Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD L贸gica Matem谩tica Introducci贸n a la primera unidad
Georffrey Acevedo G.
primera unidad Unidad 1: “ Teoría de conjuntos y principios de lógica” Recorrido por la
En esta lección, haremos una revisión de los presaberes y contenidos de la primera unidad.
Unidad 1: Concepto de Conjunto Exploremos el concepto de conjunto, una idea que de hecho manejas sin saberlo: Continuamente, estás reconociendo conjuntos en tu entorno, agrupando y haciendo operaciones entre ellos, básicamente, la idea que tenemos de conjunto nos lleva a definirlo como una colección de objetos. Esta idea intuitiva de conjunto nos conduce a la definición del matemático alemán Georg Cantor, inventor de la teoría que hoy estudiamos, y hombre atormentado por ideas no concebibles por la mente humana, como el infinito absoluto y Dios. "Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente." Georg Cantor
Definición de conjunto ¿Que implica que un conjunto este bien definido? Por ejemplo, si deseamos hacer un conjunto de sinfonías hermosas, nos encontramos con un conjunto que no está bien definido, ya que hasta una misma persona, a medida que madura en su apreciación musical, podría cambiar con el tiempo su idea de belleza sobre una sinfonía específica y cambiarla de conjunto. Por el contrario, el conjunto de Sinfonías de Dvorak está bien definido. ¿Qué características deben cumplir los elementos del conjunto? Observa el siguiente conjunto de sinfonías de Dvorak: { Sinfonía nº 1 The Bells of Zlonice, en do menor, Sinfonía nº 2 en si b mayor, Sinfonía nº 3 en mi b mayor, Sinfonía nº 4 en re menor, Sinfonía nº 5 en fa mayor, Sinfonía nº 5 en fa mayor, Sinfonía nº 6 en re mayor, Sinfonía nº 7 en re menor, Sinfonía nº 8 en sol mayor, Sinfonía nº 9, del Nuevo Mundo en mi menor. } Si observaste con atención el conjunto, habrás encontrado un elemento repetido, ahora bien, los elementos de un conjunto se caracterizan por tener carácter individual, esto es, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos.
Operaciones entre conjuntos I •
De las operaciones entre conjuntos, también podemos descubrir una interesante relación con la realidad que nos permitirá reconocer que efectivamente de manera cotidiana hacemos operaciones entre conjuntos: Por ejemplo la operación de unión: La unión entre dos o más conjuntos puede ser definida, como el conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos, es decir que el nuevo conjunto contiene todos los elementos de A y todos los elementos de B. ¿Donde se encuentra ejemplificada esta operación en el mundo real? Hagamos un conjunto con los elementos que hacen parte del teclado de tu computador, encontrarás que podemos definir el conjunto A como el conjunto formado por las teclas del alfabeto, y el conjunto B como el conjunto formado por las teclas que representan números. Estos conjuntos también son conocidos como teclado alfabético y teclado numérico.
Operaciones entre conjuntos II •
Unión: Al responder a la instrucción: Señala las teclas que corresponden a letras o números, tendrás que indicar tanto los elementos de A como los elementos de B, y en este caso habrás realizado la operación de unión entre conjuntos. Intersección: Al responder a la instrucción: "Señala las teclas que corresponden a letras y a números", tendrás que indicar aquellas teclas que cumplen con las dos funciones, encontrando un conjunto vacío en un PC de escritorio y un conjunto no vacío en un portátil. En este caso habrás realizado la operación de intersección entre los conjuntos A y B. Diferencia: De igual forma, la operación de diferencia, entre los conjuntos A y B (A-B) representa los elementos de A que no están en B. Diferencia simétrica: Finalmente, una operación como la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B puede ser definida como el conjunto de los elementos que están en A y en B pero no en ambos.
Concepto de proposición I •
En el capítulo 2, de conectivos lógicos, también desarrollamos conceptos ampliamente usados por todos en el lenguaje cotidiano, veamos como reconocer en el lenguaje cotidiano las proposiciones lógicas: ¿Recuerdas el concepto de proposición? Ésta es una oración o enunciado que puede ser falso o verdadero pero no las dos cosas. Por ejemplo: "con esta lección estoy reconociendo que ya conocía conceptos de lógica" es una proposición lógica, porque de ella puedes afirmar que es falsa o verdadera. La primera habilidad que debes desarrollar es la de diferenciar las proposiciones de los enunciados que no lo son, por ejemplo: ¿Cual de las siguientes expresiones es una proposición? -¿Cuantos años tienes? -Hoy es Sábado
Concepto de proposición II •
Si observas, la expresión gramatical: "¿Cuantos años tienes?" no es una proposición lógica, porque a ella no puedes responder verdadero o falso, esto nos da la clave para identificar que una proposición lógica es generalmente una forma gramatical de oración enunciativa, y a la vez debe cumplir con ser susceptible de ser verdadera o falsa.
