UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE FISICA
CATEDRA DE FISICA I
Ing. Civil, Ing. Electromecánica, Ing. Eléctrica, Ing. Mecánica
HIDROSTÁTICA E HIDRODINÁMICA - PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA Nº 2: Tres líquidos inmiscibles se vierten en un recipiente cilíndrico de 20cm de diámetro. Las cantidades y las densidades de los líquidos son: 0,5 litros, 2,6g/cm3; 0,25 litros, 1g/cm3; 0,4 litros, 0,8g/cm3. ¿Cuál es la fuerza total que actúa sobre el fondo del recipiente? Ignorar la contribución de la atmósfera. = 0,5 = 500
= 2,6 /
= 0,4 = 400
= 0,8 /
= 0,25 = 250
=1 /
Teniendo en cuenta la definición de presión = / la fuerza en el fondo del recipiente es la presión en ese punto ( ) por el área (A)
= . La presión en el fondo es debida al peso de la columna de fluido de sección unitaria constituida por los tres líquidos, por ello determinamos = + ℎ ; ≅0 → = ℎ = =
=
Como
= (
+
ℎ =
+
=(
ℎ =
= ℎ +
ℎ + ;
+
ℎ +
ℎ +
ℎ +
= ℎ )
= 18,3. 10% &'( = 1,83)
ℎ
ℎ +
ℎ
!
= ℎ
ℎ ) =
ℎ
+
ℎ
+
ℎ
; la expresión de la fuerza resulta
= 980. (2,6 . 500 + 1 . 250 + 0,8 .400).
/#
1 HIDROSTÁTICA E HIDRODINÁMICA-PROBLEMAS RESUELTOS 1º SEMESTRE-2015
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PROBLEMA N°6: Un tubo en U contiene mercurio. Se vierte agua en una de las ramas y en la otra glicerina, hasta que sus superficies libres estén al mismo nivel. La longitud de la columna de agua es h= 30cm y la de la glicerina h’= 30,5cm. a) Hallar la densidad de la glicerina. b) Hallar la altura que debe tener la columna de glicerina para que la superficie del mercurio esté al mismo nivel en las dos ramas del tubo. Glicerina Agua
ρhg= 13,6g/cm3 h= 30cm h’= 30,5cm
h’
h
(2)
(1) ρhg
a) Determinar la densidad de la glicerina, ρ=? Teniendo en cuenta que en un líquido la presión en todos los puntos a un mismo nivel es la misma, consideramos el punto (1) y el punto (2) en el mercurio que satisfacen esta condición y planteamos: P1= P2 =
Igualando las ecuaciones:
+
*+
+
*+
=
(ℎ, − ℎ) +
(ℎ, − ℎ) +
+
ℎ′
*. /
ℎ=
*. /
+
De esta ecuación despejamos la densidad de la glicerina =
*+ (ℎ
,
− ℎ) + ℎ′
*. / ℎ
=
13.6 1
0,5
30,5
+1 1
ℎ
ℎ′ 30
= 1,21
ρ =1.21g/cm3
b) Determinar la altura de la columna de glicerina (h’’) si el nivel de mercurio en las dos ramas es el mismo. P1= P2
Igualando las ecuaciones:
+
= =
*. /
+ +
ℎ=
ℎ ℎ′′
*. /
+
ℎ′′
Simplificamos y despejamos h’’: 2 HIDROSTÁTICA E HIDRODINÁMICA-PROBLEMAS RESUELTOS 1º SEMESTRE-2015
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ℎ,, =
*. / ℎ
=
1 1
1,21
30
= 24,8
h’’= 24,8cm
PROBLEMA N°10: El bloque A de la figura está suspendido mediante una cuerda de una balanza de resorte D y sumergido en un líquido C contenido en la vasija B. El peso de ésta es de 900gf y el del líquido 1,35kgf. La balanza D señala 2,25kgf y la G 6,75kgf. El volumen del bloque A es de 2,80 dm3. a) ¿Cuál es la densidad del líquido? b) ¿Cuáles serán las indicaciones de ambas balanzas al sacar el bloque A del líquido?
WB= 900Kgf Peso de la vasija B WC= 1,35Kgf Peso del líquido C TD= 2,25Kgf Peso aparente del cuerpo A medido por la balanza D NG= 6,75kgf Peso aparente del sistema formado por el cuerpo A, la vasija B y líquido C, medido por la balanza G VA= 2,8 dm3
D
A
C
El cuerpo A al estar sumergido en el líquido C soporta el empuje E, fuerza ejercida por éste, de magnitud igual al peso del líquido que desaloja, cuya expresión es 2 = , siendo ρ la densidad de líquido, y V el volumen del líquido desalojado, que en este caso es igual al del cuerpo.
