = - cos x + sen x

EXERCÍCIOS 2.6, p. 83-84

15.

y= ~·

17.

= sen x + e cos x.

19.

= 11 x )

X + ) .y=2x2'

+ex

--'

:;i'· C

y3 = l +

exly

-3

- n/2 < x < n/2

-X

y = sec x + e cosec x,

cx- 3

= x +

t + ce

O<x<oo Ü

O < x < n /2

- J

= ex =

49 -6 9 - J - 5x + 5x

2 = 2 -y

- )'2/2

- n /2 < x < n / 2

45. y = sen x cos x - cos x,

X -

< x <

23.

- oo <x<

39.

EXERCÍCIOS 2.5, p. 77-78

- 2 < x < ~

+ c(x + 2f 4 ,

A solução é uma equação diferencial separável de

primeira ordem pode serescrita h(y)dy-g(x)dx=O. Identificando M (x. y) = -g(x) e N(x, y) = h(y). vemos que (JM/ (Jy = o = (JN/(Jx.

13.

- n/2 <O< n / 2

35. (sec O+tg O)r = O -cos O+ c.

solução é x 2y 2 cos x

a equação é de Bernoulli na variável x.

444

l i.

Equações Diferenciais

2 +

- 3x

Volume I

EXERCÍCIOS 2.8 , p. 82

I /]

1. 13.

15.

y =

2 X

y = - e' +

- 3 - x/4

y2(x) =

)'J(X) =

)'4(X)

Jn(x)

---t

y 1(x)

y = - 2 + -ee--x-_-1

19.

+ 1 - ln e: y = 2 + ln x

)

,, X

(

+ +

23.

y = ex )'

e = ex - e . y = x lnx -

5. 1.

x 2e 2\'=2x ln x-2r+c

x 2 + y 2 = x - 1 + ce - x

ln(tg y) = x + ex -

13.

e )' = - e -

15.

y 2 ln x ;;;; ye' - e Y + e

17.

y = ln lcos(ci - x)I + ei

23. 25. 27.

como

~ oo

x+ tx

= X + 3- X J +

)' = tg

(b)

+ ~X 7

Desenvo lvimento em séri e de M clau rin dt! tg x

x + ~x 3 + Tsx 5 +

cos x - ce -

Capítulo 2 p. 92-93 1.

21.

3\~-;x 7

+ .. ., Lxi < n /2.

9 ln lxl + e

11.

)'t(X) = y2(x) =

(a)

x \• 3

y 1(x) = y2(x) = y3(x) = y4(x) = O;

(e)

2x 3 -

41·

+-+-+-+-

y3(X)

y,,(x) -> O quando

e - ' = y ln lyl + cy

---t

+,,- +2!- +3! -

)'4(X) =

Yn(x)

EXERCÍCIOS 2. 7, p. 87

+-+-

y3(x)

x' X

21.

e -x como n

y2(x) =

e J. 27y 2 = 4x 3

17.

= ex

y1(x) =

Exercícios de Revisão,

r eg i ões

de finida s po r x 2

x 2 +y 2 <25

falso

(a)

linear cm x

A eq uação dada é uma equação de C lairaul em u = y'.

(b)

homogênea exata linear em y

A solução é y =e ix 212 + x +e? x + ei.

(e)

Clairaul

h = e 1 + eµ 2

(d)

Bernoulli emx

(e)

separáve l

(1)

separável , Ricaui

(g)

linear em x

ty3 -

ciy = ; + ei

y=-~

+ y 2 > 25

Volum e I

(h)

homogê nea

(i)

Be rn oulli

ij)

homogênea, exa ta , Bern oulli

( k)

separáve l, homogênca. ex at a. linear em t e em

Respostas dos exe rcícios selecio11ados

445

21.

2y J = 3x 2 +

23.

2 ln(cos h y) + x

25 .

y 5 3

27 .

)' = 2 -

29.

r = c2 se n (}

31.

33.

r = c2 cosec O

35.

Sej a fJ o âng ul o de inc linação, medid o a pa rtir do eixo x positivo, da reta tan gente a uma curva da fa míl ia dad a. Seja </> o ân gul o de inc linação da ta nge nte il

X 513

exata, linea r em y

(1)

+ 3e '

t m ) homogê nca

7. 9.

(n)

sepa ráve l

(o)

C la iraut

( p)

Ri ca ui

1y 1 1n y - y 2 2

21'

+x 2

cos 2()

4xe~ - 4e x - l

=9x 6

11.

e" - 4y 3 = 5

13.

y=±-320(x 2 + 4) - 4

15 '

17.

- sen

19.

y1(x) =

+ x +

-j-x 3

y2(x) ;;;;

traj etóri a. N o ponto em qu e as curvas se interce pt::un. o ângul o entre as tangentes é a. A partir da análise

das fi g uras, co ncluím os qu e ex iste m do is casos possíve is e que </> = fJ ± a. Logo. a inc lin ação da reta tangente à traj etória é

.« ln lrl

;21 =e +

!!1' dx. --

-i

X J

Ts X S

</>

= tg(/3 ± a)

+ ~X 7 1

± tg a

EXERCÍCIOS 3.1, p. 100-102 f (x , y) ± tg a

Cz'

1 + f (x,

x 2

2y2 +X 2 = c2

)'2

5. 2 ln lyl :::; x '- + y' + 7.

y2 =

2, 2 + 3y 2 = 3

trajetória

2x + C2 c2

+ YJ = c2

l i.

13.

15.

17.

2y' = 2 ln lfi +

19.

y = 4 - 6x + c2.x

y) tg a

ln lyl + x 2 = CZY

curva da família

- x' = c2x 1

1 2

fJ X

+ -4

q>={J-a

(a)

446

Equações Diferenciais

Volume 1

11 horas

136,5 horas

/( 15) = 0.00098/o, ou /( 15) é aproximadamente O, 1% de lo.

11.

15.600 anos

13.

T(I) = 31.67ºF. aproximadamcníl:06 minutos.

15.

i(t) =

17.

q(I) = ~ _ ~ e-501. i(I) 100 100 •

19.

i(t } =

ie-

500':

i-->

quando/-->

(b)

39.

Como a equação dada é quadrática em c 1. segue -se da fórmula quadrática que

C! :;;; -

± -V x 2 + )' 2 .

Derivando essa última expressão e expl icitando

dyl dx, temos

!!l

- x +

60 - 60e-1/ IO .

60(e1 -

A(I} = 200 -

23.

A(I) = 1000 -

~ )

41.

(

-x -

iT:72

)(2) =

x·-x

- y

(b)

v --> !!!.1J. k quando

(e)

s(t) = mg I - mg

)e -k1lm

t --> ~

29.

E(t) =

3 1.

(a)

(vo - mgk )e -ktlm

Tmg (vo - kmg) +so

F.oe - (1 - 11)/RC

P(1 ) =

Poe(k' - '1> 1

= - 1. (b)

k1 > ki. há mais nascimentos q ue mortes, logo,

Isso mostra que a Família é auto-ortogonal.

a popu lação aumenta.

A equação dife rencial da família ortogo nal é (x - y)dx + (x + y) dy = O. A ve rificação se faz substituindo x = c2e - / cos t e y = c2e - / sen t na equação.

k1 = k1, uma população constante pois o número de nascimentos é igual ao número de mortes.

EXERCÍCIOS 3.2, p. 1 13-1 1S 1.

+ ( LIJ -

v(t ) =

> 20

Mu ltiplicando essas duas derivadas, obtemos

)(I)

l000e - 11 100

(a)

1 $

25. 64,38 g

Essas duas equações correspondem às escolhas c1 > O e ci < O na família dada, respeclivamente.

( dx

l )e - 11 10.

-501

l ?Oe - 1150

21.

27.

!!l

=1e

k1 < k1. há mais mortes que nasci mentos. a população diminui. 33.

A partir de r 2 dO =

7,9 anos; 10 anos

3. 760

1 A = 2

dr obtemos

82 2 ~ L r dO = - 2 M

1 L dt = - - (b - a) 2 M ·

Volume 1

Respostas dos exercícios selecionados

vJ -

447

2gR <! O. ent ão > O para toPorém, se dos os va l o r es de y. L ogo. de vemo s ter

EXERC ÍCIOS 3.3 , p. 128-132

vo <! fliR.

1834; 2000

1.000.000; 52.9 meses

(a)

13.

Usando a co ndi ção y'( 1) = O. enco ntramos

Por se paração de va riável. _ _ d_P_ _ = dt, P(a - b ln P)

Agora se e nt ão se V1 = v1. en tão

y = ~ x2

X t

(v 1/"2)

ln x -

se u1

assim - ( 1/ b)lnla - b ln Pl =l+Ct

a - b ln P = c2e - b 1

y=2 [

(e - bq =e:? )

lnP =(al b) - ce - b1

(cilb = c)

X 1 - (" 11<'2)

l +~

1 - ~

U2 112

v2. ent ão

= --:}s r+ 2

fiü:

v 1v2

+ - 2---2

= 50 fiüs

15.

2/J

17.

Para ca lc ul ar a integ ral indefinid a do lado esq ue rdo de

P(1) = eª1bxe _ª- h1•

Se P (O) = Po. então

(b)

- - - - - dy = - d.x y

ln Po = (a l b) - e

assim

usamos a substituição y = 1ocos

e. segue-se que

e = (a/b) - ln Po. 7.

