FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES.
de Buenos Aires es de 171 cm. Si se sabe que es una variable aleatoria normal y de desviación típica de 10.5 cm. si se ha tomado una muestra aleatoria de 200 estudiantes al azar. Entonces:
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA Y MUESTRAS PERIODO ACADEMICO: II-2010
a. La media de la distribución muestral es?
NOMBRE: GRADO:
No:
b. La desviación típica de la muestra o el error estándar?
FECHA:
c. Supóngase que se desconoce la media
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA.
́x
1. Si
σ
=85.
4. Las alturas de los estudiantes de la Universidad de la Sabana
se distribuye normalmente, construya una estimación del
media de la muestra y la de la población
μ
σ ́x =
σ 8 = √ n √ 64
z=
=1
μ
sea
menor que 1 cm, con una probabilidad de 0.95. De que media debe ser nuestra muestra?
. La desviación estándar para la media
de la altura
de los estudiantes de la Universidad y se desea estudiar una muestra de tal manera que la diferencia entre la
=8, n=64, y suponiendo que la población
intervalo de confianza del 95% de la media poblacional
μ
x́ −μ 10.5 √n
, las unidades estandarizadas son:
P(–1,96 < Z < 1,96) = 0,95
Para intervalo del 95%
5. El propietario de una papelería desea estimar la media del valor al menudeo de las tarjetas de felicitación que la tienda tiene en su inventario. Una muestra aleatoria de 20 tarjetas de felicitación indican una media de valor de $ 3.090 y una desviación estándar de $ 592.
Cola 100%-95% = 5%. Cada extremo tiene área de 2.5%. Representa
una
área
de
0.025.
Z1
Z2
a. Suponiendo una distribución normal, construya una estimación del intervalo de confianza del 95% para la media de valor de todas las tarjetas de felicitación en el inventario de la tienda.
Hallamos los límites del intervalo de confianza.
σ X́ i =́x ± Z i √n Z1
Para
b. Como podrían ser útiles los resultados del inciso a, para
X́ 1=85−( 1.96 ) (1)
= -1.96, Tenemos
ayudar al dueño de la tienda a estimar el valor total de su inventario.
6. El propietario de una papelería desea estimar la media del 85 – 1.96 83.04
Z1
Para
= 1.96, Tenemos
X́ 1=85+ ( 1.96 )(1)
86.96
μ
< 86.96
Nos indica con el 95% de seguridad, que el promedio de las medias muéstrales de las cuentas está entre 83.04 y 86.96.
2. Si
́x
σ
=125.
=24, n=36, y suponiendo que la
población se distribuye normalmente, construya una estimación del intervalo de confianza del 99% de la media poblacional
μ
c. Suponiendo una distribución normal, construya una estimación del intervalo de confianza del 95% para la media de valor de todas las tarjetas de felicitación en el inventario de la tienda.
85 + 1.96
El intervalo de confianza es : 83.04 <
valor al menudeo de las tarjetas de felicitación que la tienda tiene en su inventario. Una muestra aleatoria de 20 tarjetas de felicitación indican una media de valor de $ 1.67 y una desviación estándar de $ 0.32.
.
3. Un investigador de de mercadeo afirma que tiene un nivel de confianza del 95% en que la media de las ventas mensuales de un producto está entre $ 170.000 y $ 200.000. Explique el significado de su afirmación.
d. Como podrían ser útiles los resultados del inciso a, para ayudar al dueño de la tienda a estimar el valor total de su inventario.
7. El gerente de control de calidad de una fábrica de bombillas necesita estimar la media de vida útil de un gran embarque de bombillas. La desviación estándar es de 100 horas. Una muestra aleatoria de 64 focos indico que la vida media de la muestra es de 350 horas.
a. Construya una estimación de intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de vida de los bombillos de este embarque.
b. Cree que el fabricante tiene el derecho de afirmar que los bombillos tienen un promedio de vida de 400 horas?
Explique porque?
c. Debe suponerse que la vida de la población de bombilla
La proporción p =
x 50 = =¿ n 200
0.25.
se distribuye normalmente.
d. Supóngase que la desviación estándar cambio a 80 horas. Cuáles son las respuestas de los literales a y b.
p=¿
El error estándar de la proporción:
√
8. Para estimar la cantidad total de depósitos a la vista, un banco comercial selecciona una muestra aleatoria de 400 cuentas. La muestra de una media de $ 5.000 y una desviación estándar de $ 1.000. Suponiendo que el banco tiene 12.000 cuentas a la vista, obténgase un intervalo de confianza del 99% para la cantidad total en depósitos a la vista en el banco. Los datos n = 400,
X́
=$5.000, N = 12.000,
σ ́x =
σ
√
0.25(1−0.25) 200
√
=
0.25(0.75) 200
= $ 1.000
p ± zi
= 0.0306
±
Para un intervalo de confianza del 95% el Z =
Limites de Intervalo de confianza
σ 1.000 = √ n √ 400
p(1− p) n σ¿
√
1.96
p(1− p) n
= 50 Para
Z1
= -1.96 Tenemos: 0.25 – (1.96)(0.0306)
Para un intervalo de confianza del 99%, tenemos que las colas 100%-99% = 1%. Entonces 0.01/2 = 0.005. El z vale
∓
0.25 – 0.0598
2.58.
