GEOMETRÍA EUCLIDIANA
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ANTECEDENTES HISTÓRICOS:
Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 - ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis: 1.Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él. 2.- Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte. 3.- Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes. La geometría al principio fue la ciencia de la medida de las extensiones (geo = tierra; metrón = medida). Esta palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo. La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. Fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales, quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría.
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En el siglo VI a.C., la famosa escuela de los pitagóricos también debe ser mencionada con relación a esto. Desde aquel período temprano debemos, sin embargo, señalar en particular a Eudoxio (alrededor del 391- 338 a.C.), quien es conocido por una teoría de las proporciones y el llamado método de exhaustión, aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente. En primer lugar la geometría clásica Griega ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos de Euclides. En estos libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos matemáticos. La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo.
MÉTODOS DE ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA Según la contraposición entre método sintético y método algebraicoanalítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado producto escalar habitual).
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Su importancia reside menos en sus resultados que en el método sistemático que Euclides usó para desarrollarlos y presentarlos. Por más de 2.000 años este método axiomático ha sido el modelo para muchos sistemas de pensamiento racional, aun fuera de la matemática. A partir de diez axiomas y postulados, Euclides dedujo 465 teoremas o proposiciones sobre aspectos del plano y figuras geométricas sólidas. Se consideró por largo tiempo que este trabajo constituía una descripción precisa y adecuada del mundo físico y que proporcionaba una base suficiente para entenderlo. Durante el s. XIX, la negación de algunos de los postulados de Euclides resultó en dos geometrías no euclidianas que probaron ser igualmente válidas y consistente CONCEPTOS BÁSICOS: CONCEPTOS NO DEFINIDOS.- son llamados conceptos fundamentales que corresponden a términos tales como: PUNTO, LINEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN, fácilmente comprensibles y que no se DEFINEN. Hay definiciones que son proposiciones que exponente con claridad y precisión los caracteres de una cosa. Una característica de la geometría moderna es que evita la conceptualización de aspectos primarios que tienen poco o ningún sentido de ser definidos; así por ejemplo, las definiciones de Euclides: a) “punto es lo que no tiene partes” únicamente indica “posición” y carece de “dimensiones”. b) “línea o recta es un longitud sin anchura”, carece de limites, desconociéndose su primero y ultimo elemento.
CUERPO FISICO Y CUERPO GEOMETRICO.- Son cuerpo físicos las cosas que nos rodean como: cuadernos, sillas, plumas, escuadras, etc.…. Tienen forma, color, peso, dureza, ocupan un lugar en el espacio. De estos cuerpos físicos la geometría considera solamente su forma y dimensiones, llamándolos cuerpos geométricos o sólidos,
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por ejemplo: los conos, las esferas, los prismas, los cilindros, etc. Los sólidos tienen tres dimensiones, que son: a) largo o longitud b) ancho c) alto o fondo SUPERFICIE.- Son los limites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea, es decir, no tienen “GROSOR” solamente largo y ancho. Un ejemplo de superficie es la sombra que proyecta un árbol, un poste, etc... También la cara de un cuerpo geométrico. (Representaciones graficas). CONCEPTO DE PUNTO.- Un punto geométrico es imaginario tan pequeño que carece de dimensiones; lo anterior es tan solo una idea abstracta ya que una definición satisfactoria de punto, no ha sido posible anunciarla, por lo que “punto” es un termino no definido. LINEA.-La línea es un conjunto de puntos continuos y que nos permiten distinguir dos clases de líneas que son: La línea recta y la línea curva. a) LINEA RECTA.- es aquella que tiene sus puntos en una misma dirección. Una imagen de este conjunto es un reyo luminoso, el borde de una regla, un cordón bien tirante, etc. Una recta geométrica se prolonga indefinidamente en dos sentidos, es decir, no comienza ni termina. PROPIEDADES DE LA RECTA: 1. La distancia mas corta entre dos puntos, es la recta. 2. Por dos puntos pasa una recta y solamente una. 3. Por un punto pueden pasar una infinidad de rectas. 4. Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común. NOTACION DE LA RECTA: la recta generalmente se representa por dos de sus puntos con el símbolo encima de las literales de los puntos (AB), también se representa por rayas y se denominada por letras minúsculas. b) LINEA CURVA.- es la que está generada por una continuidad de puntos que cambian de dirección frecuentemente; también se dice que es aquella que no tiene una sola parte recta. c) LINEA MIXTA.- es aquella que esta formada por una parte recta y otra parte curva. EXISTEN OTROS TIPOS DE LINEAS….
