TD Math´ematiques MA3
Suites num´eriques termes est S -Sachant que n = 151 et u0 = 17 et S = 8229.5, calculer r et u1 = 50 -Sachant que u0 = 11 et un = 433 et S = 47064, calculer n et r.
SUITES NUMERIQUES
Le raisonnement r´ ecurrence
Exercice 6 : Trouver 4 nombres ´el´ements d’une suite arithm´etique sachant que leur somme est 35 et que la somme de leurs carr´es est 334.
par
Exercice 1 : Montrer par r´ecurrence que : n X n(n + 1)) 1. S1 = i= 2 i=1 2. S2 = 3. S3 =
n X i=1 n X i=1
suites g´ eom´ etriques
n(n + 1)(2n + 1) i2 = 6
Exercice 7 : vn est une suite g´eom´etrique de premier terme v1 = 2 et de raison q = 3. Calculer v5 puis v1 + v2 + v3 + v4 + v5
n(n + 1) 2 i = 2 3
Exercice 2 : Utiliser les r´esultats de l’exercice pr´ec´edents pour exprimer en fonction de Exercice 8 : Une somme de 1500 euros rapl’entier n la somme Sn = 1.2 + 2.3 + · · · + porte un int´eret de 2,5% par an. n(n + 1). 1. Les int´erˆets sont pay´es au souscripteur chaque ann´ee. Quel est son gain au bout de 10 ans ? de 20 ans ? 2. Cette fois-ci les int´erˆets sont plac´es chaque suites arithm´ etiques ann´ee avec le capital. Quel est son gain au bout de 10 ans ? de 20 ans ? Exercice 3 : Soit un une suite arithm´etique Exercice 9 : Une personne place un capital telle que u6 = 7 et u10 = 4 . Calculer u20 . de 15000 `a int´erˆets compos´es au taux annuel Exercice 4 : Combien une pendule sonne-t- de 5 % . En combien d’ann´ees, le capital elle de coups si elles ne sonne que les heures ? aura t-il doubl´e ? si elle sonne les heures et les demi-heures (1 coup ) ? Une plaque de verre d’´epaisseur donn´ee fait Exercice 5 : Soit un le terme g´en´eral d’une baisser la luminosit´e de 10%. Quel est le suite arithm´etique de raison r de premier nombre de plaques n´ecessaires a` une baisse terme u0 , dont la somme des n premiers de luminosit´e de 25% ? , de 50%. IUT-GEII
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TD Math´ematiques MA3 Suites num´eriques Exercice 10 : Soit un une suite g´eom´etrique ses courses dans un ordre quelconque ? 1 de raison q > 0 telle que u1 = et 81u10 = Exercice 15 : Dans un jeu de 32 cartes, on 2 tire 6 cartes. Quel est le nombre de tirages 16u6 . Calculer qet Sn possibles ? Combien y a t’ il de tirages comportant 2 dames et 3 valets ? Exercice 11 : On d´efinit deux suites(un ) et Exercice 16 : Simplifier les expressions sui(vn ) par : vantes : un + 3vn un + 2vn n n X X Cnk ; vn+1 = u1 = 1; v1 = 12; un +1 = A= k k−1 ; B = (−1)k .Cnk 3 4 C n k=1 k=1 1) On pose wn = vn − un . D´emontrer que (wn ) est une suite g´eom´etrique. Quelle est sa Exercice 17 : Montrer que : limite ? p p+1 p+1 2) D´emontrer que les suites (un ) et (vn ) sont nCn = (p+1)Cn +pCn p = pCn+1 p + 1+Cn adjacentes. 3) On pose tn = 3un + 8vn . D´emontrer que 18 : A partir du d´eveloppement de (tn ) est une suite stationnaire. En d´eduire la Exercice n (1 + x) , calculer en donnant a` x des valeurs limite des suites (un ) et (vn ). eres, les sommes S1 et S2 S1 = Cn0 + 4) Retrouver les r´esultats pr´ec´edents gr`ace particuli` Cn1 + Cn2 + ... + Cnn ; aux expressions de un et vn . S2 = Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + (−1)n Cnn 19 : Calculer Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + Exercice 12 : On d´efinit la suite (un ) par Exercice n n 2 1 0 n u = 1 , u = 2 et la relation de r´ecurrence : ... + nCn (n) ; Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn 0
