Goniometrische veranderingen by wim-vanes

1. √1 - √2 - √3 Goniometrische veranderingen Wim van Es

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

CIP - gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag ISBN: 978-90-9034420-1 NUR: 921 Trefwoord: fundamentele wiskunde.

© Alle rechten voorbehouden. Niets van deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand en / of openbaar gemaakt door middel van druk, fotokopie, microfilm, of op welke andere wijze dan ook zonder de voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. © No part of this book may reproduced in any form, be print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher. Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Goniometrische veranderingen

Wim van Es

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Voorwoord

Deze publicatie laat zien hoe je op een andere manier driehoeksmetingen kunt verrichten. Ik ga hierbij niet dieper in op de bestaande goniometrische verhoudingen. Wel laat ik mijn manier zien hoe het ook kan. Sinus, Cosinus en Tangens zet ik om in aantoonbare berekeningen zonder gebruik te maken van een tabel of voorgeprogrammeerde rekenmachine. Ik laat je zien hoe je de zijden en hoeken van een willekeurige driehoek kunt berekenen in al zijn vormen. Dit alles is afgeleid van de Grote Piramide en de gelijkzijdige driehoek. Met de gelijkzijdige driehoek kun je alle hoeken en zijden berekenen.

Wim van Es Februari 2021

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Driehoeksmeting. In de boekjes ‘hoe je het anders kunt bekijken’ en de ‘fundamentele wiskunde van de Grote Piramide’ heb ik het belang van de gelijkzijdige driehoek uitgelegd.

Figuur 1

Figuur 2

Bij een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm (60 mm) zijn de zijden gelijk aan 60 graden van de cirkel, figuur 1. In het geval je de gelijkzijdige driehoek gaat delen in een hoek van 30°, 60° en 90° dan is de onderstaande zijde gelijk aan 30 mm, figuur 2. In het geval dat je binnen de 60° blijft kun je ook de onderstaande zijde bepalen zoals in figuur 3 wordt weergegeven

Dit is alles wat je nodig hebt.

Figuur 3 Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Ik ga nu alle berekeningen en metingen maken.

Figuur 4

Figuur 5

Hoe groot zijn de zijden A en B in figuur 4? Je dient alles te verkleinen naar de maatstaf 6 cm. En dan is de tegenovergestelde zijde van de hoek gelijk aan de hoek in mm. Dit gaat dus als volgt: 8/6 = 1,33. Vervolgens de hoek 28° vermenigvuldigen met 1,33 = 37,24 mm. Zijde A is dus afgerond 3,7 cm. Zijde B is dus eenvoudig te berekenen met c² - a² = b² Hoe groot zijn de zijden A en B in figuur 5? Dit gaat als volgt: Zijde A is 6/4 = 1,5. Vervolgens 25 delen door 1,5 = 16,6 mm = 1,66 cm. Het kan dus ook 4/6 = 0,66 x 25 = 16,6 mm = 1,66 cm B is dan weer c² - a² = b².

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Stel dat zijde B 10 cm is en de tophoek 20°. Zie figuur 6. Hoe groot zijn dan zijde A en C?

Figuur 6

Ook dan dien je zijde C terug te brengen naar 6 cm. In dit geval is zijde A 20 mm. Zijde B is dan te berekenen: b² = c² - a² = 6² - 2² = 36 – 4 = 32. √32 = 5,65 cm. Zijde B is echter 10 cm en dat is 10/5,65 = 1,76 groter. Zijde C is dan 6 x 1,76 = 10,6 cm Zijde A is dan 10,6/6 = 1,76 x 20 = 35,3 mm = 3,5 cm. Vermelding. De driehoeken in de figuren 4, 5 en 6 zijn te maken in een rechthoekige driehoek waarvan de kleinste hoek 30 graden of minder is. Voor een ander formaat lees het vervolg bij andere driehoekvorm.

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Hoekberekening. Hoe bepaal je nu de hoeken in de rechthoekige driehoek als 2 zijden gegeven zijn, figuur 7.

Figuur 7

Figuur 8

Dan doe je weer hetzelfde als bij figuur 4. Deel 7 door 6 = 1,16. Vervolgens deel je 3 door 1,16 = 2,58. De tophoek is dan 25,8°. Hieruit volgen de andere hoeken: 90° en 64,2°. Bij figuur 8 gaat het als volgt. Je bepaalt zijde C = a² + b² = c² = 64 + 12,25 = 76,25. √76,25 = 8,73 cm. Vervolgens ga je hem weer verkleinen naar 6 cm. 8.73/6 = 1,45. Zijde A is dan 3,5/1,45 = 2,41 cm (24 mm). De tophoek is 24° afgerond. Hieruit volgen weer de andere hoeken: 90° en 66°. Stel dat zijde A niet gegeven is maar wel zijde B en C. Zie figuur 9.