B
G
El cuerpo A está en equilibrio por lo que la resultante de las fuerzas es cero, su diagrama de cuerpo libre es: TD E
WA
TD NG
∑
4
∑
= 56 + 2 − 78 = 0
4
= 56 +
(1)
En esta ecuación ρ y WA son incógnitas por lo que se necesita otra ecuación, por esto aislamos el sistema cuerpo A, líquido C y vasija B cuyo diagrama de cuerpo libre es ∑
4
= 56 + )9 − 78 − 7: − 76 = 0
78 = 56 + )9 − 7: − 76
WA= 6,75Kgf
Despejando ρ de la ecuación (1) obtenemos WA+C+B
− 78 = 0
3
ρ= 1,607Kg/dm
=
;< =>? +@
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b) Al sacar el cuerpo del líquido, deja de actuar el empuje, por lo que la balanza D medirá el peso del cuerpo esto es TD= WA
TD= 6,75Kgf
Y la balanza G medirá el peso de la vasija y del líquido NG= WB+WC
NG= 2,25kgf
PROBLEMA Nº13: El agua de un depósito abierto a la presión atmosférica en su parte superior tiene 490cm de profundidad. La velocidad del agua en el tubo horizontal conectado al fondo del depósito es de 200cm/s. ¿Cuál es la presión en atm en el tubo?
h= 4,90m
A
v= 2m/s
ρ= 1.103kg/m3
P0= 1,013.105Pa
h B
+
La Ecuación de Bernoulli establece que:
ℎ+
A = BC
Teniendo en cuenta que las cantidades de esta ecuación deben ser evaluadas a lo largo de una línea de corriente, elegimos los puntos A y B de la línea de corriente dibujada en el depósito 8
+
ℎ8 +
A8 =
D
+
ℎD +
AD (1)
Considerando la ecuación de continuidad para un flujo incompresible vA AA= vB AB y teniendo en cuenta que AA >>AB (AA área del depósito y AB área del tubo) podemos considerar vA despreciable. Además tomando hA= h hB= 0 y la presión en la superficie libre del líquido en el depósito igual a la atmosférica a nivel del mar, esto es PA= P0 Reemplazamos estas cantidades en (1) y despejando encontramos la expresión para calcular PB, esto es: D
=
+
ℎ−
AD
PB= 1,473.105N/m2 = 1,473 atm
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PROBLEMA N°18: En la figura se representa un tubo de Venturi para la medición del caudal con el típico manómetro diferencial de mercurio. El diámetro de la entrada (sección1) es de 40cm y el del estrangulamiento de 20cm. Hallar el caudal de agua sabiendo que la diferencia entre las alturas alcanzadas por el mercurio en las dos ramas vale 30cm. La densidad del mercurio es 13,6g/cm3. Expresar el resultado en m3/s.
La ecuación de continuidad expresa A = BC y como el flujo es incompresible ρ1= ρ2 por lo que resulta que A = A = E es el caudal a determinar. El área de cada sección es: =F
=F
6G.
H 6.. H
=F
=F
H . H
H
.
1
= 1256
h2
h1
= 340
h
a
Para determinar la rapidez en una de las secciones evaluaremos la Ecuaciónde Bernoulli 1 + ℎ+ A = BC 2 ℎ +
1 A = 2
+
b hg
en los puntos 1 y 2 de la línea de corriente que los une +
2
V
ℎ +
1 A 2
Como la línea de corriente es horizontal, la fuerza peso no realiza trabajo de 1 a 2, o sea h1= h2, y los términos ρgh se cancelan, por lo que la ecuación anterior resulta: −
(A − A )
=
(1)
Acá podemos hacer una serie de análisis; recordando la Ecuación de Continuidad la velocidad v2 es mayor que la velocidad v1, porque la sección A2 es menor que A1; por lo tanto la diferencia de presiones es positiva, esto quiere decir que la presión en P1 es mayor que en P2. Esta diferencia de presiones se manifiesta en el tubo en U que se encuentra conectado, produciendo que el nivel de mercurio del lado izquierdo sea menor que el del lado derecho. Teniendo en cuenta que en un líquido la presión en todos los puntos a un mismo nivel es la misma, consideramos el punto (a) y el punto (b) en el mercurio que satisfacen esta condición y planteamos:
J
Igualando las dos ecuaciones:
=
I
+
=
Pa= Pb +
ℎ
(ℎ − ℎ )+
*+
ℎ
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+
ℎ =
(ℎ −ℎ )+
+
*+
ℎ
Podemos determinar la diferencia de presión entre los puntos P1 y P2: −
De la ecuación (1) y (2) obtenemos:
= ℎK
*+
(A − A ) = ℎK
− L *+
(2)
− L
A =
(3)
y de la Ecuación de Continuidad expresada anteriormente A =
E
;
A −A =E M
A =
1
−
E
1
A =E
N
Reemplazando en la ecuación (3)
1 1 1 E M − N = ℎK 2
*+
− L
Despejamos y calculamos el caudal Q: E=O
2 ℎK *+ − L 2 =R 1 1 P − Q
(
K
− Lℎ − ) *+
Reemplazando los datos obtenemos el caudal. Q= 3. 105cm3/s= 0,3m3/s
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