UNIVERSIDAD LIBRE – SECCIONAL CALI FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL GUÍA DE TRABAJO No 11 TEMA: SUCESIONES Y SERIES Profesor: Walter G. Magaña S.
SUCESIONES Y SERIES 11.1 SUCESIONES Objetivo: Identificar y manejar algunas sucesiones infinitas representativas en el conjunto de los números reales.
más
En el lenguaje normal, se usa el término “sucesión” para sugerir alguna situación de estar una cosa detrás de otra en el tiempo o en el espacio, o también, para significar un conjunto de objetos o eventos que se siguen unos tras otros en un orden específico. Es decir, se puede determinar cual es el primero, el segundo y así sucesivamente. En este caso se dice que los elementos del conjunto están en sucesión. Informalmente hablando, en matemáticas, el término sucesión es usado para describir: o una sucesión finita si en el conjunto hay un primer y un último elemento, o bien, una sucesión infinita si el conjunto es infinito. Los elementos en una sucesión se denominan los términos de la sucesión, los cuales pueden ser definidos de acuerdo a la posición que ocupan. Ejemplos Ilustrativos: Dos ejemplos de sucesiones son: 1. 3, 4, 5, 6, 7 2. 2, 4, 6, 8, 10, . . . La primera sucesión corresponde a una sucesión finita Posición del término Términos de la sucesión
Walter G. Magaña S.
1 3
2 4
3 5
4 6
5 7
1
La segunda sucesión corresponde a una sucesión infinita Posición del término Términos de la sucesión
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
... ...
En esta unidad se define una sucesión de manera formal y además se referirá, en lo sucesivo, así no se advierta, a sucesiones infinitas. Se recordará que una función f de un conjunto A hacia un conjunto B es una relación o correspondencia que asocia a cada elemento x A uno y sólo un elemento f(x) de B. Por lo general, el dominio A y el contradominio B son ambos el conjunto de los números reales, R. En esta sección se considerará una clase especial de funciones. DEFINICIÓN. Sucesión. Una sucesión (o progresión) es una función definida del conjunto de los enteros positivos, Z+, (o cualquier subconjunto de los enteros, Z), como dominio, hacia el conjunto de los números reales, R, como contradominio. El siguiente gráfico ilustra la definición: Z+
1 2 3 4 5 . . . n–1 n n+1 . . .
n
Walter G. Magaña S.
R f(1) = a1 f(2) = a2 f(3) = a3 f(4) = a4 f(5) = a5 . . . f(n–1) = an – 1 f(n) = an f(n+1) = an + 1 . . . f(n) = an
2
Observaciones: Como se observa el dominio de la función es el conjunto de los enteros positivos, Z+, o naturales, N, a menos que en el contexto de trabajo se indique otro conjunto diferente y que será un subconjunto de los enteros. Los elementos del rango de la función se denominan términos de la sucesión (o progresión como la denominan algunos matemáticos), así: n = 1, n = 2, n = 3, . . . n
f (1) = a1 f (2) = a2 f (3) = a3 . . . f (n) = an
Primer término Segundo término Tercer término . . . n-ésimo término
sucesivamente hasta el término n-ésimo o término general f(n) = an que corresponde a la forma de la función. El término anterior o precedente a an se expresa como f (n – 1) = an – 1 y el término siguiente o posterior a an como f (n + 1) = an + 1. En una sucesión o progresión los términos se escriben en estricto orden natural con respecto a los valores del dominio: a1, a2, a3, . . . , an, . . . La anterior lista ordenada de elementos se cita a menudo como una sucesión. Por defecto, se empieza con n = 1 si no se advierte nada. Otra forma de representar una sucesión es en forma compacta entre llaves como {a n } n 1 ó simplemente, en forma abreviada como {an}, donde se escribe entre llaves el término n-ésimo que por lo tanto significa: {an} = {a1, a2, a3, . . . , an, . . .} Si el dominio de una función es un conjunto finito de enteros consecutivos, entonces la sucesión se denomina sucesión finita; ahora si el dominio es un conjunto infinito de enteros consecutivos, entonces se denomina sucesión infinita. Es frecuente usar la letra n para representar los elementos del dominio, pero igualmente se pueden usar las letras i, j, k, m. Ejemplo 1. Escribir los primeros seis términos de la sucesión definida por an f n n 2 . Solución: Los primeros seis términos de la sucesión se generan sustituyendo los valores enteros n 1, 2, 3, 4, 5, 6, .. . en la fórmula f n n 2 . De esta forma
Walter G. Magaña S.
3
n an
n=1 a1 = 12
n=2 a2 = 22
n=3 a3 = 32
n=4 a4 = 42
n=5 a5 = 52
n=6 a6 = 62
... ...
Se tiene la sucesión 12 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6 2 , . . . o bien 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . Se observa que si no se advierte nada se sobreentiende que el dominio, por defecto, es el conjunto de los enteros positivos (o números naturales), N. Ejemplo 2. Escribir los primeros seis términos de la sucesión definida por 1 an . n Solución: los primeros seis elementos se determinan a continuación
n=1 1 a1 1
n=2 1 a2 2
Se obtiene la sucesión 1,
n=3 1 a3 3
n=4 1 a4 4
n=5 1 a5 5
n=6 1 a6 6
... ...
1 1 1 1 1 , , , , ,... 2 3 4 5 6
Ejemplo 3. Escribir los primeros seis términos de la sucesión definida por n . an 2n 1 Solución: los primeros seis elementos se determinan a continuación
n=1 1 a1 3
n=2 2 a2 5
Así, se tiene la sucesión
n=3 3 a3 7
n=4 4 a4 9
n=5 5 a5 11
n=6 6 a6 13
... ...
1 2 3 4 5 6 , , , , , ,... 3 5 7 9 11 13
Ejemplo 4. Escribir los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término n-ésimo o general es: n (c) an 1n (a) an = 2n (b) an = 1 + (0.1)n (d) an = 5 3n 1 Walter G. Magaña S.
4
Solución: Se sustituye sucesivamente n = 1, 2, 3, 4 y 5 en cada una de las fórmulas: (a) Sustituyendo en el término general an = 2n se tiene: n=1 a1 = 2(1) = 2 a2 = 2(2) = 4 n=2 n=3 a3 = 2(3) = 8 a4 = 2(4) = 16 n=4 n=5 a5 = 2(5) = 32 ⁞ ⁞ n an = 2n La sucesión es 2, 4, 8, 16, 32,..., 2n,… (b) Para el término general an = 1 + (0.1)n n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 a1 a2 a3 a4 a5 1 + (0.1)(1) 1 + (0.1)(2) 1 + (0.1)(3) 1 + (0.1)(4) 1 + (0.1)(5) Así se tiene la sucesión 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, 1.00001,... (c) Para el término general an 1n
n se tiene 3n 1 11 1 , 12 2 , 13 3 , 14 4 , 15 5 ,… 31 1 32 1 33 1 34 1 35 1 1 2 3 4 5 Finalmente la sucesión es: , , , , ,... 2 5 8 11 14
(d) Si an = 5, entonces se tiene la sucesión de una constante: 5, 5, 5, 5, 5,...
Ejemplo 5. Escribir la sucesión definida por
1 2 3 4 5 , , , , , . . . en la notación 2 3 4 5 6
del término n-ésimo o término general, an. Solución: Se comienza comparando el número de la posición de cada término con el término correspondiente: Posición Término
n=1 1 a1 2
n=2 2 a2 3
n=3 3 a3 4
n=4 4 a4 5
n=5 5 a5 6
... ...
En cada término, el numerador es el mismo número de la posición, y el denominador es una unidad más que el número de la posición del término para Walter G. Magaña S.
5
todo n 1 . Así, el término n-ésimo o término general es
an
n n 1
para todo
n n 1 , que también se puede escribir como . n 1 n 1
Ejemplo 6. Hallar el término n-ésimo o término general, an, de la sucesión 1 1 1 1 definida por , , , ,... 2 4 8 16 Solución: Se observa que la sucesión puede ser reescrita como: 1 1 1 1 , , , ,... 2 2 2 23 2 4 A continuación se compara el número de la posición cada término con el término correspondiente:
n an
1 1 2
2 1 22
3 1 23
4 1 24
... ...
Se observa que todos numeradores son 1 y en el denominador el número n de la posición es el exponente de la base 2, entonces, el término n-ésimo o término 1 general está dado por a n n para todo n 1 . 2 Ejemplo 7. Hallar el término n-ésimo o término general, an, de la sucesión dada por 1, – 1, 1, –1, . . . Solución: Se recuerda que la potencia (– 1)r es o 1 ó bien –1 de acuerdo a si r es un entero par o un entero impar correspondientemente. Es decir: 1 si r es par 1r 1 si r es impar En la sucesión dada n
an
1 1
2 –1
3 1
4 –1
... ...
Se puede observar que los números que ocupan las posiciones impares son 1s y los términos que ocupan las posiciones pares son –1s. De esta forma, una fórmula para el término n-ésimo se puede obtener sumando – 1 al exponente en la potencia (–1)n, configurándose la fórmula (–1)n – 1; también se puede obtener Walter G. Magaña S.
6
sumando 1 al exponente en la potencia, lográndose la fórmula (–1)n + 1, en cualquiera de los dos casos el exponente de la potencia es par si n es impar y es impar si n es par. Entonces la fórmula puede ser escrita de cualquiera de estas dos formas: n 1 n 1 a n 1 ó también como a n 1 . Ejemplo 8. Hallar el término n-ésimo o término general, an, de la sucesión 1 2 3 4 5 definida por , , , , ,... 2 3 4 5 6 Solución: Se combinan en producto los resultados de los ejemplos 5 y 7; es decir, primero, sin tener en cuenta los signos, no hay ningún problema en observar que los numeradores de los términos de la sucesión son los números naturales que son los mismos números de la posición y los denominadores los mismos naturales más uno, de esta forma, el término general, sin tener en n cuenta los signos, es . Luego, para obtener los signos alternados se n 1 multiplica cada término por la potencia (1) n . Finalmente, el n-ésimo término de la sucesión se puede escribir por la fórmula n n 1 a n 1 para todo n 1 n 1
n n 1 O bien como 1 . n 1 n 1
Ejemplo 9. Hallar el término n-ésimo o término general, an, de la sucesión 1 4 9 16 25 , , , , , ... 3 5 7 9 11 Solución: En esta sucesión los numeradores de cada término corresponden a los cuadrados de los números naturales o enteros positivos de la posición; es decir, su forma es n 2 , para todo n 1 . Los denominadores corresponden a la sucesión de números impares, a partir del segundo, entonces, se escriben en la forma 2n 1 , para todo n 1 . Por lo tanto, el término n-ésimo o término general de la sucesión es n2 an , para todo n 1 . 2n 1 Ejemplo 10. Hallar el término n-ésimo o término general, an, de la sucesión 2 4 8 16 32 , , , , , ... 3 6 9 12 15 Solución: Walter G. Magaña S.
