,I [ DQG \ DUH ERWK SRVLWLYH DQG LI [ \ KRZ PXFK JUHDWHU LV [ WKDQ \"
[ \
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± GR QRW DVVXPH WKDW \ PXVW EH ± DQG VR ZH FDQQRW JHW D GHILQLWH DQVZHU
,I [ \ DQG ] DUH GLIIHUHQW LQWHJHUV LV [ GLYLVLEOH E\ "
[\] LV GLYLVLEOH E\ DQG \] LV GLYLVLEOH E\
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
$ GLH LV UROOHG UDQGRPO\ RQ WR D FLUFXODU ERDUG ZLWK D WULDQJOH LQVFULEHG LQ WKH FLUFOH $OO WKUHH YHUWLFHV RI WKH WULDQJOH DUH RQ WKH FLUFXPIHUHQFH RI WKH FLUFOH :KDW LV WKH SUREDELOLW\ WKDW WKH GLH FRPHV WR UHVW RXWVLGH WKH WULDQJXODU UHJLRQ"
7KH K\SRWHQXVH RI WKH WULDQJOH LV D GLDPHWHU RI WKH FLUFOH 7KH UDGLXV RI WKH FLUFOH LV XQLWV DQG WKH DUHD RI WKH WULDQJOH LV VTXDUH XQLWV
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
DOORZV XV WR ILQG WKH DUHD RI WKH FLUFOH DQG WKH DUHD RI WKH WULDQJOH LV JLYHQ DQG VR LV VXIILFLHQW WR ILQG WKH UDWLR RI WKH DUHDV DQG WKH DQVZHU LV %
$ XQLYHUVLW\ KDV IDFXOW\ PHPEHUV DOO RI ZKRP KDYH D PDVWHUV GHJUHH DQG VRPH RI ZKRP DOVR KDYH D GRFWRUDWH SHUFHQW RI WKH IDFXOW\ PHPEHUV DUH IHPDOH :KDW IUDFWLRQ RI WKH IDFXOW\ PHPEHUV DUH IHPDOH GRFWRUDWH KROGHUV"
SHUFHQW RI WKH PDOH IDFXOW\ PHPEHUV KDYH D GRFWRUDWH $ WRWDO RI IDFXOW\ PHPEHUV KDYH RQO\ D PDVWHUV GHJUHH
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
JHW WKLV LQIRUPDWLRQ DQG VR WKH DQVZHU PXVW EH & RU ( 6WDUWLQJ IURP ZH FDQ VD\ WKDW ± PHPEHUV KDYH GRFWRUDWHV 0RYLQJ WR ZH FDQ VD\ WKDW RI WKH PDOHV SHUFHQW L H KDYH GRFWRUDWHV 7KDW OHDYHV ± DV WKH QXPEHU RI IHPDOH GRFWRUDWH KROGHUV 7KH DQVZHU LV &
7KH UHWDLO SULFH RI D FHUWDLQ UHIULJHUDWRU ZDV = GROODUV 1LQD ZDV JLYHQ D IXUWKHU SHUFHQW GLVFRXQW RQ WKH DOUHDG\ GLVFRXQWHG VDOH SULFH < RI WKLV UHIULJHUDWRU *LYHQ WKDW WKH SULFH 1LQD SDLG ZDV ; GROODUV ZKDW ZDV WKH GROODU YDOXH RI WKH H[WUD SHUFHQW GLVFRXQW WKDW VKH REWDLQHG"
7KH VDOH SULFH < ZDV SHUFHQW RI WKH QRUPDO UHWDLO SULFH = ,I WKH VDOH SULFH < KDG EHHQ GROODUV PRUH WKHQ ; ZRXOG KDYH EHHQ OHVV WKDQ WKLV QHZ YDOXH RI <
$ VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ % VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ & ERWK VWDWHPHQWV WDNHQ WRJHWKHU DUH VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ EXW QHLWKHU VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ' HDFK VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ( VWDWHPHQWV DQG WRJHWKHU DUH QRW VXIILFLHQW DQG DGGLWLRQDO GDWD LV QHHGHG WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ &RUUHFW $QVZHU ( ([SODQDWLRQ 7KH H[WUD GLVFRXQW LV < ± ; 7R DQVZHU WKH TXHVWLRQ LW VHHPV ZH QHHG WR JHW WKH YDOXH RI < LQ GROODUV WKHQ ZH FDQ WDNH WHQ SHUFHQW RI WKLV DPRXQW WR JLYH WKH GLVFRXQW 6WDWHPHQW KDV QR GROODU DPRXQWV IRU DQ\ RI WKH SULFHV DQG VR FDQQRW DQVZHU WKH TXHVWLRQ 7KH DQVZHU FDQQRW EH $ RU ' 6WDWHPHQW PHQWLRQV D GROODU DPRXQW ZKLFK ZH FDQ SXW LQWR DQ HTXDWLRQ
< ± ;ï +RZHYHU VLQFH WKH YDOXH ;ï LV D QHZ YDOXH IRU ; QRW WKH RQH ZH DUH ORRNLQJ IRU ZH VWLOO FDQ¶W JHW WKH DQVZHU 7KLV WKH DQVZHU FDQQRW EH % $GGLQJ WKH LQIRUPDWLRQ IURP WKDW < LV SHUFHQW RI = WR ZKDW ZH KDYH MXVW GHGXFHG IURP DGGV DQRWKHU YDULDEOH UDWKHU WKDQ VROYLQJ DQ\WKLQJ DQG WKH DQVZHU LV (
,Q WULDQJOH $%& DOO WKH VLGHV KDYH LQWHJHU OHQJWKV :KDW LV WKH OHQJWK RI VLGH $&"
$% DQG %& 2QH RI WKH DQJOHV RI $%& LV D ULJKW DQJOH
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
% ZKLFK ZRXOG JLYH D GLIIHUHQW DQVZHU +RZHYHU LQ WKDW FDVH WKH YDOXH IRU $& ZRXOG QRW EH DQ LQWHJHU 6R ZH WDNH DQVZHU &
,V [ "
[ ! [ [ !
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
,Q ZKDW \HDU ZDV +HLGL ERUQ"
+HLGL¶V GDXJKWHU ZDV ERUQ LQ ZKHQ +HLGL ZDV \HDUV ROG +HLGL¶V ELUWKGD\ DQG KHU GDXJKWHU¶V ELUWKGD\ DUH H[DFWO\ VL[ PRQWKV DSDUW
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
,V [\ "
[ DQG \รฐ [ \
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
6HW 6HW [ ,V WKH PHGLDQ RI WKH QXPEHUV LQ VHW DERYH HTXDO WR WKH PHGLDQ RI WKH QXPEHUV LQ VHW "
[ 7KH VXP RI QXPEHUV LQ VHW LV
$ VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ % VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ & ERWK VWDWHPHQWV WDNHQ WRJHWKHU DUH VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ EXW QHLWKHU VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ' HDFK VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ( VWDWHPHQWV DQG WRJHWKHU DUH QRW VXIILFLHQW DQG DGGLWLRQDO GDWD LV QHHGHG WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ
&RUUHFW $QVZHU % ([SODQDWLRQ 7KH PHGLDQ LQ 6HW LV WKH DYHUDJH RI WKH WZR PLGGOH WHUPV LQ WKH UDQNHG VHULHV 7KH PHGLDQ LQ 6HW FDQQRW EH GHWHUPLQHG ZLWKRXW NQRZLQJ ZKHUH [ FRPHV LQ WKH UDQNLQJ 6WDWHPHQW WHOOV XV WKDW WKH [ LV WKH PHGLDQ EXW
127 WKH DFWXDO YDOXH ,W LV SRVVLEOH IRU H[DPSOH WKDW [ LQ ZKLFK WKH WZR PHGLDQV DUH QRW HTXDO DQG VR WKH DQVZHU FDQQRW EH $ RU ' )URP VWDWHPHQW ZH FDQ JHW WKH H[DFW YDOXH RI [ DQG DQVZHU WKH TXHVWLRQ \HV WKH\ DUH WKH VDPH 7KH DQVZHU LV WKXV %