1
1 3 un+2 = un+1 − un 2 2
Exercice 20 : Etudier les suites num´eriques :
1 un u0 = ; un+1 = 1) On pose vn = un+1 − un . D´emontrer que 5 1 − 2un vn est une suite g´eom´etrique. un un+1 = 2) En d´eduire l’expression du terme g´en´eral 3 − 2un de (un ) en fonction de n puis la limite de la 1 suite (un ). un+1 = (u2n + 1) 2 3) Quel est le plus petit entier n0 tel que : an + b n 2 1 1 pour tout n > n0 , | un − 3 |< 10−5 an+1 = ; = + 2 bn+1 an b n Exercice 13 : Combien y a t’ il de nombres de 3 chiffres pas forc´ement distincts pris a2n b2n a = ; b = n+1 n+1 parmi les chiffres 1,2,...9 ? Combien y a t’ il an + b n an + b n de nombres de 3 chiffres tous diff´erents pris wn+2 = −6wn + 5wn+1 ; w0 = 1 ; w1 = 1 parmi les chiffres 1,2,...9 ? Exercice 14 : Un livreur a dix courses tn+2 = −4tn + 4tn+1 ; t0 = 1 ; t1 = 1 a` faire. De combien de mani`eres diff´erentes 5un + vn −2un + 5vn vn+1 = peut-il organiser son travail, s’ il peut r´ealiser u0 = 5v0 = 17un+1 = 6 3 IUT-GEII
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Suites num´eriques 1 Exercice 21 : D´ecomposer en Exercice 27 : R´esoudre x(x + 1) x+4 2x−10 Cx+10 − Cx+10 =0 ´el´ements simples. En d´eduire la limite de la n X 1 suite Sn = i(i + 1) i=1 Exercice 28 : En exploitant les diff´erents exemples tir´es de la notice de la calculatrice, Exercice 22 : Soit la suite (un ) d´efinie par programmez le calcul des 10, 100, 1000 a2 . Calculer un premi`eres valeurs de la suite un dans les u1 = 2a et 4 un+1 = 2a − un cas suivants. Donner une indication sur la en fonction de a et montrer que un converge. convergence de ses suites. Quelle est sa limite ? n ; bn = 1+cos ; a0 = 100 ; an = 1 + an−1 4 n+1 nπ 10000 cn = cos ( 100000 ) 10n Exercice 23 : Soit un = . Etudier les d0 = 31 ; dn = 4dn−1 −1 n! variations de la suite de terme g´en´eral un et e0 = 1 ; en = 20enn−1 ; p sa convergence. f0 = 0 ; fn = 2 − fn−1 3 Exercice 24 ; 2 √ : Soit la suite (un ) d´efinie g0 = 1 ; gn = 1+2gn−1 par u√ = 2 et la relation de r´ e currence 0 h0 = 1.1 ; hn = 1+2h3 2 ; n−1 un = 2 − un−1 . Montrer que les suites (u2k ) i0 = 2 ; i1 = 3 ; in = in−1 − in−2 et (u2k+1 ) sont adjacentes.
Exercice 25 : Montrer par r´ecurrence que s r q √ 1 π 2 + 2 + 2 + ... 2 cos n+1 = 2 2
limites
Exercice 29 : D´eterminer la limiter de la suite (un ) quand elle existe pour valant s r 3n + 2 q √ valant successivement : 3n2 − 2n, , π 1 2n + 1 sin n+1 = 2 − 2 + 2 + ... 2 √ 3n nπ √ 2 2 2 , n. cos , n + 2, 3 − n2 , 1 − n, 2 2 Dans les ´ecritures pr´ec´edentes , on a ´ecrit n n + 1 3 n 5 n 4 2n + 3n n+1 √ fois le symbole . Utiliser la derni`ere ´egalit´e ( ) , −( ) + ( )n , n , √ , n 3 2 4 5 2 −3 n − 2n + 1 pour prouver que 1 r sin . Donner un ordre de grandeur puis un q n √ ´equivalent du terme un au voisinage de l’inlim 2n 2 + 2 + ... 2 = 1 n→∞ fini. en d´eduire que
p−1 Exercice 26 : Montrer que pCnp = nCn−1 et Exercice 30 : Trouver un r´eel α pour que la n X suite nα .un admette une limite finie lorsque 2 p en d´eduire p Cn . 1 1 u vaut successivement : sin ,6 sin − n p=1 n n