7
Los numeradores de los términos de la sucesión corresponden a las potencias de 2; su forma general es 2 n , para todo n 1 . Los denominadores de los términos de la sucesión corresponden a los múltiplos de 3; esto es, tiene la forma 3n , para todo n 1 . Por lo tanto, el término n-ésimo o término general de la sucesión es 2n an , para todo n 1 . 3n
TEOREMA. Algunas propiedades de las sucesiones Como las sucesiones son funciones entonces cumplen la mayoría de las propiedades establecidas para las funciones en los números reales. Sean las sucesiones {a n } y {bn } entonces, para todo n N, se cumple: (1) La suma: {a n } + {bn } = {a n bn } . (2) La diferencia: {a n } – {bn } = {a n bn } . (3) El producto: {a n } {bn } = {a n bn } . (4) El cociente:
a {a n } = n con bn 0 . {bn } bn
2n 2 1 Ejemplo. Dadas las sucesiones y hallar su suma. 2 n 1 n 1 Solución: Para hallar el término n-ésimo de la suma de estas dos sucesiones se suman los términos n-ésimos de las sucesiones dadas: n 2 1 2n 2 n 1 2n 3 3n 2 1 1 2n 2 2 n 1 n 1 n 1 n 2 1 n 1 n 2 1
2n 3 3n 2 1 Así la suma de las sucesiones dadas es la sucesión dada por . 2 n 1n 1
GRÁFICOS DE SUCESIONES Debido a que las sucesiones son funciones cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y el rango es el conjunto de los números reales, entonces los puntos se pueden ubicar en un plano coordenado, como las funciones en los reales.
Walter G. Magaña S.
8
1 Ejemplo 1. Dada la sucesión realizar su gráfico. n Solución: Para efectuar el gráfico de la sucesión se considera el gráfico de la ecuación 1 y f n con n = 1, 2, 3, 4, 5, . . . n n
1
y f n
1
2 1 2
3 1 3
4 1 4
5 1 5
... ...
Debido a que el dominio de esta ecuación está definido solo para valores enteros positivos de n, el gráfico consiste de una sucesión de puntos aislados (Figura a).
y
y
x
x
Figura a
Figura b
Se observa que hay una gran diferencia con el gráfico de la función en los reales (Figura b) que corresponde a la función: 1 y f x , x 1 x
n , definida para todo n Z , realizar su 2n 1 gráfico y determinar su comportamiento cuando n se hace cada vez más grande. Solución: Se hallan los primeros seis términos de la sucesión: Ejemplo 2. Sea la sucesión an
n
y
n 2n 1
Walter G. Magaña S.
1
1 21 1
2
2 22 1
3
3 23 1
4
4 24 1
5
5 25 1
6
6 26 1
…
9
Entonces se tienen los puntos para graficar la sucesión: 1 2 3 4 1, , 2, , 3, , 4, , 3 5 7 9 6 5 5, , 6, , … 11 13 Se observa que cuando n se hace cada vez más grande los valores de la sucesión crecen aproximándose a 1/2.
2n 2 Ejemplo 3. Determinar el gráfico de la sucesión 2 y su comportamiento n 1 cuando n se hace cada vez más grande.
Solución: Para efectuar el gráfico de la sucesión se consideran algunos puntos que se toman en la siguiente tabla
n 2n 2 y 2 n 1
1 1
2 8 5
3 18 10
Se observa que cuando n se hace cada vez más grande los valores de la sucesión tienden a aproximarse a 2. Es decir, cuando n tiende a infinito ( n ) los términos de la sucesión 2n 2 tienden hacia el “límite” 2. 2 n 1
4 32 17
5 50 26
... ...
y
x
2 si n es par Ejemplo 4: Efectuar el gráfico de la sucesión an n 2 1 si n es impar Solución: Se calculan los seis primeros pares de la sucesión
Walter G. Magaña S.
10
n f n an
1
2
3
4
5
6
1
2 1 2 2 2
1
2 1 4 2 3
1
2 1 6 2 4
La sucesión que se escribe como 1, 1 1 1 , 1, , 1, , … tiene la gráfica que 3 4 2 se muestra. Cuando n tiende a infinito ( n ), se observa que decrece para los valores pares de n y es contante para los valores impares de n; por lo tanto, no tiende hacia ningún límite.
y
x
Ejemplo 5. Determinar el gráfico de la sucesión cuando n se hace cada vez más grande. Solución:
En la sucesión 1 los términos oscilan entre 1 y – 1. Es decir, n 1
1 y su comportamiento n 1
y
1n1
1 si n es impar 1 si n es par Cuando n tiende a infinito ( n ), se observa que los valores de la sucesión oscilan entre 1 y – 1; por lo tanto, no tiende hacia ningún límite.
x
Ejemplo 6. Determinar el gráfico de la sucesión
1 n 1 2
y su
comportamiento cuando n tiende a infinito. Solución:
Walter G. Magaña S.
11
y
1 n En la sucesión los 1 2 términos tienden a un “límite” de 1, pero lo hacen en un modo oscilatorio. Es decir, cuando n tiende a infinito ( n ) los términos de esta sucesión tienden hacia el “límite” 1 oscilando entre valores positivos y negativos.
x
Ejemplo 7. Determinar el gráfico de la sucesión cuando n tiende a infinito. Solución: y En la sucesión 2n 1 los términos crecen sin límite.
2n 1
y su comportamiento
x
LÍMITES DE SUCESIONES Cuando se dice que una sucesión {a n } se acerca a un límite L cuando n se hace cada vez más grande, se quiere significar que en adelante los términos de la sucesión se acercan arbitrariamente al número L. Así, si se escoge cualquier número positivo , tan pequeño como se quiera, en adelante la distancia de los términos de la sucesión a L es menor que la unidad . Geométricamente, esto significa que si se traza las rectas y L y y L , los términos de la sucesión estarán ubicados entre las rectas, y así estarán a una distancia de L menor que la unidad . La siguiente definición expresa esta idea de manera más precisa.
Walter G. Magaña S.
12
DEFINICIÓN. Límite de una Sucesión. Una sucesión a n tiene el limite L si, y sólo si para algún número
> 0, existe un número N > 0 tal que si n es un número entero y si n N , entonces a n L y se escribe
lim an L
n
Si una sucesión a n tiene un límite L, se dice que la sucesión es convergente,
y a n converge al límite L. Si la sucesión no es convergente, entonces se dice que es divergente.
y
Lε
L
Lε
n
N
Ejemplo ilustrativo. Hallar el límite cuando n tiende a infinito ( n ) en la n . sucesión 2n 1 Solución: Como una sucesión es un tipo especial de función, es posible aplicar las propiedades de los límites estudiadas para funciones continuas. En este caso se divide el numerador y el denominador del término general entre la variable de mayor exponente que es n:
Walter G. Magaña S.
13
n n
y
1 n lim lim 1 1 n n 2n 1 n 2n 2 n n n lim 1 1 1 n . 1 20 2 lim 2 lim n n n
lim
x
En la gráfica de la sucesión se puede observar que cuando n crece hacia infinito los puntos de la sucesión convergen a la asíntota horizontal 1 y . 2
En muchos análisis del límite de sucesiones es conveniente usar la siguiente propiedad: TEOREMA. Variable Discreta vs. Variable Continua Sea an una sucesión y f una función continua definida en el intervalo
1,
tal que an f n .
Si lim f x L , entonces lim f n L x
Esto es, la sucesión an converge.
n
Es decir, si el límite de la función equivalente continua existe y es L, entonces el límite para la sucesión es el mismo, L. Pero esto no impide que se pueda trabajar directamente sobre la variable n que es la variable independiente en el caso de las sucesiones. La ventaja de trabajar con este teorema es poder utilizar las técnicas del cálculo de límites de funciones continuas reales; en especial, la regla de L’Hôpital y los teoremas de límites de funciones. Análogamente como en el caso de funciones, si el límite de una sucesión existe éste es único. TEOREMA. Unicidad del límite Si una sucesión es convergente su límite es único A continuación se presentan algunas de las propiedades de los límites de funciones anteriormente estudiadas aplicadas a los límites de sucesiones.
Walter G. Magaña S.
14
TEOREMA. Algunas propiedades de los límites de sucesiones Si an y bn son sucesiones convergentes, tales que
lim an L
x
y
lim bn M , y c es una constante, entonces:
x
(1) (2) (3) (4) (5)
lim c c . La sucesión constante
n
c
tiene a c como su límite.
lim c an c lim an c L .
n
n
lim an bn lim an lim bn L M .
n
n
n
lim an bn lim an lim bn L M .
n
n
n
lim an
a L lim n n , siempre que lim bn 0 y cada bn 0 . n b n lim b M n n n
2n Ejemplo 1. Determinar si la sucesión es convergente o divergente. n 4 n Solución: Se determinan los cinco primeros elementos de la sucesión: 21 22 23 24 25 , , , , ,... 1 4 1 2 4 2 3 4 3 4 4 4 5 4 5 2 2 6 2 10 , , , , y se tiene , 5 1 2 2 3 4 3 3 5 4 5 2x Sea la función continua real equivalente, f x definida para toda x 1 , 1 x 4x 2 se calcula el límite, que tiene la forma indeterminada , entonces se aplica la regla de L’Hôpital: 1 1 2 12 x 2 2x 2 2 2x lim 1 lim lim 2 2 lim lim 1 1 1 x x 4 x 2 n 1 4 1 x 2 n 1 x 2 n x 2 2 n 2 2 Entonces, lim
n
2n 2n 2 . Por lo tanto, la sucesión es convergente. 1 2 n 4n n 4 n
3 2n 2 Ejemplo 2. Determinar si la sucesión 2 es convergente o divergente. n 1 Solución: Se determinan los cinco primeros elementos de la sucesión: 3 2n 2 3 212 3 222 3 232 3 242 , , , , , …, ,… n2 1 12 1 22 1 32 1 42 1 y se obtiene Walter G. Magaña S.