0.1902. Hallamos los límites del intervalo de confianza. Para
σ X́ i =́x ± Z i √n Para
Z1
Z2
0.25 + 0.0598 0.3098.
X́ 1=5.000−( 2.58 )(50)
= -2.58, Tenemos
= 1.96 Tenemos: 0.25 + (1.96)(0.0306)
El intervalo de confianza del 95% es:
5.000 – 129
0.1902 <
π
< 0.3098
4.871 Para
Z2
= 2.58, Tenemos
X́ 1=5.000+ ( 2.58 ) (50)
5.000 + 129
Con un 90% de confianza que entre el 19.02% y 30.98% están los datos de problema.
11. Si n=400 y X=25, construya una estimación del intervalo de
5.129 El intervalo será $ 4.871 <
Conclusión:
confianza del 99% para la proporción de la población.
μ
< $ 5.129.
Nos indica con el 99% de seguridad, que el promedio de las medias muéstrales de las cuentas está entre $ 4.871 y $ 5.129. El intervalo de confianza para la totalidad del dinero de todas las cuentas será de: ($ 4.871)(12.000) y ($ 5.129)(12.000) $ 58.452.000 y $ 61.548.000
9. Se selecciono una muestra aleatoria de 100 familias de una comunidad de 5.000 familias. La muestra dio un ingreso familiar anual medio de U.S. 150.000 y una desviación estándar de U.S. 20.000. Obténgase un intervalo de confianza de 0.90 para el ingreso total anual de la comunidad.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION.
10. Si n=200 y X=50, construya una estimación del intervalo de confianza del 95% para la proporción de la población.
12. Una empresa telefónica desea estimar la proporción de hogares en los que se contaría una línea telefónica adicional. Se selecciono una muestra aleatoria de 500 hogares. Los resultados indican que a un costo reducido, 135 hogares de los hogares contratarían una línea telefónica adicional.
a. Construya una estimación del intervalo de confianza del 99% de la proporción poblacional de hogares que contratarían una línea telefónica adicional.
b. Como podría el gerente a cargo de los programas promocionales relacionados con los residenciales, usar los resultados del inciso a?
clientes
13. Se quiere estimar el resultado de un referéndum mediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n = 100 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y 65% que votarán en contra (suponemos que no hay indecisos para simplificar el problema a una variable dicotómica). Con un nivel de significación del 5%, calcule un intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones. El parámetro a estimar en un intervalo de confianza con
α=0.05
número de individuos de la población que, como mínimo, debe tener la muestra.
es p, y tenemos sobre una muestra de tamaño
n=100, la siguiente estimación puntual de p:
P=
35 100
n = 972
Solución: = 0.35, entonces q = 0.65
En la práctica el error que se comete no es muy grande si tomamos algo más simple como:
Z=
√
p−π π ( 1−π ) n
0.35−π π ( 1−π ) 100
√
=
TAMAÑO DE LA MUESTRA.
18. En una muestra tomada al azar de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos hablaban inglés. Se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporción de alumnos que hablan inglés en esa Universidad no sea superior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%. ¿Cuántos alumnos tendríamos que tomar, como mínimo, en la muestra?
= 1.96
Así el intervalo de confianza buscado lo calculamos como se indica en la figura:
p = 0.35
±
.
Solución: n = 658
0.0935
±
El z critico para el 99% es Z =
Por tanto, tenemos con esa muestra un error aproximado de 9,3 puntos al nivel de confianza del 95%.
x n
La proporción es p =
Figura: Región a partir de la cual se realiza una estimación confidencial para una proporción, con una confianza del 95%.
El error es:
e
=Z
σ √n
=
=Z
2.58
54 120
√
= 0.45
π (1−π ) n
De aquí se tiene que los n de la muestra son: 2
n =
14. Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de votantes del partido X en esa ciudad. I =(0,305 , 0,395 )
Solución:
.
15. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad.
I = ( 0,3753 , 0,5247 ) Solución:
.
Z π (1−π ) 2 e
I = ( 0,564 , 0,636 ) Solución:
.