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LINEA QUEBRADA O POLIGONAL.- línea compuesta de segmentos continuos que siguen deferentes direcciones. LINEA CURVA SIMPLE CERRADA,- es aquella que al trazarse, empieza y termina en el mismo punto(elipse y circunferencia). LINEA POLIGONAL SIMPLE CERRADA.- es aquella que al trazarse con líneas quebradas empieza y termina en el mismo punto. (Polígonos) CONCEPTO DE PLANO.- una superficie como una pared, el piso, la cubierta de una mesa, los espejos, forman un plano; en geometría, el plano no tiene limites para su extensión, aunque para representarlo se hace a través de un paralelogramo que muestre su posición; con frecuencia se emplean letras minúsculas para designar un plano. DOS PROPIEDADES IMPORTANTES DE LOS PLANOS SON: 1. “Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno”. 2. “Dados dos puntos cualesquiera de un plano, la recta que los une esta contenida en el plano”. ALGUNAS PROPIEDADES DE PUNTOS, LINEAS Y PLANOS. (dibujos) a) Los puntos A, B y C son colineales si se encuentran sobre una misma recta. b) Los puntos A, B y C son coplanares si se encuentran en un mismo plano. c) Dos líneas rectas diferentes solo pueden cortarse en un punto común. d) Situados dos puntos en un plano, la recta que pasa por estos queda contenida en el plano. e) Por tres puntos no colineales pasa un único plano. f) La intersección de dos planos es una recta; es decir; dos planos diferentes solo pueden cortarse en una recta común. PROPOSICIONES MATEMATICAS: el enunciado de una verdad demostrada o que no requiere demostración se denomina ¨PROPOSICION¨. Las proposiciones matemáticas no siempre son consecuencia de otras: aunque algunas se aceptan como verdaderas por si mismas y que sirven como fundamento a la geometría euclidiana. Las proposiciones se clasifican en AXIOMA, POSTULADOS, DEFINICIONES, TEOREMAS Y COROLARIOS. AXIOMA: es una proposición tan evidente y sencilla por si misma que no requiere demostración.
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1. ¨El todo es mayor que cualquiera de sus partes¨. 2. ¨El todo es igual a la suma de sus partes¨. 3. ¨Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales¨. 4. ¨Si a cantidades iguales se multiplican o dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales¨. 5. ¨Los miembros de una desigualdad pueden permutar sus lugares cambiando el sentido de la desigualdad¨. POSTULADO: ¨Es una proposición cuya verdad se admite sin demostración, aunque no tiene la evidencia y sencillez del axioma¨. Por ejemplo: 1. ¨Por dos puntos dados, puede hacerse pasar una recta y solo una¨. 2. ¨La recta es la distancia mas corta entre dos puntos¨. 3. ¨Por un punto puede pasar un numero infinito de rectas¨. 4. ¨Dos rectas no pueden cortarse en mas de un punto¨. 5. ¨Todo segmento de recta puede prolongarse indefinidamente en ambos sentidos¨. DEFINICION: ¨Es una proposición que implica casi siempre una descripción clara y precisa de los caracteres de una cosa¨. Por ejemplo: 1. Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados del uno son prolongaciones de los lados del otro¨. 2. ¨Ángulos adyacentes son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, situado entre ellos¨. 3. ¨Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos¨. 4. ¨Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales¨. TEOREMA: Es una proposición que exige demostración. La demostración consta de un conjunto de razonamientos lógicos que conducen a la evidencia de la proposición, a partir de hechos dados o hipótesis incluidas en el enunciado. En el enunciado de todo teorema se distinguen dos elementos, que son: 1. LA HIPOTESIS que es lo que se supone y 2. LA TESIS que es lo que se quiere demostrar. EJEMPLOS: 1. Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.(dibujo) 2. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.(dibujo)
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3. La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a dos ángulos rectos (180°).(dibujo) COROLARIO: Es una proposición que es CONSECUENCIA INMEDIATA DE UN TEOREMA, y cuya demostración requiere un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno. EJEMPLOS: 1. La proposición: ¨Dos puntos determinan una recta¨, es corolario del postulado: ¨Por dos puntos dados, puede hacerse pasar una recta y solo una¨. 2. La proposición: ¨Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo suman 90°, Es corolario del teorema: ¨La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a dos ángulos rectos (180°). 3. La proposición: ¨Todos los ángulos rectos son iguales¨, es corolario del postulado: ¨Todos los ángulos de lados colineales son iguales¨. METODO DEDUCTIVO: El razonamiento deductivo, aplicado a la demostración del conocimiento matemático, es una herramienta muy importante, ya que la aceptación de una proposición como verdadera no puede basarse en la experimentación, pues ésta depende de las condiciones particulares en las que se realice; tampoco se puede basar en la observación, a causa de que la vista resulta engañosa; ni en la medición, porque el resultado de ella esta ligado a la pericia de quien mide y a la precisión del instrumento utilizado. En una demostración mediante el método deductivo se siguen estos pasos: 1. Determinación de hipótesis y la tesis del teorema que se debe demostrar. 2. Trazo de una figura que represente la interpretación geométrica del enunciado, así como el empleo de construcciones geométricas auxiliares. 3. Desglosar el razonamiento, empleando los postulados y los axiomas, así como otros teoremas previamente demostrados, como justificación de las razones que permitan llegar al resultado o a la conclusión deseada. 4. Confirmación de la tesis (conclusión).
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APLICACIONES: Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compas, el teodolito, el pantógrafo, o el sistema de posicionamiento global (GPS) Es aplicada en la vida cotidiana, en lo que hace la gente comúnmente en sus trabajos como en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es muy útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías
Los mapas topográficos utilizan el sistema de representación de planos acotados, mostrando la elevación de terreno utilizando líneas que conectan los untos con la misma cota respecto de un plano de referencia.
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Créditos: García Zamudio Mariana Jiménez Lucio Iskra Valeria Marín Camarena Mónica Alyn Ramírez Hernández Paula Rocío
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Maestra: Claudia Pavano Rodriguez
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