&RXULHU FKDUJHV IRU SDFNDJHV WR D FHUWDLQ GHVWLQDWLRQ DUH FHQWV IRU WKH ILUVW JUDPV DQG FHQWV IRU HDFK DGGLWLRQDO JUDPV RU SDUW WKHUHRI :KDW FRXOG EH WKH ZHLJKW LQ JUDPV RI D SDFNDJH IRU ZKLFK WKH FKDUJH LV " $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU % ([SODQDWLRQ 7KH ZHLJKW ZLOO EH J SOXV XQLWV RI J 7KLV LV WKH PD[LPXP ZHLJKW WKDW FDQ EH VHQW DW WKDW SULFH %XW ZHLJKWV H[FHHGLQJ ZLOO DOVR JHW FKDUJHG WKLV DPRXQW WKDW LV ZKDW WKH µSDUW WKHUHRI¶ LPSOLHV +HQFH D SDFNDJH ZHLJKLQJ DQV % ZLOO EH FKDUJHG
$% DQG '( DUH SDUDOOHO $QJOH %$& DQJOH &'( :KDW LV WKH PHDVXUH RI DQJOH $&' " $ % & ' ( FDQQRW EH GHWHUPLQHG IURP WKH LQIRUPDWLRQ &RUUHFW $QVZHU & ([SODQDWLRQ ,PDJLQH D WKLUG SDUDOOHO OLQH GUDZQ WKURXJK & 7KH DQJOH $&' ZLOO EH PDGH RI WZR DQJOHV RQH DOWHUQDWH WR %$& DQG WKHUHIRUH 7KH RWKHU LV DOWHUQDWH WR &'( DQG WKHUHIRUH 7RWDO IRU DQJOH $&'
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
:KDW LV WKH DYHUDJH RI IRXU WHQWKV DQG ILYH WKRXVDQGWKV" $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU ' ([SODQDWLRQ )RXU WHQWKV )LYH WKRXVDQGWKV 7KH DYHUDJH LV
:KDW LV WKH VLPSOLILHG UHVXOW RI IROORZLQJ WKH VWHSV EHORZ LQ RUGHU" DGG \ WR [ PXOWLSO\ WKH VXP E\ VXEWUDFW [ \ IURP WKH SURGXFW
$ [ \ % [ \ & [ \ ' [ \ ( [ \ &RUUHFW $QVZHU $ ([SODQDWLRQ 6WHS RQH [ \ 6WHS WZR [ \ [ \ 6WHS WKUHH [ \ [ \ [ \ [ \ ZDWFK WKDW ODVW PLQXV VLJQ 7KLV JLYHV [ \
7KH WRWDO ZHLJKW RI D WLQ DQG WKH FRRNLHV LW FRQWDLQV LV SRXQGV $IWHU ô RI WKH FRRNLHV DUH HDWHQ WKH WLQ DQG WKH UHPDLQLQJ FRRNLHV ZHLJK SRXQGV :KDW LV WKH ZHLJKW RI WKH HPSW\ WLQ LQ SRXQGV" $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU & ([SODQDWLRQ /HW WKH ZHLJKW RI WKH HPSW\ WLQ Z Z ZHLJKW RI WKH FRRNLHV DQG RQH TXDUWHU RI WKH FRRNLHV ZHLJK Z 2QH TXDUWHU RI WKH FRRNLHV WLQ Z Z 0XOWLSO\ WKURXJK E\ Z Z Z Z
,I \ Í&#x17E; [ \ðʥ IRU DOO SRVLWLYH LQWHJHUV WKHQ Í&#x17E; Í&#x17E;
$ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU ( ([SODQDWLRQ 7KH VWUDQJH VLJQ WHOOV XV ZKDW RSHUDWLRQ WR FDUU\ RXW RQ [ DQG \ &DUU\ RXW WKH VDPH SURFHGXUH RQ DQG ILUVW 6R LV WKH UHVXOW 1RZ FDUU\ RXW WKH SURFHGXUH RQ DQG 6R LV WKH UHVXOW ZKLFK LV HTXLYDOHQW WR
7KH ILUVW WHUP LQ D VHTXHQFH LV DQG WKH VHFRQG WHUP LV )URP WKH WKLUG WHUP RQ HDFK WHUP LV WKH DYHUDJH DULWKPHWLF PHDQ RI DOO SUHFHGLQJ WHUPV :KDW LV WKH WK WHUP LQ WKH VHTXHQFH" $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU % ([SODQDWLRQ 6WDUW FRQVWUXFWLQJ WKH VHTXHQFH XQWLO \RX VHH WKH SDWWHUQ DYHUDJH RI DQG DYHUDJH RI DQG DYHUDJH RI DQG QRZ \RX FDQ VHH WKDW DOO VXEVHTXHQW WHUPV ZLOO EH