29,3 gramas; X -> 60 co mo r 30 gramas de B. Pa ra

~ oo;

( 10 +

O grama de A e

* {J, pode mos separar a equ ação diferenc ial,

x= !Oln ~ 19.

a-X

_,------z

J-'1100-y" .

Fazendo a substituição w = x 2 , a equ ação diferencial torna-se

-1- [ - - 1 - + - -1 ] dx = kdt.

a-{J

2 w = y dw + _!. ( dw ) • dy 4 du

{J-X

Segue-se imediatamente que

a qual é uma eq uação de Clairaut. A solução é -

a - fJ

[ln la - XI - ln lfJ

Para

XIJ

kt + e

x2=cy+4· _ I _ ln 1 a

a - fJ

- X

fJ -

1 = kt =

Se 2c 1 ::;;: e. vemos que 2ciy +

a = {J. a equação pode ser esc rita como (a - X) - 2 dX = k d t. 21.

- ylny+oy=a lnx - {Jx+c

23.

(a)

Segue-se qu e (a - X)- 1 = k t + e ou

X =a - -

1- ·

descreve uma família de parábolas.

d 20 dO g dO A eq uação 2 dt 2 di + 2 1 se ne -;;; = O é a mesma que

kt + e

11.

(a)

v2 =

(2gR 2/ y)

vÔ-

2gR.

quan~o y aumenta, v diminui. Em particu lar. se vo - 2g R < O, e ntão há algum valor de y para v = O; o foguete pára e vo l!a à terra so b a influênc ia da gravidade .

!!_ (<!!!.. ) + 2 lf sen (} <!!!_ = O. dt

Notamos que,

Integrando essa última equação em relação ate usando as condições iniciais, obtemos o resul-

tado.

448

Equações Diferenciais

(b)

Volume 1

De (a).

(a )

lntegrando a última equação. obtemos o tempo que o pêndulo leva para ir de 8 = 80 a 8 = O:

-ílf \1 lg

1= .

80 0

~cos

d8 8 - cos 80 .

O período é o tempo total T para ir de 8 = 80 e voltar a 8 = 80. Isto é.

-f2lf ~

2 .\/

80 0

~cos

d8 8 - cos 80

Exercícios de Revisão,

P(45) = 8,99 bilhões

acie ak1t x(r) = - - - - I + cieak1t

(a)

T(r) = Ti+ BT1 +Ti -T2 1+ B 1+ B

(b)

Ti+ BT1. ----.

(e)

Ti+ BT1 1+ B

nenhuma so lução

(e)

(d)

y =

sen x

ex cos x + e - n/ 2ex sen x

cie' scn x. em que c2 é arbitrário

(-=. 2)

). = n, n

15.

dependente

17.

depe ndente

1. 2. 3,

19.

dependente

21.

independent e

23.

W(x

25.

W(sen x, cosec x) = - 2 c1g x. W

112 ,

x 2) =

~x 312 " O em (O.=)

= O somenre em x = n/2 no interva lo.

W(e', e-'. e 4'} = -30e 4·' " O e m (- =.=)

29.

não

31.

(a)

)' "

(b)

2(y - 2)2 + (x - 1J2 =

(b)

13.

y 3 + 3/x = ci

=x2

y = e' cos x - e

ll.

27.

Capítulo 3 p. 133-134

= O,

3 - 2y J = x23 - 2 ( ; )

= O

3 2c c3 2 2y = - - 2 - = - c ( l - e 2) "O x2 x3 x3

para e " O. ± 1 33.

As funções satisfazem a equação diferencia l e são linearment e independentes no intervalo, pois

y(r) = c2( l +

c1eakit)"1 k 1

W(e - 3', e4x) = 7e' "O; y = cie- 3' + cie".

35. ek(I + B)t

As funções satisfazem a eq uação diferencial e são linearmente independentes no intervalo. poi s

W(e ' cos 2x, e' sen 2x) = 2e2x" O;

1+ B

37.

As funções satisfazem a eq uação diferencial e são linearmente independentes no intervalo, poi s

EXERCÍCIOS 4.1, p. 162-16 7 39.

As funções sati sfazem a eq uação diferencial e são linearmente independentes no intervalo, pois

W(x, x- 2, x- 2 In x) = 9x- 6 " O;

)' = 5.

y = 3x - 4x ln x

C JX

cµ- 2

C)X- 2

Volume l

41.

Respostas dos exe rcicios selecionados

e2r e e 5x formam um conjunto fundamental de

449

e W(x 3. x 2 ) = - x.i. Logo Y1 e Y2 são li nearmente independentes no intervalo .

sol uções para a equação homogênea: 6ex é um a so lução parti cular para a eq uação não-homogênea.

43.

soluções para a equ ação homogênea; x2e 2x + x - 2 é

(f)

Nenhuma; formamos uma solução gera l no in terva lo no qual a2(x) i=- O para lodox no inlerva lo. A co mbinação linear

uma solução parti cular da equ ação não-homogênea.

45.

(a)

= x 3 , Y2 = x 1 . ou Y2 = Ld 3

(e) e 2.t e x 2J formam um co njunto fundamental de

Os gráfi cos mostram que y1 e y2 não são múlti pl os um do outro. Ainda x 2yí' - 4xyí + 6y1 = x\6x) - 4x(3x 2) +6x 3

= 12t3

12t3

será uma so lução geral para a eq uação. di -

gamos. no interva lo (0,

Para x ~ O, a demonstração de q ue y2 é uma solução para a equação é exatamente co mo feita acima para y1.

47.

(a)

~).

Como )'te y2 são soluções para a equação diferencial dada, lemos a2(x)y í' + a1(x)yÍ + ao(x)y1 = O

a2(x)yí' + a1(x)yi + ao(x)n =

A gora, mulliplicando a primeira equação por y2 e a segunda por y1 e subtraindo a pri meira da segunda: X

a2(x)(y1yí' - y2yí' 1+ a1(x)[>·1yi - )1YÍ] = O. Verificamos faci lmente que

(b)

(a)

Para x < O,

d\V d {, ' ') " " dx = J; v'IY2 - Y2Yt = YIY2 - Y2Jl ,

x 3 assim e daí segue-se que

x 2yí' - 4xyi + 6y2 = x 2(-6x)

- 4x(-3x 2) + 6(-x 3 ) = - 12x 3 + l 2x 3 = O. ( b)

Para x

a2(x) ( b)

~ O.

W(y1, Y2) =

x 1

1 3x 2

3x 2

-x

3x 2

)2 1 =

e Jla1(x)/ a:z(x) 1d)...

3x 5 - 3x 5 = O.

Logo, de

- 3x

d J;[e

f [a1(x)/a2(x) ] dx W J = O

+ 3x =O.

-f [a 1(x)/a2(.r) ] dx

- 3x

Logo W(y1 . nl =O, para todo va lor real de Não, a2(x) = x 2 é zero em x = O.

(d)

Como Yt = y1, precisamos mostrar somente

= x 2(2)

=ce . Substituindo x = xo no res ultado obtido. encon-

obtemos

(c)

x 2 r;'-4xY;+ 6Y2

+a1(x)W = O.

Como essa última eq uação é linear de primeira ordem. o fator de integração é

Para x < O,

W (y t, Y2) = 1

d\V dx

(c)

tramos e = W(X-O) . (d)

- 4x(2x)+6x 2

Como uma função ex ponencial nunca se anula O, segue-se da parte (c) que quando W(xo) W O. Por outro lado. se W(X-O) = O, temos imedi atamen te que W == O.

=8x 2 -8x 2 =0 49.

Da parte (c) do Problema 47, te mos

450

Equações Diferenciais

W(yi. yi) = W (y 1(xo). y2 (xo))e k1 1

kJ k4

Volume I

-f'xo dtlt

e - ln {xlxo)

13.

y=c1e2x/J+c2e-t1 4

15.

17.

= e -~( c1 cos

19.

)':::

21.

y :;;;. c1e X + e - x/2 ( c2 cos

h/3

27.

y =

lnltl

29.

y=c1 + cv: +e -

31.

y = c1

= (k 1k4 - k3k2>(

EXERCÍCIOS 4.2, p. 172-173 1.

Y2 =

Y2 ;; xeh

= sen 4x

= scnh

e-5x

)'2

= xe

11.

)'2

13.

= 1

15.

y2=x 2

17.

19.

)'2 =X

21.

}'2

~ x + C2 sen 3x

2-./3

x + c3 scn

c 1e - .1.

+ y

CJX

x/2 (

-./3 2 x

cos

c2xe-.'C

-./3 T

cos

= c1 + cie -

c2 sen

c3e lr

c4 cos

2x +

= cie

-X

39.

3 -5x y=--e +-43 e -x 4

y2 = ~ [t g x sec x + lnlsec x + tg xlj

41.

y = - e'12 cos(x/2) + e'12 scn(x/2)

43.

y =

45 .

y = e 2(x

9 4.

y=- 6e

27.

29. 31.