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Zijde B is 5 cm en zijde C = 5,5 cm. Hoe groot is de tophoek? Je gaat zijde A bepalen. c² - b² = a² = 30,25 - 25 = 5,25 = 2,29 cm. Vervolgen ga je zijde C weer op 6 cm stellen. Je gaat dan 6 delen door 5,5 = 1,09. En dit ga je vermenigvuldigen met 2,29 = 2,49 cm = 24,9 mm. Dit is gelijk aan de tophoek 24,9° De andere hoeken zijn dan 90° en 65,1°

Figuur 9

Vermelding. Dit voorgaande heeft betrekking op de zijden en hoekbepalingen van een rechthoekige driehoek waarvan de hoeken zich bevinden binnen 30, 60 en 90 graden. De kleinste hoek mag niet groter zijn dan 30 graden. Wat te doen als de kleinste hoek groter is dan 30 graden? Daarvoor gebruiken we de driehoek van figuur 3.

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

In het boekje ‘fundamentele wiskunde van de Grote Piramide’ heb ik de onderstaande driehoek omschreven.

Hij is te herleiden uit de schacht van 40 graden in het midden van de Grote Piramide. Bij een hoek van 40 graden en de zijden van 6 cm is de tegenovergestelde zijde van de hoek 40 mm. Dit laat het volgende zien.

Figuur 10 Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Figuur 11 12

Stel je hebt een rechthoekige driehoek met een hoek van 40 graden en een zijde C van 8 cm, figuur 10. Hoe groot zijn nu de andere zijden. Omdat de tophoek groter is dan 30 graden gaat het voorgaande tot en met figuur 9 niet op. Er kunnen afwijkingen ontstaan. We gaan figuur 10 oplossen. Om de juiste verhouding te krijgen dien je de zijden gelijk te maken. Zijde C is gelijk aan zijde B en B2, zie figuur 11. Wil je nu zijde A2 berekenen dan dien je 8 cm te herleiden naar 6 cm. 8/6 = 1,33. Zijde A2 is dan 40 x 1,33 = 5,32 cm. Je ziet dus ook dat als de kleinste tophoek 40 graden is de andere twee 70 graden zijn, hoek D. Als je nu in de kleinste (gestippelde) driehoek de graden bepaald dan zie je een driehoek van 90, 70 en 20 graden. We gaan nu zijde B2 bepalen. A2 dienen we weer terug te voeren naar 6 cm. 6/5,32 = 1,12 cm. B2 = 20/1,12 = 17,8 mm = 1,78 cm. Zijde A is nu te berekenen. c² - a² = b². 5,32² - 1,78² = 25,13. √25,13 = 5,01cm Zijde B is dan c² - a² = b². 8² – 5,01² = 64 - 25 = 39. √39 = 6,24 cm. Je kan het toetsen. B en B2 dienen gelijk aan C 8 cm te zijn. B2 is 1,78 cm en B = 6,24 cm. Samen 8,02 cm. Afgerond 8 cm.

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Hoekberekening: hoek groter dan 30° en kleiner dan 40°. Hoe groot zijn de hoeken in figuur 12? Figuur 13 geeft antwoord.

Figuur 12

Figuur 13

Het eerste wat je moet doen is zijde C bepalen. a² + b² = c² = 25 + 49 = 74. √74 = 8,6 cm. In dit geval weet je dus dat C gelijk is aan B + B2. B2 is af te lezen = 8,6 - 7 = 1,6 cm. We gaan nu A2 bepalen, A2 is B2² + A² = 2,56 + 25 = 27,56. √27.56 = 5,24 cm. Nu dienen we het weer terug te brengen naar de standaard van 6 cm. C is 8,6/6 = 1,43. De hoek tegenover A is A2 delen door 1,43 = 5,24/1,43 = 3,66 = 36,6°. De andere hoeken zijn dan 90° en 53,4°. Als je zijde C en A gegeven hebt dan dien je zijde B en B2 te bepalen om A2 te bepalen. Als je zijde B en C gegeven hebt dan dien je zijde A te bepalen. Vervolgens zijde B2 en A2. Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Nu gaan we een willekeurige driehoek nemen. Hoe bepalen we de hoeken van een driehoek waarvan geen hoek 90° is? Zie figuur 14

Figuur 14

In dit geval dien je een rechte zijde (y) te maken en deze te (meten) bepalen.