7KH VROLG EULFN VKRZQ LV PDGH RI VPDOO EULFNV RI VLGH :KHQ WKH ODUJH EULFN LV GLVDVVHPEOHG LQWR LWV FRPSRQHQW VPDOO EULFNV WKH WRWDO VXUIDFH DUHD RI DOO WKH VPDOO EULFNV LV KRZ PXFK JUHDWHU WKDQ WKH VXUIDFH DUHD RI WKH ODUJH EULFN" $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU % ([SODQDWLRQ 6XUIDFH DUHD RI RQH VPDOO EULFN WRWDO QXPEHU RI EULFNV WRWDO VXUIDFH ZKHQ GLVDVVHPEOHG [ 6XUIDFH RI ZKROH ELJ EORFN DUHD RI IRXU ODUJHU IDFHV DUHD RI WKH WZR VPDOOHU IDFHV [ [ 7KH LQFUHDVH LV XQLWV
[ [ D[ð N[ Q :KDW LV WKH YDOXH RI D Q N " $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU $ ([SODQDWLRQ 7KLV LV D TXDGUDWLF HTXDWLRQ 7R ILQG Q ZH PXOWLSO\ WKH ODVW WHUPV LQ HDFK EUDFNHW WRJHWKHU WLPHV 7R ILQG µD¶ ZH PXOWLSO\ WKH ILUVW WHUPV LQ HDFK EUDFNHW WRJHWKHU [ WLPHV [ [ 6R D 7KXV D Q 7R ILQG N ZH PXOWLSO\ WKH ILUVW WHUP LQ WKH ILUVW EUDFNHW E\ WKH VHFRQG WHUP LQ WKH VHFRQG EUDFNHW DQG DGG WKH UHVXOW WR WKH SURGXFW RI WKH VHFRQG WHUP LQ WKH ILUVW EUDFNHW DQG WKH ILUVW WHUP LQ WKH VHFRQG [ [ [ 6R N
:KDW LV WKH DYHUDJH RI [ \ DQG ]"
[ \ ] [ \ ]
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
$UH S DQG T ERWK JUHDWHU WKDQ ]HUR"
S ± T ! S ! T
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
:KDW LV WKH YDOXH RI [รฐ [ "
[รฐ [ [
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
:KDW LV WKH UDWLR RI $% WR %& LQ WKH UHFWDQJXODU ILJXUH DERYH"
7KH SHULPHWHU RI $%&' LV $OO WKH VPDOO UHFWDQJOHV KDYH WKH VDPH GLPHQVLRQV
$ VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ % VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ & ERWK VWDWHPHQWV WDNHQ WRJHWKHU DUH VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ EXW QHLWKHU VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ' HDFK VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW
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
$ WHDP RI ZRUNHUV LQFOXGLQJ 7RP DQG 'LFN ZRUN LQ WKH VDPH RIILFH DFFRUGLQJ WR D VFKHGXOH WKDW HQVXUHV WKDW H[DFWO\ WZR WHDP PHPEHUV ZLOO EH SUHVHQW DW D JLYHQ WLPH DQG WKDW LQ WKH FRXUVH RI WKH ZHHN DOO WKH WHDP PHPEHUV ZRUN DQ HTXDO QXPEHU RI KRXUV :KDW LV WKH SUREDELOLW\ WKDW D YLVLWRU WR WKH RIILFH ZKR GRHVQ¶W NQRZ WKH VFKHGXOH DUULYHV WR ILQG ERWK 7RP DQG 'LFN LQ WKH RIILFH"
7KH WHDP KDV WKUHH PHPEHUV 7RP DQG 'LFN ZRUNHG WRJHWKHU IRU WKH ZKROH RI WKH SUHYLRXV GD\
$ VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ % VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ & ERWK VWDWHPHQWV WDNHQ WRJHWKHU DUH VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ EXW QHLWKHU VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ' HDFK VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ( VWDWHPHQWV DQG WRJHWKHU DUH QRW VXIILFLHQW DQG DGGLWLRQDO GDWD LV QHHGHG WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ &RUUHFW $QVZHU $ ([SODQDWLRQ 6LQFH DOO WKH WHDP PHPEHUV ZRUN WKH VDPH QXPEHU RI KRXUV WKH FKDQFH RI ILQGLQJ DQ\ RQH PHPEHU RQ GXW\ LV WKH VDPH DV WKH FKDQFH RI ILQGLQJ DQ\ RWKHU PHPEHU RQ GXW\ +RZHYHU WKH DFWXDO YDOXH RI WKDW FKDQFH SUREDELOLW\ ZLOO GHSHQG RQ KRZ PDQ\ WHDP PHPEHUV WKHUH DUH 0RUH
PHPEHUV PHDQV WKDW HDFK RQH VSHQGV D VPDOOHU IUDFWLRQ RI WLPH LQ WKH RIILFH 6WDWHPHQW VXSSOLHV WKLV PLVVLQJ LQIRUPDWLRQ DQG KHQFH WKH DQVZHU PXVW EH $ RU ' /RRNLQJ DW VWDWHPHQW ZH FDQQRW FRPH WR D GHILQLWH DQVZHU 7KH IDFW WKDW WKH\ ZHUH WRJHWKHU IRU WKH ZKROH RI RQH GD\ GRHV QRW PHDQ WKDW WKH\ FDQQRW EH WRJHWKHU IRU VRPH SDUW RI WKH QH[W GD\ $QG WKH DQVZHU LV $
,Q WULDQJOH $%& $% [ %& \ DQG &$ \ :KLFK RI WKH WKUHH DQJOHV RI WULDQJOH $%& LV WKH VPDOOHVW"
\ [ [
$ VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ % VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ & ERWK VWDWHPHQWV WDNHQ WRJHWKHU DUH VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ EXW QHLWKHU VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ' HDFK VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ( VWDWHPHQWV DQG WRJHWKHU DUH QRW VXIILFLHQW DQG DGGLWLRQDO GDWD LV QHHGHG WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ &RUUHFW $QVZHU $ ([SODQDWLRQ 7KH VPDOOHVW DQJOH RI D WULDQJOH LV RSSRVLWH WKH VPDOOHVW VLGH 7KH JLYHQ LQIRUPDWLRQ WHOOV XV WKDW %& FDQQRW EH WKH VPDOOHVW VLGH 6WDWHPHQW DOORZV XV WR VHH WKDW $% LV \ ± DQG KHQFH LV VPDOOHU WKDQ &$ DQG VR ZH KDYH DQ DQVZHU 6WDWHPHQW DORQH LV LQVXIILFLHQW EHFDXVH ZH VWLOO FDQQRW GHFLGH ZKHWKHU $% RU &$ LV ELJJHU 7KH DQVZHU KDV WR EH $
$ PDQ VKDUHG KLV ORWWHU\ ZLQQLQJV RI ZLWK KLV ZLIH DQG WZR FKLOGUHQ +RZ PXFK GLG KLV ZLIH UHFHLYH"
+H JDYH KLV FKLOGUHQ HDFK 7KH ZLIH UHFHLYHG OHVV WKDQ KHU KXVEDQG DQG WKUHH WKRXVDQG PRUH WKDQ HDFK RI WKH FKLOGUHQ
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± ZKLFK LV HDV\ WR VROYH EXW GR QRW ZDVWH WLPH 7KXV ZH KDYH WR FKRRVH DQVZHU %
'RHV [ñ ± [ JLYH D ZKROH QXPEHU ZKHQ GLYLGHG E\ "
[ LV D SRVLWLYH LQWHJHU JUHDWHU WKDQ _[_!
$ VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ % VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW EXW VWDWHPHQW DORQH LV QRW VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ & ERWK VWDWHPHQWV WDNHQ WRJHWKHU DUH VXIILFLHQW WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ EXW QHLWKHU VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ' HDFK VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW ( VWDWHPHQWV DQG WRJHWKHU DUH QRW VXIILFLHQW DQG DGGLWLRQDO GDWD LV QHHGHG WR DQVZHU WKH TXHVWLRQ &RUUHFW $QVZHU $ ([SODQDWLRQ :H FDQ H[SUHVV [ñ ± [ DV [ [ð ± $QG VLQFH [ð ± LV WKH GLIIHUHQFH EHWZHHQ WZR VTXDUHV ZH FDQ DOVR H[SUHVV [ñ ± [ DV [ [ [ ± 1RZ \RX FDQ VHH WKDW WKH WKUHH WHUPV UHSUHVHQW WKUHH FRQVHFXWLYH QXPEHUV LI [ LV DQ LQWHJHU LH 7KH QXPEHU [ DQG RQH OHVV WKDQ [ DQG RQH PRUH WKDQ [ 7KHVH WKUHH FRQVHFXWLYH QXPEHUV PXVW LQFOXGH RQH PXOWLSOH RI WKUHH DV ORQJ DV [ LV QRW ]HUR RU +HQFH VWDWHPHQW DORQH LV VXIILFLHQW 6WDWHPHQW WZR VD\V WKDW WKH DEVROXWH YDOXH RI [ LV JUHDWHU WKDQ EXW WKDW OHDYHV RSHQ WKH SRVVLELOLW\ WKDW [ LV RU D IUDFWLRQ DQG VR LV QRW VXIILFLHQW 7KXV ZH VHOHFW DQVZHU $
[ G ,I G LV WKH WKRXVDQGWK¶V GLJLW LQ WKH GHFLPDO DERYH ZKDW LV WKH YDOXH RI [ ZKHQ URXQGHG WR WKH QHDUHVW KXQGUHGWK"
[ G
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Â&#x2022; WKH YDOXH RI [ ZKHQ URXQGHG XS ZLOO EH 6WDWHPHQW VD\V WKDW [ LV OHVV WKDQ +HQFH ZH NQRZ ZH PXVW URXQG GRZQ WR DQG WKH DQVZHU PXVW EH $ RU ' ,I G LV OHVV WKDQ DV VWDWHG LQ ZH NQRZ ZH KDYH WR URXQG GRZQ WR DQG VR WKH DQVZHU LV '
7KUHH WHDPV $ % DQG & HDFK KDYH ILYH PHPEHUV 7KH WKUHH WHDPV FRPSHWHG LQ D WKUHH HYHQW FRPSHWLWLRQ 7KH SRLQWV HDUQHG E\ LQGLYLGXDO PHPEHUV RI WKH WHDPV ZHUH DGGHG WR JHW WKH WHDP WRWDOV )LYH SRLQWV ZHUH DZDUGHG WR WKH LQGLYLGXDO ZLQQHU RI HDFK HYHQW IRXU SRLQWV WR WKH VHFRQG DQG WKUHH SRLQWV WR WKH WKLUG 1R SRLQWV ZHUH DZDUGHG IRU ORZHU SRVLWLRQV :KLFK WHDP ZRQ WKH FRPSHWLWLRQ"
1R WHDP VFRUHG IHZHU SRLQWV WKDQ & ZKLFK VFRUHG SRLQWV 0HPEHUV RI 7HDP $ ZRQ WZR HYHQWV DQG FDPH VHFRQG LQ WKH WKLUG HYHQW
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