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TD Math´ematiques MA3 Suites num´eriques 6 1 1 1 1 + , ln(1 + ), ln(2 + 2 ), ln(1 + √ ), 5. A l’aide d’une int´egration par parties, n n3 n n n ´etablir que π 1 2 1 cos( 2 ) − 1, sh ( √ ) − √ , arctan( 3 ) − 1 n n n n In+1 = − + (n + 1)In 2 e . Donner un ordre de grandeur puis un n3 ´equivalent du terme un au voisinage de l’in- et retrouver les valeurs de I1 et I2 . fini. Exercice 33 : Probl` eme No 2 Exercice 31 : Construire dans u rep`ere les cinq premiers termes de la suite r´ecurrente Soit la suite (un ) d´efinie par son premier terme et√la relation de r´ecurrence u0 = 0 et d´efnie par u0 et un+1 = f (un ) lorsque : un+1 = 1 + un . f (x) = 0, 5.x + 4 u0 = 0 8 1. D´eterminer √le r´eel a solution de de u0 = 1 f (x) = 1 + l’´equation x = 1 + x. x+1 2x + 6 f (x) = u0 = 2 2x + 1 2. D´emontrer que ∀x ∈ [0, a], x ≤ √ 1 2 3 f (x) = (x + ) u0 = 1 + x ≤ a. 2 x 2 √ 1 f (x) = 2 + x u0 = 3. D´emontrer que la suite (un ) est croissante 2 f (x) = cos x u0 = 0 et major´ee par a. x+6 u0 = 1 x+2 4. En d´eduire que (un ) est une suite convergente et donner sa limite. Dans chaque cas, conjecturer la limite de la suite ainsi que son sens de variation. Exercice 32 : Probl` eme No 1 Z 1 xn .e−x dx 1. Calculer Soit ∀n ∈ N, In = I0 , I1 , I2 .
0
2. Quel est le sens de variation de In ? 3. D´emontrer que ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], xn .e−x ≤ xn .
0≤
1 puis en n+1 d´eduire la limite de la suite In .
4. D´emontrer que 0 ≤ In ≤
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Suites num´eriques
R´ esum´ e
q = 1, lim vn = v0 . n→∞ q < −1, v0 6= 0 vn n’a pas de limite Le principe de r´ ecurrence q > 1, v0 > 0 n→∞ lim vn = +∞. Soit P(n) o` u n ∈ IN est un entier naturel q > 1, v < 0 lim v = −∞. 0 n n→∞ une propri´et´e telle que : Somme des n + 1 premiers termes : v0 = • P(0) est vraie, 1 − q n+1 • pour k quelconque dans IN , P(k) vraie 1, q 6= 1, 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1−q implique P(k + 1) vraie, La somme 1 + q + q 2 + · · · + q n admet une alors : limite quand n tend vers +∞ si et seulement 1 . Ce qui si |q| < 1. Elle vaut dans ce cas ∀n ∈ IN , P(n) est vraie 1−q s’´enonce :
Suites arithm´ etiques
D´ efinition : La suite (un ) v´ erifiant la relation
de r´ecurrence un+1 = un + r o` u r un r´eel fix´e ∞ X 1 est la suite arithm´etique de premier terme u0 qn = lim (1 + q + q 2 + · · · + q n ) = n→∞ de raison r. 1−q n=0 Propri´ et´ es : (un ) suite arithm´ etique ⇔ avec |q| < 1 ∀n ∈ IN , un = u0 + n.r Limites : r = 0, lim un = u0 n→∞ Suites arithm´ eticor > 0, lim un = +∞; g´ eom´ etriques n→∞ r < 0, lim un = −∞ D´ e finition : Les r´eels a, b et u0 sont fix´es. La n→∞ suite (un ) v´erifiant la relation de r´ecurrence un+1 = aun + b
Somme de termes cons´ ecutifs :
i < j entiers, est une suite arithm´etico-g´eom´etrique. Lorsque a = 1, (un ) est la suite arithm´etique de raison b de premier terme u0 . Lorsque b = 0,(un ) est la suite g´eom´etrique de raison a de premier terme u0 . Propri´ et´ es : Pour a 6= 1, notons l le r´ eel sob lution de l’´equation l = al + b soit l = . 1−a La suite annexe vn = un − l est la suite g´eom´etrique de premier terme v0 = u0 − l et de raison a. Elle fournit l’expression de un en fonction de n c’est `a dire :
(ui + uj ) .(j − i + 1) 2 Somme des n premiers entiers : n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ··· + n = 2
ui + ui+1 + · · · + uj =
Suites g´ eom´ etriques
D´ efinition : La suite (vn ) v´ erifiant la relation
de r´ecurrence vn+1 = q.vn o` u q un r´eel fix´e est la suite g´eom´etrique de premier terme v0 de raison q. Propri´ et´ e : (vn ) suite g´ eom´etrique ⇔ ∀n ∈ n IN , vn = v0 q Limites : |q| < 1, lim vn = 0.