Figuur 15

Je kunt nu de hoeken gaan bepalen en figuur 13 hierbij als uitgangspunt nemen. Daarvoor ga ik de driehoek in stukken verdelen zodat je kunt zien hoe het werkt. We gaan eerst zijde A - D bepalen 8² - 4,5² = 43,75. √43.75 = 6,6 cm. D - C is dan 3,4 cm. Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Vervolgens gaan we zijde A - C terugbrengen naar 8 cm om gelijk te zijn aan zijde A - B. Zijde D - C is dan 8 - 6,6 = 1,4 cm We gaan nu zijde (A2) bepalen zoals in figuur 13 wordt aangegeven. a² + b² = c². 1,4²+ 4,5² = 22,21. √22,21 = 4,7 cm Om hoek A te kunnen bepalen dienen we zijde A - B terug te herleiden naar de standaard 6 cm. 8/6 = 1,33. Hoek A is A2/1,33 = 4,7/1,33 = 35° (afgerond) Je kunt nu het volgende aflezen in driehoek A - B - D. Hoek A is 35° Hoek D = 90° en hoek B is dan 55°. We gaan nu hoek B bepalen in de driehoek B - D - C. Om zijde B - D gelijk te maken aan B - C dienen we deze te verlengen met 1 cm. Zijde D - C is berekend = 3.4 cm Zijde (A2) in figuur 13 is dan 1² + 3,4² = 12,56. √12,56 = 3,54 cm We dienen nu zijde B - C in de standaardverhouding 6 cm te plaatsen. 6/5,5 = 1,09. Hoek B in de driehoek B - D - C is 3,54 x 1,09 = 3,858 (39° afgerond) Je kunt dan ook weer het volgende aflezen in de deze driehoek. Hoek B is 39°, hoek D is 90° en hoek C is 51°. Hoe groot is nu hoek B in de driehoek in figuur 14. Daarvoor tellen we de hoeken van B op = 55° + 39° = 94°. Hoek B is dus 94° Samengevat kun je stellen dat de hoeken van de driehoek in figuur 14 als volgt zijn: hoek A = 35° hoek B is 94° en hoek C is 51°.

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Samenvatting Alles wat in deze publicatie is omschreven is herleid van uit de gelijkzijdige driehoek in de Grote Piramide. De gelijkzijdige driehoek is universeel.

Zes gelijkzijdige driehoeken maken de cirkel, figuur 16.

Figuur 16

Figuur 17

Dit heb ik uitgelegd in de boekjes ‘hoe je het anders kunt bekijken’ en de ‘fundamentele wiskunde van de Grote Piramide’. Hoe bewijs je nu dat de gelijkzijdige driehoek hoeken van 60° heeft, figuur 17? Dat kun je niet bewijzen, dat hebben we aangenomen op basis van een cirkel van 360°. Stel ik wil een cirkel maken van 420°. Hoe doe je dat?

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Dan deel je 420° door 6 = 70°. Dan bepaal je de hoeken van de (universele) gelijkzijdige driehoek op 70°. Vervolgens verhoog je de standaardzijden in plaats van 6 x 6 x 6 cm naar 7 x 7 x 7 cm. De 70 mm van de zijden komt overeen met 70° in een cirkel van 420°.

Figuur 18

Teken de 6 gelijkzijdige driehoeken van 7 x 7 x 7cm, figuur 18. Trek de 70 lijnen door op de cirkel en doe dat dus 6 keer. Wat is dan het verschil in de standaard gradenboog? De standaard gradenboog op Aarde heeft 180° op een basislijn van 12 cm. In een 420° cirkel heeft de standaard gradenboog 210° op een basislijn van 14 cm. Een rechte hoek in de cirkel van 360° is 90°. Een rechte hoek in de cirkel van 420° is 105°. Wat is de zin ervan om een cirkel van 420° te maken? Op Aarde heeft het geen zin. Daar is het leven en werken sinds de begintijd geconditioneerd op 360°. Gebaseerd op de dagen (afgekort van 363 sterrentijd) die de Aarde rond de zon draait. Als je er van overtuigd bent dat de Aarde en de mens alléén in het universum bestaan dan heb je geen andere cirkel nodig.

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Als er nu toch andere levensvormen zijn, waar de planeet in 420 dagen rond de zon draait dan heb je aan een cirkel van 360° niets. Dan heb je een ander begin nodig. En dan zie je dat de gelijkzijdige driehoek universeel te gebruiken is en niet typisch Aards is. En dat de Piramide gelijk de gelijkzijdige driehoek ook universeel is. Het heeft alles te maken waarop je je leven en werk vanaf de begintijd conditioneert. Dan weet je niet anders meer en dat geldt ook voor de generaties die volgen.

Het staat een ieder vrij om alles wat in dit boekje geschreven staat (praktisch) te gebruiken, mits bronvermelding plaatsvindt.

Februari 2021

Wim van Es – Goniometrische veranderingen

Het universum is breder

dan onze kijk erop Henry David Thoreau

Wim van Es – Goniometrische veranderingen