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Ahora bien, la proposición "hoy es sábado" es una proposición que expresa una sola idea en su forma más simple, en este caso se dice que es una proposición simple o atómica. Referencias (en etilo APA): Proposición. (2008, 9) de marzo. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 15:35, marzo 7, 2008 de http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proposici%C3%B3n&oldid=1569 9577.
Los conectivos lógicos I – Al igual que las proposiciones, también descubrirás que los conectivos lógicos, son usados de manera cotidiana en las diferentes construcciones gramaticales, los conectivos nos permiten construir expresiones gramaticales cada vez más complejas uniendo proposiciones simples o atómicas para conformar proposiciones compuestas: ¿Puedes reconocer los conectivos lógicos presentes en las siguientes proposiciones? "Juan estudia Lógica o ética" "El Joven Gustavo Dudamel es un excelente director y es suramericano" "Hay perdón, si y sólo si hay olvido" "Si considero el placer como fin último de la vida y como único camino hacia la felicidad, entonces soy epicureista" Todas las proposiciones anteriores son proposiciones compuestas, es decir, están conformadas por una o más proposiciones simples unidas por un conectivo lógico, los conectivos lógicos que identificamos son: y (Conjunción) o (Disyunción) entonces (Condicional) si y sólo si (Bicondicional)
Los conectivos lógicos II Estos conectivos lógicos no se encuentran necesariamente de una manera explícita en las expresiones gramaticales, veamos varios ejemplos: "Si Juan estudia, aprende" "Cuando Juan estudia, aprende" Son expresiones equivalentes a: "Si Juan estudia, entonces aprende" de esta manera, hay muchas formas de encontrar un conectivo lógico como el condicional sin necesidad de encontrar la palabra entonces conectando las dos proposiciones lógicas. Una clave para identificar, el conectivo lógico "si y sólo si" es reconocerlo como el equivalente a una condición "necesaria y suficiente para". Por ejemplo, identifiquemos el conectivo lógico en las siguientes proposiciones compuestas: Declaramos primero las proposiciones simples: Juan aprende Lógica Juan estudia Lógica Proposiciones compuestas: "La única forma de aprender lógica es estudiar Lógica" "Sólo estudiando lógica, Juan puede aprender lógica" Son proposiciones compuestas equivalentes a: " Juan aprende lógica si y sólo si Juan estudia lógica"
Deducción e inducción I •
Otro apasionante tema que encontramos en la primera unidad del curso de lógica matemática, en los capítulos 3 a 5, es la introducción al estudio de la manera como los seres humanos elaboramos los diferentes razonamientos lógicos.
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El capítulo 3 constituye la puerta de entrada a este nuevo mundo, mediante el análisis de los diferentes tipos de proposiciones que pueden darse, es decir, las proposiciones que ya aprendimos a reconocer, a su vez, también pueden ser clasificadas, ya no como compuestas o simples, pero si sufrirán clasificaciones importantes que nos ayudarán en la construcción de enunciados científicos y en el seguimiento a la validez de los diferentes razonamientos lógicos, por ejemplo, a continuación encontrarás dos proposiciones lógicas, ambas proposiciones simples que aprenderás a reconocer y clasificar: “Algunos estudiantes de psicología matricularon el curso de lógica”
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“Todos los estudiantes de psicología matricularon competencias” En los capítulos 4 y 5 estudiaremos los temas de deducción e inducción. Aprendamos a identificar estos conceptos mediante un ejemplo:
Deducción e inducción II • En el siguiente ejercicio encontrarás que de una o varias afirmaciones se llega a una conclusión. Analiza las diferencias existentes entre las dos formas de razonamiento que a continuación se presentan: • Primera forma de razonamiento: “Todos los padres Jóvenes son más tolerantes con sus hijos que los padres mayores; Juan es un padre joven, luego es más tolerante con su hijo Daniel, que Diego con su hijo Juan” • Segunda forma de razonamiento: “Juan es un padre joven y es tolerante con su hijo Daniel, Camilo es un padre joven y es tolerante con su hija Marisol, Mateo es un padre joven y es tolerante con su hijo Diego, de donde, podemos concluir que Todos los padres Jóvenes son tolerantes con sus hijos”.
Deducción e inducción III ¿Logras ver la diferencia entre los dos razonamientos? Observa que en el primer caso se parte de una ley o afirmación general para posteriormente concluir sobre los casos particulares, mientras que en la segunda forma de razonamiento partimos de casos particulares para llegar a concluir una ley general. •
La segunda forma de razonar la identificamos normalmente con el método científico, no obstante, en la práctica encontrarás que ambas formas de razonar hacen parte del diario quehacer en el desarrollo de un proyecto de investigación.
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Antes de dar inicio a al estudio de la unidad, toma dos minutos, para realizar el siguiente ejercicio: Inicia por identificar cada una de las proposiciones simples presentes en cada uno de los ejemplos de las formas dos formas de razonamiento que se han planteado. Posteriormente plantea dos ejemplos análogos a cada forma de razonamiento.
ยกBIENVENIDOS A LA PRIMERA UNIDAD!