un =
n→∞
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b b + (u0 − )an 1−a 1−a 17-18
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Suites num´eriques la recherche de racines d’´equations polynomiales. Leur ´etude se fait en trois temps : la r´esolution de l’´equation caract´eristique, l’expression g´en´erale des suites solutions et enfin la d´etermination a` partir des conditions initiales de l’unique suite v´erifiant l’´equation de r´ecurrence . Probl` eme : Des r´eels a, b, u0 , u1 ´etant fix´es, la suite r´ecurrente (un ) v´erifie l’´equation de r´ecurrence
b , (un ) est Limite : si a 6= 1 et u0 = 1−a b stationnaire et sa limite est l = . 1−a b si a 6= 1 et u0 6= la suite (un ) converge 1−a si et seulement si |a| < 1. Sa limite vaut alors b l= . 1−a
Suites un+1 = f (un) avec f continue
∀n ∈ IN ,
Phase exp´ erimentale : Construire ` a la main,
il s’agit de d´eterminer l’expression de un en fonction de n. L’´ equation caract´ eristique attach´ee `a l’´equation de r´ecurrence est alors
a` l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel dans un mˆeme rep`ere les courbes d’´equation y = f (x) et y = x. Choisir une valeur de u0 puis placer les valeurs u1 , u2 , ... afin de d´egager des indications sur le comportement de la suite a` l’infini : c’est a` dire ses variations, sa convergence, ´eventuellement sa limite. Recommencer avec d’autres valeurs de u0 . Conjecturer. Phase d’´ etude : Si la suite converge, sa limite l v´erifiant f (l) = l est un point fixe de f. L’´etude des variations de f , du signe de f (x) − x, de majoration sur f (x) validera la limite de la suite. Un r´esultat essentiel ici est le Th´ eor` eme du point fixe de Banach : Soit f une fonction num´erique d´efinie, continue et d´erivable sur un intervalle I stable par f c’est `a dire f (I) ⊂ I et telle que ∀x ∈ I, |f (x)| ≤ K avec K < 1 alors la suite un+1 = f (un ) converge vers α = f (α) le seul point fixe de f dans I. Suites r´ ecurrentes un+2 = aun+1 + bun, a, b r´ eels fix´ es Appel´ees suites r´ecurrentes `a deux niveaux de profondeur ou ´equations aux diff´erences ces suites s’utilisent en traitement num´erique du signal ainsi qu’en analyse num´erique pour IUT-GEII
un+2 = aun+1 + bun
r ∈ R,
r2 = ar + b ou r2 − ar − b = 0
L’´etude du signe du discriminant ∆ = a2 + 4b de cette ´equation fournit les trois points de la discussion ci-dessous. 1) ∆ > 0 : l’´ equation caract´ eristique admet deux racines r´ eelles distinctes √ √ a− ∆ a+ ∆ et r2 = ces deux Soit r1 = 2 2 racines. Le terme g´en´eral un est une combinaison lin´eaire des deux suites g´eom´etriques r1n et r2n . Il s’exprime alors par ∀n ∈ IN ,
un = λr1n + µr2n ,
λ, µ ∈ R
Les deux r´eels λ, µ se d´eterminent par la u0 = λ + µ r´esolution du syst`eme u1 = λ.r1 + µ.r2 2) ∆ = 0 : l’´ equation caract´ eristique admet une racine r´ eelle double a Soit r0 = cette racine. Le terme g´en´eral 2 un est une combinaison lin´eaire de la suite g´eom´etrique r0n et de la suite n.r0n . Il s’exprime alors par ∀n ∈ IN , 6
un = (λ + n.µ).r0n ,
λ, µ ∈ R 17-18
TD Math´ematiques MA3 Les deux r´eels λ, µ se d´eterminent par la u0 = λ r´esolution du syst`eme u1 = λ.r0 + µ.r0 3) ∆ < 0 : l’´ equation caract´ eristique admet deux racines complexes conjugu´ ees p a + i. |∆| une racine et r2 = Soit r1 = 2 r1 l’autre racine. Le nombre complexe r1 s’´ecrit sous la forme trigonom´etrique par r1 = ρ exp(i.θ). Le terme g´en´eral un est alors une combinaison lin´eaire des suites ρn . cos nθ et ρn . sin nθ. Il s’exprime par ∀n ∈ IN ,
un = ρn (λ cos nθ+µ sin nθ),
Suites num´eriques
λ, µ ∈ R
Les deux r´eels λ, µ se d´eterminent par la r´esolution du syst`eme u0 = λ u1 = λ.ρ cos θ + µ.ρ sin θ
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