= 3x + 2

e , Yp = -

EXERCÍCIOS 4.3, p. 180-182

cixe

c3e

c4xe

2 cos 4x - ~ sen 4x

o - 1) _

1 2'

ex -

1 _,

+6e

cosv3x -

e-x sen ffx

y =

c5 sen

y =

)'2 = X

-./3 2 x

37.

25.

,[} x ) T

-./3 2 x

x + C4X sen

-./) c3 cos Tx+ c4 sen

)'2 =X]

T-./3 x )

cJ,t 2e-x

35. 23.

)

+ cie-r + c3e 5x

+x+2

33. X

c2 scn x)

= x cos(ln x)

e 2 \"(c 1 cos x +

cos 3x + c2 sen 3x

5 1.

y = 2 - 2e' + 2xe' - ~x 2 e'

53.

y = e5x - xe5x

55.

y = -

COS X

c5e

- 5.c

Volume I

57.

!!.}_ dx3

+ 6 i!._y_ dx2

y"- 3y'- 18y =o

63.

y"' - 7y" = y

35.

Fo Fo x = 2w 2 scn wr - 2w

37.

y = -

61 cos x

t cos wt

sen x +

2l x

scn x +

--f

cos

T{i x

C•

sen

6 cos x - 6(cotg l) sen x + x 2 - l

41.

y =

43.

scn 2..r + ~ sen x, cos 2r + y= { ' 3 cos 2x + 65 scn 2x,

2{i x )

EXERC ÍCIOS 4.5 , p. 200-201 y=c 1e -x+c2e -2x +3

y =

= c1

+ c2e x + 3x

13.

y = c 1 cos 2x + c2 sen 2x - ~ x cos 2x

15.

= c1

cos x + c2 sen x - ~ x 2 cos x + ~ x sen x

x+H sen 2.x --ii cos

19.

y=cie-x+c2.xe -x- tcos

21.

y=c1 +cix+CJe6x - ±x 2 -

25.

5)y = 9 scn x

(30 2 - 50 + l )y = e'

(0 3

(30 - 2)(30 + 2)

(O - 6)(0 + 2)

40 2 + SO )y = 4x

c1 cos ..f3x + c2 sen ..f3x + (-4x 2 +4x - ~)e 3 -'

= c1 +

fJ cos x+iJ sen x

cos x +,c2 sen x +eµ: cos x C4X

sen X

39. y = ll - lt e ·' + 9xe' + 2< - 12c 2e' + te 5-'

{i + C:::! scn {i x ) c1 cos Tx

EXERCÍCIOS 4.4, p. 193-195 l.

31 sen

=e -·hx/2( {'f,;2( + e

451

- I OOy =O

6 1.

65.

Respostas dos exerc fcios selecionados

X2 -

27.

Yp = 4 +

29.

y = {i sen 2x -

31.

y = -200 + 200e - ' 15

0(0 + 5) 2

13.

(O -

15.

0(0 + 2)(0 2 - 2D + 4)

21.

o•

23.

0(0 - 2)

l )(O - 2)(D + 5)

25 _ 0 2 + 4

27.

0 3(0 2 + 16)

29.

(O + l) (O - 1)3

31.

0(0 2 - 2D + 5)

35.

e , e

37.

cos

39.

l. e 5'. xe 5'

2x -

cos 2x

"i -

li.

3x 2 + 30x

- 3x/ 2

Vsx,

sen

Vsx

O ,;; x,;; n / 2 X

> Jí/2

452

Equações Diferenciais

Volum e 1

EXERCÍCIOS 4.6, p. 208-209 1.

EXERCÍCIOS 4.7, p. 217-218

y:;:;;:c1e - J:r+C!_e3x-6

= c1

cos x + c2 sen x + x sen x + cos x lnlcos xl; {-tr/2, tr/2 ) x + C2 sen x + ~ sen x - ~ x cos x

= c 1 cos

:;::: C! COS X+ C) Sen X -

11.

y :::: cie - x + c2e 1.r - ex + 3

13.

= c1 cos Sx

y == e 1 cos x + C2 sen x + ~ -

= c1e(

+ cie-x +

y =

+ c2 sen 5x +

e'(c 1 cos 2x +

se n 2x)

+ } e' sen x

y = CJ cos Sx + C2 sen Sx - 2x cos Sx

23.

y =

+ sen

cos

1; x+

+ 2 cos

X -

c2sen1;

cos

11.

15.

y = - 1~15 + 1~15

37.

y = - tr cos x -

Yp = Axtf

e5x -

JÕx 2

T se n x -

+ c2e- 2r + (e-x + e- 2t)

+ xex tg- 1x; (- oo,

oo)

3x lnlsec 3x + tg 3xl ;

{- tr / 6, tr/ 6)

+ ~ e 8' - ~

35.

±xex - ±xe-"

Jn (l + e'); (- ~. ~)

- f, e' cos y = ~e -

y = cie' + cixe' - ~e' ln {I + x 2)

21.

41.

= c1e-x X

3 1.

33.

i cos 2x;

±sen x

2 1.

e-• (c 1

x; (-oo. oo )

= ctex + C1e-x +~X scnh x; (- oo, oo)

xo > O; (O, 19.

COS

y = c1 +

8 3 cos 2x + 2x cos x

+ Be' cos 2x + Ce' sen 2x

+ Exe' cos 2x + Fxe' sen 2x

cos x + c3 se n x - lnlcos xl

- sen x lnlsec x + tg xl; {- tr/2, .tr/2)

+ ~x

= C]ex +

e 3X;

23.

25.

1 -x/2 + 3 e'/2 + 1 2 x/2 y:::;4e 4 gxe - 41 xe x/2

c2e2x.

C)e-x

1 -8

27. 29.

y = cix + cix ln x + ~x (ln x) 3

(-oo, oo)

oo, oo )

Volume l

33.

x(1) = 2 ../2 sen ( 51 -

x(I) =

"5 scn(•ffr

16x + 2 1 + xe-x ln x

x(I) =

./iOI sen( l<X lO

2.45 N

Exercícios de Revisão,

11.

../2n /8

13.

x(I) = - ~

15.

(a)

= 4x 2 -

\6x + 2 1

(a )

}'p 1

(b)

Yp 2 = xe - x ln x

(e)

Yr = 4x 2 -

Capítulo 4 p. 219-220

Respostas dos exercícios selecionados

COS

+ 3.6052) + 1,4711)

4 ../61

y =

Fa lso, as funçõe s fi(x) = O e f2(x) = e' são linearmente dependentes em (- oo, c:.:i), mas J2 não é múlti plo de fi.

( b)

4 m/s; para baixo

(- ~. O); (0.

(e)

r = (2n + l ):n:/ 16,

fa lso

y1,

17.

+ Bxe'

li.

)'2

= sen 2r

15.

y=c1+c2e- 5.c+c3xe - 5x

17.

y = cie - x/3 +e -

19.

y = e

Jx/ 2 (

cos

2..J7

x + c3 sen

2..J7 x )

19.

x(n/ 12) = - 1/4; x(n/8) = - 112; x(n/6) = - 1/ 4; x(n/4) = 1/2; x(9n/32) = ../2;4

cos

2fü

x + c2 sen -fü 2- x

a massa de 20 kg a massa de 20 kg; a massa de 50 kg

(e)

r = nn, ri = O, 1, 2, 3, ... ; na posição de eq uilíbrio; a massa de 50 kg está movendo-se para cima cnquanlO a massa de 20 kg está movendo-se para cima quando n é par e para baixo quando n é impar_

x(I) = ~ eos 21 + % sen 21 = - 4-

= c1

23.

y=e

25.

+ cie 2x + c3e 3f +

x - ~

i sen x -

~ cos x + } x

cosx

= e'(c1 cos x + ci sen x) - ex cos x lnlsec x + tg xl

27.

y=~et 12 -~e 3 x+xe 3 x- 4

EXERCÍCIOS 5.1, p. 233-236 1.

Uma massa de 125 g atad a a um a mola é solta de um pon to 3 unidades ac ima da posição de equilíbrio com ve locidade inicia l de 2 m/s para ci ma. A consta nte elástica é 3 N/m.

23.

sen(2r + 0,5880)

5cos 101 + ~ sen 101

(a)

x(1) = -

(b)

5/6 m; n/5

21.

= O,\, 2,.

(a)

) 21.

(b)

fü

Jx/2(

453

%sen( I01

- 0,927)

(e)

15 ciclos

(d)

0,72 1 s

(e)

(2n + 1):n:/20 + 0,0927, n = O, \, 2,.

(f)

x(3) = - 0,597 m

(g)

x'(3) = - 5,8 14 rn/s

(h)

x"(3) = 59,702 m/s 2

(i)

± 8t rn/s

0,1451 + rm/5; 0,3545+ nn/5,

(k )

0,3545 + nn/5; n = O, 1, 2, ...

120 N/m; x(1) =

fl sen J2

85 1

=0, 1, 2, ..

454

25.

Equações Diferen ciais

Volum e I

Usando x(1) = c 1 cos w1 + C:? scn w1. x(O) = xo e x'(O) vo, encontramos c 1 xo e .~ ci = volw . O resultado segue-se de A = "\/ cl + ct

..f2

A diferença entre dois máximos (ou mínimos) suces-

sivos é portanto

cos( 51 + 5: )

27.

x(t ) = 2

29.