15
1 3 2n 2 3 29 47 , 1, , , , ... , 2 , ... 2 2 17 26 n 1 Se calcula directamente el límite, aplicando el teorema de L’Hôpital, porque se tiene la forma indeterminada : 2 3 2n 4 4n lim lim 2 2 lim lim 2 n n 1 n 2n n 2 n
Entonces la sucesión converge a –2. Para apoyar la respuesta se realiza la gráfica correspondiente, para esto se tienen los puntos de la sucesión 3 29 1 1, , 2, 1 , 3, , 4, , 2 17 2 47 5, , … 26
y
x
Ejemplo 3. Demostrar que la sucesión
2n 3 sen 2 n n 1
es convergente y
determinar su límite. Solución: Los primeros términos de la sucesión son: 16 27 3 64 2 2n 3 0, , , , ..., 2 sen , ... 5 10 17 n 1 n Se tiene en cuenta que el término n-ésimo de la sucesión se puede escribir como: 2n 3 2n 2 sen n sen 2 n2 1 n n 1 n
Se calcula el límite de la sucesión cuando n crece al infinito: 2n 2 2n 2 nsen lim 2 lim n sen lim 2 n n 1 n n n 1 n n Calculando los límites respectivos de cada sucesión se tiene:
Walter G. Magaña S.
16
lim 2 2 2n 2 2 n 2. lim 2 1 1 n n 1 n 1 0 1 2 lim 1 lim 2 n n n n
lim
lim n sen tiene la forma 0 , entonces se reescribe para n n aplicar directamente el teorema de L’Hôpital: sen 2 cos n n lim n lim cos lim n sen lim 1 1 n n n n n n 2 n n
De otro lado,
Por lo tanto, 2n 3 2n 2 lim 2 sen lim 2 lim n sen 2 2 n n 1 n n n 1 n n Finalmente, se ha demostrado que la sucesión es convergente y su límite es 2.
n n sin es convergente o n 1 2 divergente. Si la sucesión es convergente, calcular su límite. Solución: Para calcular el límite se tiene en cuenta que n n n n lim sen lim sen lim n n 1 2 n n 1 n 2 Ejemplo 4. Determinar si la sucesión
Se calculan los límites respectivos de cada sucesión: 1 n lim 1 lim 1 n n n 1 1 n n Para analizar el límite lim sen se tienen en cuenta los primeros términos n 2 que genera la sucesión: 3 5 sen , sen , sen , sen2 , sen , … 2 2 2 n 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , . . ., sen , ... 2 Walter G. Magaña S.
17
Como se puede observar los términos de la sucesión oscilan entre los valores 1, 0 y –1; luego la sucesión diverge. n n sin es divergente. Por lo tanto, la sucesión n 1 2 4 3 n Ejemplo 5. Determinar si la sucesión 1 es convergente o divergente. n 2 Solución: Se calculan los límites del numerador y el denominador respectivamente: 1 lim 4 3 n 4 lim n 4 0 4 y n 3 n 1 lim n 1 2 lim 2 0 2 2 . n n n n 43 4 2. Entonces lim 1 n n 2 2 4 3 n Por lo tanto, la sucesión 1 converge a 2. n 2
SUCESIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE DEFINICION. Sucesión creciente y decreciente. Una sucesión a n es
(1) creciente si a n a n1 para toda n; (2) decreciente si a n a n1 para toda n. Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. En algunos casos no es fácil probar que una sucesión es monótona, por eso es útil recurrir a la función continua real f x para x 1 , equivalente a la de la sucesión an f n . Es importante recordar que si f x 0 para toda x 1 , entonces f es creciente en el intervalo 1, , y por lo tanto la sucesión an f n es creciente. Si f x 0 para toda x 1 , entonces f es decreciente en
el intervalo 1, , y por lo tanto la sucesión an f n es decreciente.
Ejemplo 1: Determinar si cada sucesión es creciente, decreciente o no es monótona: 3n 1 1 1n (a) (b) (c) 4n 5 n n Walter G. Magaña S.
18
Solución: 3n 1 (a) Los primeros términos de la sucesión son: 4n 5 2 5 8 11 14 17 3n 1 , , , , , , . . ., , ... 4n 5 9 13 17 21 25 29 Los términos sugieren que la sucesión es creciente, entonces 3n 1 3n 2 3n 1 3n 1 1 a n a n1 4n 5 4n 1 5 4n 5 4n 9
3n 14n 9 3n 24n 5 12n 2 23n 9 12n 2 23n 7 9 7 Esta última igualdad es cierta para toda n 1 . Por lo tanto, la sucesión es creciente. Otra forma de analizar es considerar la función continua real equivalente, es 3x 1 para x 1 , y derivarla: decir f x 4x 5 34 x 5 3 x 14 12 x 15 12 x 4 19 0 para toda x 1 , entonces f x 2 2 4 x 5 4 x 5 4 x 52 3n 1 f es creciente en el intervalo 1, . Por lo tanto, an f n es creciente. 4n 5
1 (b) Los primeros seis términos de la sucesión son: n 1 1 1 1 1 1 , . . ., , ... , , , , 1, n 2 3 4 5 6 Los términos sugieren que la sucesión es decreciente, entonces 1 1 an an1 n 1 n , igualdad que es verdadera para toda n 1 . Por n n 1 lo tanto, la sucesión es decreciente.
De otra forma, si se considera la función continua real equivalente, f x
1 x
1 0 para toda x 1 , entonces f es x2 1 decreciente en el intervalo 1, . Por lo tanto, a n f n es decreciente. n
para x 1 , que al derivarla se obtiene: f x
1n (c) Algunos primeros términos de la sucesión son: n n 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , . . ., , ... n 2 3 4 5 6 7 Walter G. Magaña S.
19
Es claro observar que los términos negativos aparecen cuando n es impar y esta sucesión de términos es creciente 1 1 1 1 , , , , . . .. 7 5 3 Los términos positivos se tienen cuando n es par y esta sucesión de términos es decreciente 1 1 1 1 , , ... , , 6 8 4 2 1 1n n si n es impar De esta forma se tiene que 1 n si n es par n Por lo tanto, la sucesión no es creciente ni decreciente, de tal forma que no es monótona. n 1 Ejemplo 2: Demuestre que la sucesión n es decreciente. e Solución: Los primeros términos de la sucesión son: n 1 2 3 4 5 6 7 , 2 , 3 , 4 , 5 , 2 , . . ., n , ... e e e e e e e
Si se considera la función continua real equivalente, f x
x 1 definida para ex
toda x 1 , y se procede a derivarla: x 1 e x x 1 e x e x xe x e x xe x 2 x x 0 para toda x 1 , entonces f es f x 2x x 2 e e e e n 1 decreciente en el intervalo 1, . Por lo tanto, la sucesión n es e decreciente.
EJERCICIOS 11.1
En los ejercicios del 1 al 20 escribir los primeros cinco términos de la sucesión an , determinar si sucesión es convergente o divergente y, si es convergente, calcular su límite, lim an . n
3n 2 n5
1.
Walter G. Magaña S.
4n 2 2 2 n 3n 1
2.
3n 2 n 4 2 n 1
3.
20
n n 2
n cosn 2n 1
2n 2 1 2n 1 sin n 7. n e
5. 1
e 2n 8. n 4
n 9. n 4
e 2n 10. 2 n 3n 1 n 13. n1 2
2n 11. 2n 1 n2 14. n!
4n 12. 2n 1 4
ln 1 n 17. 2n n 2 2 20. 1 n
1 n 18. 1 n
4.
n
ln n 3 n
16.
n 1 19. 1 2 n
6.
n
15. n sin
En los ejercicios del 21 al 28 expresar la sucesión en la notación an , es decir hallar el término general o n-ésimo, determinar si la sucesión es convergente, y si es así encontrar su límite. 1 1 3 5 7 1 2 3 1 1 1 , , , , ... , , ... 21. 22. 0, 2 , 2 , 2 , . . . 23. , , 2 4 6 8 3 9 27 81 2 3 4 24. 1, 2, 3, 4, 5, . . . 3 3 3 1 1 1 1 25. 3, , 2 , 3 , . . . 26. 5 , 6 , 7 , 8 , . . . 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 27. 1 , , , , . . . 2 2 3 3 4 4 5 28. 2 3 , 3 4 , 4 5 , . . .
En los ejercicios del 29 al 40 determinar si la sucesión dada a n , es monótona; si es así, clasificarla como creciente o decreciente. n 1 n n 3 1 29. 30. 31. 4n 1 5 n n n2 n 5
32.
1 n 35. 4 1 38. 3 n
Walter G. Magaña S.
2n n 1 2
33.
2n n!
36.
39. ne 2 n
5 n 34. 2 10 n 37. 2 n 2 lnn 2 n2
40.
21
11.2. SERIES INFINITAS DE TERMINOS CONSTANTES Objetivos: 1. Identificar y manejar algunas de las series infinitas de términos constantes más importantes. 2. Manejar los criterios más usados para determinar la convergencia o divergencia de series infinitas de términos constantes.
Una aplicación importante de las series es la representación de funciones en series de potencias que tiene una gran utilidad en el cálculo de ciertas integrales definidas para las que no es fácil hallarles una antiderivada que permita aplicarles el segundo teorema fundamental del cálculo. Se considera una sucesión an y a partir de ella se forma una nueva sucesión S n , que es una sucesión de sumas parciales; es decir, S n es la suma de los n primeros términos de la sucesión an . De esta forma S1 a1 S 2 a1 a 2 S 3 a1 a 2 a3 S 4 a1 a 2 a3 a 4 ⁞ S n a1 a 2 a3 a 4 a n ⁞ Es fácil notar que S1 a1 , S 2 S1 a 2 , S 3 S 2 a3 , S 4 S 3 a 4 , y en general que S n S n1 a n para toda n 2 . 1 Ejemplo ilustrativo 1: Se considera la sucesión nn 1 El término general se puede reescribir, usando el método de las fracciones parciales, como 1 1 1 an nn 1 n n 1
Algunos términos de la sucesión son 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 2 2 3 3 4 4 5 n n 1
Walter G. Magaña S.