$ REWDLQHG DW OHDVW SRLQWV EXW WKDW OHDYHV RSHQ WKH SRVVLELOLW\ WKDW PHPEHUV RI HLWKHU % RU & WRRN PRUH WKDQ IRXUWHHQ SRLQWV RXW RI WKH UHPDLQLQJ )RU H[DPSOH PHPEHUV RI WHDP % FRXOG KDYH WDNHQ ILUVW SODFH LQ RQH HYHQW DQG WZR VHFRQG SODFHV DQG WKUHH WKLUG SODFHV JLYLQJ WKHP D WRWDO RI PDNLQJ % WKH RYHUDOO ZLQQHU +HQFH WKH DQVZHU PXVW EH & RU ( 3XWWLQJ WKH LQIRUPDWLRQ WRJHWKHU LI $ JRW DW OHDVW DQG WKH ORZHVW VFRUH ZDV WKDW ZRXOG OHDYH D PD[LPXP RI ± ± +HQFH $ ZRQ ZLWK DQG WKH RWKHU WHDPV WLHG ZLWK DQG WKH DQVZHU LV &
[ à³&#x2013; [ ð [ ï
$ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU & ([SODQDWLRQ [ [ [ 7KH WRWDO LV
$QG\ VROYHV SUREOHPV WR LQFOXVLYH LQ D 0DWK H[HUFLVH +RZ PDQ\ SUREOHPV GRHV KH VROYH" $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU % ([SODQDWLRQ 7R ILQG KRZ PDQ\ SUREOHPV LQ WKH VHULHV ZH QHHG WR WDNH WKH GLIIHUHQFH DQG DGG RQH
,I [ DQG \ DUH LQWHJHUV DQG [ \ ZKLFK RI WKH IROORZLQJ FRXOG EH WKH YDOXH RI \ " $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU & ([SODQDWLRQ 6XEVWLWXWH WKH JLYHQ YDOXHV IRU \ DQG FKHFN ZKHWKHU \RX JHW DQ LQWHJHU YDOXH IRU [ )RU H[DPSOH XVLQJ ZH JHW [ [ ZKLFK LV QRW D ZKROH QXPEHU 7KH ULJKW DQVZHU LV VLQFH [ [ [
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
,I Q ! ZKLFK RI WKH IROORZLQJ PXVW EH WUXH" , Qð ! ,, Q Qð ,,, Q !
$ , RQO\ % ,, RQO\ & ,,, RQO\ ' , DQG ,, RQO\ ( QRQH &RUUHFW $QVZHU ( ([SODQDWLRQ *LYHQ WKDW Q LV SRVLWLYH LW FRXOG EH D SRVLWLYH IUDFWLRQ RU D IUDFWLRQ RI ZKROH QXPEHU JUHDWHU WKDQ ,I Q WKHQ FDVH , LV QRW WUXH VLQFH Q /LNHZLVH LQ ,, LI Q Q Q DQG WKH VWDWHPHQW LV QRW WUXH ,Q ,,, LI Q ò WKHQ Q DQG DJDLQ WKH VWDWHPHQW LV LQFRUUHFW
:KLFK RI WKH IROORZLQJ GHVFULEHV WKH UHODWLRQVKLS EHWZHHQ $ DQG % DV VKRZQ LQ WKH SDLUV RI QXPEHUV LQ WKH WDEOH DERYH" $ % $ % % $ & % $ ' % $รฐ ( % $รฐ &RUUHFW $QVZHU ' ([SODQDWLRQ <RX FDQ WU\ RXW WKH UHODWLRQVKLSV XVLQJ DW OHDVW WZR SDLUV IURP WKH WDEOH WR VHH ZKHWKHU WKH UHODWLRQVKLS KROGV %XW LW LV UHODWLYHO\ HDV\ WR VSRW WKDW WKH ILUVW QXPEHU VTXDUHG JLYHV WKH VHFRQG QXPEHU LQ HDFK FDVH
SHRSOH PHHW IRU D EXVLQHVV OXQFK (DFK SHUVRQ VKDNHV KDQGV RQFH ZLWK HDFK RWKHU SHUVRQ SUHVHQW +RZ PDQ\ KDQGVKDNHV WDNH SODFH" $ % & ' ( &RUUHFW $QVZHU ' ([SODQDWLRQ ,PDJLQH WKH ILUVW SHUVRQ RI WKH VL[ +H RU VKH ZLOO KDYH WR VKDNH KDQGV ZLWK HDFK RI WKH RWKHU 1RZ WXUQ WR WKH VHFRQG SHUVRQ +H RU VKH ZLOO KDYH WR VKDNH ZLWK WKH RWKHU ILYH EXW KH VKH KDV DOUHDG\ VKDNHQ ZLWK WKH ILUVW SHUVRQ 7KLV PHDQV QHZ KDQGVKDNHV 7KH WKLUG SHUVRQ ZLOO KDYH WR VKDNH ZLWK SHRSOH DQG VR RQ 7RWDO KDQGVKDNHV