Quando w1 + </J = (2m + 1)Jt/2, lx"I = Aw 2. Mas T = 2Jrlw implica w = 2Jr/Te w 2 = 4.n 2/T 2 . Portanto. a magn itude da ace leração é U"I = 4n 2A! T 1.

1; + 2 -

2 1.

= (k + 2)(.n/y) - k(.nly) = 2.nl y.

°'1w2 - ,<2

EXERCÍCIOS 5.2, p. 245-248 l.

(2.k+ l)Jt/ 2 - <P

lk+i _ lt. = í2k+3W2 - d!

°'1w2 - À2

.Yw2 - ,<2

Uma massa de 62.5 g está atada a uma mola cuja constante é 1 N/m. O sistema é amortecido com uma

23.

Denote o quasi-período por +2Jr/ .Yw 2 - -< 2 a ser denotado por Tq. Da eq uação ( 15). temos

força de resistência numericamente igual a 2 vezes a

~=~

velocidade instantânea. O peso parte da posição de eq uilíbrio com velocidade de 1.5 111/s para c ima. 3.

(a)

acima;

(b)

para cima

(a)

aba ixo;

±s;

x(t + Tq)

- y1

·~

sen('Jw'" - ,l'" 1 + </J)

para baixo

(b)

~ s. x( ~} = e- 2; isto é. a massa está aproxi -

pois,

madamente 0,14 m aba ixo da posição de eq uilíbrio.

11.

13.

IS.

-8t

(a)

x(I) =~e

(b)

x(1) = - ~e- 21 + ~e- 81

(a)

x(t) = e- 21 [-cos 41 - ~ sen 41J

-21

2-JS

(b)

x(t) =

(e)

1 = 1.294 s

(a)

> 512:

(b)

> 512:

(e)

- 3e

-21

Logo , ln

Xn ( Xn +

2JrÀ = ÀTq = ~·

)

sen(41 + 4.249)

EXERCÍCIOS 5.3, p. 257-25 9 1.

< 512

4 cos -W- 1 64 W x(1) = e -1/2 ( _ 3 2 3 .,/ 47 sen - 2-

x(I) = ~e - 71 sen 71

17.

vo >

19.

Suponha y = .Yw 2 - -< 2 . Então. a derivada de x(t) = A e - J.i sen(w1 + </J) é

2 m/s

x'(t) = Ae -J. 1 [y cos(yt + </J) - À sen(yt +

J10

(cos 31 + sen 31)

x(t )=ie - 41 +1e - 41 -~cos4t

x(t) = -

</J)J.

t cos 41

+ ~ sen 41 +

te-

2' cos 41 - 2e- 21 sen 41

Logo x'(t) = O, implica tg(yt + </J) =

de onde segue-se qu e

d 2x dx md 12 =-k(x-h)-{3dtou 2

d x d(i

2À

d; + w x = w h(t),

em que

)

Volum e I

Resposta s dos exe rcícios selecionados

sen " se n v = ~ [cos(t1 - v) - cos(u + v) J.

U = {Jlm e w 2 = k/ m .

(a)

x(t) =} sen 41 --j-sen 81

( b)

(e)

r = rr/ 6 + rll[ / 2.

(d)

Fazendo

º·

= {(y - w)l e v = ~(y + W)l,

~~mm

= 11n/ 4. n = O, 1. 2,.

455

sen ~ (y - w)1 sen ~ (y + w)l =

1, 2 ..

I [cos wr -

cos y1 ] .

do qual o res ult ado segue-se.

= n /3 + 11.n:/2, n = O. 1. 2 ..

Para E pequ eno. y = w assim y + w = 2y e

(b )

..fl/2 c m, - ..fl12 c m

portanto

(e) -2 ~ X

(w+y)(w-y) sen 2<r-w)1 sen

Z (y+w) r

Fo 1 = lyE sen E/ sen Z (2y)I. 7t/2 /

Pe la re g ra de L' Hôp ital. o limite dado é o

(e)

mes mo que

-1

For cos EI sen

lim

11.

(a)

g'(y) = O impli ca y(y2 - w 2 + :U 2 ) = O logo. y

= O ou y

~w 2

= -

= - 5 cos 21 + 5 sen 21 = 5

15.

(a)

~ scn ( 21 - ~ )

x(l) = Xc

q(r) = -

Fo(- r scn y1) - 2y

x(I)= - cos 21 -

19.

(a)

i (1) = 15 sen 41

subamorteci do

4.568 co ulombs; 0,0509 s

q(r) = 10 - 10e - 3'(cos 31 + scn 31):

i(I) = 60e - 3' sen 31; 10.432 co ulombs

/J e c2 = O.

t sen wr.

k sen 21+~ 1 sen 21+% 1 cos

'!µ = . l1,

Pela reg ra de L' Hô pital, o limite dado é o

17.

q. cos 41 + q.;

mesmo que

lim

EXERCÍCIOS 5.4, p. 264-265

Fo cos wt + c2 scn wt + w2 _ y 2 cos yr.

e, = - Fol(w 2 -

y.., w

r sen y1 = 2w r scn wr.

em que as condições iniciai s implicam que

(b)

Fo 2y

2l2. O primeiro teste da

deri vada pode ser usado para ve rifi car que g(y) é um máx imo no úllimo va lor

13.

E-+ O

',~ scn r + ',53 cos 1 100

cos r -

150

sen t

13.

q(l)= -~e- ' 0'(cos IOr+sen I01J+f; f coulombs

15.

Mostre qu e dZ/ dC =O quando C = l/ Ly 2 . Nesse va lor Zé um mínimo e a amplitude corresponde1ne

Eo/Z é um máximo.

Lembre-se de que

(qo - ~) cos - 11 - rh c -JLC

cos(u - V) = cos u cos v + scn u sen v

17.

q(I) =

,-;-;e:. ' L C 10

cos(u + V) = cos u cos v - sen u sen v. Subtraindo, temos

i(r) = io cos

-./LC

1 EoC sen ,-;-;e:+ - - - - cos y1; 'LC 1 - y2LC

456

Equações Difere11ciais

- - 1- ( qo -

-JLC ~

1 - y 2 LC)

scn -

Volume l

15.

-JLC

y=x-

112 [

17. y = c 1x 3 +

EoCy

~ ln x)+ci sen (~ ln x)]

c 1 cos( r2

cos(fi ln x) + c3 sen(fi ln x)

- - - - scn yr

1 -

19.

/ te

0(1) =

cos 41 +

Capítulo 5 p. 267-269

2../3

sen 41;

1: .rr/ 2; 2/.rr

Exercícios de Revisão,

8 cm

5/4 m

Falso; poderi a haver uma fo rça extern a agindo no s iste ma

superamortec ido

9/2 N/m

13.

O< m :,; 2

15.

y = 8 VJ/3

17.

x(I ) = e - •t

x ( 19.

26 17

.r. 28 { i {i ) 8 _, cos 2 v2 t + - 1-7 - sen 2 2 1 + 17 e

1 T5õ

sen 1001 +

751

y = 2 - ix - 2

25.

y = cos(ln x) + 2 scn(l n x)

27.

y = 2(-x) 112

29.

y = c 1 + c2 ln x +

C4X - 3

S(- x) 112 ln (-x)

37.

y=x 2 [c1 cos(3 ln x)+cz sen(3 ln x) J

4 1.

u (r)

= (

(b)

. 2 cos 1o01 + 3 2 cos 5o1 1(1) = - 3

(e)

43.

Y =

uo -

45.

y = c1

C\ (X -

sen 501

u1 )

E!!_ +

u 1b -

+ C2 ln

y =

y = c1 cos(2 ln x) + ci sen(2 ln x)

y = C\X(2 - ,/6) + CZX(2 + ,/6)

y =

cos(} ln x) +

sen(} ln x)

y = x[ci cos(ln x ) + c2 sen(ln x)]

+Ti+-kx

t /{){l

b -a

1f I + c2(x - 1)4

cos(ln (x + 2)) + c2 sen(ln(x + 2))

EXERCÍCIOS 6.2, p. 296-297

= nn/50. 11 = O, 1, 2 . . ..

EXERCÍCIOS 6. 1, p. 284-285

13.

23.

ci.x

b -a

q (I ) = -

y = c1 +

33. y = cix + cix ln x + x(ln x/

(a)

+ eµ 2 +

2 l.

(- 1. l]

[- t. ti

[2, 4 1

(- 5, IS)

(O)

- 301 x5 +.

11.

x+ x '- + 31 x 3

13.

X -

15.

x2 - ~x 4 + *x6 - l~~xs + ...

17.

x + kx3 + -iixs

~X] +

{sx5 -

3~5 X 7 + ...

+ 3\1s x 1 + ··-

Volume 1

Respostas dos exercícios selecionados

19.

21.

)' = ce -

°"'L.J (- I!)" x"

y = co

n =O

] 52 X 2 2 10! X 10 + ...

°"'

y1(x) = co: y2(x) = CJ

y = cex'13 .

-!! (x33 )n

y = co

n = O

y1(x) = co: fl

25.

y = c/ ( I - x): y = co

:.o

1 Xn -;;

L..,

23.