22
Entonces se tiene que S1 a1 1 1 S1 1 2 2 S 2 a1 a 2 1 2 1 1 1 S 2 1 1 2 2 3 3 3 S 3 a1 a 2 a3 1 3 1 1 1 1 1 S 3 1 1 2 2 3 3 4 4 4 S 4 a1 a 2 a3 a 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 S 4 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 S n a1 a 2 a3 a 4 a n 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 1 S n 1 1 n 1 n 1 n 1 n n n 1 2 2 3 3 4 n Por lo tanto, S n es la sucesión n 1
DEFINICION: Serie Infinita. Si an es una sucesión y S n a1 a 2 a3 a 4 a n entonces S n es una sucesión de sumas parciales denominadas serie infinita y se denota por
a n 1
n
a1 a 2 a3 a 4 a n
Los números a1 , a2 , a3 , a4 , , an , son los términos de la serie infinita y los números S1 , S 2 , S 3 , S 4 , , S n , son los términos de la sucesión de sumas parciales. De acuerdo con esta definición una sucesión de sumas parciales es una serie. 1 Ejemplo ilustrativo 2: Hallar la serie que obtiene de la sucesión n 2 1 1 Solución: El término general de la sucesión dada es an n . Las sumas 2 1 parciales que se forman con esta sucesión son: Walter G. Magaña S.
23
S1
1 3
1 1 8 3 5 15 1 1 1 8 1 87 29 S 3 S 2 a3 3 5 9 15 9 135 45 1 1 1 1 29 1 538 S 4 S 3 a4 3 5 9 17 45 17 765 S 2 S1 a 2
En general, no es posible representar a la suma parcial n-esima, S n , por su término general, y entonces se tiene la representación: n 1 1 1 1 1 1 n k Sn 3 5 9 17 2 1 k 1 2 1 La sucesión de sumas parciales
n 1 k k 1 2 1
es una serie que se representa
como:
1
1
1
1
1
1
2 n 1 3 5 9 17 2 n 1
n 1
Convergencia de series
Como una sucesión de sumas parciales es una serie, entonces se tiene que si esta sucesión de sumas parciales converge a un número S, entonces la serie converge también a este número S. Ejemplo ilustrativo 3: en el ejemplo ilustrativo 1 se mostró que la sucesión de 1 n sumas parciales de la sucesión , mostrar que es la sucesión n 1 nn 1 esta es convergente Solución: n Como lim 1 , entonces la sucesión de sumas parciales converge a 1. n n 1 Por lo tanto, la serie 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 nn 1 n 1 nn 1 converge a 1.
Esto motiva la siguiente definición.
Walter G. Magaña S.
24
DEFINICION: Serie Convergente.
Se dice que la serie
a n 1
n
a1 a 2 a3 a 4 a n converge al límite
S, y que S es la suma de la serie, si y solo si la sucesión de sumas parciales de la sucesión S n , converge a S. Se denota por
a n 1
n
S
Observaciones: Si la sucesión de sumas parciales de la serie S n diverge, entonces se dice que la serie diverge. Una serie divergente no tiene suma. La suma de una serie es el límite de una sucesión, por lo tanto, esta suma no se obtiene como la suma usual de números reales.
Se utiliza la notación
a n 1
n
S para indicar que S es la suma de la serie.
No obstante, no debe confundirse con la sucesión.
El límite lim
n
que
n
a k 1
an lim
n
n 1
k
es la suma de la serie
a n 1
n
, si tal límite existe, es decir
n
a k 1
k
Ejemplo ilustrativo 4: Para la serie 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 nn 1 n 1 nn 1 el término n-ésimo de la sucesión de sumas parciales es n 1 1 1 1 1 Sn 2 6 12 20 nn 1 n 1 n 1 , entonces la serie dada tiene la suma 1. Es decir, Como lim S n lim n n 1 n 1 1 n 1 nn 1 Teorema. Propiedades de las series convergentes.
Sean
an
n 1
y
bn
dos series convergentes y si S y T son,
n 1
respectivamente, la suma de la serie de los términos an y bn , entonces (i) para cualquier constante k, se cumple
Walter G. Magaña S.
25
n 1
kan k an k S
(ii)
n 1
n 1
n 1
n 1
an bn an bn S T
n 1 1 Ejemplo: Hallar, si existe, la suma de la serie 4 . 10 n 1 n 1n 5 Solución: Más adelante se probarán que las series tienen las siguientes sumas:
n
4 1 4 9 10 n 1 n n 1 1 4 29 1 1 1 4 Por lo tanto, 4 5 9 45 10 n1 n 1n 5 n1 10 n 1 n 1n 5
1 1 5 n 1 n 1n 5
y
Algunos Teoremas y series especiales Teorema 1.
Si la serie infinita
an
n 1
es convergente entonces lim an 0 n
El teorema es una proposición condicional de la forma H T. Este teorema es más usual en su forma equivalente a la proposición contrarecíproca. Se recuerda que la estructura de la contrarecíproca está dada por ( H T ) (T H )
Entonces el teorema en su forma contrarecíproca establece: Si lim an 0 n
entonces la serie infinita
an
no es convergente (es
n 1
divergente). Ejemplo. Demostrar que las dos series siguientes son divergentes: n2 1 (a) 2 (b) (1) n 1 3 n n 1 n 1
Walter G. Magaña S.
26
Solución: n2 1 5 9 17 n2 1 (a) 2 2 4 10 16 n2 n n 1 n2 1 2n Se tiene que lim lim lim 1 1 0 . 2 n n 2 n n n Entonces la serie es divergente
b.)
(1)
n 1
n 1
3 3 3 3 30 1 3
Se tiene que
n 1
1 3 33
si n es impar
n 1
si n es par Por lo tanto, la serie es divergente.
; entonces lim 1 3 no existe. n 1
n
Serie Geométrica. Definición. Serie Geométrica. Una serie geométrica es de la forma
ar n1 a ar ar 2 ..... ar n1
o
n 1
ar
n
n 0
donde a es un número real y cada término se obtiene multiplicando el anterior, a partir de a, por una constante r. La constante r es llamada razón de la serie. Ejemplos:
(1) Sea a = 1 y r =
1 n 1 2
1 se tiene la serie geométrica 2
n 1
n 1
1 2
n 1
1
1 1 1 1 ....... 2 4 8 16
(2) Sea a = 1 y r = 2 se tiene la serie geométrica
2
n 1
1 2 4 8 16 .....
n 1
Teorema 2.
La serie geométrica
ar
n 1
a ar ar 2 ..... ar n 1 converge si
r 1
n 1
y diverge si r 1 . Walter G. Magaña S.
27
Si la serie converge la suma es a a ar ar 2 ar n1 1 r Demostración: La n-ésima suma parcial de la serie es n
S n ar n 1 a ar ar 2 ar 3 ...... ar n 1 n 1
Esta igualdad se multiplica por r y se tiene n
rS n ar n ar ar 2 ar 3 ...... ar n n 1
Se efectúa la resta S n rS n término a término:
S n a ar ar ar 2 ar n1 rS n
ar ar ar 2 ar n1 ar n
S n rS n = a
– arn
De donde S n S n a ar n 1 r S n a 1 r n Si 1 r 0 , entonces a Sn 1 r n , r ≠ 1 1 r
Se tiene que lim r n 0 n
si
r 1 , esto es 1 r 1 .
lim r n no existe si r 1 , esto es r 1 o r 1
n
Por lo tanto,
a a , implica que es convergente. 1 lim r n n n 1 r 1 r Si r 1 , entonces la sucesión S n es divergente.
Si r 1 , entonces lim S n
Ejemplo 1. Expresar el número decimal 0.4 como un número racional (es decir, un cociente de dos enteros) Solución: 4 4 4 4 0.4 0.4444... 10 100 1000 10000 4 4 4 4 4 1 2 3 4 n 10 10 10 10 10 Walter G. Magaña S.
28
4 4 1 4 1 n n 1 n1 10 10 n 1 10 n 1 10 10
n 1
La última expresión es una serie geométrica en la que a
4 1 y r . 10 10
1 1 , esto es r 1 , entonces la serie converge y su suma está dada 10 4 4 a 4 10 10 . por 9 9 1 r 1 1 10 10 4 Finalmente, 0.4 . 9 Como 1
Ejemplo 2.
Demostrar que la serie geométrica 5
5 5 5 5 2 3 n 1 es convergente 4 4 4 4
y hallar su suma. Solución: Esta serie geométrica se puede escribir como
n 1
5 5 5 5 5 1 5 2 3 n 1 n 1 5 4 4 4 4 n 1 4 n 1 4 1 1 En la que a 5 y r . Como 0 1 se tiene que 4 4 geométrica dada es convergente. La suma es 5 5 20 a 1 3 1 r 3 1 4 4
r 1 , entonces la serie
Serie Telescópica. Definición. Serie Telescópica. Una serie telescópica es de la forma
b n 1
n
bn1
donde b es un número real.
Walter G. Magaña S.
29
Cuando se aplica esta definición para series infinitas, se considera que en la serie
a n 1
cada término an se puede expresar como la diferencia de dos
n
términos consecutivos de una sucesión bn en la forma an bn bn1 . Teorema 3. Convergencia de la Serie Telescópica.
La serie telescópica
b n 1
n
bn1 es convergente y tiene suma b1 L si
y sólo si lim bn1 existe y se tiene que lim bn1 L . n
n
Demostración
Sea la serie infinita
an
en la que se define
n 1
an bn bn1 . La n-ésima suma
parcial de esta serie es n
S n ak a1 a 2 a3 a 4 a n1 an k 1
b1 b2 b2 b3 b3 b4 b4 b5 bn1 bn bn bn1 Eliminando paréntesis y simplificando términos se obtiene n
S n ak b1 bn1 k 1
Dado que lim S n b1 lim bn 1 , entonces se tiene que la sucesión S n converge, n
n
si lim bn1 existe. En caso contrario, la sucesión S n es divergente. n
Ejemplo: Hallar la suma de la serie
1
n 1n 5 . n 1
Solución: Por el método de las fracciones parciales se obtiene 1 1 1 n 1n 5 n 4 n 5 1 1 Se considera que bn y que bn1 n4 n5 Así 1 lim bn1 lim 0 n n n 5 1 1 , entonces la suma de la serie dada está dada por Dado que b1 1 4 5
Walter G. Magaña S.
30
lim S n b1 lim bn 1
n
Por lo tanto,
n
1
1 1 0 5 5
1
n 1n 5 5 . n 1
Criterios de convergencia para series de términos positivos Determinar si una serie es convergente o divergente mediante una sucesión de sumas parciales en general no es fácil, a menos que la serie sea geométrica o telescópica. No obstante, existen algunos “criterios” para series que se pueden aplicar para determinar si ésta es convergente o divergente. A continuación se presentarán los más importantes criterios de convergencia para series de términos positivos Definición. Serie de términos positivos. Una series es una serie términos positivos si y solo si los términos de la serie son números reales positivos.