17. En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se encontró que 105 leían un determinado periódico X. A la vista de esos datos se pretende seleccionar una nueva muestra para conseguir una cota de error de 3 centésimas como máximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimación de la proporción de lectores de ese periódico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el
=
658.98 aprox n = 659
19. Supongamos que desconocemos la media de la altura de los estudiantes de la UOC y queremos estudiar una muestra de manera que la diferencia entre la media de la muestra y la de la población sea menor que 1 cm con una probabilidad del 0,95. ¿De qué medida tiene que ser nuestra muestra? Sabemos que la variable estadística tipificada: Se distribuye como una normal. Por otra parte, si observamos las tablas, nos damos cuenta de que si Z es una normal.
20. Calcule el tamaño mínimo de una muestra aleatoria de jóvenes entre 18 y 25 años para tener una confianza del 95% de que el error que se cometerá al estimar la proporción de fumadores entre esas edades no sea superior a 0,05, sabiendo que en una encuesta previa se ha encontrado un 32% de fumadores entre estos jóvenes.
16. En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una población se encontró que 300 de ellas están casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporción de mujeres adultas actualmente casadas en esa población.
=
( 2.58 )2 ( 0.45 )(1−0.45) (0.05)2
n = 335
Solución:
.
21. Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recién nacidos en este año en una ciudad para estimar la proporción de varones entre los recién nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. ¿Con qué proporción estimada será máxima la amplitud de ese intervalo? ¿Cuál es la amplitud máxima?
ˆ = 0,5 p Solución:
. Amplitud máxima 0,08.
22. Para estimar la proporción de consumidores que prefieren un determinado refresco, por medio de un intervalo de confianza, se ha tomado una muestra al azar de 1075
consumidores, entre los que se han encontrado 516 que lo prefieren. Determine una cota del error cometido para esa estimación a un nivel de confianza del 95%.
Valor critico de t. 8 grados de liber tad y Confianza de 99%.
Solución: Cota del error 0,030.
23. Se estima, por un intervalo de confianza, la proporción de hogares con conexión a Internet utilizando una muestra aleatoria y con un nivel de confianza del 96%. Se obtiene así, una proporción estimada del 28%, con un error máximo del 6%. ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra utilizada?
Colas:
100 −99 2
= 0.5%, equivale a
Una área de 0.005
t 0.005
=
± 4.604
n = 236
Solución:
.
μ
El intervalo de estimación de
24. Estamos interesados en conocer el consumo diario medio de cigarrillos entre los alumnos de Centros de Bachillerato de nuestra localidad. Seleccionada una muestra aleatoria de 100 alumnos se observó que fumaban una media de 8 cigarrillos diarios. Si admitimos que la varianza de dicho consumo es de 16 cigarrillos en el colectivo total, estime dicho consumo medio con un nivel de confianza del 90 %.. R. (7.34, 8.66)
́x i ± t 0.005
corresponde a
s √n
Limites de Intervalo de confianza son: Para
t 0.005
=
-
4.604
,
El
50 - 17.265
R α = 0.2112(21.12%)
32.735
25. Se desea hacer una estimación sobre la edad media de una determinada población. Calcula el tamaño de la muestra necesario para poder realizar dicha estimación con un error menor de medio año a un nivel de confianza del 99,73%. Se conoce de estudios previos que la edad media de dicha población tiene una desviación típica igual a 3. R De 324 personas, al menos, debe estar compuesta la muestra.
26. Mediante una muestra aleatoria de tamaño 400 se estima la proporción de residentes en Sevilla que tienen intención de asistir a un partido de fútbol entre el Betis y el C.F. Sevilla. Si para un nivel de confianza del 95% resulta un error máximo en la estimación del 3%. Obtenga el valor de la estimación, sabiendo que es inferior a 0,25 R P= 0.105
DISTRIBUCION t STUDENT
́x
=75. S=15, n=16, y suponiendo que la población se
intervalo de confianza del 95% de la media poblacional
μ
.
́x
=50. S=24, n=36, y suponiendo que la población se
distribuye normalmente, construya una estimación del intervalo de confianza del 99% de la media poblacional .
s √n
t 0.005
=
4.604
,
El
límite
inferior
50+ ( 4.604 ) (3.75) 50 + 17.265 67.265 El intervalo de confianza es 32.735 <
μ
< 67.265
Conclusión: Con un nivel de confianza del 99% la población esta entre 32.735 y 67.265.
29. Construya una estimación de intervalo de confianza del 95% para la media poblacional, basada en cada uno de los siguientes conjuntos, suponiendo que la población se distribuye normalmente.