457

y2(x) = c1

x2n·

x2n + 1

n =O

27.

cos x + C2 se n x;

y =

y::;

co ;

(- I)"

)'2(X)=c1 [

°"' (211(-+I)"

L.., (211)! : O

+Ci

L..,

2n + 1 13.

1)1

y1(x) = co[ I

}1(x) =

15. )' =

+ CJ n

co -

°"'Li

x" n!

4"x 2 +

34 X 14 7 ~X

6x +hST

ix 3 + ix 4 + ... J

11=0

X -

ci[x + -j-x 2 +

-:}.x 2

y(x) = -2 [1 +

Ix 3 + -j-x +

f,x 3

.. J

f;x 4

+ . .. J +

=8x-2e' 17. y(x) = 3 - 12x 2 + 4x 4 19.

EXERCÍC IOS 6.3, p. 306-307 1.

y 1(x) = co[ 1 + -

21.

3x2

x3 +

6x5x3x2

y1(x) = co fl - ix 3 + 1 ~ 0 x 5 + ... ] y2(x) = c1 [x -

~ x 4 + 1 ~ 0 x 6 + ... l

y1(x) = co [I -

x6 y2(x) =

+ 9 X 8 X 6 X 5 X J X 2 x9 + .. . ] )'2(X) = Ci

[X + _4x3 I_

x4 +

7x6x4x3

- - - - - - ' - - - - - - X 10 10 X 9 X 7 X 6 X 4 X )

YJ(X) = CO [ 1 -

2i1

x- -

)'2(X) = Ci [

1 3!

+ -

5. Y1(x) = co [ 1 -31 x )'2(x) = c1 [ x -

+ 4

3 4!

5 5!

23. )'l(X) =

...

21 6!

45 7!

+ -

52 X 2 2

. ..

+ ix 3

ci[x - ix 3 + ~x 4 CO [

fiix 5

4 311 X 3 - 6!

2 4 5 X 2 = CJ [ x+41x +-7-,-

]

6 72 X 4 2 9 x - - 9- 1 X -

+ - 7- 1-

6 X

7 X

+ ... ]

7x4 9-,-

9 X

5 X 2 10!

10 X

1 2 3 .5 6x3 8 9x6x3 11 +2ix +5!°' +"S!x +-11- 1- x + .

]

25.

··]

Para 11 = l:y =x; paran =2:y= t -2x 2.

EXERCÍCIOS 6.4, p. 328-329 ]

+ · ·

x = O, ponto s ing ul ar irregular

x = - 3, ponto singul ar regular; x = 3, ponto si ngular irreg ular

458

Equações Diferencia is

Vo lume l

x = O, 2i, - 2i, po nt os s ingul a res reg ul a res

1-x2 +--1- - x 3x 2 ... ] \'(X)= C 1x[ ) +_!.x+-

x = - 3. 2. pontos sin gulares reg ul ares

x = O, po nto sing ul a r irreg ul ar: x = - S. S, 2, pon -

Sx7

+ C:2.x - 112 [ 1 +

!x+

+ ... ]

tos singulares reg ul ares

l l.

= ~.

= O:

2 y(x) = C tx 312 [ 1 - -5 x

22 + ---- x 2 X 5 X

_ _ _2_J___ 9x7xSx3!

23 .

2 + C2 [ 1 - 2x - -2 - X '9x2

15.

IS x 31

1/3 [

25.

] ]

2 X 3+ 17x9x3 1

ri =

4. "

(2n + J)!

ln + l

sen x ]

= O;

y(x)=C1 [ 1

+~x+~x 2 J+c2 I

(n+ J)x"+ 4

n =O

27.

= ri = O;

y(x) = C 1y 1(x) + C2 [ y1(x) ln x + y1(x)

1 l 2 l +3x+---x + - 1- - x 3 +

3 2 x2 + C2 [ 1 +

=~ , ri =O;

y(x)=C1x

{2n)! x

= _!. IC1 cosh x +

e2.r - 1

ri =

]

- 1x2 2 X 4

= - 1:

n =O

y(x) = C 1x J / S [ ) - 15x +

3 X 3!

" =

= O,

2x~x6

]

23 + C2 [ 1 + 2x - 2x-' + - 13.

Sx7x9

~X + s ~

···Il

3 3 x3 1

2 )( 2 + 8

X 3

+ .. ]

X (-x

J.. ... 2 - _I_ x3 + 4

3x3!

e m qu e y 1(x) =

L...i

_l_x4 - .. . ) ] ·

4x4!

_!_x"=et n!

n = O

17.

ri =t.ri=O

29. y(x) = C1x 512 [ 1

l) X 9 X 7

+ Cz [ l +

+ -7-x + ~ x 2

X -

2 -

3 -

cm q ue y1(x) =

·]

n =O

31. y(x) =

= ri = O: X (2.r + %x 2 + *x 3 + ... )J,

)( 3 + ... ]

y(x) = C1y 1(.r) + C2 [y1(x) ln x + y 1(x)

= rJ. =

(- l)"x " (n !)2"

C1x 213 [1 - ~x + -fsx 2 - -ilx 3 + ... J l

x [ Jn x+x+4x 33.

= 2, ri = O;

l 3 + - - - x + .. 3 X 3!

]

Volum e I

Respostas dos exercícios selecionados

15.

A suposição y

L;;o = 0 c,,x" + 'conduz a

1O co m n = - 1, encontramos

não obtemos nenhuma nova solução. 17.

para n ;?: O. Para n = O e co * O temos r 2 + 2r - 8 = O e assim ri = 2. ri= - 4. Para esses va lores, so mos fo rçados a fa ze r c,1 = O para

= 1 e v = ±~.e n co ntramo s = ..fXJ312(x)ey = ..fXJ_312(x). -

Do Problema 12 com À. y

19.

e, [(ri + r)(ri + r + 2) - 8] = O

Problema

r = x - 1J_ 1 (x); do Problema 11 com n = 1. cncon;ramos y = x- 1J1(x) ma s com 1- i(x) = - J1(x).

35. O método de Frobeniu s proporci o na so mente a solução y(x) = O. 37.

Usando a sugestão . podemos escrever

(- 1)"

-V

xJ , (x)

! í(I + v +

n = O

> O. Logo. uma solução pode se r obtida na forma y = C(}X" '. Segue-se qu e a so lução geral em O < x < oo é y = C1x 2 + C1x - -1 _

11)

(1f'

39.

r (r - 1) + ~ r -

j- =

r1 =

j-.

y = cilo(x)

y = c 1h(3x) + ci Y1(3x)

+ v)í(n + V)

(-1 )"

n'f(I +v+n)

n ! í(11

(xf'

+ v)

-Vl v(x) + xlv - 1(x).

+ c1 Yo(x) 21.

Subtraindo as equações

Depois de usarmos a mudança de variável, a equação

xlv (x) = vlv(x) - xlv + 1(x)

diferencial torna -se

xlv (x) = - vl u(x) + xl v - 1(x)

lemos 2vlu(x) = xlu

Como a solução da última equação é V = cil1 12(Àx) +

czJ- 112(Àx),

23.

Do Problema, 20,

d dr

1(x) + xlu - 1(x).

[rJ1(r)] = rJol_r). Portanto

temos

J x rlo(r)dr = J x 11.

Após substituir na equação diferencial , encontramos

25.

13.

Começando com rr

x lo = x

x O = O.

Do Problema 1O com 11 = ~ encontramos y = x 112 J1 12(x); do Problema 11 com n = - ~ • encontramos y = x 112}_ 112(x).

[rl1(r)]dr = rl1(r)l x

= xl1(x).

xy" + ( 1 + 211)y' + xy

= x -" -

!!_/

n - 1

xJo = x

n - \d

(xJ 1)

e então integrando por partes.

"/2 -;;-;

27.

}_ i /2(X) = -

29.

J_ 312(x) = \,/ -;;-;

COS X

_(2[

COS

- sen x - -x-

L. -~(-_!~)"_ (.:':_2 )2n +V -

+ c2l - s12(x)

n = O

y = ciJ1 13(x) + c2l - 113(x) y = cils12(x)

(-l)"(n + v) n !(n

ri = - 1

EXERCÍCIOS 6.5, p. 343-347

+ 2

= -

459

460

Equações Diferencia is

~ [;

3L.

l -s12(x) =

33.

1-112(xl

35.

y = ci fv(x) + c2 l -v(x).

37.

Como l/ r(I - m+ um inteiro positivo,

Volume 1

x+ ( : 2

sen

1 J cos

' <!.2

{ I - x-) dx 1 - 2c 0: dx + n(11 + l )y =O.

="'" fIT ( 1 _.!2 Jse n x+(L.!2 Jcosx] JU L Á2 X X]

43.

Usando série bin omial, forma lmente temos

inteiro

V "#

11) =O quando

/1 ~ 111 -

1. m Agrupando as porências de r encomramos

(- I)"

l -m(x) = ti

n !r ( L -

11' r(l - m

+ n)

111

(~2 )2n

- m

(~)211

+ m

(- I)" +

45.