De acuerdo a esta definición, la serie
a n 1
n
es de términos positivos si y sólo si
an 0 para todo n N . Ejemplos ilustrativos: Son ejemplos de series de términos positivos la serie geométrica con a y r números reales positivos y la serie armónica que se define a continuación. Definición. Serie armónica. La serie armónica es la serie infinita de términos positivos de la forma 1 1 1 1 1 1 2 3 4 n n 1 n
Teorema4. Criterio de la Integral. Sea f una función continua, decreciente, y de valores positivos para toda x 1 . Entonces la serie infinita de términos positivos
an n 1
f n f 1 f 2 f 3 f n n 1
es convergente, si la integral impropia lim
n 1
Walter G. Magaña S.
f x dx es convergente, y
31
es divergente si la integral impropia es divergente, es decir. lim
n 1
f x dx
Ejemplo 1. Demostrar que la serie armónica es divergente. Solución:
Se considera la función real continua asociada a la serie armónica: 1 1 1 1 1 1 2 3 4 n n 1 n 1 esta es f x , para toda x 1 . x Se verifican las hipótesis del teorema: es claro que f es una función positiva en todo su dominio.
y
x
Como la primera derivada
1 0 existe para toda x 1 , entonces x2 y, segundo, como es negativa en el mismo
f x
primero, f es continua en 1, intervalo, entonces es decreciente. A continuación se analiza la integral impropia 1 b1 b dx lim ln x 1 lim ln b ln1 lim ln b 1 x dx blim 1 x b b b La integral impropia es divergente, por lo tanto, queda demostrado que la serie armónica 1 1 1 1 1 1 es divergente. 2 3 4 n n 1 n
Ejemplo 2. Determinar si la serie
n e
2 n
es convergente o divergente.
n 1
Solución: Se considera la función real continua definida como f x x 2 e x , enseguida se verifican las hipótesis del teorema: se tiene que f es una función positiva para toda x 1 . Se obtiene su primera derivada: f x 2 xe x x 2 e x xe x 2 xe x 0 , la cual existe para toda x 1 , entonces f es continua en 1, y como es negativa en el mismo intervalo, entonces es decreciente. Ahora se analiza la integral impropia
Walter G. Magaña S.
32
1
x 2 e x dx lim
b
b 1
x 2 e x dx
Por integración por fracciones parciales para se obtiene que x 12 1 C 2 x 2 x x x x e dx x e 2 xe 2 e C ex Entonces x 12 1 x e dx lim b ex 1
b
1
2 x
x e dx lim
b
b 1
2 x
b 12 1 1 12 1 lim b 1 b e e
2 b 1 1 5 lim b
eb
e
Se analiza el límite aplicando la regla de L’Hôpital y se tiene que b 12 1 lim 2b 1 lim 2 0 lim b e b b b eb eb 2 b 1 1 5 5 5 2 x 0 Así x e dx lim b 1 b e e e e 5 Por lo tanto, la integral impropia es convergente a , lo que implica que la serie e dada es convergente. Definición. Serie Hiperarmónica o p-serie. La serie hiperarmónica o p-serie es una serie infinita de términos positivos de la forma 1 1 1 1 1 1 p p p p p 2 3 4 n n 1 n donde p 0
Ejemplos. Son series hiperarmónicas o p-series las siguientes: 1 1 1 1 1 (1) 1 si p 1 , que corresponde a la serie armónica. 2 3 4 n n 1 n 1 1 1 1 1 (2) 2 1 2 2 2 2 si p 2 2 3 4 n n 1 n 1 1 1 1 1 (3) 1 si p 12 2 2 3 n n n 1
Walter G. Magaña S.
33
Teorema 5. Convergencia de la p-serie. La serie hiperarmónica o p-serie 1 1 1 1 1 1 p p p p p 2 3 4 n n 1 n converge si p 1 y diverge sí 0 p 1 .
Demostración: Se demuestra cuando p 1 , utilizando el criterio de la integral, para esto se 1 considera f x p y se determina la integral impropia x
1
1 xp
b
b p lim x dx b 1
dx
x1 p lim b 1 p 1
b1 p 1 lim b 1 p 1 p
Para p 1 , que se puede escribir como 1 p 1 p 0 , así b1 p 0 de modo que la integral converge y, por lo tanto, la serie converge. Para 0 p 1 , que se puede escribir como 1 p 0 1 p 0 , y así b1 p de modo que la integral diverge y, por lo tanto, la serie diverge. Para el caso p 1 se tiene la serie armónica que se demostró que diverge. Ejemplo. Determinar si la serie
1
3 n
converge o diverge.
n 1
Solución: 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 n n 2 3 4 n 1 1 En esta serie se tiene que p 3 1 , por lo tanto la serie diverge. Teorema 6. Criterio de la razón
Sea la serie
a n 1
n
una serie de términos positivos tal que
an1 L n a n (1) Si L 1 , entonces la serie es convergente. a (2) Si L 1 , o el límite no existe, lim n1 , entonces la serie es n a n divergente. lim
Walter G. Magaña S.
34
(3) Si L 1 , el criterio no decide sobre la convergencia o divergencia de la serie.
Ejemplo 1. Determinar si la serie
2 n 1 3
n
es convergente o divergente.
Solución:
2 Se toma an 3
n
2 y an1 3
n 1
a continuación se calcula
n 1
2 n 1 n a 3 2 2 2 2 lim n1 lim n lim lim 1 n a n 3 n 3 n 3 3 2 n 3 Por lo tanto, de acuerdo al criterio de la razón la serie dada es convergente.
Es importante tener en cuenta que el criterio sólo establece la convergencia de la serie, pero no su suma. Si se calcula la suma de esta serie geométrica que se puede reescribir como
22 n 1 3 3
n 1
, se tiene que
a
2 3
y
r
2 , por tanto, su 3
suma es: 2 a 3 1 r 1 2 3
2 3 2. 1 3
Ejemplo 2. Determinar si la serie
2 n 1
n
1 es convergente o divergente. 1
Solución:
1 1 y an1 n1 , luego se calcula 2 1 2 1 1 n 1 an1 2n 1 lim lim 2 1 lim n1 n a n 2 n 1 1 n n 2 1 El último límite se analiza por la regla de L’Hôpital, sin necesidad de considerar la función real continua equivalente, y se tiene que 2n 1 2n 1 2 n ln 2 1 1 lim n1 lim lim lim 1 n n n 2 1 n 2 2 1 n 2 2 ln 2 n 2 2 Por lo tanto, la serie dada es convergente.
Sean an
n
Walter G. Magaña S.
35
Ejemplo 3. Determinar si la serie
n
2n
es convergente o divergente.
n 1
Solución:
Sean an
n 2
n
y a n 1
n 1
2 n 1 n 1
, se procede a calcular el límite
n 1 an1 n 1 1 1 n 1 2n 1 lim 2 lim n 1 lim 1 1 n a n n n 2 2 n n n 2 2 n n 2 Entonces, la serie dada es convergente.
lim
Ejemplo 4. Determinar si la serie
nn
n!
es convergente o divergente.
n 1
Solución:
Sean an
nn n!
an1 n a n
lim
n 1n 1 , se calcula el límite n 1! n 1n 1 n! lim n 1n 1 n! lim n 1n lim n n 1! n n n n 1 n! n n n n n y a n 1
n
n
1 n 1 lim lim 1 e 1 n n n n Entonces, la serie dada es divergente.
Teorema 9. Criterio de la raíz
Sea la serie
a n 1
n
una serie de términos positivos tal que
lim
n
n
1
an lim an n L n
(1) Si L 1 , entonces la serie es convergente. (2) Si L 1 , o el límite no existe, lim n an , entonces la serie es n
divergente. (3) Si L 1 , el criterio no decide sobre la convergencia o divergencia de la serie.
Ejemplo 1. Determinar si la serie
4n 5 2n 1 n 1
n
converge o diverge.
Solución:
Walter G. Magaña S.
36
n
4n 5 Para aplicar el criterio de la raíz se considera an , de esta forma 2n 1 n
4n 5 4n 5 2 1 lim n 2n 1 n n 2n 1 Entonces, la serie dada es divergente. lim
n
an lim
n
Criterios adicionales (Opcional) Teorema 7. Criterio de comparación
Sea la serie
a n 1
(1) Si
b n 1
an bn
n
n
una serie de términos positivos.
es una serie de términos positivos que es convergente, y
para todos los enteros positivos n, entonces
a n 1
n
es
convergente. (2) Si
c n 1
n
es una serie de términos positivos que es divergente, y
an cn para todos los enteros positivos n, entonces
Ejemplo 1. Determinar si la serie
4
3n 1
a n 1
n
es divergente.
es convergente o divergente,
n 1
usando el criterio de comparación. Solución: Se considera la serie geométrica: 4 4 4 4 4 4 1 2 3 4 n n 3 3 3 3 3 n 1 3 4 1 1 1 1 1 2 3 4 n 3 3 3 3 3 n 1
4 1 4 1 n 1 n1 3 3 n 1 3 3 1 1 4 y r , como 1 1 , esto es r 1 , entonces En esta serie geométrica a 3 3 3 la serie converge. 4 4 Considerando que an n y que bn n , se analiza si an bn : 3 1 3
Walter G. Magaña S.
37
4 4 n 3 1 3 n
4 3n 4 3n 1 4 3n 4 3n 4 0 4 para toda n 1
Por lo tanto, de acuerdo al teorema criterio de comparación, la serie
3 n 1
n
4 es 1
convergente.
Ejemplo 2. Usar el criterio de comparación para determinar si la serie
n 1
1 n
converge o diverge. Solución: 1 1 1 1 1 1 n 2 3 2 n n 1 Se considera la serie armónica que diverge 1 1 1 1 1 1 n 2 3 4 n 1 n 1 1 y que cn , se analiza si an cn : Considerando que a n n n 1 1 n n que se verifica para toda n 1 . n n 1 Entonces la serie dada diverge. n n 1 Teorema 8. Criterio de comparación por paso al límite.