=
15 √ 16
μ
Conjunto B: 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
30. Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. De la tabla encontramos que t0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre – 1.711 y 1.711.
Grados de libertad: n – 1= 36 -1=35
Desviación estándar:
Para
Conjunto A: 3, 3, 3, 3, 3, 8, 8, 8, 8.
distribuye normalmente, construya una estimación del
28. Si
inferior
50− ( 4.604 ) (3.75)
¿Qué margen de error cometeríamos si afirmamos que la media en la población está comprendida entre 7.5 y 8.5 cigarrillos/día?.
27. Si
límite
= 3.75
Se procede a calcular el valor de t:
t=
X́ − μ s √n
=
518−500 40 √ 25
normal. = 2.25
Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa.
Solución: Datos:
μ X́
= 46 kilowatt-hora
s= 11.9 kilowatt-hora
= 42 kilowatt-hora
n = 12
α
= 0.05
Ensayo de hipótesis
31. El contenido de siete contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal.
Ho;
μ
= 46 kilowatt-hora
H1;
μ
< 46 kilowatt-hora
Solución: La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son:
10 y s= 0.283 En la tabla se encuentra que
t 0.025
=2.447 con 6 grados
de libertad, de aquí, el intervalo de confianza de 95% para
μ
es:
10 – (2.477)(
Regla de decisión:
0.283 √7
)<
0.283 √7
μ
Si tR
< 10 + (2.477)(
-1.796 No se rechaza Ho
Si tR < -1.796 Se rechaza Ho )
Cálculos:
tR
=
X́ R− μ s √n
=
42−46 11.9 √ 12
= -1.16
Justificación y decisión:
Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del contenido de los contenedores está entre 9.47 y 10.26 litros.
32. Nueve modelos de automóviles del mismo modelo fueron conducidos de idéntica manera, usando un litro de gasolina corriente. La distancia media recorrida por estos vehículos fue de 8 km, con una desviación estándar de 1.14 km. Obténgase un intervalo de confianza del 95% para estimar el kilometraje medio por litro de gasolina para este modelo de automóvil.
Como –1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el número promedio de kilowattio-hora que gastan al año las aspiradoras no es significativamente menor que 46. Solución por el otro método:
X́ L
=
μ -
tL s √n
= 46 –
( 1.796 )(11.9) √ 12
39.83
PRUEBA DE HIPOTESIS
33. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es
Regla de decisión:
Si
39.83 No se Rechaza Ho
=
Si
< 39.83 Se rechaza Ho
Como la = 42 y este valor no es menor que 39.83 por lo tanto no se rechaza Ho.
Como –2.365 0.7012 2.365 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el peso promedio de todos los bebés de seis meses es de 14 libras. Solución por el otro método:
Se puede aprovechar este ejemplo para calcular el valor de P , como el valor de t calculada es de –1.16, se busca en la tabla y se ve que el area a la izquierda de este valor es de 0.135 con 11 grados de libertad, por lo tanto no se rechaza Ho., ya que sería un valor alto para un nivel de significancia.
X́ L
=
μ
tL s √n
±
( 2.365 ) (1.21) √8
X́ i
= 12.98
X́ s
= 14 –
=
= 15.01
34. Los pesos en libras de una muestra aleatoria de bebés de seis meses son: 14.6, 12.5, 15.3, 16.1, 14.4, 12.9, 13.7 y 14.9. Haga una prueba con nivel de 5% de significancia para determinar si el peso promedio de todos los bebés de seis meses es distinto a 14 libras, suponga que sus pesos se distribuyen normalmente y calcule el valor de P. Solución:
Regla de decisión:
Datos:
μ α
= 14 libras s = 1.21 libras
X́
Si 12.98
= 14.3 libras n = 8
15.01 No se rechaza Ho
= 0.05 Si
< 12.98 ó
> 15.01 se rechaza Ho
Ensayo de hipótesis Ho;
μ
= 14 libras
H1;
μ
≠
14 libras
Como la
= 14.3 libras, entonces no se rechaza Ho .
Para calcular el valor de P se busca en la tabla el valor de 0.7012 con 7 grados de libertad. Se obseva que este valor no se encuentra pero se puede interpolar entre los valores de 0.549 y 0.896 con áreas de 0.30 y 0.20 respectivamente. Interpolando linealmente se obtiene el valor de 0.2561.
Regla de Decisión:
Si –2.365
tR
2.365 No se rechaza Ho
Si tR < -2.365 ó si tR > 2.365 Se rechaza Ho
Lic. Simeón Cedano Rojas
Cálculos:
tR
TALLER 2. INTERVALOS DE CONFIANZA
=
X́ R− μ s √n
Justificación y decisión:
=
14.3−14 1.21 √8
= -0.7012