Para k = 1, P2(x) = ~ [3xP1 (x) - Po(x)] = I(3x 2 -

(- I )' +

'=o

(

(k+111)'r( I +k)

= <-1)"'

'f )

2k + m Para k = 2. P3(x) =

(n=k+m)

- __(~-_ll'__

r ( I + k + rn)k

(-x2

)2k + m

Para k = 3, P4(x) =

Para k = 4. Ps(x) =

= P6(X) sati sfaz ( 1 -

x 2)y" - 2xy' + 42y

47.

= sen20

tjl'_ = tjl'_ dx = - sen (} tjl'_ e df)

dx d(}

4 -

3P2(x) ]

30x 2 + 3).

[9xP4(x) - 4P3(x) ]

= "6(23 lx 6 - 3 15x 4 + 105x 2 - 5)

Para 2,

Se x = cos IJ. e ntão

±[7xP3(x) -

Para k = 5. P6(x) = -); f l l xPs(x) - 5P4(x)]

= O.

y=P1(x) satisfaz ( 1 - x 2)y"- 2xy'+ 56y=0.

41.

3x).

= k(63x 5 - 70x 3 + 15x).

P6(X) = "6<231 x 6 - 315.r 4 + 105x 2 - 5) P1(x) = "6[429x 7 - 693x 5 + 3 15x 3 - 35x ]

(b)

3 -

= k<35x

= (- l )'" Jm(X). (a)

[5x Pi(x) - 2P 1(x) ]

I (5x

' =o

39.

1).

~ - cos (}~·Agora a 49.

= O, 1, 2, 3, os va lores das int egrais são

_ 1

~ , %e ~, respec ti vame nte. No caso geral,

Pn(x)dx = - - - . 2n + 1

n = O, 1, 2,

Y2 é obtido de (4) da Seção 4.2 .

equ ação o ri ginal pode ser descrita como

<J.2 dlJ 2 +

cos El. se n O d() + l1(n + l)y = O.

assim

Capítulo 6 p. 348 J.

sen2 1J ~ - 2 cos () ~ + n (11 + l )y = O.

C iX - 1/ 3

3. y(x) = cix 2 + 5.

Como x = cos () e sen2 IJ = 1 - cos2 (} = 1 - x 2• obtemos

y =

Exercícios de Revisão,

C2.X 1/2 cix 3

+ x4

x 2 ln x

Os pon tos si ngu la res são x = O. x = - 1 + "3;, ..Jf;. Todos os outros valores de x, reais

x = .:. 1 -

ou complexos são pontos ordinários.

Volume 1

Respostas dos exercícios selecionados

ponto singular regular x =O; ponto singu lar irregu;ar

x=S ponto singu lar regu lar; x = - 3. x = 3; ponto si ngu-

lar irregu lar x = O li.

l<I <

13.

3 1 y1(x) = co[ 1 - - - x + 3 X 2 6

y2(x) = c 1[ x - -1- x 4

X }

+ ..

]

)

+ ~x 3 + ~x 4 + .. 1

yi(x) = c1 [x + ~ x

+ ~x

IS. y1(x) = co[ I +

X 10

...

2 l i.

y(x) = C1x[ 1 +

]

IS.

19.

112 [

X -

2 x + -x-5-x2 x

ri = 3, ri = O;

Y1(x) = C3[ x 3 + y(x) = C1y1(x)

21 X '-

* c2[-

~ x4 +

s2 + 2s +

]

21.

10 4 s2 - -

23.

s 3 + s 2 - :;:-

25.

~ + ~ +

27.

1-'-+s s - 4

---

's ~

+ ... 1

e' s - 1

s2 - 1 17. -.,--------,,-( 21

19.

9x7x5x3x2

+ Cµ -

13.

e_,

s - :;z + ~

(s -

ri=l.ri=-~ ;

17.

_!_

:f6 y1(x) ln X+ _\'l(X)

_!_ + _!_ _!_ + _I_ _!_ + ... )]

3x3

4x2

1 + -:;-

x 5 + ... ] 1

29. - + - - + - s s-2 s - 4 8

X (-

31.

-;J -

33.

Use senh kt = e

s2 + 9

16x

/(.(

91 {senh kt} =

EXERCÍCIOS 7.1, p. 360-362

35.

- lct

- e 2

~ s

- k-

- -1 - - -1 2(s - 2)

37,

s 2 + 16 3

1 1 _, . :;z-:;ze

39.

(

s s2 + 9 +

s J ~

para mostrar que

461

Equações Diferenciais

462

Volume I

±e - 2' + Jcos 2t + ±sen 21

4 1.

+1 )

(

43.

O resultado segue-se fazendo u = st cm

33.

j- sen

35.

lls

.1·

/+ 9 -

J ~ t ªe - SI dt .

.${t ª ) =

Ire~> 45 · 47.

EmO

•

$ t $

-u

1 1. - - - 2 (s - 10)

? 3/2 -S

I, ,-" ~ e - ' (s > O). Portanto,

EXERCÍC IOS 7.3, p. 381 -384

v;r

3/ 2 =

1 2 dt

~ e- s

+ 2)4

2 dt. 1

(s -

A última int egral diverge.

EXERCÍC IOS 7.2, p. 369-370

1 - 21 4

1 + 31 +

1- 1 +

e2r

11.

t sen 71

13.

cos(t/2)

IS.

±senh 41

17.

2 cos 31 - 2 scn 31

19.

3- 3e

15.

e 3' sen

17.

e- 2' cos t - 2e- 21 sen e

(s + I )" + 4

e-'

25.

-2s

_e_ + 2 _e_ s

0,3e 0 ·" + 0,6e - 0 •21

25.

2 e

27.

-e3'+1e61

29.

5e - ns -s2 + 4

6e -' (s -

27.

_.!.e-•+ J_ e2t _ ! 5 IS J

29.

±t - i

scn 21

,. +

r ,

2ll ~ -

-2s

_3,

23.

(s - 4) 2

(s - 3)2

23.

~e - 3'+± e '

- 9

+ .;; 1 3

9. 41 e - 114

21.

(s - 5)

(s - 2)2

1)2 + 9

2_ + - -'' - + __ 9. - -

t - -); sen 21

1)4

31.

I(I - 2>2 'U(t -

33.

- sen t 'Pt(t - n:)

e-Jr

i 1 j

Volume I

35.

37.

lf/t,(_1 - 1) -

e - (t -

11 'it(t - 1)

Respostas dos exe rcícios selecio11ados

EXERCÍCIOS 7.4, p. 392-394

s2 - 4

(s2+ 4)2

Como f'(t) = e 1. fi.0) = 1. segue-se de ( 1} que !li (e 1 } = s.!li (e'} - 1. Resolvendo. temo s .9' (e

39.

6s 2 + 2 (s 2 -

3. 5.

= l/ (s - 1).

43.

~ t sen t

45.

(e}

2s -

s - 2

(s -

=- - -,

F(s)

[(s - 2>2 + 36 J2

1 s(s -

s +

s [(s + 1)2 + li

47.

(f)

49.

(a}

51.

fi.1) = 2 - 4 qt(I - 3):

ll.

!li(/(1)} = 53.

1 }

, (s - + 3s)F(s) -

1)3

12s - 24

41.

463

3.s - .'s!.

1 s 2 (s -

e - 3'

/(t} = , 2 lf/t,(_1 - 1)

15.

55 = (1- 1)2 '\'t(1 - 1} +2(1 - 1) 'Pt(1 - 1) + <U(t -

- s

-s

I );

17.

.!li {fi.1}} = 2~+2~+~ s3

55.

19.

/(1) = 1 - 1 'Pt(1 - 2) = 1 - (1 - 2) qt(r - 2) - 2 qt(I - 2): 1

- 2s

-2s

/(1) = qt(r - a) -

- as

27.

~I sen 21

29.

O resultado segue-se fazendo u

6 l.

- l

- e

63 _ sen 21 t

' ' :

'' d t

- bs

) F.

59.

fi.t)e - 5« -

-U(1 - b}:

.!Zi (fi.1}} = - - - - -

s - 1 (s + l)[(s - 1)2 + I]

21.

.!li(fi.1)} = - _e_ - 2-es2 s2 s 57.

48 8

integral. - e

31.

s(I -

33·

e- 2ª 5 )

~ ( ~s

1 ebs _ 1 )

35 _ cotgh(n s/2)

s2 + 1

s(I +

- as

e- ª5>

na primeira

464

Equações Dife renciais

Vo lume 1

37.

39.

i (1)

= 20.000[1e - l00t _

4 1.

q(t)

s2 + 1

EXERCÍCIOS 7.5, p. 407-4 12

(r - l )e - IOO(i - l)<U(r - 1) 1

(e - '' - e - 1/ RC )"

1 - kRC

q(r)

= §!!.

ie - 1/ RC

y = - 1 + e1

y = te - 41 + 2e - 41

y=it+ÍJ - -:be 3'

-i-e -1- 3-e -4t

43.

q(t )

= ~ 'lt(r

45.

. 1(r)

1 - 101 1 = lõT e - lõT

+~re 31

3) - fe- 5<1 - 3> <U(r - 3)

_ ...!..Q_ e -

10(1 - 3,,12)

y = cos t - ~ scn r - ~

13.

<U( 1 _ 3.n: )

y = cos '

19.

y =

3.n: ) 1- 2

1 sen ( t - 2 3.n:)( 3.n:) + lõT ('(t r - 2

t - ~ e' cos t + ~ e ' sen t

17.