Sean
a n 1
n
y
b n 1
n
dos series de términos positivos.
an c 0 , entonces las dos series son convergentes o n b n amabas series son divergentes. a (2) Si lim n 0 , y si bn converge, entonces an converge. n b n 1 n 1 n a (3) Si lim n , y si bn diverge, entonces an diverge. n b n 1 n 1 n
(1) Si
lim
Ejemplo. Usar el criterio de comparación por paso al límite para determinar si 3n 3 2n 2 4 es convergente o divergente. la serie 5 3 n 1 n n 2 Solución: Walter G. Magaña S.
38
Para encontrar la serie con la que se puede comparar se toman las potencias más grandes del numerador y el denominador y determinar cómo es su comportamiento con relación a la convergencia o divergencia: 3n 3 3 n5 n 2 n 1 n 1 En esta es una p-serie en la que p 2 1 y, por lo tanto, es una serie convergente. Aplicando el criterio de comparación por paso al límite y 3 3n 3 2n 2 4 b y , se obtiene: considerando que an 5 n n2 n n3 2
3n 3 2n 2 4
5 3 an 3n 5 2n 4 4n 2 n n 2 lim lim lim 1 0 3 n n bn n 3n 5 3n 3 6 n2 Entonces, la serie dada converge.
Ejemplo 2. Determinar si la serie
1
ln n 1n
converge o diverge.
n 1
Solución: Se aplica el criterio de la raíz y se obtiene 1 1 lim 0 1 lim n an lim n n n ln n 1 n ln n 1 n Entonces, la serie dada es convergente.
11.2.2. SERIES ALTERNADAS
A continuación se consideran series infinitas de términos positivos y negativos que se denominan series alternadas o alternantes. Por ejemplo, son series alternadas o alternantes: 1 1 1 1 1 1 1 , 1 y 1 2 3 4 2 3 4 2 4 8 Definición. Serie alternada o alternante. Sea a n una sucesión tal que an 0 , esto es, es un número positivo para todo n N . Una serie alternada o alternante es la serie infinita de la forma
1
n 1
n 1
Walter G. Magaña S.
a n a1 a 2 a3 a 4 1
n 1
an
39
o bien
1n an a1 a2 a3 a4 1n an
n 1
Ejemplos. Son series alternadas o alternantes: 1 1 1 1 1 1 (a) 1n 1 2 1n 1 2 n 1 2 5 10 17 n 1 n 1
(b)
2 1n
n 1
3
n 1
1
2 4 8 2 1n 3 9 27 3
n 1
Teorema 10. Criterio de Leibniz (o Prueba de Leibniz). Si an es una sucesión de números positivos, esto es an 0 , para todo n 1 , tal que (i) la sucesión es decreciente, es decir a1 a2 a3 a4 an 1 an y (ii) lim an 0 n
Entonces la serie alternada
1n1 an
o
n 1
1n an
es convergente.
n 1
Ejemplo 1. Demostrar que la serie armónica alternada
1
1n 1 n
es
n 1
convergente. Solución: La serie armónica alternada está dada por: 1 1 1 1 1 1n 1 n 1 2 3 4 1n 1 n n 1 Atrás se demostró que la serie armónica de términos positivos
1
n
es
n 1
divergente; sin embargo, se verifican las hipótesis del teorema Criterio de 1 1 Leibniz, puesto que la sucesión es decreciente y lim 0 , entonces se n n n 1 sigue que la serie alternada 1n 1 es convergente. n n 1
Walter G. Magaña S.
40
Ejemplo 2. Determinar si la serie
1
1n n 2 1
es convergente o divergente.
n 1
Solución:
1
1
1
1
1
1
1n n 2 1 2 5 10 17 1n n 2 1
n 1
Para analizar las dos condiciones del teorema se considera la función real continua asociada al término general de la sucesión como término positivo 1 , definida para toda x 1 , al derivarla se obtiene f x 2 x 1 2x f x 0 2 x2 1 1 (i) Así la función es decreciente para toda x 1 , entonces la sucesión 2 es n 1 decreciente. (ii) A continuación se calcula 1 0 lim f x lim 2 x x x 1 1 0. De esta forma lim an lim 2 n n n 1 Por lo tanto, la serie alternada dada es convergente por el Criterio de Leibniz.
Definición. Serie absolutamente convergente y condicionalmente convergente.
La serie
a n 1
se dice que es absolutamente convergente si y solo si
n
la serie de sus valores absolutos,
a n 1
Si la serie
a n 1
la serie
a n 1
n
n
n
, es convergente.
es convergente y la serie
a n 1
n
es divergente, entonces
se dice que es condicionalmente convergente.
n
1 Ejemplo 1. Demostrar que la serie 1 es absolutamente convergente. 2 n 1 Solución: Para esto se analiza la serie:
Walter G. Magaña S.
n
41
n
n
11 1 n 1 a 1 n 2 n 1 n 1 n 1 2 n 1 2 2
n 1
Esta es una serie geométrica convergente porque r
1 , es decir r 1 . Por lo 2
tanto, la serie dada es absolutamente convergente. Ejemplo 2. Demostrar que la serie alternada
1
1n 1 n
es condicionalmente
n 1
convergente. Solución: Se demostró por el criterio de Leibniz, en el ejemplo 1 anterior, que la serie 1 1 n 1 1 es convergente. Pero la serie 1 se alternada 1n 1 n n1 n n n 1 n 1 demostró que es divergente. 1 es condicionalmente convergente. Por consiguiente, la serie 1n 1 n n 1 Teorema 11. Criterio de convergencia para series alternadas.
Si la serie
a n 1
a n 1
n
n
es absolutamente convergente, entonces la serie
es convergente.
Es decir, si la serie convergente.
Como
an
n 1
a n 1
n
es convergente, entonces la serie
a n 1
n
es
es una serie de términos positivos, se puede
determinar si esta es convergente o divergente por medio del criterio de la integral o del criterio de la razón. La siguiente versión del criterio de la razón es útil para investigar la convergencia absoluta.
Walter G. Magaña S.
42
Teorema 12. Criterio de la razón para la convergencia absoluta.
Sea la serie
a n 1
lim
una serie de términos positivos tal que
n
a n1
n
an
a n1 L n a n
L , o lo que es los mismo, lim
(1) Si L 1 , entonces la serie
a n 1
n
es absolutamente convergente.
an1 , entonces la serie n a n
(2) Si L 1 , o el límite no existe, lim
a n 1
n
es divergente. (3) Si L 1 , ninguna conclusión sobre la convergencia de la serie se puede establecer.
Ejemplo 1. Demostrar que la serie alternada
n 1 n 1
3n 1 es convergente. n 2 2 n 1
Solución: Para esto se aplica el criterio de la razón, considerando 3n1 3n 2 n 1 n y a 1 an 1 n 1 n 1 2 2 n3 n 2 2 n1 entonces n2 1n1 3 2 n3 a 1n1 3n2 n 2 2 n1 n 1 2 lim lim n1 lim n n 1 2 2 n 3 1n 3n 1 n n a 3n1 n n 1 n 2 2 n1
1n 1 3n 32 n 2 2n 2 n n 1 2 2n 23 1n 3n 3
lim
lim
n
1 3 2
2
n n 1
n 3 n 3 3 3 lim 1 1. n 4 n 1 4 4 n n 1 4
lim
Así la serie
1n n 1
n 1 n 1
3n1 n 2 2 n1
es convergente y de aquí que la serie alternada
3n 1 es absolutamente convergente, y por lo tanto, es convergente. n 2 2 n 1
Walter G. Magaña S.
43
Ejemplo
n
n 1
n!
n 2 1
Demostrar que la serie alternada
2.
converge
absolutamente. Solución: Al aplicar el criterio de la razón no es necesario considerar los signos de los términos, puesto que están dentro del valor absoluto: an1 2 n1 n! 2n 2 n! 2 n lim lim n lim 0 1 n n 1! 2 n n 1 n! 2 n n 1 n a n lim
Entonces la serie dada es absolutamente convergente.
EJERCICIOS 11.2
En los ejercicios del 1 al 6 emplear el criterio de la integral para determinar si la serie es convergente o divergente: 1 1 2 1. 2. 3. 2 n3 n 1 n 1 n 1 3n 1 n 1 2n 3 4 5. 6. e 4 n 1 4. 2 2 2 n 9 n 1 n 1 n 5n n 1
En los ejercicios del 7 al 12 emplear el criterio de la razón para determinar si la serie es convergente o divergente: n 2n n3 4 9. 8. 7. 3 n 1 n n 1 n ! n 1 3
10.
3n n 1 n !
11.
n! n n 1 2
2 12. n 1 3 n 1
n
En los ejercicios del 13 al 21 determinar si la serie alternada es convergente, condicionalmente convergente o divergente: n 1 n n n 2 4 2 n 1 14. 15. 1 n 13. n3 5 n 1 3 n 1 n 1
n
3 16. n 2 n 1 n 1 n 19. n 1 n 1n 2
Walter G. Magaña S.
17.
n 1 n 1
n!
n 1
20.
4
1 3 n 1
n
n
3
18.
1
n
n 1
n! 3n 2
2n 21. 1 n 1! n 1 n
44
11.3. SERIES DE POTENCIAS Objetivos: 1. Identificar y manejar algunas de las series de potencias más importantes. 2. Calcular algunas integrales definidas de funciones en las que es necesario representarlas mediante series de potencias.
En las secciones anteriores se han estudiado sólo series de infinitas con términos constantes. A continuación se consideran un tipo importante de series en las cuales los términos involucran variables, denominadas series de potencias. Tales series son de mucha importancia en muchos campos de las matemáticas y de las ciencias físicas. Definición. Serie de potencia. Una serie de potencia en x a es una serie de la forma:
c x a
n
n
n 0
c0 c1 x a c2 x a c3 x a cn x a 2
donde c0 , c1 , c 2 , c 3 , , c n , y variable.
3
n
a son constantes reales y x es una
Si x se reemplaza por un valor número particular, la serie de potencias se transforma en una serie infinita de términos constantes que puede ser convergente o divergente. Un caso particular de las series de potencias se tiene cuando a 0 , de modo que se obtiene una serie de potencias en la variable x, la cual es
c x n 0
n
n
c0 c1 x c2 x 2 c3 x 3 cn x n
Ejemplo ilustrativo 1. Son series de potencias las siguientes:
(1) (2) (3)
x 3n 2n
n 0
x n 0
n
x 3 x 3 x 3 x 3 2 3 2 2 2 2n 2
1
n
1 x x 2 x3 x n
1 lnx 1 n
n 0
(4)
3
n
1 ln x 1 ln x 1 ln x 1 1 ln x 1 2
3
n
n
xn x2 x3 xn 1 x 2! 3! n! n 0 n!