('(t (

cos t

15. )' = - ~e - 111 + ~e - 2t +

sen t

10 1

10 ( 1- 2 3.n:: ) +lõlcos 11 .

10 lõT

cos 1 +

fgi

47.

+ ~e-1

i(I)

= !._ R

+ ~(e - Rtl L _ 1) R-

+ ~

[5 - Se - <1 - IJl 'U(r - 1) fl

(e-R (1- nV L _

1) <Pt(r - n)

= 1

Para0 $ 1 < 2, .

- .!.(1 - 1) <Pt(r - 1)

+ 23.

y =

±e - 2(1 - 1)

cos 21 +

25.

±sen(t -

'.br) <U(t - '.br)

29.

2.n:) <U(r - 2.n:)

49.

sen t + ( 1 - cos(r - .n:) <U(r - .n::)

5 1.

q(t ) =

( 2Eo

37.

y = sen t -

S1 e -21

2l 1 sen

cos 21 + 4 sen

1 $ 1 < 2

. 1 1-

101;

é 6 sen l Ot

1 1 ) [e-• - cos(cl-JLC) J .

+ LC

kF.o ..fCj[

ie' +~te'+ ±t e'

+ - - - sen(r/ VLC) 2 1 k + LC

33. ./(1) = e-1 ./(1) = ii e

< 1

º f cos °'+ 6 sen 101;

a corren te estacio nária

/(1) = scn t

35.

R(t - I )/L -

q(I) = ~e- 101 + 6ce-

L k

ie - 1 +

- Rtl l

0 S 1

i(t ) = - 60te - 1

y = (e+ l )te - 1 +(e - l )e - '

31. ./(1) = -

-{:i(e - Rtl L_ 1),

+ ...!._ (e -

- ( 1 - cos(t - '.br) 11/t (t - '.br)

27.

1 1 L i(t )=~-+-(e 1 R Ri

<Pt(r _ I )

i sen 2(1 -

53.

3 -1.; 1.JiS -1.; sen 2 x(t) = -2e cos - 2 -1 - l O e

wo 4 2X 2- 6 L

55. y(x) = E/

3+ M1 4) X

;

Vo l11me 1

woL 4

17woL .a. 384EI .

57·

Capítulo 7 p. 419-421

SEI

wol 2 y(x) = 16E I

wol

2 X

Respostas dos exe rcícios selecionados

Exercícios de Revisão,

..a

+ 24El x

12El x

465

fa lso

ve rda deiro

s + 7 2

s2 + 4

EXERCÍCIOS 7.6, p. 417-418

e J(i

y =

y = sen 1 + sen 1 'ft(1 - 2n)

y = - cos

y =

- 2 > 11 (1 -

·.P'(i - %) + cos 1 .p{ - ~ )

±- ±e - 21 + [ ±- ±e -

2(1 - 1) l -fL, (1 -

17.

9. y=e- 2<i-2.rr)se n 1'Yt(l-2n) 11.

= e - 2' cos

j e - 2'

3t +

19.

cos n(t - 1) <U(1 - 1) + sen n(t - 1) <U(I - 1)

21.

-5

23. e-"F(s - a)

scn 31

25.

+ +

±e - 2(i - ") sen 3(1 - n) 'Yt(t - Jr)

±e -2( 1 -

e 51 cos2r +%e 51 sen 2r

scn 3(1 - 3n) U(t - 3n)

(a )

/(1) = 1 - (1 - ! ) "1,/,(1 - ! ) - 'U(I - 4)

(b)

!B{/(1)) =

__!_ - __1_ . -' -

(e)

9J (e 1/( t ) )

J __l<__

. 2

.!.. ,- 4' s

- - - ' - - • - (' - 1l (s - 1) 2 (s - 1) 2

- __l__ .-4(,

- 1)

(s - 1) 2

0 S x<Ll2

27. L/2SxSL

+ (1 - 2) 'U(I - 2)

(a)

/(1) = 2

(b)

$ (Jl1)) =

3. s

+ _!._ 2 s

. -2'

$(e1Jl1)} = _2_ + __l__ e-2(< s - 1 (s _ I) 2 2e I )' = 5te I +

(e)

IS.

De(7)com /(t ) =e-", te mos 29.

!B{Ó(t - to) ) =

J ~= e-" ó (t -

to) dt = e - " 0

17.

y = e- 1 cos t + .-(i -

19.

i(1) =

±e -

Ri! L;

não

31. y=5 <U(1-n)-5e 2 (1 - "l cos fi(1 - :n:) <Pt(t - Jr)

+ 5 fie Z(i - ") sen fi (1 - n) <l't(1 - n) M)

sen

<U(t - 3n )

466

Equações Diferenciais

EXERCÍCIOS Apêndice Ili, p. 432-433

+ ~ (2

35.

y = 1 +

37.

i (r)=-9+2r +9e-,;5

Volum e I

39 · y(x)= 12E/L

[

-S

5 X

.\ X

) X

EXERCÍCIOS Apêndice 1, p. 425 1.

(a) 24

(b) 720

(e) 4 ..fit13

(d ) -8 ..fit1 15

-58

= 4,

3. 248

5. 12

}' = - 7

11.

7. 16e3' = 4, y = 312, : = J

13. Seja z = t, t rea l arbitrário. A solução é x = - 113. y 5t/3 . .;: = t ;o sistema representa interseção li near de dois planos.

EXERCÍCIOS Apêndice IV, p. 437-438 L

3. - 11 - l li

7 - 4i

3. 0,297

í (x)>

5. 3 - 4i 11. z

1'- 1 e- 'dr > e- 1

= ei.;r 12

1' - 1 e- ' d1 = _)__ xe

parax > O. Asx -> O', llx -> +oo.

13.

z =e"'

19.

iJt / 6

15. : = 2.fie"' 1 '

21.

z = -8

17. z = 12e;'' 13

ÍNDICE ANALÍTICO Ângulo de fase, 23 l , 242

Argumento de um número complexo, 435

Abel, Niels Henrik, 166

Aritmética de séries de potências, 288

Amortecimento crítico, 238 Batimentos, 259 Amplitude amortecida, 242 Bernoulli , Jacqu es, 79 Amplitude de vibrações livres, 231 Bessel, Friedrich Wilhelm , 330 Analiticidade em um ponto, 288 Aplicações de equações diferenciais: cabo suspenso, 22-23

Caos, 221 Catenária, 24

circuitos em série, 20-21, 108- 109, 260 corpo em queda, 14

Cauchy, Augustin -Louis, 276

crescimento popu lac ional, 28-29, 102, 118

Circuito criticamente amortecido, 260

deflexão de vigas , 26-27, 405-406

Circuito subamortecido , 260

descarga através de um orifício, 25 deslocamento de uma mola, 15 física atômica, l 04-107 juros compostos contínuos, 28-29

Circuito superamortecido , 260 Circuitos. equações diferenciai s dos , 20, 108 - 109

memória, 35, 118

Clairaul, Alex Claude, 79

movimento do pêndulo, 16

Coeficientes indeterminados:

química, 123-124 resfriamento, 21, 107

para equações diferenciai s lineares, 182, 20 l Colapso da Ponte Tacoma Narrows, 270

sistema massa-mola, 15, 226 soluções aquosas, 11 O

Condições de fronteira (de contorno), 144

467

468

Equações Diferenciais

Volume I

Conjunto fundamental de soluções : de uma equação diferencial linear, 155-157

critério para, 6 J

Constante de amortecimento, 237

Diferencial total, 60

Constante de Euler-Mascheroni, 335

Dinâmica populacional, 135

Constante elástica efetiva, 235

Dirac, Paul Adrian Mauri ce, 414

Conta deslizante, 132

Disseminação de uma epide mia, 28, l 19

Convergência absoluta de uma série de potências, 287

Distribuições, 416

Cramer, Gabriel, 431 Crescimento e decrescimento , 102

Diferencial exata, 61

Divisão sintética, 178 Drenagem através de um orifício, equação diferencial da, 25-26

Crescimento exponencial, 102-104, 135 Eixo de simetria, 27 Crescimento populacional, 102, 118, 135 Epidemias, 28, 119, 121 - 122 Cronologia do carbono, 106 Equação auxiliar, 173-277 Curva de deflexão , L9, 26 Equação característica, 173 Curva de Gompertz, 122 Curva de ressonância, 253-254 Curva elástica, 26 Curvas ortogonais, 95 Curvatura, 27

Equação de Bessel paramétrica, 335 Equação de movimento, 228-229 Equação diferencial de Bernoulli, 79 Equação diferencial de Bessel, 330 paramétrica, 335 solução da, 330

Decremento logarítmico, 248 Decrescimento (decaimento) radiativo, 102, 104-105

Equação diferencial de Cauchy-Euler, 275 método de soluções, 276

Decrescimento radiativo, 102, 104

Equação diferencial de Clairaut, 81

DeMoivre, Abraham, 438

Equação diferencial de Hermite, 307

Dependência linear:

Eq uação diferencial de Legendre, 330

de funções, 147

solução da, 338

Deslocamento extremo, 229

Equação diferencial de Ricatti, 80

Determinantes, 428

Equação diferencial de uma fa.mília de curvas, 95

cálculo por cofatores, 428

Equação diferencial do circuito em série L-R, 108

Voillme I

Equação diferencial do circuito em série L-R-C, 21 , 260 Equação diferencial do circuito em série R-C, 109

Índice analítico

469

princípio de su perposição para, 153- 16 1 so lução geral de, 72, 157, 160 solu ção particular para, 158

Equação diferencial exata, 61

Equações diferenciai s ordinárias separáveis, 44

Equação diferencial homogênea:

Eq uações diferenciai s parciais, 2

ord inária, 54, 152 Equação diferencial linear ordinári a não-homogênea, 152 Equação diferencial não- linear, 4 Equação diferencial ordinária, definição de, 2 Equação diferencial, 2

Estado estacionário: corrente no, 11 O, 262 solu ção no, 250, 262 Euler, Leonhard , 174 Ex istência e unicidade de uma solução, 40, 143 Expoentes de uma singularid ade, 313

linear, 4 não-l inear, 4

Família de soluções, 9

ordinária, 2 parcial, 2 Equação eqü idimensional, 276

Fator de amortec imento, 237 Fator de integração, 66, 70

Equação indi cia i, 3 13 -314

Fatorial generali zado, 423

Equação integ ral de Yolterra, 400

Força eletromotriz, 2 1

Equação integral de Yolterra, 400

Força impressa, 248

Equação íntegro-diferencial, 402

Forma polar de um número complexo, 435

Equação logística modificada, 129

Fórmula de Abel , 166

Eq uação logística, 29, 118

Fórmula de Euler, 174

Equações diferenciais de primeira ordem:

dedução da, 436

aplicações de, 102, 11 8

Fórmula de Rodrigues, 346

soluções de, 52

Freqüência natural , 228

Eq uações diferenciais ordinárias lineares, 4 aplicações de, 102, 225

Freqüência, 228 Frobenius, Ferdinand Georg, 31 O

de ordem superior, 141 de primeira ordem, 68

Função aplicada, 162

função complementar para, 160

Função complementar, 160

homogêneas, 152

Função de Bessel de primeira espéc ie modifi cada, 345

não-homogêneas, 152

470

Equações Diferenciais

Volume J

Função de excitação, 162

Hooke, Robert, 226

Função de força , l 62 Impedância , 263 Função de Neumann, 334 Impulso unit ário , 412 Função degrau unitário , 373

tran sfomrnda de Laplace da , 377 Função delta de Dirac, 412-414 transformada de Laplace da, 414

Independência linear : de fun ções, 14 7 de so luções, 154- 155 Integral de convolução, 386

Função dente-de- serra, 394 Função escada, 384 Função gama, 332, 362, 423

Juros compostos contínuos, 29-30 Laplace, Pierre Simon Marqui s de, 352

Função geradora, 342

Legendre, Adrien Marie, 330

Função logística, l l 8-1 19

Lei da ação das massas, l 26

Funçãomeandro,393

Lei de Hookc, 15, 226

Funções contínuas por partes, 353

Lei de Kirchhoff, 20, 260

Funções de Bessel:

Lei de Malthu s, 133

de primeira espécie, 332-333 de segunda espécie, 334

Lei de radiação de Stefan, 130 Lei de resfriamento de Newton, 21 , 107

esféricas, 337 gráficos de, 334

Lei de resfriamento de Newton, 21 , 107

modificadas, 345

Libby, Willard, 106

propriedades das, 335

Lotka, A. J ., 131

relações diferenciai·s de reco rrê ncia pura , 336

Malthus , lei de, 133

valores numéricos das , 336 Funções esféricas de Bessel, 337 Funções generalizadas, 416 Funções homogêneas de grau n, 53

Malthus, Thomas R., 135- 136 Meia-v ida, 105 Método das aproximações sucessivas de Picard, 88 Método de Frobenius, 310

Funções periódicas, transformada de Laplace de, 390

Método de Frobenius, 310-311

Hermite, Charles, 307

Modelo de Lazer-McKenna, 271-272

Volume 1

Índice analítico

Modelo do crescimento logístico , 137

Operador diferencial anulador, 197

Modelo matemático, 13 , 94

Operador dferencial , 195

Modelo presa- predador, 132

Operador diferencial, 195

Módulo de um número complexo, 435

Operador linear, 195 , 353

Mola torcida, 15

Ordem de uma equação diferencial, 3

Movimento amortecido, 236

Ordem exponencial, 353

471

Movimento forçado , 248 Parâmetros de soluções, 9 Movimento harmônico si mples , 228 Peano, Giuseppe, 42 Movimento livre: Pêndulo simples, 16- 18, 264

amortecido, 236 sem amortecimento,

'.~28

Período natural , 228

Movimento subamortecido, 238

Período, 228

Movimento superamortecido, 237

Peso, 16 Picard, Charles Émile, 40

Neumann , C. G., 334 Newton, segunda lei de movimento, 15, 227 Números complexos, 433 argumento do, 435

Picard, método das aproximações sucessivas de, 88 Polinômios de Legendre, 34 l função geradora para, 342 gráficos dos, 342

conjugado do, 433

propriedades dos, 342

diferença de, 434

relação de recorrência para, 342

forma polar do, 435

Ponto ordinário, 297

interpretação geométrica, 435 módulo do, 435

Ponto singular de uma equação diferencial, 297

parte imaginária do, 433

irregular, 308

parte real do, 433

no infinito, 328

produto de, 434

regular, 308

quociente de, 435 soma de, 434

Ponto singular irregular, 308 no infinito, 328

Onda quadrada, 393

Ponto singular regular no infinito, 328

Onda senoidal retificada, 394

Posição de equilíbrio, 15, 227

Onda triangular, 394

Predador-presa, modelo, 132

472

Equações Diferenciais

Volume 1

Primeiro teorema de translação, 371 Princípio de superposição: ~ara

equações lineares homogêneas, 15 3

para equações lineares não-homogêneas , 161 Problema de valor inicial:

Ressonância: elétrica, 262 mecânica, 253 Ricatti, Jacob Francesco, 79 Rodrigues, Olinde, 346

para uma equação diferencial linear, 39, 142 Problemas de valores de contorno, 144 de uma coluna fina, 307 Propriedade de separação, 417 Propriedade linear, 351 Pulso retangular, 384

Schwartz, Laurent, 416 Segunda lei de Kepler sobre movimento planetário, 117 Segundo teorema de translação, 376 Série de potências, 286 Série de potências, revisão de, 286-288

Quasi freqüência, 242 Quasi período, 242

Séries, soluções de equações diferenciais ordinárias, 29 l , 297, 307 Sistema linear, 162

Raio de convergência, 286 Raízes indiciais, 313

Solução completa, 10 Solução de uma equação diferencial , 4

Raízes racionais de uma equação polinomial, 178

completa, 10

Reações químicas de primeira ordem, 123 - 124

explícita, 6

Reações químicas de segunda ordem, 124

famfl ia a 11 parâmetros de, 9 geral, 10, 72, 157, 160

Reações químicas de terceira ordem, 129

implícita, 6

Reações químicas, 123-124

número de, 7

Reações químicas, 123-125 Reatância, 263

particular, 9 singular, lO trivial , 5

Redução de ordem, 167 Solução explícita, 6 Regra de Cramer, 430-43 l Solução geral: Relação de recorrência, 293 Resposta de um sistema, 108, 162

de uma equação diferencial, l O de uma equação diferencial linear, 72, 157, 160

Ressonância mecânica, 253

Solução implícita, 6

Ressonância pura, 252

Solução particular, 158

Volume l

Índice analítico

So lução si ngular, 1O

Transformada integral, 35 1

So lução trivi al, 5

Transformada lin ear, 353

Sol uções aquosas, l lO

Transiente:

So luções em série de potências, 29 1

solu ção, 250, 262

Substitu ições, 84

termo, 11O, 25 0

47J

Tratriz, 34, 130 Teorema da convo lução, 386 Teorema de DeMoivre, 438

Valor ini cial , 39, 142

Teoremas de tran slação para transformada de Laplace, 370, 376

Variação dos parâmetros:

Teoremas de unic id ade, 40, l 43 Torção de um cabo, 263

para equações diferenciai s lineares, 209 Variávei s separáveis, 44 Ve locidade de escape, 126- 127, 129

Trajetóri as isogonais, 1O1 Verhulst, P. F., 1 l8 , 137 Trajetórias ortogonai s, 97 Vibrações elétricas hannôni cas simpl es, 260-261 Trajetórias ortogonais, 97 Vibrações elétricas, 260 Transformada de Laplace inversa, 362 Transformada de Laplace: da função delta de Dirac, 4l4

Vibrações, sistema massa- mola, l5 , 226-256 Vigas

de derivadas, 385

deflex ão estática de, 26-27

de fun ções periódicas, 390

em balanço (cantil éver) , 26

definição da, 351

engastada, 27

derivada da, 380

Volterra, Vito, l 3 l

existência da, 354 inversa da, 362 linearidade da, 353 tabelas de, 425-428 teorema da convolução para, 386

Wronski, Josef Mari a Hoene, l49 Wronskiano, 149 fórmula de Abel para, l 66

teoremas de translação da , 370, 376

r· .--________ I