Walter G. Magaña S.
45
(5)
n 1 n 0
2n x 2n x2 x4 x6 n x 1 1 2n ! 2n ! 2! 4! 6!
Ejemplo ilustrativo 2. Atrás se demostró que la serie geométrica converge a la suma: a a ar ar 2 ar n1 si r 1 1 r Ahora se considera en esta serie geométrica que a 1 y r x de esta manera se obtiene la serie: 1 xn 1 x x 2 x3 x n si x 1 1 x 1 1 x n 0 1 , cuyo dominio Por lo tanto, la serie de potencias x n define la función f x 1 x n0 es el intervalo 1, 1 . Ejemplo ilustrativo 3. La serie de potencias del ejemplo ilustrativo 2 se puede emplear para construir otras series de potencias cuyas sumas es la representación de nuevas funciones: (1) Si se sustituye x por – x se obtiene la serie de potencias x n 1 x x 2 x 3 x n 1 si x 1 1 x n 0 1n x n 1 x x 2 x 3 1n x n 1 si x 1 1 x n 0 2 (2) Al reemplazar x por x se tiene la nueva serie de potencias 2 3 n n 1 x2 1 x2 x2 x2 x2 si x 1 1 x2 n 0 1 x 2n 1 x 2 x 4 x 6 x 2n si x 1 1 x2 n 0 (3) Al sustituir x por x 2 resulta la serie de potencias 2 3 n n 1 x2 1 x2 x2 x2 x2 si x 1 1 x2 n 0 1n x 2n 1 x 2 x 4 x 6 1n x 2 n 1 2 si x 1 1 x n 0
Para determinar el conjunto al que puede converger los valores de x de la serie de potencias,
c x n 0
n
n
, se puede emplear el criterio de la razón. El siguiente
teorema es importante para investigar la convergencia de series de potencias.
Walter G. Magaña S.
46
Teorema.
Sea la serie de potencias
c x n 0
n
n
, entonces exactamente una de las
siguientes proposiciones es verdadera, es decir, se cumple: (1) La serie converge solamente para x 0 . (2) La serie converge absolutamente para todos los valores de x. (3) La serie converge absolutamente para todos los valores de x en algún intervalo abierto R, R y diverge si x R o x R . En los puntos x R y x R la serie puede converger absolutamente, converger condicionalmente, o divergir dependiendo de la serie particular. En el caso (3), donde la serie de potencias converge absolutamente para x R y diverge para x R , a R se le denomina radio de convergencia. En el caso (1), donde la serie converge sólo para x 0 , el radio de convergencia se define como R 0 . En el caso (2), donde la serie converge absolutamente para todos los valores de x, el radio de convergencia se define como R . De esta forma, el conjunto de todos los valores de x para los cuales la serie de potencias converge se llama intervalo de convergencia. Ejemplo 1. Determinar los valores de x para los cuales la serie de potencias n xn es convergente. n n 0 5 Solución: En la serie se tiene que n 1 x n1 n xn y a n 1 an n 5 5 n1 n 1 x n1 5 n lim n 1 x n x 5 n a lim n1 lim n n a n x n n n xn 5 n1 5n 5 n
n 1 x 1 n 1 1 x lim x n n 5 5 n n 5 Por el criterio de la razón para la convergencia absoluta, la serie de potencias es absolutamente convergente si 1 x 1 x 5 5 x 5 5 La serie de potencias es divergente cuando 1 x 1 x 5 x 5 o x 5 5 Para x 5 , la serie de potencias se transforma en la serie lim
Walter G. Magaña S.
47
n 0 1 2 3 n n 0
la cual es divergente. Para x 5 , la serie de potencias se transforma en la serie
1
n
n 0
n 1 1 2 3 1 n n
la cual es divergente. n xn es convergente para toda x en el n n 0 5 intervalo 5, 5 . El radio de convergencia es R 5 .
Por lo tanto, la serie de potencias
Ejemplo 2. Determinar los valores de x para los cuales la serie de potencias
n!x
es convergente.
n
n 0
Solución: Para la serie se tiene que a n n! x n y a n 1 n 1! x n 1
an1 n 1!x n1 lim n 1 n!x n x lim n 1 x lim n n n n a n! x n n! x n n lim
0 1 si x 0 x lim n 1 n si x 0 La serie de potencias es absolutamente convergente cuando x 0 . Por lo tanto,
la serie
n!x
n
es convergente sólo cuando x 0 . Así el radio de convergencia
n 0
es R 0 . Ejemplo 3. Determinar los valores de x para los cuales la serie de potencias xn es convergente. n 0 n! Solución: Para esta serie se tiene que x n 1 xn y a n 1 an n 1! n! an1 x n1 n! xn x n! x lim n lim n lim n n 1! x n n 1 n! x n n 1 n a n lim
1 x 0 0 1 n n 1
x lim
Walter G. Magaña S.
48
De esta forma la serie de potencias es absolutamente convergente para toda x. Por lo tanto, la serie de potencias dada es convergente en el intervalo , R , en este caso, el radio de convergencia está dado por R .
Teorema.
Sea la serie de potencias
c x a n 0
n
n
, entonces exactamente una de
las siguientes proposiciones se cumple: (1) La serie converge solamente para x a . (2) La serie converge absolutamente para todos los valores de x. (3) La serie converge absolutamente para todos los valores de x en algún intervalo abierto a R, a R y diverge si x a R o x a R . En los puntos x a R y x a R la serie puede converger absolutamente, converger condicionalmente, o divergir dependiendo de la serie particular. Ejemplo 1. Determinar el intervalo de convergencia y el radio de convergencia x 5n . de la serie de potencias n2 n 1 Solución: En la serie se tiene que x 5n y a x 5n1 an n 1 n2 n 12
x 5 n 2 lim x 5 x 5 n 2 a lim n1 lim n n 12 n a x 5n n n 12 x 5n n n 1
n
2
n2 n x 5 lim lim x 5 x5 2 n n 1 n n 1 La serie de potencias es absolutamente convergente si x 5 1 1 x 5 1 4 x 6
La serie de potencias es divergente cuando x 5 1 x 5 1 o x 5 1 x 4 o x 6 Para determinar el comportamiento de la convergencia en los puntos x 6 , se sustituyen estos valores en la serie dada. Para x 6 , se obtiene la serie infinita de términos constantes 6 5n 1 1 1 1 1 1 2 n2 n2 2 2 32 4 2 n 1 n 1 n
Walter G. Magaña S.
x4
y
49
La cual es una p-serie con p 2 1 , entonces es convergente, así este punto está incluido en el intervalo de convergencia. Para x 4 , se tiene la serie alternada 4 5n 1n 1 1 1 1 1n 2 n2 n2 2 2 32 4 2 n 1 n n 1 1 2 La cual es decreciente: f x 2 x 2 f x 3 0 para x 1 y x x 1 lim 2 0 . Entonces cumple las dos condiciones de la hipótesis del Criterio de Leibniz para n n series alternantes, entonces es convergente y así el punto x 4 está incluido en el intervalo de convergencia. Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie dada es 4, 6 y el radio de convergencia es R 1 . Ejemplo 2. Determinar el intervalo de convergencia y el radio de convergencia
n
2 n de la serie de potencias x 4 . n 0 3 Solución: n
2 n Sean a n x 4 3
y
a n 1
2 3
n 1
x 4n1
n 1
2 n 1 x 4 an1 2 2 3 2 lim lim x 4 x 4 lim x 4 lim n n a n 3 n 3 n 3 2 n n x 4 3 La serie de potencias es absolutamente convergente si 3 3 5 11 3 2 x4 x x 4 1 x 4 2 2 2 2 2 3 La serie de potencias es divergente cuando 3 3 3 5 11 2 x 4 1 x 4 x4 o x4 x o x 2 2 2 2 2 3 5 Para x , se obtiene la serie infinita de términos constantes 2 2 5 2 3 n 4 1 1 1 1 1 1 n 0 3 2 n 0 3 2 n 0 la cual diverge. 11 Para x , se obtiene la serie infinita de términos constantes 2
n
n
n
11 4 2
2 n 0 3
Walter G. Magaña S.
n
n
n
n
2 3 n 0 3 2
n
1 1 1 1 1 n 0
50
la cual diverge. 5 11 Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie dada es , y el radio 2 2 3 de convergencia es R . 2
11.4. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN Una de las primeras aplicaciones del cálculo fue el cálculo de valores para funciones como sin x , ln x y e x , entre otras. La idea básica es aproximar la función dada por un polinomio de tal forma que el error resultante sea menor que algún error de tolerancia especificado. En esta sección se estudiarán las aproximaciones de funciones por polinomios introduciendo una clase importante de series de potencias. Se mostrará cómo obtener representaciones en series de potencias de funciones que tienen derivadas en todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamente diferenciables. Supóngase que f es una función definida mediante una serie de potencias; esto es, f x c0 c1 x c2 x 2 c3 x 3 c4 x 4 cn x n 1 sobre un intervalo de convergencia centrado en x 0 y cuyo radio de convergencia es R 0 . Se asumirá que las primeras n derivadas de f existen en x 0 . Las derivadas consecutivas de f son: f x c1 2c2 x 3c3 x 2 4c4 x 3 ncn x n1
f x 2c2 2 3c3 x 3 4c4 x 2 n 1ncn x n 2
f x 2 3c3 2 3 4c4 x n 2n 1ncn x n3
f 4 x 2 3 4c4 n 3n 2n 1ncn x n4 Si x 0 , evaluando en la función y en las derivadas sucesivas se tiene f 0 c0 , f 0 c1 , f 0 2!c 2 , f 0 3!c3 , f 4 x 4!c4 De esta forma f 0 f 0 f 4 x , c3 , c4 c0 f 0 , c1 f 0 , c2 4! 2! 3! En general f n 0 para todo número entero positivo n cn n! Sustituyendo estos valores en 1 , la serie de potencias de f en x se puede escribir como f 0 2 f 0 3 f n 0 n f n 0 n x x f 0 f 0 x x x f x n! n! 2! 3! n 0
Walter G. Magaña S.
51
Definición. Serie de Maclaurin. Si f es una función que se puede derivar n veces en x 0 , entonces se define la serie de Maclaurin para f como
f x n 0
f 0 2 f 0 3 f n 0 n f n 0 n x x f 0 f 0 x x x n! n! 2! 3!
En forma más general, se puede considerar la función f como una serie de potencias en x a , es decir
n 2 3 f x cn x a c0 c1 x a c2 x a c3 x a cn x n n 0
cuyo radio de convergencia es R y su intervalo de convergencia centrado en x a , entonces f es infinitamente diferenciable en a R, a R , procediendo como se hizo con la deducción anterior se tiene la siguiente definición. Definición. Serie de Taylor. Si f es una función que se puede derivar n veces en x a , entonces se define la serie de Taylor para f como
f x n 0
n f n a x a n f a f a x a f a x a 2 f a x a n n! n! 2!
Ejemplo 1. Determinar la serie de Maclaurin para la función e x . Solución: Como f x e x , las derivadas sucesivas de f son f x e x , f x e x , f x e x , … en general f n x e x para toda x. Evaluando la función y las n-ésimas derivas en x 0 , se tiene f 0 e 0 1 , f 0 e 0 1 , f 0 e 0 1 , … en general f n 0 1 para toda n. Así se tiene la serie de Maclaurin para la función e x :
ex n 0
xn x2 x3 xn 1 x si x n! 2! 3! n!
Ejemplo 2. Determinar la serie de Taylor para la función sin x alrededor de
. 3
Solución:
Walter G. Magaña S.
52
Se tiene f x sin x , así las derivadas sucesivas de f y las correspondientes evaluaciones en x son 3 3 f x sin x f sin 3 2 3 1 f cos f x cos x 3 2 3 f x sin x f x cos x f 4 x sin x
3 f sin 3 2 3 1 f cos 3 2 3 3 f 4 sin 3 2 3
Sustituyendo en la forma general de la serie de Taylor con a
se tiene 3
f f 2 3 3 3 sin x f f x x x 3 2! 3 3! 3 3 3 2
sin x
3
3 1 3 1 x x x 2 2 3 2 2! 3 2 3! 3
Ejemplo 3. Determinar la serie de Maclaurin para la función sin x . Solución: Como f x sin x , se hallan las derivadas sucesivas de f y se evalúan en x 0 : f x sin x f 0 sin 0 0 f x cos x f 0 cos 0 1 f x sin x f 0 sin 0 0 f x cos x f 0 cos 0 1 4 f x sin x f 4 0 sin 0 0 f 5 x cos x f 5 0 cos 0 1 Sustituyendo en la forma general de la serie de Maclaurin se obtiene 1 1 1 1 3 sin x 0 1 x 0 x 2 x 0 x 4 x 5 1 x x 3 x 5 3! 5! 3! 5! Finalmente, se escribe como
1n x 2n1 x x 3 x 5 x 7 1n x 2 n1 2n 1! 3! 5! 7! n 0 2n 1!
sin x
Walter G. Magaña S.
53
Ejemplo 4. Usar la serie de Maclaurin para sin x para aproximar el valor de sin 3 con cinco decimales exactos. Solución: la serie de Maclaurin para sin x está dada por 1n x 2 n1 x3 x5 x7 sin x x 2n 1! 3! 5! 7! radianes, El ángulo x debe ser asumido en radianes, luego 3 3 180 60 se sigue que entonces sustituyendo x 60 3 5 7 60 60 60 sin 3 sin 60 60 3! 5! 7! sin 3 sin 0.052359 0.000023 0.000000003 0.052336 60 Se puede observar que sólo fueron necesarios los dos primeros términos de la serie para calcular el valor del sin 3 con cinco decimales exactos.
11.4. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
Si una función f se expresa como una serie de potencias en x a ,
f x cn x a
n
n 0
para toda x en algún intervalo, entonces la serie representa a f x en ese intervalo. En esta sección se mostrará cómo una representación en series de potencias de una función f puede ser usada para obtener representaciones en series de potencias de sus funciones derivada e integral. El siguiente teorema establece que una representación en series de potencias de f x de f x dx se
puede obtener por la derivación o integración término a término de la representación en series de potencias de f x . Teorema.
Sea
c x a n 0
una serie de potencias cuyo radio de convergencia es
n
n
R 0 , y si f es la función definida por esta serie de potencias, es decir,
f x cn x a , entonces f es continua, derivable e integrable para n
n 0
todo x en el intervalo abierto a R, a R . Además:
Walter G. Magaña S.
54
x n n 1 cn x a ncn x a n 0 dx n 0
(1) f x (2)
cn x a n 1 n 0
n 1
f x dx cn x a dx n
n 0
C
Ejemplo 1. Determinar una representación en series de potencias de la función 1 . 1 x 2 Solución: Atrás se mostró que a partir de la serie geométrica con a 1 y r x se obtuvo la 1 representación en series de potencias de f x , esto es 1 x 1 f x xn 1 x x2 x3 x 4 x n 1 x n 0 para toda x 1 1 x 1 , es decir, con intervalo de convergencia 1, 1 .
Ahora se deriva la función y halla la derivada de cada término de la serie de potencias: d 1 x 1 d x n d 1 x x 2 x 3 x 4 x n f x dx dx n 0 dx 1 f x n x n1 1 2 x 3x 2 4 x 3 n x n1 2 1 x n0 1 1n x n1 1 2 x 3x 2 4 x 3 n x n1 f x 2 1 x n0 Por lo tanto, 1 1n x n1 si 1 x 1 2 1 x n0
Ejemplo 2. Hallar una representación en series de potencias de la función ln 1 x . Solución: 1 Como f x , tiene representación en series de potencias: 1 x 1 f x xn 1 x x2 x3 x 4 x n 1 x n 0 Se sustituye x por – x y se obtiene la representación en serie de potencias de la 1 1 función f x 1 x 1 x Walter G. Magaña S.
55
1 n n 1 x n 1 x x 2 x 3 1 x n si 1 x 1 1 x n 0 A continuación se integra la función y halla la integral de cada término de la serie de potencias: 1 1n x n dx 1 x x 2 x 3 1n x n dx f x dx dx 1 x n 0
f x
n 1 x n 1 x 2 x3 x 4 n x ln 1 x 1 x 1 n 1 2 3 4 n 1 n 0 Esta serie de ´potencias para la función dada se puede reescribir como
n
ln 1 x 1
n 1
n 1
n xn x 2 x3 x 4 n 1 x x 1 si 1 x 1 2 3 4 n n
Ejemplo 3. Hallar una representación en series de potencias de la función cos x . Solución: Atrás se mostró que n x3 x5 x7 1 x 2 n 1 sin x x si x 2n 1! 3! 5! 7! d sin x cos x , entonces Como dx n d d x3 x5 x7 1 x 2 n1 sin x x 2n 1! dx dx 3! 5! 7!
3x 2 5x 4 7 x 6 1 2n 1x 2 n 2n 1! 3! 5! 7! n
cos x 1
1 x 2 n x2 x4 x6 2n ! 2! 4! 6! n
cos x 1
Entonces
cos x 1 n 0
n
1 x 2n x 2n x2 x4 x6 1 si x 2n ! 2n ! 2! 4! 6! n
Ejemplo 4. Hallar una representación en series de potencias de la función tan 1 x . Solución: 1 Se sabe que dx tan 1 x C , es necesario tener la representación en series 2 1 x 1 . de potencias de la función f x 1 x2 Walter G. Magaña S.
56
Se tiene que f x
1 , tiene la representación en series de potencias como 1 x
1 x n 1 x x 2 x 3 x 4 x n si 1 x 1 1 x n 0 Se sustituye x por x 2 y se obtiene la representación en serie de potencias de la 1 1 función f x 2 1 x 1 x2 1 1n x 2 n 1 x 2 x 4 x 6 1n x 2 n si 1 x 1 f x 2 1 x n 0 Se procede a integrar 1 1n x 2n dx 1 x 2 x 4 x 6 1n x 2 n dx f x dx dx 1 x2 n 0 2 n 1 2 n 1 x3 x5 x7 n x n x 1 x 1 tan x C 1 2n 1 3 5 7 2n 1 n 0
f x
2 n 1 2 n 1 x3 x5 x7 n x n x C tan x 1 C x 1 n n 2 1 3 5 7 2 1 n 0 1
La constante de integración puede ser evaluada sustituyendo x 0 y usando la condición tan 1 0 0 ; así C 0 de modo que tan
1
n x 1 n 0
2 n 1 x3 x5 x7 x 2 n1 n x x 1 2n 1 3 5 7 2n 1
Ejemplo 5. Calcular la integral
1
e
x2
0
dx con tres decimales exactos.
Solución: Esta integral no se puede calcular directamente porque no es posible hallar una antiderivada elemental para aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo, es decir que se pueda evaluar. Una posibilidad de solución es 2 representar la función e x por la serie de Maclaurin y luego integrarla término a término 2 La manera más simple de obtener la serie de Maclaurin para e x es reemplazar x por por x 2 en la representación en series de potencias de e x x 2 x3 xn xn 1 x ex 2! 3! n! n 0 n! Así
x e x 2
n 0
n!
Walter G. Magaña S.
2 n
1 x
2
x x 2 2
2!
2 3
3!
x
2 n
n!
57
e
x2
1n x 2n
n 0
n!
1 x 2n x4 x6 1 x 2! 3! n! n
2
Ahora se integra 1 x4 x6 x2 2 dx e dx x 1 0 0 2! 3! 1
1
1
e
x2
0
n x3 x5 x7 1 x 2 n1 dx x 2n 1 n! 0 3 5 2! 7 3!
13 15 17 0 x2 e dx 1 0 3 5 2! 7 3! 1 1 1 1 1 1 x2 0 e dx 1 3 5 2! 7 3! 9 4! 11 5! 1
1
e
x2
0
dx 1 0.3333 0.1000 0.0238 0.0046 0.0007 0.7471
Para lograr la exactitud pedida fue necesario evaluar seis términos de la serie que representa la integral.
EJERCICIOS 11.3
En los ejercicios del 1 al 6, hallar una representación en series de potencias de x de cada una de las siguientes funciones (escribir los primeros cuatro términos diferentes cero):
1. ln 1 x 2
x2 4. 1 x4
2. x 4 e x ln1 x 5. 1 x
3. a x sin x 6. ex
En los ejercicios del 1 al 6, calcular cada una de las integrales siguientes con tres decimales exactos: 1
dx 0 1 x 4 0.1 sin x dx 4. 0 x
1.
7.
1
0
2
2
1
2.
sin x
5.
2
0
0.1
0
3
dx
e x dx
1
3.
x sin x
6.
cos
0
1
0
4
dx
x dx
tan 1 2 x 2 dx
Walter G. Magaña S.
58